પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો દ્રશ્ય પુરાવો. પાયથાગોરિયન પ્રમેય સાબિત કરવાની પદ્ધતિઓ

શાપોવાલોવા એલ.એ. (એગોર્લીક્સકાયા સ્ટેશન, એમબીઓયુ એસોશ નંબર 11)

1. ગ્લેઝર જી.આઈ. માં ગણિતનો ઇતિહાસ શાળા VII – VIII ગ્રેડ, શિક્ષકો માટે માર્ગદર્શિકા, - એમ: શિક્ષણ, 1982.

2. ડેમ્પન I.Ya., Vilenkin N.Ya. "ગણિતની પાઠ્યપુસ્તકના પૃષ્ઠોની પાછળ" ગ્રેડ 5-6ના વિદ્યાર્થીઓ માટે માર્ગદર્શિકા. - એમ.: શિક્ષણ, 1989.

3. ઝેનકેવિચ આઈ.જી. "ગણિતના પાઠનું સૌંદર્ય શાસ્ત્ર." - એમ.: શિક્ષણ, 1981.

4. લિટ્ઝમેન વી. પાયથાગોરિયન પ્રમેય. - એમ., 1960.

5. વોલોશિનોવ એ.વી. "પાયથાગોરસ". - એમ., 1993.

6. પિચુરિન એલ.એફ. "એક બીજગણિત પાઠ્યપુસ્તકના પૃષ્ઠોની પાછળ." - એમ., 1990.

7. ઝેમલ્યાકોવ એ.એન. "10મા ધોરણમાં ભૂમિતિ." - એમ., 1986.

8. અખબાર “ગણિત” 17/1996.

9. અખબાર “ગણિત” 3/1997.

10. એન્ટોનોવ એન.પી., વાયગોડસ્કી એમ.યા., નિકિટિન વી.વી., સેંકિન એ.આઈ. "માટે સમસ્યાઓનો સંગ્રહ પ્રાથમિક ગણિત" - એમ., 1963.

11. Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh. "ગણિત મેન્યુઅલ". - એમ., 1973.

12. Shchetnikov A.I. "સંખ્યા અને તીવ્રતાનો પાયથાગોરિયન સિદ્ધાંત." - નોવોસિબિર્સ્ક, 1997.

13." વાસ્તવિક સંખ્યાઓ. અતાર્કિક અભિવ્યક્તિઓ» 8 મી ગ્રેડ. પબ્લિશિંગ હાઉસ ટોમ્સ્ક યુનિવર્સિટી. - ટોમ્સ્ક, 1997.

14. અતાનાસ્યાન એમ.એસ. "ભૂમિતિ" ગ્રેડ 7-9. - એમ.: શિક્ષણ, 1991.

15. URL: www.moypifagor.narod.ru/

16. URL: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.

આમાં શૈક્ષણિક વર્ષહું મળ્યા રસપ્રદ પ્રમેય, જાણીતું છે, જેમ કે તે તારણ આપે છે, પ્રાચીન સમયથી:

"કાટકોણ ત્રિકોણના કર્ણ પર બનેલો ચોરસ પગ પર બાંધેલા ચોરસના સરવાળા જેટલો હોય છે."

આ નિવેદનની શોધ સામાન્ય રીતે પ્રાચીન ગ્રીક ફિલસૂફ અને ગણિતશાસ્ત્રી પાયથાગોરસ (6ઠ્ઠી સદી બીસી)ને આભારી છે. પરંતુ પ્રાચીન હસ્તપ્રતોનો અભ્યાસ દર્શાવે છે કે આ નિવેદન પાયથાગોરસના જન્મના ઘણા સમય પહેલા જાણીતું હતું.

મને આશ્ચર્ય થયું કે શા માટે, આ કિસ્સામાં, તે પાયથાગોરસના નામ સાથે સંકળાયેલું છે.

વિષયની સુસંગતતા: પાયથાગોરિયન પ્રમેય ધરાવે છે મહાન મહત્વ: ભૂમિતિમાં શાબ્દિક રીતે દરેક પગલા પર વપરાય છે. હું માનું છું કે પાયથાગોરસની કૃતિઓ હજી પણ સુસંગત છે, કારણ કે જ્યાં પણ આપણે જોઈએ છીએ, દરેક જગ્યાએ આપણે તેના મહાન વિચારોના ફળ જોઈ શકીએ છીએ, જેમાં મૂર્ત સ્વરૂપ છે. વિવિધ ઉદ્યોગોઆધુનિક જીવન.

મારા સંશોધનનો હેતુ પાયથાગોરસ કોણ હતો અને તેને આ પ્રમેય સાથે શું સંબંધ છે તે શોધવાનો હતો.

પ્રમેયના ઇતિહાસનો અભ્યાસ કરીને, મેં શોધવાનું નક્કી કર્યું:

શું આ પ્રમેયના અન્ય પુરાવા છે?

લોકોના જીવનમાં આ પ્રમેયનું શું મહત્વ છે?

ગણિતના વિકાસમાં પાયથાગોરસની ભૂમિકા શું હતી?

પાયથાગોરસના જીવનચરિત્રમાંથી

સામોસનો પાયથાગોરસ એક મહાન ગ્રીક વૈજ્ઞાનિક છે. તેની ખ્યાતિ તેના નામ પરથી ઉભી થાય છે પાયથાગોરિયન પ્રમેય. જો કે હવે આપણે જાણીએ છીએ કે આ પ્રમેય માં જાણીતો હતો પ્રાચીન બેબીલોનપાયથાગોરસના 1200 વર્ષ પહેલાં, અને ઇજિપ્તમાં તેના 2000 વર્ષ પહેલાં, 3, 4, 5 બાજુઓ સાથેનો કાટકોણ ત્રિકોણ જાણીતો હતો, અમે હજી પણ તેને આ પ્રાચીન વૈજ્ઞાનિકના નામથી બોલાવીએ છીએ.

પાયથાગોરસના જીવન વિશે લગભગ કંઈપણ વિશ્વસનીય રીતે જાણીતું નથી, પરંતુ તેના નામ સાથે મોટી સંખ્યામાં દંતકથાઓ સંકળાયેલી છે.

પાયથાગોરસનો જન્મ 570 બીસીમાં સામોસ ટાપુ પર થયો હતો.

પાયથાગોરસનો દેખાવ સુંદર હતો, લાંબી દાઢી પહેરતો હતો અને તેના માથા પર સોનેરી ડાયડેમ હતો. પાયથાગોરસ એ નામ નથી, પરંતુ એક ઉપનામ છે જે ફિલસૂફને પ્રાપ્ત થયું છે કારણ કે તે હંમેશા ગ્રીક ઓરેકલની જેમ યોગ્ય અને ખાતરીપૂર્વક બોલે છે. (પાયથાગોરસ - "વાણી દ્વારા સમજાવનાર").

550 બીસીમાં, પાયથાગોરસ નિર્ણય લે છે અને ઇજિપ્ત જાય છે. તેથી, પાયથાગોરસ પહેલાં તે ખુલે છે અજ્ઞાત દેશઅને અજાણી સંસ્કૃતિ. પાયથાગોરસ આ દેશમાં ખૂબ જ આશ્ચર્યચકિત અને આશ્ચર્યચકિત થયા, અને ઇજિપ્તવાસીઓના જીવનના કેટલાક અવલોકનો પછી, પાયથાગોરસને સમજાયું કે જ્ઞાનનો માર્ગ, પુરોહિત જાતિ દ્વારા સુરક્ષિત છે, ધર્મ દ્વારા છે.

ઇજિપ્તમાં અગિયાર વર્ષના અભ્યાસ પછી, પાયથાગોરસ તેના વતન જાય છે, જ્યાં રસ્તામાં તે બેબીલોનીયન કેદમાં સમાપ્ત થાય છે. ત્યાં તે બેબીલોનીયન વિજ્ઞાનથી પરિચિત થાય છે, જે ઇજિપ્તની તુલનામાં વધુ વિકસિત હતું. બેબીલોનિયનો જાણતા હતા કે કેવી રીતે રેખીય, ચોરસ અને કેટલાક પ્રકારના ઉકેલો ઘન સમીકરણો. કેદમાંથી છટકી ગયા પછી, તે ત્યાં શાસન કરતી હિંસા અને જુલમના વાતાવરણને કારણે લાંબા સમય સુધી પોતાના વતનમાં રહી શક્યો ન હતો. તેણે ક્રોટોન (ઉત્તરી ઇટાલીમાં ગ્રીક વસાહત) જવાનું નક્કી કર્યું.

તે ક્રોટોનમાં હતું કે પાયથાગોરસના જીવનનો સૌથી ભવ્ય સમયગાળો શરૂ થયો. ત્યાં તેણે ધાર્મિક-નૈતિક ભાઈચારો અથવા ગુપ્ત જેવું કંઈક સ્થાપિત કર્યું મઠનો હુકમ, જેના સભ્યો કહેવાતા પાયથાગોરિયન જીવનશૈલી તરફ દોરી જવા માટે બંધાયેલા હતા.

પાયથાગોરસ અને પાયથાગોરિયન

પાયથાગોરસ માં આયોજિત ગ્રીક વસાહતએપેનાઇન દ્વીપકલ્પની દક્ષિણમાં, એક ધાર્મિક અને નૈતિક ભાઈચારો, જેમ કે એક મઠનો હુકમ, જે પાછળથી પાયથાગોરિયન યુનિયન તરીકે ઓળખાશે. યુનિયનના સભ્યોએ ચોક્કસ સિદ્ધાંતોનું પાલન કરવું પડ્યું: પ્રથમ, સુંદર અને ભવ્ય માટે પ્રયત્ન કરવો, બીજું, ઉપયોગી બનવા માટે, અને ત્રીજું, ઉચ્ચ આનંદ માટે પ્રયત્ન કરવો.

નૈતિક અને નૈતિક નિયમોની પ્રણાલી, પાયથાગોરસ દ્વારા તેમના વિદ્યાર્થીઓને આપવામાં આવી હતી, તે પાયથાગોરિયન "ગોલ્ડન વર્સેસ" ના વિશિષ્ટ નૈતિક કોડમાં સંકલિત કરવામાં આવી હતી, જે પ્રાચીનકાળ, મધ્ય યુગ અને પુનરુજ્જીવનના યુગમાં ખૂબ જ લોકપ્રિય હતા.

વર્ગોની પાયથાગોરિયન સિસ્ટમમાં ત્રણ વિભાગોનો સમાવેશ થાય છે:

સંખ્યાઓ વિશે શીખવવું - અંકગણિત,

આકૃતિઓ વિશે શિક્ષણ - ભૂમિતિ,

બ્રહ્માંડની રચના વિશેના સિદ્ધાંતો - ખગોળશાસ્ત્ર.

પાયથાગોરસ દ્વારા સ્થાપિત શિક્ષણ પ્રણાલી ઘણી સદીઓ સુધી ચાલી.

પાયથાગોરિયન શાળાએ ભૂમિતિને વિજ્ઞાનનું પાત્ર આપવા માટે ઘણું કર્યું. પાયથાગોરિયન પદ્ધતિનું મુખ્ય લક્ષણ અંકગણિત સાથે ભૂમિતિનું સંયોજન હતું.

પાયથાગોરસ પ્રમાણ અને પ્રગતિ સાથે અને સંભવતઃ, આંકડાઓની સમાનતા સાથે ઘણો વ્યવહાર કરે છે, કારણ કે તેને સમસ્યા હલ કરવાનો શ્રેય આપવામાં આવે છે: "બે આંકડાઓ જોતાં, ત્રીજા બનાવો, એક ડેટાના કદમાં સમાન અને બીજાના સમાન. "

પાયથાગોરસ અને તેના વિદ્યાર્થીઓએ બહુકોણીય, મૈત્રીપૂર્ણ, સંપૂર્ણ સંખ્યાઓનો ખ્યાલ રજૂ કર્યો અને તેમના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કર્યો. પાયથાગોરસને ગણતરીની પ્રથા તરીકે અંકગણિતમાં રસ ન હતો, અને તેણે ગર્વથી જાહેર કર્યું કે તે "વેપારીના હિત કરતાં અંકગણિતને સ્થાન આપે છે."

પાયથાગોરિયન યુનિયનના સભ્યો ગ્રીસના ઘણા શહેરોના રહેવાસીઓ હતા.

