İzole edilmiş tekil nokta tipinin belirlenmesi. Tekil nokta

Taylor rütbeleri servis Etkili araçlar fonksiyonların bir daire içinde analitik olarak incelenmesi için zol Bir halka alanında analitik olarak fonksiyonların incelenmesi için, Taylor açılımlarını genelleştiren formun pozitif ve negatif kuvvetlerindeki (z - zq) açılımları oluşturmanın mümkün olduğu ortaya çıktı. İki serinin toplamı olarak anlaşılan seri (1)'e Laurent serisi denir. (1) serisinin yakınsaklık bölgesinin olduğu açıktır. ortak bir kısım serilerin her birinin yakınsama alanları (2). Onu bulalım. İlk serinin yakınsama alanı, yarıçapı Cauchy-Hadamard formülü ile belirlenen bir dairedir. Yakınsama çemberinin içinde, seri (3) analitik bir fonksiyona yakınsar ve daha küçük yarıçaplı herhangi bir dairede yakınsar. kesinlikle ve aynı şekilde. İkinci sıra ise güç serisi bir değişkene göre, Seri (5), yakınsama çemberi içinde m-*oo karmaşık değişkeninin analitik bir fonksiyonuna yakınsar ve daha küçük yarıçaplı herhangi bir çemberde kesinlikle ve düzgün bir şekilde yakınsar, bu da yakınsama alanının olduğu anlamına gelir (4) serisinin dairenin dışıdır - Eğer varsa Genel alan seri (3) ve (4)'ün yakınsaması - serinin (1) analitik bir fonksiyona yakınlaştığı dairesel bir halka. Üstelik herhangi bir halkada kesinlikle ve düzgün bir şekilde yakınsar. Örnek 1. İzole Edilmiş Rad Laurent Serisinin yakınsaklık bölgesinin belirlenmesi tekil noktalar ve sınıflandırılmaları M Birinci sıranın yakınsama alanı dairenin dışı, ikinci sıranın yakınsama alanı ise dairenin içidir. Bu diziler Teorem 15'te yakınsar. Dairesel bir halkadaki tek değerli ve apolitik herhangi bir f(z fonksiyonu, bu halkada, katsayıları Cn'nin benzersiz bir şekilde belirlenip hesaplandığı yakınsak bir serinin toplamı olarak temsil edilebilir. 7p'nin m yarıçaplı bir daire olduğu formüllere R'yi halkanın isteğe bağlı z noktası içinde sabitleyelim. Yarıçapları eşitsizlikleri sağlayan r noktasında merkezleri olan daireler oluşturalım ve yeni Po halkasını ele alalım. integral teoremi Cauchy elimizdeki çarpım bağlantılı bir alan için (8) toplamındaki integrallerin her birini ayrı ayrı dönüştürelim. 7d* çemberi boyunca tüm £ noktaları için, düzgün yakınsak 1 1 serisinin toplam ilişkisi sağlanır. Bu nedenle, ^ kesri vi- / "/ olarak temsil edilebilir. Her iki parçayı sürekli bir fonksiyonla çarparak (O ve bunu gerçekleştirerek). Çember boyunca terim-terim integral alarak, ikinci integralin dönüşümünü biraz farklı bir şekilde gerçekleştirdiğimizi elde ederiz. Çember üzerindeki tüm £ noktaları için bu nedenle, ^ kesri temsil edilebilir. düzgün yakınsak bir serinin toplamı olarak her iki parçayı sürekli bir fonksiyonla çarparsak ve 7/ çemberi boyunca terimsel integral alırsak şunu elde ederiz: (10) ve (12) formüllerindeki integrallerin dairesel bir halkadaki analitik fonksiyonlar olduğunu unutmayın. Bu nedenle, Cauchy teoremine göre, 7/r ve 7r/ dairelerini herhangi bir daireyle değiştirirsek karşılık gelen integrallerin değerleri değişmeyecektir. Bu, (10) ve (12) formüllerini birleştirmemize olanak tanır. Formül (8)'in sağ tarafında sırasıyla (9) ve (11) ifadeleri ile istenen genişlemeyi elde ederiz. z'den beri - keyfi nokta Bu durumda (14) serisinin bu halkanın her yerinde f(z) fonksiyonuna yakınsadığı ve herhangi bir halkada serinin bu fonksiyona mutlak ve düzgün yakınsak olduğu sonucu çıkar. Şimdi (6) formunun ayrıştırılmasının benzersiz olduğunu kanıtlayalım. Bir genişleme daha olduğunu varsayalım. O zaman R halkasının içinde her yerde çember üzerinde (15) serisi düzgün yakınsar. Eşitliğin her iki tarafını da çarpalım (burada m sabit bir tam sayıdır ve her iki seriyi terim terime entegre ederiz. Sonuç olarak sol tarafta ve sağ tarafta - St. Böylece, (4, = St.) M - Rasgele sayı, o zaman son eşitlik, ayrıştırmanın benzersizliğini kanıtlar. Katsayıları formül (7) kullanılarak hesaplanan seri (6), halkadaki f(z) fonksiyonunun Laurent serisi olarak adlandırılır. negatif güçler Laurent serisinin doğru kısmı denir ve negatif olanlarla birlikte - Ana bölüm. Laurent serisinin katsayıları için formüller (7) pratikte nadiren kullanılır, çünkü kural olarak zahmetli hesaplamalar gerektirirler. Genellikle mümkünse hazır Taylor açılımları kullanılır. temel işlevler. Ayrıştırmanın benzersizliğine dayanarak, herhangi bir yasal yöntem aynı sonuca götürür. Örnek 2. Fonksiyonun Laurent serisi açılımlarını düşünün Çeşitli bölgeler Fuiscia /(g)'nin iki tekil noktası olduğunu kabul ediyoruz: . Sonuç olarak, merkezi r = 0 noktasında olan üç halka şeklinde bölge vardır. Bunların her birinde f(r) fonksiyonu analitiktir: a) daire bir halkadır, dairenin dış kısmıdır (Şekil 27). Bu bölgelerin her birinde /(z) fonksiyonunun Laurent açılımlarını bulalım. /(z)'yi temel kesirlerin toplamı olarak gösterelim. a) Daire (16) bağıntısını terimlerin toplamı formülünü kullanarak dönüştürüyoruz. geometrik ilerleme Bulduğumuz açılımları formül (17)'de yerine koyarsak, şunu elde ederiz: Bu açılım, /(z) fonksiyonunun Taylor serisidir. b) -r fonksiyonuna ait halka bu halkada yakınsak kalır, çünkü |z| için j^j fonksiyonuna ait Seri (19) > 1 ıraksar. Bu nedenle, /(z) fonksiyonunu şu şekilde dönüştürürüz: yine formül (19)'u uygulayarak, bu serinin yakınsadığını elde ederiz. (18) ve (21) açılımlarını (20) ilişkisiyle değiştirerek, c) |z| için -z fonksiyonu için dairenin dışını elde ederiz. > 2 ıraksak ve fonksiyon için (21) serisi- /(z) fonksiyonunu aşağıdaki biçimde temsil edelim: /<*>(18) ve (19) formüllerini kullanarak OR 1 elde ederiz. Bu örnek, aynı f(z) fonksiyonu için Laurent açılımının, genel olarak, şöyle olduğunu gösterir: farklı tür farklı yüzükler için. Örnek 3. Bir fonksiyonun 8. Laurent serisinin açılımını bulun Laurent serisi İzole edilmiş tekil noktalar ve bunların bir halka tanım kümesinde sınıflandırılması f(z) fonksiyonunun temsilini aşağıdaki formda kullanırız: ve ikinci terimi dönüştürürüz. Geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı formülünü elde ederiz. Bulunan ifadeleri formül (22)'de yerine koyarsak, Örnek 4'ü elde ederiz. Laurent serisindeki fonksiyonu zq = 0 noktasında genişletiriz. Herhangi bir kompleks için bunu koyalım genişleme herhangi bir z Ф 0 noktası için geçerlidir. bu durumda halkasal bölge, atılmış bir nokta z - 0 olan tüm karmaşık düzlemi temsil eder. Bu bölge aşağıdaki ilişkiyle tanımlanabilir: Bu fonksiyon, Laurent serisinin katsayıları için formül (13)'ten aynı denklemi kullanan bölgede analitiktir. Önceki paragraftaki gibi akıl yürütmeyle Kouiw eşitsizlikleri elde edilebilir. f(z) fonksiyonu, M'nin bir sabit olduğu bir daire üzerinde sınırlıysa, o zaman Yalıtılmış tekil noktalar () noktasının halka komşuluğu varsa, zo noktasına f(z) fonksiyonunun yalıtılmış tekil noktası denir. bu kümeye bazen 2o) noktasının delikli komşuluğu denir ve burada f(z) fonksiyonu benzersiz ve analitiktir. zo noktasında fonksiyon ya tanımsızdır ya da kesin ve analitik değildir. /(r) fonksiyonunun zo noktasına yaklaşırken davranışına bağlı olarak üç tür tekil nokta ayırt edilir. İzole edilmiş bir tekil noktaya şu ad verilir: 1) eğer sonlu varsa çıkarılabilir 2) pmusach ise 3) f(z) fonksiyonunun bir limiti yoksa esas olarak tekil bir nokta. İzole edilmiş tekil noktanın türü, fonksiyonun delinmiş merkezi tarafından Laurent genişlemesinin doğası. Teorem 16. Bir f(z) fonksiyonunun izole edilmiş tekil noktası z0, ancak ve ancak f(z) fonksiyonunun zo noktasının komşuluğundaki Laurent açılımının bir asal kısım içermemesi durumunda çıkarılabilir tekil bir noktadır; Çıkarılabilir tekil nokta olsun şeklindedir. O halde bir sonlu vardır, dolayısıyla f(z) fonksiyonu z noktasının prokolojik bir komşuluğuyla sınırlıdır. Cauchy eşitsizlikleri nedeniyle p keyfi olarak küçük seçilebildiğinden, tüm katsayılar (z) negatif kuvvetlerdedir. - 20) sıfıra eşittir: Tersine, Laurent /(r) fonksiyonunun zq noktasının komşuluğundaki açılımı sadece doğru kısmı içersin, yani (23) formuna sahip olsun ve dolayısıyla Taylor. z -* z0 için /(z) fonksiyonunun bir sınır değeri olduğunu görmek kolaydır: Teorem 17. f(z) fonksiyonunun yalıtılmış tekil zq noktası ancak ve ancak J(z) fonksiyonu ise çıkarılabilir. zq noktasının delinmiş bir mahallesinde sınırlı, Zgmechai değil. r, /(r) fonksiyonunun çıkarılabilir tekil noktası olsun. /(r) fonksiyonunun merkezi r noktasında olan bir çemberde analitik olduğunu elde ettiğimizi varsayalım. Bu, noktanın adını belirler - çıkarılabilir. Teorem 18. Bir f(z) fonksiyonunun yalıtılmış tekil noktası zq, ancak ve ancak şu koşulda kutuptur: Ana bölüm f(z) fonksiyonunun bir noktanın komşuluğundaki Laurent açılımı, sıfırdan farklı sonlu (ve pozitif) sayıda terim içerir, yani 4 biçimindedir. Z0 bir kutup olsun. O zamandan beri z0 noktasının f(z) fonksiyonunun analitik olduğu ve sıfırdan farklı olduğu delikli bir komşuluğu vardır. Daha sonra bu mahallede tanımlanır analitik fonksiyon ve Sonuç olarak, zq noktası, fonksiyonun çıkarılabilir tekil noktasıdır (sıfır) veya burada h(z), analitik bir fonksiyondur, h(z0) Φ 0. O halde h(zo) Φ 0 da analitiktir, o zaman u fonksiyonu zq noktasının komşuluğunda analitiktir ve dolayısıyla bunu elde ettiğimiz yerden Şimdi f(z) fonksiyonunun zо noktasının delikli bir komşuluğunda (24) biçiminde bir açılıma sahip olduğunu varsayalım. Bu, bu komşulukta f(z) fonksiyonunun fonksiyonla birlikte analitik olduğu anlamına gelir. g(z) fonksiyonu için genişleme geçerlidir, buradan zq'nin g(z) fonksiyonunun çıkarılabilir tekil noktası olduğu ve var olduğu görülebilir. O halde 0'daki fonksiyon, fonksiyonun kutbu olma eğilimindedir. başka bir basit gerçektir. Zq noktası f(z) fonksiyonunun bir kutbudur ancak ve ancak g(z) = уй fonksiyonu g(z0) = 0 olarak ayarlanarak zq noktasının komşuluğundaki bir analitik fonksiyona genişletilebilirse. f(z) fonksiyonunun kutbuna jfa fonksiyonunun sıfır derecesi denir. Teorem 16 ve 18'den şu sonuç çıkıyor aşağıdaki ifade. Teorem 19. Yalıtılmış bir tekil nokta, ancak ve ancak bu noktanın delinmiş bir komşuluğundaki Laurent açılımının asal kısmının sıfırdan farklı sonsuz sayıda terim içermesi durumunda esasen tekildir. Örnek 5. Fonksiyonun tekil noktası zo = 0'dır. Laurent Serisi İzole edilmiş tekil noktalarımız ve bunların sınıflandırılması var. Dolayısıyla zo = O çıkarılabilir bir tekil noktadır. /(z) fonksiyonunun komşuluktaki Laurent serisine genişletilmesi sıfır noktası yalnızca doğru kısmı içerir: Örnek7. /(z) = f(z) fonksiyonunun tekil noktası zq = 0'dır. Bu fonksiyonun gerçek ve sanal eksenlerdeki davranışını ele alalım: gerçek eksen x 0'da sanal eksende Bu nedenle ne sonlu ne de sonsuz sınır z -* 0 için f(z) mevcut değildir. Bu, r = 0 noktasının f(z) fonksiyonunun esasen tekil bir noktası olduğu anlamına gelir. Sıfır noktası civarında f(z) fonksiyonunun Laurent açılımını bulalım. Herhangi bir C kompleksi için Kümemiz var. O halde Laurent genişlemesi şeytan içeriyor son sayı z'nin negatif kuvvetleri olan terimler.

