Apsvarstykite paprastą fizinę sistemą - materialus taškas, galintis svyruoti ant horizontalaus paviršiaus be trinties, veikiamas Huko jėgos (žr. 2 pav.).

Jei apkrovos poslinkis mažas (daug mažesnis už nedeformuotos spyruoklės ilgį), o spyruoklės standumas lygus k, tai vienintelė apkrovą veikianti jėga yra Hooke jėga. Tada lygtis

krovinio judėjimas (antrasis Niutono dėsnis) turi formą

Perkeldami narius į kairę lygybės pusę ir padalydami iš materialaus taško masės (neatsižvelgiame į spyruoklės masę, palyginti su m), gauname judėjimo lygtį

(*) ,

,

,

svyravimų periodas.

Tada imkitės funkcijos

ir išskyrę jį pagal laiką, esame įsitikinę, kad krovinio judėjimo greitis yra lygus

ir, antra, po pakartotinio diferenciacijos,

,

tai yra, X(t) iš tikrųjų yra spyruoklės apkrovos lygties sprendimas.

Tokia sistema, apskritai, bet kokia mechaninė, elektrinė ar kita sistema, turinti judėjimo lygtį (*), vadinama harmoniniu osciliatoriumi. X(t) tipo funkcija vadinama harmoninio osciliatoriaus judėjimo dėsniu, dydžiu
yra vadinami amplitudė,cikliškas arba natūralus dažnis,pradinė fazė. Natūralųjį dažnį lemia osciliatoriaus parametrai, amplitudę ir pradinę fazę – pradinės sąlygos.

Judėjimo dėsnis X(t) reiškia laisvuosius virpesius. Tokius virpesius atlieka neslopintos švytuoklės (matematinės ar fizinės), srovė ir įtampa idealioje virpesių grandinėje ir kai kurios kitos sistemos.

Harmoniniai svyravimai gali susidėti tiek viena, tiek skirtingomis kryptimis. Sudėjimo rezultatas taip pat yra harmoninis svyravimas, pavyzdžiui,

.

Tai yra virpesių superpozicijos (superpozicijos) principas.

Matematikai sukūrė tokio tipo eilučių teoriją, kurios vadinamos Furjė eilėmis. Taip pat yra keletas apibendrinimų, tokių kaip Furjė integralai (dažniai gali nuolat keistis) ir net Laplaso integralai, kurie veikia su sudėtingais dažniais.

§15. Slopintas osciliatorius. Priverstinės vibracijos.

Tikros mechaninės sistemos visada turi bent nedidelę trintį. Paprasčiausias atvejis yra skysta arba klampi trintis. Tai trintis, kurios dydis yra proporcingas sistemos judėjimo greičiui (ir, žinoma, yra nukreiptas prieš judėjimo kryptį). Jei judesys vyksta išilgai X ašies, tada judesio lygtį galima parašyti (pavyzdžiui, svorio ant spyruoklės) forma

,

Kur – klampios trinties koeficientas.

Šią judesio lygtį galima paversti forma

.

Čia
- slopinimo koeficientas, – vis dar yra natūralusis osciliatoriaus dažnis (kurio jau nebegalima vadinti harmoniniu; tai slopinamas generatorius su klampia trintimi).

Matematikai gali išspręsti tokias diferencialines lygtis. Buvo parodyta, kad sprendimas yra funkcija

Paskutinėje formulėje naudojamas toks žymėjimas: – pradinė amplitudė, silpnai slopinamų virpesių dažnis
,
. Be to, dažnai naudojami kiti slopinimą apibūdinantys parametrai: logaritminiai slopinimo sumažinimas
, sistemos atsipalaidavimo laikas
, sistemos kokybės faktorius
, kur skaitiklis yra sistemos sukaupta energija, o vardiklis yra energijos nuostoliai per laikotarpį T.

Esant stipriam susilpnėjimui
tirpalas turi aperiodinę formą.

Dažnai pasitaiko atvejų, kai osciliatorių, be trinties jėgų, veikia ir išorinė jėga. Tada judesio lygtis redukuojama į formą

,

dešinėje esanti išraiška dažnai vadinama sumažinta jėga, pati išraiška
vadinama prievartos jėga. Dėl savavališkos varomosios jėgos neįmanoma rasti lygties sprendimo. Paprastai atsižvelgiama į tokio tipo harmoningą varomąją jėgą
. Tada tirpalas vaizduoja slopintą (**) tipo dalį, kuri ilgą laiką linkusi į nulį ir nuolatinius (priverstinius) svyravimus

Amplitudė priverstiniai svyravimai

,

ir priverstinių svyravimų fazė

.

