ત્રિકોણમિતિ વિધેયો ધરાવતા અતાર્કિક સમીકરણોનું નિરાકરણ. અતાર્કિક સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ

મ્યુનિસિપલ શૈક્ષણિક સંસ્થા

"કુએડિનો માધ્યમિક શાળા નંબર 2"

અતાર્કિક સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ

દ્વારા પૂર્ણ: ઓલ્ગા એગોરોવા,

સુપરવાઈઝર:

શિક્ષક

ગણિત

ઉચ્ચતમ લાયકાત

પરિચય....……………………………………………………………………………………… 3

વિભાગ 1. અતાર્કિક સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ…………………………………6

1.1 ભાગ C ના અતાર્કિક સમીકરણો ઉકેલવા ………………………………………21

વિભાગ 2. વ્યક્તિગત કાર્યો…………………………………………….....………...24

જવાબો………………………………………………………………………………………….25

સંદર્ભોની સૂચિ…….…………………………………………………………………….26

પરિચય

માં ગણિતનું શિક્ષણ મેળવ્યું માધ્યમિક શાળા, છે આવશ્યક ઘટક સામાન્ય શિક્ષણઅને સામાન્ય સંસ્કૃતિ આધુનિક માણસ. આધુનિક માણસની આસપાસની લગભગ દરેક વસ્તુ ગણિત સાથે જોડાયેલી છે. એ નવીનતમ સિદ્ધિઓભૌતિકશાસ્ત્ર, ઈજનેરી અને માહિતી ટેકનોલોજીમાં કોઈ શંકા નથી કે ભવિષ્યમાં સ્થિતિ એવી જ રહેશે. તેથી, ઘણા નિર્ણય વ્યવહારુ સમસ્યાઓનિર્ણય પર આવે છે વિવિધ પ્રકારોસમીકરણો કે જેને ઉકેલવા માટે તમારે શીખવાની જરૂર છે. આમાંથી એક પ્રકાર અતાર્કિક સમીકરણો છે.

અતાર્કિક સમીકરણો

એક સમીકરણ જેમાં અજ્ઞાત (અથવા તર્કસંગત બીજગણિતીય અભિવ્યક્તિઅજ્ઞાત થી) આમૂલ ચિહ્ન હેઠળ, કહેવાય છે અતાર્કિક સમીકરણ. IN પ્રાથમિક ગણિતઅતાર્કિક સમીકરણોના ઉકેલો વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહમાં જોવા મળે છે.

કોઈપણ અતાર્કિક સમીકરણને પ્રાથમિક બીજગણિતીય કામગીરીનો ઉપયોગ કરીને તર્કસંગત બીજગણિતીય સમીકરણમાં ઘટાડી શકાય છે (ગુણાકાર, ભાગાકાર, સમીકરણની બંને બાજુઓને પૂર્ણાંક શક્તિમાં વધારવી). તે ધ્યાનમાં રાખવું જોઈએ કે પરિણામી તર્કસંગત બીજગણિત સમીકરણ મૂળ અતાર્કિક સમીકરણની સમકક્ષ ન હોઈ શકે, એટલે કે, તેમાં "વધારાના" મૂળ હોઈ શકે છે જે મૂળ અતાર્કિક સમીકરણના મૂળ હશે નહીં. તર્કસંગત સમીકરણ. તેથી, પરિણામી તર્કસંગત બીજગણિત સમીકરણના મૂળ મળ્યા પછી, તર્કસંગત સમીકરણના તમામ મૂળ અતાર્કિક સમીકરણના મૂળ હશે કે કેમ તે તપાસવું જરૂરી છે.

સામાન્ય કિસ્સામાં, કોઈપણ અતાર્કિક સમીકરણને ઉકેલવા માટે કોઈપણ સાર્વત્રિક પદ્ધતિ સૂચવવી મુશ્કેલ છે, કારણ કે તે ઇચ્છનીય છે કે, મૂળ અતાર્કિક સમીકરણના પરિવર્તનના પરિણામે, પરિણામ માત્ર કેટલાક તર્કસંગત બીજગણિત સમીકરણ નથી, જેનાં મૂળ વચ્ચે છે. જે આપેલ અતાર્કિક સમીકરણના મૂળ હશે, પરંતુ શક્ય તેટલી નાની ડિગ્રીના બહુપદીમાંથી બનેલું તર્કસંગત બીજગણિતીય સમીકરણ. શક્ય તેટલી નાની ડિગ્રીના બહુપદીઓમાંથી બનેલા તર્કસંગત બીજગણિતીય સમીકરણને મેળવવાની ઈચ્છા તદ્દન સ્વાભાવિક છે, કારણ કે તર્કસંગત બીજગણિતીય સમીકરણના તમામ મૂળ પોતાનામાં જ શોધી શકાય છે. મુશ્કેલ કાર્ય, જેને આપણે ફક્ત ખૂબ જ મર્યાદિત સંખ્યામાં કેસોમાં સંપૂર્ણપણે હલ કરી શકીએ છીએ.

અતાર્કિક સમીકરણોના પ્રકાર

સમ ડિગ્રીના અતાર્કિક સમીકરણો ઉકેલવાથી હંમેશા કારણ બને છે વધુ સમસ્યાઓવિષમ ડિગ્રીના અતાર્કિક સમીકરણો ઉકેલવા કરતાં. વિષમ ડિગ્રીના અતાર્કિક સમીકરણોને હલ કરતી વખતે, OD બદલાતું નથી. તેથી, નીચે આપણે અતાર્કિક સમીકરણોને ધ્યાનમાં લઈશું જેની ડિગ્રી સમાન છે. બે પ્રકારના અતાર્કિક સમીકરણો છે:

2..

ચાલો તેમાંથી પ્રથમ ધ્યાનમાં લઈએ.

ODZ સમીકરણો: f(x)≥ 0. ODZ માં ડાબી બાજુસમીકરણ હંમેશા બિન-નકારાત્મક હોય છે - તેથી ઉકેલ ત્યારે જ અસ્તિત્વમાં હોઈ શકે છે જ્યારે g(x)≥ 0. આ કિસ્સામાં, સમીકરણની બંને બાજુઓ બિન-ઋણાત્મક છે, અને ઘાત 2 nસમકક્ષ સમીકરણ આપે છે. અમે તે મેળવીએ છીએ

ચાલો એ હકીકત પર ધ્યાન આપીએ કે આ કિસ્સામાં ODZ આપોઆપ કરવામાં આવે છે, અને તમારે તેને લખવાની જરૂર નથી, પરંતુ શરતg(x) ≥ 0 ચકાસાયેલ હોવું આવશ્યક છે.

નોંધ: આ ખૂબ જ છે મહત્વપૂર્ણ સ્થિતિસમાનતા સૌપ્રથમ, તે વિદ્યાર્થીને તપાસ કરવાની જરૂરિયાતમાંથી મુક્ત કરે છે, અને ઉકેલો શોધ્યા પછી, સ્થિતિ f(x) ≥ 0 તપાસો - આમૂલ અભિવ્યક્તિની બિન-નકારાત્મકતા. બીજું, તે સ્થિતિ તપાસવા પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરે છેg(x) ≥ 0 – જમણી બાજુની બિન-નકારાત્મકતા. છેવટે, સ્ક્વેરિંગ પછી, સમીકરણ હલ થાય છે એટલે કે, બે સમીકરણો એકસાથે હલ થાય છે (પરંતુ સંખ્યાત્મક અક્ષના વિવિધ અંતરાલ પર!):

1. - ક્યાં g(x)≥ 0 અને

2. - જ્યાં g(x) ≤ 0.

દરમિયાન, ઘણા, ODZ શોધવાની શાળાની આદતની બહાર, આવા સમીકરણો ઉકેલતી વખતે બરાબર વિરુદ્ધ કાર્ય કરે છે:

a) ઉકેલો શોધ્યા પછી, તેઓ અંકગણિત ભૂલો કરતી વખતે અને ખોટું પરિણામ મેળવતી વખતે f(x) ≥ 0 (જે આપમેળે સંતુષ્ટ થાય છે) ની સ્થિતિ તપાસે છે;

b) સ્થિતિને અવગણોg(x) ≥ 0 - અને ફરીથી જવાબ ખોટો હોઈ શકે છે.

નોંધ: હલ કરતી વખતે સમકક્ષતાની સ્થિતિ ખાસ કરીને ઉપયોગી છે ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો, જેમાં ODZ નું સ્થાન ઉકેલ સાથે સંબંધિત છે ત્રિકોણમિતિ અસમાનતા, જે ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા કરતાં વધુ મુશ્કેલ છે. ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોમાં સમ સ્થિતિઓ તપાસી રહ્યા છીએ g(x)≥ 0 કરવું હંમેશા સરળ હોતું નથી.

ચાલો બીજા પ્રકારના અતાર્કિક સમીકરણોને ધ્યાનમાં લઈએ.

. સમીકરણ આપવા દો . તેના ODZ:

ODZ માં બંને બાજુ બિન-નકારાત્મક છે, અને વર્ગીકરણ સમકક્ષ સમીકરણ આપે છે f(x) =g(x).તેથી, ODZ માં અથવા

ઉકેલની આ પદ્ધતિ સાથે, ફંક્શનમાંથી એકની બિન-નકારાત્મકતાને તપાસવા માટે તે પૂરતું છે - તમે એક સરળ પસંદ કરી શકો છો.

વિભાગ 1. અતાર્કિક સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ

1 પદ્ધતિ. અનુરૂપ સમીકરણની બંને બાજુઓને ક્રમિક રીતે વધારીને રેડિકલથી છુટકારો મેળવવો કુદરતી ડિગ્રી

અતાર્કિક સમીકરણોને ઉકેલવા માટે સૌથી સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતી પદ્ધતિ એ સમીકરણની બંને બાજુઓને અનુક્રમે યોગ્ય કુદરતી શક્તિ સુધી વધારીને રેડિકલને દૂર કરવાની પદ્ધતિ છે. તે ધ્યાનમાં રાખવું જોઈએ કે જ્યારે સમીકરણની બંને બાજુઓ વધારવી વિચિત્ર ડિગ્રીપરિણામી સમીકરણ મૂળ સમકક્ષ સમાન છે, અને જ્યારે સમીકરણની બંને બાજુઓ એક સમાન ઘાતમાં ઉભી કરવામાં આવે છે, ત્યારે પરિણામી સમીકરણ, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, મૂળ સમીકરણની સમકક્ષ નહીં હોય. સમીકરણની બંને બાજુઓને કોઈપણ સમાન શક્તિ સુધી વધારીને આ સરળતાથી ચકાસી શકાય છે. આ કામગીરીનું પરિણામ એ સમીકરણ છે , જેમાંથી ઉકેલોનો સમૂહ એ ઉકેલોના સમૂહોનું સંઘ છે: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">. જો કે , આ ખામી હોવા છતાં, તે સમીકરણની બંને બાજુઓને અમુક (ઘણી વખત સમાન) શક્તિ સુધી વધારવાની પ્રક્રિયા છે જે અતાર્કિક સમીકરણને તર્કસંગત સમીકરણમાં ઘટાડવા માટેની સૌથી સામાન્ય પ્રક્રિયા છે.

સમીકરણ ઉકેલો:

જ્યાં - કેટલાક બહુપદી. વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહમાં મૂળ નિષ્કર્ષણ કામગીરીની વ્યાખ્યાને લીધે, અજ્ઞાતની અનુમતિપાત્ર મૂલ્યો છે https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width="123 height =21" height="21">..gif " width="243" height="28 src=">.

સમીકરણ 1 ની બંને બાજુઓ સ્ક્વેર કરવામાં આવી હોવાથી, તે બહાર આવી શકે છે કે સમીકરણ 2 ના તમામ મૂળ ઉકેલો નથી મૂળ સમીકરણ, મૂળ તપાસવું જરૂરી છે.

સમીકરણ ઉકેલો:

https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" width="137" height="25">

સમીકરણની બંને બાજુના ક્યુબ્સ, આપણને મળે છે

ધ્યાનમાં લેતા કે https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(છેલ્લા સમીકરણમાં મૂળ હોઈ શકે છે જે, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, તેના મૂળ નથી સમીકરણ ).

