સમીકરણ શું છે?

જેઓ બીજગણિતમાં તેમના પ્રથમ પગલાં લઈ રહ્યા છે, અલબત્ત, સામગ્રીની સૌથી વધુ ક્રમબદ્ધ રજૂઆતની જરૂર છે. તેથી, સમીકરણ શું છે તે વિશેના અમારા લેખમાં, અમે ફક્ત વ્યાખ્યા જ નહીં, પણ આપીશું વિવિધ વર્ગીકરણઉદાહરણો સાથે સમીકરણો.

સમીકરણ શું છે: સામાન્ય ખ્યાલો

તેથી, સમીકરણ એ અજાણ્યા સાથે સમાનતાનો એક પ્રકાર છે, જે લેટિન અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. જેમાં સંખ્યાત્મક મૂલ્યઆપેલ પત્રનો, જે અમને યોગ્ય સમાનતા મેળવવા માટે પરવાનગી આપે છે, તેને સમીકરણનું મૂળ કહેવામાં આવે છે, તમે અમારા લેખમાં આ વિશે વધુ વાંચી શકો છો, પરંતુ અમે સમીકરણો વિશે વાત કરવાનું ચાલુ રાખીશું. સમીકરણ (અથવા ચલો) ની દલીલો અજ્ઞાત છે, અને સમીકરણનો ઉકેલ તેના તમામ મૂળ અથવા મૂળની ગેરહાજરી શોધે છે.

સમીકરણોના પ્રકાર

સમીકરણો બે ભાગમાં વહેંચાયેલા છે મોટા જૂથો: બીજગણિતીય અને ગુણાતીત.

• બીજગણિતીય સમીકરણ એ એક છે જેમાં માત્ર બીજગણિત કામગીરી- 4 અંકગણિત, તેમજ ઘાતીકરણ અને કુદરતી મૂળ નિષ્કર્ષણ.
• અતીન્દ્રિય સમીકરણ એ એક સમીકરણ છે જેમાં મૂળ શોધવા માટે બિન-બીજગણિત કાર્યોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે: ઉદાહરણ તરીકે, ત્રિકોણમિતિ, લઘુગણક અને અન્ય.

બીજગણિત સમીકરણોમાં પણ છે:

• જથ્થાબંધ - આખાના બનેલા બંને ભાગો સાથે બીજગણિતીય અભિવ્યક્તિઓઅજાણ્યા સંબંધમાં;
• અપૂર્ણાંક - અંશ અને છેદમાં પૂર્ણાંક બીજગણિત અભિવ્યક્તિઓ ધરાવે છે;
• અતાર્કિક - બીજગણિત અભિવ્યક્તિઓ અહીં મૂળ ચિહ્ન હેઠળ છે.

એ પણ નોંધ કરો કે અપૂર્ણાંક અને અતાર્કિક સમીકરણોસમગ્ર સમીકરણો ઉકેલવા માટે ઘટાડી શકાય છે.

અતીન્દ્રિય સમીકરણો આમાં વહેંચાયેલા છે:

• ઘાતાંકીય સમીકરણો એવા સમીકરણો છે જેમાં ઘાતાંક તરીકે ચલ હોય છે. તેઓ એક આધાર અથવા ઘાતાંક પર ખસેડીને, લઈને ઉકેલવામાં આવે છે સામાન્ય ગુણકકૌંસની બહાર, પરિબળીકરણ અને કેટલીક અન્ય પદ્ધતિઓ દ્વારા;
• લઘુગણક - લઘુગણક સાથેના સમીકરણો, એટલે કે સમીકરણો જ્યાં અજાણ્યાઓ લઘુગણકની અંદર હોય છે. આવા સમીકરણો ઉકેલવા ખૂબ જ મુશ્કેલ છે (કહો, મોટાભાગના બીજગણિતીય સમીકરણોથી વિપરીત), કારણ કે આ માટે નક્કર આવશ્યકતા છે ગણિતની તાલીમ. અહીં સૌથી મહત્વની બાબત એ છે કે લઘુગણક સાથેના સમીકરણમાંથી તેમના વિનાના સમીકરણ તરફ જવું, એટલે કે સમીકરણને સરળ બનાવવું (લોગરિધમ્સને દૂર કરવાની આ પદ્ધતિને પોટેન્શિએશન કહેવામાં આવે છે). અલબત્ત, સક્ષમ કરો લઘુગણક સમીકરણજો તેમની પાસે સમાન સંખ્યાત્મક પાયા હોય અને ગુણાંક ન હોય તો જ શક્ય છે;
• ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના ચિહ્નો હેઠળના ચલો સાથેના સમીકરણો છે. તેમના ઉકેલ માટે ત્રિકોણમિતિ કાર્યોની પ્રારંભિક નિપુણતાની જરૂર છે;
• મિશ્ર છે વિભેદક સમીકરણોવિવિધ પ્રકારનાં ભાગો સાથે (ઉદાહરણ તરીકે, પેરાબોલિક અને લંબગોળ ભાગો અથવા લંબગોળ અને હાયપરબોલિક, વગેરે).

અજાણ્યાઓની સંખ્યા દ્વારા વર્ગીકરણ માટે, બધું સરળ છે: એક, બે, ત્રણ અને તેથી વધુ અજાણ્યા સાથેના સમીકરણોને અલગ પાડવામાં આવે છે. ત્યાં અન્ય વર્ગીકરણ પણ છે, જે બહુપદીની ડાબી બાજુએ આવેલી ડિગ્રી પર આધારિત છે. આના આધારે, રેખીય, ચોરસ અને વચ્ચેનો તફાવત બનાવવામાં આવે છે ઘન સમીકરણો. રેખીય સમીકરણોને અનુક્રમે 1લી ડિગ્રી, ચતુર્ભુજ - 2જી અને ઘન, અનુક્રમે, 3જીના સમીકરણો પણ કહી શકાય. સારું, હવે ચાલો એક અથવા બીજા જૂથના સમીકરણોના ઉદાહરણો આપીએ.

વિવિધ પ્રકારના સમીકરણોના ઉદાહરણો

બીજગણિત સમીકરણોના ઉદાહરણો:

• ax + b = 0
• ax 3 + bx 2 + cx+ d= 0
• ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a= 0
  (a 0 ની બરાબર નથી)

અતીન્દ્રિય સમીકરણોના ઉદાહરણો:

• cos x = x લોગ x = x−5 2 x = logx+x 5 +40

સમગ્ર સમીકરણોના ઉદાહરણો:

• (2+x)2 = (2+x)(55x-4) (x2-12x+10)4 = (3x+10)4 (4x2+3x-10)2=9x4

અપૂર્ણાંક સમીકરણોનું ઉદાહરણ:

• 15 x + — = 5x - 17 x

અતાર્કિક સમીકરણોનું ઉદાહરણ:

• √2kf(x)=g(x)

રેખીય સમીકરણોના ઉદાહરણો:

• 2x+7=0 x - 3 = 2 - 4x 2x+3=5x+5 - 3x - 2

ચતુર્ભુજ સમીકરણોના ઉદાહરણો:

• x 2 +5x−7= 0 3x 2 +5x−7= 0 11x 2 −7x+3 = 0

ઘન સમીકરણોના ઉદાહરણો:

• x 3 -9x 2 -46x+120=0 x 3 - 4x 2 + x + 6 = 0

ઘાતાંકીય સમીકરણોના ઉદાહરણો:

• 5 x+2 = 125 3 x 2 x = 8 x+3 3 2x +4 3 x -5 = 0

લઘુગણક સમીકરણોના ઉદાહરણો:

• લોગ 2 x= 3 લોગ 3 x= -1

ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોના ઉદાહરણો:

• 3sin 2 x + 4sin x cosx + cos 2 x = 2 sin(5x+π/4) = ctg(2x-π/3) sinx + cos 2 x + tan 3 x = ctg 4 x

મિશ્ર સમીકરણોના ઉદાહરણો:

• લોગ x (લોગ 9 (4⋅3 x −3))=1 |5x−8|+|2⋅5x+3|=13

સમીકરણો ઉકેલવા માટે તે ઉમેરવાનું બાકી છે વિવિધ પ્રકારોસૌથી વધુ વિવિધ પદ્ધતિઓ. ઠીક છે, લગભગ કોઈપણ સમીકરણોને ઉકેલવા માટે, તમારે માત્ર બીજગણિતનું જ નહીં, પણ ત્રિકોણમિતિનું પણ જ્ઞાન અને ઘણી વખત ખૂબ ઊંડા જ્ઞાનની જરૂર પડશે.

સમીકરણો

સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા?

આ વિભાગમાં આપણે યાદ રાખીશું (અથવા અભ્યાસ, કોના પર આધાર રાખીને) સૌથી વધુ પ્રાથમિક સમીકરણો. તો સમીકરણ શું છે? બોલતા માનવ ભાષા, આ એક પ્રકારની ગાણિતિક અભિવ્યક્તિ છે જ્યાં એક સમાન ચિહ્ન અને અજાણ્યા છે. જે સામાન્ય રીતે અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે "X". સમીકરણ ઉકેલો- આ x ના આવા મૂલ્યો શોધવાનું છે કે, જ્યારે માં બદલાય છે મૂળઅભિવ્યક્તિ આપણને સાચી ઓળખ આપશે. ચાલો હું તમને યાદ અપાવી દઉં કે ઓળખ એ એક અભિવ્યક્તિ છે જે એવી વ્યક્તિમાં પણ શંકા પેદા કરતી નથી કે જે બિલકુલ બોજ ન હોય. ગાણિતિક જ્ઞાન. જેમ કે 2=2, 0=0, ab=ab, વગેરે. તો સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા?ચાલો તેને આકૃતિ કરીએ.

