Slopintų svyravimų amplitudės priklausomybė nuo laiko. Harmoniniai virpesiai – Žinių hipermarketas

1.21. 3 SVYDŽIAMI, PRIVERTINIAI VIRPIMAI

Slopintų virpesių diferencialinė lygtis ir jos sprendimas. Silpninimo koeficientas. Logaritminis denisslopinimo laikas.Virpesių kokybės faktoriuskūno sistema.Periodinis procesas. Priverstinių svyravimų diferencialinė lygtis ir jos sprendimas.Priverstinių svyravimų amplitudė ir fazė. Virpesių nustatymo procesas. Rezonanso atvejis.Savaiminiai svyravimai.

Virpesių slopinimas yra laipsniškas svyravimų amplitudės mažėjimas laikui bėgant dėl ​​svyravimo sistemos energijos praradimo.

Natūralūs svyravimai be slopinimo yra idealizacija. Sumažėjimo priežastys gali būti skirtingos. Mechaninėje sistemoje vibracijas slopina trintis. Išnaudojus visą virpesių sistemoje sukauptą energiją, svyravimai sustos. Todėl amplitudė slopinami svyravimai mažėja, kol tampa lygus nuliui.

Slopinti svyravimai, kaip ir jų pačių, sistemose, kurios skiriasi savo pobūdžiu, gali būti vertinamos vienu požiūriu – bendromis charakteristikomis. Tačiau tokias charakteristikas kaip amplitudė ir periodas reikia apibrėžti iš naujo, o kitas reikia papildyti ir paaiškinti, palyginti su tomis pačiomis savybėmis, būdingomis natūraliems neslopintiems virpesiams. Bendrieji ženklai ir slopintų svyravimų sąvokos yra tokios:

Diferencialinė lygtis turi būti gauta atsižvelgiant į sumažėjimą svyravimo proceso metu vibracinė energija.

Virpesių lygtis yra diferencialinės lygties sprendimas.

Slopintų virpesių amplitudė priklauso nuo laiko.

Dažnis ir periodas priklauso nuo svyravimų slopinimo laipsnio.

Fazė ir pradinė fazė turi tą pačią reikšmę kaip ir nuolatiniai virpesiai.

Mechaniškai slopinami svyravimai.

Mechaninė sistema : spyruoklinė švytuoklė, atsižvelgiant į trinties jėgas.

Jėgos, veikiančios švytuoklę :

Elastinė jėga., kur k – spyruoklės standumo koeficientas, x – švytuoklės poslinkis iš pusiausvyros padėties.

Pasipriešinimo jėga. Apsvarstykite pasipriešinimo jėgą, proporcingas greičiui v judėjimas (ši priklausomybė būdinga didelei pasipriešinimo jėgų klasei): . Minuso ženklas rodo, kad pasipriešinimo jėgos kryptis yra priešinga kūno greičio krypčiai. Atsparumo koeficientas r skaitinis lygus jėgai pasipriešinimas, atsirandantis esant vienetiniam kūno judėjimo greičiui:

Judėjimo dėsnis spyruoklinė švytuoklė – tai antrasis Niutono dėsnis:

m a = F pvz. + F pasipriešinimas

Atsižvelgiant į tai, kad abu Antrąjį Niutono dėsnį rašome tokia forma:

. (21.1)

Padalinę visus lygties narius iš m ir perkeldami juos į dešinę pusę, gauname diferencialinė lygtis slopinami svyravimai:

Pažymėkime kur β – slopinimo koeficientas ,, Kur ω 0 – neslopintų laisvųjų virpesių dažnis, kai svyravimo sistemoje nėra energijos nuostolių.

Naujuose užrašuose diferencialinė lygtis slopinami svyravimai turi tokią formą:

. (21.2)

Tai antros eilės tiesinė diferencialinė lygtis.

Ši tiesinė diferencialinė lygtis išsprendžiama keičiant kintamuosius. Pavaizduokime funkciją x, priklausomai nuo laiko t, tokia forma:

.

Raskime pirmąją ir antrąją šios funkcijos išvestines laiko atžvilgiu, atsižvelgdami į tai, kad funkcija z taip pat yra laiko funkcija:

, .

Pakeiskime išraiškas į diferencialinę lygtį:

Pateikime panašius lygties terminus ir kiekvieną terminą sumažinkime , gausime lygtį:

.

Pažymime kiekį .

Lygties sprendimas yra funkcijos, .

Grįžę prie kintamojo x, gauname slopintų virpesių lygčių formules:

Taigi , slopintų svyravimų lygtis yra diferencialinės lygties (21.2) sprendimas:

Slopinamas dažnis :

(fizinę reikšmę turi tik tikroji šaknis, todėl ).

Slopintų svyravimų laikotarpis :

(21.5)

Prasmė, kuri buvo įtraukta į neslopintų svyravimų periodo sąvoką, nėra tinkama slopinti virpesiams, nes svyravimo sistema niekada negrįžta į pradinę būseną dėl svyravimo energijos nuostolių. Esant trinčiai, vibracijos yra lėtesnės: .

Slopintų svyravimų laikotarpis yra minimalus laikotarpis, per kurį sistema du kartus pereina pusiausvyros padėtį viena kryptimi.

Mechaninei sistemai spyruoklinė švytuoklė mes turime:

, .

Slopintų virpesių amplitudė :

Spyruoklinei švytuoklei.

Slopintų virpesių amplitudė nėra pastovi vertė, bet laikui bėgant kinta, tuo greičiau didesnis koeficientasβ. Todėl amplitudės apibrėžimas, anksčiau pateiktas neslopintiems laisviesiems virpesiams, turi būti pakeistas slopintiems virpesiams.

Mažiems slopinimams slopintų virpesių amplitudė vadinamas didžiausiu nukrypimu nuo pusiausvyros padėties per laikotarpį.

Diagramos Poslinkio ir laiko bei amplitudės ir laiko diagramos pateiktos 21.1 ir 21.2 paveiksluose.

21.1 pav. Poslinkio priklausomybė nuo slopintų virpesių laiko.

21.2 pav. – Slopintų virpesių amplitudės priklausomybė nuo laiko

Slopintų svyravimų charakteristikos.

1. Silpninimo koeficientas β .

Slopintų virpesių amplitudė kinta pagal eksponentinį dėsnį:

Tegul virpesių amplitudė per laiką τ sumažėja „e“ kartų („e“ yra natūraliojo logaritmo pagrindas, e ≈ 2,718). Tada, viena vertus, , o kita vertus, aprašęs amplitudes A zat. (t) ir A zat. (t+τ), turime . Iš šių ryšių išplaukia, kad βτ = 1, taigi .

Laiko praleidimas τ , kurio metu amplitudė sumažėja „e“ kartų, vadinamas atsipalaidavimo laiku.

Silpninimo koeficientas β – dydis, atvirkščiai proporcingas atsipalaidavimo laikui.

2. Logaritminio slopinimo mažinimas δ - fizinis kiekis, skaičiai lygus natūralusis logaritmas dviejų vienas po kito einančių amplitudių, laiko atžvilgiu atskirtų periodu, santykis.

Jei slopinimas mažas, t.y. β reikšmė yra maža, tada amplitudė per laikotarpį šiek tiek kinta, o logaritminį mažėjimą galima apibrėžti taip:

,

kur yra A zat. (t) ir A zat. (t+NT) – svyravimų amplitudės momentu e ir po N periodų, t.y. momentu (t + NT).

3. Kokybės faktorius K svyravimo sistema – bematis fizikinis dydis, lygus dydžio (2π) ν ir sistemos energijos W(t) savavališku laiko momentu sandaugai su energijos praradimu per vieną slopintų virpesių periodą:

.

Kadangi energija yra proporcinga amplitudės kvadratui, tada

Esant mažoms logaritminio mažėjimo δ reikšmėms, virpesių sistemos kokybės koeficientas yra lygus

,

kur N e yra virpesių, kurių metu amplitudė sumažėja „e“ kartų, skaičius.

Taigi, spyruoklinės švytuoklės kokybės koeficientas yra kuo didesnis svyravimo sistemos kokybės koeficientas, tuo mažesnis slopinimas, tuo ilgiau tęsis periodiškas procesas tokioje sistemoje. Virpesių sistemos kokybės faktorius - bematis dydis, apibūdinantis energijos išsisklaidymą laikui bėgant.

4. Didėjant koeficientui β, slopinamųjų svyravimų dažnis mažėja ir periodas didėja. Esant ω 0 = β, slopintų svyravimų dažnis tampa lygus nuliui ω zat. = 0 ir T zat. = ∞. Šiuo atveju svyravimai praranda savo periodiškumą ir yra vadinami

periodinis. Kai ω 0 = β, sistemos parametrai, atsakingi už virpesių energijos sumažėjimą, įgauna reikšmes, vadinamas . kritiškas Spyruoklinės švytuoklės sąlyga ω 0 = β bus parašyta taip: iš kur rasime dydį

.

Ryžiai. 21.3. Aperiodinių svyravimų amplitudės priklausomybė nuo laiko

Priverstinės vibracijos.

Visi tikrieji svyravimai yra slopinami. Kad tikrieji svyravimai vyktų pakankamai ilgai, būtina periodiškai papildyti virpesių sistemos energiją, veikiant ją išorine periodiškai kintančia jėga.

Panagrinėkime svyravimų reiškinį, jei išorinis (priversti) jėga keičiasi laikui bėgant harmonijos dėsnis. Tokiu atveju sistemose atsiras svyravimai, kurių pobūdis vienu ar kitu laipsniu pakartos varomosios jėgos prigimtį. Tokie svyravimai vadinami priverstinis .

Bendrieji priverstinės mechaninės vibracijos požymiai.

1. Panagrinėkime priverstinius mechaninius spyruoklės švytuoklės svyravimus, kuriuos veikia išorinė (verčiant ) periodinė jėga . Jėgos, veikiančios švytuoklę, išėmusią iš pusiausvyros padėties, išsivysto pačioje svyravimo sistemoje. Tai elastingumo ir pasipriešinimo jėga.

Judėjimo dėsnis (antrasis Niutono dėsnis) bus parašytas taip:

(21.6)

Padalinkime abi lygties puses iš m, atsižvelgsime į tai ir gaukime diferencialinė lygtis priverstiniai svyravimai:

Pažymėkime ( β – slopinimo koeficientas ), (ω 0 – neslopintų laisvųjų virpesių dažnis), jėgos, veikiančios masės vienetą. Šiuose užrašuose diferencialinė lygtis priverstiniai svyravimai bus tokios formos:

(21.7)

Tai antros eilės diferencialinė lygtis, kurios dešinėje pusėje nėra nulio. Tokios lygties sprendimas yra dviejų sprendinių suma

.

– homogeninės diferencialinės lygties bendrasis sprendinys, t.y. diferencialinė lygtis be dešinės pusės, kai ji lygi nuliui. Žinome tokį sprendimą – tai slopintų svyravimų lygtis, tiksliai parašyta konstanta, kurios reikšmę lemia pradinės virpesių sistemos sąlygos:

Kur .