અમે આ સમીકરણની બંને બાજુઓને ક્યુબ કરીએ છીએ: . અમે સમીકરણને x3 – x2 = 0 ↔ x1 = 0, x2 = 1 સ્વરૂપમાં ફરીથી લખીએ છીએ. તપાસ કરીને આપણે સ્થાપિત કરીએ છીએ કે x1 = 0 એ સમીકરણનું બાહ્ય મૂળ છે (-2 ≠ 1), અને x2 = 1 મૂળને સંતોષે છે. સમીકરણ

જવાબ: x = 1.

પદ્ધતિ 2. બદલી અડીને સિસ્ટમશરતો

સમ ક્રમના રેડિકલ ધરાવતા અતાર્કિક સમીકરણોને ઉકેલતી વખતે, જવાબો દેખાઈ શકે છે બાહ્ય મૂળ, જે હંમેશા ઓળખવા માટે સરળ નથી. અતાર્કિક સમીકરણોને ઉકેલતી વખતે, બાહ્ય મૂળને ઓળખવા અને કાઢી નાખવાનું સરળ બનાવવા માટે, તેને તાત્કાલિક પરિસ્થિતિઓની સંલગ્ન સિસ્ટમ દ્વારા બદલવામાં આવે છે. સિસ્ટમમાં વધારાની અસમાનતાઓ વાસ્તવમાં ઉકેલાઈ રહેલા સમીકરણના ODZ ને ધ્યાનમાં લે છે. તમે ODZ ને અલગથી શોધી શકો છો અને તેને પછીથી ધ્યાનમાં લઈ શકો છો, પરંતુ મિશ્રિત શરતોનો ઉપયોગ કરવાનું વધુ સારું છે: સમીકરણ ઉકેલવાની પ્રક્રિયામાં કંઈક ભૂલી જવા અથવા તેને ધ્યાનમાં ન લેવાનું ઓછું જોખમ છે. તેથી, કેટલાક કિસ્સાઓમાં મિશ્ર પ્રણાલીઓમાં સંક્રમણની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો વધુ તર્કસંગત છે.

સમીકરણ ઉકેલો:

જવાબ: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" width="109 height=27" height="27">

આ સમીકરણસિસ્ટમની સમકક્ષ

જવાબ:સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી.

પદ્ધતિ 3. nth રુટ ગુણધર્મોનો ઉપયોગ

અતાર્કિક સમીકરણો ઉકેલતી વખતે, nમા મૂળના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ થાય છે. અંકગણિત મૂળ n-મીમાંથી ડિગ્રી એકહેવાય છે બિન-નકારાત્મક સંખ્યા, n-હું જેની શક્તિ સમાન છે એ. જો n -સમ( 2 એન), પછી a ≥ 0, અન્યથા રુટ અસ્તિત્વમાં નથી. જો n -વિચિત્ર( 2 n+1), પછી a કોઈપણ છે અને = - ..gif" width="45" height="19"> પછી:

આમાંથી કોઈપણ ફોર્મ્યુલા લાગુ કરતી વખતે, ઔપચારિક રીતે (નિર્ધારિત પ્રતિબંધોને ધ્યાનમાં લીધા વિના), તે ધ્યાનમાં રાખવું જોઈએ કે તેમાંથી દરેકના ડાબા અને જમણા ભાગોનો VA અલગ હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, અભિવ્યક્તિ સાથે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે f ≥ 0અને g ≥ 0, અને અભિવ્યક્તિ જાણે છે f ≥ 0અને g ≥ 0, અને સાથે f ≤ 0અને g ≤ 0.

દરેક ફોર્મ્યુલા 1-5 માટે (નિર્ધારિત પ્રતિબંધોને ધ્યાનમાં લીધા વિના), તેની જમણી બાજુનો ODZ ડાબી બાજુના ODZ કરતા પહોળો હોઈ શકે છે. તે અનુસરે છે કે ફોર્મ્યુલા 1-5 ના ઔપચારિક ઉપયોગ સાથે સમીકરણનું રૂપાંતરણ “ડાબેથી જમણે” (જેમ લખેલું છે) તે સમીકરણ તરફ દોરી જાય છે જે મૂળ એકનું પરિણામ છે. આ કિસ્સામાં, મૂળ સમીકરણના બાહ્ય મૂળ દેખાઈ શકે છે, તેથી ચકાસણી એ મૂળ સમીકરણને ઉકેલવા માટે ફરજિયાત પગલું છે.

1-5 "જમણેથી ડાબે" સૂત્રોના ઔપચારિક ઉપયોગ સાથેના સમીકરણોનું પરિવર્તન અસ્વીકાર્ય છે, કારણ કે મૂળ સમીકરણના OD ને નક્કી કરવું શક્ય છે, અને પરિણામે, મૂળની ખોટ.

https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width="247" height="61 src=">,

જે મૂળનું પરિણામ છે. આ સમીકરણ ઉકેલવાથી સમીકરણોના સમૂહને ઉકેલવામાં ઘટાડો થાય છે .

આ સમૂહના પ્રથમ સમીકરણમાંથી આપણે https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width="89" height="27"> શોધીએ છીએ જ્યાંથી આપણે શોધીએ છીએ. આમ, મૂળ આ સમીકરણ માત્ર ( -1) અને (-2) નંબરો હોઈ શકે છે. તપાસો બતાવે છે કે બંને મળી આવેલા મૂળ આ સમીકરણને સંતોષે છે.

જવાબ: -1,-2.

સમીકરણ ઉકેલો: .

ઉકેલ: ઓળખના આધારે, પ્રથમ શબ્દને ની સાથે બદલો. નોંધ કરો કે ડાબી બાજુએ બે બિન-ઋણાત્મક સંખ્યાઓના સરવાળા તરીકે. મોડ્યુલને "દૂર કરો" અને સમાન શરતો લાવ્યા પછી, સમીકરણ ઉકેલો. ત્યારથી , આપણને સમીકરણ મળે છે. ત્યારથી , પછી https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src= " >.gif" width="145" height="21 src=">

જવાબ: x = 4.25.

પદ્ધતિ 4 નવા ચલોનો પરિચય

અતાર્કિક સમીકરણો ઉકેલવાનું બીજું ઉદાહરણ એ નવા ચલોને રજૂ કરવાની પદ્ધતિ છે, જેના સંદર્ભમાં કાં તો સરળ અતાર્કિક સમીકરણ અથવા તર્કસંગત સમીકરણ પ્રાપ્ત થાય છે.

સમીકરણને તેના પરિણામ સાથે બદલીને અતાર્કિક સમીકરણો ઉકેલવા (મૂળ તપાસીને) નીચે પ્રમાણે કરી શકાય છે:

1. મૂળ સમીકરણનું ODZ શોધો.

2. સમીકરણમાંથી તેના પરિણામ પર જાઓ.

3. પરિણામી સમીકરણના મૂળ શોધો.

4. મળેલ મૂળ મૂળ સમીકરણના મૂળ છે કે કેમ તે તપાસો.

ચેક નીચે મુજબ છે.

A) મૂળ સમીકરણ સાથેના દરેક મળી આવેલા રુટની તપાસ કરવામાં આવે છે. તે મૂળ કે જેઓ ODZ સાથે સંબંધિત નથી તે મૂળ સમીકરણ માટે બહારના છે.

બી) મૂળ સમીકરણના ODZ માં સમાવિષ્ટ દરેક રુટ માટે, તેમની પાસે છે કે કેમ તે તપાસવામાં આવે છે સમાન ચિહ્નોદરેક સમીકરણોની ડાબી અને જમણી બાજુઓ જે મૂળ સમીકરણને ઉકેલવાની પ્રક્રિયામાં ઉદ્ભવે છે અને એક સમાન શક્તિ સુધી ઉભી થાય છે. તે મૂળ કે જેના માટે કોઈપણ સમીકરણના ભાગોને એક સમાન શક્તિમાં ઉછેરવામાં આવે છે વિવિધ ચિહ્નો, મૂળ સમીકરણ માટે અપ્રાસંગિક છે.

C) મૂળ સમીકરણના ODZ સાથે સંબંધ ધરાવતા હોય અને જેના માટે મૂળ સમીકરણ ઉકેલવાની પ્રક્રિયામાં ઉદ્ભવતા દરેક સમીકરણોની બંને બાજુ અને સમાન શક્તિ સુધી સમાન ચિહ્નો હોય તેવા જ મૂળને સીધા અવેજી દ્વારા તપાસવામાં આવે છે. મૂળ સમીકરણ.

નિર્દિષ્ટ ચકાસણી પદ્ધતિ સાથેની આ ઉકેલ પદ્ધતિ છેલ્લા સમીકરણના દરેક મળેલા મૂળને મૂળ એકમાં સીધી રીતે બદલવાના કિસ્સામાં બોજારૂપ ગણતરીઓ ટાળવા દે છે.

અતાર્કિક સમીકરણ ઉકેલો:

આ સમીકરણ માટે માન્ય મૂલ્યોનો સમૂહ છે:

મૂકીને, અવેજી પછી આપણે સમીકરણ મેળવીએ છીએ

અથવા સમકક્ષ સમીકરણ

જે આદર સાથે ચતુર્ભુજ સમીકરણ તરીકે ગણી શકાય. આ સમીકરણ ઉકેલવાથી, આપણને મળે છે

તેથી, મૂળ અતાર્કિક સમીકરણનો ઉકેલ સમૂહ એ નીચેના બે સમીકરણોના ઉકેલ સમૂહોનું જોડાણ છે:

, .

આ દરેક સમીકરણોની બંને બાજુઓને ક્યુબમાં વધારીને, આપણે બે તર્કસંગત બીજગણિત સમીકરણો મેળવીએ છીએ:

, .

આ સમીકરણોને ઉકેલતા, અમે શોધીએ છીએ કે આ અતાર્કિક સમીકરણમાં એક જ મૂળ x = 2 છે (કોઈ ચકાસણી જરૂરી નથી, કારણ કે તમામ પરિવર્તનો સમાન છે).

જવાબ: x = 2.

અતાર્કિક સમીકરણ ઉકેલો:

ચાલો 2x2 + 5x – 2 = t સૂચવીએ. પછી મૂળ સમીકરણ સ્વરૂપ લેશે . પરિણામી સમીકરણની બંને બાજુઓનું વર્ગીકરણ કરીને અને લાવો સમાન સભ્યો, આપણે એક સમીકરણ મેળવીએ છીએ જે પાછલા એકનું પરિણામ છે. તેમાંથી આપણે શોધીએ છીએ t=16.

અજ્ઞાત x પર પાછા ફરીને, આપણે સમીકરણ 2x2 + 5x – 2 = 16 મેળવીએ છીએ, જે મૂળ એકનું પરિણામ છે. તપાસ કરવાથી અમને ખાતરી થાય છે કે તેના મૂળ x1 = 2 અને x2 = - 9/2 મૂળ સમીકરણના મૂળ છે.

જવાબ: x1 = 2, x2 = -9/2.

5 પદ્ધતિ. સમીકરણનું સમાન રૂપાંતરણ

અતાર્કિક સમીકરણોને હલ કરતી વખતે, તમારે સમીકરણોની બંને બાજુઓને કુદરતી શક્તિમાં વધારીને સમીકરણને હલ કરવાનું શરૂ ન કરવું જોઈએ, અતાર્કિક સમીકરણના ઉકેલને તર્કસંગત બીજગણિત સમીકરણના ઉકેલમાં ઘટાડવાનો પ્રયાસ કરવો જોઈએ. પહેલા આપણે એ જોવાની જરૂર છે કે શું સમીકરણનું કંઈક સરખું રૂપાંતર કરવું શક્ય છે કે જે તેના ઉકેલને નોંધપાત્ર રીતે સરળ બનાવી શકે.

સમીકરણ ઉકેલો:

આ સમીકરણ માટે સ્વીકાર્ય મૂલ્યોનો સમૂહ: https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> ચાલો આ સમીકરણને વડે વિભાજીત કરીએ.

