Şimdi deformasyonları tanımlamak için onları iç kuvvetlerle, yani malzemedeki gerilimlerle ilişkilendirmeliyiz. Hooke yasasının herhangi bir malzeme parçası için geçerli olduğunu, yani gerilimlerin her yerde gerinimlerle orantılı olduğunu varsayıyoruz. Ch'de. 31 gerilim tensörünü tanımladık S ben j eksenine dik bir birim alana etki eden kuvvetin i'inci bileşeni olarak. Hooke yasası her bir S ij bileşeninin doğrusal olarak ilişkili her biri stres bileşeni. Ama o zamandan beri S Ve ben Her biri dokuz bileşen içeriyorsa, malzemenin elastik özelliklerini açıklamak için toplamda 9X9 = 81 olası katsayı gerekir. Malzeme homojen ise tüm bu katsayılar sabit olacaktır. Onları C olarak göstereceğiz ijkl denklem tarafından belirlenir

burada her simge i, j, k Ve ben 1, 2 veya 3 değerlerini alabilir. Katsayılar İLE ijkl bir tensörü diğerine bağlarlar, onlar da bir tensör oluştururlar - bu sefer bir tensör dördüncü sıra. Onu arayabiliriz esneklik tensörü.

Diyelim ki tüm C ijkl biliniyor ve bu bir tür vücuda serbest çalışma ekledik karmaşık kuvvetler. Bu durumda her türlü deformasyon ortaya çıkacak - vücut bir şekilde çarpık hale gelecektir. Hareketler nasıl olacak? Bunun oldukça zor bir iş olduğunu anlıyorsunuz. Deformasyonları biliyorsanız, denklem (39.12)'den gerilimleri bulabilirsiniz ve bunun tersi de geçerlidir. Ancak herhangi bir noktada meydana gelen gerilimler ve gerinimler, malzemenin geri kalanında olup bitenlere bağlıdır.

Böyle bir göreve yaklaşmanın en basit yolu enerjiyi düşünmektir. Güç ne zaman F yer değiştirmeyle orantılı X, diyelimki F=kx, herhangi bir hareket için harcanan iştir X, eşittir kx 2 /2. Aynı şekilde enerji w, içinde depolanan herhangi bir hacim birimi deforme olmuş malzeme eşit çıkıyor

Bu tam bir iş W, Tüm vücudun deformasyonuna harcanan ayrılmaz bir parçası olacaktır. w tüm cildi boyunca:

Sonuç olarak bu, malzemenin iç gerilimlerinde depolanan potansiyel enerjidir. Vücut dengede olduğunda bu içsel enerji olmalıdır en az. Böylece vücuttaki deformasyonların belirlenmesi sorunu, vücudun her yerinde bu tür hareketlerin bulunmasıyla çözülebilir. K en az. Ch'de. 19 (sayı 6) Size bazılarından bahsetmiştim. genel fikirler Bu tür minimizasyon problemlerinin çözümünde kullanılan varyasyon hesabı. Ancak şimdilik bu görev hakkında daha fazla ayrıntıya girmeyeceğiz.

Şimdi esas olarak esneklik tensörünün genel özellikleri hakkında söylenebileceklerle ilgileneceğiz. Her şeyden önce şurası açık ki aslında C ijkl içerdiği Olumsuz 81 farklı parametre. Çünkü S ben Ve e ben her biri yalnızca altı farklı eleman içeren simetrik tensörlerdir, o zaman C ijkl Maksimum 36 farklı bileşenden oluşur. Genellikle bunlardan çok daha azı vardır.

Kübik kristalin özel durumunu ele alalım. Enerji yoğunluğu w bunun için şöyle çıkıyor:

yani sadece 81 terim! Ancak kübik bir kristalin belirli simetrileri vardır. Özellikle kristal 90° döndürülürse tüm fiziksel özellikleri aynı kalacaktır. Örneğin her iki eksen yönünde de aynı çekme sertliğine sahip olmalıdır. sen, ve eksen yönünde X. Bu nedenle koordinat eksenlerine ilişkin tanımlarımızı değiştirirsek X Ve en(39.15) numaralı denklemde enerjinin değişmemesi gerekir. Bu nedenle kübik bir kristal için

C xxxx =İLE Vay = C zzz . (39.16)

Ayrıca aşağıdaki gibi bileşenlerin de olduğunu gösterebiliriz: İLE xxx , sıfır olmalıdır. Kübik bir kristal simetrik olma özelliğine sahiptir. refleks Koordinat eksenlerinden birine dik olan herhangi bir düzleme göre. Eğer değiştirirsek en-y ile hiçbir şey değişmemelidir. Ama değiş en Açık - en değişiklikler e xy Açık - e xy , yönde hareket ettiğinden beri + enşimdi şu yöne doğru hareket edecek - sen. Enerjinin değişmemesi için, İLE xxx içeri girmeli - İLE xxx Ancak yansıyan kristal öncekiyle aynı olacaktır, dolayısıyla İLE xx xy olmalı aynısı beğenmek - İLE xxx . Bu ancak her ikisi de sıfır olduğunda gerçekleşebilir.

