Sayıların varyansları 5. Matematik dersi "sayıların varyansları"

1. 
   A olayı=(1,2,3) ve B olayı=(1,2,3,4,5,6) olsun. Doğru ifadeyi belirtin.
2. 
   Dağılım rastgele değişken X eşittir 5. D varyansının değeri nedir (-2X)
3. 
   İnternet hizmeti veren bir firma tarafından ayrı bir bölge incelendiğinde, ortalama olarak her 100 aileden 80'inin internete bağlı bilgisayarı olduğu ortaya çıktı. Belirli bir mikro bölgedeki 400 aileden 300 ila 360 ailenin İnternet'e bağlı bir bilgisayara sahip olma olasılığını tahmin edin.
4. 
   İki rastgele değişken X ve Y dikkate alınır. Bunların matematiksel beklentileri ve varyansları sırasıyla eşittir: M (X) =3; D(X) =2; M(Y)=2; D(Y) =1. Lütfen doğru oranları belirtin.

Hangisi aşağıdaki formüller yerleşim numarasını hesaplamak için kullanılır mı?

5. 
   Ayrık bir rastgele değişken X'in, n ve P parametreleriyle bir binom dağılım yasası vardır. D(X) varyansını hesaplamak için kullanılan formülü belirtin.
6. 
   Ayrık bir rastgele değişken X, n ve P parametreleriyle bir binom dağılım yasasına sahiptir. M (X) matematiksel beklentisinin hangi formülle hesaplandığını belirtin

İki atıldı zar. Ortaya çıkan sayının aşağıdaki kombinasyonlarından hangisi tam grup olaylar?

Para 2 kez atıldığında üst üste iki armanın gelme olasılığı P nedir?

7. 
   Şekilde N1, N2, N3 normal dağılımlarının grafikleri gösterilmektedir. Bu dağılımları artan sırada düzenleyin. matematiksel beklenti.
8. 
   Şekilde N1, N2, N3 normal dağılımlarının grafikleri gösterilmektedir. Bu dağılımları artan varyans sırasına göre düzenleyin.
9. 
   Aşağıdaki dağıtım yasasıyla verilen ayrık bir X rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini bulun

“Üç elementin permütasyonu” ve “üç elementin üçe göre düzenlenmesi” kavramları farklı mıdır?

10. 
    
11. 
    Yanıt sırasını ayarlayın
12. 
    X rastgele değişkeninin matematiksel beklentisi ve varyansı sırasıyla M (X) = 3'e eşittir; D(X) =2. Aşağıdaki ifadeleri anlamlarına göre artan şekilde sıralayın.
13. 
    Rastgele değişken X'in varyansı 5'tir. D varyansının değeri (X-1) nedir?
14. 
    İki rastgele değişken X ve Y arasındaki farkın matematiksel beklentisi M (X-Y) nedir ve her birinin matematiksel beklentilerinin değerleri biliniyorsa: M (X) = 3; M (Y) =4?
15. 
    Bayes formülünde yer alan olasılıkların adlarını belirtiniz.
16. 
    A olayı=(1,2.3.4,5) ve B olayı=(5,4,3,2,1) olsun. Doğru ifadeyi belirtin.
17. 
    
18. 
    Aşağıdaki formüller ne anlama geliyor?
19. 
    Rastgele değişken X'in varyansı 5'tir. D varyansının değeri nedir (3X+6)

X rastgele değişkeninin matematiksel beklentisi 5'e eşittir: M(X) =5. Matematiksel beklenti M(X-1)'in değeri nedir?

X rastgele değişkeninin matematiksel beklentisi 5'e eşittir: M(X) =5. Matematiksel beklenti M'nin (-2X) değeri nedir?

20. 
    Bir dizi n'de bağımsız testler Bernoulli şemasına göre gerçekleştirilen A olayının başlangıcı gözlemleniyor Bernoulli formülünün aşağıdaki bileşenleri ne anlama geliyor? Pm,n=Cmnpmqn-m, burada q=1-p. Bu formül ne anlama geliyor: 1) Pm,n 2) Cmn 3) p
21. 
    A olsun – rastgele olay olasılığı sıfır ve 1'den farklı olan; ? – güvenilir ve O – imkansız olay. B, C ve D olayları şu şekilde tanımlanır: B=A+A; C=A+?; D=A*O

4 sayısının standart sapmasının değeri nedir?

X rastgele değişkeninin varyansı 5'tir: D(X) =5. D varyansının değeri (-2X) nedir?

X rastgele değişkeninin matematiksel beklentisi 5'e eşittir: M(X) =5. Matematiksel beklenti M (3X+6)'nin değeri nedir?

Faktöriyel kavramı. Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

İki sayıyı karşılaştırın ve doğru cevabı belirtin. İki sayıyı karşılaştırın. Hangisi daha büyük? Hangi sayı 10'dan büyüktür? yoksa 1010 mu?

22. 
    İki sayıyı karşılaştırın ve doğru cevabı belirtin.
23. 
    Olayı açıklayın: 2x2=5

Zıt olayların toplamı nedir?

Zıt olayların ürünü nedir?

İki zar atılıyor. Ortaya çıkan puanların toplamının aşağıdaki toplamlarından hangisi tam bir olay grubu oluşturur?

24. 
    Etkinlikler aşağıdaki durumlarda tam bir grup oluşturur:

Tam bir grubu oluşturan rastgele olayların toplamı nedir?

