Olasılık teorisinin iki ana teoreminin (toplama ve çarpma teoremleri) bir sonucu olan formüller tam olasılık ve Bayes formülleri.

Olay cebiri dilinde , , ¼ kümesine denir tam bir etkinlik grubu, Eğer:

1. Olaylar ikili olarak uyumsuzdur; , , ;.

2. Her şey bir araya geliyor olasılık alanı .

Teorem 5 (Toplam olasılık formülü). Eğer olay A yalnızca olaylardan (hipotezlerden) biri ortaya çıkarsa meydana gelebilir, ,¼, tam grup o zaman olayın olasılığı A eşittir

Kanıt. Hipotezler mümkün olan tek hipotez olduğundan ve olay A teoremin koşullarına göre hipotezlerden yalnızca biriyle birlikte ortaya çıkabilir, o zaman . Hipotezlerin uyumsuzluğundan uyumsuzluğu takip eder .

Olasılık toplama teoremini (6) formunda uyguluyoruz:

Çarpma teoremine göre. Değiştirme bu sunum formül (13)'te, sonunda şunu elde ederiz: kanıtlanması gereken şey budur.

Örnek 8. Bir ihracat-ithalat şirketi, tarım ekipmanlarının tedariki için bir sözleşme imzalamak üzeredir. gelişmekte olan ülkeler. Şirketin ana rakibinin aynı anda bir sözleşme için teklif vermemesi durumunda, sözleşme alma olasılığı 0,45 olarak tahmin edilmektedir; aksi takdirde – 0,25'te. Şirket uzmanlarına göre bir rakibin sözleşme yapılmasına yönelik teklifte bulunma olasılığı 0,40. Bir sözleşme yapma olasılığı nedir?

Çözüm. A -“firma sözleşme yapacaktır”, - “rakip teklifini sunacaktır”, - “rakip teklifini ortaya koyamayacaktır”. Sorunun koşullarına göre , . Bir firma için sözleşme imzalamanın koşullu olasılıkları , . Toplam olasılık formülüne göre

Çarpma teoreminin ve toplam olasılık formülünün bir sonucu Bayes formülüdür.

Bayes formülü Olayın meydana gelmesi koşuluyla, hipotezlerin her birinin olasılığını yeniden hesaplamanıza olanak tanır. (Olay gerçekleştiğinde geçerlidir A Tam bir olay grubunu oluşturan hipotezlerden yalnızca biri ile ortaya çıkabilen bir olay gerçekleşmiş olup, testten önce bilinen bu hipotezlerin a priori olasılıklarının niceliksel olarak yeniden değerlendirilmesi gerekmektedir; hipotezlerin sonsal (testten sonra elde edilen) koşullu olasılıklarını bulmak gerekir), ,…, .

Teorem 6 (Bayes Formülü). Eğer olay A olduysa, hipotezlerin koşullu olasılıkları Bayes formülü adı verilen bir formül kullanılarak hesaplanır:

Kanıt. Gerekli formülü elde etmek için olayların olasılıklarını çarpma teoremini yazıyoruz A ve iki biçimde:

Neresi Q.E.D.

Bayes formülünün anlamı, bir olay meydana geldiğinde A, onlar. aldıktan sonra yeni bilgi, test etmeden önce öne sürülen hipotezleri kontrol edebilir ve ayarlayabiliriz. Bayesian adı verilen bu yaklaşım, ayarlamayı mümkün kılıyor yönetim kararları ekonomide, değerlendirmeler bilinmeyen parametreler incelenen özelliklerin dağılımı istatistiksel analiz ve benzeri.

Görev 9. Grup 6 mükemmel öğrenci, 12 iyi performans gösteren öğrenci ve 22 vasat performans gösteren öğrenciden oluşmaktadır. Mükemmel bir öğrenci 5 ve 4'lere cevap verir eşit olasılıkİyi bir öğrenci 5, 4 ve 3'ü eşit olasılıkla yanıtlarken, vasat bir öğrenci 4, 3 ve 2'yi eşit olasılıkla yanıtlar. Rastgele seçilen bir öğrenci 4 cevabını verdi. Ortalama performans gösteren bir öğrencinin çağrılması olasılığı nedir?

Çözüm.Üç hipotezi ele alalım:

Söz konusu olay. Sorun ifadesinden şunu biliyoruz ki

, , .

Hipotezlerin olasılıklarını bulalım. Grupta sadece 40 öğrenci ve 6 mükemmel öğrenci olduğundan, o zaman . Aynı şekilde, , . Toplam olasılık formülünü uygulayarak şunu buluruz:

Şimdi Bayes formülünü hipoteze uygulayalım:

Örnek 10. Bir iktisatçı-analist, bir ülkedeki ekonomik durumu şartlı olarak “iyi”, “vasat” ve “kötü” olarak ayırır ve bunların gerçekleşme olasılıklarını tahmin eder. şu anda 0.15'te zaman; Sırasıyla 0,70 ve 0,15. Bazı indeksler ekonomik durum durum “iyi” olduğunda 0,60 olasılıkla artar; durum vasat olduğunda 0,30 olasılıkla, durum “kötü” olduğunda 0,10 olasılıkla. Bırak girsin şu anda ekonomik durum endeksi arttı. Ülke ekonomisinin büyüme ihtimali nedir?

Çözüm. A= “Ülkenin ekonomik durum endeksi artacak”, H 1= « ekonomik durumÜlkede "iyi" H2= “Ülkedeki ekonomik durum “vasat”, N 3= “Ülkedeki ekonomik durum “kötü”.” Koşula göre: , , . Koşullu olasılıklar: ,, . Olasılığı bulmanız gerekiyor. Bunu Bayes formülünü kullanarak buluyoruz:

Örnek 11.İÇİNDE Ticaret şirketi TV'ler üç tedarikçiden 1:4:5 oranında teslim alındı. Uygulama, 1., 2. ve 3. tedarikçilerden gelen TV'lerin garanti süresi boyunca sırasıyla %98, %88 ve %92 oranında onarım gerektirmeyeceğini göstermiştir.

