Doğrusal fonksiyon grafiği düz bir çizgidir. Doğrudan işlev

Talimatlar

Grafik, koordinatların orijininden geçen ve OX ekseni ile bir α açısı oluşturan düz bir çizgi ise (düz çizginin pozitif yarı eksen OX'a eğim açısı). Bu satırı tanımlayan fonksiyon y = kx biçiminde olacaktır. Orantılılık katsayısı k tan α'ya eşittir. Düz bir çizgi 2. ve 4. koordinat çeyreğinden geçerse, o zaman k< 0, и является убывающей, если через 1-ю и 3-ю, то k >0 ve fonksiyon artarsa ​​koordinat eksenlerine göre farklı konumlarda bulunan bir doğruyu temsil etsin. Bu doğrusal bir fonksiyondur ve y = kx + b formuna sahiptir; burada x ve y değişkenleri birinci kuvvettir ve k ve b pozitif ya da negatif olabilir. negatif değerler veya sıfıra eşittir. Doğru y = kx doğrusuna paraleldir ve |b| ekseninde kesilmektedir. birimler. Doğru apsis eksenine paralelse k = 0, ordinat ekseni ise denklem x = sabit şeklindedir.

Farklı çeyreklerde bulunan ve koordinatların orijinine göre simetrik olan iki daldan oluşan bir eğri hiperboldür. Bu grafik ters ilişki x'ten y değişkeni ve y = k/x denklemiyle tanımlanır. Burada k ≠ 0 orantılılık katsayısıdır. Ayrıca k > 0 ise fonksiyon azalır; eğer k< 0 - функция возрастает. Таким образом, областью определения функции является вся числовая прямая, кроме x = 0. Ветви приближаются к осям координат как к своим асимптотам. С уменьшением |k| ветки гиперболы все больше «вдавливаются» в koordinat açıları.

İkinci dereceden fonksiyon y = ax2 + bx + c biçimindedir; burada a, b ve c sabit büyüklüklerdir ve a  0. b = c = 0 koşulu karşılanırsa, fonksiyon denklemi y = ax2 ( gibi görünür) en basit durum) ve grafiği orijinden geçen bir paraboldür. y = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiği, fonksiyonun en basit durumuyla aynı şekle sahiptir, ancak tepe noktası (OY ekseniyle kesişme noktası) orijinde yer almaz.

Grafik aynı zamanda bir paraboldür güç fonksiyonu, denklemle ifade edilir y = xⁿ, eğer n herhangi bir çift sayı ise. Eğer n herhangi ise tek sayı Böyle bir güç fonksiyonunun grafiği kübik bir parabol gibi görünecektir.
Eğer n herhangi bir ise fonksiyon denklemi şu şekli alır. Tek n için fonksiyonun grafiği bir hiperbol olacaktır ve çift n için dalları op eksenine göre simetrik olacaktır.

Ayrıca okul yılları Fonksiyonlar detaylı olarak incelenerek grafikleri oluşturulmuştur. Ancak ne yazık ki pratikte bir fonksiyonun grafiğinin nasıl okunacağını ve sunulan çizimden tipinin nasıl bulunacağını öğretmiyorlar. Temel fonksiyon türlerini hatırlarsanız aslında oldukça basittir.

Talimatlar

Sunulan grafik, koordinatların orijininden geçen ve OX ekseni ile α açısı (bu, düz çizginin pozitif yarı eksene eğim açısıdır) ise, o zaman böyle bir düz çizgiyi tanımlayan fonksiyon şöyle olacaktır: y = kx olarak sunulur. Bu durumda orantılılık katsayısı k teğete eşit açı α.

Belirli bir doğru ikinci ve dördüncü koordinat çeyreklerinden geçerse k 0'a eşit olur ve fonksiyon artar. Sunulan grafiğin koordinat eksenlerine göre herhangi bir şekilde konumlandırılmış düz bir çizgi olmasına izin verin. O zaman bunun işlevi grafik Sanatları y = kx + b formuyla temsil edilen doğrusal olacaktır, burada y ve x değişkenleri birincidedir ve b ve k hem negatif hem de negatif alabilir pozitif değerler veya .

