Sumažintos kvadratinės lygtys. Ypatingi kvadratinių lygčių sprendimo atvejai

Tarp kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų, be šaknies formulių, yra ir kitų naudingų ryšių, kurie pateikiami Vietos teorema. Šiame straipsnyje pateiksime kvadratinės lygties Vietos teoremos formuluotę ir įrodymą. Toliau svarstome, kad teorema yra atvirkštinė Vietos teoremai. Po to dažniausiai analizuosime sprendimus tipiniai pavyzdžiai. Galiausiai užrašome Vieta formules, kurios apibrėžia ryšį tarp tikrųjų šaknų algebrinė lygtis n laipsnis ir jo koeficientai.

Puslapio naršymas.

Vietos teorema, formuluotė, įrodymas

Iš formos kvadratinės lygties a·x 2 +b·x+c=0, kur D=b 2 −4·a·c, šaknų formulių išplaukia tokie ryšiai: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 · x 2 = c/a . Šie rezultatai patvirtinami Vietos teorema:

Teorema.

Jeigu x 1 ir x 2 yra kvadratinės lygties a x 2 +b x+c=0 šaknys, tada šaknų suma lygi koeficientų b ir a, paimtų iš priešingas ženklas, o šaknų sandauga lygi koeficientų c ir a santykiui, tai yra.

Įrodymas.

Vietos teoremos įrodymą atliksime pagal tokią schemą: kvadratinės lygties šaknų sumą ir sandaugą sudarysime naudodami garsios formulėsšaknis, po to gautas išraiškas transformuojame ir įsitikiname, kad jos yra atitinkamai lygios −b/a ir c/a.

Pradėkime nuo šaknų sumos ir ją sudarykime. Dabar sumažiname trupmenas iki bendras vardiklis, mes turime. Gautos trupmenos skaitiklyje, po kurio:. Galiausiai, po 2, mes gauname . Tai įrodo pirmąjį Vietos teoremos ryšį su kvadratinės lygties šaknų suma. Pereikime prie antrojo.

Sudarome kvadratinės lygties šaknų sandaugą: . Pagal trupmenų dauginimo taisyklę, paskutinis gabalas gali būti parašytas kaip. Dabar skaitiklyje skliaustą padauginame iš skliausto, bet greičiau sutraukti šį produktą kvadratinio skirtumo formulė, Taigi. Tada, prisimindami, atliekame kitą perėjimą. O kadangi kvadratinės lygties diskriminantas atitinka formulę D=b 2 −4·a·c, tai vietoje D paskutinėje trupmenoje galime pakeisti b 2 −4·a·c, gauname. Atidarius skliaustus ir užmetus panašius terminus gauname trupmeną , o jos sumažinimas 4 ·a suteikia . Tai įrodo antrąjį Vietos teoremos santykį su šaknų sandauga.

Jei paaiškinimų praleisime, Vietos teoremos įrodymas bus lakoniškas:
,
.

Belieka tik pastebėti, kad kada lygus nuliui Diskriminacinė kvadratinė lygtis turi vieną šaknį. Tačiau jei manysime, kad lygtis šiuo atveju turi dvi identiškos šaknys, tada galioja ir Vietos teoremos lygybės. Iš tiesų, kai D=0 kvadratinės lygties šaknis yra lygi , tada ir , o kadangi D=0, tai yra b 2 −4·a·c=0, iš kur b 2 =4·a·c, tada .

Praktikoje Vietos teorema dažniausiai naudojama redukuotos kvadratinės lygties (su pirmaujančiu koeficientu a lygiu 1) atžvilgiu, kurios forma x 2 +p·x+q=0. Kartais jis yra suformuluotas kvadratines lygtis būtent tokios formos, kuri neriboja bendrumo, nes bet kurią kvadratinę lygtį galima pakeisti lygiaverte lygtimi, padalijus abi jos dalis iš ne nulinio skaičiaus a. Pateikiame atitinkamą Vietos teoremos formuluotę:

Teorema.

Sumažintos kvadratinės lygties x 2 +p x+q=0 šaknų suma lygi x koeficientui, paimtam su priešingu ženklu, o šaknų sandauga lygi laisvajam nariui, tai yra x 1 +x 2 =-p, x 1 x 2 = q.

Teorema priešinga Vietos teoremai

Antroji Vietos teoremos formuluotė, pateikta ankstesnėje pastraipoje, rodo, kad jei x 1 ir x 2 yra sumažintos kvadratinės lygties x 2 +p x+q=0 šaknys, tada santykiai x 1 +x 2 =−p , x 1 x 2 =q. Kita vertus, iš užrašytų ryšių x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q išplaukia, kad x 1 ir x 2 yra kvadratinės lygties x 2 +p x+q=0 šaknys. Kitaip tariant, atvirkštinė Vietos teorema yra teisinga. Suformuluokime tai teoremos forma ir įrodykime.

Teorema.

Jei skaičiai x 1 ir x 2 yra tokie, kad x 1 +x 2 =−p ir x 1 · x 2 =q, tai x 1 ir x 2 yra sumažintos kvadratinės lygties x 2 +p · x+q šaknys. =0.

Įrodymas.

Lygtyje x 2 +p·x+q=0 pakeitus koeficientus p ir q jų išraiškomis per x 1 ir x 2, ji paverčiama lygiaverte lygtimi.

Pakeiskime skaičių x 1 vietoj x gautoje lygtyje, turime lygybę x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0, kuri bet kuriam x 1 ir x 2 reiškia teisingą skaitinę lygybę 0=0, nes x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 · x 2 =0. Todėl x 1 yra lygties šaknis x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, o tai reiškia, kad x 1 yra lygiavertės lygties x 2 šaknis +p·x+q=0.

Jei lygtyje x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0 vietoj x pakeisime skaičių x 2, gauname lygybę x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. Tai tikra lygybė, nes x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 · x 2 −x 2 2 +x 1 · x 2 =0. Todėl x 2 taip pat yra lygties šaknis x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, todėl lygtys x 2 +p·x+q=0.

Tai užbaigia teoremos įrodymą, teoremos atvirkščiai Vieta.

Vietos teoremos panaudojimo pavyzdžiai

Atėjo laikas pakalbėti apie Vietos teoremos ir jos atvirkštinės teoremos praktinį taikymą. Šiame skyriuje analizuosime kelių tipiškiausių pavyzdžių sprendimus.

Pradėkime taikydami atvirkštinę teoremą Vietos teoremai. Patogu naudoti norint patikrinti, ar du skaičiai yra duotosios kvadratinės lygties šaknys. Tokiu atveju apskaičiuojama jų suma ir skirtumas, po to tikrinamas ryšių pagrįstumas. Jei tenkinami abu šie ryšiai, tai remiantis teorema, priešinga Vietos teoremai, daroma išvada, kad šie skaičiai yra lygties šaknys. Jei bent vienas iš santykių netenkinamas, tai šie skaičiai nėra kvadratinės lygties šaknys. Šis metodas gali būti naudojamas sprendžiant kvadratines lygtis, kad būtų patikrintos rastos šaknys.

Pavyzdys.

Kuri iš skaičių porų 1) x 1 =−5, x 2 =3 arba 2) arba 3) yra kvadratinės lygties 4 x 2 −16 x+9=0 šaknų pora?

Sprendimas.

Duotos kvadratinės lygties 4 x 2 −16 x+9=0 koeficientai yra a=4, b=−16, c=9. Pagal Vietos teoremą kvadratinės lygties šaknų suma turi būti lygi −b/a, tai yra 16/4=4, o šaknų sandauga turi būti lygi c/a, tai yra 9 /4.

Dabar apskaičiuokime kiekvieno iš trijų skaičių sumą ir sandaugą duotos poros ir palyginkite jas su ką tik gautomis reikšmėmis.

Pirmuoju atveju turime x 1 +x 2 =−5+3=−2. Gauta reikšmė skiriasi nuo 4, todėl tolesnio patikrinimo atlikti negalima, tačiau naudojant Vietos teoremai atvirkštinę teoremą, galima iš karto daryti išvadą, kad pirmoji skaičių pora nėra duotosios kvadratinės lygties šaknų pora.