Atkreipkite dėmesį, kad natūraliajam dažniui artėjant prie varomosios jėgos dažnio, priverstinių virpesių amplitudė didėja. Šis reiškinys žinomas kaip rezonansas. Jei slopinimas didelis, tai rezonansinis padidėjimas nėra didelis. Šis rezonansas vadinamas „nuobodu“. Esant mažam slopinimui, „aštriojo“ rezonanso amplitudė gali gerokai padidėti. Jeigu sistema ideali ir joje nėra trinties, tai priverstinių svyravimų amplitudė didėja neribotai.

Taip pat atkreipkite dėmesį, kad varomosios jėgos dažniu

Pasiekiama didžiausia varomosios jėgos amplitudės vertė, lygi

.

Paprasčiausias atomų vibracinio judėjimo dviatominėje molekulėje modelis gali būti dviejų masių sistema T/ ir w?, sujungti elastine spyruokle. Dviejų atomų vibracija masės centro atžvilgiu gali būti pakeista vieno ekvivalento vibracija

masė, palyginti su pradine nulinis taškas R= 0, kur

R- atstumas tarp masių, R e- pusiausvyros taško padėtis.

Klasikiniu požiūriu daroma prielaida, kad spyruoklė yra ideali - elastinė jėga F yra tiesiogiai proporcingas deformacijai – nuokrypiui nuo pusiausvyros x = R-R e, pagal Huko dėsnį:

Kur Į- elastingumo konstanta. Taigi jėga nukreipta į grįžimą į pusiausvyros padėtį.

Naudojant Huko ir Niutono dėsnius kartu (F-ta), galima parašyti:

(žymi ). Yra žinoma, kad tokios lygties sprendimas yra

atlieka harmonines funkcijas

Kur xo- amplitudė ir

Naudojant sumažintą masę /l gauname:

Sistemos potencialios energijos matas V tarnauja darbui

IN kvantinė mechanika svyruojančių judesių analizė paprastam harmoninio generatoriaus modeliui yra gana sudėtinga. Jis pagrįstas Schrödingerio lygties sprendimu

(y/- vibracinės bangos funkcija, E - visos energijos dalelės) ir nepatenka į mūsų pristatymo sritį.

Kvantiniam generatoriui tai įmanoma tik atskiros serijos energijos E reikšmes ir dažnius pagal formulę E=hv. Be to, minimalią vertę osciliatoriaus energija nėra lygi nuliui. Šis kiekis vadinamas nulinės energijos, jis atitinka žemiausią osciliatoriaus energijos lygį ir yra lygus , jo egzistavimą galima paaiškinti remiantis Heisenbergo neapibrėžtumo ryšiu.

Taigi, vadovaujantis kvantinė mechanika harmoninio osciliatoriaus energija kvantuojama:

Kur v- svyruojantis kvantinis skaičius, kurios reikšmė gali būti y=0, 1, 2, 3,....

Kai osciliatorius sąveikauja su kvantais elektromagnetinė spinduliuotė Reikėtų atsižvelgti į tris veiksnius: 1) lygių populiaciją (tikimybę, kad molekulė bus tam tikrame energijos lygyje); 2) dažnio taisyklė (Bohr), pagal kurią kvanto energija turi atitikti bet kurių dviejų lygių energijos skirtumą;

3) kvantinių perėjimų atrankos taisyklė: perėjimo tikimybė, t.y. linijų intensyvumą sugerties spektre lemia dydis perėjimo dipolio momentas (žr teorinis įvadas). Paprasčiausio harmoninio osciliatoriaus atveju pasirinkimo taisyklė gaunama atsižvelgiant į bangų funkcijas. Jame teigiama, kad perėjimai gali vykti tik tarp gretimų lygių („vienas žingsnis“): vibracinis kvantinis skaičius pasikeičia vienu Av= 1. Kadangi atstumai tarp gretimų lygių yra vienodi, harmoninio osciliatoriaus sugerties spektre turi būti tik viena eilutė su dažniu

Kadangi pagal Boltzmann pasiskirstymą kambario temperatūroje ir kt žemos temperatūrosžemiausias vibracijos lygis yra apgyvendintas, tada intensyviausias perėjimas yra iš paties žemas lygis(d=0), o šios linijos dažnis sutampa su silpnesnių perėjimų dažnumu iš aukštesnių lygių į gretimą, aukštesnį lygį.

Harmoninių osciliatorių bangų funkcijų grafikai skirtingos reikšmės energijos parodytos 2.3 pav. Jie atspindi harmoninio osciliatoriaus Schrödingerio lygties sprendinius

Kur N, - normalizuojantis veiksnys, H 0- Ermito daugianariai, x = R-R e- nukrypimas nuo pusiausvyros padėties.