અમને મળે છે:

જ્યારે a = 0 સમીકરણ પાસે ઉકેલો નહીં હોય; જ્યારે સમીકરણ તરીકે લખી શકાય

આ સમીકરણ માટે કોઈ ઉકેલ નથી, કારણ કે કોઈપણ માટે એક્સ, સેટ સાથે જોડાયેલાસમીકરણના અનુમતિપાત્ર મૂલ્યો, સમીકરણની ડાબી બાજુની અભિવ્યક્તિ હકારાત્મક છે;

જ્યારે સમીકરણનો ઉકેલ હોય છે

સમીકરણના સ્વીકાર્ય ઉકેલોનો સમૂહ શરત દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે તે ધ્યાનમાં લેતા, અમે આખરે મેળવીએ છીએ:

આ અતાર્કિક સમીકરણ ઉકેલતી વખતે, https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> સમીકરણનો ઉકેલ હશે. અન્ય તમામ મૂલ્યો માટે એક્સસમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી.

ઉદાહરણ 10:

અતાર્કિક સમીકરણ ઉકેલો: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" width="381" height="51">

ઉકેલ ચતુર્ભુજ સમીકરણસિસ્ટમ બે મૂળ આપે છે: x1 = 1 અને x2 = 4. પરિણામી મૂળમાંથી પ્રથમ સિસ્ટમની અસમાનતાને સંતોષતું નથી, તેથી x = 4.

નોંધો.

1) હાથ ધરવા ઓળખ પરિવર્તનતમને તપાસ કર્યા વિના કરવાની મંજૂરી આપે છે.

2) અસમાનતા x – 3 ≥0 ઓળખ પરિવર્તનનો સંદર્ભ આપે છે, અને સમીકરણની વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં નહીં.

3) સમીકરણની ડાબી બાજુએ એક ઘટતું કાર્ય છે, અને આ સમીકરણની જમણી બાજુએ એક વધતું કાર્ય છે. તેમની વ્યાખ્યાના ડોમેન્સના આંતરછેદ પર ઘટતા અને વધતા કાર્યોના આલેખમાં એક કરતાં વધુ સામાન્ય બિંદુ હોઈ શકે નહીં. દેખીતી રીતે, અમારા કિસ્સામાં x = 4 એ આલેખના આંતરછેદના બિંદુનો એબ્સીસા છે.

જવાબ: x = 4.

6 પદ્ધતિ. સમીકરણો ઉકેલવા માટે કાર્યોના ડોમેનનો ઉપયોગ કરવો

https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> સમાવિષ્ટ સમીકરણોને ઉકેલતી વખતે અને તેની વિસ્તારની વ્યાખ્યાઓ શોધવામાં આ પદ્ધતિ સૌથી વધુ અસરકારક છે. (f)..gif" width="53" height="21"> .gif" width="88" height="21 src=">, પછી તમારે તપાસ કરવાની જરૂર છે કે શું અંતરાલના અંતે સમીકરણ સાચું છે, અને જો< 0, а b >0, પછી અંતરાલો પર તપાસ કરવી જરૂરી છે (a;0)અને . E(y) માં સૌથી નાનો પૂર્ણાંક 3 છે.

જવાબ આપો: x = 3.

8 પદ્ધતિ. અતાર્કિક સમીકરણોને ઉકેલવામાં વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ

વ્યુત્પન્ન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોને ઉકેલવા માટે વપરાતી સૌથી સામાન્ય પદ્ધતિ એ અંદાજ પદ્ધતિ છે.

ઉદાહરણ 15:

સમીકરણ ઉકેલો: (1)

ઉકેલ: https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29"> અથવા (2) થી. કાર્યને ધ્યાનમાં લો ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> બિલકુલ અને તેથી વધે છે. તેથી સમીકરણ રુટ ધરાવતા સમીકરણની સમકક્ષ છે જે મૂળ સમીકરણનું મૂળ છે.

જવાબ:

ઉદાહરણ 16:

અતાર્કિક સમીકરણ ઉકેલો:

ફંક્શનનું ડોમેન એક સેગમેન્ટ છે. ચાલો સૌથી મહાન અને શોધીએ nai ઓછી કિંમતઅંતરાલ પર આ કાર્યના મૂલ્યો. આ કરવા માટે, આપણે ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ f(x): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. ચાલો ફંક્શનની કિંમતો શોધીએ f(x)સેગમેન્ટના છેડે અને બિંદુએ: તેથી, પરંતુ અને તેથી, સમાનતા તો જ શક્ય છે જો https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height= "19 src=" > તપાસો દર્શાવે છે કે નંબર 3 આ સમીકરણનું મૂળ છે.

જવાબ: x = 3.

9 પદ્ધતિ. કાર્યાત્મક

પરીક્ષાઓમાં, તેઓ કેટલીકવાર તમને ફોર્મમાં લખી શકાય તેવા સમીકરણો ઉકેલવા માટે કહે છે, જ્યાં કાર્ય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, કેટલાક સમીકરણો: 1) 2) . ખરેખર, પ્રથમ કિસ્સામાં , બીજા કિસ્સામાં . તેથી, અતાર્કિક સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલો આગામી નિવેદન: જો સેટ પર ફંક્શન સખત રીતે વધી રહ્યું છે એક્સઅને કોઈપણ માટે , પછી સમીકરણો વગેરે સેટ પર સમકક્ષ છે એક્સ .

અતાર્કિક સમીકરણ ઉકેલો: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> સેટ પર સખત રીતે વધે છે આર,અને https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > જેનું એક મૂળ છે તેથી, તેના સમકક્ષ સમીકરણ (1) પણ એક મૂળ ધરાવે છે

જવાબ: x = 3.

ઉદાહરણ 18:

અતાર્કિક સમીકરણ ઉકેલો: (1)

વ્યાખ્યા દ્વારા વર્ગમૂળઅમને જણાયું છે કે જો સમીકરણ (1) ના મૂળ હોય, તો તે https://pandia.ru/text/78/021/images/image159_0.gif" width="163" height="47"> સમૂહ સાથે સંબંધિત છે. 2)

ફંક્શનને ધ્યાનમાં લો https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> કોઈપણ ..gif" width="100" માટે આ સેટ પર સખત રીતે વધે છે. height = "41"> જેમાં એક જ મૂળ છે તેથી, અને સેટ પર તેની સમકક્ષ એક્સસમીકરણ (1) એક જ મૂળ ધરાવે છે

જવાબ: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

ઉકેલ: આ સમીકરણ મિશ્ર પ્રણાલીને સમકક્ષ છે

વાસ્તવિક સંખ્યાઓ. મર્યાદિત દશાંશ અપૂર્ણાંક દ્વારા વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો અંદાજ.

વાસ્તવિક અથવા વાસ્તવિક સંખ્યા - ગાણિતિક અમૂર્ત, જે ભૌમિતિક માપવાની જરૂરિયાતમાંથી ઉદ્ભવ્યું છે અને ભૌતિક જથ્થોઆજુબાજુની દુનિયા, તેમજ મૂળ કાઢવા, લઘુગણકની ગણતરી કરવા, હલ કરવા જેવી કામગીરી હાથ ધરવા બીજગણિતીય સમીકરણો. જો કુદરતી સંખ્યાઓગણતરીની પ્રક્રિયામાં ઉદ્ભવ્યું, તર્કસંગત - સંપૂર્ણ ભાગો સાથે કામ કરવાની જરૂરિયાતથી, પછી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માપવાના હેતુથી છે સતત માત્રા. આમ, વિચારણા હેઠળની સંખ્યાઓના સ્ટોકના વિસ્તરણથી વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ થયો, જેમાં તર્કસંગત સંખ્યાઓ ઉપરાંત, અન્ય ઘટકોનો પણ સમાવેશ થાય છે જેને અતાર્કિક સંખ્યાઓ .

સંપૂર્ણ ભૂલ અને તેની મર્યાદા.

કેટલાક સંખ્યાત્મક મૂલ્ય હોવા દો, અને સંખ્યાત્મક મૂલ્ય, જે તેને સોંપેલ છે, તેને સચોટ ગણવામાં આવે છે, પછી નીચે અંદાજિત મૂલ્ય ભૂલ સંખ્યાત્મક મૂલ્ય (ભૂલ) સંખ્યાત્મક મૂલ્યના ચોક્કસ અને અંદાજિત મૂલ્ય વચ્ચેના તફાવતને સમજો: . ભૂલ કાં તો હકારાત્મક અથવા હોઈ શકે છે નકારાત્મક મૂલ્ય. જથ્થો કહેવાય છે જાણીતું અંદાજસંખ્યાત્મક જથ્થાના ચોક્કસ મૂલ્ય સુધી - તેના બદલે ઉપયોગમાં લેવાતી કોઈપણ સંખ્યા ચોક્કસ મૂલ્ય. ભૂલનું સૌથી સરળ માત્રાત્મક માપ એ સંપૂર્ણ ભૂલ છે. સંપૂર્ણ ભૂલ અંદાજિત મૂલ્ય એ એક જથ્થો છે જેના વિશે તે જાણીતું છે કે: સંબંધિત ભૂલ અને તેની મર્યાદા.

અંદાજની ગુણવત્તા નોંધપાત્ર રીતે માપનના સ્વીકૃત એકમો અને જથ્થાના ભીંગડા પર આધારિત છે, તેથી જથ્થાની ભૂલ અને તેના મૂલ્યને સહસંબંધિત કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે, જેના માટે સંબંધિત ભૂલનો ખ્યાલ રજૂ કરવામાં આવે છે. સંબંધિત ભૂલઅંદાજિત મૂલ્ય એ એક જથ્થો છે જેના વિશે તે જાણીતું છે કે: . સંબંધિત ભૂલ ઘણીવાર ટકાવારી તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. સાપેક્ષ ભૂલોનો ઉપયોગ અનુકૂળ છે, ખાસ કરીને, કારણ કે તે માપનનાં જથ્થા અને એકમોના સ્કેલ પર આધારિત નથી.

અતાર્કિક સમીકરણો

સમીકરણો કે જેમાં રુટ ચિહ્ન હેઠળ ચલ હોય છે તેને અતાર્કિક કહેવામાં આવે છે. અતાર્કિક સમીકરણોને હલ કરતી વખતે, પરિણામી ઉકેલોને ચકાસણીની જરૂર પડે છે, કારણ કે, ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે સ્ક્વેરિંગ સાચી સમાનતા આપી શકે ત્યારે ખોટી સમાનતા. વાસ્તવમાં, ખોટી સમાનતા જ્યારે વર્ગ કરે છે ત્યારે સાચી સમાનતા 1 2 = (-1) 2, 1=1 આપે છે. કેટલીકવાર સમકક્ષ સંક્રમણોનો ઉપયોગ કરીને અતાર્કિક સમીકરણોને ઉકેલવા વધુ અનુકૂળ હોય છે.

ચાલો આ સમીકરણની બંને બાજુઓને ચોરસ કરીએ; પરિવર્તન પછી આપણે ચતુર્ભુજ સમીકરણ પર આવીએ છીએ; અને ચાલો બદલીએ.

જટિલ સંખ્યાઓ. જટિલ સંખ્યાઓ પર કામગીરી.

જટિલ સંખ્યાઓ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહનું વિસ્તરણ છે, જે સામાન્ય રીતે દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. કોઈપણ જટિલ સંખ્યાને ઔપચારિક રકમ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે x + iy, ક્યાં xઅને y- વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, i - કાલ્પનિક એકમજટિલ સંખ્યાઓ બીજગણિતીય રીતે બંધ ક્ષેત્ર બનાવે છે - આનો અર્થ એ છે કે ડિગ્રીની બહુપદી nજટિલ ગુણાંક સાથે બરાબર છે n જટિલ મૂળ, એટલે કે બીજગણિતનું મૂળભૂત પ્રમેય સાચું છે. તેના વ્યાપક ઉપયોગ માટે આ એક મુખ્ય કારણ છે જટિલ સંખ્યાઓવી ગાણિતિક સંશોધન. વધુમાં, જટિલ સંખ્યાઓનો ઉપયોગ આપણને ઘણી સગવડતાપૂર્વક અને સઘન રીતે ઘડવામાં મદદ કરે છે ગાણિતિક મોડેલોમાં વપરાય છે ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રઅને માં કુદરતી વિજ્ઞાન- ઇલેક્ટ્રિકલ એન્જિનિયરિંગ, હાઇડ્રોડાયનેમિક્સ, કાર્ટોગ્રાફી, ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ, ઓસિલેશનનો સિદ્ધાંત અને અન્ય ઘણા.