Anksčiau aptarėme, kad sprendimas gali būti parašytas sinusinėmis funkcijomis.

Jeigu svarstysime švytuoklės svyravimo procesą praėjus pakankamai ilgam laiko tarpui Δt įjungus varomąją jėgą (21.2 pav.), tai slopinami svyravimai sistemoje praktiškai sustos. Ir tada išspręskite diferencialinę lygtį su dešinėje pusėje bus sprendimas.

Sprendimas yra ypatingas nehomogeninės diferencialinės lygties sprendimas, t.y. lygtys su dešine puse. Iš diferencialinių lygčių teorijos žinoma, kad dešiniajai pusei keičiantis pagal harmonikos dėsnį, sprendimas bus harmoninė funkcija (sin arba cos), kurios kitimo dažnis atitinka dešinės pokyčio dažnį Ω. - rankinė pusė:

kur A ampl. – priverstinių virpesių amplitudė, φ 0 – fazės poslinkis , tie. fazių skirtumas tarp varomosios jėgos fazės ir priverstinio svyravimo fazės. Ir amplitudė A ampl. , o fazės poslinkis φ 0 priklauso nuo sistemos parametrų (β, ω 0) ir nuo varomosios jėgos dažnio Ω.

Priverstinių svyravimų laikotarpis lygus (21.9)

Priverstinių virpesių grafikas 4.1 pav.

21.3 pav. Priverstinių virpesių grafikas

Pastovios būsenos priverstiniai svyravimai taip pat yra harmoningi.

Priverstinių svyravimų ir fazių poslinkio amplitudės priklausomybės nuo išorinio poveikio dažnio. Rezonansas.

1. Grįžkime prie mechaninės spyruoklės švytuoklės sistemos, kurią veikia išorinė jėga, kuri kinta pagal harmoninį dėsnį. Tokios sistemos diferencialinė lygtis ir jos sprendimas atitinkamai yra tokios formos:

, .

Išanalizuokime svyravimų amplitudės ir fazių poslinkio priklausomybę nuo išorinės varomosios jėgos dažnio, kad tai padarytume, rasime x pirmąją ir antrąją išvestines ir pakeisime jas į diferencialinę lygtį.

Naudokime vektorinės diagramos metodą. Iš lygties matyti, kad trijų vibracijų suma kairėje lygties pusėje (4.1 pav.) turi būti lygi vibracijai dešinėje. Vektorinė diagrama sudaryta savavališkam laiko momentui t. Iš jo galite nustatyti.

21.4 pav.

, (21.10)

. (21.11)

Atsižvelgdami į , , reikšmę, gauname φ 0 ir A ampl formules. mechaninė sistema:

,

.

2. Tiriame priverstinių svyravimų amplitudės priklausomybę nuo varomosios jėgos dažnio ir pasipriešinimo jėgos dydžio svyruojančioje mechaninėje sistemoje, naudodamiesi šiais duomenimis sudarome grafiką . Tyrimo rezultatai atsispindi 21.5 paveiksle, iš kurio matyti, kad esant tam tikram varomosios jėgos dažniui svyravimų amplitudė smarkiai padidėja. Ir šis padidėjimas yra didesnis, tuo mažesnis slopinimo koeficientas β. Kai svyravimų amplitudė tampa be galo didelė.

Staigaus amplitudės padidėjimo reiškinys priverstiniai svyravimai, kurių varomosios jėgos dažnis lygus , vadinamas rezonansu.

(21.12)

21.5 paveiksle pateiktos kreivės atspindi ryšį ir yra vadinami amplitudės rezonanso kreivės .

21.5 pav. – Priverstinių svyravimų amplitudės priklausomybės nuo varomosios jėgos dažnio grafikai.

Rezonansinių virpesių amplitudė bus tokia:

Priverstinės vibracijos yra neslopinamas svyravimai. Dėl trinties neišvengiami energijos nuostoliai kompensuojami tiekiant energiją iš išorinis šaltinis periodiškai veikianti jėga. Yra sistemų, kuriose neslopinami svyravimai atsiranda ne dėl periodinių išorinių poveikių, o dėl tokių sistemų gebėjimo reguliuoti energijos tiekimą iš pastovaus šaltinio. Tokios sistemos vadinamos savaime svyruojantis, o neslopintų svyravimų procesas tokiose sistemose yra savaiminiai virpesiai.

Savaime svyruojančioje sistemoje galima išskirti tris būdingus elementus – virpesių sistemą, energijos šaltinį ir grįžtamąjį ryšį tarp virpesių sistemos ir šaltinio. Bet kuri mechaninė sistema, galinti atlikti savo slopintus virpesius (pavyzdžiui, sieninio laikrodžio švytuoklė), gali būti naudojama kaip svyravimo sistema.

Energijos šaltinis gali būti spyruoklės deformacijos energija arba potenciali apkrovos gravitaciniame lauke energija. Grįžtamojo ryšio įtaisas yra mechanizmas, kuriuo savaime svyruojanti sistema reguliuoja energijos srautą iš šaltinio. Fig. 21.6 paveiksle parodyta įvairių savaime svyruojančios sistemos elementų sąveikos schema.

Mechaninės savaime svyruojančios sistemos pavyzdys yra laikrodžio mechanizmas su inkaras progresas (21.7 pav.). Važiuojantis ratas su įstrižais dantimis yra standžiai pritvirtintas prie dantyto būgno, per kurį metama grandinė su svarmeniu. Viršutiniame švytuoklės gale yra inkaras (inkaras) su dviem kietos medžiagos plokštėmis, išlenktomis išilgai apskrito lanko, kurio centras yra švytuoklės ašyje. Rankiniuose laikrodžiuose svorį pakeičia spyruoklė, o švytuoklę – balansuotojas – rankinis ratas, sujungtas su spiraline spyruokle.

Balansuotojas aplink savo ašį atlieka sukimo virpesius. Laikrodžio virpesių sistema yra švytuoklė arba balansavimo priemonė. Energijos šaltinis yra pakeltas svoris arba suvyniota spyruoklė. Prietaisas, su kuriuo tai atliekama atsiliepimai, yra inkaras, leidžiantis bėgimo ratui pasukti vieną dantį per vieną pusę ciklo.

Atsiliepimus suteikia inkaro sąveika su bėgimo ratu. Su kiekvienu švytuoklės svyravimu važiuojančio rato dantis stumia inkaro šakę švytuoklės judėjimo kryptimi, perkeldamas jai tam tikrą energijos dalį, kuri kompensuoja energijos nuostolius dėl trinties. Taigi svorio (arba susuktos spyruoklės) potenciali energija palaipsniui, atskiromis porcijomis, perkeliama į švytuoklę.

Mechaninės savaime svyruojančios sistemos yra plačiai paplitusios aplinkiniame gyvenime ir technologijose. Savaiminiai virpesiai atsiranda garo varikliuose, vidaus degimo varikliuose, elektriniuose varpeliuose, lankstinių muzikos instrumentų stygose, oro kolonėlėse pučiamųjų instrumentų vamzdžiuose, balso stygos kalbant ar dainuojant ir pan.

5 skyrius

AMPLITUDĖS PRIKLAUSOMYBĖ NUO LAIKO

§ 1. Ramybės atomai; stacionarios būsenos

§ 2. Vienodas judėjimas

§ 3. Potenciali energija; energijos taupymas

§ 4. Pajėgos; klasikinė riba

§ 5. „Precesija“ dalelės su sukimu 1/2

Pakartokite: Ch. 17 (2 leidimas) „Erdvė-laikas“; Ch. 48 (4 leidimas) „Beats“

§ 1. Ramybės atomai; stacionarios būsenos

Dabar norime šiek tiek pakalbėti apie tai, kaip laikui bėgant veikia tikimybių amplitudės. Mes sakome „šiek tiek“, nes iš tikrųjų elgesys laike būtinai apima elgesį erdvėje. Tai reiškia, kad jei norime teisingai ir išsamiai apibūdinti elgesį, iškart atsiduriame labai sunkioje situacijoje. Prieš mus iškyla įprastas sunkumas – arba ką nors studijuoti griežtai logiškai, bet visiškai abstrakčiai, arba negalvoti apie griežtumą, o pateikti tam tikrą supratimą apie tikrąją reikalų būklę, nuodugnesnį tyrimą atidėti vėliau. Dabar, kalbėdami apie amplitudės priklausomybę nuo energijos, ketiname pasirinkti antrąjį metodą. Bus pateikta nemažai pareiškimų. Mes nesistengsime čia būti pernelyg griežti, o tiesiog papasakosime, kas buvo rasta, kad galėtumėte pajusti, kaip amplitudės elgiasi laikui bėgant. Vykstant mūsų pristatymui, aprašymo tikslumas didės, todėl nesijaudinkite pamatę, kaip magas ištraukia daiktus iš oro. Jie tikrai kyla iš kažko neapčiuopiamo – iš eksperimento dvasios ir iš daugelio žmonių vaizduotės. Tačiau pereiti visus dalyko istorinės raidos etapus yra labai ilgas procesas ir kai kuriuos dalykus tiesiog teks praleisti. Galėjai pasinerti į abstrakcijas ir griežtai viską išvesti (bet vargu ar tai suprastum) arba atlikti daugybę eksperimentų, jais patvirtindamas kiekvieną savo teiginį. Pasirinksime kažką tarp jų.

Pavienis elektronas tuščioje erdvėje tam tikromis sąlygomis gali turėti labai specifinę energiją, pavyzdžiui, jei jis yra ramybės būsenoje (tai yra, jis neturi nei judančio judėjimo, nei impulso). kinetinė energija), tada jis turi poilsio energijos. Sudėtingesnis objektas, pavyzdžiui, atomas, ramybės būsenoje taip pat gali turėti tam tikrą energiją, bet taip pat gali pasirodyti, kad jis yra susijaudinęs viduje – sužadintas iki kitokio energijos lygio. (To mechanizmą apibūdinsime vėliau.) Dažnai esame teisūs manydami, kad sužadintos būsenos atomas turi tam tikrą energiją; tačiau iš tikrųjų tai tik apytiksliai tiesa. Atomas nelieka susijaudinęs amžinai, nes jis visada siekia iškrauti savo energiją sąveikaudamas su elektromagnetinis laukas. Taigi visada yra tam tikra amplitudė, kad atsiras nauja būsena – atomas bus žemesnėje būsenoje, o elektromagnetinis laukas – aukštesnėje. Bendra sistemos energija tiek prieš, tiek po to yra ta pati, tačiau energija atomas mažėja. Taigi nėra labai tikslu sakyti, kad sužadintas atomas turi tam tikras energija; bet dažnai taip sakyti patogu ir nelabai klaidingai.

