ઘટાડેલા ચતુર્ભુજ સમીકરણો. સંક્ષિપ્ત ઐતિહાસિક પૃષ્ઠભૂમિ

વિયેટાનું પ્રમેય

સર્જનાત્મક કાર્યવિદ્યાર્થી 8 મી ગ્રેડ

મ્યુનિસિપલ શૈક્ષણિક સંસ્થા "નોવોકીવસ્કાયા માધ્યમિક શાળા"

લુકાનિના કિરીલ

વડા: ક્રિઝાનોવસ્કાયા વી.આઈ.

I પરિચય. ઐતિહાસિક માહિતી.

II મુખ્ય ભાગ

1. 
   F. Vieta ના જીવનચરિત્રમાંથી પૃષ્ઠો
2. 
   વૈજ્ઞાનિક પ્રવૃત્તિઓ:

બી) વાતચીત પ્રમેય

1. 
   સમીકરણો ઉકેલવાના ઉદાહરણો
2. 
   વ્યવહારુ કામ
3. 
   કેટલાક ખાસ કેસોસમીકરણો ઉકેલવા

III નિષ્કર્ષ. શ્લોકમાં વિએટાનું પ્રમેય

IV સંદર્ભોનો ઉપયોગ
કવિતામાં ગાવા યોગ્ય છે

મૂળના ગુણધર્મો પર વિએટાનું પ્રમેય.

ઐતિહાસિક પૃષ્ઠભૂમિ

ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ અને ગુણાંક વચ્ચેનો સંબંધ સૌપ્રથમ પ્રખ્યાત ફ્રેન્ચ વૈજ્ઞાનિક ફ્રાન્કોઈસ વિયેટે દ્વારા સ્થાપિત કરવામાં આવ્યો હતો.

François Viète વ્યવસાયે વકીલ હતા અને ઘણા વર્ષો સુધી રાજાના સલાહકાર તરીકે કામ કરતા હતા. અને તેમ છતાં ગણિત માત્ર તેમનો શોખ હતો, સખત મહેનતને કારણે, તેણે તેમાં ઉત્તમ પરિણામો પ્રાપ્ત કર્યા.

1951માં તેમણે રજૂઆત કરી હતી પત્ર હોદ્દોસમીકરણોમાં અજ્ઞાતના ગુણાંક, તેમજ તેના ગુણધર્મો માટે.

વિયેટાએ ઘણી શોધો કરી હતી; તે પોતે એક ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ અને ગુણાંક વચ્ચેના સંબંધની સ્થાપનાને સૌથી વધુ મહત્ત્વ આપે છે, જેને વિએટાનું પ્રમેય કહેવામાં આવે છે.

ફોર્મની શરૂઆત

ફોર્મનો અંત

વિયેટાના જીવનકાળ દરમિયાન આ પ્રતિભાશાળી અને ફલપ્રદ વૈજ્ઞાનિકના કાર્યોનો માત્ર એક ભાગ પ્રકાશિત થયો હતો. તેમનો મુખ્ય નિબંધ: " વિશ્લેષણાત્મક કલા પરિચય"()), જેને તેમણે એક વ્યાપક ગ્રંથની શરૂઆત તરીકે ગણી હતી, પરંતુ ચાલુ રાખવાનો સમય નહોતો. એવા કેટલાક સંકેતો છે કે વૈજ્ઞાનિકનું મૃત્યુ હિંસક મૃત્યુ થયું હતું.

ભારે અને બોજારૂપ પ્રેઝન્ટેશન દ્વારા વિયેટાના કાર્યોની સીધી એપ્લિકેશન ખૂબ જ મુશ્કેલ બનાવવામાં આવી હતી. આ કારણે, તેઓ હજુ સુધી સંપૂર્ણ પ્રકાશિત થયા નથી. વધુ કે ઓછા સંપૂર્ણ બેઠકવિર્થની કૃતિઓ 1646 માં ડચ ગણિતશાસ્ત્રી વાન સ્કૂટેન દ્વારા લીડેનમાં "મેથેમેટિકલ વર્ક્સ ઓફ વિએટા" શીર્ષક હેઠળ પ્રકાશિત કરવામાં આવી હતી. જી.જી. ઝીટેને નોંધ્યું હતું કે વિયેટાની કૃતિઓનું વાંચન કંઈક અંશે શુદ્ધ સ્વરૂપ દ્વારા મુશ્કેલ બને છે, જેમાં તેની મહાન વિદ્વતા સર્વત્ર ચમકે છે, અને મોટી સંખ્યામાંતેના દ્વારા શોધ કરવામાં આવી હતી અને તે જરાય રુટ લેતા નથી ગ્રીક શબ્દો. તેથી, તેમનો પ્રભાવ, ત્યારપછીના તમામ ગણિતના સંબંધમાં ખૂબ જ નોંધપાત્ર છે, પ્રમાણમાં ધીમે ધીમે ફેલાયો છે.

ગાણિતિક સિદ્ધિઓ
તેમણે ગણિત પર ખૂબ જ પેપર લખ્યા મુશ્કેલ ભાષા, તેથી તેઓને વિતરણ મળ્યું નથી. લીડેનમાં ગણિતના પ્રોફેસર એફ. શૂટેન દ્વારા તેમના મૃત્યુ પછી વિએથની કૃતિઓ એકત્રિત કરવામાં આવી હતી. વિયેટાના કાર્યોમાં, બીજગણિત બને છે સામાન્ય વિજ્ઞાનસાંકેતિક સંકેત પર આધારિત બીજગણિતીય સમીકરણો વિશે. વિયેટ એ સૌપ્રથમ હતું કે જેણે માત્ર અજ્ઞાત જ નહીં, પણ આપેલ જથ્થાઓ, એટલે કે, અનુરૂપ સમીકરણોના ગુણાંક દ્વારા અક્ષરો દ્વારા નિયુક્ત કર્યા હતા. આનો આભાર, સમીકરણોના ગુણધર્મો અને તેમના મૂળને વ્યક્ત કરવાનું પ્રથમ વખત શક્ય બન્યું સામાન્ય સૂત્રો, અને પોતાને બીજગણિત અભિવ્યક્તિઓઑબ્જેક્ટ્સમાં ફેરવાય છે જેના પર ક્રિયાઓ કરી શકાય છે. વિયેટે 2 જી, 3 જી અને 4 થી ડિગ્રીના સમીકરણો ઉકેલવા માટે એક સમાન તકનીક વિકસાવી અને નવી પદ્ધતિઉકેલો ઘન સમીકરણ, આપ્યો ત્રિકોણમિતિ ઉકેલઇરીડ્યુસિબલ કેસમાં 3જી ડિગ્રીના સમીકરણો, વિવિધ પ્રસ્તાવિત તર્કસંગત પરિવર્તનોમૂળ, સમીકરણોના મૂળ અને ગુણાંક (વિએટા સૂત્રો) વચ્ચેનો સંબંધ સ્થાપિત કર્યો. લગભગ સમીકરણો ઉકેલવા માટે સંખ્યાત્મક ગુણાંકવિયેટે આઇ. ન્યૂટને પાછળથી વિકસાવેલી પદ્ધતિ જેવી જ પદ્ધતિનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો. ત્રિકોણમિતિમાં વિએટાની સિદ્ધિઓ - સંપૂર્ણ ઉકેલઆપેલ ત્રણ તત્વોમાંથી સમતલ અથવા ગોળાકાર ત્રિકોણના તમામ ઘટકોને નિર્ધારિત કરવાની સમસ્યાઓ, cos x અને sinx ની શક્તિઓમાં sinпх અને cosпх નું મહત્વપૂર્ણ વિસ્તરણ. બહુવિધ ચાપના સાઈન અને કોસાઈન્સ માટેના સૂત્રના જ્ઞાને વિયેટને ગણિતશાસ્ત્રી એ. રૂમેન દ્વારા પ્રસ્તાવિત 45મા ડિગ્રીના સમીકરણને હલ કરવામાં સક્ષમ બનાવ્યું; વિયેટે બતાવ્યું કે આ સમીકરણનો ઉકેલ ઘટાડીને કોણને 45 સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરવામાં આવે છે અને ત્યાં 23 છે. હકારાત્મક મૂળઆ સમીકરણ. વિયેથે એપોલોનિયસની સમસ્યાને શાસક અને હોકાયંત્રનો ઉપયોગ કરીને હલ કરી.

વૈજ્ઞાનિક પ્રવૃત્તિઓ

બધા ગણિતશાસ્ત્રીઓ જાણતા હતા કે તેમના બીજગણિત હેઠળ... અનુપમ ખજાના છુપાયેલા છે, પરંતુ તેઓ જાણતા ન હતા કે તેમને કેવી રીતે શોધવું; તેઓ જે કાર્યોને સૌથી મુશ્કેલ માનતા હતા તે અમારી કલાની મદદથી ડઝનેક દ્વારા સંપૂર્ણપણે સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે, જે તેથી સૌથી વધુ રજૂ કરે છે સાચો રસ્તોગાણિતિક સંશોધન માટે.

વિયેટ સમગ્ર પ્રસ્તુતિને બે ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે: સામાન્ય કાયદાઅને તેમના નક્કર સંખ્યાત્મક અમલીકરણો. એટલે કે, તે પહેલા સમસ્યાઓ હલ કરે છે સામાન્ય દૃશ્ય, અને માત્ર પછી દોરી જાય છે સંખ્યાત્મક ઉદાહરણો. સામાન્ય ભાગમાં, તે પત્રો દ્વારા સૂચિત કરે છે માત્ર અજાણ્યાઓ કે જે પહેલાથી આવી ચૂક્યા છે, પણ અન્ય તમામ પરિમાણો, જેના માટે તેમણે શબ્દ પ્રયોજ્યો " મતભેદ"(શાબ્દિક રીતે: પ્રોત્સાહન). વિયેથે આ માટે માત્ર મોટા અક્ષરોનો ઉપયોગ કર્યો - અજાણ્યા માટે સ્વરો, ગુણાંક માટે વ્યંજન.

વિયેટ મુક્તપણે વિવિધ બીજગણિત પરિવર્તનો લાગુ કરે છે - ઉદાહરણ તરીકે, ચલો બદલવું અથવા સમીકરણના બીજા ભાગમાં સ્થાનાંતરિત કરતી વખતે અભિવ્યક્તિની નિશાની બદલવી. તે પછી ધ્યાનમાં લેતા, આ નોંધવું યોગ્ય છે શંકાસ્પદ વલણનકારાત્મક સંખ્યાઓ માટે. વિયેતના ઘાતાંક હજુ પણ મૌખિક રીતે લખવામાં આવે છે.

વિયેતની અન્ય સિદ્ધિઓ:

• 
  પ્રખ્યાત " વિએટાના સૂત્રો» મતભેદ માટે બહુપદીતે કેવી રીતે કાર્ય કરે છે મૂળ;
• 
  નવું ત્રિકોણમિતિ પદ્ધતિઅફરના ઉકેલો ઘન સમીકરણ, એંગલ ટ્રાઇસેક્શન માટે પણ લાગુ પડે છે;
• 
  અનંત ઉત્પાદનનું પ્રથમ ઉદાહરણ:

• 
  પ્રથમ ચાર ડિગ્રીના સમીકરણોના સિદ્ધાંતની સંપૂર્ણ વિશ્લેષણાત્મક રજૂઆત;
• 
  એપ્લિકેશન વિચાર અતીન્દ્રિય કાર્યોબીજગણિત સમીકરણો ઉકેલવા માટે;
• 
  મૂળ પદ્ધતિઆંકડાકીય ગુણાંક સાથે બીજગણિતીય સમીકરણોનું અંદાજિત ઉકેલ.