સરખામણી a + દ્વિ = c + diમતલબ કે a = cઅને b = ડી(બે જટિલ સંખ્યાઓ સમાન છે જો અને માત્ર જો તેમના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગો સમાન હોય).

ઉમેરો ( a + દ્વિ) + (c + di) = (a + c) + (b + ડી) i .

બાદબાકી ( a + દ્વિ) − (c + di) = (a − c) + (b − ડી) i .

ગુણાકાર

સંખ્યાત્મક કાર્ય. કાર્ય સ્પષ્ટ કરવા માટેની પદ્ધતિઓ

ગણિતમાં સંખ્યાત્મક કાર્યએક કાર્ય છે જેની વ્યાખ્યા અને મૂલ્યોના ડોમેન્સ સબસેટ છે નંબર સેટ- સામાન્ય રીતે વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ અથવા જટિલ સંખ્યાઓનો સમૂહ.

મૌખિક: સાથે કુદરતી ભાષાઇગ્રેક બરાબર છે આખો ભાગ x થી. વિશ્લેષણાત્મક: ઉપયોગ કરીને વિશ્લેષણાત્મક સૂત્ર f (x) = x !

ગ્રાફિક ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને ફંક્શનના ગ્રાફનો ટુકડો.

ટેબ્યુલર: મૂલ્યોના કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને

ફંક્શનના મૂળભૂત ગુણધર્મો

1) કાર્ય ડોમેન અને કાર્ય શ્રેણી . કાર્ય ડોમેન x(ચલ x), જેના માટે કાર્ય y = f(x)નિર્ધારિત

કાર્ય શ્રેણી y, જે કાર્ય સ્વીકારે છે. પ્રાથમિક ગણિતમાં, વિધેયોનો અભ્યાસ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહ પર જ થાય છે.2 ) શૂન્ય કાર્ય) કાર્યની એકવિધતા . કાર્યમાં વધારો ઘટતું કાર્ય . સમ કાર્ય એક્સ f(-x) = f(x). વિચિત્ર કાર્ય- એક ફંક્શન કે જેની વ્યાખ્યાનું ડોમેન મૂળના સંદર્ભમાં અને કોઈપણ માટે સપ્રમાણ છે એક્સ f (-x) = - f (x. કાર્ય કહેવાય છે મર્યાદિત અમર્યાદિત .7) કાર્યની સામયિકતા. કાર્ય f(x) - સામયિક કાર્યનો સમયગાળો

કાર્ય આલેખ. ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને આલેખનું સૌથી સરળ પરિવર્તન

કાર્યનો આલેખ- પોઈન્ટનો સમૂહ જેના એબ્સીસાસ છે સ્વીકાર્ય મૂલ્યોદલીલ x, અને ઓર્ડિનેટ્સ એ ફંક્શનના અનુરૂપ મૂલ્યો છે y .

સીધી રેખા- શેડ્યૂલ રેખીય કાર્ય y = કુહાડી + b. ફંક્શન y એકવિધ રીતે a > 0 માટે વધે છે અને a માટે ઘટે છે< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т.0 (y = ax - прямая пропорциональность)

પેરાબોલા- કાર્ય ગ્રાફ ચતુર્ભુજ ત્રિપદી y = કુહાડી 2 + bx + c. ધરાવે છે ઊભી અક્ષસમપ્રમાણતા જો a > 0 હોય, તો લઘુત્તમ હોય જો a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax 2 + bx +c =0

હાયપરબોલા- કાર્યનો ગ્રાફ. જ્યારે a > O તે I અને III ક્વાર્ટરમાં સ્થિત છે, જ્યારે a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х (а >0) અથવા y - x (a< 0).

લઘુગણક કાર્ય y = લોગ a x(a > 0)

ત્રિકોણમિતિ કાર્યો. ત્રિકોણમિતિ વિધેયો બાંધતી વખતે આપણે ઉપયોગ કરીએ છીએ રેડિયનખૂણાઓનું માપ. પછી કાર્ય y= પાપ xગ્રાફ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે (ફિગ. 19). આ વળાંક કહેવાય છે સાઇનસૉઇડ .

કાર્યનો આલેખ y=cos xફિગમાં બતાવેલ છે. 20; આ એક સાઈન વેવ પણ છે જે ગ્રાફને ખસેડવાથી પરિણમે છે y= પાપ xધરી સાથે એક્સ/2 પર ડાબે.

કાર્યોના મૂળભૂત ગુણધર્મો. એકવિધતા, સમાનતા, વિચિત્રતા, કાર્યોની સામયિકતા.

ફંક્શન ડોમેન અને ફંક્શન ડોમેન . કાર્ય ડોમેનદલીલના તમામ માન્ય માન્ય મૂલ્યોનો સમૂહ છે x(ચલ x), જેના માટે કાર્ય y = f(x)નિર્ધારિત

કાર્ય શ્રેણીતમામ વાસ્તવિક મૂલ્યોનો સમૂહ છે y, જે કાર્ય સ્વીકારે છે.

પ્રાથમિક ગણિતમાં, વિધેયોનો અભ્યાસ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહ પર જ થાય છે.2 ) શૂન્ય કાર્ય- દલીલનું મૂલ્ય કે જેના પર ફંક્શનનું મૂલ્ય શૂન્ય છે.3 ) ફંક્શનના સતત સંકેતના અંતરાલો- દલીલ મૂલ્યોના આવા સેટ કે જેના પર ફંક્શન મૂલ્યો માત્ર હકારાત્મક અથવા માત્ર નકારાત્મક હોય છે.4 ) કાર્યની એકવિધતા .

કાર્યમાં વધારો(કેટલાક અંતરાલમાં) - એક કાર્ય જેના માટે ઉચ્ચ મૂલ્યઆ અંતરાલની દલીલ ફંક્શનના મોટા મૂલ્યને અનુરૂપ છે.

ઘટતું કાર્ય(ચોક્કસ અંતરાલમાં) - એક કાર્ય જેના માટે આ અંતરાલમાંથી દલીલનું મોટું મૂલ્ય કાર્યના નાના મૂલ્યને અનુરૂપ છે.5 ) સમ (વિષમ) કાર્ય . સમ કાર્ય- એક ફંક્શન કે જેની વ્યાખ્યાનું ડોમેન મૂળના સંદર્ભમાં અને કોઈપણ માટે સપ્રમાણ છે એક્સવ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાંથી સમાનતા f(-x) = f(x).સમયપત્રક સમ કાર્યઓર્ડિનેટ અક્ષ વિશે સપ્રમાણ. વિચિત્ર કાર્ય- એક ફંક્શન કે જેની વ્યાખ્યાનું ડોમેન મૂળના સંદર્ભમાં અને કોઈપણ માટે સપ્રમાણ છે એક્સવ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાંથી સમાનતા સાચી છે f (-x) = - f (x). સમયપત્રક વિચિત્ર કાર્યમૂળ વિશે સપ્રમાણતા.6 ) મર્યાદિત અને અમર્યાદિત કાર્યો. કાર્ય કહેવાય છે મર્યાદિત, જો ત્યાં ધન સંખ્યા M હોય કે જે |f (x) | x ના તમામ મૂલ્યો માટે ≤ M. જો આવી સંખ્યા અસ્તિત્વમાં નથી, તો કાર્ય છે અમર્યાદિત .7) કાર્યની સામયિકતા. કાર્ય f(x) - સામયિક, જો ત્યાં બિન-શૂન્ય નંબર T હોય કે જે ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેનમાંથી કોઈપણ x માટે નીચે મુજબ ધરાવે છે: f (x+T) = f (x). આ સૌથી નાની સંખ્યાકહેવાય છે કાર્યનો સમયગાળો. બધા ત્રિકોણમિતિ કાર્યો સામયિક છે. (ત્રિકોણમિતિ સૂત્રો).

સામયિક કાર્યો. કાર્યનો મુખ્ય સમયગાળો શોધવા માટેના નિયમો.

સામયિક કાર્ય- એક ફંક્શન કે જે અમુક બિન-શૂન્ય સમયગાળા પછી તેના મૂલ્યોને પુનરાવર્તિત કરે છે, એટલે કે, જ્યારે દલીલમાં નિશ્ચિત બિન-શૂન્ય સંખ્યા (પીરિયડ) ઉમેરવામાં આવે ત્યારે તે તેનું મૂલ્ય બદલતું નથી. બધા ત્રિકોણમિતિ કાર્યો સામયિક છે. બેવફા છેરકમ સંબંધિત નિવેદનો સામયિક કાર્યો: તુલનાત્મક (મૂળભૂત પણ) સમયગાળા સાથે 2 કાર્યોનો સરવાળો ટી 1 અને ટી 2 એ LCM સમયગાળા સાથેનું કાર્ય છે ( ટી 1 ,ટી 2). રકમ 2 સતત કાર્યોઅસંતુલિત (મૂળભૂત પણ) સમયગાળો એ બિન-સામયિક કાર્ય છે. ત્યાં કોઈ સામયિક કાર્યો નથી અચળ સમાન, જેની અવધિ અસંતુલિત સંખ્યાઓ છે.

પાવર ફંક્શન્સના પ્લોટિંગ ગ્રાફ.

પાવર કાર્ય. આ કાર્ય છે: y = axn, ક્યાં a, n- કાયમી. મુ n= 1 આપણને મળે છે સીધી પ્રમાણસરતા : y =કુહાડી; ખાતે n = 2 - ચોરસ પેરાબોલા ; ખાતે n = 1 - વ્યસ્ત પ્રમાણસરતાઅથવા અતિશય. આમ, આ વિધેયો પાવર ફંક્શનના ખાસ કિસ્સાઓ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે શૂન્ય સિવાયની કોઈપણ સંખ્યાની શૂન્ય શક્તિ 1 છે, તેથી, ક્યારે n = 0 પાવર કાર્યમાં ફેરવે છે સતત મૂલ્ય: y =a, એટલે કે તેનો ગ્રાફ અક્ષની સમાંતર સીધી રેખા છે એક્સ, મૂળને બાદ કરતાં (કૃપા કરીને શા માટે સમજાવો?). આ બધા કેસો (સાથે a= 1) ફિગમાં બતાવેલ છે. 13 ( n 0) અને ફિગ. 14 ( n < 0). Отрицательные значения xઅહીં આવરી લેવામાં આવ્યા નથી, ત્યારથી કેટલાક કાર્યો:

વ્યસ્ત કાર્ય

વ્યસ્ત કાર્ય- એક ફંક્શન કે જે આ ફંક્શન દ્વારા વ્યક્ત કરાયેલી અવલંબનને ઉલટાવે છે. જો નીચેની ઓળખ સંતુષ્ટ હોય તો ફંક્શન એ ફંક્શનની વિરુદ્ધ છે: બધા માટે દરેક માટે

એક બિંદુ પર કાર્યની મર્યાદા. મર્યાદાના મૂળભૂત ગુણધર્મો.

nમું મૂળ અને તેના ગુણધર્મો.

સંખ્યાનું nમું મૂળ એ સંખ્યા છે જેની nમી ઘાત a ની બરાબર છે.

વ્યાખ્યા: a ની nમી ઘાતનું અંકગણિત મૂળ એ બિન-ઋણાત્મક સંખ્યા છે જેની nમી ઘાત a ની બરાબર છે.

મૂળના મૂળભૂત ગુણધર્મો:

મનસ્વી વાસ્તવિક ઘાતાંક અને તેના ગુણધર્મો સાથેની શક્તિ.

એક ધન સંખ્યા અને મનસ્વી વાસ્તવિક સંખ્યા આપવા દો. સંખ્યાને શક્તિ કહેવામાં આવે છે, સંખ્યા શક્તિનો આધાર છે અને સંખ્યા ઘાત છે.

વ્યાખ્યા દ્વારા તેઓ માને છે:

જો અને - હકારાત્મક સંખ્યાઓ, અને - કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, પછી તેઓ ન્યાયી છે નીચેના ગુણધર્મો:

.

.