Pereinamojo dipolio momentas vibraciniams perėjimams, R0(arba M") yra lygus:

Kur ju - dipolio momentas molekulės; dvejonės

pradinės ir galutinės būsenos kietosios bangos funkcijos atitinkamai. Iš formulės aišku, kad perėjimas leidžiamas,

jei pusiausvyros taške – molekulės dipolio momentas

pasikeičia netoli pusiausvyros taško padėties (kreivė ju=f(R)šiuo metu nepraeina per maksimumą). Integralas (antrasis faktorius formulėje) taip pat neturi būti lygus nuliui. Galima parodyti, kad ši sąlyga yra įvykdyta, jei įvyksta perėjimas tarp gretimų lygių papildoma taisyklė pasirinkimas Ai = 1.

Tuo atveju dviatominės molekulės Virpesių spektrai gali būti stebimi tik heterobranduolinėms molekulėms, kurios neturi dipolio momento ir nesikeičia virpesių metu. CO2 virpesių spektrai pasižymi virpesiais (antisimetrinis tempimas ir lenkimas), kuriuose dipolio momentas keičiasi, tačiau simetrinių virpesių, kuriuose jis išlieka nepakitęs, neatsiranda.

2a. Erdvė. Laikas. Judėjimas Feynmanas Richardas Phillipsas

21 skyrius HARMONINIS OSCILIATORIUS

21 skyrius

HARMONINIS OSCILIATORIUS

§ 1. Tiesinės diferencialinės lygtys

§ 4. Pradinės sąlygos

§ 1. Tiesinės diferencialinės lygtys

Paprastai fizika kaip mokslas skirstomas į kelias dalis: mechaniką, elektrą ir t.t., ir šias dalis „einame“ vieną po kitos. Pavyzdžiui, dabar „pergyvename“ daugiausia mechaniką. Tačiau retkarčiais nutinka keistų dalykų: pereidami prie naujų fizikos skyrių ir net į kitus mokslus susiduriame su lygtimis, kurios beveik nesiskiria nuo tų, kurias jau tyrinėjome anksčiau. Taigi daugelis reiškinių turi analogijų visiškai skirtingose ​​mokslo srityse. Paprasčiausias pavyzdys: Garso bangų sklidimas labai panašus į šviesos bangų sklidimą. Jei akustiką išnagrinėsime pakankamai išsamiai, vėliau atrasime, kad „nuėjome“ gana dauguma optika. Taigi, vienos fizikos srities reiškinių tyrimas gali būti naudingas tiriant kitas šakas. Šį galimą „skyriaus apimties išplėtimą“ yra gerai numatyti iš pat pradžių, kitaip gali kilti keblumų, kodėl tiek daug laiko ir pastangų skiriame smulkios mechanikos problemos studijoms.

Harmoninis osciliatorius, kurio tyrinėjimo dabar einame toliau, sutiks mus beveik visur; nors pradėsime nuo grynai mechaninių svorio ant spyruoklės, nedidelių švytuoklės nukrypimų ar kitų pavyzdžių mechaniniai įrenginiai, tiesą sakant, kai kuriuos išnagrinėsime diferencialinė lygtis.Ši lygtis nuolat susiduriama fizikoje ir kituose moksluose ir iš tikrųjų apibūdina tiek daug reiškinių, kad iš tikrųjų verta ją geriau ištirti. Ši lygtis apibūdina svorio svyravimus ant spyruoklės, krūvio virpesius, tekančius pirmyn ir atgal. elektros grandinė, kamertono vibracijos, kurios sukuria garso bangos, panašius elektronų virpesius atome, generuojančius šviesos bangos. Pridėkite prie šių lygčių, apibūdinančių reguliatorių veiksmus, pvz., nustatytos termostato temperatūros palaikymą, sudėtingas cheminių reakcijų sąveikas ir (gana netikėtai) lygtis, susijusias su bakterijų kolonijos, kuri yra maitinama ir apsinuodijusi, augimu, arba lapių, kurios minta triušiais, reprodukcija, kurios savo ruožtu valgo žolę ir pan. Pateikėme labai neišsamų reiškinių, apibūdinamų beveik tomis pačiomis lygtimis kaip mechaninis osciliatorius, sąrašą. Šios lygtys vadinamos tiesines diferencialines lygtis su pastovūs koeficientai. Tai lygtys, sudarytos iš kelių terminų, kurių kiekvienas reiškia išvestinę, sumos priklausomas kiekis nepriklausomas, padaugintas iš pastovaus koeficiento. Taigi,

vadinamas linijiniu diferencialinė lygtis n eilės su pastoviais koeficientais (visi A n - pastovus).