Ama şöyle diyebilirsiniz: "Aynı mantıkla C'yi yapabiliriz. yyyy =0!» Bu doğru değil. Sonuçta buradayız dört oyun. Her en işareti değiştirir ve dört eksi artı verir. Eğer en buluşuyor iki veya dört kez, bu tür bileşenlerin sıfıra eşit olmaması gerekir. Yalnızca ilgili bileşenler en ya oluşur bir, veya üç zamanlar. Dolayısıyla kübik bir kristal için yalnızca bunlar İLE, aynı simgeye sahip olan çift ​​sayıda kez.(Yaptığımız mantık sen, için de geçerlidir X ve z için.) Dolayısıyla yalnızca türün bileşenleri İLE xhoo , İLE ha? , İLE vızıldamak vb. Ancak, her şeyi değiştirirsek bunu zaten göstermiştik. X Açık en Ve tersine(veya tüm z'ye x, vb.), o zaman kübik bir kristal için aynı sayıyı elde etmeliyiz. Bu onların kaldığı anlamına gelir sadece üç farklı sıfır olmayan olasılıklar:

Kübik bir kristalin enerji yoğunluğu şöyle görünür:

İzotropik, yani kristal olmayan bir malzeme daha da yüksek simetriye sahiptir. Sayılar İLE aynı olmalı herhangi Koordinat eksenlerinin seçilmesi. Aynı zamanda katsayılar arasında başka bir bağlantının daha olduğu ortaya çıktı. İLE:

C xxxx =C xhoo +C ha? (39.19)

Bu, aşağıdaki genel değerlendirmelerden görülebilir. Gerilme tensörü S ben ile ilişkili olmalı e ben Koordinat eksenlerinin yönünden tamamen bağımsız olacak şekilde, yani yalnızca skaler miktarları “Çok basit” diyorsunuz. " Tek yol elde etmek S ben itibaren e ben - ikincisini bir skaler sabitle çarpın. Sonuç sadece Hooke yasasıdır: S ben = (Sabit)Xе ij ". Ancak bu tamamen doğru değil. Ayrıca buraya ekleyebilirsiniz birim tensör ben ile doğrusal olarak ilişkili bazı skaler ile çarpılır e ben . Birleştirilebilen ve doğrusal olan tek değişmez e,- bu e jj . (Şöyle dönüşür X 2 +y 2 +z 2 , bu da onun bir skaler olduğu anlamına gelir.) Bu nedenle, en Genel form denklem bağlama S ben İle e ben izotropik bir malzeme için,

(İlk sabit genellikle 2 olarak yazılır; bu durumda katsayı önceki bölümde tanımladığımız kayma modülüne eşittir.) ( ve ) sabitlerine denir. elastik Lame sabitleri. Denklemleri (39.20) denklem (39.12) ile karşılaştırdığınızda şunu görürsünüz:

Böylece (39.19) denkleminin gerçekten doğru olduğunu kanıtlamış olduk. Ayrıca, önceki bölümde bahsedildiği gibi izotropik bir malzemenin elastik özelliklerinin tamamen iki sabit tarafından belirlendiğini görüyorsunuz.

Oranlar İLE Daha önce kullanılan elastik sabitlerden herhangi ikisi cinsinden ifade edilebilir; örneğin Young modülü Y ve Poisson oranı aracılığıyla  . bunu göstermeyi sana bırakıyorum

Bir kristalin izotermal sıkıştırılması sırasında serbest enerjideki değişiklik, izotropik cisimlerde olduğu gibi, ikinci dereceden fonksiyon gerginlik tensörü. İzotropik cisimlerde olanın tersine, bu fonksiyon artık iki değil, iki tane içermektedir. daha büyük sayı bağımsız katsayılar.

Deforme olmuş bir kristalin serbest enerjisinin genel formu

burada elastik modül tensörü olarak adlandırılan 4. derece bir tensör vardır. Deformasyon tensörü simetrik olduğundan, indeksler veya i, k çifti çifti ile değiştirildiğinde ürün değişmez. Bu nedenle tensörün, indislerin permütasyonuna göre aynı simetri özelliklerine sahip olacak şekilde de tanımlanabileceği açıktır:

Basit bir saymayla, bu tür simetri özelliklerine sahip 4. sıra tensörün farklı bileşenlerinin sayısının şuna eşit olduğuna ikna edilebilir: Genel dava

Serbest enerji için ifade (10.1)'e göre, kristallerdeki gerilim tensörünün gerinim tensörüne bağımlılığı şu şekildedir (bkz. ayrıca sayfa 59'daki dipnot)

Kristalin bir veya başka bir simetrisinin varlığı, tensörün çeşitli bileşenleri arasında bağımlılıkların ortaya çıkmasına yol açar, böylece bağımsız bileşenlerinin sayısı daha az olur.

Bu ilişkileri herkes için düşünelim olası türler kristallerin makroskopik simetrisi, yani tüm kristal sınıfları için, bunların karşılık gelen kristal sistemleri arasında dağıtılması (bkz. V, § 130, 131).

1. Triklinik sistemi. Triklinik simetri (sınıflar), tensörün bileşenleri üzerinde herhangi bir kısıtlama getirmez ve simetri açısından koordinat sisteminin seçimi tamamen keyfidir. Bu durumda 21 elastik modülün tümü sıfırdan farklı ve bağımsızdır. Koordinat sistemi seçiminin keyfiliği, tensör bileşenlerine dayatmaya izin verir ek koşullar. Koordinat sisteminin cisme göre yönü üç büyüklükle (dönme açıları) belirlendiğinden, bu tür üç koşul olabilir; örneğin bileşenlerden üçü düşünülebilir sıfıra eşit. Daha sonra bağımsız miktarlar Kristalin elastik özelliklerini karakterize eden sıfır olmayan 18 modül ve kristaldeki eksenlerin yönünü belirleyen 3 açı olacaktır.

