Kübik enterpolasyon spline'ı. Kübik bir spline inşaatı

Gemi yapımı, otomobil imalatı ve uçak imalatı gibi endüstriyel imalatta, nihai şekil, nihai şekil veya buna yakın ölçekte, bitirme işlemi yoluyla belirlenir.

Temsil edilen bu sürecin otomasyonu önemli ilgiİçin bilgisayar grafikleri. Matematiksel spline'ın şekli, fiziksel spline'ın konturunu takip eder (Şekil 5-4), yani. belirli noktalardan geçen esnek ahşap veya plastik cetvel. Spline'ın şeklini değiştirmek için kurşun ağırlıklar kullanılır. Sayılarını ve konumlarını değiştirerek ortaya çıkan eğriyi daha düzgün, daha güzel ve "göze hoş" hale getirmeye çalışırlar.

Fiziksel bir spline'ı ince, esnek bir şerit olarak düşünürsek, şekli (sapması), şerit boyunca bükülme momenti için Euler denklemi (5-2) ile belirlenir:

burada raf malzemesinin özelliklerine bağlı olan Young modülü, eğrinin şekliyle belirlenen atalet momentidir ve eğrilik yarıçapıdır.

Küçük sapmalar için yarıçap yaklaşık olarak eşittir

,

burada asal, direk boyunca mesafeye göre türevi belirtir ve asalın sapmasıdır. Euler denklemi şu şekli alır

Ağırlıkların basit destek görevi görmesine izin verin, ardından aralarındaki bükülme momenti doğrusal olarak değişir. Değiştirme Euler denkleminde şunu elde ederiz:

ve çift entegrasyondan sonra

Böylece spline'ın şekli kübik bir polinom tarafından verilir.

İÇİNDE genel durum matematiksel bir spline, bölümlerin bağlantı noktalarında derecenin sürekli bir türevi olan parçalı bir derece polinomudur. Örneğin, kübik spline bağlantı noktalarında ikinci dereceden sürekliliğe sahiptir. Düşük dereceli polinomlardan parçalı eğriler, büyük hesaplama maliyetleri gerektirmediğinden ve polinomların karakteristik sayısal sapmalarına neden olmadığından, eğrilerin enterpolasyonu için çok uygundur. yüksek sipariş. Fiziksel spline'lara benzer şekilde, tipik olarak her bir bölümün iki noktadan geçtiği bir dizi kübik bölüm kullanılır. Kübik bir spline da uygundur çünkü en küçük dereceden bir eğridir, bükülme noktalarına ve uzayda bükülmeye izin verir.

Bir parametrik spline segmentinin denklemi şöyledir:

, , (5-1)

segmentin başında ve sonundaki parametre değerleri nerede ve nerededir. - segmentin herhangi bir noktasına vektör. üç bileşenin olduğu vektör değerli bir fonksiyondur Kartezyen koordinatlar vektör.

Pirinç. 5-5 Kübik bir spline'ın bir segmenti.

Her bileşenin benzer bir formu vardır;

, ,

, ,

, .

Sabit katsayılar, spline segmenti için dört sınır koşuluna göre hesaplanır. Denklemi (5-1) forma yazalım

ve, parçanın uçlarının vektörleri olsun (bkz. Şekil 5-5). Ayrıca ve 'ye göre türevler doğru parçasının uçlarında teğet vektörler olsun. Diferansiyel denklem (5-1), şunu elde ederiz:

, . (5-3)

Sonucu yazalım

, . (5-4)

Genelliği kaybetmeden şunu varsayalım ve sınır koşullarını uygulayalım.

Bilinmeyenler için dört denklem elde ederiz:

, (5-6b)

, (5-6c)

. (5-6g)

Çözümler ve forma sahip:

(5-7a)

. (5-7b)

, ve miktarları kübik spline'ın segmentini belirtir. Açıkçası, bir parçanın şekli parçanın uçlarındaki konuma ve teğet vektörlere bağlıdır. Daha sonra, sonuçların segmentin sonunda parametre değerini içerdiğini unutmayın. Her uç nokta ve teğet vektörün üç bileşeni olduğundan, kübik uzay eğrisinin parametrik denklemi on iki vektör bileşenine ve parçanın sonundaki parametrenin değerine bağlıdır.

Denklemleri (5-6) ve (5-7) (5-1)'de değiştirerek, kübik bir spline'ın bir parçası için denklemi elde ederiz:

. (5-8)

Bu bir segment için bir denklemdir. Eğrinin tamamını elde etmek için birçok segmenti bağlamanız gerekir. Şek. Şekil 5-6 iki bitişik parçayı göstermektedir. Vektörler , , , teğet vektörler , ve parametrelerin değerleri biliniyorsa, her parçanın şekli denklemden (5-8) belirlenir. Ancak bağlantı noktasındaki teğet vektörün bilinmesi pek olası değildir. Neyse ki süreklilik koşulundan türetilebilir.

Parçalı dereceli bir spline'ın birleşme noktalarında derece sürekliliğine sahip olduğunu hatırlayın; kübik bir spline'ın sürekliliği ikidir. Bunu yapmak için çizginin ikinci türevi veya eğriliği sürekli olmalıdır. Denklemin (5-1) iki kere diferansiyelini alırsak, şunu elde ederiz:

, . (5-9)

Pirinç. 5-6 İki parçalı kübik spline segmenti.

Spline'ın ilk parçası için parametre . Denklemde (5-9) yerine koyalım:

.

Spline'ın ikinci bölümü için parametre aralıkta değişir. İkinci bölümün başındaki değeri denklem (5-9)'a koyalım

Elde edilen sonuçları eşitleyip (5-6a,b) ve (5-7a) denklemlerini kullanarak şunu elde ederiz:

.

Bu denklemin sol tarafı birinci parçanın sonundaki eğriliği, sağ tarafı ise ikinci parçanın başındaki eğriliği temsil eder. Terimleri çarpın ve gruplandırın:

Bu, bağlantı noktasındaki bilinmeyen teğet vektörü belirler. Son denklemin yine segmentlerin uçlarında parametre değerleri içerdiğini unutmayın.

Ortaya çıkan formül noktalar için genelleştirilebilir ve kübik bir spline'ın bölümleri için bağlantı noktalarında ikinci dereceden süreklilik elde edilebilir.

Pirinç. 5-7 Parçalı kübik spline segmentleri seti için gösterimler.

Herhangi iki bitişik spline parçası için genelleştirilmiş denklem ve Şekil 2'deki notasyonda. 5-7 şuna benzer:

(5-11)

ilk bölüm için ve

(5-12)

ikincisi için, her bölüm için parametre birinci ve ikinci için sıfırdan değişmeye başladığından - .

Herhangi bir bitişik parçanın birleşme noktalarında ikinci türevleri eşitlemek, , verir genel sonuç, denkleme eşdeğer (5-10),

buradan herhangi iki parçanın bağlantı noktalarında teğet vektör belirlenir ve .

Spline'ın tüm bölümleri için denklemin (5-13) yinelemeli kullanımı, teğet vektör denklemleri üretir. İÇİNDE matris formu:

(5-14)

Matris kare değildir, çünkü yalnızca vektörler için denklemler vardır ve bir çözüm elde etmek için ters çevrilemez. Eğrinin uçlarındaki teğet vektörlerin bilindiğini varsayarsak sorun çözülür. Şimdi matris şöyle görünüyor

(5-15)

matrisin kare ve tersinir olduğu yer. Ayrıca bunun ters çevrilmesinin hesaplama maliyetlerini azaltan üç köşegen olduğuna da dikkat edin. Ayrıca matris çapraz olarak baskındır. Bundan şu sonuç çıkıyor: tek çözüm:

. (5-16)

Eğer bilirsek, her bir spline segmenti için katsayıları belirlemek kolaydır. (5-6)-(5-11) denklemlerini genelleştirerek şunu elde ederiz:

,

.

O zamandan beri ve vektör miktarları, o zaman onlar da vektördür; eğer bileşenleri varsa, o zaman bu bileşenlere de sahiptirler.

