4x-ийн эсрэг дериватив. Тодорхой бус интеграл онлайн

A)Шууд нэгтгэх.

Тодорхой бус интегралын шинж чанаруудын шууд хэрэглээ, интегралын үндсэн томъёоны хүснэгтэд үндэслэн функцүүдийн интегралыг олох. Шууд интегралчлалаар функцийн интегралыг олох жишээг авч үзье.

Жишээ:

∫(X–3) 2 d X= ∫(X 2 –6X+9) d X= ∫X 2d X- 6∫Xг X+9∫д X=X 3 ∕3 -3X 2 +9X+С.

Дийлэнх тохиолдолд бид шууд интеграцчлалаар олдохгүй функцүүдийн интегралтай харьцдаг. Энэ тохиолдолд орлуулах (хувьсагчийг солих) хийх шаардлагатай.

б)Орлуулах замаар нэгтгэх (хувьсагчийн орлуулалт).

Орлуулах интеграци буюу хувьсах орлуулалтын арга нь интеграцийн хамгийн үр дүнтэй, түгээмэл аргуудын нэг юм. Орлуулах арга нь интегралын илэрхийллийг хялбарчилж, хүснэгтэн хэлбэрийн интеграл болгон багасгахын тулд өгөгдсөн интеграл хувьсагчаас өөр хувьсагч руу шилжих явдал юм. Энэ тохиолдолд орлуулах сонголтыг гүйцэтгэгч дангаар нь шийддэг, учир нь ямар орлуулалт хийхийг заасан ерөнхий дүрэм байдаггүй энэ тохиолдолдавах.

Жишээ:∫ интегралыг ол д 2х+3 d X.

-тай холбоотой t шинэ хувьсагчийг танилцуулъя Xдараах хамаарал 2 X+ 3 =т.

Энэ тэгш байдлын зүүн ба баруун талын дифференциалыг авч үзье: 2d X=dt;d X=dt/2.

Одоо 2-ын оронд X+ 3 id XТэдний утгыг интеграл болгон орлуулъя. Дараа нь бид: ∫ д 2х+3 d X=∫д t dt= д t + C. Өмнөх хувьсагч руу буцаж очоод бид эцэст нь илэрхийллийг олж авна.

∫д 2х+3 d X=д 2х+3 + C.

Интегралыг зөв авсан эсэхийг шалгахын тулд эсрэг дериватив функц хэрэгтэй д 2x+ 3 ялгаж, байх эсэхийг шалгана Үүний дериватив нь интеграл функцтэй тэнцүү байна уу?

(д 2x+ 3)" =д 2x+ 3 (2 X+3)" =д 2x+ 3 .

3. Тодорхой интеграл ба түүний шинж чанарууд.

Шинжлэх ухаан, технологийн олон салбарт тодорхой интеграл гэдэг ойлголт өргөн хэрэглэгддэг. Түүний тусламжтайгаар муруйгаар хязгаарлагдсан талбайнууд, дурын хэлбэрийн эзэлхүүн, хувьсах хүчний хүч ба ажил, хөдөлж буй биеийн зам, инерцийн момент болон бусад олон хэмжигдэхүүнүүдийг тооцоолно.

IN
Ихэнх тохиолдолд муруйн трапецын талбайг тодорхойлох асуудлыг шийдвэрлэхдээ тодорхой интегралын тухай ойлголтыг нэвтрүүлдэг. Үргэлжилсэн функц байг y =f( X) сегмент дээр [ а, в]. y=f( муруйгаар хязгаарлагдсан зураг X) ординатууд АӨө, ВА Пба сегмент [ а, в] х тэнхлэгийг муруй шугаман трапец гэж нэрлэдэг (Зураг 1).

Бид өөрсөддөө даалгавар өгье: муруй трапецын S талбайг тодорхойлно АА о А П В. Үүнийг хийхийн тулд бид сегментийг хуваана [ а, в] дээр Птэнцүү хэсгүүд байх албагүй бөгөөд хуваах цэгүүдийг дараах байдлаар тэмдэглэнэ. А=XО < X 1 < X 2 ‹ … ‹ X П = in.

Хуваах цэгүүдээс бид y = f( муруйтай огтлолцох перпендикуляруудыг сэргээдэг. X). Тиймээс бид муруйгаар хязгаарлагдсан талбайг бүхэлд нь хуваасан Пэнгийн муруй шугаман трапецууд. -аас сэргээцгээе дурын цэгүүдсегмент бүр ∆ X биордныеф(C би) y =f( муруйтай огтлолцох хүртэл X). Дараа нь бид ∆ суурьтай тэгш өнцөгтүүдээс бүрдэх шаталсан дүрсийг бүтээх болно X би ба өндөр f(C би). Бага сургуулийн талбай биthтэгш өнцөгт нь S байх болно би =f(C би)(X би -X би -1 ), болон бүхэл бүтэн газар С ПҮүссэн шаталсан зураг нь тэгш өнцөгтүүдийн талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна.

С П=f(C o)( X 1 -Х o) +f(C 1)( X 2 -Х 1 ) + … +f(C P- 1)(XП -Х P- 1).

Энэ дүнг товчлохын тулд тэмдэглэгээг оруулна уу
(сигма) - хэмжигдэхүүнүүдийн нийлбэр гэсэн утгатай тэмдэг. Дараа нь

С П =
.