25. 
    A olayı=1, 2, 3 ve B olayı=1, 2, 3, 4, 5, 6 olsun. Doğru ifadeyi belirtin.
26. 
    A olayı=1,2,3,4,5 ve B olayı=5,4,3,2,1 olsun. Doğru ifadeyi belirtin.

Küme kaç elemandan oluşur? temel olaylar, bir zarın atılmasının sonucunu açıklıyor mu?

Yerleştirme sayısını hesaplamak için aşağıdaki formüllerden hangisi kullanılır?

27. 
    Yerleştirmeler ve yeniden düzenlemeler. P, n elemanın olası permütasyonlarının sayısı ve A da n elemanın m'ye göre yerleşim sayısı olsun (n>m). P ve A değerleri arasındaki ilişki nedir? Lütfen doğru cevabı belirtin:

“Üç elementin permütasyonu” ve “üç elementin üçe göre düzenlenmesi” kavramları farklı mıdır?

28. 
    Kombinasyonların özellikleri. C, m'nin n elemanının kombinasyon sayısı olsun

Para iki kez atılıyor. Art arda iki arma alma olasılığı P nedir?

Para üç kez atılıyor. Art arda üç arma alma olasılığı P nedir?

29. 
    A ve B rastgele olaylar olsun. P (A+B) ve P (A) + P (B) değerlerini karşılaştırın ve doğru cevabı belirtin.

Zıt olayların toplamının olasılığı nedir?

Zıt olayların gerçekleşme olasılığı nedir?

A, olasılığı P(A) = 0,3 olan rastgele bir olay olsun. P(A+A) olayının olasılığı nedir?

A, olasılığı P(A) = 0,3 olan rastgele bir olay olsun. P (A*A) olaylarının çarpımının olasılığı nedir?

30. 
    Güvenilir ve rastgele olayların meydana gelme olasılığı. İzin vermek
31. 
    İmkansız ve rastgele olayların toplamının olasılığı. İzin vermek
32. 
    İmkansız ve rastgele olayların meydana gelme olasılığı. İzin vermek

Tam bir grubu oluşturan olayların toplamının P olasılığı nedir?

33. 
    Güvenilir ve rastgele olayların toplamının olasılığı. İzin vermek
34. 
    Bernoulli'nin formülü. Bernoulli'nin formülü şuna benzer:

Bernoulli formülünün asimptotik yaklaşımlarını kullanmanın nedenleri nelerdir?

35. 
    Ayrık bir rastgele değişken X, n ve P parametreleriyle bir binom dağılım yasasına sahiptir. Varyansı D (X) hesaplamak için kullanılan formülü belirtin:
36. 
    Ayrık bir rastgele değişken X, n ve P parametreleriyle bir binom dağılım yasasına sahiptir. Matematiksel beklenti M (X)'i hesaplamak için kullanılan formülü belirtin:

Bu formülde P ne anlama geliyor?

37. 
    Nadir olaylar yasası denir:

Bu formülde P ne anlama geliyor?

38. 
    Gauss fonksiyonunun özelliğini belirtin. (aşağıya bakınız):
39. 
    Kullanım kriterini belirtin integral teoremi Moivre-Laplace'ın (formülleri) İntegral formülü Moivre-Laplace şu forma sahiptir:
40. 
    Laplace fonksiyonunun özellikleri (aşağıya bakın):

Bir rastgele değişkenin hangi özelliği onun ortalama değeri anlamına gelir?

41. 
    Her birinin matematiksel beklentilerinin değerleri biliniyorsa, iki rastgele değişken X ve Y'nin toplamının matematiksel beklentisi M (X+Y) nedir: M (X) = 3 ve M (Y) = 4?
42. 
    Her birinin matematiksel beklentilerinin değerleri biliniyorsa, iki rastgele değişken X ve Y arasındaki farkın matematiksel beklentisi M (X-Y) nedir: M (X) = 3 ve M (Y) = 4?

X rastgele değişkeninin matematiksel beklentisi 5'e eşittir: M(X) = 5. Matematiksel beklenti M(X-1)'in değeri nedir?

X rastgele değişkeninin matematiksel beklentisi 5'e eşittir: M(X) = 5. Matematiksel beklenti M(-2X)'in değeri nedir?

X rastgele değişkeninin matematiksel beklentisi 5'e eşittir: M(X) = 5. Matematiksel beklenti M(3X+6)'nin değeri nedir?

Bir rastgele değişkenin hangi özelliği saçılma derecesini belirler?

43. 
    İki bağımsız rastgele değişken X ve Y'nin her birinin varyansı biliniyorsa D (X+Y) toplamının varyansı nedir: D (X) =3 ve D (Y) =4?

X rastgele değişkeninin varyansı 5'tir: D(X) = 5. D(X-1) varyansının değeri nedir?

Rastgele değişken X'in varyansı 5'tir: D(X) = 5. D varyansının değeri (-2X) nedir?

X rastgele değişkeninin varyansı 5'tir: D(X) = 5. D (3X+6) varyansının değeri nedir?

5 sayısının varyansının değeri nedir: D(5) = ?