Matris formunda herhangi bir spline parçasının denklemi şöyledir:

. (5-17)

Uçlarında teğet vektörler bulunan ve noktalardan geçen kübik bir eğrinin belirtilmesi gereksin. Denklem (5-16)'dan iç teğet vektörleri , buluruz. Daha sonra denklem (5-17)'den her parçanın uçlarının bilinen koordinatları ve her parça için teğet vektörleri belirlenir. Denklemin son genellemesi (5-1)

, , , (5-18)

Spline segmentini hesaplamak için kullanılır.

Matris formunda denklem (5-18) şuna benzer:

, . (5-19)

Denklemi (5-17) değiştirerek ve terimleri yeniden düzenleyerek şunu elde ederiz:

, , , (5-20)

, (5-21a)

, (5-21b)

, (5-21s)

, (5-21g)

ağırlık fonksiyonları denir.

Pirinç. 5-8 Kübik spline ağırlıklandırma fonksiyonları

Bu tanımları kullanarak denklem (5-20)'yi matris formunda yazıyoruz.

ağırlık fonksiyonunun matrisi nerede

geometrik bilgiler içerir. Aşağıda görüldüğü gibi (5-22) gibi denklemler, yani. ağırlıklandırma fonksiyonu matrisinin geometrik koşullar matrisiyle çarpımı genellikle eğrileri ve yüzeyleri tanımlamak için kullanılır.

Denklem (5-21)'den her ağırlık fonksiyonunun üçüncü dereceden olduğu açıktır. Kübik bir spline parçası üzerindeki herhangi bir nokta, uç noktaların ve teğet vektörlerin ağırlıklı toplamıdır. Katsayılar ağırlıklandırma fonksiyonları olarak işlev görür. Şek. 5-8 için gösterilmektedir. Şekilden açıkça görülmektedir ki ve , yani. eğri nokta vektöründen geçer. Benzer şekilde ve yani. eğri aynı zamanda nokta vektöründen de geçer. Daha sonra ve ve ve simetrisine dikkat edelim. Aslında . Son olarak , , ve 'nin göreceli sırasına dikkat edelim. Büyüklükteki önemli fark, genel olarak uç noktaların konumunun teğet vektörlerden daha büyük bir etkiye sahip olduğunu göstermektedir.

Parçalı kübik bir spline'ın noktalarla, teğet vektörlerle ve parametre değerleriyle, yani tüm bölümlerin uçlarında tanımlandığını hatırlayın. Seçim eğrinin düzgünlüğünü etkiler.

İkinci türevin iç bağlantı noktalarındaki sürekliliği, kendi başına, eğri boyunca minimum eğrilik anlamında eğrinin düzgünlüğünü garanti etmez. Uygun değerleri seçerek, her bölüm için katsayıları en aza indirmek ve eğrinin daha düzgün olmasını sağlamak mümkündür. Tipik olarak bu ek hesaplamalara gerek yoktur. Pratik amaçlar için, birden fazla basit yöntemler, burada tartışılanlar gibi.

Bir hesaplama yöntemi parametre değerlerini ayarlamaktır eşit uzunluklar Komşu noktalar arasındaki akorlar. Aynı zamanda eğrinin kalitesi çoğu kullanıcının gereksinimlerini karşılar uygulamalı problemler. Diğer bir yöntem ise varyasyonu normalleştirmektir. bire eşit her spline segmenti için. Bu seçim hesaplamaları basitleştirir (bkz. Bölüm 5-4). Yukarıdaki denklemlerden de görülebileceği gibi herhangi bir seçim farklı katsayılarla sonuçlanır ve dolayısıyla verilen noktalardan geçen farklı eğriler elde edilir.

Bir örneğe bakalım.

YÜZEYLERİN NOKTA NOKTA AÇIKLAMASI.

Yöntem, bir yüzeyin kendisine ait bir dizi noktayla belirlenmesinden oluşur. Sonuç olarak bu yöntemle görüntü kalitesi noktaların sayısına ve konumlarına bağlıdır.

Yüzeyin çok karmaşık olduğu ve düzgünlüğün olmadığı durumlarda nokta nokta açıklama ve ayrıntılı bir gösterim kullanılır. geometrik özellikler pratik için önemlidir.

Örnek: Diğer gezegenlerdeki toprak alanları, şekiller gök cisimleri Uydu görüntüleri sonucunda elde edilen bilgiler. Elektron mikroskobu kullanılarak alınan mikro nesneler.

Noktasal olarak tanımlanan nesnelere ilişkin ilk bilgiler bir matris biçiminde sunulur 3 boyutlu koordinatlar puan.

Spline'lar verilen fonksiyonları temsil etmek için kullanılabilen düzgün (birkaç sürekli türevi olan) parçalı polinom fonksiyonlardır çok sayıda değerler ve tek bir polinomla yaklaşımın uygulanamadığı değerler. Spline'lar düzgün, ekonomik ve kullanımı kolay olduğundan, aşağıdakiler için isteğe bağlı fonksiyonların oluşturulmasında kullanılırlar:

o eğri modelleme;

o eğrileri kullanarak veri yaklaşımı;

o fonksiyonel yaklaşımların gerçekleştirilmesi;

o Fonksiyonel denklemlerin çözülmesi.

Verilen sınır noktaları boyunca düzgün eğriler çizme problemini veya enterpolasyon problemini ele alalım. İki noktadan herhangi bir sayıda düzgün eğri çizilebildiğinden, bu sorunu çözmek için istenen eğriyi belirleyecek fonksiyon sınıfını sınırlamak gerekir. Matematiksel eğriler eğrilere yaklaşmak için kullanılan işlevlerdir. Önemli özellikleri hesaplama kolaylığıdır. Pratikte üçüncü derece polinom tipindeki splinelar sıklıkla kullanılır. Onların yardımıyla, insanın öznel pürüzsüzlük kavramına sezgisel olarak karşılık gelen eğriler çizmek oldukça uygundur. "Spline" terimi İngilizce spline kelimesinden gelir; bu, teknik ressamlar tarafından örneğin gemilerin veya uçakların dış hatlarını oluşturmak için yumuşak eğriler çizmek için kullanılan esnek bir çelik şerit anlamına gelir.

İlk önce tek değişkenli bir fonksiyonun grafiğini çizmek için bir spline fonksiyonu düşünelim. Düzlem üzerinde bir dizi nokta verilsin ve . Gerekli fonksiyonu tanımlayalım ve iki koşulu ayarlayalım:

1) Fonksiyon tüm noktalardan geçmelidir: , ;

2) Fonksiyon iki kez sürekli türevlenebilir olmalı, yani tüm aralıkta sürekli bir ikinci türevi olmalıdır.

Segmentlerin her birinde üçüncü dereceden polinom biçiminde fonksiyonumuzu arayacağız:

.

Spline işlevi

Bir polinom oluşturma görevi katsayıları bulmaktan ibarettir. Segmentlerin her biri için 4 katsayı bulmak gerektiğinden, gerekli katsayıların toplam sayısı olacaktır. Tüm katsayıları bulmak için karşılık gelen denklem sayısını belirleriz. İlk denklemler, fonksiyon değerlerinin iç düğümlerdeki çakışma koşullarından elde edilir. Aşağıdaki denklemler birinci ve ikinci türevlerin değerlerinin iç düğümlerde çakışması koşullarından da benzer şekilde elde ederiz. İlk koşulla birlikte denklemleri elde ederiz. Eksik iki denklem, segmentin uç noktalarındaki birinci türevlerin değerleri belirtilerek elde edilebilir. Bu şekilde sınır koşulları belirlenebilir.

Daha fazlasına geçelim zor durum– eğrilerin ayarlanması üç boyutlu uzay. Bir eğrinin fonksiyonel spesifikasyonu durumunda, kendi kendine kesişme durumunda belirsizlik ve türevlerin değerleri eşit olduğunda rahatsızlık mümkündür. Bunu göz önünde bulundurarak, bir fonksiyon arayacağız. parametrik form. şeklinde bağımsız bir parametre olsun. Biz buna kübik parametrik spline diyoruz aşağıdaki sistem denklemler:

Eğri üzerindeki noktaların koordinatları vektör tarafından tanımlanır ve üç türev, noktadaki karşılık gelen teğet vektörün koordinatlarını belirtir. Örneğin koordinat için:

Parametrik kübik spline'ı belirtmenin bir yolu, başlangıç ​​ve başlangıç ​​koordinatlarını belirtmektir. bitiş noktaları ve bunların içindeki teğet vektörler. Bu belirleme şekline Hermite formu denir. Uç noktalarını ve , ve bu noktalardaki teğet vektörleri ve ’yi gösterelim. Endeksler daha sonraki sunum dikkate alınarak bu şekilde seçilmiştir.