Энэ хэмжээгээр С П,Интеграл нийлбэр гэж нэрлэгддэг энэ нь тухайн талбайн жинхэнэ утгаас их эсвэл бага байж болно. Талбайн жинхэнэ утгад хамгийн ойрын утга нь нийлбэрийн хязгаар байх бөгөөд үндсэн сегментүүдийг буталсан тохиолдолд ( p→
), хамгийн том сегментийн урт ∆ X хамгийн ихтэг рүү чиглэх болно, өөрөөр хэлбэл:

S=
(4)

Энэхүү хуримтлагдсан нийлбэрийн хязгаарыг (хэрэв байгаа бол) гэж нэрлэдэг тодорхой интегралфункцээс( X) сегмент дээр [ А,В] ба тэмдэглэнэ:
=
(5)

("-ын тодорхой интеграл Аөмнө В ef from x de x”).

Тоонууд АТэгээд Винтеграцийн доод ба дээд хязгаар гэж нэрлэдэг, f( X) – дэд интеграл функц; X- интеграцийн хувьсагч. (4) ба (5) томъёог ашиглан бид бичиж болно. Муруй шугаман трапецын талбай нь интеграл интервал дээр авсан трапецийг хязгаарлах функцийн интегралтай тоон хувьд тэнцүү байна. [А,В]:

.

Энэ баримт нь тодорхой интегралын геометрийн утгыг илэрхийлдэг.

Тодорхой интегралын шинж чанарыг авч үзье.

1. Тодорхой интеграл нь хувьсагчийн тэмдэглэгээнээс хамаарахгүй, өөрөөр хэлбэл:
=
.

2. Алгебрийн нийлбэрийн тодорхой интеграл нь гишүүн бүрийн тодорхой интегралын алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

= f 1 ( X) г x + f 2 ( X) г X+ ….

Энэ хичээл нь интеграцийн тухай цуврал видеоны эхнийх юм. Үүн дээр бид функцийн эсрэг дериватив гэж юу болохыг шинжлэхээс гадна эдгээр эсрэг деривативуудыг тооцоолох энгийн аргуудыг судлах болно.

Үнэн хэрэгтээ энд ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй: үндсэндээ бүх зүйл та аль хэдийн мэддэг байх ёстой дериватив ойлголтоос үүдэлтэй. :)

Энэ бол бидний хамгийн анхны хичээл учраас би шууд тэмдэглэх болно шинэ сэдэв, өнөөдөр байхгүй болно нарийн төвөгтэй тооцооба томьёо, гэхдээ өнөөдөр бидний судлах зүйл нь тооцоолохдоо илүү төвөгтэй тооцоолол, бүтээн байгуулалтын үндэс суурь болно. комплекс интегралболон квадратууд.

Нэмж дурдахад, интеграл ба интегралыг судалж эхлэхдээ оюутан дор хаяж деривативын ойлголтыг аль хэдийн мэддэг бөгөөд тэдгээрийг тооцоолох наад зах нь үндсэн ур чадвар эзэмшсэн гэж далд байдлаар таамаглаж байна. Энэ талаар тодорхой ойлголтгүй бол интеграцид хийх зүйл огт байхгүй.

Гэсэн хэдий ч энд хамгийн нийтлэг бөгөөд нууцлаг асуудлуудын нэг нь оршдог. Баримт нь анхны антидеривативуудаа тооцоолж эхлэхэд олон оюутнууд тэдгээрийг деривативтай андуурдаг. Үүний үр дүнд шалгалтанд болон бие даасан ажилтэнэг, доромжилсон алдаа гаргадаг.

Тиймээс одоо би антидеривативын талаар тодорхой тодорхойлолт өгөхгүй. Хариуд нь би үүнийг энгийн жишээн дээр хэрхэн тооцож байгааг харахыг санал болгож байна.

Антидериватив гэж юу вэ, түүнийг хэрхэн тооцдог вэ?

Бид энэ томъёог мэддэг:

\[((\left(((x)^(n)) \баруун))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Энэ деривативыг энгийнээр тооцно:

\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \баруун))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

Үүссэн илэрхийлэлийг анхааралтай авч үзээд $((x)^(2))$ илэрхийлье:

\[((x)^(2))=\frac(((\left(((x)^(3)) \баруун))^(\prime)))(3)\]

Гэхдээ бид деривативын тодорхойлолтын дагуу үүнийг ингэж бичиж болно.

\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)(3) \баруун))^(\prime ))\]

Одоо анхаарлаа хандуулаарай: бидний сая бичсэн зүйл бол антидеривативын тодорхойлолт юм. Гэхдээ үүнийг зөв бичихийн тулд та дараах зүйлийг бичих хэрэгтэй.

Дараах илэрхийллийг ижил аргаар бичье.

Хэрэв бид энэ дүрмийг ерөнхийд нь авч үзвэл дараахь томъёог гаргаж болно.

\[((x)^(n))\frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Одоо бид тодорхой тодорхойлолт гаргаж чадна.

Функцийн эсрэг дериватив нь дериватив нь анхны функцтэй тэнцүү функц юм.

Эсрэг дериватив функцийн талаархи асуултууд

Энэ нь нэлээд энгийн бөгөөд ойлгомжтой тодорхойлолт мэт санагдана. Гэсэн хэдий ч, үүнийг сонсоод анхааралтай оюутан тэр даруй хэд хэдэн асуулттай болно.