ત્યાં તમામ પ્રકારના સમીકરણો છે (હું આશ્ચર્યચકિત છું, બરાબર?). પરંતુ તેમની તમામ અનંત વિવિધતાને માત્ર ચાર પ્રકારોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે.

4. અન્ય.)

બાકીના બધા, અલબત્ત, સૌથી વધુ, હા...) આમાં ઘન, ઘાતાંકીય, લઘુગણક, ત્રિકોણમિતિ અને અન્ય તમામ પ્રકારના સમાવેશ થાય છે. અમે યોગ્ય વિભાગોમાં તેમની સાથે નજીકથી કામ કરીશું.

હું તરત જ કહીશ કે કેટલીકવાર પ્રથમના સમીકરણો ત્રણ પ્રકારતેઓ તમને એટલી બધી છેતરશે કે તમે તેમને ઓળખી પણ શકશો નહીં... કંઈ નહીં. અમે તેમને કેવી રીતે આરામ કરવો તે શીખીશું.

અને આપણને આ ચાર પ્રકારની શા માટે જરૂર છે? અને પછી શું રેખીય સમીકરણોએક રીતે ઉકેલાય છે ચોરસઅન્ય અપૂર્ણાંક તર્કસંગત - ત્રીજું,એ આરામતેઓ બિલકુલ હિંમત કરતા નથી! ઠીક છે, એવું નથી કે તેઓ બિલકુલ નક્કી કરી શકતા નથી, તે એ છે કે હું ગણિતમાં ખોટો હતો.) તે માત્ર એટલું જ છે કે તેમની પોતાની વિશિષ્ટ તકનીકો અને પદ્ધતિઓ છે.

પરંતુ કોઈપણ માટે (હું પુનરાવર્તન કરું છું - માટે કોઈપણ!) સમીકરણો ઉકેલવા માટે વિશ્વસનીય અને નિષ્ફળ-સલામત આધાર પૂરો પાડે છે. દરેક જગ્યાએ અને હંમેશા કામ કરે છે. આ ફાઉન્ડેશન - ડરામણી લાગે છે, પરંતુ તે ખૂબ જ સરળ છે. અને ખૂબ (ખૂબ!)મહત્વપૂર્ણ

વાસ્તવમાં, સમીકરણના ઉકેલમાં આ ખૂબ જ પરિવર્તનનો સમાવેશ થાય છે. 99% પ્રશ્નનો જવાબ: " સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા?" આ પરિવર્તનોમાં ચોક્કસપણે આવેલું છે. શું સંકેત સ્પષ્ટ છે?)

સમીકરણોના સમાન પરિવર્તનો.

IN કોઈપણ સમીકરણોઅજાણ્યાને શોધવા માટે તમારે રૂપાંતર અને સરળ બનાવવાની જરૂર છે મૂળ ઉદાહરણ. અને તેથી જ્યારે બદલાતી રહે છે દેખાવ સમીકરણનો સાર બદલાયો નથી.આવા પરિવર્તનો કહેવામાં આવે છે સમાનઅથવા સમકક્ષ.

નોંધ કરો કે આ પરિવર્તનો લાગુ પડે છે ખાસ કરીને સમીકરણો માટે.ગણિતમાં ઓળખ પરિવર્તન પણ છે અભિવ્યક્તિઓઆ બીજો વિષય છે.

હવે આપણે બધા, બધા, બધા મૂળભૂત પુનરાવર્તન કરીશું ઓળખ પરિવર્તનસમીકરણો

મૂળભૂત કારણ કે તેઓ લાગુ કરી શકાય છે કોઈપણસમીકરણો - રેખીય, ચતુર્ભુજ, અપૂર્ણાંક, ત્રિકોણમિતિ, ઘાતાંકીય, લઘુગણક, વગેરે. અને તેથી વધુ.

પ્રથમ ઓળખ પરિવર્તન: તમે કોઈપણ સમીકરણની બંને બાજુ ઉમેરી (બાદબાકી) કરી શકો છો કોઈપણ(પરંતુ એક અને સમાન!) સંખ્યા અથવા અભિવ્યક્તિ (અજ્ઞાત સાથેની અભિવ્યક્તિ સહિત!). આનાથી સમીકરણનો સાર બદલાતો નથી.

માર્ગ દ્વારા, તમે સતત આ રૂપાંતરણનો ઉપયોગ કર્યો હતો, તમે હમણાં જ વિચાર્યું છે કે તમે ચિહ્નના ફેરફાર સાથે સમીકરણના એક ભાગમાંથી બીજા ભાગમાં કેટલાક શબ્દો સ્થાનાંતરિત કરી રહ્યાં છો. પ્રકાર:

કેસ પરિચિત છે, અમે બેને જમણી તરફ ખસેડીએ છીએ, અને અમને મળે છે:

ખરેખર તમે દૂર લઈ જવામાં આવે છેસમીકરણની બંને બાજુથી બે છે. પરિણામ સમાન છે:

x+2 - 2 = 3 - 2

ચિહ્નના ફેરફાર સાથે શબ્દોને ડાબે અને જમણે ખસેડવું એ પ્રથમ ઓળખ પરિવર્તનનું ટૂંકું સંસ્કરણ છે. અને શા માટે આપણને આવા ઊંડા જ્ઞાનની જરૂર છે? - તમે પૂછો. સમીકરણોમાં કંઈ નથી. ભગવાનની ખાતર, સહન કરો. ફક્ત ચિહ્ન બદલવાનું ભૂલશો નહીં. પરંતુ અસમાનતામાં, સ્થાનાંતરણની આદત મૃત અંત તરફ દોરી શકે છે ...

બીજું ઓળખ પરિવર્તન: સમીકરણની બંને બાજુઓ એક જ વસ્તુ દ્વારા ગુણાકાર (વિભાજિત) કરી શકાય છે બિન-શૂન્યસંખ્યા અથવા અભિવ્યક્તિ. અહીં એક સમજી શકાય તેવી મર્યાદા પહેલેથી જ દેખાય છે: શૂન્ય વડે ગુણાકાર કરવો મૂર્ખ છે, અને ભાગાકાર સંપૂર્ણપણે અશક્ય છે. આ તે પરિવર્તન છે જેનો તમે ઉપયોગ કરો છો જ્યારે તમે કંઈક સરસ ઉકેલો છો

તે સ્પષ્ટ છે એક્સ= 2. તમને તે કેવી રીતે મળ્યું? પસંદગી દ્વારા? અથવા તે તમારા પર માત્ર પરોઢ હતી? પસંદ ન કરવા અને આંતરદૃષ્ટિની રાહ ન જોવા માટે, તમારે સમજવું જરૂરી છે કે તમે ન્યાયી છો સમીકરણની બંને બાજુઓ વિભાજિત 5 વડે. ડાબી બાજુ (5x) ને વિભાજીત કરતી વખતે, શુદ્ધ X છોડીને, પાંચ ઘટાડવામાં આવ્યા હતા. જેની અમને જરૂર હતી તે બરાબર છે. અને (10) ની જમણી બાજુને પાંચ વડે વિભાજીત કરતી વખતે, પરિણામ, અલબત્ત, બે છે.

બસ એટલું જ.

તે રમુજી છે, પરંતુ આ બે (માત્ર બે!) સમાન પરિવર્તનો ઉકેલનો આધાર છે ગણિતના તમામ સમીકરણો.વાહ! શું અને કેવી રીતે, તેના ઉદાહરણો જોવાનો અર્થ થાય છે?)

સમીકરણોના સમાન પરિવર્તનના ઉદાહરણો. મુખ્ય સમસ્યાઓ.

સાથે શરૂઆત કરીએ પ્રથમઓળખ પરિવર્તન. ડાબે-જમણે સ્થાનાંતરિત કરો.

નાના લોકો માટે એક ઉદાહરણ.)

ચાલો કહીએ કે આપણે નીચેના સમીકરણને હલ કરવાની જરૂર છે:

3-2x=5-3x

ચાલો જોડણી યાદ રાખીએ: "X ની સાથે - ડાબી બાજુ, X વિના - જમણી બાજુ!"આ જોડણી એ પ્રથમ ઓળખ પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરવા માટેની સૂચનાઓ છે.) જમણી બાજુએ X સાથે અભિવ્યક્તિ શું છે? 3x? જવાબ ખોટો છે! અમારી જમણી બાજુએ - 3x! માઈનસત્રણ x! તેથી, જ્યારે ડાબી તરફ જશો, ત્યારે ચિહ્ન પ્લસમાં બદલાશે. તે બહાર આવશે:

3-2x+3x=5

તેથી, X એક ખૂંટોમાં એકત્રિત કરવામાં આવ્યા હતા. ચાલો સંખ્યાઓમાં જઈએ. ડાબી બાજુએ ત્રણ છે. કઈ નિશાની સાથે? જવાબ “કોઈ સાથે” સ્વીકારવામાં આવતો નથી!) ત્રણની સામે, ખરેખર, કંઈ દોરવામાં આવતું નથી. અને આનો અર્થ એ છે કે ત્રણ પહેલા છે વત્તાતેથી ગણિતશાસ્ત્રીઓ સંમત થયા. કંઈ લખ્યું નથી, જેનો અર્થ છે વત્તાતેથી, માં જમણી બાજુટ્રોઇકા ટ્રાન્સફર કરવામાં આવશે માઈનસ સાથે.અમને મળે છે:

-2x+3x=5-3

માત્ર નાની નાની બાબતો બાકી છે. ડાબી બાજુ - સમાન લાવો, જમણી બાજુએ - ગણતરી કરો. જવાબ તરત જ આવે છે:

આ ઉદાહરણમાં, એક ઓળખ પરિવર્તન પૂરતું હતું. બીજાની જરૂર નહોતી. સારું, ઠીક છે.)