Kalan iki denklem için katsayılar benzer şekilde bulunduğundan dört katsayıyı bulma problemini çözeceğiz. Bir spline oluşturmanın koşulunu yazalım:

için ifadeyi yeniden yazalım. vektör formu:

.

Katsayıların satır vektörünü ve sütun vektörünü gösterelim, o zaman .

(*)'dan şu anlaşılıyor; . Teğetler için ,

Buradan vektör-matris denklemini elde ederiz:

.

Bu sistem bularak çözülebilir. ters matris boyut .

.

İşte bir Hermit matrisi, - geometrik vektör Ermita. Bulmak için ifadeyi değiştirelim: . Benzer şekilde diğer koordinatlar için: , .

Bulunan eğriler ve yüzeyler pratik problemler, çoğu zaman oldukça karmaşık şekil evrensel olmasına izin vermeyen analitik görev genel olarak yardımla temel işlevler. Bu nedenle, her biri bir veya iki değişkenin temel fonksiyonları kullanılarak oldukça tatmin edici bir şekilde tanımlanabilen nispeten basit düzgün parçalardan - bölümler (eğriler) veya kesikler (yüzeyler) birleştirilirler. Bu durumda kısmi eğriler veya yüzeyler oluşturmak için kullanılan düzgün fonksiyonların benzer nitelikte olmasını, örneğin polinom olmasını gerektirmesi oldukça doğaldır. aynı derecede. Ortaya çıkan eğrinin veya yüzeyin yeterince pürüzsüz olması için, karşılık gelen parçaların birleştiği yerde özellikle dikkatli olmanız gerekir. Polinomların derecesi basit geometrik hususlara göre seçilir ve kural olarak küçüktür. Bileşik eğrinin tamamı boyunca teğeti düzgün bir şekilde değiştirmek için, birleştirilmiş eğrileri üçüncü dereceden polinomlar kullanarak tanımlamak yeterlidir, kübik polinomlar. Bu tür polinomların katsayıları her zaman karşılık gelen bileşik eğrinin eğriliği sürekli olacak şekilde seçilebilir. Tek boyutlu problemleri çözerken ortaya çıkan kübik eğriler, kompozit yüzey parçalarının yapımına uyarlanabilir. Ve burada iki değişkenin her birinde üçüncü dereceden polinomlar kullanılarak tanımlanan bikübik eğriler oldukça doğal bir şekilde ortaya çıkıyor. Bu tür spline'larla çalışmak çok daha büyük miktarda hesaplama gerektirir. Ama doğru organize süreç sürekli büyüyen fırsatları dikkate almamıza olanak tanıyacak bilgisayar teknolojisi V maksimum derece. Spline fonksiyonları Segmente izin verin, yani Açıklama. a^ sayılarının indeksi (t) bunu gösterir. Her kısmi D parçası üzerindeki 5(x) fonksiyonunu belirleyen katsayılar kümesinin farklı olduğu. D1 bölümlerinin her birinde, spline 5(x), p dereceli bir polinomdur ve bu bölüm üzerinde p + 1 katsayısı ile belirlenir. Toplam kısmi segmentler - o zaman. Bu, spline'ı tamamen belirlemek için (p + 1)'i bulmak gerektiği ve ardından sayıların bulunması gerektiği anlamına gelir. Koşul), 5(x) fonksiyonunun ve türevlerinin w ızgarasının tüm iç düğümlerinde sürekliliği anlamına gelir. Bu tür düğümlerin sayısı m - 1'dir. Böylece tüm polinomların katsayılarını bulmak için p(m - 1) koşulları (denklemler) elde edilir. İçin tam çözünürlüklü spline eksik (koşullar (denklemler). Ek koşulların seçimi, söz konusu problemin doğasına ve bazen de sadece kullanıcının isteğine göre belirlenir. SPLINE TEORİSİ çözüm örnekleri İnterpolasyon ve yumuşatma problemleri çoğunlukla, şu durumlarda dikkate alınır: B düzlemi enterpolasyon problemlerinde belirli bir nokta dizisinden bir veya başka bir spline oluşturmak için gerekli olan spline grafiğinin, katsayılarına m + 1 ek koşullar (denklemler) uygulayan noktalardan geçmesi gerekir. Geri kalan p - 1 koşulları (denklemler). spline'ın kesin yapısı için çoğunlukla, söz konusu segmentin uçlarındaki spline'ın alt türevlerinin değerleri şeklinde belirtilir [. a, 6] - sınır (sınır) koşulları seçme yeteneği. farklı sınır koşulları, çeşitli özelliklere sahip spline'lar oluşturmanıza olanak tanır. Düzgünleştirme problemlerinde spline, grafiği (i" "Y"), * = 0, 1,..., t, noktalarının yakınından geçecek şekilde oluşturulur. ve onlar aracılığıyla değil. Bu yakınlığın ölçüsü farklı şekillerde tanımlanabilir, bu da önemli çeşitlilikte düzleştirme eğrilerine yol açar. Spline fonksiyonlarını oluştururken seçim yapmak için açıklanan seçenekler, tüm çeşitliliklerini tüketmez. Ve başlangıçta yalnızca parçalı polinom spline fonksiyonları dikkate alındıysa, daha sonra uygulamalarının kapsamı genişledikçe, diğer temel fonksiyonlardan "birbirine yapıştırılmış" spline'lar ortaya çıkmaya başladı. İnterpolasyon kübik eğrileri İnterpolasyon probleminin açıklaması [a, 6) parçası üzerinde bir w ızgarası verilsin. Bir dizi sayıyı düşünün. O" ızgara düğümlerinde verilen değerleri alan (a, 6] segmenti üzerinde düzgün bir fonksiyon oluşturun, yani Not: Formüle edilmiş enterpolasyon problemi, pürüzsüz fonksiyon , bir tabloda verilmiştir (Şekil 2). Böyle bir sorunun çok fazla olduğu açıktır.çeşitli çözümler . Oluşturulmuş bir fonksiyonun üzerine bindirme ek koşullar gerekli netlik sağlanabilir. Uygulamalarda genellikle analitik olarak verilen bir fonksiyona, önceden belirlenmiş yeterli değere sahip bir fonksiyon kullanılarak yaklaşma ihtiyacı vardır. iyi özellikler . Örneğin, belirli bir fonksiyon /(x)'in [a, 6] bölümünün noktalarındaki değerlerinin hesaplanmasının önemli zorluklarla ilişkili olduğu ve/veya verilen fonksiyon /(x)'in gerekli düzgünlüğe sahip olmadığı durumlarda Belirli bir fonksiyona oldukça iyi yaklaşan ve onun belirtilen dezavantajlarından yoksun olan başka bir fonksiyonun kullanılması uygundur. Fonksiyon enterpolasyonu sorunu. [a, 6] aralığı üzerinde w ızgara düğümlerinde çakışan bir düzgün a(x) fonksiyonu oluşturun./(X). Enterpolasyonlu bir kübik spline'ın tanımı Bir w ızgarası üzerinde enterpolasyonlu bir kübik spline S(x), 1) bölümlerin her birinde üçüncü dereceden bir polinom olan, 2) [a, b] bölümünde iki kez sürekli olarak diferansiyellenebilen bir fonksiyondur. ], yani C2[ a, 6] sınıfına aittir ve 3) koşulları karşılar. Segmentlerin her birinde, S(x) spline üçüncü dereceden bir polinomdur ve bu segment üzerinde dört katsayı ile belirlenir. . Toplam parça sayısı m'dir. Bu, spline'ı tam olarak tanımlamak için 4m'lik sayıların bulunması gerektiği anlamına gelir. Koşul, S(x) fonksiyonunun ve onun türevlerinin S"(x) ve 5" sürekliliği anlamına gelir. (x) tüm dahili ızgara düğümlerinde w. Bu tür düğümlerin sayısı m - 1'dir. Böylece tüm polinomların katsayılarını bulmak için başka bir 3(m - 1) koşulu (denklemler) elde edilir. Koşul (2) ile birlikte koşullar (denklemler) elde edilir. Sınır (kenar) koşulları İki eksik koşul, [a, 6] aralığının uçlarındaki spline ve/veya türevlerinin değerleri üzerindeki kısıtlamalar şeklinde belirtilir. Enterpolasyonlu bir kübik spline oluştururken en sık aşağıdaki dört tip sınır koşulu kullanılır. A. 1. tip sınır koşulları. - [a, b] aralığının sonlarında istenen fonksiyonun birinci türevinin değerleri belirtilir. B. 2. tip sınır koşulları. - (a, 6) aralığının sonlarında istenen fonksiyonun ikinci türevinin değerleri belirtilir. B. 3. tip sınır koşulları. periyodik denir. Enterpolasyonlu fonksiyonun T = b-a periyodu ile periyodik olduğu durumlarda bu koşulların yerine getirilmesinin gerekli olması doğaldır. D. 4. tip sınır koşulları. özel yorum gerektirir. Yorum. Dahili sepsi düğümlerinde, genel anlamda S(x) fonksiyonunun üçüncü türevi süreksizdir. Ancak üçüncü türevin süreksizliklerinin sayısı 4. tip koşullar kullanılarak azaltılabilir. Bu durumda oluşturulan spline aralıklarla üç kez sürekli türevlenebilir olacaktır. İnterpolasyonlu kübik spline'ın oluşturulması Belirlenecek büyüklüklerin sayısının eşit olduğu bir kübik spline'ın katsayılarını hesaplamak için bir yöntem tanımlayalım. Her bir aralıkta enterpolasyon spline fonksiyonu aşağıdaki formda aranır. Burada SPLINE TEORİSİ çözüm örnekleri ve sayılar doğrusal bir sistemin çözümüdür.