İki otonom sistem tarafından tanımlanan modeller diferansiyel denklemler.

Faz düzlemi. Faz portresi. İzoklinik yöntem. Ana izoklinler. Sürdürülebilirlik kararlı hal. Doğrusal sistemler. Tekil nokta türleri: düğüm, eyer, odak, merkez. Örnek: kimyasal reaksiyonlar birinci derece.

Biyolojik sistemlerin özelliklerinin niteliksel modellemesine ilişkin en ilginç sonuçlar, izin veren iki diferansiyel denklem modelleri kullanılarak elde edildi. nitel araştırma yöntemi kullanarak faz düzlemi. İki özerk adi diferansiyel denklemden oluşan bir sistem düşünün Genel görünüm

(4.1)

P(x,y), Q(x,y)- sürekli fonksiyonlar, bazı alanlarda tanımlanmış GÖklid düzlemi ( x,y ‑ Kartezyen koordinatları) ve bu bölgede birinciden daha düşük olmayan sürekli türevlere sahip.

Bölge G sınırsız veya sınırlı olabilir. Değişkenler ise x, y belirli bir biyolojik anlamı vardır (madde konsantrasyonları, tür sayıları) çoğunlukla alan G sağ yarım düzlemin pozitif çeyreğini temsil eder:

0 £ X< ¥ ,0 £ sen< ¥ .

Maddelerin konsantrasyonları veya tür sayıları da yukarıdan kabın hacmine veya habitat alanına göre sınırlanabilir. O halde değişken aralığı şu şekildedir:

0 £ X< x 0 , 0 £ sen< y 0 .

Değişkenler x, y denklem sistemine (4.1) göre zaman değişimi, böylece sistemin her durumu bir çift değişken değere karşılık gelir ( x, y).

Tersine, her değişken çifti ( x, y) sistemin belirli bir durumuna karşılık gelir.

Değişkenlerin değerlerinin çizildiği koordinat eksenlerine sahip bir düzlem düşünün x,y. Her nokta M bu düzlem sistemin belirli bir durumuna karşılık gelir. Bu düzleme faz düzlemi denir ve sistemin tüm durumlarının toplamını temsil eder. M(x,y) noktasına temsil eden veya temsil eden nokta denir.

Bırak girsin başlangıç ​​anı zaman t=t Temsil edilen noktanın 0 koordinatı M 0 (X(T 0), sen(T 0)). Zamanın her sonraki anında T temsil eden nokta, değişkenlerin değerlerindeki değişikliklere göre kayacaktır X(T), sen(T). Puanların toplanması M(X(T), YT)) faz düzleminde, konumu zaman içinde değişkenlerin değişmesi sürecinde sistemin durumlarına karşılık gelir x(t), YT) denklemlere (4.1) göre denir faz yörüngesi.

Bütünlük faz yörüngeleri değişkenlerin farklı başlangıç ​​değerleri için sistemin kolayca görülebilen bir “portresini” verir. Yapı faz portresi Değişkenlerdeki değişikliklerin doğası hakkında sonuçlar çıkarmanıza olanak tanır x, y bilgisiz analitik çözümler orijinal denklem sistemi(4.1).

Bir faz portresini tasvir etmek için, faz düzleminin her noktasında sistem yörüngelerinin yönlerinden oluşan bir vektör alanı oluşturmak gerekir. Artışın ayarlanmasıD t>0,karşılık gelen artışları alıyoruz D X Ve D sen ifadelerden:

D x=P(x,y)D T,

D y=Q(x,y)D T.

Vektör yönü dy/dx noktada ( x, y) fonksiyonların işaretine bağlıdır P(x, y), Q(x, y) ve bir tabloyla verilebilir:

.(4.2)

Bu denklemin çözümü y = y(x,c), veya dolaylı olarak F(x,y)=c, Nerede İle– entegrasyon sabiti, denklem (4.2)'nin integral eğrileri ailesini verir - faz yörüngeleri düzlemdeki sistem (4.1) x, y.

İzoklin yöntemi

Bir faz portresi oluşturmak için kullandıkları izoklin yöntemi –İntegral eğrilerini belirli bir açıda kesen faz düzlemi üzerine çizgiler çizilir. İzoklin denklemi (4.2)'den kolaylıkla elde edilebilir. Hadi koyalım

Nerede A– belirli bir sabit değer. Anlam A teğetin faz yörüngesine eğim açısının teğetini temsil eder ve şu değerleri alabilir:¥ + ¥ . Onun yerine ikame dy/dx(4.2)'deki miktar A izoklin denklemini elde ederiz:

.(4.3)

Denklem (4.3), düzlemin her noktasında karşılık gelen integral eğrisine benzersiz bir teğet tanımlar; P(x,y)= 0, Q (x,y) = 0 türevin değeri belirsiz hale geldiğinden tanjantın yönü belirsiz hale gelir:

.

Bu nokta tüm izoklinlerin kesişme noktasıdır. özel nokta.İçinde değişkenlerin zamana göre türevleri aynı anda yok olur X Ve sen.

Dolayısıyla tek bir noktada değişkenlerin değişim oranları sıfırdır. Sonuç olarak, faz yörüngelerinin (4.2) diferansiyel denklemlerinin tekil noktası şuna karşılık gelir: sistemin durağan durumu(4.1) ve koordinatları değişkenlerin durağan değerleridir x, y.

Özellikle ilgi çekici olanlar ana izoklinler:

dy/dx=0, P(x,y)=0 – yatay teğetlerin izokliniği ve

dy/dx=¥ , Q(x,y)=0 – dikey teğetlerin izokliniği.

Ana izoklinleri oluşturarak ve kesişme noktalarını bularak (x,y), koordinatları koşulları karşılayan:

böylece faz yörüngelerine teğetlerin yönünün belirsiz olduğu faz düzleminin tüm izoklinlerinin kesişme noktasını bulacağız. Bu - tekil nokta, karşılık gelen sistemin durağan durumu(Şekil 4.2).

Sistem (4.1), faz düzlemindeki ana izoklinlerin kesişim noktalarının sayısı kadar durağan duruma sahiptir.

Her faz yörüngesi, aynı durumlardan geçen ve yalnızca zaman sayımının başlangıcında birbirinden farklı olan dinamik bir sistemin bir dizi hareketine karşılık gelir.

Cauchy teoreminin koşulları sağlanırsa uzaydaki her nokta boyunca x, y, t tek bir integral eğrisi vardır. Aynı durum, özerklik nedeniyle faz yörüngeleri için de geçerlidir: faz düzleminin her noktasından tek fazlı bir yörünge geçer.

