Sayı modülü A orijinden noktaya olan mesafedir A(A).
Bu tanımı anlamak için değişkenin yerine koyalım A herhangi bir sayı, örneğin 3 ve tekrar okumayı deneyin:
Sayı modülü 3 orijinden noktaya olan mesafedir A(3 ).
Modülün sıradan bir mesafeden başka bir şey olmadığı ortaya çıkıyor. Başlangıç noktasından A noktasına olan mesafeyi görmeye çalışalım( 3 )
Başlangıç noktasından A noktasına olan mesafe ( 3 ) 3'e eşittir (üç birim veya üç adım).
Bir sayının modülü iki ile gösterilir dikey çizgiler, Örneğin:
3 sayısının modülü şu şekilde gösterilir: |3|
4 sayısının modülü şu şekilde gösterilir: |4|
5 sayısının modülü şu şekilde gösterilir: |5|
3 sayısının modülünü aradık ve 3'e eşit olduğunu gördük. Bunu yazıyoruz:
Şöyle okur: "Üç sayısının modülü üçtür"
Şimdi -3 sayısının modülünü bulmaya çalışalım. Yine tanıma dönüyoruz ve -3 sayısını yerine koyuyoruz. Yalnızca nokta yerine A kullanıyoruz yeni nokta B. Tam durak Aİlk örnekte zaten kullanmıştık.
Sayının modülü - 3 orijinden bir noktaya olan mesafedir B(—3 ).
Bir noktadan diğerine olan mesafe negatif olamaz. Bu nedenle herhangi bir modül negatif sayı mesafe olması da olumsuz olmayacaktır. -3 sayısının modülü 3 sayısı olacaktır. Orijinden B(-3) noktasına olan mesafe de üç birime eşittir:
Şöyle okur: "Eksi üçün modülü üçtür."
0 sayısının modülü 0'a eşittir, çünkü 0 koordinatına sahip nokta koordinatların orijini ile çakışır, yani. başlangıç noktasından noktaya uzaklık Ç(0) sıfıra eşittir:
"Sıfır modül sıfıra eşit»
Sonuç çıkarıyoruz:
- Bir sayının modülü negatif olamaz;
- Pozitif bir sayı ve sıfır için modül, sayının kendisine eşittir ve negatif bir sayı için - karşı sayı;
- Zıt sayılar var eşit modüller.
Zıt sayılar
Yalnızca işaretleri farklı olan sayılara denir zıt. Örneğin -2 ve 2 sayıları zıttır. Sadece işaretlerde farklılık gösterirler. −2 sayısının bir eksi işareti, 2'nin de bir artı işareti vardır, ancak biz onu göremiyoruz çünkü artı, daha önce de söylediğimiz gibi, geleneksel olarak yazılmaz.
Zıt sayılara daha fazla örnek:
Karşıt sayıların modülleri eşittir. Örneğin -2 ve 2'nin modüllerini bulalım
Şekil, başlangıç noktasından noktalara olan mesafeyi göstermektedir. A(−2) Ve B(2) eşit olarak iki adıma eşittir.
Dersi beğendin mi?
Bize katılın yeni grup VKontakte ve yeni dersler hakkında bildirim almaya başlayın
>>Matematik: Sayı modülü (rus)
M noktasının (- 6) O orijininden uzaklığı 6 birim parçaya eşittir (Şekil 63). 6 sayısına -6 sayısının modülü denir.
Yazıyorlar: |-6|=6.
Bir sayının modülü, başlangıçtan itibaren (birim segmentler halinde) mesafedir koordinatlar A(a) noktasına.
B(5) noktası orijinden 5 uzakta olduğundan 5 sayısının modülü 5'e eşittir. tek segmentler.
Yazıyorlar: |5|=5.
O sayısının modülü 0'a eşittir, çünkü 0 koordinatına sahip nokta O orijini ile çakışır, yani ondan 0 birim bölüm tarafından çıkarılır (bkz. Şekil 63). Şunu yazıyorlar: |0I=0.
Bir sayının modülü negatif olamaz. Pozitif ve sıfır için sayının kendisine, negatif için ise karşıt sayıya eşittir. Karşıt sayıların modülleri eşittir: I-aI = |a|.
? Bir sayının modülü nedir?
Pozitif bir sayının veya sıfırın modülü nasıl bulunur?
Negatif bir sayının modülü nasıl bulunur?
Herhangi bir sayının modülü negatif bir sayı olabilir mi?
İLE 934. Her bir sayının modülünü bulun: 81, 1.3; -5.2;
Karşılık gelen eşitlikleri yazın.
935. |x| ifadesinin değerini bulun, eğer x= -12.3;
936. Başlangıç noktasından noktaların her birine olan mesafeyi (birim parçalar halinde) bulun: A (3,7), B (- 7,8), C (- 200),
937. İfadenin anlamını bulun:
938. A noktası orijinden 5,8 birim solda, B noktası ise 9,8 birim sağdadır. Her noktanın koordinatı nedir? Her koordinatın modülü nedir?
939. Bul:
a) modülü 25 olan negatif bir sayı; ; 7.4;
b) modülü 12 olan pozitif bir sayı; 1; ; 3.2.
940. Modülü olan tüm sayıları yazın:
941. IаI=7 olduğu bilinmektedir. | -a|?
942. İki sayıdan modülü daha büyük olanı seçin:
P 943. Sayılar arasında aşağıdaki çiftleri belirtin: a) zıt sayılar; B) karşılıklı sayılar.