પાવર ફંક્શન, તેના ગુણધર્મો અને આલેખ

પાવર કાર્યજટિલ ચલ f (z) = z nપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે વાસ્તવિક દલીલના સમાન કાર્યના વિશ્લેષણાત્મક સાતત્યનો ઉપયોગ કરીને નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે. આ હેતુ માટે, જટિલ સંખ્યાઓ લખવાના ઘાતાંકીય સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેનું પાવર ફંક્શન ઉત્પાદનની જેમ સમગ્ર જટિલ સમતલમાં વિશ્લેષણાત્મક છે મર્યાદિત સંખ્યાઓળખ મેપિંગના ઉદાહરણો f (z) = z. વિશિષ્ટતા પ્રમેય મુજબ, આ બે માપદંડ પરિણામી વિશ્લેષણાત્મક ચાલુ રાખવાની વિશિષ્ટતા માટે પૂરતા છે. આ વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને, અમે તરત જ નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે જટિલ ચલના પાવર ફંક્શનમાં તેના વાસ્તવિક સમકક્ષથી નોંધપાત્ર તફાવત છે.

આ ફોર્મનું કાર્ય છે , નીચેના કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે:

એ). જો, તો. પછી, ; જો સંખ્યા સમાન હોય, તો કાર્ય સમ છે (એટલે કે, દરેકની સામે); જો સંખ્યા વિષમ હોય, તો કાર્ય વિષમ છે (એટલે કે દરેકની સામે).

ઘાતાંકીય કાર્ય, તેના ગુણધર્મો અને આલેખ

ઘાતાંકીય કાર્ય - ગાણિતિક કાર્ય.

વાસ્તવિક કિસ્સામાં, ડિગ્રીનો આધાર કેટલાક બિન-નકારાત્મક છે વાસ્તવિક સંખ્યા, અને ફંક્શન દલીલ એ વાસ્તવિક ઘાતાંક છે.

સિદ્ધાંતમાં જટિલ કાર્યોવધુ ગણવામાં આવે છે સામાન્ય કેસ, જ્યારે દલીલ અને ઘાતાંક એક મનસ્વી જટિલ સંખ્યા હોઈ શકે છે.

ખૂબ માં સામાન્ય દૃશ્ય - u વી, 1695 માં લીબનીઝ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું

ખાસ કરીને નોંધનીય બાબત એ છે કે જ્યારે સંખ્યા e ડિગ્રીના આધાર તરીકે કાર્ય કરે છે. આવા કાર્યને ઘાતાંકીય (વાસ્તવિક અથવા જટિલ) કહેવામાં આવે છે.

ગુણધર્મો; ; .

ઘાતાંકીય સમીકરણો.

ચાલો સીધા ઘાતાંકીય સમીકરણો પર જઈએ. નક્કી કરવા માટે ઘાતાંકીય સમીકરણનીચેના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે: જો શક્તિઓ સમાન હોય અને પાયા સમાન, હકારાત્મક અને એકથી અલગ હોય, તો તેમના ઘાતાંક સમાન છે. ચાલો આ પ્રમેય સાબિત કરીએ: ચાલો a>1 અને a x =a y.

ચાલો સાબિત કરીએ કે આ કિસ્સામાં x=y. ચાલો આપણે શું સાબિત કરવાની જરૂર છે તેની વિરુદ્ધ ધારીએ, એટલે કે. ચાલો ધારીએ કે x>y અથવા તે x<у. Тогда получим по свойству показательной функции, что либо a х અય આ બંને પરિણામો પ્રમેયની શરતોનો વિરોધાભાસ કરે છે. તેથી, x = y, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

પ્રમેય કેસ માટે પણ સાબિત થાય છે જ્યારે 0 0 અને a≠1.

ઘાતાંકીય અસમાનતાઓ

ફોર્મની અસમાનતાઓ (અથવા ઓછી). a(x) >0અને ઘાતાંકીય કાર્યના ગુણધર્મોના આધારે ઉકેલવામાં આવે છે: for 0 < а (х) < 1 સરખામણી કરતી વખતે f(x)અને g(x)અસમાનતાની નિશાની બદલાય છે, અને ક્યારે a(x) > 1- સાચવવામાં આવે છે. સૌથી મુશ્કેલ કેસ a(x)< 0 . અહીં આપણે ફક્ત સામાન્ય સંકેત આપી શકીએ છીએ: કયા મૂલ્યો પર નિર્ધારિત કરવા માટે એક્સસૂચક f(x)અને g(x)પૂર્ણાંકો હશે, અને તેમાંથી તે પસંદ કરો જે શરતને સંતોષે છે. છેલ્લે, જો મૂળ અસમાનતા માટે ધરાવે છે a(x) = 0અથવા a(x) = 1(ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે અસમાનતાઓ કડક નથી), તો આ કિસ્સાઓ પણ ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે.

લઘુગણક અને તેમના ગુણધર્મો

સંખ્યાનો લઘુગણક bપર આધારિત છે a (ગ્રીક λόγος - "શબ્દ", "સંબંધ" અને ἀριθμός - "સંખ્યા"માંથી) એ શક્તિના સૂચક તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે જેના પર આધારને ઉભો કરવો જોઈએ aનંબર મેળવવા માટે b. હોદ્દો:. વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરે છે કે રેકોર્ડ અને સમકક્ષ છે. ઉદાહરણ: , કારણ કે . ગુણધર્મો

મૂળભૂત લઘુગણક ઓળખ:

લઘુગણક કાર્ય, તેના ગુણધર્મો અને આલેખ.

લઘુગણક કાર્ય એ ફોર્મનું કાર્ય છે f (x) = લોગ a x, પર વ્યાખ્યાયિત

અવકાશ:

અવકાશ:

કોઈપણ લઘુગણક કાર્યનો ગ્રાફ બિંદુ (1; 0)માંથી પસાર થાય છે

લઘુગણક કાર્યનું વ્યુત્પન્ન સમાન છે:

લઘુગણક સમીકરણો

લઘુગણક ચિન્હ હેઠળ ચલ ધરાવતું સમીકરણ લઘુગણક કહેવાય છે. લઘુગણક સમીકરણનું સૌથી સરળ ઉદાહરણ સમીકરણ છે લોગ a x = b (જ્યાં a > 0, a 1). તેનો નિર્ણય x = a b .

લઘુગણકની વ્યાખ્યાના આધારે સમીકરણો ઉકેલવા, જેમ કે Eq. લોગ a x = b (a > 0, a 1)ઉકેલ છે x = a b .

સંભવિત પદ્ધતિ. પોટેન્શિએશન દ્વારા અમારો અર્થ એ છે કે લઘુગણક ધરાવતી સમાનતામાંથી તે ન હોય તેવી સમાનતામાં સંક્રમણ:

જો log a f (x) = log a g (x),તે f(x) = g(x), f(x)>0 ,g(x)>0 ,a > 0 , a 1 .

લઘુગણક સમીકરણને ચતુર્ભુજમાં ઘટાડવા માટેની પદ્ધતિ.

સમીકરણની બંને બાજુના લઘુગણક લેવાની પદ્ધતિ.

લોગરીધમ્સને સમાન આધાર પર ઘટાડવા માટેની પદ્ધતિ.

લઘુગણક અસમાનતા.

માત્ર લઘુગણક ચિન્હ હેઠળ ચલ ધરાવતી અસમાનતાને લઘુગણક કહેવાય છે: લોગ a f (x) > લોગ a g (x).

લઘુગણક અસમાનતાઓને હલ કરતી વખતે, વ્યક્તિએ અસમાનતાના સામાન્ય ગુણધર્મો, લઘુગણક કાર્યની એકવિધતાની મિલકત અને તેની વ્યાખ્યાના ડોમેનને ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ. અસમાનતા લોગ a f (x) > લોગ a g (x)સિસ્ટમની સમકક્ષ f (x) > g (x) > a > 1 માટે 0અને સિસ્ટમ 0 < f (x) < g (x) при 0 < а < 1 .

ખૂણા અને ચાપનું રેડિયન માપન. સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ, કોટેન્જેન્ટ.

ડિગ્રી માપ. અહીં માપનનું એકમ છે ડિગ્રી (હોદ્દો ) - આ એક સંપૂર્ણ ક્રાંતિના 1/360 દ્વારા બીમનું પરિભ્રમણ છે. આમ, બીમનું સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ 360 છે. એક ડિગ્રી 60 થી બનેલી છે મિનિટ (તેમનો હોદ્દો '); એક મિનિટ - અનુક્રમે 60 માંથી સેકન્ડ (") દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

રેડિયન માપ. જેમ આપણે પ્લાનિમેટ્રીથી જાણીએ છીએ ("બિંદુઓનું ભૌમિતિક સ્થાન. વર્તુળ અને વર્તુળ" વિભાગમાં "આર્ક લંબાઈ" ફકરો જુઓ), ચાપની લંબાઈ lત્રિજ્યા આરઅને અનુરૂપ કેન્દ્રીય કોણ સંબંધ દ્વારા સંબંધિત છે: =l/r

આ સૂત્ર ખૂણાઓના રેડિયન માપની વ્યાખ્યાને નીચે આપે છે. તેથી, જો l = આર,પછી = 1, અને આપણે કહીએ છીએ કે કોણ  1 રેડિયન બરાબર છે, જે આના દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે: = 1 પ્રસન્ન. આમ, અમારી પાસે માપનના રેડિયન એકમની નીચેની વ્યાખ્યા છે:

રેડિયન એ કેન્દ્રીય કોણ છે જેની ચાપ લંબાઈ અને ત્રિજ્યા સમાન છે(એ m B = AO, ફિગ. 1). તેથી, ખૂણોનું રેડિયન માપ એ મનસ્વી ત્રિજ્યા સાથે દોરેલા ચાપની લંબાઈનો ગુણોત્તર છે અને આ કોણની બાજુઓ અને ચાપની ત્રિજ્યા વચ્ચે બંધ છે.

તીવ્ર ખૂણાઓના ત્રિકોણમિતિ કાર્યોને કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓની લંબાઈના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે.

સાઇનસ:

કોસાઇન:

સ્પર્શક:

કોટેન્જન્ટ:

આંકડાકીય દલીલના ત્રિકોણમિતિ કાર્યો

વ્યાખ્યા .

x ની સાઈન એ x રેડિયનમાં કોણની સાઈન જેટલી સંખ્યા છે. સંખ્યા xનો કોસાઇન એ x રેડિયનમાં કોણના કોસાઇન જેટલી સંખ્યા છે .

સંખ્યાત્મક દલીલના અન્ય ત્રિકોણમિતિ કાર્યો સમાન રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે એક્સ .

ભૂત સૂત્રો.

ઉમેરણ સૂત્રો. ડબલ અને અડધા દલીલો માટે સૂત્રો.

ડબલ.

( ; .

ત્રિકોણમિતિ કાર્યો અને તેમના આલેખ. ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના મૂળભૂત ગુણધર્મો.

ત્રિકોણમિતિ કાર્યો- પ્રાથમિક કાર્યોનો પ્રકાર. સામાન્ય રીતે તેઓ સમાવેશ થાય છે સાઇનસ (પાપ x), કોસાઇન (cos x), સ્પર્શક (tg x), કોટેન્જેન્ટ (ctg x), સામાન્ય રીતે ત્રિકોણમિતિ વિધેયોને ભૌમિતિક રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, પરંતુ તે શ્રેણીના સરવાળા દ્વારા અથવા ચોક્કસ વિભેદક સમીકરણોના ઉકેલો તરીકે વિશ્લેષણાત્મક રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, જે આપણને આ વિધેયોની વ્યાખ્યાના અવકાશને જટિલ સંખ્યાઓ સુધી વિસ્તૃત કરવાની મંજૂરી આપે છે.

ફંક્શન y તેના ગુણધર્મો અને ગ્રાફને સિંક કરે છે

ગુણધર્મો:

2. E (y) = [-1; 1].

3. ફંક્શન y = sinx વિચિત્ર છે, કારણ કે ત્રિકોણમિતિ કોણની સાઈનની વ્યાખ્યા દ્વારા પાપ(- x)= - y/R = - sinx, જ્યાં R એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે, y એ બિંદુનું ઓર્ડિનેટ છે (ફિગ.).

4. T = 2l - સૌથી નાનો હકારાત્મક સમયગાળો. ખરેખર,

sin(x+p) = sinx.