મોટા બાળકો માટે એક ઉદાહરણ.)

જો તમને આ સાઈટ ગમે તો...

માર્ગ દ્વારા, મારી પાસે તમારા માટે કેટલીક વધુ રસપ્રદ સાઇટ્સ છે.)

તમે ઉદાહરણો ઉકેલવાની પ્રેક્ટિસ કરી શકો છો અને તમારું સ્તર શોધી શકો છો. ત્વરિત ચકાસણી સાથે પરીક્ષણ. ચાલો શીખીએ - રસ સાથે!)

તમે કાર્યો અને ડેરિવેટિવ્ઝથી પરિચિત થઈ શકો છો.

આપણે સમાનતાની વિભાવનાનો અભ્યાસ કર્યા પછી, એટલે કે તેમના પ્રકારોમાંથી એક - સંખ્યાત્મક સમાનતા, આપણે બીજા મહત્વપૂર્ણ પ્રકાર - સમીકરણો તરફ આગળ વધી શકીએ છીએ. આ સામગ્રીના માળખામાં, અમે સમજાવીશું કે સમીકરણ શું છે અને તેનું મૂળ શું છે, મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ ઘડીશું અને આપીશું વિવિધ ઉદાહરણોસમીકરણો અને તેમના મૂળ શોધવા.

Yandex.RTB R-A-339285-1

સમીકરણનો ખ્યાલ

સામાન્ય રીતે સમીકરણનો ખ્યાલ ખૂબ જ શરૂઆતમાં અભ્યાસ કરવામાં આવે છે શાળા અભ્યાસક્રમબીજગણિત પછી તે આ રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:

વ્યાખ્યા 1

સમીકરણસાથે સમાનતા કહેવાય છે અજાણ્યો નંબર, જે શોધવાની જરૂર છે.

અજાણ્યાઓને નાના તરીકે નિયુક્ત કરવાનો રિવાજ છે લેટિન અક્ષરો સાથે, ઉદાહરણ તરીકે, t, r, m વગેરે, પરંતુ મોટાભાગે x, y, z નો ઉપયોગ થાય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સમીકરણ તેના રેકોર્ડિંગના સ્વરૂપ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, એટલે કે, સમાનતા માત્ર ત્યારે જ સમીકરણ હશે જ્યારે તેને ઘટાડવામાં આવે ચોક્કસ પ્રકાર- તેમાં એક અક્ષર હોવો જોઈએ, જેનો અર્થ શોધવાની જરૂર છે.

ચાલો સરળ સમીકરણોના કેટલાક ઉદાહરણો આપીએ. આ ફોર્મ x = 5, y = 6, વગેરેની સમાનતાઓ હોઈ શકે છે, તેમજ તેમાં સમાવિષ્ટ અંકગણિત કામગીરી, ઉદાહરણ તરીકે, x + 7 = 38, z − 4 = 2, 8 · t = 4, 6: x = 3.

કૌંસની વિભાવના શીખ્યા પછી, કૌંસ સાથેના સમીકરણોનો ખ્યાલ દેખાય છે. આમાં 7 · (x − 1) = 19, x + 6 · (x + 6 · (x − 8)) = 3, વગેરેનો સમાવેશ થાય છે. જે અક્ષર શોધવાની જરૂર છે તે એક કરતા વધુ વખત દેખાઈ શકે છે, પરંતુ ઘણી વખત, જેમ કે , ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 માં. ઉપરાંત, અજાણ્યાઓ ફક્ત ડાબી બાજુએ જ નહીં, પણ જમણી બાજુએ અથવા બંને ભાગોમાં એક જ સમયે સ્થિત હોઈ શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, x (8 + 1) − 7 = 8, 3 − 3 = z + 3 અથવા 8 x − 9 = 2 (x + 17) .

આગળ, વિદ્યાર્થીઓ પૂર્ણાંકોની વિભાવનાથી પરિચિત થયા પછી, વાસ્તવિક, તર્કસંગત, કુદરતી સંખ્યાઓ, તેમજ લઘુગણક, મૂળ અને શક્તિઓ, નવા સમીકરણો દેખાય છે જેમાં આ તમામ પદાર્થોનો સમાવેશ થાય છે. અમે આવા અભિવ્યક્તિઓના ઉદાહરણો માટે એક અલગ લેખ સમર્પિત કર્યો છે.

7મા ધોરણના અભ્યાસક્રમમાં, ચલનો ખ્યાલ પ્રથમ વખત દેખાય છે. આ એવા પત્રો છે જે લઈ શકે છે વિવિધ અર્થો(વધુ વિગતો માટે, સંખ્યાશાસ્ત્ર પરનો લેખ જુઓ, શાબ્દિક અભિવ્યક્તિઓઅને ચલ સાથે અભિવ્યક્તિઓ). આ ખ્યાલના આધારે, આપણે સમીકરણને ફરીથી વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ:

વ્યાખ્યા 2

સમીકરણએક સમાનતા છે જેમાં ચલનો સમાવેશ થાય છે જેના મૂલ્યની ગણતરી કરવાની જરૂર છે.

એટલે કે, ઉદાહરણ તરીકે, અભિવ્યક્તિ x + 3 = 6 x + 7 એ ચલ x સાથેનું સમીકરણ છે અને 3 y − 1 + y = 0 એ ચલ y સાથેનું સમીકરણ છે.

એક સમીકરણમાં એક કરતાં વધુ ચલ હોઈ શકે છે, પરંતુ બે અથવા વધુ. તેમને અનુક્રમે બે, ત્રણ ચલ વગેરે સાથેના સમીકરણો કહેવામાં આવે છે. ચાલો વ્યાખ્યા લખીએ:

વ્યાખ્યા 3

બે (ત્રણ, ચાર અથવા વધુ) ચલો સાથેના સમીકરણો એ સમીકરણો છે જેમાં અજ્ઞાતની અનુરૂપ સંખ્યાનો સમાવેશ થાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ફોર્મ 3, 7 · x + 0, 6 = 1 ની સમાનતા એ એક ચલ x સાથેનું સમીકરણ છે અને x − z = 5 એ બે ચલ x અને z સાથેનું સમીકરણ છે. ત્રણ ચલો સાથેના સમીકરણનું ઉદાહરણ x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26 હશે.

સમીકરણનું મૂળ

જ્યારે આપણે કોઈ સમીકરણ વિશે વાત કરીએ છીએ, ત્યારે તરત જ તેના મૂળના ખ્યાલને વ્યાખ્યાયિત કરવાની જરૂરિયાત ઊભી થાય છે. ચાલો તેનો અર્થ શું છે તે સમજાવવાનો પ્રયાસ કરીએ.

ઉદાહરણ 1

અમને એક ચોક્કસ સમીકરણ આપવામાં આવ્યું છે જેમાં એક ચલનો સમાવેશ થાય છે. જો આપણે તેના બદલે અવેજી અજાણ્યો પત્રસંખ્યા, પછી સમીકરણ સંખ્યાત્મક સમાનતા બની જાય છે - સાચું કે ખોટું. તેથી, જો સમીકરણ a + 1 = 5 માં આપણે અક્ષરને નંબર 2 સાથે બદલીએ, તો સમાનતા ખોટી બનશે, અને જો 4, તો સાચી સમાનતા 4 + 1 = 5 હશે.

અમને તે મૂલ્યોમાં વધુ રસ છે જેની સાથે ચલ સાચી સમાનતામાં ફેરવાશે. તેમને મૂળ અથવા ઉકેલો કહેવામાં આવે છે. ચાલો વ્યાખ્યા લખીએ.

વ્યાખ્યા 4

સમીકરણનું મૂળતેઓ ચલના મૂલ્યને કહે છે જે આપેલ સમીકરણને સાચી સમાનતામાં ફેરવે છે.

રુટને ઉકેલ પણ કહી શકાય, અથવા ઊલટું - આ બંને ખ્યાલોનો અર્થ સમાન છે.

ઉદાહરણ 2

આ વ્યાખ્યાને સ્પષ્ટ કરવા માટે એક ઉદાહરણ લઈએ. ઉપર આપણે સમીકરણ a + 1 = 5 આપ્યું છે. વ્યાખ્યા મુજબ, મૂળ છે આ બાબતે 4 હશે, કારણ કે જ્યારે અક્ષરને બદલે અવેજી કરવામાં આવે છે ત્યારે તે સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતા આપે છે, અને બે ઉકેલ હશે નહીં, કારણ કે તે ખોટી સમાનતા 2 + 1 = 5 સાથે સુસંગત છે.

