Кинетик энерги нь нэмэлт хэмжигдэхүүн юм. Иймд дур зоргоороо хөдөлж буй биеийн кинетик энерги нь бүх n-ийн кинетик энергийн нийлбэртэй тэнцүү байна. материаллаг цэгүүд, энэ биеийг оюун санааны хувьд хувааж болно:

Хэрэв бие нь тогтмол тэнхлэгийг тойрон эргэдэг бол z өнцгийн хурд, дараа нь шугаман хурд i-р цэг , Ri – эргэлтийн тэнхлэг хүртэлх зай. Тиймээс,

Харьцуулбал I биеийн инерцийн момент нь инерцийн хэмжүүр болохыг харж болно эргэлтийн хөдөлгөөн, масс m нь инерцийн хэмжүүртэй адил урагшлах хөдөлгөөн.

IN ерөнхий тохиолдолхатуу биеийн хөдөлгөөнийг хоёр хөдөлгөөний нийлбэрээр дүрсэлж болно - инерцийн төвийг дайран өнгөрөх агшин зуурын тэнхлэгийн эргэн тойронд vc хурдтай хөрвүүлэх ба ω өнцгийн хурдтай эргэх. Дараа нь энэ биеийн нийт кинетик энерги

Энд Ic нь инерцийн төвийг дайран өнгөрөх агшин зуурын эргэлтийн тэнхлэгийг тойрсон инерцийн момент юм.

Эргэлтийн хөдөлгөөний динамикийн үндсэн хууль.

Эргэлтийн хөдөлгөөний динамик

Эргэлтийн хөдөлгөөний динамикийн үндсэн хууль:

эсвэл М=Жэ, энд M нь хүчний момент юм M=[ r · F ] , J -Инерцийн момент нь биеийн импульсийн момент юм.

хэрэв M(гадаад)=0 - өнцгийн импульс хадгалагдах хууль. - эргэдэг биеийн кинетик энерги.

эргэлтийн хөдөлгөөнөөр ажиллах.

Өнцгийн импульс хадгалагдах хууль.

Тогтмол О цэгтэй харьцуулахад материаллаг цэгийн өнцгийн импульсийг (хөдөлгөөний момент) гэнэ. физик хэмжигдэхүүн, вектор бүтээгдэхүүнээр тодорхойлогддог:

Энд r - О цэгээс А цэг хүртэл татсан радиус вектор, p=mv - материаллаг цэгийн импульс (Зураг 1); L нь псевдовектор бөгөөд түүний чиглэл нь r-ээс r хүртэл эргэх үед баруун сэнсний хөрвүүлэх хөдөлгөөний чиглэлтэй давхцдаг.

Өнцгийн импульсийн векторын модуль

Энд α нь r ба p векторуудын хоорондох өнцөг, l нь О цэгтэй харьцуулахад p векторын гар юм.

Тогтмол z тэнхлэгтэй харьцуулахад өнцгийн импульс гэж нэрлэдэг скаляр хэмжигдэхүүнЛз, проекцтой тэнцүүхарьцангуй тодорхойлогдсон өнцгийн импульсийн векторын энэ тэнхлэгт дурын цэгЭнэ тэнхлэгийн тухай. Lz өнцгийн импульс нь z тэнхлэг дээрх О цэгийн байрлалаас хамаардаггүй.

Үнэмлэхүй хатуу бие нь тогтмол z тэнхлэгийг тойрон эргэх үед биеийн цэг бүр vi хурдтай ri тогтмол радиустай тойргийн дагуу хөдөлдөг. Хурд vi ба импульс mivi нь энэ радиустай перпендикуляр, өөрөөр хэлбэл радиус нь mivi векторын гар юм. Энэ нь бие даасан бөөмийн өнцгийн импульс нь тэнцүү байна гэж бичиж болно гэсэн үг юм

тэнхлэгийн дагуу баруун шурагны дүрмээр тодорхойлогдсон чиглэлд чиглэнэ.

Хатуу биеийн тэнхлэгтэй харьцуулахад импульс нь өнцгийн импульсийн нийлбэр юм бие даасан хэсгүүд:

vi = ωri томьёог ашиглан бид олж авна

Тиймээс, тэнхлэгтэй харьцуулахад хатуу биеийн өнцгийн импульс нь ижил тэнхлэгтэй харьцуулахад биеийн инерцийн моментийг өнцгийн хурдаар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна. (2) тэгшитгэлийг цаг хугацааны хувьд ялгаж үзье.

Энэ томьёо нь хатуу биетийн тогтмол тэнхлэгтэй харьцуулахад эргэлтийн хөдөлгөөний динамикийн тэгшитгэлийн өөр нэг хэлбэр юм: тэнхлэгтэй харьцуулахад хатуу биеийн өнцгийн импульсийн дериватив нь ижил тэнхлэгтэй харьцуулахад хүчний моменттой тэнцүү байна. тэнхлэг.

Векторын тэгш байдал байгааг харуулж болно

Хаалттай системд гадны хүчний момент M = 0 ба хаанаас

Илэрхийлэл (4) өнцгийн импульс хадгалагдах хуулийг илэрхийлнэ: өнцгийн импульс хаалттай системхэвээр үлддэг, өөрөөр хэлбэл цаг хугацааны явцад өөрчлөгддөггүй.

Өнцгийн импульс хадгалагдах хууль, мөн энерги хадгалагдах хууль нь байгалийн үндсэн хууль юм. Энэ нь орон зайн тэгш хэмийн шинж чанартай холбоотой байдаг - түүний изотропи, өөрөөр хэлбэл. физикийн хуулиуджишиг системийн координатын тэнхлэгүүдийн чиглэлийг сонгохтой харьцуулахад (хаалттай системийг орон зайд ямар ч өнцгөөр эргүүлэхтэй холбоотой).

Энд бид Жуковскийн вандан сандал ашиглан өнцгийн импульс хадгалагдах хуулийг харуулах болно. Сандал дээр суугаад эргэлдэж буй хүн босоо тэнхлэг, мөн сунгасан гартаа дамббелл барьж (Зураг 2), эргэлддэг гадаад механизмω1 өнцгийн хурдтай. Хэрэв хүн дамббеллүүдийг биедээ дарвал системийн инерцийн момент буурна. Гэхдээ гадны хүчний агшин тэгтэй тэнцүү, системийн өнцгийн импульс хадгалагдаж, эргэлтийн өнцгийн хурд ω2 нэмэгдэнэ. Үүнтэй адилаар гимнастикч үсрэх үед гар, хөлөө бие рүүгээ дарж, инерцийн моментыг багасгаж, улмаар эргэлтийн өнцгийн хурдыг нэмэгдүүлдэг.

Шингэн ба хий дэх даралт.

Эмх замбараагүй, эмх замбараагүй хөдөлгөөнийг гүйцэтгэдэг хийн молекулууд нь харилцан үйлчлэлийн хүчээр холбогдоогүй эсвэл сул холбогддог тул бараг чөлөөтэй хөдөлж, мөргөлдөөний үр дүнд бүх чиглэлд тархаж, тэдэнд өгсөн эзлэхүүнийг бүхэлд нь дүүргэдэг. , өөрөөр хэлбэл хийн эзэлхүүнийг хийн эзэлдэг савны эзэлхүүнээр тодорхойлно.

Мөн тодорхой эзэлхүүнтэй шингэн нь дотор нь байгаа савны хэлбэрийг авдаг. Гэхдээ шингэн дэх хийнээс ялгаатай нь молекулуудын хоорондох дундаж зай нь дунджаар тогтмол хэвээр байгаа тул шингэн нь бараг өөрчлөгдөөгүй эзэлхүүнтэй байдаг.

Шингэн ба хийн шинж чанар нь олон талаараа маш өөр боловч хэд хэдэн шинж чанартай байдаг механик үзэгдэлтэдгээрийн шинж чанарыг ижил параметр, ижил тэгшитгэлээр тодорхойлно. Ийм учраас гидроаэромеханик нь хий ба шингэний тэнцвэр, хөдөлгөөн, тэдгээрийн хоорондын болон тэдгээрийн эргэн тойронд урсаж буй хатуу биетүүдийн хоорондын харилцан үйлчлэлийг судалдаг механикийн салбар юм. хамаарна нэгдсэн хандлагашингэн ба хийн судалгаанд.