વિએટા સૂત્રો

ફોર્મ્યુલેશન

(દરેક રુટ તેના ગુણાકારને અનુરૂપ વખતની સંખ્યા લેવામાં આવે છે), પછી ગુણાંક ફોર્મમાં વ્યક્ત કરવામાં આવે છે સપ્રમાણ બહુપદીમૂળમાંથી, એટલે કે:

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો (−1) k a kમાંથી તમામ સંભવિત ઉત્પાદનોના સરવાળાની બરાબર છે kમૂળ

જો બહુપદીનો અગ્રણી ગુણાંક હોય, તો વિએટા સૂત્ર લાગુ કરવા માટે સૌપ્રથમ બધા ગુણાંકને વડે વિભાજિત કરવું જરૂરી છે. a 0 (આ બહુપદીના મૂળના મૂલ્યને અસર કરતું નથી). આ કિસ્સામાં, વિએટાનું સૂત્ર બધા ગુણાંકના સૌથી મોટા ગુણોત્તર માટે અભિવ્યક્તિ આપે છે. વિએટાના છેલ્લા સૂત્ર પરથી તે અનુસરે છે કે જો બહુપદીના મૂળ પૂર્ણાંક હોય, તો તે તેના મુક્ત પદના વિભાજક છે, જે પૂર્ણાંક પણ છે.

પુરાવો

જ્યાં જમણી બાજુબહુપદી છે કારણભૂત.

જમણી બાજુના તત્વોનો ગુણાકાર કર્યા પછી, માટે ગુણાંક સમાન ડિગ્રી xબંને ભાગોમાં સમાન હોવું જોઈએ, જેમાંથી વિએટાના સૂત્રો અનુસરે છે.

ઉદાહરણો

ચતુર્ભુજ સમીકરણ

ઘટાડેલા ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળનો સરવાળો x 2 + px + q= 0 ગુણાંક સમાન છે પી, વિરુદ્ધ ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવે છે, અને મૂળનું ઉત્પાદન મફત શબ્દ સમાન છે q:

IN સામાન્ય કેસ(અનડ્યુડ્ડ ચતુર્ભુજ સમીકરણ માટે કુહાડી 2 + bx + c = 0):

8મા ધોરણમાં બીજગણિત પર પ્રાયોગિક કાર્ય.

વિષય: "વિયેટાનું પ્રમેય"

લક્ષ્ય:ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ અને તેના ગુણાંક વચ્ચે જોડાણ સ્થાપિત કરો.

અભ્યાસનો હેતુ:ચતુર્ભુજ સમીકરણ અને તેના મૂળ.

કાર્ય કરવા માટે જરૂરી જ્ઞાન, ક્ષમતાઓ અને કુશળતા:

(એટલે ​​કે વિદ્યાર્થીઓને ઓફર કરતા પહેલા શું યાદ રાખવાની અને પુનરાવર્તિત કરવાની જરૂર છે આ કામ):

• 
  સંપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણનો ખ્યાલ;
• 
  સામાન્ય સ્વરૂપમાં ચતુર્ભુજ ત્રિપદી લખવાની ક્ષમતા;
• 
  ચતુર્ભુજ સમીકરણ (સંપૂર્ણ અને ઘટાડેલ બંને) ઉકેલવા માટેનું અલ્ગોરિધમ;
• 
  ચતુર્ભુજ સમીકરણ (સંપૂર્ણ અને ઘટાડો) ના મૂળ માટે સામાન્ય સૂત્ર લખવાની ક્ષમતા.

આપેલ ચતુર્ભુજ સમીકરણો.

1.1. સમીકરણો ઉકેલો:

એ) x 2 + 4x + 3 = 0;

B) x 2 – 10x – 24 = 0.

1.2. કોષ્ટક ભરો:

1.3. દરેક સમીકરણના મૂળના સરવાળા અને ગુણાંકને તેના ગુણાંક સાથે સરખાવો.

1.4. પૂર્વધારણા:ઉપરોક્ત ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ અને તેના ગુણાંક વચ્ચે તમે કયું જોડાણ જોયું? પ્રતીકોનો ઉપયોગ કરીને તેને લખો.

1.5. પૂર્વધારણા પરીક્ષણ:ઉપરોક્ત ચતુર્ભુજ સમીકરણને સામાન્ય સ્વરૂપમાં લખો (x 2 + px + q = 0).

1.6. આપેલ ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ માટે સામાન્ય સૂત્ર લખો.

(X 1 = ; X 2 = )

1.7. ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળનો સરવાળો શોધો.

1.8. ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળનું ઉત્પાદન શોધો.

1.9. એક નિષ્કર્ષ દોરો

વધારાનો પ્રશ્ન.

સમીકરણ હલ કરીને તમારા તારણો તપાસો: x 2 – 12x + 36 = 0.

2. પૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો.

2.1. સમીકરણો ઉકેલો:

A) 6 x 2 – 5x – 1 = 0;

B) 5 x 2 + 9x + 4 = 0.

2.1. કોષ્ટક ભરો:

2.4. પૂર્વધારણા:તમે સંપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ અને તેના ગુણાંક વચ્ચે કયું જોડાણ જોયું? પ્રતીકોનો ઉપયોગ કરીને તેને લખો.

2.5. પૂર્વધારણા પરીક્ષણ:સંપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ સામાન્ય સ્વરૂપમાં લખો

(ax 2 + bx + c = 0).

2.6. સંપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ માટે સામાન્ય સૂત્ર લખો.

(X 1 =; X 2 =)

2.7. ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળનો સરવાળો શોધો.

2.8. ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળનું ઉત્પાદન શોધો.

2.9. એક નિષ્કર્ષ દોરો: મેળવેલ પરિણામ જણાવો. તેને તમારી નોટબુકમાં લખી લો.

(પરિણામી વિધાનને વિએટાનું પ્રમેય કહેવામાં આવે છે)

વધારાનો પ્રશ્ન.

સમીકરણ હલ કરીને તમારા તારણો તપાસો: -2x 2 + 8x + 3 = 0.

વધારાનું કાર્ય.

નીચેના ચતુર્ભુજ સમીકરણોના મૂળનો સરવાળો અને ઉત્પાદન શોધો:

એ) x 2 – 5x + 6 = 0;

બી) 3x 2 – 4x – 2 = 0;

બી) x 2 – 6x + 24 = 0;

ડી) 6x 2 – 5x = 0.

2. વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ચકાસો કે ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ યોગ્ય રીતે મળ્યા છે કે કેમ.

વિયેટાના પ્રમેયની વિરુદ્ધ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ શોધો:

એ) x 2 + 11x – 12 = 0; b) 2 x 2 + 9x + 8 = 0; c) -3x 2 – 6x = 0; ડી) x 2 – 6 = 0.

ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાના ખાસ કિસ્સાઓ

ax 2 +bx + c = 0

1. જો a+b+c =0, તો x 1 = 1, x 2 =

2. જો a-b+c =0, (અથવા a+c=b), તો x 1 = -1, x 2 = -

ઉદાહરણ તરીકે: 3x 2 + 5x – 8 = 0 3 + 5 – 8 = 0 x 1 = 1 x 2 =

X 2 + 2x + 3 = 0 -1 +3 = 2 x 1 = -1 x 2 = 3

મૌખિક રીતે ઉકેલો:

3x 2 – 2x – 1 = 0 3x 2 – 5x – 8 = 0

X 2 – 3x + 2 = 0 4x 2 + 7x + 3 = 0

2002х 2 – 2003х + 1 = 0

ચાલો પહેલા "માઈનસ" લખીએ,
તેની બાજુમાં પીઅડધા ભાગમાં,
"વત્તા-માઈનસ" આમૂલ ચિહ્ન,
બાળપણથી અમને પરિચિત.

ઠીક છે, મૂળમાં, મિત્ર,
તે બધું કંઈપણ નીચે આવે છે:
પીઅડધા અને ચોરસમાં
માઈનસ ધ સુંદર q.

• 
  થી " બેબી મોનિટર"(બીજો વિકલ્પ):

અને મૂળ હેઠળ તે ખૂબ જ ઉપયોગી છે
અડધા પીચોરસ
માઈનસ q- અને અહીં ઉકેલો છે,
એટલે કે, સમીકરણના મૂળ.

કવિતામાં ગાવા યોગ્ય છે

મૂળના ગુણધર્મો પર વિએટાનું પ્રમેય.

જે વધુ સારું છે, આ સતત કહો:

તમે મૂળનો ગુણાકાર કરો અને અપૂર્ણાંક તૈયાર છે:

અંશ c છે, છેદ a છે,

અને મૂળનો સરવાળો પણ અપૂર્ણાંક છે

જો તે માઈનસ સાથેનો અપૂર્ણાંક હોય તો પણ શું સમસ્યા છે

અંશમાં છે, છેદ એ છે.
વપરાયેલ સાહિત્ય:

1. 
   યુવાન ગણિતશાસ્ત્રીનો જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ.

1. 
   ગણિત. સંદર્ભ સામગ્રી. વી.એ.ગુસેવ, એ.જી.મોર્ડકોવિચ. એમ. "એનલાઈટનમેન્ટ" 1986
2. 
   શાળામાં ગણિતનો ઇતિહાસ. G.I. ગ્લેઝર

1. 
   બીજગણિત 8 મા ધોરણ. S.A. Telyakovsky દ્વારા સંપાદિત

આજે તે કવિતામાં ગાવાને લાયક છે
મૂળના ગુણધર્મો પર વિએટાનું પ્રમેય.
શું સારું છે, મને કહો, આના જેવી સુસંગતતા:
તમે મૂળનો ગુણાકાર કર્યો - અને અપૂર્ણાંક તૈયાર છે
અંશમાં સાથે, છેદમાં એ.
અને અપૂર્ણાંકના મૂળનો સરવાળો પણ સમાન છે
માઈનસ આ અપૂર્ણાંક સાથે પણ
શું સમસ્યા છે
અંશમાં વી, છેદમાં એ.
(શાળા લોકકથામાંથી)

એપિગ્રાફમાં અદ્ભુત પ્રમેય François Vieta સંપૂર્ણપણે સચોટ રીતે આપવામાં આવ્યું નથી. વાસ્તવમાં, આપણે એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ લખી શકીએ જેનું કોઈ મૂળ નથી અને તેનો સરવાળો અને ઉત્પાદન લખી શકીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ x 2 + 2x + 12 = 0 માં કોઈ વાસ્તવિક મૂળ નથી. પરંતુ, ઔપચારિક અભિગમ અપનાવીને, અમે તેમનું ઉત્પાદન (x 1 · x 2 = 12) અને સરવાળો (x 1 + x 2 = -2) લખી શકીએ છીએ. અમારા છંદો ચેતવણી સાથેના પ્રમેયને અનુરૂપ હશે: "જો સમીકરણના મૂળ છે," એટલે કે. ડી ≥ 0.