1. За, энэ томъёо зөв гэж хэлье. Гэхдээ энэ тохиолдолд $n=1$ байхад бидэнд асуудал тулгардаг: хуваарьт "тэг" гарч ирэх бөгөөд бид "тэг"-ээр хувааж болохгүй.
2. Томъёо нь зөвхөн градусаар хязгаарлагддаг. Эсрэг деривативыг, жишээлбэл, синус, косинус болон бусад тригонометр, түүнчлэн тогтмолуудыг хэрхэн тооцоолох вэ.
3. Экзистенциал асуулт: эсрэг деривативыг үргэлж олох боломжтой юу? Хэрэв тийм бол нийлбэр, зөрүү, бүтээгдэхүүн гэх мэтийн эсрэг деривативын талаар юу хэлэх вэ?

Би сүүлчийн асуултанд шууд хариулах болно. Харамсалтай нь деривативаас ялгаатай нь эсрэг деривативыг үргэлж авч үздэггүй. Тийм зүйл байхгүй бүх нийтийн томъёо, үүгээр бид ямар ч анхны бүтээн байгуулалтаас энэ ижил төстэй бүтэцтэй тэнцүү функцийг олж авах болно. Эрх мэдэл ба тогтмолуудын хувьд бид одоо энэ тухай ярих болно.

Эрчим хүчний функцтэй холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх

\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

Бидний харж байгаагаар, энэ томъёо$((x)^(-1))$-д ажиллахгүй. Асуулт гарч ирнэ: тэгээд юу ажилладаг вэ? Бид $((x)^(-1))$-ыг тоолж болохгүй гэж үү? Мэдээж бид чадна. Эхлээд үүнийг санацгаая:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

Одоо бодъё: аль функцийн дериватив нь $\frac(1)(x)$-тай тэнцүү байна. Мэдээжийн хэрэг, энэ сэдвийг бага зэрэг судалж үзсэн аливаа оюутан энэ илэрхийлэл нь натурал логарифмын деривативтай тэнцүү гэдгийг санах нь ойлгомжтой.

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

Тиймээс бид дараахь зүйлийг итгэлтэйгээр бичиж болно.

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\to \ln x\]

Та чадлын функцийн дериватив шиг энэ томъёог мэдэх хэрэгтэй.

Тиймээс бидний мэдэж байгаа зүйл:

• Эрчим хүчний функцийн хувьд - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
• Тогтмол хувьд - $=const\to \cdot x$
• Хүчин чадлын функцийн онцгой тохиолдол нь $\frac(1)(x)\to \ln x$ юм

Хэрэв бид хамгийн энгийн функцуудыг үржүүлж, хувааж эхлэх юм бол бүтээгдэхүүн эсвэл категоритын эсрэг деривативыг хэрхэн тооцоолох вэ? Харамсалтай нь, бүтээгдэхүүний дериватив эсвэл коэффициентийн аналоги энд ажиллахгүй байна. Ямар ч стандарт томъёобайдаггүй. Зарим тохиолдолд нарийн төвөгтэй тусгай томъёо байдаг - бид ирээдүйн видео хичээл дээр тэдэнтэй танилцах болно.

Гэсэн хэдий ч, санаж байна: ерөнхий томъёо, коэффициент ба бүтээгдэхүүний деривативыг тооцоолох ижил төстэй томъёо байхгүй байна.

Бодит асуудлыг шийдвэрлэх

Даалгавар №1

Бүгдээрээ үзье эрчим хүчний функцуудТус тусад нь тооцоолъё:

\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]

Бидний илэрхийлэл рүү буцаж очоод бид ерөнхий бүтцийг бичнэ.

Асуудал №2

Би аль хэдийн хэлсэнчлэн, бүтээлийн прототипүүд болон нарийн ширийн зүйлийг "тогт нь" авч үзэхгүй. Гэсэн хэдий ч энд та дараахь зүйлийг хийж болно.

Бид бутархайг хоёр бутархайн нийлбэр болгон задалсан.

Тооцоогоо хийцгээе:

Сайн мэдээ гэвэл эсрэг деривативыг тооцоолох томъёог мэддэг тул илүү төвөгтэй бүтцийг аль хэдийн тооцоолж болно. Гэсэн хэдий ч цаашаа явж, мэдлэгээ бага зэрэг өргөжүүлье. Үнэн хэрэгтээ $((x)^(n))$-тай ямар ч хамааралгүй олон бүтэц, хэллэгийг хүч болгон төлөөлж болно. оновчтой үзүүлэлт, тухайлбал:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

Эдгээр бүх техникийг хослуулж болно, хослуулах ёстой. Хүч чадлын илэрхийлэлЧадах

• үржүүлэх (градус нэмэх);
• хуваах (зэрэг хасах);
• тогтмол тоогоор үржүүлэх;
• гэх мэт.

Рационал илтгэгчтэй чадлын илэрхийллийг шийдвэрлэх

Жишээ №1

Үндэс бүрийг тусад нь тооцоолъё:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac() 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x)) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

Нийтдээ бидний бүтээн байгуулалтыг дараах байдлаар бичиж болно.

