Öncelikle yarıçapı 1 ve merkezi (0;0) olan bir daire düşünün. Herhangi bir αЄR için, 0A yarıçapı, 0A ile 0x ekseni arasındaki açının radyan ölçüsü α'ya eşit olacak şekilde çizilebilir. Saat yönünün tersine yön pozitif kabul edilir. A yarıçapının sonunun koordinatları (a,b) olsun.
sine'un tanımı
Tanım: Tanımlanan şekilde oluşturulan birim yarıçapın ordinatına eşit olan b sayısı sinα ile gösterilir ve α açısının sinüsü olarak adlandırılır.
Örnek: sin 3π cos3π/2 = 0 0 = 0
cosine'un tanımı
Tanım: Tanımlanan şekilde oluşturulan birim yarıçapın ucunun apsisine eşit olan a sayısı, cosα ile gösterilir ve α açısının kosinüsü olarak adlandırılır.
Örnek: cos0 cos3π + cos3,5π = 1 (-1) + 0 = 2
Bu örnekler, birim yarıçapın sonunun koordinatları cinsinden bir açının sinüs ve kosinüsünün tanımını kullanır ve birim çember. Daha görsel bir gösterim için, bir birim daire çizmeniz ve karşılık gelen noktaları bunun üzerine çizmeniz, ardından kosinüsü hesaplamak için apsislerini ve sinüsü hesaplamak için koordinatları saymanız gerekir.
Teğet tanımı
Tanım: x≠π/2+πk, kЄZ için tgx=sinx/cosx fonksiyonuna x açısının kotanjantı denir. Tanım alanı tgx işlevleri hepsi bu gerçek sayılar, x=π/2+πn, nЄZ hariç.
Örnek: tg0 tgπ = 0 0 = 0
Bu örnek bir öncekine benzer. Bir açının tanjantını hesaplamak için bir noktanın koordinatını apsisine bölmeniz gerekir.
cotangent'un tanımı
Tanım: x≠πk, kЄZ için ctgx=cosx/sinx fonksiyonuna x açısının kotanjantı denir. Ctgx = fonksiyonunun tanım alanı, x=πk, kЄZ noktaları dışındaki tüm gerçek sayılardır.
Normal dik üçgeni kullanan bir örneğe bakalım
Kosinüs, sinüs, teğet ve kotanjantın ne olduğunu daha açık hale getirmek için. Açısı y olan normal bir dik üçgeni kullanan bir örneğe bakalım ve a,b,c kenarları. Hipotenüs c, sırasıyla bacaklar a ve b. Hipotenüs c ile kenar b y arasındaki açı.
Tanım: Y açısının sinüsü orandır karşı taraf hipotenüse: siny = a/c
Tanım: Y açısının kosinüsü, bitişik kenarın hipotenüse oranıdır: cosy= in/c
Tanım: Y açısının tanjantı karşı tarafın komşu kenara oranıdır: tgy = a/b
Tanım: Y açısının kotanjantı, komşu tarafın karşı tarafa oranıdır: ctgy= in/a
Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant da trigonometrik fonksiyonlar olarak adlandırılır. Her açının kendi sinüsü ve kosinüsü vardır. Ve neredeyse herkesin kendi teğet ve kotanjantı vardır.
Bize bir açı verilirse sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantının bizim tarafımızdan bilindiğine inanılıyor! Ve tam tersi. Sırasıyla bir sinüs veya başka bir trigonometrik fonksiyon verildiğinde açıyı biliyoruz. Hatta özel tablolar bile oluşturuldu. trigonometrik fonksiyonlar her açı için.
Bir açının sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjantını anlamanıza yardımcı olacaktır dik üçgen.
Dik üçgenin kenarlarına ne denir? Aynen öyle, hipotenüs ve bacaklar: hipotenüs dik açının karşısındaki kenardır (örneğimizde bu \(AC\) kenarıdır); bacaklar kalan iki taraf \(AB\) ve \(BC\)'dir (bitişik olanlar) dik açı) ve eğer bacakları \(BC\) açısına göre düşünürsek, o zaman \(AB\) bacağı bitişik bacaktır ve \(BC\) bacağı da bunun tersidir. Şimdi şu soruyu cevaplayalım: Bir açının sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantı nedir?
Açının sinüsü– bu, karşı (uzak) bacağın hipotenüse oranıdır.
Üçgenimizde:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Açının kosinüsü– bu, bitişik (yakın) bacağın hipotenüse oranıdır.
Üçgenimizde:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Açının tanjantı– bu, karşı (uzak) tarafın bitişik (yakın) tarafa oranıdır.
Üçgenimizde:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Açının kotanjantı– bu, bitişik (yakın) bacağın karşıt (uzak) bacağına oranıdır.
Üçgenimizde:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
Bu tanımlar gerekli Unutma! Hangi bacağın neye bölüneceğini hatırlamayı kolaylaştırmak için bunu açıkça anlamalısınız. teğet Ve kotanjant yalnızca bacaklar oturur ve hipotenüs yalnızca sinüs Ve kosinüs. Ve sonra bir çağrışımlar zinciri oluşturabilirsiniz. Örneğin, bu:
Kosinüs → dokunma → dokunma → bitişik;
Kotanjant → dokunma → dokunma → bitişik.
