Aiškinamasis raštas

Siūlomi bilietai skirti žodžiu teorinis perkėlimo metinis egzaminas planimetrija 9 klasės mokiniai vidurinę mokyklą, taip pat 10 ir 11 klasėms, siekiant pasiruošti vieningam valstybiniam egzaminui. Siūloma medžiaga visiškai atitinka matematikos programą ir programą specializuotas mokymas.

Bilietus sudaro dešimt klausimų, atspindinčių pagrindines geometrijos kurso kryptis.

Klausimai skirti meistriškumui patikrinti koncepcinis aparatas dalyko ir svarbių žinių lygio nustatymas teoriniai faktai. Kai kuriems iš jų reikalingas pateiktos medžiagos įrodymas, parodantis pagrindines žinias teorinės nuostatos kursą ir gebėjimą juos pagrįsti.

Šie klausimai paimti iš vadovų:

Geometrija. Įrodinėjimo problemos. Smirnovas V.A., Smirnova I.M.

Geometrija. Vadovėlis 7-9 klasei. Atanasjanas, Butuzovas, Kadomcevas ir kt.

Geometrija. Vadovėlis 7-11 klasėms A.V.

MOKINIŲ ATSAKYMŲ VERTINIMO KRITERIJAI

Vertindami mokinių atsakymus galite vadovautis šiais kriterijais.

Už išsamų ir teisingą atsakymą į visus bilieto klausimus skiriamas „5“ balas. Norint gauti „3“ pažymį, pakanka atsakyti į aštuonis bilieto klausimus.

Visais kitais atvejais rezultatas yra „4“.

Bandymas planimetrijoje

1 variantas

Trikampių lygybės ženklai.

Turtas vidurio linija trikampis.

Trikampio aukščio nustatymas.

Kokie yra įbrėžtųjų ir apibrėžtųjų apskritimų spinduliai stačiakampiame trikampyje?

Panašių figūrų savybės.

Kaip matuojamas centrinis kampas?

Apskritimo akordų savybė.

Stačiojo trikampio apskritimo centras.

Stačiojo trikampio, kurio smailusis kampas yra 30 laipsnių, savybė.

Apibrėžkite statmeną pusiausvyrą.

2 variantas

Lygybės ženklai stačiųjų trikampių.

Trikampio medianos nustatymas.

Pitagoro teorema.

Kokia lygiagretainio įstrižainių kvadratų suma?

Taisyklingo trikampio ploto formulė.

Trapecijos plotas.

Įbrėžtų kampų savybė.

Apriboto keturkampio savybė.

Lanko ilgis.

Sinusas, kosinusas, 30 laipsnių kampo liestinė.

3 variantas

Teorema apie trikampio kampų sumą.

Trikampio medianų savybės.

Trikampio pusiausvyros nustatymas.

Kosinuso teorema.

Trikampio pusiausvyros formulė.

Lygiagretainio plotas (3).

Koks yra kampas tarp dviejų sekančių, susikertančių už apskritimo ribų?

Įbrėžto keturkampio savybė.

Apimtis.

Pagrindinės akordų savybės.

4 variantas

Savybės lygiašonis trikampis.

Statmenų bisektorių savybė.

Trikampio medianų formulė.

Sinusų teorema.

Kokie elementai yra lygiakraštis trikampis(aukštis, spindulys, plotas)?

Savybės lygiašonė trapecija.

Liečiamųjų ir sekantinių linijų, išeinančių iš to paties taško, savybė.

Koks kampas tarp susikertančių stygų?

Sinusas, kosinusas, 60 laipsnių kampo liestinė.

Kur yra įbrėžto trikampio apskritimo centras?

5 variantas

Trikampio nelygybė.

Teorema apie trikampio aukščius.

Kvadratas panašūs trikampiai.

Trikampio plotų formulės (6).

Lygiagretainio ženklai.

Teorema apie trapecijos vidurio liniją.

Keturkampio garnio formulė.

Koks yra kampas tarp liestinės ir stygos, nubrėžtos iš liestinės taško?

Sektoriaus sritis.

Sinusas, kosinusas, 45 laipsnių kampo liestinė.

6 variantas

Trikampio vidurio linijos nustatymas.

Trikampio bisektoriaus teorema.

Trikampių panašumo ženklai.

Kosinuso teorema.

Garnio formulė.

Lygiagretainio savybės.

Rombo plotas.

Įbrėžto ir apibrėžto apskritimo centras trikampyje.

Apibrėžkite stačiojo trikampio smailiojo kampo sinusą, kosinusą, liestinę ir kotangentą

Vidutinis lygis

Pagrindinės planimetrijos aksiomos. Išsamus vadovas (2019)

1. Pagrindinės planimetrijos sąvokos



Kodėl viskas nuotraukose ir be žodžių? Ar reikia žodžių? Man atrodo, kad iš pradžių jie nėra labai reikalingi. Tiesą sakant, matematikai, žinoma, žino, kaip viską apibūdinti žodžiais, ir tokius aprašymus galite rasti tolesniuose teorijos lygiuose, bet dabar tęskime nuotraukomis.







Kas dar? O taip, mes turime išmokti matuoti segmentus ir kampus.

Kiekvienas segmentas turi ilgį – skaičių, kuris priskiriamas šiam segmentui (kažkodėl...). Ilgis dažniausiai matuojamas... liniuote, žinoma, centimetrais, milimetrais, metrais ir net kilometrais.

O dabar matuoja kampus. Dėl tam tikrų priežasčių kampai dažniausiai matuojami laipsniais. Kodėl? Tam yra kažkas istorinių priežasčių, bet mes dabar nesusiję su istorija. Todėl toliau pateiktą susitarimą turėsime laikyti savaime suprantamu dalyku.



Išvystytame laipsnių kampu.

Dėl trumpumo jie rašo: . Šiuo atveju, žinoma, visų kitų kampų dydį galima sužinoti išsiaiškinus, kokia išskleisto kampo dalis yra tam tikras kampas. Kampų matavimo įrankis vadinamas transporteriu. Manau, kad jūs jį matėte ne kartą gyvenime.

2. Du pagrindiniai faktai apie kampus

I. Sumuojasi gretimi kampai.



Tai visiškai natūralu, ar ne? Juk gretimi kampai kartu sudaro atvirkštinį kampą!

II. Vertikalūs kampai yra lygūs.



Kodėl? Ir žiūrėk:

Kas dabar? Na, žinoma, iš to išplaukia. (Pakanka, pavyzdžiui, iš pirmos lygybės atimti antrąją. Bet apskritai galima tiesiog pažiūrėti paveikslėlį).

Koks yra stačiojo kampo dydis?

Na žinoma! Juk juk.

4. Ūmus ir bukas kampas.

Iš esmės tai viskas, ką reikia žinoti norint pradėti. Kodėl nepasakėme nė žodžio apie aksiomas?

Aksiomos yra veiksmo taisyklės su pagrindiniais planimetrijos objektais, pačiais pirmaisiais teiginiais apie taškus ir linijas. Šie teiginiai laikomi pagrindu, o ne įrodyti.