Etkinlik formu tam grup deney sonucunda bunlardan en az birinin mutlaka meydana geleceği ve ikili olarak uyumsuz olması durumunda.

hadi diyelim ki olay A yalnızca birkaç çiftten biriyle birlikte oluşabilir uyumsuz olaylar tam bir grup oluşturuyoruz. Olayları çağıracağız ( Ben= 1, 2,…, N) hipotezler ek deneyim (a priori). A olayının gerçekleşme olasılığı formülle belirlenir tam olasılık :

Örnek 16.Üç kavanoz var. İlk torbada 5 beyaz ve 3 siyah top, ikincisinde 4 beyaz ve 4 siyah top, üçüncüsünde ise 8 beyaz top bulunmaktadır. Torbalardan biri rastgele seçilir (bu, örneğin seçimin 1, 2 ve 3 numaralı üç topun bulunduğu yardımcı bir torbadan yapıldığı anlamına gelebilir). Bu torbadan rastgele bir top çekiliyor. Siyah olma olasılığı nedir?

Çözüm. Etkinlik A– siyah top kaldırılır. Topun hangi torbadan çekildiği bilinseydi, gerekli olasılık şu şekilde hesaplanabilirdi: klasik çözünürlüklü olasılıklar. Topu geri almak için hangi torbanın seçildiğine ilişkin varsayımları (hipotezleri) tanıtalım.

Top ya birinci torbadan (varsayım), ya ikinciden (varsayım) ya da üçüncüden (varsayım) çekilebilir. Torbalardan herhangi birini seçme şansı eşit olduğuna göre, o zaman .

Şunu takip ediyor

Örnek 17. Elektrik lambaları üç fabrikada üretilmektedir. İlk tesis %30 üretiyor toplam sayısı elektrik lambaları, ikinci – %25,
ve üçüncüsü - geri kalanı. İlk tesisin ürünleri %1, ikinci fabrikanın ürünleri %1,5, üçüncü fabrikanın ürünleri ise %2 oranında arızalı elektrik lambası içermektedir. Mağaza her üç fabrikadan da ürün alıyor. Mağazadan satın alınan bir lambanın arızalı çıkma olasılığı nedir?

Çözüm. Ampulün hangi fabrikada üretildiğine ilişkin varsayımlar yapılmalıdır. Bunu bilerek kusurlu olma olasılığını bulabiliriz. Olaylar için gösterimi tanıtalım: A- Satın alınan elektrik lambasının arızalı çıkması, - Lambanın birinci fabrikada üretilmiş olması, - Lambanın ikinci fabrikada üretilmiş olması,
– lamba üçüncü fabrika tarafından üretildi.

Toplam olasılık formülünü kullanarak istenen olasılığı buluyoruz:

Bayes'in formülü. İkili olarak uyumsuz olayların (hipotezlerin) tam bir grubu olsun. A– rastgele bir olay. Daha sonra,

Hipotezlerin olasılıklarını yeniden tahmin etmenizi sağlayan son formül bilinen sonuç A olayının gerçekleşmesiyle sonuçlanan teste denir Bayes formülü .

Örnek 18. Hastaların ortalama %50'si özel hastanelere başvurmaktadır. İLE, %30 – hastalıklı L, 20 % –
hastalıklı M. Hastalığın tamamen iyileşme olasılığı k hastalıklar için 0,7'ye eşit L Ve M bu olasılıklar sırasıyla 0,8 ve 0,9'dur. Hastaneye kaldırılan hasta, sağlıkla taburcu edildi. Bu hastanın hastalıktan muzdarip olma olasılığını bulun k.

Çözüm. Hipotezleri tanıtalım: – hasta bir hastalıktan muzdaripti İLE L, – hasta bir hastalıktan muzdaripti M.

Daha sonra problemin koşullarına göre elimizde . Bir etkinlik tanıtalım A- Hastaneye kaldırılan hasta sağlıklı bir şekilde taburcu edildi. Koşullara göre

Toplam olasılık formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

Bayes'in formülüne göre.

Örnek 19. Torbada beş top olsun ve beyaz topların sayısıyla ilgili tüm tahminler eşit derecede mümkündür. Torbadan rastgele bir top alınıyor ve topun beyaz olduğu ortaya çıkıyor. Vazonun başlangıçtaki bileşimi hakkında hangi varsayım en olasıdır?

Çözüm. Torbada beyaz topların olduğu hipotezi olsun yani altı varsayım yapılabilir. Daha sonra problemin koşullarına göre elimizde .

Bir etkinlik tanıtalım A– rastgele alınan beyaz bir top. Hesaplayalım. O zamandan beri Bayes formülüne göre elimizde:

Dolayısıyla en olası hipotez şudur: .

Örnek 20. Bilgi işlem cihazının bağımsız olarak çalışan üç elemanından ikisi arızalandı. Birinci, ikinci ve üçüncü elemanların arızalanma olasılıkları sırasıyla 0,2 ise, birinci ve ikinci elemanların arızalanma olasılığını bulun; 0,4 ve 0,3.