944. Sözlü olarak hesaplayın:
945. Hangi sayı sağda bulunur: -2 veya -1; -vuruş -7; 0 veya -4,2; -15 mi oldu?
M 946. Şekil 64a bir koniyi göstermektedir. Koninin tabanı bir dairedir ve yan yüzeyin gelişimi bir sektördür (bkz. Şekil 64, b). Tabanın eTo yarıçapı 3 cm ise ve yan yüzeyin gelişimi dik açılı bir sektör ise, bu sektörün yarıçapı 12 cm ise koninin yüzey alanını hesaplayın. sorun bildirimi?
947. -k -3,5 ise k'nin değerini bulun; 6.8; 
948. Denklemi çözün:
949. Nina mağazada 4,8 ruble harcadı. Kaç tane para Olya'nın harcadığı, Nina'nın harcadığı biliniyorsa:
a) 0,3 ovuşturarak. daha fazla Olya;
b) 0,5 ovuşturarak. daha az Olya;
c) Olya'dan 2 kat daha fazla;
d) Olya'dan 1,5 kat daha az;
e) Olya'nın harcadığı;
f) Olya'nın harcadığı;
g) Olya'nın harcadığının 0,2'si; Olya harcadı;
h) Olya'nın harcadığının %25'i;
i) %25 oranında Dahası, Ne
j) Olya'nın harcadığının %125'i?
950. İfadenin anlamını bulun:
951. Koordinat çizgisi üzerinde modülleri 3'e eşit olan sayıları işaretleyin; 8; 1; 3.5; 5.
952. İki sayıdan modülü daha büyük olanı seçin:
953. Birinci alanın alanı ikinci alanın alanıdır. Neye eşittir kare ikinci alan, birincinin alanı 12,6 hektar ise?
954. Ivanov Ödülü, Sergeev Ödülünün %75'ini oluşturur. Ivanov Ödülü 73,2 ruble ise Sergeev Ödülü neye eşittir?
955. Kamyonun hızı bir binek otomobilin hızıyla aynıydı. Kamyonun hızı arabanın hızından 22 km/saat daha az ise arabanın hızını bulunuz.
956. Birinci tarladaki pamuk verimi, ikinci tarladaki pamuk veriminden %12,5 daha azdır. İkinci tarlada hektar başına 28 kental ise, birinci tarlanın pamuk verimi ne kadardır?
957. İfadenin anlamını bulun 
N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburd, V.I. Zhokhov, 6. sınıf için Matematik, Ders Kitabı lise
Okul çocukları için çevrimiçi yardım, 6. sınıf için matematik indirme, takvim ve tematik planlama
En çok biri zor konularöğrenciler için bu, modül işareti altında bir değişken içeren denklemleri çözmektir. Önce bunun neyle bağlantılı olduğunu bulalım mı? Örneğin, neden çoğu çocuk ikinci dereceden denklemleri deli gibi çözüyor da bu seferki en iyisi olmaktan çok uzak? karmaşık kavram Modülün nasıl bu kadar çok sorunu var?
Benim düşünceme göre, tüm bu zorluklar, modüllü denklemleri çözmek için açıkça formüle edilmiş kuralların bulunmamasından kaynaklanmaktadır. Yani karar vermek ikinci dereceden denklem, öğrenci önce diskriminant formülünü, ardından ikinci dereceden denklemin köklerine ilişkin formülleri uygulaması gerektiğini kesin olarak bilir. Denklemde bir modül bulunursa ne yapmalı? Denklemin modül işareti altında bir bilinmeyen içermesi durumu için gerekli eylem planını net bir şekilde anlatmaya çalışacağız. Her durum için birkaç örnek vereceğiz.
Ama önce şunu hatırlayalım modül tanımı. Yani sayıyı modüle edin A bu numaranın kendisi şu şekilde çağrılır: A Negatif olmayan ve -A eğer sayı A sıfırdan az. Bunu şu şekilde yazabilirsiniz:
|bir| = a, eğer a ≥ 0 ise ve |a| = -a eğer a< 0
hakkında konuşuyoruz geometrik anlamda Modülde her reel sayının belirli bir noktaya karşılık geldiği unutulmamalıdır. sayı ekseni- ona 
koordinat. Yani modül veya mutlak değer sayı bu noktadan sayı ekseninin orijinine olan mesafedir. Mesafe her zaman pozitif bir sayı olarak belirtilir. Dolayısıyla herhangi bir negatif sayının modülü pozitif bir sayıdır. Bu arada, bu aşamada bile birçok öğrencinin kafası karışmaya başlıyor. Modül herhangi bir sayıyı içerebilir, ancak modülü kullanmanın sonucu her zaman pozitif bir sayıdır.
Şimdi doğrudan denklemlerin çözümüne geçelim.
1. |x| biçiminde bir denklem düşünün = c, burada c bir gerçek sayıdır. Bu denklem modül tanımı kullanılarak çözülebilir.
Tüm gerçek sayılar Bunu üç gruba ayıralım: sıfırdan büyük, sıfırdan küçük olanlar ve üçüncü grup 0 sayısıdır. Çözümü diyagram şeklinde yazalım:
(±c, eğer c > 0 ise
Eğer |x| = c ise x = (0, eğer c = 0 ise
(eğer varsa kök yok< 0
1) |x| = 5, çünkü 5 > 0 ise x = ±5;
2) |x| = -5, çünkü -5< 0, то уравнение не имеет корней;
3) |x| = 0, sonra x = 0.
2. |f(x)| formunun denklemi = b, burada b > 0. Bu denklemi çözmek için modülden kurtulmak gerekir. Bunu şu şekilde yaparız: f(x) = b veya f(x) = -b. Şimdi ortaya çıkan denklemlerin her birini ayrı ayrı çözmeniz gerekiyor. Orijinal denklemde b< 0, решений не будет.