Kodėl mes vis dar jų nesuformuluojame ir neaptariame? Matote, planimetrijos aksiomos tam tikra prasme tiesiog apibūdina intuityviai aiškius santykius gana ilgai. matematinė kalba. Aiškiai suprasti aksiomatiką reikia kiek vėliau, kai priprasi geometrinės sąvokos sveiko proto lygmenyje. Tada – sveiki atvykę – čia gana išsamiai aptariamos aksiomos. Tuo tarpu pabandykite elgtis kaip senovės graikai, prieš Euklido laiką – tiesiog spręskite problemas naudodami sveikas protas. Užtikrinu jus, jums bus įmanoma atlikti daugybę užduočių!

VIDURIO LYGIS

Įsivaizduokite, kad staiga atsiduriate kitoje planetoje arba... kompiuteriniame žaidime.

Prieš jus – nežinomų produktų rinkinys, o jūsų užduotis – iš šio rinkinio paruošti kuo daugiau skanių patiekalų. ko tau prireiks? Žinoma, taisyklės, instrukcijos – ką galima daryti su tam tikrais produktais. Ką daryti, jei staiga pagaminsite ką nors, kas valgoma tik žalia, arba, atvirkščiai, į salotas įdėsite tai, ką būtinai reikia virti ar kepti? Taigi, be nurodymų – niekur!

Gerai, bet kam tokia įžanga? Ką su tuo turi geometrija? Matote, daugybė teiginių apie įvairias geometrijos figūras yra daugybė „patiekalų“, kuriuos turime išmokti gaminti. Bet nuo ko? Iš pagrindinių geometrijos objektų! Tačiau jų „naudojimo“ instrukcijos vadinamos protingais žodžiais "aksiomų sistema".

Taigi, atkreipkite dėmesį!

Pagrindiniai planimetrijos objektai ir aksiomos.

Taškas ir linija

Tai yra svarbiausios planimetrijos sąvokos. Matematikai sako, kad tai yra „neapibrėžiamos sąvokos“. Kaip taip? Bet taip, jūs turite kažkur pradėti.

Dabar pirmosios taškų ir linijų tvarkymo taisyklės. Šios matematikos taisyklės vadinamos "aksiomos"- teiginiai, kurie yra paimami kaip pagrindas, iš kurių tada bus išvesta viskas, kas pagrindinis (atminkite, kad mes turime didelę kulinarinę misiją „virti“ geometriją?). Taigi, pirmoji aksiomų serija vadinama

I. Priklausymo aksiomos.

Atminkite, kad ši aksioma leidžia piešti taip:



Taip: buvo du punktai:



Ir tada buvo rasta tiesi linija:

Bet kitas ne!



Jei visa tai jums atrodo pernelyg akivaizdu, prisiminkite, kad esate kitoje planetoje ir iki šiol visiškai neįsivaizdavote, ką daryti su objektais "taškas" Ir "tiesiai".

Spindulys, segmentas, kampas.

Dabar mes išmokome dėti taškus ant linijų ir brėžti linijas per taškus, todėl jau galime paruošti pirmuosius paprastus „patiekalus“ -, segmentas,kampe.

1) SPIJA

Štai jis





2) Pjaustyti



Dabar sutvarkykime dalykus. Kita aksiomų serija vadinama:

II. Tvarkos aksiomos.



Dabar – kitas lygis. Mums reikia nurodymų matavimas segmentai ir kampai. Šios aksiomos vadinamos

III. Atkarpų ir kampų matų aksiomos.

Ir dabar tai visiškai keista.

IV. Trikampio, lygaus duotam, egzistavimo aksiomos.

Dvi šios aksiomos pasekmės yra aiškesnės:





Na, paskutinis yra legendinis lygiagreti aksioma!

Bet pirmiausia apibrėžimas:

V. Paralelių aksioma.

Na, viskas baigėsi planimetrijos aksiomos! Ar jų per daug? Bet įsivaizduokite, jų visų reikia. Kiekvienam iš jų yra gudrus, gudrus samprotavimas, kuris rodo, kad jei ši aksioma bus pašalinta, tada visas geometrijos statinys sugrius! Na, arba liks kažkas, kas visiškai skiriasi nuo to, prie ko esame įpratę.

Dabar du pagrindiniai faktai apie kampus!

Gretimi ir vertikalūs kampai.

Kampą sudarantys spinduliai vadinami kampo kraštinėmis ir jų bendra pradžia- viršuje

Tai yra visiškai paprasta teorema, Tiesa?

Juk juk bendra pusė gretimų kampų tiesiog padalija tiesųjį kampą į du kampus ir todėl (DĖMESIO: Axiom 3.2 veikia!) gretimų kampų suma lygi išskleisto dydžiui, t.y.

Nupiešti lengviau nei aprašyti – žiūrėkite paveikslėlį.



Tai taip pat paprasta teorema. Įsitikinkite:

Ūmus ir bukas kampas.

TRUMPAS APRAŠYMAS IR PAGRINDINĖS FORMULĖS

Priklausymo aksiomos:

• Aksioma 1. Kad ir kokia būtų tiesė, yra taškų, kurie priklauso šiai tiesei, ir taškų, kurie jai nepriklauso.
• Aksioma 2. Per bet kuriuos du taškus galite nubrėžti tiesią liniją ir tik vieną.

Tvarkos aksiomos:

• 3 aksioma. Iš trijų tiesės taškų vienas ir tik vienas yra tarp kitų dviejų.
• Aksioma 4. Plokštumoje esanti tiesė padalija šią plokštumą į dvi pusplokštumas. Jei atkarpos galai priklauso tai pačiai pusplokštumai, tai atkarpa tiesės nesikerta. Jei atkarpos galai priklauso skirtingoms pusplokštumoms, tai atkarpa kerta tiesę.

Segmentų ir kampų matų aksiomos:

• 5 aksioma. Kiekvienas segmentas turi tam tikrą ilgį, didesnį už nulį. Atkarpos ilgis lygus dalių, į kurias jis padalintas iš bet kurio iš jos taškų, ilgių sumai.
• 6 aksioma. Kiekvienas kampas turi tam tikrą laipsnio matą, didesnis už nulį. Tiesus kampas yra lygus. Kampo laipsnio matas yra lygus kampų, į kuriuos jis yra padalintas iš bet kurio spindulio, einančio tarp jo kraštų, laipsnio matų sumai.

Trikampio, lygaus tam tikram, egzistavimo aksiomos:

Lygiagreti aksioma:

• Aksioma 8. Plokštumoje per tašką, esantį ne ant duotosios tiesės, galima nubrėžti daugiausia vieną tiesę, lygiagrečią duotajai.

Pagrindiniai faktai apie kampus:

• Teorema. Gretimų kampų suma yra lygi.

Na, tema baigta. Jei skaitote šias eilutes, tai reiškia, kad esate labai šaunus.

Nes tik 5% žmonių sugeba ką nors įvaldyti patys. Ir jei perskaitėte iki galo, tada esate šiame 5%!