§ 2. Harmoninis osciliatorius

Galbūt paprasčiausias mechaninė sistema, kurio judėjimas apibūdinamas tiesine diferencialine lygtimi su pastoviais koeficientais, yra masė ant spyruoklės. Pritvirtinus svorį prie spyruoklės, jis šiek tiek išsitemps, kad subalansuotų gravitacijos jėgą. Dabar stebėkime masės vertikaliuosius nuokrypius nuo pusiausvyros padėties (21.1 pav.).

Fig. 21.1. Svoris pakabintas ant spyruoklės.

Paprastas harmoninio osciliatoriaus pavyzdys.

Nukrypimus į viršų nuo pusiausvyros padėties žymime X ir tarkime, kad turime reikalą su tobulai elastinga spyruokle. Šiuo atveju jėgos, atsveriančios tempimą, yra tiesiogiai proporcingos tempimui. Tai reiškia, kad jėga yra - kx(minuso ženklas mums primena, kad jėga prieštarauja poslinkiui). Taigi, masės pagreičio laikas turi būti lygus - kx

m (d 2 x / dt 2) =-kx.(21.2)

Paprastumo dėlei darykime prielaidą, kad taip išeina (arba pagal poreikį pakeitėme vienetų sistemą), kad k/m = 1. Turime išspręsti lygtį

d 2 x/dt 2 =-x. (21.3)

Po to grįžtame prie (21.2) lygties, kurioje k Ir m yra aiškiai įtrauktos.

Su (21.3) lygtimi jau susidūrėme, kai tik pradėjome studijuoti mechaniką. Išsprendėme skaičiais [žr problema 1, (9.12) lygtis] ​​judesiui rasti. Skaitmeninės integracijos būdu radome kreivę (žr. 9.4 pav., 1 laidą), kuri rodo, kad jei dalelė m pradžios momentas nesubalansuotas, bet ramybės būsenoje grįžta į pusiausvyros padėtį. Jai pasiekus pusiausvyros padėtį mes nesekėme dalelės, bet aišku, kad ji ten nesustos, o svyruoti (svyruoti). Naudodami skaitmeninę integraciją radome laiko grįžti į pusiausvyros tašką: t= 1 570. Viso ciklo trukmė keturis kartus ilgesnė: t 0 =6,28 sekundės. Visa tai radome skaitine integracija, nes nežinojome, kaip tai geriau išspręsti. Tačiau matematikai mums suteikė tam tikrą funkciją, kuri, diferencijavus du kartus, virsta savimi, padauginta iš -1. (Žinoma, galite tiesiogiai apskaičiuoti tokias funkcijas, tačiau tai yra daug sunkiau, nei tiesiog sužinoti atsakymą.)

Ši funkcija yra: x = kaina. Išskirkime tai: dx/dt=-sint, a d 2 x/dt 2 =-wt=-x. Pradiniu momentu t=0, x=1 ir pradinis greitis lygus nuliui; Būtent tokias prielaidas padarėme skaitmeninės integracijos metu. Dabar tai žinant x = kaina, rasime tiksli laiko reikšmė, kai z=0. Atsakymas: t=p/2, arba 1.57108. Anksčiau klydome paskutinis ženklas, nes skaitinė integracija buvo apytikslė, bet paklaida labai maža!

Norėdami pažvelgti toliau, grįžkime prie vienetų sistemos, kurioje laikas matuojamas realiomis sekundėmis. Koks bus sprendimas šiuo atveju? Galbūt atsižvelgsime į konstantas k Ir T, padauginus iš atitinkamo kaštų koeficiento? Pabandykime. Leiskite x = kaina, Tada dx/dt=-Asint Ir d 2 t/dt 2 =-Acost=-x. Mūsų apmaudui nepavyko išspręsti (21.2) lygties, bet vėl grįžome prie (21.3). Bet atsidarėme svarbiausias turtas tiesinės diferencialinės lygtys: jei lygties sprendinį padauginsime iš konstantos, vėl gausime sprendinį. Matematiškai aišku kodėl. Jeigu X yra lygties sprendimas, tada padauginus abi lygties puses iš A išvestinės finansinės priemonės taip pat bus dauginamos iš A ir todėl Oi lygiai taip pat patenkins lygtį X. Paklausykime, ką apie tai sako fizikas. Jei svoris ištemps spyruoklę dvigubai daugiau nei anksčiau, tai jėga padvigubės, pagreitis padvigubės, įgyjamas greitis bus dvigubai didesnis, o tuo pačiu metu svoris nuvažiuos dvigubai didesnį atstumą. Bet tai dvigubai ilgesnis atstumas- lygiai toks pat atstumas būtina perkelti svorį į pusiausvyros padėtį. Taigi, norint pasiekti pusiausvyrą, būtina tiek pat laiko ir tai nepriklauso nuo pradinio poslinkio. Kitaip tariant, jei judėjimas apibūdinamas tiesine lygtimi, tai nepriklausomai nuo „jėgos“ jis laikui bėgant vystysis vienodai.