Her şeyden önce, bir üçgenin kenarlarının oranları bu kenarların uzunluklarına (aynı açıda) bağlı olmadığından sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantın olduğunu hatırlamanız gerekir. Bana inanmıyor musun? Daha sonra resme bakarak emin olun:
Örneğin \(\beta \) açısının kosinüsünü düşünün. Tanım gereği, bir \(ABC\) üçgeninden: \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \) ancak \(\beta \) açısının kosinüsünü \(AHI \) üçgeninden hesaplayabiliriz: \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Görüyorsunuz, kenarların uzunlukları farklı ama bir açının kosinüsünün değeri aynı. Dolayısıyla sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant değerleri yalnızca açının büyüklüğüne bağlıdır.
Tanımları anlıyorsanız, devam edin ve bunları pekiştirin!
Aşağıdaki şekilde gösterilen \(ABC\) üçgeni için şunu buluruz: \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(array) \)
Peki, anladın mı? O halde kendiniz deneyin: \(\beta \) açısı için de aynısını hesaplayın.
Cevaplar: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Birim (trigonometrik) daire
Derece ve radyan kavramlarını anlayarak, yarıçapı \(1\)'e eşit olan bir daire düşündük. Böyle bir daireye denir Bekar. Trigonometri çalışırken çok faydalı olacaktır. Bu nedenle biraz daha detaylı bakalım.
Gördüğünüz gibi, verilen daire yerleşik Kartezyen sistem koordinatlar Daire yarıçapı bire eşit, dairenin merkezi orijinde yer alırken, başlangıç pozisyonu Yarıçap vektörü \(x\) ekseninin pozitif yönü boyunca sabitlenmiştir (örneğimizde bu, \(AB\) yarıçapıdır).
Çember üzerindeki her nokta iki sayıya karşılık gelir: \(x\) ekseni boyunca koordinat ve \(y\) ekseni boyunca koordinat. Nedir bu koordinat numaraları? Ve genel olarak, bunların elimizdeki konuyla ne ilgisi var? Bunu yapmak için, dikkate alınan dik üçgeni hatırlamamız gerekir. Yukarıdaki şekilde iki tam dik üçgeni görüyorsunuz. \(ACG\) üçgenini düşünün. \(CG\), \(x\) eksenine dik olduğundan dikdörtgendir.
\(ACG \) üçgeninden \(\cos \ \alpha \) nedir? Bu doğru \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Ayrıca \(AC\)'nin birim çemberin yarıçapı olduğunu biliyoruz, yani \(AC=1\) . Bu değeri kosinüs formülümüzde yerine koyalım. İşte olanlar:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
\(ACG \) üçgeninden \(\sin \ \alpha \) neye eşittir? Tabii ki \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! \(AC\) yarıçapının değerini bu formülde değiştirin ve şunu elde edin:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Peki çembere ait \(C\) noktasının koordinatlarının ne olduğunu söyleyebilir misiniz? Peki, mümkün değil mi? Peki ya \(\cos \ \alpha \) ve \(\sin \alpha \)'nin yalnızca sayı olduğunu fark ederseniz? \(\cos \alpha \) hangi koordinata karşılık gelir? Tabii ki koordinat \(x\)! Peki \(\sin \alpha \) hangi koordinata karşılık gelir? Doğru, koordinat \(y\)! Yani asıl nokta \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
O halde \(tg \alpha \) ve \(ctg \alpha \) neye eşittir? Aynen öyle, hadi teğet ve kotanjantın karşılık gelen tanımlarını kullanalım ve şunu elde edelim \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
Ya açı daha büyükse? Örneğin bu resimdeki gibi:
Neler değişti bu örnekte? Hadi çözelim. Bunu yapmak için tekrar dik üçgene dönelim. Bir dik üçgen düşünün \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : açı (açıya komşu olarak \(\beta \) ). Bir açı için sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın değeri nedir? \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Doğru, trigonometrik fonksiyonların ilgili tanımlarına uyuyoruz:
\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(dizi) \)
Gördüğünüz gibi açının sinüs değeri hala \(y\) koordinatına karşılık geliyor; açının kosinüsünün değeri – koordinatı \(x\) ; ve karşılık gelen oranlara teğet ve kotanjant değerleri. Dolayısıyla bu ilişkiler yarıçap vektörünün herhangi bir dönüşüne uygulanır.
Yarıçap vektörünün başlangıç konumunun \(x\) ekseninin pozitif yönü boyunca olduğundan daha önce bahsedilmişti. Şu ana kadar bu vektörü saat yönünün tersine döndürdük ama saat yönünde döndürürsek ne olur? Olağanüstü bir şey yok, ayrıca belli bir değerde bir açı elde edeceksiniz, ancak yalnızca negatif olacaktır. Böylece, yarıçap vektörünü saat yönünün tersine döndürdüğümüzde, şunu elde ederiz: pozitif açılar , ve saat yönünde döndürüldüğünde – negatif.