1) |x + 2| = 4 çünkü 4 > 0 ise
x + 2 = 4 veya x + 2 = -4
2) |x 2 – 5| = 11, çünkü 11 > 0 ise
x 2 – 5 = 11 veya x 2 – 5 = -11
x 2 = 16 x 2 = -6
x = ± 4 kök yok
3) |x 2 – 5x| = -8, çünkü -8< 0, то уравнение не имеет корней.
3. |f(x)| biçiminde bir denklem =g(x). Modülün anlamına göre böyle bir denklemin sağ tarafı sıfırdan büyük veya sıfıra eşitse çözümleri olacaktır; g(x) ≥ 0. O zaman elimizde:
f(x) = g(x) veya f(x) = -g(x).
1) |2x – 1| = 5x – 10. Eğer 5x – 10 ≥ 0 ise bu denklemin kökleri olacaktır. Bu tür denklemlerin çözümü burada başlar.
1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0
2. Çözüm:
2x – 1 = 5x – 10 veya 2x – 1 = -(5x – 10)
3. O.D.Z.'yi birleştiriyoruz. ve çözümü elde ederiz:
Kök x = 11/7 O.D.Z.'ye uymaz, 2'den küçüktür, ancak x = 3 bu koşulu karşılar.
Cevap: x = 3
2) |x – 1| = 1 – x2 .
1. O.D.Z. 1 – x 2 ≥ 0. Bu eşitsizliği aralık yöntemini kullanarak çözelim:
(1 – x)(1 + x) ≥ 0
2. Çözüm:
x – 1 = 1 – x 2 veya x – 1 = -(1 – x 2)
x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0
x = -2 veya x = 1 x = 0 veya x = 1
3. Çözümü ve O.D.Z.'yi birleştiriyoruz:
Yalnızca x = 1 ve x = 0 kökleri uygundur.
Cevap: x = 0, x = 1.
4. |f(x)| formunun denklemi = |g(x)|. Bu denklem ikiye eşdeğerdir aşağıdaki denklemler f(x) = g(x) veya f(x) = -g(x).
1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Bu denklem aşağıdaki ikisine eşdeğerdir:
x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 veya x 2 – 5x +7 = -2x + 5
x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0
x = 3 veya x = 4 x = 2 veya x = 1
Cevap: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.
5. Yerine koyma yöntemi (değişken yerine koyma) ile çözülen denklemler. Bu yöntemçözümleri açıklamak en kolay olanıdır spesifik örnek. O halde bize modüllü ikinci dereceden bir denklem verilsin:
x 2 – 6|x| + 5 = 0. Modül özelliğine göre x 2 = |x| 2, böylece denklem aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:
|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. |x| yerine koyalım. = t ≥ 0 olursa:
t 2 – 6t + 5 = 0. Çözme verilen denklem t = 1 veya t = 5 elde ederiz. Yer değiştirmeye dönelim:
|x| = 1 veya |x| = 5
x = ±1 x = ±5
Cevap: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.
Başka bir örneğe bakalım:
x 2 + |x| – 2 = 0. Modül özelliğine göre x 2 = |x| 2, bu nedenle
|x| 2 + |x| – 2 = 0. |x| yerine koyma işlemini yapalım. = t ≥ 0 ise:
t 2 + t – 2 = 0. Bu denklemi çözerek t = -2 veya t = 1 elde ederiz. Yer değiştirmeye dönelim:
|x| = -2 veya |x| = 1
Kök yok x = ± 1
Cevap: x = -1, x = 1.
6. Diğer bir denklem türü ise “karmaşık” modülü olan denklemlerdir. Bu tür denklemler "bir modül içinde modüller" içeren denklemleri içerir. Bu tür denklemler modülün özellikleri kullanılarak çözülebilir.
1) |3 – |x|| = 4. İkinci tip denklemlerde olduğu gibi hareket edeceğiz. Çünkü 4 > 0 olursa iki denklem elde ederiz:
3 – |x| = 4 veya 3 – |x| = -4.
Şimdi her denklemde x modülünü ifade edelim, sonra |x| = -1 veya |x| = 7.
Ortaya çıkan denklemlerin her birini çözüyoruz. İlk denklemde kök yok çünkü -1< 0, а во втором x = ±7.
Cevap x = -7, x = 7.
2) |3 + |x + 1|| = 5. Bu denklemi benzer şekilde çözüyoruz:
3 + |x + 1| = 5 veya 3 + |x + 1| = -5
|x + 1| = 2 |x + 1| = -8
x + 1 = 2 veya x + 1 = -2. Kök yok.
Cevap: x = -3, x = 1.
Modüllü denklemleri çözmek için evrensel bir yöntem de vardır. Bu aralık yöntemidir. Ama buna daha sonra bakacağız.
web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken, orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.
Modül herkesin duymuş gibi göründüğü fakat gerçekte kimsenin gerçekten anlamadığı şeylerden biridir. Bu nedenle bugün olacak harika ders, modüllü denklemleri çözmeye adanmıştır.
Hemen söyleyeceğim: ders zor olmayacak. Ve genel olarak modüller nispeten basit bir konudur. “Evet, elbette karmaşık değil! Aklımı başımdan alıyor!” - birçok öğrenci şunu söyleyecektir, ancak tüm bu beyin kırılmaları çoğu insanın kafasında bilginin değil, bir tür saçmalığın olması nedeniyle meydana gelir. Ve bu dersin amacı saçmalığı bilgiye dönüştürmektir :)
Küçük bir teori
Öyleyse gidelim. En önemli şeyle başlayalım: Modül nedir? Bir sayının modülünün basitçe aynı sayı olduğunu ancak eksi işareti olmadan alındığını hatırlatmama izin verin. Bu, örneğin $\left| -5 \sağ|=5$. Veya $\left| -129,5 \right|=129,5$.