પાયથાગોરિયનોએ પણ મહિલાઓને તેમના સમાજમાં સ્વીકારી. યુનિયન 20 વર્ષથી વધુ સમય સુધી વિકસ્યું, અને પછી તેના સભ્યો પર જુલમ શરૂ થયો, ઘણા વિદ્યાર્થીઓ માર્યા ગયા.

પાયથાગોરસના મૃત્યુ વિશે ઘણી જુદી જુદી દંતકથાઓ હતી. પરંતુ પાયથાગોરસ અને તેના વિદ્યાર્થીઓની ઉપદેશો જીવંત રહી.

પાયથાગોરિયન પ્રમેયની રચનાના ઇતિહાસમાંથી

તે હવે જાણીતું છે કે આ પ્રમેય પાયથાગોરસ દ્વારા શોધવામાં આવ્યો ન હતો. જો કે, કેટલાક માને છે કે તે પાયથાગોરસ હતો જેણે સૌપ્રથમ તેની સંપૂર્ણ સાબિતી આપી હતી, જ્યારે અન્ય લોકો તેને આ યોગ્યતા નકારે છે. કેટલાક પાયથાગોરસને પુરાવા આપે છે જે યુક્લિડ તેના તત્વોના પ્રથમ પુસ્તકમાં આપે છે. બીજી બાજુ, પ્રોક્લસ દાવો કરે છે કે તત્વોમાંનો પુરાવો યુક્લિડનો છે. જેમ આપણે જોઈએ છીએ, ગણિતના ઇતિહાસમાં પાયથાગોરસના જીવન અને તેની ગાણિતિક પ્રવૃત્તિઓ વિશે લગભગ કોઈ વિશ્વસનીય ચોક્કસ ડેટા સાચવવામાં આવ્યો નથી.

અમે પાયથાગોરિયન પ્રમેયની અમારી ઐતિહાસિક સમીક્ષા શરૂ કરીએ છીએ પ્રાચીન ચીન. અહીં ખાસ ધ્યાનઆકર્ષે છે ગણિત પુસ્તકચુ-પેઇ. આ નિબંધ વિશે વાત કરે છે પાયથાગોરિયન ત્રિકોણબાજુઓ 3, 4 અને 5 સાથે:

"જો જમણો ખૂણો તેના ઘટક ભાગોમાં વિઘટિત થાય છે, તો તેની બાજુઓના છેડાને જોડતી રેખા 5 હશે, જ્યારે આધાર 3 છે અને ઊંચાઈ 4 છે."

તેમની બાંધકામની પદ્ધતિનું પુનઃઉત્પાદન કરવું ખૂબ જ સરળ છે. ચાલો 12 મીટર લાંબો દોરડું લઈએ અને તેની સાથે 3 મીટરના અંતરે રંગીન પટ્ટી બાંધીએ. એક છેડેથી અને બીજાથી 4 મીટર. જમણો ખૂણો 3 અને 4 મીટર લાંબી બાજુઓ વચ્ચે બંધ કરવામાં આવશે.

હિંદુઓમાં ભૂમિતિ સંપ્રદાય સાથે ગાઢ રીતે જોડાયેલી હતી. તે ખૂબ જ સંભવ છે કે પૂર્વે 8મી સદીની આસપાસ ભારતમાં કર્ણ પ્રમેયનો વર્ગ પહેલેથી જ જાણીતો હતો. કેવળ ધાર્મિક પ્રિસ્ક્રિપ્શનો સાથે, ભૌમિતિક ધર્મશાસ્ત્રીય પ્રકૃતિના કાર્યો પણ છે. આ લખાણોમાં, 4થી અથવા 5મી સદી પૂર્વેના, આપણે બાંધકામનો સામનો કરીએ છીએ. જમણો ખૂણો 15, 36, 39 બાજુઓ સાથે ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરીને.

મધ્ય યુગમાં, પાયથાગોરિયન પ્રમેય મર્યાદા નક્કી કરે છે, જો શક્ય ન હોય તો, ઓછામાં ઓછું સારું ગાણિતિક જ્ઞાન. પાયથાગોરિયન પ્રમેયનું લાક્ષણિક ચિત્ર, જે હવે ક્યારેક શાળાના બાળકો દ્વારા રૂપાંતરિત થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, ઝભ્ભો પહેરેલા પ્રોફેસર અથવા ટોપ ટોપીવાળા માણસમાં, તે દિવસોમાં ગણિતના પ્રતીક તરીકે ઘણીવાર ઉપયોગમાં લેવાતા હતા.

નિષ્કર્ષમાં, અમે ગ્રીક, લેટિન અને જર્મનમાંથી અનુવાદિત પાયથાગોરિયન પ્રમેયના વિવિધ ફોર્મ્યુલેશન રજૂ કરીએ છીએ.

યુક્લિડના પ્રમેય સ્ટેટ્સ (શાબ્દિક અનુવાદ):

“એક કાટકોણ ત્રિકોણમાં, બાજુનો ચોરસ જમણા ખૂણા પર વિસ્તરેલો છે ચોરસ સમાનકાટકોણ ધરાવતી બાજુઓ પર છું."

જેમ આપણે જોઈએ છીએ, માં વિવિધ દેશોઅને વિવિધ ભાષાઓપરિચિત પ્રમેયની રચનાની વિવિધ આવૃત્તિઓ છે. માં બનાવ્યું અલગ અલગ સમયઅને વિવિધ ભાષાઓમાં, તેઓ એક ગાણિતિક કાયદાના સારને પ્રતિબિંબિત કરે છે, જેના પુરાવામાં ઘણા વિકલ્પો પણ છે.

પાયથાગોરિયન પ્રમેય સાબિત કરવાની પાંચ રીતો

પ્રાચીન ચાઇનીઝ પુરાવા

એક પ્રાચીન ચાઇનીઝ ચિત્ર ચાર સમાન બતાવે છે જમણો ત્રિકોણપગ a, b અને કર્ણ c સાથે નાખવામાં આવે છે જેથી તેમનો બાહ્ય સમોચ્ચ બાજુ a + b સાથે ચોરસ બનાવે છે, અને આંતરિક સમોચ્ચ બાજુ c સાથે ચોરસ બનાવે છે, જે કર્ણ પર બાંધવામાં આવે છે.

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

જે. હાર્ડફિલ્ડ દ્વારા પુરાવો (1882)

ચાલો બે સમાન જમણા ત્રિકોણને ગોઠવીએ જેથી તેમાંથી એકનો પગ બીજાનો ચાલુ રહે.

વિચારણા હેઠળના ટ્રેપેઝોઇડનો વિસ્તાર પાયાના અડધા સરવાળા અને ઊંચાઈના ઉત્પાદન તરીકે જોવા મળે છે.

બીજી બાજુ, ટ્રેપેઝોઇડનું ક્ષેત્રફળ પરિણામી ત્રિકોણના ક્ષેત્રોના સરવાળા જેટલું છે:

આ અભિવ્યક્તિઓની સમાનતા, આપણને મળે છે:

સાબિતી સરળ છે

આ સાબિતી સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણના સૌથી સરળ કિસ્સામાં મેળવવામાં આવે છે.

કદાચ અહીંથી પ્રમેયની શરૂઆત થઈ.

હકીકતમાં, પ્રમેયની માન્યતાની ખાતરી કરવા માટે સમદ્વિબાજુના કાટખૂણોના મોઝેકને જોવું પૂરતું છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ત્રિકોણ ABC માટે: કર્ણ AC પર બનેલા ચોરસમાં 4 મૂળ ત્રિકોણ હોય છે, અને બાજુઓ પર બનેલા ચોરસમાં બે હોય છે. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

પ્રાચીન હિન્દુઓનો પુરાવો

બાજુ (a + b) સાથેના ચોરસને ફિગની જેમ ભાગોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે. 12.a, અથવા ફિગમાં જેમ. 12, બી. તે સ્પષ્ટ છે કે ભાગ 1, 2, 3, 4 બંને ચિત્રોમાં સમાન છે. અને જો તમે સમાન (વિસ્તારો) માંથી સમાનને બાદ કરો, તો તે સમાન રહેશે, એટલે કે. c2 = a2 + b2.

યુક્લિડનો પુરાવો

બે સહસ્ત્રાબ્દીઓ માટે, પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતો પુરાવો યુક્લિડનો હતો. તે તેમના પ્રખ્યાત પુસ્તક "સિદ્ધાંતો" માં મૂકવામાં આવ્યું છે.

યુક્લિડે જમણા ખૂણાના શિરોબિંદુથી કર્ણ સુધીની ઊંચાઈ BN ને ઓછી કરી અને સાબિત કર્યું કે તેની ચાલુતા કર્ણો પર પૂર્ણ થયેલા ચોરસને બે લંબચોરસમાં વિભાજિત કરે છે, જેના વિસ્તારો બાજુઓ પર બાંધવામાં આવેલા અનુરૂપ ચોરસના ક્ષેત્રો સમાન છે.

આ પ્રમેયને સાબિત કરવા માટે વપરાતા ચિત્રને મજાકમાં "પાયથાગોરિયન પેન્ટ" કહેવામાં આવે છે. લાંબા સમય સુધી તે ગાણિતિક વિજ્ઞાનના પ્રતીકોમાંનું એક માનવામાં આવતું હતું.

પાયથાગોરિયન પ્રમેયની અરજી

પાયથાગોરિયન પ્રમેયનું મહત્વ એ છે કે ભૂમિતિના મોટાભાગના પ્રમેય તેમાંથી અથવા તેની મદદથી મેળવી શકાય છે અને ઘણી સમસ્યાઓ હલ કરી શકાય છે. આ ઉપરાંત, વ્યવહારુ મહત્વપાયથાગોરિયન પ્રમેય અને તેનું કન્વર્સ પ્રમેય એ છે કે તેમની મદદથી તમે સેગમેન્ટ્સને માપ્યા વગર સેગમેન્ટની લંબાઈ શોધી શકો છો. આ, જેમ તે હતું, સીધી રેખાથી પ્લેન તરફ, પ્લેનથી વોલ્યુમેટ્રિક સ્પેસ અને તેનાથી આગળનો રસ્તો ખોલે છે. તે આ કારણોસર છે કે પાયથાગોરિયન પ્રમેય માનવતા માટે ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે, જે દરેક વસ્તુને શોધવાનો પ્રયત્ન કરે છે. વધુ પરિમાણોઅને આ પરિમાણોમાં તકનીકો બનાવો.

નિષ્કર્ષ

પાયથાગોરિયન પ્રમેય એટલો પ્રખ્યાત છે કે જેણે તેના વિશે સાંભળ્યું નથી તેની કલ્પના કરવી મુશ્કેલ છે. મેં શીખ્યા કે પાયથાગોરિયન પ્રમેયને સાબિત કરવાની ઘણી રીતો છે. મેં ઇન્ટરનેટ પરની માહિતી સહિત સંખ્યાબંધ ઐતિહાસિક અને ગાણિતિક સ્ત્રોતોનો અભ્યાસ કર્યો અને સમજાયું કે પાયથાગોરિયન પ્રમેય માત્ર તેના ઇતિહાસ માટે જ નહીં, પણ તે જે ધરાવે છે તેના માટે પણ રસપ્રદ છે. મહત્વપૂર્ણ સ્થાનજીવન અને વિજ્ઞાનમાં. આ પ્રમેયના લખાણના વિવિધ અર્થઘટન અને મારા દ્વારા આ કાર્યમાં આપેલ તેના પુરાવાની રીતો દ્વારા આનો પુરાવો મળે છે.

તેથી, પાયથાગોરિયન પ્રમેય એક મુખ્ય છે અને, કોઈ કહી શકે છે, સૌથી વધુ મુખ્ય પ્રમેયભૂમિતિ તેનું મહત્વ એ હકીકતમાં રહેલું છે કે ભૂમિતિના મોટાભાગના પ્રમેય તેમાંથી અથવા તેની મદદથી કાઢી શકાય છે. પાયથાગોરિયન પ્રમેય પણ નોંધપાત્ર છે કારણ કે તે પોતે જ સ્પષ્ટ નથી. ઉદાહરણ તરીકે, ગુણધર્મો સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણસીધા ડ્રોઇંગ પર જોઈ શકાય છે. પરંતુ તમે કાટકોણ ત્રિકોણને ગમે તેટલું જોશો, તમે ક્યારેય જોશો નહીં કે તેની બાજુઓ વચ્ચે એક સરળ સંબંધ છે: c2 = a2 + b2. તેથી, તેને સાબિત કરવા માટે ઘણીવાર વિઝ્યુલાઇઝેશનનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. પાયથાગોરસની યોગ્યતા એ હતી કે તેણે આ પ્રમેયનો સંપૂર્ણ વૈજ્ઞાનિક પુરાવો આપ્યો. આ પ્રમેય દ્વારા આકસ્મિક રીતે જેમની સ્મૃતિ સચવાઈ નથી, તે વૈજ્ઞાનિકનું વ્યક્તિત્વ રસપ્રદ છે. પાયથાગોરસ એક અદ્ભુત વક્તા, શિક્ષક અને શિક્ષક છે, તેની શાળાના આયોજક છે, જે સંગીત અને સંખ્યાઓની સુમેળ, દેવતા અને ન્યાય, જ્ઞાન અને તંદુરસ્ત છબીજીવન તે આપણા માટે, દૂરના વંશજો માટે ઉદાહરણ તરીકે સેવા આપી શકે છે.