Çözüm. ile belirtelim A olay - iki öğe başarısız oldu. Aşağıdaki hipotezler yapılabilir:

– birinci ve ikinci elemanlar arızalı ancak üçüncü eleman çalışır durumdadır. Öğeler bağımsız olarak çalıştığından çarpma teoremi uygulanır:

Olasılıklarının ve bunlara karşılık gelen koşullu olasılıkların bilinmesine izin verin. O halde olayın gerçekleşme olasılığı:

Bu formül denir toplam olasılık formülleri. Ders kitaplarında kanıtı temel olan bir teorem olarak formüle edilmiştir: göre olayların cebiri, (bir olay meydana geldi Ve veya bir olay meydana geldi Ve bir olay geldikten sonra veya bir olay meydana geldi Ve bir olay geldikten sonra veya …. veya bir olay meydana geldi Ve bir olay geldikten sonra). hipotezlerden bu yana uyumsuzsa ve olay bağımlıysa, o zaman buna göre uyumsuz olayların olasılıklarının eklenmesi teoremi (ilk adım) Ve bağımlı olayların olasılıklarının çarpımı teoremi (ikinci adım):

Çoğu kişi muhtemelen ilk örneğin içeriğini tahmin ediyordur =)

Nereye tükürsen orada bir kavanoz vardır:

Sorun 1

Üç tane birbirinin aynısı kavanoz var. İlk torbada 4 beyaz ve 7 siyah top, ikincisinde yalnızca beyaz toplar ve üçüncüsünde yalnızca siyah toplar bulunmaktadır. Bir torba rastgele seçiliyor ve içinden rastgele bir top çekiliyor. Bu topun siyah olma olasılığı nedir?

Çözüm: olayı düşünün - rastgele seçilen bir torbadan siyah bir top çekilecek. Bu olay aşağıdaki hipotezlerden birinin sonucu olarak ortaya çıkabilir:
– 1. torba seçilecektir;
– 2. vazo seçilecektir;
– 3. urn seçilecektir.

Kap rastgele seçildiği için üç kaptan herhangi birinin seçimi eşit derecede mümkün, buradan:

Lütfen yukarıdaki hipotezlerin oluştuğunu unutmayın. tam bir etkinlik grubu yani duruma göre siyah top ancak bu torbalardan çıkabilir ve örneğin bilardo masasından gelemez. Basit bir ara kontrol yapalım:
, Tamam, devam edelim:

İlk torbada 4 beyaz + 7 siyah = 11 top bulunur. klasik çözünürlüklü:
– siyah top çekme olasılığı verilen 1. urn seçilecektir.

İkinci kavanozda sadece beyaz toplar var, yani eğer seçilirse siyah topun görünümü olur imkansız: .

Ve son olarak üçüncü kutuda sadece siyah toplar var, bu da karşılık gelen toplar anlamına geliyor. şartlı olasılık siyah topun çıkarılması olacak (olay güvenilirdir).

– Rastgele seçilen bir torbadan siyah bir topun çekilme olasılığı.

Cevap:

Analiz edilen örnek, KOŞUL'u derinlemesine incelemenin ne kadar önemli olduğunu bir kez daha ortaya koyuyor. Aynı sorunları çömlekler ve toplarla ele alalım - dışsal benzerliklerine rağmen, çözüm yöntemleri tamamen farklı olabilir: yalnızca kullanmanız gereken bir yerde olasılığın klasik tanımı, bir yerlerde olaylar bağımsız, bir yerde bağımlı ve bir yerlerde hipotezlerden bahsediyoruz. Aynı zamanda, bir çözüm seçmek için net bir resmi kriter yoktur - neredeyse her zaman bunun hakkında düşünmeniz gerekir. Becerilerinizi nasıl geliştirebilirsiniz? Karar veriyoruz, karar veriyoruz ve yine karar veriyoruz!

Sorun 2

Atış poligonunda değişen doğrulukta 5 tüfek bulunur. Belirli bir atıcının hedefi vurma olasılığı sırasıyla 0,5'e eşittir; 0,55; 0,7; 0,75 ve 0,4. Atıcı rastgele seçilen bir tüfekle tek atış yaparsa hedefi vurma olasılığı nedir?

Hızlı Çözüm ve dersin sonunda cevap.

Çoğunlukta tematik görevler hipotezler elbette eşit derecede olası değildir:

Sorun 3

Piramitte üçü optik görüşle donatılmış 5 tüfek var. Atıcının teleskopik görüşlü bir tüfekle ateş ederken hedefi vurma olasılığı 0,95; optik nişangahı olmayan bir tüfek için bu olasılık 0,7'dir. Atıcının rastgele aldığı bir tüfekle tek atış yapması durumunda hedefin vurulma olasılığını bulun.

Çözüm: Bu problemde tüfek sayısı bir öncekindekiyle tamamen aynı, ancak yalnızca iki hipotez var:
- atıcı optik görüşe sahip bir tüfek seçecektir;
– atıcı optik görüşü olmayan bir tüfek seçecektir.
İle olasılığın klasik tanımı: .
Kontrol:

Olayı düşünün: – Bir atıcı, rastgele aldığı bir tüfekle hedefi vuruyor.
Koşula göre: .

Toplam olasılık formülüne göre:

Cevap: 0,85

Pratikte, sizin de aşina olduğunuz bir görevi biçimlendirmenin kısaltılmış bir yolu oldukça kabul edilebilir:

Çözüm: klasik tanıma göre: - sırasıyla optik görüşlü ve optik görüşsüz bir tüfek seçme olasılıkları.

Koşullara göre, - ilgili tüfek türlerinden hedefi vurma olasılığı.

Toplam olasılık formülüne göre:
– Atıcının rastgele seçilmiş bir tüfekle hedefi vurma olasılığı.

Cevap: 0,85

Sonraki görev bağımsız karar:

Sorun 4

Motor üç modda çalışır: normal, zorunlu ve rölanti. Boş modda, arıza olasılığı 0,05, normal çalışma modunda - 0,1 ve zorunlu modda - 0,7'dir. Motorun %70'i normal modda, %20'si ise zorunlu modda çalışır. Çalışma sırasında motor arızası olasılığı nedir?