Dabar svarbiausia.

Jūs supratote šios temos teoriją. Ir, kartoju, tai... tai tiesiog super! Tu jau esi geresnis už didžiąją daugumą tavo bendraamžių.

Problema ta, kad to gali nepakakti...

Už ką?

Už sėkmingas užbaigimas Vieningas valstybinis egzaminas, skirtas stojant į koledžą už biudžetą ir, SVARBIAUSIA, visam gyvenimui.

Niekuo neįtikinsiu, pasakysiu tik vieną dalyką...

Žmonės, kurie gavo geras išsilavinimas, uždirba daug daugiau nei tie, kurie jo negavo. Tai yra statistika.

Tačiau tai nėra pagrindinis dalykas.

Svarbiausia, kad jie būtų LAIMINGESNI (yra tokių tyrimų). Galbūt todėl, kad prieš juos yra daug daugiau atvirumo daugiau galimybių ir gyvenimas taps šviesesnis? nezinau...

Bet pagalvok pats...

Ko reikia, kad būtumėte tikri, kad vieningo valstybinio egzamino metu būtumėte geresni už kitus ir galiausiai būtumėte... laimingesni?

ĮGYKITE SAVO RANKĄ SPRĘSDAMI ŠIOS TEmos problemas.

Per egzaminą teorijos neprašys.

Jums reikės spręsti problemas prieš laiką.

Ir, jei jų neišsprendėte (DAUG!), tikrai kur nors padarysite kvailą klaidą arba tiesiog neturėsite laiko.

Tai kaip sporte – reikia kartoti daug kartų, kad laimėtum užtikrintai.

Raskite kolekciją, kur tik norite, būtinai su sprendimais, išsamią analizę ir nuspręsk, nuspręsk, nuspręsk!

Galite naudoti mūsų užduotis (neprivaloma) ir mes, žinoma, jas rekomenduojame.

Kad galėtumėte geriau atlikti užduotis, turite padėti pratęsti šiuo metu skaitomo YouClever vadovėlio gyvavimo laiką.

Kaip? Yra dvi parinktys:

1. Atrakinkite visas paslėptas užduotis šiame straipsnyje - 299 rubliai.
2. Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių visuose 99 vadovėlio straipsniuose - 999 rubliai.

Taip, mūsų vadovėlyje yra 99 tokie straipsniai ir iš karto galima atidaryti visas užduotis ir visus paslėptus tekstus.

Antruoju atveju mes tau duosime simuliatorius „6000 problemų su sprendimais ir atsakymais kiekvienai temai, visuose sudėtingumo lygiuose“. Tikrai pakaks į rankas paimti bet kokios temos problemas.

Tiesą sakant, tai yra daug daugiau nei tik treniruoklis – visa mokymo programa. Jei reikia, galite naudotis ir NEMOKAMAI.

Prieiga prie visų tekstų ir programų suteikiama VISĄ svetainės gyvavimo laikotarpį.

Ir pabaigai...

Jei jums nepatinka mūsų užduotys, susiraskite kitus. Tiesiog nesustokite ties teorija.

„Supratau“ ir „aš galiu išspręsti“ yra visiškai skirtingi įgūdžiai. Jums reikia abiejų.

Raskite problemas ir jas spręskite!

Pirmiausia nurodykime keletą pagrindinių savybių įvairių tipų kampai:

• Gretimi kampai sudaro 180 laipsnių.
• Vertikalūs kampai yra lygūs vienas kitam.

Dabar pereikime prie trikampio savybių. Tegul yra savavališkas trikampis:

Tada trikampio kampų suma:

Prisiminkite ir tai bet kurių dviejų trikampio kraštinių suma visada yra didesnė už trečiąją kraštinę. Trikampio plotas, išmatuotas dviem kraštinėmis ir kampas tarp jų:



Trikampio plotas per kraštinę ir aukštis, nukritęs ant jo:

Trikampio pusperimetras randamas pagal šią formulę:



Garnio formulė trikampio plotui:

Trikampio plotas pagal apskritimo spindulį:

Medianos formulė (mediana yra linija, nubrėžta per tam tikrą viršūnę ir priešingos trikampio kraštinės vidurį):



Medianų savybės:

• Visos trys medianos susikerta viename taške.
• Medianos padalija trikampį į šešis vienodo ploto trikampius.
• Susikirtimo taške medianos dalijamos santykiu 2:1, skaičiuojant nuo viršūnių.

Bisektoriaus savybė (pusiauris yra tiesė, padalijanti tam tikrą kampą į du lygius kampus, t. y. per pusę):



Svarbu žinoti: Trikampyje įbrėžto apskritimo centras yra pusiaukampių sankirtoje(visi trys bisektoriniai susikerta šiame viename taške). Bisektoriaus formulės:





Pagrindinė trikampio aukščių savybė (aukštis trikampyje yra tiesė, einanti per kurią nors trikampio viršūnę, statmeną priešingai kraštinei):

Visi trys trikampio aukščiai susikerta viename taške. Sankirtos taško padėtis nustatoma pagal trikampio tipą:

• Jei trikampis smailus, tai aukščių susikirtimo taškas yra trikampio viduje.
• Stačiakampiame trikampyje aukščiai susikerta tiesiojo kampo viršūnėje.
• Jei trikampis bukas, tai aukščių susikirtimo taškas yra už trikampio ribų.



Dar vienas dalykas naudingą turtą trikampio aukščiai:



Kosinuso teorema:

Sinusų teorema:



Trikampio apibrėžtojo apskritimo centras yra statmenų bisektorių sankirtoje.Šiame viename taške susikerta visos trys statmenos pusiausvyros. Statmenas bisektorius yra linija, nubrėžta per jai statmenos trikampio kraštinės vidurį.

Į taisyklingąjį trikampį įbrėžto apskritimo spindulys:

Apie lygiakraštį trikampį apibrėžto apskritimo spindulys:

Taisyklingo trikampio plotas:

Pitagoro teorema stačiajam trikampiui ( c- hipotenuzė, a Ir b- kojos):

Į statųjį trikampį įbrėžto apskritimo spindulys:



Apskritimo, apriboto stačiu trikampiu, spindulys:

Stačiojo trikampio plotas ( h- aukštis nuleistas iki hipotenuzės):



Aukščio, nuleisto iki stačiojo trikampio hipotenuzės, savybės:



Panašūs trikampiai- trikampiai, kurių kampai atitinkamai lygūs, o vieno kraštinės yra proporcingos kitoms panašioms kraštinėms. Panašiuose trikampiuose atitinkamos linijos (aukštinės, medianos, pusiausvyros ir kt.) yra proporcingos. Panašumai panašūs trikampiai – priešingos pusės vienodi kampai. Panašumo koeficientas- numeris k, lygus santykiui panašių trikampių panašios kraštinės. Panašių trikampių perimetrų santykis lygus panašumo koeficientui. Bisektorių, medianų, aukščių ir statmenų bisektorių ilgių santykis lygus panašumo koeficientui. Panašių trikampių plotų santykis lygus panašumo koeficiento kvadratui. Trikampių panašumo ženklai:

• Ant dviejų kampų. Jei du vieno trikampio kampai atitinkamai lygūs dviem kito trikampio kampams, tai trikampiai yra panašūs.
• Iš dviejų pusių ir kampas tarp jų. Jei dvi vieno trikampio kraštinės yra proporcingos dviem kito trikampio kraštinėms ir kampai tarp šių kraštinių yra lygūs, tai trikampiai yra panašūs.
• Iš trijų pusių. Jei trys vieno trikampio kraštinės yra proporcingos trims panašioms kito trikampio kraštinėms, tai trikampiai yra panašūs.

