Математикийн бутархай. Бутархай, бутархай, тодорхойлолт, тэмдэглэгээ, жишээ, бутархайтай үйлдлүүд

Энгийн бутархайн тодорхойлолт

Тодорхойлолт 1

Энгийн бутархайхувьцааны тоог тодорхойлоход ашигладаг. Энгийн бутархайг тодорхойлоход ашиглаж болох жишээг авч үзье.

Алимыг 8 долларын хувьцаанд хуваасан. Энэ тохиолдолд хувьцаа бүр нь бүхэл бүтэн алимны наймны нэгийг төлөөлдөг, өөрөөр хэлбэл $\frac(1)(8)$. Хоёр хувьцааг $\frac(2)(8)$, гурван хувьцааг $\frac(3)(8)$ гэх мэтээр, 8$-ыг $\frac(8)(8)$ гэж тэмдэглэнэ. Оруулсан бичлэг бүрийг дуудна энгийн бутархай.

өгье ерөнхий тодорхойлолтэнгийн бутархай.

Тодорхойлолт 2

Энгийн бутархай$\frac(m)(n)$ хэлбэрийн тэмдэглэгээ гэж нэрлэгддэг ба $m$ ба $n$ нь дурын натурал тоо юм.

Та энгийн бутархайн дараах тэмдэглэгээг ихэвчлэн олж болно: $m/n$.

Жишээ 1

Энгийн бутархайн жишээ:

\[(3)/(4), \frac(101)(345),\ \ (23)/(5), \frac(15)(15), (111)/(81).\]

Тайлбар 1

Тоонууд $\frac(\sqrt(2))(3)$, $-\frac(13)(37)$, $\frac(4)(\frac(2)(7))$, $\frac( 2,4)(8,3)$ нь энгийн бутархай биш, учир нь дээрх тодорхойлолтод тохирохгүй байна.

Тоолуур ба хуваагч

Энгийн бутархай нь тоологч ба хуваагчаас бүрдэнэ.

Тодорхойлолт 3

Тоологчэнгийн бутархай $\frac(m)(n)$ гэж нэрлэдэг натурал тоо$m$ бөгөөд энэ нь нэг бүхэлээс авсан тэнцүү хэсгүүдийн тоог харуулдаг.

Тодорхойлолт 4

ХуваагчЭнгийн бутархай $\frac(m)(n)$ нь бүхэл бүтэн хэдэн тэнцүү хэсэгт хуваагдаж байгааг харуулдаг $n$ натурал тоо юм.

Зураг 1.

Тоолуур нь бутархай шугамын дээгүүр, хуваагч нь бутархай шугамын доор байрлана. Жишээлбэл, $\frac(5)(17)$ энгийн бутархайн хуваагч нь $5$, хуваагч нь $17$ байна. Зүйл нь 17$-ын хувьцаанд хуваагдаж байгааг, тоологч нь 5$-ын ийм хувьцааг авсан болохыг харуулж байна.

Натурал тоог хуваагч 1-тэй бутархай

Энгийн бутархайн хуваагч нь нэг байж болно. Энэ тохиолдолд объектыг хуваагдашгүй гэж үздэг, i.e. нэг цогцыг илэрхийлдэг. Ийм бутархайн тоологч нь хичнээн бүхэл объект авсныг харуулдаг. $\frac(m)(1)$ хэлбэрийн энгийн бутархай нь $m$ натурал тооны утгатай байна. Тиймээс бид $\frac(m)(1)=m$ үндэслэлтэй тэгш байдлыг олж авна.

Хэрэв бид тэгш байдлыг $m=\frac(m)(1)$ хэлбэрээр дахин бичвэл ямар ч натурал $m$ тоог энгийн бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх боломжтой болно. Жишээлбэл, $5$ тоог $\frac(5)(1)$ бутархай, $123\456$ тоог $\frac(123\456)(1)$ бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Иймд дурын натурал тоо $m$-ийг $1$ хуваагчтай энгийн бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болох ба $\frac(m)(1)$ хэлбэрийн дурын энгийн бутархайг $m$ натурал тоогоор сольж болно.