Kararlı durum kararlılığı

Sistemin dengede olmasına izin verin.

Bu durumda temsil noktası sistemin tekil noktalarından birinde bulunur; burada tanım gereği:

.

Tekil bir noktanın kararlı olup olmadığı, temsil eden noktanın durağan durumdan küçük bir sapma ile ayrılıp ayrılmadığına göre belirlenir. İki denklemli bir sistemle ilgili olarak dilde kararlılığın tanımıe, Daşağıdaki gibi.

Denge durumundan belirli bir sapma aralığı için denge durumu kararlıdır (e )alanı belirtebilirsiniz D (e )Denge durumunu çevreleyen ve bölge içinde başlayan hiçbir yörüngenin olmaması özelliğine sahip D asla sınıra ulaşamayacak e . (Şekil 4.4)

Geniş bir sistem sınıfı için - kaba sistemler – Denklemlerin biçimindeki küçük bir değişiklikle davranışının doğası değişmeyen, durağan bir durum çevresindeki davranışın türü hakkında bilgi, orijinal değil, basitleştirilmiş bir incelemeyle elde edilebilir. doğrusallaştırılmış sistem.

Doğrusal sistemler.

İkili bir sistem düşünün doğrusal denklemler:

.(4.4)

Burada a, b, c, d- sabitler, x, y- Faz düzlemindeki kartezyen koordinatlar.

Şu formda genel bir çözüm arayacağız:

.(4.5)

Bu ifadeleri (4.4)'te yerine koyalım ve azaltalım. e ben T:

(4.6)

Bilinmeyenli cebirsel denklem sistemi (4.6) A, B ancak bilinmeyenler için katsayılardan oluşan determinantı sıfıra eşitse sıfır olmayan bir çözüme sahiptir:

.

Bu determinantı genişleterek sistemin karakteristik denklemini elde ederiz:

.(4.7)

Bu denklemin çözülmesi üs değerlerini verirben 1,2 için sıfır olmayan değerlerin mümkün olduğu A Ve B denklemin çözümleri (4.6). Bu anlamlar

.(4.8)

Radikal ifade negatifse, o zamanben 1,2 karmaşık eşlenik sayılar Denklemin (4.7) her iki kökünün de sıfırdan farklı gerçek kısımlara sahip olduğunu ve çoklu köklerin olmadığını varsayalım. O halde (4.4) sisteminin genel çözümü, üstel ve üstel sayıların doğrusal bir kombinasyonu olarak gösterilebilir.ben 1 , ben 2 :

(4.9)

Sistemin faz düzlemindeki olası yörüngelerinin doğasını analiz etmek için şunu kullanırız: doğrusal homojen koordinat dönüşümü, bu da sistemi şuraya götürecektir: kanonik form:

,(4.10)

orijinal sisteme (4.4) kıyasla faz düzleminde daha uygun bir gösterime olanak sağlar. Yeni koordinatları tanıtalımξ , η formüllere göre:

(4.1)

Doğrusal cebirin gidişatından, eşitsizlik durumunda gerçek kısımların sıfırlanacağı bilinmektedir.ben 1 , ben 2 Orijinal sistem (4.4), her zaman dönüşümler (4.11) kullanılarak kanonik forma (4.10) dönüştürülebilir ve faz düzlemindeki davranışı incelenebilir.ξ , η . Burada ortaya çıkabilecek çeşitli durumları ele alalım.

Kökler λ 1 , λ 2 – geçerli ve aynı işaretli

Bu durumda dönüşüm katsayıları gerçektir, gerçek düzlemden hareket ederizx,ygerçek düzleme ξ, η. Denklemlerden (4.10) ikincisini birinciye bölerek şunu elde ederiz::

.(4.12)

Bu denklemin integralini alırsak, şunu buluruz::

Nerede .(4.13)

λ ile anlamayı kabul edelim 2 akıl yürütmemizin genelliğini ihlal etmeyen, büyük modüllü karakteristik denklemin kökü. O halde, söz konusu durumda λ kökleri olduğundan 1 , λ2 - geçerli ve aynı işarete sahip,A>1 ve parabolik tipteki integral eğrilerle uğraşıyoruz.

Tüm integral eğriler (eksen hariç) η , buna karşılık gelir ) eksenin orijinine dokunun ξ, bu aynı zamanda denklem (4.11)'in integral eğrisidir. Koordinatların orijini özel bir noktadır.

Şimdi temsil eden noktanın faz yörüngeleri boyunca hareket yönünü bulalım. eğer λ 1,λ2 O halde, (4.10) numaralı denklemlerden de görülebileceği gibi, |ξ|, |η| negatiftir. zamanla azalır. Temsil eden nokta koordinatların orijinine yaklaşır ancak asla ona ulaşmaz. Aksi takdirde bu, faz düzleminin her noktasından yalnızca bir faz yörüngesinin geçtiğini belirten Cauchy teoremi ile çelişecektir.

Tıpkı bir parabol ailesi gibi integral eğrilerin geçtiği özel bir nokta Orijinden geçer ve düğüm olarak adlandırılır (Şekil 1). 4.5)

λ'da düğüm tipinin denge durumu 1,λ2 < 0 Temsil eden nokta tüm integral eğriler boyunca koordinatların başlangıç ​​noktasına doğru hareket ettiğinden Lyapunov kararlıdır. Bu istikrarlı düğüm. eğer λ 1,λ2 > 0, o zaman |ξ|, |η| zamanla artar ve temsil eden nokta koordinatların başlangıç ​​noktasından uzaklaşır. Bu durumda özel nokta– kararsız düğüm .

Faz düzleminde x, y İntegral eğrilerin davranışının genel niteliksel doğası korunacak, ancak integral eğrilerin teğetleri koordinat eksenleriyle çakışmayacaktır. Bu teğetlerin eğim açısı katsayıların oranı ile belirlenecektir. α , β , γ , δ denklemlerde (4.11).

Kökler λ 1 , λ 2 – Geçerlidir ve farklı işaretlere sahiptir.

Dönüştür koordinatlar x,y koordinatlara ξ, η yine gerçek. Kanonik değişkenlere ilişkin denklemler yine (4.10) formuna sahiptir, ancak artık λ'nın işaretleri de bulunmaktadır. 1,λ2 farklıdır. Faz yörüngelerinin denklemi şu şekildedir::

Nerede,(4.14)

(4.14)'ün integralini alırsak, şunu buluruz:

(4.15)

Bu Denklem, her iki koordinat ekseninin de olduğu hiperbolik tipte bir eğri ailesini tanımlar.– asimptotlar ( A=1 bir eşkenar hiperbol ailemiz olurdu). Bu durumda koordinat eksenleri aynı zamanda integral eğrilerdir– bunlar orijinden geçen tek integral eğriler olacaktır. Her biriüç fazlı yörüngelerden oluşan: Bir denge durumuna (veya bir denge durumundan) ve bir denge durumundan iki hareketin varlığı. Diğer tüm integral eğriler– Koordinatların orijininden geçmeyen hiperbollerdir (Şekil 1). 4.6) Bu özel noktaya denir "sele ». Bir dağ sırtının yakınındaki seviye çizgileri, bir eyerin yakınındaki faz yörüngelerine benzer şekilde davranır.

Temsil eden noktanın denge durumuna yakın faz yörüngeleri boyunca hareketinin doğasını ele alalım. Örneğin,λ 1 >0 , λ 2<0 . Daha sonra eksene yerleştirilen temsil noktası ξ , orijinden uzaklaşacak ve eksene yerleştirilecek η – Koordinatların başlangıç ​​noktasına süresiz olarak yaklaşacak, sınırlı bir sürede ona ulaşmadan. Temsil noktası başlangıç ​​anında nerede olursa olsun (tekil nokta ve asimptot üzerindeki noktalar hariç) η =0), başlangıçta integral eğrilerinden biri boyunca tek bir noktaya doğru hareket etse bile, sonunda denge durumundan uzaklaşacaktır..

Açıkça görülüyor ki Eyer gibi tekil bir nokta her zaman kararsızdır . Asimptotta yalnızca özel olarak seçilmiş başlangıç ​​koşulları altındaη =0 sistem denge durumuna yaklaşacaktır. Ancak bu durum sistemin istikrarsızlığına ilişkin ifadeyle çelişmiyor. Eğer sayarsak, sistemin faz düzlemindeki tüm başlangıç ​​durumlarının eşit derecede muhtemel olduğu, o zaman yöndeki harekete karşılık gelen böyle bir başlangıç ​​durumunun olasılığıİle tekil nokta sıfıra eşittir. Bu nedenle herhangi bir gerçek hareket sistemi denge durumundan çıkaracaktır.Koordinatlara geri dönüyoruzx,y,Yörüngelerin koordinatların kökeni etrafındaki hareketinin doğasına ilişkin aynı niteliksel tabloyu elde edeceğiz.

Bir düğüm ile bir eyerin dikkate alınan durumları arasındaki sınır şu durumdur: Ne zaman karakteristik göstergelerden biri, örneğin λ 1 , sistemin determinantı ortadan kaybolduğunda ortaya çıkar.- ifade reklam-bc=0(bkz. formül 4.8 ). Bu durumda denklemin (4.4) sağ tarafındaki katsayılar birbiriyle orantılıdır.:

ve sistemin denge durumu çizginin tüm noktalarıdır:

Geriye kalan integral eğriler, açısal katsayılı paralel düz çizgiler ailesidir. λ karakteristik denkleminin ikinci kökünün işaretine bağlı olarak, temsil eden noktaların ya denge durumuna yaklaştığı ya da ondan uzaklaştığı 2 = a+d.(Şek.4.7 ) Bu durumda denge durumunun koordinatları değişkenlerin başlangıç ​​değerine bağlıdır.