Her ihtimale karşı, olasılık değerlerini elde etmek için yüzdelerin 100'e bölünmesi gerektiğini hatırlatayım. Çok dikkatli olun! Gözlemlerime göre, insanlar genellikle toplam olasılık formülünü içeren problemlerin koşullarını karıştırmaya çalışıyorlar; ve özellikle bu örneği seçtim. Sana bir sır vereceğim - neredeyse kafam karışıyordu =)

Ders sonunda çözüm (kısa şekilde formatlanmış)

Bayes formüllerini kullanmayla ilgili sorunlar

Materyal önceki paragrafın içeriğiyle yakından ilgilidir. Hipotezlerden birinin uygulanması sonucu olayın gerçekleşmesine izin verin . Belirli bir hipotezin ortaya çıkma olasılığı nasıl belirlenir?

Verilen o olay zaten oldu, hipotez olasılıkları abartılmışİngiliz rahip Thomas Bayes'in adını alan formüllere göre:

– hipotezin gerçekleşme olasılığı;
– hipotezin gerçekleşme olasılığı;
…
– hipotezin gerçekleşme olasılığı.

İlk bakışta bu tamamen saçma görünüyor - eğer zaten biliniyorsa, hipotezlerin olasılıkları neden yeniden hesaplansın ki? Ama aslında bir fark var:

- Bu Önsel(tahmini önce testler) olasılık.

- Bu a posteriori(tahmini sonrasında aynı hipotezlerin "yeni keşfedilen koşullar" ile bağlantılı olarak yeniden hesaplanan olasılıkları - olayın gerçekleştiği gerçeği dikkate alınarak kesinlikle oldu.

Bu farka bakalım spesifik örnek:

Sorun 5

Depoya 2 parti ürün geldi: ilki - 4000 adet, ikincisi - 6000 adet. İlk partideki standart dışı ürünlerin ortalama yüzdesi %20, ikinci partide ise %10'dur. Depodan rastgele alınan ürünün standart olduğu ortaya çıktı. Bunun olasılığını bulun: a) birinci gruptan, b) ikinci gruptan.

İlk kısım çözümler toplam olasılık formülünün kullanılmasından oluşur. Başka bir deyişle hesaplamalar testin geçerli olduğu varsayımıyla yapılır. henüz üretilmedi ve olay “Ürün standart çıktı” Henüz değil.

İki hipotezi ele alalım:
– rastgele alınan bir ürün 1. partiden olacaktır;
– Rastgele alınan bir ürün 2. partiden olacaktır.

Toplam: 4000 + 6000 = 10000 stoktaki ürün. Klasik tanıma göre:
.

Kontrol:

Hadi düşünelim bağımlı olay: – bir depodan rastgele alınan bir ürün irade standart.

İlk partide %100 – %20 = %80 standart ürünler, dolayısıyla: verilen 1. tarafa ait olduğunu.

Benzer şekilde ikinci partide %100 - %10 = %90 standart ürünler ve – Bir depodan rastgele alınan bir ürünün standart olma olasılığı verilen 2. tarafa ait olduğunu.

Toplam olasılık formülüne göre:
– Bir depodan rastgele alınan bir ürünün standart olma olasılığı.

Bölüm iki. Bir depodan rastgele alınan bir ürün standart çıksın. Bu ifade doğrudan koşulda belirtilmekte ve olayın gerçekleştiğini belirtmektedir. olmuş.

Bayes formüllerine göre:

a) Seçilen standart ürünün 1. partiye ait olma olasılığı;

b) Seçilen standart ürünün 2. partiye ait olma olasılığıdır.

Sonrasında yeniden değerleme hipotezler elbette hala oluşuyor tam grup:
(sınav;-))

Cevap:

Yine mesleğini değiştirerek fabrikanın müdürü olan Ivan Vasilyevich, hipotezlerin yeniden değerlendirilmesinin anlamını anlamamıza yardımcı olacak. Bugün 1. atölyenin depoya 4.000 ürün, 2. atölyenin ise 6.000 ürün sevk ettiğini biliyor ve bundan emin olmak için geliyor. Tüm ürünlerin aynı tipte ve aynı kapta olduğunu varsayalım. Doğal olarak Ivan Vasilyevich, ön hazırlık olarak, şimdi inceleme için kaldıracağı ürünün büyük olasılıkla 1. atölyede ve büyük olasılıkla ikinci atölyede üretileceğini hesapladı. Ancak seçilen ürünün standart olduğu ortaya çıkınca şöyle haykırıyor: “Ne havalı bir cıvata! “Daha ziyade 2. çalıştayda yayımlandı.” Bu nedenle, ikinci hipotezin olasılığı şu şekilde fazla tahmin edilmektedir: daha iyi taraf ve ilk hipotezin olasılığı hafife alınmıştır: . Ve bu yeniden değerlendirme temelsiz değil - sonuçta 2. atölye sadece daha fazla ürün üretmekle kalmıyor, aynı zamanda 2 kat daha iyi çalışıyor!

Saf öznelcilik mi dediniz? Kısmen - evet, üstelik Bayes'in kendisi yorumladı a posteriori olasılıklar şu şekilde güven seviyesi. Ancak her şey o kadar basit değil; Bayes yaklaşımında da nesnel bir nokta var. Sonuçta ürünün standart olma ihtimali (1. ve 2. çalıştaylar için sırasıyla 0,8 ve 0,9) Bu ön hazırlık(a priori) ve ortalama değerlendirmeler. Ancak felsefi açıdan konuşursak, olasılıklar dahil her şey akar, her şey değişir. Bu oldukça mümkün çalışma sırasında 2. atölye ne kadar başarılı olursa standart ürünlerin üretim yüzdesi de o kadar arttı (ve/veya 1. atölye azaltıldı) ve kontrol ederseniz büyük miktar veya 10 bin ürünün tamamı stokta mevcutsa, fazla tahmin edilen değerler gerçeğe çok daha yakın olacaktır.