Doğru, y = kx grafiğine paralelse ve ordinat ekseninde b birimlerini kesiyorsa, denklem x = const biçimindedir, eğer grafik apsis eksenine paralelse, o zaman k = 0 olur.

Orijine göre simetrik ve farklı çeyreklerde bulunan iki daldan oluşan eğri bir çizgiye hiperbol denir. Böyle bir grafik, y değişkeninin x değişkenine ters bağımlılığını gösterir ve k'nin olmaması gereken y = k/x formundaki bir denklemle tanımlanır. sıfıra eşit bir katsayı olduğundan ters orantı. Ayrıca k'nin değeri ise Sıfırın üstünde, fonksiyon azalıyor; eğer k Sıfırdan daha az- artışlar.

Önerilen grafik orijinden geçen bir parabol ise, b = c = 0 koşuluna bağlı olarak fonksiyonu y = ax2 biçiminde olacaktır. Bu en basit durum ikinci dereceden fonksiyon. Y = ax2 + bx + c formundaki bir fonksiyonun grafiği en basit durumla aynı forma sahip olacaktır, ancak tepe noktası (grafiğin ordinat ekseniyle kesiştiği nokta) orijinde olmayacaktır. Y = ax2 + bx + c formuyla temsil edilen ikinci dereceden bir fonksiyonda a, b ve c'nin değerleri sabittir, a ise sıfıra eşit değildir.

Bir parabol, yalnızca n'nin herhangi bir çift sayı olması durumunda, y = xⁿ formundaki bir denklemle ifade edilen bir kuvvet fonksiyonunun grafiği de olabilir. Eğer n'nin değeri tek bir sayı ise, böyle bir güç fonksiyonunun grafiği kübik bir parabol ile temsil edilecektir. Eğer n değişkeni herhangi bir negatif sayı ise fonksiyon denklemi formunu alır.

Konuyla ilgili video

Düzlemdeki kesinlikle herhangi bir noktanın koordinatı, iki miktarıyla belirlenir: apsis ekseni ve ordinat ekseni boyunca. Bu tür birçok noktanın toplanması fonksiyonun grafiğini temsil eder. Buradan X değerindeki değişime bağlı olarak Y değerinin nasıl değiştiğini görebilirsiniz. Ayrıca fonksiyonun hangi bölümde (aralıkta) arttığını, hangisinde azaldığını da belirleyebilirsiniz.

Talimatlar

Grafiği düz bir çizgi olan bir fonksiyon hakkında ne söyleyebilirsiniz? Bu çizginin koordinat başlangıç ​​noktasından (yani X ve Y değerlerinin 0'a eşit olduğu noktadan) geçip geçmediğine bakın. Eğer geçerse, böyle bir fonksiyon y = kx denklemiyle tanımlanır. K değeri ne kadar büyük olursa, bu düz çizginin ordinat eksenine o kadar yakın olacağını anlamak kolaydır. Ve Y ekseninin kendisi aslında sonsuzluğa karşılık gelir büyük önem taşıyan k.

Sorunu ele alalım. A şehrinden ayrılan bir motosikletçi şu anda 20 km uzaklıkta bulunmaktadır. Motosikletçi 40 km/saat hızla hareket ederse t saat sonra A'dan ne kadar s (km) uzaklıkta olacaktır?

Açıkçası, motosikletçi t saat içinde 50 ton km yol kat edecek. Sonuç olarak, t saat sonra A'dan (20 + 50t) km uzaklıkta olacaktır, yani. s = 50t + 20, burada t ≥ 0.

Her t değeri tek bir s değerine karşılık gelir.

t ≥ 0 olmak üzere s = 50t + 20 formülü fonksiyonu tanımlar.

Bir sorunu daha ele alalım. Telgraf göndermek için her kelime için 3 kopek, ayrıca 10 kopek ücret alınır. N kelime içeren bir telgraf göndermek için kaç kopek (u) ödemeniz gerekir?