Механикийн хувьд шингэн ба хийтэй их хэмжээгээрНарийвчлалыг тэдгээрийн эзэлсэн орон зайн хэсэгт тасралтгүй, тасралтгүй тархсан гэж үздэг. Хийн хувьд нягт нь даралтаас ихээхэн хамаардаг. Энэ нь туршлагаар тогтоогдсон. Шингэн ба хийн шахагдах чадварыг ихэвчлэн үл тоомсорлож болох бөгөөд нэг ойлголтыг ашиглах нь зүйтэй - шингэний шахагдах чадваргүй байдал - цаг хугацааны явцад өөрчлөгддөггүй, хаа сайгүй ижил нягттай шингэн юм.

Бид нимгэн хавтанг тайван байдалд байрлуулж, үүний үр дүнд шингэний хэсгүүдийг дагуулан байрлуулна өөр өөр талуудхавтан дээрээс ΔS элемент тус бүр дээр ΔF хүчээр үйлчлэх бөгөөд энэ нь платформын чиглэлээс үл хамааран ΔS платформд перпендикуляр чиглэсэн хэмжээтэй тэнцүү байх ба эс тэгвээс шүргэгч хүч байгаа нь шингэний хэсгүүдийг шилжих (Зураг 1)

Физик хэмжигдэхүүнийг тодорхойлсон хэвийн хүч, нэгж талбайд шингэн (эсвэл хий) -ээс үйлчилдэг, шингэний (эсвэл хийн) даралт p/ гэж нэрлэдэг: p=ΔF/ΔS.

Даралтын нэгж нь паскаль (Па): 1 Па даралттай тэнцүү, хүчээр бий болгосон 1 м2 талбайтай (1 Па = 1 Н/м2) хэвийн гадаргуу дээр жигд тархсан 1 N.

Шингэний (хийн) тэнцвэрт байдал дахь даралт нь Паскалийн хуулийг дагаж мөрддөг: тайван байдалд байгаа шингэний аль ч газар дахь даралт нь бүх чиглэлд ижил бөгөөд даралтыг тайван байдалд байгаа шингэний эзэлдэг бүх эзэлхүүнээр жигд дамжуулдаг.

Хөдөлгөөнгүй шахагдах шингэний доторх даралтын хуваарилалтад шингэний жингийн нөлөөг судалъя. Шингэн тэнцвэрт байдалд байх үед аливаа хэвтээ шугамын дагуух даралт үргэлж ижил байдаг, эс тэгвээс тэнцвэр байхгүй болно. гэсэн үг чөлөөт гадаргуутайван байдалд байгаа шингэн нь үргэлж хэвтээ байдаг (савны хананд шингэний таталцлыг бид тооцдоггүй). Хэрэв шингэн нь шахагдах боломжгүй бол шингэний нягт нь даралтаас хамаардаггүй. Дараа нь цагт хөндлөн огтлолШингэн баганын S, түүний өндөр h ба нягт нь ρ, жин P=ρgSh, харин доод суурийн даралт: p=P/S=ρgSh/S=ρgh, (1)

өөрөөр хэлбэл даралт нь өндрөөс хамаарч шугаман байдлаар өөрчлөгддөг. ρgh даралтыг гидростатик даралт гэж нэрлэдэг.

Томъёо (1)-ийн дагуу шингэний доод давхаргад үзүүлэх даралтын хүч нь дээд давхаргуудынхаас их байх тул шингэнд дүрсэн биед Архимедийн хуулиар тодорхойлогдсон хүч үйлчилнэ: шингэнд дүрсэн бие. шингэн (хий) нь энэ шингэнээс дээш чиглэсэн хөвөх хүчний нөлөөгөөр үйлчилдэг. жинтэй тэнцүүбиед шилжсэн шингэн (хий): FA = ρgV, энд ρ нь шингэний нягт, V нь шингэнд дүрсэн биеийн эзэлхүүн юм.

Эргэлтийн кинетик энерги

Лекц 3. Хатуу биеийн динамик

Лекцийн тойм

3.1. Хүч чадлын мөч.

3.2. Эргэлтийн хөдөлгөөний үндсэн тэгшитгэлүүд. Инерцийн момент.

3.3. Эргэлтийн кинетик энерги.

3.4. Импульсийн мөч. Өнцгийн импульс хадгалагдах хууль.

3.5. Хөрвүүлэлт ба эргэлтийн хөдөлгөөний хоорондох аналоги.

хүчний момент

Тогтмол тэнхлэгийг тойрсон хатуу биеийн хөдөлгөөнийг авч үзье. Хатуу бие нь тогтмол эргэлтийн тэнхлэгтэй байг OO ( Зураг 3.1) бөгөөд түүнд дурын хүч үйлчилнэ.

Цагаан будаа. 3.1

Хүчийг хүчний хоёр бүрэлдэхүүн хэсэг болгон задалъя, хүч нь эргэлтийн хавтгайд оршдог ба хүч нь эргэлтийн тэнхлэгтэй параллель байна. Дараа нь бид хүчийг хоёр бүрэлдэхүүн хэсэг болгон задлах болно: – радиус векторын дагуу үйлчлэх ба – перпендикуляр.

Биед үзүүлсэн бүх хүч түүнийг эргүүлэхгүй. Хүч нь холхивч дээр даралтыг бий болгодог боловч түүнийг эргүүлдэггүй.

Хүч нь биеийг радиус векторын аль хэсэгт хэрэглэж байгаагаас хамаарч тэнцвэрийг алдагдуулж болно. Тиймээс тэнхлэгийг тойрсон хүчний моментийн тухай ойлголтыг нэвтрүүлсэн. Хүчний агшинэргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад радиус вектор ба хүчний вектор үржвэр гэж нэрлэдэг.

Вектор нь эргэлтийн тэнхлэгийн дагуу чиглэсэн бөгөөд дүрмээр тодорхойлогддог вектор бүтээгдэхүүнэсвэл баруун шурагны дүрэм, эсвэл гимлетийн дүрэм.

Хүчний моментийн модуль

Энд α нь векторуудын хоорондох өнцөг юм.

3.1-р зурагнаас. гэдэг нь ойлгомжтой .

r 0 – хамгийн богино зайэргэлтийн тэнхлэгээс хүчний үйлчлэлийн шугам хүртэл байх ба түүнийг хүчний мөр гэнэ. Дараа нь хүчний агшинг бичиж болно

M = F r 0 . (3.3)

Зураг дээрээс. 3.1.

Хаана Ф- векторын чиглэл рүү проекцлох, векторт перпендикуляррадиус вектор. Энэ тохиолдолд хүчний момент нь тэнцүү байна

. (3.4)

Хэрэв биед хэд хэдэн хүч үйлчилдэг бол үүссэн хүчний момент нь бие даасан хүчний моментуудын вектор нийлбэртэй тэнцүү байх боловч бүх моментууд тэнхлэгийн дагуу чиглэгддэг тул тэдгээрийг сольж болно. алгебрийн нийлбэр. Биеийг цагийн зүүний дагуу эргүүлбэл момент эерэг, эсрэгээр эргэвэл сөрөг гэж үзнэ. Хэрэв бүх хүчний моментууд () тэгтэй тэнцүү бол бие тэнцвэрт байдалд байх болно.

Моментийн тухай ойлголтыг "capricious ороомог" ашиглан харуулж болно. Утасны дамар нь утасны чөлөөт үзүүрээр татагддаг ( будаа. 3.2).