ગ્રંથસૂચિ લિંક

પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો પુરાવો

આકૃતિઓના સમાન કદના ખ્યાલના ઉપયોગ પર આધારિત પુરાવા.

આ કિસ્સામાં, આપણે પુરાવાને ધ્યાનમાં લઈ શકીએ છીએ જેમાં આપેલ કાટકોણ ત્રિકોણના કર્ણ પર બનેલો ચોરસ બાજુઓ પર બાંધવામાં આવેલા ચોરસ જેવા જ આંકડાઓથી બનેલો છે. અમે એવા પુરાવાઓને પણ ધ્યાનમાં લઈ શકીએ છીએ જે આંકડાઓના સમન્ડની પુનઃ ગોઠવણીનો ઉપયોગ કરે છે અને સંખ્યાબંધ નવા વિચારોને ધ્યાનમાં લે છે.

ફિગ માં. 2 બે સમાન ચોરસ બતાવે છે. દરેક ચોરસની બાજુઓની લંબાઈ a + b છે. દરેક ચોરસને ચોરસ અને જમણા ત્રિકોણવાળા ભાગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે. તે સ્પષ્ટ છે કે જો a, b પગ સાથેના કાટકોણ ત્રિકોણનો ચતુર્થાંશ વિસ્તાર ચોરસના ક્ષેત્રફળમાંથી બાદ કરવામાં આવે, તો સમાન વિસ્તારો રહેશે, એટલે કે c 2 = a 2 + b 2 . જો કે, પ્રાચીન હિંદુઓ, જેમની પાસે આ તર્ક છે, તેઓ સામાન્ય રીતે તેને લખતા ન હતા, પરંતુ

ડ્રોઇંગ સાથે માત્ર એક જ શબ્દ છે: "જુઓ!" તે તદ્દન શક્ય છે કે પાયથાગોરસ સમાન સાબિતી ઓફર કરે છે.

ઉમેરણ પુરાવા.

આ પુરાવાઓ પગ પર બનેલા ચોરસના આકૃતિઓમાં વિઘટન પર આધારિત છે જેમાંથી વ્યક્તિ કર્ણો પર બાંધવામાં આવેલ ચોરસ ઉમેરી શકે છે.

આઈન્સ્ટાઈનનો પુરાવો (ફિગ. 3) 8 ત્રિકોણમાં કર્ણ પર બનેલા ચોરસના વિઘટન પર આધારિત છે.

અહીં: ABC એ કાટકોણ C સાથેનો કાટકોણ ત્રિકોણ છે; CÎMN; CK^MN; PO||MN; EF||MN.

પગ અને કર્ણ પર બાંધેલા ચોરસનું વિભાજન કરીને મેળવેલ ત્રિકોણની જોડી પ્રમાણે સમાનતા સ્વતંત્ર રીતે સાબિત કરો.

ફિગ માં. 4 એ યુક્લિડના તત્વો પર મધ્યયુગીન બગદાદ ટીકાકાર અલ-નાયરિઝિયાહના વિભાજનનો ઉપયોગ કરીને પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો પુરાવો દર્શાવે છે. આ પાર્ટીશનમાં, કર્ણો પર બનેલો ચોરસ 3 ત્રિકોણ અને 2 ચતુષ્કોણમાં વહેંચાયેલો છે. અહીં: ABC એ કાટકોણ C સાથેનો કાટકોણ ત્રિકોણ છે; DE = BF.

આ પાર્ટીશનનો ઉપયોગ કરીને પ્રમેય સાબિત કરો.

· અલ-નૈરિઝિયાહના પુરાવાના આધારે, જોડીમાં ચોરસનું બીજું વિઘટન હાથ ધરવામાં આવ્યું હતું સમાન આંકડા(ફિગ. 5, અહીં ABC એ કાટકોણ C સાથેનો કાટકોણ ત્રિકોણ છે).

· ચોરસને સમાન ભાગોમાં વિઘટન કરવાની પદ્ધતિ દ્વારા બીજો પુરાવો, જેને "બ્લેડ સાથેનું ચક્ર" કહેવાય છે, તે ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યું છે. 6. અહીં: ABC એ કાટકોણ C સાથેનો કાટકોણ ત્રિકોણ છે; O એ વિશાળ બાજુ પર બાંધવામાં આવેલા ચોરસનું કેન્દ્ર છે; બિંદુ O માંથી પસાર થતી ડોટેડ રેખાઓ કાટખૂણે અથવા કર્ણની સમાંતર હોય છે.

· ચોરસનું આ વિઘટન રસપ્રદ છે કારણ કે તેના જોડીમાં સમાન ચતુષ્કોણને સમાંતર અનુવાદ દ્વારા એકબીજા પર મેપ કરી શકાય છે. પાયથાગોરિયન પ્રમેયના અન્ય ઘણા પુરાવા ચોરસના વિઘટનનો ઉપયોગ કરીને આકૃતિઓમાં આપી શકાય છે.

બાંધકામ પદ્ધતિ દ્વારા પુરાવા.

આ પદ્ધતિનો સાર એ છે કે પગ પર બનેલા ચોરસમાં અને કર્ણો પર બાંધવામાં આવેલા ચોરસમાં સમાન આંકડાઓ એવી રીતે ઉમેરવામાં આવે છે કે સમાન આંકડાઓ પ્રાપ્ત થાય.

ફિગમાં. આકૃતિ 7 સામાન્ય પાયથાગોરિયન આકૃતિ બતાવે છે - તેની બાજુઓ પર બનેલા ચોરસ સાથેનો કાટકોણ ABC. ત્રિકોણ 1 અને 2 આ આકૃતિ સાથે જોડાયેલા છે, જે મૂળ જમણા ત્રિકોણની બરાબર છે.

પાયથાગોરિયન પ્રમેયની માન્યતા ષટ્કોણ AEDFPB અને ACBNMQ ના સમાન કદને અનુસરે છે. અહીં CÎEP, રેખા EP ષટ્કોણ AEDFPB ને બે સમાન-કદના ચતુષ્કોણમાં વિભાજિત કરે છે, રેખા CM ષટ્કોણ ACBNMQ ને બે સમાન-કદના ચતુષ્કોણમાં વિભાજિત કરે છે; પ્લેનને કેન્દ્ર Aની આસપાસ 90° ફેરવવું એ ચતુષ્કોણ ACMQ પર ચતુષ્કોણ AEPB ને નકશા બનાવે છે.

ફિગમાં. 8 પાયથાગોરિયન આકૃતિલંબચોરસમાં પૂર્ણ થાય છે, જેની બાજુઓ પગ પર બાંધવામાં આવેલા ચોરસની અનુરૂપ બાજુઓની સમાંતર હોય છે. ચાલો આ લંબચોરસને ત્રિકોણ અને લંબચોરસમાં વિભાજીત કરીએ. પરિણામી લંબચોરસમાંથી, આપણે સૌપ્રથમ બધા બહુકોણ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 બાદ કરીએ છીએ, કર્ણો પર બાંધવામાં આવેલ ચોરસ છોડીને. પછી એ જ લંબચોરસમાંથી આપણે લંબચોરસ 5, 6, 7 અને છાંયેલા લંબચોરસને બાદ કરીએ, આપણને પગ પર ચોરસ બાંધવામાં આવે છે.

હવે આપણે સાબિત કરીશું કે પ્રથમ કેસમાં બાદબાકી કરાયેલા આંકડાઓ બીજા કિસ્સામાં બાદબાકી કરાયેલા આંકડાના કદમાં સમાન છે.

· ચોખા. 9 નાસીર-એદ-દિન (1594) દ્વારા આપવામાં આવેલ પુરાવાને દર્શાવે છે. અહીં: PCL - સીધી રેખા;

KLOA = ACPF = ACED = a 2 ;

LGBO = CBMP = CBNQ = b 2 ;

AKGB = AKLO + LGBO = c2;

તેથી c 2 = a 2 + b 2 .

ચોખા. આકૃતિ 11 હોફમેન દ્વારા પ્રસ્તાવિત અન્ય વધુ મૂળ સાબિતી દર્શાવે છે.

અહીં: કાટકોણ C સાથે ત્રિકોણ ABC; સેગમેન્ટ BF એ CB ને લંબ છે અને તેની બરાબર છે, સેગમેન્ટ BE એ AB ને લંબ છે અને તેની બરાબર છે, સેગમેન્ટ AD એ AC ને લંબ છે અને તેની બરાબર છે; પોઈન્ટ F, C, D સમાન રેખાના છે; ચતુર્ભુજ ADFB અને ACBE કદમાં સમાન છે, કારણ કે ABF=ECB; ત્રિકોણ ADF અને ACE કદમાં સમાન છે; બંને સમાન ચતુષ્કોણમાંથી તેમના માટે સામાન્ય ABC ત્રિકોણ બાદ કરીએ તો આપણને મળે છે

સાબિતીની બીજગણિત પદ્ધતિ.

· ચોખા. 12 મહાન ભારતીય ગણિતશાસ્ત્રી ભાસ્કરી (લીલાવતી, 12મી સદીના પ્રસિદ્ધ લેખક)ની સાબિતી દર્શાવે છે. ચિત્રની સાથે માત્ર એક જ શબ્દ હતો: જુઓ! પાયથાગોરિયન પ્રમેયના પુરાવાઓમાં બીજગણિત પદ્ધતિસમાનતાનો ઉપયોગ કરીને સાબિતી દ્વારા પ્રથમ સ્થાન (કદાચ સૌથી જૂનું) કબજે કરવામાં આવ્યું છે.

ચાલો આપણે આધુનિક પ્રસ્તુતિમાં પાયથાગોરસના આ પુરાવાઓમાંથી એક રજૂ કરીએ.

ફિગ માં. 13 ABC – લંબચોરસ, C – જમણો ખૂણો, CM^AB, b1 – લેગ b નું કર્ણ પર પ્રક્ષેપણ, a1 – લેગ a નું કર્પોટેન્યુસ પર પ્રક્ષેપણ, h – કર્ણાકાર તરફ દોરવામાં આવેલ ત્રિકોણની ઊંચાઈ.

DABC એ DACM જેવું જ છે તે હકીકત પરથી તે અનુસરે છે

b 2 = cb 1 ; (1)

હકીકત એ છે કે DABC એ DBCM જેવું જ છે તે અનુસરે છે

a 2 = ca 1 . (2)

સમાનતાઓ (1) અને (2) શબ્દ દ્વારા પદ ઉમેરીને, આપણે 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = c(b 1 + a 1) = c 2 મેળવીએ છીએ.

જો પાયથાગોરસ ખરેખર આવા પુરાવાની દરખાસ્ત કરે છે, તો તે સંખ્યાબંધ મહત્વપૂર્ણ ભૌમિતિક પ્રમેયથી પણ પરિચિત હતા જે આધુનિક ઇતિહાસકારોગણિતશાસ્ત્રીઓ સામાન્ય રીતે યુક્લિડને આભારી છે.

મોહેલમેનનો પુરાવો (ફિગ. 14).

આપેલ જમણા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ, એક તરફ, બીજી બાજુ સમાન છે, જ્યાં p એ ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ છે, r એ તેમાં અંકિત થયેલ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે:

જ્યાંથી તે c2=a2+b2 ને અનુસરે છે.

ગારફિલ્ડનો પુરાવો.