2. Monoklinik sistem. Sınıfı ele alalım ve x, y düzleminin simetri düzlemine denk geldiği bir koordinat sistemi seçelim. Bu düzleme yansıtıldığında koordinatlar dönüşüme uğrar: . Tensör bileşenleri karşılık gelen koordinatların ürünleri olarak dönüştürülür. Bu nedenle, belirtilen dönüşümle, indeksleri arasında indeksin tek (1 veya 3) sayıda yer aldığı tüm bileşenlerin işaretlerini değiştireceği ve geri kalan bileşenlerin değişmeden kalacağı açıktır. Öte yandan, kristalin simetrisi nedeniyle, özelliklerini karakterize eden tüm niceliklerin (tüm bileşenler dahil) simetri düzlemine yansıtıldığında değişmeden kalması gerekir. Bu nedenle tek sayıda indekse sahip tüm bileşenlerin sıfıra eşit olması gerektiği açıktır. Buna göre genel ifade monoklinik bir sistemin kristalinin serbest elastik enerjisi için

Burada 13 bağımsız katsayı var. Aynı ifade sınıf için ve her iki simetri elemanını bir arada içeren sınıf için de elde edilir. Ancak yukarıdaki akıl yürütmede simetri hususları koordinat eksenlerinden yalnızca birinin yönünün seçimini sabitlerken x, y eksenlerinin yönleri düzleme dik keyfi kalmak. Bu keyfilik, örneğin uygun bir eksen seçimiyle bileşenlerden birini sıfıra çevirmek için kullanılabilir. O zaman kristalin elastik özelliklerini karakterize eden 13 miktar, sıfırdan farklı 12 modül ve eksenlerin yönünü belirleyen bir açı olacaktır. x, y düzleminde.

3. Eşkenar dörtgen sistem. Bu sistemin tüm sınıflarında koordinat eksenlerinin seçimi benzersiz bir şekilde simetri tarafından belirlenir ve serbest enerji için aynı formun bir ifadesi elde edilir. Örneğin bir sınıf düşünün ve bu sınıfın üç simetri düzlemindeki koordinat düzlemlerini seçin. Bu düzlemlerin her birindeki yansımalar, koordinatlardan birinin işaret değiştirdiği, diğer ikisinin değişmediği dönüşümlerdir. Bu nedenle, tüm bileşenlerden yalnızca her birinin değerlerinin oluştuğu endeksler arasında sıfırdan farklı kalacağı açıktır. çift ​​sayı bir kere; diğer tüm bileşenlerin simetri düzlemlerinden birine yansıtıldığında işaret değiştirmesi gerekecektir. Böylece ortorombik sistemdeki serbest enerjinin genel ifadesi şu şekildedir:

Yalnızca dokuz elastik modül içerir.

4. Dörtgen sistem. A ekseni ve y ekseni boyunca uzanan ve dikey simetri düzlemlerinden ikisine dik olan koordinatları seçtiğimiz sınıfı ele alalım. Bu iki düzlemdeki yansımalar sırasıyla dönüşüm anlamına gelir; bu nedenle tek sayıda aynı indekse sahip tüm bileşenler kaybolur. Ayrıca, bir eksen etrafında bir açıyla döndürme, r'nin bir dönüşümüdür. Bu, ilişkileri ima eder.

Sınıfta yer alan geri kalan dönüşümler bu koşullara hiçbir şey eklemez. Böylece, tetragonal bir sistemin kristallerinin serbest enerjisi şu şekildedir:

Altı elastik modül içerir.

Aynı sonuç, koordinat eksenlerinin doğal seçiminin simetri tarafından belirlendiği diğer dörtgen sistem sınıfları için de elde edilecektir. Sınıflarda, yalnızca bir eksenin seçimi açıktır - eksen boyunca veya. Bu durumda, simetri gereksinimleri ((10.6)'da görünenlere ek olarak) bileşenlerin de varlığına izin verir.

Y eksenlerinin yönlerinin doğru seçilmesiyle bu bileşenler sıfıra döndürülebilir ve daha sonra F tekrar aynı forma (10.6) indirgenir.

5. Eşkenar dörtgen sistem. Cm sınıfını ele alalım ve üçüncü dereceden eksen boyunca bir eksene ve dikey simetri düzlemlerinden birine dik bir y eksenine sahip bir koordinat sistemi seçelim. Bir eksenin varlığı nedeniyle tensör bileşenlerine uygulanan kısıtlamaları açıklığa kavuşturmak için, tanıma göre karmaşık "koordinatlar" ekleyerek resmi bir dönüşüm gerçekleştirmek uygundur.

koordinatı değiştirmeden bırakıyoruz. Tensörü de bu yeni koordinatlara dönüştürüyoruz; Bileşenlerinde endeksler artık değerlerin üzerinden geçiyor. Z ekseni etrafında 120° döndürüldüğünde yeni değişkenlerin bir dönüşüme uğradığını görmek kolaydır.

Kristalin simetrisi nedeniyle yalnızca bu dönüşüm sırasında değişmeyen bileşenler sıfırdan farklı olabilir. Açıktır ki, bu özellik, indeksleri arasında or'ları üç kez tekrarlanan bileşenler tarafından sahip olunmaktadır (veya indeksinin aynı sayıda içerdiğine dikkat edin (çünkü bunlar bileşenlerdir)

Ayrıca y eksenine dik bir simetri düzlemindeki yansıma bir dönüşüm müdür, yoksa nicelikler için mi? Bu dönüşümle birlikte bu iki bileşenin birbirine eşit olması gerekir. Dolayısıyla eşkenar dörtgen sistemin kristalleri yalnızca altı elastik modüle sahiptir. Serbest enerji için bir ifade yazmak için, F'yi koordinatlarda gerinim tensörünün bileşenleri aracılığıyla ifade etmemiz gerektiğinden, indekslerin değerler üzerinden geçtiği bir toplam derlememiz gerekir, ardından bileşenleri bunlar aracılığıyla ifade etmemiz gerekir. Tensörün bileşenlerinin karşılık gelen iki koordinatın çarpımı olarak dönüştürülmesi gerçeğinden yararlanarak bunu yapmak kolaydır. Evet, itibaren

bunu takip ediyor

Sonuç olarak F için aşağıdaki ifadeyi buluruz:

6 bağımsız katsayı içerir. Sınıflar için de aynı sonuç elde edilecektir. Y ekseni seçiminin keyfi kaldığı sınıflarda simetri gereksinimleri aynı zamanda sıfır olmayan bir farka da izin verir

Ancak x, y eksenlerinin uygun seçimiyle sıfıra indirilebilir.