Yani, yarıçap vektörünün daire etrafındaki tüm devriminin \(360()^\circ \) veya \(2\pi \) olduğunu biliyoruz. Yarıçap vektörünü \(390()^\circ \) veya \(-1140()^\circ \) kadar döndürmek mümkün mü? Tabii ki yapabilirsin! İlk durumda, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \) dolayısıyla yarıçap vektörü bir tam dönüş yapacak ve \(30()^\circ \) veya \(\dfrac(\pi )(6) \) konumunda duracaktır.
İkinci durumda, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \) yani yarıçap vektörü üç yapar tam devrimler ve \(-60()^\circ \) veya \(-\dfrac(\pi )(3) \) konumunda duracaktır.
Dolayısıyla, yukarıdaki örneklerden, \(360()^\circ \cdot m \) veya \(2\pi \cdot m \) (burada \(m \) herhangi bir tam sayıdır) kadar farklı olan açıların olduğu sonucuna varabiliriz. yarıçap vektörünün aynı konumuna karşılık gelir.
Aşağıdaki şekil \(\beta =-60()^\circ \) açısını göstermektedir. Aynı görüntü köşeye karşılık gelir \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) vesaire. Bu listeye süresiz olarak devam edilebilir. Bütün bu açılar genel formülle yazılabilir. \(\beta +360()^\circ \cdot m\) veya \(\beta +2\pi \cdot m \) (burada \(m \) herhangi bir tam sayıdır)
\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)
Şimdi temel trigonometrik fonksiyonların tanımlarını bilerek ve birim çemberi kullanarak değerlerin ne olduğunu cevaplamaya çalışın:
\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)
İşte size yardımcı olacak bir birim çember:
Zorluk mu yaşıyorsunuz? O zaman çözelim. Yani şunu biliyoruz:
\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\end(array)\)
Buradan belirli açı ölçülerine karşılık gelen noktaların koordinatlarını belirliyoruz. Pekala, sırayla başlayalım: köşedeki \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)\(\left(0;1 \right) \) koordinatlarına sahip bir noktaya karşılık gelir, dolayısıyla:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- mevcut değil;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Ayrıca aynı mantığa bağlı kalarak köşelerin de olduğunu görüyoruz. \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) koordinatlı noktalara karşılık gelir \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text() )\left(0 ;1 \sağ) \), sırasıyla. Bunu bilerek trigonometrik fonksiyonların değerlerini karşılık gelen noktalarda belirlemek kolaydır. Önce kendiniz deneyin, sonra cevapları kontrol edin.
Cevaplar:
\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0\)
\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- mevcut değil
\(\sin \270()^\circ =-1\)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- mevcut değil
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \ 360()^\circ =0 \)
\(\cos \360()^\circ =1\)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- mevcut değil
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- mevcut değil
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Böylece aşağıdaki tabloyu yapabiliriz:
Tüm bu değerleri hatırlamanıza gerek yok. Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları ile trigonometrik fonksiyonların değerleri arasındaki yazışmayı hatırlamak yeterlidir:
\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Bunu hatırlamanız veya çıktısını alabilmeniz gerekir!! \) !}
Ancak açıların trigonometrik fonksiyonlarının değerleri ve \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) Aşağıdaki tabloda verilenleri hatırlamanız gerekir:
Korkmayın, şimdi size karşılık gelen değerlerin oldukça basit bir şekilde ezberlenmesine ilişkin bir örnek göstereceğiz:
Bu yöntemi kullanmak için, her üç açı ölçüsünün sinüs değerlerini hatırlamak hayati önem taşır ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)) ve \(30()^\circ \) cinsinden açının tanjantının değeri. Bu \(4\) değerleri bilerek, tablonun tamamını geri yüklemek oldukça basittir - kosinüs değerleri oklara göre aktarılır, yani:
\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \end(array) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \) bunu bilerek değerleri geri yükleyebilirsiniz. \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). "\(1 \)" payı \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \)'ye karşılık gelir ve "\(\sqrt(\text(3)) \)" paydası şuna karşılık gelir: \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Kotanjant değerleri şekilde gösterilen oklara göre aktarılır. Bunu anlayıp okların olduğu diyagramı hatırlarsanız tablodan sadece \(4\) değeri hatırlamanız yeterli olacaktır.
Çember üzerindeki bir noktanın koordinatları
Dairenin merkezinin koordinatlarını, yarıçapını ve dönme açısını bilerek bir daire üzerinde bir nokta (koordinatları) bulmak mümkün müdür? Tabii ki yapabilirsin! Hadi çıkaralım genel formül Bir noktanın koordinatlarını bulmak için Örneğin önümüzde bir daire var:
Bize bu nokta verildi \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- dairenin merkezi. Çemberin yarıçapı \(1,5\)'dir. \(O\) noktasının \(\delta \) derece döndürülmesiyle elde edilen \(P\) noktasının koordinatlarını bulmak gerekir.