Gönderenin n kelime için 3n kopek ödemesi gerektiğinden, n kelimelik bir telgraf göndermenin maliyeti u = 3n + 10 formülü kullanılarak bulunabilir; burada n herhangi bir doğal sayıdır.

Ele alınan her iki problemde de, k ve l'nin bazı sayılar ve x ve y'nin değişken olduğu y = kx + l formundaki formüllerle verilen fonksiyonlarla karşılaştık.

k ve l'nin bazı sayılar olduğu y = kx + l formundaki bir formülle belirtilebilen bir fonksiyona doğrusal denir.

kx + l ifadesi herhangi bir x için anlamlı olduğundan, doğrusal bir fonksiyonun tanım bölgesi tüm sayıların kümesi veya herhangi bir alt kümesi olabilir.

Doğrusal fonksiyonun özel bir durumu, daha önce tartışılan doğru orantılılıktır. l = 0 ve k ≠ 0 için y = kx + l formülünün y = kx biçimini aldığını ve bilindiği gibi bu formülün k ≠ 0 için doğru orantılılığı belirttiğini hatırlayın.

Doğrusal bir f fonksiyonu çizmemiz gerekiyor, verilen formül
y = 0,5x + 2.

X'in bazı değerleri için y değişkeninin karşılık gelen birkaç değerini alalım:

Aldığımız koordinatlarla noktaları işaretleyelim: (-6; -1), (-4; 0); (-2; 1), (0; 2), (2; 3), (4; 4); (6; 5), (8; 6).

Açıkçası, oluşturulan noktalar belirli bir çizgi üzerinde yer almaktadır. Bundan, bu fonksiyonun grafiğinin düz bir çizgi olduğu sonucu çıkmaz.

Söz konusu f fonksiyonunun grafiğinin nasıl göründüğünü bulmak için, bunu x = 0,5 olan tanıdık x – y doğru orantılılık grafiğiyle karşılaştıralım.

Herhangi bir x için 0,5x + 2 ifadesinin değeri, 0,5x ifadesinin karşılık gelen değerinden 2 birim daha büyüktür. Bu nedenle, f fonksiyonunun grafiğindeki her noktanın ordinatı, doğru orantı grafiğindeki karşılık gelen ordinattan 2 birim daha büyüktür.

Dolayısıyla söz konusu f fonksiyonunun grafiği, doğru orantı grafiğinden şu şekilde elde edilebilir: paralel aktarım ordinat yönünde 2 birim kadar.

Doğru orantılılık grafiği düz bir çizgi olduğundan, söz konusu f doğrusal fonksiyonunun grafiği de düz bir çizgidir.

Genel olarak y = kx + l formundaki bir formülle verilen bir fonksiyonun grafiği düz bir çizgidir.

Düz bir çizgi çizmek için iki noktasının konumunu belirlemenin yeterli olduğunu biliyoruz.

Örneğin, formül tarafından verilen bir fonksiyonun grafiğini çizmeniz gerektiğini varsayalım.
y = 1,5x – 3.

X'in iki keyfi değerini alalım, örneğin, x 1 = 0 ve x 2 = 4. y 1 = -3, y 2 = 3 fonksiyonunun karşılık gelen değerlerini hesaplayalım, yerleşik olarak koordinat uçağı A (-3; 0) ve B (4; 3) noktalarını bulun ve bu noktalardan geçen düz bir çizgi çizin. Bu düz çizgi istenen grafiktir.

Doğrusal bir fonksiyonun tanım alanı tam olarak temsil edilmiyorsa sayılar, o zaman grafiği bir çizgi üzerindeki noktaların bir alt kümesi olacaktır (örneğin, bir ışın, bir parça, bir dizi ayrı nokta).

y = kx + l formülüyle belirtilen fonksiyonun grafiğinin konumu l ve k değerlerine bağlıdır. Özellikle doğrusal bir fonksiyonun grafiğinin x eksenine olan eğim açısı k katsayısına bağlıdır. Eğer k pozitif bir sayı ise bu açı dar açıdır; eğer k – negatif bir sayı, o zaman açı geniştir. k sayısına doğrunun eğimi denir.