şekli sınır koşullarının türüne bağlıdır. Tip 1 ve 2 sınır koşulları için bu sistem aşağıdaki forma sahiptir; burada Katsayılar sınır koşullarının seçimine bağlıdır. 1. tip sınır koşulları: 2. tip sınır koşulları: 3. tip sınır koşulları durumunda sayıları belirleme sistemi şu şekilde yazılır: Bilinmeyenlerin sayısı son sistem periyodiklik koşullarından po = nm çıktığı için mn'ye eşittir. 4. tip sınır koşulları için sayıları belirleme sistemi şu şekildedir: Sistemde bulunan çözüme göre po ve n sayıları formüller kullanılarak belirlenebilir. Her üç doğrusalın matrisleri cebirsel sistemlerçapraz olarak baskın matrislerdir. Matrisler tekil değildir ve bu nedenle bu sistemlerin her birinin benzersiz bir çözümü vardır. Teorem. Koşulları (2) karşılayan bir enterpolasyonlu kübik spline ve yukarıda listelenen dört türden birinin sınır koşulu mevcuttur ve benzersizdir. Dolayısıyla, enterpolasyonlu bir kübik spline oluşturmak, onun katsayılarını bulmak anlamına gelir. Spline katsayıları bulunduğunda, S(x) spline'ının değeri. keyfi nokta [a, b] segmenti formül (3)'te bulunabilir. Ancak pratik hesaplamalar için daha uygundur. sonraki algoritma 5(g) değerini bulma. x 6 [x" olsun. Önce A ve B değerleri formüller kullanılarak hesaplanır ve ardından 5(x) değeri bulunur: Bu algoritmanın kullanılması, değerin belirlenmesindeki hesaplama maliyetlerini önemli ölçüde azaltır. kullanıcı Sınır (kenar) koşullarının ve enterpolasyon düğümlerinin seçimi, belli bir dereceye kadar enterpolasyon spline'larının özelliklerini kontrol edin. A. Sınır (kenar) koşullarının seçimi. Sınır koşullarının seçimi aşağıdakilerden biridir: merkezi sorunlar f(x) yaklaştırılan fonksiyonunun davranışı üzerine. Eğer birinci türevin değerleri f"(x) segmentin uçlarında biliniyorsa (a, 6), o zaman 1. tipin sınır koşullarının kullanılması doğaldır. İkinci türevin değerleri ise f"(x) [a, 6] doğru parçasının uçlarında biliniyorsa, bu tip 2'nin doğal kullanım sınır koşullarıdır. Tip 1 ve 2'nin sınır koşulları arasında bir seçim yapılması durumunda, tip 1'in koşulları tercih edilmelidir. Eğer f(x) - periyodik fonksiyon o zaman 3. tipin sınır koşullarında durmalıyız. olmaması durumunda Ek Bilgiler Yaklaşık fonksiyonun davranışı hakkında hiçbir bilgi yoktur; doğal sınır koşulları olarak adlandırılan koşullar sıklıkla kullanılır. Bununla birlikte, böyle bir sınır koşulu seçimiyle f(x) fonksiyonunun yaklaşımının doğruluğu akılda tutulmalıdır. ) spline tarafından S(x) segmentin uçlarına yakın (a, ft] keskin bir şekilde azalır. Bazen 1. veya 2. tipin sınır koşulları kullanılır, ancak kesin değerler karşılık gelen türevler ve bunların fark yaklaşımları. Bu yaklaşımın doğruluğu düşüktür. Hesaplamalardaki pratik deneyim, söz konusu durumda en uygun olanın 4. tip sınır koşullarının seçimi olduğunu göstermektedir. B. Enterpolasyon düğümlerinin seçimi. Fonksiyonun üçüncü türevi f""(x), [a, b] bölümünün bazı noktalarında süreksizliğe sahipse, o zaman yaklaşımın kalitesini iyileştirmek için bu noktaların enterpolasyon düğümlerinin sayısına dahil edilmesi gerekir. İkinci türev /"(x) süreksizse, süreksizlik noktaları yakınında spline'ın salınımını önlemek için özel önlemler almak gerekir. Tipik olarak enterpolasyon düğümleri, ikinci türevin süreksizlik noktaları düşecek şekilde seçilir. a değeri sayısal bir deney yoluyla seçilebilir (genellikle a = 0,01 olarak ayarlamak yeterlidir). (x) süreksizdir. En basitlerinden biri olarak şunu önerebiliriz: yaklaşım parçasını türevin sürekli olduğu aralıklara bölün ve bu aralıkların her biri üzerinde bir spline oluşturun. Bir enterpolasyon fonksiyonunun seçilmesi (artıları ve eksileri) Yaklaşım 1. Lagrange enterpolasyon polinomu Belirli bir SPLINE TEORİSİ dizisi çözüm örnekleri için (Şekil 3), Lagrange enterpolasyon polinomu aşağıdaki formülle belirlenir. Lagrange enterpolasyon polinomunun özelliklerinin iki zıt konumdan dikkate alınması, ana avantajların ayrı ayrı tartışılması tavsiye edilir. dezavantajları. 1. yaklaşımın temel avantajları: 1) Lagrange enterpolasyon polinomunun grafiği dizinin her noktasından geçer, 2) oluşturulan fonksiyon kolayca tanımlanır (Lagrange enterpolasyon polinomunun ızgaradaki katsayılarının sayısı belirlenecek şekilde belirlenir) m + 1'e eşit), 3) oluşturulan fonksiyonun herhangi bir mertebeden sürekli türevleri vardır, 4) enterpolasyon polinomu verilen dizi tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir. 1. yaklaşımın ana dezavantajları: 1) Lagrange enterpolasyon polinomunun derecesi ızgara düğümlerinin sayısına bağlıdır ve bu sayı ne kadar büyük olursa, enterpolasyon polinomunun derecesi de o kadar yüksek olur ve dolayısıyla o kadar fazla hesaplama gerekir, 2) Dizideki en az bir noktayı değiştirmek, Lagrange enterpolasyon polinomunun katsayılarının tamamen yeniden hesaplanmasını gerektirir, 3) toplama diziye eklenmesi Lagrange enterpolasyon polinomunun derecesini bir arttırır ve aynı zamanda katsayılarının tamamen yeniden hesaplanmasına yol açar, 4) sınırsız ağ iyileştirmesi ile Lagrange enterpolasyon polinomunun derecesi süresiz olarak artar. Lagrange enterpolasyon polinomunun sınırsız ağ iyileştirmeli davranışı genellikle özel dikkat gerektirir. Yorumlar A. Yaklaşım Üzerine sürekli fonksiyon polinom. Bir aralıktaki herhangi bir sürekli (ve daha da düzgün) fonksiyonun, bu aralıkta bir polinomla istenildiği kadar yakınlaştırılabileceği bilinmektedir (Weierstrass, 1885). Bu gerçeği formüller diliyle anlatalım. f(x), [a, 6] aralığında sürekli bir fonksiyon olsun. Bu durumda, herhangi bir e > 0 için, [a, 6] aralığındaki herhangi bir x için eşitsizliğin karşılanacağı şekilde bir Є(x) polinomu vardır (Şekil 4). Fonksiyona yaklaşan, aynı dereceden bile polinomların olduğuna dikkat edin. Belirtilen doğrulukta f(x) sonsuz sayıda vardır. [a, 6] doğru parçası üzerinde bir w ızgarası oluşturalım. Genel anlamda düğümlerinin, Pn(x) polinomunun ve f(x) fonksiyonunun grafiklerinin kesişme noktalarıyla çakışmadığı açıktır (Şekil 5). Bu nedenle, verilen ağ için Pn(x) polinomu enterpolasyon değildir. Sürekli bir fonksiyona bir Jla-gracz enterpolasyon polinomu ile yaklaşıldığında, grafiğinin [a, b bölümünün her noktasında f(x) fonksiyonunun grafiğine yakın olması gerekmez, aynı zamanda f(x) fonksiyonunun grafiğine yakın olması gerekmez, aynı zamanda f(x) fonksiyonundan sapabilir. Bu işlevi istediğiniz kadar kullanın. İki örnek verelim. Örnek 1 (Rung, 1901). [-1, 1] segmentindeki fonksiyon için düğüm sayısındaki sınırsız artışla limit eşitliği sağlanır (Şekil 6) Örnek 2 (Beristein, 1912). Sürekli fonksiyon /(x) = |x| için tek tip ızgaralar üzerine inşa edilmiş bir Lagrange enterpolasyon polinomları dizisi Artan sayıda düğüme sahip bir segmentte m, /(x) fonksiyonuna yönelmez (Şekil 7).