Жишээ №2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \баруун))^(-1))=((\left(((x)^(\frac() 1)(2))) \баруун))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

Тиймээс бид дараахь зүйлийг авна.

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\frac(((x)^(-3+1))))(-3) +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]

Бүх зүйлийг нэг илэрхийлэл болгон цуглуулж, бид дараах зүйлийг бичиж болно.

Жишээ №3

Эхлэхийн тулд бид $\sqrt(x)$-г аль хэдийн тооцоолсон гэдгийг анхаарна уу:

\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2) )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

Дахин бичье:

Бидний саяхан судалсан зүйл бол хамгийн их зүйл гэвэл би хэнийг ч гайхшруулахгүй гэж найдаж байна энгийн тооцоололанхдагч, хамгийн энгийн бүтэц. Одоо арай илүү харцгаая нарийн төвөгтэй жишээнүүд, үүнд та хүснэгтийн эсрэг деривативуудаас гадна санах хэрэгтэй сургуулийн сургалтын хөтөлбөр, тухайлбал, товчилсон үржүүлэх томъёо.

Илүү төвөгтэй жишээнүүдийг шийдвэрлэх

Даалгавар №1

Квадрат зөрүүний томъёог эргэн санацгаая.

\[((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

Функцээ дахин бичье:

Одоо бид ийм функцийн прототипийг олох хэрэгтэй.

\[((x)^(\frac(2)(3)))\frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]

Бүгдийг нэг загвар болгон нэгтгэе:

Асуудал №2

Энэ тохиолдолд бид ялгааны шоо өргөжүүлэх хэрэгтэй. Санаж үзье:

\[((\left(a-b \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]

Энэ баримтыг харгалзан бид дараах байдлаар бичиж болно.

Функцээ бага зэрэг өөрчилье:

Бид үргэлж байдаг шиг - нэр томъёо тус бүрийг тусад нь тооцдог:

\[((x)^(-3))\frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\\ln x\]

Үүссэн бүтээн байгуулалтыг бичье:

Асуудал №3

Дээд талд нь нийлбэрийн квадрат байгаа тул үүнийг өргөжүүлье:

\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \баруун))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\left(\sqrt(x) \баруун))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

Эцсийн шийдлийг бичье:

Одоо анхаарлаа хандуулаарай! Маш чухал зүйл, энэ нь алдаа, үл ойлголцлын арслангийн хувьтай холбоотой юм. Баримт нь өнөөг хүртэл дериватив ашиглан эсрэг деривативуудыг тоолж, хувиргалтуудыг авчрахдаа тогтмолын дериватив нь юутай тэнцэх талаар бодож байгаагүй юм. Гэхдээ тогтмолын дериватив нь "тэг"-тэй тэнцүү байна. Энэ нь та дараах сонголтуудыг бичиж болно гэсэн үг юм.

1. $((x)^(2))\frac(((x)^(3)(3)$
2. $((x)^(2))\frac(((x)^(3)))(3)+1$
3. $((x)^(2))\frac(((x)^(3)))(3)+C$-с

Үүнийг ойлгох нь маш чухал: хэрэв функцийн дериватив нь үргэлж ижил байвал ижил функц нь хязгааргүй тооны эсрэг деривативтай байдаг. Бид антидеривативууддаа ямар ч тогтмол тоог нэмж, шинээр авах боломжтой.

Бидний дөнгөж сая шийдсэн асуудлынхаа тайлбарт “Бичих ерөнхий хэлбэранхдагч хүмүүс." Тэдгээр. Тэдний нэг нь биш, харин бүхэл бүтэн олон хүн байдаг гэж аль хэдийн таамаглаж байна. Гэвч үнэн хэрэгтээ тэд эцсийн эцэст тогтмол $C $-оор л ялгаатай. Тиймээс бид даалгаврууддаа гүйцээгүй зүйлээ засах болно.

Дахин нэг удаа бид бүтээн байгуулалтаа дахин бичнэ:

Ийм тохиолдолд та $C$ нь тогтмол - $C=const$ гэдгийг нэмэх хэрэгтэй.

Хоёрдахь функцэд бид дараах бүтцийг олж авна.

Мөн сүүлчийнх нь:

Одоо бид асуудлын анхны нөхцөл байдалд биднээс шаардагдах зүйлийг үнэхээр авсан.

Өгөгдсөн цэгийн эсрэг деривативыг олох асуудлыг шийдвэрлэх

Одоо бид тогтмолууд болон эсрэг дериватив бичих онцлогуудын талаар мэддэг болсон тул энэ нь логик юм. дараагийн төрөлБүх эсрэг деривативуудын багцаас дамжин өнгөрөх ганц нэгийг олох шаардлагатай үед тулгардаг асуудлууд өгсөн оноо. Энэ даалгавар юу вэ?

Баримт нь тухайн функцийн бүх эсрэг деривативууд нь зөвхөн тодорхой тоогоор босоо чиглэлд шилжсэнээрээ ялгаатай байдаг. Энэ нь ямар ч байсан хамаагүй гэсэн үг юм координатын хавтгайБид үүнийг аваагүй, нэг эсрэг дериватив дамжих нь дамжиггүй, үүнээс гадна зөвхөн нэг нь.