web sitesi, materyalin tamamı veya bir kısmı kopyalanırken orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Sitede bir talep gönderdiğinizde toplayabiliriz çeşitli bilgiler adınız, telefon numaranız ve adresiniz dahil E-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Tarafımızdan toplandı kişisel bilgi sizinle iletişim kurmamıza ve benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemize olanak tanır.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri ayrıca denetim, veri analizi ve çeşitli çalışmalar sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak için.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerektiğinde - yasaya, adli prosedüre, yasal işlemlere uygun olarak ve/veya kamunun talep veya taleplerine dayanarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Doğrusal Fonksiyonun Tanımı

Doğrusal bir fonksiyonun tanımını tanıtalım

Tanım

$k$'ın sıfırdan farklı olduğu $y=kx+b$ biçimindeki bir fonksiyona doğrusal fonksiyon denir.

Doğrusal bir fonksiyonun grafiği düz bir çizgidir. $k$ sayısına doğrunun eğimi denir.

$b=0$ olduğunda doğrusal fonksiyona $y=kx$ doğru orantılılık fonksiyonu denir.

Şekil 1'i düşünün.

Pirinç. 1. Bir doğrunun eğiminin geometrik anlamı

Hadi düşünelim ABC üçgeni. $ВС=kx_0+b$ olduğunu görüyoruz. $y=kx+b$ doğrusunun $Ox$ ekseniyle kesişme noktasını bulalım:

\ \

Yani $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Bu kenarların oranını bulalım:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

Öte yandan, $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$.

Böylece, aşağıdaki sonucu çıkarabiliriz:

Çözüm

Geometrik anlam$k$ katsayısı. Eğim faktörü$k$ düz çizgisi, bu düz çizginin $Ox$ eksenine olan eğim açısının tanjantına eşittir.

$f\left(x\right)=kx+b$ doğrusal fonksiyonunun ve grafiğinin incelenmesi

Öncelikle $f\left(x\right)=kx+b$ fonksiyonunu düşünün, burada $k > 0$.

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. Buradan, bu fonksiyon tanımın tüm alanı boyunca artar. Ekstrem noktalar yoktur.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Grafik (Şekil 2).

Pirinç. 2. $k > 0$ için $y=kx+b$ fonksiyonunun grafikleri.

Şimdi $f\left(x\right)=kx$ fonksiyonunu düşünün, burada $k

1. Tanım alanı tüm sayılardır.
2. Değer aralığının tamamı sayılardır.
3. $f\left(-x\right)=-kx+b$. Fonksiyon ne çift ne de tektir.
4. $x=0,f\left(0\right)=b$ için. $y=0.0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$ olduğunda.

Koordinat eksenlerine sahip kesişme noktaları: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ ve $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Bu nedenle fonksiyonun dönüm noktası yoktur.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Grafik (Şekil 3).

>>Matematik: Doğrusal fonksiyon ve onun programı

Doğrusal fonksiyon ve grafiği

Matematikçiler, tüm açıklığı ve kesinliği nedeniyle, § 28'de formüle ettiğimiz ax + by + c = 0 denkleminin grafiğini oluşturma algoritmasından pek hoşlanmıyorlar. Genellikle algoritmanın ilk iki adımıyla ilgili iddialarda bulunurlar. Denklemi neden y değişkeni için iki kez çözelim diyorlar: önce ax1 + by + c = O, sonra ax1 + by + c = O? Y'yi ax + ile + c = 0 denkleminden hemen ifade etmek daha iyi değil mi, o zaman hesaplamaları yapmak daha kolay (ve en önemlisi daha hızlı) olacak mı? Hadi kontrol edelim. Önce düşünelim denklem 3x - 2y + 6 = 0 (bkz. § 28'deki örnek 2).

x'i vermek belirli değerler y'nin karşılık gelen değerlerini hesaplamak kolaydır. Örneğin x = 0 olduğunda y = 3 elde ederiz; x = -2'de y = 0'a sahibiz; x = 2 için y = 6; x = 4 için şunu elde ederiz: y = 9.