આકૃતિ 15 માં, ત્રણ જમણા ત્રિકોણ એક ટ્રેપેઝોઇડ બનાવે છે. તેથી, વિસ્તાર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આ આકૃતિનો વિસ્તાર શોધી શકાય છે લંબચોરસ ટ્રેપેઝોઇડ, અથવા ત્રણ ત્રિકોણના ક્ષેત્રોના સરવાળા તરીકે. પ્રથમ કિસ્સામાં, આ વિસ્તાર સમાન છે

બીજામાં

આ અભિવ્યક્તિઓને સમાન કરીને, આપણે પાયથાગોરિયન પ્રમેય મેળવીએ છીએ.

પાયથાગોરિયન પ્રમેયના ઘણા પુરાવા છે, જે વર્ણવેલ દરેક પદ્ધતિ દ્વારા અથવા વિવિધ પદ્ધતિઓના સંયોજનનો ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવે છે. વિવિધ પુરાવાઓના ઉદાહરણોની સમીક્ષાને સમાપ્ત કરીને, અમે યુક્લિડના તત્વો (ફિગ. 16 - 23) માં સંદર્ભિત આઠ પદ્ધતિઓનું વર્ણન કરતા વધુ રેખાંકનો રજૂ કરીએ છીએ. આ રેખાંકનોમાં, પાયથાગોરિયન આકૃતિને નક્કર રેખા સાથે દર્શાવવામાં આવી છે, અને વધારાના બાંધકામો ડોટેડ લાઇન સાથે દર્શાવવામાં આવ્યા છે.

ઉપર સૂચવ્યા મુજબ, પ્રાચીન ઇજિપ્તવાસીઓ, 2000 કરતાં વધુ વર્ષ પહેલાં, કાટકોણ બાંધવા માટે 3, 4, 5 બાજુઓવાળા ત્રિકોણના ગુણધર્મોનો વ્યવહારિક રીતે ઉપયોગ કરતા હતા, એટલે કે, તેઓ વાસ્તવમાં પાયથાગોરિયન પ્રમેયની વિરુદ્ધ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા હતા. ચાલો ત્રિકોણની સમાનતાના માપદંડના આધારે આ પ્રમેયનો પુરાવો રજૂ કરીએ (એટલે ​​​​કે, જે શાળામાં ખૂબ જ શરૂઆતમાં રજૂ કરી શકાય છે). તેથી પક્ષો દો ત્રિકોણ ABC(ફિગ. 24) સંબંધ દ્વારા સંબંધિત છે

c 2 = a 2 + b 2 . (3)

ચાલો સાબિત કરીએ કે આ ત્રિકોણ કાટખૂણે છે.

ચાલો બે પગ સાથે એક કાટકોણ ત્રિકોણ A1B1C1 બનાવીએ, જેની લંબાઈ પગ a અને b ની લંબાઈ જેટલી હોય. આપેલ ત્રિકોણ(ફિગ. 25).

બાંધેલા ત્રિકોણના કર્ણની લંબાઈ c1 જેટલી થવા દો. બાંધવામાં આવેલ ત્રિકોણ કાટખૂણે છે, તો પાયથાગોરિયન પ્રમેય દ્વારા આપણી પાસે છે: c 1 2 = a 2 + b 2. (4)

સંબંધો (3) અને (4) ની સરખામણી કરીને, આપણે તે મેળવીએ છીએ

c 1 2 = c 2, અથવા c 1 = c.

આમ, ત્રિકોણ - આપેલ અને બાંધેલા - સમાન છે, કારણ કે તેમની પાસે અનુક્રમે ત્રણ છે સમાન બાજુઓ. કોણ C1 સાચો છે, તેથી આ ત્રિકોણનો કોણ C પણ બરાબર છે.

વિઘટન પદ્ધતિ દ્વારા પુરાવો

પાયથાગોરિયન પ્રમેયના અસંખ્ય પુરાવા છે જેમાં પગ અને કર્ણ પર બાંધવામાં આવેલા ચોરસ કાપવામાં આવે છે જેથી કર્ણો પર બનેલા ચોરસનો દરેક ભાગ પગ પર બનેલા ચોરસમાંથી એક ભાગને અનુરૂપ હોય. આ બધા કિસ્સાઓમાં, ડ્રોઇંગ પરની એક નજર પુરાવાને સમજવા માટે પૂરતી છે; અહીંનો તર્ક એક શબ્દ પૂરતો મર્યાદિત હોઈ શકે છે: “જુઓ!”, જેમ કે પ્રાચીન હિંદુ ગણિતશાસ્ત્રીઓના લખાણોમાં કરવામાં આવ્યું હતું. જો કે, એ નોંધવું જોઈએ કે જ્યાં સુધી આપણે બધા અનુરૂપ ભાગોની સમાનતા સાબિત ન કરીએ ત્યાં સુધી હકીકતમાં પુરાવાને સંપૂર્ણ ગણી શકાય નહીં. આ કરવું લગભગ હંમેશા એકદમ સરળ હોય છે, પરંતુ તે કરી શકે છે (ખાસ કરીને જો મોટી માત્રામાંભાગો) ખૂબ કામની જરૂર છે.

એપસ્ટેઇનનો પુરાવો

ચાલો એપસ્ટેઇનના પુરાવા (ફિગ. 1) સાથે પ્રારંભ કરીએ; તેનો ફાયદો એ છે કે અહીં ઘટકોવિઘટનમાં ફક્ત ત્રિકોણનો સમાવેશ થાય છે. ડ્રોઇંગને સમજવા માટે, નોંધ કરો કે સીધી લીટીની સીડી સીધી રેખા EF પર કાટખૂણે દોરેલી છે.

ત્રિકોણમાં વિઘટન આકૃતિ કરતાં વધુ દ્રશ્ય બનાવી શકાય છે.

નીલ્સનનો પુરાવો.

આકૃતિમાં, નિલ્સનના સૂચન અનુસાર સહાયક રેખાઓમાં ફેરફાર કરવામાં આવ્યો છે.

બોટચરનો પુરાવો.

આકૃતિ ખૂબ જ સ્પષ્ટ Bötcher વિઘટન દર્શાવે છે.

પેરીગલનો પુરાવો.

પાઠ્યપુસ્તકોમાં વ્યક્તિ ઘણીવાર આકૃતિમાં દર્શાવેલ વિઘટનનો સામનો કરે છે (કહેવાતા "બ્લેડ સાથેનું ચક્ર"; આ સાબિતી પેરીગલ દ્વારા મળી હતી). મોટા પગ પર બાંધવામાં આવેલા ચોરસના કેન્દ્ર O દ્વારા, આપણે કર્ણોની સમાંતર અને કાટખૂણે સીધી રેખાઓ દોરીએ છીએ. આકૃતિના ભાગોનો પત્રવ્યવહાર ડ્રોઇંગમાંથી સ્પષ્ટપણે દેખાય છે.

ગુથેલનો પુરાવો.

આકૃતિમાં દર્શાવેલ વિઘટન ગુથેલને કારણે છે; તે સ્પષ્ટ વ્યવસ્થા દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે વ્યક્તિગત ભાગો, જે તમને તરત જ જોવાની મંજૂરી આપે છે કે સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણના કિસ્સામાં કઈ સરળતા આવશે.

9મી સદી એડીથી પુરાવા

અગાઉ, ફક્ત આવા પુરાવાઓ રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા જેમાં એક તરફ, કર્ણો પર બાંધવામાં આવેલ ચોરસ અને બીજી બાજુ, પગ પર બાંધવામાં આવેલા ચોરસ સમાન ભાગોથી બનેલા હતા. આવા પુરાવાઓને ઉમેરણ દ્વારા સાબિતી ("એડિટિવ પ્રૂફ") અથવા વધુ સામાન્ય રીતે, વિઘટન દ્વારા સાબિતી કહેવામાં આવે છે. અત્યાર સુધી, આપણે ત્રિકોણની અનુરૂપ બાજુઓ પર બાંધવામાં આવેલા ચોરસની સામાન્ય ગોઠવણીથી આગળ વધીએ છીએ, એટલે કે ત્રિકોણની બહાર. જો કે, ઘણા કિસ્સાઓમાં ચોરસની અલગ ગોઠવણી વધુ ફાયદાકારક છે.

આકૃતિમાં, પગ પર બાંધવામાં આવેલા ચોરસને એક બીજાની બાજુમાં, પગલાઓમાં મૂકવામાં આવે છે. આ આંકડો, જે 9મી સદી એડી કરતાં પાછળના સમયના પુરાવામાં દેખાય છે. ઇ., હિંદુઓ તેને "કન્યાની ખુરશી" કહે છે. એક બાજુ સાથે ચોરસ બાંધવાની પદ્ધતિ કર્ણ સમાન, ચિત્રમાંથી સ્પષ્ટ છે. સામાન્ય ભાગપગ પર બનેલા બે ચોરસ અને કર્ણ પર બનેલો ચોરસ - અનિયમિત છાંયડો પેન્ટાગોન 5. તેની સાથે ત્રિકોણ 1 અને 2 જોડીને, આપણે પગ પર બનેલા બંને ચોરસ મેળવીએ છીએ; જો આપણે ત્રિકોણ 1 અને 2 ને સમાન ત્રિકોણ 3 અને 4 થી બદલીએ, તો આપણને કર્ણો પર બનેલો ચોરસ મળે છે. નીચેના ચિત્રો બે બતાવે છે વિવિધ સ્થળોપ્રથમ આકૃતિમાં આપેલ એકની નજીક.

ઉમેરા દ્વારા પુરાવાઓ

સાબિતી એક.

ઉમેરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સાબિતીઓની સાથે, તમે બાદબાકીનો ઉપયોગ કરીને પુરાવાના ઉદાહરણો આપી શકો છો, જેને ઉમેરણ પદ્ધતિ દ્વારા સાબિતી પણ કહેવાય છે. આવા પુરાવાઓનો સામાન્ય વિચાર નીચે મુજબ છે.

બે થી સમાન વિસ્તારોતમારે સમાન ભાગોને બાદ કરવાની જરૂર છે જેથી એક કિસ્સામાં પગ પર બે ચોરસ બનેલા રહે, અને બીજામાં - કર્ણ પર બાંધવામાં આવેલ ચોરસ. છેવટે, જો સમાનતામાં

B-A=C અને B 1 -A 1 =C 1

ભાગ A ભાગ A 1 ના કદમાં સમાન છે, અને ભાગ B કદમાં B 1 ના સમાન છે, પછી ભાગો C અને C 1 પણ કદમાં સમાન છે.

ચાલો આ પદ્ધતિને ઉદાહરણ સાથે સમજાવીએ. ફિગ માં. સામાન્ય પાયથાગોરિયન આકૃતિમાં, ત્રિકોણ 2 અને 3 ઉપર અને નીચે જોડાયેલા છે, મૂળ ત્રિકોણ 1 ની સમાન છે. સીધી રેખા DG ચોક્કસપણે Cમાંથી પસાર થશે. હવે આપણે નોંધ લઈશું (આપણે પછીથી સાબિત કરીશું) કે ષટ્કોણ DABGFE અને CAJKHB છે. કદમાં સમાન. જો આપણે તેમાંથી પ્રથમ ત્રિકોણ 1 અને 2 બાદ કરીએ, તો આપણી પાસે બાજુઓ પર બનેલા ચોરસ બાકી રહેશે, અને જો આપણે બીજા ષટ્કોણમાંથી બાદબાકી કરીશું. સમાન ત્રિકોણ 1 અને 3, પછી કર્ણો પર બાંધવામાં આવેલ ચોરસ હશે. તે આનાથી અનુસરે છે કે કર્ણો પર બાંધવામાં આવેલ ચોરસ પગ પર બાંધવામાં આવેલા ચોરસના સરવાળા સમાન છે.

તે સાબિત કરવાનું બાકી છે કે આપણા ષટ્કોણ કદમાં સમાન છે. નોંધ કરો કે રેખા DG ઉપલા ષટ્કોણને સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે; સીધી રેખા CK અને નીચલા ષટ્કોણ વિશે પણ એવું જ કહી શકાય. ચાલો ચતુષ્કોણ DABG ને ફેરવીએ, જે ષટ્કોણ DABGFE નો અડધો ભાગ છે, બિંદુ A ની આસપાસ 90 ના ખૂણા પર ઘડિયાળની દિશામાં ફેરવીએ; પછી તે ચતુર્ભુજ CAJK સાથે એકરુપ થશે, જે ષટ્કોણ CAJKHB નો અડધો ભાગ છે. તેથી, હેક્સાગોન્સ DABGFE અને CAJKHB કદમાં સમાન છે.

બાદબાકી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને બીજો પુરાવો.