Цагаан будаа. 3.2

Утасны суналтын чиглэлээс хамааран дамар нь нэг чиглэлд эргэлддэг. Хэрэв өнцгөөр татвал α , дараа нь тэнхлэгийг тойрсон хүчний момент ТУХАЙ(зурагтай перпендикуляр) ороомогыг цагийн зүүний эсрэг эргүүлж, буцаж эргэлддэг. Өнцөгт хурцадмал байдал үүссэн тохиолдолд β эргүүлэх хүчийг цагийн зүүний эсрэг чиглүүлж, ороомог урагшаа эргэлддэг.

Тэнцвэрийн нөхцөлийг () ашиглан хүчний "трансформатор" болох энгийн механизмуудыг бий болгох боломжтой. Бага хүч хэрэглэснээр та янз бүрийн жинтэй ачааг өргөж, хөдөлгөж чадна. Хөшүүрэг, түрдэг тэрэг, блокууд нь энэ зарчим дээр суурилдаг. төрөл бүрийн, барилгын ажилд өргөн хэрэглэгддэг. Барилгын краны тэнцвэрт байдлыг хадгалахын тулд ачааны жингээс үүссэн хүчний моментийг нөхөхийн тулд эсрэг тэмдгийн хүчний моментийг үүсгэдэг сөрөг жингийн систем үргэлж байдаг.

3.2. Эргэлтийн үндсэн тэгшитгэл
хөдөлгөөнүүд. Инерцийн момент

Тогтмол тэнхлэгийг тойрон эргэдэг туйлын хатуу биеийг авч үзье ОО(Зураг 3.3). Энэ биеийг Δ масстай элементүүдэд оюун ухаанаараа хуваацгаая м 1, Δ м 2, …, Δ м н. Эргүүлэх үед эдгээр элементүүд нь радиустай тойргийг дүрслэх болно r 1,r 2 , …,r n. Элемент тус бүр дээр хүч үйлчилдэг F 1,F 2 , …,Fn. Биеийн тэнхлэгийг тойрон эргэх ООбүрэн эргэлтийн моментийн нөлөөн дор үүсдэг М.

М = М 1 + М 2 + … + М n (3.4)

Хаана M 1 = F 1 r 1, M 2 = F 2 r 2, ..., M n = F n r n

Ньютоны II хуулийн дагуу хүч бүр Ф, D масстай элемент дээр ажилладаг м, хурдатгал үүсгэдэг энэ элементийн а, өөрөөр хэлбэл

F i =Д би, би (3.5)

Харгалзах утгыг (3.4) орлуулснаар бид олж авна

Цагаан будаа. 3.3

Шугаман өнцгийн хурдатгалын хамаарлыг мэдэх ε () ба өнцгийн хурдатгал нь бүх элементүүдийн хувьд ижил байвал (3.6) томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.

М = (3.7)

=I (3.8)

I– тогтмол тэнхлэгтэй харьцуулахад биеийн инерцийн момент.

Дараа нь бид авах болно

M = I ε (3.9)

Эсвэл дотор вектор хэлбэр

(3.10)

Энэ тэгшитгэл нь эргэлтийн хөдөлгөөний динамикийн үндсэн тэгшитгэл юм. Энэ нь Ньютоны хуулийн II тэгшитгэлтэй төстэй юм. (3.10)-аас инерцийн момент тэнцүү байна

Тиймээс тухайн биеийн инерцийн момент нь хүчний моментийг түүний үүсгэсэн өнцгийн хурдатгалд харьцуулсан харьцаа юм. (3.11)-ээс харахад инерцийн момент нь биеийн эргэлтийн хөдөлгөөнтэй харьцуулахад инерцийн хэмжүүр болох нь тодорхой байна. Хөрвүүлэх хөдөлгөөнд инерцийн момент нь масстай ижил үүрэг гүйцэтгэдэг. SI нэгж [ I] = кг м 2. (3.7) томъёоноос харахад инерцийн момент нь эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад биеийн хэсгүүдийн массын тархалтыг тодорхойлдог.

Тэгэхээр r радиустай тойрогт хөдөлж буй ∆m масстай элементийн инерцийн момент нь тэнцүү байна.

I = r 2Д м (3.12)

би = (3.13)

тохиолдолд тасралтгүй хуваарилалтмассын нийлбэрийг интегралаар сольж болно

I= ∫ r 2 дм (3.14)

интеграци нь биеийн бүх массыг хамардаг.

Энэ нь биеийн инерцийн момент нь эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад масс ба түүний тархалтаас хамаардаг болохыг харуулж байна. Үүнийг туршилтаар харуулж болно ( Зураг 3.4).

Цагаан будаа. 3.4

Хоёр дугуй цилиндр, нэг нь хөндий (жишээлбэл, металл), нөгөө нь ижил урт, радиус, масстай цул (модон) нэгэн зэрэг эргэлдэж эхэлдэг. Их хэмжээний инерцийн момент бүхий хөндий цилиндр нь хатуу цилиндрээс хоцрох болно.

Хэрэв масс нь мэдэгдэж байгаа бол инерцийн моментыг тооцоолж болно мэргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад түүний тархалт. Хамгийн энгийн тохиолдол бол бүх массын элементүүд эргэлтийн тэнхлэгээс тэнцүү байрладаг цагираг юм ( будаа. 3.5):

би = (3.15)

Цагаан будаа. 3.5

Төрөл бүрийн тэгш хэмтэй массын биетүүдийн инерцийн моментуудын илэрхийлэлийг үзүүлье м.

1. Инерцийн момент цагираг, хөндий нимгэн ханатай цилиндртэгш хэмийн тэнхлэгтэй давхцах эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад.

, (3.16)

r– цагираг эсвэл цилиндрийн радиус

2. Хатуу цилиндр ба дискний хувьд тэгш хэмийн тэнхлэгийг тойрсон инерцийн момент

(3.17)

3. Бөмбөгийг төвөөр дайран өнгөрч буй тэнхлэгийг тойрсон инерцийн момент

(3.18)

r- бөмбөгний радиус

4. Урт урттай нимгэн бариулын инерцийн момент лсаваатай перпендикуляр тэнхлэгтэй харьцуулахад, түүний дундуур дамжин өнгөрдөг

(3.19)

л- бариулын урт.

Хэрэв эргэлтийн тэнхлэг нь массын төвөөр дамжин өнгөрөхгүй бол энэ тэнхлэгтэй харьцуулахад биеийн инерцийн моментийг Штайнерын теоремоор тодорхойлно.

(3.20)

Энэ теоремын дагуу дурын тэнхлэгт хамаарах инерцийн момент O’O’ ( ) нь биеийн массын төвийг дайран өнгөрөх параллель тэнхлэгийг тойрсон инерцийн моменттэй тэнцүү ( ) дээр нэмэх нь биеийн массын үржвэрийг зайны квадратыг үржүүлсэн байна Атэнхлэгүүдийн хооронд ( будаа. 3.6).

Цагаан будаа. 3.6

Эргэлтийн кинетик энерги

Үнэмлэхүй хатуу биеийг OO тогтмол тэнхлэгийн эргэн тойронд өнцгийн хурдаар эргүүлэхийг авч үзье. ω (будаа. 3.7). Хатуу биеийг задалж үзье nэнгийн массууд ∆ м би. Массын элемент бүр радиустай тойргийн дагуу эргэлддэг r iшугаман хурдтай (). Кинетик энерги нь бие даасан элементүүдийн кинетик энергиэс бүрдэнэ.

(3.21)

Цагаан будаа. 3.7

Үүнийг (3.13)-аас эргэн санацгаая – ОО тэнхлэгтэй харьцуулахад инерцийн момент.

Тиймээс эргэдэг биеийн кинетик энерги

E k = (3.22)

Тогтмол тэнхлэгийг тойрон эргэх кинетик энергийг бид авч үзсэн. Хэрэв бие нь хөрвүүлэх ба эргэлтийн хөдөлгөөн гэсэн хоёр хөдөлгөөнд оролцдог бол биеийн кинетик энерги нь хөрвүүлэх хөдөлгөөний кинетик энерги ба эргэлтийн кинетик энергиэс бүрдэнэ.

Жишээлбэл, масстай бөмбөг мөнхрөх; Бөмбөгний массын төв нь орчуулгын дагуу хурдтайгаар хөдөлдөг у (будаа. 3.8).