બળદની ધરી સાથે: sinx= 0; x = pn, nОZ;

Oy અક્ષ સાથે: જો x = 0, તો y = 0.6. સહી સ્થિરતા અંતરાલ:

sinx > 0, જો xО (2pn; p + 2pn), nОZ;

sinx< 0 , જો xО (p + 2pn; 2p+pn), nОZ.

ક્વાર્ટર્સમાં સાઈન ચિહ્નો

પ્રથમ અને બીજા ક્વાર્ટરના ખૂણા a માટે y > 0.

ખાતે< 0 для углов ее третьей и четвертой четвертей.

7. એકવિધતાના અંતરાલો:

y = sinxદરેક અંતરાલ પર વધે છે [-p/2 + 2pn; p/2 + 2pn],

nÎz અને દરેક અંતરાલ પર ઘટે છે , nÎz.

8. આત્યંતિક બિંદુઓ અને કાર્યના અંતિમ ભાગ:

xmax= p/2 + 2pn, nÎz; y મહત્તમ = 1;

ymax= - p/2 + 2pn, nÎz; ymin = - 1.

કાર્ય ગુણધર્મો y = cosxઅને તેણીનું શેડ્યૂલ:

ગુણધર્મો:

2. E (y) = [-1; 1].

3. કાર્ય y = cosx- પણ, કારણ કે ત્રિકોણમિતિ વર્તુળ (ફિગ) પર ત્રિકોણમિતિ કોણ cos (-a) = x/R = cosa ના કોસાઇનની વ્યાખ્યા દ્વારા

4. T = 2p - સૌથી નાનો હકારાત્મક સમયગાળો. ખરેખર,

cos(x+2pn) = cosx.

5. સંકલન અક્ષો સાથે આંતરછેદના બિંદુઓ:

ઓક્સ અક્ષ સાથે: cosx = 0;

x = p/2 + pn, nÎZ;

Oy અક્ષ સાથે: જો x = 0, તો y = 1.

6. ચિહ્નોની સ્થિરતાના અંતરાલો:

cosx > 0, જો xО (-p/2+2pn; p/2 + 2pn), nОZ;

cosx< 0 , જો xО (p/2 + 2pn; 3p/2 + 2pn), nОZ.

આ ત્રિકોણમિતિ વર્તુળ (ફિગ.) પર સાબિત થાય છે. ક્વાર્ટર્સમાં કોસાઇન ચિહ્નો:

પ્રથમ અને ચોથા ક્વાર્ટરના ખૂણા a માટે x > 0.

x< 0 для углов a второй и третей четвертей.

7. એકવિધતાના અંતરાલો:

y = cosxદરેક અંતરાલ પર વધે છે [-p + 2pn; 2pn],

nÎz અને દરેક અંતરાલ પર ઘટે છે , nÎz.

કાર્ય ગુણધર્મો y = tgxઅને તેનો આલેખ: ગુણધર્મો -

1. D (y) = (xÎR, x ¹ p/2 + pn, nÎZ).

3. કાર્ય y = tgx - વિચિત્ર

tgx > 0

tgx< 0 xО (-p/2 + pn; pn), nОZ માટે.

ક્વાર્ટર માટે સ્પર્શક ચિન્હો માટે આકૃતિ જુઓ.

6. એકવિધતાના અંતરાલો:

y = tgxદરેક અંતરાલ પર વધે છે

(-p/2 + pn; p/2 + pn),

7. આત્યંતિક બિંદુઓ અને કાર્યના અંતિમ ભાગ:

8. x = p/2 + pn, nÎz - વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સ

કાર્ય ગુણધર્મો y = ctgxઅને તેણીનું શેડ્યૂલ:

ગુણધર્મો:

1. D (y) = (xÎR, x ¹ pn, nÎZ). 2. E (y) = R.

3. કાર્ય y = ctgx- વિચિત્ર.

4. T = p - સૌથી નાનો હકારાત્મક સમયગાળો.

5. ચિહ્નોની સ્થિરતાના અંતરાલો:

ctgx > 0 xО માટે (pn; p/2 + pn;), nОZ;

ctgx< 0 xО (-p/2 + pn; pn), nОZ માટે.

ક્વાર્ટર દ્વારા કોટેન્જેન્ટ ચિહ્નો માટે આકૃતિ જુઓ.

6. કાર્ય ખાતે= ctgxદરેક અંતરાલ પર વધે છે (pn; p + pn), nÎZ.

7. એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ્સ અને ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમા y = ctgxના.

8. કાર્ય ગ્રાફ y = ctgxછે સ્પર્શક, ગ્રાફને સ્થાનાંતરિત કરીને મેળવેલ y = tgxઓક્સ અક્ષ સાથે ડાબી બાજુએ p/2 અને (-1) વડે ગુણાકાર (અંજીર)

વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતિ કાર્યો, તેમના ગુણધર્મો અને આલેખ

વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતિ કાર્યો (પરિપત્ર કાર્યો , ચાપ કાર્યો) - ગાણિતિક કાર્યો કે જે ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના વ્યસ્ત છે. છ કાર્યોને સામાન્ય રીતે વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતિ કાર્યો તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે: આર્ક્સીન , આર્ક કોસાઇન , આર્કટેન્જેન્ટ ,આર્કોટેન્જીસવ્યસ્ત ત્રિકોણમિતિ ફંક્શનનું નામ અનુરૂપ ત્રિકોણમિતિ ફંક્શનના નામ પરથી "આર્ક-" ઉપસર્ગ ઉમેરીને બનાવવામાં આવે છે (lat માંથી. ચાપ- ચાપ). આ એ હકીકતને કારણે છે કે ભૌમિતિક રીતે વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતિ કાર્યનું મૂલ્ય ચોક્કસ સેગમેન્ટને અનુરૂપ એકમ વર્તુળના ચાપની લંબાઈ (અથવા આ ચાપને સમાવેલો કોણ) સાથે સંકળાયેલ હોઈ શકે છે. પ્રસંગોપાત વિદેશી સાહિત્યમાં, sin −1 જેવા સંકેતોનો ઉપયોગ આર્ક્સીન વગેરે માટે થાય છે. આ સંપૂર્ણ રીતે સાચું નથી માનવામાં આવે છે, કારણ કે કાર્યને પાવર −1 સુધી વધારવામાં મૂંઝવણ હોઈ શકે છે. મૂળભૂત ગુણોત્તર

કાર્ય y=arcsinX, તેના ગુણધર્મો અને આલેખ.

આર્ક્સીનસંખ્યાઓ mઆ કોણ કહેવાય છે x, જે કાર્ય માટે y= પાપ x y= આર્ક્સીન xસખત રીતે વધી રહી છે. (કાર્ય વિચિત્ર છે).

કાર્ય y=arccosX, તેના ગુણધર્મો અને આલેખ.

આર્ક કોસાઇનસંખ્યાઓ mઆ કોણ કહેવાય છે x, જેના માટે

કાર્ય y=cos xતેની સંપૂર્ણ સંખ્યા રેખા સાથે સતત અને બંધાયેલ છે. કાર્ય y= આર્કોસ xસખત રીતે ઘટી રહ્યું છે. cos(arccos x) = xખાતે arccos (cos y) = yખાતે ડી(આર્કોસ x) = [− 1; 1], (ડોમેન), ઇ(આર્કોસ x) = (મૂલ્યોની શ્રેણી). આર્કોસ ફંક્શનના ગુણધર્મો (બિંદુના સંદર્ભમાં કાર્ય કેન્દ્રિય સપ્રમાણ છે

કાર્ય y=arctgX, તેના ગુણધર્મો અને આલેખ.

આર્કટેંજન્ટસંખ્યાઓ mકોણ α છે જેના માટે કાર્ય સતત છે અને તેની સંપૂર્ણ વાસ્તવિક રેખા સાથે બંધાયેલ છે. કાર્ય સખત રીતે વધી રહ્યું છે.

ખાતે

arctg ફંક્શનના ગુણધર્મો

,

.

કાર્ય y=arcctg, તેના ગુણધર્મો અને આલેખ.

આર્કોટેન્જેન્ટસંખ્યાઓ mઆ કોણ કહેવાય છે x, જેના માટે

કાર્ય સતત છે અને તેની સંપૂર્ણ સંખ્યા રેખા સાથે બંધાયેલ છે.

કાર્ય સખત રીતે ઘટી રહ્યું છે. 0 પર< y < π Свойства функции arcctg (график функции центрально-симметричен относительно точки કોઈપણ માટે x .

.

સૌથી સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો.

વ્યાખ્યા.વાડાના સમીકરણો sin x = a ; cos x = a ; tan x = a ; ctg x = a, ક્યાં x

ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોના વિશિષ્ટ કિસ્સાઓ

વ્યાખ્યા.વાડાના સમીકરણો sin x = a ; cos x = a ; tan x = a ; ctg x = a, ક્યાં x- ચલ, aR, કહેવાય છે સૌથી સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો.

ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો

સ્ટીરિયોમેટ્રીના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો અને તેમાંથી પરિણામો

અવકાશમાં મૂળભૂત આકૃતિઓ: બિંદુઓ, રેખાઓ અને વિમાનો. પોઈન્ટ, લીટીઓ અને પ્લેન્સની તેમની સંબંધિત સ્થિતિ સંબંધિત મૂળભૂત ગુણધર્મો સ્વયંસિદ્ધમાં વ્યક્ત કરવામાં આવે છે.

A1.કોઈપણ ત્રણ બિંદુઓ દ્વારા જે એક જ લાઇન પર આવેલા નથી, ત્યાંથી એક વિમાન પસાર થાય છે, અને ફક્ત એક જ. A2.જો રેખાના બે બિંદુઓ સમતલમાં આવેલા છે, તો રેખાના તમામ બિંદુઓ આ સમતલમાં આવેલા છે

ટિપ્પણી.જો રેખા અને સમતલમાં માત્ર એક જ સામાન્ય બિંદુ હોય, તો તેઓ એકબીજાને છેદે કહેવાય છે.

A3.જો બે વિમાનોમાં સમાન બિંદુ હોય, તો તેમની પાસે એક સામાન્ય સીધી રેખા હોય છે જેના પર આ વિમાનોના તમામ સામાન્ય બિંદુઓ આવેલા હોય છે.

A અને સીધી રેખા a સાથે છેદે છે.

કોરોલરી 1.એક પ્લેન એક સીધી રેખામાંથી પસાર થાય છે અને એક બિંદુ તેના પર ન હોય, અને તેના પર માત્ર એક જ પ્લેન. કોરોલરી 2.એક વિમાન બે છેદતી રેખાઓમાંથી પસાર થાય છે, અને માત્ર એક.

અવકાશમાં બે રેખાઓની સંબંધિત સ્થિતિ

સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવેલ બે લીટીઓ

એક બિંદુ પર છેદે.

રેખા અને સમતલની સમાંતરતા.

વ્યાખ્યા 2.3રેખા અને વિમાનને સમાંતર કહેવામાં આવે છે જો તેમની પાસે સામાન્ય બિંદુઓ ન હોય. જો સીધી રેખા a પ્લેન α ની સમાંતર હોય, તો પછી a || લખો α. પ્રમેય 2.4 રેખા અને સમતલની સમાનતા માટે પરીક્ષણ.જો પ્લેનની બહારની કોઈ રેખા પ્લેન પરની અમુક રેખાની સમાંતર હોય, તો આ રેખા પ્લેનની જ સમાંતર હોય છે. સાબિતી ચાલો b α, a || b અને a α (રેખાંકન 2.2.1). અમે વિરોધાભાસ દ્વારા પુરાવા હાથ ધરીશું. a ને α ની સમાંતર ન થવા દો, પછી રેખા a એ પ્લેન α ને અમુક બિંદુએ છેદે છે. વધુમાં, A b, ત્યારથી a || b ત્રાંસી રેખાઓના માપદંડ મુજબ, રેખાઓ a અને b ત્રાંસુ છે. અમે એક વિરોધાભાસ પર પહોંચ્યા છીએ. પ્રમેય 2.5જો પ્લેન β પ્લેન α ની સમાંતર રેખામાંથી પસાર થાય છે અને આ પ્લેનને b રેખા સાથે છેદે છે, તો b || a સાબિતી ખરેખર, રેખાઓ a અને b ત્રાંસી નથી, કારણ કે તે β સમતલમાં આવેલી છે. વધુમાં, આ રેખાઓમાં સામાન્ય બિંદુઓ નથી, કારણ કે a || α. વ્યાખ્યા 2.4સીધી રેખા b ને ક્યારેક પ્લેન α પર પ્લેન β નું ટ્રેસ કહેવામાં આવે છે.