Pereikime prie antrojo atvejo. Čia, tai yra, įvykdyta pirmoji sąlyga. Mes patikriname antrąją sąlygą: gauta vertė skiriasi nuo 9/4. Vadinasi, antroji skaičių pora nėra kvadratinės lygties šaknų pora.

Pasiliko paskutinis atvejis. Čia ir. Tenkinamos abi sąlygos, todėl šie skaičiai x 1 ir x 2 yra duotosios kvadratinės lygties šaknys.

Atsakymas:

Vietos teoremos atvirkštinis variantas gali būti naudojamas praktiškai norint rasti kvadratinės lygties šaknis. Paprastai parenkamos sveikosios duotųjų kvadratinių lygčių šaknys su sveikaisiais koeficientais, nes kitais atvejais tai padaryti gana sunku. Šiuo atveju jie naudojasi tuo, kad jei dviejų skaičių suma yra lygi antrajam kvadratinės lygties koeficientui, paimtam su minuso ženklu, o šių skaičių sandauga yra lygi laisvajam nariui, tada šie skaičiai yra šios kvadratinės lygties šaknys. Supraskime tai pavyzdžiu.

Paimkime kvadratinę lygtį x 2 −5 x+6=0. Kad skaičiai x 1 ir x 2 būtų šios lygties šaknys, turi būti tenkinamos dvi lygybės: x 1 + x 2 =5 ir x 1 ·x 2 =6. Belieka pasirinkti tokius skaičius. IN šiuo atveju tai padaryti gana paprasta: tokie skaičiai yra 2 ir 3, nes 2+3=5 ir 2·3=6. Taigi 2 ir 3 yra šios kvadratinės lygties šaknys.

Vietos teoremai atvirkštinę teoremą ypač patogu naudoti norint rasti antrąją duotosios kvadratinės lygties šaknį, kai viena iš šaknų jau žinoma arba akivaizdi. Šiuo atveju antrąją šaknį galima rasti iš bet kurio ryšio.

Pavyzdžiui, paimkime kvadratinę lygtį 512 x 2 −509 x −3=0. Čia nesunku pastebėti, kad lygties šaknis yra vienybė, nes šios kvadratinės lygties koeficientų suma lygi nuliui. Taigi x 1 = 1. Antrąją šaknį x 2 galima rasti, pavyzdžiui, iš santykio x 1 ·x 2 =c/a. Turime 1 x 2 = −3/512, iš kurių x 2 = −3/512. Taip nustatėme abi kvadratinės lygties šaknis: 1 ir −3/512.

Akivaizdu, kad šaknis pasirinkti patartina tik daugumoje paprasti atvejai. Kitais atvejais, norėdami rasti šaknis, per diskriminantą galite pritaikyti kvadratinės lygties šaknų formules.

Dar vienas dalykas praktinis pritaikymas Teorema, priešinga Vietos teoremai, susideda iš kvadratinių lygčių sudarymo, atsižvelgiant į šaknis x 1 ir x 2. Norėdami tai padaryti, pakanka apskaičiuoti šaknų sumą, kuri suteikia koeficientą x su priešingu duotosios kvadratinės lygties ženklu, ir šaknų sandaugą, kuri suteikia laisvas narys.

Pavyzdys.

Parašykite kvadratinę lygtį, kurios šaknys yra −11 ir 23.

Sprendimas.

Pažymėkime x 1 =−11 ir x 2 =23. Apskaičiuojame šių skaičių sumą ir sandaugą: x 1 +x 2 =12 ir x 1 ·x 2 =−253. Vadinasi, nurodyti skaičiai yra redukuotos kvadratinės lygties, kurios antrasis koeficientas yra –12 ir laisvasis narys –253, šaknys. Tai reiškia, kad x 2 −12·x−253=0 yra reikalinga lygtis.

Atsakymas:

x 2 −12·x−253=0 .

Vietos teorema labai dažnai naudojama sprendžiant uždavinius, susijusius su kvadratinių lygčių šaknų ženklais. Kaip Vietos teorema susijusi su redukuotos kvadratinės lygties x 2 +p·x+q=0 šaknų ženklais? Štai du svarbūs teiginiai:

• Jei laisvasis narys q yra teigiamas skaičius, o kvadratinė lygtis turi realias šaknis, tada jie abu yra teigiami arba abu neigiami.
• Jei laisvasis narys q yra neigiamas skaičius, o kvadratinė lygtis turi realias šaknis, tai jų ženklai yra skirtingi, kitaip tariant, viena šaknis yra teigiama, o kita – neigiama.

Šie teiginiai išplaukia iš formulės x 1 · x 2 =q, taip pat iš teigiamų, neigiamų skaičių ir skaičių su skirtingais ženklais dauginimo taisyklių. Pažvelkime į jų taikymo pavyzdžius.

Pavyzdys.

R tai teigiama. Naudodami diskriminantinę formulę randame D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, raiškos r 2 +8 reikšmę. yra teigiamas bet kuriam realiam r, taigi D>0 bet kuriam realiam r. Todėl pradinė kvadratinė lygtis turi dvi šaknis bet kuriai tikrosios vertybės parametras r.

Dabar išsiaiškinkime, kada yra šaknys skirtingi ženklai. Jei šaknų ženklai yra skirtingi, tai jų sandauga yra neigiama, o pagal Vietos teoremą redukuotos kvadratinės lygties šaknų sandauga yra lygi laisvajam nariui. Todėl mus domina tos r reikšmės, kurių laisvasis terminas r−1 yra neigiamas. Taigi, norėdami rasti mus dominančias r vertes, mums reikia nuspręsti tiesinė nelygybė r−1<0 , откуда находим r<1 .

Atsakymas:

adresu r<1 .

Vietos formulės

Aukščiau kalbėjome apie Vietos teoremą kvadratinei lygčiai ir išanalizavome jos teigiamus ryšius. Tačiau yra formulių, jungiančių tikrąsias šaknis ir koeficientus ne tik kvadratinių lygčių, bet ir kubinių lygčių, ketvirto laipsnio lygčių ir apskritai, algebrines lygtis laipsnis n. Jie vadinami Vietos formulės.

Parašykime Vietos formulę formos n laipsnio algebrinei lygčiai ir manysime, kad ji turi n realių šaknų x 1, x 2, ..., x n (tarp jų gali būti ir sutampančių):

Vietos formules galima gauti teorema apie daugianario skaidymą į tiesinius veiksnius, taip pat lygių daugianario apibrėžimas per visų juos atitinkančių koeficientų lygybę. Taigi daugianomas ir jo plėtimas į formos tiesinius veiksnius yra lygūs. Atidarę skliaustus paskutiniame sandaugoje ir sulyginę atitinkamus koeficientus, gauname Vietos formules.

Visų pirma, n = 2, turime jau pažįstamas kvadratinės lygties Vieta formules.

Už kubinė lygtis Vietos formulės turi formą

Belieka tik pastebėti, kad kairėje Vietos formulių pusėje yra vadinamosios elementarios simetriniai daugianariai.

Nuorodos.

• Algebra: vadovėlis 8 klasei. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; redagavo S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2008. - 271 p. : serga. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovičius A. G. Algebra. 8 klasė. 14 val. 1 dalis. Vadovėlis mokiniams švietimo įstaigų/ A. G. Mordkovičius. - 11 leidimas, ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra ir matematinės analizės pradžia. 10 klasė: vadovėlis. bendrajam lavinimui institucijos: pagrindinės ir profilio. lygiai / [Yu. M. Kolyaginas, M. V. Tkačiova, N. E. Fedorova, M. I. Šabuninas]; redagavo A. B. Žižčenka. - 3 leidimas. - M.: Švietimas, 2010.- 368 p. : serga. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Šiandien ji nusipelno būti dainuojama poezijoje
Vietos teorema apie šaknų savybes.
Kas yra geriau, pasakykite man, tokia nuoseklumas:
Jūs padauginote šaknis - ir frakcija yra paruošta
Skaitiklyje Su, vardiklyje A.
Ir trupmenos šaknų suma taip pat lygi
Net ir su minus šia trupmena
Kokia problema
Skaitikliuose V, vardiklyje A.
(Iš mokyklos folkloro)

Epigrafe nepaprasta François Vieta teorema pateikta ne visai tiksliai. Tiesą sakant, galime užrašyti kvadratinę lygtį, kuri neturi šaknų, ir užrašyti jų sumą bei sandaugą. Pavyzdžiui, lygtis x 2 + 2x + 12 = 0 neturi realių šaknų. Tačiau, vadovaudamiesi formaliu požiūriu, galime užrašyti jų sandaugą (x 1 · x 2 = 12) ir sumą (x 1 + x 2 = -2). Mūsų eilutės atitiks teoremą su išlyga: „jei lygtis turi šaknis“, t.y. D ≥ 0.