પ્રથમ વ્યવહારુ એપ્લિકેશનઆ પ્રમેય એક ચતુર્ભુજ સમીકરણનું નિર્માણ છે જેણે મૂળ આપ્યા છે. બીજું, તે તમને ઘણા ચતુર્ભુજ સમીકરણો મૌખિક રીતે ઉકેલવા દે છે. શાળાના પાઠ્યપુસ્તકો મુખ્યત્વે આ કૌશલ્યો વિકસાવવા પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરે છે.

અહીં આપણે વધુ વિચારણા કરીશું જટિલ કાર્યો, વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 1.

5x 2 – 12x + c = 0 સમીકરણનું એક મૂળ બીજા કરતાં ત્રણ ગણું મોટું છે. એસ શોધો.

ઉકેલ.

બીજા મૂળને x 2 થવા દો.

પછી પ્રથમ મૂળ x1 = 3x 2.

વિયેટાના પ્રમેય મુજબ, મૂળનો સરવાળો 12/5 = 2.4 છે.

ચાલો સમીકરણ 3x 2 + x 2 = 2.4 બનાવીએ.

તેથી x 2 = 0.6. તેથી x 1 = 1.8.

જવાબ: c = (x 1 x 2) a = 0.6 1.8 5 = 5.4.

ઉદાહરણ 2.

તે જાણીતું છે કે x 1 અને x 2 એ x 2 – 8x + p = 0 સમીકરણના મૂળ છે, જેમાં 3x 1 + 4x 2 = 29 છે. p શોધો.

ઉકેલ.

વિએટાના પ્રમેય મુજબ, x 1 + x 2 = 8, અને શરત દ્વારા 3x 1 + 4x 2 = 29.

આ બે સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કર્યા પછી, આપણને x 1 = 3, x 2 = 5 મૂલ્ય મળે છે.

અને તેથી p = 15.

જવાબ: p = 15.

ઉદાહરણ 3.

3x 2 + 8 x – 1 = 0 સમીકરણના મૂળની ગણતરી કર્યા વિના, x 1 4 + x 2 4 શોધો

ઉકેલ.

નોંધ કરો કે વિએટાના પ્રમેય દ્વારા x 1 + x 2 = -8/3 અને x 1 x 2 = -1/3 અને અભિવ્યક્તિને રૂપાંતરિત કરો

a) x 1 4 + x 2 4 = (x 1 2 + x 2 2) 2 – 2x 1 2 x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2) 2 – 2(x 1 x 2) 2 = ((-8/3) 2 – 2 · (-1/3)) 2 – 2 · (-1/3) 2 = 4898/9

જવાબ: 4898/9.

ઉદાહરણ 4.

પરિમાણ a ના કયા મૂલ્યો પર સમીકરણના સૌથી મોટા અને નાના મૂળ વચ્ચેનો તફાવત છે
2x 2 – (a + 1)x + (a – 1) = 0 તેમના ઉત્પાદનની બરાબર છે.

ઉકેલ.

આ એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ છે. તેના 2 અલગ-અલગ મૂળ હશે જો D > 0. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, (a + 1) 2 – 8(a – 1) > 0 અથવા (a – 3) 2 > 0. તેથી, આપણી પાસે બધા a માટે 2 મૂળ છે, a = 3 સિવાય.

નિશ્ચિતતા માટે, આપણે ધારીશું કે x 1 > x 2 અને x 1 + x 2 = (a + 1)/2 અને x 1 x 2 = (a – 1)/2 મળશે. સમસ્યાની શરતોના આધારે x 1 – x 2 = (a – 1)/2. ત્રણેય શરતો એકસાથે પૂરી થવી જોઈએ. ચાલો પ્રથમ અને છેલ્લા સમીકરણોને સિસ્ટમ તરીકે ધ્યાનમાં લઈએ. બીજગણિતીય ઉમેરા દ્વારા તેને સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે.

આપણને x 1 = a/2, x 2 = 1/2 મળે છે. ચાલો શું તપાસીએ એબીજી સમાનતા સંતુષ્ટ થશે: x 1 · x 2 = (a – 1)/2. ચાલો આપણે પ્રાપ્ત કરેલ મૂલ્યોને બદલીએ અને આપણી પાસે હશે: a/4 = (a – 1)/2. પછી a = 2. તે સ્પષ્ટ છે કે જો a = 2, તો બધી શરતો પૂરી થાય છે.

જવાબ: જ્યારે a = 2.

ઉદાહરણ 5.

શું બરાબર છે સૌથી નાનું મૂલ્ય a, જેના પર સમીકરણના મૂળનો સરવાળો
x 2 – 2a(x – 1) – 1 = 0 તેના મૂળના ચોરસના સરવાળા સમાન છે.

ઉકેલ.

સૌ પ્રથમ, ચાલો સમીકરણને ઘટાડીએ પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ: x 2 – 2ax + 2a – 1 = 0. તેના મૂળ હશે જો D/4 ≥ 0. તેથી: a 2 – (2a – 1) ≥ 0. અથવા (a – 1) 2 ≥ 0. અને આ છે કોઈપણ માટે માન્ય શરત a.

ચાલો વિએટાના પ્રમેયને લાગુ કરીએ: x 1 + x 2 = 2a, x 1 x 2 = 2a – 1. ચાલો ગણતરી કરીએ

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2. અથવા અવેજી પછી x 1 2 + x 2 2 = (2a) 2 – 2 · (2a – 1) = 4a 2 – 4a + 2. તે સમાનતા બનાવવાનું બાકી છે જે સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓને અનુરૂપ છે: x 1 + x 2 = x 1 2 + x 2 2 . આપણને મળે છે: 2a = 4a 2 – 4a + 2. આ ચતુર્ભુજ સમીકરણમાં 2 મૂળ છે: a 1 = 1 અને a 2 = 1/2. તેમાંથી સૌથી નાનું -1/2 છે.

જવાબ: 1/2.

ઉદાહરણ 6.

સમીકરણ ax 2 + bx + c = 0 ના ગુણાંક વચ્ચેનો સંબંધ શોધો જો તેના મૂળના સમઘનનો સરવાળો આ મૂળના વર્ગોના ગુણાંક જેટલો હોય.

ઉકેલ.

અમે ધારીશું કે આ સમીકરણ મૂળ ધરાવે છે અને તેથી, વિએટાનું પ્રમેય તેના પર લાગુ કરી શકાય છે.

પછી સમસ્યાની સ્થિતિ નીચે પ્રમાણે લખવામાં આવશે: x 1 3 + x 2 3 = x 1 2 · x 2 2. અથવા: (x 1 + x 2)(x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2) = (x 1 x 2) 2.

બીજા પરિબળને રૂપાંતરિત કરવાની જરૂર છે. x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2) – x 1 x 2.

આપણને (x 1 + x 2)((x 1 + x 2) 2 – 3x 1 x 2) = (x 1 x 2) 2 મળે છે. તે ગુણાંક દ્વારા મૂળના સરવાળો અને ઉત્પાદનોને બદલવાનું બાકી છે.

(-b/a)((b/a) 2 – 3 c/a) = (c/a) 2 . આ અભિવ્યક્તિ સરળતાથી ફોર્મમાં કન્વર્ટ કરી શકાય છે b(3ac – b 2)/a = c 2.સંબંધ મળી ગયો છે.

ટિપ્પણી.તે ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ કે પરિણામી સંબંધ બીજાના સંતુષ્ટ થયા પછી જ ધ્યાનમાં લેવાનો અર્થપૂર્ણ છે: D ≥ 0.

ઉદાહરણ 7.

ચલ a ની કિંમત શોધો જેના માટે સમીકરણ x 2 + 2ax + 3a 2 – 6a – 2 = 0 ના મૂળના વર્ગોનો સરવાળો સૌથી મોટી કિંમત છે.

ઉકેલ.

જો આ સમીકરણમાં x 1 અને x 2 મૂળ હોય, તો તેમનો સરવાળો x 1 + x 2 = -2a છે, અને ગુણાંક x 1 x 2 = 3a 2 – 6a – 2 છે.

અમે ગણતરી કરીએ છીએ x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2 = (-2a) 2 – 2(3a 2 – 6a – 2) = -2a 2 + 12a + 4 = -2 (a – 3) 2 + 22.

હવે સ્વાભાવિક છે કે આ અભિવ્યક્તિ લે છે ઉચ્ચતમ મૂલ્ય a = 3 પર.

મૂળ ચતુર્ભુજ સમીકરણ ખરેખર a = 3 પર મૂળ ધરાવે છે કે કેમ તે તપાસવાનું બાકી છે. અમે અવેજી દ્વારા તપાસીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ: x 2 + 6x + 7 = 0 અને તેના માટે D = 36 – 28 > 0.

તેથી, જવાબ છે: a = 3 માટે.

ઉદાહરણ 8.

2x 2 – 7x – 3 = 0 સમીકરણમાં x 1 અને x 2 મૂળ છે. આપેલ ચતુર્ભુજ સમીકરણના ગુણાંકનો ત્રિવિધ સરવાળો શોધો, જેના મૂળ નંબરો X 1 = 1/x 1 અને X 2 = 1/x 2 છે. (*)

ઉકેલ.

દેખીતી રીતે, x 1 + x 2 = 7/2 અને x 1 x 2 = -3/2. ચાલો બીજા સમીકરણને તેના મૂળમાંથી x 2 + px + q = 0 સ્વરૂપમાં કંપોઝ કરીએ. આ કરવા માટે, આપણે Vieta ના પ્રમેયની વાતચીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. આપણને મળે છે: p = -(X 1 + X 2) અને q = X 1 · X 2.

(*) ના આધારે આ સૂત્રોમાં અવેજી બનાવ્યા પછી: p = -(x 1 + x 2)/(x 1 x 2) = 7/3 અને q = 1/(x 1 x 2) = - 2 /3.

જરૂરી સમીકરણ ફોર્મ લેશે: x 2 + 7/3 · x – 2/3 = 0. હવે આપણે સરળતાથી તેના ગુણાંકના ત્રણ ગણા સરવાળાની ગણતરી કરી શકીએ છીએ:

3(1 + 7/3 – 2/3) = 8. જવાબ પ્રાપ્ત થયો.

હજુ પણ પ્રશ્નો છે? વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો તેની ખાતરી નથી?
શિક્ષક પાસેથી મદદ મેળવવા માટે -.
પ્રથમ પાઠ મફત છે!

blog.site, જ્યારે સામગ્રીની સંપૂર્ણ અથવા આંશિક નકલ કરતી વખતે, મૂળ સ્ત્રોતની લિંક આવશ્યક છે.

ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ અને ગુણાંક વચ્ચે, મૂળ સૂત્રો ઉપરાંત, અન્ય ઉપયોગી સંબંધો છે જે આપવામાં આવે છે. વિયેટાનું પ્રમેય. આ લેખમાં આપણે ચતુર્ભુજ સમીકરણ માટે વિએટાના પ્રમેયની રચના અને પુરાવો આપીશું. આગળ આપણે પ્રમેયને વિએટાના પ્રમેય સાથે સંવાદ કરીએ છીએ. આ પછી, અમે સૌથી વધુ ઉકેલોનું વિશ્લેષણ કરીશું લાક્ષણિક ઉદાહરણો. છેલ્લે, અમે વિએટા સૂત્રો લખીએ છીએ જે વાસ્તવિક મૂળ વચ્ચેના સંબંધને વ્યાખ્યાયિત કરે છે બીજગણિતીય સમીકરણ ડિગ્રી n અને તેના ગુણાંક.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

વિએટાનું પ્રમેય, રચના, સાબિતી

ફોર્મના ચતુર્ભુજ સમીકરણ a·x 2 +b·x+c=0 ના મૂળ માટેના સૂત્રોમાંથી, જ્યાં D=b 2 −4·a·c, નીચેના સંબંધો અનુસરે છે: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 ·x 2 = c/a . આ પરિણામો પુષ્ટિ થયેલ છે વિયેટાનું પ્રમેય:

પ્રમેય.

જો x 1 અને x 2 એ ચતુર્ભુજ સમીકરણ a x 2 +b x+c=0 ના મૂળ છે, પછી મૂળનો સરવાળો ગુણોત્તર b ના ગુણોત્તર જેટલો છે અને a માંથી લેવામાં આવ્યો છે. વિરોધી ચિહ્ન, અને મૂળનું ઉત્પાદન ગુણોત્તર c અને a ના ગુણોત્તર જેટલું છે, એટલે કે, .

પુરાવો.

અમે નીચેની યોજના અનુસાર વિએટાના પ્રમેયનો પુરાવો હાથ ધરીશું: અમે આનો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળનો સરવાળો અને ઉત્પાદન બનાવીશું. પ્રખ્યાત સૂત્રોમૂળ, તે પછી આપણે પરિણામી સમીકરણોને રૂપાંતરિત કરીએ છીએ અને ખાતરી કરીએ છીએ કે તેઓ અનુક્રમે −b/a અને c/a ની સમાન છે.

ચાલો મૂળના સરવાળાથી શરૂ કરીએ અને તેને બનાવીએ. હવે આપણે અપૂર્ણાંકને ઘટાડીએ છીએ સામાન્ય છેદ, અમારી પાસે છે. પરિણામી અપૂર્ણાંકના અંશમાં, જે પછી:. છેલ્લે, 2 ના રોજ પછી, આપણને મળે છે. આ ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળના સરવાળા માટે વિયેટાના પ્રમેયનો પ્રથમ સંબંધ સાબિત કરે છે. ચાલો બીજા તરફ આગળ વધીએ.

અમે ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળનું ઉત્પાદન બનાવીએ છીએ: . અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર કરવાના નિયમ મુજબ, છેલ્લો ટુકડોતરીકે લખી શકાય છે. હવે આપણે કૌંસને અંશમાં કૌંસ દ્વારા ગુણાકાર કરીએ છીએ, પરંતુ આ ઉત્પાદનને આના દ્વારા સંકુચિત કરવું વધુ ઝડપી છે ચોરસ તફાવત સૂત્ર, તેથી . પછી, યાદ રાખીને, અમે આગામી સંક્રમણ કરીએ છીએ. અને કારણ કે ચતુર્ભુજ સમીકરણનો ભેદભાવ D=b 2 −4·a·c સૂત્રને અનુરૂપ છે, તો પછી છેલ્લા અપૂર્ણાંકમાં D ને બદલે આપણે b 2 −4·a·c બદલી શકીએ છીએ, આપણને મળે છે. કૌંસ અને કાસ્ટિંગ ખોલ્યા પછી સમાન શરતોઆપણે અપૂર્ણાંક પર પહોંચીએ છીએ, અને તેનો 4·aનો ઘટાડો આપે છે. આ મૂળના ઉત્પાદન માટે વિએટાના પ્રમેયનો બીજો સંબંધ સાબિત કરે છે.

જો આપણે સમજૂતીઓને છોડી દઈએ, તો વિયેટાના પ્રમેયનો પુરાવો લેકોનિક સ્વરૂપ લેશે:
,
.

તે માત્ર ત્યારે જ નોંધવાનું રહે છે કે જ્યારે શૂન્ય બરાબરભેદભાવયુક્ત ચતુર્ભુજ સમીકરણનું એક મૂળ છે. જો કે, જો આપણે ધારીએ કે આ કિસ્સામાં સમીકરણ બે છે સમાન મૂળ, પછી વિએટાના પ્રમેયમાંથી સમાનતાઓ પણ ધરાવે છે. ખરેખર, જ્યારે D=0 એ ચતુર્ભુજ સમીકરણનું મૂળ , પછી અને , અને ત્યારથી D=0, એટલે કે, b 2 −4·a·c=0, જ્યાંથી b 2 =4·a·c, તો .

વ્યવહારમાં, વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ મોટાભાગે x 2 +p·x+q=0 સ્વરૂપના ઘટેલા ચતુર્ભુજ સમીકરણ (1ના સમાન અગ્રણી ગુણાંક સાથે)ના સંબંધમાં થાય છે. કેટલીકવાર તે ફક્ત આ પ્રકારના ચતુર્ભુજ સમીકરણો માટે ઘડવામાં આવે છે, જે સામાન્યતાને મર્યાદિત કરતું નથી, કારણ કે કોઈપણ ચતુર્ભુજ સમીકરણને શૂન્ય સિવાયની સંખ્યા a દ્વારા બંને બાજુઓને વિભાજીત કરીને સમકક્ષ સમીકરણ દ્વારા બદલી શકાય છે. ચાલો વિએટાના પ્રમેયની અનુરૂપ રચના આપીએ:

પ્રમેય.

ઘટાડેલા ચતુર્ભુજ સમીકરણ x 2 +p x+q=0 ના મૂળનો સરવાળો વિરુદ્ધ ચિહ્ન સાથે લેવાયેલ x ના ગુણાંક જેટલો છે, અને મૂળનો ગુણાંક મુક્ત પદની બરાબર છે, એટલે કે, x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 = q.

પ્રમેય વિએટાના પ્રમેય સાથે વાતચીત કરે છે

અગાઉના ફકરામાં આપેલ વિયેટાના પ્રમેયનું બીજું સૂત્ર સૂચવે છે કે જો x 1 અને x 2 એ ઘટાડેલા ચતુર્ભુજ સમીકરણ x 2 +p x+q=0 ના મૂળ હોય, તો સંબંધો x 1 +x 2 =−p , x 1 x 2 =q. બીજી બાજુ, લેખિત સંબંધો x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q એ અનુસરે છે કે x 1 અને x 2 એ ચતુર્ભુજ સમીકરણ x 2 +p x+q=0 ના મૂળ છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, વિયેટાના પ્રમેયની વાતચીત સાચી છે. ચાલો તેને પ્રમેયના રૂપમાં ઘડીએ અને સાબિત કરીએ.

પ્રમેય.

જો સંખ્યાઓ x 1 અને x 2 એવી હોય કે x 1 +x 2 =−p અને x 1 · x 2 =q, તો x 1 અને x 2 એ ઘટાડેલા ચતુર્ભુજ સમીકરણ x 2 +p · x+q ના મૂળ છે. =0.

પુરાવો.

x 2 +p·x+q=0 સમીકરણમાં p અને q ને x 1 અને x 2 દ્વારા તેમના અભિવ્યક્તિઓ સાથે બદલ્યા પછી, તે સમકક્ષ સમીકરણમાં પરિવર્તિત થાય છે.

ચાલો પરિણામી સમીકરણમાં x ને બદલે x 1 નંબર બદલીએ અને આપણી પાસે સમાનતા છે x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0, જે કોઈપણ x 1 અને x 2 માટે સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતા 0=0 દર્શાવે છે, ત્યારથી x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. તેથી, x 1 એ સમીકરણનું મૂળ છે x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, જેનો અર્થ છે x 1 એ સમકક્ષ સમીકરણ x 2 +p·x+q=0 નું મૂળ છે.

જો સમીકરણમાં x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0 x ની જગ્યાએ x 2 નંબરને બદલો, આપણને સમાનતા મળે છે x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. આ એક સાચી સમાનતા છે, ત્યારથી x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. તેથી, x 2 એ સમીકરણનું મૂળ પણ છે x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, અને તેથી સમીકરણો x 2 +p·x+q=0.

આ વિએટાના પ્રમેય સાથે પ્રમેયની વાતચીતના પુરાવાને પૂર્ણ કરે છે.

વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરવાના ઉદાહરણો

વિએટાના પ્રમેય અને તેના સંવાદ પ્રમેયના વ્યવહારુ ઉપયોગ વિશે વાત કરવાનો સમય છે. આ વિભાગમાં અમે કેટલાક સૌથી સામાન્ય ઉદાહરણોના ઉકેલોનું વિશ્લેષણ કરીશું.

ચાલો વિએટાના પ્રમેય પર પ્રમેય કન્વર્સ લાગુ કરીને શરૂઆત કરીએ. આપેલ બે સંખ્યાઓ આપેલ ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ છે કે કેમ તે ચકાસવા માટે તેનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે. આ કિસ્સામાં, તેમની રકમ અને તફાવતની ગણતરી કરવામાં આવે છે, જેના પછી સંબંધોની માન્યતા તપાસવામાં આવે છે. જો આ બંને સંબંધો સંતુષ્ટ છે, તો પછી પ્રમેયના આધારે વિયેટાના પ્રમેય સાથે સંવાદ કરે છે, તે તારણ પર આવે છે કે આ સંખ્યાઓ સમીકરણના મૂળ છે. જો ઓછામાં ઓછું એક સંબંધ સંતુષ્ટ ન હોય, તો પછી આ સંખ્યાઓ ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ નથી. મળેલા મૂળને તપાસવા માટે ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલતી વખતે આ અભિગમનો ઉપયોગ કરી શકાય છે.

ઉદાહરણ.

1) x 1 =−5, x 2 =3, અથવા 2) અથવા 3) 4 x 2 −16 x+9=0 ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળની જોડીમાંથી કઇ જોડી છે?

ઉકેલ.

આપેલ ચતુર્ભુજ સમીકરણ 4 x 2 −16 x+9=0 ના ગુણાંક a=4, b=−16, c=9 છે. વિયેટાના પ્રમેય મુજબ, ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળનો સરવાળો −b/a જેટલો હોવો જોઈએ, એટલે કે, 16/4=4, અને મૂળનું ઉત્પાદન c/a બરાબર હોવું જોઈએ, એટલે કે, 9 /4.

હવે ચાલો ત્રણમાંથી પ્રત્યેકની સંખ્યાના સરવાળા અને ગુણાંકની ગણતરી કરીએ આપેલ જોડી, અને તેમને હમણાં જ મેળવેલા મૂલ્યો સાથે સરખાવો.

પ્રથમ કિસ્સામાં આપણી પાસે x 1 +x 2 =−5+3=−2 છે. પરિણામી મૂલ્ય 4 થી અલગ છે, તેથી આગળ કોઈ ચકાસણી હાથ ધરી શકાતી નથી, પરંતુ વિએટાના પ્રમેયને વિપરીત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, તમે તરત જ નિષ્કર્ષ પર આવી શકો છો કે સંખ્યાઓની પ્રથમ જોડી આપેલ ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળની જોડી નથી.

