Chebyshev'in Lemması. Rastgele değişken ise X matematiksel bir beklentinin olduğu M[X], yalnızca negatif olmayan değerler alabilir, o zaman herhangi biri için pozitif sayı bir eşitsizlik var

Chebyshev eşitsizliği. Eğer X– matematiksel beklentiye sahip rastgele değişken M[X] ve varyans D[X], o zaman herhangi bir pozitif e için eşitsizlik geçerlidir

. (2)

Chebyshev'in teoremi.(kanun büyük sayılar). İzin vermek X 1 , X 2 , …, xn,… - bağımsız dizi rastgele değişkenler aynı matematiksel beklentiyle M ve varyanslar aynı sabitle sınırlıdır İle

. (3)

Teoremin kanıtı eşitsizliğe dayanmaktadır

, (4)

Chebyshev eşitsizliğinden yola çıkarak. Chebyshev teoreminden sonuç olarak şunları elde edebiliriz:

Bernoulli teoremi.Üretilsin N her birinde olasılık bulunan bağımsız deneyler R bazı olaylar meydana gelebilir A, bırak gitsin vn- rastgele değer, sayıya eşit olayın meydana gelişleri A bunların içinden N deneyler. O zaman herhangi bir e > 0 için limit eşitliği geçerlidir

. (5)

Bernoulli teoreminin koşullarına göre eşitsizliğin (4) şunu verdiğini unutmayın:

. (6)

Chebyshev teoremi biraz daha basit bir şekilde formüle edilebilir. Genel görünüm:

Genelleştirilmiş Chebyshev teoremi.İzin vermek x 1, x 2, …, xn,… - matematiksel beklentilere sahip bağımsız rastgele değişkenlerin dizisi M[X 1 ] = m 1 , M[x 2] = m 2 ,… ve aynı sabitle sınırlı dağılımlar İle. O zaman herhangi bir pozitif e sayısı için limit eşitliği geçerlidir

. (7)

3600 zar atışında 6 noktanın oluşma sayısı x olsun. Daha sonra M [ X] = 3600 = 600. Şimdi a = 900 için (1) eşitsizliğini kullanalım: .

n = 10000, р = , q = için eşitsizliği (6) kullanıyoruz. Daha sonra

Örnek.

1000 bağımsız deneyin her birinde A olayının meydana gelme olasılığı 0,8'dir. Bu 1000 deneyde A olayının meydana gelme sayısının matematiksel beklentiden sapma olasılığını bulun. mutlak değer 50den az.

Belirtilen 1000 deneyde A olayının meydana gelme sayısı x olsun. Daha sonra M [ X] = 1000 × 0,8 = 800 ve D [ X] = 1000 × 0,8 × 0,2 = 160. Şimdi eşitsizlik (2) şunu verir:

Örnek.

1000 bağımsız rastgele değişkenin her birinin varyansı x k (k = 1, 2,..., 1000) 4'e eşittir. Bu değerlerin aritmetik ortalamasının, matematiksel değerlerinin aritmetik ortalamasından sapma olasılığını tahmin edin. Mutlak değerdeki beklentiler 0,1'i geçmeyecek.

(4) eşitsizliğine göre c=4 ve e=0,1 elde ederiz.

Büyük sayılar kanunu merkezi kanun olasılık teorisi, düzenlilik ve rastgelelik arasında temel bir bağlantıyı formüle etmesi nedeniyle. Yani çok sayıda kazanın bir kalıba yol açtığını, bunun da olayların gidişatını tahmin etmeyi mümkün kıldığını savunuyor. Çoğunda Genel form kendini ifade ediyor Chebyshev'in teoremi:

İzin vermek ( Χ 1; X2; …Xn; ...) bağımsız rastgele değişkenler (oldukları varsayılır) sonsuz sayı). Ve varyanslarının düzgün sınırlı olmasına izin verin (yani tüm bu rastgele değişkenlerin varyansları bazı sabitleri aşmasın) İLE):

O zaman pozitif sayı ne kadar küçük olursa olsun sınırlayıcı olasılık ilişkisi sağlanır:

Rastgele değişkenlerin sayısı yeterince büyükse. Veya aynı şey olan olasılık

Dolayısıyla Chebyshev'in teoremi şunu belirtir: Yeterince büyük bir sayıyı düşünürsek N bağımsız rastgele değişkenler ( Χ 1; X2; …Xn), o zaman bu rastgele değişkenlerin aritmetik ortalamasının matematiksel beklentilerinin aritmetik ortalamasından sapmasının mutlak değerde keyfi olarak küçük olacağı olayı neredeyse güvenilir olarak kabul edilebilir (birliğe yakın bir olasılıkla).