Kökler λ 1 , λ 2 – karmaşıkbirleşik

Bu durumda gerçek anlamdaX Ve sen yapacağız karmaşık eşleniklere sahip ξ , η (4.10) . Bununla birlikte, başka bir ara dönüşümün eklenmesiyle, bu durumda, dikkate alınan hususu gerçek bir doğrusal homojen dönüşüme indirgemek de mümkündür. Hadi koyalım:

(4.16)

Nerede a,b, Ve sen, v – gerçek değerler. Dönüşümün olduğu gösterilebilirx,yİle sen, v varsayımlarımıza göre gerçek, doğrusal, homojendir ve determinantı sıfırdan farklıdır. Denklemler sayesinde(4.10, 4.16) elimizde:

Neresi

(4.17)

Denklemlerden ikincisini birinciye bölmek, şunu elde ederiz:

hangisinin entegrasyonu daha kolaydır, kutupsal koordinat sistemine gidersek (R, φ ) . Oyuncu değişikliğinden sonra nereden geliyoruz:

.(4.18)

Böylece faz düzlemindesen, vher biri logaritmik spirallerden oluşan bir aileyle uğraşıyoruz.orijindeki asimptotik nokta.Spiral biçimindeki tüm integral eğrilerin asimptotik noktası olan tekil bir nokta, her birinde yuvalanmışdostum buna denir odak ( Şekil 4.8 ) .

Temsil eden noktanın faz yörüngeleri boyunca hareketinin doğasını ele alalım. Denklemlerden ilkinin (4.17) çarpılmasısen ve ikincisi v ve şunu eklersek şunu elde ederiz:

Nerede

İzin vermek A 1 < 0 (A 1 = Tekrarλ ) . Temsil eden nokta daha sonra koordinatların orijinine sonlu bir zamanda ulaşmadan sürekli olarak yaklaşır. Bu, faz yörüngelerinin bükümlü spiraller olduğu ve sönümlü salınımlara karşılık geldiği anlamına gelir. değişkenler. Bu - sabit odak .

Kararlı bir düğüm durumunda olduğu gibi, kararlı bir odaklanma durumunda, yalnızca Lyapunov koşulu değil, aynı zamanda daha sıkı bir gereklilik de karşılanır. Yani, başlangıçtaki herhangi bir sapma için, sistem zamanla denge konumuna istenildiği kadar yaklaşacaktır. Başlangıçtaki sapmaların artmadığı, aynı zamanda sıfıra doğru yönelen bozulmanın olduğu bu tür kararlılığa denir. mutlak istikrar .

Formülde ise (4.18) A 1 >0 , temsil eden nokta orijinden uzaklaşır ve biz bununla ilgileniyoruz kararsız odak . Uçaktan hareket ederkensen, vfaz düzlemineX, senspiraller de spiral olarak kalacak ancak deforme olacaktır.

Şimdi şu durumu ele alalımA 1 =0 . Düzlemdeki faz yörüngelerisen, vdaireler olacak hangisi uçaktax,yelipslere karşılık gelir:

Böylece ne zaman1=0 özel bir noktadanx= 0, y= 0 hiçbir integral eğrisi geçmez. Yakınında integral eğrilerin kapalı eğriler olduğu, özellikle birbirine gömülü elipslerin olduğu ve tekil noktayı çevreleyen böyle izole edilmiş bir tekil noktaya merkez denir.

Böylece karakteristik denklemin (4.7) köklerinin doğasına bağlı olarak altı tür denge durumu mümkündür. Bir düzlemdeki faz yörüngelerinin görünümü x, y Bu altı durum için Şekil 1'de gösterilmektedir. 4.9.

Pirinç. 4.9.Bir doğrusal denklem sistemi (4.4) için durağan duruma yakın faz portrelerinin türleri.

Beş tür denge durumu kabadır; denklemlerin (4.4) sağ taraflarındaki yeterince küçük değişikliklerle karakterleri değişmez. Bu durumda sadece sağ taraftaki değişiklikler değil, aynı zamanda birinci dereceden türevlerindeki değişiklikler de küçük olmalıdır. Altıncı denge durumu – merkez – kaba değildir. Denklemlerin sağ tarafındaki parametrelerde yapılacak küçük değişikliklerle sabit veya kararsız bir odak haline gelir.

Çatallanma diyagramı

Aşağıdaki gösterimi tanıtalım:

. (4.11)

Daha sonra karakteristik denklem şu şekilde yazılacaktır:

. (4.12)

Dikdörtgen Kartezyen koordinatlara sahip bir düzlem düşünün S , D ve karakteristik denklemin köklerinin doğasına göre belirlenen bir veya başka tür denge durumuna karşılık gelen alanları işaretleyin

.(4.13)

Denge durumunun istikrarının koşulu, y'nin negatif bir gerçek kısmının varlığı olacaktır.ben 1 ve ben 2 . Bunun gerekli ve yeterli şartı eşitsizliklerin sağlanmasıdır.S > 0, D > 0 . Diyagram (4.15)'te bu durum parametre düzleminin ilk çeyreğinde yer alan noktalara karşılık gelir. Tek bir nokta odak noktası olacaktır, eğerben 1 ve ben 2 karmaşık. Bu durum düzlemin ilgili noktalarına karşılık gelir. , onlar. bir parabolün iki dalı arasındaki noktalarS 2 = 4 D. Aks noktaları S = 0, D>0, merkez tipinin denge durumlarına karşılık gelir. Aynı şekilde,ben 1 ve ben 2 - geçerlidir ancak farklı işaretlere sahiptir, ör. eğer tekil bir nokta eyer olacaktır D<0, vesaire. Sonuç olarak, parametre düzleminin bölümünün bir diyagramını elde ederiz S, D, farklı denge durumlarına karşılık gelen alanlara.

Pirinç. 4.10.Çatallanma diyagramı

bir doğrusal denklem sistemi için 4.4

Doğrusal sistemin katsayıları ise a, b, c, d belirli bir parametreye bağlıysa, bu parametre değiştiğinde değerler de değişecektirS , D . Sınırları aştığınızda faz portresinin karakteri niteliksel olarak değişir. Bu nedenle, bu tür sınırlara çatallanma sınırları denir - sınırın karşıt taraflarında, sistem topolojik olarak farklı iki faz portresine ve buna bağlı olarak iki farklı davranış türüne sahiptir.

Diyagram bu tür değişikliklerin nasıl meydana gelebileceğini göstermektedir. Özel durumları (koordinatların kökeni) hariç tutarsak, o zaman eyerin ordinat eksenini geçerken sabit veya kararsız bir düğüme dönüşebileceğini görmek kolaydır. Sabit bir düğüm ya bir eyere ya da sabit bir odağa vb. gidebilir. Faz uzayının topolojisi değişmediğinden, kararlı düğüm - kararlı odak ve kararsız düğüm - kararsız odak geçişlerinin çatallanma olmadığını unutmayın. Ders 6'da faz uzayı topolojisi ve çatallanma geçişleri hakkında daha fazla konuşacağız.

Çatallanma geçişleri sırasında tekil bir noktanın kararlılığının doğası değişir. Örneğin merkeze doğru sabit bir odaklanma, dengesiz bir odağa dönüşebilir. Bu çatallanmaya denir Andronov-Hopf çatallanması onu inceleyen bilim adamlarının isimleriyle. Doğrusal olmayan sistemlerde bu çatallanma sırasında bir sınır döngüsü doğar ve sistem kendi kendine salınım yapar (bkz. Ders 8).

Örnek. Doğrusal kimyasal reaksiyon sistemi

Madde X dışarıdan sabit bir hızla akar, Y maddesine dönüşür ve maddenin konsantrasyonuyla orantılı bir hızla e, reaksiyon alanından çıkarılır. Sıfır dereceli olan dışarıdan madde akışı dışında tüm reaksiyonlar birinci derecedendir. Reaksiyon şeması şuna benzer:

(4.14)

ve denklem sistemi ile tanımlanır:

(4.15)

Sağ tarafları sıfıra eşitleyerek sabit konsantrasyonlar elde ederiz:

.(4.16)

Sistemin faz portresini ele alalım. Sistemin ikinci denklemini (4.16) birinciye bölelim. Şunu elde ederiz:

.(4.17)

Denklem (4.17), değişkenlerin faz düzlemindeki davranışını belirler. Bu sistemin faz portresini oluşturalım. Öncelikle faz düzlemindeki ana izoklinleri çizelim. Dikey teğetlerin izoklin denklemi:

Yatay teğetlerin izoklin denklemi:

Tekil nokta (durağan durum) ana izoklinlerin kesişme noktasında yer alır.

Şimdi koordinat eksenlerinin integral eğrileriyle hangi açıda kesiştiğini belirleyelim.

Eğer x= 0, o zaman.

Böylece, teğetin integral eğrilerine teğeti y=y(x), ordinat eksenini kesen x=0, üst yarı düzlemde negatiftir (değişkenlerin x, y konsantrasyon değerlerine sahiptir ve bu nedenle yalnızca faz düzleminin sağ üst çeyreğiyle ilgileniyoruz). Bu durumda teğet açının tanjantı orijinden uzaklaştıkça artar.

Ekseni düşünün y= 0. Bu eksenin integral eğrileriyle kesiştiği noktada denklemle tanımlanırlar.

Şu tarihte: apsis eksenini kesen integral eğrilerinin eğiminin tanjantı pozitiftir ve arttıkça sıfırdan sonsuza doğru artar. X.

.

Daha sonra daha fazla artışla eğim açısının tanjantı mutlak değerde azalarak negatif kalır ve -1'e yönelir. X ® ¥ . Ana izoklinler ve koordinat eksenleri üzerindeki integral eğrilere teğetlerin yönünü bilerek, faz yörüngelerinin tüm resmini oluşturmak kolaydır.

Lyapunov yöntemini kullanarak tekil noktanın kararlılığının doğasını belirleyelim. Sistemin karakteristik belirleyicisi şu şekildedir:

.

Determinantı genişleterek sistemin karakteristik denklemini elde ederiz: , yani Karakteristik denklemin köklerinin her ikisi de negatiftir. Sonuç olarak, sistemin durağan durumu kararlı bir düğümdür. Bu durumda maddenin konsantrasyonu X Her zaman monoton bir şekilde durağan bir duruma geçme eğiliminde olduğundan, Y maddesinin konsantrasyonu minimum veya maksimumdan geçebilir. Böyle bir sistemde salınım modları imkansızdır.

Temel kavramlar ve tanımlar:

Analitik f(z) fonksiyonunun sıfırı, f(a)=0 olan “a” noktasıdır.

Bir f(z) fonksiyonunun “n” mertebesindeki sıfırı, eğer fn(a)¹0 ise bir “a” noktasıdır.

Tekil bir "a" noktasına, eğer bu noktanın "a" dışında hiçbir tekil noktanın bulunmadığı bir komşuluğu varsa, f(z) fonksiyonunun izole tekil noktası denir.