ચાલો બાદબાકી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને બીજો પુરાવો જોઈએ. ચાલો આપણે પાયથાગોરિયન પ્રમેયના પરિચિત ચિત્રને લંબચોરસ ફ્રેમમાં બંધ કરીએ, જેની બાજુઓની દિશાઓ ત્રિકોણના પગની દિશાઓ સાથે સુસંગત છે. ચાલો આકૃતિમાં દર્શાવેલ આકૃતિના કેટલાક ભાગોને ચાલુ રાખીએ, જ્યારે લંબચોરસ ઘણા ત્રિકોણ, લંબચોરસ અને ચોરસમાં વિભાજીત થાય છે. ચાલો પહેલા લંબચોરસમાંથી ઘણા ભાગોને દૂર કરીએ જેથી કરીને માત્ર કર્ણો પર બાંધવામાં આવેલ ચોરસ જ રહે. આ ભાગો નીચે મુજબ છે.

1. ત્રિકોણ 1, 2, 3, 4;

2. લંબચોરસ 5;

3. લંબચોરસ 6 અને ચોરસ 8;

4. લંબચોરસ 7 અને ચોરસ 9;

પછી અમે લંબચોરસમાંથી ભાગોને ફેંકી દઈએ છીએ જેથી ફક્ત કેટાટા પર બાંધવામાં આવેલા ચોરસ જ રહે. આ ભાગો હશે:

1. લંબચોરસ 6 અને 7;

2. લંબચોરસ 5;

3. લંબચોરસ 1 (શેડેડ);

4. લંબચોરસ 2 (શેડેડ);

અમારે માત્ર એટલું જ બતાવવાનું છે કે દૂર લીધેલા ભાગો કદમાં સમાન છે. આકૃતિઓની ગોઠવણીને કારણે આ જોવાનું સરળ છે. આકૃતિ પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે:

1. લંબચોરસ 5 તેના કદમાં સમાન છે;

2. ચાર ત્રિકોણ 1,2,3,4 બે લંબચોરસ 6 અને 7 ના કદમાં સમાન છે;

3. લંબચોરસ 6 અને ચોરસ 8, એકસાથે લેવામાં આવે છે, તે લંબચોરસ 1 (શેડવાળા) ના કદમાં સમાન છે;

4. લંબચોરસ 7 ચોરસ 9 સાથે મળીને લંબચોરસ 2 (શેડેડ) ના કદમાં સમાન છે;

પુરાવો સંપૂર્ણ છે.

અન્ય પુરાવા

યુક્લિડનો પુરાવો

આ પુરાવો યુક્લિડે તેના એલિમેન્ટ્સમાં આપ્યો હતો. પ્રોક્લસ (બાયઝેન્ટિયમ) અનુસાર, તેની શોધ યુક્લિડે પોતે કરી હતી. યુક્લિડનો પુરાવો એલિમેન્ટ્સના પ્રથમ પુસ્તકના વાક્ય 47 માં આપવામાં આવ્યો છે.

અનુરૂપ ચોરસ જમણા ત્રિકોણ ABC ના કર્ણ અને પગ પર બાંધવામાં આવે છે અને તે સાબિત થાય છે કે લંબચોરસ BJLD ચોરસ ABFH બરાબર છે, અને લંબચોરસ ICEL ચોરસ ACCC બરાબર છે. પછી પગ પરના ચોરસનો સરવાળો કર્ણો પરના ચોરસ જેટલો થશે.

વાસ્તવમાં, ત્રિકોણ ABD અને BFC બે બાજુઓ અને તેમની વચ્ચેનો કોણ સમાન છે:

FB = AB, BC = BD

RFBC = d + PABC = PABD

SABD = 1/2 S BJLD,

ત્રિકોણ ABD અને લંબચોરસ BJLD થી સામાન્ય જમીન BD અને એકંદર ઊંચાઈ LD. તેવી જ રીતે

(BF-સામાન્ય આધાર, AB-સામાન્ય ઊંચાઈ). તેથી, તે ધ્યાનમાં લેતા

એ જ રીતે, VSK અને ACE ત્રિકોણની સમાનતાનો ઉપયોગ કરીને, તે સાબિત થાય છે

SABFH+SACKG= SBJLD+SJCEL= SBCED,

Q.E.D.

હોકિન્સનો પુરાવો.

ચાલો આપણે એક વધુ સાબિતી આપીએ, જે પ્રકૃતિમાં ગણતરીત્મક છે, પરંતુ અગાઉના બધા કરતાં ખૂબ જ અલગ છે. તે 1909 માં અંગ્રેજ હોકિન્સ દ્વારા પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યું હતું; તે પહેલાં જાણીતું હતું કે કેમ તે કહેવું મુશ્કેલ છે.

કાટકોણ ત્રિકોણ ABC ને કાટકોણ C સાથે 90° ફેરવો જેથી તે A"CB" પોઝિશન લે. ચાલો આપણે A"B" ભૂતકાળના બિંદુ A" ને D બિંદુ પર રેખા AB સાથે છેદે ત્યાં સુધી લંબાવીએ. સેગમેન્ટ B"D એ ત્રિકોણ B"AB" ની ઊંચાઈ હશે. ચાલો હવે છાયાવાળા ચતુષ્કોણ A"AB"B ને ધ્યાનમાં લઈએ. તે બે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ CAA" અને SVV" (અથવા બે ત્રિકોણ A"B"A અને A"B"B માં વિઘટિત થઈ શકે છે.

પાયથાગોરસે 100 બળદોનું બલિદાન આપ્યું. વ્યંગચિત્રો પુરાવો પ્રમેય પાયથાગોરસ... કર્ણ સરવાળો સમાનપગના ચોરસ ( પ્રમેય પાયથાગોરસ).પુરાવો:1. ચાલો સાબિત કરીએ કે લંબચોરસ BJLD બરાબર છે...

ઇતિહાસ તરફ વળવું, જો કે પાયથાગોરિયન પ્રમેય પાયથાગોરસનું નામ ધરાવે છે, તે તે વ્યક્તિ ન હતા જેમણે તેની શોધ કરી હતી. કારણ કે ખાસ ગુણધર્મો લંબચોરસ લંબચોરસવિજ્ઞાનીઓએ તેમના કરતા ઘણા વહેલા અભ્યાસ કરવાનું શરૂ કર્યું. જો કે, ત્યાં બે નિવેદનો છે. પ્રથમ કહે છે કે પાયથાગોરસ પ્રમેય સાબિત કરે છે. બીજું, તે મુજબ, તે તે નથી. આ ક્ષણે, આમાંથી કયો અભિપ્રાય સાચો છે તે ચકાસવું અશક્ય છે, પરંતુ કમનસીબે, જો પાયથાગોરસનો પુરાવો હતો, તો તે આપણા સમય સુધી ટકી શક્યો નહીં. એવો પણ અભિપ્રાય છે કે યુક્લિડ દ્વારા બનાવેલ પુરાવો પાયથાગોરસ દ્વારા બનાવવામાં આવ્યો હતો અને યુક્લિડે તેને જાહેર કર્યો હતો.
નિઃશંકપણે ઇજિપ્તમાં રાજાઓના શાસન દરમિયાન, જમણા ત્રિકોણ સાથે પ્રશ્નો ઉભા થયા. તેણે બેબીલોનના ઇતિહાસમાં પણ ભાગ લીધો હતો. જેના પરથી આપણે એવું તારણ કાઢી શકીએ આ પ્રમેય, પ્રાચીન સમયથી રસ જગાડ્યો છે. હાલમાં 367 જુદા જુદા પુરાવા છે. એવી વસ્તુ જેની અન્ય કોઈ પ્રમેય બડાઈ કરી શકે નહીં.

નોંધ: જો તમે લેબોરેટરી ફર્નિચર શોધી રહ્યા છો અથવા ફક્ત ફ્યુમ હૂડ ખરીદવા માંગો છો (http://www.labmet.ru/shkafy-vytyazhnye.html). આ લિંકને અનુસરો અને તમને જોઈતી દરેક વસ્તુ ખરીદો. ગુણવત્તા ગેરંટી!

ચાલો મુખ્ય પુરાવા જોઈએ.

1 પાયથાગોરિયન પ્રમેય સાબિતી.

એવું માનવામાં આવે છે કે આ સરળ માર્ગ. તે નિયમિત ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરે છે.

જો આપણે સમદ્વિબાજુ લંબચોરસ લઈએ ત્રિકોણ ABC, કર્ણ AC થી આપણે 4 સમાન ત્રિકોણ ધરાવતો ચોરસ બનાવી શકીએ છીએ. પગ AB અને BC નો ઉપયોગ કરીને, ચોરસ બનાવવામાં આવે છે જેમાં સમાન ત્રિકોણમાંથી વધુ બે હોય છે.

2 પાયથાગોરિયન પ્રમેય સાબિતી.

તે બીજગણિત અને ભૂમિતિ બંનેને જોડે છે. કાટકોણ ત્રિકોણ abc દોરો. અને a+b પગની બે લંબાઈના સમાન 2 ચોરસ. પછી આપણે આકૃતિ 2, 3 ની જેમ બાંધકામ કરીશું. પરિણામે, આપણને બાજુઓ a અને b સાથે બે ચોરસ મળે છે. બીજા ચોરસમાં 4 ત્રિકોણ હોય છે, આમ કર્ણો c ના બરાબર ચોરસ બનાવે છે. હું શું આશ્ચર્ય કુલ વિસ્તારફિગ માં ચોરસ. 2, 3 એકબીજાના સમાન છે.
અમને મળેલ સૂત્રમાં દરેક વસ્તુનો સારાંશ. a 2 + b 2 = (a + b) 2 - 4 * 1/2 * a * b. કૌંસ ખોલવાથી આપણને 2 +b 2 = a 2 +b 2 મળે છે. ફિગ 3 ના ક્ષેત્રફળની ગણતરી S = c 2 અથવા a 2 + b 2 = c 2 .h.t.d.


3 પાયથાગોરિયન પ્રમેય સાબિતી.

12મી સદીમાં પ્રાચીન ભારતમાં પુરાવા મળ્યા.

ચાલો એક ચોરસમાં 4 ત્રિકોણ (લંબચોરસ) બનાવીએ. કર્ણોની બાજુ c હશે, ત્રિકોણમાં પગ a અને b છે. અમે મોટા ચોરસના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરીએ છીએ - S=c 2, અને આંતરિક
(a-b) 2 2 +4 * 1/2 * a * b. જેમાંથી આપણે તારણ કાઢીએ છીએ કે c 2 = (a-b) 2 2+ 4 * 1/2 * a * b, અને તેથી, c 2 = a 2 + b 2.

4 પાયથાગોરિયન પ્રમેય સાબિતી.

ભૂમિતિના આધારે, તેને ગારફિલ્ડ પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે. કાટકોણ ત્રિકોણ ABC બાંધવાથી, આપણે સાબિતી મેળવીશું કે BC2 = AC2 + AB2 ચાલો લેગ AC ને ચાલુ રાખીએ, લેગ AB ની બરાબર સીડી બનાવીએ. સીધી રેખા અને ખૂણા E લંબરૂપને AD સાથે જોડવાથી આપણને ED મળે છે. સીધી રેખાઓ AC અને ED એકબીજાની સમાન છે.

પુરાવા માટે આ ક્રિયાના, અમે આ સમીકરણોને સમકક્ષ કરીને બે પદ્ધતિઓનો પણ ઉપયોગ કરીશું.
બહુકોણ ABED નો વિસ્તાર શોધો. ત્યારથી AB=CD, AC=ED, BC=CE, તો S ABED = 2*1/2 (AB*AC)+ 1/2 BC 2.
આપણે જોઈએ છીએ કે ABCD એ ટ્રેપેઝોઈડ છે. આનો અર્થ છે S ABCD = (DE+AB)*1/2AD.
ચાલો આ પદ્ધતિઓની એકસાથે કલ્પના કરીએ અને તેમને સમાન કરીએ:
AB*AC+ 1/2 BC 2 = (DE+AB)*1/2(AC+CD).
ચાલો AB*AC +1/2ВС 2 = 1/2(AB+AC) 2 ને સરળ બનાવીએ.
કૌંસ ખોલવાથી આપણને મળે છે: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC+2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2.
પરિણામ: BC 2 = AC 2 + AB 2. વગેરે

પાયથાગોરિયન પ્રમેયને સાબિત કરવાની આ બધી રીતો નથી, પરંતુ મુખ્ય છે.