6. Altıgen sistem. Sınıfı ele alalım ve ekseni 6. dereceden eksen boyunca olan bir koordinat sistemi seçelim. (10,7) koordinatlarını tekrar tanıtalım. Bir eksen etrafında belirli bir açıyla döndürüldüklerinde bir dönüşüme uğrarlar.

Buradan, yalnızca indekslerin meydana geldiği indeksler arasındaki bileşenlerin sıfırdan farklı olduğu açıktır. aynı numara bir kere. Bunlar

Altıgen sistemin diğer olası simetri elemanları bu kısıtlamalara hiçbir şey eklememektedir. Dolayısıyla sadece beş elastik modül vardır. Bedava enerji benziyor

X, y düzlemindeki deformasyonun (sıfır olmayan değerlerle deformasyon), izotropik bir cisim için olduğu gibi yalnızca iki elastik modül tarafından belirlendiğine dikkat edilmelidir; başka bir deyişle, altıgen eksene dik bir düzlemde altıgen bir kristalin elastik özellikleri izotropiktir. Bu nedenle eksenlerin bu düzlemdeki yönlerinin seçimi genel olarak önemsizdir ve F formunu hiçbir şekilde etkilemez. Dolayısıyla (10.9) numaralı ifade altıgen sistemin tüm sınıfları için geçerlidir.

7. Kübik sistem. X, y, z eksenlerini kübik sistemin 4. dereceden üç ekseni boyunca yönlendirelim. Halihazırda tetragonal simetrinin varlığı (z ekseni boyunca 4. dereceden bir eksen ile), farklı tensör bileşenlerinin sayısını aşağıdaki altı ile sınırlandırmıştır:

X ve y eksenleri etrafında 90°'lik dönüşler sırasıyla dönüşümler üretir. Bunlar sayesinde altı yazılı unsurdan birinci ve ikinci, üçüncü ve dördüncü, beşinci ve altıncı eşit hale getirilir.

Bu geriye yalnızca üç farklı elastik modül bırakır. Kübik sistemin kristallerinin serbest enerjisi şu şekildedir:

Sınıflar için bağımsız parametrelerin sayısını (kristaldeki eksenlerin yönünü belirleyen elastiklik modülü veya açılar) tekrar yazalım. çeşitli sistemler;

Uygun bir koordinat ekseni seçimiyle elde edilebilecek minimum sıfır olmayan modül sayısı, her sistemdeki tüm sınıflar için aynıdır:

Yukarıdakilerin tümü elbette tek kristaller için geçerlidir. Bileşimlerinde kristalitlerin yeterince küçük boyutlarına sahip olan çok kristalli gövdeler, izotropik gövdeler olarak düşünülebilir (çünkü kristalitlerin boyutuna kıyasla daha büyük alanlardaki deformasyonlarla ilgileniyoruz). Herhangi bir izotropik cisim gibi, bir polikristal de yalnızca iki elastik modül ile karakterize edilir. İlk bakışta bu modüllerin tek tek kristalitlerin elastik modüllerinden basit ortalama alma yoluyla elde edilebileceği düşünülebilir. Ancak gerçekte durum böyle değildir. Bir polikristalin deformasyonunu, içerdiği kristalitlerin deformasyonunun bir sonucu olarak düşünürsek, prensip olarak tüm bu kristalitler için denge denklemlerini karşılık gelenleri dikkate alarak çözmek gerekli olacaktır. sınır şartları arayüzlerinde.

Bu, bir bütün olarak ele alındığında bir kristalin elastik özellikleri ile onu oluşturan kristalitlerin özellikleri arasındaki ilişkinin, kristalitlerin spesifik şekline ve karşılıklı yönelimleri arasındaki korelasyona bağlı olduğunu gösterir. Bu nedenle yok genel bağımlılık polikristallerin elastik modülleri ile tek bir kristal (aynı maddeden) arasında.

İzotropik bir polikristalin modüllerinin tek kristal modüllerden hesaplanması, yalnızca tek kristalin elastik özelliklerinin zayıf anizotropisi durumunda önemli bir doğrulukla gerçekleştirilebilir. İlk yaklaşım olarak, bir polikristalin elastik modülü basitçe "izotropik kısım"a eşit olarak ayarlanabilir. elastik modüller tek kristal. Daha sonra, bir sonraki yaklaşımda, bu modüllerin küçük "anizotropik kısmında" ikinci dereceden terimler ortaya çıkar. Bu düzeltme terimlerinin kristalitlerin şekline ve yönelimlerinin korelasyonuna bağlı olmadığı ve genel bir biçimde hesaplanabileceği ortaya çıktı.

Son olarak kristallerin termal genleşmesine bakalım. İzotropik gövdelerde termal genleşme her yönde eşit olarak meydana gelir, dolayısıyla serbest termal genleşme için gerinim tensörü şu şekildedir (bkz. § 6)

a katsayısı nerede termal Genleşme. Kristallere yazmalısın

(10,11)

burada t, k endekslerine göre simetrik olan ikinci derecenin bir tensörü var. Bu tensörün kristallerdeki farklı bağımsız bileşenlerinin sayısını bulalım. farklı sistemler. Bunu yapmanın en kolay yolu, tensör cebirinden iyi bilinen, ikinci derecedeki her simetrik tensörün, dedikleri gibi, bazı tensör elipsoidleriyle ilişkilendirilebileceği gerçeğini kullanmaktır. Simetri hususlarından, triklinik, monoklinik ve ortorombik simetrilerde elipsoidin genel olarak üç eksenli olduğu (yani tüm eksenlerinin uzunlukları farklıdır) hemen açıktır. Dörtgen, eşkenar dörtgen ve altıgen simetrilerde, elipsoidin sırasıyla bir dönüş elipsoidi olması gerekir (simetri eksenleri veya 1 boyunca bir eksene sahip). Son olarak kübik simetri, elipsoidin bir top haline gelmesine yol açar.