Цагаан будаа. 3.8

Бөмбөгний нийт кинетик энерги нь тэнцүү байх болно

(3.23)

3.4. Импульсийн мөч. Хамгаалалтын хууль
өнцгийн импульс

Инерцийн моментийн үржвэртэй тэнцүү физик хэмжигдэхүүн Iөнцгийн хурд руу ω , өнцгийн импульс (өнцгийн импульс) гэж нэрлэдэг. Лэргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад.

– өнцгийн импульс нь вектор хэмжигдэхүүн бөгөөд түүний чиглэл нь өнцгийн хурдны чиглэлтэй давхцдаг.

Цаг хугацааны хувьд (3.24) ялгах тэгшитгэлийг олж авна

Хаана, М- гадаад хүчний нийт момент. Тусгаарлагдсан системд гадны хүчний эргэлт байхгүй ( М=0) ба

Хөдөлгөөнгүй тэнхлэгийн эргэн тойронд биеийн эргэлтийг авч үзэх замаар эхэлье, бид үүнийг z тэнхлэг гэж нэрлэх болно (Зураг 41.1). Шугаман хурдэнгийн масс нь тэнхлэгээс массын зайтай тэнцүү байна. Тиймээс энгийн массын кинетик энергийн хувьд бид илэрхийлэлийг олж авна

Биеийн кинетик энерги нь түүний хэсгүүдийн кинетик энергиэс бүрдэнэ.

Энэ харилцааны баруун талын нийлбэр нь 1-р биеийн эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад инерцийн моментийг илэрхийлнэ. Тиймээс тогтмол тэнхлэгийг тойрон эргэлдэж буй биеийн кинетик энерги нь тэнцүү байна

Массанд дотоод хүч ба гадаад хүч үйлчилнэ (41.1-р зургийг үз). (20.5)-ын дагуу эдгээр хүч нь цаг хугацаанд нь ажил хийнэ

-д гүйцэтгэсэн холимог бүтээлүүдхүчин зүйлийн векторын мөчлөгийн сэлгэлт ((2.34)-ийг үз), бид дараахийг олж авна.

Энд N нь О цэгтэй харьцуулахад дотоод хүчний момент, N нь гадаад хүчний ижил төстэй момент юм.

Бүх энгийн массын илэрхийлэл (41.2)-ийг нэгтгэн дүгнэж, бид dt хугацаанд бие дээр гүйцэтгэсэн үндсэн ажлыг олж авна.

Дотоод хүчний моментуудын нийлбэр нь тэгтэй тэнцүү байна (29.12-ыг үзнэ үү). Үүний үр дүнд гадны хүчний нийт моментийг N-ээр тэмдэглэснээр бид илэрхийлэлд хүрнэ

(бид (2.21) томъёог ашигласан).

Эцэст нь, биеийг цаг хугацааны явцад эргүүлэх өнцөг байдгийг харгалзан бид дараахь зүйлийг олж авна.

Ажлын тэмдэг нь тэмдгээс, өөрөөр хэлбэл, векторын чиглэл рүү чиглэсэн N векторын проекцын тэмдгээс хамаарна.

Тиймээс, бие нь эргэх үед дотоод хүчямар ч ажил хийхгүй, харин гадны хүчний ажлыг (41.4) томъёогоор тодорхойлно.

(41.4)-д бие махбодид үйлчилж буй бүх хүчний ажил нь түүний кинетик энергийг нэмэгдүүлэхэд чиглэгддэг тул ((19.11)-ийг үз) томъёонд хүрч болно. Тэгш байдлын хоёр талын дифференциалыг (41.1) авч үзвэл бид харьцаанд хүрнэ

(38.8) тэгшитгэлийн дагуу орлуулснаар бид (41.4) томъёонд хүрнэ.

Хүснэгт 41.1

Хүснэгтэнд 41.1 Эргэлтийн хөдөлгөөний механикийн томъёог хөрвүүлэх хөдөлгөөний механикийн ижил төстэй томъёотой (цэгний механик) харьцуулна. Энэ харьцуулалтаас харахад бүх тохиолдолд массын үүргийг инерцийн момент, хүчний үүргийг хүчний момент, импульсийн үүргийг өнцгийн импульс гэх мэтээр гүйцэтгэдэг гэж дүгнэхэд хялбар байдаг.

Томъёо. (41.1) бие нь биед тогтсон хөдөлгөөнгүй тэнхлэгийг тойрон эргэдэг тохиолдолд олж авсан. Одоо бие нь түүний массын төвтэй давхцаж буй тогтмол цэгтэй харьцуулахад дур зоргоороо эргэдэг гэж үзье.

Бид декартын координатын системийг биетэй хатуу холбох бөгөөд түүний гарал үүсэл нь биеийн массын төвд байрлана. Хурд iэнгийн масс нь тэнцүү Тиймээс биеийн кинетик энергийн хувьд бид илэрхийллийг бичиж болно

Векторуудын хоорондох өнцөг хаана байна вэ гэдгийг харгалзан үзвэл:

Үүнийг бичээд үзье цэгэн бүтээгдэхүүнбиетэй холбоотой координатын системийн тэнхлэг дээрх векторуудын проекцоор дамжуулан:

Эцэст нь, өнцгийн хурдны бүрдэл хэсгүүдийн ижил бүтээгдэхүүнтэй нэр томъёог нэгтгэж, эдгээр бүтээгдэхүүнийг нийлбэрийн тэмдгүүдээс гаргаж авснаар бид (41.7) томъёог (41.1) хэлбэрийг авна. Эргэх үед дур зоргоороо биеИнерцийн нэг гол тэнхлэгийн эргэн тойронд тэнхлэг гэж хэлэхэд (41.7) томъёо (41.10.) -д орно.

Тиймээс. Эргэдэг биеийн кинетик энерги нь гурван тохиолдолд инерцийн момент ба өнцгийн хурдны квадратын үржвэрийн хагастай тэнцүү байна: 1) тогтмол тэнхлэгийг тойрон эргэдэг биеийн хувьд; 2) инерцийн үндсэн тэнхлэгүүдийн аль нэгийг тойрон эргэдэг биеийн хувьд; 3) бөмбөгний дээд хэсэгт. Бусад тохиолдолд кинетик энергийг илүү тодорхой тодорхойлдог нарийн төвөгтэй томъёо(41.5) эсвэл (41.7).

Эхлээд OZ тогтмол тэнхлэгийг өнцгийн хурдаар эргэдэг хатуу биетийг авч үзье ω (Зураг 5.6). Биеийг энгийн масс болгон хувацгаая. Энгийн массын шугаман хурд нь -тэй тэнцүү бөгөөд түүний эргэлтийн тэнхлэгээс зай нь хаана байна. Кинетик энерги би-энэ энгийн масс нь тэнцүү байх болно

.

Тиймээс бүх биеийн кинетик энерги нь түүний хэсгүүдийн кинетик энергиэс бүрддэг

.

Энэ харьцааны баруун талд байгаа нийлбэр нь эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад биеийн инерцийн моментийг илэрхийлдэг гэж үзвэл бид эцэст нь олж авна.

. (5.30)

Эргэдэг биеийн кинетик энергийн томъёо (5.30) ижил төстэй байна харгалзах томъёонуудбиеийн хөрвүүлэх хөдөлгөөний кинетик энергийн хувьд. Тэдгээрийг сүүлчийнхээс албан ёсоор орлуулах замаар олж авдаг .

Ерөнхийдөө хатуу биеийн хөдөлгөөнийг хөдөлгөөний нийлбэрээр дүрсэлж болно - хурдтай орчуулга, тэнцүү хурдбиеийн массын төв ба массын төвийг дайран өнгөрөх агшин зуурын тэнхлэгийн эргэн тойронд өнцгийн хурдтай эргэлт. Энэ тохиолдолд биеийн кинетик энергийн илэрхийлэл хэлбэрийг авна

.