આસપાસ અને આસપાસ

સૌ પ્રથમ, સંપૂર્ણતા માટે, હું અહીં પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો પુરાવો રજૂ કરવા માંગુ છું, જે મારા મતે, સૌથી ભવ્ય અને સ્પષ્ટ છે. ઉપરનું ચિત્ર બે સરખા ચોરસ બતાવે છે: ડાબે અને જમણે. તે આકૃતિમાંથી જોઈ શકાય છે કે ડાબી અને જમણી બાજુએ છાંયેલા આકૃતિઓના ક્ષેત્રો સમાન છે, કારણ કે દરેક મોટા ચોરસમાં 4 સમાન જમણા ત્રિકોણ છાંયો છે. આનો અર્થ એ છે કે ડાબી અને જમણી બાજુના અનશેડ (સફેદ) વિસ્તારો પણ સમાન છે. અમે નોંધીએ છીએ કે પ્રથમ કિસ્સામાં અનશેડ આકૃતિનો વિસ્તાર બરાબર છે, અને બીજા કિસ્સામાં અનશેડ પ્રદેશનો વિસ્તાર બરાબર છે. આમ, . પ્રમેય સાબિત થાય છે!

આ નંબરો પર કેવી રીતે કૉલ કરવો? તમે તેમને ત્રિકોણ કહી શકતા નથી, કારણ કે ચાર સંખ્યાઓ ત્રિકોણ બનાવી શકતી નથી. અને અહીં! વાદળીમાંથી બોલ્ટની જેમ

સંખ્યાઓના આવા ચાર ગણા હોવાથી, તેનો અર્થ એ છે કે આ સંખ્યાઓમાં પ્રતિબિંબિત સમાન ગુણધર્મો સાથે ભૌમિતિક પદાર્થ હોવો જોઈએ!

હવે આ મિલકત માટે અમુક ભૌમિતિક ઑબ્જેક્ટ પસંદ કરવાનું બાકી છે, અને બધું જ જગ્યાએ આવી જશે! અલબત્ત, ધારણા સંપૂર્ણપણે અનુમાનિત હતી અને તેના સમર્થનમાં કોઈ આધાર નહોતો. પણ આવું હોય તો શું!

વસ્તુઓની પસંદગી શરૂ થઈ ગઈ છે. તારાઓ, બહુકોણ, નિયમિત, અનિયમિત, કાટકોણ, અને તેથી વધુ અને આગળ. ફરીથી કંઈપણ બંધબેસતું નથી. શું કરવું? અને આ ક્ષણે શેરલોકને તેની બીજી લીડ મળે છે.

આપણે કદ વધારવાની જરૂર છે! ત્રણ એક પ્લેન પરના ત્રિકોણને અનુરૂપ હોવાથી, ચાર ત્રિ-પરિમાણીય કંઈકને અનુરૂપ છે!

ઓહ ના! ઘણા બધા વિકલ્પો ફરીથી! અને ત્રણ પરિમાણોમાં ઘણું બધું છે, ઘણા વધુ પ્રકારના ભૌમિતિક સંસ્થાઓ. તે બધામાંથી પસાર થવાનો પ્રયાસ કરો! પરંતુ તે બધા ખરાબ નથી. એક કાટકોણ અને અન્ય કડીઓ પણ છે! આપણી પાસે શું છે? સંખ્યાઓના ઇજિપ્તીયન ચોક્કા (જો તે ઇજિપ્તીયન હોય, તો પણ તેને કંઈક કહેવા જોઈએ), એક કાટકોણ (અથવા કોણ) અને ચોક્કસ ત્રિ-પરિમાણીય પદાર્થ. કપાત કામ કર્યું! અને... હું માનું છું કે સમજદાર વાચકો એ પહેલાથી જ સમજી ગયા છે અમે વાત કરી રહ્યા છીએપિરામિડ વિશે જેમાં શિરોબિંદુઓમાંથી એક પર ત્રણેય ખૂણા સાચા હોય છે. તમે તેમને કૉલ પણ કરી શકો છો લંબચોરસ પિરામિડકાટકોણ ત્રિકોણ જેવું.

નવો પ્રમેય

ચિત્ર શરૂઆતમાં ટોચ સાથે પિરામિડ બતાવે છે લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ્સ(પિરામિડ તેની બાજુ પર પડેલો હોય તેવું લાગે છે). પિરામિડની રચના ત્રણ પરસ્પર લંબ વેક્ટર દ્વારા કરવામાં આવે છે, જે મૂળમાંથી રચાયેલ છે. સંકલન અક્ષો. એટલે કે, દરેક બાજુની ધારપિરામિડ એ મૂળમાં કાટકોણ ધરાવતો કાટકોણ છે. વેક્ટરના છેડા કટીંગ પ્લેનને વ્યાખ્યાયિત કરે છે અને પિરામિડનો આધાર ચહેરો બનાવે છે.

પ્રમેય

ત્યાં રહેવા દો લંબચોરસ પિરામિડ, ત્રણ પરસ્પર કાટખૂણે વેક્ટર દ્વારા રચાય છે, જેમાં પગના ચહેરાના વિસ્તારો - સમાન હોય છે, અને કર્ણ ચહેરાનો વિસ્તાર - છે. પછી

વૈકલ્પિક ફોર્મ્યુલેશન: ટેટ્રાહેડ્રલ પિરામિડ માટે, જેમાં એક શિરોબિંદુ પર તમામ સમતલ ખૂણાઓ સાચા હોય છે, બાજુના ચહેરાઓના ક્ષેત્રોના ચોરસનો સરવાળો આધારના ક્ષેત્રફળના ચોરસ જેટલો હોય છે.

અલબત્ત, જો સામાન્ય પાયથાગોરિયન પ્રમેય ત્રિકોણની બાજુઓની લંબાઈ માટે ઘડવામાં આવે છે, તો આપણું પ્રમેય પિરામિડની બાજુઓના વિસ્તારો માટે ઘડવામાં આવે છે. જો તમે થોડું વેક્ટર બીજગણિત જાણો છો તો આ પ્રમેયને ત્રણ પરિમાણોમાં સાબિત કરવું ખૂબ જ સરળ છે.

પુરાવો

ચાલો વેક્ટરની લંબાઈના સંદર્ભમાં વિસ્તારોને વ્યક્ત કરીએ.

ક્યાં.

ચાલો વેક્ટર્સ અને પર બાંધવામાં આવેલા સમાંતરગ્રામના અડધા વિસ્તાર તરીકે વિસ્તારની કલ્પના કરીએ

જેમ જાણીતું છે, વેક્ટર ઉત્પાદનબે વેક્ટર એ એક વેક્ટર છે જેની લંબાઈ સંખ્યાત્મક રીતે આ વેક્ટર પર બનેલા સમાંતરગ્રામના ક્ષેત્રફળ જેટલી હોય છે.
તેથી જ

આમ,

Q.E.D!

અલબત્ત, વ્યવસાયિક રીતે સંશોધનમાં રોકાયેલ વ્યક્તિ તરીકે, આ મારા જીવનમાં પહેલેથી જ એક કરતા વધુ વખત બન્યું છે. પરંતુ આ ક્ષણ સૌથી તેજસ્વી અને સૌથી યાદગાર હતી. મેં સંશોધકની લાગણીઓ, લાગણીઓ અને અનુભવોની સંપૂર્ણ શ્રેણીનો અનુભવ કર્યો. એક વિચારના જન્મથી, એક વિચારનું સ્ફટિકીકરણ, પુરાવાની શોધ - સંપૂર્ણ ગેરસમજ અને અસ્વીકાર સુધી કે મારા વિચારો મારા મિત્રો, પરિચિતો અને તે સમયે મને લાગતું હતું, આખું વિશ્વ. તે અનન્ય હતું! મને લાગ્યું કે હું ગેલિલિયો, કોપરનિકસ, ન્યૂટન, શ્રોડિન્જર, બોહર, આઈન્સ્ટાઈન અને બીજા ઘણા શોધકર્તાઓના પગરખાંમાં છું.

આફ્ટરવર્ડ

જીવનમાં, બધું ખૂબ સરળ અને વધુ નિષ્ક્રિય બન્યું. મને મોડું થયું... પણ કેટલું બધું! માત્ર 18 વર્ષની ઉંમર! ભયંકર લાંબા યાતના હેઠળ અને પ્રથમ વખત નહીં, ગૂગલે મને સ્વીકાર્યું કે આ પ્રમેય 1996 માં પ્રકાશિત થયો હતો!

ટેક્સાસ પ્રેસ દ્વારા પ્રકાશિત લેખ તકનીકી યુનિવર્સિટી. લેખકો, વ્યાવસાયિક ગણિતશાસ્ત્રીઓએ પરિભાષા રજૂ કરી (જે, માર્ગ દ્વારા, મોટાભાગે મારી સાથે એકરુપ છે) અને એક સામાન્ય પ્રમેય પણ સાબિત કર્યો જે એક કરતાં વધુ પરિમાણની જગ્યા માટે માન્ય છે. 3 થી વધુ પરિમાણોમાં શું થાય છે? બધું ખૂબ જ સરળ છે: ચહેરા અને વિસ્તારોને બદલે હાઇપરસર્ફેસ અને બહુપરીમાણીય વોલ્યુમો હશે. અને નિવેદન, અલબત્ત, સમાન રહેશે: બાજુના ચહેરાઓના વોલ્યુમના ચોરસનો સરવાળો આધારના જથ્થાના ચોરસ જેટલો છે - ફક્ત ચહેરાઓની સંખ્યા વધુ હશે, અને દરેકનું વોલ્યુમ તેમાંથી જનરેટીંગ વેક્ટરના અડધા ઉત્પાદન સમાન હશે. કલ્પના કરવી લગભગ અશક્ય છે! ફિલસૂફો કહે છે તેમ, એક જ વિચાર કરી શકે છે!

આશ્ચર્યજનક રીતે, જ્યારે મને ખબર પડી કે આવી પ્રમેય પહેલેથી જ જાણીતી છે, ત્યારે હું જરાય અસ્વસ્થ ન હતો. મારા આત્માની ઊંડાઈમાં ક્યાંક, મને શંકા હતી કે તે તદ્દન શક્ય છે કે હું પ્રથમ ન હતો, અને હું સમજી ગયો કે મારે હંમેશા આ માટે તૈયાર રહેવાની જરૂર છે. પરંતુ મને મળેલા ભાવનાત્મક અનુભવે મારામાં સંશોધકની ચિનગારી પ્રગટાવી, જે મને ખાતરી છે કે હવે ક્યારેય ઝાંખા નહીં પડે!

પી.એસ.

એક વિદ્વાન વાચકે ટિપ્પણીઓમાં એક લિંક મોકલી
ડી ગોઈસનું પ્રમેય

વિકિપીડિયામાંથી અવતરણ

1783 માં પેરિસ એકેડેમી ઓફ સાયન્સમાં પ્રમેય રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રીજે.-પી. ડી ગોઈસ, પરંતુ તે અગાઉ રેને ડેસકાર્ટેસ અને તેના પહેલા જોહાન ફુલ્ગેબરને જાણીતું હતું, જે કદાચ 1622માં તેને શોધનાર પ્રથમ વ્યક્તિ હતા. વધુ માં સામાન્ય દૃશ્યચાર્લ્સ ટિન્સોલ્ટ (ફ્રેન્ચ) દ્વારા 1774માં પેરિસ એકેડેમી ઓફ સાયન્સના અહેવાલમાં પ્રમેય ઘડવામાં આવ્યો હતો.

તેથી હું 18 વર્ષ મોડો ન હતો, પરંતુ ઓછામાં ઓછી બે સદીઓ મોડો હતો!

સ્ત્રોતો

વાચકોએ ટિપ્પણીઓમાં ઘણા સૂચવ્યા ઉપયોગી લિંક્સ. અહીં આ અને કેટલીક અન્ય લિંક્સ છે:

એક બાબતની તમે સો ટકા ખાતરી કરી શકો છો કે જ્યારે પૂછવામાં આવ્યું કે કર્ણોનો વર્ગ શું છે, ત્યારે કોઈપણ પુખ્ત વ્યક્તિ હિંમતભેર જવાબ આપશે: "પગના ચોરસનો સરવાળો." આ પ્રમેય દરેકના મનમાં નિશ્ચિતપણે વસેલો છે. શિક્ષિત વ્યક્તિ, પરંતુ તમારે ફક્ત કોઈને તે સાબિત કરવા માટે કહેવું છે, અને મુશ્કેલીઓ ઊભી થઈ શકે છે. તો ચાલો યાદ કરીએ અને ધ્યાનમાં લઈએ અલગ અલગ રીતેપાયથાગોરિયન પ્રમેયનો પુરાવો.