Bu kadar basit mi? Evet, basit. O halde pozitif bir sayının mutlak değeri nedir? Burada her şey daha da basit: Pozitif bir sayının modülü bu sayının kendisine eşittir: $\left| 5 \sağ|=5$; $\sol| 129,5 \right|=$129,5, vb.
İlginç bir şey ortaya çıkıyor: farklı sayılar aynı modüle sahip olabilir. Örneğin: $\sol| -5 \sağ|=\sol| 5 \sağ|=5$; $\sol| -129.5 \sağ|=\sol| 129,5\sağ|=129,5$. Modülleri aynı olan bu sayıların ne tür sayılar olduğunu görmek kolaydır: bu sayılar zıttır. Böylece, zıt sayıların modüllerinin eşit olduğunu kendimiz not ediyoruz:
\[\sol| -a \sağ|=\sol| a\sağ|\]
Bir diğer önemli gerçek: modül asla negatif değildir. Hangi sayıyı alırsak alalım - pozitif ya da negatif - modülü her zaman pozitif (veya son çare olarak sıfır). Bu nedenle modüle genellikle bir sayının mutlak değeri denir.
Ek olarak, pozitif ve negatif bir sayı için modül tanımını birleştirirsek, tüm sayılar için global bir modül tanımı elde ederiz. Yani: bir sayının modülü, sayı pozitifse (veya sıfırsa) sayının kendisine, sayı negatifse karşıt sayıya eşittir. Bunu formül olarak yazabilirsiniz:
Ayrıca sıfır modülü vardır, ancak her zaman sıfıra eşittir. Ayrıca sıfır tekil, zıttı olmayan.
Dolayısıyla $y=\left| fonksiyonunu düşünürsek x \right|$ ve grafiğini çizmeye çalıştığınızda şunun gibi bir şey elde edeceksiniz:
Modül grafiği ve denklem çözme örneği
Bu resimden $\left| olduğu hemen anlaşılıyor. -m \sağ|=\sol| m \right|$ ve modül grafiği hiçbir zaman x ekseninin altına düşmez. Ancak hepsi bu kadar değil: kırmızı çizgi $y=a$ düz çizgisini işaret ediyor, bu da pozitif $a$ için bize aynı anda iki kök veriyor: $((x)_(1))$ ve $((x) _(2)) $, ama bunu daha sonra konuşacağız :)
Saf olmaktan başka cebirsel tanım, geometrik var. Diyelim ki sayı doğrusunda iki nokta var: $((x)_(1))$ ve $((x)_(2))$. Bu durumda $\left| ifadesi ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ basitçe belirtilen noktalar arasındaki mesafedir. Veya isterseniz bu noktaları birleştiren doğru parçasının uzunluğu:
Modül, sayı doğrusu üzerindeki noktalar arasındaki mesafedir Bu tanım aynı zamanda modülün her zaman negatif olmadığını da ima eder. Ancak yeterli tanım ve teori - hadi gerçek denklemlere geçelim :)
Temel formül
Tamam, tanımı çözdük. Ama bu durumu hiç kolaylaştırmadı. Bu modülü içeren denklemler nasıl çözülür?
Sakin ol, sadece sakin ol. En basit şeylerle başlayalım. Bunun gibi bir şeyi düşünün:
\[\sol| x\sağ|=3\]
Yani $x$'ın modülü 3'tür. $x$ neye eşit olabilir? Tanıma bakılırsa $x=3$'dan oldukça memnunuz. Gerçekten mi:
\[\sol| 3\sağ|=3\]
Başka numaralar var mı? Cap bunun var olduğunu ima ediyor gibi görünüyor. Örneğin, $x=-3$ aynı zamanda $\left| -3 \right|=3$, yani gerekli eşitlik sağlanır.
Peki belki araştırıp düşünürsek daha fazla sayı bulabiliriz? Ama şunu kes: daha fazla sayı HAYIR. Denklem $\sol| x \right|=3$'ın yalnızca iki kökü vardır: $x=3$ ve $x=-3$.
Şimdi görevi biraz karmaşıklaştıralım. $x$ değişkeni yerine $f\left(x \right)$ fonksiyonunun modül işaretinin altında kalmasına izin verin ve sağdaki üçlü yerine koyduğumuz keyfi sayı$a$. Denklemi elde ederiz:
\[\sol| f\left(x \sağ) \sağ|=a\]
Peki bunu nasıl çözebiliriz? Size hatırlatmama izin verin: $f\left(x \right)$ isteğe bağlı bir işlevdir, $a$ herhangi bir sayıdır. Onlar. Herhangi bir şey! Örneğin:
\[\sol| 2x+1 \sağ|=5\]
\[\sol| 10x-5 \sağ|=-65\]
İkinci denkleme dikkat edelim. Onun hakkında hemen şunu söyleyebilirsiniz: Kökleri yok. Neden? Her şey doğrudur: çünkü modülün negatif bir sayıya eşit olması gerekir ki bu asla gerçekleşmez, çünkü modülün her zaman pozitif bir sayı veya aşırı durumlarda sıfır olduğunu zaten biliyoruz.
Ancak ilk denklemle her şey daha eğlenceli. İki seçenek vardır: Ya modül işaretinin altında pozitif bir ifade vardır ve sonra $\left| 2x+1 \right|=2x+1$ veya bu ifade hala negatiftir ve sonra $\left| 2x+1 \sağ|=-\sol(2x+1 \sağ)=-2x-1$. İlk durumda denklemimiz şu şekilde yeniden yazılacaktır:
\[\sol| 2x+1 \right|=5\Rightarrow 2x+1=5\]
Ve aniden $2x+1$ alt modül ifadesinin gerçekten pozitif olduğu ortaya çıktı - 5 sayısına eşit. Bu denklemi güvenli bir şekilde çözebiliriz; ortaya çıkan kök, cevabın bir parçası olacaktır:
Özellikle güvensiz insanlar bulunan kökü değiştirmeye çalışabilirler. orijinal denklem ve modülün altında gerçekten pozitif bir sayı olduğundan emin olun.
