Ypatingi kvadratinių lygčių sprendimo atvejai. Mokslinis tiriamasis darbas matematikos srityje

Savivaldybės biudžetinė švietimo įstaiga

"Vidutinis vidurinę mokyklą Nr. 64" Brianskas

Miesto mokslinė ir praktinė konferencija

„Pirmieji žingsniai į mokslą“

Mokslinis tiriamasis darbas

"Vietės teorema trečiojo ir ketvirto laipsnio lygtims"

Matematika

Baigė: 11b klasės mokinys

Šanovas Ilja Aleksejevičius

Mokslinis vadovas:

matematikos mokytojas,

Fizikos ir matematikos kandidatas mokslai

Bykovas Sergejus Valentinovičius

Brianskas 2012 m

Įvadas …………………………………………………………………………………… 3

Tikslai ir uždaviniai ………………………………………………………… 4

Trumpai istorinis fonas ………………………………………… 4

Kvadratinė lygtis…………………………………………………. 5

Kubinė lygtis…………………………………………………………. 6

Ketvirtojo laipsnio lygtis …………………………………………… 7

Praktinė dalis………………………………………………………. 9

Literatūra……………………………………………………… 12

Priedas ……………………………………………………………… 13

Įvadas

Pagrindinė algebros teorema teigia, kad laukas yra algebriškai uždaras, kitaip tariant, kad n-ojo laipsnio lygtys su sudėtingais koeficientais (in bendras atvejis) virš lauko turi lygiai n sudėtingos šaknys. Trečiojo laipsnio lygtys išsprendžiamos Kordano formule. Ketvirtojo laipsnio lygtys naudojant Ferrari metodą. Be to, algebros teorijoje įrodyta, kad jei tada yra lygties šaknis taip pat yra šios lygties šaknis. Už kubinė lygtis galimi šie atvejai:

visos trys šaknys yra tikros;

dvi šaknys yra sudėtingos, viena yra tikra.

Iš to išplaukia, kad bet kuri kubinė lygtis turi bent vieną tikrąją šaknį.

Dėl ketvirtojo laipsnio lygties:

Visos keturios šaknys yra skirtingos.

Dvi šaknys yra tikros, dvi yra sudėtingos.

Visos keturios šaknys yra sudėtingos.

Šis darbas skirtas nuodugniam Vietos teoremos tyrimui: jos formulavimui, įrodinėjimui, taip pat problemų sprendimui naudojant šią teoremą.

Atliktais darbais siekiama padėti 11 klasės mokiniams, kurie ruošiasi išlaikęs vieningą valstybinį egzaminą, taip pat jauniems matematikams, kurie neabejingi paprastesniems ir veiksmingi metodai sprendimai įvairiose srityse matematika.

Šio darbo priede pateikiamas problemų rinkinys savarankiškas sprendimas ir naujos medžiagos, kurią tyrinėjau, konsolidavimas.

Šio klausimo negalima ignoruoti, nes jis svarbus matematikai, tiek mokslui apskritai, tiek studentams ir besidomintiems tokių uždavinių sprendimu.

Darbo tikslai ir uždaviniai:

Gaukite Vietos teoremos analogą trečiojo laipsnio lygčiai.

Įrodykite Vietos teoremos analogą trečiojo laipsnio lygčiai.

Gaukite Vietos teoremos analogą ketvirtojo laipsnio lygčiai.

Įrodykite Vietos teoremos analogą ketvirtojo laipsnio lygčiai.

Apsvarstykite šių klausimų pritaikymą sprendžiant praktines problemas.

• Įsitikinkite, kad šios teoremos taikymas yra praktiškas.

Gilinti matematines žinias lygčių sprendimo srityje.

Ugdykite domėjimąsi matematika.

Trumpas istorinis fonas

Teisingai vertas būti dainuojamas poezijoje

Apie šaknų savybes VIETO TEOREMA...

FRANCOIS VIET (1540-1603) – prancūzų matematikas. Pagal profesiją teisininkas. Jis pristatė 1591 m raidžių pavadinimai ne tik nežinomiems dydžiams, bet ir lygčių koeficientams; to dėka pirmą kartą tapo įmanoma lygčių savybes ir jų šaknis išreikšti bendromis formulėmis. Jis buvo atsakingas už vienodo 2, 3 ir 4 laipsnių lygčių sprendimo metodo sukūrimą. Pats Viète tarp atradimų ypač aukštai vertino lygčių šaknų ir koeficientų ryšio nustatymą. Apytikriam lygčių sprendimui su skaitiniai koeficientai Viethas pasiūlė metodą, panašų į vėlesnį Niutono metodą. Trigonometrijoje François Viète davė pilnas sprendimas visų plokštumos arba sferinio trikampio elementų nustatymo iš trijų duomenų problema, rado svarbių cos plėtinių. nx ir nuodėmė nx cos galiose X ir nuodėmė X. Jis pirmą kartą svarstė begalinius kūrinius. Vieto kūriniai buvo parašyti sunki kalba ir todėl savo laiku gavo mažiau paskirstymo nei nusipelnė .