Trapecija

Trapecija- keturkampis, kurio lygiagreti lygiai viena pora priešingų kraštinių. Trapecijos formos vidurio linijos ilgis:

Trapecijos plotas:



Kai kurios trapecijos savybės:

• Trapecijos vidurio linija lygiagreti pagrindams.
• Atkarpa, jungianti trapecijos įstrižainių vidurio taškus, yra lygi pusei pagrindų skirtumo.
• Trapecijoje pagrindų vidurio taškai, įstrižainių susikirtimo taškai ir šoninių kraštinių tęsinių susikirtimo taškai yra toje pačioje tiesėje.
• Trapecijos įstrižainės padalija ją į keturis trikampius. Trikampiai, kurių kraštinės yra pagrindai, yra panašūs, o trikampiai, kurių kraštinės yra pusės- vienodo dydžio.
• Jei bet kurio trapecijos pagrindo kampų suma yra 90 laipsnių, tai atkarpa, jungianti pagrindų vidurio taškus, yra lygi pusei pagrindų skirtumo.
• Lygiašonė trapecija turi vienodus kampus bet kuriame pagrinde.
• Lygiašonės trapecijos įstrižainės yra lygios.
• Lygiašone trapecija aukštis nukrito nuo viršūnės iki didesnė bazė, padalija jį į du segmentus, kurių vienas lygus pusei bazių sumos, kitas – pusei bazių skirtumo.

Lygiagretainis

Lygiagretainis yra keturkampis, kurio priešingos kraštinės yra lygiagrečios poromis, tai yra, jos yra lygiagrečiose tiesėse. Lygiagretainio plotas per kraštą ir aukštis, nuleistas ant jo:

Lygiagretainio plotas per dvi kraštines ir kampas tarp jų:



Kai kurios lygiagretainio savybės:

• Lygiagretainio priešingos kraštinės yra lygios.
• Lygiagretainio priešingi kampai yra lygūs.
• Lygiagretainio įstrižainės susikerta ir susikirtimo taške yra padalintos į pusę.
• Kampų, esančių šalia vienos kraštinės, suma yra 180 laipsnių.
• Visų lygiagretainio kampų suma yra 360 laipsnių.
• Lygiagretainio įstrižainių kvadratų suma lygi dvigubai jo kraštinių kvadratų sumai.

Kvadratas

Kvadratas- keturkampis, kurio visos kraštinės yra lygios ir visi kampai lygūs 90 laipsnių. Kvadrato plotas, atsižvelgiant į jo kraštinės ilgį:

Kvadrato plotas pagal jo įstrižainės ilgį:

Kvadrato savybės- tai visos lygiagretainio, rombo ir stačiakampio savybės vienu metu.

Deimantas ir stačiakampis

Rombas yra lygiagretainis, kurio visos kraštinės yra lygios. Rombo plotas (pirmoji formulė yra per dvi įstrižaines, antroji - per kraštinės ilgį ir kampą tarp kraštų):



Rombo savybės:

• Rombas yra lygiagretainis. Jo priešingos pusės yra lygiagrečios poromis.
• Rombo įstrižainės susikerta stačiu kampu ir susikirtimo taške dalijamos pusiau.
• Rombo įstrižainės yra jo kampų pusiausvyros.

Stačiakampis yra lygiagretainis, kurio visi kampai yra stačiakampiai (lygūs 90 laipsnių). Stačiakampio plotas per dvi gretimas puses:

Stačiakampio savybės:

• Stačiakampio įstrižainės yra lygios.
• Stačiakampis yra lygiagretainis – jo priešingos kraštinės lygiagrečios.
• Stačiakampio kraštinės taip pat yra jo aukščiai.
• Stačiakampio įstrižainės kvadratas lygi sumai jo nėra dviejų kvadratų priešingos pusės(pagal Pitagoro teoremą).
• Apskritimas gali būti apibrėžiamas aplink bet kurį stačiakampį, o stačiakampio įstrižainė lygi apibrėžto apskritimo skersmeniui.

Vaizdo kursas „Gaukite A“ apima visas sėkmingam darbui reikalingas temas išlaikęs vieningą valstybinį egzaminą iš matematikos už 60-65 balus. Visiškai visos problemos 1-13 Profilio vieningas valstybinis egzaminas matematikoje. Taip pat tinka išlaikyti bazinį vieningą valstybinį matematikos egzaminą. Jei norite išlaikyti vieningą valstybinį egzaminą 90-100 balų, 1 dalį turite išspręsti per 30 minučių ir be klaidų!

Pasirengimo kursas vieningam valstybiniam egzaminui 10-11 klasėms, taip pat mokytojams. Viskas, ko reikia norint išspręsti matematikos vieningo valstybinio egzamino 1 dalį (12 pirmųjų uždavinių) ir 13 uždavinį (trigonometrija). Ir tai yra daugiau nei 70 balų iš vieningo valstybinio egzamino ir be jų neapsieina nei 100 balų studentas, nei humanitarinių mokslų studentas.

Visi būtina teorija. Greiti būdai sprendimus, spąstus ir Vieningo valstybinio egzamino paslaptys. Išnagrinėtos visos dabartinės FIPI užduočių banko 1 dalies užduotys. Kursas visiškai atitinka Vieningo valstybinio egzamino 2018 m. reikalavimus.

Kursą sudaro 5 didelės temos, po 2,5 val. Kiekviena tema pateikiama nuo nulio, paprastai ir aiškiai.

Šimtai vieningo valstybinio egzamino užduočių. Žodžių problemos ir tikimybių teorija. Paprasti ir lengvai įsimenami problemų sprendimo algoritmai. Geometrija. teorija, etaloninė medžiaga, visų tipų vieningo valstybinio egzamino užduočių analizė. Stereometrija. Sudėtingi sprendimai, naudingi cheat sheets, erdvinės vaizduotės ugdymas. Trigonometrija nuo nulio iki problemos 13. Supratimas, o ne kimšimas. Vizualus paaiškinimas sudėtingos sąvokos. Algebra. Šaknys, laipsniai ir logaritmai, funkcija ir išvestinė. Sprendimo pagrindas sudėtingos užduotys Vieningo valstybinio egzamino 2 dalys.