Klaida mums buvo naudinga – sužinojome, kad sprendinį padauginę iš konstantos gausime ankstesnės lygties sprendinį. Po kelių bandymų ir klaidų galite padaryti išvadą, kad užuot manipuliavęs su X reikia keisti skalę laiko. Kitaip tariant, (21.2) lygtis turi turėti tokios formos sprendinį

x=cos w 0 t. (21.4)

(Čia w 0 visai nėra besisukančio kūno kampinis greitis, bet mums neužteks visų abėcėlių, jei kiekvieną reikšmę pažymėsime specialia raide.) Pateikėme čia w indeksas 0, nes dar turime sutikti daug daugiau omegas: atsiminkite tai w 0 rungtynių natūralus judėjimas osciliatorius. Bandymas naudoti (21.4) kaip sprendimą yra sėkmingesnis, nes dx/dt=-(w 0 nuodėmė w 0 t ir d 2 x/dt 2 =-w 2 0 w s w 0 t=-w 20x. Pagaliau išsprendėme lygtį, kurią norėjome išspręsti. Ši lygtis sutampa su (21.2), jei w 2 0 =k/m.

Dabar reikia suprasti fizinę reikšmę w 0 . Žinome, kad kosinusas „pasikartoja“ kampui pasikeitus į 2i. Štai kodėl x=cosw 0 t valios periodinis judėjimas; visas šio judesio ciklas atitinka „kampo“ pasikeitimą 2p. Dydis w 0 t dažnai vadinamas fazė judesiai. Pasikeisti w 0t 14 val , reikia keisti tįjungta t 0 (laikotarpis pilnas svyravimas); tikrai, t 0 randama iš lygties w 0 t 0 = 2p. Tai reiškia, kad w Vienam ciklui reikia skaičiuoti 0 t 0, o jei padidinsite, viskas kartosis tįjungta t 0 ; šiuo atveju fazę padidinsime 2p. Taigi,

Tai reiškia, kad kuo didesnis svoris, tuo lėčiau spyruoklė svyruos pirmyn ir atgal. Tokiu atveju inercija bus didesnė, o jei jėga nesikeis, apkrovai pagreitinti ir sulėtinti prireiks daugiau laiko. Jei pasirinksite standesnę spyruoklę, judėjimas turėtų vykti greičiau; iš tiesų, periodas mažėja, nes didėja spyruoklės standumas.

Dabar atkreipkime dėmesį, kad masės svyravimo ant spyruoklės laikotarpis nepriklauso nuo Kaip prasideda svyravimai. Atrodo, kad spyruoklei nesvarbu, kiek ją ištempsime. Judėjimo lygtis (21.2) nustato laikotarpį svyravimų, bet nieko nesako apie svyravimų amplitudę. Virpesių amplitudę, žinoma, galima nustatyti, ir dabar mes tai spręsime, tačiau tam turime nustatyti pradines sąlygas.

Esmė ta, kad dar neradome bendriausio (21.2) lygties sprendimo. Yra keletas sprendimų tipų. Sprendimas x=acosw 0 t atitinka atvejį, kai pradiniu momentu spyruoklė ištempta ir jos greitis lygus nuliui. Galite priversti spyruoklę judėti kitaip, pavyzdžiui, išnaudokite momentą, kai subalansuota spyruoklė yra ramybės būsenoje (x=0), ir smarkiai trenkė į svorį; tai reikš, kad šiuo metu t=0 spyruoklei suteikiamas tam tikras greitis. Šis judesys atitiks kitą sprendimą (21.2) – kosinusą reikia pakeisti sinusu. Meskime dar vieną akmenį į kosinusą: jei x=cos w 0 t tirpalas, tada, patekę į patalpą, kurioje siūbuoja spyruoklė, tuo momentu (vadinkime „t=0“), kai svoris pereis per pusiausvyros padėtį (x=0), būsime priversti tai pakeisti sprendimas su kitu. Vadinasi, x=cosw 0 t negali būti bendras sprendimas; bendras sprendimas turi leisti, galima sakyti, perkelti laiko pradžią. Pavyzdžiui, sprendimas turi šią savybę x=acosw 0 (t-t 1 ), kur t 1 yra tam tikra konstanta. Toliau galime suskaidyti

cos(w 0 t+D)=cos w 0 t cos D- nuodėmė w 0 t nuodėmė D ir užsirašyk

x=A cos w 0 t+IN nuodėmė w 0 t,

kur A=acos D Ir B=- asin D. Kiekviena iš šių formų gali būti naudojama norint parašyti bendrąjį sprendinį (21.2): bet kurį iš pasaulyje egzistuojančios diferencialinės lygties sprendinių.