Kvadratinė lygtis

Pirmiausia prisiminkime Vietos antrojo laipsnio lygčių formules, kurias išmokome programoje mokyklos kursas mokymas.

T
Vietos teoremakvadratinei lygčiai (8 klasė)

E
jei ir yra kvadratinės lygties šaknys tada

y., sumažintos kvadratinės lygties šaknų suma yra lygi antrajam koeficientui, paimtam iš priešingas ženklas, o šaknų sandauga lygi laisvas narys.

Taip pat atsiminkite teoremą, atvirkštinė Vietos teorema:

Jei skaičiai - p Ir q yra tokie

tada ir yra lygties šaknys

Vietos teorema yra nuostabi tuo, kad, nežinodami kvadratinio trinalio šaknų, galime nesunkiai apskaičiuoti jų sumą ir sandaugą, tai yra paprasčiausias simetriškas išraiškas.

Vietos teorema leidžia atspėti visas kvadratinio trinalio šaknis.

Kubinė lygtis

Dabar pereikime tiesiai prie kubinės lygties formulavimo ir sprendimo naudodami Vietos teoremą.

Formulė

KAM
Visur esanti lygtis yra trečios eilės formos lygtis

Kur a ≠ 0.

Jeigu a = 1, tada lygtis vadinama sumažinta kubine lygtimi:

Taigi, turime tai įrodyti lygčiai

teisinga tokia teorema:

n
tada suraskite šios lygties šaknis

Įrodymas

Įsivaizduokime daugianarį

atlikime transformacijas:

Taigi, mes tai suprantame

Du daugianariai yra lygūs tada ir tik tada, kai jų koeficientai atitinkamomis laipsnėmis yra lygūs.

Tai reiškia, kad

Q.E.D.

Dabar apsvarstykite teoremą, atvirkštinė Vietos teorema trečiojo laipsnio lygčiai.

F
formuluotė

E
jei skaičiai tokie

Ketvirtojo laipsnio lygtis

Dabar pereikime prie ketvirtojo laipsnio lygties nustatymo ir sprendimo, naudodami Vietos teoremą ketvirtojo laipsnio lygčiai.

Formulė

U
ketvirto laipsnio lygtis – formos lygtis

G
de a ≠ 0.

E
jeigu a = 1, tada lygtis vadinama redukuota

IR
taigi, įrodykime tai lygčiai

Su
teisinga tokia teorema: tegul duotosios lygties šaknys, tada

Įrodymas

Įsivaizduokime daugianarį

atlikime transformacijas:

Taigi, mes tai suprantame

Mes tai žinome du daugianariai yra lygūs tada ir tik tada, kai jų koeficientai atitinkamomis laipsnėmis yra lygūs.

Tai reiškia, kad

Q.E.D.

Apsvarstykite teoremą, atvirkštinė Vietos teorema ketvirtojo laipsnio lygčiai.

Formulė

Jei skaičiai tokie, kad

tada šie skaičiai yra lygties šaknys

Praktinė dalis

Dabar pažvelkime į problemų sprendimus naudodami Vietos teoremas trečiojo ir ketvirtojo laipsnio lygtims.

Užduotis Nr.1

Atsakymas: 4, -4.

2 užduotis

Atsakymas: 16, 24.

Norėdami išspręsti šias lygtis, galime naudoti atitinkamai Cardano formules ir Ferrari metodą, tačiau naudodamiesi Vietos teorema, žinome šių lygčių šaknų sumą ir sandaugą.

Užduotis Nr.3

Sudarykite trečiojo laipsnio lygtį, jei žinoma, kad šaknų suma yra 6, šaknų porinė sandauga yra 3, o sandauga yra -4.

Padarykime lygtį, gausime

4 užduotis

Parašykite trečiojo laipsnio lygtį, jei žinoma, kad šaknų suma lygi 8 , šaknų poros sandauga yra lygi 4 , trigubas sandauga yra lygus 12 , ir produktas 20 .

Sprendimas: naudodami Vietos formulę gauname

Padarykime lygtį, gausime

Naudodamiesi Vietos teorema, mes lengvai sudarėme lygtis naudodami jų šaknis. Tai yra labiausiai racionaliu būdu sprendžiant šias problemas.

5 problema

kur a, b, c yra Herono formulės.