44. 
    Ortalama standart sapma eşittir:
45. 
    Ayrık bir rastgele değişkenin değer kümesini karakterize edin (en eksiksiz cevabı belirtin):
46. 
    Problem: X rastgele değişkeni üç olası değeri x=2 alır; x=5; x=8. İlk iki olası değerin olasılıkları biliniyor: p=0,4 ve p=0,15. x değerinin olasılığını bulun; p=?
47. 
    Sürekli bir rastgele değişkenin değer kümesi:

Sürekli bir rastgele değişken X'in hangi değeri medyanı Mе (Х) ile belirlenir?

48. 
    X rastgele değişkeninin Mo (X) modu karakterize edilir (doğru cevabı belirtin):

Dağıtım işlevi. Hangi olayın olasılığı X rastgele değişkeninin F(X) dağılım fonksiyonu tarafından belirlenir?

49. 
    Dağıtım fonksiyonunun en küçük değeri. Sürekli bir rastgele değişken X, baştan sona tanımlanır sayı ekseni. F(x) dağılım fonksiyonunun x-> noktasındaki sınırlayıcı değeri nedir?
50. 
    Dağıtım fonksiyonunun en büyük değeri. Sayı doğrusunda sürekli bir X rastgele değişkeni tanımlıdır. F(x) dağılım fonksiyonunun x->- noktasındaki sınırlayıcı değeri nedir? (aşağıda listelenenlerin doğru cevabını belirtin)?

Bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu aşağıdaki özelliklerden hangisine sahiptir?

51. 
    Binom olarak dağıtılan bir rastgele değişken X hangi değerleri alabilir? P (X=m) =Cpq, burada: 0
52. 
    Dağıtılan bir X rastgele değişkeninin matematiksel beklentisi M(X) nedir? binom kanunu: P (X=m) =Cpq, burada: 0
53. 
    Binom yasasına göre dağıtılan X rastgele değişkeninin varyansı D(X) nedir: P (X=m) =Cpq, burada: 0

Poisson dağılım yasasıyla tanımlanan X rastgele değişkeni hangi değerleri alabilir?

54. 
    Poisson dağılım yasasına sahip bir X rastgele değişkeninin matematiksel beklentisi 4'e eşittir: M(X) = 4. Bu rastgele değişkenin varyansı D(X) nedir?
55. 
    Ayrık bir rastgele değişkenin geometrik dağılımı. Dağıtıma göre: rastgele ayrık miktar X, p parametresi ile geometrik bir dağılıma sahiptir, olasılıklarla birlikte sonsuz (ama sayılabilir) bir değerler kümesi 1,2, ..., m, ... alır: P (X=m) =pq, burada 0
56. 
    Üniforma dağıtımı. Segment üzerinde eşit olarak dağılmış bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluğunu karakterize edin:
57. 
    Metro trenleri düzenli olarak 2 dakikalık aralıklarla çalışmaktadır. Yolcu platforma rastgele bir zamanda girer. Yolcunun yarım dakikadan fazla beklemek zorunda kalmama olasılığı nedir?
58. 
    Metro trenleri düzenli olarak 2 dakikalık aralıklarla çalışmaktadır. Yolcu platforma rastgele bir zamanda girer. Rastgele değişken X'in (tren bekleme süresi) matematiksel beklentisi M(X)'i belirleyin.
59. 
    Sürekli bir rastgele değişken X'in sahip olduğu tek tip yasa Segmentteki dağılımlar. Matematiksel beklentisi M(X) nedir?
60. 
    Anlamsal anlam"a" parametresi normal hukuk rastgele bir değişkenin dağılımları (aşağıya bakın):
61. 
    "Sigma karesi" parametresinin anlamsal anlamı normal dağılım(Gauss yasası).
62. 
    Matematiksel beklentinin ("a" parametresi), rastgele bir değişkenin (aşağıya bakınız) dağılımına ilişkin normal yasanın (Gauss yasası) olasılık yoğunluk grafiği üzerindeki etkisi şu şekilde karakterize edilir:
63. 
    Matematiksel beklentilerin karşılaştırılması. M (X) ve M (X), X ve X rastgele değişkenlerini normal olarak dağıttı (aşağıdaki şekle bakın).
64. 
    Rastgele bir değişkenin dağılımının normal yasasının (Gauss yasası) varyansının (sigma kare parametresi) azaltılması (aşağıya bakın), dağılım eğrisinin grafiğinde aşağıdaki değişikliğe yol açar:
65. 
    Normal dağılmış rastgele değişkenler X ve X'in D(X) ve D(X) varyanslarının karşılaştırılması (aşağıdaki şekle bakın).
66. 
    Standart (normalleştirilmiş) dağıtım yasası N (0; 1) denir:
67. 
    Üç sigma kuralı.
68. 
    Büyük sayılar kanununun anlamı.
69. 
    Olasılık yoğunluğunun uygunsuz integralinin değeri. Yanlış integral V sonsuz sınırlar Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluğunun oranı şuna eşittir:

Bernoulli şemasındaki deneme sayısındaki sınırsız artışla, gözlemlenen olayın sıklığı ne yönde değişme eğilimindedir?

70. 
    İtibaren nüfus On element şu prensibe göre seçildi: genel popülasyonun her sekiz elementinden biri alındı. Bu seçim yöntemine ne denir?

karakterize eden seçeneğin adı nedir? en yüksek frekansörnekte mi?

Testin anlamlılık düzeyi istatistiksel hipotez%10'a ayarlayın. Tip I hatanın olasılığı nedir?

Aşağıdaki sayısal örnek özelliklerinden hangisi yanlı bir tahmindir?

Simetri özelliği hangi bileşiklere uygulanır?