[Beje, kodėl viskas teka vienaip, o ne kitaip? Kodėl atomas skleidžia šviesą? Atsakymas yra susijęs su entropija, kai energija yra elektromagnetiniame lauke, jai atsiskleidžia tiek daug. skirtingi keliai- yra tiek daug skirtingų vietų, kur jis gali patekti, - kad, ieškodami pusiausvyros sąlygos, esame įsitikinę, kad labiausiai tikėtinoje padėtyje laukas pasirodo sužadintas vienu fotonu, o atomas yra nesužadintas. Ir užtrunka daug laiko, kol fotonas sugrįžta ir supras, kad gali sužadinti atomą atgal. Tai visiškai analogiška klasikinė problema: Kodėl spinduliuoja pagreitintas krūvis? Ne todėl, kad „nori“ prarasti energiją, ne, nes iš tikrųjų jam spinduliuojant pasaulio energija išlieka tokia pati, kaip ir anksčiau. Tiesiog emisija arba absorbcija visada eina augimo kryptimi entropija.

Branduoliai taip pat gali egzistuoti skirtinguose energijos lygiai, ir apytiksliai, kai jie nepaiso elektromagnetiniai efektai, mes turime teisę teigti, kad sužadintos būsenos branduolys toks ir lieka. Nors žinome, kad taip nebus amžinai, dažnai naudinga pradėti nuo šiek tiek idealizuoto apytikslio, kurį lengviau pamatyti. Be to, tam tikromis aplinkybėmis tai yra teisinis suderinimas. (Kai pirmą kartą pristatėme klasikinius krintančių kūnų dėsnius, neatsižvelgėme į trintį, bet beveik niekada taip neatsitinka išvis nebuvo.)

Be to, yra ir „keistų dalelių“ su skirtingos masės. Tačiau masyvesni iš jų suyra į lengvesnius, todėl vėlgi būtų neteisinga sakyti, kad jų energija yra tiksliai nulemta. Tai būtų tiesa, jei jie tęstųsi amžinai. Taigi, kai apytiksliai laikome juos turinčiais tam tikrą energiją, pamirštame, kad jie turi irti. Tačiau dabar tokius procesus sąmoningai pamiršime, o paskui, laikui bėgant, išmoksime į juos atsižvelgti.

Tebūnie atomas (arba elektronas, ar bet kuri dalelė), turintis tam tikrą energiją ramybės būsenoje E 0 . Pagal energiją E 0 reiškia viso to masę, padaugintą iš Su 2. Masė apima bet kokią vidinę energiją; todėl sužadinto atomo masė skiriasi nuo to paties, bet pagrindinės būsenos atomo masės. (Pagrindinis būsena reiškia mažiausią energiją turinčią būseną.) Paskambinkime E 0 „poilsio energija“. Dėl atomo būsenoje ramybė, kvantinė mechaninė amplitudė kur nors rasti visur tas pats; iš jos padėties nepriklauso. Tai, žinoma, reiškia aptikimo tikimybė atomas bet kur yra tas pats. Bet tai reiškia dar daugiau. Tikimybė negalėjo priklausyti nuo pareigų, bet amplitudės fazė tuo pačiu metu jis vis tiek gali skirtis nuo taško. Tačiau ramybės būsenos dalelės bendra amplitudė visur yra vienoda. Tačiau tai priklauso nuo laiko. Tam tikros energijos būsenos dalelei E 0 , amplitudė aptikti dalelę taške (x, y, z)šiuo metu t lygus

Kur A - kažkoks pastovus. Buvimo tokiame ir tokiame erdvės taške amplitudė yra vienoda visiems taškams, bet priklauso nuo laiko pagal (5.1). Tiesiog manysime, kad ši taisyklė visada teisinga.

Žinoma, galite parašyti (5.1) taip:

A M- atominės būsenos arba dalelės ramybės masė. Yra trys skirtingi energijos nustatymo būdai: pagal amplitudės dažnį, pagal energiją į klasikine prasme arba pagal inertinę masę. Jie visi lygūs; tai paprasta skirtingais būdais išreikšti tą patį.

Jums gali pasirodyti keista įsivaizduoti, kad „dalelė“ su vienoda amplitudė yra bet kurioje erdvėje. Juk, be kita ko, „dalelę“ visada įsivaizduojame kaip smulkus daiktas, esantis „kažkur“. Tačiau nepamirškite neapibrėžtumo principo. Jei dalelė turi tam tikrą energiją, tai ji taip pat turi tam tikrą impulsą. Jei impulso neapibrėžtis lygi nuliui, tai neapibrėžtumo santykis D r D x=h sako, kad padėties neapibrėžtis turi būti begalinė; Būtent tai ir sakome, kai sakome, kad dalelės aptikimo visuose erdvės taškuose yra ta pati amplitudė.

Jei vidinės atomo dalys yra skirtingos būsenos su skirtinga bendra energija, tai laikui bėgant amplitudė kinta skirtingai. Ir jei jūs nežinote, kokioje būsenoje yra atomas, tada bus tam tikra buvimo vienoje būsenoje amplitudė ir tam tikra buvimo amplitudė kitoje, ir kiekviena iš šių amplitudių turės savo dažnį. Tarp šių dviejų skirtingų komponentų bus trukdžių, pavyzdžiui, dūžių, kurios gali pasirodyti kaip kintama tikimybė. Atomo viduje kažkas „užvirs“, net jei jis „ilsisi“ ta prasme, kad jo masės centras nejudės. Jei atomas turi tik vieną specifinę energiją, tai amplitudė pateikiama pagal formulę (5.1) ir amplitudės modulio kvadratas nepriklauso nuo laiko. Todėl matote, kad jei daikto energija yra nustatyta ir jei užduodate klausimą apie tikimybės kažkas šiame dalyke, tada atsakymas nepriklauso nuo laiko. Nors jie patys amplitudės priklauso nuo laiko, bet jei energijos tam tikras, jie kinta kaip įsivaizduojamas eksponentinis ir absoliuti vertė(modulis) jų nekeičia.

Štai kodėl mes dažnai sakome, kad tam tikro energijos lygio atomas yra stacionari būsena. Jei matuojate ką nors jo viduje, pamatysite, kad laikui bėgant niekas (tikriausiai) nesikeičia. Kad tikimybė laikui bėgant kisti, turėtų būti trukdžių tarp dviejų amplitudių dviem skirtingais dažniais, o tai reikštų, kad nežinoma, kokia yra energija. Objektas turėtų vieną buvimo vienos energijos būsenos amplitudę ir kitą buvimo kitos energijos būsenoje amplitudę. Taigi į kvantinė mechanika kažkas aprašyta, jei elgesį tai „kažkas“ priklauso nuo laiko.

Jei yra atvejis, kai susimaišo dvi skirtingos būsenos skirtingos energijos, tada kiekvienos iš dviejų būsenų amplitudės kinta laikui bėgant pagal (5.2) lygtį, tarkime, kaip

Ir jei yra šių dviejų būsenų derinys, atsiras trukdžių. Tačiau atkreipkite dėmesį, kad tos pačios konstantos pridėjimas prie abiejų energijų nieko nekeičia. Jei kas nors kitas naudojo kitokią energijos skalę, kurioje visos energijos perkeliamos konstanta (tarkime, A), tada amplitudės, turinčios būti šiose dviejose būsenose, jo požiūriu, būtų

Visos jo amplitudės būtų padaugintos iš to paties koeficiento

exp[- i(A/h)/t], ir visose tiesinėse kombinacijose, visuose trukdžiuose įeitų tas pats veiksnys. Apskaičiuodamas modulius tikimybei nustatyti, jis gautų tuos pačius atsakymus. Atskaitos taško pasirinkimas mūsų energijos skalėje nieko nekeičia; energiją galima skaičiuoti nuo bet kurio nulio. Reliatyvistiniams uždaviniams patogiau matuoti energiją taip, kad į ją būtų įtraukta likusi masė, tačiau daugeliui kitų nereliatyvistinių tikslų dažnai geriau iš visų atsirandančių energijų atimti standartinį dydį. Pavyzdžiui, atomo atveju paprastai patogu iš 2 atimti energiją M s, kur M s - svorio individualus jo dalys, branduolys ir elektronai, be abejo, skiriasi nuo paties atomo masės. Kitose problemose naudinga skaičių atimti iš visų energijų M g c 2 , Kur M g - viso atomo masės dažniausiai būklė; tada likusi energija yra tiesiog atomo sužadinimo energija. Tai reiškia, kad kartais mes turime teisę labai, labai perkelti savo nulinę energiją, o tai vis tiek nieko nekeičia (su sąlyga, kad visos energijos šiame konkrečiame skaičiavime pasislinks tuo pačiu skaičiumi). Taip atsiskirsime nuo ramybės būsenos dalelių.

§ 2. Vienodas judėjimas

Jei manysime, kad reliatyvumo teorija yra teisinga, tai dalelė ramybės būsenoje vienoje inercinė sistema, gali būti kitame inerciniame rėme vienodas judesys. Likusiame dalelės kadre tikimybės amplitudė visiems x, y Ir z yra tas pats, bet priklauso nuo t. Didumas amplitudės visiems t yra tas pats, ir fazė priklauso nuo t. Mes galime gauti amplitudės elgsenos vaizdą, jei nubrėžiame linijas lygi fazė(tarkim nulis) kaip funkcijas X Ir t. Ramybės dalelės atveju šios vienodos fazės linijos yra lygiagrečios ašiai X ir yra išilgai ašies tįjungta vienodais atstumais(5.1 pav. parodyta punktyrinėmis linijomis).

Fig. 5.1. Reliatyvistinė amplitudės transformacija ramybės būsenoje. dalelės patenka į x-t sistemą.

Kitoje sistemoje, X", y, z, t, juda dalelės atžvilgiu, tarkime, kryptimi X, koordinates X" Ir t" kai kurie privatus taškas erdvės yra susijusios su X Ir t Lorenco transformacija. Ši transformacija gali būti pavaizduota grafiškai, nubrėžus ašis X" Ir t“, kaip parodyta pav. 5.1 [žr Ch. 17 (2 leidimas), pav. 17.2]. Jūs matote, kas yra sistemoje x"--t" vienodos fazės taškai išilgai ašies t" išsidėstę skirtingais atstumais, todėl laikinų pakitimų dažnis yra skirtingas. Be to, fazė keičiasi pagal X". y., tikimybės amplitudė turi būti funkcija X".

Pagal Lorentzo transformaciją greičiui v nukreiptas, tarkim, kartu neigiama kryptis X. laiko t susiję su laiku t" formulę

ir dabar mūsų amplitudė keičiasi taip:

Išbrokuotoje sistemoje jis kinta erdvėje ir laike. Jei amplitudė parašyta formoje

tada aišku E" r =E 0 /C( 1-v 2 /s 2). Tai energija, apskaičiuota taikant klasikines dalelės su ramybės energija taisykles E 0 , juda greičiu v; p"=E" p v/c 2 - atitinkamą dalelės impulsą.

Tu tai žinai X m =(t, x, y, z) ir r m =(E, p X , p y , r G ) - keturių vektorių, a p m x m = Et-p x-skaliarinis invariantas. Likusiame dalelės rėmelyje p m x m tiesiog lygus Et; Tai reiškia, kad konvertavus į kitą sistemą Et turėtų būti pakeistas

Taigi, dalelės, kurios impulsas yra, tikimybės amplitudė r, bus proporcinga

Kur E r - judesio dalelės energija p, t.y.