Kanıt. Χ 1; X2; …Xn):

(4)

; (5)

Koşulları (1) dikkate alarak şunu tespit ederiz:

(6)

Böylece, varyans olduğunda. Yani bir rastgele değişkenin değerlerinin matematiksel beklentisi etrafındaki yayılımı sınırsız bir şekilde azaldığında. Ve bu şu anlama gelir: değer ne zaman, yani, . Veya daha kesin bir ifadeyle, bir rastgele değişkenin en azından bir şekilde matematiksel beklentisinden (bir sabit) sapma olasılığı sıfıra yaklaşır. Yani, keyfi olarak küçük herhangi bir pozitif sayı için

Kanıtlanmış Chebyshev teoremine göre aritmetik ortalama çok sayıda bağımsız rastgele değişkenler ( Χ 1; X2; …Xn), rastgele bir değişken olduğundan, aslında rastgelelik karakterini kaybeder ve aslında değiştirilemez bir sabit haline gelir. Bu sabit, değerlerin matematiksel beklentilerinin aritmetik ortalamasına eşittir ( Χ 1; X2; …Xn). Bu büyük sayılar kanunudur.

Chebyshev teoreminin bir başka kanıtı da verilebilir. Bunu yapmak için Chebyshev eşitsizliğini kullanıyoruz. Hem kesikli hem de sürekli rastgele değişkenler için geçerlidir ve kendi başına bir değere sahiptir. Chebyshev eşitsizliği, bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden sapmasının mutlak değerde pozitif bir sayıyı aşmama olasılığını tahmin etmemizi sağlar. Ayrık rastgele değişkenler için Chebyshev eşitsizliğinin bir kanıtını sunalım.

Chebyshev eşitsizliği: Rastgele bir değişkenin sapma olasılığı X mutlak değerdeki matematiksel beklentisi pozitif bir sayıdan azdır, aşağıdakilerden daha az değildir:

.

Kanıt: Eşitsizliklerin uygulanmasından oluşan olaylar Ve , zıt ise olasılıklarının toplamı 1'e eşittir, yani. . Dolayısıyla ilgilendiğimiz olasılık. (*)

Bulacağız . Bunun için varyansı bulalım rastgele değişken X.

Bu toplamın tüm terimleri negatif değildir. Bu terimleri bir kenara bırakalım (kalan şartlar için ), bunun sonucunda miktar yalnızca azalabilir. Kesin olarak şunu varsaymayı kabul edelim: k ilk terimler (dağıtım tablosunda olduğunu varsayacağız) olası değerler bu sıraya göre numaralandırılmıştır). Böylece,

Eşitsizliğin her iki tarafı da pozitiftir, dolayısıyla bunların karesini alırsak eşdeğer eşitsizliği elde ederiz . Bu açıklamayı kullanalım ve çarpanların her birini kalan toplamda yerine koyalım. sayısını (bu durumda eşitsizlik yalnızca artabilir) elde ederiz. (**)

Toplama teoremine göre olasılıkların toplamı olasılıktır. X hangisi olursa olsun değerini alacak ve bunlardan herhangi biri için sapma eşitsizliği karşılar . Toplamın olasılığı ifade ettiği sonucu çıkar . Bu, eşitsizliği (**) şu şekilde yeniden yazmamızı sağlar: . (***).

Hadi değiştirelim (***) V (*) ve alıyoruz Kanıtlanması gereken şey buydu.

Chebyshev Teoremi 2'nin Kanıtı:

Yeni bir rastgele değişkeni dikkate alalım: rastgele değişkenlerin aritmetik ortalaması ( Χ 1; X2; …Xn):

Matematiksel beklenti ve dağılım özelliklerini kullanarak şunu elde ederiz:

; . (*)

Chebyshev eşitsizliğini miktara uygularsak, elimizdeki sonuç elde edilir.