Atidarykime skliaustus ir transformuokime išraišką, gausime

Z
Atkreipkite dėmesį, kad radikali išraiška yra kubinė išraiška. Atitinkamai kubinei lygčiai panaudokime Vietos teoremą, tada turime tai

Z

Žinodami, kad gauname:

Iš šios problemos sprendimo aišku, kad Vietos teorema taikoma problemoms iš skirtingos sritys matematika.

Išvada

Šiame darbe buvo ištirtas trečiojo ir ketvirtojo laipsnio lygčių sprendimo būdas, naudojant Vietos teoremą. Darbe išvestomis formulėmis lengva naudotis. Tyrimo metu paaiškėjo, kad kai kuriais atvejais šis metodas yra efektyvesnis už Cordano formulę ir Ferrari metodą atitinkamai trečiojo ir ketvirtojo laipsnio lygtims.

Vietos teorema buvo pritaikyta praktiškai. Buvo išspręsta nemažai problemų, kurios padėjo geriau įtvirtinti naują medžiagą.

Šis tyrimas man buvo labai įdomus ir mokomas. Pagilinusi matematikos žinias atradau daug įdomių dalykų ir patiko atlikti šį tyrimą.

Tačiau mano tyrimai lygčių sprendimo srityje nesibaigė. Ateityje planuoju ištirti n-ojo laipsnio lygties sprendimą, naudodamas Vietos teoremą.

Noriu išreikšti savo gilų dėkingumą mokslinis vadovas, fizinių ir matematikos mokslų kandidatas, ir tokių galimybių neįprastas tyrimas ir nuolatinis dėmesys darbui.

Nuorodos

Vinogradovas I.M. Matematinė enciklopedija. M., 1977 m.

V. B. Lidskis, L. V. Ovsjannikovas, A. N. Tulaikovas, M. I. Šabuninas. Užduotys skirtos elementarioji matematika, Fizmatlit, 1980 m.

„Kaip išspręsti nepilnas kvadratines lygtis“ – sprendimo įgūdžiai. Kostroma. Jaroslavlis. Ladyzhenskaya Olga Aleksandrovna. Steklovas Vladimiras Andrejevičius. Išspręskime lygtį. Lygybė. Darbas žodžiu. Kazanė. Judėjimo objektas. Kriptografinė lentelė. Nižnij Novgorodas. Liapunovas Aleksandras Michailovičius. Nebaigtas sprendimas kvadratines lygtis. Greitis. Autobusas. Judėjimo užduotys.

„Matematika „Kvadratinės lygtys“ – f) Kurioje a reikšmėje lygtis turi vieną šaknį? Kvadratinių lygčių sprendimas. Išspręskite kvadratinę lygtį žodžiu. Išspręskite lygtį raidžių koeficientais. Stenkitės duoti savo protui kuo daugiau maisto. Tikslas: išmokti įžvelgti racionalų kvadratinių lygčių sprendimo būdą. M.V. Lomonosovas. Darydamas pratimus.

"François Viète ir jo teorema" - du daugianariai yra identiški. Matematinis mokymas. Matematiniai atradimai. Vietos formulės. Francois Viet. Mokytojai. Sužinokite iš įvairių šaltinių Kas yra Francois Viet? Diskriminuojantis. Vietos teorema gali būti apibendrinta bet kokio laipsnio daugianariams. Viethe išvestos formulės kvadratinėms lygtims.

„Kvadratinės lygties šaknų radimas“ – lygtis neturi šaknų. Nebaigtos kvadratinės lygtys. Lygčių koeficientų savybės. Lygčių sprendimas naudojant formulę. Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas. Kvadratinės lygties šaknų skaičiaus nustatymas. Neišsamių kvadratinių lygčių šaknų radimas. Diskriminanto radimas. Kvadratinių lygčių sprendimo būdai.

„Lygčių sprendimas kvadratinėmis šaknimis“ - Priedas. Piešimas. Lygties sprendimas naudojant „metimo“ metodą. Grafinis sprendimas kvadratines lygtis. Kvadratinės lygties koeficientų savybės. Faktorizavimas. Atrankos metodas pilna aikštė. Lygtis. Koeficientas. Koeficientų suma. Kvadratinių lygčių sprendimo būdai. Laisvas narys.

„Neišsamių kvadratinių lygčių sprendimas“ – problemos sprendimas. Faktų kaupimas. Paskirstykite šias lygtis į 4 grupes. Tarpusavio peržiūra. Pirminis studijuojamos medžiagos supratimas ir taikymas. Pamokos tema. Apsvarstykite, kokia diena ar valanda yra nelaiminga, kai nieko neišmokote. Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas. Klausimas. Mokymosi užduoties nustatymas.