A E 0 , kaip ir anksčiau, poilsio energija. Nereliatyvistinėse problemose galima rašyti

Kur W p - energijos perteklius (arba trūkumas), palyginti su likusia energija M s iš 2 atomo dalių. Apskritai, in W p turėtų patekti ir kinetinė atomo energija, ir jo rišimo arba sužadinimo energija, kurią galima pavadinti „vidine“ energija. Tada rašytume

o amplitudės turėtų formą

Visus skaičiavimus atliksime ne reliatyvistiškai, todėl naudosime būtent tokį tikimybių amplitudės tipą.

Atkreipkite dėmesį, kad mūsų reliatyvistinė transformacija suteikė mums formulę, kaip pakeisti erdvėje judančio atomo amplitudę, nereikalaujant jokių papildomų prielaidų. Jos pokyčių erdvėje bangos skaičius, kaip matyti iš (5.9), yra lygus

taigi ir bangos ilgis

Tai yra tas pats bangos ilgis, kurį anksčiau naudojome dalelėms su impulsu r. Būtent tokiu būdu de Broglie pirmą kartą priėjo prie šios formulės. Judančiai dalelei dažnis amplitudės pokytis vis dar pateikiamas formule

Absoliuti reikšmė (5.9) yra tiesiog vienybė, taigi dalelei, judančia su tam tikra energija tikimybė jį rasti bet kur yra visur vienoda ir laikui bėgant nekinta. (Svarbu pažymėti, kad amplitudė yra visapusiškas banga. Jei naudotume tikrą sinuso bangą, jos kvadratas keistųsi iš taško į tašką, o tai būtų neteisinga.)

Žinoma, žinome, kad pasitaiko atvejų, kai dalelės juda iš vienos vietos į kitą, todėl tikimybė priklauso nuo padėties ir kinta laikui bėgant. Kaip tokius atvejus reikėtų apibūdinti? Tai galima padaryti atsižvelgiant į amplitudes, kurios yra dviejų arba dviejų superpozicija daugiau amplitudės būsenoms su tam tikra energija. Šią situaciją jau aptarėme sk. 48 (4 leidimas), o būtent tikimybių amplitudėms! Tada mes nustatėme, kad dviejų amplitudių su skirtingais bangų skaičiais suma k(t. y. impulsai) ir dažniai w (t. y. energijos) sukelia trukdžių smūgius arba dūžius, todėl amplitudės kvadratas kinta tiek erdvėje, tiek laike. Taip pat nustatėme, kad šie dūžiai juda vadinamuoju „grupės greičiu“, apibrėžtu formule

kur Dk ir Dw yra dviejų bangų bangų skaičiaus ir dažnių skirtumai. Sudėtingesnėse bangose, sudarytose iš daugelio panašių dažnių amplitudių sumos, grupės greitis yra lygus

Kadangi w =E r /h, a k = p/h, Tai

Tačiau iš (5.6) išplaukia, kad

ir nuo tada E p =Mc 2 , Tai

ir tai tiesiog klasikinis greitis dalelės. Netgi naudodami nereliatyvistines išraiškas turėsime

y., vėl klasikinis greitis.

Todėl mūsų rezultatas yra toks, kad jei yra kelios gryno amplitudės energetinė būsena su beveik ta pačia energija, tada jų trukdžiai sukelia tikimybių „sprogius“, kurie erdvėje juda dideliu greičiu vienodas greitis klasikinė dalelė su tokia pačia energija. Tačiau reikia pažymėti, kad kai sakome, kad galime pridėti dvi amplitudes su skirtingais bangų skaičiais, kad gautume judančią dalelę atitinkančius paketus, mes pristatome kažką naujo – tai, kas nėra kilusi iš reliatyvumo teorijos. Mes pasakėme, kaip keičiasi nejudančios dalelės amplitudė, o tada iš to padarėme išvadą, kaip ji pasikeistų, jei dalelė judėtų. Tačiau iš šių samprotavimų mes negalintis nuspręskite, kas nutiktų, jei būtų du bangos juda skirtingu greičiu. Jei sustabdysime vieną iš jų, negalėsime sustabdyti kito. Taigi tyliai pridėjome dar vienas hipotezė: be to, kad (5.9) yra galima sprendimas, mes. pripažįstame, kad ta pati sistema gali turėti kitų sprendimų su visokiais p ir kad skirtingi terminai trukdys.

§ 3. Potenciali energija; energijos taupymas

O dabar norėtume išsiaiškinti klausimą, kas atsitiks; kai gali pasikeisti dalelės energija. Pradėkime galvodami apie dalelę, kuri juda potencialo aprašytame jėgų lauke. Pirmiausia panagrinėkime pastovaus potencialo poveikį. Tarkime, kad turime didelę metalinę dėžę, kurią įkrovėme iki tam tikro dydžio elektrostatinis potencialas j (5.2 pav.).

|Pav. 5.2. Dalelė, kurios masė M ir impulsas p yra pastovaus potencialo srityje.

Jei dėžutės viduje yra įkrautų objektų, tada jų potenciali energija bus lygi q j; šį skaičių pažymėsime raide V. Pagal sąlygą jis visiškai nepriklauso nuo paties objekto padėties. Jokio primetimo potencialo fiziniai pokyčiai dėžutės viduje neįvyks, nes pastovus potencialas nieko nekeičia to, kas vyksta dėžutės viduje. Tai reiškia, kad dėsnis, pagal kurį dabar keisis amplitudė, negali būti išvestas. Galima tik spėlioti. Štai, teisingas atsakymas – atrodo maždaug taip, kaip tikėjotės: vietoj energijos reikia įdėti sumą potenciali energija V ir energija E r , kuri pati yra vidinės ir kinetinės energijos suma. Tada amplitudė bus proporcinga

Bendrasis principas yra koeficientas ties t, kurią būtų galima pavadinti co, visada duodama pilna energija sistema: vidinė energija („masės energija“) plius kinetinė energija ir potenciali energija:

Arba nereliatyvistiniu atveju

Na, ką galime pasakyti apie fizinius reiškinius dėžutės viduje? Jeigu fizinę būklę ne vienas, o keli, tada ką mes gauname? Iki kiekvieno amplitudės įeis valstybė tas pats papildomas veiksnys

e -( i / h ) Vt

už tai, kas ten buvo V=0. Tai niekuo nesiskiria nuo mūsų energijos skalės nulio perkėlimo. Gausite vienodą visų amplitudių visų fazių poslinkį, ir tai, kaip matėme anksčiau, nekeičia jokių tikimybių. Visi fiziniai reiškiniai išlieka tokie patys. (Mes manėme, kad mes kalbame apie O skirtingos valstybės tas pats įkrautas objektas, todėl q j yra vienodas visiems. Jei objektas galėtų pakeisti savo krūvį, pereidamas iš vienos būsenos į kitą, tada gautume visiškai kitokį rezultatą, tačiau krūvio išsaugojimas mus nuo to apsaugo.)

Iki šiol mūsų prielaida atitiko tai, ko būtų galima tikėtis paprastas pakeitimas energijos atskaitos lygis. Bet jei tai iš tikrųjų tiesa, tai turi būti tiesa ir potencialiai energijai, kuri nėra tiesiog pastovi. Apskritai V gali savavališkai kisti tiek laike, tiek erdvėje, o galutinis amplitudės rezultatas turi būti išreikštas diferencialinių lygčių kalba. Bet mes nenorime pradėti iš karto bendras atvejis, bet apsiribokime tuo, kas vyksta. Taigi kol kas atsižvelgsime tik į potencialą, kuris yra pastovus laike ir lėtai kinta erdvėje. Tada galėsime lyginti klasikines ir kvantines sąvokas.

Tarkime, kad mes galvojame apie atvejį, pavaizduotą Fig. 5.3, kur dvi dėžės palaikomos esant pastoviems potencialams j 1 ir j 2, o srityje tarp jų potencialas sklandžiai kinta nuo j 1 iki j 2.

Fig. 5.3. Amplitudė dalelėms, judančioms iš vieno potencialo į kitą.

Įsivaizduokime, kad kuri nors dalelė turi amplitudę, kad atsidurtų viename iš šių regionų. Taip pat darykime prielaidą, kad impulsas yra pakankamai didelis, kad bet kuriame mažame regione, kuriame yra daug bangos ilgių, potencialas būtų beveik pastovus. Tada turime teisę manyti, kad bet kurioje erdvės dalyje amplitudė turi atrodyti taip (5.18), tik V Kiekviena erdvės dalis turės savo.

Pasvarstykime ypatingas atvejis, kai j 1 =0, tai pirmame langelyje potencinė energija lygi nuliui, antroje tegul q j 2 bus neigiamas, todėl klasikiniu požiūriu jame esančios dalelės kinetinė energija bus didesnė. Klasikine prasme jis judės greičiau antroje dėžutėje, todėl turės didesnį pagreitį. Pažiūrėkime, kaip tai gali atsirasti iš kvantinės mechanikos.

Remiantis mūsų prielaidomis, amplitudė pirmajame langelyje turėjo būti proporcinga

Darysime prielaidą, kad visi potencialai laikui bėgant yra pastovūs, todėl sąlygos niekas nesikeičia. Tada manysime, kad amplitudės (t. y. jos fazės) pokyčiai visur turi tą patį poveikį. dažnis, nes „aplinkoje“ tarp dėžių, taip sakant, nėra nieko, kas priklauso nuo laiko. Jei erdvėje niekas nesikeičia, tai galima daryti prielaidą, kad banga vienoje srityje visoje erdvėje „generuoja“ pagalbines bangas, kurios visos svyruoja vienodu dažniu ir, kaip šviesos bangos, einančios per materiją ramybės būsenoje, savo dažnio nekeičia. Jei (5.21) ir (5.22) dažniai yra vienodi, tada lygybė turi būti įvykdyta

Čia iš abiejų pusių yra tiesiog klasikinės suminės energijos, taigi (5.23) yra teiginys apie energijos išsaugojimą. Kitaip tariant, klasikinis teiginys apie energijos išsaugojimą yra gana tolygus kvantiniam mechaniniam teiginiui, kad dalelės dažniai visur yra vienodi, jei sąlygos laikui bėgant nesikeičia. Visa tai atitinka mintį, kad h w =E.

Konkrečiu atveju, kai V 1 =0, o V 2 yra neigiamas (5.23), tai reiškia p dar 2 r 1,t. Tai yra, 2 regione bangos yra trumpesnės. Lygios fazės paviršiai parodyti fig. 5.3 punktyrinė linija. Taip pat yra tikrosios amplitudės dalies grafikas, iš kurio taip pat galima pamatyti, kaip mažėja bangos ilgis judant iš 1 srities į 2 sritį. Grupinis bangų greitis lygus R/m, taip pat didėja, kaip ir galima tikėtis iš klasikinės energijos tvermės, nes jis tiesiog sutampa su (5.23).