ચાલો બીજા કેસ તરફ આગળ વધીએ. અહીં, એટલે કે, પ્રથમ શરત પૂરી થાય છે. અમે બીજી શરત તપાસીએ છીએ: પરિણામી મૂલ્ય 9/4 થી અલગ છે. પરિણામે, સંખ્યાઓની બીજી જોડી એ ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળની જોડી નથી.

રહ્યા છેલ્લો કેસ. અહીં અને. બંને શરતો પૂરી થાય છે, તેથી આ સંખ્યાઓ x 1 અને x 2 આપેલ ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ છે.

જવાબ:

વિયેટાના પ્રમેયની વાતચીતનો ઉપયોગ ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ શોધવા માટે વ્યવહારમાં થઈ શકે છે. સામાન્ય રીતે, પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે આપેલ ચતુર્ભુજ સમીકરણોના પૂર્ણાંક મૂળ પસંદ કરવામાં આવે છે, કારણ કે અન્ય કિસ્સાઓમાં આ કરવું ખૂબ મુશ્કેલ છે. આ કિસ્સામાં, તેઓ એ હકીકતનો ઉપયોગ કરે છે કે જો બે સંખ્યાઓનો સરવાળો ચતુર્ભુજ સમીકરણના બીજા ગુણાંક જેટલો હોય, તો બાદબાકીના ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવે, અને આ સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન મુક્ત પદની બરાબર હોય, તો આ સંખ્યાઓ આ ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ. આ વાતને એક ઉદાહરણથી સમજીએ.

ચાલો ચતુર્ભુજ સમીકરણ x 2 −5 x+6=0 લઈએ. સંખ્યાઓ x 1 અને x 2 આ સમીકરણના મૂળ બનવા માટે, બે સમાનતાઓ સંતોષવી આવશ્યક છે: x 1 + x 2 =5 અને x 1 · x 2 =6. જે બાકી છે તે આવા નંબરો પસંદ કરવાનું છે. IN આ કિસ્સામાંઆ કરવું એકદમ સરળ છે: આવી સંખ્યાઓ 2 અને 3 છે, કારણ કે 2+3=5 અને 2·3=6. આમ, 2 અને 3 આ ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ છે.

વિયેટાના પ્રમેયથી વિપરીત પ્રમેય આપેલ ચતુર્ભુજ સમીકરણના બીજા મૂળને શોધવા માટે વાપરવા માટે ખાસ કરીને અનુકૂળ છે જ્યારે એક મૂળ પહેલેથી જ જાણીતું હોય અથવા સ્પષ્ટ હોય. આ કિસ્સામાં, બીજું મૂળ કોઈપણ સંબંધોમાંથી શોધી શકાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો ચતુર્ભુજ સમીકરણ 512 x 2 −509 x −3=0 લઈએ. અહીં એ જોવાનું સરળ છે કે એકતા એ સમીકરણનું મૂળ છે, કારણ કે આ ચતુર્ભુજ સમીકરણના ગુણાંકનો સરવાળો શૂન્ય બરાબર છે. તેથી x 1 = 1. બીજું મૂળ x 2 શોધી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, સંબંધ x 1 ·x 2 =c/a. આપણી પાસે 1 x 2 =−3/512 છે, જેમાંથી x 2 =−3/512. આ રીતે આપણે ચતુર્ભુજ સમીકરણના બંને મૂળ નક્કી કર્યા: 1 અને −3/512.

તે સ્પષ્ટ છે કે મૂળની પસંદગી ફક્ત મોટાભાગનામાં જ સલાહભર્યું છે સરળ કેસો. અન્ય કિસ્સાઓમાં, મૂળ શોધવા માટે, તમે ભેદભાવ દ્વારા ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ માટે સૂત્રોનો ઉપયોગ કરી શકો છો.

વિએટાના પ્રમેયની વાતચીતનો બીજો વ્યવહારુ ઉપયોગ એ છે કે મૂળ x 1 અને x 2 ને જોતાં ચતુર્ભુજ સમીકરણો બાંધવા. આ કરવા માટે, મૂળના સરવાળાની ગણતરી કરવા માટે તે પૂરતું છે, જે આપેલ ચતુર્ભુજ સમીકરણની વિરુદ્ધ ચિહ્ન સાથે x માટે ગુણાંક આપે છે, અને મૂળનું ઉત્પાદન, જે આપે છે મફત સભ્ય.

ઉદાહરણ.

એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ લખો જેના મૂળ −11 અને 23 છે.

ઉકેલ.

ચાલો x 1 =−11 અને x 2 =23 સૂચવીએ. અમે આ સંખ્યાઓના સરવાળા અને ગુણાંકની ગણતરી કરીએ છીએ: x 1 +x 2 =12 અને x 1 ·x 2 =−253. આથી, ઉલ્લેખિત નંબરો−12 ના બીજા ગુણાંક અને −253 ના મુક્ત પદ સાથે ઘટાડેલા ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ છે. એટલે કે, x 2 −12·x−253=0 એ જરૂરી સમીકરણ છે.

જવાબ:

x 2 −12·x−253=0 .

ચતુર્ભુજ સમીકરણોના મૂળના ચિહ્નોને લગતી સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતી વખતે વિએટાના પ્રમેયનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે. વિએટાનું પ્રમેય ઘટેલા ચતુર્ભુજ સમીકરણ x 2 +p·x+q=0 ના મૂળના ચિહ્નો સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે? અહીં બે સંબંધિત નિવેદનો છે:

• જો મુક્ત પદ q છે હકારાત્મક સંખ્યાઅને જો ચતુર્ભુજ સમીકરણ વાસ્તવિક મૂળ ધરાવે છે, તો પછી તે બંને હકારાત્મક અથવા નકારાત્મક બંને છે.
• જો મુક્ત શબ્દ q એ નકારાત્મક સંખ્યા છે અને જો ચતુર્ભુજ સમીકરણ વાસ્તવિક મૂળ ધરાવે છે, તો તેમના ચિહ્નો અલગ છે, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, એક મૂળ હકારાત્મક છે અને બીજું નકારાત્મક છે.

આ નિવેદનો સૂત્ર x 1 · x 2 =q, તેમજ વિવિધ ચિહ્નો સાથે હકારાત્મક, નકારાત્મક સંખ્યાઓ અને સંખ્યાઓના ગુણાકાર માટેના નિયમોનું અનુસરણ કરે છે. ચાલો તેમની અરજીના ઉદાહરણો જોઈએ.

ઉદાહરણ.

R તે હકારાત્મક છે. ભેદભાવ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આપણે D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 શોધીએ છીએ, r 2 +8 અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય કોઈપણ વાસ્તવિક r માટે હકારાત્મક છે, આમ કોઈપણ વાસ્તવિક r માટે D>0. તેથી, મૂળ ચતુર્ભુજ સમીકરણ કોઈપણ માટે બે મૂળ ધરાવે છે વાસ્તવિક મૂલ્યોપરિમાણ આર.

હવે મૂળ ક્યારે છે તે શોધી કાઢીએ વિવિધ ચિહ્નો. જો મૂળના ચિહ્નો અલગ હોય, તો તેમનું ઉત્પાદન નકારાત્મક છે, અને વિએટાના પ્રમેય મુજબ, ઘટેલા ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળનું ઉત્પાદન મુક્ત શબ્દ સમાન છે. તેથી, અમને r ના તે મૂલ્યોમાં રસ છે જેના માટે મુક્ત શબ્દ r−1 નકારાત્મક છે. આમ, r ના મૂલ્યો શોધવા માટે, જેમાં અમને રસ છે, અમને જરૂર છે નક્કી કરો રેખીય અસમાનતા r−1<0 , откуда находим r<1 .

જવાબ:

આર પર<1 .

વિએટા સૂત્રો

ઉપર આપણે ચતુર્ભુજ સમીકરણ માટે વિએટાના પ્રમેય વિશે વાત કરી અને તે જે સંબંધોનો દાવો કરે છે તેનું વિશ્લેષણ કર્યું. પરંતુ માત્ર ચતુર્ભુજ સમીકરણોના વાસ્તવિક મૂળ અને ગુણાંકને જોડતા સૂત્રો છે, પણ ઘન સમીકરણો, ચોથા ડિગ્રીના સમીકરણો અને સામાન્ય રીતે, બીજગણિતીય સમીકરણોડિગ્રી એન. તેઓ કહેવાય છે વિએટાના સૂત્રો.

ચાલો ફોર્મની ડિગ્રી n ના બીજગણિતીય સમીકરણ માટે વિએટા સૂત્ર લખીએ, અને અમે ધારીશું કે તેના વાસ્તવિક મૂળ x 1, x 2, ..., x n છે (તેની વચ્ચે એકરૂપ હોઈ શકે છે):

વિયેટાના સૂત્રો મેળવી શકાય છે રેખીય પરિબળોમાં બહુપદીના વિઘટન પર પ્રમેય, તેમજ તેમના તમામ અનુરૂપ ગુણાંકોની સમાનતા દ્વારા સમાન બહુપદીની વ્યાખ્યા. તેથી બહુપદી અને ફોર્મના રેખીય પરિબળોમાં તેનું વિસ્તરણ સમાન છે. છેલ્લા ઉત્પાદનમાં કૌંસ ખોલીને અને અનુરૂપ ગુણાંકની સમાનતા કરીને, અમે વિએટાના સૂત્રો મેળવીએ છીએ.

ખાસ કરીને, n=2 માટે આપણી પાસે ચતુર્ભુજ સમીકરણ માટે પહેલાથી જ પરિચિત વિએટા સૂત્રો છે.

ઘન સમીકરણ માટે, વિએટાના સૂત્રોનું સ્વરૂપ છે

તે માત્ર નોંધવા માટે જ રહે છે કે વિએટાના સૂત્રોની ડાબી બાજુએ કહેવાતા પ્રાથમિક છે. સપ્રમાણ બહુપદી.

સંદર્ભો.

• બીજગણિત:પાઠ્યપુસ્તક 8મા ધોરણ માટે. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ / [યુ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; દ્વારા સંપાદિત એસ. એ. ટેલિયાકોવ્સ્કી. - 16મી આવૃત્તિ. - એમ.: શિક્ષણ, 2008. - 271 પૃષ્ઠ. : બીમાર. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• મોર્ડકોવિચ એ. જી.બીજગણિત. 8 મી ગ્રેડ. 2 કલાકમાં ભાગ 1. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના વિદ્યાર્થીઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક / એ. જી. મોર્ડકોવિચ. - 11મી આવૃત્તિ, ભૂંસી નાખી. - એમ.: નેમોસીન, 2009. - 215 પૃષ્ઠ: બીમાર. ISBN 978-5-346-01155-2.
• બીજગણિતઅને ગાણિતિક વિશ્લેષણની શરૂઆત. 10 મા ધોરણ: પાઠયપુસ્તક. સામાન્ય શિક્ષણ માટે સંસ્થાઓ: મૂળભૂત અને પ્રોફાઇલ. સ્તરો / [યુ. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; દ્વારા સંપાદિત એ.બી. ઝિઝચેન્કો. - 3જી આવૃત્તિ. - એમ.: શિક્ષણ, 2010.- 368 પૃષ્ઠ. : બીમાર. - ISBN 978-5-09-022771-1.