Ancak üç eksenli bir elipsoid üç bağımsız büyüklükle (eksenlerin uzunlukları), bir elipsoidin dönüşü ikiyle ve bir top yalnızca birle (yarıçap) belirlenir. Böylece, çeşitli sistemlerin kristallerindeki bağımsız tensör bileşenlerinin sayısı şöyledir:

İlk üç sistemin kristallerine çift eksenli, ikinci üçüne ise tek eksenli denir. Kübik sistemin kristallerinin termal genleşmesinin yalnızca bir miktarla belirlendiğine, yani termal genleşmelerine göre izotropik cisimler olarak davrandıklarına dikkat çekelim.

Şimdi, deformasyonları tanımlamak için onları iç kuvvetlerle, yani malzemedeki gerilimlerle ilişkilendirmeliyiz. Hooke yasasının herhangi bir malzeme parçası için geçerli olduğunu, yani gerilimlerin her yerde gerinimlerle orantılı olduğunu varsayıyoruz. Ch'de. Şekil 31'de gerilim tensörünü eksene dik bir birim alana etki eden kuvvetin inci bileşeni olarak tanımlamıştık. Hooke Yasası, her bileşenin her voltaj bileşeniyle doğrusal olarak ilişkili olduğunu söylüyor. Ancak dokuz bileşen içerdikleri için malzemenin elastik özelliklerini açıklamak için olası bir katsayı toplamına ihtiyaç vardır. Malzeme homojen ise tüm bu katsayılar sabit olacaktır. Bunları denklemi kullanarak tanımlayarak belirtiriz

, (39.12)

burada her sembol , , ve 1, 2 veya 3 değerlerini alabilir. Katsayılar bir tensörü diğerine ilişkilendirdiğinden, aynı zamanda bir tensör de oluştururlar - bu sefer dördüncü dereceden bir tensör. Buna esneklik tensörü diyebiliriz.

Herkesin bilindiğini ve karmaşık kuvvetleri keyfi bir şekle sahip bir cisme uyguladığımızı varsayalım. Bu durumda her türlü deformasyon ortaya çıkacak - vücut bir şekilde çarpık hale gelecektir. Hareketler nasıl olacak? Güzel olduğunun farkındasın zor görev. Deformasyonları biliyorsanız, denklem (39.12)'den gerilimleri bulabilirsiniz ve bunun tersi de geçerlidir. Ancak herhangi bir noktada meydana gelen gerilimler ve gerinimler, malzemenin geri kalanında olup bitenlere bağlıdır.

Böyle bir göreve yaklaşmanın en basit yolu enerjiyi düşünmektir. Kuvvet yer değiştirme ile orantılı olduğunda, örneğin herhangi bir yer değiştirme için harcanan iş eşittir. Benzer şekilde deforme olmuş malzemenin herhangi bir birim hacminde depolanan enerji şuna eşit olur:

. (39.13)

Tüm vücudun deformasyonu için harcanan toplam iş, tüm hacminin integrali olacaktır:

. (39.14)

Sonuç olarak bu, malzemenin iç gerilimlerinde depolanan potansiyel enerjidir. Vücut dengede olduğunda bu iç enerji minimum düzeyde olmalıdır. Böylece gövdedeki deformasyonların belirlenmesi sorunu, gövde boyunca minimum düzeyde olan bu tür yer değiştirmelerin bulunmasıyla çözülebilir. Ch'de. 19 (sayı 6) Size bu tür minimizasyon problemlerinin çözümünde kullanılan varyasyonlar hesabına ilişkin bazı genel fikirlerden bahsetmiştim. Ancak şimdilik bu görev hakkında daha fazla ayrıntıya girmeyeceğiz.

Şimdi esas olarak esneklik tensörünün genel özellikleri hakkında söylenebileceklerle ilgileneceğiz. Öncelikle aslında 81 farklı parametre içermediği açıktır. ve her biri yalnızca altı tane içeren simetrik tensörlerdir. çeşitli unsurlar, maksimum 36 farklı bileşenden oluşur. Genellikle bunlardan çok daha azı vardır.

Kübik kristalin özel durumunu ele alalım. Bunun için enerji yoğunluğu aşağıdaki gibidir:

(39.15)

yani sadece 81 terim! Ancak kübik bir kristalin belirli simetrileri vardır. Özellikle kristal 90° döndürülürse tüm fiziksel özellikleri aynı kalacaktır. Örneğin hem eksenel hem de eksenel yönlerde aynı çekme sertliğine sahip olmalıdır. Dolayısıyla (39.15) numaralı denklemdeki koordinat eksenleri tanımlarımızı değiştirirsek enerjinin değişmemesi gerekir. Bu nedenle kübik bir kristal için

. (39.16)

gibi bileşenlerin sıfır olması gerektiğini de gösterebiliriz. Kübik bir kristal, koordinat eksenlerinden birine dik herhangi bir düzleme göre yansıtıldığında simetrik olma özelliğine sahiptir. İle değiştirirsek hiçbir şey değişmemelidir. Ancak değişiklik şu şekilde değişir, çünkü yönde hareket etmek artık o yönde hareket etmek olacaktır. Enerjinin değişmemesi için içeri girmesi gerekir. Ancak yansıyan kristal öncekiyle aynı olacaktır, dolayısıyla aynı olması gerekir. Bu ancak her ikisi de sıfır olduğunda gerçekleşebilir.