Şimdi negatif bir alt modüler ifadenin durumuna bakalım:
\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Sağ ok 2x+1=-5\]
Hata! Yine her şey açık: $2x+1 \lt 0$ olduğunu varsaydık ve sonuç olarak $2x+1=-5$ sonucunu elde ettik - aslında bu ifade sıfırdan küçüktür. Ortaya çıkan denklemi, bulunan kökün bize uyacağından emin olarak çözüyoruz:
Toplamda yine iki yanıt aldık: $x=2$ ve $x=3$. Evet, hesaplama miktarının çok basit $\left| denkleminden biraz daha büyük olduğu ortaya çıktı. x \right|=3$, ancak temelde hiçbir şey değişmedi. Yani belki bir tür evrensel algoritma vardır?
Evet böyle bir algoritma var. Ve şimdi onu analiz edeceğiz.
Modül işaretinden kurtulmak
Bize $\left| denklemi verilsin. f\left(x \right) \right|=a$ ve $a\ge 0$ (aksi halde, zaten bildiğimiz gibi, kök yoktur). Daha sonra aşağıdaki kuralı kullanarak modül işaretinden kurtulabilirsiniz:
\[\sol| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]
Böylece modüllü denklemimiz modülsüz olarak ikiye ayrılıyor. Teknoloji bu kadar! Birkaç denklemi çözmeye çalışalım. Bununla başlayalım
\[\sol| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]
Sağda on artı olduğunda ayrı ayrı, eksi olduğunda ayrı ayrı ele alalım. Sahibiz:
\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Rightarrow 5x=-14\Rightarrow x=-\frac(14)(5)=-2,8. \\\bit(hizala)\]
İşte bu! İki kökümüz var: $x=1.2$ ve $x=-2.8$. Çözümün tamamı kelimenin tam anlamıyla iki satır sürdü.
Tamam, hiç şüphe yok, biraz daha ciddi bir şeye bakalım:
\[\sol| 7-5x\sağ|=13\]
Yine artı ve eksi ile modülü açıyoruz:
\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4. \\\bit(hizala)\]
Tekrar birkaç satır - ve cevap hazır! Dediğim gibi modüllerde karmaşık bir şey yok. Sadece birkaç kuralı hatırlamanız gerekiyor. Bu nedenle, gerçekten daha karmaşık görevlere devam ediyoruz ve başlıyoruz.
Sağ taraftaki değişkenin durumu
Şimdi bu denklemi düşünün:
\[\sol| 3x-2 \sağ|=2x\]
Bu denklem öncekilerden temel olarak farklıdır. Nasıl? Ve eşittir işaretinin sağında $2x$ ifadesinin olması gerçeği - ve bunun pozitif mi yoksa negatif mi olduğunu önceden bilemeyiz.
Bu durumda ne yapmalı? Öncelikle şunu kesin olarak anlamalıyız Denklemin sağ tarafı negatif çıkarsa denklemin kökleri olmaz- modülün negatif bir sayıya eşit olamayacağını zaten biliyoruz.
İkincisi, eğer sağ kısım hala pozitifse (veya sıfıra eşitse), o zaman tam olarak eskisi gibi hareket edebilirsiniz: modülü ayrı ayrı artı işaretiyle ve ayrı olarak eksi işaretiyle açın.
Böylece, $f\left(x \right)$ ve $g\left(x \right)$ rastgele işlevleri için bir kural formüle ederiz:
\[\sol| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right) ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(align) \right.\]
Denklemimize göre şunu elde ederiz:
\[\sol| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]
Peki, bir şekilde $2x\ge 0$ gereksinimiyle başa çıkacağız. Sonunda, ilk denklemden aldığımız kökleri aptalca yerine koyabilir ve eşitsizliğin geçerli olup olmadığını kontrol edebiliriz.
O halde denklemin kendisini çözelim:
\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0. \\\bit(hizala)\]
Peki, bu iki kökten hangisi $2x\ge 0$ gereksinimini karşılıyor? Evet ikisi de! Bu nedenle cevap iki sayı olacaktır: $x=(4)/(3)\;$ ve $x=0$. Çözüm bu :)
Bazı öğrencilerin şimdiden sıkılmaya başladığından şüpheleniyorum. Peki, daha da karmaşık bir denkleme bakalım:
\[\sol| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\]
Her ne kadar kötü görünse de aslında “modül eşittir fonksiyon” şeklindeki denklem hala aynı:
\[\sol| f\left(x \sağ) \sağ|=g\sol(x \sağ)\]
Ve tamamen aynı şekilde çözüldü:
\[\sol| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\Rightarrow \left\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \right), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\end(align) \right.\]
Eşitsizlikle daha sonra ilgileneceğiz - bu bir şekilde çok kötü (aslında basit ama çözmeyeceğiz). Şimdilik ortaya çıkan denklemlerle uğraşmak daha iyi. İlk durumu ele alalım - bu, modülün artı işaretiyle genişletildiği zamandır:
\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]
Soldaki her şeyi toplamanız, benzerlerini getirmeniz ve ne olacağını görmeniz hiç de akıllıca değil. Ve şöyle oluyor:
\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\bit(hizala)\]
Onu çıkarıyoruz ortak çarpan$((x)^(2))$ parantezlerin dışına çıkarsak çok basit bir denklem elde ederiz:
\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(hizala) \sağ.\]
\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1.5.\]
Burada kullandık önemli özellikçarpım, bunun için orijinal polinomu çarpanlara ayırdık: çarpanlardan en az biri sıfıra eşit olduğunda çarpım sıfıra eşittir.