Bet tada studento buvo paprašyta įrodyti, kad trikampio kampų suma yra 180°. Studentas nurodė lygiagrečių tiesių savybes. Bet jis pradėjo įrodinėti pačias lygiagrečių linijų savybes, remdamasis lygiagrečių linijų ženklais. Ratas uždarytas. Todėl kartodami teoriją būkite nuoseklūs ir atidūs. Skaitydami teoremos įrodymą ypatingas dėmesys Atkreipkite dėmesį, kur įrodinėjant naudojamos teoremos sąlygos ir kokios anksčiau buvo įrodytos teoremos.
Šiame skyriuje teoremų formuluotės pateikiamos pagal A. V. Pogorelovo vadovėlį „Geometrija. 7–9 klasės“.

Pagrindinės planimetrijos teoremos ir pasekmės iš jų

1. Teoremos apie tieses (lygiagretumas ir statmenumas plokštumoje)

Lygiagrečių tiesių savybės.
Dvi tiesės, lygiagrečios trečiajai, yra lygiagrečios (57 pav.).
(a||c, b||c) ? a||b.


Jeigu dvi lygiagrečias tieses kerta trečia tiesė, tai vidiniai skersiniai kampai yra lygūs, o vidinių vienpusių kampų suma yra 180° (58 pav.).
a||b ? ? = ?
? + ? = 180°.




Lygiagrečių linijų ženklai.
Jei dviem tiesėms susikertant su trečiąja, susikertantys vidiniai kampai yra lygūs, tai tiesės lygiagrečios (59 pav.):
Ar vidiniai kampai, esantys vienas kitam, yra lygūs? a||b.




Jei dviem tiesėms susikertant su trečdaliu gautų vidinių vienpusių kampų suma lygi 180°, tai tiesės lygiagrečios (60 pav.):
a||b.




Jei, kai dvi tiesės susikerta su trečiąja, gaunama atitinkami kampai yra lygios, tada tiesės lygiagrečios (61 pav.):
a||b.




Teoremos apie statmens tiesei egzistavimą ir unikalumą. Per kiekvieną tiesės tašką galima nubrėžti jam statmeną liniją ir tik vieną (62 pav.).





Iš bet kurio taško, kuris nėra ant nurodytos linijos, galite nuleisti statmeną šiai linijai ir tik vieną (63 pav.).




Tiesė b yra vienintelė tiesė, einanti per tašką A, statmena a.

Lygiagretumo ir statmenumo santykis.
Dvi tiesės, statmenos trečiajai, yra lygiagrečios (64 pav.).
(a? c, b? c) ? a||b.




Jei tiesė yra statmena vienai iš lygiagrečių tiesių, tai ji yra statmena ir kitai (65 pav.):
(a? b, b||c) ? A? Su.




Ryžiai. 65.

2 Teoremos apie kampus. Kampai trikampyje. Į apskritimą įrašyti kampai

Turtas vertikalūs kampai.
Vertikalūs kampai lygūs (66 pav.):
? = ?.




Lygiašonio trikampio kampų savybės. Lygiašonio trikampio pagrindo kampai yra lygūs. Teisinga ir atvirkštinė teorema: jei trikampyje du kampai lygūs, tai jis yra lygiašonis (67 pav.):
AB = BC? ?A = ?C.




Teorema apie trikampio kampų sumą.
Trikampio vidinių kampų suma lygi 180° (68 pav.):
? + ? + ? = 180°.




Teorema apie kampų sumą išgaubtame n kampe.
Išgaubto n kampo kampų suma lygi 180°?(n – 2) (69 pav.).




Pavyzdys: ?1 + ?2 + ?3 + ?4 + ?5 = 180°?(5–2) = 540°.

Teorema apie trikampio išorinį kampą.
Trikampio išorinis kampas yra lygus dviejų jam negretimų vidinių kampų sumai (70 pav.):
? = ? + ?.




Teorema apie į apskritimą įbrėžto kampo dydį.
Į apskritimą įrašytas kampas lygus pusei atitinkamas q centrinis kampas(71 pav.):




Ryžiai. 71.

3. Pagrindinės teoremos apie trikampius

Trikampių lygybės ženklai. Jeigu vieno trikampio dvi kraštinės ir kampas tarp jų yra atitinkamai lygūs kito trikampio dviem kraštinėms ir kampui tarp jų, tai tokie trikampiai yra kongruentiški (72 pav.).




ABC = ?A1B1C1, nes AB = A1B1, AC = A1C1 ir?A = ?A1.
Jeigu vieno trikampio šoniniai ir gretimi kampai yra atitinkamai lygūs kito trikampio kraštiniams ir gretimiems kampams, tai tokie trikampiai yra kongruentiški (73 pav.).




ABC = ?A1B1C1, nes AC = A1C1, ?A = ?A1, ?C = ?C1.

Jeigu vieno trikampio trys kraštinės lygios kito trikampio trims kraštinėms, tai tokie trikampiai yra sutapti (74 pav.).




ABC = ?A1B1C1, nes AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1.

Stačiųjų trikampių lygybės ženklai.
Jei vieno trikampio įtvara ir kojelė yra atitinkamai lygios kito trikampio įtvarai ir kojelei, tai tokie trikampiai yra kongruentiški (75 pav.).




ABC = ?A1B1C1, nes ?A = ?A1 = 90°; BC = B1C1; AB = A1B1.
Jei vieno trikampio hipotenuzė ir smailusis kampas yra atitinkamai lygūs hipotenuzai ir aštrus kampas kitą trikampį, tai tokie trikampiai yra lygūs (76 pav.).




ABC = ?A1B1C1, nes AB = A1B1, ?A = ?A1 a ?C = ?C1 = 90°.

Lygiašonio trikampio medianos savybė.
Lygiašoniame trikampyje mediana, nubrėžta į pagrindą, yra pusiausvyra ir aukštis (77 pav.).




(AB = BC, AM = MS) ? (AVM = ?MVS, ?AMV = ?BMC = 90°).

Trikampio vidurio linijos savybė.
Vidurinė trikampio linija, jungianti šių dviejų kraštinių vidurio taškus, lygiagreti trečiajai kraštinei ir lygi jos pusei (78 pav.).




EF||AC, EF = 1/2AC, nes AE = EB ir BF = FC.

Sinusų teorema.
Trikampio kraštinės proporcingos priešingų kampų sinusams (79 pav.).




Ryžiai. 79.





Kosinuso teorema.
Bet kurios trikampio kraštinės kvadratas yra lygus kitų dviejų kraštinių kvadratų sumai be šių kraštinių dvigubos sandaugos iš kampo tarp jų kosinuso (80 pav.).




A2= b2+ c2– 2bc cos?.
Pitagoro teorema ( ypatingas atvejis kosinuso teorema).
Stačiakampiame trikampyje hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai (81 pav.).




C2= a2+ b2.

4. Proporcingumas ir panašumas plokštumoje

Talio teorema.
Jei lygiagrečios tiesės, kertančios kampo kraštines, nupjaunamos vienoje pusėje vienodi segmentai, tada jie nupjauna vienodus segmentus kitoje jo pusėje (82 pav.).