ızgara için (1) 2m'ye eşittir), 3) dizi göz önüne alındığında, oluşturulan fonksiyon benzersiz bir şekilde tanımlanır, 4) enterpolasyon fonksiyonunu tanımlamak için kullanılan polinomların derecesi ızgara düğümlerinin sayısına bağlı değildir (eşittir) 1), 5) Dizideki bir noktanın değiştirilmesi dört sayının hesaplanmasını gerektirir (yeni bir noktadan çıkan iki düz bağlantının katsayıları), 6) toplama ek puan diziye eklenmesi dört katsayının hesaplanmasını gerektirir. İnterpolasyonlu kübik spline'ın özellikleri A. Kübik spline'ın alproksimasyon özellikleri. Enterpolasyon spline'ının yaklaşım özellikleri, f(x) fonksiyonunun düzgünlüğüne bağlıdır - enterpolasyonlu fonksiyonun düzgünlüğü ne kadar yüksek olursa, yaklaşım sırası da o kadar yüksek olur ve ağ iyileştirildiğinde yakınsama hızı da o kadar yüksek olur. Eğer enterpolasyonlu f(x) fonksiyonu aralıkta sürekli ise Eğer enterpolasyonlu f(x) fonksiyonu [a, 6] aralığında sürekli bir birinci türeve sahipse, yani enterpolasyon spline'ı, 1. veya 3. tip sınır koşullarını karşılıyorsa, h O için elimizdeki bu durumda, sadece spline enterpolasyonlu fonksiyona yakınsamaz, aynı zamanda spline'ın türevi de bu fonksiyonun türevine yakınsar. Spline S(x), [a, b] segmentindeki f(x) fonksiyonuna yaklaşıyorsa ve bunun birinci ve ikinci türevleri sırasıyla bir kübik spline'ın ekstremal özelliğidir. Enterpolasyonlu kübik spline'ın bir tane daha var kullanışlı özellik. Aşağıdaki örneği düşünün. örnek. Grafikleri dizinin noktalarından geçen C2 uzayından bir fonksiyon sınıfının fonksiyonelini en aza indiren bir /(x) fonksiyonu oluşturun. (x;, /(x,) referans noktalarından geçen tüm fonksiyonlar arasında. )) ve belirtilen uzaya ait olan, sınır koşullarını karşılayan kübik spline 5( x), fonksiyonele bir ekstremum (minimum) verir. Açıklama 1. Genellikle bu ekstrem özellik, enterpolasyonlu kübik tanımı olarak alınır. spline. Açıklama 2. Enterpolasyonlu kübik spline'ın yukarıda çok geniş bir fonksiyon sınıfında, yani |o, 5] sınıfında açıklanan ekstremal özelliğe sahip olduğunu belirtmek ilginçtir. 1.2. Kübik spline'ları yumuşatma Yumuşatma probleminin formülasyonu hakkında Bir ızgara ve bir dizi sayı verilsin İlk veriler hakkında yorum Pratikte, dizideki y değerlerinin bazılarıyla belirtildiği durumla sıklıkla uğraşmak gerekir. hata. Aslında bu, her biri için bir aralığın belirlendiği ve bu aralıktaki herhangi bir sayının y değeri olarak alınabileceği anlamına gelir. Örneğin, y'nin değerlerini, bazı y(x) fonksiyonlarının ölçümlerinin sonuçları olarak yorumlamak uygundur. rastgele hata içeren x değişkenleri. Bir fonksiyonu bu tür "deneysel" değerlerden geri yükleme problemini çözerken, enterpolasyonun kullanılması pek tavsiye edilmez, çünkü enterpolasyon fonksiyonu, dizideki rastgele bileşenin (y,) neden olduğu tuhaf salınımları itaatkar bir şekilde yeniden üretecektir. Daha doğal bir yaklaşım, ölçüm sonuçlarındaki rastgelelik unsurunu bir şekilde azaltmak için tasarlanmış bir yumuşatma prosedürüne dayanmaktadır. Genellikle bu tür problemlerde x = x, * = 0, 1,... m değerleri uygun aralıklara düşen ve ayrıca oldukça iyi özelliklere sahip olan bir fonksiyonun bulunması gerekir. Örneğin sürekli birinci ve ikinci türevleri olur ya da grafiği çok kuvvetli kavisli olmaz, yani kuvvetli salınımlara sahip olmaz. Bu tür bir sorun, belirli bir (tam olarak) dizi verildiğinde, belirli noktalardan geçmeyen, ancak bu noktaların yakınından geçen ve dahası oldukça düzgün bir şekilde değişen bir fonksiyon oluşturmak gerektiğinde de ortaya çıkar. Başka bir deyişle, gerekli işlev verilen diziyi enterpolasyon yapmak yerine yumuşatıyor gibi görünüyordu. Bir w ızgarası ve iki sayı kümesi verilsin. SPLINE TEORİSİ Problemin çözüm örnekleri. Izgara düğümlerindeki değerleri, verilen değerlere göre y sayılarından farklı olan [a, A] segmenti üzerinde düzgün bir fonksiyon oluşturun. Formüle edilen yumuşatma problemi restorasyon bir tabloda belirtilen pürüzsüz fonksiyon. Böyle bir sorunun birçok farklı çözümü olduğu açıktır. Oluşturulan fonksiyona ek koşullar uygulanarak gerekli netlik sağlanabilir. Düzleştirici bir kübik spline'ın tanımı Bir w ızgarası üzerindeki yumuşatıcı kübik spline S(x), 1) bölümlerin her birinde üçüncü dereceden bir polinom olan, 2) [a, 6] bölümünde iki kez sürekli türevlenebilir olan bir fonksiyondur. ], yani C2 sınıfına aittir [a , b], 3) fonksiyonelin minimumunu sağlar burada - verilen sayılar, 4) aşağıda belirtilen üç türden birinin sınır koşullarını karşılar. Sınır (kenar) koşulları Sınır koşulları, w ızgarasının sınır düğümlerindeki spline ve türevlerinin değerleri üzerindeki kısıtlamalar şeklinde belirtilir. A. Tip 1 sınır koşulları. - [a, b) aralığının sonlarında istenen fonksiyonun birinci türevinin değerleri belirtilir. Tip 2 sınır koşulları. - (a, b] aralığının uçlarındaki istenen fonksiyonun ikinci türevleri sıfıra eşittir. B. 3. tipteki sınır koşulları periyodik olarak adlandırılır. Teorem. Kübik spline S(x), fonksiyonel (4)'ü en aza indiren ve yukarıdaki üç türden birinin sınır koşullarını karşılayan, benzersiz bir şekilde tanımlanmıştır. Tanım. Fonksiyonel J(f)'yi en aza indiren ve i-tipinin sınır koşullarını karşılayan bir kübik spline, i-tipinin yumuşatıcı spline'ı olarak adlandırılır. Dört katsayılı bu parçayı işaretleyiniz. Toplam parça sayısı m'dir. Bu, spline'ın tam olarak belirlenebilmesi için 5(ag) fonksiyonunun sürekliliği anlamına gelir. o" ızgarasının tüm iç düğümlerindeki türevler. Böylece tüm polinomların katsayılarını hesaplamak için 3(m - 1) koşulu (denklemler) elde ederiz. Fonksiyon aşağıdaki formda aranır. Burada ve sayılar ve Formu sınır koşullarının türüne bağlı olan bir doğrusal cebirsel denklemler sisteminin çözümü. Öncelikle n* değerlerinin nasıl bulunduğunu anlatalım. Tip 1 ve 2'nin sınır koşulları için sistem doğrusal denklemler Hi değerlerini belirlemek için aşağıdaki formda yazılır.). Katsayılar sınır koşullarının seçimine bağlıdır. 1. tip sınır koşulları: 2. tip sınır koşulları: 3. tip sınır koşulları durumunda sayıları belirleme sistemi şu şekilde yazılır: ve tüm katsayılar formül (5)'e göre hesaplanır (değerler) k ve m + k endeksleri eşit kabul edilir: Önemli* not: Sistemlerin matrisleri dejenere değildir ve bu nedenle bu sistemlerin her birinin benzersiz bir çözümü vardır. n, - sayıları bulunursa, miktarlar kolaylıkla belirlenir. Periyodik sınır koşulları durumunda, katsayıların seçimi, fonksiyonel (4)'te yer alan p, - ağırlıklandırma katsayılarının seçimidir, geçen spline'ların özelliklerini bir dereceye kadar kontrol edebilirsiniz. (x^, Vk) noktası, o zaman buna karşılık gelen p\ ağırlıklandırma faktörü sıfıra eşitlenmelidir. Pratik hesaplamalarda en önemli şey pi değerlerinin seçimidir - Ölçme hatası D olsun. değer y. Bu durumda, yumuşatma spline'ının veya koşuluna uymasını gerektirmek doğaldır. En basit durumda, ağırlıklandırma katsayıları pi, örneğin c'nin yeterince küçük bir sabit olduğu formda belirtilebilir. Ancak p ağırlıklarının bu seçimi, y, - değerlerindeki hatalar nedeniyle “koridor” kullanımına izin vermez. P değerlerini belirlemek için daha rasyonel ama aynı zamanda daha emek yoğun bir algoritma şu şekilde görünebilir. Değerler fc-th yinelemesinde bulunursa, e'nin bilgisayarın bit ızgarası, D değerleri ve doğruluğu dikkate alınarak deneysel olarak seçilen küçük bir sayı olduğu varsayılır. Lineer cebirsel denklem sistemlerinin çözümü. Eğer i noktasındaki fc-th yinelemesinde koşul (6) ihlal edilirse, son formül karşılık gelen ağırlık katsayısı p,'de bir azalma sağlayacaktır. Eğer o zaman bir sonraki yinelemede p'deki bir artış daha fazlasına yol açarsa “koridor” (6) ve sonuçta daha düzgün değişen bir spline. Küçük bir teori A. İnterpolasyon kübik spline'ın katsayılarını hesaplamak için formüllerin gerekçesi. m'nin şu anda bilinmeyen büyüklükler olduğu gösterimi tanıtalım. Sayıları m+1'e eşittir. İnterpolasyon şartlarını sağlayan ve tüm aralıkta sürekli olan bir spline [a, b\: formülüne koyarsak sırasıyla elde ederiz. [a, 6] aralığında sürekli birinci türev: (7) ilişkisinin