Oran (*) dikkate alındığında,

Koşul olarak şu anlama gelir . (***) Sağ tarafı (***) eşitsizliğe (**) koyarsak, şunu elde ederiz:

Buradan, 'deki limite geçerek şunu elde ederiz:

Olasılık bir'i geçemeyeceğinden, sonunda şunu elde ederiz:

Kanıtlamamız gereken şey de buydu.

Chebyshev teoreminin önemli bir özel durumu üzerinde duralım. Yani, bağımsız rastgele değişkenlerin ( Χ 1; X2; …Xn) sahip olmak aynı kanunlar dağılımlar ve dolayısıyla aynı sayısal özellikler:

(8)

O zaman (5)'e göre rastgele değişken için elimizde:

(9)

Bu durumda sınırlayıcı olasılık ilişkisi (7) şu şekli alacaktır:

(10)

(10)’dan çıkan sonuç büyük önemÇeşitli ölçüm türlerini yaparken rastgele hatalarla mücadele etmek.

Örneğin belirli bir miktarı ölçmeniz gerektiğini varsayalım. A. Bir değil birkaç tane üreteceğiz ( N) bu miktarın değerinin bağımsız olarak tekrarlanan ölçümleri. Herhangi bir ölçüm, ölçüm cihazının kusurlu olması, ölçümdeki her türlü rastgele girişim vb. ile ilişkili rastgele bir hatanın doğasında vardır. Bu nedenle sonuçlar ( Χ 1; X2; …Xn) istenilen değerin bireysel ardışık ölçümleri A genel anlamda verilmeyecektir - bunlar rastgele değişkenler olacaktır. Ayrıca, sahip olunan miktarlarla özdeş dağılımlarÇünkü ölçümler tekrar tekrar yani sabit aralıklarla yapılır. dış koşullar. Daha sonra miktar için - tüm sonuçların aritmetik ortalaması Nölçümler - sınırlayıcı olasılık ilişkisi (10) yerine getirilecektir. Bu, bu aritmetik ortalamanın rastgelelik özelliğini yitirdiği ve A– ölçülen büyüklüğün gerçek değeri. Bu arada, bu, formül (9) ile kanıtlanmıştır, buna göre:

(11)

Yani, istenen miktarın yeterince çok sayıda tekrarlanan ölçümünü gerçekleştirmiş olmak A her birinde rastgele bir ölçüm hatasının mümkün olduğu ve ardından bu ölçümlerin sonuçlarının aritmetik ortalamasını bulduktan sonra formülü kullanırız

A(12)

değerini alabiliriz ve neredeyse rastgele hatalar olmadan.

Bu sonuç büyük sayılar kanununun bir sonucudur. İÇİNDE bu durumda Bu yasa, ölçüm sonuçlarını özetlerken (4)'ün ortaya çıkmasıyla ortaya çıkar. rastgele hatalar Prensipte hem artı hem de eksi işaretiyle eşit sıklıkta ortaya çıkan bireysel boyutlar genellikle birbirini iptal edecektir. Ve kalan hata yine de bölünecek P yani daha da azalacak P bir kere. Yani büyük değerler için N değer ölçülen değere neredeyse tam olarak eşit olacaktır A. Bu sonuç doğal olarak pratikte yaygın olarak kullanılmaktadır.

Not. Büyüklük bakımından yalnızca birbirlerini iptal ederler rastgele hatalarölçümler, yani rastgele faktörlerin (parazit) eylemiyle ilişkili hatalar. Ancak sistematik (kalıcı) hatalar, yani her ölçümün doğasında bulunan hatalar doğal olarak . Örneğin, bir cihazda yere düşen (ayarlanmayan) bir ok, her ölçümde sabit (sistematik) bir hataya neden olur ve dolayısıyla bu ölçüm sonuçlarının aritmetik ortalamasında buna neden olur. Sistematik hatalar, ölçümler alınmadan önce ortadan kaldırılmalı ve ölçüm sürecinde izin verilmemelidir.