(AB = BC, AA1||BB1||CC1) ? A1B1 = В1С1, q ir р – kampą formuojantys spinduliai?.
a, b, c – tiesės, kertančios kampo kraštines.

Teorema apie proporcingus segmentus(Thaleso teoremos apibendrinimas).
Lygiagrečios tiesės, kertančios kampo kraštines, atkerta proporcingus segmentus nuo kampo kraštinių (83 pav.).




Ryžiai. 83.




Arba





Trikampio pusiausvyros savybė.
Trikampio kampo bisektorius dalija priešingą kraštinę į atkarpas, proporcingas kitoms dviem kraštinėms (84 pav.).




Jei? = ?, tada




Arba





Trikampių panašumo ženklai.
Jei vieno trikampio du kampai lygūs dviem kito trikampio kampams, tai tokie trikampiai yra panašūs (85 pav.).




Trikampiai ABC ir A1B1C1 yra panašūs, nes ? = ?1 ir? = ?1.
Jeigu vieno trikampio dvi kraštinės yra proporcingos kito trikampio dviem kraštinėms, o šių kraštinių suformuoti kampai lygūs, tai trikampiai yra panašūs (86 pav.).




Trikampiai ABC ir A1B1C1 yra panašūs, nes




IR? = ?1.
Jeigu vieno trikampio kraštinės proporcingos kito trikampio kraštinėms, tai tokie trikampiai yra panašūs (87 pav.).




Trikampiai ABC ir A1B1C1 yra panašūs, nes




5. Pagrindinės geometrinės nelygybės

Pasvirosios ir statmenos ilgių santykis.
Jei statmena ir pasvirusi linija brėžiama tiese iš vieno taško, tada bet kuri pasvirusi linija yra didesnė už statmeną, lygios pasvirosios linijos turi lygios projekcijos, iš dviejų pasvirusiųjų didesnė projekcija yra didesnė (88 pav.):
AA"< АВ < АС; если А"С >A"B, tada AC > AB.




Trikampio nelygybė.
Kad ir kokie būtų trys taškai, atstumas tarp bet kurių dviejų iš šių taškų nėra didesnis nei atstumų nuo jų iki trečiojo taško suma. Iš to išplaukia, kad bet kuriame trikampyje kiekviena kraštinė yra mažesnė už kitų dviejų kraštinių sumą (89 pav.):
AC< АВ + ВС.




Ryšys tarp trikampio kraštinių dydžių ir kampų dydžių.
Trikampyje prieš didesnis kampas melas didžioji pusė, didesnis kampas yra priešais didesnę pusę (90 pav.).
(pr. Kr.< AB < AC) ? (?А < ?С < ?В).




Ryžiai. 90.

6. Pagrindinės geometrinės taškų vietos plokštumoje

Geometrinė vieta plokštumos taškai, esantys vienodu atstumu nuo kampo kraštinių, bus pusiausvyra nurodytas kampas(91 pav.).




AK = AT, kur A yra bet kuris bisektoriaus taškas.
Geometrinis taškų, nutolusių nuo dviejų duotųjų taškų, lokusas bus tiesi linija, statmena atkarpai, jungiančia šiuos taškus ir einanti per jos vidurį (92 pav.).




MA = MB, kur M – savavališkas taškas atkarpos AB statmenoje pusiaukraštyje.
Geometrinis taškų lokusas plokštumoje vienodu atstumu nuo duotas taškas, šioje vietoje bus apskritimas su centru (93 pav.).




Taškas O yra vienodu atstumu nuo apskritimo taškų.

Trikampio apskritimo centro vieta.
Aplink trikampį apibrėžto apskritimo centras yra statmenų, nubrėžtų per šių kraštinių vidurio taškus, trikampio kraštinių susikirtimo taškas (94 pav.).




A, B, C yra trikampio, esančio apskritime, viršūnės.
AM = MV ir AK = KS.
Taškai M ir K yra atitinkamai statmenų į kraštines AB ir AC pagrindai.

Į trikampį įbrėžto apskritimo centro vieta.
Į trikampį įbrėžto apskritimo centras yra jo bisektorių susikirtimo taškas (95 pav.).




ABC atkarpos AT ir SC yra pusiausvyros.

7. Teoremos apie keturkampius

Lygiagretainio savybės.
Lygiagretainis turi priešingas kraštines, kurios yra lygios. Lygiagretainio priešingi kampai yra lygūs.
Lygiagretainio įstrižainės susikerta ir susikirtimo taške dalijamos pusiau (96 pav.).




AB = CD, BC = AD, ?BAD = ?BCD, ?ABC = ?ADC, AO = OC, BO = OD.

Lygiagretainio ženklai.
Jei keturkampio dvi kraštinės lygiagrečios ir lygios, tai jis yra lygiagretainis (97 pav.).




BC||AD, BC = AD ? ABCD yra lygiagretainis.

Jei keturkampio įstrižainės susikerta ir dalijamos per pusę susikirtimo taško, tai šis keturkampis yra lygiagretainis (98 pav.).




AO = OS, VO = OD? ABCD yra lygiagretainis.

Stačiakampio savybės.
Stačiakampis turi visas lygiagretainio savybes (stačiakampio priešingos kraštinės yra lygios; stačiakampio priešingi kampai yra lygūs (90°); stačiakampio įstrižainės susikerta ir yra padalintos per susikirtimo tašką).
Stačiakampio įstrižainės lygios (99 pav.):
AC = BD.




Stačiakampis ženklas.
Jei lygiagretainis turi visus vienodus kampus, tada jis yra stačiakampis.

Rombo savybės.
Rombui būdingos visos lygiagretainio savybės (rombo priešingos kraštinės yra lygios - apskritai visos kraštinės yra lygios pagal apibrėžimą; rombo priešingi kampai yra lygūs; rombo įstrižainės susikerta ir sankirtos dalijamos pusiau punktas).
Rombo įstrižainės susikerta stačiu kampu.
Rombo įstrižainės yra jo kampų pusiausvyros (100 pav.).




AC? BD, ?ABD = ?DBC = ?CDB = ?BDA, ?BAC = ?CAD = ?BCA = ?DCA.

Deimantinis ženklas.
Jei lygiagretainis turi statmenas įstrižaines, tai jis yra rombas.

Kvadrato savybės.
Kvadratas turi stačiakampio ir rombo savybes.

Kvadratinis ženklas.
Jei stačiakampio įstrižainės susikerta stačiu kampu, tai yra kvadratas.

Trapecijos vidurio linijos savybė.
Trapecijos vidurio linija lygiagreti pagrindams ir lygi jų pusei (101 pav.).




Ryžiai. 101.

Įbrėžtųjų ir apibrėžtųjų keturkampių kriterijai.
Jei apskritimą galima apibūdinti aplink keturkampį, tai jo sumos priešingi kampai lygus 180° (102 pav.).
A + C = B + D = 180°.




Jeigu į keturkampį galima įrašyti apskritimą, tai jo priešingų kraštinių sumos lygios (103 pav.).
AB + CD = AD + BC.