Şekilden görülebileceği gibi, \(P\) noktasının \(x\) koordinatı \(TP=UQ=UK+KQ\) doğru parçasının uzunluğuna karşılık gelir. \(UK\) segmentinin uzunluğu dairenin merkezinin \(x\) koordinatına karşılık gelir, yani \(3\)'e eşittir. \(KQ\) segmentinin uzunluğu kosinüs tanımı kullanılarak ifade edilebilir:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
Sonra \(P\) noktası için koordinatı elde ederiz. \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).
Aynı mantığı kullanarak \(P\) noktasının y koordinatının değerini buluyoruz. Böylece,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).
Dolayısıyla genel olarak noktaların koordinatları aşağıdaki formüllerle belirlenir:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), Nerede
\(((x)_(0))),((y)_(0)) \) - dairenin merkezinin koordinatları,
\(r\) - dairenin yarıçapı,
\(\delta \) - vektör yarıçapının dönüş açısı.
Gördüğünüz gibi, düşündüğümüz birim daire için, merkezin koordinatları sıfıra ve yarıçap bire eşit olduğundan bu formüller önemli ölçüde azaltılmıştır:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \\delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)
Tarayıcınızda Javascript devre dışı.Hesaplamaları gerçekleştirmek için ActiveX kontrollerini etkinleştirmelisiniz!
Öğretmenler her öğrencinin hesaplama yapabilmesi gerektiğine inanırlar. trigonometrik formüller ancak her öğretmen sinüs ve kosinüsün ne olduğunu açıklamaz. Anlamları nedir, nerelerde kullanılırlar? Neden üçgenlerden bahsediyoruz ama ders kitabında daire gösteriliyor? Tüm gerçekleri birbirine bağlamaya çalışalım.
Okul konusu
Trigonometri çalışması genellikle 7-8. Sınıflarda başlar. lise. Bu aşamada öğrencilere sinüs ve kosinüsün ne olduğu anlatılır ve bu fonksiyonları kullanarak geometrik problemleri çözmeleri istenir. Daha fazlası daha sonra görünecek karmaşık formüller ve gerekli ifadeler cebirsel olarak dönüşümü (çift ve yarım açı formülleri, güç fonksiyonları), çalışma trigonometrik bir daire ile gerçekleştirilir.
Ancak öğretmenler kullanılan kavramların anlamını ve formüllerin uygulanabilirliğini her zaman net bir şekilde açıklayamamaktadır. Bu nedenle öğrenci çoğu zaman bu konudaki noktayı göremez ve ezberlenen bilgiler çabuk unutulur. Ancak bir lise öğrencisine, örneğin işlev ve işlev arasındaki bağlantıyı bir kez açıklamakta fayda var. salınım hareketi mantıksal bağlantı uzun yıllar hatırlanacak ve konunun yararsızlığına dair şakalar geçmişte kalacak.
Kullanım
Merak uğruna fiziğin çeşitli dallarına bakalım. Bir merminin menzilini belirlemek ister misiniz? Yoksa bir nesne ile belirli bir yüzey arasındaki sürtünme kuvvetini mi hesaplıyorsunuz? Sarkacı sallamak, camdan geçen ışınları izlemek, indüksiyonu hesaplamak mı? Hemen hemen her formülde görünürler trigonometrik kavramlar. Peki sinüs ve kosinüs nedir?
Tanımlar
Bir açının sinüsü karşı kenarın hipotenüse oranı, kosinüs ise komşu kenarın aynı hipotenüse oranıdır. Burada kesinlikle karmaşık bir şey yok. Belki de öğrencilerin genellikle metinlerde gördükleri anlamlar kafalarını karıştırmaktadır. trigonometrik tablo, çünkü karekökler orada görünüyor. Evet, onlardan ondalık sayı almak pek uygun değil ama matematikteki tüm sayıların eşit olması gerektiğini kim söyledi?
Aslında trigonometri problem kitaplarında komik bir ipucu bulabilirsiniz: buradaki cevapların çoğu çifttir ve en kötü durumda iki veya üçün kökünü içerir. Sonuç basit: Cevabınızın "çok katlı" bir kesir olduğu ortaya çıkarsa, hesaplamalarda veya akıl yürütmede hatalar olup olmadığını anlamak için çözümü bir kez daha kontrol edin. Ve büyük olasılıkla onları bulacaksınız.
Hatırlanması gerekenler
Her bilim gibi trigonometrinin de öğrenilmesi gereken verileri vardır.
İlk önce şunu hatırlamalısın sayısal değerler sinüsler için, bir dik üçgenin kosinüsleri 0 ve 90'ın yanı sıra 30, 45 ve 60 derecedir. Bu göstergeler on kişiden dokuzunda ortaya çıkıyor okul görevleri. Bu değerlere bir ders kitabında bakarak çok zaman kaybedeceksiniz ve test veya sınav sırasında bunlara bakacağınız hiçbir yer kalmayacak.