71. 
    Bir rastgele değişkenin sayısal özelliklerinin aşağıdaki özelliklerinden hangisinin yanlış yazıldığını belirtin (X ve Y'nin bağımsız rastgele değişkenler olduğunu varsayarak)?

5 sayısının matematiksel beklentisinin değeri nedir: M(5) = ?

72. 
    Verilen ayrık bir rastgele X değişkeninin matematiksel beklentisini bulun sonraki yasa dağılımlar:
73. 
    Her birinin varyanslarının değerleri biliniyorsa, iki bağımsız rastgele değişken X ve Y'nin D (X-Y) farkının varyansı nedir: D (X) = 3 ve D (Y) = 4?
74. 
    Poisson Dağılımı. Beklenen değer. X rastgele değişkeninin matematiksel beklentisi M(X) nedir?
75. 
    Poisson yasasına göre dağıtılır:
76. 
    Poisson Dağılımı. Dağılım. Poisson yasasına göre dağıtılan X rastgele değişkeninin D(X) değeri nedir:
77. 
    Böyle bir rastgele X değişkeninin anlamsal yorumunu belirtin:
78. 
    Verilen popülasyon için modu bulun varyasyon serisi:
79. 
    Aşağıdaki varyasyon serisiyle verilen popülasyonun genel ortalamasını bulun:
80. 
    Varyasyon serisi tarafından verilen nüfus medyanını bulun:
81. 
    Aşağıdaki örnek için örnek ortalamasını belirleyin:
82. 
    Popülasyondan alınan aşağıdaki örneğin örnek ortalamasını bulun:

Olasılık teorisi, yalnızca yüksek öğretim kurumlarının öğrencileri tarafından incelenen özel bir matematik dalıdır. Hesaplamaları ve formülleri sever misiniz? Ayrık bir rastgele değişkenin normal dağılımını, topluluk entropisini, matematiksel beklentiyi ve dağılımını öğrenme ihtimalinden korkuyor musunuz? O zaman bu konu sizin için çok ilginç olacak. En önemlilerinden birkaçına göz atalım temel konseptler bu bilim dalı.

Temelleri hatırlayalım

En çok hatırlasan bile basit kavramlar Olasılık teorisi, makalenin ilk paragraflarını ihmal etmeyin. Mesele şu ki, temelleri net bir şekilde anlamadan aşağıda tartışılan formüllerle çalışamayacaksınız.

Yani bazı rastgele olaylar meydana gelir, bazı deneyler olur. Yaptığımız eylemlerin sonucunda çeşitli sonuçlar elde edebiliriz; bunlardan bazıları daha sık, bazıları ise daha az sıklıkla meydana gelir. Bir olayın olasılığı, bir türden gerçekten elde edilen sonuçların sayısının, toplam sayısı olası. Sadece bilmek klasik çözünürlüklü Bu kavramla, sürekli rastgele değişkenlerin matematiksel beklentisini ve dağılımını incelemeye başlayabilirsiniz.

Ortalama

Okula döndüğünüzde matematik dersleri sırasında aritmetik ortalamayla çalışmaya başladınız. Bu kavram olasılık teorisinde yaygın olarak kullanılmaktadır ve bu nedenle göz ardı edilemez. Bizim için asıl önemli olan şu an bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi ve dağılımına ilişkin formüllerde bununla karşılaşacağımızdır.

Bir dizi sayımız var ve aritmetik ortalamayı bulmak istiyoruz. Bizden istenen tek şey, mevcut olan her şeyi toplamak ve dizideki öğe sayısına bölmektir. 1'den 9'a kadar sayımız olsun. Elementlerin toplamı 45 olacak, bu değeri 9'a böleceğiz. Cevap: - 5.

Dağılım

Konuşuyorum bilimsel dil dağılım, elde edilen karakteristik değerlerin aritmetik ortalamadan sapmalarının ortalama karesidir. Tek büyük Latin harfi D ile gösterilir. Hesaplamak için ne gereklidir? Dizinin her elemanı için mevcut sayı ile aritmetik ortalama arasındaki farkı hesaplayıp karesini alıyoruz. Düşündüğümüz olaya ilişkin sonuçların olabileceği kadar değer olacaktır. Daha sonra, alınan her şeyi özetliyoruz ve dizideki öğe sayısına bölüyoruz. Beş olası sonucumuz varsa, o zaman beşe bölün.

Dispersiyonun problem çözerken kullanılabilmesi için hatırlanması gereken özellikleri de vardır. Örneğin, bir rastgele değişken X kat arttığında, varyans X kare kat artar (yani X*X). O asla olmaz Sıfırdan daha az ve değerlerin değişmesine bağlı değildir eşit değer yukarı veya aşağı. Ayrıca bağımsız denemelerde toplamın varyansı, varyansların toplamına eşittir.

Şimdi kesinlikle ayrık bir rastgele değişkenin varyansı ve matematiksel beklenti örneklerini dikkate almamız gerekiyor.

Diyelim ki 21 deney yaptık ve 7 farklı sonuç elde ettik. Her birini sırasıyla 1, 2, 2, 3, 4, 4 ve 5 kez gözlemledik. Varyans neye eşit olacak?