Iš viso temoje yra 34 pranešimai

Šiandien ji nusipelno būti dainuojama poezijoje
Vietos teorema apie šaknų savybes.
Kas yra geriau, pasakykite man, tokia nuoseklumas:
Jūs padauginote šaknis - ir frakcija yra paruošta
Skaitiklyje Su, vardiklyje A.
Ir trupmenos šaknų suma taip pat lygi
Net ir su minus šia trupmena
Kokia problema
Skaitikliuose V, vardiklyje A.
(Iš mokyklos folkloro)

Epigrafe nuostabi teorema François Vieta pateikta ne visai tiksliai. Tiesą sakant, galime užrašyti kvadratinę lygtį, kuri neturi šaknų, ir užrašyti jų sumą bei sandaugą. Pavyzdžiui, lygtis x 2 + 2x + 12 = 0 neturi realių šaknų. Tačiau, vadovaudamiesi formaliu požiūriu, galime užrašyti jų sandaugą (x 1 · x 2 = 12) ir sumą (x 1 + x 2 = -2). Mūsų eilutės atitiks teoremą su išlyga: „jei lygtis turi šaknis“, t.y. D ≥ 0.

Pirma praktinis pritaikymasŠi teorema yra kvadratinės lygties su šaknimis sudarymas. Antra, tai leidžia žodžiu išspręsti daugybę kvadratinių lygčių. Mokykliniuose vadovėliuose daugiausia dėmesio skiriama šių įgūdžių ugdymui.

Čia mes apsvarstysime daugiau sudėtingos užduotys, išspręsta naudojant Vietos teoremą.

1 pavyzdys.

Viena iš lygties 5x 2 šaknų – 12x + c = 0 yra tris kartus didesnė už antrąją. Rasti s.

Sprendimas.

Tegul antroji šaknis yra x 2.

Tada pirmoji šaknis x1 = 3x2.

Pagal Vietos teoremą šaknų suma lygi 12/5 = 2,4.

Sukurkime lygtį 3x 2 + x 2 = 2,4.

Taigi x 2 = 0,6. Todėl x 1 = 1,8.

Atsakymas: c = (x 1 x 2) a = 0,6 1,8 5 = 5,4.

2 pavyzdys.

Yra žinoma, kad x 1 ir x 2 yra lygties x 2 šaknys – 8x + p = 0, kai 3x 1 + 4x 2 = 29. Raskite p.

Sprendimas.

Pagal Vietos teoremą x 1 + x 2 = 8, o pagal sąlygą 3x 1 + 4x 2 = 29.

Išsprendę šių dviejų lygčių sistemą, randame reikšmę x 1 = 3, x 2 = 5.

Todėl p = 15.

Atsakymas: p = 15.

3 pavyzdys.

Neskaičiuojant lygties 3x 2 + 8 x – 1 = 0 šaknų, raskite x 1 4 + x 2 4

Sprendimas.

Atkreipkite dėmesį, kad pagal Vietos teoremą x 1 + x 2 = -8/3 ir x 1 x 2 = -1/3 ir transformuokite išraišką

a) x 1 4 + x 2 4 = (x 1 2 + x 2 2) 2 – 2 x 1 2 x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2 x 1 x 2) 2 – 2 (x 1 x 2) 2 = ((-8/3) 2 – 2 · (-1/3)) 2 – 2 · (-1/3) 2 = 4898/9

Atsakymas: 4898/9.

4 pavyzdys.

Kokiomis parametro reikšmėmis a yra skirtumas tarp didžiausios ir mažiausios lygties šaknų
2x 2 – (a + 1)x + (a – 1) = 0 yra lygus jų sandaugai.

Sprendimas.

Tai kvadratinė lygtis. Jis turės 2 skirtingas šaknis, jei D > 0. Kitaip tariant, (a + 1) 2 – 8(a – 1) > 0 arba (a – 3) 2 > 0. Todėl turime 2 šaknis visiems a, nes išskyrus a = 3.

Tikslumui darysime prielaidą, kad x 1 > x 2 ir gausime x 1 + x 2 = (a + 1)/2 ir x 1 x 2 = (a – 1)/2. Remiantis uždavinio sąlygomis x 1 – x 2 = (a – 1)/2. Visos trys sąlygos turi būti įvykdytos vienu metu. Pirmąją ir paskutinę lygtis laikykime sistema. Tai gali būti lengvai išspręsta pridedant algebrą.

Gauname x 1 = a/2, x 2 = 1/2. Patikrinkim ką A bus įvykdyta antroji lygybė: x 1 · x 2 = (a – 1)/2. Pakeiskime gautas reikšmes ir turėsime: a/4 = (a – 1)/2. Tada a = 2. Akivaizdu, kad jei a = 2, tada tenkinamos visos sąlygos.

Atsakymas: kai a = 2.

5 pavyzdys.