Daha sonra, ölçüm cihazının bölme değeri α ise, tekrarlanan tüm ölçümler α doğruluğu ile yapılır. Ancak o zaman, doğal olarak, tüm ölçümlerin sonuçlarının aritmetik ortalaması yalnızca α doğruluğuyla, yani cihazın doğruluğu tarafından belirlenen bir doğrulukla gösterilebilir.

Bu nedenle, miktarın yeterince fazla sayıda tekrarlanan ölçümünü yaptıktan sonra şunu düşünmemek gerekir: A ve sonra bu ölçümlerin sonuçlarının aritmetik ortalamasını bularak şunu elde ederiz: bire bir aynı Anlam A. Bunu yalnızca ölçüm cihazının doğruluğu dahilinde elde edeceğiz. Ve o zaman bile sistematik ölçüm hatasını hariç tutarsak.

İşte önemli bir şey daha özel durum büyük sayılar kanunu. İzin vermek X=k– bazı olayların gerçekleşme sayısı A V P tekrarlanan testler ( X- rastgele değer). Ve izin ver ve - Bir olayın gerçekleşme ve gerçekleşmeme olasılığı A tek bir testte. Rastgele bir değişken düşünün - bir olayın göreceli görülme sıklığı A V P testler. Biz de tanıtalım N rastgele değişkenler ( X 1, X 2, …X n), olayın gerçekleşme sayısını temsil eder A birincisinde, ikincisinde... P-th testleri. Daha sonra k = X 1 + X 2 +…+ X p ve bir olayın meydana gelmesi A pratik olarak olayın meydana gelme olasılığı ile örtüşmektedir A tek bir testte. Bu sonuç birçok olasılığın bulunmasına dayanmaktadır. rastgele olaylar olasılıkları başka bir şekilde (teorik olarak) bulunamayan.

Örneğin, testin deforme olmuş (asimetrik) bir madeni paranın atılması olduğunu varsayalım ve olay A bu meydan okuma için bu bir zirve düşüşü. Olayın olasılığı Aİle klasik formül veya başka bir şekilde teorik formül bulmak zordur, çünkü böyle bir formülün madalyonun deformasyonunun özelliklerini bir şekilde yansıtması gerekir. Bu nedenle, hedefe giden gerçek yol tektir: parayı tekrar tekrar atın (atış sayısı ne kadar fazla olursa) N, daha iyi) ve armanın görünümünün göreceli sıklığını ampirik olarak belirleyin. Eğer N büyükse, büyük sayılar kanununa göre şu şekilde mümkündür: yüksek olasılıkşunu iddia et .

Büyük sayılar kanunu birçok doğal ve sosyal olayda kendini gösterir.

Örnek 1. Bilindiği gibi kapalı bir kap içine konulan gaz, kabın duvarlarına basınç uygular. Gaz durumu kanunlarına göre sabit bir gaz sıcaklığında bu basınç sabittir. Gaz basıncı, bireysel moleküllerinin kabın duvarlarına kaotik etkilerinden kaynaklanır. Tüm moleküllerin hızları ve hareket yönleri farklıdır, bu nedenle farklı moleküllerin damar duvarlarına çarpma kuvvetleri de farklıdır. Bununla birlikte, kabın duvarlarındaki gaz basıncı, tek tek moleküllerin darbe kuvvetiyle değil, onların etkisiyle belirlenir. ortalama zorla. Ama o ortalama biri gibi çok büyük sayı ne olursa olsun aktif kuvvetler Büyük sayılar kanununa göre pratikte değişmeden kalacaktır. Bu nedenle, kabın duvarlarındaki gaz basıncı pratikte değişmeden kalır.

Örnek 2. Örneğin otomobil sigortasıyla ilgilenen bir sigorta şirketi, sigortalı farklı olaylar (araba kazaları ve trafik kazaları) için farklı sigorta tutarları öder. Ancak bu sigorta tutarının ortalama değeri, birçok farklı ortalama olarak N Büyük sayılar kanununa göre bağımsız sigorta tutarları pratikte değişmeyecektir. Sigorta tazminat taleplerinin gerçek istatistikleri incelenerek belirlenebilir. Bir sigorta şirketinin zarara uğramaması için müşterilerinden kesilen ortalama sigorta priminin, şirketin müşterilerine ödediği ortalama primden yüksek olması gerekir. Ancak şirketin rekabetçi olabilmesi (diğer sigorta şirketleriyle çekicilik açısından rekabet edebilmesi) için bu primin çok yüksek olmaması gerekir.