એક સમીકરણના કેટલા મૂળ હોઈ શકે? શું દરેક સમીકરણનું મૂળ હોય છે? ચાલો આ પ્રશ્નોના જવાબ આપીએ.

એવા સમીકરણો કે જેમાં એક પણ મૂળ નથી. ઉદાહરણ 0 x = 5 હશે. આપણે અનંત ઘણાને બદલી શકીએ છીએ વિવિધ નંબરો, પરંતુ તેમાંથી કોઈ પણ તેને સાચી સમાનતામાં ફેરવશે નહીં, કારણ કે 0 વડે ગુણાકાર કરવાથી હંમેશા 0 મળે છે.

એવા સમીકરણો પણ છે જેનાં અનેક મૂળ છે. તેઓ કાં તો મર્યાદિત અથવા અનંત હોઈ શકે છે મોટી સંખ્યામામૂળ

ઉદાહરણ 3

તેથી, સમીકરણ x − 2 = 4 માં માત્ર એક જ મૂળ છે - છ, x 2 = 9 માં બે મૂળ - ત્રણ અને ઓછા ત્રણ, x · (x − 1) · (x − 2) = 0 ત્રણ મૂળ - શૂન્ય, એક અને બે, સમીકરણ x=x માં અનંત ઘણા મૂળ છે.

હવે ચાલો સમજાવીએ કે સમીકરણના મૂળ કેવી રીતે યોગ્ય રીતે લખવા. જો ત્યાં કોઈ ન હોય, તો અમે લખીએ છીએ: "સમીકરણનું કોઈ મૂળ નથી." આ કિસ્સામાં, તમે ખાલી સેટ ∅ ની નિશાની પણ સૂચવી શકો છો. જો ત્યાં મૂળ હોય, તો અમે તેમને અલ્પવિરામ દ્વારા અલગ કરીને લખીએ છીએ અથવા તેમને સમૂહના ઘટકો તરીકે સૂચવીએ છીએ, તેમને બંધ કરીએ છીએ. કૌંસ. તેથી, જો કોઈપણ સમીકરણમાં ત્રણ મૂળ હોય - 2, 1 અને 5, તો આપણે લખીએ છીએ - 2, 1, 5 અથવા (- 2, 1, 5).

તેને સરળ સમાનતાઓના સ્વરૂપમાં મૂળ લખવાની મંજૂરી છે. તેથી, જો સમીકરણમાં અજ્ઞાત અક્ષર y દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, અને મૂળ 2 અને 7 છે, તો આપણે y = 2 અને y = 7 લખીશું. કેટલીકવાર સબસ્ક્રિપ્ટ્સ અક્ષરોમાં ઉમેરવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, x 1 = 3, x 2 = 5. આ રીતે આપણે મૂળની સંખ્યા તરફ નિર્દેશ કરીએ છીએ. જો સમીકરણમાં અસંખ્ય ઉકેલો છે, તો અમે જવાબ લખીએ છીએ સંખ્યાત્મક અંતરાલઅથવા અમે સામાન્ય રીતે સ્વીકૃત સંકેતોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: કુદરતી સંખ્યાઓનો સમૂહ N દ્વારા, પૂર્ણાંકો Z દ્વારા અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓને R દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. ચાલો કહીએ કે, જો આપણે લખવાની જરૂર હોય કે સમીકરણનો ઉકેલ કોઈપણ પૂર્ણાંક હશે, તો આપણે તે x ∈ Z લખીએ, અને જો એક થી નવ સુધીની કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા હોય, તો y ∈ 1, 9.

જ્યારે સમીકરણમાં બે, ત્રણ અથવા વધુ મૂળ હોય છે, તો પછી, નિયમ તરીકે, આપણે મૂળ વિશે નહીં, પરંતુ સમીકરણના ઉકેલો વિશે વાત કરીએ છીએ. ચાલો આપણે સમીકરણના ઉકેલની વ્યાખ્યા અનેક ચલો સાથે ઘડીએ.

વ્યાખ્યા 5

બે, ત્રણ અથવા વધુ ચલો સાથેના સમીકરણનો ઉકેલ એ ચલોના બે, ત્રણ અથવા વધુ મૂલ્યો છે જે આપેલ સમીકરણને સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતામાં ફેરવે છે.

ચાલો ઉદાહરણો સાથે વ્યાખ્યા સમજાવીએ.

ઉદાહરણ 4

ચાલો કહીએ કે આપણી પાસે x + y = 7 અભિવ્યક્તિ છે, જે બે ચલો સાથેનું સમીકરણ છે. ચાલો પ્રથમને બદલે એક અને બીજાને બદલે બે બદલીએ. આપણને અયોગ્ય સમાનતા મળશે, જેનો અર્થ છે કે મૂલ્યોની આ જોડી ઉકેલ નહીં આવે આપેલ સમીકરણ. જો આપણે જોડી 3 અને 4 લઈએ, તો સમાનતા સાચી બને છે, જેનો અર્થ છે કે આપણે ઉકેલ શોધી લીધો છે.

આવા સમીકરણોનાં કોઈ મૂળ અથવા અનંત સંખ્યા પણ ન હોઈ શકે. જો આપણે બે, ત્રણ, ચાર અથવા વધુ મૂલ્યો લખવાની જરૂર હોય, તો અમે તેમને અલ્પવિરામ દ્વારા અલગ કરીને લખીએ છીએ કૌંસ. એટલે કે, ઉપરના ઉદાહરણમાં, જવાબ (3, 4) જેવો દેખાશે.

વ્યવહારમાં, તમારે મોટેભાગે એક ચલ ધરાવતા સમીકરણો સાથે વ્યવહાર કરવો પડે છે. અમે સમીકરણો ઉકેલવા માટે સમર્પિત લેખમાં વિગતવાર તેમને ઉકેલવા માટેના અલ્ગોરિધમનો વિચાર કરીશું.

જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો

લેખની સામગ્રી

સમીકરણો.સમીકરણ એ ગાણિતિક સંબંધ છે જે બે બીજગણિત સમીકરણોની સમાનતાને વ્યક્ત કરે છે. જો સમાનતા કોઈપણ માટે સાચી છે સ્વીકાર્ય મૂલ્યોતેમાં અજ્ઞાત શામેલ છે, પછી તેને ઓળખ કહેવામાં આવે છે; ઉદાહરણ તરીકે, ફોર્મનો સંબંધ ( x – 1) 2 = (x – 1)(x- 1) ચલના તમામ મૂલ્યો માટે કરવામાં આવે છે x. ઓળખ સૂચવવા માટે, સામાન્ય સમાન ચિહ્ન = ને બદલે, તેઓ ઘણીવાર є ચિહ્ન લખે છે, જે "સમાન સમાન" વાંચે છે. બહુપદીનું અવયવીકરણ લખતી વખતે બીજગણિતમાં ઓળખનો ઉપયોગ થાય છે (ઉપરના ઉદાહરણમાં). તેઓ પાપ 2 જેવા સંબંધોમાં ત્રિકોણમિતિમાં પણ જોવા મળે છે x+ cos 2 x= 1, અને માં સામાન્ય કેસબે મોટે ભાગે અલગ ગાણિતિક અભિવ્યક્તિઓ વચ્ચે ઔપચારિક સંબંધ વ્યક્ત કરો.

જો ચલ ધરાવતું સમીકરણ x, માત્ર ચોક્કસ માટે જ ચલાવવામાં આવે છે, અને તમામ મૂલ્યો માટે નહીં x, ઓળખના કિસ્સામાં, તે મૂલ્યો નક્કી કરવા માટે ઉપયોગી થઈ શકે છે x, જેના માટે આ સમીકરણ માન્ય છે. આવા મૂલ્યો xસમીકરણના મૂળ અથવા ઉકેલો કહેવાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, નંબર 5 એ સમીકરણ 2 નું મૂળ છે x + 7= 17.

સમીકરણો એક શક્તિશાળી ઉકેલ સાધન તરીકે સેવા આપે છે વ્યવહારુ સમસ્યાઓ. ચોક્કસ ભાષાગણિત તમને હકીકતો અને સંબંધોને સરળ રીતે વ્યક્ત કરવાની મંજૂરી આપે છે, જે એકવાર જણાવ્યું હતું સામાન્ય ભાષામાં, ગૂંચવણભર્યું અને જટિલ લાગે શકે છે. અજ્ઞાત જથ્થાઓ, ઉદાહરણ તરીકે, પ્રતીકો દ્વારા સમસ્યામાં સૂચિત x, માં સમસ્યાની રચના કરીને શોધી શકાય છે ગાણિતિક ભાષાસમીકરણોના સ્વરૂપમાં. સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ મુખ્યત્વે ગણિતની તે શાખાનો વિષય છે જેને સમીકરણોનો સિદ્ધાંત કહેવાય છે.

સમીકરણોના પ્રકાર

બીજગણિત સમીકરણો.