સીધી રેખાઓ પાર કરવી. ક્રોસિંગ લાઇનની નિશાની

જો નીચેની શરત પૂરી થઈ હોય તો રેખાઓને છેદતી કહેવામાં આવે છે: જો આપણે કલ્પના કરીએ કે એક રેખા મનસ્વી સમતલની છે, તો બીજી રેખા આ સમતલને એવા બિંદુએ છેદશે જે પ્રથમ રેખાથી સંબંધિત નથી. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ત્રિ-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશમાં બે રેખાઓ એકબીજાને છેદે છે જો તેમાં કોઈ સમતલ ન હોય. સરળ શબ્દોમાં કહીએ તો, અવકાશમાં બે રેખાઓ જેમાં સામાન્ય બિંદુઓ નથી, પરંતુ સમાંતર નથી.

પ્રમેય (1): જો બે રેખાઓમાંથી એક ચોક્કસ સમતલમાં રહે છે, અને બીજી રેખા આ સમતલને એવા બિંદુએ છેદે છે જે પ્રથમ રેખા પર ન હોય, તો આ રેખાઓ છેદે છે.

પ્રમેય (2): દરેક બે ત્રાંસી રેખાઓમાંથી બીજી રેખાની સમાંતર સમતલ પસાર થાય છે, અને વધુમાં, માત્ર એક જ.

પ્રમેય (3): જો બે ખૂણાઓની બાજુઓ અનુક્રમે સંરેખિત હોય, તો આવા ખૂણા સમાન હોય છે.

રેખાઓની સમાંતરતા. સમાંતર વિમાનોના ગુણધર્મો.

સમાંતર (ક્યારેક સમભુજ) રેખાઓસીધી રેખાઓ કહેવામાં આવે છે જે સમાન સમતલમાં રહે છે અને કાં તો એકરૂપ થાય છે અથવા છેદતી નથી. કેટલીક શાળાની વ્યાખ્યાઓમાં, સંયોગ રેખાઓને સમાંતર ગણવામાં આવતી નથી, આવી વ્યાખ્યા અહીં ધ્યાનમાં લેવામાં આવતી નથી. ગુણધર્મો સમાંતરતા એ દ્વિસંગી સમાનતા સંબંધ છે, તેથી તે રેખાઓના સમગ્ર સમૂહને એકબીજાની સમાંતર રેખાઓના વર્ગોમાં વિભાજિત કરે છે. કોઈપણ બિંદુ દ્વારા તમે આપેલ એકની સમાંતર બરાબર એક સીધી રેખા દોરી શકો છો. આ યુક્લિડિયન ભૂમિતિનો એક વિશિષ્ટ ગુણધર્મ છે; અન્ય ભૂમિતિઓમાં નંબર 1 અન્ય દ્વારા બદલવામાં આવે છે (લોબાચેવ્સ્કીની ભૂમિતિમાં ઓછામાં ઓછી બે આવી રેખાઓ છે) અવકાશમાં 2 સમાંતર રેખાઓ સમાન વિમાનમાં છે. b જ્યારે 2 સમાંતર રેખાઓ ત્રીજા સાથે છેદે છે, કહેવાય છે સેકન્ટ: એક સેકન્ટ આવશ્યકપણે બંને રેખાઓને છેદે છે. જ્યારે છેદતી વખતે, 8 ખૂણાઓ રચાય છે, જેમાંથી કેટલીક લાક્ષણિક જોડી ખાસ નામો અને ગુણધર્મો ધરાવે છે: ક્રોસવાઇઝ બોલવુંખૂણા સમાન છે. સંબંધિતખૂણા સમાન છે. એકપક્ષીયખૂણાઓ 180° સુધી ઉમેરે છે.

રેખા અને વિમાનની લંબરૂપતા.

વિમાનને છેદતી સીધી રેખા કહેવાય છે લંબઆ પ્લેન જો તે દરેક સીધી રેખાને લંબરૂપ હોય જે આ સમતલમાં રહે છે અને આંતરછેદના બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.

સીધા અને વિમાનની લંબરૂપતાની નિશાની.

જો કોઈ વિમાનને છેદતી રેખા આ રેખા અને સમતલના આંતરછેદના બિંદુમાંથી પસાર થતી આ વિમાનમાં બે રેખાઓ પર લંબરૂપ હોય, તો તે વિમાનને લંબરૂપ છે.

કાટખૂણે સીધી અને પ્લેનની 1લી મિલકત .

જો પ્લેન બે સમાંતર રેખાઓમાંથી એકને લંબરૂપ હોય, તો તે બીજી તરફ પણ લંબરૂપ હોય છે.

કાટખૂણે સીધી અને વિમાનની 2જી મિલકત .

સમાન સમતલ પર લંબરૂપ બે રેખાઓ સમાંતર છે.

ત્રણ લંબ પ્રમેય

દો એબી- પ્લેન α ને લંબરૂપ, A.C.- વલણ અને c- બિંદુમાંથી પસાર થતા α પ્લેનમાં એક સીધી રેખા સીઅને પ્રક્ષેપણ માટે લંબ છે બી.સી.. ચાલો ડાયરેક્ટ કરીએ સી.કેરેખાની સમાંતર એબી. સીધું સી.કેપ્લેન α માટે લંબ છે (કારણ કે તે સમાંતર છે એબી), અને તેથી આ પ્લેનની કોઈપણ સીધી રેખા, તેથી, સી.કેસીધી રેખાને લંબરૂપ c એબીઅને સી.કેપ્લેન β (સમાંતર રેખાઓ વિમાનને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, અને માત્ર એક). સીધું cβ પ્લેનમાં પડેલી બે છેદતી રેખાઓને લંબરૂપ, આ છે બી.સી.સ્થિતિ અનુસાર અને સી.કેબાંધકામ દ્વારા, તેનો અર્થ એ છે કે તે આ સમતલની કોઈપણ રેખાને લંબરૂપ છે, જેનો અર્થ છે કે તે રેખા પર લંબ છે A.C. .

ત્રણ લંબરૂપ પ્રમેયની વાતચીત

જો ઝોકવાળી રેખાના પાયા દ્વારા પ્લેન પર દોરેલી સીધી રેખા ઝોકવાળી રેખાને લંબરૂપ હોય, તો તે તેના પ્રક્ષેપણ માટે પણ લંબરૂપ હોય છે.

દો એબી- પ્લેન પર લંબરૂપ a , એસી- વલણ અને સાથે- વિમાનમાં સીધી રેખા a, વલણના આધારમાંથી પસાર થવું સાથે. ચાલો ડાયરેક્ટ કરીએ એસ.કે, રેખાની સમાંતર એબી. સીધું એસ.કેપ્લેન પર લંબરૂપ a(આ પ્રમેય મુજબ, કારણ કે તે સમાંતર છે એબી), અને તેથી આ પ્લેનની કોઈપણ સીધી રેખા, તેથી, એસ.કેસીધી રેખાને લંબરૂપ સાથે. ચાલો સમાંતર રેખાઓ દ્વારા દોરીએ એબીઅને એસ.કેવિમાન b(સમાંતર રેખાઓ વિમાનને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, અને માત્ર એક). સીધું સાથેપ્લેનમાં પડેલી બે સીધી રેખાઓને લંબરૂપ b, આ એસીસ્થિતિ અનુસાર અને એસ.કેબાંધકામ દ્વારા, તેનો અર્થ એ છે કે તે આ સમતલની કોઈપણ રેખાને લંબરૂપ છે, જેનો અર્થ છે કે તે રેખા પર લંબ છે સૂર્ય. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, પ્રક્ષેપણ સૂર્યસીધી રેખાને લંબરૂપ સાથે, પ્લેનમાં પડેલો a .

લંબ અને ત્રાંસુ.

લંબરૂપ, આપેલ પ્લેન પર આપેલ બિંદુથી નીચે આવેલું, આપેલ બિંદુને પ્લેન પરના બિંદુ સાથે જોડતો અને પ્લેન પર લંબરૂપ સીધી રેખા પર પડેલો સેગમેન્ટ છે. પ્લેનમાં પડેલા આ સેગમેન્ટનો છેડો કહેવાય છે લંબનો આધાર .

વળેલુંઆપેલ બિંદુથી આપેલ પ્લેન પર દોરવામાં આવેલ કોઈપણ સેગમેન્ટ એ આપેલ બિંદુને પ્લેન પરના બિંદુ સાથે જોડતો કોઈપણ સેગમેન્ટ છે જે પ્લેન પર લંબ નથી. પ્લેનમાં પડેલા સેગમેન્ટના અંતને કહેવામાં આવે છે વળેલું આધાર. એક જ બિંદુ પરથી દોરેલા વળાંક સાથે લંબના પાયાને જોડતો ભાગ કહેવાય છે. ત્રાંસુ પ્રક્ષેપણ .

વ્યાખ્યા 1. આપેલ રેખાને લંબરૂપ એ આપેલ રેખાને લંબરૂપ રેખાખંડ છે, જેનો એક છેડો તેમના આંતરછેદ બિંદુ પર હોય છે. આપેલ રેખા પર પડેલા સેગમેન્ટના છેડાને લંબનો આધાર કહેવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા 2. આપેલ બિંદુથી આપેલ રેખા તરફ દોરવામાં આવેલ ઢોળાવને જોડતી સેગમેન્ટ કહેવાય છે આ બિંદુલીટી પરના કોઈપણ બિંદુ સાથે કે જે એક જ બિંદુ પરથી આપેલ લીટી પર કાટખૂણે પડતો આધાર નથી. AB એ પ્લેન α પર લંબ છે.

એસી - ત્રાંસી, સીબી - પ્રક્ષેપણ.

C એ વલણનો આધાર છે, B એ લંબનો આધાર છે.

સીધી રેખા અને વિમાન વચ્ચેનો ખૂણો.

સીધી રેખા અને વિમાન વચ્ચેનો ખૂણોસીધી રેખા અને આ સમતલ પર તેના પ્રક્ષેપણ વચ્ચેનો કોઈપણ ખૂણો કહેવાય છે.

ડાયહેડ્રલ કોણ.

ડાયહેડ્રલ કોણ- અવકાશી ભૌમિતિક આકૃતિ, એક સીધી રેખામાંથી નીકળતા બે અર્ધ-વિમાન દ્વારા રચાય છે, તેમજ આ અર્ધ-વિમાન દ્વારા મર્યાદિત જગ્યાનો એક ભાગ. અર્ધ-વિમાન કહેવામાં આવે છે ધારડિહેડ્રલ કોણ, અને તેમની સામાન્ય સીધી રેખા છે ધાર. ડિહેડ્રલ એંગલ માપવામાં આવે છે રેખીય કોણ, એટલે કે, તેની ધાર પર લંબરૂપ સમતલ સાથે ડાયહેડ્રલ કોણના આંતરછેદ દ્વારા રચાયેલ કોણ. દરેક પોલિહેડ્રોન, નિયમિત અથવા અનિયમિત, બહિર્મુખ અથવા અંતર્મુખ, દરેક કિનારે એક ડાયહેડ્રલ કોણ ધરાવે છે.

બે વિમાનોની લંબરૂપતા.

પ્લેન્સની લંબિતતાની નિશાની.

જો કોઈ પ્લેન અન્ય પ્લેન પર લંબરૂપ રેખામાંથી પસાર થાય છે, તો આ વિમાનો લંબરૂપ છે.