Bu ispatı iki aşamada gerçekleştiriyoruz. İlk olarak, var olduğunu varsayalım ve bu durumda toplam dağılım teoremine göre D(S") olduğuna dikkat edin. Chebyshev eşitsizliğine göre herhangi bir t > 0 için

t > n için Sol Taraf küçüktür ve ikinci değer sıfıra doğru yönelir. Bu ispatın ilk kısmını tamamlar.

Şimdi D()'nin varlığına ilişkin kısıtlayıcı koşulu bir kenara bırakalım. Bu durum kesme yöntemiyle bir önceki duruma indirgenir.

Aşağıdaki gibi iki yeni rastgele değişken kümesini tanımlayalım:

U k =, V k =0, eğer (2.2)

U k =0, V k =, eğer

Burada k=1,…, n ve sabittir. Daha sonra

hepsi için k.

(f(j)) rastgele değişkenlerin olasılık dağılımı olsun (tüm j için aynı). = M()'nin var olduğunu varsaydık, dolayısıyla toplam

sonlu. Sonra da var

burada toplama, j'nin tümü üzerinde gerçekleştirilir. N'ye bağlı olmasına rağmen, bunun için aynı olduğunu unutmayın.

U 1, U 2, ..., U n. Ek olarak, için ve dolayısıyla keyfi > 0 ve yeterince büyük n'lerin tümü için

U k karşılıklı olarak bağımsızdır ve bunların toplamları U 1 +U 2 +…+U n, sonlu dağılım durumunda X k ile tamamen aynı şekilde ele alınabilir, Chebyshev eşitsizliği uygulanarak, (2.1)'e benzer şekilde elde edilir

(2.6)’dan dolayı şu sonuç çıkıyor

(2.4) serisi yakınsak olduğundan, n arttıkça son toplam sıfıra doğru yönelir. Bu nedenle, yeterince büyük bir n için

ve bu nedenle

P(V 1 +…+V n 0). (2.12)

Ancak hem (2.9) hem de (2.12)'den şunu elde ederiz:

Bunlar keyfi oldukları için sağ kısım istenildiği kadar küçük yapılabilir, bu da ispatı tamamlar.

"Zararsız" oyunlar teorisi

Büyük sayılar yasasının özünü daha ayrıntılı analiz ederken, geleneksel oyuncu terminolojisini kullanacağız, ancak düşüncelerimiz buna izin veriyor. eşit olarak ve daha ciddi uygulamalardır ve iki temel varsayımımız istatistik ve fizikte, kumar. Öncelikle oyuncunun sınırsız sermayeye sahip olduğunu varsayalım, böylece hiçbir kayıp oyunun bitmesine neden olamaz. (Bu varsayımın reddedilmesi, olasılık teorisi öğrencilerinin her zaman ilgisini çeken oyuncunun mahvolma problemine yol açar.) İkinci olarak, oyuncunun oyunu istediği zaman yarıda kesecek mizaca sahip olmadığını varsayalım: n deneme sayısı önceden belirlenmeli ve hamle oyunlarına bağlı olmamalıdır. Aksi takdirde sınırsız sermayeye sahip olan oyuncu bir dizi başarıyı bekleyecek ve doğru anda oyunu durduracaktır. Böyle bir oyuncu, belirli bir andaki olası dalgalanmayla değil, büyük sayılar yasasından ziyade yinelenen logaritma yasasıyla tanımlanan uzun bir oyun serisindeki maksimum dalgalanmalarla ilgilenir.

Rastgele değişken k'yi (pozitif veya negatif) getirisi olarak tanıtalım. k. tekrar oyunlar. O halde S n = 1 +…+ k toplamı, oyunun n tekrarından sonraki toplam kazançtır. Eğer oyuncu her tekrardan önce oyuna katılma hakkı için (mutlaka olumlu olmasa da) bir katkı öderse, o zaman n ödediği toplam katkıyı temsil eder ve Sn de toplam net kazançtır. Büyük sayılar kanunu p=M(k) mevcutsa geçerlidir. Kabaca söylemek gerekirse, büyük n için S n - farkının n'ye göre küçük görünmesi oldukça makuldür. Bu nedenle, eğer p'den küçükse, o zaman büyük n için oyuncu muhtemelen büyüklük sırasına göre bir getiri elde edecektir. Aynı şekilde, bir katkının da neredeyse kesin olarak kayıpla sonuçlanması muhtemeldir. Kısaca şans oyuncunun lehinedir, şans ise aleyhinedir.