ફોર્મના સમીકરણો fn= 0, જ્યાં fn- એક અથવા વધુ ચલોમાં બહુપદી, જેને બીજગણિત સમીકરણો કહેવાય છે. બહુપદી એ સ્વરૂપની અભિવ્યક્તિ છે

fn = a 0 x i y j ... v k + a 1 x l y m ... v n +ј + a s x p y q ... v r,

જ્યાં x, y,..., વિચલ છે, અને i, j,..., આર- ઘાતાંક (પૂર્ણાંકો) બિન-નકારાત્મક સંખ્યાઓ). એક ચલમાં બહુપદી નીચે પ્રમાણે લખાયેલ છે:

f(x) = a 0 x n + a 1 x n – 1 +... + એક એન – 1x + એક એન

અથવા, ખાસ કિસ્સામાં, 3 x 4 – x 3 + 2x 2 + 4x– 1. એક અજાણ્યા સાથેનું બીજગણિતીય સમીકરણ એ ફોર્મનું કોઈપણ સમીકરણ છે f(x) = 0. જો a 0 નંબર 0 પછી nસમીકરણની ડિગ્રી કહેવાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, 2 x+ 3 = 0 – પ્રથમ ડિગ્રીનું સમીકરણ; ફંક્શનનો ગ્રાફ હોવાથી, પ્રથમ ડિગ્રીના સમીકરણોને રેખીય કહેવામાં આવે છે y = કુહાડી + bસીધી રેખા જેવો દેખાય છે. બીજી ડિગ્રીના સમીકરણોને ચતુર્ભુજ કહેવામાં આવે છે, અને ત્રીજા ડિગ્રીના સમીકરણોને ઘન કહેવામાં આવે છે. ઉચ્ચ ડિગ્રીના સમીકરણો પણ સમાન નામ ધરાવે છે.

ગુણાતીત સમીકરણો.

લઘુગણક, ઘાતાંકીય, અથવા જેવા ગુણાતીત કાર્યો ધરાવતા સમીકરણો ત્રિકોણમિતિ કાર્ય, ગુણાતીત કહેવાય છે. એક ઉદાહરણ નીચેના સમીકરણો હશે:

જ્યાં લોગ એ બેઝ 10 માટે લઘુગણક છે.

વિભેદક સમીકરણો.

આ એક અથવા વધુ કાર્યો અને તેમના વ્યુત્પન્ન અથવા તફાવતો ધરાવતા સમીકરણોને આપવામાં આવેલ નામ છે. વિભેદક સમીકરણો કુદરતના નિયમોને સચોટ રીતે ઘડવાનું અત્યંત મૂલ્યવાન માધ્યમ સાબિત થયા છે.

અભિન્ન સમીકરણો.

અવિભાજ્ય ચિહ્ન હેઠળ અજ્ઞાત કાર્ય ધરાવતા સમીકરણો, ઉદાહરણ તરીકે, f (s) = ટી કે (s, t) f(t) તા, ક્યાં f(s) અને કે(s,t) આપવામાં આવે છે, અને f(t) શોધવાની જરૂર છે.

ડાયોફેન્ટાઇન સમીકરણો.

ડાયોફેન્ટાઇન સમીકરણ કહેવામાં આવે છે બીજગણિતીય સમીકરણપૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે બે અથવા વધુ અજાણ્યાઓ સાથે, જેનો ઉકેલ પૂર્ણાંકોમાં માંગવામાં આવે છે અથવા તર્કસંગત સંખ્યાઓ. ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ 3 x – 5y= 1 પાસે ઉકેલ છે x = 7, y= 4; સામાન્ય રીતે, તેના ઉકેલો ફોર્મના પૂર્ણાંકો છે x = 7 + 5n, y = 4 + 3n.

બીજગણિત સમીકરણો ઉકેલવા

ઉપરોક્ત તમામ પ્રકારના સમીકરણો માટે સામાન્ય પદ્ધતિઓકોઈ ઉકેલ નથી. તેમ છતાં ઘણા કિસ્સાઓમાં, ખાસ કરીને ચોક્કસ પ્રકારના બીજગણિત સમીકરણો માટે, ત્યાં પૂરતું છે સંપૂર્ણ સિદ્ધાંતતેમના નિર્ણયો.

રેખીય સમીકરણો.

આ સરળ સમીકરણોને સમકક્ષ સમીકરણમાં ઘટાડીને હલ કરવામાં આવે છે જેમાંથી અજ્ઞાતનું મૂલ્ય તરત જ સ્પષ્ટ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ x+ 2 = 7 ને સમકક્ષ સમીકરણમાં ઘટાડી શકાય છે xજમણી અને ડાબી બાજુઓમાંથી સંખ્યા 2 બાદ કરીને = 5. મિશ્રણ પગલાં સરળ સમીકરણ, દાખ્લા તરીકે, x+ 2 = 7, સમકક્ષ, ચાર સ્વયંસિદ્ધના ઉપયોગ પર આધારિત છે.

1. જો સમાન મૂલ્યોસમાન સંખ્યામાં વધારો, પરિણામો સમાન હશે.

2. જો તમે સમાન જથ્થામાંથી સમાન સંખ્યાને બાદ કરો છો, તો પરિણામો સમાન હશે.

3. જો સમાન મૂલ્યોને સમાન સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે, તો પરિણામો સમાન હશે.

4. જો સમાન જથ્થાઓને સમાન સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે, તો પરિણામો સમાન હશે.

ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ 2 ઉકેલવા માટે x+ 5 = 15, આપણે સ્વયંસિદ્ધ 2 નો ઉપયોગ કરીશું અને જમણી અને ડાબી બાજુઓમાંથી સંખ્યા 5 બાદ કરીશું, પરિણામે સમકક્ષ સમીકરણ 2 આવશે. x= 10. પછી આપણે સ્વયંસિદ્ધ 4 નો ઉપયોગ કરીએ છીએ અને પરિણામી સમીકરણની બંને બાજુઓને 2 વડે વિભાજીત કરીએ છીએ, જેના પરિણામે મૂળ સમીકરણ ફોર્મમાં ઘટે છે. x= 5, જે ઇચ્છિત ઉકેલ છે.

ચતુર્ભુજ સમીકરણો.

સામાન્ય ઉકેલો ચતુર્ભુજ સમીકરણ કુહાડી 2 + bx + c= 0 ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે

આમ, ત્યાં બે ઉકેલો છે, જે ચોક્કસ કિસ્સામાં એકરૂપ થઈ શકે છે.

અન્ય બીજગણિત સમીકરણો.

સ્પષ્ટ સૂત્રો, ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવા માટેના સૂત્ર સમાન, માત્ર ત્રીજા અને ચોથા અંશના સમીકરણો માટે જ લખી શકાય છે. પરંતુ આ સૂત્રો જટિલ છે અને હંમેશા મૂળ શોધવામાં મદદ કરતા નથી. પાંચમી ડિગ્રી અથવા તેનાથી વધુના સમીકરણો માટે, તેમના માટે, એન. એબેલે 1824 માં સાબિત કર્યું હતું, તે સૂચવવું અશક્ય છે સામાન્ય સૂત્ર, જે રેડિકલનો ઉપયોગ કરીને તેના ગુણાંક દ્વારા સમીકરણના મૂળને વ્યક્ત કરશે. કેટલાક ખાસ કિસ્સાઓમાં, સમીકરણો ઉચ્ચ ડિગ્રીઓતેમને ફેક્ટરિંગ દ્વારા સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે ડાબી બાજુ, એટલે કે તેને પરિબળોમાં પરિબળ બનાવવું.

ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ x 3 + 1 = 0 ફેક્ટરાઇઝ્ડ સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે ( x + 1)(x 2 – x+ 1) = 0. આપણે દરેક પરિબળને શૂન્ય સમાન સેટ કરીને ઉકેલો શોધીએ છીએ:

તેથી મૂળ સમાન છે x= –1, એટલે કે માત્ર 3 મૂળ.

જો સમીકરણને પરિબળ બનાવી શકાતું નથી, તો અંદાજિત ઉકેલોનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ. અંદાજિત ઉકેલો શોધવા માટેની મુખ્ય પદ્ધતિઓ હોર્નર, ન્યૂટન અને ગ્રીફે દ્વારા વિકસાવવામાં આવી હતી. જો કે, તમામ કિસ્સાઓમાં મજબૂત વિશ્વાસ છે કે ઉકેલ અસ્તિત્વમાં છે: બીજગણિત સમીકરણ n-મી ડિગ્રી બરાબર છે nમૂળ

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો.

બે અજાણ્યામાં બે રેખીય સમીકરણો આ રીતે લખી શકાય

સમીકરણ એ તમામ ગણિતના પાયાના ખ્યાલોમાંનું એક છે. શાળા અને ઉચ્ચ શિક્ષણ બંને. તે બહાર આકૃતિ અર્થમાં બનાવે છે, અધિકાર? તદુપરાંત, આ એક ખૂબ જ સરળ ખ્યાલ છે. તમારા માટે નીચે જુઓ. :) તો સમીકરણ શું છે?

હકીકત એ છે કે આ શબ્દનું મૂળ “સમાન”, “સમાનતા” શબ્દો જેવું જ છે, મને લાગે છે કે, કોઈના તરફથી કોઈ વાંધો નથી.

સમીકરણ બે છે ગાણિતિક અભિવ્યક્તિઓ, "=" (સમાન) ચિહ્ન દ્વારા જોડાયેલ છે.