Üç tür yalıtılmış tekil nokta vardır: .

1 çıkarılabilir tekil nokta;

3 esasen tekil nokta.

Tekil noktanın türü, belirli bir fonksiyonun bulunan tekil noktadaki davranışına ve ayrıca bulunan tekil noktanın komşuluğundaki fonksiyon için elde edilen Laurent serisinin formuna göre belirlenebilir.

Tekil bir noktanın tipinin o noktadaki fonksiyonun davranışına göre belirlenmesi.

1. Çıkarılabilir tekil noktalar.

Bir f(z) fonksiyonunun izole edilmiş tekil noktası a, sonlu bir limit varsa çıkarılabilir olarak adlandırılır.

2. Kutuplar.

Bir f(z) fonksiyonunun izole edilmiş tekil noktası a'ya kutup denir, eğer .

3. Temel olarak tekil noktalar.

Bir f(z) fonksiyonunun izole edilmiş tekil noktası a, eğer ne sonlu ne de sonsuz varsa, esasen tekil nokta olarak adlandırılır.

Fonksiyonun sıfırları ve kutupları arasında aşağıdaki ilişki vardır.

A noktasının f(Z) fonksiyonunun n mertebesinde bir kutbu olabilmesi için, bu noktanın n fonksiyonu için n mertebesinden sıfır olması gerekli ve yeterlidir.

Eğer n=1 ise kutup basit olarak adlandırılır.

Tanım: Belirgin bir yapıya sahip izole edilmiş bir tekil noktaya denir:

a) ayrışmanın ana kısmı eksikse çıkarılabilir;

b) ana parçanın sınırlı sayıda terim içermesi durumunda bir kutup;

c) eğer ana parça içeriyorsa, esasen tekil bir nokta sonsuz sayıüyeler.

a) Böylece, çıkarılabilir tekil bir noktanın yakınında genişleme şu şekilde olur:

|z-a| çemberinin her noktasındaki fonksiyonu ifade eder.

z=a merkezinde eşitlik doğru değildir çünkü z=a'daki fonksiyonun süreksizliği vardır ve sağ tarafı süreklidir. Merkezdeki fonksiyonun değeri sağ taraftaki değere eşit alınarak değiştirilirse, boşluk ortadan kaldırılacak - dolayısıyla adı - çıkarılabilir.

b) m mertebesindeki bir kutbun yakınında Laurent serisinin açılımı şu şekildedir:

c) Basit bir direğin yakınında

Kesintiler ve bunları hesaplamak için formüller.

Bir analitik fonksiyonun f(z) izole edilmiş tekil bir z 0 noktasındaki kalıntısı, integralin değerine eşit bir karmaşık sayıdır merkezi z 0 noktasında olan ve f(z) fonksiyonunun analitik etki alanında yer alan L çemberi boyunca pozitif yönde alınmış (yani 0 halkasında)<|z-z0|

f(z) fonksiyonunun yalıtılmış bir tekil z 0 noktasındaki kalıntısı, Res f(z 0) veya Res (f(z; z 0) sembolüyle gösterilir. Böylece,

Res f(z 0)= . (22.15.1)

(22.15.1) formülüne n=-1 koyarsak şunu elde ederiz:

C-1 =

veya Res f(z 0)= C -1 ,

onlar. f(z) fonksiyonunun z 0 tekil noktasına göre kalıntısı, f(z) fonksiyonunun Laurent serisindeki açılımındaki negatif üslü ilk terimin katsayısına eşittir.

Kesintilerin hesaplanması.

Düzenli veya çıkarılabilir tekil noktalar. Açıkçası, eğer z=z 0, f(z) fonksiyonunun düzenli veya çıkarılabilir tekil noktasıysa, o zaman Res f(z 0)=0 (bu durumlarda Laurent açılımında ana kısım yoktur, dolayısıyla c-1=0) .

Kutup. z 0 noktası f(z) fonksiyonunun basit bir kutbu olsun. O zaman z 0 noktası civarında f(z) fonksiyonu için Laurent serisi şu forma sahiptir:

Buradan

Bu nedenle, bu eşitliği z --z 0'daki limite aktararak şunu elde ederiz:

Res f(z0)=

Esasen özel bir nokta. Eğer z 0 noktası, f(z) fonksiyonunun esas olarak tekil bir noktası ise, o zaman fonksiyonun bu noktadaki kalıntısını hesaplamak için, fonksiyonun Laurent serisi açılımındaki c-1 katsayısı genellikle doğrudan belirlenir.

Olayların sınıflandırılması. Toplam, olayların çarpımı, özellikleri, grafiksel gösterimi.

Etkinlikler ikiye ayrılır:

1. Rastgele

2. Güvenilir

3. İmkansız

Güvenilir, belirli koşullar altında zorunlu olarak meydana gelen bir olaydır (gece sabahı takip eder).

Rastgele bir olay, gerçekleşebilecek veya olmayabilecek bir olaydır (bir sınavı geçmek).

İmkansız bir olay, belirli koşullar altında gerçekleşmeyecek bir olaydır (sadece kırmızı kalemlerin bulunduğu bir kutudan yeşil bir kalemin çıkarılması).

Tekil nokta

Matematikte.

1) F () denklemiyle tanımlanan bir eğrinin tekil noktası x, y) = 0, - M noktası 0 ( x 0, y 0), burada F fonksiyonunun her iki kısmi türevi de ( x, y) sıfıra git:

F fonksiyonunun tüm ikinci kısmi türevleri değilse ( x, y) M 0 noktasında sıfıra eşitse O. t'ye çift denir. M0 noktasında birinci türevlerin sıfırlanmasıyla birlikte, üçüncü türevlerin tümü olmasa da tüm ikinci türevlerin de ortadan kalkması durumunda denkleme üçlü denir vb. Çift O.t. yakınındaki bir eğrinin yapısını incelerken ifadenin işareti önemli bir rol oynar

Δ > 0 ise açık devre izole edilmiş devre olarak adlandırılır; örneğin, eğride y 2 - x 4 + 4x 2= 0 koordinatların orijini izole bir O'dur (bkz. pirinç. 1 ). Eğer Δ x 2 + y 2 + a 2) 2 - 4a 2 x 2 - a 4= 0 koordinatların orijini O düğümüdür (bkz. pirinç. 2 ). Δ = 0 ise, eğrinin genel noktası ya izoledir ya da eğrinin farklı dallarının bu noktada ortak bir teğete sahip olmasıyla karakterize edilir, örneğin: a) 1. türden doruk noktası - farklı dallar eğri ortak teğetin zıt taraflarında bulunur ve eğri gibi bir nokta oluşturur y 2 - x 3= 0 (bkz. pirinç. 3 , A); b) 2. türden zirve noktası - eğrinin farklı dalları, bir eğri gibi ortak teğetin bir tarafında bulunur (y - x 2)2 - x 5= 0 (bkz. pirinç. 3 , B); c) kendine dokunma noktası (bir eğri için y 2 - x 4= 0 başlangıç ​​noktası kendine dokunma noktasıdır; (santimetre. pirinç. 3 , V). Belirtilen O. t.'nin yanı sıra özel isimlere sahip birçok başka O. t. örneğin asimptotik nokta sonsuz sayıda dönüşe sahip bir spiralin tepe noktasıdır (bkz. pirinç. 4 ), bitiş noktası, köşe noktası vb.

2) Bir diferansiyel denklemin tekil noktası, diferansiyel denklemin sağ tarafının hem payının hem de paydasının aynı anda ortadan kaybolduğu noktadır (bkz. Diferansiyel denklemler)

burada P ve Q sürekli türevlenebilir fonksiyonlardır. O. t'nin koordinatların başlangıç ​​noktasında bulunduğunu varsayarak ve Taylor formülünü kullanarak (bkz. Taylor formülü), denklem (1)'i şu şekilde temsil edebiliriz:

burada P1 ( x, y) ve Q 1 ( x, y) - göre sonsuz küçük

Yani, eğer λ 1 ≠ λ 2 ve λ 1 λ 2 > 0 veya λ 1 = λ 2 ise, o zaman O. t bir düğümdür; bir düğümün yeterince küçük bir mahallesindeki noktalardan geçen tüm integral eğriler buna girer. Eğer λ 1 ≠ λ 2 ve λ 1 λ 2 i β, α ≠ 0 ve β ≠ 0 ise, o zaman genel nokta bir odak noktasıdır; Odak noktasının yeterince küçük bir mahallesindeki noktalardan geçen tüm integral eğriler, odağın keyfi olarak küçük herhangi bir mahallesindeki sonsuz sayıda dönüşe sahip spiralleri temsil eder. Son olarak λ 1,2 = ± Benβ, β ≠ 0 ise O. t'nin karakteri P ('nin) açılımlarında yalnızca doğrusal terimlerle belirlenmez. x, y) ve Q ( x, y), yukarıdaki durumların hepsinde olduğu gibi; burada O. t. bir odak veya merkez olabilir veya daha karmaşık bir karaktere sahip olabilir. Merkezin komşuluğunda tüm integral eğrileri kapalıdır ve merkezi kendi içinde barındırır. Yani örneğin (0, 0) noktası denklemler için bir düğümdür en" = 2sen/x(λ 1 = 1, λ 2 = 2; bkz. pirinç. 5 , a) ve sen" = sen/x(λ 1 = λ 2 = 1; bkz. pirinç. 5 , b), denklem için eyer y" = -y/x(λ 1 = -1, λ 2 = 1 ; santimetre. pirinç. 6 ), denklemin odak noktası y" =(x + y) / (x - y) (λ1 = 1 - Ben, λ2 = 1 + Ben; santimetre. pirinç. 7 ) ve denklemin merkezi y" = -x/y(λ1 = -Ben, λ2 = Ben; santimetre. pirinç. 8 ).

Eğer x, y) ve Q ( x, y) analitik, yüksek dereceli bir GP'nin mahallesi bölgelere ayrılabilir: D 1 - integral eğrilerle dolu, her iki uç da GP'ye dahil (eliptik bölgeler), D 2 - integral eğrilerle dolu, bir uç GP'ye dahil (parabolik bölgeler) ve D3 - genel teoride yer alan, aralarında hiperbolik tipteki integral eğrilerin (hiperbolik bölgeler) bulunduğu iki integral eğri ile sınırlanan bölgeler (bkz. pirinç. 9 ). Bir t yörüngesinde integral eğriler yoksa, o zaman t yörüngesine kararlı tipte bir nokta denir. Kararlı bir osilatörün mahallesi, aralarında spirallerin bulunduğu, kendi içinde bir osmoz içeren kapalı integral eğrilerden oluşur (bkz. pirinç. 10 ).