Ryžiai. 103.

8. Apskritimo teoremos

Akordų ir sekantų savybė.
Jei apskritimo stygos AB ir CD susikerta taške S, tai AS? BS = CS? DS (104 pav.).




Jei iš taško S į apskritimą nubrėžiamos dvi sekantai, kertančios apskritimą atitinkamai taškuose A, B ir C, D, tai AS ? BS = CS? DS (105 pav.).




Skaičius?.
Apskritimo perimetro ir jo skersmens santykis nepriklauso nuo apskritimo spindulio, tai yra, jis yra vienodas bet kuriems dviem apskritimams. Ar šis skaičius lygus? (106 pav.).






Ryžiai. 106.

9. Vektoriai

Vektoriaus skilimo pagrindo atžvilgiu teorema.
Jei plokštumoje pateikti du nekolineariniai vektoriai a ir b ir bet kuris kitas vektorius c, tada egzistuoja vienaskaitos skaičiai n ir m, kad c = na + mb (107 pav.).
Kur






Vektorių skaliarinės sandaugos teorema.
Vektorių skaliarinė sandauga yra lygi jų absoliučių q reikšmių (ilgių) sandaugai iš kampo tarp jų kosinuso (108 pav.).
OA? OB = OA? O.B.? nes?.




Ryžiai. 108.

Pagrindinės planimetrijos formulės

Trikampiui (109 pav.):




Ryžiai. 109.




kur a, b, c yra trikampio kraštinės;
?, ?, ? – jiems priešingi kampai;
r ir R yra įbrėžtųjų ir apibrėžtųjų apskritimų spinduliai;
ha, ma, la – aukštis, mediana ir pusiausvyra, nubrėžta į a kraštą;
S – trikampio plotas;




– trikampio pusperimetras.
Vidutinės trikampyje dalijamos iš susikirtimo taško santykiu 2:1, skaičiuojant nuo viršūnės (110 pav.).




Ryžiai. 110.




Keturkampiams:




kur a, b yra pagrindų ilgiai;
h – trapecijos aukštis.

Lygiagretainio su kraštinėmis a, b ir kampu plotas? tarp jų apskaičiuojama pagal formulę S = ab sin?. Taip pat galite naudoti formulę:




Kur d1, d2 yra įstrižainių ilgiai, ? – kampas tarp jų (arba S = aha, kur ha yra aukštis).
Už savavališką išgaubtas keturkampis(111 pav.):






Įprastam n-gon:




(R ir r yra apibrėžtųjų ir įbrėžtųjų apskritimų spinduliai, аn yra taisyklingo n kampo kraštinės ilgis).
Apskritimui ir apskritimui (112 pav.):




Ryžiai. 112.




Ir 1\2R2?, jei? išreikštas radianais.
Segmentas = Sektorius – trikampis.

Analitinės planimetrijos formulės

Jei pateikti taškai A(x1; y1) ir B(x2; y2), tai


AB tiesės lygtis:




Lengvai redukuojama iki formos ax + iki + c = 0, kur vektorius n = (a, b) yra statmenas tiesei.
Atstumas nuo taško A(x1; y1) iki tiesės ax + by + c = 0 yra




Atstumas tarp lygiagrečių tiesių ax + by + c1 = 0 ir ax + by + c2 = 0 yra




Kampas tarp tiesių a1x + BLу + c1 = 0 ir a2x + b2y + c2 = 0 apskaičiuojamas pagal formulę:




Apskritimo, kurio centras yra taške O(x0, y0) ir spindulys R, lygtis:(x – xo)2+ (y – yo)2= R2.

3.2. Savęs patikrinimo klausimai


1. a) Kokią vertikalių kampų savybę žinai? (1)
2. a) Suformuluokite dviejų kraštinių trikampių lygybės ir kampo tarp jų kriterijų. (1)
3. a) Suformuluokite trikampių išilgai kraštinės ir dviejų kampų lygybės kriterijų. (1)
b) Įrodykite šis ženklas. (1)
4. a) Išvardykite pagrindines lygiašonio trikampio savybes. (1)
c) Įrodykite lygiašonio trikampio testą. (1)
5. a) Suformuluokite trikampių iš trijų kraštinių lygybės kriterijų. (1)
b) Įrodykite šį ženklą. (1)
6. Įrodykite, kad dvi tiesės, lygiagrečios trečiajai, yra lygiagrečios. (2)
7. a) Suformuluokite tiesių lygiagretumo požymius. (1)
c) Įrodykite atvirkštines teoremas. (1)
8. Įrodykite teoremą apie trikampio kampų sumą. (1)
9. Įrodykite tai išorinis kampas trikampis yra lygus dviejų vidinių trikampių, kurie nėra greta jo, sumai. (1)
10. a) Suformuluokite stačiųjų trikampių lygybės kriterijus. (1)
b) Įrodykite stačiųjų trikampių išilgai hipotenuzės ir kojos lygybės kriterijus; išilgai hipotenuzės ir smailiojo kampo. (1)
11. a) Įrodykite, kad iš taško, esančio ne ant duotosios tiesės, į šią tiesę galima numesti vieną statmeną. (1)
b) Įrodykite, kad per tašką, esantį duotoje tiesėje, galima nubrėžti unikalią tiesę, statmeną duotajai. (1)
12. a) Kur yra trikampio apibrtinio apskritimo centras? (1)
13. a) Kur trikampyje yra įbrėžto apskritimo centras? (1)
b) Įrodykite atitinkamą teoremą. (1)
14. Įrodykite apskritimo liestinės savybę. (1)
15. a) Kokias žinai lygiagretainio savybes? (1)
b) Įrodykite šias savybes. (1)
16. a) Kokius žinai lygiagretainio požymius? (1)
b) Įrodykite šiuos ženklus. (1)
17. a) Kokias žinote stačiakampio savybes ir charakteristikas? (1)
18. a) Kokias rombo savybes ir požymius žinote? (1)
b) Įrodykite šias savybes ir ženklus. (1)
19. a) Kokias kvadrato savybes ir ženklus žinai? (1)
b) Įrodykite šias savybes ir ženklus. (1)
20. a) Išsakyk Taliso teoremą. (1)
b) Įrodykite šią teoremą. (1)
21. a) Suformuluokite apibendrintą Talio teoremą (teoremą apie proporcingas atkarpas). (1)
b) Įrodykite šią teoremą. (2)
22. a) Kokias žinote trikampio vidurio linijos savybes? (1)
b) Įrodykite šias savybes. (1)
23. a) Kokias žinote trapecijos vidurio linijos savybes? (1)
b) Įrodykite šias savybes. (1)
24. a) Pateikite Pitagoro teoremą. (1)
b) Įrodykite Pitagoro teoremą. (1)
c) Suformuluokite ir įrodykite atvirkštinė teorema. (2)
25. Įrodykite, kad bet kuri įstrižainė yra didesnė už statmeną, o iš dviejų įstrižų didesnė projekcija yra didesnė. (1)
26. a) Nurodykite trikampio nelygybę. (1)
b) Įrodykite trikampio nelygybę. (2)
27. Pateiktos taškų A(x1; y1) ir B(x2; y2) koordinatės.
a) Pagal kokią formulę apskaičiuojamas atkarpos AB ilgis? (1)
b) Išveskite šią formulę. (1)
28. Išveskite apskritimo, kurio centras yra taške A(x0; y0) ir spindulys R, lygtį. (1)
29. Įrodykite, kad bet kuri eilutė į Dekarto koordinatės x, y turi lygtį ax + x + c = 0. (2)
30. Parašykite tiesės, einančios per taškus A(x1; y1) ir B(x2; y2), lygtį. Atsakymas: pateisinkite. (2)
31. Įrodykite, kad tiesės y = kx + b lygtyje skaičius k yra tiesės polinkio kampo į teigiamą x ašies kryptį liestinė. (2)
32. a) Kokias pagrindines judesių savybes žinote? (2)
b) Įrodykite šias savybes. (3)
33. Įrodykite, kad:
a) simetrijos transformacija apie tašką yra judėjimas; (3)
b) simetrijos transformacija apie tiesią liniją yra judėjimas; (3)
c) lygiagretus vertimas yra judėjimas. (3)
34. Įrodykite egzistavimo ir unikalumo teoremą lygiagretus perdavimas. (3)
35. Įrodykite tai absoliuti vertė vektorius ka yra lygus |k| ? |a|, o vektoriaus ka kryptis a? O sutampa su vektoriaus a kryptimi, jei k > 0, ir priešinga vektoriaus a krypčiai, jei k< 0. (1)
36. Įrodykite, kad bet kurį vektorių a galima išplėsti į vektorius b ir c (visi trys vektoriai yra toje pačioje plokštumoje). (1)
37. Duoti vektoriai a = (a1; a2) ir b = (BL; b2). Įrodyk tai