Хуваах тэмдэг болгон бутархай бар

Объектыг $n$ хэсэг хэлбэрээр дүрслэх нь $n$ тэнцүү хэсгүүдэд хуваагдана. Нэг зүйлийг $n$-д хуваасны дараа үүнийг $n$ хүмүүсийн хооронд тэнцүү хувааж болно - тус бүр нэг хувьцаа авах болно.

$m$ байх болтугай ижил зүйлүүд, $n$ хэсэгт хуваагдана. Эдгээр $m$ зүйлсийг $m$ зүйл тус бүрээс нэг хүнд өгөх замаар $n$ хүмүүсийн дунд тэнцүү хувааж болно. Энэ тохиолдолд хүн бүр $\frac(1)(n)$-ийн $m$ хувьцаа авах бөгөөд энэ нь $\frac(m)(n)$ энгийн бутархайг өгдөг. Бид $\frac(m)(n)$ энгийн бутархайг $n$ хүмүүсийн хооронд $m$ зүйлийг хуваахыг тэмдэглэхэд ашиглаж болохыг олж мэдсэн.

Энгийн бутархай ба хуваагдлын хоорондох холбоо нь бутархайн самбарыг хуваах тэмдэг гэж ойлгож болно, өөрөөр хэлбэл. $\фрак(м)(n)=m:n$.

Энгийн бутархай нь бүхэл хуваагдал хийгдээгүй хоёр натурал тоог хуваах үр дүнг бичих боломжтой болгодог.

Жишээ 2

Жишээлбэл, $7$ алимыг $9$ хүмүүст хуваах үр дүнг $\frac(7)(9)$ гэж бичиж болно, өөрөөр хэлбэл. Хүн бүр алимны есийн долоог авах болно: $7:9=\frac(7)(9)$.

Тэгш ба тэгш бус бутархай, бутархайн харьцуулалт

Хоёр энгийн бутархайг харьцуулсны үр дүн нь тэдгээрийн тэгш байдал эсвэл тэгш бус байдал байж болно. Энгийн бутархайг тэнцүү гэж нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл энгийн бутархайг тэгш бус гэж нэрлэдэг.

тэнцүү, хэрэв $a\cdot d=b\cdot c$ тэгшитгэл үнэн бол.

$\frac(a)(b)$ ба $\frac(c)(d)$ энгийн бутархайг нэрлэдэг. тэгш бус, хэрэв $a\cdot d=b\cdot c$ тэгшитгэл биелэхгүй бол.

Жишээ 3

$\frac(1)(3)$ ба $\frac(2)(6)$ бутархайнууд тэнцүү эсэхийг олоорой.

Тэгш байдал хангагдсан бөгөөд энэ нь $\frac(1)(3)$ ба $\frac(2)(6)$ бутархай тэнцүү байна: $\frac(1)(3)=\frac(2)( 6) доллар.

Энэ жишээг алим ашиглан авч үзэж болно: хоёр ижил алимны нэг нь гурван тэнцүү хувьцаанд, хоёр дахь нь 6 долларын хувьцаанд хуваагдана. Алимны зургааны хоёр нь $\frac(1)(3)$ хувийг бүрдүүлдэг болохыг харж болно.

Жишээ 4

$\frac(3)(17)$ ба $\frac(4)(13)$ энгийн бутархайнууд тэнцүү эсэхийг шалгана уу.

$a\cdot d=b\cdot c$ тэгш байдал хангагдсан эсэхийг шалгая:

\ \

Тэгш байдал хангагдахгүй бөгөөд энэ нь $\frac(3)(17)$ ба $\frac(4)(13)$ бутархайнууд тэнцүү биш гэсэн үг: $\frac(3)(17)\ne \frac( 4)(13) доллар.

Хоёр энгийн бутархайг харьцуулж, тэдгээр нь тэнцүү биш болохыг олж мэдээд аль нь нөгөөгөөсөө том, аль нь жижиг болохыг олж мэдэх боломжтой. Үүнийг хийхийн тулд энгийн бутархайг харьцуулах дүрмийг ашиглана: та бутархайг нийтлэг хуваагч руу авчирч, дараа нь тэдгээрийн тоог харьцуулах хэрэгтэй. Аль бутархай нь илүү том тоологчтой байна, тэр бутархай нь том байх болно.