türevini alıp koyarak, karşılık gelen değeri elde ederiz Aslında. M sayılarının, spline fonksiyonunun (7) [a, 6] aralığında sürekli bir ikinci türevi olacak şekilde seçilebileceğini gösterelim. Spline'ın aralıktaki ikinci türevini hesaplayalım: x, - 0 noktasında (t = 1'de) Spline'ın aralıktaki ikinci türevini hesaplayalım. Elimizdeki noktada Spline'ın süreklilik koşulundan a ızgarasının iç düğümlerindeki ikinci türev; m - 1 ilişkisini elde ederiz; bu m - 1 denklemlerine, sınır koşullarından çıkan iki tane daha ekleyerek, m + I bilinmeyen miy i = 0, 1... olan bir m + 1 doğrusal cebirsel denklem sistemi elde ederiz. M. 1. ve 2. tip sınır koşulları durumunda rsh değerlerini hesaplamak için denklem sistemi, (1. tip sınır koşulları), (2. tip sınır koşulları) şeklindedir. Periyodik sınır koşulları için (tip 3 sınır koşulları), ağ o; bir düğüm daha uzatın ve varsayın. O zaman σ* değerlerini belirleyen sistem, ikinci ve (th - !)th grid düğümlerinde form sürekliliğine sahip olacaktır. Son iki ilişkiden 4. türün sınır koşullarına karşılık gelen eksik iki denklemi elde ederiz: Bilinmeyen yapışkan maddeyi denklemlerden ve bilinmeyen pc'yi denklemlerden çıkararak bir denklem sistemi elde ederiz. Bu sistemdeki bilinmeyenlerin sayısının - I olduğuna dikkat edin. 6. Düzleştirici bir subichess spline'ın verimliliğini hesaplamak için formüllerin gerekçesi. Zi ve nj'nin şu anda bilinmeyen büyüklükler olduğu gösterimi tanıtalım. Sayıları 2m + 2'dir. Formda yazılan spline fonksiyonu tüm (a, 6] aralığı boyunca süreklidir: bu formülü koyarak sırasıyla elde ederiz. z ve n sayılarının, ( 8) formunda yazılan spline'ın [a, 6] aralığında sürekli bir birinci türevi olacak şekilde seçilelim. S(x) spline'ının aralıktaki ilk türevini hesaplayalım: x noktasında. ^ - 0 (t = 1'de) elimizdeki S(x) spline'ının ilk türevini aralıkta hesaplayalım: Elimizdeki noktada Spline'ın ilk türevinin iç düğümlerdeki süreklilik koşulundan ağ ve --> m - 1 ilişkisini elde ederiz. Bu ilişki uygun bir şekilde matris biçiminde yazılır. Ayrıca, [a, 6) aralığındaki spline'ın türev alınarak sürekli bir ikinci türevi kullanılır. (8) ilişkisini koyarak sırasıyla matris ilişkisini fonksiyonelin (4) minimumu koşulundan elde ederiz. Son iki matris eşitliği, 2m + 2 bilinmeyen için 2m + 2 doğrusal cebirsel denklemden oluşan doğrusal bir sistem olarak düşünülebilir. İlk eşitlikteki r sütununu (9) ilişkisinden elde edilen ifadeyle değiştirerek SPLINE TEORİSİ matris denklemine M sütununu belirlemek için çözüm örneklerine ulaşıyoruz. A + 6HRH7 matrisinin olması nedeniyle bu denklemin benzersiz bir çözümü var. her zaman dejenere değildir. Onu bulduktan sonra Eamsshine şehrini kolaylıkla tanımlayabiliriz. A ve H threadmagolal matrislerinin elemanları yalnızca ızgara parametreleriyle ve (hi adımlarıyla) belirlenir ve y^ değerlerine bağlı değildir. tam kullanım doğrusal uzay m + 3 boyutları: 1) u> ağı üzerinde oluşturulan iki kübik spline'ın toplamı ve u> ağı üzerinde oluşturulan kübik spline'ın çarpımı, keyfi sayı daha gizli olarak, bunlar bu ağ üzerine inşa edilmiş kübik spline'lardır, 2) ağ üzerinde ve bir düğümden inşa edilen herhangi bir kübik spline, tamamen bu düğümlerdeki y" değerlerinin m + 1 değeri ile belirlenir ve iki- sadece +3 parametre. M + 3 doğrusal bağımsız spline'dan oluşan bu uzayda bir taban seçerek, keyfi bir kübik spline a(x)'i bunların doğrusal birleşimi olarak benzersiz bir şekilde yazabiliriz. Yorum. Bu tür spline ataması hesaplama uygulamalarında yaygındır. Kübik B-spline'lardan (temel veya temel spline'lar) oluşan bir veritabanı özellikle kullanışlıdır. D-spline'ların kullanımı bilgisayar belleği gereksinimlerini önemli ölçüde azaltabilir. L-spline'lar. W ızgarası boyunca sayı doğrusu üzerinde oluşturulan sıfır dereceli bir B-spline'a çatal fonksiyonu adı verilir ve u ızgarası üzerindeki sayı doğrusu üzerine inşa edilen k ^ I dereceli B-spline'ı tekrarlayanlarla belirlenir. formül İlk B, -1 "(g) ve ikinci \7\x) dereceye ait B-spline grafikleri sırasıyla Şekil 11 ve 12'de sunulmaktadır. İsteğe göre k derecesine sahip bir B-spline, aşağıdakilerden farklı olabilir: yalnızca belirli bir segmentte sıfır (k + 2 düğüm ile tanımlanır), B, -3* (i), y, -+2] segmentindeki sıfırdan farklıydı. tekdüze bir ağ durumunda (A adımıyla). Diğer durumlarda tipik bir grafiğimiz vardır. kübik B-splineŞekil 2'de gösterilmiştir. 13. Krediler*. a) fonksiyonu bir aralıkta iki kez sürekli türevlenebilir, yani C2[a, "), k sınıfına aittir, k b) yalnızca ardışık dört aralıkta sıfırdan farklıdır (w ızgarasını tamamen keyfi olarak alınan yardımcı düğümlerle tamamlayalım) Genişletilmiş w* ızgarasını kullanarak m + 3 kübik B-spline'lardan oluşan bir aile oluşturabiliriz: Bu aile, (a, b) segmentindeki kübik spline'ların uzayında bir temel oluşturur. Böylece, keyfi bir kübik spline S(z) olur. ), |b, 6] grid o; iz+1 düğümleri üzerine inşa edilmiş olup, bu segment üzerinde doğrusal bir kombinasyon şeklinde temsil edilebilmektedir. Problemin koşulları, bu genişlemenin katsayılarını benzersiz bir şekilde belirlemektedir. fonksiyonun ızgara düğümlerindeki y* değerlerinin ve ağın uçlarında fonksiyonun birinci türevinin y o ve Vm değerlerinin verildiği durum" (sorun). birinci tür), bu katsayılar aşağıdaki formdaki bir sistemden hesaplanır. Hariç tutulduktan sonra miktarlar b-i ve &m+i, bilinmeyenleri 5q, ..., bm olan doğrusal bir sistem ve üç boyutlu bir matris elde ederiz. Bu durum çapraz hakimiyeti ve dolayısıyla bunu çözmek için tarama yöntemini kullanma olasılığını sağlar. 3MMCHMY 1. Doğrusal sistemler Diğer enterpolasyon problemleri dikkate alındığında da benzer türler ortaya çıkar. Zmmchnm* 2. Bölüm 1.1'de açıklanan algoritmalarla karşılaştırıldığında, * enterpolasyon problemlerinde R-spline kullanımı, depolanan bilgi miktarını azaltmamıza*, yani bilgisayar belleği gereksinimlerini önemli ölçüde azaltmamıza olanak sağlar, ancak bu durum yol açsa da operasyon sayısında artış olacak. Spline fonksiyonlarını kullanarak spline eğrilerinin oluşturulması Yukarıda, apsisleri kesin olarak artan bir dizi oluşturacak şekilde noktaları numaralandırılmış dizileri ele aldık. Örneğin, Şekil 2'de gösterilen durum. 14 ne zaman farklı noktalar birbirinin aynısı apsis dizisine izin verilmedi. Bu durum, hem yaklaşım eğrileri sınıfının (trafik fonksiyonları) seçimini hem de bunların yapım yöntemini belirledi. Bununla birlikte, yukarıda önerilen yöntem, dizi noktalarının numaralandırılması ve düzlemdeki konumları kural olarak ilişkili olmadığında, daha genel durumda bir enterpolasyon eğrisinin oldukça başarılı bir şekilde oluşturulmasını mümkün kılar (Şekil 15). Ayrıca, bir enterpolasyon eğrisi oluşturma görevini belirlerken, verilen dizinin düzlemsel olmadığını düşünebiliriz, yani bunu çözmenin gerektiği açıktır. ortak görev kapalı eğriler, kendi kesişim noktalarına sahip eğriler ve uzaysal eğriler dahil olmak üzere kabul edilebilir eğriler sınıfının önemli ölçüde genişletilmesi gerekmektedir. Bu tür eğrileri aşağıdakileri kullanarak tanımlamak uygundur: parametrik denklemler Bunu talep edeceğiz. ek olarak, fonksiyonlar yeterli düzgünlüğe sahip olacak şekilde, örneğin C1 [a, /0] sınıfına veya C1 [a, /0] sınıfına ait olmalıdırlar. Dizinin tüm noktalarından sırayla geçen bir eğrinin parametrik denklemlerini bulmak için aşağıdaki şekilde ilerleyin: . 1. adım. Fonksiyonun değiştirilmesinin gerekli olduğu keyfi olarak alınan bir segmentte F(X) büyükse spline enterpolasyonu uygulanabilir.