Yra įdomus ypatingas atvejis, kai V 2 tampa toks didelis, kad V 2 - V 1 jau viršija p 2 1 /2M. Tada p 2 2 , pateikta pagal formulę

tampa neigiamas. O tai reiškia, kad r Tarkime, 2 yra įsivaizduojamas skaičius ip". Klasikiškai sakytume, kad dalelė niekada nepateks į 2 regioną, jai neužteks energijos įkopti į potencialų kalvą. Tačiau kvantinėje mechanikoje amplitudė vis dar pavaizduota lygtimi (5.22); jos pokyčiai erdvėje vis dar laikosi įstatymų

Bet vieną kartą p 2 - įsivaizduojamas skaičius, tada erdvinė priklausomybė virsta realia eksponentine. Jei, tarkime, dalelė pirmiausia pajudėjo ta kryptimi +x, tada amplitudė pradės keistis kaip

Su augimu X ji greitai krenta.

Įsivaizduokime, kad abi sritys su skirtingi potencialai yra labai arti vienas kito, todėl galima anergija staiga pasikeičia V 1 iki V 2 (5.4 pav., a).

Fig. 5.4. Amplitudė dalelei, kuri artėja prie labai atstumiančio potencialo.

Nubraižę tikrąją tikimybės amplitudės dalį, gauname priklausomybę, parodytą fig. 5.4, b. Banga 1 srityje atitinka dalelę, bandančią patekti į 2 sritį, tačiau ten amplitudė greitai mažėja. Yra tikimybė, kad ji bus pastebėta 2-oje srityje, kur ji yra klasikinė niekaip Taip nepasirodė, bet šito amplitudė labai maža (išskyrus vietą prie pačios sienos). Situacija labai panaši į tai, ką mes nustatėme vidinis atspindys Sveta. Paprastai šviesa neišeina, tačiau ją vis tiek galima pamatyti, jei ką nors pastatote bangos ilgiu ar dviem toliau nuo paviršiaus.

Atminkite, kad jei antrą paviršių pastatysite arti ribos, kur šviesa visiškai atsispindi, vis tiek galite gauti šviesos, kuri praskris per antrąją medžiagos gabalą. Tas pats nutinka ir su dalelėmis kvantinėje mechanikoje. Jei yra siauras plotas su tokiu dideliu potencialu V, Kadangi klasikinė kinetinė energija ten yra neigiama, dalelė niekada nepraeis pro ją. Tačiau kvantinėje mechanikoje eksponentiškai mažėjanti amplitudė gali prasibrauti per šią sritį ir suteikti silpną galimybę, kad dalelė bus rasta kitoje pusėje – kur kinetinė energija vėl yra teigiama. Visa tai parodyta pav. 5.5.

Fig. 5.5. Amplitudės prasiskverbimas per potencialų barjerą.

Poveikis vadinamas kvantiniu mechaniniu „barjerų įsiskverbimu“.

Kvantinės mechaninės amplitudės prasiskverbimas per barjerą pateikia urano branduolio a-skilimo paaiškinimą (arba aprašymą). A dalelės potencinės energijos priklausomybė nuo atstumo nuo centro parodyta fig. 5.6, A.

Fig. 5.6. A-dalelės potencialas urano (a) branduolyje ir kokybiška išvaizda tikimybių amplitudės (b).

Jei pabandytume nušauti a-dalelę su energija E iki šerdies tada ji pajustų elektrostatinį atstūmimą nuo branduolinio krūvio z ir pagal klasikinius kanonus nebūtų priartėję prie šerdies arčiau nei šis atstumas r 1, kurioje ji visos energijos bus lygus potencialui V. Tačiau kažkur branduolio viduje potenciali energija bus daug mažesnė dėl stiprios trumpojo nuotolio traukos branduolines pajėgas. Kaip tada galima paaiškinti kodėl radioaktyvus skilimas atrandame a-daleles, kurios, iš pradžių būdamos branduolio viduje, vėliau su energija atsiduria už jo ribų E?Nes jie yra. su energija nuo pat pradžių E, „nutekėjo“ per potencialų barjerą. Scheminis tikimybių amplitudės brėžinys pateiktas fig. 5.6, b, nors iš tikrųjų eksponentinis skilimas yra daug stipresnis nei parodyta. Gana nuostabu, kad vidutinė a-dalelės gyvavimo trukmė urano branduolyje siekia 4 1/2 milijardo metų, o natūralios vibracijos branduolio viduje yra itin greitos, jų būna 10 22 per sekundę! Kaip tai įmanoma nuo 10 iki 2 2 sek gauti skaičių 10 9 metų eilės? Atsakymas yra toks, kad eksponentinis koeficientas suteikia neįtikėtinai mažą koeficientą, kurio dydis yra 10–4 5, o tai lemia labai mažą, nors ir gana aiškią, nuotėkio tikimybę. Jei a-dalelė jau pateko į branduolį, tai beveik nėra amplitudės, kad ją aptiktų už branduolio ribų; Tačiau jei paimsite daugiau šių branduolių ir lauksite ilgiau, tada jums gali pasisekti ir pamatysite, kad dalelė iššoks.

§ 4. Pajėgos; klasikinė riba

Tarkime, kad dalelė juda per sritį, kurioje yra potencialas, kuris judesio metu skiriasi. Klasikiškai šį atvejį apibūdintume, kaip parodyta Fig. 5.7.

Fig. 5.7. Dalelės įlinkis skersiniu potencialo gradientu.

Jei dalelė juda kryptimi X ir patenka į regioną, kuriame yra potencialas, kuris kinta y, tada dalelė gaus skersinį pagreitį iš jėgos F=-dV/dy. Jei jėga yra tik ribotas plotas plotis w, tada jis galios tik tam tikrą laiką w/v. Dalelė gaus skersinį impulsą

p y = Fw/v

Tada įlinkio kampas dq bus lygus

Kur r - pradinis impulsas. Vietoj to pakeičiama F numeris - dV/dy, gauname

Dabar turime išsiaiškinti, ar šį rezultatą galima gauti naudojant idėją, kad bangos paklūsta (5.20) lygčiai. Į tą patį reiškinį pažvelgsime kvantmechaniškai, darydami prielaidą, kad visos jame esančios skalės yra daug didesnės už mūsų tikimybių amplitudės bangos ilgius. Bet kuriame mažame regione galime manyti, kad amplitudė skiriasi kaip

Ar galime pamatyti, kaip dalelės kada nors nukryps nuo čia V ar bus skersinis gradientas? Fig. 5.8 įvertinome, kaip atrodys tikimybių amplitudės bangos.

Fig. 5.8. Tikimybių amplitudė srityje su skersiniu potencialo gradientu.

Nubrėžėme „bangų mazgų“, kuriuos galite įsivaizduoti kaip, tarkime, paviršius, kurių amplitudės fazė lygi nuliui. Bet kuriame mažame regione bangos ilgis (atstumas tarp gretimų mazgų) yra

Kur r susijęs su V formulę

Teritorijoje, kur V daugiau, ten r mažesnės, o bangos ilgesnės. Todėl bangos mazgų linijų kryptis palaipsniui keičiasi, kaip parodyta paveikslėlyje.

Norėdami rasti bangos mazgų linijų nuolydžio pokytį, pažymime, kad dviem keliais A Ir b yra potencialų skirtumas D V=(dV/dy)D, taigi ir skirtumas D r tarp impulsų. Šį skirtumą galima gauti iš (5.28):

Bangos numeris p/val todėl jis taip pat skiriasi skirtingais keliais, o tai reiškia, kad fazės auga kartu su jais skirtingu greičiu. Fazių augimo greičio skirtumas yra D k=D r/val., o kaupė visą kelią w fazių skirtumas bus lygus

Šis skaičius rodo, kiek fazė palieka juostą palei kelią b„pakelia“ fazę kelyje A. Bet prie išėjimo iš juostos toks fazės pažengimas atitinka bangos mazgo pažangą dydžiu

Remiantis Fig. 5.8, matome, kad naujas bangos frontas pasisuks kampu dq, pateiktu formule

taigi ką mes turime

Ir tai sutampa su (5.26), jei pakeisime r/mįjungta v, ir D V/Dįjungta dV/d.

Ką tik gautas rezultatas yra teisingas tik tada, kai potencialas keičiasi lėtai ir sklandžiai – vadinamajame klasikinė riba. Mes parodėme, kad tokiomis sąlygomis gausime tuos pačius dalelių judėjimus, kurie būtų dėl F=ma, jei darome prielaidą, kad potencialas prisideda prie tikimybės amplitudės fazės, lygios Vt/val. Klasikinėje riboje kvantinė mechanika sutampa su Niutono mechanika.

§ 5. „Precesija“ dalelės su sukiniu 1 / 2

Atkreipkite dėmesį, kad mes nemanėme, kad mūsų potenciali energija yra kokia nors ypatinga, tai tiesiog energija, kurios išvestinė suteikia jėgą. Pavyzdžiui, Stern-Gerlach eksperimente energija turėjo formą U=-m·B; taigi, jei B turėjo erdvinį pokytį, buvo gauta jėga. Jei mums prireiktų kvantinio mechaninio eksperimento aprašymo, turėtume pasakyti, kad dalelių energija viename pluošte kinta viena kryptimi, o kito pluošto - atvirkštinė pusė, (magnetinė energija U gali būti įterptas į potencialią energiją V, arba į „vidinę“ energiją W;kur tiksliai yra visiškai nesvarbu.) Dėl energijos svyravimų bangos lūžta, spinduliai lenkiami aukštyn arba žemyn. (Dabar žinome, kad kvantinė mechanika numato tą patį kreivumą, kuris išplaukia iš klasikinės mechanikos skaičiavimo.)

Iš amplitudės priklausomybės nuo potencialios energijos taip pat išplaukia, kad dalelei, esančiai vienodame magnetiniame lauke, nukreiptame išilgai z ašies, tikimybės amplitudė laikui bėgant turi keistis pagal dėsnį.

daugiau nei būtų nutikę be lauko. Kadangi dalelės, kurios sukinys yra 1/2, reikšmė m z gali būti lygi plius arba minus kuriam nors skaičiui, tarkime m, tada dviem įmanomos būsenos vienodame lauke fazės keisis tuo pačiu greičiu priešingomis kryptimis. Amplitudės bus padaugintos iš

Šis rezultatas sukelia įdomių pasekmių. Tegul dalelė, kurios sukimasis yra 1/2, yra kokioje nors būsenoje, kuri nėra nei gryna sukimosi būsena, nei gryna sukimosi būsena. Jį galima apibūdinti per buvimo šiose dviejose būsenose amplitudes. Tačiau magnetiniame lauke šių dviejų būsenų fazės pradės keistis skirtingu greičiu. O jei užduosime kokį klausimą apie amplitudes, atsakymas priklausys nuo to, kiek laiko dalelė praleido šiame lauke.