Bu arada, eğer Ivan Vasilyevich standart olmayan bir parça çıkarırsa, tam tersine, 1. atölyeden daha "şüpheli" olacak ve ikinciden daha az olacaktır. Bunu kendiniz kontrol etmenizi öneririm:

Sorun 6

Depoya 2 parti ürün geldi: ilki - 4000 adet, ikincisi - 6000 adet. İlk partideki standart dışı ürünlerin ortalama yüzdesi %20, ikinci partide ise %10'dur. Depodan rastgele alınan ürün çıktı Olumsuz standart. Bunun olasılığını bulun: a) birinci gruptan, b) ikinci gruptan.

Bu durum, kalın harflerle vurguladığım iki harfle ayırt edilmektedir. Sorun "ile çözülebilir" temiz sayfa"veya önceki hesaplamaların sonuçlarını kullanın. Yaptığım örnekte tam çözüm ancak Görev No. 5 ile resmi bir örtüşme olmaması için olay “Depodan rastgele alınan ürün standart dışı olacaktır” ile belirtilir.

Olasılıkları yeniden tahmin etmeye yönelik Bayes şeması her yerde bulunur ve aynı zamanda çeşitli türdeki dolandırıcılar tarafından da aktif olarak istismar edilir. Halktan mevduat toplayan, güya bunları bir yere yatıran, düzenli olarak temettü ödeyen vb. herkesin bildiği üç harfli bir anonim şirketi ele alalım. Ne oluyor? Günler, aylar geçiyor, reklamlar ve kulaktan kulağa yayılan yeni gerçekler yalnızca güven düzeyini artırıyor. mali piramit (geçmişteki olaylara bağlı olarak arka Bayesian yeniden tahmini!). Yani yatırımcıların gözünde bu ihtimal sürekli artıyor. “Burası ciddi bir ofis”; zıt hipotezin olasılığı ise (“bunlar sadece daha fazla dolandırıcı”) elbette azalır ve azalır. Bundan sonra olanların açık olduğunu düşünüyorum. Kazanılan itibarın, organizatörlere, yalnızca bir grup cıvata olmadan değil, aynı zamanda pantolonsuz da bırakılan Ivan Vasilyevich'ten başarıyla saklanmaları için zaman vermesi dikkat çekicidir.

Aynı derecede ilginç örneklere biraz sonra döneceğiz, ancak şimdilik bir sonraki adım üç hipotezden oluşan belki de en yaygın durumdur:

Sorun 7

Elektrik lambaları üç fabrikada üretilmektedir. 1. tesis toplam lamba sayısının% 30'unu, 2. -% 55'ini ve 3. - geri kalanını üretir. 1. tesisin ürünleri% 1, 2. -% 1,5, 3. -% 2 arızalı lamba içerir. Mağaza her üç fabrikadan da ürün alıyor. Satın alınan lambanın arızalı olduğu ortaya çıktı. 2. tesis tarafından üretilme olasılığı nedir?

Bayes formüllerindeki problemlerde şu durumda olduğuna dikkat edin: mutlaka belli bir şey var Ne oldu olay, içinde bu durumda- bir lamba satın almak.

Olaylar arttı ve çözüm"Hızlı" bir tarzda düzenlemek daha uygundur.

Algoritma tamamen aynı: ilk adımda satın alınan lambanın çıkıyor arızalı.

İlk verileri kullanarak yüzdeleri olasılıklara dönüştürüyoruz:
– Lambanın sırasıyla 1., 2. ve 3. fabrikalar tarafından üretilme olasılığı.
Kontrol:

Benzer şekilde: – ilgili fabrikalar için arızalı bir lamba üretme olasılığı.

Toplam olasılık formülüne göre:

– satın alınan lambanın arızalı olma olasılığı.

İkinci adım. Satın alınan lambanın arızalı çıkması (olayın meydana gelmesi)

Bayes'in formülüne göre:
– satın alınan arızalı lambanın ikinci bir fabrika tarafından üretilmiş olma olasılığı

Cevap:

Yeniden değerleme sonrasında 2. hipotezin başlangıç ​​olasılığı neden arttı? Sonuçta, ikinci tesis ortalama kalitede lambalar üretiyor (birincisi daha iyi, üçüncüsü daha kötü). Peki neden arttı a posteriori Arızalı lambanın 2. fabrikadan olması mümkün mü? Bu artık “itibar”la değil, büyüklükle açıklanıyor. 2 numaralı tesis en çok üretim yaptığından beri çok sayıda lambalar, sonra onu suçluyorlar (en azından öznel olarak): “büyük ihtimalle bu arızalı lamba oradandır”.

1. ve 3. hipotezlerin olasılıklarının beklenen yönde fazla tahmin edilmesi ve eşitlenmesi ilginçtir:

Kontrol: , kontrol edilmesi gereken şey buydu.

Bu arada, hafife alınan ve fazla tahmin edilen tahminler hakkında:

Sorun 8

İÇİNDE öğrenci grubu 3 kişi var yüksek seviye eğitim, 19 kişi – ortalama ve 3 – düşük. Olasılıklar başarılı tamamlama bu öğrenciler için sınav sırasıyla: 0,95; 0,7 ve 0,4. Bazı öğrencilerin sınavı geçtiği biliniyor. Olasılığı nedir:

a) çok iyi hazırlanmıştı;
b) orta derecede hazırlanmış;
c) kötü hazırlanmıştı.