Her iki fonksiyonun değerinin birden fazla olamayacağı unutulmamalıdır. Hesaplamalarınızın herhangi bir yerinde 0-1 aralığının dışında bir değer elde ederseniz, durun ve sorunu yeniden deneyin.
Sinüs ve kosinüs karelerinin toplamı bire eşittir. Değerlerden birini zaten bulduysanız geri kalanını bulmak için bu formülü kullanın.
Teoremler
Temel trigonometride iki temel teorem vardır: sinüsler ve kosinüsler.
Birincisi, bir üçgenin her bir tarafının karşı açının sinüsüne oranının aynı olduğunu belirtir. İkincisi, herhangi bir kenarın karesi, kalan iki kenarın karelerinin toplanması ve bunların çift çarpımlarının aralarındaki açının kosinüsüyle çarpılmasıyla elde edilebilir.
Böylece, 90 derecelik bir açının değerini kosinüs teoremine koyarsak, Pisagor teoremini elde ederiz. Şimdi, dik üçgen olmayan bir şeklin alanını hesaplamanız gerekiyorsa, artık endişelenmenize gerek yok - tartışılan iki teorem, sorunun çözümünü önemli ölçüde basitleştirecektir.
Amaçlar ve hedefler
Basit bir gerçeğin farkına vardığınızda trigonometriyi öğrenmek çok daha kolay hale gelecektir: Yaptığınız tüm eylemler tek bir hedefe ulaşmayı amaçlamaktadır. Bir üçgenin herhangi bir parametresi, onunla ilgili minimum bilgiyi biliyorsanız bulunabilir; bu, bir açının değeri ve iki kenarın uzunluğu veya örneğin üç kenarın uzunluğu olabilir.
Herhangi bir açının sinüsünü, kosinüsünü, tanjantını belirlemek için bu veriler yeterlidir ve onların yardımıyla şeklin alanını kolayca hesaplayabilirsiniz. Cevap neredeyse her zaman belirtilen değerlerden birini gerektirir ve bunlar aynı formüller kullanılarak bulunabilir.
Trigonometri öğrenmede tutarsızlıklar
Okul çocuklarının kaçınmayı tercih ettiği kafa karıştırıcı sorulardan biri de aralarındaki bağlantıyı keşfetmektir. farklı kavramlar trigonometride. Görünüşe göre üçgenler açıların sinüslerini ve kosinüslerini incelemek için kullanılıyor, ancak bazı nedenlerden dolayı semboller genellikle daire içeren şekilde bulunur. Ek olarak, sinüs dalgası adı verilen ve ne daireye ne de üçgenlere dışsal bir benzerliği olmayan, tamamen anlaşılmaz, dalga benzeri bir grafik vardır.
Üstelik açılar derece ya da radyan cinsinden ölçülür ve formüllerde bir nedenden dolayı 3,14 (birimsiz) olarak yazılan Pi sayısı 180 dereceye karşılık gelir. Bütün bunlar nasıl bağlantılı?
Ölçü birimleri
Pi neden tam olarak 3,14? Bu anlamın ne olduğunu hatırlıyor musunuz? Bu, yarım daire üzerindeki bir yayın içine sığan yarıçapların sayısıdır. Çemberin çapı 2 santimetre ise çevresi 3,14*2 yani 6,28 olacaktır.
İkinci nokta: “radyan” ve “yarıçap” kelimeleri arasındaki benzerliği fark etmiş olabilirsiniz. Gerçek şu ki, bir radyan sayısal olarak değere eşitçemberin merkezinden bir yarıçap uzunluğunda bir yay üzerine uzanan açı.
Şimdi edindiğimiz bilgileri birleştirip trigonometride neden koordinat ekseninin üstüne “Pi yarım”, solda ise “Pi” yazdığını anlayacağız. Bu açısal büyüklük radyan cinsinden ölçülür çünkü yarım daire 180 derece veya 3,14 radyandır. Derecelerin olduğu yerde sinüsler ve kosinüsler vardır. Merkeze ve koordinat eksenine doğru parçaları ayırarak istenen noktadan bir üçgen çizmek kolaydır.
Geleceğe bakalım
Okulda öğrenilen trigonometri, kulağa ne kadar garip gelse de düz bir çizginin düz bir çizgi olduğu doğrusal bir koordinat sistemiyle ilgilenir.
Ama daha fazlası var karmaşık yollar uzayla çalışmak: buradaki üçgenin açılarının toplamı 180 dereceden fazla olacak ve bizim görüşümüze göre düz çizgi gerçek bir yay gibi görünecek.
Sözlerden eyleme geçelim! Bir elma al. Yukarıdan bakıldığında bir üçgen elde etmek için bıçakla üç kesim yapın. Ortaya çıkan elma parçasını çıkarın ve kabuğun bittiği "kaburgalara" bakın. Hiç de düz değiller. Elinizdeki meyve geleneksel olarak yuvarlak olarak adlandırılabilir, ancak şimdi kesilen parçanın alanını bulabileceğiniz formüllerin ne kadar karmaşık olması gerektiğini hayal edin. Ancak bazı uzmanlar bu tür sorunları her gün çözüyor.