ફ્રાન્કોઈસ વિયેટનો જન્મ 1540 માં ફ્રાન્સમાં ફોન્ટેને-લે-કોમ્ટેમાં થયો હતો. તાલીમ દ્વારા વકીલ. તેઓ વકીલાતમાં વ્યાપકપણે સંકળાયેલા હતા અને 1571 થી 1584 સુધી તેઓ કિંગ્સ જ્યોર્જ III અને જ્યોર્જ IV ના સલાહકાર હતા. પરંતુ તેણે પોતાનો બધો ખાલી સમય, નવરાશનો સમય ગણિત અને ખગોળશાસ્ત્રને સમર્પિત કર્યો. તેમણે 1584 માં શાહી દરબારમાં તેમના પદ પરથી હટાવ્યા પછી ગણિતના ક્ષેત્રમાં ખાસ કરીને સઘન રીતે કામ કરવાનું શરૂ કર્યું. વિયેટે પ્રાચીન અને સમકાલીન ગણિતશાસ્ત્રીઓના કાર્યોનો વિગતવાર અભ્યાસ કર્યો.

ફ્રાન્કોઇસ વિયેટે અનિવાર્યપણે એક નવું બીજગણિત બનાવ્યું. તેણે તેમાં આલ્ફાબેટીક સિમ્બોલિઝમ દાખલ કર્યું. તેમના મુખ્ય વિચારો કૃતિ "વિશ્લેષણાત્મક કલા પરિચય" માં રજૂ કરવામાં આવ્યા છે. તેમણે લખ્યું: "બધા ગણિતશાસ્ત્રીઓ જાણતા હતા કે તેમના બીજગણિત અને અલ્મુકાબાલા હેઠળ અજોડ ખજાના છુપાયેલા છે, પરંતુ તેઓ જાણતા ન હતા કે તેમને કેવી રીતે શોધવું: તેઓ જે સમસ્યાઓને સૌથી મુશ્કેલ માનતા હતા તે અમારી કલાની મદદથી સંપૂર્ણપણે સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે."

ખરેખર, આપણે બધા જાણીએ છીએ કે તેને ઉકેલવું કેટલું સરળ છે, ઉદાહરણ તરીકે, ચતુર્ભુજ સમીકરણો. તેમને ઉકેલવા માટે તૈયાર ફોર્મ્યુલા છે. એફ. વિયેટા પહેલાં, દરેક ચતુર્ભુજ સમીકરણનો ઉકેલ તેના પોતાના નિયમો અનુસાર ખૂબ લાંબી મૌખિક દલીલો અને વર્ણનોના રૂપમાં હાથ ધરવામાં આવતો હતો, તેના બદલે બોજારૂપ ક્રિયાઓ. તેઓ સમીકરણને તેના આધુનિક સ્વરૂપમાં પણ લખી શક્યા નથી. આને બદલે લાંબા અને જટિલ મૌખિક વર્ણનની પણ જરૂર છે. સમીકરણો ઉકેલવા માટેની તકનીકોમાં નિપુણતા મેળવવામાં વર્ષો લાગ્યાં. આધુનિક નિયમો જેવા સામાન્ય નિયમો ન હતા, સમીકરણો ઉકેલવા માટે ઘણા ઓછા સૂત્રો હતા. અચળ ગુણાંક અક્ષરો દ્વારા સૂચવવામાં આવ્યા ન હતા. માત્ર ચોક્કસ સંખ્યાત્મક ગુણાંક સાથેના અભિવ્યક્તિઓ ધ્યાનમાં લેવામાં આવી હતી.

વિયેટે બીજગણિતમાં અક્ષર પ્રતીકો રજૂ કર્યા. વિએટાની નવીનતા પછી, સૂત્રોના રૂપમાં નિયમો લખવાનું શક્ય બન્યું. સાચું, વિયેટ હજુ પણ શબ્દોમાં ઘાતાંક દર્શાવે છે, અને આનાથી કેટલીક સમસ્યાઓ હલ કરવામાં કેટલીક મુશ્કેલીઓ ઊભી થઈ. વિએટાના સમયે, સંખ્યાઓનો પુરવઠો હજુ પણ મર્યાદિત હતો. ફ્રાન્કોઇસ વિયેટે તેમના કાર્યોમાં પ્રથમથી ચોથા ડિગ્રીના સમીકરણો ઉકેલવાના સિદ્ધાંતને ખૂબ જ વિગતવાર દર્શાવ્યો છે.

વિયેટાની મહાન યોગ્યતા એ મનસ્વી કુદરતી ડિગ્રીના ઘટાડેલા સ્વરૂપના સમીકરણોના મૂળ અને ગુણાંક વચ્ચેના સંબંધની શોધ હતી. ઘટેલા ચતુર્ભુજ સમીકરણ માટે આપણે વિયેટાના પ્રખ્યાત પ્રમેયથી સારી રીતે વાકેફ છીએ: “ઘટાડેલા સ્વરૂપના ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળનો સરવાળો વિરોધી ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવેલા બીજા ગુણાંક જેટલો છે, અને આ સમીકરણના મૂળનું ઉત્પાદન છે. મુક્ત મુદતની સમાન." આ પ્રમેય તમને ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાની શુદ્ધતા મૌખિક રીતે તપાસવા દે છે, અને સરળ કિસ્સાઓમાં, સમીકરણોના મૂળ શોધો.

એ પણ નોંધ કરો કે વિયેટે યુરોપમાં π નંબરનું પ્રથમ વિશ્લેષણાત્મક (સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને) રજૂઆત કરી હતી.

1603 માં 63 વર્ષની વયે વિયેતનું અવસાન થયું.

વિયેટાનું પ્રમેય.

મૂળનો સરવાળો ચતુર્ભુજ ત્રિપદી x2 + px + q એ વિરોધી ચિહ્ન સાથેના તેના બીજા ગુણાંક p ની બરાબર છે, અને ઉત્પાદન મુક્ત શબ્દ q ની બરાબર છે.

પુરાવો.

x1 અને x2 ને ચતુર્ભુજ ત્રિપદી x2 + px + q ના જુદા જુદા મૂળ હોવા દો. વિયેટાનું પ્રમેય જણાવે છે કે નીચેના સંબંધો ધરાવે છે: x1 + x2 = –p x1 x2 = q

આ સાબિત કરવા માટે, ચાલો દરેક મૂળને ચતુર્ભુજ ત્રિનોમી માટે અભિવ્યક્તિમાં બદલીએ. આપણને બે સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતા મળે છે: x12 + px1 + q = 0 x22 + px2 + q = 0

ચાલો આ સમાનતાઓને એકબીજામાંથી બાદ કરીએ. આપણને x12 – x22 + p (x1 – x2) = 0 મળે છે

ચાલો ચોરસના તફાવતને વિસ્તૃત કરીએ અને તે જ સમયે બીજા પદને જમણી બાજુએ ખસેડીએ:

(x1 – x2) (x1 + x2) = –p (x1 – x2)

કારણ કે શરત દ્વારા મૂળ x1 અને x2 અલગ છે, પછી x1 – x2 ≠ 0 અને આપણે સમાનતાને x1 – x2 વડે વિભાજિત કરી શકીએ છીએ. આપણે પ્રમેયની પ્રથમ સમાનતા મેળવીએ છીએ: x1 + x2 = –p

બીજાને સાબિત કરવા માટે, ચાલો ઉપર લખેલ સમાનતાઓમાંથી એકમાં બદલીએ (ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમ) ગુણાંક p ને બદલે, એક સમાન સંખ્યા – (x1 + x2): x12 – (x1 + x2) x1 + q = 0

ડાબી બાજુનું રૂપાંતર કરવાથી, આપણને મળે છે: x12 – x12 – x2 x1 + q = 0 x1 x2 = q, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

અનિયંત્રિત ચતુર્ભુજ સમીકરણના કિસ્સામાં ax2 + bx + c = 0: x1+x2 = x1x2 =

પ્રમેય વિયેટાના પ્રમેયથી વિપરીત.

જો સમાનતા x1+x2 = અને x1x2 = સંતુષ્ટ હોય, તો સંખ્યાઓ x1 અને x2 એ ચતુર્ભુજ સમીકરણ ax2 + bx + c = 0 ના મૂળ છે.

પુરાવો.

સમાનતા x1+x2 = અને x1x2 = તે અનુસરે છે કે x2 + x + =x2 - (x1+x2)x + x1x2.

પરંતુ x2 - (x1+x2)x + x1x2 = (x-x1)(x-x2) અને તેથી x2 + x + = (x-x1)(x-x2).

તે અનુસરે છે કે x1 અને x2 એ x2 + x + = 0 સમીકરણના મૂળ છે અને તેથી સમીકરણો ax2 + bx + c = 0 છે.

વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ.

વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ ચતુર્ભુજ સમીકરણોના મૂળ શોધવા માટે 8મા ધોરણમાં થાય છે. તમે આ પ્રમેયના ઉપયોગના અવકાશને વિસ્તૃત કરી શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે, ગ્રેડ 9-11 માં સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા અને ચતુર્ભુજ સમીકરણો અને તેમના મૂળના અભ્યાસને લગતી સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે. આ સમય ઘટાડે છે અને સિસ્ટમને હલ કરવાનું સરળ બનાવે છે.

સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો:

જો આપણે ધારીએ કે અમુક ચતુર્ભુજ સમીકરણના x અને y મૂળ, જેનાં મૂળનો સરવાળો 5 બરાબર છે, અને તેમનું ઉત્પાદન 6 બરાબર છે, તો આપણને બે પ્રણાલીઓનો સમૂહ મળે છે.

જવાબ: (2;3), (3;2).

વિદ્યાર્થીઓ ઝડપથી ઉકેલવાની આ પદ્ધતિમાં નિપુણતા મેળવે છે અને તેનો આનંદ સાથે ઉપયોગ કરે છે. પછી તમે 10-11 ગ્રેડમાં વિવિધ વિષયોનો અભ્યાસ કરતી વખતે સિસ્ટમને જટિલ બનાવી શકો છો અને આ તકનીકનો ઉપયોગ કરી શકો છો.

સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો:

x > 0 y > 0 શરત હેઠળ આપણને મળે છે

ચાલો અને અમુક ઘટાડેલા ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ હોઈએ, તો આ સિસ્ટમ બે સિસ્ટમોના સમૂહની સમકક્ષ છે

વસ્તીની બીજી સિસ્ટમ પાસે કોઈ ઉકેલ નથી; પ્રથમનો ઉકેલ એ x=9,y=4 છે.

જવાબ: (9;4).

નીચે સમીકરણોની પ્રણાલીઓ છે જે વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે.

જવાબ: (65;3), (5;63).

જવાબ: (23;11), (7;27).

જવાબ: (4;729), (81;4096).

જવાબ: (2;2).

5. x + y = 12 જવાબ: (8;4), (4;8).

જવાબ: (9;4), (4;9).

સમીકરણોની સમાન પ્રણાલીઓ શિક્ષક પોતે સંકલિત કરી શકે છે અથવા વિદ્યાર્થીઓ આમાં સામેલ થઈ શકે છે, જે વિષયમાં રસ વિકસાવવામાં મદદ કરે છે.