Pirmasis praktinis šios teoremos pritaikymas yra kvadratinės lygties, kuri turi šaknis, sudarymas. Antra, tai leidžia žodžiu išspręsti daugybę kvadratinių lygčių. Mokykliniuose vadovėliuose daugiausia dėmesio skiriama šių įgūdžių ugdymui.

Čia mes apsvarstysime sudėtingesnes problemas, išspręstas naudojant Vietos teoremą.

1 pavyzdys.

Viena iš lygties 5x 2 šaknų – 12x + c = 0 yra tris kartus didesnė už antrąją. Rasti s.

Sprendimas.

Tegul antroji šaknis yra x 2.

Tada pirmoji šaknis x1 = 3x2.

Pagal Vietos teoremą šaknų suma lygi 12/5 = 2,4.

Sukurkime lygtį 3x 2 + x 2 = 2,4.

Taigi x 2 = 0,6. Todėl x 1 = 1,8.

Atsakymas: c = (x 1 x 2) a = 0,6 1,8 5 = 5,4.

2 pavyzdys.

Yra žinoma, kad x 1 ir x 2 yra lygties x 2 šaknys – 8x + p = 0, kai 3x 1 + 4x 2 = 29. Raskite p.

Sprendimas.

Pagal Vietos teoremą x 1 + x 2 = 8, o pagal sąlygą 3x 1 + 4x 2 = 29.

Išsprendę šių dviejų lygčių sistemą, randame reikšmę x 1 = 3, x 2 = 5.

Todėl p = 15.

Atsakymas: p = 15.

3 pavyzdys.

Neskaičiuojant lygties 3x 2 + 8 x – 1 = 0 šaknų, raskite x 1 4 + x 2 4

Sprendimas.

Atkreipkite dėmesį, kad pagal Vietos teoremą x 1 + x 2 = -8/3 ir x 1 x 2 = -1/3 ir transformuokite išraišką

a) x 1 4 + x 2 4 = (x 1 2 + x 2 2) 2 – 2 x 1 2 x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2 x 1 x 2) 2 – 2 (x 1 x 2) 2 = ((-8/3) 2 – 2 · (-1/3)) 2 – 2 · (-1/3) 2 = 4898/9

Atsakymas: 4898/9.

4 pavyzdys.

Kokiomis parametro reikšmėmis a yra skirtumas tarp didžiausios ir mažiausios lygties šaknų
2x 2 – (a + 1)x + (a – 1) = 0 yra lygus jų sandaugai.

Sprendimas.

Tai kvadratinė lygtis. Jis turės 2 skirtingas šaknis, jei D > 0. Kitaip tariant, (a + 1) 2 – 8(a – 1) > 0 arba (a – 3) 2 > 0. Todėl turime 2 šaknis visiems a, nes išskyrus a = 3.

Tikslumui darysime prielaidą, kad x 1 > x 2 ir gausime x 1 + x 2 = (a + 1)/2 ir x 1 x 2 = (a – 1)/2. Remiantis uždavinio sąlygomis x 1 – x 2 = (a – 1)/2. Visos trys sąlygos turi būti įvykdytos vienu metu. Pirmąją ir paskutinę lygtis apsvarstykime kaip sistemą. Tai gali būti lengvai išspręsta pridedant algebrą.

Gauname x 1 = a/2, x 2 = 1/2. Patikrinkim ką A bus įvykdyta antroji lygybė: x 1 · x 2 = (a – 1)/2. Pakeiskime gautas reikšmes ir turėsime: a/4 = (a – 1)/2. Tada a = 2. Akivaizdu, kad jei a = 2, tada tenkinamos visos sąlygos.

Atsakymas: kai a = 2.

5 pavyzdys.

Kas yra lygus mažiausia vertė a, kurioje lygties šaknų suma
x 2 – 2a(x – 1) – 1 = 0 yra lygus jo šaknų kvadratų sumai.

Sprendimas.

Visų pirma, sumažinkime lygtį iki kanoninė forma: x 2 – 2ax + 2a – 1 = 0. Jis turės šaknis, jei D/4 ≥ 0. Todėl: a 2 – (2a – 1) ≥ 0. Arba (a – 1) 2 ≥ 0. Ir tai yra sąlyga, galiojanti bet kuriai a.

Taikykime Vietos teoremą: x 1 + x 2 = 2a, x 1 x 2 = 2a – 1. Apskaičiuokime

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2 x 1 x 2. Arba pakeitus x 1 2 + x 2 2 = (2a) 2 – 2 · (2a – 1) = 4a 2 – 4a + 2. Belieka sukurti lygybę, atitinkančią uždavinio sąlygas: x 1 + x 2 = x 1 2 + x 2 2 . Gauname: 2a = 4a 2 – 4a + 2. Ši kvadratinė lygtis turi 2 šaknis: a 1 = 1 ir a 2 = 1/2. Mažiausias iš jų –1/2.

Atsakymas: 1/2.

6 pavyzdys.

Raskite ryšį tarp lygties ax 2 + bx + c = 0 koeficientų, jei jos šaknų kubelių suma lygi šių šaknų kvadratų sandaugai.

Sprendimas.

Remsimės tuo, kad duota lygtis turi šaknis, todėl jai galima pritaikyti Vietos teoremą.

Tada uždavinio sąlyga bus parašyta taip: x 1 3 + x 2 3 = x 1 2 · x 2 2. Arba: (x 1 + x 2) (x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2) = (x 1 x 2) 2.

Antrasis veiksnys turi būti konvertuojamas. x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2 x 1 x 2) – x 1 x 2.

Gauname (x 1 + x 2) ((x 1 + x 2) 2 – 3x 1 x 2) = (x 1 x 2) 2. Belieka pakeisti šaknų sumas ir sandaugas per koeficientus.

(-b/a)((b/a) 2–3 c/a) = (c/a) 2 . Ši išraiška gali būti lengvai konvertuojama į formą b(3ac – b 2)/a = c 2. Ryšys rastas.

komentuoti. Reikėtų atsižvelgti į tai, kad gautą ryšį prasminga vertinti tik tada, kai patenkinamas kitas: D ≥ 0.

7 pavyzdys.

Raskite kintamojo a reikšmę, kuriai lygties x 2 + 2ax + 3a 2 – 6a – 2 = 0 šaknų kvadratų suma yra didžiausia reikšmė.

Sprendimas.

Jei ši lygtis turi šaknis x 1 ir x 2, tai jų suma yra x 1 + x 2 = -2a, o sandauga x 1 x 2 = 3a 2 – 6a – 2.

Apskaičiuojame x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2 = (-2a) 2 – 2(3a 2 – 6a – 2) = -2a 2 + 12a + 4 = -2 (a – 3) 2 + 22.

Dabar akivaizdu, kad ši išraiška yra tinkama didžiausia vertė esant a = 3.

Belieka patikrinti, ar pradinė kvadratinė lygtis iš tikrųjų turi šaknis ties a = 3. Tikriname keitimu ir gauname: x 2 + 6x + 7 = 0 ir jai D = 36 – 28 > 0.

Todėl atsakymas yra toks: jei a = 3.

8 pavyzdys.

Lygtis 2x 2 – 7x – 3 = 0 turi šaknis x 1 ir x 2. Raskite trigubą duotosios kvadratinės lygties koeficientų sumą, kurios šaknys yra skaičiai X 1 = 1/x 1 ir X 2 = 1/x 2. (*)

Sprendimas.

Akivaizdu, kad x 1 + x 2 = 7/2 ir x 1 x 2 = -3/2. Antrąją lygtį sudarykime iš jos šaknų formoje x 2 + px + q = 0. Tam naudojame Vietos teoremos atvirkštinį variantą. Gauname: p = -(X 1 + X 2) ir q = X 1 · X 2.