પરંતુ... માત્ર કોઈ જ નહીં. અને તે જેમાં (ઓછામાં ઓછું એક) સમાવે છે અજ્ઞાત જથ્થો. અથવા, બીજી રીતે, ચલ મૂલ્ય.અથવા ફક્ત ટૂંકા માટે "ચલ". જે સામાન્ય રીતે અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે "X".

ત્યાં એક ચલ હોઈ શકે છે, ત્યાં ઘણા હોઈ શકે છે. IN શાળા ગણિતસાથે સમીકરણો એકચલ અને અત્યારે આપણે એક ચલ સાથેના સમીકરણોને પણ ધ્યાનમાં લઈશું. બે અથવા વધુ ચલો સાથે - વિશેષ પાઠમાં.

સમીકરણ ઉકેલવાનો અર્થ શું છે?

સમીકરણમાં સમાયેલ ચલ લઈ શકે છે કોઈપણગાણિતિક રીતે સ્વીકાર્ય મૂલ્યો. તેથી જ તે ચલ છે. :) ચલના કેટલાક મૂલ્યો માટે, સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે, પરંતુ અન્ય માટે, તે નથી.

તેથી તે અહીં છે:

સમીકરણ ઉકેલવાનો અર્થ એ છે કે વેરીએબલના આવા તમામ મૂલ્યો શોધવા જે, જ્યારે તેને બદલવામાં આવે મૂળસમીકરણ સાચી સમાનતા હોવાનું બહાર આવ્યું છે. અથવા, વધુ વૈજ્ઞાનિક રીતે, સાચી ઓળખ. અથવા સાબિત કરો કે ચલના આવા મૂલ્યો અસ્તિત્વમાં નથી.

શું થયું છે સાચી સમાનતા?આ એક સમાનતા છે જે એવા વ્યક્તિ માટે પણ શંકાની બહાર છે જે ગાણિતિક જ્ઞાનથી સંપૂર્ણપણે બોજારૂપ નથી. ઉદાહરણ તરીકે, 5=5, 0=0, -10=-10. અને તેથી વધુ. :)

ચલના મૂલ્યો, જેનું અવેજી આ જ વસ્તુ પ્રાપ્ત કરે છે સાચી સમાનતા, ખૂબ જ સુંદર અને વૈજ્ઞાનિક રીતે કહેવામાં આવે છે - સમીકરણના મૂળ.

ત્યાં એક મૂળ હોઈ શકે છે, ત્યાં ઘણા હોઈ શકે છે. અથવા કદાચ અનંત ઘણા મૂળ- એક સંપૂર્ણ અંતરાલ અથવા તો સમગ્ર સંખ્યા રેખા માંથી –∞ પહેલાં +∞ . હા, આવું પણ બને છે! થી બધું ચોક્કસ સમીકરણઆધાર રાખે છે.)

અને એવું પણ બને છે તે પ્રતિબંધિત છે X શોધો જે આપણને સાચી સમાનતા આપશે. સૈદ્ધાંતિક રીતે તે અશક્ય છે. ચોક્કસ કારણોસર. આવા કોઈ એક્સ નથી...

આવા કિસ્સાઓમાં સામાન્ય રીતે એવું કહેવાય છે કે સમીકરણ કોઈ મૂળ નથી.

સમીકરણો શું છે?

પ્રશ્ન રમુજી છે. જીવન માટે! શાળામાં, એક નિયમ તરીકે, સમીકરણો ઉકેલવા માટે જરૂરી છે શબ્દ સમસ્યાઓ . ચાલો હું તમને યાદ કરાવું, આ કામ માટે, રુચિ માટે અને અન્ય ઘણા કાર્યો છે.

અને માં પુખ્ત જીવનસમીકરણો વિના સૌથી સામાન્ય મુદ્દાઓનો પણ જવાબ આપવો અશક્ય છે, પરંતુ તે મહત્વપૂર્ણ છે મહત્વપૂર્ણ પ્રશ્નોરોજિંદા જીવન: આવતીકાલે હવામાન કેવું રહેશે, શું બિલ્ડિંગ આપેલ ભારને ટકી શકે છે. અથવા એલિવેટર. અથવા પ્લેન. રોકેટ ક્યાં અથડાશે... અને હવે કોઈ હવામાનની આગાહી કરનાર નહીં હોય, કોઈ એન્જિનિયર નહીં હોય, કોઈ એકાઉન્ટન્ટ્સ નહીં હોય, કોઈ અર્થશાસ્ત્રી નહીં હોય, અમારી વચ્ચે કોઈ પ્રોગ્રામર નહીં હોય... બિનજરૂરી. શું તે પ્રેરણા આપે છે?)

આવું કેમ છે? પરંતુ કારણ કે સમીકરણો લગભગ દરેક વસ્તુનું વર્ણન કરે છે માણસ માટે જાણીતું કુદરતી ઘટનાઅને પ્રક્રિયાઓ.ઊંચાઈ, કાયદા સાથે હવાના દબાણ અને તાપમાનમાં ફેરફાર સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણબેક્ટેરિયાની વૃદ્ધિ, કિરણોત્સર્ગી સડો, રાસાયણિક પ્રતિક્રિયાઓ, વીજળી, પુરવઠો અને માંગ - તે બધાના હૃદયમાં છે ગાણિતિક સમીકરણો! સરળ, જટિલ - તમામ પ્રકારના. ઘટના અથવા પરિસ્થિતિ ગમે તે હોય, તે સમીકરણ છે.)

તેથી, ચાલો યાદ કરીએ:

સમીકરણો એ વિવિધ પ્રકારની લાગુ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે ખૂબ જ શક્તિશાળી અને બહુમુખી સાધન છે.

સમીકરણો શું છે?

ગણિતમાં અસંખ્ય સમીકરણો છે. સૌથી વધુ વિવિધ પ્રકારો. પરંતુ સમીકરણોની સંપૂર્ણ વિવિધતાને ફક્ત 4 શ્રેણીઓમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:

1. ,

2. ,

3. (અથવા અપૂર્ણાંક તર્કસંગત),

4. અન્ય.

સમીકરણોની વિવિધ શ્રેણીઓ જરૂરી છે અને અલગ અભિગમતેમના ઉકેલ માટે: રેખીય સમીકરણો એક રીતે ઉકેલાય છે, ચતુર્ભુજ સમીકરણો બીજી રીતે, અપૂર્ણાંક સમીકરણો ત્રીજામાં, ત્રિકોણમિતિ, લઘુગણક, ઘાતાંકીય અને અન્ય પણ તેમની પોતાની પદ્ધતિઓ દ્વારા ઉકેલાય છે.

અલબત્ત, બીજા ઘણા સમીકરણો છે, હા...) આ બંને અતાર્કિક અને છે ત્રિકોણમિતિ , અને , અને , અને અન્ય ઘણા સમીકરણો. અને પણ વિભેદક સમીકરણો(વિદ્યાર્થીઓ માટે), જ્યાં અજાણ્યાની ભૂમિકા સંખ્યા દ્વારા નહીં, પરંતુ ભજવવામાં આવે છે કાર્યઅથવા તો ફંક્શનનો પરિવાર. :)

અનુરૂપ પાઠમાં આપણે આ તમામ પ્રકારના સમીકરણોનું વિગતવાર વિશ્લેષણ કરીશું. અને અહીં અમારી પાસે છે - મૂળભૂત તકનીકોઅને નિયમો.

આ નિયમો કહેવામાં આવે છે - સમીકરણોના સમાન (અથવા સમકક્ષ) પરિવર્તન . તેમાંના બે જ છે. અને તેમની આસપાસ કોઈ રસ્તો નથી. તો ચાલો પરિચિત થઈએ!

સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા? સમીકરણોના સમાન (સમાન) રૂપાંતરણ.

ઉકેલ કોઈપણસમીકરણ તેમાં સમાવિષ્ટ અભિવ્યક્તિઓનું પગલું-દર-પગલાં પરિવર્તનનો સમાવેશ કરે છે. પરંતુ માત્ર કોઈ રૂપાંતર જ નહીં, પણ એવું કે પગલુંથી પગલું સમગ્ર સમીકરણનો સાર બદલાયો નથી. એ હકીકત હોવા છતાં કે દરેક રૂપાંતર પછી સમીકરણ બદલાશે અને છેવટે, મૂળથી સંપૂર્ણપણે અલગ થઈ જશે.

ગણિતમાં આવા પરિવર્તનો કહેવામાં આવે છે સમકક્ષઅથવા સમાન. તેમાંના ઘણા બધા છે, પરંતુ સમીકરણોના સમાન રૂપાંતરણોની સંપૂર્ણ વિવિધતા વચ્ચે, એક અલગ છે બે મૂળભૂત. આ પાઠમાં તેમની ચર્ચા કરવામાં આવશે. હા, હા, માત્ર બે! પરંતુ - અત્યંત મહત્વપૂર્ણ! અને તેમાંથી દરેક ખાસ ધ્યાન આપવાનું પાત્ર છે.

આ બે સરખા પરિવર્તનોને એક અથવા બીજા ક્રમમાં લાગુ કરવાથી 99% ગાણિતિક સમીકરણો ઉકેલવામાં સફળતા મળે છે. પ્રલોભન, તે નથી?

તેથી, આગળ વધો!

પ્રથમ ઓળખ પરિવર્તન:

તમે સમીકરણની બંને બાજુએ કોઈપણ (પરંતુ સમાન!) સંખ્યા અથવા અભિવ્યક્તિ (વેરિયેબલ સહિત) ઉમેરી (અથવા બાદબાકી) કરી શકો છો. આનાથી સમીકરણનો સાર બદલાશે નહીં.