Hayattaki trigonometrik fonksiyonlar
Gezegenimizin yüzeyinde A noktasından B noktasına bir uçağın en kısa rotasının belirgin bir yay şekline sahip olduğunu fark ettiniz mi? Nedeni basit: Dünya küreseldir, bu da üçgenleri kullanarak fazla hesaplama yapamayacağınız anlamına gelir; daha karmaşık formüller kullanmanız gerekir.
Sinüs/kosinüs olmadan yapamazsınız dar açı uzayla ilgili her türlü konuda. Burada pek çok faktörün bir araya gelmesi ilginçtir: Gezegenlerin daireler, elipsler ve çeşitli yörüngeler boyunca hareketini hesaplarken trigonometrik fonksiyonlar gereklidir. karmaşık şekiller; roketlerin, uyduların, mekiklerin fırlatılması, araştırma araçlarının yerinden çıkarılması süreci; izleme uzak yıldızlar ve insanların yakın gelecekte ulaşamayacağı galaksilerin incelenmesi.
Genel olarak trigonometriyi bilen bir kişinin faaliyet alanı çok geniştir ve görünüşe göre ancak zamanla genişleyecektir.
Çözüm
Bugün sinüs ve kosinüsün ne olduğunu öğrendik veya en azından tekrarladık. Bunlar korkmanıza gerek olmayan kavramlardır; sadece onları isteyin ve anlamlarını anlayacaksınız. Trigonometrinin bir amaç olmadığını, yalnızca gerçek tatmini sağlamak için kullanılabilecek bir araç olduğunu unutmayın. insan ihtiyaçları: evler inşa edin, trafik güvenliğini sağlayın, hatta evrenin enginliğini keşfedin.
Aslında bilimin kendisi sıkıcı görünebilir, ancak kendi hedeflerinize ulaşmanın ve kendinizi gerçekleştirmenin bir yolunu bulduğunuzda, öğrenme süreci ilginç hale gelecek ve kişisel motivasyonunuz artacaktır.
Gibi Ev ödevi Kişisel olarak ilginizi çeken bir faaliyet alanında trigonometrik fonksiyonları uygulamanın yollarını bulmaya çalışın. Hayal edin, hayal gücünüzü kullanın ve o zaman muhtemelen yeni bilgilerin gelecekte sizin için yararlı olacağını göreceksiniz. Ayrıca matematik faydalıdır genel gelişim Düşünme.
Bu makale bir noktadan bir düzleme olan mesafenin belirlenmesinden bahsediyor. Uzaklığı bulmamızı sağlayacak koordinat yöntemini analiz edelim. verilen noktaüç boyutlu uzay. Bunu güçlendirmek için çeşitli görev örneklerine bakalım.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Bir noktanın bir düzleme olan uzaklığı şu şekilde bulunur: bilinen mesafe noktadan noktaya, bunlardan biri verilirken diğeri belirli bir düzleme izdüşümdür.
Uzayda χ düzlemine sahip bir M 1 noktası belirtildiğinde, o zaman bu nokta aracılığıyla çizebilirsiniz düzleme dik doğrudan. H1: ortak nokta onların kesişimleri. Bundan, M 1 H 1 parçasının, M 1 noktasından χ düzlemine çizilen bir dik olduğunu, burada H 1 noktasının dikmenin tabanı olduğunu elde ederiz.
Tanım 1
Belirli bir noktadan belirli bir noktaya çizilen dikmenin tabanına olan mesafeyi adlandırın Verilen uçak.
Tanım farklı formülasyonlarla yazılabilir.
Tanım 2
Noktadan düzleme uzaklık belirli bir noktadan belirli bir düzleme çizilen dikmenin uzunluğudur.
M1 noktasından χ düzlemine olan mesafe şu şekilde belirlenir: M1 noktasından χ düzlemine olan mesafe, belirli bir noktadan düzlemdeki herhangi bir noktaya kadar en küçük olacaktır. H 2 noktası χ düzleminde bulunuyorsa ve H 2 noktasına eşit değilse, M 2 H 1 H 2 formunda bir dik üçgen elde ederiz. M 2 H 1, M 2 H 2 bacağının bulunduğu dikdörtgen olan – hipotenüs. Bu şu anlama gelir: M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 M1 noktasından χ düzlemine çizilen eğimli kabul edilir. Belirli bir noktadan düzleme çizilen dikmenin, o noktadan belirli düzleme çizilen eğik çizgiden küçük olduğunu biliyoruz. Aşağıdaki şekilde bu duruma bakalım.
Bir noktadan düzleme olan mesafe - teori, örnekler, çözümler
Bir numara var geometrik problemlerÇözümleri noktadan düzleme olan mesafeyi içermelidir. Bunu tanımlamanın farklı yolları olabilir. Çözmek için Pisagor teoremini veya üçgenlerin benzerliğini kullanın. Koşula göre, bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi, belirtilen şekilde hesaplamak gerektiğinde dikdörtgen sistemÜç boyutlu uzayın koordinatları koordinat yöntemiyle çözülür. Bu paragrafta bu yöntem anlatılmaktadır.