મૌખિક ઉકેલ કાર્યો.

ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલ્યા વિના, તેમના મૂળ શોધો.

1. x2 - 6x + 8 = 0 જવાબ: 2;4.

2. x2 – 5x – 6 = 0 જવાબ: -1;6.

3. x2 + 2x - 24 = 0 જવાબ: -6;4.

4. x2 + 9x + 14 = 0 જવાબ: -7;-2.

5. x2 – 7x + 10 = 0 જવાબ: 2;5.

6. 2x2 + 7x + 5 = 0 જવાબ: -2.5;-1.

ચાલો આપણે એવી સમસ્યાઓનો વિચાર કરીએ જેમાં વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ થાય છે.

9x²+18x-8=0 સમીકરણ ઉકેલ્યા વિના, x1³+x2³ શોધો, જ્યાં x1,x2 તેના મૂળ છે.

9x²+18x-8=0 │:9 x²+2x-=0

1) ભેદભાવ શૂન્ય કરતાં મોટો છે, D>0, જેનો અર્થ છે x1, x2 વાસ્તવિક મૂળ છે.

વિએટાના પ્રમેય મુજબ, તે નીચે મુજબ છે: x1+x2=-2 x1∙x2= -

3) એક્સપ્રેશન x1³+x2³: x1³+x2³=(x1+x2)(x1²-x1 x2 +x2²)= (x1+x2)(x1²+2x1 x2 +x2² -2x1 x2 –

X1 x2)=(x1+x2)((x1 +x2)²-3x1 x2).

ચાલો આપણે જાણીએ છીએ તે મૂલ્યોને પરિણામી સૂત્રમાં બદલીએ અને જવાબ મેળવીએ:

2((-2)²-3(-))= -2(4+)= -2∙= -

9x²-18(k-1)x-8k+24=0,x2 =2x1 સમીકરણમાં k ની કેટલી કિંમત છે.

9x²-18(k-1)x -8k+24=0 │:9 x²-2(k-1)x -k+=0 x2=2x1.

વિએટાના પ્રમેય મુજબ: x1∙x2= -k x1+ x2=2(k-1), અમે બે સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવી અને x2 ને બદલે 2x1 લીધું.

2x12=-k│:2 x1²=-k

3x1=2(k-1)│:3 x1=k-

ચાલો પરિણામી સમીકરણોની તુલના કરીએ:

ચાલો ચતુર્ભુજ સમીકરણ હલ કરીએ અને k શોધીએ:

D=b²-4ac D=+=+=()² x1;x2= k1;k2= k1=2 k2=-1

જવાબ: k1=-1 અને k2=2 સાથે.

x1;x2 એ ચતુર્ભુજ સમીકરણ x²+13x-17=0નું મૂળ છે. એક સમીકરણ બનાવો જેના મૂળ 2-x1 અને 2-x2 નંબરો હશે.

સમીકરણ x²+13x-17=0 ધ્યાનમાં લો.

1) ભેદભાવ D>0, જેનો અર્થ છે x1; x2 વાસ્તવિક મૂળ છે.

વિએટાના પ્રમેય દ્વારા: x1 +x2 = -13 x1 x2 = -17

3) આ સિસ્ટમમાં 2-x2 અને 2-x2 નંબરો બદલો.

(2-x1)+(2-x2)= -13 2-x1+2-x2 =-13 x1+x2 =17

(2-x1)·(2-x2)= -17 4-2x1-2x2+x1x =-17 -2(x1+x2) +x1x2 =-21 x1+x2 =17 x1 + x2 =17

2 17+x1 x2 = -21 x1x2 =13

તેથી, વિયેટાના પ્રમેયને લાગુ કરતાં, ઇચ્છિત સમીકરણ x²-17x+13=0 છે.

જવાબ: x²-17x+13=0.

એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ ax2+bx+c=0 આપેલ છે, જો x2>x1,x1>0,x2 હોય તો b અને cના ચિહ્નો શું છે?

x2 x1 થી, તે b>0,c ને અનુસરે છે

જવાબ: b>0,с

6) ચતુર્ભુજ સમીકરણ ax2+bx+c=0 જોતાં, x1 0,x2>0 હોય તો b અને cનાં ચિહ્નો શું છે.

વિએટાના પ્રમેય દ્વારા: x1+x2=-b x1∙x2=c

x1>0, x2>0, અને x2>x1 થી, તે b 0 ને અનુસરે છે.

માટે કાર્યો સ્વતંત્ર નિર્ણય.

1) 2x²-3x-11=0 સમીકરણ ઉકેલ્યા વિના, + શોધો, જ્યાં x1;x2 તેના મૂળ છે.

2) અભિવ્યક્તિ + ની કિંમત શોધો, જ્યાં x1;x2 ત્રિનોમી x²-18x+11=0 ના મૂળ છે.

3) x1;x2 એ ચતુર્ભુજ સમીકરણ x²-7x-46=0 ના મૂળ છે.

એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ લખો જેના મૂળ સંખ્યાઓ છે

2x1 +x2 અને 2x2 +x1.

જવાબ: 9x2-21x-481=0

4) k નું પૂર્ણાંક મૂલ્ય સમીકરણના મૂળમાંથી એક છે

4x²-(3k+2)x+(k²-1)=0 સેકન્ડ કરતાં ત્રણ ગણો ઓછો?

જવાબ: k=2.

5) ચતુર્ભુજ સમીકરણ ax2+bx+c=0 જોતાં, x1 0 હોય તો b અને cનાં ચિહ્નો શું છે.

મ્યુનિસિપલ બજેટરી શૈક્ષણિક સંસ્થા

"સરેરાશ માધ્યમિક શાળાનંબર 64" બ્રાયન્સ્ક

શહેરની વૈજ્ઞાનિક અને પ્રાયોગિક પરિષદ

"વિજ્ઞાનમાં પ્રથમ પગલાં"

વૈજ્ઞાનિક સંશોધન કાર્ય

"ત્રીજી અને ચોથી ડિગ્રીના સમીકરણો માટે વિયેટનું પ્રમેય"

ગણિત

આના દ્વારા પૂર્ણ: 11b ગ્રેડનો વિદ્યાર્થી

શાનોવ ઇલ્યા અલેકસેવિચ

વૈજ્ઞાનિક નિરીક્ષક:

ગણિત શિક્ષક,

ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ગણિતના ઉમેદવાર વિજ્ઞાન

બાયકોવ સેર્ગેઈ વેલેન્ટિનોવિચ

બ્રાયન્સ્ક 2012

પરિચય……………………………………………………………………………… 3

લક્ષ્યો અને ઉદ્દેશો ……………………………………………………… 4

સંક્ષિપ્ત ઐતિહાસિક પૃષ્ઠભૂમિ ………………………………………… 4

ચતુર્ભુજ સમીકરણ …………………………………………………. 5

ઘન સમીકરણ ………………………………………………………. 6

ચોથી ડિગ્રીનું સમીકરણ ……………………………………… 7

વ્યવહારુ ભાગ………………………………………………. 9

સંદર્ભો ……………………………………………………… 12

પરિશિષ્ટ ……………………………………………………………… 13

પરિચય

બીજગણિતનું મૂળભૂત પ્રમેય જણાવે છે કે ક્ષેત્ર બીજગણિતીય રીતે બંધ છે, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ક્ષેત્ર પર જટિલ ગુણાંક (સામાન્ય રીતે) સાથે ડિગ્રી n ના બરાબર n સમીકરણો છે. જટિલ મૂળ. ત્રીજી ડિગ્રીના સમીકરણો Cordano ના સૂત્ર દ્વારા ઉકેલવામાં આવે છે. ફેરારી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ચોથી ડિગ્રીના સમીકરણો. વધુમાં, બીજગણિત સિદ્ધાંતમાં તે સાબિત થયું છે કે જો પછી સમીકરણનું મૂળ છે આ સમીકરણનું મૂળ પણ છે. ઘન સમીકરણ માટે, નીચેના કિસ્સાઓ શક્ય છે:

ત્રણેય મૂળ વાસ્તવિક છે;

બે મૂળ જટિલ છે, એક વાસ્તવિક છે.

તે અનુસરે છે કે કોઈપણ ઘન સમીકરણમાં ઓછામાં ઓછું એક વાસ્તવિક મૂળ હોય છે.

ચોથા ડિગ્રી સમીકરણ માટે:

ચારેય મૂળ અલગ છે.

બે મૂળ વાસ્તવિક છે, બે જટિલ છે.

ચારેય મૂળ જટિલ છે.

આ કાર્ય વિએટાના પ્રમેયના સંપૂર્ણ અભ્યાસ માટે સમર્પિત છે: તેની રચના, સાબિતી, તેમજ આ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓનું નિરાકરણ.

કરવામાં આવેલ કાર્યનો હેતુ 11મા ધોરણના વિદ્યાર્થીઓને મદદ કરવાનો છે યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પાસ કરવી, તેમજ યુવાન ગણિતશાસ્ત્રીઓ માટે કે જેઓ સરળ અને પ્રત્યે ઉદાસીન નથી અસરકારક પદ્ધતિઓમાં ઉકેલો વિવિધ વિસ્તારોગણિત

આ કાર્યનું પરિશિષ્ટ મેં અભ્યાસ કરેલ નવી સામગ્રીને સ્વતંત્ર રીતે ઉકેલવા અને એકીકૃત કરવા માટે સમસ્યાઓનો સંગ્રહ પ્રદાન કરે છે.

આ મુદ્દાને અવગણી શકાય નહીં, કારણ કે તે ગણિત માટે મહત્વપૂર્ણ છે, સામાન્ય રીતે વિજ્ઞાન માટે અને વિદ્યાર્થીઓ અને આવી સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં રસ ધરાવતા લોકો માટે.

કાર્યના લક્ષ્યો અને ઉદ્દેશ્યો:

થર્ડ-ડિગ્રી સમીકરણ માટે વિએટાના પ્રમેયનું એનાલોગ મેળવો.

ત્રીજા ડિગ્રીના સમીકરણ માટે વિએટાના પ્રમેયનું એનાલોગ સાબિત કરો.

ચોથા ડિગ્રીના સમીકરણ માટે વિએટાના પ્રમેયનું એનાલોગ મેળવો.

ચોથા ડિગ્રીના સમીકરણ માટે વિએટાના પ્રમેયનું એનાલોગ સાબિત કરો.

વ્યવહારિક સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે આ પ્રશ્નોના ઉપયોગને ધ્યાનમાં લો.

• ખાતરી કરો કે આ પ્રમેયનો ઉપયોગ વ્યવહારુ છે.

ઊંડું કરો ગાણિતિક જ્ઞાનસમીકરણ ઉકેલવાના ક્ષેત્રમાં.

ગણિતમાં રસ કેળવો.

સંક્ષિપ્ત ઐતિહાસિક પૃષ્ઠભૂમિ

કવિતામાં ગાવા યોગ્ય છે

વિયેટ્ટેના થિયોરેમના મૂળના ગુણધર્મો પર...