§ 28'deki örnek 2'de vurgulanan (0; 3), (- 2; 0), (2; 6) ve (4; 9) noktalarının ne kadar kolay ve hızlı bulunduğunu görüyorsunuz.

Aynı şekilde, bx - 2y = 0 denklemi (bkz. § 28'deki örnek 4) 2y = 16 -3x formuna dönüştürülebilir. ayrıca y = 2,5x; bu denklemi sağlayan (0; 0) ve (2; 5) noktalarını bulmak zor değildir.

Son olarak aynı örnekteki 3x + 2y - 16 = 0 denklemi 2y = 16 -3x formuna dönüştürülebilir ve daha sonra onu sağlayan (0; 0) ve (2; 5) noktalarını bulmak zor değildir.

Şimdi belirtilen dönüşümleri ele alalım. Genel görünüm.

Böylece iki değişkenli x ve y doğrusal denklemi (1) her zaman şu forma dönüştürülebilir:
y = kx + m,(2) burada k,m sayılardır (katsayılar) ve .

Bu özel görünüm doğrusal denklem doğrusal fonksiyon olarak adlandırılacaktır.

Eşitlik (2)'yi kullanarak belirli bir x değeri belirlemek ve karşılık gelen y değerini hesaplamak kolaydır. Örneğin,

y = 2x + 3. O halde:
eğer x = 0 ise y = 3;
eğer x = 1 ise y = 5;
eğer x = -1 ise y = 1;
x = 3 ise y = 9 vb.

Tipik olarak bu sonuçlar şu şekilde sunulur: tablolar:

Tablonun ikinci satırındaki y değerlerine, x = 0, x = 1, x = -1, x = - noktalarında sırasıyla y = 2x + 3 doğrusal fonksiyonunun değerleri denir. 3.

Denklem (1)'de hnu değişkenleri eşittir, ancak denklem (2)'de değildir: bunlardan birine - x değişkenine - belirli değerler atarız, y değişkeninin değeri ise x değişkeninin seçilen değerine bağlıdır. Bu nedenle genellikle x'in bağımsız değişken (veya argüman), y'nin bağımlı değişken olduğunu söyleriz.

Lütfen dikkat: doğrusal bir fonksiyon özel Tip iki değişkenli doğrusal denklem. Denklem grafiği y - kx + m, iki değişkenli herhangi bir doğrusal denklem gibi düz bir çizgidir - buna aynı zamanda y = kx + m doğrusal fonksiyonunun grafiği de denir. Dolayısıyla aşağıdaki teorem doğrudur.

Örnek 1. y = 2x + 3 doğrusal fonksiyonunun grafiğini oluşturun.

Çözüm. Bir tablo yapalım:

İkinci durumda ise ilk durumda olduğu gibi gün sayısını ifade eden bağımsız değişken x yalnızca 1, 2, 3, ..., 16 değerlerini alabilmektedir. Nitekim x = 16 ise, daha sonra y = 500 - 30x formülünü kullanarak şunu buluruz: y = 500 - 30 16 = 20. Bu, 17. günde 30 ton kömürü depodan çıkarmanın mümkün olmayacağı anlamına gelir, çünkü bugüne kadar sadece 20 ton kömür var. ton depoda kalacak ve kömür çıkarma işleminin durdurulması gerekecek. Dolayısıyla ikinci durumun geliştirilmiş matematiksel modeli şuna benzer:

y = 500 - ZOD:, burada x = 1, 2, 3, .... 16.

Üçüncü durumda bağımsız değişken x teorik olarak negatif olmayan herhangi bir değeri alabilir (örneğin, x değeri = 0, x değeri = 2, x değeri = 3,5 vb.), ancak pratikte bir turist onunla yürüyemez sabit hızİstenildiği kadar uyumadan veya dinlenmeden. Bu yüzden yapmak zorundaydık makul kısıtlamalar x'e 0 deyin< х < 6 (т. е. turist geliyor en fazla 6 saat).