Öncelikle aritmetik ortalamayı hesaplayalım: elemanların toplamı elbette 21'dir. Bunu 7'ye bölerek 3 elde ederiz. Şimdi orijinal dizideki her sayıdan 3 çıkarın, her değerin karesini alın ve sonuçları toplayın. Sonuç 12. Şimdi tek yapmamız gereken sayıyı element sayısına bölmek ve öyle görünüyor ki hepsi bu. Ama bir sorun var! Bunu tartışalım.

Deney sayısına bağımlılık

Varyansı hesaplarken paydanın iki sayıdan birini içerebileceği ortaya çıktı: N veya N-1. Burada N, gerçekleştirilen deneylerin sayısı veya dizideki öğelerin sayısıdır (ki bu aslında aynı şeydir). Bu neye bağlıdır?

Test sayısı yüzlerce olarak ölçülürse paydaya N koymalıyız. Birim cinsinden ise N-1. Bilim adamları sınırı oldukça sembolik olarak çizmeye karar verdiler: bugün 30 sayısını geçiyor. 30'dan az deney yaptıysak, miktarı N-1'e, daha fazlaysa N'ye böleceğiz.

Görev

Varyans problemini ve matematiksel beklentiyi çözme örneğimize dönelim. N veya N-1'e bölünmesi gereken bir ara sayı olan 12'ye sahibiz. 21 deney yaptığımız için (30'dan az) ikinci seçeneği seçeceğiz. Yani cevap şu: varyans 12/2 = 2.

Beklenen değer

Bu yazıda dikkate almamız gereken ikinci kavrama geçelim. Matematiksel beklenti, tüm olası sonuçların karşılık gelen olasılıklarla çarpılmasının sonucudur. Elde edilen değerin ve varyansın hesaplanması sonucunun yalnızca bir kez elde edildiğini anlamak önemlidir. tüm görev, ne kadar sonuç dikkate alınırsa alınsın.

Matematiksel beklentinin formülü oldukça basittir: Sonucu alırız, olasılığıyla çarparız, aynısını ikinci, üçüncü sonuç için ekleriz vb. Bu kavramla ilgili her şeyin hesaplanması zor değildir. Örneğin beklenen değerlerin toplamı, toplamın beklenen değerine eşittir. Aynı durum iş için de geçerlidir. Çok basit işlemler Olasılık teorisindeki her nicelik bunu yapmanıza izin vermez. Problemi ele alalım ve incelediğimiz iki kavramın anlamını aynı anda hesaplayalım. Üstelik teori dikkatimizi dağıtmıştı; şimdi pratik yapma zamanı.

Bir örnek daha

50 deneme yaptık ve farklı şekillerde görünen 10 tür sonuç (0'dan 9'a kadar sayılar) elde ettik. yüzde. Bunlar sırasıyla: %2, %10, %4, %14, %2, %18, %6, %16, %10, %18. Olasılıkları elde etmek için yüzde değerlerini 100'e bölmeniz gerektiğini hatırlayın. Böylece 0,02 elde ederiz; 0.1 vb. Bir rastgele değişkenin varyansı ve matematiksel beklenti probleminin çözümüne bir örnek sunalım.

Aritmetik ortalamayı hatırladığımız formülü kullanarak hesaplıyoruz. ilkokul: 50/10 = 5.

Şimdi saymayı kolaylaştırmak için olasılıkları “parçalar halinde” sonuç sayısına dönüştürelim. 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 ve 9'u elde ederiz. Elde edilen her değerden aritmetik ortalamayı çıkarırız ve ardından elde edilen sonuçların her birinin karesini alırız. Örnek olarak ilk öğeyi kullanarak bunu nasıl yapacağınızı görün: 1 - 5 = (-4). Sonraki: (-4) * (-4) = 16. Diğer değerler için bu işlemleri kendiniz yapın. Her şeyi doğru yaptıysanız, hepsini topladıktan sonra 90 elde edeceksiniz.

90'ı N'ye bölerek varyansı ve beklenen değeri hesaplamaya devam edelim. Neden N-1 yerine N'yi seçiyoruz? Doğru, çünkü yapılan deney sayısı 30'u geçiyor. Yani: 90/10 = 9. Varyansı bulduk. Farklı bir numara alırsanız umutsuzluğa kapılmayın. Büyük ihtimalle hesaplamalarda basit bir hata yaptınız. Yazdıklarınızı bir kez daha kontrol edin, muhtemelen her şey yerine oturacaktır.

Son olarak matematiksel beklenti formülünü hatırlayın. Tüm hesaplamaları vermeyeceğiz, yalnızca gerekli tüm prosedürleri tamamladıktan sonra kontrol edebileceğiniz bir cevap yazacağız. Beklenen değer 5,48 olacaktır. İlk elemanları örnek olarak kullanarak yalnızca işlemlerin nasıl gerçekleştirileceğini hatırlayalım: 0*0,02 + 1*0,1... vb. Gördüğünüz gibi, sonuç değerini olasılığıyla çarpıyoruz.

Sapma

Dağılım ve matematiksel beklentiyle yakından ilişkili bir diğer kavram ise standart sapmadır. O da belirlenmiş Latin harfleriyle sd veya Yunanca küçük harf "sigma". Bu kavram değerlerin merkezi özellikten ortalama ne kadar saptığını gösterir. Değerini bulmak için hesaplamanız gerekir Kare kök dağılımdan.