Diferansiyel denklemlerin incelenmesi, yani esas olarak diferansiyel denklemlerin komşuluğundaki integral eğri ailelerinin davranışının incelenmesi, diferansiyel denklemlerin niteliksel teorisinin dallarından birini oluşturur ve uygulamalarda, özellikle de önemli bir rol oynar. Hareket stabilitesi sorunları (A. M. Lyapunov a, A. Poincare, vb.'nin çalışmaları).

3) Tek değerli bir analitik fonksiyonun tekil noktası, fonksiyonun analitikliğinin ihlal edildiği noktadır (bkz. Analitik fonksiyonlar). O.t. A, diğer O. t.'den arındırılmış, sonra işaretleyin A izole O. t denir. A- izole edilmiş bir genel teori ve sonlu bir a'nın mevcut olması, çıkarılabilir genel teori olarak adlandırılır. Bir fonksiyonun tanımını bir a noktasında uygun şekilde değiştirerek (veya fonksiyon hiç tanımlanmamışsa bu noktada yeniden tanımlayarak), yani, varsayarak F(A)= b bunu başarmak mümkün A düzeltilmiş fonksiyonun sıradan bir noktası haline gelecektir. Örneğin nokta z= 0, f 1 ( fonksiyonu için çıkarılabilir bir O.t'dir. z) = F(z), Eğer z≠ 0 ve F 1 (0), = 1, nokta z= 0 sıradan bir noktadır [ F 1 (z) bu noktada analitiktir z= 0]. Eğer A- izole edilmiş bir O. t ve a'ya bir fonksiyonun kutbu veya kaçınılmaz olarak tekil noktası denir. F(z), eğer Laurent serisi) çalışıyorsa F(z) izole edilmiş bir O. t'nin yakınında negatif güçler içermez. z-a, Eğer A- çıkarılabilir O. t., sınırlı sayıda negatif derece içerir z-a, Eğer A- direk (bu durumda direğin sırası R esas olarak özel bir noktanın en yüksek derecesi olarak tanımlanır. Örneğin, fonksiyon için

p = 2, 3, …)

nokta z= 0 sıranın kutbudur R, işlev için

nokta z= 0 aslında tekil bir noktadır.

Bir kuvvet serisinin yakınsama çemberinin sınırında, bu çember içinde verilerle temsil edilen fonksiyona ait en az bir O.t bulunmalıdır. güç serisi. Tek bir analitik fonksiyonun (doğal sınır) varlık alanının tüm sınır noktaları bu fonksiyonun sınırlarıdır. Böylece birim çemberin tüm noktaları | z| = 1 fonksiyona özeldir

Çok değerli bir analitik fonksiyon için “O. T." daha zor. Bir fonksiyonun Riemann yüzeyinin ayrı sayfalarında (yani tek değerli analitik elemanların O. t.'sinde), O. t.'ye ek olarak, her dal noktası aynı zamanda fonksiyonun O. t'sidir. Bir Riemann yüzeyinin izole dallanma noktaları (yani bazı komşuluklarında herhangi bir yaprakta başka O. t. fonksiyonu bulunmayan dallanma noktaları) aşağıdaki şekilde sınıflandırılır. Eğer a sonlu mertebeden izole edilmiş bir dallanma noktası ise ve sonlu bir a varsa buna kritik kutup denir. Eğer A- sonsuz mertebeden izole edilmiş bir dallanma noktasına ve a'ya aşkın O.t denir. Diğer tüm izole edilmiş dallanma noktalarına kritik esasen tekil noktalar denir. Örnekler: nokta z= 0 f fonksiyonunun sıradan kritik noktasıdır ( z) = günlük z ve fonksiyonun kritik esasen tekil noktası F (z) = günah ln z.

Çıkarılabilir bir teori dışında her genel teori, analitik devamın önünde bir engeldir, yani indirgenemez bir genel problemden geçen bir eğri boyunca analitik devamlılık imkansızdır.

Büyük Sovyet Ansiklopedisi. - M .: Sovyet Ansiklopedisi. 1969-1978 .

Diğer sözlüklerde “Tekil noktanın” ne olduğuna bakın:

Burada puan var. Ayrıca bkz. tekil nokta (diferansiyel denklemler). Matematikte bir özellik veya tekillik, matematiksel bir nesnenin (genellikle bir fonksiyon) tanımsız olduğu veya düzensiz davranışa sahip olduğu bir noktadır (örneğin,... ... Wikipedia

Analitik fonksiyon, analitiklik koşullarının ihlal edildiği noktadır. Eğer f(z) analitik fonksiyonu her yerde z0 noktasının belirli bir komşuluğunda veriliyorsa... Fiziksel ansiklopedi

Analitik fonksiyon, fonksiyonun analitikliğinin ihlal edildiği noktadır. Büyük Ansiklopedik Sözlük

tekil nokta- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. İngilizce-Rusça elektrik mühendisliği ve enerji mühendisliği sözlüğü, Moskova, 1999] Elektrik mühendisliğinin konuları, temel kavramlar EN tekil nokta ... Teknik Çevirmen Kılavuzu

1) Bir analitik fonksiyon f(z), karmaşık bir z değişkeninin f(z) fonksiyonunun bir elemanının, bu değişkenin düzlemi üzerindeki bir yol boyunca analitik devamına engeldir. Analitik fonksiyon f(z) bazılarıyla tanımlansın... ... Matematik Ansiklopedisi

Analitik fonksiyon, fonksiyonun analitikliğinin ihlal edildiği nokta. * * * TEK NOKTA Analitik bir fonksiyonun TEK NOKTASI, fonksiyonun analitikliğinin ihlal edildiği nokta... ansiklopedik sözlük

tekil nokta- ypatingasis taškas statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. tekil nokta vok. tekil Punkt, m rus. tekil nokta, f pranc. nokta belirteci, m; nokta tekil, m … Otomatik terminų žodynas

tekil nokta- ypatingasis taškas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. tekil nokta vok. tekil Punkt, m rus. tekil nokta, f pranc. nokta tekil, m … Fizikos terminų žodynas

İzin vermek zq, /(r), t.s fonksiyonunun tekil noktasıdır. f(z) ancak bu noktada analitiktir (özellikle bu noktada tanımlanmamış olabilir). Eğer noktanın böyle delinmiş bir mahallesi varsa zq (yani Oz kümesi - zq f(z) aialitiktir, o halde yani isminde izole tekil nokta işlevler f(z). Bu tanım aşağıdaki durumlarda aynı kalır: zn = oo, eğer iyot bu noktanın yakınında delinirse zq = oo seti anla z> BEN - merkezi orijinde olan bir dairenin dış kısmı. Başka bir deyişle özel bir nokta Bu noktanın, zq dışındaki diğer tekil noktaların ist olduğu bir komşuluğu varsa, zq'nun izole olduğu söylenir. zq. Aşağıda benzersiz bir karakterin yalnızca tekil noktalarını ele alacağız (fonksiyon f(z) kesin olduğu varsayılmaktadır).

Fonksiyonun davranışına bağlı olarak f(z) en z -> zqÜç tür tekil nokta vardır. İzole edilmiş tekil nokta zq fonksiyonları f(z) isminde:

1) çıkarılabilir tekil nokta sonlu bir sınır varsa

2) kutup eğer bir sınır varsa

3) aslında özel bir nokta, Eğer f(z) ne sonlu ne de sonsuz bir limite sahiptir. z->zq.

Örnek 26.1. Her üç tür tekil noktanın da gerçekleştiğini gösterelim. Hadi düşünelim F(z)= Nokta zq = 0 izole edilmiştir

Bu fonksiyonun özel noktası. Formül (22.12)'yi kullanarak genişlemeyi elde ederiz

bundan şu sonuç çıkıyor: lim var fi(z)= 1. Bu nedenle zq = 0

fonksiyonun çıkarılabilir tekil noktasıdır fi(z).

İşlev f'j(z) =---bir noktada bir direğe sahiptir yani= 1 çünkü

2 R" X

Şimdi fonksiyonu ele alalım )з(z)= e 1 ^ r ve bunu gösterin sıfır = O, bu fonksiyonun esasen tekil bir noktasıdır. Çabalarken z/z fonksiyonunun sol ve sağ sınırlarını gerçek eksen boyunca sıfırlamak için (z) farklı: lim İle 1 / 1 = 0, lim s 1 /* = işletim sistemi. Bu şu anlama geliyor:

x->0-0 x->0+O

Ne f:i(z) 2'de ne sonlu ne de sonsuz limit vardır -> Ah, işte. zq = O, bu fonksiyonun esas itibariyle tekil bir noktasıdır. (Nokta ilerledikçe şunu unutmayın z - iy hayali eksen fonksiyonu boyunca sıfıra

hiçbir sınırı yoktur.)

Elbette izole edilmemiş tekil noktalar da vardır. Örneğin. fonksiyonun bazı noktalarda kutupları var zn = -, P= ±1, ±2,...

Buradan, Zq = 0 bu fonksiyonun izole edilmemiş tekil noktasıdır: bu noktanın herhangi bir (ne kadar küçük olursa olsun) komşuluğunda başka tekil noktalar vardır g s.

İzin vermek zo- Bir fonksiyonun sonlu izole tekil noktası f(z). Daha sonra f(z) 0 Zo noktasının bazı delinmiş mahallelerinde benzerdir yani bu mahalle iç yarıçapı r = 0 olan bir halka olarak düşünülebilir. Teorem 25.1'e göre, söz konusu mahallede fonksiyon f(z) Laurent serisine (25.2) genişletilebilir. Fonksiyonun 2'deki davranışını göstereceğiz. -> zq (yani tekil noktanın türü yani) genişlemenin ana kısmının tipine bağlıdır (25.2); Bu durum “ana kısım” teriminin kökenini açıklamaktadır.

Teorem 2G.2. Bir f(z) fonksiyonunun yalıtılmış tekil noktası zo, ancak ve ancak bu noktanın delinmiş bir komşuluğundaki Lorapov açılımının oid'e sahip olması durumunda çıkarılabilir

onlar. sadece doğru kısımdan oluşur, ve ana parçanın tüm katsayıları mermiye eşittir.