Şimdi modülün eksi işaretiyle genişletilmesiyle elde edilen ikinci denklemi de aynı şekilde ele alalım:
\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\sol(-3x+2 \sağ)=0. \\\bit(hizala)\]
Yine aynı şey: Faktörlerden en az biri sıfıra eşit olduğunda ürün sıfıra eşittir. Sahibiz:
\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \right.\]
Üç kökümüz var: $x=0$, $x=1.5$ ve $x=(2)/(3)\;$. Peki, bu setten hangisi son cevaba girecek? Bunu yapmak için eşitsizlik biçiminde ek bir kısıtlamamız olduğunu unutmayın:
Bu gereklilik nasıl dikkate alınır? Bulunan kökleri yerine koyalım ve eşitsizliğin bu $x$ için geçerli olup olmadığını kontrol edelim. Sahibiz:
\[\begin(align)& x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1.5\Rightarrow x-((x)^(3))=1.5-((1.5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\bit(hizala)\]
Dolayısıyla $x=1.5$ kökü bize uymuyor. Ve yanıt olarak yalnızca iki kök olacak:
\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]
Gördüğünüz gibi bu durumda bile karmaşık bir şey yoktu; modüllü denklemler her zaman bir algoritma kullanılarak çözülür. Polinomlar ve eşitsizlikler hakkında iyi bir anlayışa sahip olmanız yeterlidir. Bu nedenle, daha karmaşık görevlere geçiyoruz - zaten bir değil iki modül olacak.
İki modüllü denklemler
Şimdiye kadar sadece en çok çalıştık basit denklemler— bir modül ve başka bir şey vardı. Bu "başka bir şeyi" eşitsizliğin başka bir kısmına, modülden uzağa gönderdik, böylece sonunda her şey $\left| biçiminde bir denkleme indirgenecekti. f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ veya daha basiti $\left| f\left(x \right) \right|=a$.
Ancak anaokulu sona erdi - daha ciddi bir şeyi düşünmenin zamanı geldi. Şöyle denklemlerle başlayalım:
\[\sol| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \sağ) \sağ|\]
Bu “modül eşittir modül” biçiminde bir denklemdir. Temel olarak önemli nokta diğer terimlerin ve faktörlerin yokluğu: solda yalnızca bir modül, sağda bir modül daha - ve daha fazlası değil.
Artık birileri bu tür denklemleri çözmenin şu ana kadar incelediklerimizden daha zor olduğunu düşünecektir. Ama hayır: Bu denklemleri çözmek daha da kolaydır. İşte formül:
\[\sol| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]
Tüm! Alt modüler ifadeleri birinin önüne artı veya eksi işareti koyarak basitçe eşitleriz. Ve sonra ortaya çıkan iki denklemi çözüyoruz - ve kökler hazır! Hiçbir ek kısıtlama, eşitsizlik vb. yok. Çok basit.
Bu sorunu çözmeye çalışalım:
\[\sol| 2x+3 \sağ|=\sol| 2x-7 \sağ|\]
İlköğretim, Watson! Modüllerin genişletilmesi:
\[\sol| 2x+3 \sağ|=\sol| 2x-7 \right|\Rightarrow 2x+3=\pm \left(2x-7 \right)\]
Her durumu ayrı ayrı ele alalım:
\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\left(2x-7 \right)\Rightarrow 2x+3=-2x+7. \\\bit(hizala)\]
Birinci denklemin kökleri yoktur. Çünkü ne zaman $3=-7$? Hangi $x$ değerlerinde? “$x$ nedir ki? Taşlandın mı? Orada hiç $x$ yok” diyorsunuz. Ve haklı olacaksın. $x$ değişkenine bağlı olmayan bir eşitlik elde ettik ve aynı zamanda eşitliğin kendisi de yanlış. Bu yüzden kökleri yok :)
İkinci denklemde her şey biraz daha ilginç ama aynı zamanda çok çok basit:
Gördüğünüz gibi her şey birkaç satırda tam anlamıyla çözüldü - doğrusal bir denklemden başka bir şey beklemiyorduk :)
Sonuç olarak son cevap: $x=1$.
Peki nasıl? Zor? Tabii ki değil. Başka bir şey deneyelim:
\[\sol| x-1 \sağ|=\sol| ((x)^(2))-3x+2 \sağ|\]
Yine $\left| formunda bir denklemimiz var. f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. Bu nedenle, modül işaretini ortaya çıkararak hemen yeniden yazıyoruz:
\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]
Belki birileri şimdi şunu soracaktır: “Hey, ne saçmalık? Neden “artı-eksi” ifadesi solda değil de sağdaki ifadede görünüyor?” Sakin olun, şimdi her şeyi açıklayacağım. Aslında denklemimizi iyi anlamda şu şekilde yeniden yazmamız gerekirdi:
Daha sonra parantezleri açmanız, tüm terimleri eşit işaretin bir tarafına taşımanız gerekir (çünkü denklem her iki durumda da ikinci dereceden olacaktır) ve sonra kökleri bulmanız gerekir. Ancak şunu kabul etmelisiniz: “artı veya eksi” üç terimden önce geldiğinde (özellikle bu terimlerden biri ikinci dereceden ifade), bu bir şekilde "artı veya eksi"nin yalnızca iki terimin önünde göründüğü durumdan daha karmaşık görünüyor.