Kas yra lygus mažiausia vertė a, kurioje lygties šaknų suma
x 2 – 2a(x – 1) – 1 = 0 yra lygus jo šaknų kvadratų sumai.

Sprendimas.

Visų pirma, sumažinkime lygtį iki kanoninė forma: x 2 – 2ax + 2a – 1 = 0. Jis turės šaknis, jei D/4 ≥ 0. Todėl: a 2 – (2a – 1) ≥ 0. Arba (a – 1) 2 ≥ 0. Ir tai yra sąlyga, galiojanti bet kuriai a.

Taikykime Vietos teoremą: x 1 + x 2 = 2a, x 1 x 2 = 2a – 1. Apskaičiuokime

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2 x 1 x 2. Arba pakeitus x 1 2 + x 2 2 = (2a) 2 – 2 · (2a – 1) = 4a 2 – 4a + 2. Belieka sukurti lygybę, atitinkančią uždavinio sąlygas: x 1 + x 2 = x 1 2 + x 2 2 . Gauname: 2a = 4a 2 – 4a + 2. Ši kvadratinė lygtis turi 2 šaknis: a 1 = 1 ir a 2 = 1/2. Mažiausias iš jų –1/2.

Atsakymas: 1/2.

6 pavyzdys.

Raskite ryšį tarp lygties ax 2 + bx + c = 0 koeficientų, jei jos šaknų kubelių suma lygi šių šaknų kvadratų sandaugai.

Sprendimas.

Remsimės tuo, kad duota lygtis turi šaknis, todėl jai galima pritaikyti Vietos teoremą.

Tada uždavinio sąlyga bus parašyta taip: x 1 3 + x 2 3 = x 1 2 · x 2 2. Arba: (x 1 + x 2) (x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2) = (x 1 x 2) 2.

Antrasis veiksnys turi būti konvertuojamas. x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2 x 1 x 2) – x 1 x 2.

Gauname (x 1 + x 2) ((x 1 + x 2) 2 – 3x 1 x 2) = (x 1 x 2) 2. Belieka pakeisti šaknų sumas ir sandaugas per koeficientus.

(-b/a)((b/a) 2–3 c/a) = (c/a) 2 . Ši išraiška gali būti lengvai konvertuojama į formą b(3ac – b 2)/a = c 2. Ryšys rastas.

komentuoti. Reikėtų atsižvelgti į tai, kad gautą ryšį prasminga svarstyti tik tada, kai bus patenkintas kitas: D ≥ 0.

7 pavyzdys.

Raskite kintamojo a reikšmę, kuriai lygties x 2 + 2ax + 3a 2 – 6a – 2 = 0 šaknų kvadratų suma yra didžiausia reikšmė.

Sprendimas.

Jei ši lygtis turi šaknis x 1 ir x 2, tai jų suma yra x 1 + x 2 = -2a, o sandauga x 1 x 2 = 3a 2 – 6a – 2.

Apskaičiuojame x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2 = (-2a) 2 – 2(3a 2 – 6a – 2) = -2a 2 + 12a + 4 = -2 (a – 3) 2 + 22.

Dabar akivaizdu, kad ši išraiška yra tinkama didžiausia vertė esant a = 3.

Belieka patikrinti, ar pradinė kvadratinė lygtis iš tikrųjų turi šaknis ties a = 3. Tikriname keitimu ir gauname: x 2 + 6x + 7 = 0 ir jai D = 36 – 28 > 0.

Todėl atsakymas yra toks: jei a = 3.

8 pavyzdys.

Lygtis 2x 2 – 7x – 3 = 0 turi šaknis x 1 ir x 2. Raskite trigubą duotosios kvadratinės lygties koeficientų sumą, kurios šaknys yra skaičiai X 1 = 1/x 1 ir X 2 = 1/x 2. (*)

Sprendimas.

Akivaizdu, kad x 1 + x 2 = 7/2 ir x 1 x 2 = -3/2. Antrąją lygtį sudarykime iš jos šaknų formoje x 2 + px + q = 0. Tam naudojame Vietos teoremos atvirkštinį variantą. Gauname: p = -(X 1 + X 2) ir q = X 1 · X 2.

Pakeitus šias formules remiantis (*), tada: p = -(x 1 + x 2)/(x 1 x 2) = 7/3 ir q = 1/(x 1 x 2) = - 2 /3.

Reikalinga lygtis bus tokia: x 2 + 7/3 · x – 2/3 = 0. Dabar galime lengvai apskaičiuoti trigubą jos koeficientų sumą:

3(1 + 7/3 – 2/3) = 8. Atsakymas gautas.