şunu hatırlatalım geometrik modeli katı olmayan çift eşitsizlik 0< х < 6 служит отрезок (рис. 37). Значит, уточненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку .

“x, X kümesine aittir” ifadesi yerine yazmayı kabul edelim (okuyun: “x elemanı X kümesine aittir”, e üyeliğin işaretidir). Gördüğünüz gibi matematik diliyle tanışıklığımız sürekli devam ediyor.

Doğrusal fonksiyon y = kx + m ise x'in tüm değerleri için değil, yalnızca belirli bir x'ten gelen değerler için dikkate alınmalıdır. sayısal aralık X, sonra şunu yazarlar:

Örnek 2. Doğrusal bir fonksiyonun grafiğini çizin:

Çözüm, a) y = 2x + 1 doğrusal fonksiyonu için bir tablo oluşturalım.

xOy koordinat düzleminde (-3; 7) ve (2; -3) noktalarını oluşturalım ve bunların içinden geçen düz bir çizgi çizelim. Bu, y = -2x: + 1 denkleminin grafiğidir. Daha sonra oluşturulan noktaları birleştiren bir doğru parçası seçin (Şekil 38). Bu parça, xe [-3, 2] olan y = -2x+1 doğrusal fonksiyonunun grafiğidir.

Genellikle şunu söylerler: y = - 2x + 1 doğrusal fonksiyonunu [- 3, 2] parçası üzerinde çizdik.

b) Bu örneğin öncekinden farkı nedir? Doğrusal fonksiyon aynıdır (y = -2x + 1), bu da grafiği olarak aynı düz çizginin kullanıldığı anlamına gelir. Ama dikkat et! - bu sefer x e (-3, 2), yani x = -3 ve x = 2 değerleri dikkate alınmaz, (- 3, 2) aralığına ait değildir. Koordinat doğrusu üzerinde bir aralığın uçlarını nasıl işaretledik? Işık çemberleri (Şekil 39), bundan § 26'da bahsetmiştik. Benzer şekilde, (- 3; 7) ve B noktaları; - 3) çizimde açık renkli dairelerle işaretlenmesi gerekecektir. Bu bize sadece y = - 2x + 1 doğrusu üzerinde dairelerle işaretlenmiş noktalar arasında kalan noktaların alındığını hatırlatacaktır (Şekil 40). Ancak bazen bu gibi durumlarda açık renkli daireler yerine okları kullanırlar (Şek. 41). Bu temel değil, asıl önemli olan ne söylendiğini anlamaktır.

Örnek 3. Doğrusal bir fonksiyonun segment üzerindeki en büyük ve en küçük değerlerini bulun.
Çözüm. Doğrusal bir fonksiyon için bir tablo yapalım

XOy koordinat düzleminde (0; 4) ve (6; 7) noktalarını oluşturalım ve bunların içinden düz bir çizgi çizelim - doğrusal x fonksiyonunun bir grafiği (Şekil 42).

Bu doğrusal fonksiyonu bir bütün olarak değil, bir parça üzerinde, yani x e için dikkate almamız gerekir.

Grafiğin ilgili bölümü çizimde vurgulanmıştır. Seçilen parçaya ait noktaların en büyük koordinatının 7'ye eşit olduğunu not ediyoruz - bu, segmentteki doğrusal fonksiyonun en büyük değeridir. Genellikle şu gösterim kullanılır: y max =7.

Şekil 42'de vurgulanan çizginin kısmına ait noktaların en küçük koordinatının 4'e eşit olduğunu not ediyoruz - bu, segment üzerindeki doğrusal fonksiyonun en küçük değeridir.
Genellikle şu gösterim kullanılır: y adı. = 4.

Örnek 4. Y naib ve y naim'i bulun. doğrusal bir fonksiyon için y = -1,5x + 3,5

a) segmentte; b) (1.5) aralığında;
c) yarım aralıklarla.