Ama şunu söyleyebilirsiniz: “Aynı mantıkla, kişi de yapabilir!” Bu doğru değil. Sonuçta burada dört oyuncumuz var. Her biri işaret değiştirir ve dört eksi bir artı yapar. İki veya dört kez meydana gelirse bu tür bileşenlerin sıfıra eşit olmaması gerekir. Yalnızca bir veya üç kez meydana gelen bileşenler sıfıra eşittir. Dolayısıyla kübik bir kristal için yalnızca aynı sembolün çift sayıda tekrarlandığı kristaller sıfırdan farklıdır. ( , için yaptığımız mantık, hem , hem de , için geçerlidir.) Dolayısıyla, yalnızca , vb. türündeki bileşenler hayatta kalır. Ancak, her şeyi veya tam tersini (veya tümünü vb.) olarak değiştirirsek, daha önce göstermiştik. o zaman kübik bir kristal için aynı sayıyı almalıyız. Bu, sıfır olmayan yalnızca üç farklı olasılığın kaldığı anlamına gelir:

(39.17)

Kübik bir kristalin enerji yoğunluğu şöyle görünür:

İzotropik, yani kristal olmayan bir malzeme daha da yüksek simetriye sahiptir. Herhangi bir koordinat ekseni seçimi için sayılar aynı olmalıdır. Bu durumda katsayılar arasında başka bir bağlantı olduğu ortaya çıkıyor:

. (39.19)

Bu, aşağıdaki genel değerlendirmelerden görülebilir. Gerilim tensörü koordinat eksenlerinin yönünden tamamen bağımsız olacak şekilde ilişkilendirilmelidir; yani yalnızca skaler büyüklükler kullanılarak ilişkilendirilmelidir. “Çok basit” diyorsunuz. "Bunu elde etmenin tek yolu ikincisini bir skaler sabitle çarpmak. Sonuç sadece Hooke yasasıdır: " Ancak bu tamamen doğru değil. Ek olarak, buraya doğrusal olarak ilişkili bir skaler ile çarpılmış bir birim tensör ekleyebiliriz. Birleştirilebilen ve doğrusal olan tek değişmez ,'dir. (gibi dönüşür ve bu nedenle bir skalerdir.) Dolayısıyla, izotropik bir malzeme için c ile ilgili denklemin en genel biçimi şu şekilde olacaktır:

Katsayılar, Young modülü ve Poisson oranı gibi daha önce kullanılan elastik sabitlerden herhangi ikisi cinsinden ifade edilebilir. bunu göstermeyi sana bırakıyorum

(39.22)

MSS'de tüm kuvvetlerin parçalara bölünmesi gelenekseldir. harici Ve dahili.

Dış kuvvetler sürekli bir ortamın diğer cisimlerle etkileşimi sonucu ortaya çıkar. Bu tür kuvvetler momentumda bir değişikliğe neden olur veya neden olabilir ve kinetik enerji tahsis edilen hacim. Tipik bir örnek dış güç Dünya yüzeyine yakın bulunan nesneler için yer çekimi gücü- yer çekimi.

İç kuvvetler sürekli bir ortamın elemanlarının etkileşimi sonucu ortaya çıkar. Bu hacmin hareket miktarını değiştiremezler, dolayısıyla içindeki her iç kuvvet, eşit büyüklükte dengelenir. manevi güç sahip olmak ters yön. Aynı zamanda, iç kuvvetlerin çalışması kinetiği değiştirebilir ve (veya) potansiyel enerji söz konusu vücudun hacmi. İç kuvvetlere örnek olarak, belirli bir sıvı hacmi içinde oluşturulmuş bir yüzeye etki eden basınç kuvveti; Hareket eden sıvı katmanları arasındaki sürtünme kuvveti.

Dış ve Iç kuvvetler olabilir hacimsel (kütle) Ve yüzeysel .

Hacimsel (kütle) kuvvetlerin büyüklüğü, etki ettikleri sıvı veya gazın hacmi (kütlesi) ile orantılıdır. Hacimsel (kütle) kuvvetin bir özelliği, bu kuvvetin uzaydaki dağılım yoğunluğudur. Bu vektör miktarı birim hacim (kütle) - ivme başına etki eden kuvvete eşittir. Örnek olarak yer çekimini ele alalım. Dağılım yoğunluğu ivmeye eşit büyüklükte bir vektördür serbest düşüş. X ve y eksenlerini yatay ve z'yi dikey olarak yukarı doğru alırsak, g = 9,81 m/s 2 olan yerçekimi dağılım yoğunluğunu buluruz. - yerçekimi ivmesi. Bu durumda ağırlığın hacmi şuna eşittir:

. (1.5.1)

Fiziksel olarak yüzey kuvvetleri, yüzey boyunca yer alan moleküllerin kısa mesafeli etkileşim kuvvetlerinden kaynaklanır. farklı taraflar söz konusu yüzeyden ve moleküllerin termal hareketleri sırasında bu yüzeyden transferi. Özellikler yüzey kuvveti yüzey üzerindeki dağılımına denir Gerilim.