d 2 x/dt 2 =-w 2 0 x galima parašyti formoje

x=acosw 0 (t-t 1 ), (21.6a)

x=acos(w 0 t+D), (21.6b)

x=A cos w 0 t+B nuodėmė w 0 t.(21,6 V)

Kai kurie kiekiai, rasti (21.6), turi pavadinimus: w 0 skambučio kampinis dažnis; yra radianų skaičius, kuriuo fazė pasikeičia per 1 sek. Jis nustatomas pagal diferencialinę lygtį. Kiti dydžiai nėra nustatomi pagal lygtį, bet priklauso nuo pradines sąlygas. Pastovus A tarnauja kaip didžiausio apkrovos įlinkio matas ir yra vadinamas amplitudė svyravimai. Pastovus D kartais vadinamas fazė svyravimų, bet čia galimi nesusipratimai, nes kiti fazę vadina w 0 t+D ir sako, kad fazė priklauso nuo laiko. Galime sakyti, kad D yra fazės poslinkis palyginti su kai kuriais, kurie laikomi nuliu. Nesiginčykime dėl žodžių. Skirtingas D atitinka judesius su skirtingomis fazėmis. Tai tiesa, bet vadinti D faze ar ne – kitas klausimas.

§ 3. Harmoninis judėjimas ir sukamasis judėjimas

Kosinusas (21.2) lygties sprendime rodo, kad harmoninis judėjimas yra susijęs su apskritimu. Šis palyginimas, žinoma, dirbtinis, nes tiesiniu judesiu niekur nėra apskritimo: svoris juda griežtai aukštyn ir žemyn. Galime pateisinti save sakydami, kad lygtį jau išsprendėme harmoninis judėjimas kai studijuoja sukamaisiais judesiais mechaniką. Jei dalelė juda ratu su pastovus greitis v, tada spindulio vektorius nuo apskritimo centro iki dalelės sukasi kampu, kurio dydis proporcingas laikui. Pažymėkime šį kampą q =vt/R(21.2 pav.).

Fig. 21.2. Dalelė, judanti apskritimu pastoviu greičiu.

Tada d q /dt= w 0 =v/R. Yra žinoma, kad pagreitis a=v 2 /R=w 2 0 R ir yra nukreiptas į centrą. Judančio taško koordinatės tam tikru momentu yra lygios

X=R cosq, y = Rsinq.

O kaip su pagreitėjimu? Kas yra pagreičio x komponentas? d 2 x/dt 2 . NŠią reikšmę galima rasti grynai geometriškai: ji lygi pagreičio vertei, padaugintai iš projekcijos kampo kosinuso; Prieš gautą išraišką turite įdėti minuso ženklą, nes pagreitis nukreiptas į centrą:

A X =- acosq=-wRcosq=-w 2 0 X.(21.7)

Kitaip tariant, kai dalelė juda apskritimu, horizontalus judesio komponentas turi pagreitį, proporcingą horizontalus poslinkis nuo centro. Žinoma, mes žinome sprendimus judėjimo apskritime atveju: x = Rcos w 0 t.(21.7) lygtis neapima apskritimo spindulio; taip pat judant aplink bet kurį apskritimą su tuo pačiu w 0.

Taigi, yra keletas priežasčių, kodėl turėtume tikėtis, kad svorio įlinkis ant spyruoklės bus proporcingas cosw 0 t ir judesys atrodys taip, lyg sektume ratu judančios dalelės x koordinatę su kampinis greitis w 0 . Tai galima patikrinti atlikus eksperimentą, rodantį, kad svorio judėjimas aukštyn ir žemyn ant spyruoklės tiksliai atitinka taško judėjimą išilgai apskritimo. Fig. 21.3, lankinės lempos šviesa į ekraną projektuoja į besisukantį diską įsmeigtos judančios adatos šešėlius ir šalia judantį vertikaliai svyruojantį svorį.

Fig. 21.3. Paprasto harmoninio judėjimo lygiavertiškumo demonstravimas ir vienodas judesys aplink perimetrą.

Jei priversite svorį svyruoti reikiamu laiku ir iš tinkamos vietos, o paskui atsargiai parinksite disko greitį, kad jų judesių dažniai sutaptų, šešėliai ekrane tiksliai seks vienas kitą. Štai dar vienas būdas įsitikinti, kad, ieškodami skaitinio sprendimo, esame beveik arti kosinuso.