Normal bir dağılım grafiği çiziyorsanız ve doğrudan üzerinde görmek istiyorsanız kare sapma, bu birkaç aşamada yapılabilir. Görüntünün yarısını modun soluna veya sağına alın (merkezi değer), elde edilen rakamların alanları eşit olacak şekilde yatay eksene dik bir çizin. Dağıtımın ortası ile ortaya çıkan projeksiyon arasındaki segmentin boyutu yatay eksen ve standart sapmayı temsil edecektir.

Yazılım

Formüllerin açıklamalarından ve sunulan örneklerden de görülebileceği gibi, varyansın ve matematiksel beklentinin hesaplanması aritmetik açıdan en basit prosedür değildir. Zaman kaybetmemek için yükseköğretimde kullanılan programı kullanmak mantıklıdır. Eğitim Kurumları- buna "R" denir. İstatistik ve olasılık teorisinden birçok kavrama ilişkin değerleri hesaplamanıza olanak sağlayan işlevlere sahiptir.

Örneğin, değerlerin bir vektörünü belirtirsiniz. Bu şu şekilde yapılır: vektör<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Nihayet

Dağılım ve matematiksel beklenti olmadan gelecekte herhangi bir şeyi hesaplamak zordur. Üniversitelerdeki derslerin ana derslerinde, konuyu incelemenin ilk aylarında zaten tartışılıyorlar. Tam olarak bu basit kavramların anlaşılmaması ve hesaplanamaması nedeniyle birçok öğrenci programda hemen geri kalmaya başlıyor ve daha sonra oturumun sonunda kötü notlar alıyor ve bu da onları burslardan mahrum bırakıyor.

Bu makalede sunulanlara benzer görevleri çözerek en az bir hafta, günde yarım saat pratik yapın. Daha sonra, olasılık teorisindeki herhangi bir testte, gereksiz ipuçları ve hileler olmadan örneklerle baş edebileceksiniz.

Üretilsin P bağımsız denemeler; her birinde bir olayın meydana gelme olasılığı A sabittir. Bu denemelerde olayın meydana gelme sayısındaki fark nedir? Bu sorunun cevabı aşağıdaki teorem ile verilmektedir.

Teorem.Her birinde olayın meydana gelme olasılığı p'nin sabit olduğu n bağımsız denemede A olayının meydana gelme sayısının varyansı, deneme sayısının meydana gelme ve gerçekleşmeme olasılıkları ile çarpımına eşittir. olayın bir denemede meydana gelmesi:

D(X)= npq.

Kanıt. Rastgele değişkeni düşünün X- olayın gerçekleşme sayısı A V P bağımsız testler. Açıkçası, bir olayın bu denemelerde meydana gelen toplam sayısı, olayın bireysel denemelerde meydana gelmelerinin toplamına eşittir:

X = X 1 +X 2 + …+ X p,

Nerede X 1 - olayın ilk testte meydana gelme sayısı, X 2 - ikincisinde, ..., Xp-V P- M .

Miktarları X 1 , X 2 , ..., Xp her bir testin sonucu diğerlerinin sonuçlarına bağlı olmadığından, karşılıklı olarak bağımsızdırlar, dolayısıyla Sonuç 1'i kullanma hakkına sahibiz (bkz. § 5):

D(X)= D(X 1)+D(X 2)+ ...+D(Xp). (*)

Varyansı hesaplayalım X 1 formüle göre

D(X 1)=M( )- [M(X 1)] 2 . (**)

Büyüklük X 1 - olayın gerçekleşme sayısı A bu nedenle ilk testte (bkz. Bölüm VII, § 2, örnek 2) M(X 1)=p.

Miktarın matematiksel beklentisini bulalım , yalnızca iki değer alabilen, yani: 1 2 olasılıkla R Ve HAKKINDA 2 olasılıkla Q:

M( )= 1 2 *p+ 0 2 *q=p.

Bulunan sonuçları ilişkide (**) değiştirerek, şunu elde ederiz:

D(X 1)=p-p 2 =p(1-P)=pq

Açıkçası, diğer rastgele değişkenlerin her birinin varyansı da şuna eşittir: pq. Sağ taraftaki her terimi (*) ile değiştirerek pq, sonunda alacağız

D(X)= npq.

Yorum. Değerden beri X binom yasasına göre dağıtılırsa kanıtlanmış teorem formüle edilebilir Ve Bu yüzden: n ve p parametrelerine sahip bir binom dağılımının varyansı npq çarpımına eşittir.

Örnek. Her biri bir olayın meydana gelme olasılığı 0,6 olan 10 bağımsız deneme gerçekleştirilir. Rastgele bir değişkenin varyansını bulun X-olayın bu denemelerde meydana gelme sayısı.

Çözüm. Koşullara göre, N =10, R= 0,6. Açıkçası, bir olayın gerçekleşmeme olasılığı

q = 1- 0, 6 = 0, 4.

Gerekli varyans

D(X)= npq = 10 0, 6 0, 4 = 2, 4.

Standart sapma

Rastgele bir değişkenin olası değerlerinin ortalama değeri etrafındaki dağılımını tahmin etmek için dağılıma ek olarak başka bazı özellikler de kullanılır. Bunlara standart sapma da dahildir.

Standart sapma rastgele değişken X varyansın karekökü denir:

Varyansın, rastgele değişkenin boyutunun karesine eşit bir boyuta sahip olduğunu göstermek kolaydır. Standart sapma varyansın kareköküne eşit olduğundan boyut s( X) boyut olarak çakışıyor X. Bu nedenle saçılım tahmininin rastgele değişken boyutunda olmasının istendiği durumlarda varyans yerine standart sapma hesaplanır. Örneğin, eğer X doğrusal metre cinsinden ifade edilirse, o zaman a ( X) aynı zamanda doğrusal metre cinsinden de ifade edilecektir; D(X) - metrekare cinsinden.