Pakeitus šias formules remiantis (*), tada: p = -(x 1 + x 2)/(x 1 x 2) = 7/3 ir q = 1/(x 1 x 2) = - 2 /3.

Reikalinga lygtis bus tokia: x 2 + 7/3 · x – 2/3 = 0. Dabar galime lengvai apskaičiuoti trigubą jos koeficientų sumą:

3(1 + 7/3 – 2/3) = 8. Atsakymas gautas.

Vis dar turite klausimų? Nežinote, kaip naudoti Vietos teoremą?
Norėdami gauti pagalbą iš dėstytojo -.
Pirma pamoka nemokama!

blog.site, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į pirminį šaltinį.

Francois Viet gimė 1540 m. Prancūzijoje Fontenay-le-Comte. Advokatas pagal išsilavinimą. Jis daug užsiėmė teisininkyste, o 1571–1584 m. buvo karalių Jurgio III ir Jurgio IV patarėjas. Bet viskas tavo laisvas laikas, visą savo laisvalaikį skyrė matematikai ir astronomijai. Ypač intensyviai jis pradėjo dirbti matematikos srityje 1584 m., kai buvo pašalintas iš pareigų. karališkasis teismas. Vietas išsamiai studijavo tiek senovės, tiek šiuolaikinių matematikų darbus.

François Viète iš esmės sukūrė naują algebrą. Jis įvedė į jį abėcėlės simboliką. Pagrindinės jo idėjos pateiktos darbe „Analitinės dailės įvadas“. Jis rašė: „Visi matematikai žinojo, kad po jų algebra ir almukabala slypi neprilygstami lobiai, bet nežinojo, kaip juos rasti: problemos, kurias laikė sunkiausiomis, mūsų meno pagalba visiškai lengvai išsprendžiamos“.

Iš tiesų, visi žinome, kaip lengva išspręsti, pavyzdžiui, kvadratines lygtis. Yra paruoštos jų sprendimo formulės. Iki F. Vietos kiekvienos kvadratinės lygties sprendimas buvo vykdomas pagal savas taisykles labai ilgais žodiniais argumentais ir aprašymais, gana gremėzdiškais veiksmais. Net pati lygtis moderni forma negalėjo to užrašyti. Tai taip pat reikalavo gana ilgo ir sudėtingo žodinis aprašymas. Prireikė metų, kad įsisavintume lygčių sprendimo būdus. Nebuvo bendrų taisyklių, panašių į šiuolaikines, o tuo labiau lygčių sprendimo formulių. Nuolatiniai šansai nebuvo nurodyti laiškais. Mes svarstėme išraiškas tik su konkrečiais skaitiniai koeficientai.

Vietas į algebrą įvedė raidžių simbolius. Po Vietos naujovių atsirado galimybė rašyti taisykles formulių pavidalu. Tiesa, Vietas žodžiais vis dar žymėjo eksponentus, ir tai sukėlė tam tikrų sunkumų sprendžiant kai kurias problemas. Vietos metu numerių pasiūla dar buvo ribota. François Viète savo darbuose labai išsamiai išdėstė pirmojo ir ketvirtojo laipsnio lygčių sprendimo teoriją.

Didelis Vietos nuopelnas buvo savavališkos redukuotos formos lygčių šaknų ir koeficientų ryšio atradimas. natūralus laipsnis. Puikiai žinome garsiąją Vietos teoremą dėl redukuotos kvadratinės lygties: „redukuotos formos kvadratinės lygties šaknų suma lygi antrajam koeficientui, paimtam su priešingu ženklu, o šios lygties šaknų sandauga yra lygus laisvam terminui“. Ši teorema leidžia žodžiu patikrinti kvadratinių lygčių sprendimo teisingumą, o paprasčiausiais atvejais – rasti lygčių šaknis.

Taip pat atkreipkite dėmesį, kad Viète pirmą kartą analitiškai (naudodamas formulę) pateikė skaičių π Europoje.

Vietas mirė sulaukęs 63 metų 1603 m.

Vietos teorema.

Kvadratinio trinalio x2 + px + q šaknų suma lygi jo antrajam koeficientui p su priešingu ženklu, o sandauga lygi laisvajam nariui q.

Įrodymas.

Tegul x1 ir x2 yra skirtingos kvadratinio trinalio x2 + px + q šaknys. Vietos teorema teigia, kad galioja šie santykiai: x1 + x2 = –p x1 x2 = q

Norėdami tai įrodyti, pakeiskime kiekvieną šaknį kvadratinio trinalio išraiškoje. Gauname dvi teisingas skaitines lygybes: x12 + px1 + q = 0 x22 + px2 + q = 0

Atimkime šias lygybes vieną iš kitos. Gauname x12 – x22 + p (x1 – x2) = 0

Išplėskime kvadratų skirtumą ir tuo pačiu perkelkime antrąjį terminą į dešinę:

(x1 – x2) (x1 + x2) = –p (x1 – x2)

Kadangi pagal sąlygą šaknys x1 ir x2 yra skirtingos, tai x1 – x2 ≠ 0 ir lygybę galime padalyti iš x1 – x2. Gauname pirmąją teoremos lygybę: x1 + x2 = –p

Antrajam įrodyti, vietoj koeficiento p į vieną iš aukščiau parašytų lygybių (pavyzdžiui, pirmąją) pakeiskime lygų skaičių – (x1 + x2): x12 – (x1 + x2) x1 + q = 0

Transformuojasi kairėje pusėje, gauname: x12 – x12 – x2 x1 + q = 0 x1 x2 = q, ką ir reikėjo įrodyti.

Neredukuotos kvadratinės lygties ax2 + bx + c = 0 atveju: x1+x2 = x1x2 =

Teorema atvirkštinė Vietos teoremai.

Jei tenkinamos lygybės x1+x2 = ir x1x2 =, tai skaičiai x1 ir x2 yra kvadratinės lygties ax2 + bx + c = 0 šaknys.

Įrodymas.

Iš lygybės x1+x2 = ir x1x2 = išplaukia, kad x2 + x + =x2 - (x1+x2)x + x1x2.

Bet x2 - (x1+x2)x + x1x2 = (x-x1)(x-x2) ir todėl x2 + x + = (x-x1)(x-x2).

Iš to seka, kad x1 ir x2 yra lygties x2 + x + = 0 šaknys, taigi ir lygtys ax2 + bx + c = 0.

Vietos teoremos taikymas.

Vietos teorema naudojama 8 klasėje kvadratinių lygčių šaknims rasti. Galite išplėsti šios teoremos taikymo sritį, pavyzdžiui, spręsdami lygčių sistemas 9-11 klasėse ir spręsdami problemas, susijusias su kvadratinių lygčių ir jų šaknų tyrimu. Tai sumažina laiką ir supaprastina sistemos sprendimą.

Išspręskite lygčių sistemą:

Jeigu darysime prielaidą, kad kokios nors kvadratinės lygties, kurios šaknų suma lygi 5, o sandauga lygi 6, x ir y šaknys, tai gausime dviejų sistemų aibę

Atsakymas: (2;3), (3;2).

Studentai greitai įsisavina šį sprendimo būdą ir su malonumu juo naudojasi. Be to, galite apsunkinti sistemas ir naudoti šią techniką studijuodami įvairiomis temomis 10-11 klasėse.

Išspręskite lygčių sistemą:

Pagal sąlygą x > 0 y > 0 gauname

Tada tegul ir yra kokios nors sumažintos kvadratinės lygties šaknys šią sistemą yra lygiavertis dviejų sistemų deriniui

Antroji visumos sistema neturi sprendinio.

Atsakymas: (9;4).

Žemiau pateikiamos lygčių sistemos, kurias galima išspręsti naudojant Vietos teoremą.

Atsakymas: (65;3), (5;63).

Atsakymas: (23;11), (7;27).

Atsakymas: (4;729),(81;4096).

Atsakymas: (2;2).

5. x + y =12 Atsakymas: (8;4), (4;8).

Atsakymas: (9;4), (4;9).

Panašias lygčių sistemas gali sudaryti pats mokytojas arba į tai įtraukti mokiniai, o tai prisideda prie domėjimosi dalyku ugdymo.