Gerilim. Normal olan, keyfi olarak yönlendirilmiş bir alan üzerindeki sürekli bir ortamın bir bölümünde, bir stres vektörü etki eder (Şekil 1.10). İki bileşene ayrılabilir normal voltaj ve - teğet Bu sitedeki voltaj. Saha normal koordinat ekseni düzleminde yer alıyorsa, voltaj üç miktarla belirlenir - karşılık gelen eksenlere yapılan projeksiyonlar (Şekil 1.11). Eksenlere normal alanlardaki gerilimler aşağıdaki ilişkiyle belirlenir:

Şekil.1.10 Şekil.1.11

Haydi düşünelim süreklilik temel hacim bir kuvvet tetrahedronudur (Şekil 1.12). Üç yüzü ait koordinat düzlemleri ve dördüncüsü normaldir. Etki eden voltaj üç projeksiyonla karakterize edilebilir: p nx, p ny ve p nz koordinat eksenleri x, y ve z'dir ve alanın normal yönüne bağlıdır.

.

İlk indeks sitenin yönünü, ikincisi ise tasarım eksenini gösterir.

Newton'un ikinci yasasını uygulayalım (kuvvet = kütle çarpı ivme):

Aldığımızı dikkate alarak her şeyi sınıra kadar bölelim ve geçelim. Cauchy formülleri içinden geçen keyfi olarak yönlendirilmiş bir alan üzerindeki stres için bu nokta:

(1.5.2)

Dört yüzlüyü zorla. Şekil 1.12

Lütfen bunu not al bu ifade 3x3'lük bir matris ve birim normal vektör tarafından tanımlanan belirli bir nesnenin ürünüdür. Bu nesneye denir Gerilme tensörü:

(1.5.3)

Tetrahedronun üç temel denge denklemini - üç moment denklemini - oluşturmak. Bunu kütle merkezinden (koordinatlı nokta) geçen eksenlere göre yapmak uygundur. Bu durumda 12 gerilimin denklemlerinde sadece iki teğet mevcut olacak, geri kalanı ya seçilen eksene paralel olacak ya da onun içinden geçecektir. Sonuç olarak elde ederiz

bu eşitlikler teğetsel gerilimlerin karşılıklılık yasasını ifade eder ve gerilim tensörünün kendisi simetriktir.

Böylece, Sürekli bir ortamın herhangi bir noktadaki gerilimli durumu, simetrik tensörü oluşturan altı gerilim değeriyle benzersiz bir şekilde belirlenir.

Dört yüzlünün yüzü yüzeyle çakışıyorsa sağlam, bu durumda stres vektörünün izdüşümleri dış yükün izdüşümleriyle çakışır

(1.5.5)

Gerilim tensörü simetrik olduğundan her zaman diyagonal bir forma sahip olacağı bir koordinat sistemi seçebilirsiniz. Bunu yapmak için karar vermek gerekir karakteristik (laik) denklem:

. (1.5.6)

Karakteristik denklemin çözümü üç büyüklüktür. ana stresler, ve normallerin etki ettikleri alanlara doğru yönleri sistemin stres durumunun ana eksenleri.

Sonsuz küçük parçayı düşünün dS(Şekil 1.12), projeksiyonu eksen üzerinde Kartezyen sistem koordinatlar dx, dy, dz. Deformasyon sırasında M noktasının kaymasına izin verin ve yer değiştirmesinin izdüşümleri . Esneklik teorisi deformasyonları ve yer değiştirmeleri dikkate alır; çarpımlarının ve karelerinin ihmal edilebileceği miktarlar. O zaman M' noktasının yer değiştirmesinin izdüşümleri şöyle olacaktır:

(1.5.7)

Projeksiyonlar dS*, segmentin içine girdiği yer dS deformasyondan sonra:

İkinci dereceden terimleri hesaplayıp çıkardığımızda şunu elde ederiz:

(1.5.9)

Bu altı miktar, cismin deformasyon durumunu tam olarak karakterize eder ve deformasyon tensörünü oluşturur:

(1.5.10)

Bu niceliklerin fiziksel anlamlarına bakalım. Segmentin göreceli uzamasını tanıtalım

Daha sonra küçük deformasyonlar için

veya projeksiyonlarda

Böylece, diyagonal bileşenler, deformasyondan önce koordinat eksenlerine paralel olan sonsuz küçük parçaların göreceli uzamalarının iki katına eşittir.

Deformasyon sırasında açıların nasıl değiştiğini düşünelim. Hadi bir uçağa binelim 0zy(Şekil 1.13) ve bölümler arasındaki başlangıçta dik açının nasıl değiştiğini görün ölmek Ve dz. İkinci dereceden sonsuz küçüklere doğru bu açının şu şekilde değişeceği görülebilir: .

Böylece köşegen dışı bileşenler başlangıçtaki değişimin büyüklüğüdür. dik açı deformasyondan sonra karşılık gelen sonsuz küçük parçalar arasında. , , miktarlarına genellikle denir vardiyalar.

Deformasyon tensörünün son hali şöyledir:

(1.5.14)

Gösterime girersek, yer değiştirmeler ile gerinim tensörünün bileşenleri arasındaki ilişkiyi kaydetmenin bir biçimini elde ederiz ( Cauchy ilişkileri):

. (1.5.15)

Gerinim tensörü ve gerilim tensörü benzerdir, bu bize şunları tanımlamamızı sağlar: önemli özellikler deforme olmuş durum.

Vücutta deformasyonlarla orantılı gerilimler oluşsun,

(1.5.16)

Gerilimli durumun her noktası için, temel gerilimlerin gerçekleştiği alanların bu tür yönelimlerinin olduğu gösterilmiştir. Daha sonra:

(1.5.17)

Böylece deforme olmuş bir gövdede, aralarındaki kaymalar sıfıra eşit olan üç yön vardır. Bu yönler boyunca çizilen doğrulara denir deforme olabilir durumun ana eksenleri Bu noktada. Bu yönlerdeki bağıl uzamalara denir. ana uzantılar:

Değiştirme işlemini gerçekleştirdikten sonra karakteristik denklem, aynı şeyi elde ediyoruz kübik denklem

(1.5.19)

Laik denklemdeki formüller (1.5.19) ile belirlenen katsayılara denir. deformasyon tensörünün değişmezleri.