Vis dar turite klausimų? Nežinote, kaip naudoti Vietos teoremą?
Norėdami gauti pagalbą iš dėstytojo -.
Pirma pamoka nemokama!

blog.site, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į pirminį šaltinį.

Vietos teorema

Kūrybinis darbas studentas 8 klasė

savivaldybės švietimo įstaiga "Novokievskaya vidurinė mokykla"

Lukanina Kirilė

Vadovas: Kryzhanovskaya V.I.

I Įvadas. Istorinė informacija.

II Pagrindinė dalis

1. 
   Puslapiai iš F. Vietos biografijos
2. 
   Mokslinė veikla:

B) atvirkštinė teorema

1. 
   Lygčių sprendimo pavyzdžiai
2. 
   Praktinis darbas
3. 
   Kai kurie ypatingi atvejai sprendžiant lygtis

III Išvada. Vietos teorema eilėraštyje

IV Naudotos nuorodos
Teisingai vertas būti dainuojamas poezijoje

Vietos teorema apie šaknų savybes.

Istorinis fonas

Garsus prancūzų mokslininkas Francois Viète'as pirmasis nustatė kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų ryšį.

François Viète pagal profesiją buvo teisininkas ir daug metų dirbo karaliaus patarėju. Ir nors matematika tebuvo jo pomėgis, triūso dėka joje pasiekė puikių rezultatų.

1951 m. jis įvedė lygčių nežinomųjų koeficientų raidę, taip pat jo savybes.

Vieta padarė daug atradimų; jis pats labiausiai vertino kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų santykio nustatymą, kuris vadinamas Vietos teorema.

Formos pradžia

Formos pabaiga

Vietai gyvuojant buvo paskelbta tik dalis šio talentingo ir produktyvaus mokslininko darbų. Jo pagrindinė esė: „ Įvadas į analitinį meną„()), kurį jis laikė visapusiško traktato pradžia, bet nespėjo tęsti. Yra keletas požymių, kad mokslininkas mirė smurtine mirtimi.

Tiesioginį Vietos kūrinių pritaikymą labai apsunkino sunkus ir griozdiškas pateikimas. Dėl šios priežasties jie dar nebuvo iki galo paskelbti. Daugiau ar mažiau pilnas susirinkimas Wirtho darbus 1646 m. ​​Leidene paskelbė olandų matematikas van Scooten pavadinimu „Vietos matematiniai darbai“. G. G. Zeitenas pažymėjo, kad Vietos kūrinių skaitymą apsunkina šiek tiek rafinuota forma, kurioje jo puiki erudicija šviečia visur. didelis skaičius jo sugalvotas ir visai neprigijo Graikiški terminai. Todėl jo įtaka, tokia reikšminga visos vėlesnės matematikos atžvilgiu, plito palyginti lėtai.

MATEMATINIAI PASIEKIMAI
Matematikos darbus rašė itin sunkia kalba, todėl jie nebuvo plačiai paplitę. Vietho darbus po jo mirties surinko Leideno matematikos profesorius F. Šotenas. Vietos darbuose algebra tampa bendrasis mokslas apie algebrines lygtis, pagrįstas simboline žymėjimu. Vietas pirmasis raidėmis pažymėjo ne tik nežinomuosius, bet ir duotus dydžius, t.y., atitinkamų lygčių koeficientus. Dėl to pirmą kartą atsirado galimybė išreikšti lygčių savybes ir jų šaknis bendromis formulėmis, o pačios algebrinės išraiškos virto objektais, su kuriais buvo galima atlikti veiksmus. Viet sukūrė vienodą techniką 2-ojo, 3-iojo ir 4-ojo laipsnio lygtims spręsti. naujas metodas kubinės lygties sprendiniai, davė trigonometrinis sprendimas 3 laipsnio lygtys neredukuojamuoju atveju, siūlomos įvairios racionalios transformacijosšaknis, nustatė lygčių (Vietos formulių) šaknų ir koeficientų ryšį. Norėdami apytiksliai išspręsti lygtis su skaitiniai koeficientai Vietas pasiūlė metodą, panašų į vėliau I. Niutono sukurtą metodą. Vietos pasiekimai trigonometrijoje – pilnas visų plokštumos ar sferinio trikampio elementų nustatymo iš trijų pateiktų elementų problemos sprendimas, svarbūs sin px ir cos px plėtiniai cos x ir sinx laipsniais. Kelių lankų sinusų ir kosinusų formulės žinojimas leido Vietui išspręsti matematiko A. Roomeno pasiūlytą 45-ojo laipsnio lygtį; Viète parodė, kad šios lygties sprendimas sumažintas iki kampo padalijimo į 45 lygias dalis ir kad yra 23 teigiamų šaknųšią lygtį. Vietas išsprendė Apolonijaus problemą naudodamas liniuotę ir kompasą.