Žodinio sprendimo užduotys.

Nesprendžiant kvadratinių lygčių, suraskite jų šaknis.

1. x2 - 6x + 8 = 0 Atsakymas: 2;4.

2. x2 – 5x – 6 = 0 Atsakymas: -1;6.

3. x2 + 2x - 24 = 0 Atsakymas: -6;4.

4. x2 + 9x + 14 = 0 Atsakymas: -7;-2.

5. x2 – 7x + 10 = 0 Atsakymas: 2;5.

6. 2x2 + 7x + 5 = 0 Atsakymas: -2,5;-1.

Panagrinėkime problemas, kuriose naudojama Vietos teorema.

Neišsprendę lygties 9x²+18x-8=0, raskite x1³+x2³, kur x1,x2 yra jos šaknys.

9x²+18x-8=0 │:9 x²+2x-=0

1) Diskriminuojantis didesnis už nulį, D>0, o tai reiškia, kad x1, x2 yra tikrosios šaknys.

Pagal Vietos teoremą išeina, kad x1+x2=-2 x1∙x2= -

3) Paverskite išraišką x1³+x2³: x1³+x2³=(x1+x2)(x1²-x1 x2 +x2²)= (x1+x2)(x1²+2x1 x2 +x2² -2x1 x2 –

X1 x2)=(x1+x2)((x1 +x2)²-3x1 x2).

Pakeiskime mums žinomas reikšmes į gautą formulę ir gaukime atsakymą:

2((-2)²-3(-))= -2(4+)= -2∙= -

Esant kokiai k reikšmei lygtyje 9x²-18(k-1)x-8k+24=0,x2 =2x1.

9x²-18(k-1)x -8k+24=0 │:9 x²-2(k-1)x -k+=0 x2=2x1.

Pagal Vietos teoremą: x1∙x2= -k x1+ x2=2(k-1), gavome dviejų lygčių sistemą ir vietoj x2 pakeitėme 2x1.

2x12=-k│:2 x1²=-k

3x1=2(k-1)│:3 x1=k-

Palyginkime gautas lygtis:

Išspręskime kvadratinę lygtį ir raskime k:

D=b²-4ac D=+=+=()² x1;x2= k1;k2= k1=2 k2=-1

Atsakymas: su k1=-1 ir k2=2.

Tegul x1;x2 yra kvadratinės lygties x²+13x-17=0 šaknys. Sudarykite lygtį, kurios šaknys būtų skaičiai 2-x1 ir 2-x2.

Apsvarstykite lygtį x²+13x-17=0.

1) Diskriminantas D>0, o tai reiškia, kad x1 yra tikrosios šaknys.

Pagal Vietos teoremą: x1 +x2 = -13 x1 x2 = -17

3) Į šią sistemą pakeiskite skaičius 2-x2 ir 2-x2.

(2-x1)+(2-x2)= -13 2-x1+2-x2 =-13 x1+x2 =17

(2-x1)·(2-x2)= -17 4-2x1-2x2+x1x =-17 -2(x1+x2) +x1x2 =-21 x1+x2 =17 x1 + x2 =17

2 17+x1 x2 = -21 x1x2 =13

Todėl, taikant Vietos teoremą, norima lygtis yra x²-17x+13=0.

Atsakymas: x²-17x+13=0.

Duota kvadratinė lygtis ax2+bx+c=0, kokie yra b ir c ženklai, jei x2>x1,x1>0,x2

Kadangi x2 x1, vadinasi, b>0,c

Atsakymas: b>0,с

6) Duota kvadratinė lygtis ax2+bx+c=0, kokie yra b ir c ženklai, jei x1 0,x2>0.

Pagal Vietos teoremą: x1+x2=-b x1∙x2=c

Kadangi x1>0, x2>0 ir x2>x1, tai reiškia, kad b 0.

Savarankiško sprendimo užduotys.

1) Neišsprendus lygties 2x²-3x-11=0, raskite +, kur x1;x2 yra jos šaknys.

2) Raskite reiškinio + reikšmę, kur x1;x2 yra trinalio x²-18x+11=0 šaknys.

3) Tegul x1;x2 yra kvadratinės lygties x²-7x-46=0 šaknys.

Parašykite kvadratinę lygtį, kurios šaknys yra skaičiai

2x1 +x2 ir 2x2 +x1.

Atsakymas: 9x2-21x-481=0

4) Kurioje sveikojo skaičiaus k reikšmėje yra viena iš lygties šaknų

4x²-(3k+2)x+(k²-1)=0 tris kartus mažiau nei antrasis?

Atsakymas: k=2.

5) Duota kvadratinė lygtis ax2+bx+c=0, kokie yra b ir c ženklai, jei x1 0.

Vietos teorema

Kūrybinis darbas studentas 8 klasė

savivaldybės švietimo įstaiga "Novokievskaya vidurinė mokykla"

Lukanina Kirilė

Vadovas: Kryzhanovskaya V.I.

I Įvadas. Istorinė informacija.

II Pagrindinė dalis

1. 
   Puslapiai iš F. Vietos biografijos
2. 
   Mokslinė veikla:

B) atvirkštinė teorema

1. 
   Lygčių sprendimo pavyzdžiai
2. 
   Praktinis darbas
3. 
   Kai kurie ypatingi lygčių sprendimo atvejai

III Išvada. Vietos teorema eilėraštyje

IV Naudotos nuorodos
Teisingai vertas būti dainuojamas poezijoje

Vietos teorema apie šaknų savybes.

Istorinis fonas

Kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų ryšį pirmasis nustatė garsus prancūzų mokslininkas Francois Viète.

François Viète pagal profesiją buvo teisininkas ir daug metų dirbo karaliaus patarėju. Ir nors matematika tebuvo jo pomėgis, triūso dėka joje pasiekė puikių rezultatų.

1951 metais jis pristatė raidžių pavadinimai lygčių nežinomųjų koeficientams, taip pat jo savybėms.

Vieta padarė daug atradimų; jis pats labiausiai vertino kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų santykio nustatymą, kuris vadinamas Vietos teorema.

Formos pradžia

Formos pabaiga

Vietai gyvuojant buvo paskelbta tik dalis šio talentingo ir produktyvaus mokslininko darbų. Jo pagrindinė esė: „ Įvadas į analitinį meną„()), kurį jis laikė visapusiško traktato pradžia, bet nespėjo tęsti. Yra keletas požymių, kad mokslininkas mirė smurtine mirtimi.

Tiesioginį Vietos kūrinių pritaikymą labai apsunkino sunkus ir griozdiškas pateikimas. Dėl šios priežasties jie dar nebuvo iki galo paskelbti. Daugiau ar mažiau pilnas susirinkimas Wirtho darbus 1646 m. ​​Leidene paskelbė olandų matematikas van Scooten pavadinimu „Vietos matematiniai darbai“. G. G. Zeitenas pažymėjo, kad Vietos kūrinių skaitymą apsunkina šiek tiek rafinuota forma, kurioje jo puiki erudicija šviečia visur. didelis skaičius jo sugalvotas ir visai neprigijo Graikijos terminai. Todėl jo įtaka, tokia reikšminga visos vėlesnės matematikos atžvilgiu, plito palyginti lėtai.