Kaip pavyzdį apsvarstykite miuono skilimą magnetiniame lauke. Kai miuonai atsiranda dėl p mezonų skilimo, jie yra poliarizuoti (kitaip tariant, jie turi pageidaujamą sukimosi kryptį). Miuonai savo ruožtu skyla (vidutiniškai po 2,2 µs), išspinduliuojantis elektroną ir neutrinų porą:

Šiame skilimo metu paaiškėja, kad (bent jau esant didelei energijai) elektronai išspinduliuojami daugiausia ta kryptimi priešinga kryptimi miuono sukimas.

Tarkime, kad yra eksperimentinis prietaisas (5.9 pav.): poliarizuoti miuonai patenka iš kairės ir į materijos bloką. A sustoti ir šiek tiek vėliau suirti.

Fig.. 5.9. Eksperimentuokite su miuonų skilimu.

Išspinduliuoti elektronai paprastai užgęsta visomis įmanomomis kryptimis. Tačiau įsivaizduokime, kad visi miuonai pateks į stabdžių bloką A kad jų nugara būtų pasukta kryptimi X. Be magnetinis laukas būtų kažkoks kampinis irimo krypčių pasiskirstymas; norime sužinoti, kaip šis pasiskirstymas pasikeistų esant magnetiniam laukui. Galite tikėtis, kad laikui bėgant tai kažkaip pasikeis. Kas atsitiks, galima sužinoti paklausus, kokia bus amplitudė kiekvieną akimirką, kai miuonas randamas būsenoje (+ x).

Šią problemą galima suformuluoti taip: leiskite žinoti, kad šiuo momentu t=0 miuono sukinys yra nukreiptas išilgai + X; kokia amplitudė to, kad momentu t jis bus toje pačioje būsenoje? Ir nors mes nežinome dalelės, kurios sukinys 1/2, elgesio magnetiniame lauke, statmename sukimuisi, taisyklių, žinome, kas nutinka būsenoms, kai sukiniai nukreipiami lauke aukštyn arba žemyn – tada jų amplitudės dauginamos pagal išraišką (5.34) . Tada mūsų procedūra būtų pasirinkti vaizdą, kuriame pagrindinės būsenos yra sukimosi aukštyn arba žemyn kryptimis z(lauko krypties atžvilgiu). Ir bet koks klausimas gali būti išreikštas per šių būsenų amplitudes.

Tegu |y(t)> reiškia miuono būseną. Kai jis įeina į bloką A, jo būsena yra |y (0)>, o mes. norime žinoti |y (t)> vėliau t. Jei dvi pagrindinės būsenos yra pažymėtos (+z) ir (-z), tada žinome amplitudes ir - jos žinomos, nes žinome, kad |y (0)> reiškia būseną su sukimu (+) kryptimi. x). Iš ankstesnis skyrius iš to išplaukia, kad šios amplitudės yra lygios

Jie pasirodo esą vienodi. Kadangi jie nurodo padėtį t = 0, mes juos žymime SU+ (0) ir SU - (0).

Bet jei žinome C + (t) Ir C - (t), tada turime viską, kad žinotume dabartines sąlygas t. Yra tik dar vienas sunkumas, kurį reikia įveikti: mums reikia tikimybės, kad sukimasis (šiuo metu t) bus nukreiptas palei + X. Tačiau mūsų bendrosiose taisyklėse taip pat atsižvelgiama į šią užduotį. Rašome, kad buvimo būsenoje amplitudė (+x)šiuo metu t[pažymime A + (t)]Yra

Vėlgi naudojant paskutinio skyriaus rezultatą (arba geriau lygybę

* iš sk. 3), rašome

Taigi, (5.37) viskas žinoma. Mes gauname

Nuostabiai paprastas rezultatas! Atminkite, kad atsakymas atitinka tai, ko tikėjotės kada t= 0. Mes gauname A + (0)= 1, ir tai yra visiškai teisinga, nes iš pradžių buvo manoma, kad kada t=0 miuonas sugebėjo (+ x).

Tikimybė R + kad miuonas galės (+x)šiuo metu t, Yra (A+) 2, t.y.

Tikimybė svyruoja nuo nulio iki vieno, kaip parodyta Fig. 5.10.

Fig. 5.10. To tikimybės priklausomybė nuo laiko. kad dalelė su sukiniu 1 / 2 bus (+) būsenos x ašies atžvilgiu.

Atkreipkite dėmesį, kad tikimybė grįžta į vienetą ties m Bt/h=p (ne at 2p). Kadangi kosinusas yra kvadratas, tikimybė kartojasi su dažniu 2mV/val.

Taigi, mes nustatėme, kad galimybė sugauti elektroninį skaitiklį, parodytą Fig. 5.9, skilimo elektronas periodiškai keičiasi su laiko intervalu, per kurį miuonas sėdėjo magnetiniame lauke. Dažnis priklauso nuo magnetinio momento (L. Būtent taip jis buvo išmatuotas magnetinis momentas miuonas.

Žinoma, tą patį metodą galima naudoti atsakant į kitus klausimus, susijusius su miuonų skilimu. Pavyzdžiui, kaip tai priklauso nuo laiko? t galimybė pastebėti skilimo elektroną kryptimi y, 90° kampu kryptimi X, bet vis tiek stačiu kampu į lauką? Jei išspręsite šią problemą, pamatysite, kad jums pavyks (+y) keičiasi kaip cos 2 ((m Bt/val)-(p/4)); jis svyruoja su tuo pačiu laikotarpiu, tačiau maksimumą pasiekia po ketvirčio ciklo, kai mBt/h=p/4. Iš tikrųjų atsitinka taip: laikui bėgant miuonas pereina būsenų seką, atitinkančią visišką poliarizaciją kryptimi, kuri nuolat sukasi aplink ašį. z. Tai galima apibūdinti taip sakant sukimosi precesės su dažniu

Jums turėtų paaiškėti, kokią formą įgauna kvantinis mechaninis aprašymas, kai aprašome kažko elgesį laikui bėgant.

*Jei praleidote ch. 4, tuomet galite tiesiog laikyti (5.35) nepakankama taisykle. Vėliau, sk. 8, mes išsamiau išanalizuosime sukimosi precesiją, taip pat bus gautos šios amplitudės.

* Darome prielaidą, kad fazės turi turėti vienodą reikšmę atitinkamuose dviejų koordinačių sistemų taškuose. Tačiau tai labai subtilus dalykas, nes kvantinėje mechanikoje fazė iš esmės yra savavališka. Norint visiškai pagrįsti šią prielaidą, reikia išsamesnių samprotavimų, kuriuose būtų atsižvelgiama į dviejų ar daugiau amplitudių trukdžius.

Dabar norime šiek tiek pakalbėti apie tai, kaip laikui bėgant veikia tikimybių amplitudės. Mes sakome „šiek tiek“, nes iš tikrųjų elgesys laike būtinai apima elgesį erdvėje. Tai reiškia, kad jei norime teisingai ir išsamiai apibūdinti elgesį, iškart atsiduriame labai sunki situacija. Prieš mus iškyla įprastas sunkumas – arba ką nors studijuoti griežtai logiškai, bet visiškai abstrakčiai, arba negalvoti apie griežtumą, o pateikti tam tikrą supratimą apie tikrąją reikalų būklę, nuodugnesnį tyrimą atidėti vėliau. Dabar, kalbėdami apie amplitudės priklausomybę nuo energijos, ketiname pasirinkti antrąjį metodą. Bus pateikta nemažai pareiškimų. Mes nesistengsime čia būti pernelyg griežti, o tiesiog papasakosime, kas buvo rasta, kad galėtumėte pajusti, kaip amplitudės elgiasi laikui bėgant. Vykstant mūsų pristatymui, aprašymo tikslumas didės, todėl nesijaudinkite pamatę, kaip magas ištraukia daiktus iš oro. Jie tikrai kyla iš kažko neapčiuopiamo – iš eksperimento dvasios ir iš daugelio žmonių vaizduotės. Bet pereikite visus etapus istorinė raida tema yra labai ilgas dalykas, kai kuriuos dalykus tiesiog teks praleisti. Galėjai pasinerti į abstrakcijas ir griežtai viską išvesti (bet vargu ar tai suprastum) arba atlikti daugybę eksperimentų, jais patvirtindamas kiekvieną savo teiginį. Pasirinksime kažką tarp jų.

Vienas elektronas tuščioje erdvėje tam tikromis sąlygomis gali turėti labai specifinę energiją. Pavyzdžiui, jei jis yra ramybės būsenoje (ty neturi nei poslinkio, nei impulso, nei kinetinės energijos), tada jis turi ramybės energiją. Sudėtingesnis objektas, pavyzdžiui, atomas, ramybės būsenoje taip pat gali turėti tam tikrą energiją, bet taip pat gali pasirodyti, kad jis yra susijaudinęs viduje – sužadintas iki kitokio energijos lygio. (To mechanizmą apibūdinsime vėliau.) Dažnai esame teisūs manydami, kad sužadintos būsenos atomas turi tam tikrą energiją; tačiau iš tikrųjų tai tik apytiksliai tiesa. Atomas nelieka susijaudinęs amžinai, nes jis visada siekia iškrauti savo energiją sąveikaudamas su elektromagnetiniu lauku. Taigi visada yra tam tikra amplitudė, kad atsiras nauja būsena – atomas bus žemesnėje būsenoje, o elektromagnetinis laukas – aukštesnėje. Bendra sistemos energija tiek prieš, tiek po jos yra vienoda, tačiau atomo energija mažėja. Taigi nėra labai tikslu sakyti, kad sužadintas atomas turi tam tikrą energiją; bet dažnai taip sakyti patogu ir nelabai klaidingai.

[Beje, kodėl viskas teka vienaip, o ne kitaip? Kodėl atomas skleidžia šviesą? Atsakymas susijęs su entropija. Kai energija yra elektromagnetiniame lauke, jai atsiveria tiek daug skirtingų kelių – tiek daug skirtingų vietų, kur ji gali eiti – kad, ieškodami pusiausvyros sąlygos, esame įsitikinę, kad laukas atsiduria labiausiai tikėtinoje padėtyje. būti sužadintas vienu fotonu, o atomas nesužadintas. Ir užtrunka daug laiko, kol fotonas sugrįžta ir sužino, kad gali sužadinti atomą atgal. Tai visiškai analogiška klasikinei problemai: kodėl spinduliuoja pagreitintas krūvis? Ne todėl, kad „nori“ prarasti energiją, ne, nes iš tikrųjų jam spinduliuojant pasaulio energija išlieka tokia pati, kaip ir anksčiau. Tiesiog emisija arba absorbcija visada eina entropijos didėjimo kryptimi.]

Branduoliai taip pat gali egzistuoti skirtinguose energijos lygiuose, o apytiksliai, kai nepaisoma elektromagnetinio poveikio, turime teisę teigti, kad sužadintas branduolys toks ir lieka. Nors žinome, kad taip nebus amžinai, dažnai naudinga pradėti nuo šiek tiek idealizuoto apytikslio, kurį lengviau pamatyti. Be to, tam tikromis aplinkybėmis tai yra teisinis suderinimas. (Kai pirmą kartą pristatėme klasikiniai dėsniai krintančius kūnus, neatsižvelgėme į trintį, tačiau beveik niekada neatsitinka, kad trinties visai nebūtų.)