Kanıt. 1. İzin ver yani- çıkarılabilir tekil nokta. Fonksiyonun Laurent açılımının olduğunu kanıtlayalım. f(z)(26.1) formuna sahiptir. Özel noktadan beri yaniçıkarılabilir, o zaman sonlu bir tane var limit limiti f(z) = A. Buradan, f(z) 0 z - zq noktasının delinmiş bir mahallesinde sınırlanmıştır Zo, onlar. )(z) herkes için z bu bölgeden. Herhangi birini alalım R. U р /?| ve Laurent serisinin katsayıları için formülleri (25.3) kullanın:

Genişlemenin ana kısmının katsayıları için n =- 1,-2,... Bu tür değerler için P sahibiz p~p-e 0'da R-> 0. Değerden beri R keyfi olarak küçük seçilebilir, o zaman Bay ~" istenildiği kadar küçük olabilir. |s t,|'den bu yana ^ Bay~p ve c' p'ye bağlı değilse, o zaman c' = 0 olur Ve= - 1, -2,..., bunun kanıtlanması gerekiyordu.

2. Şimdi Laurent açılımının (26.1) formuna sahip olduğunu varsayalım. (26.1) serisi bir kuvvet serisidir ve. bu nedenle sadece delinmiş alanda değil aynı zamanda tüm çevrede birleşir z-zq nokta dahil yani; miktarı S(z) analitiktir z ve S(z) = )(z) 0 z'de - yani R. Bu nedenle sonlu bir limit limiti vardır )(z)= Pt 5(g) = 5(th) - Dolayısıyla zq tekil noktası

Z->Zo Z-*Zo

çıkarılabilir. Teorem kanıtlandı.

Yorum. Teoremin ispatından, çıkarılabilir bir tekil noktanın 0 z - zo delikli komşuluğunda fonksiyon şu şekildedir: f(z) tüm mahallede analitik olan 5(r) fonksiyonuyla çakışır z - zo. Bu nedenle, /(th) = değerini ayarlarsak S(zq), daha sonra fonksiyon değerlerini değiştirmeden f(z) Delinmiş mahallenin herhangi bir noktasında bu fonksiyonu Go'da analitik hale getireceğiz, yani. Özelliği “ortadan kaldıralım”. Bu, “çıkarılabilir özellik” terimini açıklamaktadır. Bu tür noktaların fonksiyonun tekil noktaları değil, düzenli noktaları olduğunu düşünmek doğaldır. f(z).

Örneğin, işlevi düşünün

Örnek 26.1'de Pm Nr) = 1 olduğu gösterilmiştir. tekil nokta

zq = 0 çıkarılabilir. /i(0) = 1 değerini ayarlayarak tekilliği ortadan kaldırır ve noktada analitik olan bir fonksiyon elde ederiz. zq = 0 (ve C düzlemi boyunca).

Şimdi kutupları Laurent açılımlarına göre karakterize edelim.

Teorem 26.3. Bir f(z) fonksiyonunun izole edilmiş tekil noktası Zo, ancak ve ancak şu şartla kutuptur:, Laurent açılımının Zq merkezli ana kısmı yalnızca sonlu sayıda farklı öğeye sahip olduğunda

n'li sıfır katsayılardan:

Kanıt. 1. İzin ver zq - kutup, yani lim/( z) = ah.

Fonksiyonun Laurent açılımının olduğunu kanıtlayalım. f(z)(2G.2) formuna sahiptir. lim'den beri f(z)= oo. o zaman noktanın delinmiş bir mahallesi var

ki zq. burada f(z) analitiktir ve sıfırları yoktur. Daha sonra fonksiyon g(z) = 1 /f(z) bu delikli mahallede de analitik olacak ve lim g(z)= 0. Bu nedenle, Zoçıkarılabilir mi *-? *0

fonksiyonun tekil noktası g(z). Hadi tanımlayalım g(z) noktada yani, koyarak g(zo)= 0. Sonra g(z)(delinmemiş) noktanın tüm mahallesinde analitik hale gelecektir z0, Ve z0 onun izole sıfırı olacaktır. ile belirtelim N bu sıfırın çokluğu (düzeni). §23'te gösterildiği gibi, noktanın yakınında zq işlevi g(z)şeklinde temsil edilebilir (bkz. (23.2))

Ve (z$)f 0 ve y>(z) noktanın bazı mahallelerinde analitiktir zo-Çünkü ip(z) bir noktada sürekli yani Ve g>(zo) Ф 0" sonra ip(z) Bu noktanın bazı mahallelerinde sıfır yoktur. Bu nedenle fonksiyon 1 /-p(z) bu komşulukta da analitik olacaktır ve dolayısıyla Taylor serisinde genişleyecektir:

Parantezleri açıp katsayıların tanımlarını değiştirerek son genişletmeyi forma yazıyoruz.

burada c_jv = 1>f 0. Dolayısıyla, /(r) fonksiyonunun Laurent açılımının ana kısmı yalnızca sonlu sayıda terim içerir; istenilen eşitliğe (26.2) ulaştık.

2. Delikli noktaların mahallesine izin verin bu işlev )(z) Laurent açılımı (26.2) ile temsil edilir (daha ayrıntılı bir form için bkz. (26.3)), ana kısmı yalnızca sonlu sayıda terim içerir ve İle- D" F 0. Bunu kanıtlamak gerekiyor Zq - fonksiyon kutbu f(z). Eşitlik (26.3) ile çarpılması (G - G o) iV , fonksiyonu alıyoruz

(26.4)'teki seri, yalnızca delinmiş noktada değil aynı zamanda noktanın tüm komşuluğunda analitik bir fonksiyona yakınsayan bir kuvvet serisidir. Zq. Bu nedenle fonksiyon h(z) eğer bunu Go'da şunu koyarak daha da tanımlarsak bu mahallede analitik hale gelecektir: h(zo)= s_dg F 0. Sonra

Böylece bu nokta bir kutuptur ve Teorem 26.3 kanıtlanmış olur.

Sıfır fonksiyonunun çokluğu (sırası) g(z)= 1//(r) denir kutup sırası inci fonksiyonlar /(r). Eğer N- o zaman kutup sırası g(z)= (g - Zo) N ip(z), ve git) F 0 ve Teorem 26.3'ün ispatının ilk bölümünde gösterildiği gibi, /(r) fonksiyonunun açılımı (26.3) formuna sahiptir, burada c_/v F 0. Tersine, eğer /(r) (26.3) serisine genişletilirse ve e-i F 0, o zaman

t.s. N-/(r) fonksiyonunun kutup sırası. Böylece, zq fonksiyonunun kutup sırası/(G) zq noktasının delinmiş mahallesindeki Laurent genişlemesinin ana kısmının sıfırdan farklı en yüksek katsayısının sayısına eşittir(yani bu sayıya eşit N, ne s_dg F 0 ve Sp= 0 P > N).

Uygulamalara uygun olan aşağıdaki ifadeyi kanıtlayalım.

Sonuç 26.4. Zq noktası kurgunun N mertebesinden bir kutuptur/(G) o zaman ve yalnızca ne zaman/(G) formda temsil edilebilir

burada h(z) noktanın yakınındaki analitik bir fonksiyondur bu ve h(zo)f 0.

Kanıt. İşlev cp(z) = l/sa(z) h noktasının bazı komşularında analitiktir. Sonuç 26.4'ün koşulu aşağıdakine eşdeğerdir:

Bu yüzden zq - sıfır çokluk N işlevler g(z). ve dolayısıyla çokluğun kutbu N işlevler /(2).

II Örnek 26.5. Bir fonksiyonun yalıtılmış tekil noktalarını bulma ve türlerini belirleyin.

Çözüm: Hangi noktalar (z 2 + 1 )(z+ Z) 2 = 0. Eğer z 2 L- 1 = 0, sonra 2 = ±g Eğer (z 4- 3) 2 = 0 ise z= -3. Bu nedenle fonksiyonun üç tekil noktası vardır z= g, 22 = -g, Z3 = - 3. Düşünün z:

G - birinci dereceden kutup (Sonuç 26.4'ü kullandık). Benzer şekilde 22 = olduğu kanıtlanabilir. -Ben aynı zamanda birinci dereceden bir direk. 2z için elimizde:

Temel olarak tekil noktaları ele almaya devam edelim.

Teorem 26.6. Bir f(z) fonksiyonunun yalıtılmış tekil noktası zq, ancak ve ancak Laurent açılımının zq merkezli asal kısmının sonsuz sayıda farklı olması durumunda esasen tekildir. sıfır, p'den katsayılar.

Kanıt. Teorem 26.6 doğrudan Teorem 26.2 ve 26.3'ün devamıdır. Aslında eğer nokta zq esasen özelse, Laurent açılımının ana kısmı yok olamaz veya sonlu sayıda terim içeremez (aksi takdirde nokta Zq çıkarılabilir veya bir direk olacaktır). Bu nedenle ana kısımdaki terim sayısının sonsuz olması gerekir.

Tersine, eğer ana kısım sonsuz sayıda terim içeriyorsa, o zaman Zq ne çıkarılabilir bir nokta ne de bir direk olabilir. Bu noktanın aslında özel olduğu sonucu çıkıyor.

Tanıma göre, esas olarak tekil bir nokta, /(2) fonksiyonunun ne sonlu ne de sonsuz bir limite sahip olmamasıyla karakterize edilir. z ->zq. Bir fonksiyonun davranışının esasen tekil bir noktanın komşuluğunda ne kadar düzensiz olduğuna dair daha eksiksiz bir fikir aşağıdaki teorem tarafından verilmektedir.

Teorem 26.7 (Sokhotsky'nin teoremi). Eğer zq bireyler için gerekli ise f(z) fonksiyonunun noktası), o zaman herkes için karmaşık sayı L, A = dahil ah, z n -> zo olacak şekilde bir z n noktaları dizisi vardır ve lim f(zn) = A.

n->işletim sistemi

Kanıt. Önce olayı ele alalım bir = oo. Teorem 2G.2'nin ispatının ilk bölümünde şunu tespit ettik: f(z) r noktasının delinmiş bir mahallesinde sınırlanırsa, tüm c katsayıları, n = - Ana parçanın 1,- 2,...'si sıfıra eşittir (ve dolayısıyla go'daki tekillik çıkarılabilir). Koşul gereği bu bir temel tekil nokta olduğundan, bu noktanın herhangi bir delinmiş komşuluğunda f(r) fonksiyonu sınırsızdır. Öyle güçlü bir 0 Z komşuluğu alalım ki f(zi) > 1 (eğer |/(r)| z - zo I/2 bir nokta var z-2 , burada |/(yy)| > 2, vb.: delinmiş O mahallesinde 71. r' -e go ve lim /(r') = oo olduğu açıktır. Dolayısıyla A = oo durumunda Teorem 26.7

kanıtlanmış.