MATEMATINIAI PASIEKIMAI
Jis nepaprastai parašė straipsnių apie matematiką sunki kalba, todėl jie nepasiskirstė. Vietho darbus po jo mirties surinko Leideno matematikos profesorius F. Šotenas. Vietos darbuose algebra tampa bendrasis mokslas apie algebrines lygtis, pagrįstas simboline žymėjimu. Vietas pirmasis raidėmis pažymėjo ne tik nežinomuosius, bet ir duotuosius dydžius, t.y., atitinkamų lygčių koeficientus. Dėl to pirmą kartą atsirado galimybė išreikšti lygčių savybes ir jų šaknis bendromis formulėmis, o pačios algebrinės išraiškos virto objektais, su kuriais buvo galima atlikti veiksmus. Viet sukūrė vienodą 2, 3 ir 4 laipsnių lygčių sprendimo metodą ir naujas metodas kubinės lygties sprendiniai, davė trigonometrinis sprendimas 3 laipsnio lygtys neredukuojamuoju atveju, siūlomos įvairios racionalios transformacijosšaknis, nustatė lygčių (Vietos formulių) šaknų ir koeficientų ryšį. Apytiksliui lygčių su skaitiniais koeficientais sprendimui Viethas pasiūlė metodą, panašų į vėliau I. Niutono sukurtą metodą. Vietos pasiekimai trigonometrijoje - pilnas sprendimas visų plokštumos ar sferinio trikampio elementų nustatymo iš trijų nurodytų elementų problemos, svarbūs sinпх ir cosпх plėtiniai cos x ir sinx laipsniais. Kelių lankų sinusų ir kosinusų formulės žinojimas leido Vietui išspręsti matematiko A. Roomeno pasiūlytą 45 laipsnio lygtį; Viète parodė, kad šios lygties sprendimas sumažintas iki kampo padalijimo į 45 lygias dalis ir kad yra 23 teigiamų šaknųšią lygtį. Vietas išsprendė Apolonijaus problemą naudodamas liniuotę ir kompasą.

Mokslinė veikla

Visi matematikai žinojo, kad po jų algebra... slypi neprilygstami lobiai, bet nežinojo, kaip juos rasti; užduotis, kurias jie laikė sunkiausiomis, dešimtys visiškai nesunkiai išsprendžia pasitelkę mūsų meną, kuris todėl reprezentuoja daugiausiai teisingu keliu matematiniams tyrimams.

Vietoje pristatymas yra padalintas į dvi dalis: bendrieji dėsniai ir jų konkretūs skaitmeniniai įgyvendinimai. Tai yra, jis pirmiausia išsprendžia problemas bendras vaizdas, ir tik tada veda skaitiniai pavyzdžiai. Bendrojoje dalyje jis raidėmis žymi ne tik jau anksčiau sutiktus nežinomuosius, bet ir visus kitus parametrus, kuriam jis sugalvojo terminą " šansų"(pažodžiui: skatinant). Vietas tam naudojo tik didžiąsias raides – nežinomiesiems balsius, koeficientams – priebalsius.

Viet laisvai taiko įvairius algebrinė transformacija- pavyzdžiui, keičiant kintamuosius arba keičiant išraiškos ženklą, perkeliant jį į kitą lygties dalį. Į tai verta atkreipti dėmesį, atsižvelgiant į tuomet įtartinas požiūrisĮ neigiami skaičiai. Vieto rodikliai vis dar užrašomi žodžiu.

Kiti Vieto pasiekimai:

• 
  garsus" Vietos formulės» dėl šansų daugianario kaip tai veikia šaknys;
• 
  naujas trigonometrinis metodas sprendimai neredukuojamiesiems kubinė lygtis, taip pat taikoma kampo trisekcijai;
• 
  pirmasis begalinio produkto pavyzdys:

• 
  pilnas analitinis pirmųjų keturių laipsnių lygčių teorijos pristatymas;
• 
  taikymo idėja transcendentinės funkcijos spręsti algebrines lygtis;
• 
  originalus metodas apytikslis algebrinių lygčių sprendimas su skaitiniais koeficientais.

Vietos formulės

Formulė

(kiekviena šaknis paimama tiek kartų, kiek atitinka jos daugumą), tada koeficientai išreiškiami forma simetriniai daugianariai nuo šaknų, būtent:

Kitaip tariant (-1) k a k lygus visų galimų produktų sumai iš kšaknys.

Jei daugianario pirmaujantis koeficientas yra , tai norint taikyti Vietos formulę, pirmiausia reikia padalyti visus koeficientus iš a 0 (tai neturi įtakos daugianario šaknų vertei). Šiuo atveju Vietos formulė pateikia visų koeficientų ir didžiausio santykio išraišką. Iš paskutinės Vietos formulės išplaukia, kad jei daugianario šaknys yra sveikasis skaičius, tai jos yra jo laisvojo nario, kuris taip pat yra sveikasis skaičius, dalikliai.

Įrodymas

Kur dešinėje pusėje yra daugianario faktorizuotas.

Padauginus dešinės pusės elementus, koeficientai už lygiais laipsniais x turi būti vienodos abiejose dalyse, iš kurių išplaukia Vietos formulės.

Pavyzdžiai

Kvadratinė lygtis

Sumažintos kvadratinės lygties šaknų suma x 2 + px + q= 0 yra lygus koeficientui p, paimtas su priešingu ženklu, o šaknų sandauga lygi laisvajam nariui q:

IN bendras atvejis(nesumažintai kvadratinei lygčiai kirvis 2 + bx + c = 0):

Praktinis algebros darbas 8 klasėje.

Tema: „Vietos teorema“

Tikslas: nustatyti ryšį tarp kvadratinės lygties šaknų ir jos koeficientų.

Studijų objektas: kvadratinė lygtis ir jos šaknys.

Darbui atlikti reikalingos žinios, gebėjimai ir įgūdžiai:

(t. y. ką reikia atsiminti ir pakartoti prieš siūlant studentams šis darbas):

• 
  pilnosios kvadratinės lygties samprata;
• 
  gebėjimas užsirašyti kvadratinis trinaris bendrais bruožais;
• 
  kvadratinės lygties (ir pilnosios, ir redukuotos) sprendimo algoritmas;
• 
  gebėjimas užsirašyti bendroji formulė kvadratinės lygties šaknys (pilna ir redukuota).

Sumažintos kvadratinės lygtys.

1.1. Išspręskite lygtis:

A) x 2 + 4x + 3 = 0;

B) x 2 – 10x – 24 = 0.

1.2. Užpildykite lentelę:

1.3. Palyginkite kiekvienos lygties šaknų sumą ir sandaugą su jos koeficientais.

1.4. Hipotezė: Kokį ryšį pastebėjote tarp aukščiau pateiktos kvadratinės lygties šaknų ir jos koeficientų? Užrašykite jį naudodami simbolius.

1.5. Hipotezių tikrinimas: parašykite aukščiau pateiktą kvadratinę lygtį bendra forma (x 2 + px + q = 0).

1.6. Užrašykite bendrąją duotosios kvadratinės lygties šaknų formulę.

(X 1 = ; X 2 = )

1.7. Raskite kvadratinės lygties šaknų sumą.

1.8. Raskite kvadratinės lygties šaknų sandaugą.

1.9. Padarykite išvadą

Papildomas klausimas.

Patikrinkite savo išvadas išspręsdami lygtį: x 2 – 12x + 36 = 0.

2. Užbaikite kvadratines lygtis.

2.1. Išspręskite lygtis:

A) 6 x 2 – 5x – 1 = 0;

B) 5 x 2 + 9x + 4 = 0.

2.1. Užpildykite lentelę:

2.4. Hipotezė: Kokį ryšį pastebėjote tarp pilnos kvadratinės lygties šaknų ir jos koeficientų? Užrašykite jį naudodami simbolius.

2.5. Hipotezių tikrinimas: parašykite visą kvadratinę lygtį bendra forma

(ax 2 + bx + c = 0).

2.6. Užrašykite bendrąją visos kvadratinės lygties šaknų formulę.

(X 1 =; X 2 =)

2.7. Raskite kvadratinės lygties šaknų sumą.

2.8. Raskite kvadratinės lygties šaknų sandaugą.

2.9. Padarykite išvadą: nurodykite gautą rezultatą. Užsirašykite jį į užrašų knygelę.

(Gautas teiginys vadinamas Vietos teorema)

Papildomas klausimas.

Patikrinkite savo išvadas išspręsdami lygtį: -2x 2 + 8x + 3 = 0.

Papildoma užduotis.

Raskite šių kvadratinių lygčių šaknų sumą ir sandaugą:

A) x 2 – 5x + 6 = 0;

B) 3x 2 – 4x – 2 = 0;

B) x 2 – 6x + 24 = 0;

D) 6x 2 – 5x = 0.

2. Naudodami Vietos teoremą patikrinkite, ar teisingai rastos kvadratinės lygties šaknys.

Naudodami teoremą, atvirkštinę Vietos teoremai, raskite kvadratinės lygties šaknis:

A) x 2 + 11x – 12 = 0; b) 2 x 2 + 9x + 8 = 0; c) -3x 2 – 6x = 0; d) x 2 – 6 = 0.