Координатын туяа дээрх бутархай

Энгийн бутархайтай тохирох бүх бутархай тоог координатын туяа дээр харуулж болно.

Координатын туяа дээрх $\frac(m)(n)$ бутархайтай тохирох цэгийг тэмдэглэхийн тулд координатын гарал үүслээс эерэг чиглэлд $m$ сегментүүдийг зурах шаардлагатай бөгөөд тэдгээрийн урт нь $\ байна. frac(1)(n)$ нэгж сегментийн бутархай . Ийм сегментийг нэгж сегментийг $n$ тэнцүү хэсгүүдэд хуваах замаар олж авдаг.

Координатын цацраг дээр бутархай тоог харуулахын тулд нэгж сегментийг хэсэг болгон хуваах хэрэгтэй.

Зураг 2.

Тэнцүү бутархайг ижил бутархай тоогоор дүрсэлсэн, i.e. тэнцүү бутархайкоординатын туяа дээрх ижил цэгийн координатыг илэрхийлнэ. Жишээлбэл, $\frac(1)(3)$, $\frac(2)(6)$, $\frac(3)(9)$, $\frac(4)(12)$ координатууд Бүх бичигдсэн бутархайнууд тэнцүү тул координатын туяа дээрх ижил цэгтэй байна.

Хэрэв цэгийг илүү том бутархай координатаар дүрсэлсэн бол координат нь байгаа цэгээс баруун тийш чиглэсэн хэвтээ координатын туяа дээр баруун талд байрлана. жижиг хэсэг. Жишээлбэл, учир нь фракц $\frac(5)(6)$ илүү их бутархай$\frac(2)(6)$, тэгвэл $\frac(5)(6)$ координаттай цэг нь $\frac(2)(6)$ координаттай цэгийн баруун талд байрлана.

Үүний нэгэн адил жижиг координаттай цэг нь том координаттай цэгийн зүүн талд байх болно.

Математикийн хувьд бутархай гэдэг нь нэгжийн нэг буюу хэд хэдэн хэсгээс (бутархай) бүрдэх тоо юм. Бичлэгийн хэлбэрийн дагуу бутархайг энгийн (жишээ нь \frac(5)(8)) ба аравтын бутархай (жишээ нь 123.45) гэж хуваадаг.

Тодорхойлолт. Энгийн бутархай (эсвэл энгийн бутархай)

Энгийн (энгийн) бутархай m ба n нь натурал тоонууд болох \pm\frac(m)(n) хэлбэрийн тоо гэж нэрлэдэг. m тоог дууддаг тоологчэнэ бутархай бөгөөд n тоо нь түүний байна хуваагч.

Хэвтээ эсвэл налуу зураас нь хуваах тэмдгийг заана, өөрөөр хэлбэл \frac(m)(n)=()^m/n=m:n

Энгийн бутархайг зөв ба буруу гэсэн хоёр төрөлд хуваадаг.

Тодорхойлолт. Зөв ба буруу бутархай

ЗөвХугацагч нь хуваагчаасаа бага бутархайг бутархай гэнэ. Жишээлбэл, \frac(9)(11) , учир нь 9

Буруутоологч нь түүнээс их буюу тэнцүү бутархай модультай тэнцүүхуваагч. Ийм бутархай нь рационал тоо, модуль нь эсвэл-ээс их байна нэгтэй тэнцүү. Жишээ нь \frac(11)(2) , \frac(2)(1) , -\frac(7)(5) , \frac(1)(1) фракцууд байж болно.

Бутархай бутархайн зэрэгцээ тооны өөр нэг дүрслэл байдаг бөгөөд үүнийг дууддаг холимог фракц(холимог тоо). Энэ бол энгийн фракц биш юм.