ફ્રાન્કોઇસ વિયેટ (1540-1603) - ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી. વ્યવસાયે વકીલ. 1591 માં, તેમણે માત્ર અજાણ્યા જથ્થાઓ માટે જ નહીં, પણ સમીકરણોના ગુણાંક માટે પણ અક્ષર હોદ્દો રજૂ કર્યા; આનો આભાર, સામાન્ય સૂત્રો દ્વારા સમીકરણોના ગુણધર્મો અને તેમના મૂળને વ્યક્ત કરવાનું પ્રથમ વખત શક્ય બન્યું. તે 2જી, 3જી અને 4ઠ્ઠી ડિગ્રીના સમીકરણો ઉકેલવા માટે એક સમાન પદ્ધતિ સ્થાપિત કરવા માટે જવાબદાર હતા. શોધોમાં, વિયેટે પોતે ખાસ કરીને સમીકરણોના મૂળ અને ગુણાંક વચ્ચેના સંબંધની સ્થાપનાને ખૂબ મૂલ્યવાન ગણાવ્યું હતું. સાથેના સમીકરણોના અંદાજિત ઉકેલ માટે સંખ્યાત્મક ગુણાંકવિયેથે ન્યૂટનની પછીની પદ્ધતિ જેવી જ પદ્ધતિનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો. ત્રિકોણમિતિમાં, ફ્રાન્કોઈસ વિયેટે ત્રણ ડેટામાંથી સપાટ અથવા ગોળાકાર ત્રિકોણના તમામ ઘટકોને નિર્ધારિત કરવાની સમસ્યાનો સંપૂર્ણ ઉકેલ આપ્યો, અને cos ના મહત્વપૂર્ણ વિસ્તરણ શોધી કાઢ્યા. nxઅને પાપ nx cos ની સત્તામાં એક્સઅને પાપ એક્સ.તેમણે પ્રથમ વખત અનંત કાર્યોને ધ્યાનમાં લીધા. વિયેટાની કૃતિઓ મુશ્કેલ ભાષામાં લખવામાં આવી હતી અને તેથી તેઓને લાયક કરતાં તેમના સમયમાં ઓછું વિતરણ મળ્યું .

ચતુર્ભુજ સમીકરણ

પ્રથમ, ચાલો બીજા-ડિગ્રી સમીકરણો માટે વિએટાના સૂત્રો યાદ કરીએ, જે આપણે પ્રોગ્રામમાં શીખ્યા. શાળા અભ્યાસક્રમતાલીમ

ટી
વિયેટાનું પ્રમેયચતુર્ભુજ સમીકરણ માટે (8મું ધોરણ)

ઇ
જો અને ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ હોય તો

એટલે કે, ઘટાડેલા ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળનો સરવાળો વિરોધી ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવેલા બીજા ગુણાંક જેટલો છે, અને મૂળનું ઉત્પાદન મુક્ત પદની બરાબર છે.

પણ, પ્રમેય યાદ રાખો, વિએટાના પ્રમેયનું ઊલટું:

જો નંબરો - પીઅને qએવા છે કે

પછી અને સમીકરણના મૂળ છે

વિએટાનું પ્રમેય એમાં નોંધપાત્ર છે કે, ચોરસ ત્રિપદીના મૂળને જાણ્યા વિના, આપણે સરળતાથી તેમના સરવાળા અને ઉત્પાદનની ગણતરી કરી શકીએ છીએ, એટલે કે, સૌથી સરળ સપ્રમાણ સમીકરણો.

વિયેટાનો પ્રમેય તમને ચોરસ ત્રિનોમીના સંપૂર્ણ મૂળનો અનુમાન લગાવવા દે છે.

ઘન સમીકરણ

હવે ચાલો વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ઘન સમીકરણની રચના અને ઉકેલ તરફ સીધા જ આગળ વધીએ.

ફોર્મ્યુલેશન

TO
સર્વવ્યાપક સમીકરણ એ ફોર્મનું ત્રીજા ક્રમનું સમીકરણ છે

જ્યાં a ≠ 0.

જો a = 1, પછી સમીકરણને ઘટાડેલ ઘન સમીકરણ કહેવામાં આવે છે:

તેથી, આપણે સમીકરણ માટે તે સાબિત કરવાની જરૂર છે

નીચેનું પ્રમેય સાચું છે:

n
રુટ લો આપેલ સમીકરણ, પછી

પુરાવો

ચાલો બહુપદીની કલ્પના કરીએ

ચાલો પરિવર્તનો કરીએ:

તેથી, અમે તે મેળવીએ છીએ

બે બહુપદી સમાન હોય છે જો અને માત્ર જો અનુરૂપ શક્તિઓ પર તેમના ગુણાંક સમાન હોય.

આનો અર્થ એ છે કે

Q.E.D.

હવે પ્રમેયને ધ્યાનમાં લો, ત્રીજા અંશના સમીકરણ માટે વિએટાના પ્રમેયનું ઊલટું.

એફ
રચના

ઇ
જો સંખ્યાઓ એવી હોય

ચોથી ડિગ્રી સમીકરણ

હવે ચાલો ચોથા-ડિગ્રી સમીકરણ માટે વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ચોથા-ડિગ્રી સમીકરણને સેટ કરવા અને ઉકેલવા તરફ આગળ વધીએ.

ફોર્મ્યુલેશન

યુ
ચોથા ડિગ્રીનું સમીકરણ - ફોર્મનું સમીકરણ

જી
દ a ≠ 0.

ઇ
જો a = 1, પછી સમીકરણને ઘટાડો કહેવામાં આવે છે

અને
તેથી, ચાલો તે સમીકરણ માટે સાબિત કરીએ

સાથે
નીચેનું પ્રમેય સાચું છે: આપેલ સમીકરણના મૂળ દો, પછી

પુરાવો

ચાલો બહુપદીની કલ્પના કરીએ

ચાલો પરિવર્તનો કરીએ:

તેથી, અમે તે મેળવીએ છીએ

તે આપણે જાણીએ છીએ બે બહુપદી સમાન હોય છે જો અને માત્ર જો અનુરૂપ શક્તિઓ પર તેમના ગુણાંક સમાન હોય.

આનો અર્થ એ છે કે

Q.E.D.

પ્રમેયને ધ્યાનમાં લો, ચોથા-અંતરના સમીકરણ માટે વિએટાના પ્રમેયનું ઊલટું.

ફોર્મ્યુલેશન

જો સંખ્યાઓ એવી છે કે

પછી આ સંખ્યાઓ સમીકરણના મૂળ છે

વ્યવહારુ ભાગ

હવે ચાલો ત્રીજા અને ચોથા ડિગ્રીના સમીકરણો માટે વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓના ઉકેલો જોઈએ.

કાર્ય નંબર 1

જવાબ: 4, -4.

કાર્ય નંબર 2

જવાબ: 16, 24.

આ સમીકરણોને ઉકેલવા માટે, અમે અનુક્રમે કાર્ડાનોના સૂત્રો અને ફેરારીની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ, પરંતુ વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, આપણે આ સમીકરણોના મૂળના સરવાળા અને ઉત્પાદનને જાણીએ છીએ.

કાર્ય નંબર 3

ત્રીજી ડિગ્રીનું સમીકરણ બનાવો જો તે જાણીતું હોય કે મૂળનો સરવાળો 6 છે, મૂળનો જોડી કરેલ ઉત્પાદન 3 છે, અને ઉત્પાદન -4 છે.

ચાલો એક સમીકરણ બનાવીએ, આપણને મળે છે

કાર્ય નંબર 4

ત્રીજી ડિગ્રીનું સમીકરણ લખો જો તે જાણીતું હોય કે મૂળનો સરવાળો બરાબર છે 8 , મૂળની જોડી ઉત્પાદન સમાન છે 4 , ત્રણ ગણું ઉત્પાદન બરાબર છે 12 , અને ઉત્પાદન 20 .

ઉકેલ: વિયેટાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણને મળે છે

ચાલો એક સમીકરણ બનાવીએ, આપણને મળે છે

વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, અમે તેમના મૂળનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી સમીકરણો બનાવીએ છીએ. આ સૌથી વધુ છે તર્કસંગત માર્ગઆ સમસ્યાઓનું નિરાકરણ.

સમસ્યા #5

જ્યાં a, b, c હેરોનના સૂત્રો છે.

ચાલો કૌંસ ખોલીએ અને અભિવ્યક્તિનું રૂપાંતર કરીએ, આપણને મળે છે

ઝેડ
નોંધ કરો કે આમૂલ અભિવ્યક્તિ છે ઘન અભિવ્યક્તિ. ચાલો આપણે અનુરૂપ ઘન સમીકરણ માટે વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ, તો આપણી પાસે તે છે

ઝેડ

એ જાણીને કે અમને મળે છે:

આ સમસ્યાના ઉકેલ પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે વિયેટાનું પ્રમેય માંથી સમસ્યાઓ પર લાગુ થાય છે વિવિધ વિસ્તારોગણિત

નિષ્કર્ષ

આ પેપરમાં, વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ત્રીજા અને ચોથા ડિગ્રીના સમીકરણોને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિની તપાસ કરવામાં આવી હતી. કાર્યમાં મેળવેલા સૂત્રો વાપરવા માટે સરળ છે. અભ્યાસ દરમિયાન, તે સ્પષ્ટ થયું કે કેટલાક કિસ્સાઓમાં આ પદ્ધતિ અનુક્રમે ત્રીજા અને ચોથા અંશના સમીકરણો માટે Cordano ફોર્મ્યુલા અને ફેરારી પદ્ધતિ કરતાં વધુ અસરકારક છે.

વિયેટાનો પ્રમેય વ્યવહારમાં લાગુ કરવામાં આવ્યો હતો. સંખ્યાબંધ સમસ્યાઓ હલ કરવામાં આવી હતી જેણે નવી સામગ્રીને વધુ સારી રીતે એકીકૃત કરવામાં મદદ કરી.

આ અભ્યાસ મારા માટે ખૂબ જ રસપ્રદ અને શૈક્ષણિક હતો. ગણિતમાં મારું જ્ઞાન વધુ ઊંડું કરીને, મેં ઘણી બધી રસપ્રદ બાબતો શોધી કાઢી અને આ સંશોધન કરવામાં મને આનંદ થયો.

પરંતુ સમીકરણો ઉકેલવાના ક્ષેત્રમાં મારું સંશોધન પૂરું થયું નથી. ભવિષ્યમાં, હું વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને nth ડિગ્રી સમીકરણના ઉકેલનો અભ્યાસ કરવાની યોજના ઘડી રહ્યો છું.

હું મારા પ્રત્યે ઊંડો આભાર વ્યક્ત કરવા માંગુ છું વૈજ્ઞાનિક સુપરવાઈઝર, ભૌતિક અને ગાણિતિક વિજ્ઞાનના ઉમેદવાર અને આવી શક્યતા અસામાન્ય સંશોધનઅને કામ પર સતત ધ્યાન આપો.

સંદર્ભો

વિનોગ્રાડોવ આઇ.એમ. ગાણિતિક જ્ઞાનકોશ. એમ., 1977.

વી.બી. લિડસ્કી, એલ.વી. ઓવ્સ્યાનીકોવ, એ.એન. તુલાઈકોવ, એમ.આઈ. શાબુનીન. માટે કાર્યો પ્રાથમિક ગણિત, ફિઝમેટલીટ, 1980.