Ypatingi atvejai sprendžiant kvadratines lygtis

ax 2 +bx + c = 0

1. jei a+b+c =0, tai x 1 = 1, x 2 =

2. jei a-b+c =0, (arba a+c=b), tai x 1 = -1, x 2 = -

Pavyzdžiui: 3x 2 + 5x - 8 = 0 3 + 5 - 8 = 0 x 1 = 1 x 2 =

X 2 + 2x + 3 = 0 -1 +3 = 2 x 1 = -1 x 2 = 3

Išspręskite žodžiu:

3x 2 - 2x - 1 = 0 3x 2 - 5x - 8 = 0

X 2 – 3x + 2 = 0 4x 2 + 7x + 3 = 0

2002х 2 – 2003х + 1 = 0

Pirmiausia parašykime „minusą“,
Šalia jo p per pusę,
„Pliuso-minuso“ radikalus ženklas,
Mums pažįstamas nuo vaikystės.

Na, iš esmės, bičiuli,
Viskas išeina į nieką:
p per pusę ir kvadratu
Minus gražuolė q.

• 
  iš " Kūdikių monitoriai"(kita galimybė):

Ir po šaknimi tai labai naudinga
pusė p kvadratu
minusas q- Ir čia yra sprendimai,
tai yra lygties šaknys.

Teisingai vertas būti dainuojamas poezijoje

Vietos teorema apie šaknų savybes.

Kas yra geriau, nuosekliai pasakykite:

Padauginate šaknis ir frakcija yra paruošta:

Skaitiklis yra c, vardiklis yra a,

Ir šaknų suma taip pat yra trupmena

Net jei tai trupmena su minusu, kokia problema

Skaitiklis yra į, vardiklis yra a.
Naudota literatūra:

1. 
   Enciklopedinis jauno matematiko žodynas.

1. 
   Matematika. Pamatinės medžiagos. V.A.Gusevas, A.G.Mordkovičius. M. „Švietimas“ 1986 m
2. 
   Matematikos istorija mokykloje. G.I. Glazeris

1. 
   Algebra 8 klasė. redagavo S.A. Telyakovsky

Savivaldybės valdžia ugdymo įstaiga

„Ochkurovskaja vidurinė vidurinę mokyklą»

Nikolajevskis savivaldybės rajonas Volgogrado sritis

Vietos teorema

Užbaigė: Onoprienko Kristina,

8 klasės mokinys

MKOU "Ochkurovskaya vidurinė mokykla"

Nikolajevskio rajonas

Vadovas: E. A. Bulba

Su. Ochkurovka

2015

Turinys

Įvadas………………………………………………………………………………………………3

Pagrindinė dalis

1. Istorinis pagrindas………………………………………………………….4

2. Vietos teoremos įrodymas………………………………………………………..6

3. Lygčių bloko, išspręsto naudojant Vietos teoremą, sudarymas………………….8

4. Simuliatoriaus konstravimas…………………………………………………………10

Išvada

Praktinė projekto reikšmė………………………………………... 12

Išvados………………………………………………………………………………….13

Informacijos šaltinių sąrašas……………………………………………………14

Taikymas……………………………………………………………………..15

Teisingai vertas būti dainuojamas poezijoje

Vietos teorema apie šaknų savybes.
Kas yra geriau, pasakykite man, tokia nuoseklumas:
Kai padauginsite šaknis, frakcija yra paruošta!
Skaitiklis yra c, vardiklis yra a.
Ir trupmenos šaknų suma taip pat lygi.
Net ir su minusine trupmena, kokia problema!
Skaitiklyje b , vardiklyje a.

Įvadas

Projekto temos aktualumas: Vietos teoremos naudojimas yra unikali kvadratinių lygčių sprendimo žodžiu technika. Vadovėlyje yra labai mažai kvadratinių lygčių, kurias galima išspręsti naudojant Vietos teoremą. Aš ir mano klasės draugai darome klaidas.

Objektas tyrimai yra Vietos teorema, kaip neatsiejama kvadratinių lygčių sprendimo dalis algebros pamokose.

Tyrimo objektas – Vietos teorema ir lygčių bloko sudarymas, siekiant sustiprinti kvadratinių lygčių sprendimo įgūdžius.

Hipotezė: Aš pasiūliau, kad galite išmokti tiksliai išspręsti lygtis naudodami Vietos teoremą, naudodami treniruoklį.

Projekto tikslas : sukurti lygčių, išspręstų naudojant Vietos teoremą, simuliatorių.

Užduotys:

• išmokti Vietos teoremos atradimo istoriją;

  atlikti kvadrato koeficientų priklausomybės tyrimą

lygtis ir sandauga bei jos šaknų suma.

• išmokti įrodyti Vietos teoremą;

  savarankiškai sudaryti lygtis, kurias galima išspręsti naudojant Vietos teoremą

  sudaryti lygčių bloką ant popieriaus ir sukurti treniruoklį elektronine forma

  pasiūlykite savo klasės draugams treniruoklį lygtims spręsti naudojant Vietos teoremą

Metodai :

rezultatų palyginimas savarankiškas darbas prieš projektą ir po treniruotės kvadratinių lygčių sprendimas naudojant Vietos teoremą

tyrimas ir analizė elektroniniai šaltiniai ir literatūra

savarankiškas lygčių bloko ir simuliatoriaus sudarymo darbas

1.Istorinė informacija

Francois Viet gimė 1540 m. pietų Prancūzijoje, mažame Fanteney-le-Comte miestelyje.

Vieto tėvas buvo prokuroras. Sūnus pasirinko tėvo profesiją ir tapo teisininku, baigė Puatu universitetą. 1560 m. dvidešimties metų teisininkas pradėjo savo karjerą gimtajame mieste, bet po trejų metų išvyko tarnauti į didikų hugenotų de Parthenay šeimą. Jis tapo namo savininko sekretoriumi ir dvylikametės dukros Kotrynos mokytoja. Būtent mokymas sužadino jauno teisininko susidomėjimą matematika.

Kai studentė užaugo ir susituokė, Viet nesiskyrė su šeima ir persikėlė su ja į Paryžių, kur jam buvo lengviau sužinoti apie pirmaujančių Europos matematikų pasiekimus. Jis bendravo su iškiliu Sorbonos profesoriumi Ramusu ir draugiškai susirašinėjo su didžiausiu Italijos matematiku Raphaeliu Bombelli.

1571 metais Vietas perėjo į valstybės tarnyba, tapęs parlamento patarėju, o vėliau – Prancūzijos karaliaus Henriko III patarėju.

1580 metais Henrikas III paskyrė Vietą į svarbų valdišką reketininko postą, suteikusį teisę kontroliuoti įsakymų vykdymą šalyje ir sustabdyti stambiųjų feodalų įsakymus.

1584 m., Guisų primygtinai reikalaujant, Vieta buvo pašalinta iš pareigų ir išsiųsta iš Paryžiaus. Radęs ramybę ir atsipalaidavimą, mokslininkas išsikėlė tikslą sukurti visapusišką matematiką, kuri leistų išspręsti bet kokias problemas.

Vietas išdėstė savo tyrimų programą ir išvardijo traktatus, kuriuos vienija bendra koncepcija ir parašyta matematinė kalba nauja raidžių algebra, garsiajame „Analitinės dailės įvade“, išleistame 1591 m. Savo požiūrio pagrindu Vietas pavadino rūšių logistika, jis aiškiai skyrė skaičius, kiekius ir ryšius, surinkdamas juos į tam tikrą „rūšių“ sistemą. Ši sistema apėmė, pavyzdžiui, kintamuosius, jų šaknis, kvadratus, kubus, kvadratus ir kt. Šiems tipams Vietas suteikė ypatingą simboliką, nurodydamas juos. didžiosiomis raidėmis Lotynų abėcėlė. Nežinomiems kiekiams buvo naudojamos balsės, kintamiesiems - priebalsiai.

Viète parodė, kad operuojant simboliais galima gauti bet kokiems atitinkamiems dydžiams taikytiną rezultatą, tai yra išspręsti problemą bendra forma. Tai reiškė radikalių algebros raidos pokyčių pradžią: tapo įmanomas pažodinis skaičiavimas.