1.1 અતાર્કિક સમીકરણો

અતાર્કિક સમીકરણો ઘણીવાર જોવા મળે છે પ્રવેશ પરીક્ષાઓગણિતમાં, કારણ કે તેમની સહાયથી આવા ખ્યાલોના જ્ઞાનનું નિદાન કરવું સરળ છે સમકક્ષ પરિવર્તનો, વ્યાખ્યાનું ડોમેન અને અન્ય. અતાર્કિક સમીકરણોને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ, એક નિયમ તરીકે, એક અતાર્કિક સમીકરણને તર્કસંગત સાથે બદલવાની શક્યતા પર આધારિત છે (કેટલાક પરિવર્તનની મદદથી), જે કાં તો મૂળ અતાર્કિક સમીકરણની સમકક્ષ છે અથવા તેનું પરિણામ છે. મોટેભાગે, સમીકરણની બંને બાજુઓ સમાન શક્તિમાં ઉભી કરવામાં આવે છે. જ્યારે બંને બાજુઓ એક વિષમ શક્તિ સુધી ઉભી કરવામાં આવે ત્યારે સમાનતાનું ઉલ્લંઘન થતું નથી. નહિંતર, મળેલા ઉકેલો તપાસવા અથવા સમીકરણની બંને બાજુના ચિહ્નનું મૂલ્યાંકન કરવું જરૂરી છે. પરંતુ અન્ય તકનીકો છે જે અતાર્કિક સમીકરણોને ઉકેલવામાં વધુ અસરકારક હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, પદ્ધતિ ત્રિકોણમિતિ અવેજી.

ઉદાહરણ 1: સમીકરણ ઉકેલો

ત્યારથી. તેથી અમે મૂકી શકીએ છીએ . સમીકરણ સ્વરૂપ લેશે

ચાલો, પછી ક્યાં મૂકીએ

.

.

જવાબ: .
બીજગણિત ઉકેલ
ત્યારથી . અર્થ, , જેથી તમે મોડ્યુલને વિસ્તૃત કરી શકો

.

જવાબ: .

સમીકરણ ઉકેલવું બીજગણિતીય રીતેસમાન પરિવર્તનો અને સમકક્ષ સંક્રમણોના સક્ષમ હેન્ડલિંગમાં સારી કુશળતાની જરૂર છે. પરંતુ સામાન્ય રીતે, બંને નિર્ણય પદ્ધતિઓ સમાન છે.

ઉદાહરણ 2: સમીકરણ ઉકેલો

.

ત્રિકોણમિતિ અવેજીનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલ

સમીકરણની વ્યાખ્યાનું ડોમેન અસમાનતા દ્વારા આપવામાં આવે છે, જે પછી સ્થિતિની સમકક્ષ છે. તેથી, તમે મૂકી શકો છો. સમીકરણ સ્વરૂપ લેશે

ત્યારથી. ચાલો આંતરિક મોડ્યુલ ખોલીએ

ચાલો મૂકીએ , પછી

.

સ્થિતિ બે મૂલ્યો દ્વારા સંતુષ્ટ છે અને .

.

.

જવાબ: .

બીજગણિત ઉકેલ

.

ચાલો વસ્તીની પ્રથમ સિસ્ટમના સમીકરણનો વર્ગ કરીએ અને મેળવીએ

તે પછી રહેવા દો. સમીકરણ તરીકે ફરીથી લખવામાં આવશે

તપાસ કરીને આપણે સ્થાપિત કરીએ છીએ કે તે મૂળ છે, પછી બહુપદીને દ્વિપદી વડે વિભાજીત કરીને આપણે સમીકરણની જમણી બાજુના વિઘટનને પરિબળોમાં મેળવીએ છીએ.

ચાલો ચલમાંથી ચલ તરફ જઈએ, આપણને મળે છે

.

શરત બે મૂલ્યોને સંતોષો

.

આ મૂલ્યોને મૂળ સમીકરણમાં બદલીને, આપણે શોધીએ છીએ કે તે મૂળ છે.

એ જ રીતે મૂળ સમૂહની બીજી સિસ્ટમના સમીકરણને ઉકેલતા, આપણે શોધીએ છીએ કે તે પણ એક મૂળ છે.

જવાબ: .

જો અગાઉના ઉદાહરણમાં બીજગણિતીય ઉકેલ અને ત્રિકોણમિતિ અવેજીનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલ સમાન હતા, તો પછી આ કિસ્સામાંઅવેજી દ્વારા ઉકેલ વધુ નફાકારક છે. બીજગણિતનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ ઉકેલતી વખતે, તમારે બે સમીકરણોનો સમૂહ ઉકેલવો પડશે, એટલે કે તેને બે વાર ચોરસ કરો. આ અસમાન રૂપાંતરણ પછી, અમે અતાર્કિક ગુણાંક સાથે ચોથા ડિગ્રીના બે સમીકરણો મેળવીએ છીએ, જેને અવેજી દ્વારા દૂર કરી શકાય છે. બીજી મુશ્કેલી એ છે કે જે ઉકેલો મળે છે તેને મૂળ સમીકરણમાં બદલીને તપાસવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 3: સમીકરણ ઉકેલો

.

ત્રિકોણમિતિ અવેજીનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલ

ત્યારથી. નોંધ કરો કે અજાણ્યાનું નકારાત્મક મૂલ્ય સમસ્યાનું સમાધાન હોઈ શકતું નથી. ખરેખર, ચાલો મૂળ સમીકરણને ફોર્મમાં રૂપાંતરિત કરીએ

.

સમીકરણની ડાબી બાજુના કૌંસમાં પરિબળ હકારાત્મક છે, સમીકરણની જમણી બાજુ પણ હકારાત્મક છે, તેથી સમીકરણની ડાબી બાજુનું પરિબળ નકારાત્મક હોઈ શકતું નથી. તેથી જ, તો પછી, તે શા માટે તમે મૂકી શકો છો મૂળ સમીકરણ આ રીતે ફરીથી લખવામાં આવશે

ત્યારથી , ત્યારથી અને . સમીકરણ સ્વરૂપ લેશે

દો . ચાલો સમીકરણમાંથી સમકક્ષ સિસ્ટમ તરફ આગળ વધીએ

.

સંખ્યાઓ અને ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ છે

.

બીજગણિતીય ઉકેલ ચાલો સમીકરણની બંને બાજુનો વર્ગ કરીએ
ચાલો બદલીનો પરિચય કરીએ , પછી સમીકરણ ફોર્મમાં લખવામાં આવશે

બીજું મૂળ અનાવશ્યક છે, તેથી સમીકરણને ધ્યાનમાં લો

.

ત્યારથી.

આ કિસ્સામાં, માં બીજગણિત ઉકેલ તકનીકી રીતેસરળ, પરંતુ ત્રિકોણમિતિ અવેજીનો ઉપયોગ કરીને આપેલ સોલ્યુશનને ધ્યાનમાં લેવું જરૂરી છે. આ, સૌ પ્રથમ, અવેજીની બિન-માનક પ્રકૃતિને કારણે છે, જે સ્ટીરિયોટાઇપનો નાશ કરે છે કે જ્યારે ત્રિકોણમિતિ અવેજીનો ઉપયોગ ત્યારે જ શક્ય છે. તે તારણ આપે છે કે ત્રિકોણમિતિ અવેજી પણ એપ્લિકેશન શોધે છે. બીજું, ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ ઉકેલવું મુશ્કેલ છે , જે સમીકરણોની સિસ્ટમમાં અવેજી દાખલ કરીને ઘટાડવામાં આવે છે. ચોક્કસ અર્થમાં, આ બદલીને બિન-માનક પણ ગણી શકાય, અને તેની સાથે પરિચિતતા તમને ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની તકનીકો અને પદ્ધતિઓના તમારા શસ્ત્રાગારને સમૃદ્ધ બનાવવા દે છે.

ઉદાહરણ 4: સમીકરણ ઉકેલો

.

ત્રિકોણમિતિ અવેજીનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલ

કારણ કે ચલ કોઈપણ લઈ શકે છે વાસ્તવિક મૂલ્યો, ચાલો મૂકીએ . પછી

,

કારણ કે.

મૂળ સમીકરણ, હાથ ધરવામાં આવેલા પરિવર્તનોને ધ્યાનમાં લેતા, ફોર્મ લેશે

કારણ કે આપણે સમીકરણની બંને બાજુઓને દ્વ્રારા વિભાજીત કરીએ છીએ, આપણને મળે છે

દો , પછી . સમીકરણ સ્વરૂપ લેશે

.

અવેજી આપેલ , આપણે બે સમીકરણોનો સમૂહ મેળવીએ છીએ

.

ચાલો સમૂહના દરેક સમીકરણને અલગથી હલ કરીએ.

.

સાઈન મૂલ્ય હોઈ શકતું નથી, કારણ કે દલીલના કોઈપણ મૂલ્યો માટે.

.

કારણ કે અને મૂળ સમીકરણની જમણી બાજુ હકારાત્મક છે, તો પછી. જેમાંથી તે અનુસરે છે .

આ સમીકરણનું કોઈ મૂળ નથી, ત્યારથી.
તેથી, મૂળ સમીકરણ એક જ મૂળ ધરાવે છે
.

બીજગણિત ઉકેલ

આ સમીકરણને મૂળ સમીકરણની બંને બાજુઓને ચોરસ કરીને આઠમા ડિગ્રીના તર્કસંગત સમીકરણમાં સરળતાથી "રૂપાંતરિત" કરી શકાય છે. પરિણામી તર્કસંગત સમીકરણના મૂળ શોધવા મુશ્કેલ છે, અને તે હોવું જરૂરી છે ઉચ્ચ ડિગ્રીકાર્યનો સામનો કરવા માટે ચાતુર્ય. તેથી, હલ કરવાની બીજી રીત જાણવાની સલાહ આપવામાં આવે છે, ઓછી પરંપરાગત. ઉદાહરણ તરીકે, I. F. Sharygin દ્વારા પ્રસ્તાવિત અવેજી.

ચાલો મૂકીએ , પછી

ચાલો પરિવર્તન કરીએ જમણી બાજુસમીકરણો :

રૂપાંતરણો, સમીકરણને ધ્યાનમાં લેતા ફોર્મ લેશે

.

ચાલો બદલીનો પરિચય કરીએ

.

બીજું રુટ અનાવશ્યક છે, તેથી, અને .

જો સમીકરણ ઉકેલવા માટેનો વિચાર અગાઉથી જાણીતો નથી , પછી સમીકરણની બંને બાજુઓનું વર્ગીકરણ કરીને પ્રમાણભૂત ઉકેલ ઉકેલવો એ સમસ્યારૂપ છે, કારણ કે પરિણામ એ આઠમા અંશનું સમીકરણ છે, જેનાં મૂળ શોધવા અત્યંત મુશ્કેલ છે. ત્રિકોણમિતિ અવેજીનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલ બોજારૂપ લાગે છે. જો તમે નોંધ ન કરો કે તે પારસ્પરિક છે તો સમીકરણના મૂળ શોધવાનું મુશ્કેલ બની શકે છે. આ સમીકરણનો ઉકેલ બીજગણિતના ઉપકરણનો ઉપયોગ કરીને થાય છે, તેથી આપણે કહી શકીએ કે સૂચિત ઉકેલ સંયુક્ત છે. તેમાં, બીજગણિત અને ત્રિકોણમિતિની માહિતી એક ધ્યેય માટે એકસાથે કાર્ય કરે છે - ઉકેલ મેળવવા માટે. ઉપરાંત, આ સમીકરણને ઉકેલવા માટે બે કિસ્સાઓને કાળજીપૂર્વક ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે. અવેજી દ્વારા ઉકેલ એ ત્રિકોણમિતિ અવેજીનો ઉપયોગ કરતાં તકનીકી રીતે સરળ અને વધુ સુંદર છે. તે સલાહભર્યું છે કે વિદ્યાર્થીઓ આ અવેજી પદ્ધતિને જાણે છે અને સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે તેનો ઉપયોગ કરે છે.
અમે ભારપૂર્વક કહીએ છીએ કે સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે ત્રિકોણમિતિ અવેજીનો ઉપયોગ સભાન અને ન્યાયી હોવો જોઈએ. એવા કિસ્સાઓમાં અવેજીનો ઉપયોગ કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે કે જ્યાં અન્ય રીતે ઉકેલ વધુ મુશ્કેલ અથવા સંપૂર્ણપણે અશક્ય છે. ચાલો બીજું ઉદાહરણ આપીએ, જે અગાઉના એકથી વિપરીત, પ્રમાણભૂત પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સરળ અને ઝડપી ઉકેલી શકાય છે.

	A અને સીધી રેખા a સાથે છેદે છે.