Ancak hiçbir şey bizi orijinal denklemi şu şekilde yeniden yazmaktan alıkoyamaz:
\[\sol| x-1 \sağ|=\sol| ((x)^(2))-3x+2 \right|\Rightarrow \left| ((x)^(2))-3x+2 \sağ|=\sol| x-1 \sağ|\]
Ne oldu? Özel bir şey yok: sadece soldakini değiştirdiler ve sağ taraf bazı yerlerde. Hayatımızı biraz daha kolaylaştıracak küçük bir şey :)
Genel olarak bu denklemi artı ve eksi seçenekleri dikkate alarak çözeriz:
\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Rightarrow ((x)^(2))-2x+1=0. \\\bit(hizala)\]
İlk denklemin kökleri $x=3$ ve $x=1$'dır. İkincisi genellikle tam bir karedir:
\[((x)^(2))-2x+1=((\left(x-1 \right))^(2))\]
Bu nedenle tek bir kökü vardır: $x=1$. Ancak bu kökü daha önce elde etmiştik. Böylece nihai cevaba yalnızca iki sayı girecektir:
\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]
Görev tamamlandı! Raftan bir pasta alıp yiyebilirsiniz. 2 tane var, ortadaki seninki :)
Önemli Not. Kullanılabilirlik özdeş kökler Modülün genişletilmesi için farklı seçeneklere sahip olmak, orijinal polinomların çarpanlara ayrıldığı anlamına gelir ve bu faktörler arasında kesinlikle ortak bir tane olacaktır. Gerçekten mi:
\[\begin(hizala)& \left| x-1 \sağ|=\sol| ((x)^(2))-3x+2 \sağ|; \\& \sol| x-1 \sağ|=\sol| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\bit(hizala)\]
Modül özelliklerinden biri: $\left| a\cdot b \sağ|=\sol| a \right|\cdot \left| b \right|$ (yani ürünün modülü ürüne eşit modüller), böylece orijinal denklem aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:
\[\sol| x-1 \sağ|=\sol| x-1 \sağ|\cdot \sol| x-2 \sağ|\]
Gördüğünüz gibi aslında ortak bir faktörümüz var. Şimdi tüm modülleri bir tarafta toplarsanız bu faktörü parantezden çıkarabilirsiniz:
\[\begin(hizala)& \left| x-1 \sağ|=\sol| x-1 \sağ|\cdot \sol| x-2 \sağ|; \\& \sol| x-1 \sağ|-\sol| x-1 \sağ|\cdot \sol| x-2 \sağ|=0; \\& \sol| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\bit(hizala)\]
Şimdi, faktörlerden en az biri sıfıra eşit olduğunda çarpımın sıfıra eşit olduğunu unutmayın:
\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \sağ|=0, \\& \sol| x-2 \sağ|=1. \\\end(hizala) \sağ.\]
Böylece iki modüllü orijinal denklem, dersin başında bahsettiğimiz en basit iki denkleme indirgenmiş oldu. Bu tür denklemler tam anlamıyla birkaç satırda çözülebilir :)
Bu açıklama gereksiz derecede karmaşık ve pratikte uygulanamaz görünebilir. Ancak gerçekte çok daha fazlasıyla karşılaşabilirsiniz. karmaşık görevler, bugün analiz ettiğimizlerden daha. Bunlarda modüller polinomlarla birleştirilebilir, aritmetik kökler, logaritmalar vb. Ve bu gibi durumlarda, azaltma fırsatı genel derece Parantezlerin dışına bir şeyler koyarak denklemler çok ama çok faydalı olabilir :)
Şimdi ilk bakışta çılgınca görünebilecek başka bir denkleme bakmak istiyorum. Pek çok öğrenci, hatta modülleri iyi anladıklarını düşünenler bile bu konuda takılıp kalıyor.
Ancak bu denklemi çözmek daha önce baktığımız şeyden çok daha kolaydır. Ve eğer nedenini anlarsan, başka bir numara daha bulacaksın hızlı çözüm Modüllerle denklemler.
Yani denklem şu:
\[\sol| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \sağ|=0\]
Hayır, bu bir yazım hatası değil: modüller arasında bir artıdır. Ve iki modülün toplamının sıfıra eşit olduğu $x$ değerini bulmamız gerekiyor :)
Sorun ne bu arada? Ancak sorun şu ki, her modül pozitif bir sayıdır veya aşırı durumlarda sıfırdır. İki pozitif sayıyı toplarsanız ne olur? Açıkçası yine pozitif bir sayı:
\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(hizala)\]
Son satır size bir fikir verebilir: Modüllerin toplamının sıfır olduğu tek durum, her modülün sıfır olduğu zamandır:
\[\sol| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\Rightarrow \left\( \begin(align)& \left| x-((x)^(3)) \right|=0, \\& \left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0.
Peki modül ne zaman sıfıra eşit olur? Yalnızca bir durumda - alt modüler ifade sıfıra eşit olduğunda:
\[((x)^(2))+x-2=0\Rightarrow \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(align) \right.\]
Böylece, ilk modülün sıfırlandığı üç noktamız var: 0, 1 ve −1; ve ayrıca ikinci modülün sıfırlandığı iki nokta: −2 ve 1. Bununla birlikte, her iki modülün de aynı anda sıfıra sıfırlanmasına ihtiyacımız var, bu nedenle bulunan sayılar arasından aşağıdakilere dahil olanları seçmemiz gerekiyor: her iki set. Açıkçası, böyle tek bir sayı var: $x=1$ - bu son cevap olacak.