kur? – kampas tarp vektorių.
38. a) Kokias savybes žinai? taškinis produktas vektoriai? (1)
b) Įrodykite šias savybes. (2)
39. Įrodykite, kad homotetiškumas yra panašumo transformacija. (1)
40. a) Kokias žinote panašumo transformacijos savybes? (1)
b) Įrodykite, kad panašumo transformacija išsaugo kampus tarp spindulių. (2)
41. a) Suformuluokite trikampių panašumo dviem kampais testą. (1)
42. a) Suformuluokite trikampių panašumo kriterijų pagal dvi kraštines ir kampą tarp jų. (1)
b) Įrodykite šį ženklą. (1)
43. a) Suformuluokite trikampių iš trijų kraštinių panašumo kriterijų. (1)
b) Įrodykite šį ženklą. (2)
44. a) Nurodykite trikampio pusiausvyros savybę. (1)
b) Įrodykite, kad trikampio bisektorius dalija priešingą kraštinę į atkarpas, proporcingas kitoms dviem kraštinėms. (1)
45. a) Nurodykite į apskritimą įbrėžto kampo savybę. (1)
b) Įrodykite šią savybę. (1)
46. ​​a) Įrodykite, kad jei apskritimo stygos AB ir CD susikerta taške S, tai AS? BS = CS? D.S. (1)
b) Įrodykite, kad jei iš taško S į apskritimą nubrėžiamos dvi sekantės, kertančios apskritimą atitinkamai taškuose A, B ir C, D, tai AS ? BS = CS? D.S. (1)
47. a) Pateikite trikampio kosinuso teoremą. (1)
b) Įrodykite šią teoremą. (1)
48. a) Pateikite sinusų teoremą. (1)
b) Įrodykite šią teoremą. (1)
c) Įrodykite, kad sinusų teoremoje kiekvienas iš trijų santykių:




Lygu 2R, kur R yra apie trikampį apibrėžto apskritimo spindulys. (1)
49. Įrodykite, kad trikampyje didesnis kampas yra priešais didesnę kraštinę, o didesnė – prieš didesnį kampą. (2)
50. a) Kokia yra išgaubto n kampo kampų suma? (1)
b) Išveskite išgaubto n kampo kampų sumos formulę. (1)
51. a) Įrodykite, kad apskritimas gali būti įrašytas į taisyklingąjį daugiakampį. (1)
b) Įrodykite, kad apie taisyklingas daugiakampis gali apibūdinti ratą. (1)
52. Duotas taisyklingasis n-kampis, kurio kraštinė a. Išveskite formules:
a) įbrėžtųjų ir apibrėžtųjų apskritimų spinduliai; (1)
b) n kampo plotas; (1)
c) viršūnės kampas. (1)
53. Įrodykite, kad apskritimo perimetro ir skersmens santykis nepriklauso nuo apskritimo dydžio. (3)
54. Kaip konvertuoti kampus iš laipsnio matasį radianą ir atvirkščiai? (1)
55. Įrodykite, kad stačiakampio plotas lygus stačiakampio ilgio ir pločio sandaugai. (3)
56. a) Pagal kokią formulę skaičiuojamas lygiagretainio plotas? (1)
b) Išveskite šią formulę. (1)
57. a) Kokia formule apskaičiuojamas trikampio plotas? (per pagrindą ir aukštį). (1)
b) Išveskite šią formulę. (1)
c) Išveskite Herono formulę. (1)
58. a) Pagal kokią formulę apskaičiuojamas trapecijos plotas? (1)
b) Išveskite šią formulę. (1)
59. Išveskite formules:




kur a, b, c yra trikampio kraštinių ilgiai;
S – jo plotas;
R ir r yra apibrėžtųjų ir įbrėžtųjų apskritimų spinduliai. (1)
60. Tegul F1 ir F2 yra du panašių skaičių su panašumo koeficientu k. Kaip siejasi šių figūrų sritys? Atsakymas: pateisinkite. (1)
61. a) Kokia formule apskaičiuojamas apskritimo plotas? (1)
b) Išveskite šią formulę. (3)
62. Išveskite ploto formulę apskritas sektorius. (2)
63. Išveskite apskritimo atkarpos ploto formulę. (2)
64. a) Įrodykite, kad trikampio pusiausvyros susikerta viename taške. (2)
b) Įrodykite, kad trikampio medianos susikerta viename taške. (2)
c) Įrodykite, kad trikampio (arba jų plėtinių) aukščiai susikerta viename taške. (2)
d) Įrodykite tai statmenos pusiausvyrosį trikampio kraštines susikerta viename taške. (1)
65. Įrodykite, kad trikampio plotas yra lygus pusei jo dviejų kraštinių ir kampo tarp jų sinuso sandaugos. (1)
66. a) Nurodykite Cevos teoremą. (3)
b) Įrodykite šią teoremą. (3)
67. a) Pasakykite Menlay teoremą. (3)
b) Įrodykite šią teoremą. (3)
c) Suformuluokite ir įrodykite atvirkštinę teoremą. (3)
68. a) Įrodykite, kad jei vieno kampo kraštinės yra lygiagrečios kito kampo kraštinėms, tai tokie kampai yra arba lygūs, arba 180°. (2)