સંક્ષિપ્ત જીવનચરિત્ર

પાયથાગોરિયન પ્રમેય લગભગ દરેકને પરિચિત છે, પરંતુ કેટલાક કારણોસર તે વ્યક્તિનું જીવનચરિત્ર જેણે તેને વિશ્વમાં લાવ્યું તે એટલું લોકપ્રિય નથી. આ સુધારી શકાય છે. તેથી, પાયથાગોરસના પ્રમેયને સાબિત કરવાની વિવિધ રીતો શોધતા પહેલા, તમારે તેમના વ્યક્તિત્વને સંક્ષિપ્તમાં જાણવાની જરૂર છે.

પાયથાગોરસ - ફિલસૂફ, ગણિતશાસ્ત્રી, વિચારક મૂળ આજના આ મહાન માણસની યાદમાં વિકસિત થયેલી દંતકથાઓથી તેમના જીવનચરિત્રને અલગ પાડવું ખૂબ મુશ્કેલ છે. પરંતુ તેના અનુયાયીઓનાં કાર્યો પરથી નીચે મુજબ, સમોસના પાયથાગોરસનો જન્મ સમોસ ટાપુ પર થયો હતો. તેમના પિતા એક સામાન્ય પથ્થર કાપનાર હતા, પરંતુ તેમની માતા એક ઉમદા પરિવારમાંથી આવી હતી.

દંતકથા દ્વારા અભિપ્રાય આપતા, પાયથાગોરસના જન્મની આગાહી પાયથિયા નામની સ્ત્રી દ્વારા કરવામાં આવી હતી, જેના માનમાં છોકરાનું નામ રાખવામાં આવ્યું હતું. તેણીની આગાહી મુજબ, જન્મેલા છોકરાએ માનવતા માટે ઘણો લાભ અને સારું લાવવું હતું. જે તેણે બરાબર કર્યું છે.

પ્રમેયનો જન્મ

તેમની યુવાનીમાં, પાયથાગોરસ ત્યાંના પ્રખ્યાત ઇજિપ્તીયન ઋષિઓને મળવા ઇજિપ્ત ગયા. તેમની સાથે મુલાકાત કર્યા પછી, તેમને અભ્યાસ કરવાની મંજૂરી આપવામાં આવી, જ્યાં તેમણે ઇજિપ્તની ફિલસૂફી, ગણિત અને દવાની બધી મહાન સિદ્ધિઓ શીખી.

તે સંભવતઃ ઇજિપ્તમાં હતું કે પાયથાગોરસ પિરામિડની ભવ્યતા અને સુંદરતાથી પ્રેરિત હતો અને તેણે પોતાનું બનાવ્યું ભવ્ય સિદ્ધાંત. આનાથી વાચકોને આંચકો લાગશે, પરંતુ આધુનિક ઈતિહાસકારો માને છે કે પાયથાગોરસે તેમનો સિદ્ધાંત સાબિત કર્યો નથી. પરંતુ તેણે માત્ર તેનું જ્ઞાન તેના અનુયાયીઓ સુધી પહોંચાડ્યું, જેમણે પાછળથી તમામ જરૂરી ગાણિતિક ગણતરીઓ પૂર્ણ કરી.

ભલે તે બની શકે, આજે આ પ્રમેયને સાબિત કરવાની એક પદ્ધતિ જાણીતી નથી, પરંતુ એક સાથે અનેક. આજે આપણે ફક્ત અનુમાન કરી શકીએ છીએ કે પ્રાચીન ગ્રીકોએ તેમની ગણતરીઓ કેવી રીતે કરી હતી, તેથી અહીં આપણે પાયથાગોરિયન પ્રમેયને સાબિત કરવાની વિવિધ રીતો જોઈશું.

પાયથાગોરિયન પ્રમેય

તમે કોઈપણ ગણતરીઓ શરૂ કરો તે પહેલાં, તમારે એ જાણવાની જરૂર છે કે તમે કયો સિદ્ધાંત સાબિત કરવા માંગો છો. પાયથાગોરિયન પ્રમેય આના જેવો છે: "એક ત્રિકોણમાં જેમાં એક ખૂણો 90° હોય છે, પગના ચોરસનો સરવાળો કર્ણના વર્ગ જેટલો હોય છે."

પાયથાગોરિયન પ્રમેયને સાબિત કરવાની કુલ 15 અલગ અલગ રીતો છે. તે પૂરતું છે મોટી સંખ્યા, તો ચાલો તેમાંથી સૌથી વધુ લોકપ્રિય પર ધ્યાન આપીએ.

પદ્ધતિ એક

પ્રથમ, ચાલો વ્યાખ્યાયિત કરીએ કે આપણને શું આપવામાં આવ્યું છે. આ ડેટા પાયથાગોરિયન પ્રમેયને સાબિત કરવાની અન્ય પદ્ધતિઓ પર પણ લાગુ થશે, તેથી ઉપલબ્ધ તમામ સંકેતો તરત જ યાદ રાખવા યોગ્ય છે.

ધારો કે આપણને પગ a, b અને c ની સમકક્ષ કર્ણ સાથેનો કાટકોણ ત્રિકોણ આપવામાં આવ્યો છે. સાબિતીની પ્રથમ પદ્ધતિ એ હકીકત પર આધારિત છે કે તમારે જમણા ત્રિકોણમાંથી ચોરસ દોરવાની જરૂર છે.

આ કરવા માટે, તમારે લંબાઈ a ના લેગમાં લેગ b ની સમાન સેગમેન્ટ ઉમેરવાની જરૂર છે, અને ઊલટું. આના પરિણામે ચોરસની બે સમાન બાજુઓ હોવી જોઈએ. જે બાકી છે તે બે સમાંતર રેખાઓ દોરવાનું છે, અને ચોરસ તૈયાર છે.

પરિણામી આકૃતિની અંદર, તમારે મૂળ ત્રિકોણના કર્ણની સમાન બાજુ સાથે બીજો ચોરસ દોરવાની જરૂર છે. આ કરવા માટે, શિરોબિંદુઓમાંથી ас અને св તમારે બે દોરવાની જરૂર છે સેગમેન્ટની સમાંતરની સમાન આમ, આપણને ચોરસની ત્રણ બાજુઓ મળે છે, જેમાંથી એક મૂળ કાટકોણ ત્રિકોણનું કર્ણાકાર છે. જે બાકી છે તે ચોથો સેગમેન્ટ દોરવાનું છે.

પરિણામી આકૃતિના આધારે, આપણે તારણ કાઢી શકીએ છીએ કે બાહ્ય ચોરસનું ક્ષેત્રફળ (a + b) 2 છે. જો તમે આકૃતિની અંદર જુઓ, તો તમે જોઈ શકો છો કે અંદરના ચોરસ ઉપરાંત, ચાર કાટકોણ ત્રિકોણ છે. દરેકનું ક્ષેત્રફળ 0.5av છે.

તેથી, વિસ્તાર બરાબર છે: 4 * 0.5ab + c 2 = 2av + c 2

તેથી (a+c) 2 =2ab+c 2

અને તેથી, c 2 =a 2 +b 2

પ્રમેય સાબિત થયો છે.

પદ્ધતિ બે: સમાન ત્રિકોણ

પાયથાગોરિયન પ્રમેયને સાબિત કરવા માટેનું આ સૂત્ર ભૂમિતિના વિભાગના નિવેદનના આધારે લેવામાં આવ્યું હતું. સમાન ત્રિકોણ. તે જણાવે છે કે કાટકોણ ત્રિકોણનો પગ એ તેના કર્ણાનુસાર અને 90° કોણના શિરોબિંદુમાંથી નીકળતો કર્ણોનો ભાગનો સરેરાશ પ્રમાણ છે.

પ્રારંભિક ડેટા એ જ રહે છે, તેથી ચાલો પુરાવા સાથે તરત જ પ્રારંભ કરીએ. ચાલો હાથ ધરીએ બાજુ પર લંબરૂપ AB સેગમેન્ટ CD. ઉપરોક્ત વિધાનના આધારે, ત્રિકોણની બાજુઓ સમાન છે:

AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.

પાયથાગોરિયન પ્રમેયને કેવી રીતે સાબિત કરવું તે પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે, સાબિતી બંને અસમાનતાઓને વર્ગીકૃત કરીને પૂર્ણ કરવી આવશ્યક છે.

AC 2 = AB * AD અને CB 2 = AB * DV

હવે આપણે પરિણામી અસમાનતાઓ ઉમેરવાની જરૂર છે.

AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), જ્યાં AD + DV = AB

તે તારણ આપે છે કે:

AC 2 + CB 2 =AB*AB

અને તેથી:

AC 2 + CB 2 = AB 2

પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો પુરાવો અને વિવિધ રીતેતેના ઉકેલો માટે આ સમસ્યા માટે બહુપક્ષીય અભિગમની જરૂર છે. જો કે, આ વિકલ્પ સૌથી સરળ પૈકી એક છે.

બીજી ગણતરી પદ્ધતિ

પાયથાગોરિયન પ્રમેયને સાબિત કરવાની વિવિધ પદ્ધતિઓના વર્ણનનો કોઈ અર્થ હોઈ શકે નહીં જ્યાં સુધી તમે તમારી જાતે પ્રેક્ટિસ કરવાનું શરૂ ન કરો. ઘણી પદ્ધતિઓ માત્ર સમાવેશ થાય છે ગાણિતિક ગણતરીઓ, પણ મૂળ ત્રિકોણમાંથી નવા આંકડાઓનું નિર્માણ.

IN આ કિસ્સામાંબાજુ BC માંથી અન્ય કાટકોણ ત્રિકોણ VSD પૂર્ણ કરવું જરૂરી છે. આમ, હવે એક સામાન્ય પગ BC સાથે બે ત્રિકોણ છે.

તે જાણીને વિસ્તાર સમાન આંકડાતેમના સમાન રેખીય પરિમાણોના ચોરસ જેવો ગુણોત્તર ધરાવે છે, પછી:

S avs * c 2 - S avd * in 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2

S avs *(2 - થી 2) = a 2 *(S avd -S vsd)

2 થી 2 =a 2

c 2 =a 2 +b 2

ગ્રેડ 8 માટે પાયથાગોરિયન પ્રમેયને સાબિત કરવાની વિવિધ પદ્ધતિઓમાંથી, આ વિકલ્પ ભાગ્યે જ યોગ્ય છે, તમે નીચેની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકો છો.

પાયથાગોરિયન પ્રમેય સાબિત કરવાની સૌથી સહેલી રીત. સમીક્ષાઓ

ઈતિહાસકારોના મતે, આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ પ્રથમ વખત પ્રમેયને સાબિત કરવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો પ્રાચીન ગ્રીસ. તે સૌથી સરળ છે, કારણ કે તેને કોઈ ગણતરીની જરૂર નથી. જો તમે ચિત્રને યોગ્ય રીતે દોરો છો, તો નિવેદનનો પુરાવો કે 2 + b 2 = c 2 સ્પષ્ટપણે દેખાશે.

માટે શરતો આ પદ્ધતિઅગાઉના કરતાં સહેજ અલગ હશે. પ્રમેય સાબિત કરવા માટે, ધારો કે કાટકોણ ત્રિકોણ ABC સમદ્વિબાજુ છે.

આપણે કર્ણો AC ને ચોરસની બાજુ તરીકે લઈએ છીએ અને તેની ત્રણ બાજુઓ દોરીએ છીએ. વધુમાં, પરિણામી ચોરસમાં બે ત્રાંસા રેખાઓ દોરવી જરૂરી છે. જેથી તેની અંદર તમને ચાર સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ મળે.

તમારે પગ AB અને CB માટે પણ એક ચોરસ દોરવાની જરૂર છે અને તે દરેકમાં એક ત્રાંસી સીધી રેખા દોરવાની જરૂર છે. અમે શિરોબિંદુ A માંથી પ્રથમ રેખા દોરીએ છીએ, C માંથી બીજી.