1.1. Kübik eğriler.

Enterpolasyon eğrileri 3. sıra - bunlar polinom parçalarından oluşan işlevlerdir 3 bu emir. Arayüz düğümlerinde fonksiyonun ve birinci ve ikinci türevlerinin sürekliliği sağlanır. Yaklaşım fonksiyonu, her biri segmentin kendi kısmında tanımlanan, genellikle eşit derecede küçük dereceli bireysel polinomlardan oluşur.

Bırakın segmenti [ A, B] gerçek eksen X değerlerinin belirlendiği düğümlerde bir ızgara belirtilir
işlevler F(X). Segment üzerinde inşa edilmesi gerekmektedir [ A, B] sürekli spline fonksiyonu S(X), aşağıdaki koşulları karşılayan:

İstenilen spline'ı oluşturmak için katsayıları bulmanız gerekir.
polinomlar
,Ben=1,… N, yani 4 N sağlayan bilinmeyen katsayılar 4 N-2 denklemler (1), (2), (3). Denklem sisteminin bir çözüme sahip olması için iki ek (sınır) koşul eklenir. Üç tür sınır koşulu kullanılır:

Koşullar (1), (2), (3) ve koşullardan (4), (5), (6) biri siparişin SLAE'sini oluşturur 4 N. Sistem Gauss yöntemi kullanılarak çözülebilir. Ancak kübik polinomun özel bir yazım biçimini seçerek çözülecek denklem sisteminin sırasını önemli ölçüde azaltabilirsiniz.

1.2. Spline yazmanın özel bir şekli.

Segmenti göz önünde bulundurun
. Aşağıdaki değişken gösterimlerini tanıtalım:

Burada
- segmentin uzunluğu
,

,
- yardımcı değişkenler,

X– segment üzerindeki ara nokta
.

Ne zaman X aralıktaki tüm değerlerin üzerinden geçer
, değişken 0 ile 1 arasında değişir ve
1 ile 0 arasında değişir.

Kübik polinom olsun
segmentte
şu forma sahiptir:

Değişkenler Ve
belirli bir enterpolasyon segmentine göre belirlenir.

Spline'ın değerini bulalım
bölümün sonunda
. Nokta
segmentin başlangıç ​​noktasıdır
, Bu yüzden =0,
=1 ve (3.8)'e göre:
.

Bölümün sonunda
=1,
=0 ve
.