તમે આ રૂપાંતરણને દરેક જગ્યાએ લાગુ કરો છો, નિષ્કપટપણે વિચારીને કે તમે સમીકરણના એક ભાગમાંથી બીજા ભાગમાં, સંકેતો બદલતા કેટલાક શબ્દો સ્થાનાંતરિત કરી રહ્યાં છો. :)

ઉદાહરણ તરીકે, આ સરસ સમીકરણ:

અહીં વિચારવા જેવું કંઈ નથી, અમે ત્રણને જમણી તરફ લઈ જઈએ છીએ, બાદબાકીને વત્તામાં બદલીએ છીએ:

પરંતુ ખરેખર શું થઈ રહ્યું છે? પણ વાસ્તવમાં તમે... સમીકરણની બંને બાજુએ ત્રણ ઉમેરો!

અહીં શું ચાલી રહ્યું છે તે છે:

અને પરિણામ સમાન છે:

બસ એટલું જ. ડાબી બાજુએ એક શુદ્ધ X રહે છે (જે આપણે હકીકતમાં હાંસલ કરવાનો પ્રયાસ કરી રહ્યા છીએ), અને જમણી બાજુએ - ગમે તે થાય. પરંતુ સૌથી મહત્વની બાબત એ છે કે ત્રણ ઉમેરવાથી બંને ભાગો માટેસમગ્ર સમીકરણનો સાર બદલાયો નથી!

હકીકત એ છે કે ચિહ્નના ફેરફાર સાથે એક ભાગથી બીજા ભાગમાં શરતોનું સામાન્ય સ્થાનાંતરણ સરળ છે સંક્ષિપ્ત સંસ્કરણપ્રથમ ઓળખ પરિવર્તન.

અને શા માટે આપણે આટલા ઊંડા ખોદવાની જરૂર છે? સમીકરણોમાં કોઈ જરૂર નથી. તેને સરળ લો અને ચિંતા કરશો નહીં. ફક્ત ચિહ્નો બદલવાનું ભૂલશો નહીં.) પરંતુ અસમાનતામાં, સ્થાનાંતરણની આદત થોડી નિરાશાજનક હોઈ શકે છે, હા...

આ પ્રથમ સમાન પરિવર્તન હતું. ચાલો બીજા તરફ આગળ વધીએ.

બીજું ઓળખ પરિવર્તન:

સમીકરણની બંને બાજુઓ સમાન બિન-શૂન્ય સંખ્યા અથવા અભિવ્યક્તિ દ્વારા ગુણાકાર (વિભાજિત) કરી શકાય છે.

જ્યારે આપણે ખરેખર વિલક્ષણ કંઈક ઉકેલીએ છીએ ત્યારે અમે આ સમાન પરિવર્તનનો સતત ઉપયોગ કરીએ છીએ:

તે અહીં દરેક માટે સ્પષ્ટ છે x=3. તમને આ જવાબ કેવી રીતે મળ્યો? શું તમે તેને ઉપાડ્યું? શું તમે અનુમાન લગાવ્યું?

પસંદ ન કરવા અને અનુમાન ન કરવા માટે (અમે ગણિતશાસ્ત્રીઓ છીએ, ભવિષ્ય કહેનારા નથી), તમારે સમજવાની જરૂર છે કે તમે સરળ છો સમીકરણની બંને બાજુઓ વિભાજિતચાર માટે. જે આપણને પરેશાન કરે છે.

આની જેમ:

આ ડિવિઝન સ્ટીકનો અર્થ છે કે તેઓ ચાર દ્વારા વિભાજિત છે. બંને ભાગોઆપણું સમીકરણ. અપૂર્ણાંક દ્વારા આ પ્રક્રિયા આના જેવી દેખાય છે:

ડાબી બાજુએ, ચોગ્ગા સફળતાપૂર્વક ઘટાડવામાં આવે છે, X ને અંદર છોડીને ભવ્ય અલગતા. અને જમણી બાજુએ, જ્યારે 12 ને 4 વડે વિભાજિત કરો, ત્યારે પરિણામ, અલબત્ત, ત્રણ છે. :)

અને આટલું જ.)

તે અદ્ભુત લાગે છે, પરંતુ આ બે (માત્ર બે!) સરળ પરિવર્તનોનિર્ણયનો આધાર બનાવે છે બધા ગણિતના સમીકરણો! હા હા બરાબર દરેક વ્યક્તિ, હું જરાય અતિશયોક્તિ નથી કરતો! શાળામાં રેખીય અને ચતુર્ભુજથી યુનિવર્સિટીમાં વિભેદક સુધી.)

સારું, ચાલો ક્રિયામાં સમીકરણોના સમાન પરિવર્તનો જોઈએ?

સમીકરણો ઉકેલવા માટે ઓળખ પરિવર્તનનો ઉપયોગ.

સાથે શરૂઆત કરીએ પ્રથમઓળખ પરિવર્તન. ડાબે અને જમણે સ્થાનાંતરિત કરો.

નવા નિશાળીયા માટે ઉદાહરણ:

1 – x = 3 – 2x

તે કોઈ જટિલ બાબત નથી. આ . અમે જોડણી અનુસાર સીધા કામ કરીએ છીએ: "X ની ડાબી બાજુએ, X ની જમણી બાજુ વિના."

આ મંત્ર છે સાર્વત્રિક સૂચનાઓપ્રથમ ઓળખ પરિવર્તન લાગુ કરવા પર. તો ચાલો સમીકરણ જોઈએ. X સાથે કયો શબ્દ જમણી બાજુએ છે? શું? 2x? ના!) અમારી જમણી બાજુએ -2x (માઈનસબે x)! તેથી, જ્યારે ડાબી બાજુએ ખસેડવામાં આવે છે, ત્યારે બાદબાકીમાં બદલાઈ જશે વત્તા:

1 - એક્સ +2x = 3

અડધી લડાઈ થઈ ગઈ છે, એક્સ ડાબી બાજુએ એકત્રિત કરવામાં આવ્યા છે. જે બાકી છે તે જમણી બાજુના તમામ નંબરો એકત્રિત કરવાનું છે. સમીકરણની ડાબી બાજુએ એક છે. ફરીથી પ્રશ્ન છે - કયા ચિહ્ન સાથે? જવાબ “કંઈ સાથે” કામ કરતું નથી.) ખરેખર 1 પહેલા ડાબી બાજુ કંઈપણ લખાયેલું નથી. અને આનો અર્થ એ છે કે તેની સામે એક નિશાની છે "વત્તા". આ રીતે તે ગણિતમાં કાર્ય કરે છે: કંઈપણ લખ્યું નથી, જેનો અર્થ છે કે તે એક વત્તા છે.)

અને તેથી એક જમણી તરફ જશે માઈનસ સાથે:

-x + 2x = 3 - 1

તે લગભગ તમામ છે. ડાબી બાજુએ આપણે સમાન રજૂ કરીએ છીએ, અને જમણી બાજુએ આપણે તેમને ગણીએ છીએ. અને અમને મળે છે:

x = 2

તે સંપૂર્ણપણે આદિમ સમીકરણ હતું.

હવે ઉચ્ચ શાળાના વિદ્યાર્થીઓ માટે વધુ સારું ઉદાહરણ:

સમીકરણ ઉકેલો:

સમીકરણ. તો શું? કોણ કાળજી રાખે? કોઈપણ રીતે, પ્રથમ પગલું એ મૂળભૂત ઓળખ પરિવર્તન કરવાનું છે ("X'ની ડાબી બાજુએ..."). આ કરવા માટે, X સાથેનો શબ્દ (એટલે ​​કે, - લોગ 3 x) ડાબી તરફ ખસેડો. ચિહ્ન પરિવર્તન સાથે:

એ સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિ (લોગ 3 4 ) જમણી તરફ ખસેડો. ચિહ્નના ફેરફાર સાથે પણ, અલબત્ત:

બસ એટલું જ. જમણી બાજુએ શુદ્ધ સૂત્ર છે. જેની સાથે મિત્રતા છે તે તેના માથામાં સમીકરણ પૂર્ણ કરશે અને મેળવશે:

x=3

શું? શું તમને સાઈન જોઈએ છે? કૃપા કરીને, અહીં સાઈન છે:

અને ફરીથી બધુ જ સરખુ છે!અમે પ્રથમ સમાન પરિવર્તન કરીએ છીએ - અમે સ્થાનાંતરિત કરીએ છીએ પાપ xડાબી તરફ (માઈનસ સાથે), અને -0.25 જમણી તરફ ખસેડો (વત્તા સાથે):

અમને સૌથી સરળ મળ્યું ત્રિકોણમિતિ સમીકરણસાઈન સાથે, જે (જેઓ જાણે છે તેમના માટે) પણ હલ કરવું મુશ્કેલ નથી.

જુઓ કે પહેલો કેટલો સાર્વત્રિક છે? સમકક્ષ પરિવર્તન! તે દરેક જગ્યાએ અને દરેક જગ્યાએ જોવા મળે છે અને તેની આસપાસ કોઈ રસ્તો નથી... તેથી જ તે આપમેળે અને ભૂલો વિના કરવામાં સક્ષમ બનવું એટલું મહત્વપૂર્ણ છે.