Gerilme tensörü ile gerinim tensörü arasındaki ilişki belirler fiziksel model süreklilik (reolojisi). Özellikle izotropik elastik cisimlerin modelinde, dersten bilinen genelleştirilmiş Hooke yasasının malzemelerin mukavemetine ilişkin ilişkileri yer almaktadır. İÇİNDE kabul edilen notasyonlar Gerilme ve gerinim tensörlerinin bileşenleri aşağıdaki gibidir:

(1.5.20)

Burada e Ve G- Young modülü (boyuna elastisite modülü) ve kayma, n - Poisson oranı. İyi bilinen bir bağımlılıkla bağlanırlar .

Elastisite teorisindeki problemlerin çözümü sırasında, gerilmeler deformasyon cinsinden ifade edildiğinde ters ilişkilere ihtiyaç duyulur. Bu durumda elde ederiz

, (1.5.21)

Akışkan ortam durumunda, gerilim ve gerinim tensörleri arasında hiçbir bağlantı yoktur. Ve gerinim oranı tensörü dikkate alınır:

Süreklilik modeli ise gerilim tensörü ile gerinim oranı tensörü arasındaki ilişkiyle belirlenir. Böylece Newton tipi sıvılar için genelleştirilmiş Newton yasası adı verilen bir ilişki kullanılır:

(1.5.23)

En basit model “ideal” akışkan modelidir:

(1.5.24)

Deneysel veriler ve genel fiziksel kavramlar şunu göstermektedir: en yüksek sıcaklıklar ve basınçlar göz önüne alındığında, herhangi bir ortam pratik olarak ideal bir sıvının özelliklerine sahiptir..

Gerilme tensörü

Deformasyon tensörü, bir cismin deformasyonunu kinematik açıdan, yani buna yol açan sebeplerden bağımsız olarak tanımlar. Bu nedenleri (vücuda etki eden kuvvetler) dikkate almak için, stres kavramını bir parçanın birim kesit alanı başına etki eden kuvvet olarak tanımlamak gerekir. Deforme olabilen bir cismin bu noktadan geçen düz bir dilimini ele alalım. P normal ile N. İzin vermek F- A düzleminin bir nokta içeren küçük bir bölümüne etki eden kuvvet P.

O zaman limit mevcuttur ve bu noktadaki stres olarak adlandırılır. P vektör boyunca N. Gerilimi isteğe bağlı bir yönde belirlemek için, gerilimi isteğe bağlı bir yönde ayarlayan bir gerilim tensörü kullanılır. N Nasıl tn = N. Çoğu malzeme için tensör simetrik bir matris ile belirlenir. Fiziksel anlam Gerilim tensörü, koordinat düzlemlerine paralel dilimlerin örneğiyle gösterilmektedir (Şekil 31).

Genelleştirilmiş Hooke yasası, sertlik ve esneklik matrisleri

Önceki dersimizde deforme olmayan katı bir cismin hareket dinamiğine baktık. Bilindiği gibi doğrusal ve doğrusal ilişkileri ilişkilendiren Newton-Euler denklemleri (Newton'un ikinci yasasını temel alan) ile tanımlanır. açısal ivme kütle ve atalet tensörü aracılığıyla ona etki eden kuvvetler ile gövde. Esneklik teorisi problemlerinde benzer bir rol genelleştirilmiş Hooke yasası tarafından oynanır. 17. yüzyılda İngiliz matematikçi Hooke tarafından keşfedilen ince bir çubuk için esneme kanunu F = kx formundadır; burada F çubuğa etki eden kuvvet, x esneme değeri ve k esneklik katsayısıdır. Esneklik katsayısının değeri aşağıdakilerle ilişkilendirilebilir: Fiziksel Boyutlarçubuk şu şekildedir: k = ES/L, burada S çubuğun kesit alanıdır, L uzunluğudur ve E Young modülüdür. Bağıl uzama x/L ve normal gerilme kavramlarının tanıtılmasıyla birlikte enine kesit= F/S Hooke yasası E formunu alır. Zaten bildiğimiz gibi, genel durumda gerilim ve gerinim 3x3 boyutunda simetrik tensörler tarafından belirlenir. Bununla birlikte, bu tensör varlıkları arasında, Hooke'un genelleştirilmiş yasası olarak adlandırılan, skaler varlıklar arasında olduğu gibi aynı doğrusal ilişki geçerlidir: . Tensör dördüncü sıra C bu formülde 81 katsayı (34) belirtilmiştir ancak her biri altı ile belirlenen simetrik 3x3 matrisleri birbirine bağladığı için skaler büyüklükler 6x6 sertlik matrisi olarak temsil edilebilir D gerinim vektörünü stres vektörüne bağlayan

Bu doğrusal ilişki küçük deformasyonlar için geçerlidir. ters matris sertlik matrisine ( D-1) esneklik matrisi olarak adlandırılır. Sertlik (esneklik) matrisinin tamamen malzemenin özelliklerine göre belirlendiğini ve gövde üzerindeki belirli yüklere bağlı olmadığını unutmayın. Bir malzemenin elastik özellikleri, belirli yönlerde ölçülen iki parametre kullanılarak açıklanabilir: Stresin iç gerinime oranını belirleyen Young modülü E ve göreceli enine daralmanın göreceli uzunlamasına uzamaya oranını karakterize eden Poisson oranı n. Doğrusal elastik için izotropik malzemeler(metaller, cam, polipropilen ve polietilen, kauçuk gibi - küçük deformasyonlar durumunda) Young modülü ve Poisson oranı, ölçüm yönüne ve noktasına bağlı olmayan sabitlerdir ve sertlik matrisi aşağıdaki forma sahiptir.