Davayla ilgili henüz bir şey söylemediğimizi unutmayın. Bu durumda mümkün olan tek sonuç, eğer ve yeterince büyükse, toplam kazanç veya kayıp S n - n'nin n'ye kıyasla çok yüksek olasılıkla küçük olacağıdır. Ancak S n - n'nin ortaya çıkıp çıkmayacağı bilinmiyor. Olumlu ya da olumsuz olması, yani oyunun karlı mı yoksa yıkıcı mı olacağı. Bu dikkate alınmadı klasik teori zararsız bir fiyat ve "zararsız" bir oyun olarak adlandırılan. "Zararsız" bir oyunun aslında hem açıkça karlı hem de yıkıcı olabileceğini anlamalısınız.

“Normal durumda” sadece M(k)'nin değil aynı zamanda D(k)'nin de mevcut olduğu açıktır. Bu durumda, büyük sayılar yasası, merkezi limit teoremi ile desteklenmektedir ve ikincisi, "zararsız" bir oyunda, uzun bir S n - n oyununun sonucu olarak net kazancın şu şekilde olacağının çok makul olduğunu söylemektedir: n 1/2 mertebesindedir ve yeterince büyük n için bu kazanç yaklaşık olarak olacaktır. eşit şanslar olumlu veya olumsuz. Yani eğer merkezi limit teoremi O zaman "zararsız" oyun terimi haklı çıkıyor, ancak bu durumda bile "uzun bir oyunun sonucu" sözleriyle vurgulanan bir limit teoremi ile karşı karşıyayız. Kapsamlı analiz dağılım arttıkça (1.3)'teki yakınsamanın kötüleştiğini gösterir. Eğer büyükse, o zaman normal yaklaşım yalnızca son derece büyük n için etkili olacaktır.

Daha spesifik olmak gerekirse, içine bir ruble koyarken oyuncunun 10 olasılıkla (10-1) ruble kazanabileceği ve diğer durumlarda düşen rubleyi kaybettiği bir makine hayal edelim. Burada Bernoulli testleri var ve oyun "zararsız". Bir milyon testi tamamlayan oyuncu bunun için bir milyon ruble ödeyecek. Bu süre zarfında 0, 1,2,... kez kazanabilir. Poisson yaklaşımına göre Binom dağılımı, birkaç ondalık basamağa kadar doğru, tam olarak k kez kazanma olasılığı e -1 /k!'ye eşittir. Yani 0,368 olasılıkla. . . oyuncu bir milyon kaybedecek ve aynı olasılıkla sadece masraflarını karşılayacaktır; 0,184... tam olarak bir milyon kazanma olasılığı var, vb. Burada, 10 6 deneme, getirisi Poisson dağılımı olan bir oyundaki tek bir denemeye eşdeğerdir.

Açıkçası bu tür durumlarda büyük sayılar kanununu uygulamanın hiçbir anlamı yoktur. Bu plan yangına, araba kazalarına vb. karşı sigortayı içermektedir. Büyük bir kısmı riske maruzdur, ancak buna karşılık gelen olasılık çok küçüktür. Ancak burada genellikle yılda yalnızca bir test yapılır, dolayısıyla testlerin sayısı hiçbir zaman büyük olmaz. Sigortalı için oyun her ne kadar ekonomik açıdan oldukça karlı olsa da mutlaka “zararsız” değildir. Büyük sayılar kanununun bununla hiçbir ilgisi yoktur. Sigorta şirketine gelince, çok sayıda oyunla ilgileniyor, ancak büyük farklılıklar nedeniyle rastgele dalgalanmalar hala ortaya çıkıyor. Sigorta primlerinin belirli yıllarda büyük kayıpları önleyecek şekilde ayarlanması gerekiyor ve bu nedenle şirket büyük rakamlar kanunundan ziyade yıkım sorunuyla ilgileniyor.