Sorunun koşullarına göre, üç boyutlu uzayda M 1 (x 1, y 1, z 1) koordinatlarına sahip bir χ düzlemine sahip bir nokta verilmiştir; M 1'den mesafeyi belirlemek gerekir; düzlem χ. Bu sorunun çözümü için çeşitli çözüm yöntemleri kullanılmaktadır.
İlk yol
Bu yöntem, M1 noktasından χ düzlemine dik olanın tabanı olan H1 noktasının koordinatlarını kullanarak bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi bulmaya dayanmaktadır. Daha sonra M 1 ile H 1 arasındaki mesafeyi hesaplamanız gerekir.
Sorunu ikinci şekilde çözmek için şunu kullanın: normal denklem verilen uçak.
İkinci yol
Koşul olarak, H1'in, M1 noktasından χ düzlemine indirilen dikin tabanı olduğunu biliyoruz. Daha sonra H 1 noktasının koordinatlarını (x 2, y 2, z 2) belirleriz. M 1'den χ düzlemine gerekli mesafe M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 formülü ile bulunur, burada M 1 (x 1, y 1, z 1) ve H 1 (x 2, y 2, z 2). Çözmek için H 1 noktasının koordinatlarını bilmeniz gerekir.
H1'in, χ düzleminin, χ düzlemine dik olarak yerleştirilmiş M1 noktasından geçen a çizgisi ile kesişme noktası olduğunu biliyoruz. Belirli bir düzleme dik olarak belirli bir noktadan geçen düz bir çizgi için bir denklem derlemenin gerekli olduğu sonucu çıkar. İşte o zaman H 1 noktasının koordinatlarını belirleyebileceğiz. Doğrunun ve düzlemin kesişme noktasının koordinatlarını hesaplamak gerekir.
M 1 (x 1, y 1, z 1) koordinatlarına sahip bir noktadan χ düzlemine olan mesafeyi bulma algoritması:
Tanım 3
- M 1 noktasından geçen ve aynı zamanda bir düz çizgi a denklemi çizin
- χ düzlemine dik;
- H 1 noktasının nokta olan koordinatlarını (x 2 , y 2 , z 2) bulun ve hesaplayın
- a düz çizgisinin χ düzlemiyle kesişimi;
- M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2 formülünü kullanarak M 1 ile χ arasındaki mesafeyi hesaplayın.
Üçüncü yol
Belirli bir dikdörtgen koordinat sisteminde O x y z bir χ düzlemi vardır, o zaman cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 formundaki düzlemin normal bir denklemini elde ederiz. Buradan, M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos formülüyle hesaplanan, χ düzlemine çizilen M 1 (x 1 , y 1 , z 1) noktasıyla M 1 H 1 mesafesinin elde edildiğini elde ederiz. γ z - p . Bu formül teorem sayesinde oluşturulduğu için geçerlidir.
Teorem
M 1 (x 1 , y 1 , z 1) noktası verilmişse üç boyutlu uzay, cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 formundaki χ düzleminin normal bir denklemine sahip olduğunda, noktadan M 1 H 1 düzlemine olan mesafe M formülünden hesaplanır. 1 H 1 = çünkü α · x + çünkü β · y + çünkü γ · z - p, çünkü x = x 1, y = y 1, z = z 1.
Kanıt
Teoremin kanıtı bir noktadan bir çizgiye olan mesafeyi bulmakla ilgilidir. Buradan, M 1'den χ düzlemine olan mesafenin, M 1 yarıçap vektörünün sayısal izdüşümü ile orijinden χ düzlemine olan mesafe arasındaki farkın modülü olduğunu anlıyoruz. Daha sonra M 1 H 1 = n p n → O M → - p ifadesini elde ederiz. χ düzleminin normal vektörü n → = cos α, cos β, cos γ formuna sahiptir ve uzunluğu bire eşittir, n p n → Ö M → O M → = (x 1, y 1) vektörünün sayısal izdüşümüdür , z 1) n → vektörünün belirlediği yönde.
Hesaplama formülünü uygulayalım skaler vektörler. Daha sonra n → , O M → = n → · n p n → Ö M → = 1 · n p n → Ö M → = n p n → Ö M → biçiminde bir vektör bulmak için bir ifade elde ederiz, çünkü n → = cos α, cos β, cos γ · z ve Ö M → = (x 1 , y 1 , z 1) . Koordinat formu giriş şu şekilde olacaktır: n → , O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1, sonra M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Teorem kanıtlandı.
Buradan M 1 (x 1, y 1, z 1) noktasından χ düzlemine olan mesafenin şu şekilde değiştirilerek hesaplandığını anlıyoruz: sol taraf düzlemin normal denklemi cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0 yerine x, y, z koordinatları x 1, y 1 ve z1, M 1 noktasına ilişkin, alarak mutlak değer elde edilen değer.