Garsioji teorema, nustatanti ryšį tarp daugianario koeficientų ir jo šaknų, buvo paskelbta 1591 m. Dabar jis pavadintas Vieta, o pats autorius jį suformulavo taip: „Jei B + D padauginus A, atėmus A kvadratą lygus BD, tada A lygus B ir lygus D.

Savo traktate „Geometrijos priedai“ jis siekė sukurti savotišką geometrinę algebrą, naudodamas geometrinius metodus, spręsdamas trečiojo ir ketvirtojo laipsnių lygtis. Vietas teigė, kad galima išspręsti bet kurią trečiojo ir ketvirtojo laipsnio lygtį geometrinis metodas kampo trišakį arba sukonstruojant du vidutinius proporcinguosius.

Matematikai šimtmečius domėjosi trikampių sprendimo klausimu, nes tai padiktavo astronomijos, architektūros ir geodezijos poreikiai. Vietas pirmasis aiškiai suformulavo žodinė forma kosinusų teorema, nors atitikmenys buvo naudojami sporadiškai nuo pirmojo amžiaus prieš Kristų. Trikampio sprendimo atvejis naudojant dvi nurodytas kraštines ir vieną iš priešingų kampų, anksčiau žinomas dėl savo sudėtingumo, gavo išsamią Vietos analizę. Vietai suteikė gilios algebros žinios didelė nauda. Be to, jo susidomėjimą algebra iš pradžių lėmė taikymas trigonometrijoje ir astronomijoje. Kiekvienas naujas algebros taikymas ne tik davė impulsą naujiems trigonometrijos tyrimams, bet ir gauti trigonometriniai rezultatai buvo šaltinis. svarbių laimėjimų algebra. Vieta visų pirma yra atsakinga už kelių lankų sinusų (arba akordų) ir kosinusų išraiškų išvedimą.

Kai kurių Prancūzijos dvariškių atsiminimuose yra nuoroda, kad Vietas buvo vedęs, kad jis turėjo dukterį, vienintelę dvaro įpėdinę, po kurios Vietas buvo vadinamas Seigneur de la Bigautier. Teismo naujienose Markizas Letual rašė: „... 1603 m. vasario 14 d. Pone Viet, reketininkas, puikaus sumanumo ir protingumo žmogus ir vienas geriausių mokslininkai matematikai amžiuje mirė... Paryžiuje. Jam buvo daugiau nei šešiasdešimt metų“.

2. Vietos teoremos įrodymas

3. Lygčių bloko ir elektroninio treniruoklio sudarymas

X 2 + 17x - 38 = 0,

X 2 - 16x + 4 = 0,

3x 2 + 8x - 15 = 0,

7x 2 + 23x + 5 = 0,

X 2 + 2x - 3 = 0,

X 2 + 12x + 32 = 0,

X 2 - 7x + 10 = 0,

X 2 - 2x - 3 = 0,

X 2 + 12x + 32 = 0,

2x 2 - 11x + 15 = 0,

3x 2 + 3x - 18 = 0,

2x 2 - 7x + 3 = 0,

X 2 + 17x - 18 = 0,

X 2 - 17x - 18 = 0,

X 2 - 11x + 18 = 0,

X 2 + 7x - 38 = 0,

X 2 - 9x + 18 = 0,

X 2 - 13x + 36 = 0,

X 2 - 15x + 36 = 0,

X 2 - 5x - 36 = 0.

X 2 + x – 2 = 0

X 2 + 2x – 3 =0

X 2 - 3x + 2 =0

X 2 – x – 2 = 0

X 2 - 2x - 3 =0

X 2 – 3x – 4 = 0

x 2 +17 x -18=0

x 2 + 23 x – 24=0

x 2 – 39x-40 =0

x 2 – 37 kartus – 38=0

x 2 – 3x – 10 = 0

x 2 – 5x + 3 = 0

x 2 + 8 x – 11 = 0

x 2 + 6x + 5 = 0

x 2 – x – 12 = 0

x 2 + 5 x + 6 = 0

x 2 + 3 x – 10 = 0

x 2 – 8 x– 9 = 0

X 2 + x – 56 = 0

X 2 – 19x + 88 = 0

X 2 – 4x – 4 = 0

x 2 -15x+14=0

x 2 +8x+7=0

x 2 +9x+20=0

x 2 +18x -11 = 0

x 2 +27x – 24 = 0

5x 2 +10x – 3 = 0

3x 2 - 16x +9 = 0

x 2 +18x -11 = 0

x 2 +27x – 24 = 0

4x-21=0

4x-21=0

x 2 -15x+56=0

x 2 -4x-60=0

x 2 +5x+6=0

2x-3=0

x 2 +18x+81=0

X-20=0

x 2 +4x+21=0

x 2 -10x-24=0

x 2 + x-56=0

x 2 -x-56=0

x 2 +3x+2=0

x 2 +5x-6=0

x 2 -18x+81=0

x 2 -9x+20=0

x 2 -5 X +6=0

x 2 -4x-21=0

X 2 - 7x+6=0

x 2 -15x+56=0

X 2 – 3x + 2 = 0

X 2 – 4x + 3 = 0

X 2 – 2x + 4 = 0

X 2 – 2x + 5 = 0

X 2 – 2x + 6 = 0

X 2 – 11x + 24 = 0

X 2 + 11x – 30 = 0

X 2 + x – 12 = 0

x 2 – 6x + 8 = 0

X 2 – 15x + 14 = 0

x 2 – 15x + 14 = 0

x 2 + 4 x -21 =0

X 2 + x – 42 =0

X 2 – x – 20 =0

X 2 + 4 x -32 = 0

X 2 - 2x – 35 =0

X 2 + x - 20 =0

X 2 + 7 x + 10 =0

X 2 - x - 6 = 0

X 2 + 2x+0 =0

X 2 + 6 x+0 =0

X 2 + 3x - 18 = 0

X 2 + 5 x -24=0

X 2 - 2 x - 24 = 0

X 2 – 15x + 14 = 0

X 2 + 8x + 7 =0

X 2 + 9x – 20=0

X 2 – 6x – 7 = 0

X 2





4. Praktinė projekto reikšmė

Taikymas 8 klasės algebros pamokose ir baigiamajame OGE kartojime

Išvados:

Mano darbo rezultatas yra kvadratinių lygčių blokas, kurį galima išspręsti naudojant Vietos teoremą.

Mane patraukė darbas lengviausias būdas buvo sukurti kvadratines lygtis, kuriose laisvasis narys randamas pagal daugybos lentelę. Dabar aš ne tik tiksliai surandu lygties šaknis naudodamas Vietos teoremą, bet ir taikau ją tikrindamas bet kurios kvadratinės lygties sprendimą.

Naudodamiesi treniruokliu, mano klasės draugai ir aš išmokome išspręsti kvadratines lygtis pagal Vietos teoremą.

Informacijos šaltinių sąrašas:

1. Nuorodos

   1. Algebra 8 klasė: vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigoms. G.V.Dorofejevas, S. B. Suvorova

      Didaktinė medžiaga apie algebrą 8 klasei. V.I. Žokovas, Yu.N.Makaričevas, N.G. M.: Išsilavinimas, 2000 m.

      Matematika.8 klasė: didaktinės medžiagosį vadovėlį „Matematika 8. Algebra“ / red. G. V. Dorofejeva. – M.: Bustard, 2012\

      valstybė galutinis sertifikatas. 9 klasė. Matematika. Teminės testo užduotys./L.D. Lappo, M.A. Popovas/-M.: Egzaminų leidykla, 2011 m

      Planuojamas rezultatas

      1. Informacinis

      Informacijos rinkimas, jos analizė

      Literatūros studija

      Medžiaga teorinei projekto daliai

      2.Organizacinis

      Analizė, apibendrinimas

      Lygčių bloko kūrimas

      Medžiaga darbui

      3. Technologinis etapas

      Lygčių parinkimas

      Simuliatoriaus kūrimas

      Simuliatorius

      4. Finalas

      Patirties apibendrinimas

      Išvados apie atliktus darbus, projekto apipavidalinimą

      Projektas. Kolekcijos dizainas. Meistriškumo klasė. Dalyvavimas konkurse.