Mokslinė veikla

Visi matematikai žinojo, kad pagal jų algebrą... slypi neprilygstami lobiai, bet nežinojo, kaip juos rasti; užduotis, kurias jie laikė sunkiausiomis, dešimtys visiškai nesunkiai išsprendžia pasitelkę mūsų meną, kuris todėl reprezentuoja daugiausiai teisingu keliu matematiniams tyrimams.

Vietoje pristatymas yra padalintas į dvi dalis: bendrieji dėsniai ir jų konkretūs skaitmeniniai įgyvendinimai. Tai yra, jis pirmiausia išsprendžia problemas bendras vaizdas, ir tik tada veda skaitiniai pavyzdžiai. Bendrojoje dalyje jis raidėmis žymi ne tik jau anksčiau sutiktus nežinomuosius, bet ir visus kitus parametrus, kuriam jis sugalvojo terminą " šansų"(pažodžiui: skatinant). Vietas tam naudojo tik didžiąsias raides – nežinomiesiems balsius, koeficientams – priebalsius.

Viet laisvai taiko įvairius algebrinė transformacija- pavyzdžiui, keičiant kintamuosius arba keičiant išraiškos ženklą, perkeliant jį į kitą lygties dalį. Į tai verta atkreipti dėmesį, atsižvelgiant į tada įtartinas požiūrisĮ neigiami skaičiai. Vieto rodikliai vis dar užrašomi žodžiu.

Kiti Vieto pasiekimai:

• 
  garsus" Vietos formulės» dėl šansų daugianario kaip tai veikia šaknys;
• 
  naujas trigonometrinis metodas sprendimai neredukuojamiesiems kubinė lygtis, taip pat taikoma kampo trisekcijai;
• 
  pirmasis begalinio produkto pavyzdys:

• 
  pilnas analitinis pirmųjų keturių laipsnių lygčių teorijos pristatymas;
• 
  taikymo idėja transcendentinės funkcijosį sprendimą algebrines lygtis;
• 
  originalus metodas apytikslis algebrinių lygčių sprendimas su skaitiniais koeficientais.

Vietos formulės

Formulė

(kiekviena šaknis paimama tiek kartų, kiek atitinka jos daugumą), tada koeficientai išreiškiami forma simetriniai daugianariai nuo šaknų, būtent:

Kitaip tariant (-1) k a k lygus visų galimų produktų sumai iš kšaknys.

Jei daugianario pirmaujantis koeficientas yra , tai norint taikyti Vietos formulę, pirmiausia reikia visus koeficientus padalyti iš a 0 (tai neturi įtakos daugianario šaknų vertei). Šiuo atveju Vietos formulė pateikia visų koeficientų santykio su didžiausiu išraišką. Iš paskutinės Vietos formulės išplaukia, kad jei daugianario šaknys yra sveikasis skaičius, tai jos yra jo laisvojo nario, kuris taip pat yra sveikasis skaičius, dalikliai.

Įrodymas

Kur dešinėje pusėje yra daugianario faktorizuotas.

Padauginus dešinės pusės elementus, koeficientai už lygiais laipsniais x turi būti vienodos abiejose dalyse, iš kurių išplaukia Vietos formulės.

Pavyzdžiai

Kvadratinė lygtis

Sumažintos kvadratinės lygties šaknų suma x 2 + px + q= 0 yra lygus koeficientui p, paimtas su priešingu ženklu, o šaknų sandauga lygi laisvajam nariui q:

Bendruoju atveju (nesumažintai kvadratinei lygčiai kirvis 2 + bx + c = 0):

Praktinis algebros darbas 8 klasėje.

Tema: „Vietos teorema“

Tikslas: nustatyti ryšį tarp kvadratinės lygties šaknų ir jos koeficientų.

Studijų objektas: kvadratinė lygtis ir jos šaknys.

Darbui atlikti reikalingos žinios, įgūdžiai ir gebėjimai:

(t. y. ką reikia atsiminti ir pakartoti prieš siūlant studentams šis darbas):

• 
  pilnosios kvadratinės lygties samprata;
• 
  gebėjimas užsirašyti kvadratinis trinaris bendrais bruožais;
• 
  kvadratinės lygties (ir pilnosios, ir redukuotos) sprendimo algoritmas;
• 
  gebėjimas užsirašyti bendroji formulė kvadratinės lygties šaknys (pilna ir redukuota).

Sumažintos kvadratinės lygtys.

1.1. Išspręskite lygtis:

A) x 2 + 4x + 3 = 0;

B) x 2 – 10x – 24 = 0.