Bölünme yöntemi
Zaten bir sürü problemi ele aldık ve bir sürü teknik öğrendik. Hepsi bu kadar mı sanıyorsun? Ama hayır! Şimdi son tekniğe ve aynı zamanda en önemlisine bakacağız. Denklemlerin modül ile bölünmesinden bahsedeceğiz. Ne hakkında konuşacağız ki? Biraz geriye gidelim ve basit bir denkleme bakalım. Örneğin bu:
\[\sol| 3x-5 \sağ|=5-3x\]
Prensipte böyle bir denklemin nasıl çözüleceğini zaten biliyoruz çünkü bu $\left| formunun standart yapısıdır. f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Ancak bu denkleme biraz farklı bir açıdan bakmaya çalışalım. Daha doğrusu, modül işaretinin altındaki ifadeyi düşünün. Herhangi bir sayının modülünün o sayının kendisine eşit olabileceğini ya da bu sayının tersi olabileceğini de hatırlatayım:
\[\sol| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]
Aslında bütün sorun bu belirsizlikten kaynaklanıyor: Modülün altındaki sayı değiştiği için (değişkene bağlı), pozitif mi negatif mi olduğu bizim için net değil.
Peki ya başlangıçta bu sayının pozitif olmasını isterseniz? Örneğin, şunu talep edelim: $3x-5 \gt 0$ - bu durumda modül işareti altında pozitif bir sayı almamız garanti edilir ve bu modülden tamamen kurtulabiliriz:
Böylece denklemimiz kolayca çözülebilecek doğrusal bir denklem haline gelecektir:
Doğru, tüm bu düşünceler yalnızca $3x-5 \gt 0$ koşulu altında anlamlıdır - modülü açık bir şekilde ortaya çıkarmak için bu gereksinimi kendimiz belirledik. Bu nedenle, bulunan $x=\frac(5)(3)$ değerini bu koşula koyalım ve kontrol edelim:
Görünüşe göre ne zaman belirtilen değer$x$ gereksinimimiz karşılanmadı çünkü ifadenin sıfıra eşit olduğu ortaya çıktı ve bunun kesinlikle sıfırdan büyük olmasına ihtiyacımız var. Üzgün. :(
Ama sorun değil! Sonuçta başka bir seçenek daha var $3x-5 \lt 0$. Üstelik: $3x-5=0$ durumu da var - bunun da dikkate alınması gerekiyor, aksi takdirde çözüm eksik kalacaktır. Yani, $3x-5 \lt 0$ durumunu düşünün:
Açıkçası modül eksi işaretiyle açılacaktır. Ama sonra ortaya çıkıyor garip durum: Orijinal denklemin hem solunda hem de sağında aynı ifade ortaya çıkacaktır:
Acaba $5-3x$ ifadesi $x$ ile $5-3x$ ifadesine eşit olacak mı? Kaptan Apaçıklık bile bu tür denklemler yüzünden tükürüğünde boğulurdu, ama biliyoruz ki: bu denklem bir özdeşliktir, yani. değişkenin herhangi bir değeri için doğrudur!
Bu, herhangi bir $x$'ın bize uygun olacağı anlamına gelir. Ancak bir sınırlamamız var:
Başka bir deyişle cevap tek bir sayı değil, tam bir aralık olacaktır:
Son olarak dikkate alınması gereken bir durum daha kaldı: $3x-5=0$. Burada her şey basit: modülün altında sıfır olacaktır ve sıfırın modülü de sıfıra eşittir (bu doğrudan tanımdan gelir):
Ama sonra orijinal denklem $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ şu şekilde yeniden yazılacaktır:
$3x-5 \gt 0$ durumunu düşündüğümüzde bu kökü zaten yukarıda elde etmiştik. Üstelik bu kök $3x-5=0$ denkleminin bir çözümüdür - bu, modülü sıfırlamak için bizim koyduğumuz sınırlamadır :)
Böylece aralığa ek olarak bu aralığın en sonunda yer alan sayıyla da yetineceğiz:
Modülo denklemlerde köklerin birleştirilmesi Toplam son cevap: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Modüllü oldukça basit (esasen doğrusal) bir denklemin cevabında bu tür saçmalıkları görmek çok yaygın değildir, gerçekten mi? Peki, buna alışın: Modülün zorluğu, bu tür denklemlerdeki cevapların tamamen tahmin edilemez olmasıdır.
Çok daha önemli olan başka bir şey var: Az önce modüllü bir denklemi çözmek için evrensel bir algoritmayı analiz ettik! Ve bu algoritma aşağıdaki adımlardan oluşur:
- Denklemdeki her modülü sıfıra eşitleyin. Birkaç denklem elde ederiz;
- Tüm bu denklemleri çözün ve kökleri sayı doğrusunda işaretleyin. Sonuç olarak, düz çizgi, her birinde tüm modüllerin benzersiz bir şekilde ortaya çıktığı birkaç aralığa bölünecektir;
- Her aralık için orijinal denklemi çözün ve cevaplarınızı birleştirin.
İşte bu! Geriye tek bir soru kaldı: 1. adımda elde edilen köklerle ne yapmalı? Diyelim ki iki kökümüz var: $x=1$ ve $x=5$. Sayı doğrusunu 3 parçaya bölecekler:
Sayı doğrusunda noktaları kullanarak aralıklara bölme Peki aralıklar nelerdir? Bunlardan üçünün olduğu açıktır:
- En soldaki: $x \lt 1$ — birimin kendisi aralığa dahil değildir;
- Merkezi: $1\le x \lt 5$ - burada aralığa bir dahildir, ancak beşi dahil değildir;
- En sağdaki: $x\ge 5$ - beş yalnızca buraya dahildir!
Sanırım modeli zaten anladınız. Her aralık sol ucu içerir ve sağ ucu içermez.
İlk bakışta böyle bir giriş uygunsuz, mantıksız ve genel olarak bir tür çılgınlık gibi görünebilir. Ama inanın bana: Biraz pratik yaptıktan sonra bu yaklaşımın en güvenilir olduğunu ve modüllerin açık bir şekilde açılmasını engellemediğini göreceksiniz. Her seferinde böyle bir şema kullanmak daha iyidir: sol/sağ ucunu mevcut aralığa verin veya onu bir sonrakine "atın".