Hesaplamalar yapın ve hipotezlerin yeniden değerlendirilmesinin sonuçlarını analiz edin.

Görev gerçeğe yakındır ve öğretmenin belirli bir öğrencinin yetenekleri hakkında neredeyse hiçbir bilgisinin olmadığı bir grup yarı zamanlı öğrenci için özellikle makuldür. Bu durumda sonuç oldukça beklenmedik sonuçlara neden olabilir. (özellikle 1. yarıyıldaki sınavlar için). Eğer kötü hazırlanmış bir öğrenci bilet alabilecek kadar şanslıysa, o zaman öğretmen muhtemelen onu iyi bir öğrenci, hatta hatta iyi bir öğrenci olarak değerlendirecektir. güçlü öğrenci gelecekte iyi temettüler getirecek olan (tabii ki “çıtayı yükseltmeniz” ve imajınızı korumanız gerekiyor). Eğer bir öğrenci 7 gün 7 gece çalıştıysa, ders çalıştıysa ve tekrar yaptıysa ama şanssızdıysa, o zaman diğer etkinlikler mümkün olan en kötü şekilde gelişebilir - çok sayıda mulligans ve ortadan kalkmanın eşiğinde dengeleme ile.

İtibarın en önemli sermaye olduğunu söylemeye gerek yok; pek çok şirketin, 100-200 yıl önce işi yöneten ve kusursuz itibarıyla ünlenen kurucu babalarının isimlerini taşıması tesadüf değil.

Evet Bayes yaklaşımı bir ölçüdeöznel, ama... hayat böyle işler!

Çözümün şimdiye kadar bilinmeyen teknik inceliklerinden bahsedeceğim son bir endüstriyel örnekle konuyu pekiştirelim:

Sorun 9

Tesisin üç atölyesi aynı tip parçaları üretiyor ve bunlar montaj için ortak bir konteynere gönderiliyor. İlk atölyede 2 kat üretim yapıldığı biliniyor daha fazla detay ikinci çalıştaya göre, üçüncü çalıştaya göre ise 4 kat daha fazla. İlk atölyede kusur oranı %12, ikinci atölyede %8, üçüncü atölyede ise %4'tür. Kontrol için kaptan bir parça alınır. Arızalı olma ihtimali nedir? Çıkarılan arızalı parçanın 3. atölyede üretilmiş olma olasılığı nedir?

Ivan Vasilyevich yine at sırtında =) Filmde olması lazım mutlu son =)

Çözüm: 5-8 Numaralı Problemlerden farklı olarak, burada açıkça toplam olasılık formülü kullanılarak çözülen bir soru sorulur. Ancak öte yandan, durum biraz "şifrelidir" ve okuldaki basit denklemler oluşturma becerisi bu bulmacayı çözmemize yardımcı olacaktır. “X” ile karıştırmak uygundur en küçük değer:

Üçüncü atölyenin ürettiği parçaların payı olsun.

Koşula göre ilk atölye üçüncü atölyeden 4 kat daha fazla üretim yaptığına göre 1. atölyenin payı 0,000 olur.

Ayrıca ilk atölye, ikinci atölyeden 2 kat daha fazla ürün üretiyor, bu da ikinci atölyenin payı anlamına geliyor: .

Denklemi oluşturup çözelim:

Böylece: – konteynırdan çıkarılan parçanın sırasıyla 1., 2. ve 3. atölyelerde üretilmiş olma olasılığı.

Kontrol: . Ayrıca ifadeye tekrar bakmanın zararı olmaz “İlk atölyenin 2 kat ürün ürettiği biliniyor ikinciden daha fazla atölye ve üçüncü atölyeden 4 kat daha büyük" ve elde edilen olasılık değerlerinin gerçekten bu duruma karşılık geldiğinden emin olun.

Başlangıçta 1. çalıştayın payı veya 2. çalıştayın payı “X” olarak alınabilir, olasılıklar aynı olacaktır. Ama öyle ya da böyle en zor kısım aşıldı ve çözüm yolunda:

Bulduğumuz durumdan:
– ilgili atölyeler için kusurlu bir parça üretme olasılığı.

Toplam olasılık formülüne göre:
– Bir kaptan rastgele çıkarılan bir parçanın standart dışı çıkma olasılığı.

İkinci soru: Çıkarılan arızalı parçanın 3. atölyede üretilmiş olma olasılığı nedir? Bu soru parçanın zaten çıkarıldığını ve arızalı olduğunun ortaya çıktığını varsayar. Bayes formülünü kullanarak hipotezi yeniden değerlendiriyoruz:
– istenilen olasılık. Kesinlikle bekleniyor - sonuçta, üçüncü atölye yalnızca en küçük parça oranını üretmekle kalmıyor, aynı zamanda kaliteye de öncülük ediyor!

Bu durumda gerekliydi dört katlı kesri basitleştir Bayes formüllerini kullanan problemlerde bunu sıklıkla yapmanız gerekir. Ama için bu ders Bir şekilde tesadüfen birçok hesaplamanın sıradan kesirler olmadan yapılabileceği örnekleri aldım.

Koşul “a” ve “ol” noktalarını içermediğinden, cevabı metin yorumlarıyla sağlamak daha iyidir:

Cevap: - kaptan çıkarılan bir parçanın kusurlu olma olasılığı; – Çıkarılan kusurlu parçanın 3. atölyede üretilmiş olma olasılığı.

Gördüğünüz gibi, toplam olasılık formülü ve Bayes formülüyle ilgili problemler oldukça basittir ve muhtemelen bu nedenle, makalenin başında bahsettiğim durumu sıklıkla karmaşıklaştırmaya çalışırlar.