Be to, yra ir „keistų dalelių“, kurių masė skiriasi. Tačiau masyvesni iš jų suyra į lengvesnius, todėl vėlgi būtų neteisinga sakyti, kad jų energija yra tiksliai nulemta. Tai būtų tiesa, jei jie tęstųsi amžinai. Taigi, kai apytiksliai laikome juos turinčiais tam tikrą energiją, pamirštame, kad jie turi irti. Tačiau dabar tokius procesus sąmoningai pamiršime, o paskui, laikui bėgant, išmoksime į juos atsižvelgti.

Tebūnie atomas (arba elektronas, ar bet kuri dalelė), kuri ramybės būsenoje turi tam tikrą energiją. Energija reiškia visą jos masę. Masė apima bet kokią vidinę energiją; todėl sužadinto atomo masė skiriasi nuo to paties, bet pagrindinės būsenos atomo masės. (Pagrindinė būsena reiškia būseną su mažiausia energija.) Pavadinkime tai „poilsio energija“.

Ramybės būsenos atomo kvantinė mechaninė amplitudė tam tikroje vietoje jį aptikti yra visur vienoda; tai nepriklauso nuo padėties. Tai, žinoma, reiškia, kad tikimybė rasti atomą bet kur yra vienoda. Bet tai reiškia dar daugiau. Tikimybė negalėjo priklausyti nuo padėties, o amplitudės fazė vis tiek gali skirtis nuo taško iki taško. Tačiau ramybės būsenos dalelės bendra amplitudė visur yra vienoda. Tačiau tai priklauso nuo laiko. Tam tikros energijos būsenos dalelės amplitudė aptikti dalelę tam tikru momentu yra lygi

kur yra kažkokia konstanta. Buvimo tokiame ir tokiame erdvės taške amplitudė yra vienoda visiems taškams, bet priklauso nuo laiko pagal (5.1). Tiesiog manysime, kad ši taisyklė visada teisinga.

Žinoma, galite parašyti (5.1) taip:

,

a – atominės būsenos arba dalelės ramybės masė. Yra trys skirtingi energijos nustatymo būdai: pagal amplitudės dažnį, pagal energiją klasikine prasme arba pagal inercinę masę. Jie visi lygūs; tai tiesiog skirtingi būdai išreikšti tą patį dalyką.

Jums gali pasirodyti keista įsivaizduoti, kad „dalelė“ su vienoda amplitudė yra bet kurioje erdvėje. Juk, be kita ko, „dalelę“ visada įsivaizduojame kaip mažą daiktą, esantį „kažkur“. Tačiau nepamirškite neapibrėžtumo principo. Jei dalelė turi tam tikrą energiją, tai ji taip pat turi tam tikrą impulsą. Jeigu impulso neapibrėžtis lygi nuliui, tai neapibrėžtumo santykis sako, kad neapibrėžtis padėtyje turi būti begalinė; Būtent tai ir sakome, kai sakome, kad dalelės aptikimo visuose erdvės taškuose yra ta pati amplitudė.

Jei vidinės atomo dalys yra skirtingos būsenos su skirtinga bendra energija, tai laikui bėgant amplitudė kinta skirtingai. Ir jei jūs nežinote, kokioje būsenoje yra atomas, tada bus tam tikra buvimo vienoje būsenoje amplitudė ir tam tikra buvimo amplitudė kitoje, ir kiekviena iš šių amplitudių turės savo dažnį. Tarp šių dviejų skirtingų komponentų bus trukdžių, pavyzdžiui, dūžių, kurios gali pasirodyti kaip kintama tikimybė. Atomo viduje kažkas „užvirs“, net jei jis „ilsisi“ ta prasme, kad jo masės centras nejudės. Jei atomas turi tik vieną specifinę energiją, tai amplitudė pateikiama pagal formulę (5.1) ir amplitudės modulio kvadratas nepriklauso nuo laiko. Todėl matote, kad jei daikto energija yra tikra ir jei klausiate apklausos apie kažko tikimybę tame daikte, tai atsakymas nepriklauso nuo laiko. Nors pačios amplitudės priklauso nuo laiko, tačiau jei energija yra tikra, jos kinta kaip įsivaizduojamas eksponentas ir jų absoliuti reikšmė (modulis) nekinta.

Štai kodėl mes dažnai sakome, kad atomas yra nejudančioje būsenoje esant tam tikram energijos lygiui. Jei matuojate ką nors jo viduje, pamatysite, kad laikui bėgant niekas (tikriausiai) nesikeičia. Kad tikimybė laikui bėgant kisti, turėtų trukdyti dvi amplitudės dviem skirtingais dažniais, o tai reikštų, kad nežinoma, kokia yra energija. Objektas turėtų vieną buvimo vienos energijos būsenos amplitudę ir kitą buvimo kitos energijos būsenoje amplitudę. Taip kvantinė mechanika kažką apibūdina, jei šio „kažko“ elgesys priklauso nuo laiko.

Jei yra atvejis, kai sumaišomi du įvairios valstybės su skirtinga energija, tada kiekvienos iš dviejų būsenų amplitudės kinta laikui bėgant pagal (5.2) lygtį, tarkime, kaip

Ir jei yra šių dviejų būsenų derinys, atsiras trukdžių. Tačiau atkreipkite dėmesį, kad tos pačios konstantos pridėjimas prie abiejų energijų nieko nekeičia. Jei kas nors kitas naudotų kitokią energijos skalę, kurioje visos energijos pasislenka konstanta (tarkime, ), tada amplitudės, atsirandančios šiose dviejose būsenose, jo požiūriu, būtų

Visos jo amplitudės būtų padaugintos iš to paties koeficiento , ir visi tiesiniai deriniai, visi trukdžiai turėtų tą patį koeficientą. Apskaičiavęs modulius tikimybei nustatyti, jis gautų tuos pačius atsakymus. Atskaitos taško pasirinkimas mūsų energijos skalėje nieko nekeičia; energiją galima skaičiuoti nuo bet kurio nulio. Reliatyvistiniams uždaviniams patogiau matuoti energiją taip, kad į ją būtų įtraukta likusi masė, tačiau daugeliui kitų nereliatyvistinių tikslų dažnai geriau iš visų atsirandančių energijų atimti standartinį dydį. Pavyzdžiui, atomo atveju paprastai patogu atimti energiją , kur yra atskirų jo dalių, branduolio ir elektronų masė, kuri, žinoma, skiriasi nuo paties atomo masės. Kitose problemose naudinga iš visų energijų atimti skaičių, kur yra viso atomo masė pradinėje būsenoje; tada likusi energija yra tiesiog atomo sužadinimo energija. Tai reiškia, kad mes turime teisę labai labai stipriai perkelti savo energijos nulį, bet tai vis tiek nieko nekeičia (su sąlyga, kad visos energijos šiame konkrečiame skaičiavime pasislinks tuo pačiu skaičiumi). Taip atsiskirsime nuo ramybės būsenos dalelių.

Virpesių slopinimas vadinamas laipsniškas mažėjimas svyravimų amplitudė laikui bėgant, nes svyravimo sistema praranda energiją.

Natūralūs svyravimai be slopinimo yra idealizacija. Sumažėjimo priežastys gali būti skirtingos. Mechaninėje sistemoje vibracijas slopina trintis. IN elektromagnetinė grandinėŠilumos nuostoliai sistemą formuojančiuose laiduose lemia vibracijos energijos sumažėjimą. Išnaudojus visą virpesių sistemoje sukauptą energiją, svyravimai sustos. Todėl amplitudė slopinami svyravimai mažėja, kol tampa lygus nuliui.

Slopintus virpesius, kaip ir natūralius virpesius, sistemose, kurios skiriasi savo prigimtimi, galima vertinti vienu požiūriu – bendromis charakteristikomis. Tačiau tokias charakteristikas kaip amplitudė ir periodas reikia apibrėžti iš naujo, o kitas reikia papildyti ir paaiškinti, palyginti su tomis pačiomis savybėmis, būdingomis natūraliems neslopintiems virpesiams. Bendrosios slopintų virpesių ypatybės ir sąvokos yra šios:

Diferencialinė lygtis turi būti gauta atsižvelgiant į virpesių energijos sumažėjimą virpesių proceso metu.

Virpesių lygtis yra diferencialinės lygties sprendimas.

Slopintų virpesių amplitudė priklauso nuo laiko.

Dažnis ir laikotarpis priklauso nuo vibracijos slopinimo laipsnio.

Fazė ir pradinė fazė turi tą pačią reikšmę kaip ir neslopinti virpesiai.

3.1. Mechaniškai slopinami svyravimai

Mechaninė sistema: spyruoklinė švytuoklė, atsižvelgiant į trinties jėgas.

Jėgos, veikiančios švytuoklę:

Elastinė jėga. , kur k – spyruoklės standumo koeficientas, x – švytuoklės poslinkis iš pusiausvyros padėties.

Pasipriešinimo jėga. Laikykime pasipriešinimo jėgą, proporcingą judėjimo greičiui v (ši priklausomybė būdinga didelei pasipriešinimo jėgų klasei): . Minuso ženklas rodo, kad pasipriešinimo jėgos kryptis yra priešinga kūno greičio krypčiai. Atsparumo koeficientas r yra skaitiniu būdu lygus pasipriešinimo jėgai, atsirandančiai esant kūno judėjimo greičio vienetui:

Judėjimo dėsnis spyruoklinė švytuoklė – tai antrasis Niutono dėsnis:

m a = F pvz. + F pasipriešinimas

Atsižvelgiant į tai, kad abu Antrąjį Niutono dėsnį rašome tokia forma:

.

Padalinę visus lygties narius iš m ir perkeldami juos į dešinę pusę, gauname diferencialinė lygtis slopinami svyravimai:

Pažymėkime , kur β – slopinimo koeficientas, , kur ω 0 – neslopintų laisvųjų virpesių dažnis, kai svyravimo sistemoje nėra energijos nuostolių.

Naujajame žymėjime slopintų virpesių diferencialinė lygtis yra tokia:

.

Tai antros eilės tiesinė diferencialinė lygtis.

Slopintų virpesių lygtis yra šios diferencialinės lygties sprendimas:

1 priede parodyta, kaip gauti slopintų virpesių diferencialinės lygties sprendimą keičiant kintamuosius.

Slopinamas dažnis:

(fizinę reikšmę turi tik tikroji šaknis, todėl ).

Slopintų svyravimų laikotarpis:

.

Prasmė, kuri buvo įtraukta į neslopintų svyravimų periodo sąvoką, nėra tinkama slopinti virpesiams, nes svyravimo sistema niekada negrįžta į pradinę būseną dėl svyravimo energijos nuostolių. Esant trinčiai, vibracijos yra lėtesnės: .