Şimdi izin ver bir f oo. Öncelikle 0 delinmiş bir mahalle olduğunu varsayalım.

= -yy---- bu delikli mahallede analitik olacak ve sonuç olarak,

/(G) - A

Sonuç olarak go, Φ(r) fonksiyonunun yalıtılmış tekil noktasıdır. Size göstereceğiz. r, Φ(r)'nin esas itibarıyla tekil bir noktasıdır. Bu doğru olmayabilir. O zaman sonlu veya sonsuz olan bir F(r) limiti vardır. Bir süre için

/(r) = A +, o halde koşulla çelişen Hsh /(r) de vardır

F(g) ~ :-*z 0

Teoremi görüyorum. Dolayısıyla r0, Φ(r) fonksiyonunun esas itibariyle tekil bir noktasıdır. Yukarıda ispatlanana göre, r n th ve lim Ф(r n) = oo olacak şekilde bir r n noktaları dizisi vardır. Buradan

Gerekli ifadeyi /(r) varsayımıyla kanıtladık. FA noktanın delinmiş bir mahallesinde- Şimdi bunun yanlış olduğunu varsayalım, yani. noktanın keyfi olarak küçük delinmiş herhangi bir mahallesinde böyle bir nokta var G", bu /(r") = L. O zaman herhangi biri için P delinmiş mahallede 0 f(z u) = А Dolayısıyla istenen ifade doğrudur. P-yuo

her durumda ve Teorem 26.7 kanıtlanmıştır.

Teorem 26.7'ye (Sokhotsky) göre, esasen tekil bir noktanın herhangi bir (keyfi olarak küçük) delinmiş mahallesinde, /(r) işlevi, genişletilmiş herhangi bir sayıya keyfi olarak yakın değerler alır. karmaşık düzlemİLE.

Yalıtılmış tekil noktaları incelemek için temel temel fonksiyonların halihazırda bilinen Taylor açılımları sıklıkla faydalıdır.

Örnek 2G.8. Fonksiyon için zq = 0 tekil noktasının tipini belirleyin

Çözüldü ve e. (22.11) 3'te pay ve paydayı g'nin kuvvetleri cinsinden bir Taylor serisine genişletelim. z r ve 1 çıkarmak yerine şunu elde ederiz:

(22.12)'yi kullanarak paydanın açılımını elde ederiz:

Bu genişlemelerdeki seriler tüm karmaşık düzlemde yakınsaktır. Sahibiz

ve /2(2) noktanın komşuluğunda anaritiktir sıfır = 0 (ve hatta tüm düzlemde) ve /2(20) F 0, o zaman h(z) hF 0 noktasının bazı komşuluklarında da analitiktir. Sonuç 26.4'e göre nokta Zo = 0 sıranın kutbudur N=4.

II örnek 26.9. Bir fonksiyonun tekil noktalarını bulma f(z)= sin j - ve türlerini belirleyin.

R e in e i e Fonksiyonun tek bir sonlu tekil noktası vardır. zq = 1. C'den diğer noktalarda fonksiyon w =--- analitik; dolayısıyla günah fonksiyonu w analitik olacaktır.

Sinüs (22.12)'nin açılımını değiştirerek r yerine şunu elde ederiz:

Ayrışma yaşadık işlevler günah- 2o = 1 noktasının delinmiş bir komşuluğundaki Laurent serisine. Ortaya çıkan genişleme, negatif kuvvetleri (r - 1) olan sonsuz sayıda terim içerdiğinden, o zaman zq = 1 esas itibarıyla tekil bir noktadır (bu durumda Laurent açılımı yalnızca ana kısımdan oluşur ve normal kısım eksiktir).

Bu durumda tekilliğin doğasını seri genişletmeye başvurmadan doğrudan tanımdan oluşturmanın mümkün olduğuna dikkat edin. Gerçekte, (r",) ve (2") dizileri birbirine yakınsamaktadır. yani= 1 ve öyle ki f(z"n)= 1, /(2") = 0 (bu tür dizileri kendiniz belirtin). Yani, f(z) hiçbir sınırı yok z -> 1 ve dolayısıyla nokta zq - 1 aslında özeldir.

Bir noktanın komşuluğunda bir fonksiyonun Laurent açılımı kavramını tanıtalım Zq = 00 ve bu noktada genişleme ile tekilliğin doğası arasındaki bağlantıyı düşünün. Yalıtılmış bir tekil noktanın ve onun tipinin (çıkarılabilir, kutup veya esas olarak tekil) tanımlarının bu duruma aktarıldığına dikkat edin. zq = oc değişiklik olmadan. Fakat Teoremler 26.2. Laurent açılımlarının doğası gereği 26.3 ve 26.6'nın değiştirilmesi gerekiyor. Mesele şu ki, üyeler cn(z- 2o) s. P= -1,-2,..., ana kısım, yakınındaki fonksiyonun “düzensizliğini” tanımlar bitiş noktası Zq, 2 oo eğiliminde olduğu için "doğru" davranacaklardır (0'a eğilim göstereceklerdir). Aksine, doğru kısmın üyeleri P= 1,2,... oo eğiliminde olacaktır; özelliğin doğasını belirlerler Zq = oo. Bu nedenle, oo civarındaki genişlemenin ana kısmı şu terimlerden oluşacaktır: pozitif güçler P, ve doğru olanı - olumsuz olanlarla.

Yeni bir değişken tanıtalım w = 12. İşlev televizyon = 1/2, u(oo) = 0 olacak şekilde uzatılmış, bire bir ve mahalleyi uygun şekilde haritalandırıyor z > R puan zq = 00 |w| civarında wq = 0. Eğer fonksiyon f(z) delinmiş mahalledeki analitikler R z Zq = oc ise fonksiyon G(w) = f(l/w) 0 wo = 0 büyük komşuluğunda analitik olacaktır. 2 -> oo'dan beri w-> 0, o halde

Bu yüzden G(w)şu noktada var wq = 0 ile aynı türde bir özelliktir f(z) noktada Zq = 00. G(w) fonksiyonunu wo = 0 noktasının delikli bir komşuluğundaki Laurent serisine genişletelim:

(26.5)'in sağ tarafındaki toplamlar sırasıyla açılımın düzenli ve asal kısımlarını temsil etmektedir. Değişkene geçelim z, ikame w = 1/z:

Belirleme P= -A*, 6* = 6_„ = s p ve bunu fark ediyorum G(l/z) = f(z), elde ederiz

Ayrışmaya (2G.G) denir zq noktasının delikli bir komşuluğunda f(z) fonksiyonunun Laurent açılımı= oo. (2G.6)’daki ilk toplam denir doğru kısım ve ikinci toplam Ana bölüm bu ayrışmanın. Bu toplamlar genişlemenin (26.5) doğru ve temel kısımlarına karşılık geldiğinden, Teorem 26.2, 26.3 ve 26.6'nın benzerleri genişleme (26.6) için geçerlidir. Dolayısıyla aşağıdaki teorem Teorem 26.2'nin bir benzeri olacaktır.

Teorem 26.10. İzole edilmiş tekil noktaZq - işletim sistemi (işlevler/(G) ancak ve ancak bu noktanın delinmiş bir mahallesindeki Laurent genişlemesinin aşağıdaki şekle sahip olması durumunda çıkarılabilir

t.s. yalnızca doğru kısımdan oluşur.

/(oo) = koyalım co. Komşulukta yakınsayan seri (26.7) tarafından tanımlanan fonksiyon z > R 2o = oc noktası denir z noktasında analitikö = oo. (Bu tanımın fonksiyonun analitikliğine eşdeğer olduğuna dikkat edin. G(w) noktada iki = 0.)

Örnek 26.11. Fonksiyonun zq = oo tekil noktasını inceleyin

Limit sonlu olduğundan sıfır = oo, /(r) fonksiyonunun çıkarılabilir tekil noktasıdır. Eğer /(oo) = lim koyarsak J(z)= 0 ise f(z) analitik hale gelecek

bu noktada tik Zo= işletim sistemi. İlgili açılımın (26.7) nasıl bulunacağını gösterelim. Değişkene geçelim w = 1 fz. Değiştirme z= 1 /?е, şunu elde ederiz

(son eşitlik wо = 0 noktasının delinmiş bir komşuluğunda geçerlidir, ancak (7(0) = 0)'ı daha ayrıntılı olarak tanımlayacağız. Ortaya çıkan fonksiyonun tekil noktaları vardır. w =±ben, w =-1/3 ve bu noktada Wq = 0 analitiktir. Açılma işlevi G(w) derece derece w(Örnek 25.7'de yapıldığı gibi) ve elde edilen kuvvet serisinin yerine koyma w = 1/z, fonksiyonun (26.7) açılımını elde edebiliriz f(z).

Bu durum için Teorem 26.3 yani= oo aşağıdaki biçimde yeniden yazılacaktır.

Teorem 26.12. İzole edilmiş tekil nokta inci = işletim sistemi f(z) fonksiyonu ancak ve ancak Laurent açılımının asli kısmı ise bir kutuptur (26.6) yalnızca sonlu sayıda sıfır olmayan katsayıya sahiptirİle":

Burada seri normal kısımdır ve parantez içindeki polinom açılımın ana kısmıdır. oc cinsinden kutup çokluğu kutup çokluğu olarak tanımlanır wq = 0 işlevler G(z). Kutup çokluğunun sayıyla örtüştüğünü görmek kolaydır. N(26.8)'de.

Soru p | (i 2 + 1)(z+3) 2

Görev. Fonksiyonun olduğunu göster f(z) =-- -- var

nokta sıfır = oo 3. derece kutbu.

Temel olarak tekil bir noktadaki Teorem 26.6 bu durum için yeniden yazılabilir yani= os neredeyse kelimesi kelimesine doğrudur ve bunun üzerinde ayrıntılı olarak durmuyoruz.