Тодорхойлолт. Холимог бутархай (холимог тоо)

Холимог бутархайбүхэл тоогоор бичигдсэн бутархай ба зөв бутархайбөгөөд энэ тоо ба бутархайн нийлбэр гэж ойлгогдоно. Жишээлбэл, 2\frac(5)(7)

(маягтанд бичнэ үү холимог тоо) 2\frac(5)(7)=2+\frac(5)(7)=\frac(14)(7)+\frac(5)(7)=\frac(19)(7) (бичлэг зэрэг буруу бутархай)

Бутархай нь зөвхөн тооны дүрслэл юм. Үүнтэй ижил тоо таарч болно өөр өөр фракцууд, энгийн болон аравтын бутархай аль аль нь. Хоёр энгийн бутархайн тэгш байдлын тэмдэг үүсгэцгээе.

Тодорхойлолт. Бутархайн тэгш байдлын тэмдэг

\frac(a)(b) ба \frac(c)(d) хоёр бутархай байна тэнцүү, хэрэв a\cdot d=b\cdot c . Жишээлбэл, 2\cdot12=3\cdot8-аас хойш \frac(2)(3)=\frac(8)(12)

Энэ шинж чанараас бутархайн үндсэн шинж чанарыг дагадаг.

Өмч. Бутархайн үндсэн шинж чанар

Өгөгдсөн бутархайн хуваагч ба хуваагчийг тэгтэй тэнцүү биш ижил тоогоор үржүүлж эсвэл хуваавал өгөгдсөнтэй тэнцэх бутархай гарна.

\frac(A)(B)=\frac(A\cdot C)(B\cdot C)=\frac(A:K)(B:K);\quad C \ne 0,\quad K \ne 0

Үндсэн шинж чанарыг ашиглан бутархайг сольж болно өгөгдсөн бутархайөгөгдсөнтэй тэнцэх өөр бутархай, харин бага тоо болон хуваагчтай. Энэ орлуулалтыг бутархай бууруулах гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, \frac(12)(16)=\frac(6)(8)=\frac(3)(4) (энд тоологч ба хуваагчийг эхлээд 2-т, дараа нь 2-т хуваасан). Бутархайг зөвхөн тоо болон хуваагч нь харилцан үл хамаарах тохиолдолд л багасгаж болно. анхны тоонууд. Хэрэв өгөгдсөн бутархайн хуваагч ба хуваагч нь харилцан анхны байвал бутархайг багасгах боломжгүй, жишээлбэл, \frac(3)(4) нь бууруулж болохгүй бутархай байна.

Эерэг бутархайн дүрэм:

Хоёр бутархайгаас -тай ижил хуваагч Тоолуур нь их байгаа бутархай нь их байна. Жишээ нь, \frac(3)(15)

Хоёр бутархайгаас ижил тоологчтойИх байх нь хуваарь нь бага байх бутархай юм. Жишээлбэл, \frac(4)(11)>\frac(4)(13) .

Хоёр бутархайг өөр өөр тоо болон хуваагчтай харьцуулахын тулд хоёр бутархайг хуваагч нь ижил байхаар хөрвүүлэх ёстой. Энэ хувиргалтыг бутархайг нийтлэг хуваагч болгон бууруулах гэж нэрлэдэг.

Энгийн бутархай

Квартал

1. Эмх цэгцтэй байдал. аТэгээд бТэдгээрийн хоорондох гурван харилцааны зөвхөн нэгийг нь ялгах боломжийг олгодог дүрэм байдаг: "< », « >"эсвэл " = ". Энэ дүрмийг гэж нэрлэдэг захиалгын дүрэмба дараах байдлаар томъёолсон: хоёр сөрөг бус тоонуудмөн хоёр бүхэл тоотой ижил хамаарлаар холбогддог ба ; хоёр эерэг бус тоо аТэгээд бнь сөрөг бус хоёр тоотой ижил хамаарлаар холбогдсон ба ; хэрэв гэнэт асөрөг биш, гэхдээ б- тэгвэл сөрөг а > б.