Çözüm. Y = -l.5x + 3.5 doğrusal fonksiyonu için bir tablo yapalım:

xOy koordinat düzleminde (1; 2) ve (5; - 4) noktalarını oluşturalım ve bunların içinden düz bir çizgi çizelim (Şekil 43-47). Oluşturulan düz çizgi üzerinde segmentten (Şekil 43), A, 5 aralığından (Şekil 44), yarım aralıktan (Şekil 47) x değerlerine karşılık gelen kısmı seçelim.

a) Şekil 43'ü kullanarak y max = 2 (doğrusal fonksiyon bu değere x = 1'de ulaşır) ve y min olduğu sonucunu çıkarmak kolaydır. = - 4 (doğrusal fonksiyon bu değere x = 5'te ulaşır).

b) Şekil 44'ü kullanarak şu sonuca varıyoruz: bu doğrusal fonksiyon, belirli bir aralıkta ne en büyük ne de en küçük değerlere sahiptir. Neden? Gerçek şu ki, önceki durumdan farklı olarak, en büyük ve en küçük değerlere ulaşılan segmentin her iki ucu da değerlendirme dışı bırakılmıştır.

c) Şekil 45'i kullanarak y max sonucunu çıkarıyoruz. = 2 (ilk durumda olduğu gibi) ve en düşük değer doğrusal fonksiyon bunu yapmaz (ikinci durumda olduğu gibi).

d) Şekil 46'yı kullanarak şu sonuca varıyoruz: y max = 3,5 (doğrusal fonksiyon bu değere x = 0'da ulaşır) ve y max. bulunmuyor.

e) Şekil 47'yi kullanarak şu sonuca varıyoruz: y max = -1 (doğrusal fonksiyon bu değere x = 3'te ulaşır) ve y max yoktur.

Örnek 5. Doğrusal bir fonksiyonun grafiğini çizin

y = 2x - 6. Grafiği kullanarak aşağıdaki soruları yanıtlayın:

a) x'in hangi değerinde y = 0 olur?
b) x'in hangi değerleri için y > 0 olur?
c) x'in hangi değerlerinde y olacak< 0?

Çözüm y = 2x-6 doğrusal fonksiyonu için bir tablo oluşturalım:

(0; - 6) ve (3; 0) noktaları boyunca düz bir çizgi çiziyoruz - y = 2x - 6 fonksiyonunun grafiği (Şekil 48).

a) x = 3'te y = 0. Grafik x eksenini x = 3 noktasında kesiyor, ordinatı y = 0 olan nokta burası.
b) x > 3 için y > 0. Aslında, eğer x > 3 ise, o zaman düz çizgi x ekseninin üzerinde yer alır, bu da düz çizginin karşılık gelen noktalarının koordinatlarının pozitif olduğu anlamına gelir.

kedi< 0 при х < 3. В самом деле если х < 3, то прямая расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны. A

Lütfen bu örnekte aşağıdakileri çözmek için grafiği kullandığımızı unutmayın:

a) denklem 2x - 6 = 0 (x = 3 elde ettik);
b) eşitsizlik 2x - 6 > 0 (x > 3 elde ettik);
c) eşitsizlik 2x - 6< 0 (получили х < 3).

Yorum. Rusça'da aynı nesne genellikle farklı şekilde adlandırılır, örneğin: "ev", "bina", "yapı", "yazlık", "konak", "kışla", "kulübe", "kulübe". İÇİNDE matematik dili durum yaklaşık olarak aynıdır. Diyelim ki, k, m'nin belirli sayılar olduğu y = kx + m iki değişkenli eşitlik doğrusal bir fonksiyon olarak adlandırılabilir, çağrılabilir Doğrusal Denklem iki değişkenli x ve y (veya iki bilinmeyenli x ve y) bir formül olarak adlandırılabilir, x ile y'yi birbirine bağlayan bir ilişki olarak adlandırılabilir ve son olarak x ile y arasındaki bir bağımlılık olarak adlandırılabilir. Önemli değil, asıl önemli olan her durumda bunu anlamaktır Hakkında konuşuyoruzÖ matematiksel model y = kx + m

.