Koordinatlı bir noktadan belirli bir düzleme olan mesafeyi bulma örneklerine bakalım.
Örnek 1
M 1 (5, - 3, 10) koordinatlı noktadan 2 x - y + 5 z - 3 = 0 düzlemine olan mesafeyi hesaplayın.
Çözüm
Sorunu iki şekilde çözelim.
İlk yöntem a doğrusunun yön vektörünün hesaplanmasıyla başlar. Koşul olarak, verilen 2 x - y + 5 z - 3 = 0 denkleminin bir düzlem denklemi olduğunu biliyoruz. genel görünüm ve n → = (2, - 1, 5) verilen düzlemin normal vektörüdür. Belirli bir düzleme dik olan bir düz çizginin yön vektörü olarak kullanılır. Yazılmalı kanonik denklem 2, - 1, 5 koordinatlarına sahip bir yön vektörü ile M 1 (5, - 3, 10) içinden geçen uzaydaki düz çizgi.
Denklem x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 olacaktır.
Kesişme noktaları belirlenmelidir. Bunu yapmak için, kanonikten kesişen iki çizginin denklemlerine geçmek için denklemleri yavaşça bir sistemde birleştirin. Bu nokta H 1'i alalım. Bunu anlıyoruz
x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 (x - 5) = 2 (y + 3) 5 (x - 5) = 2 (z - 10) 5 ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0
Bundan sonra sistemi etkinleştirmeniz gerekir
x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3
Gauss sistemi çözüm kuralına dönelim:
1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0, y = - 1 10 10 + 2 z = - 1, x = - 1 - 2 y = 1
Bunu H 1(1, - 1, 0) olarak elde ederiz.
Belirli bir noktadan düzleme olan mesafeyi hesaplıyoruz. M 1 (5, - 3, 10) ve H 1 (1, - 1, 0) noktalarını alıyoruz ve şunu elde ediyoruz:
M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30
İkinci çözüm, öncelikle verilen 2 x - y + 5 z - 3 = 0 denklemini şuna indirgemektir: normal görünümlü. Normalleştirme faktörünü belirliyoruz ve 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30 elde ediyoruz. Buradan 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0 düzleminin denklemini türetiyoruz. Denklemin sol tarafı x = 5, y = - 3, z = 10 değiştirilerek hesaplanır ve M 1 (5, - 3, 10) ile 2 x - y + 5 z - arasındaki mesafeyi almanız gerekir. 3 = 0 modülo. Şu ifadeyi elde ederiz:
M 1 H 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30
Cevap: 2 30.
χ düzlemi, bir düzlem belirleme yöntemleri bölümündeki yöntemlerden biri ile belirlendiğinde, öncelikle χ düzleminin denklemini elde etmeniz ve herhangi bir yöntemi kullanarak gerekli mesafeyi hesaplamanız gerekir.
Örnek 2
Üç boyutlu uzayda M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1) koordinatlarına sahip noktalar belirtilir. M 1'den A B C düzlemine olan mesafeyi hesaplayın.
Çözüm
Öncelikle M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C ( koordinatlarına sahip verilen üç noktadan geçen düzlemin denklemini yazmanız gerekir. 4, 0, - 1) .
x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0
Sorunun öncekine benzer bir çözümü olduğu sonucu çıkıyor. Bu, M 1 noktasından A B C düzlemine olan mesafenin 2 30 değerine sahip olduğu anlamına gelir.
Cevap: 2 30.
Bir düzlemdeki belirli bir noktadan veya paralel oldukları bir düzleme olan mesafeyi bulmak, M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p formülünü uygulayarak daha uygundur. . Bundan, düzlemlerin normal denklemlerinin birkaç adımda elde edildiğini elde ederiz.
Örnek 3
M 1 (- 3 , 2 , - 7) koordinatlarına sahip belirli bir noktadan mesafeyi bulun koordinat düzlemi O xy z ve düzlem, denklem tarafından verilen 2 y - 5 = 0 .
Çözüm
O y z koordinat düzlemi x = 0 formundaki bir denkleme karşılık gelir. O y z düzlemi için bu normaldir. Bu nedenle ifadenin sol tarafına x = - 3 değerlerini koymak ve M 1 (- 3, 2, - 7) koordinatlı noktadan düzleme olan mesafenin mutlak değerini almak gerekir. - 3 = 3'e eşit bir değer elde ediyoruz.
Dönüşüm sonrasında 2 y - 5 = 0 düzleminin normal denklemi y - 5 2 = 0 formunu alacaktır. Daha sonra M 1 (- 3, 2, - 7) koordinatlı noktadan 2 y - 5 = 0 düzlemine kadar gerekli mesafeyi bulabilirsiniz. Yerine koyup hesapladığımızda 2 - 5 2 = 5 2 - 2 elde ederiz.
Cevap: M 1'den (- 3, 2, - 7) O y z'ye gerekli mesafe 3 değerine ve 2 y - 5 = 0'a 5 2 - 2 değerine sahiptir.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