હવે તમારે પરિણામી ચિત્રને કાળજીપૂર્વક જોવાની જરૂર છે. કારણ કે કર્ણ AC પર મૂળ ત્રિકોણ સમાન ચાર ત્રિકોણ છે, અને બાજુઓ પર બે છે, આ આ પ્રમેયની સત્યતા દર્શાવે છે.

માર્ગ દ્વારા, પાયથાગોરિયન પ્રમેયને સાબિત કરવાની આ પદ્ધતિ માટે આભાર, ધ પ્રખ્યાત શબ્દસમૂહ: « પાયથાગોરિયન પેન્ટબધી દિશામાં સમાન."

જે. ગારફિલ્ડ દ્વારા પુરાવો

જેમ્સ ગારફિલ્ડ યુનાઈટેડ સ્ટેટ્સ ઑફ અમેરિકાના વીસમા પ્રમુખ છે. યુનાઇટેડ સ્ટેટ્સના શાસક તરીકે ઇતિહાસ પર પોતાની છાપ બનાવવા ઉપરાંત, તે એક હોશિયાર ઓટોડિડેક્ટ પણ હતો.

તેમની કારકિર્દીની શરૂઆતમાં તેઓ નિયમિત શિક્ષક હતા જાહેર શાળા, પરંતુ ટૂંક સમયમાં એક સર્વોચ્ચ ડિરેક્ટર બન્યા શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ. સ્વ-વિકાસની ઇચ્છાએ તેને ઓફર કરવાની મંજૂરી આપી નવો સિદ્ધાંતપાયથાગોરિયન પ્રમેયનો પુરાવો. પ્રમેય અને તેના ઉકેલનું ઉદાહરણ નીચે મુજબ છે.

પ્રથમ તમારે કાગળના ટુકડા પર બે જમણા ત્રિકોણ દોરવાની જરૂર છે જેથી તેમાંથી એકનો પગ બીજાનો ચાલુ રહે. આ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓને આખરે ટ્રેપેઝોઇડ બનાવવા માટે જોડવાની જરૂર છે.

જેમ તમે જાણો છો, ટ્રેપેઝોઇડનું ક્ષેત્રફળ તેના પાયા અને તેની ઊંચાઈના અડધા સરવાળાના ઉત્પાદન જેટલું છે.

S=a+b/2 * (a+b)

જો આપણે પરિણામી ટ્રેપેઝોઇડને ત્રણ ત્રિકોણ ધરાવતી આકૃતિ તરીકે ધ્યાનમાં લઈએ, તો તેનો વિસ્તાર નીચે મુજબ મળી શકે છે:

S=av/2 *2 + s 2/2

હવે આપણે બે મૂળ સમીકરણો સમાન કરવાની જરૂર છે

2ab/2 + c/2=(a+b) 2/2

c 2 =a 2 +b 2

પાયથાગોરિયન પ્રમેય અને તેને સાબિત કરવાની પદ્ધતિઓ વિશે એક કરતાં વધુ વોલ્યુમ લખી શકાય છે. શિક્ષણ સહાય. પરંતુ જ્યારે આ જ્ઞાન વ્યવહારમાં લાગુ ન કરી શકાય ત્યારે તેમાં કોઈ મુદ્દો છે?

પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો વ્યવહારુ ઉપયોગ

કમનસીબે, આધુનિકમાં શાળા કાર્યક્રમોઆ પ્રમેય ફક્ત માં જ ઉપયોગમાં લેવાનો છે ભૌમિતિક સમસ્યાઓ. સ્નાતકો તેમના જ્ઞાન અને કૌશલ્યોને વ્યવહારમાં કેવી રીતે લાગુ કરી શકે તે જાણ્યા વિના ટૂંક સમયમાં જ શાળા છોડી દેશે.

હકીકતમાં, તમારામાં પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરો રોજિંદા જીવનદરેક કરી શકે છે. અને માત્ર માં જ નહીં વ્યાવસાયિક પ્રવૃત્તિ, પણ સામાન્ય ઘરના કામોમાં પણ. ચાલો ઘણા કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈએ જ્યારે પાયથાગોરિયન પ્રમેય અને તેને સાબિત કરવાની પદ્ધતિઓ અત્યંત જરૂરી હોઈ શકે.

પ્રમેય અને ખગોળશાસ્ત્ર વચ્ચેનો સંબંધ

એવું લાગે છે કે કાગળ પરના તારાઓ અને ત્રિકોણને કેવી રીતે જોડી શકાય છે. હકીકતમાં, ખગોળશાસ્ત્ર છે વૈજ્ઞાનિક ક્ષેત્ર, જે પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો વ્યાપક ઉપયોગ કરે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ચળવળને ધ્યાનમાં લો પ્રકાશ બીમઅવકાશમાં તે જાણીતું છે કે પ્રકાશ બંને દિશામાં સમાન ગતિએ આગળ વધે છે. ચાલો પ્રક્ષેપણને AB કહીએ જેની સાથે પ્રકાશ કિરણ ફરે છે l. અને બિંદુ A થી બિંદુ B સુધી જવા માટે પ્રકાશ જેટલો અડધો સમય લાગે છે તેને કૉલ કરીએ t. અને બીમની ઝડપ - c. તે તારણ આપે છે કે: c*t=l

જો તમે આ જ કિરણને બીજા પ્લેનમાંથી જોશો, ઉદાહરણ તરીકે, સ્પેસ લાઇનરમાંથી જે ઝડપ v સાથે આગળ વધે છે, તો જ્યારે આ રીતે શરીરનું અવલોકન કરો છો, તો તેમની ગતિ બદલાશે. આ કિસ્સામાં, સ્થિર તત્વો પણ વિરુદ્ધ દિશામાં v ગતિ સાથે આગળ વધવાનું શરૂ કરશે.

ચાલો કહીએ કે કોમિક લાઇનર જમણી તરફ જઈ રહ્યું છે. પછી બિંદુઓ A અને B, જેની વચ્ચે બીમ ધસી આવે છે, તે ડાબી તરફ જવાનું શરૂ કરશે. તદુપરાંત, જ્યારે બીમ બિંદુ A થી બિંદુ B તરફ જાય છે, ત્યારે બિંદુ A ને ખસેડવાનો સમય હોય છે અને તે મુજબ, પ્રકાશ પહેલેથી જ પહોંચશે. નવો મુદ્દો C. બિંદુ A જે તરફ આગળ વધ્યું છે તે અડધું અંતર શોધવા માટે, તમારે લાઇનરની ગતિને બીમ (t")ના અડધા મુસાફરી સમયથી ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.

અને આ સમય દરમિયાન પ્રકાશનું કિરણ કેટલું દૂર જઈ શકે છે તે શોધવા માટે, તમારે અડધા પાથને નવા અક્ષર s વડે ચિહ્નિત કરવાની અને નીચેની અભિવ્યક્તિ મેળવવાની જરૂર છે:

જો આપણે કલ્પના કરીએ કે પ્રકાશના બિંદુઓ C અને B, તેમજ સ્પેસ લાઇનર, સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ છે, તો બિંદુ A થી લાઇનર સુધીનો ખંડ તેને બે કાટખૂણે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરશે. તેથી, પાયથાગોરિયન પ્રમેયને આભારી, તમે પ્રકાશનું કિરણ મુસાફરી કરી શકે તે અંતર શોધી શકો છો.

આ ઉદાહરણ, અલબત્ત, સૌથી સફળ નથી, કારણ કે વ્યવહારમાં તેને અજમાવવા માટે ફક્ત થોડા જ નસીબદાર હશે. તેથી, ચાલો આ પ્રમેયના વધુ ભૌતિક કાર્યક્રમોને ધ્યાનમાં લઈએ.

મોબાઇલ સિગ્નલ ટ્રાન્સમિશન રેન્જ

સ્માર્ટફોનના અસ્તિત્વ વિના આધુનિક જીવનની કલ્પના કરી શકાતી નથી. પરંતુ જો તેઓ સબ્સ્ક્રાઇબર્સને મારફતે કનેક્ટ કરી શકતા નથી તો શું તેઓ વધુ ઉપયોગી થશે મોબાઇલ સંચાર?!

મોબાઇલ સંચારની ગુણવત્તા સીધી રીતે મોબાઇલ ઓપરેટરનું એન્ટેના કેટલી ઊંચાઇ પર સ્થિત છે તેના પર નિર્ભર કરે છે. મોબાઇલ ટાવરથી ફોન કેટલા દૂર સિગ્નલ પ્રાપ્ત કરી શકે છે તેની ગણતરી કરવા માટે, તમે પાયથાગોરિયન પ્રમેય લાગુ કરી શકો છો.

ચાલો કહીએ કે તમારે સ્થિર ટાવરની અંદાજિત ઊંચાઈ શોધવાની જરૂર છે જેથી તે 200 કિલોમીટરની ત્રિજ્યામાં સિગ્નલનું વિતરણ કરી શકે.

AB (ટાવરની ઊંચાઈ) = x;

BC (સિગ્નલ ટ્રાન્સમિશન ત્રિજ્યા) = 200 કિમી;

OS (ત્રિજ્યા ગ્લોબ) = 6380 કિમી;

OB=OA+ABOB=r+x

પાયથાગોરિયન પ્રમેય લાગુ કરીને, આપણે તે શોધી કાઢીએ છીએ ન્યૂનતમ ઊંચાઈટાવર 2.3 કિલોમીટર લાંબો હોવો જોઈએ.

રોજિંદા જીવનમાં પાયથાગોરિયન પ્રમેય

વિચિત્ર રીતે, પાયથાગોરિયન પ્રમેય રોજિંદા બાબતોમાં પણ ઉપયોગી થઈ શકે છે, જેમ કે કપડાની ઊંચાઈ નક્કી કરવી, ઉદાહરણ તરીકે. પ્રથમ નજરમાં, આવા ઉપયોગ કરવાની જરૂર નથી જટિલ ગણતરીઓ, કારણ કે તમે ટેપ માપનો ઉપયોગ કરીને માપ લઈ શકો છો. પરંતુ ઘણા લોકોને આશ્ચર્ય થાય છે કે એસેમ્બલી પ્રક્રિયા દરમિયાન ચોક્કસ સમસ્યાઓ શા માટે ઊભી થાય છે જો તમામ માપન સચોટ કરતાં વધુ લેવામાં આવે.

હકીકત એ છે કે કપડામાં એસેમ્બલ કરવામાં આવે છે આડી સ્થિતિઅને તે પછી જ તેને ઉઠાવીને દિવાલ સામે સ્થાપિત કરવામાં આવે છે. તેથી, માળખું ઉપાડવાની પ્રક્રિયા દરમિયાન, કેબિનેટની બાજુએ રૂમની ઊંચાઈ અને ત્રાંસા બંને સાથે મુક્તપણે ખસેડવું જોઈએ.

ચાલો ધારીએ કે 800 મીમીની ઊંડાઈ સાથે કપડા છે. ફ્લોરથી છત સુધીનું અંતર - 2600 મીમી. અનુભવી ફર્નિચર નિર્માતા કહેશે કે કેબિનેટની ઊંચાઈ રૂમની ઊંચાઈ કરતાં 126 મીમી ઓછી હોવી જોઈએ. પરંતુ શા માટે બરાબર 126 મીમી? ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ.

આદર્શ કેબિનેટ પરિમાણો સાથે, ચાલો પાયથાગોરિયન પ્રમેયની કામગીરી તપાસીએ:

AC =√AB 2 +√BC 2

AC=√2474 2 +800 2 =2600 mm - બધું બંધબેસે છે.

ચાલો કહીએ કે કેબિનેટની ઊંચાઈ 2474 મીમી નથી, પરંતુ 2505 મીમી છે. પછી:

AC=√2505 2 +√800 2 =2629 મીમી.

તેથી, આ કેબિનેટ આ રૂમમાં ઇન્સ્ટોલેશન માટે યોગ્ય નથી. કારણ કે તેને ઊભી સ્થિતિમાં ઉઠાવવાથી તેના શરીરને નુકસાન થઈ શકે છે.

કદાચ, વિવિધ વૈજ્ઞાનિકો દ્વારા પાયથાગોરિયન પ્રમેયને સાબિત કરવાની વિવિધ રીતો ધ્યાનમાં લીધા પછી, અમે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે તે સાચું કરતાં વધુ છે. હવે તમે તમારા રોજિંદા જીવનમાં પ્રાપ્ત માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકો છો અને સંપૂર્ણ વિશ્વાસ રાખો કે બધી ગણતરીઓ ફક્ત ઉપયોગી જ નહીં, પણ સાચી પણ હશે.