Одоо хатуу биеийг эргүүлэх үед гадны хүчний моментийн гүйцэтгэсэн ажлыг олцгооё. Цаг хугацааны хувьд гадны хүчний үндсэн ажил dtбиеийн кинетик энергийн өөрчлөлттэй тэнцүү байх болно

Эргэлтийн хөдөлгөөний кинетик энергийн дифференциалыг авч үзвэл бид түүний өсөлтийг олно

.

Эргэлтийн хөдөлгөөний динамикийн үндсэн тэгшитгэлийн дагуу

Эдгээр харилцааг харгалзан бид илэрхийллийг толилуулж байна үндсэн ажилсанаанд

OZ эргэлтийн тэнхлэгийн чиглэл дэх гадны хүчний үүссэн моментийн төсөөлөл нь тухайн цаг хугацааны туршид биеийн эргэлтийн өнцөг юм.

(5.31) нэгтгэж, бид эргэлдэж буй биед нөлөөлж буй гадны хүчний ажлын томъёог олж авна.

Хэрэв бол томъёог хялбаршуулна

Тиймээс, хатуу биеийг тогтмол тэнхлэгтэй харьцуулахад эргүүлэх үед гадны хүчний ажил нь эдгээр хүчний моментийн энэ тэнхлэгт проекцын үйлчлэлээр тодорхойлогддог.

Гироскоп

Гироскоп бол эргэлтийн тэнхлэг нь орон зайд чиглэлээ өөрчилж чаддаг хурдан эргэдэг тэгш хэмтэй бие юм. Гироскопын тэнхлэг нь орон зайд чөлөөтэй эргэхийн тулд гироскопыг гимбал суспенз гэж нэрлэгдэх хэсэгт байрлуулна (Зураг 5.13). Гироскопын нисдэг дугуй нь хүндийн төвөөр дамжин өнгөрөх C 1 C 2 тэнхлэгийг тойрон дотоод цагирагт эргэлддэг. Дотоод цагираг нь эргээд C 1 C 2 перпендикуляр B 1 B 2 тэнхлэгийн эргэн тойронд гаднах цагирагт эргэлдэж болно. Эцэст нь гаднах уралдаан нь C 1 C 2 ба B 1 B 2 тэнхлэгт перпендикуляр A 1 A 2 тэнхлэгийн эргэн тойронд тулгуурын холхивч дээр чөлөөтэй эргэлдэж болно. Гурван тэнхлэг нь нэг цэг дээр огтлолцдог тогтмол цэгО, гимбалын төв буюу гироскопын тулгуур гэж нэрлэдэг. Гимбал дахь гироскоп нь гурван зэрэг эрх чөлөөтэй тул гимблийн төвийг тойрон ямар ч эргэлт хийх боломжтой. Хэрэв гироскопын түдгэлзүүлэлтийн төв нь түүний хүндийн төвтэй давхцаж байвал гироскопын бүх хэсгүүдийн суспензийн төвтэй харьцуулахад үүссэн хүндийн момент тэг болно. Ийм гироскопыг тэнцвэртэй гэж нэрлэдэг.

Одоо хамгийн ихийг авч үзье чухал шинж чанаруудянз бүрийн салбарт өргөн хэрэглэгддэг гироскоп.

1) Тогтвортой байдал.

Эсрэг тэнцвэржүүлсэн гироскопын аливаа эргэлтийн хувьд түүний эргэлтийн тэнхлэг нь лабораторийн лавлах системтэй харьцуулахад чиглэлд өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна. Энэ нь үрэлтийн хүчний моменттой тэнцүү бүх гадны хүчний момент нь маш бага бөгөөд гироскопын өнцгийн импульсийн өөрчлөлтийг бараг үүсгэдэггүйтэй холбоотой юм.

Өнцгийн импульс нь гироскопын эргэлтийн тэнхлэгийн дагуу чиглэгддэг тул түүний чиглэл өөрчлөгдөхгүй байх ёстой.

Хэрэв гадны хүч богино хугацаанд үйлчилбэл өнцгийн импульсийн өсөлтийг тодорхойлдог интеграл бага байх болно.

. (5.34)

Энэ нь богино хугацааны өртөлттэй байсан ч гэсэн гэсэн үг юм агуу хүчнүүдтэнцвэртэй гироскопын хөдөлгөөн бага зэрэг өөрчлөгддөг. Гироскоп нь өнцгийн импульсийн хэмжээ, чиглэлийг өөрчлөх аливаа оролдлогыг эсэргүүцдэг бололтой. Энэ нь гироскопын хөдөлгөөнийг оруулсны дараа олж авсан гайхалтай тогтвортой байдалтай холбоотой юм хурдан эргэлт. Гироскопын энэ шинж чанарыг нисэх онгоц, усан онгоц, пуужин болон бусад төхөөрөмжүүдийн хөдөлгөөнийг автоматаар удирдахад өргөн ашигладаг.

Хэрэв та гироскопоор ажилладаг бол урт хугацааХэрэв гадны хүчний момент нь чиглэлд тогтмол байвал гироскопын тэнхлэг нь эцсийн эцэст гадны хүчний моментийн чиглэлд тохируулагдана. Энэ үзэгдэлГирокомпаст ашигладаг. Энэ төхөөрөмж нь тэнхлэгийг чөлөөтэй эргүүлэх боломжтой гироскоп юм хэвтээ хавтгай. улмаас өдөр тутмын эргэлтДэлхий ба тухайн үеийн үйлдлүүд төвөөс зугтах хүчГироскопын тэнхлэгийг эргүүлж, хоорондох өнцөг нь хамгийн бага байх болно (Зураг 5.14). Энэ нь гироскопын тэнхлэгийн меридиан хавтгай дахь байрлалтай тохирч байна.

2). Гироскопийн нөлөө.

Хэрэв эргэлтийн тэнхлэгт перпендикуляр тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлэх хандлагатай байгаа эргэдэг гироскопод хос хүчийг хэрэглэвэл эхний хоёр тэнхлэгт перпендикуляр гурав дахь тэнхлэгийг тойрон эргэлдэж эхэлнэ (Зураг 5.15). Гироскопын энэхүү ер бусын зан үйлийг нэрлэдэг гироскопийн нөлөө. Энэ нь хос хүчний момент нь O 1 O 1 тэнхлэгийн дагуу чиглэсэн бөгөөд цаг хугацааны явцад векторын өөрчлөлт нь ижил чиглэлтэй байх болно гэж тайлбарладаг. Үүний үр дүнд шинэ вектор нь O 2 O 2 тэнхлэгтэй харьцуулахад эргэх болно. Тиймээс, анх харахад байгалийн бус гироскопын зан байдал нь эргэлтийн хөдөлгөөний динамикийн хуулиудад бүрэн нийцдэг.

3). Гироскопын прецесс.

Гироскопын прецесс нь түүний тэнхлэгийн конус хэлбэрийн хөдөлгөөн юм. Энэ нь гадны хүчний момент нь гироскопын тэнхлэгтэй зэрэгцэн эргэлдэж, үргэлж зөв өнцгийг үүсгэдэг тохиолдолд тохиолддог. Урт хурдацтай эргэлтийг харуулахын тулд сунгасан тэнхлэгтэй дугуйны дугуйг ашиглаж болно (Зураг 5.16).

Хэрэв дугуй нь тэнхлэгийн сунгасан төгсгөлд дүүжлэгдсэн бол түүний тэнхлэг нь өөрийн жингийн нөлөөн дор босоо тэнхлэгийн эргэн тойронд урагшилж эхэлнэ. Хурдан эргэдэг дээд хэсэг нь мөн прецессийн үзүүлбэр болж чадна.

Гироскопийн прецессийн шалтгааныг олж мэдье. Тэнцвэргүй гироскопыг авч үзье, тэнхлэг нь тодорхой O цэгийн эргэн тойронд чөлөөтэй эргэлддэг (Зураг 5.16). Гироскопод хэрэглэсэн таталцлын момент нь тэнцүү хэмжээтэй байна

Гироскопын масс хаана байна, О цэгээс гироскопын массын төв хүртэлх зай, гироскопын тэнхлэгийн босоо тэнхлэгээс үүссэн өнцөг. Вектор нь гироскопын тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх босоо хавтгайд перпендикуляр чиглэнэ.