Čia galima pabrėžti, kad kadangi tolygaus apskritimo judėjimo matematika yra labai panaši į svyruojančio judėjimo aukštyn ir žemyn matematiką, svyruojančio judėjimo analizė bus labai supaprastinta, jei įsivaizduosime šį judėjimą kaip apskritimo judėjimo projekciją. Kitaip tariant, galime papildyti (21.2) lygtį, kuri atrodytų visiškai nereikalinga lygtis adresu ir apsvarstykite abi lygtis kartu. Tai padarę, vienmačius svyravimus sumažiname iki judėjimo aplink perimetrą, kuris išgelbės mus nuo diferencialinės lygties sprendimo. Kitas triukas, kurį galite padaryti, yra įvesti kompleksiniai skaičiai, bet daugiau apie tai kitame skyriuje.

§ 4. Pradinės sąlygos

Išsiaiškinkime, kokia yra prasmė A ir B arba a ir D. Žinoma, jie parodo, kaip prasidėjo judėjimas. Jei judėjimas prasidės nedideliu nuokrypiu, gausime vieno tipo svyravimus; Jei šiek tiek ištempsite spyruoklę ir tada paspausite svorį, viskas bus kitaip. Nuolatinis A Ir IN arba a ir D, arba kai kurios kitos dvi konstantos yra nulemtos aplinkybių, kuriomis prasidėjo judėjimas, arba, kaip paprastai sakoma, pradines sąlygas. Turite išmokti nustatyti konstantas pagal pradines sąlygas. Nors tam galima naudoti bet kurį iš (21.6) esančių santykių, geriausia spręsti (21.6c). Tegul pradiniu momentu t=0 svoris pasislenka iš pusiausvyros padėties dydžiu X 0 ir turi greitį v 0 . Tai yra labiausiai bendra situacija, kas tik sugalvoja. (Negalite nustatyti inicialo pagreitis, nes tai priklauso nuo spyruoklės savybių; galime valdyti tik dydį X 0 .) Dabar paskaičiuokime A Ir IN. Pradėkime nuo lygties for

x=Acosw o t+B nuodėmė w 0t;

kadangi mums reikia ir greičio, mes skiriamės X ir gauname

v=- w 0 Asin w 0t+ w 0 Bcos w 0 t.

Šie posakiai tinka visiems t, bet turime papildomos informacijos apie kiekius X Ir v esant t=0. Taigi, jei nustatome t = 0, turėtume patekti į kairę X 0 Ir v 0 , nes tuo jie virsta X Ir v esant t=0. Be to, mes žinome, kad nulio kosinusas lygus vienam, o nulio sinusas yra nulis. Vadinasi,

X 0 =A· 1+V· 0 = A

v u =-w 0 A 0+ w 0 B 1= w 0 B.

Taigi šiuo ypatingu atveju

A=x 0 , V=v 0 /w 0 .

Žinant A Ir IN, jei norime, galime rasti a ir D.

Taigi, osciliatoriaus judėjimo problema buvo išspręsta, tačiau yra viena įdomus dalykas, kurį reikia patikrinti. Turime išsiaiškinti, ar taupoma energija. Jei nėra trinties jėgų, tada energija turi būti išsaugota. Dabar mums patogu naudoti formules

x=a cos ( w o t+D) ir v=-w 0 asin ( w 0 t+D).

Raskime kinetinę energiją T ir potenciali energija U. Potenciali energija savavališku laiko momentu yra lygus 1/2 kx 2 , Kur X - užskaita, a k- spyruoklės tamprumo konstanta. Vietoj to pakeičiama X aukščiau parašytą posakį randame

U= 1 / 2 kx 2 = 1 / 2 ka 2 cos 2 ( w 0 t+D).

Žinoma, potenciali energija priklauso nuo laiko; ji visada teigiama, tai irgi suprantama: juk potencinė energija yra spyruoklės energija, ir ji keičiasi su X.Kinetinė energija lygus 1 / 2 mv 2 ; naudojant posakį už v, gauname

T = 1 / 2 mv 2 = 1 / 2 mw 2 0 a 2 nuodėmė 2 (w 0 t+D).

Didžiausia kinetinė energija lygi nuliui x, nesšiuo atveju svoris sustoja; kai svoris peržengia pusiausvyros padėtį (x = 0), tada kinetinė energija pasiekia maksimumą, nes tada svoris juda greičiausiai. Todėl kinetinės energijos pokytis yra priešingas potencialios energijos pokyčiui. Bendra energija turi būti pastovi. Iš tiesų, jei tai prisiminsime k=mw 2 0 , Tai

T+U= 1/2 m w 2 0 a 2 = 1/2 rn w 20 ir 2.