1.2. Užpildykite lentelę:

1.3. Palyginkite kiekvienos lygties šaknų sumą ir sandaugą su jos koeficientais.

1.4. Hipotezė: Kokį ryšį pastebėjote tarp aukščiau pateiktos kvadratinės lygties šaknų ir jos koeficientų? Užrašykite jį naudodami simbolius.

1.5. Hipotezių tikrinimas: parašykite aukščiau pateiktą kvadratinę lygtį bendra forma (x 2 + px + q = 0).

1.6. Užrašykite bendrąją duotosios kvadratinės lygties šaknų formulę.

(X 1 = ; X 2 = )

1.7. Raskite kvadratinės lygties šaknų sumą.

1.8. Raskite kvadratinės lygties šaknų sandaugą.

1.9. Padarykite išvadą

Papildomas klausimas.

Patikrinkite savo išvadas išspręsdami lygtį: x 2 – 12x + 36 = 0.

2. Užbaikite kvadratines lygtis.

2.1. Išspręskite lygtis:

A) 6 x 2 – 5x – 1 = 0;

B) 5 x 2 + 9x + 4 = 0.

2.1. Užpildykite lentelę:

2.4. Hipotezė: Kokį ryšį pastebėjote tarp pilnos kvadratinės lygties šaknų ir jos koeficientų? Užrašykite jį naudodami simbolius.

2.5. Hipotezių tikrinimas: parašykite visą kvadratinę lygtį bendra forma

(ax 2 + bx + c = 0).

2.6. Užrašykite bendrąją visos kvadratinės lygties šaknų formulę.

(X 1 =; X 2 =)

2.7. Raskite kvadratinės lygties šaknų sumą.

2.8. Raskite kvadratinės lygties šaknų sandaugą.

2.9. Padarykite išvadą: nurodykite gautą rezultatą. Užsirašykite jį į užrašų knygelę.

(Gautas teiginys vadinamas Vietos teorema)

Papildomas klausimas.

Patikrinkite savo išvadas išspręsdami lygtį: -2x 2 + 8x + 3 = 0.

Papildoma užduotis.

Raskite šių kvadratinių lygčių šaknų sumą ir sandaugą:

A) x 2 – 5x + 6 = 0;

B) 3x 2 – 4x – 2 = 0;

B) x 2 – 6x + 24 = 0;

D) 6x 2 – 5x = 0.

2. Naudodami Vietos teoremą patikrinkite, ar teisingai rastos kvadratinės lygties šaknys.

Raskite naudodami teoremą, teoremos atvirkščiai Kvadratinės lygties Vieta šaknys:

A) x 2 + 11x – 12 = 0; b) 2 x 2 + 9x + 8 = 0; c) -3x 2 – 6x = 0; d) x 2 – 6 = 0.

Ypatingi kvadratinių lygčių sprendimo atvejai

ax 2 +bx + c = 0

1. jei a+b+c =0, tai x 1 = 1, x 2 =

2. jei a-b+c =0, (arba a+c=b), tai x 1 = -1, x 2 = -

Pavyzdžiui: 3x 2 + 5x - 8 = 0 3 + 5 - 8 = 0 x 1 = 1 x 2 =

X 2 + 2x + 3 = 0 -1 +3 = 2 x 1 = -1 x 2 = 3

Išspręskite žodžiu:

3x 2 - 2x - 1 = 0 3x 2 - 5x - 8 = 0

X 2 – 3x + 2 = 0 4x 2 + 7x + 3 = 0

2002х 2 – 2003х + 1 = 0

Pirmiausia parašykime „minusą“,
Šalia jo p per pusę,
„Pliuso-minuso“ radikalus ženklas,
Mums pažįstamas nuo vaikystės.

Na, iš esmės, bičiuli,
Viskas išeina į nieką:
p per pusę ir kvadratu
Minus gražuolė q.

• 
  iš " Kūdikių monitoriai"(kita galimybė):

Ir po šaknimi tai labai naudinga
pusė p kvadratu
minusas q- Ir čia yra sprendimai,
tai yra lygties šaknys.

Teisingai vertas būti dainuojamas poezijoje

Vietos teorema apie šaknų savybes.

Kas yra geriau, nuosekliai pasakykite:

Padauginate šaknis ir frakcija yra paruošta:

Skaitiklis yra c, vardiklis yra a,

Ir šaknų suma taip pat yra trupmena

Net jei tai trupmena su minusu, kokia problema

Skaitiklis yra į, vardiklis yra a.
Naudota literatūra:

1. 
   Enciklopedinis jauno matematiko žodynas.

1. 
   Matematika. Pamatinės medžiagos. V.A.Gusevas, A.G.Mordkovičius. M. „Švietimas“ 1986 m
2. 
   Matematikos istorija mokykloje. G.I. Glazeris

1. 
   Algebra 8 klasė. redagavo S.A. Telyakovsky