Varyans sonsuz olduğunda "zararsız" oyun terimi anlamsız hale gelir; toplam net kazanç S n - n'nin sıfır civarında dalgalandığına inanmak için hiçbir neden yok. Gerçekten mi. Oyuncunun sonuç olarak net bir kayıp yaşama olasılığının bire düştüğü "zararsız" oyun örnekleri vardır. Büyük sayılar kanunu sadece bu kaybın n'den daha küçük olacağını belirtir. Ancak daha fazlası söylenemez. Eğer bir n keyfi bir dizi oluşturuyorsa ve bir n /n0 ise, oyunun n tekrarı sonucunda toplam net kaybın bir n'yi aşma olasılığının bire yöneldiği "zararsız" bir oyun düzenlemek mümkündür.

Olasılık teorisi, kütlesel rastgele olayların doğasında bulunan kalıpları inceler. Diğer bilim dalları gibi olasılık teorisi de belirli bir olgunun veya deneyin sonucunu mümkün olduğu kadar doğru bir şekilde tahmin etmeyi amaçlamaktadır. Eğer olay doğası gereği izole edilmişse, olasılık teorisi yalnızca çok geniş sınırlar dahilindeki sonucun olasılığını tahmin edebilir. Desenler yalnızca çok sayıda görünüyor rastgele olaylar homojen koşullar altında meydana gelir.

Rastgele değişkenlerin teorik ve deneysel özellikleri ile üzerlerinde çok sayıda testin yapıldığı rastgele olayların ve ayrıca limit dağılım yasalarıyla ilgili olanların teorik ve deneysel özellikleri arasında yazışmalar kuran bir grup teorem, altında birleştirilir. yaygın isim olasılık teorisinin limit teoremleri.

İki tür limit teoremi vardır: büyük sayılar kanunu ve merkezi limit teoremi.

Büyük Sayılar Kanunu dolu en önemli yer Olasılık teorisinde, olasılık teorisi arasındaki bağlantı şu şekildedir: matematik bilimi ve bunların toplu gözlemleri sırasında rastgele olayların kalıpları.

Kanun çok oynuyor önemli rol V pratik uygulamalar doğal olaylara olasılık teorisi ve teknik süreçler seri üretimle ilişkilidir.

Dağıtımın limit yasaları bir grup teoremin konusunu oluşturur - niceliksel form büyük sayılar kanunu. Onlar. büyük sayılar yasası, her biri çok sayıda testin ortalama özelliklerinin belirli sabitlere yaklaştığı gerçeğini ortaya koyan bir dizi teoremdir; Bazı rastgele değişkenlerin sabitlere olasılığındaki yakınsama gerçeğini ortaya koymak. Bunlar Bernoulli, Poisson, Lyapunov, Markov, Chebyshev'in teoremleridir.

1. A) Bernoulli teoremi – büyük sayılar yasası ( Moivre-Laplace'ın limit integral teoremi dikkate alınırken daha önce § 6'nın 3. paragrafında formüle edilmiş ve kanıtlanmıştır.)

Homojen bağımsız deneylerin sayısındaki sınırsız artışla, bir olayın sıklığı, ayrı bir deneydeki bir olayın olasılığından istenildiği kadar az farklı olacaktır. Aksi takdirde sapma olasılığı göreceli frekans bir olayın meydana gelmesi A itibaren sabit olasılık R olaylar A herhangi biri için 1'e eğilim gösterdiğinde çok az: .

b) Chebyshev teoremi.

Sayıda sınırsız bir artışla bağımsız testler sonlu varyansa sahip bir rastgele değişkenin gözlemlenen değerlerinin aritmetik ortalaması, olasılık açısından matematiksel beklentisine yakınsar; aksi takdirde, matematiksel beklenti ve sınırlı varyansa sahip bağımsız, aynı şekilde dağıtılmış rastgele değişkenler varsa, o zaman aşağıdakilerden herhangi biri için doğrudur: .