Энэ моментийн нөлөөн дор гироскопын өнцгийн импульс (түүний гарал үүсэл нь О цэг дээр байрладаг) цаг хугацааны өсөлтийг авч, гироскопын тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх босоо хавтгай нь өнцгөөр эргэлддэг. Вектор нь үргэлж перпендикуляр байдаг тул хэмжээ өөрчлөгдөхгүйгээр вектор зөвхөн чиглэлд өөрчлөгддөг. Гэсэн хэдий ч хэсэг хугацааны дараа харьцангуй байрлалвекторууд ба-тай ижил байх болно эхлэх мөч. Үүний үр дүнд гироскопын тэнхлэг нь конусыг дүрслэн босоо чиглэлд тасралтгүй эргэлддэг. Энэ хөдөлгөөнийг прецесс гэж нэрлэдэг.

Прецессийн өнцгийн хурдыг тодорхойлъё. 5.16-р зурагт конусын тэнхлэг ба гироскопын тэнхлэгийг дайран өнгөрөх онгоцны эргэлтийн өнцөг нь тэнцүү байна.

Гироскопын өнцгийн импульс хаана байна, түүний цаг хугацааны өсөлт.

Тэмдэглэгдсэн харилцаа, хувиргалтыг харгалзан - -д хувааж, бид прецессийн өнцгийн хурдыг олж авна.

. (5.35)

Технологид хэрэглэгддэг гироскопуудын хувьд прецессийн өнцгийн хурд нь гироскопын эргэлтийн хурдаас хэдэн сая дахин бага байдаг.

Эцэст нь хэлэхэд, прецессийн үзэгдэл нь атомуудад мөн ажиглагдаж байгааг тэмдэглэж байна тойрог замын хөдөлгөөнэлектронууд.

Динамикийн хуулиудын хэрэглээний жишээ

Эргэлтийн хөдөлгөөний үед

1. Жуковскийн вандан сандал ашиглан хэрэгжүүлж болох өнцгийн импульс хадгалагдах хуулийн зарим жишээг авч үзье. Хамгийн энгийн тохиолдолд Жуковскийн вандан сандал нь диск хэлбэртэй платформ (сандал) бөгөөд бөмбөг холхивч дээр босоо тэнхлэгийн эргэн тойронд чөлөөтэй эргэлддэг (Зураг 5.17). Жагсагчид вандан сандал дээр сууж эсвэл зогсож, дараа нь түүнийг эргүүлнэ. Холхивч ашиглахаас үүсэх үрэлтийн хүч маш бага байдаг тул эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад мөргөцөг ба үзүүлэнгээс бүрдэх системийн өнцгийн импульс нь системийг өөрийнхөөрөө орхивол цаг хугацааны явцад өөрчлөгдөх боломжгүй. . Хэрэв жагсагч гартаа хүнд дамббелл барьж, гараа хажуу тийш нь сунгавал тэр системийн инерцийн моментийг ихэсгэх тул өнцгийн импульс өөрчлөгдөхгүй байхын тулд эргэлтийн өнцгийн хурд буурах ёстой.

Өнцгийн импульс хадгалагдах хуулийн дагуу бид тэгшитгэлийг үүсгэдэг энэ хэрэг

Энд хүн ба мөргөцгийн инерцийн момент ба эхний ба хоёр дахь байрлал дахь дамббеллүүдийн инерцийн момент ба системийн өнцгийн хурдууд.

Дамббеллуудыг хажуу тийш нь өргөх үед системийн эргэлтийн өнцгийн хурд нь тэнцүү байх болно

.

ажил, хүн үйлдсэнДамббелл хөдөлж байх үед системийн кинетик энергийн өөрчлөлтөөр тодорхойлж болно

2. Жуковскийн вандан сандал дээр өөр нэг туршилт хийцгээе. Жагсаагч нь вандан сандал дээр сууж эсвэл зогсож, босоо чиглэлтэй тэнхлэгтэй хурдан эргэдэг дугуйг өгдөг (Зураг 5.18). Дараа нь жагсагч дугуйг 180 0 эргүүлнэ. Энэ тохиолдолд дугуйны өнцгийн импульсийн өөрчлөлт нь бүхэлдээ вандан сандал болон жагсагч руу шилждэг. Үүний үр дүнд вандан сандал нь үзүүлэнгийн хамт өнцгийн импульс хадгалагдах хуулийн үндсэн дээр тодорхойлсон өнцгийн хурдаар эргэлдэж эхэлдэг.

Анхны төлөвт байгаа системийн өнцгийн импульс нь зөвхөн дугуйны өнцгийн импульсээр тодорхойлогддог бөгөөд тэнцүү байна.

дугуйны инерцийн момент хаана, түүний эргэлтийн өнцгийн хурд.

Дугуйг 180 0 өнцгөөр эргүүлсний дараа системийн өнцгийн импульс нь хүнтэй мөргөцгийн өнцгийн импульс ба дугуйны өнцгийн импульсийн нийлбэрээр тодорхойлогдоно. Дугуйны өнцгийн импульсийн вектор чиглэлээ эсрэгээр өөрчилж, босоо тэнхлэгт проекц нь сөрөг болсныг харгалзан бид олж авна.

,

Энд "хүн-платформ" системийн инерцийн момент ба мөргөцгийн хүнтэй хамт эргэх өнцгийн хурд.

Өнцгийн импульс хадгалагдах хуулийн дагуу

Тэгээд .

Үүний үр дүнд бид вандан сандлын эргэлтийн хурдыг олдог

3. Массын нимгэн саваа мба урт лсавааны дундуур дайран өнгөрөх босоо тэнхлэгийг тойрон хэвтээ хавтгайд ω=10 с -1 өнцгийн хурдтайгаар эргэлддэг. Нэг хавтгайд үргэлжлүүлэн эргэлдэж байгаа тул саваа хөдөлж, эргэлтийн тэнхлэг нь одоо бариулын төгсгөлийг дайран өнгөрдөг. Хоёр дахь тохиолдолд өнцгийн хурдыг ол.

Энэ асуудалд эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад бариулын массын тархалт өөрчлөгддөг тул савааны инерцийн момент мөн өөрчлөгддөг. Өнцгийн импульс хадгалагдах хуулийн дагуу тусгаарлагдсан систем, бидэнд байна

Энд саваагийн дундуур дамждаг тэнхлэгтэй харьцуулахад бариулын инерцийн момент; нь саваагийн төгсгөлийг дайран өнгөрөх тэнхлэгтэй харьцуулахад инерцийн момент бөгөөд Штейнерийн теоремоор олддог.

Эдгээр илэрхийлэлийг өнцгийн импульс хадгалагдах хуульд орлуулснаар бид олж авна

,

.

4. Савааны урт Л=1.5 м ба масс м 1=10 кг дээд үзүүрээс нугастай өлгөөтэй. -ийн масстай сум м 2=10 гр, хэвтээ чиглэлд =500 м/с хурдтайгаар нисч, саваанд гацсан. Цохилтын дараа саваа ямар өнцгөөр хазайх вэ?

Зураг дээр төсөөлөөд үз дээ. 5.19. харилцан үйлчлэгч биетүүдийн систем "саваа сум". Нөлөөллийн агшин дахь гадны хүчний моментууд (таталцал, тэнхлэгийн урвал) тэгтэй тэнцүү тул бид өнцгийн импульс хадгалагдах хуулийг ашиглаж болно.

Нөлөөллийн өмнөх системийн өнцгийн импульс нь түдгэлзүүлэх цэгтэй харьцуулахад сумны өнцгийн импульстэй тэнцүү байна.

Дараах системийн өнцгийн импульс уян хатан бус нөлөөтомъёогоор тодорхойлно

,

Суудлын цэгтэй харьцуулахад бариулын инерцийн момент хаана, сумны инерцийн момент, цохилтын дараа шууд сумтай саваагийн өнцгийн хурд.