Örnek. Rastgele değer X dağıtım kanunu tarafından verilen

Standart sapmayı bulun ( X).

Çözüm. Matematiksel beklentiyi bulalım X:

M(X) = 2* 0, 1 + 3* 0, 4+ 10* 0, 5 = 6, 4.

Matematiksel beklentiyi bulalım X 2 :

M(X 2) = 2 2 * 0, 1+ 3 2 * 0, 4+ 10 2 * 0, 5 = 54.

Varyansı bulalım:

D(X)= M(X 2) - [M(X)] 2 = 54 - 6, 4 2 = 13, 04.

Gerekli standart sapma

S (X)= =

Birbirinden bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının standart sapması

Birbirinden bağımsız birkaç rastgele değişkenin standart sapmalarının bilinmesine izin verin. Bu büyüklüklerin toplamının standart sapması nasıl bulunur? Bu sorunun cevabı aşağıdaki teorem ile verilmektedir.

İstatistiklerde dağılım karakteristiğin bireysel değerlerinin karesi olarak bulunur. Başlangıç ​​verilerine bağlı olarak basit ve ağırlıklı varyans formülleri kullanılarak belirlenir:

1. (gruplandırılmamış veriler için) aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

2. Ağırlıklı varyans (varyasyon serileri için):

burada n frekanstır (X faktörünün tekrarlanabilirliği)

Varyansı bulma örneği

Bu sayfada varyans bulmanın standart bir örneği açıklanmaktadır; bunu bulmak için diğer problemlere de bakabilirsiniz.

Örnek 1. Aşağıdaki veriler 20 yazışma öğrencisinden oluşan bir grup için mevcuttur. Karakteristiğin dağılımına ilişkin bir aralık serisi oluşturmak, özelliğin ortalama değerini hesaplamak ve dağılımını incelemek gerekir.

Bir aralık gruplaması oluşturalım. Aşağıdaki formülü kullanarak aralığın aralığını belirleyelim:

burada Xmax, gruplandırma karakteristiğinin maksimum değeridir;
X min – gruplandırma karakteristiğinin minimum değeri;
n – aralık sayısı:

n=5 kabul ediyoruz. Adım: h = (192 - 159)/ 5 = 6,6

Bir aralık gruplaması oluşturalım

Daha fazla hesaplama için yardımcı bir tablo oluşturacağız:

X'i aralığın ortasıdır. (örneğin 159 – 165,6 aralığının ortası = 162,3)

Ağırlıklı aritmetik ortalama formülünü kullanarak öğrencilerin ortalama boyunu belirliyoruz:

Aşağıdaki formülü kullanarak varyansı belirleyelim:

Dispersiyon formülü aşağıdaki gibi dönüştürülebilir:

Bu formülden şu sonuç çıkıyor varyans eşittir seçeneklerin karelerinin ortalaması ile kare ve ortalama arasındaki fark.

Varyasyon serisindeki dağılım Momentler yöntemini kullanarak eşit aralıklarla, ikinci dağılım özelliği kullanılarak (tüm seçeneklerin aralığın değerine bölünmesiyle) aşağıdaki şekilde hesaplanabilir. Varyansın belirlenmesi Momentler yöntemi kullanılarak hesaplanan aşağıdaki formülü kullanmak daha az zahmetlidir:

burada i aralığın değeridir;
A, aralığın ortasını en yüksek frekansla kullanmanın uygun olduğu geleneksel bir sıfırdır;
m1 birinci dereceden momentin karesidir;
m2 - ikinci derecenin anı

(istatistiksel bir popülasyonda bir özellik yalnızca iki birbirini dışlayan seçenek olacak şekilde değişirse, bu tür değişkenliğe alternatif denir) aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

Bu dağılım formülünde q = 1-p'yi yerine koyarsak şunu elde ederiz:

Varyans türleri

Toplam varyans Bir özelliğin, bu varyasyona neden olan tüm faktörlerin etkisi altında popülasyonun tamamındaki değişimini bir bütün olarak ölçer. Bir x karakteristiğinin bireysel değerlerinin, x'in genel ortalama değerinden sapmalarının ortalama karesine eşittir ve basit varyans veya ağırlıklı varyans olarak tanımlanabilir.

rastgele değişimi karakterize eder, yani Değişimin hesaba katılmayan faktörlerin etkisinden kaynaklanan ve grubun temelini oluşturan faktör özelliğine bağlı olmayan kısmı. Bu tür bir dağılım, X grubu içindeki özelliğin bireysel değerlerinin grubun aritmetik ortalamasından sapmalarının ortalama karesine eşittir ve basit dağılım veya ağırlıklı dağılım olarak hesaplanabilir.

Böylece, grup içi varyans ölçümleri Bir grup içindeki bir özelliğin varyasyonu aşağıdaki formülle belirlenir:

burada xi grup ortalamasıdır;
ni gruptaki birimlerin sayısıdır.