Slopintų svyravimų laikotarpis yra minimalus laikotarpis, per kurį sistema du kartus pereina pusiausvyros padėtį viena kryptimi.

Spyruoklinės švytuoklės mechaninei sistemai turime:

, .

Slopintų virpesių amplitudė:

Spyruoklinei švytuoklei.

Slopintų virpesių amplitudė nėra pastovi reikšmė, bet laikui bėgant kinta, kuo greičiau didesnis koeficientas β. Todėl amplitudės apibrėžimas, anksčiau pateiktas neslopintiems laisviesiems virpesiams, turi būti pakeistas slopintiems virpesiams.

Mažiems slopinimams slopintų virpesių amplitudė vadinamas didžiausiu nukrypimu nuo pusiausvyros padėties per laikotarpį.

Diagramos Poslinkio ir laiko bei amplitudės ir laiko diagramos pateiktos 3.1 ir 3.2 paveiksluose.

3.1 pav. Poslinkio priklausomybė nuo slopintų virpesių laiko

3.2 pav. Slopintų virpesių amplitudės priklausomybė nuo laiko

3.2. Elektromagnetiniai slopinami virpesiai

Elektromagnetiniai slopinami virpesiai kyla e elektromagnetinė virpesių sistema, vadinamas LCR - grandine (3.3 pav.).

3.3 pav.

Diferencialinė lygtis gauname naudojant antrąjį Kirchhoffo dėsnį uždarai LCR grandinei: aktyviosios varžos (R) ir kondensatoriaus (C) įtampos kritimų suma yra lygi sukeltas emf, sukurtas grandinės grandinėje:

Įtampos kritimas:

Apie aktyviąją varžą: , kur I – srovės stipris grandinėje;

Ant kondensatoriaus (C): , kur q yra vienos iš kondensatoriaus plokštelių įkrovos dydis.

Grandinėje sukurtas EML yra indukuotas EML, atsirandantis induktoriuje, kai keičiasi jame esanti srovė, todėl magnetinis srautas per jo skerspjūvį: (Faradėjaus dėsnis).

Pakeiskime reikšmes U R , U C į lygtį, atspindinčią Kirchhoffo dėsnį, gausime:

.

Srovės stipris nustatomas kaip krūvio išvestinė, tada , ir diferencialinė lygtis bus tokia:

.

Pažymime , ir šiuo žymėjimu gauname slopintų svyravimų diferencialinę lygtį tokia forma:

Spręsdami diferencialinę lygtį arba krūvio virpesių lygtis ant kondensatoriaus plokščių atrodo taip:

Slopintų krūvių svyravimų amplitudė turi formą:

Slopinamas dažnis LCR grandinėje:

.

Laikotarpis slopinami elektromagnetiniai virpesiai:

.

Paimkime krūvio lygtį formoje įtampos lygtis ant kondensatoriaus plokštelių galima užrašyti taip
.

Kiekis vadinamas įtampos amplitudė per kondensatorių.

Dabartinė grandinėje keičiasi laikui bėgant. Srovės lygtis kontūre galima gauti naudojant santykį ir vektorinę diagramą.

Galutinė srovės lygtis yra tokia:

Kur - pradinė fazė.

Ji nelygu α, nes srovės stipris kinta ne pagal sinusą, kuris būtų krūvio išvestinė, o pagal kosinusą.

Energija virpesiai grandinėje susideda iš elektrinio lauko energijos

ir magnetinio lauko energija

Bendra energija bet kuriuo metu:

Kur W 0– visa grandinės energija momentu t=0 .

3.3. Slopintų svyravimų charakteristikos

1.Silpninimo koeficientas β.

Slopintų virpesių amplitudė kinta pagal eksponentinį dėsnį:

Tegul virpesių amplitudė per laiką τ sumažėja „e“ kartų („e“ yra natūraliojo logaritmo pagrindas, e ≈ 2,718). Tada, viena vertus, , o kita vertus, aprašęs amplitudes A zat. (t) ir A zat. (t+τ), turime . Iš šių santykių išplaukia, kad βτ = 1, vadinasi

Laikotarpis τ, per kurį amplitudė sumažėja "e" kartų, vadinamas atsipalaidavimo laikas.

Silpninimo koeficientasβ yra vertė, atvirkščiai proporcinga atsipalaidavimo laikui.

2. Logaritminis mažėjimas slopinimas δ- fizikinis dydis, skaitiniu požiūriu lygus dviejų nuoseklių amplitudių, laiko atžvilgiu atskirtų tašku, santykio natūraliajam logaritmui.

§6 Slopinti svyravimai

Slopinimo mažinimas. Logaritminio slopinimo mažinimas.

Laisvos vibracijos technines sistemas V realiomis sąlygomis atsiranda, kai juos veikia pasipriešinimo jėgos. Šių jėgų veikimas lemia svyravimo vertės amplitudės sumažėjimą.

Virpesiai, kurių amplitudė laikui bėgant mažėja dėl realios virpesių sistemos energijos nuostolių, vadinami išblukęs.

Dažniausi atvejai, kai pasipriešinimo jėga yra proporcinga judėjimo greičiui

Kur r- terpės atsparumo koeficientas. Minuso ženklas tai rodoF Cnukreiptas priešinga greičiui kryptimi.

Užrašykime svyravimų lygtį taške, svyruojančiame terpėje, kurios varžos koeficientasr. Pagal antrąjį Niutono dėsnį

kur β yra slopinimo koeficientas. Šis koeficientas apibūdina svyravimų slopinimo greitį Esant pasipriešinimo jėgoms, virpesių sistemos energija palaipsniui mažės, o svyravimai išnyks.

- slopintų virpesių diferencialinė lygtis.

U slopintų virpesių išlyginimas.

ω - slopintų virpesių dažnis:

Slopintų svyravimų laikotarpis:

Slopinti svyravimai, griežtai įvertinus, nėra periodiški. Todėl galime kalbėti apie slopintų svyravimų periodą, kai β yra mažas.

Jei slopinimas silpnai išreikštas (β→0), tai. Slopinti svyravimai gali būti

būti laikomi harmoniniais virpesiais, kurių amplitudė kinta pagal eksponentinį dėsnį

(1) lygtyje A 0 ir φ 0 yra savavališkos konstantos, priklausančios nuo pasirinkto laiko momento, nuo kurio mes laikome svyravimus

Panagrinėkime svyravimą tam tikrą laiką τ, kurio metu amplitudė sumažės e vieną kartą

τ – atsipalaidavimo laikas.

Slopinimo koeficientas β yra atvirkščiai proporcingas laikui, per kurį amplitudė mažėja e vieną kartą. Tačiau slopinimo koeficiento nepakanka svyravimų slopinimui apibūdinti. Todėl būtina įvesti svyravimų slopinimo charakteristiką, kuri apima vieno svyravimo laiką. Ši savybė yra mažėjimas(rusiškai: mažėjimas) slopinimas D, kuris lygus santykiui amplitudės laiko atžvilgiu atskirtos periodu:

Logaritminio slopinimo mažinimas lygus logaritmui D:

Logaritminio slopinimo mažėjimas yra atvirkščiai proporcingas virpesių skaičiui, dėl to svyravimų amplitudė sumažėjo e vieną kartą. Logaritminis slopinimo sumažėjimas yra pastovi tam tikros sistemos reikšmė.

Kitas svyruojančios sistemos bruožas yra kokybės faktoriusK.

Kokybės koeficientas yra proporcingas sistemos atliekamų virpesių skaičiui per atsipalaidavimo laiką τ.

Ksvyravimo sistema yra santykinio energijos išsisklaidymo (išsisklaidymo) matas.

Ksvyravimo sistema yra skaičius, rodantis, kiek kartų elastinga jėga daugiau galios pasipriešinimas.

§7 Priverstinės vibracijos.

Rezonansas

Daugeliu atvejų reikia sukurti nuolatinius svyravimus atliekančias sistemas. Sistemoje galima gauti neslopintus virpesius, jei energijos nuostolius kompensuosite veikdami sistemą periodiškai kintančia jėga.

Leiskite

Užrašykime judėjimo lygties išraišką materialus taškas, atliekantis harmoniką svyruojantis judesys veikiamas priverstinės jėgos.

Pagal antrąjį Niutono dėsnį:

(1)

Priverstinių svyravimų diferencialinė lygtis.

Ši diferencialinė lygtis yra tiesiškai nehomogeniška.

Jo sprendimas lygus sumai bendras sprendimas vienalytė lygtis ir privatus sprendimas nehomogeninė lygtis:

Raskime konkretų nehomogeninės lygties sprendimą. Norėdami tai padaryti, perrašome (1) lygtį tokia forma:

(2)

Mes ieškosime konkretaus šios lygties sprendimo tokia forma:

Tada

Pakeiskime (2):

nes tinka bet kokiamt, tada turi galioti lygybė γ = ω, todėl

Tai kompleksinis skaičius patogu jį pavaizduoti formoje

Kur A yra nustatomas pagal (3) formulę žemiau, o φ - pagal (4) formulę, todėl sprendimas (2), in sudėtinga forma atrodo kaip

Jo tikroji dalis, kuri buvo (1) lygties sprendimas, yra lygi:

Kur

(3)

(4)

Terminas X o.o. vaidina reikšmingą vaidmenį tik pradiniame etape, kai nustatomi svyravimai tol, kol priverstinių virpesių amplitudė pasiekia lygybės (3) nustatytą reikšmę. Pastovioje būsenoje priverstiniai virpesiai atsiranda dažniu ω ir yra harmoningi. Priverstinių svyravimų amplitudė (3) ir fazė (4) priklauso nuo varomosios jėgos dažnio. Esant tam tikram varomosios jėgos dažniui, amplitudė gali siekti labai didelės vertės. Staigus padidėjimas Priverstinių virpesių amplitudė, kai varomosios jėgos dažnis artėja prie mechaninės sistemos savaiminio dažnio, vadinama rezonansas.

Varomosios jėgos dažnis ω, kuriam esant stebimas rezonansas, vadinamas rezonansiniu. Norint rasti ω res reikšmę, reikia rasti didžiausios amplitudės sąlygą. Norėdami tai padaryti, turite nustatyti (3) vardiklio minimumo sąlygą (t. y. išnagrinėti (3) ekstremumą).

Svyruojančio dydžio amplitudės priklausomybė nuo varomosios jėgos dažnio vadinama rezonanso kreivė. Kuo mažesnis slopinimo koeficientas β, tuo didesnė rezonanso kreivė, o mažėjant β, rezonanso kreivių maksimumas pasislinks į dešinę. Jei β = 0, tada

ω res = ω 0 .

Kai ω→0 visos kreivės pasiekia reikšmę- statinis nuokrypis.

Parametrinis rezonansas atsiranda tada, kai periodinis pokytis Vienas iš sistemos parametrų lemia staigų virpesių sistemos amplitudės padidėjimą. Pavyzdžiui, kajutės, kurios sukuria „saulę“ pakeisdamos sistemos svorio centro padėtį (tas pats ir „valtyse“.) Žr. §61.t. 1 Saveljevas I.V.