Aralık için
nokta
sonludur, yani =1,
=0 ve formül (9)'dan şunu elde ederiz:
. Böylece fonksiyonun süreklilik şartı sağlanmış olur. S(X) sayıların seçimine bakılmaksızın kübik polinomların birleşim noktalarında  i.

 i katsayılarını belirlemek için, Ben=0,… N (8)'in karmaşık bir fonksiyonu olarak iki kez türevini alalım. X. Daha sonra

Spline'ın ikinci türevlerini tanımlayalım
Ve
:

Bir polinom için
nokta enterpolasyon bölümünün başlangıcıdır ve =0,
=1, dolayısıyla

(15) ve (16)'dan şu aralıkta şu sonucu çıkar: [ A,B 3. dereceden polinomların parçalarından "birbirine yapıştırılmış" olan spline fonksiyonunun 2. dereceden sürekli bir türevi vardır.

Bir fonksiyonun birinci türevinin sürekliliğini elde etmek S(X), Dahili enterpolasyon düğümlerinde aşağıdaki koşulların karşılanmasını isteyelim:

Doğal kübik spline için
dolayısıyla denklem sistemi şöyle görünecektir:

ve denklem sistemi (17) şöyle görünecektir:

Örnek.

İlk veriler:

İşlevi değiştir
değerleri belirli düğüm noktalarında (tabloya bakınız) aynı noktalardaki fonksiyonun değerleriyle çakışan enterpolasyonlu bir kübik spline. Farklı sınır koşullarını göz önünde bulundurun.

Fonksiyonun düğüm noktalarındaki değerini hesaplayalım. Bunu yapmak için tablodaki değerleri verilen fonksiyona değiştirin.

Farklı sınır koşulları (4), (5), (6) için kübik spline'ların katsayılarını buluyoruz.

1. İlk sınır koşullarını ele alalım.

Bizim durumumuzda N=3,
,
,
. Bulmak için
denklem sistemini kullanıyoruz (3.18):

Haydi hesaplayalım Ve (7) ve (11) formüllerini kullanarak:

Elde edilen değerleri denklem sistemine koyalım:

.

Sistem çözümü:

İlk sınır koşulları dikkate alındığında spline katsayıları şöyledir:

Sınır koşullarını (3.5) dikkate alarak spline katsayılarının tanımını ele alalım:

Fonksiyonun türevini bulalım
:

Haydi hesaplayalım
Ve
:

Denklem sisteminde (21) değerleri yerine koyalım Ve :

Formül (20)'yi kullanarak  0 ve  3'ü belirleriz:

Belirli değerleri dikkate alarak:

ve katsayıların vektörü:

İnterpolasyon bölümlerinin orta noktalarındaki kübik spline S(x)'in değerlerini hesaplayalım.

Segmentlerin orta noktaları:

Enterpolasyon bölümlerinin ortasındaki kübik spline'ın değerini hesaplamak için (7) ve (9) formüllerini kullanırız.

3.1.

bulacağız Ve
:

Formül (3.9)'da katsayıları değiştiriyoruz

3.2.

bulacağız Ve
:

, sınır koşulları için (4), (5), (6):

3.3.

bulacağız Ve
:

Formül (9)'da katsayıları değiştiriyoruz
, sınır koşulları için (4), (5), (6):

Bir tablo yapalım:

Parçalı doğrusal ve polinom enterpolasyonunun dezavantajları, spline fonksiyonu teorisinin geliştirilmesine yol açtı (İngilizce spline - cetvel, raf kelimesinden). Bunun nedeni, mühendislik uygulamalarında düğüm noktalarına sabitlenmiş elastik bir metal cetvel kullanarak düzgün eğriler çizmenin sıklıkla gerekli olmasıdır.

Spline enterpolasyonunun en yaygın versiyonunu ele alalım - kübik spline enterpolasyonu.

Denklemi karşılayan bir çizgi boyunca bitişik düğümler arasından elastik, deforme olmayan bir cetvelin geçtiği tespit edilmiştir.

Açıkçası, bir fonksiyon olarak bir polinom seçerseniz, derecesi üçüncüden yüksek olmamalıdır, çünkü üçüncü dereceden bir polinom için dördüncü türev aynı şekilde sıfıra eşittir. Bu polinom denir kübik spline aralıkta şu şekilde yazılır:

Nerede a ben ,b ben ,c ben ,d ben- ek koşullardan belirlenen spline katsayıları; i = 1,2,3,...n- spline numarası.

Enterpolasyon noktalarından bir tane daha az spline vardır. Spline enterpolasyonu parçalı polinom olarak adlandırılabilir.

Spline katsayıları, bitişik spline'ların düğüm noktalarında birleştirilmesi için aşağıdaki koşullardan belirlenir.

1. Spline değerlerinin ve fonksiyonlarının eşitliği f(x) düğüm noktalarında - Lagrange koşulları:

, . (6.10)

2. Spline'ların birinci ve ikinci türevlerinin düğümlerdeki sürekliliği:

Listelenen koşullara ek olarak, uçlara yani noktalara koşullar eklemelisiniz. x 0 Ve xn. Genel olarak bu koşullar spesifik göreve bağlıdır. Spline'ların serbest uçlarının koşullarını kullanacağız; aralığın dışında fonksiyon birinci dereceden bir polinomla (düz bir çizgi) tanımlanır:

, . (6.12)

Koşullar (6.10)-(6.12) katsayıları bulmamızı sağlar a ben ,b ben ,c ben ,d ben herkes N spline'lar. Değerleri aşağıdaki formüllerle ifade edilir:

, (6.13)

ilk üç denklemin neresinde i = 1,2,...n ve üçüncüde i = 2,3,..n;

h ben =x i -x i -1 - i argümanın üçüncü adımı.

Şunun için indekslemeyi göz önünde bulundurun: benimle, bu katsayının değerlerini spline'ın uçlarına ekleyin

İlk olarak sistem şu şekilde çözülür: n - 1 için doğrusal denklemler benimle. Daha sonra belirlendi ben Ve ben mi bilinen katsayılara göre benimle, ve ben biliniyor - bunlar işlev değerleridir f(x) düğüm noktalarında. Belirlenecek her denklemde benimle ardışık indeks değerlerine sahip yalnızca üç bilinmeyen içerir c i - 1 ,c i ,c ben +1. Ana ve iki bitişik köşegende yalnızca sıfırdan farklı elemanlara sahip olan böyle bir matrise denir. üç köşegen.

Ele alınan algoritmanın yazılım uygulaması aşağıda verilmiştir (PROGRAM 6.2). Spline katsayılarının enterpolasyonlu fonksiyonun düğüm değerlerinden hesaplandığı bir parça verilmiştir.

Üç köşegen matris Kc'yi oluşturmak için bir dizi argüman adımı kullanılır MERHABA. prosedürde Gauss c 0 ve c n +1 bilindiğinden ve sıfıra eşit olduğundan, c. dizisinden 2 eleman eksik olan bir yardımcı dizi cv hesaplanır. Çok sayıda denklem için, üç köşegen matrisli sistemleri çözmek için sıralı eleme yönteminin bir çeşidi olan süpürme yöntemi kullanılır. Spline enterpolasyonu kullanılarak yapılan hesaplamaların sonuçları Şekil 6.4'te gösterilmektedir. Elektromıknatıs bobin akımı enterpolasyonlu fonksiyon olarak alındı.

Şekil 6.4'te görülebileceği gibi, eğer fonksiyon düzgünse, kübik splinelarla enterpolasyon çok iyi bir yaklaşım sağlar. Şekildeki daire spline hatasının büyük olduğu alanı göstermektedir. Bunun nedeni, bu bölümde diyotun direncindeki bir değişiklikle ilişkili akım eğrisinde bir kırılma olması gerçeğidir. AR-GE doğrudan R pr tersi R arr.. Bu durumda akımın birinci türevi bir sıçrama yapar ve spline'lar tanım gereği düğüm noktasının sağında ve solunda eşit birinci türevlere sahiptir.

Daha önce belirtildiği gibi enterpolasyon, kriteri Lagrange koşulları olan özel bir yaklaşım durumudur. Başka bir yaklaşım kriterini ele alalım - yaklaşık fonksiyonun yaklaşık fonksiyonundan kök-ortalama-kare sapmasını en aza indirmek f(x).