Ek örnekler ile dosyada var F.P.V. için hazır çözümler ve Bayes formülleri Ayrıca başka kaynaklarda da bu konuyu daha derinlemesine tanımak isteyenler olacaktır muhtemelen. Ve konu gerçekten çok ilginç - değeri nedir? Bayes'in paradoksu ki bu da bunu haklı çıkarıyor dünyevi tavsiye Bir kişiye nadir bir hastalık teşhisi konulursa, o zaman onun bir kez daha, hatta iki kez bağımsız muayene yaptırması mantıklı olur. Görünüşe göre bunu sadece çaresizlikten yapıyorlar... - ama hayır! Ama üzücü şeyler hakkında konuşmayalım.

A) – Sınavı geçen öğrencinin çok iyi hazırlanmış olma olasılığı. Nesnel başlangıç ​​olasılığının fazla tahmin edildiği ortaya çıkıyor, çünkü hemen hemen her zaman bazı "ortalama" öğrenciler sorularda şanslılar ve çok güçlü cevaplar veriyorlar, bu da kusursuz hazırlık konusunda hatalı bir izlenim veriyor.

B) – Sınavı geçen öğrencinin ortalama hazırlıklı olma olasılığı. Başlangıçtaki olasılık biraz fazla tahmin ediliyor çünkü ortalama hazırlık seviyesine sahip öğrenciler genellikle çoğunluktadır, ayrıca burada öğretmen, başarısız cevap veren "mükemmel" öğrencileri ve bazen de bilet konusunda çok şanslı olan, düşük performans gösteren bir öğrenciyi dahil edecektir.

V) – Sınava giren öğrencinin hazırlıksız olma ihtimali. Orijinal olasılık şu şekilde fazla tahmin edildi: en kötü taraf. Şaşırtıcı değil.

Toplam olasılık formülü. Bayes formülleri. Problem çözme örnekleri

Bilindiği gibi, A olayının olasılığı A olayının gerçekleşmesini destekleyen test sonuçlarının m sayısının oranına ne ad verilir? toplam sayısı eşit derecede olası tutarsız sonuçların n tanesi: P(A)=m/n.

Ayrıca, A olayının koşullu olasılığı (B olayının gerçekleşmesi koşuluyla A olayının olasılığı) P B (A) = P (AB) / P (B) sayısıdır, burada A ve B ikidir rastgele olaylar aynı test.

Olaylar bir toplam ve bir çarpım olarak temsil edilebildiğinden, olasılık ekleme kuralları olaylar ve buna bağlı olarak olasılık çarpma kuralları . Şimdi toplam olasılık kavramını verelim.

A olayının yalnızca hipotez adı verilen ikili uyumsuz H1, H2, H3, ..., Hn olaylarından biriyle birlikte meydana gelebileceğini varsayalım. O zaman aşağıdakiler doğrudur toplam olasılık formülü :

Р(А) = Р(Н1)*Р Н1 (А)+ Р(Н2)*Р Н2 (А)+…+ Р(Нn)*Р Нn (А) = ∑Р(Н Ben) *RN Ben(A),

onlar. A olayının olasılığı, her bir hipotez için bu olayın koşullu olasılıklarının ve hipotezlerin olasılığının çarpımlarının toplamına eşittir.

A olayı zaten meydana gelmişse, hipotezlerin olasılıkları ( önceki olasılıklar) fazla tahmin edilebilir (arka olasılıklar) Bayes formülleri :

“Toplam olasılık formülü” konusundaki problem çözme örnekleri. Bayes formülleri"

Sorun 1 .

Montaj üç makineden parça alıyor. İlk makinenin %3, ikincinin %2 ve üçüncünün %4 kusur verdiği bilinmektedir. Birinci makineden 100 parça, ikinci makineden 200 parça ve üçüncü makineden 250 parça gelirse montaja hatalı parça girme olasılığını bulun.

Çözüm.

• olay A = (kusurlu bir parçanın montaja girmesi);
• hipotez H1 = (bu kısım ilk makinedendir), P(H1) = 100/(100+200+250) =100/550=2/11;
• hipotez H2 = (bu kısım ikinci makinedendir), P(H2) = 200/(100+200+250) = 200/550=4/11;
• hipotez H3 = (bu kısım üçüncü makinedendir), P(H3) = 250/(100+200+250) = 250/550=5/11.

2. Parçanın arızalı olduğuna ilişkin koşullu olasılıklar P H1 (A) = %3 = 0,03, P H2 (A) = %2 = 0,02, P H3 (A) = %4 = 0,04'tür.

3. Toplam olasılık formülünü kullanarak şunu buluruz:
P(A)= P(H1)*P H1 (A)+ P(H2)*P H2 (A)+P(H3)*P H3 (A) = 0,03*2/11 + 0,02* 4/11 + 0,04*5/11 = 34/1100 ≈ 0,03

Sorun 2 .

İki özdeş kavanoz var. İlkinde 2 siyah ve 3 beyaz top var, ikincisinde ise 2 siyah ve 1 top var beyaz top. İlk önce rastgele bir torba seçiliyor ve ardından içinden rastgele bir top çekiliyor. Beyaz topun seçilme olasılığı nedir?

Çözüm. 1. Aşağıdaki olayları ve hipotezleri göz önünde bulundurun:

• A = (rastgele bir torbadan beyaz bir top çekiliyor);
• H1 = (top ilk torbaya aittir), P(H1) = 1/2 = 0,5;
• H2 = (top ikinci torbaya aittir), P(H2) = 1/2 = 0,5;

2. Beyaz topun ilk torbaya ait olma koşullu olasılığı R H1 (A) = 3/(2+3) = 3/5 ve beyaz topun ikinci torbaya ait olma koşullu olasılığı R H2 (A) = 1/( 2+1)=1/3;

3. Toplam olasılık formülünü kullanarak P(A) = P(H1)*P H1 (A)+P(H2)*P H2 (A) = 0,5*3/5 + 0,5*1/3 = 3 elde ederiz. /10 + 1/6 = 7/15 ≈ 0,47

Sorun 3 .