Тиймээс бидний одоо шийдэх асуудлуудыг дараах байдлаар томъёолсон болно: анхны функцийн томьёог мэдэж, эсрэг деривативыг олох төдийгүй, өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөхийг яг сонгох, координатыг нь асуудалд өгөх болно. мэдэгдэл.

Жишээ №1

Эхлээд нэр томъёо бүрийг тоолж үзье:

\[((x)^(4))\frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((x)^(3))\frac(((x)^(4)))(4)\]

Одоо бид эдгээр илэрхийлэлийг бүтээн байгуулалтдаа орлуулж байна:

Энэ функц нь $M\left(-1;4 \right)$ цэгээр дамжих ёстой. Нэг цэгээр дамждаг нь юу гэсэн үг вэ? Энэ нь хэрэв $x$-ын оронд бид хаа сайгүй $-1$, харин $F\left(x \right)$ - $-4$-ын оронд тавивал зөв тоон тэгшитгэлийг авах ёстой гэсэн үг юм. Үүнийг хийцгээе:

Бид $C$-ийн тэгшитгэлтэй болохыг харж байгаа тул үүнийг шийдэхийг оролдъё:

Бидний хайж байсан шийдлийг бичье:

Жишээ №2

Юуны өмнө товчилсон үржүүлэх томъёог ашиглан ялгааны квадратыг илрүүлэх шаардлагатай.

\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]

Анхны бүтээн байгуулалтыг дараах байдлаар бичнэ.

Одоо $C$-г олъё: $M$ цэгийн координатыг орлуулна уу:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

Бид $C$ илэрхийлнэ:

Энэ нь эцсийн илэрхийлэлийг харуулах хэвээр байна:

Тригонометрийн асуудлыг шийдвэрлэх

гэх мэт эцсийн хөвчСая бидний ярилцсан зүйлээс гадна би өөр хоёр зүйлийг авч үзэхийг санал болгож байна нарийн төвөгтэй даалгавар, тригонометрийг агуулсан. Тэдгээрийн нэгэн адил та бүх функцийн эсрэг деривативуудыг олох хэрэгтэй бөгөөд дараа нь энэ олонлогоос координатын хавтгай дээрх $M $ цэгээр дамжин өнгөрөх цорын ганцыг сонгох хэрэгтэй.

Цаашид харвал бид одоо антидеривативуудыг олоход ашиглах арга техник болохыг тэмдэглэхийг хүсч байна тригонометрийн функцууд, үнэндээ бол бүх нийтийн техникөөрийгөө шалгах зорилгоор.

Даалгавар №1

Дараах томьёог санацгаая.

\[((\left(\text(tg)x \баруун))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]

Үүний үндсэн дээр бид дараахь зүйлийг бичиж болно.

$M$ цэгийн координатыг илэрхийлэлдээ орлуулъя.

\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]

Энэ баримтыг харгалзан илэрхийллийг дахин бичье.

Асуудал №2

Энэ нь арай илүү хэцүү байх болно. Одоо та яагаад гэдгийг харах болно.

Энэ томъёог санацгаая:

\[((\left(\text(ctg)x \баруун))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

"Хасах" -аас салахын тулд та дараахь зүйлийг хийх хэрэгтэй.

\[((\left(-\text(ctg)x \баруун))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Энд бидний загвар байна

$M$ цэгийн координатуудыг орлъё:

Нийтдээ бид эцсийн барилгын ажлыг бичнэ.

Өнөөдөр би чамд хэлэхийг хүссэн зүйл минь энэ. Антидериватив гэдэг нэр томъёог бид хэрхэн яаж тоолохыг судалж үзсэн үндсэн функцууд, мөн түүнчлэн дамжин өнгөрөх эсрэг деривативыг хэрхэн олох талаар тодорхой цэгкоординатын хавтгай дээр.

Энэ хичээл танд үүнийг бага ч болов ойлгоход тусална гэж найдаж байна. нарийн төвөгтэй сэдэв. Ямар ч тохиолдолд тодорхойгүй ба тодорхойгүй интегралууд нь антидеривативууд дээр бүтээгддэг тул тэдгээрийг тооцоолох нь зайлшгүй шаардлагатай. Энэ бол миний хувьд. Дараа уулзая!

Дериватив нь олон тооны хэрэглээтэй болохыг бид харсан: дериватив нь хөдөлгөөний хурд (эсвэл ерөнхийдөө аливаа үйл явцын хурд); дериватив юм налууфункцийн графикт шүргэгч; деривативыг ашиглан та функцийг монотон ба экстремумыг шалгаж болно; дериватив нь оновчлолын асуудлыг шийдвэрлэхэд тусалдаг.

Гэхдээ дотор жинхэнэ амьдралшийдэх хэрэгтэй ба урвуу асуудлууд: жишээлбэл, мэдэгдэж буй хөдөлгөөний хуулийн дагуу хурдыг олох асуудалтай зэрэгцээд мэдэгдэж буй хурдны дагуу хөдөлгөөний хуулийг сэргээх асуудал бас бий. Эдгээр асуудлын нэгийг авч үзье.

Жишээ 1.Шулуун шугамаар хөдөлдөг материаллаг цэг, t үеийн хөдөлгөөний хурдыг u = tg томъёогоор тодорхойлно. Хөдөлгөөний хуулийг ол.