Örneğin, bir atölyede işçilerin niteliklerinin işgücü üretkenliği düzeyi üzerindeki etkisini inceleme görevinde belirlenmesi gereken grup içi farklılıklar, her gruptaki çıktıda tüm olası faktörlerin (ekipmanın teknik durumu, ekipmanın mevcudiyeti) neden olduğu değişiklikleri gösterir. araç ve gereçler, işçilerin yaşı, emek yoğunluğu vb.), nitelik kategorisindeki farklılıklar hariç (bir grup içindeki tüm işçiler aynı niteliklere sahiptir).

Grup içi varyansların ortalaması, rastgeleliği, yani varyasyonun gruplandırma faktörü haricindeki tüm diğer faktörlerin etkisi altında meydana gelen kısmını yansıtır. Aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Grubun temelini oluşturan faktör işaretinin etkisinden kaynaklanan, ortaya çıkan özelliğin sistematik varyasyonunu karakterize eder. Grup ortalamalarının genel ortalamadan sapmalarının ortalama karesine eşittir. Gruplar arası varyans aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

İstatistiklere varyans ekleme kuralı

Buna göre varyans ekleme kuralı toplam varyans, grup içi ve gruplar arası varyansların ortalamasının toplamına eşittir:

Bu kuralın anlamı tüm faktörlerin etkisi altında ortaya çıkan toplam varyansın, diğer tüm faktörlerin etkisi altında ortaya çıkan varyanslar ile gruplama faktöründen dolayı ortaya çıkan varyansın toplamına eşit olmasıdır.

Varyans ekleme formülünü kullanarak, bilinen iki varyanstan üçüncü bilinmeyen varyansı belirleyebilir ve ayrıca gruplandırma özelliğinin etkisinin gücünü değerlendirebilirsiniz.

Dispersiyon özellikleri

1. Bir özelliğin tüm değerleri aynı sabit miktarda azaltılırsa (artırılırsa) dağılım değişmeyecektir.
2. Bir özelliğin tüm değerleri aynı sayıda n kadar azaltılırsa (artırılırsa), varyans buna karşılık olarak n^2 kat azalacak (artacaktır).

https://pandia.ru/text/78/381/images/image002_82.jpg" width="192 height=55" height="55"> 0 1280 noktasındaki bu örnek dağılımdan oluşturulan poligonun değeri ve modlar eşittir

DX = 1,5. Dağılımın özelliklerini kullanarak D(2X+5)'i bulun.

MX = 1,5. Matematiksel beklentinin özelliklerini kullanarak M(2X+5)'i bulun.

MX = 5, MY = 2. Matematiksel beklentinin özelliklerini kullanarak M(2X - 3Y)'yi bulun.

X– standart normal rastgele değişken. Rastgele değerX2'nin bir dağılımı var

X ve Y bağımsızdır. DX = 5, DY = 2. Dağılım özelliklerini kullanarak D(2X+3Y)'yi bulun.

5 jeton atılıyor. Armayı üç kez alma olasılığı nedir?

6 adet madeni para atılıyor. Armanın dört defadan fazla görünme olasılığı:

Histogram" href="/text/category/gistogramma/" rel="bookmark">histogram. Şuna benzer:

DIV_ADBLOCK44">

Bazılarının dört boyutunun bir sonucu olarak fiziksel miktar bir cihaz şu sonuçları elde etti: 8, 9, 11, 12. Seçici ortalama sonuçlarölçümler, numune ve düzeltilmiş cihaz hatası varyansları sırasıyla eşittir

Yarıçapı 5 olan daha küçük bir daire, yarıçapı 10 olan bir dairenin içine yerleştiriliyor. büyük daire, aynı zamanda küçük dairenin içine düşecektir. Bir noktanın daireye düşme olasılığının dairenin alanıyla orantılı olduğu ve konumuna bağlı olmadığı varsayılmaktadır.

Yarıçapı 20 cm olan bir dairenin içine, yarıçapı 10 cm olan daha küçük bir daire, merkezleri çakışacak şekilde yerleştiriliyor. Büyük bir daireye rastgele atılan bir noktanın, oluşturulan dairelerin oluşturduğu halkaya da düşme olasılığını bulun. Bir noktanın daireye düşme olasılığının dairenin alanıyla orantılı olduğu ve konumuna bağlı olmadığı varsayılmaktadır.

Piramitte 3'ü optik görüşle donatılmış 5 tüfek var. Optik görüşlü bir tüfekle ateş ederken atıcının isabet olasılığı 0,95, geleneksel bir tüfekle - 0,7'dir. Atıcı rastgele bir tüfek alır ve ateş eder. Hedefin vurulma olasılığını bulun.

Ortalama olarak şirketin ürettiği her yüzüncü üründen biri kusurludur. İki ürün alırsanız her ikisinin de işe yarama olasılığı nedir?

Masada istatistiksel dağılım bir örnekten oluşturulmuş, bir sayının mürekkep lekesi var Bu numara

Bu figür

Örneğe dayalı istatistiksel dağılım tablosunda bir rakam okunamayacak şekilde yazılmıştır. Bu figür

Kutuda siyah topların 5 katı kadar kırmızı top vardır. Rastgele çekilen bir topun kırmızı olma olasılığını bulunuz.

Varyasyon serisiörnekler: -7, 2, 4, 0, 3, 2, 1, -5 gibi görünüyor

–7, -5, 0, 1, 2, 2, 3, 4

BüyüklükXN(a) dağılımına sahiptir,S). Olasılık p(|X-a|<2 S) eşittir

BüyüklükXN(a) dağılımına sahiptir,S). Olasılık p(XS)eşittir