Şekil 49, a'da gösterilen doğrusal fonksiyonun grafiğini düşünün. Bu grafikte soldan sağa doğru hareket edersek, grafikteki noktaların koordinatları sürekli artıyor; sanki "bir tepeye tırmanıyormuşuz" gibi görünüyor. Bu gibi durumlarda matematikçiler artış terimini kullanırlar ve şunu söylerler: eğer k>0 ise y = kx + m doğrusal fonksiyonu artar.

Şekil 49, b'de gösterilen doğrusal fonksiyonun grafiğini düşünün. Bu grafikte soldan sağa doğru hareket edersek, grafikteki noktaların koordinatları sürekli azalıyor; sanki "tepeden aşağı iniyormuşuz" gibi görünüyor. Bu gibi durumlarda matematikçiler azalma terimini kullanır ve şöyle derler: eğer k< О, то линейная функция у = kx + m убывает.

Hayatta doğrusal fonksiyon

Şimdi bu konuyu özetleyelim. Doğrusal fonksiyon gibi bir kavramla zaten tanıştık, özelliklerini biliyoruz ve grafiklerin nasıl oluşturulacağını öğrendik. Ayrıca doğrusal bir fonksiyonun özel durumlarına baktınız ve neye bağlı olduğunu buldunuz. karşılıklı düzenleme Doğrusal fonksiyonların grafikleri. Ama öyle görünüyor ki bizim Gündelik Yaşam biz de sürekli bu matematiksel modelle kesişiyoruz.

Doğrusal fonksiyonlar gibi bir kavramla hangi gerçek yaşam durumlarının ilişkilendirildiğini düşünelim. Ve ayrıca hangi miktarlar arasında veya yaşam durumları belki doğrusal bir ilişki kurabilirim?

Birçoğunuz muhtemelen neden doğrusal fonksiyonları incelemeniz gerektiğini tam olarak anlamıyorsunuz çünkü bunun yararlı olması pek mümkün değil. Daha sonra yaşam. Ancak burada çok yanılıyorsunuz çünkü işlevlerle her zaman ve her yerde karşılaşıyoruz. Çünkü düzenli bir aylık kira bile aynı zamanda birçok değişkene bağlı bir fonksiyondur. Ve bu değişkenler metrekareyi, sakinlerin sayısını, tarifeleri, elektrik kullanımını vb. içerir.

Tabii ki, fonksiyonların en yaygın örnekleri doğrusal bağımlılık Karşılaştığımız matematik dersleridir.

Sen ve ben, arabaların, trenlerin veya yayaların belirli bir hızda kat ettiği mesafeyi bulduğumuz problemleri çözdük. Bunlar hareket zamanının doğrusal fonksiyonlarıdır. Ancak bu örnekler sadece matematikte geçerli değil, günlük yaşamımızda da mevcut.

Süt ürünlerinin kalori içeriği yağ içeriğine bağlıdır ve böyle bir ilişki genellikle doğrusal bir fonksiyondur. Örneğin ekşi kremadaki yağ oranı arttıkça ürünün kalori içeriği de artar.

Şimdi denklem sistemini çözerek hesaplamaları yapalım ve k ve b değerlerini bulalım:

Şimdi bağımlılık formülünü türetelim:

Sonuç olarak doğrusal bir ilişki elde ettik.

Sıcaklığa bağlı olarak sesin yayılma hızını bilmek için aşağıdaki formülü kullanarak bulmak mümkündür: v = 331 +0,6t, burada v hızdır (m/s cinsinden), t ise sıcaklıktır. Bu ilişkinin grafiğini çizersek doğrusal olacağını yani düz bir çizgiyi temsil edeceğini göreceğiz.

Ve benzeri pratik kullanımlar Doğrusal fonksiyonel bağımlılığın uygulanmasındaki bilgiler uzun süre listelenebilir. Telefon şarjlarından başlayarak saç uzunluğu ve uzamasına, hatta edebiyattaki atasözlerine kadar. Ve bu liste uzayıp gidiyor.

Matematikte takvim-tematik planlama, videoçevrimiçi matematikte, Okulda Matematik indir

A. V. Pogorelov, 7-11. Sınıflar için Geometri, Eğitim kurumları için ders kitabı