Boşlukların dökümü iki tedarik atölyesinden geliyor: ilk atölyeden - %70, ikinci atölyeden - %30. İlk atölyeden yapılan dökümde %10 kusur, ikinci atölyeden yapılan dökümde ise %20 kusur vardır. Rastgele alınan işlenmemiş parçanın kusursuz olduğu ortaya çıktı. İlk atölyede üretilme olasılığı nedir?

Çözüm. 1. Aşağıdaki olayları ve hipotezleri göz önünde bulundurun:

• olay A = (kusursuz boş);
• hipotez H1 = (boş parça ilk atölyede üretilmiştir), P(H1) = %70 = 0,7;
• hipotez H2 = (boş parça ikinci atölyede üretilmiştir), P(H2) = %30 = 0,3.

2. İlk atölyenin dökümünde %10 kusur olduğundan, ilk atölyede üretilen işlenmemiş parçaların %90'ında kusur yoktur; RH1(A) = 0,9.
İkinci atölyenin dökümünde %20 kusur bulunur, bu durumda ikinci atölyede üretilen işlenmemiş parçaların %80'inde kusur yoktur; RH2(A) = 0,8.

3. Bayes formülünü kullanarak RA (H1)'i buluruz

0,7*0,9/(0,7*0,9+0,3*0,8)= 0,63/0,87≈0,724.

Her iki ana teoremin (olasılıkların eklenmesi teoremi ve olasılıkların çarpımı teoremi) sonucu, toplam olasılığın formülü olarak adlandırılır.

Olaylardan biriyle birlikte meydana gelebilecek bir olayın olasılığını belirlemek gerekli olsun:

tam bir uyumsuz olaylar grubu oluşturmak. Bu olaylara hipotez adını vereceğiz.

Bu durumda şunu kanıtlayalım

, (3.4.1)

onlar. Bir olayın olasılığı, her bir hipotezin olasılığı ile bu hipotez kapsamındaki olayın olasılığının çarpımlarının toplamı olarak hesaplanır.

Formül (3.4.1)'e toplam olasılık formülü denir.

Kanıt. Hipotezler tam bir grup oluşturduğundan, bir olay yalnızca aşağıdaki hipotezlerden herhangi biriyle birleştiğinde ortaya çıkabilir:

Hipotezler tutarsız olduğundan kombinasyonlar ayrıca uyumsuz; Toplama teoremini bunlara uyguladığımızda şunu elde ederiz:

Çarpma teoremini olaya uygulayarak şunu elde ederiz:

,

Q.E.D.

Örnek 1. Birbirine benzeyen üç adet kavanoz vardır; ilk kavanozda iki beyaz ve bir siyah top bulunur; ikincisinde - üç beyaz ve bir siyah; üçüncüsünde iki beyaz ve iki siyah top var. Birisi kavanozlardan birini rastgele seçiyor ve içinden bir top alıyor. Bu topun beyaz olma olasılığını bulunuz.

Çözüm. Üç hipotezi ele alalım:

İlk sandık seçimi

İkinci kavanozun seçilmesi

Üçüncü kavanozun seçilmesi

ve olay beyaz bir topun ortaya çıkmasıdır.

Problemin koşullarına göre hipotezler eşit derecede mümkün olduğundan, o zaman

.

Bu hipotezler kapsamında olayın koşullu olasılıkları sırasıyla eşittir:

Toplam olasılık formülüne göre

.

Örnek 2. Uçağa üç tek el ateş ediliyor. İlk atışta isabet olasılığı 0,4, ikinci atışta 0,5, üçüncü atışta ise 0,7'dir. Üç vuruş açıkça bir uçağı devre dışı bırakmak için yeterlidir; tek vuruşta uçak 0,2 olasılıkla, iki vuruşta ise 0,6 olasılıkla başarısız olur. Üç atış sonucunda uçağın devre dışı kalma olasılığını bulun.

Çözüm. Dört hipotezi ele alalım:

Uçağa tek mermi isabet etmedi

Uçağa bir mermi isabet etti

Uçağa iki mermi isabet etti

Uçağa üç mermi isabet etti.

Toplama ve çarpma teoremlerini kullanarak bu hipotezlerin olasılıklarını buluyoruz:

Bu hipotezler kapsamında olayın (uçak arızası) koşullu olasılıkları şuna eşittir:

Toplam olasılık formülünü uygulayarak şunu elde ederiz:

Toplam olasılık formülünde karşılık gelen terim ortadan kalktığı için ilk hipotezin dikkate alınamadığına dikkat edin. Bu genellikle toplam olasılık formülünü uygularken, uyumsuz hipotezlerin tamamını değil, yalnızca bunların geçerli olduğu hipotezleri dikkate alarak yapılan şeydir. bu olay Belki.

Örnek 3. Motorun çalışması iki regülatör tarafından kontrol edilmektedir. Motorun sorunsuz çalışmasının sağlanmasının istendiği belirli bir süre dikkate alınır. Her iki regülatör de mevcutsa büyük ihtimalle motor arızalanır, sadece birincisi çalışırsa büyük ihtimalle, sadece ikincisi çalışırsa büyük ihtimalle, her iki regülatör de arızalanırsa büyük ihtimalle motor arızalanır. Düzenleyicilerden ilki güvenilirliğe sahiptir, ikincisi ise -. Tüm elemanlar birbirinden bağımsız olarak arızalanır. Motorun toplam güvenilirliğini (arızasız çalışma olasılığı) bulun.