Орлуулсны дараа үүссэн тэгшитгэлийг шийдэж, бид олно

.

Одоо хамгааллын хуулийг ашиглая механик энерги. Сум туссаны дараа савааны кинетик энергийг тэнцүүлж үзье боломжит энергиВ хамгийн өндөр цэгөргөх:

,

Энэ системийн массын төвийн өндрийн өндөр хаана байна.

Шаардлагатай өөрчлөлтүүдийг хийсний дараа бид олж авна

Савааны хазайлтын өнцөг нь харьцаатай холбоотой

.

Тооцооллыг хийсний дараа бид =0.1p=18 0 болно.

5. Биеийн хурдатгал ба утаснуудын хурцадмал байдлыг Атвудын машин дээр (Зураг 5.20) тодорхойлно. Эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад блокийн инерцийн момент нь тэнцүү байна I, блок радиус r. Утасны массыг үл тоомсорло.

Ачаалал ба блок дээр үйлчлэх бүх хүчийг цэгцэлж, тэдгээрийн динамик тэгшитгэлийг байгуулъя.

Хэрэв блокны дагуу утас гулсахгүй бол шугаман болон өнцгийн хурдатгал нь хоорондоо хамааралтай байна.

Эдгээр тэгшитгэлийг шийдэж, бид олж авна

Дараа нь бид T 1 ба T 2-ийг олно.

6. Обербекийн загалмайн дамар дээр утас бэхлэгдсэн байна (Зураг 5.21), үүнээс жинтэй ачаа М= 0.5 кг. Ачаа өндрөөс унахад хэр хугацаа шаардагдахыг тодорхойл h= доод байрлал руу 1 м. Дамрын радиус r=3 см жинтэй дөрвөн жин м= 250 гр тус бүр зайнаас Р= түүний тэнхлэгээс 30 см. Ачааллын инерцийн моменттой харьцуулахад хөндлөн ба дамрын инерцийн моментийг үл тоомсорлодог.

Механик.

Асуулт №1

Лавлах систем. Инерцийн лавлагааны системүүд. Галилео-Эйнштейний харьцангуйн зарчим.

Лавлах хүрээ- энэ нь тухайн биеийн хөдөлгөөн, түүнтэй холбоотой координатын системийг тодорхойлсон биетүүдийн багц юм.

Инерцийн лавлагааны систем (IRS)чөлөөтэй хөдөлж буй бие нь тайван буюу жигд шулуун хөдөлгөөнтэй байх систем юм.

Галилео-Эйнштейний харьцангуйн зарчим- Ямар ч үед байгалийн бүх үзэгдэл инерцийн системТооцоол нь ижил аргаар тохиолддог бөгөөд ижил байна математик хэлбэр. Өөрөөр хэлбэл, бүх ISO тэнцүү байна.

Асуулт №2

Хөдөлгөөний тэгшитгэл. Хөдөлгөөний төрлүүд хатуу. Кинематикийн үндсэн үүрэг.

Материаллаг цэгийн хөдөлгөөний тэгшитгэл:

- хөдөлгөөний кинематик тэгшитгэл

Хатуу биеийн хөдөлгөөний төрлүүд:

1) Орчуулгын хөдөлгөөн - биед зурсан аливаа шулуун шугам өөртэйгээ зэрэгцээ хөдөлдөг.

2) Эргэлтийн хөдөлгөөн - биеийн аль ч цэг тойрог хэлбэрээр хөдөлдөг.

φ = φ(t)

Кинематикийн үндсэн үүрэг- энэ нь материаллаг цэгийн хурдны V= V(t) ба координат (эсвэл радиус вектор) r = r(t) -ын хурдатгалын a = a(t) хугацааны хамаарлаас цаг хугацааны хамаарлыг олж авах явдал юм. болон мэдэгдэж байгаа анхны нөхцөл V 0 ба r 0.

Асуулт №7

Судасны цохилт (Хөдөлгөөний хэмжээ) - хэмжүүрийг тодорхойлдог вектор физик хэмжигдэхүүн механик хөдөлгөөнбие. IN сонгодог механикбиеийн импульс бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байнамасс мэнэ цэгийг хурдаараа v, импульсийн чиглэл нь хурдны векторын чиглэлтэй давхцдаг.

IN онолын механик ерөнхий импульснь системийн Лагранжийн хэсэгчилсэн дериватив юм ерөнхий хурд

Системийн лагранж заримаас хамаарахгүй бол ерөнхий координатууд, дараа нь улмаас Лагранжийн тэгшитгэл .

Учир нь чөлөөт бөөмсЛагранж функц нь дараах хэлбэртэй байна, иймээс:

Хаалттай системийн Лагранжийн орон зай дахь байрлалаас үл хамаарах байдал нь өмчөөс хамаарна орон зайн нэгэн төрлийн байдал: сайн тусгаарлагдсан системийн хувьд түүний зан төлөв нь бидний орон зайд хаана байрлуулахаас хамаардаггүй. By Ноетерийн теоремЭнэ нэгэн төрлийн байдлаас зарим нэг физик хэмжигдэхүүн хадгалагдана. Энэ хэмжигдэхүүнийг импульс (ердийн, ерөнхий бус) гэж нэрлэдэг.

Сонгодог механикийн хувьд бүрэн импульсматериаллаг цэгүүдийн систем гэж нэрлэдэг вектор хэмжигдэхүүн, материаллаг цэгүүдийн массын бүтээгдэхүүн ба тэдгээрийн хурдны нийлбэртэй тэнцүү:

үүний дагуу хэмжигдэхүүнийг нэг материаллаг цэгийн импульс гэж нэрлэдэг. Энэ нь бөөмийн хурдтай ижил чиглэлд чиглэсэн вектор хэмжигдэхүүн юм. Импульсийн нэгж нь дотор байна Олон улсын системнэгж (SI) байна килограмм-метр секунд(кг м/с)

Хэрэв бид хязгаарлагдмал хэмжээтэй биетэй харьцаж байгаа бол түүний импульсийг тодорхойлохын тулд биеийг материаллаг цэгүүд гэж үзэж, тэдгээрийн дээр нэгтгэж болох жижиг хэсгүүдэд хуваах шаардлагатай бөгөөд үр дүнд нь бид дараахь зүйлийг олж авна.

Ямар ч нөлөөлөлд өртөөгүй системийн импульс гадаад хүч(эсвэл тэдэнд нөхөн олговор олгодог) хадгалсанцаг хугацаанд нь:

Энэ тохиолдолд импульсийн хадгалалт нь Ньютоны хоёр ба гурав дахь хуулиас хамаарна: системийг бүрдүүлэгч материаллаг цэг тус бүрээр Ньютоны хоёрдугаар хуулийг бичиж, системийг бүрдүүлэгч бүх материаллаг цэгүүдийг нэгтгэснээр Ньютоны гурав дахь хуулийн дагуу бид тэгш байдлыг олж авна (* ).

IN харьцангуй механикхарилцан үйлчилдэггүй материаллаг цэгүүдийн системийн гурван хэмжээст импульс нь хэмжигдэхүүн юм

,

Хаана м би- жин биматериаллаг цэг.

Харилцан хамааралгүй материаллаг цэгүүдийн хаалттай системийн хувьд энэ утга хадгалагдана. Гэсэн хэдий ч гурван хэмжээст импульс нь жишиг хүрээнээс хамаардаг тул харьцангуй өөрчлөгддөггүй хэмжигдэхүүн биш юм. Илүү утга учиртай хэмжигдэхүүн нь нэг материаллаг цэгийн хувьд тодорхойлогддог дөрвөн хэмжээст импульс байх болно

Практикт бөөмийн масс, импульс, энергийн хоорондын дараах хамаарлыг ихэвчлэн ашигладаг.