Шийдэл.Хөдөлгөөний хүссэн хууль s = s(t) байг. s"(t) = u"(t) гэдгийг мэддэг. Энэ нь асуудлыг шийдэхийн тулд сонгох хэрэгтэй гэсэн үг юм функц s = s(t), дериватив нь tg-тэй тэнцүү. Үүнийг таахад хэцүү биш юм

Жишээ нь зөв, гэхдээ бүрэн бус шийдэгдсэн гэдгийг нэн даруй тэмдэглэе. Үнэн хэрэгтээ энэ асуудал нь хэлбэрийн аль ч функц гэсэн хязгааргүй олон шийдэлтэй болохыг олж мэдсэн дурын тогтмол нь хөдөлгөөний хууль болж чаддаг тул

Даалгаврыг илүү тодорхой болгохын тулд бид анхны нөхцөл байдлыг засах шаардлагатай болсон: хөдөлж буй цэгийн координатыг тодорхой цаг хугацааны хувьд, жишээлбэл, t=0-д зааж өгнө. Хэрэв s(0) = s 0 гэж хэлбэл, тэгшитгэлээс бид s(0) = 0 + C, өөрөөр хэлбэл S 0 = C-ийг олж авна. Одоо хөдөлгөөний хууль өвөрмөц тодорхойлогддог:
Математикийн хувьд харилцан урвуу үйлдлүүдийг хуваарилдаг өөр өөр нэрс, тусгай тэмдэглэгээг гаргаж ирээрэй: жишээлбэл, квадрат (x 2) болон задлах квадрат язгуурсинх(синх) ба арксин(arcsin x) гэх мэт. Өгөгдсөн функцийн деривативыг олох үйл явцыг дифференциал гэж нэрлэдэг ба урвуу ажиллагаа, өөрөөр хэлбэл Өгөгдсөн деривативаас функцийг олох үйл явц - интеграл.
"Үүсмэл" гэсэн нэр томъёог "өдөр тутмын хэллэгээр" зөвтгөж болно: y - f(x) функц нь "оршин оршихуйг бий болгодог". шинэ шинж тэмдэг y"= f"(x) y = f(x) функц нь "эцэг эх"-ийн үүргийг гүйцэтгэдэг боловч математикчид угаасаа үүнийг "эцэг эх" эсвэл "үйлдвэрлэгч" гэж нэрлэдэггүй, тэд үүнийг "эцэг эх" гэж нэрлэдэггүй. y"=f"(x) функц, үндсэн дүрс, эсвэл товчхондоо эсрэг дериватив.

Тодорхойлолт 1.Хэрэв X-ээс бүх x-ийн хувьд F"(x)=f(x) тэгш байдал хангагдсан бол y = F(x) функцийг өгөгдсөн X интервал дээрх у = f(x) функцийн эсрэг дериватив гэж нэрлэнэ.

Практикт X интервал нь ихэвчлэн тодорхойлогддоггүй, гэхдээ далд байдаг (функцийг тодорхойлох байгалийн домэйн гэх мэт).

Энд зарим жишээ байна:

1) y = x 2 функц нь y = 2x функцийн эсрэг дериватив юм, учир нь бүх x-ийн хувьд тэгш байдал (x 2)" = 2x үнэн юм.
2) y - x 3 функц нь y-3x 2 функцийн эсрэг дериватив, учир нь бүх x-ийн хувьд тэгш байдал (x 3)" = 3x 2 нь үнэн юм.
3) Бүх x-ийн хувьд (sinx)" = cosx тэгш байдал үнэн тул y-sinх функц нь y = cosx функцийн эсрэг дериватив юм.
4) Бүх x > 0-д тэгш байдал үнэн тул интервал дээрх функцийн эсрэг дериватив байна.
Ерөнхийдөө дериватив олох томьёо мэддэг учраас эсрэг деривативыг олох томьёоны хүснэгтийг бүрдүүлэх нь тийм ч хэцүү биш юм.

Энэ хүснэгтийг хэрхэн эмхэтгэж байгааг та ойлгосон байх гэж найдаж байна: хоёр дахь баганад бичигдсэн функцын дериватив нь эхний баганын харгалзах мөрөнд бичигдсэн функцтэй тэнцүү байна (үүнийг шалгаарай, залхуурах хэрэггүй, Энэ нь маш ашигтай). Жишээлбэл, y = x 5 функцийн эсрэг дериватив нь функц юм (хүснэгтийн дөрөв дэх мөрийг үзнэ үү).

Тэмдэглэл: 1. Доор бид y = F(x) нь y = f(x) функцийн эсрэг дериватив бол y = f(x) функц нь хязгааргүй олон эсрэг деривативтай ба тэдгээр нь бүгд у = хэлбэртэй байна гэсэн теоремыг батлах болно. F(x ) + C. Иймд C нь дурын бодит тоо болох хүснэгтийн 2-р баганын хаа сайгүй С нэр томъёог нэмэх нь илүү зөв байх болно.
2. Товчхон болгох үүднээс заримдаа “y = F(x) функц нь y = f(x) функцийн эсрэг дериватив байна” гэсэн хэллэгийн оронд F(x) нь f(x) функцийн эсрэг дериватив гэж хэлдэг. .”