Energija priklauso nuo amplitudės kvadrato: jei vibracijos amplitudę padidinsite dvigubai, energija padidės keturis kartus. Vidutinis potenciali energija yra lygi pusei didžiausios, taigi, pusei visos; vidutinė kinetinė energija taip pat lygi pusei visos energijos.

§ 5. Vibracijos veikiant išorinė jėga

Tai lieka mums apsvarstyti harmoninių osciliatorių virpesiai veikiamas išorinės jėgos. Judėjimas šiuo atveju apibūdinamas lygtimi

md 2 x/dt 2 =-kx+F(t).(21.8)

Pagalvokime, kaip svoris elgsis tokiomis aplinkybėmis. Išorinis varomoji jėga gali bet kokiu būdu priklausyti nuo laiko. Pradėkime nuo paprasčiausios priklausomybės. Tarkime, kad jėga svyruoja

F(t)=F 0 coswt.(21.9)

atkreipkite dėmesį į tai w- tai nėra būtina w 0: manysime, kad galime pasikeisti w, todėl jėga veikia skirtingais dažniais. Taigi, turime išspręsti lygtį (21.8) specialiai parinktos jėgos (21.9) atveju. Koks bus sprendimas (21.8)? Vienas iš konkrečių sprendimų (bendrąjį sprendimą aptarsime vėliau) atrodo taip:

z = Ccoswt, (21.10)

kur yra konstanta SU dar reikia nustatyti. Kitaip tariant, bandydami rasti sprendimą tokia forma, darome prielaidą, kad jei trauksime svorį pirmyn ir atgal, jis ilgainiui pradės svyruoti pirmyn ir atgal tokiu dažniu. veikianti jėga. Pažiūrėkime, ar taip gali būti. Pakeitę (21.10) į (21.9), gauname

Mw 2 SU coswt=-mw 2 0 Сcoswt+F 0 coswt. (21.11)

Mes jau pakeitėme k mw 2 0, nes patogiau lyginti du dažnius. Lygtį (21.11) galima padalyti iš kosinuso, esančio kiekviename dėinyje, ir įsitikinti, kad su teisingai pasirinkta reikšme SU išraiška (21.10) bus sprendimas. Ši vertė SU turėtų būti taip:

Taigi, svoris T svyruoja jį veikiančios jėgos dažniu, tačiau svyravimų amplitudė priklauso nuo jėgos dažnio ir dažnio santykio laisvas judėjimas osciliatorius. Jei с yra labai mažas, palyginti su w 0, tai svoris juda po jėgos. Jei per greitai pakeičiate smūgių kryptį, svoris pradeda judėti priešinga jėga. Tai išplaukia iš lygybės (21.12), kuri mums sako, kad kiekybė SU neigiamas, jei w yra didesnis savo harmoninio osciliatoriaus dažnis w 0 . (W 0 vadinsime natūraliu harmoninio osciliatoriaus dažniu, o w taikomuoju dažniu.) aukšto dažnio vardiklis tampa labai didelis ir svoris praktiškai nejuda.

Mūsų rastas sprendimas galioja tik tuo atveju, kai jau yra nusistovėjusi pusiausvyra tarp osciliatoriaus ir veikiančios jėgos; tai atsitinka po to, kai išnyksta kiti judesiai. Šie mirštantys judesiai vadinami pereinamasis atsakas į jėgą F(t), o (21.10) ir (21.12) aprašytas judėjimas yra pusiausvyra atsakymą.

Atidžiau pažvelgę ​​į formulę (21.12), pastebėsime kuriozinį dalyką: jei dažnis co beveik lygus w 0, tai SU artėja prie begalybės. Taigi, jei jėgą suderinsite su savo dažniu, svorio nuokrypiai pasieks milžiniškas proporcijas. Tai žino kiekvienas, kuriam kada nors teko stumdyti vaiką ant sūpynių. Tai gana sunku padaryti, jei užsimerkiate ir atsitiktinai stumiate sūpynes. Bet jei rasime tinkamą ritmą, siūbuoti sūpynės nesunku, tačiau kai tik vėl prarasime ritmą, smūgiai pradės sulėtinti sūpynes ir toks darbas bus mažai naudingas.

Jei dažnis co yra tiksliai lygus w 0, tada amplitudė turėtų tapti begalinis, kas, žinoma, neįmanoma. Padarėme klaidą, nes sprendėme ne visai teisingą lygtį. Kurdami lygtį (21.8), pamiršome apie trinties jėgą ir daugelį kitų jėgų. Todėl amplitudė niekada nepasieks begalybės; Galbūt pavasaris išauš daug anksčiau!