Зарчмын хувьд харилцан үйлчлэлгүй материаллаг цэгүүдийн системийн хувьд тэдгээрийн 4 моментийг нэгтгэсэн болно. Гэсэн хэдий ч харьцангуй механикийн харилцан үйлчлэлийн хэсгүүдийн хувьд зөвхөн системийг бүрдүүлдэг бөөмсийн импульс төдийгүй тэдгээрийн хоорондын харилцан үйлчлэлийн талбайн импульсийг харгалзан үзэх шаардлагатай. Тиймээс харьцангуй механикийн хувьд илүү утга учиртай хэмжигдэхүүн бол хадгалалтын хуулийг бүрэн хангадаг энерги-моментийн тензор юм.

Асуулт №8

Инерцийн момент- скаляр физик хэмжигдэхүүн, тэнхлэгийг тойрон эргэх хөдөлгөөнд байгаа биеийн инерцийн хэмжүүр, биеийн масс нь түүний хөрвүүлэх хөдөлгөөн дэх инерцийн хэмжигдэхүүнтэй адил. Бие дэх массын тархалтаар тодорхойлогддог: инерцийн момент нийлбэртэй тэнцүү байнахүртэлх зайны квадратаар энгийн массын бүтээгдэхүүнүүд суурь багц

Тэнхлэгийн инерцийн момент

Зарим биеийн инерцийн тэнхлэгийн моментууд.

инерцийн момент механик систем тогтмол тэнхлэгтэй харьцуулахад (“тэнхлэгийн инерцийн момент”) хэмжигдэхүүн Ж а, бүх массын бүтээгдэхүүний нийлбэртэй тэнцүү nСистемийн материаллаг цэгүүдийг тэнхлэг хүртэлх зайны квадратаар:

,

• м би- жин бир цэг,
• r i-аас зайтай битэнхлэг рүү чиглэсэн цэг.

Тэнхлэг инерцийн моментбие Ж ань тэнхлэгийг тойрон эргэх хөдөлгөөнд байгаа биеийн инерцийн хэмжүүр юм, яг л биеийн масс нь хөрвүүлэх хөдөлгөөн дэх түүний инерцийн хэмжүүр юм.

,

• dm = ρ dV- биеийн эзэлхүүний жижиг элементийн масс dV,
• ρ - нягтрал,
• r- элементээс зай dVтэнхлэгт a.

Хэрэв бие нь нэгэн төрлийн бол, өөрөөр хэлбэл түүний нягт нь хаа сайгүй ижил байна

Томъёоны гарал үүсэл

dmба инерцийн моментууд dJ i. Дараа нь

Нимгэн ханатай цилиндр (цагираг, цагираг)

Томъёоны гарал үүсэл

Биеийн инерцийн момент нь түүний бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн инерцийн моментуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. Нимгэн ханатай цилиндрийг масстай элементүүдэд хуваа dmба инерцийн моментууд dJ i. Дараа нь

Нимгэн ханатай цилиндрийн бүх элементүүд нь эргэлтийн тэнхлэгээс ижил зайд байрладаг тул (1) томъёог хэлбэрт шилжүүлнэ.

Штайнерын теорем

Инерцийн моменталиваа тэнхлэгтэй харьцуулахад хатуу биет нь зөвхөн биеийн масс, хэлбэр, хэмжээ зэргээс гадна биеийн энэ тэнхлэгтэй харьцуулахад байрлалаас хамаарна. Штайнерын теоремын дагуу (Гюйгенс-Штайнер теорем) инерцийн моментбие Ждурын тэнхлэгтэй харьцуулахад нийлбэртэй тэнцүү байна инерцийн моментэнэ бие Jcавч үзэж буй тэнхлэгтэй параллель биеийн массын төвөөр дамжин өнгөрөх тэнхлэгтэй харьцуулахад, биеийн массын үржвэр мзайны квадрат тутамд гтэнхлэгүүдийн хооронд:

Хэрэв биеийн массын төвийг дайран өнгөрөх тэнхлэгтэй харьцуулахад биеийн инерцийн момент бол түүнээс хол зайд байрлах параллель тэнхлэгтэй харьцуулахад инерцийн момент нь тэнцүү байна.

,

Хаана - нийт жинбие.

Жишээлбэл, саваагийн төгсгөлийг дайран өнгөрөх тэнхлэгтэй харьцуулахад инерцийн момент нь дараахтай тэнцүү байна.

Эргэлтийн энерги

Эргэлтийн хөдөлгөөний кинетик энерги- эргэлттэй холбоотой биеийн энерги.

Үндсэн кинематик шинж чанаруудбиеийн эргэлтийн хөдөлгөөн - түүний өнцгийн хурд (ω) ба өнцгийн хурдатгал. Эргэлтийн хөдөлгөөний үндсэн динамик шинж чанарууд - z эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад өнцгийн импульс:

К з = Би Зω

ба кинетик энерги

Энд I z нь эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад биеийн инерцийн момент юм.

Инерцийн үндсэн тэнхлэгтэй эргэдэг молекулыг авч үзэх үед ижил төстэй жишээг олж болно би 1, би 2Тэгээд би 3. Эргэлтийн энергиийм молекулыг илэрхийллээр өгөгдсөн

Хаана ω 1, ω 2, Мөн ω 3- өнцгийн хурдны үндсэн бүрэлдэхүүн хэсгүүд.

Ерөнхийдөө өнцгийн хурдтай эргэлтийн энергийг дараах томъёогоор олно.

, Хаана I- инерцийн тензор.

Асуулт №9

Импульсийн мөч (өнцгийн импульс, өнцгийн импульс, тойрог замын импульс, өнцгийн импульс) эргэлтийн хөдөлгөөний хэмжээг тодорхойлдог. Хэр их масс эргэлдэж байгаа, эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад хэрхэн тархсан, эргэлт ямар хурдаар явагдах зэргээс хамаарах хэмжигдэхүүн.

Энд эргэлдэгч гэж ойлгогддог гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй өргөн утгаараа, зөвхөн нэг тэнхлэгийн эргэн тойронд тогтмол эргэлддэг. Жишээ нь, тэр ч байтугай хамт шулуун хөдөлгөөнбие нь хөдөлгөөний шугам дээр оршдоггүй дурын төсөөллийн цэгийг өнгөрч, мөн өнцгийн импульстэй байдаг. Бодит эргэлтийн хөдөлгөөнийг дүрслэхдээ өнцгийн импульс хамгийн их үүрэг гүйцэтгэдэг байж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч энэ нь илүү өргөн хүрээний асуудлын хувьд маш чухал юм (ялангуяа асуудал нь төв эсвэл тэнхлэгийн тэгш хэм, гэхдээ зөвхөн эдгээр тохиолдолд биш).

Өнцгийн импульс хадгалагдах хууль(хамгаалалтын хууль өнцгийн импульс) - системийн тэнцвэрт байдлын хувьд хаалттай системийн аль ч тэнхлэгтэй харьцуулахад бүх өнцгийн импульсийн векторын нийлбэр тогтмол хэвээр байна. Үүний дагуу хаалттай системийн өнцгийн импульс нь цаг хугацааны хувьд өнцгийн импульсийн аливаа деривативтай харьцуулахад хүчний момент юм.

Тиймээс системийг хаах шаардлагыг гадны хүчний гол (нийт) момент тэгтэй тэнцүү байх шаардлагад сулруулж болно.

бөөмсийн системд үйлчлэх хүчний аль нэгний момент хаана байна. (Гэхдээ мэдээжийн хэрэг, хэрэв гадны хүчин огт байхгүй бол энэ шаардлагыг бас хангана).

Математикийн хувьд өнцгийн импульс хадгалагдах хууль нь орон зайн изотропи, өөрөөр хэлбэл орон зайн эргэлттэй харьцуулахад өөрчлөгдөөгүй байдлаас үүсдэг. дурын өнцөг. Дурын хязгааргүй жижиг өнцгөөр эргүүлэхэд тоотой бөөмийн радиус вектор , хурд нь - -ээр өөрчлөгдөнө. Системийн Лагранж функц нь орон зайн изотропийн улмаас ийм эргэлтээр өөрчлөгдөхгүй. Тийм ч учраас