2. Эсрэг деривативыг олох дүрэм

Эсрэг деривативыг олох, түүнчлэн деривативыг олохдоо зөвхөн томьёог ашигладаггүй (тэдгээрийг 196-р хуудасны хүснэгтэд жагсаасан), мөн зарим дүрмийг баримталдаг. Эдгээр нь деривативыг тооцоолох холбогдох дүрэмтэй шууд холбоотой.

Нийлбэрийн дериватив нь деривативын нийлбэртэй тэнцүү гэдгийг бид мэднэ. Энэ дүрэм нь эсрэг деривативуудыг олоход тохирох дүрмийг үүсгэдэг.

Дүрэм 1.Нийлбэрийн эсрэг дериватив нь эсрэг деривативуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Энэхүү найруулгын бага зэрэг "хөнгөн" байдалд бид таны анхаарлыг хандуулж байна. Үнэн хэрэгтээ теоремыг томъёолох хэрэгтэй: хэрэв y = f(x) ба y = g(x) функцууд нь X интервал дээр y-F(x) ба y-G(x) эсрэг деривативтай бол у функцүүдийн нийлбэр болно. = f(x)+g(x) нь X интервал дээр эсрэг деривативтай бөгөөд энэ эсрэг дериватив нь y = F(x)+G(x) функц юм. Гэхдээ ихэвчлэн дүрмийг (теорем биш) боловсруулахдаа зөвхөн орхидог түлхүүр үгс- энэ нь дүрмийг практикт хэрэглэхэд илүү тохиромжтой болгодог

Жишээ 2. y = 2x + cos x функцийн эсрэг деривативыг ол.

Шийдэл. 2x-ийн эсрэг дериватив нь x"; cox-ийн эсрэг дериватив нь sin x юм. Энэ нь y = 2x + cos x функцийн эсрэг дериватив нь y = x 2 + sin x функц (мөн ерөнхийдөө хэлбэрийн аль ч функц) болно гэсэн үг юм. Y = x 1 + sinx + C) .
Тогтмол хүчин зүйлийг деривативын тэмдгээс гаргаж болно гэдгийг бид мэднэ. Энэ дүрэм нь эсрэг деривативуудыг олоход тохирох дүрмийг үүсгэдэг.

Дүрэм 2.Тогтмол хүчин зүйлийг эсрэг деривативын тэмдгээс гаргаж авч болно.

Жишээ 3.

Шийдэл. a) Sin x-ийн эсрэг дериватив нь -soz x; Энэ нь y = 5 sin x функцийн эсрэг дериватив функц нь у = -5 cos x функц болно гэсэн үг юм.

b) cos x-ийн эсрэг дериватив нь sin x; Энэ нь функцийн эсрэг дериватив нь функц гэсэн үг юм
в) x 3-ын эсрэг дериватив нь х-ийн эсрэг дериватив, у = 1 функцийн эсрэг дериватив нь у = х функц юм. Эсрэг деривативыг олох эхний ба хоёр дахь дүрмийг ашигласнаар y = 12x 3 + 8x-1 функцийн эсрэг дериватив нь функц болохыг олж мэдэв.
Сэтгэгдэл.Мэдэгдэж байгаагаар, бүтээгдэхүүний дериватив нь деривативын үржвэртэй тэнцүү биш (бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрэм нь илүү төвөгтэй байдаг) ба хуваалтын дериватив нь деривативын үржвэртэй тэнцүү биш юм. Тиймээс бүтээгдэхүүний эсрэг дериватив эсвэл хоёр функцийн категоритын эсрэг деривативыг олох дүрэм байдаггүй. Болгоомжтой байгаарай!
Эсрэг деривативыг олох өөр нэг дүрмийг авч үзье. y = f(kx+m) функцийн деривативыг томъёогоор тооцдог гэдгийг бид мэднэ

Энэ дүрэм нь эсрэг деривативуудыг олоход тохирох дүрмийг үүсгэдэг.
Дүрэм 3.Хэрэв y = F(x) нь y = f(x) функцийн эсрэг дериватив бол y=f(kx+m) функцийн эсрэг дериватив нь функц болно.

Үнэхээр,

Энэ нь y = f(kx+m) функцийн эсрэг дериватив гэсэн үг юм.
Гурав дахь дүрмийн утга нь дараах байдалтай байна. Хэрэв та y = f(x) функцийн эсрэг дериватив нь y = F(x) функц гэдгийг мэдэж байгаа бол та олох хэрэгтэй. функцийн эсрэг дериватив y = f(kx+m), дараа нь дараах байдлаар ажиллана: ижил F функцийг авч, харин х аргументийн оронд kx+m илэрхийллийг орлуулна; Үүнээс гадна функцийн тэмдгийн өмнө "засварлах хүчин зүйл" гэж бичихээ бүү мартаарай
Жишээ 4.Өгөгдсөн функцүүдийн эсрэг деривативуудыг ол:

Шийдэл, a) Sin x-ийн эсрэг дериватив нь -soz x; Энэ нь y = sin2x функцийн эсрэг дериватив нь функц болно гэсэн үг юм
b) cos x-ийн эсрэг дериватив нь sin x; Энэ нь функцийн эсрэг дериватив нь функц гэсэн үг юм

в) x 7-ийн эсрэг дериватив нь y = (4-5x) 7 функцийн эсрэг дериватив нь функц болно гэсэн үг юм.