વાસ્તવમાં, તમે અહીં માત્ર એક જ ભૂલ કરી શકો છો - ટ્રાન્સફર કરતી વખતે સાઇન બદલવાનું ભૂલી જાવ. જે દરેક સમયે થાય છે. કોઈએ સતર્કતા રદ કરી નથી, હા...)

સારું, ચાલો આપણી રમતો ચાલુ રાખીએ? ચાલો હવે મજા કરીએ બીજુંપરિવર્તન!)

સમીકરણ ઉકેલો:

7x=28

સરસ વ્યક્તિ, સાચું કહું તો.) ઠીક છે, આ લાગણીઓ છે...

આપણે જોઈએ છીએ અને વિચારીએ છીએ: આ સમીકરણમાં આપણને શું રોકી રહ્યું છે? શું, શું... હા, સાત રસ્તામાં છે! તેણીના છુટકારો મેળવવા માટે તે સરસ રહેશે. હા, જેથી મૂળ સમીકરણ બગડે નહીં.)

પરંતુ કેવી રીતે? જમણે ખસેડો? ઉહ... રોકો! નંબર) એક X સાથે સાત ગુણાકારજોડાયેલ ગુણાંક, તમે જુઓ.) તમે તેને X થી દૂર કરી અને તેને જમણી તરફ ખસેડી શકતા નથી. તે સમગ્ર અભિવ્યક્તિ છે 7xસંપૂર્ણ - કૃપા કરીને (પ્રશ્ન - શા માટે?). પરંતુ સાત અલગ - કોઈ રસ્તો નથી.

ગુણાકાર/ભાગાકાર વિશે યાદ રાખવાનો આ સમય છે! આપણને જવાબમાં શુદ્ધ X જોઈએ છે, નહીં? અને સાત એક અવરોધ છે. તેથી આપણે ડાબી બાજુને સાત વડે વિભાજીત કરીએ છીએ. અમે ગુણાંકમાંથી X "સાફ" કરીએ છીએ. તેથી અમનેજરૂરી પરંતુ પછી જમણી બાજુ પણ સાત દ્વારા વિભાજિત થવી જોઈએ: આ પહેલેથી જ છે ગણિતજરૂરી છે. ત્યાં જે થશે તે ચાલશે. પણ ઉદાહરણ સારું છે. મેં પ્રયત્ન કર્યો.) 28 એ 7 વડે સંપૂર્ણ રીતે વિભાજ્ય છે. તમને 4 મળે છે.

જવાબ: x=4

અથવા આ સમીકરણ:

અમને અહીં શું રોકી રહ્યું છે? અપૂર્ણાંક 1/6 છે, તે નથી? તો ચાલો તેનાથી છુટકારો મેળવીએ. સમીકરણ માટે સલામત.) કેવી રીતે? સારું, તમે તે જ કરી શકો છો - બંને ભાગોને આ જ 1/6 વડે વિભાજીત કરો. પણ મનમાં આ બહુ અનુકૂળ નથી. કેટલાક લોકો મૂંઝવણમાં આવશે ...

પરંતુ આપણે માત્ર ભાગાકાર જ નથી કરતા, આપણે ગુણાકાર કેવી રીતે કરવો તે પણ જાણીએ છીએ!) આપણને યાદ છે જુનિયર વર્ગો, અમારી પાસે શું કાર્યવાહી છે શું અપૂર્ણાંક અદૃશ્ય થઈ જાય છે?અધિકાર! આપણો અંશ જ્યારે અદૃશ્ય થઈ જાય છે ગુણાકારતેના છેદ (અથવા તેના ગુણાંક) સમાન સંખ્યા દ્વારા. તો ચાલો આપણા સમીકરણની બંને બાજુઓને 6 વડે ગુણાકાર કરીએ. ડાબી બાજુએ તમને હજુ પણ શુદ્ધ X મળશે, પરંતુ જમણી બાજુનો 6 વડે ગુણાકાર કરવો એ સૌથી મુશ્કેલ કામ નથી.)

બસ.) ગુણાકાર બંને ભાગોજરૂરી સંખ્યા માટેનું સમીકરણ તમને મધ્યવર્તી ગણતરીઓને બાયપાસ કરીને તરત જ અપૂર્ણાંકથી છુટકારો મેળવવાની મંજૂરી આપે છે, જેમાં, તમે સરળતાથી ભૂલો કરી શકો છો. ટૂંકો રસ્તો - ઓછી ભૂલો!

હવે પાછા ટાઈમ મશીન પર અને - હાઈસ્કૂલમાં:

સમીકરણ ઉકેલો:

એક્સ પર જવા માટે અને ત્યાંથી આ કૂલ ઉકેલો ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ , આપણે સૌપ્રથમ ડાબી બાજુએ કોઈપણ ગુણાંક વિના શુદ્ધ કોસાઈન મેળવવાની જરૂર છે. પરંતુ ડ્યૂસ ​​માર્ગમાં આવે છે. :) તેથી અમે આખી ડાબી બાજુને 2 વડે વિભાજીત કરીએ છીએ:

પરંતુ પછી જમણી બાજુ પણ બે વડે વિભાજિત કરવી પડશે: આ ગણિત માટે જરૂરી છે. વિભાજન:

જમણી બાજુએ મળી કોષ્ટક મૂલ્યકોસાઇન. અને હવે મીઠી આત્મા માટે સમીકરણ ઉકેલાઈ ગયું છે.)

આટલું જ શાણપણ છે. જેમ તમે જોઈ શકો છો, સમીકરણોના સમાન રૂપાંતરણ એ એક ઉપયોગી વસ્તુ છે. અને તે જ સમયે સૌથી મુશ્કેલ નથી. સ્થાનાંતરણ અને ગુણાકાર/ભાગાકાર. જો કે, દરેક જણ પ્રથમ વખત અને ભૂલો વિના સફળ થતું નથી, ઓહ, દરેક જણ નથી... અહીં બે મુખ્ય સમસ્યાઓ છે.

સમસ્યા એક (બિનઅનુભવી માટે):

કેટલીકવાર વિદ્યાર્થી વિચારે છે કે સમીકરણોને સરળ બનાવવું એક સમયે, એકવાર અને બધા માટે કરવામાં આવે છે. સ્થાપિત નિયમ. અને તે ફક્ત આ નિયમને સમજી અને સમજી શકતો નથી: કેટલાક ઉદાહરણોમાં તેઓ ગુણાકાર (અથવા ભાગાકાર) થી શરૂ થાય છે, અન્યમાં તેઓ સ્થાનાંતરણથી શરૂ થાય છે. તેઓ તેને લગભગ ત્રણ વખત સ્થાનાંતરિત કરે છે અને તેને ક્યારેય ગુણાકાર કરતા નથી...

ઉદાહરણ તરીકે, આના જેવું કંઈક રેખીય સમીકરણ:

10x + 5 = 5x – 20

ક્યાંથી શરૂઆત કરવી? તમે ટ્રાન્સફર સાથે પ્રારંભ કરી શકો છો:

10x – 5x = -20 - 5

અથવા તમે પહેલા બંને ભાગોને પાંચ દ્વારા વિભાજીત કરી શકો છો, અને પછી સ્થાનાંતરિત કરી શકો છો. પછી સંખ્યાઓ તરત જ સરળ થઈ જશે:

જેમ આપણે જોઈએ છીએ, આ રીતે અને તે નક્કી કરવું શક્ય છે. અને આ એક આદિમ ઉદાહરણમાં છે! આ બિનઅનુભવી વિદ્યાર્થીઓ માટે એક પ્રશ્ન ઉભો કરે છે: "કયું સાચું છે?"

દરેક રીતે સાચું! જે તમારા માટે વધુ અનુકૂળ છે. :) અહીં કોઈ સાર્વત્રિક રેસીપી નથી અને હોઈ શકતી નથી. ગણિત તમને બે પ્રકારના સમીકરણ પરિવર્તનની પસંદગી આપે છે. અને આ ખૂબ જ પરિવર્તનનો ક્રમ ફક્ત તેના પર આધાર રાખે છે મૂળ સમીકરણ, તેમજ નિર્ણાયકની વ્યક્તિગત પસંદગીઓ અને ટેવોમાંથી.

સમસ્યા બે (દરેક માટે...સારી રીતે...લગભગ):

ગણતરીમાં ભૂલો. પરિવર્તનમાં તમારે સતત કૌંસનો ગુણાકાર કરવો પડશે. કૌંસમાં અભિવ્યક્તિઓ બંધ કરો અને કૌંસ ખોલો. અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર અને ભાગાકાર કરો. ડિગ્રી સાથે કામ કરો... ટૂંકમાં, પ્રાથમિક ગણિતની કામગીરીનો સંપૂર્ણ સેટ ઉપલબ્ધ છે. તમામ પરિણામો સાથે...

આ બંને સમસ્યાઓ માત્ર એક જ રીતે દૂર કરી શકાય છે - પ્રેક્ટિસશંકાઓ અને ભૂલો અદૃશ્ય થઈ જાય છે. ઉદાહરણો સરળ બને છે, કાર્યો સરળ બને છે. અને અંતે, તે ગણિત નથી જે તમને આદેશ આપે છે, પરંતુ તમે ગણિતને આદેશ આપો છો. :)