Chebyshev teoremi (genelleştirilmiş). Dizideki rastgele değişkenler ikili bağımsızsa ve varyansları koşulu sağlıyorsa ise herhangi bir pozitif ε > 0 için aşağıdaki ifade doğrudur:

ya da aynı olan ne .

c) Markov teoremi. (genel formülasyonda büyük sayılar kanunu)

Dizideki keyfi rastgele değişkenlerin varyansları koşulu sağlıyorsa: , o zaman herhangi bir pozitif ε > 0 için Chebyshev teoreminin ifadesi şu şekildedir: .

d) Poisson teoremi.

Bağımsız deneylerin sayısındaki sınırsız artışla değişken koşullar olay sıklığı A olasılık açısından verilen testler için olasılıklarının aritmetik ortalamasına yakınsar.

Yorum. Büyük sayılar yasasının hiçbir biçiminde rastgele değişkenlerin dağılım yasalarıyla ilgilenmiyoruz. Bulmakla ilgili soru sınır kanunu Terim sayısı sınırsız arttığında toplamın dağılımı merkezi limit teoremi ile dikkate alınır. aynı şekilde dağıtılırsa şu sonuca varırız: integral teoremi Merkezi limit teoreminin en basit özel durumu olan De Moivre-Laplace (Bölüm 3/§ 6).

Chebyshev'in büyük sayılar yasasının anlamı aşağıdaki gibidir. Bireysel bir rastgele değişken, matematiksel beklentisinin çok uzağında değerler alabilirken, birliğe yakın olasılığa sahip çok sayıda rastgele değişkenin aritmetik ortalaması, matematiksel beklentilerinin aritmetik ortalamasından çok az farklı bir değer alır.
Chebyshev'in büyük sayılar yasasının özel bir durumu. İzin vermek - ortaklaşa sınırlı varyansa sahip olan ikili bağımsız rastgele değişkenler dizisi; ve aynı matematiksel beklentiler . O zaman ne olursa olsun , ilişki geçerlidir

Bu doğrudan formül ()'den gelir, çünkü

Yorum. Rastgele bir değişken olduğunu söylüyorlar olasılıkta birleşir numaraya A, artan oranlarda keyfi olarak küçük eşitsizlik olasılığı için ise N sınırsız birliğe yaklaşır. Olasılıktaki yakınsama bu anlama gelmez. Gerçekten de ikinci durum eşitsizlik herkes için yeterince geçerli büyük değerler N. Olasılıktaki yakınsama durumunda, bireysel keyfi büyük değerler için bu eşitsizlik N Belki Gerçekleştirilemedi. Ancak büyük değerler için eşitsizliğin sağlanamaması NÇok nadir (olası olmayan) bir olay var. Bunu dikkate alarak Chebyshev'in büyük sayılar yasasının özel bir durumu aşağıdaki gibi formüle edilebilir.
Aritmetik ortalama ikili bağımsız rastgele değişkenler ortaklaşa sınırlı varyanslara ve aynı matematiksel beklentilere sahip olan , olasılık olarak bire yakınsar.
Chebyshev'in büyük sayılar yasasının özel durumunun anlamını açıklayalım. Diyelim ki gerçek değeri bulmak istiyoruz A bazı fiziksel miktar(örneğin, bir parçanın boyutu). Bunu yapmak için birbirinden bağımsız bir dizi ölçüm yapacağız. Her ölçüme bazı hatalar () eşlik eder. Bu nedenle mümkün olan her ölçüm sonucu rastgele bir değişkendir (indeks Ben- ölçüm numarası). Her boyutta hiçbir şeyin olmadığını varsayalım. Sistematik hata yani sapmalar gerçek anlam AÖlçülen miktarın her iki yönde de eşit olması muhtemeldir. Bu durumda tüm rastgele değişkenlerin matematiksel beklentileri aynı ve ölçülen değere eşittir. A yani
Son olarak ölçümlerin garantili bir doğrulukla yapıldığını varsayalım. Bu, tüm ölçümler için anlamına gelir. Dolayısıyla, Chebyshev'in büyük sayılar yasası koşullarındayız ve bu nedenle, eğer boyutların sayısı yeterince büyükse, o zaman pratik kesinlikle şunu söyleyebiliriz: ne olursa olsun, ortalama aritmetik sonuçlarölçüm gerçek değerden farklı A daha az