3. Тодорхой бус интеграл

Өгөгдсөн y = f(x) функцийн эсрэг деривативийг олох асуудал нэгээс олон шийдэлтэй гэдгийг бид дээр дурдсан. Энэ асуудлыг илүү дэлгэрэнгүй авч үзье.

Баталгаа. 1. X интервал дээрх y = f(x) функцийн эсрэг дериватив нь y = F(x) байг. Энэ нь X-ийн бүх x-ийн хувьд x"(x) = f(x) тэгшитгэл биелнэ гэсэн үг юм. y = F(x)+C хэлбэрийн дурын функцийн уламжлалыг ол:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).

Тэгэхээр (F(x)+C) = f(x). Энэ нь y = F(x) + C нь y = f(x) функцийн эсрэг дериватив гэсэн үг юм.
Ингээд бид y = f(x) функц нь y=F(x) эсрэг деривативтай бол (f = f(x) функц нь хязгааргүй олон эсрэг деривативтай, тухайлбал у = хэлбэрийн дурын функцтэй болохыг бид нотолсон. F(x) +C нь эсрэг дериватив юм.
2. Одоо үүнийг баталъя заасан төрөлфункцууд, эсрэг деривативуудын бүхэл бүтэн багц дууссан.

X интервал дээрх Y = f(x) функцийн хувьд y=F 1 (x) ба y=F(x) хоёр эсрэг дериватив байя. Энэ нь X интервалаас бүх x-ийн хувьд дараах хамаарал явагдана гэсэн үг: F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).

y = F 1 (x) -.F(x) функцийг авч үзээд түүний уламжлалыг олъё: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x) ) - f(x) = 0.
Хэрэв X интервал дээрх функцийн дериватив нь тэгтэй ижил тэнцүү бол функц нь X интервал дээр тогтмол байна (§ 35-аас 3-р теоремыг үз). Энэ нь F 1 (x) - F (x) = C, i.e. Fx) = F(x)+C.

Теорем нь батлагдсан.

Жишээ 5.Цаг хугацааны хувьд хурд өөрчлөгдөх хууль өгөгдсөн: v = -5sin2t. Хэрэв t=0 үед тухайн цэгийн координат нь 1.5 тоотой (өөрөөр хэлбэл s(t) = 1.5) тэнцүү байсан нь мэдэгдэж байвал хөдөлгөөний хуулийг ол s = s(t).

Шийдэл.Хурд нь цаг хугацааны функц болох координатын дериватив учраас бид эхлээд хурдны эсрэг деривативыг олох хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл. v = -5sin2t функцийн эсрэг дериватив. Ийм антидеривативуудын нэг нь функц бөгөөд бүх эсрэг деривативуудын багц нь дараах хэлбэртэй байна.

Олох тодорхой утгатогтмол C, ашиглацгаая анхны нөхцөл, үүний дагуу s(0) = 1.5. Томъёо (1) -д t = 0, S = 1.5 утгыг орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

С-ийн олсон утгыг томьёо (1)-д орлуулснаар бид сонирхсон хөдөлгөөний хуулийг олж авна.

Тодорхойлолт 2.Хэрэв y = f(x) функц нь X интервал дээр y = F(x) эсрэг деривативтай бол бүх эсрэг деривативын олонлог, өөрөөр хэлбэл. y = F(x) + C хэлбэрийн функцын багцыг y = f(x) функцийн тодорхойгүй интеграл гэж нэрлэх ба дараах байдлаар тэмдэглэнэ.

(унш: "х де х-ээс тодорхойгүй интеграл ef").
Дараагийн догол мөрөнд бид юу болохыг олж мэдэх болно далд утгазаасан тэмдэглэгээ.
Энэ хэсэгт байгаа антидеривативуудын хүснэгтэд үндэслэн бид үндсэн тодорхойгүй интегралуудын хүснэгтийг эмхэтгэх болно.

Эсрэг деривативыг олох дээрх гурван дүрэмд үндэслэн бид холбогдох интеграцийн дүрмийг томъёолж болно.

Дүрэм 1.Функцийн нийлбэрийн интеграл нийлбэртэй тэнцүү байнаЭдгээр функцүүдийн интегралууд:

Дүрэм 2.Тогтмол хүчин зүйлийг интеграл тэмдэгээс гаргаж болно.

Дүрэм 3.Хэрэв

Жишээ 6.Тодорхой бус интегралуудыг ол:

Шийдэл, a) Интеграцийн эхний болон хоёр дахь дүрмийг ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

Одоо 3 ба 4-р интеграцийн томъёог ашиглая:

Үүний үр дүнд бид:

б) Гурав дахь интеграцийн дүрэм ба 8-р томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

в) Өгөгдсөн интегралыг шууд олохын тулд бидэнд аль нь ч байхгүй тохирох томъёо, холбогдох дүрэм байхгүй. IN ижил төстэй тохиолдлуудзаримдаа урьдчилан гүйцэтгэсэн хүмүүс тусалдаг таних тэмдгийн өөрчлөлтүүдинтеграл тэмдгийн дор агуулагдсан илэрхийлэл.

Давуу талыг ашиглацгаая тригонометрийн томъёоЗэрэг бууруулах:

Дараа нь бид дарааллаар нь олдог:

А.Г. Мордкович алгебр 10-р анги

Математикийн хуанли-сэдэвчилсэн төлөвлөлт, видеоматематикийн онлайн, сургуулийн математикийн