   

   src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

2. Бутархай нэмэхНэмэлт үйл ажиллагаа. аТэгээд бАливаа рационал тоонуудын хувьд гэж нэрлэгддэг зүйл байдаг нэгтгэх дүрэмв нэгтгэх дүрэм. Үүний зэрэгцээ тоо өөрөө дуудсанхэмжээ аТэгээд бтоо ба -аар тэмдэглэгдэх ба ийм тоог олох үйл явцыг гэнэнийлбэр .
3. . Дүгнэлтийн дүрэм нь дараах хэлбэртэй байна.Нэмэлт үйл ажиллагаа. аТэгээд бАливаа рационал тоонуудын хувьд Үржүүлэх үйл ажиллагаа.үржүүлэх дүрэм нэгтгэх дүрэмв нэгтгэх дүрэм. Үүний зэрэгцээ тоо өөрөө , энэ нь тэдэнд ямар нэг оновчтой тоог өгдөгхэмжээ аТэгээд бажил ба -аар тэмдэглэдэг ба ийм тоог олох үйл явцыг мөн нэрлэдэгүржүүлэх .
4. . Үржүүлэх дүрэм дараах байдалтай байна.Захиалгын харилцааны шилжилт. а , бТэгээд нэгтгэх дүрэмДурын гурвалсан рационал тоонуудын хувьд аХэрэв бТэгээд бХэрэв нэгтгэх дүрэмбага аХэрэв нэгтгэх дүрэм, Тэр а, мөн хэрэв бТэгээд б, мөн хэрэв нэгтгэх дүрэмбага а, мөн хэрэв нэгтгэх дүрэмтэнцүү байна
5. . 6435">Нэмэх солих чадвар. Рационал нэр томьёоны газрыг өөрчлөхөд нийлбэр өөрчлөгдөхгүй. Нэмэлтийн холбоо.Захиалга
6. гурав нэмнэоновчтой тоо нь үр дүнд нөлөөлөхгүй.
7. Тэг байгаа эсэх.Нэмэх үед бусад бүх рационал тоог хадгалдаг 0 рационал тоо байдаг.
8. Эсрэг тоо байгаа эсэх.Аливаа рационал тоо нь эсрэг рационал тоотой байдаг бөгөөд энэ тоо нь нэмэхэд 0 болно.
9. Үржүүлэхийн шилжих чадвар.Рационал хүчин зүйлсийн байршлыг өөрчлөх нь бүтээгдэхүүнийг өөрчлөхгүй.
10. Үржүүлэхийн холбоо.Гурван оновчтой тоог үржүүлэх дараалал нь үр дүнд нөлөөлөхгүй.
11. Нэгжийн бэлэн байдал.Үржүүлэхэд бусад бүх рационал тоог хадгалдаг 1 рационал тоо байдаг.
12. Харилцан тоо байгаа эсэх.Аливаа рационал тоо нь урвуу рационал тоотой бөгөөд үүнийг үржүүлэхэд 1 болно.
13. Нэмэхтэй харьцуулахад үржүүлгийн тархалт.Үржүүлэх үйлдлийг нэмэх үйлдэлтэй хуваарилах хуулиар зохицуулдаг. Нэмэх үйлдэлтэй дарааллын харьцааны холболт. Зүүн тийш болонТа ижил оновчтой тоог нэмж болно.
14. /зураг/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">Архимедийн аксиом. аЯмар ч оновчтой тоо а, та тэдгээрийн нийлбэр нь хэтэрсэн маш олон нэгж авч болно

.

src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Нэмэлт шинж чанарууд

Рационал тоонд хамаарах бусад бүх шинж чанаруудыг үндсэн шинж чанарууд гэж ялгадаггүй, учир нь ерөнхийдөө бүхэл тооны шинж чанарууд дээр шууд үндэслэхээ больсон боловч өгөгдсөн үндсэн шинж чанарууд дээр үндэслэн эсвэл математикийн зарим объектын тодорхойлолтоор шууд нотлогдож болно. . Ийм нэмэлт шинж чанарууд зөндөө бий. Энд зөвхөн цөөн хэдэн зүйлийг жагсаах нь утга учиртай юм.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Олонлогийн тоолох чадвар

Рационал тоонуудын дугаарлалт Рационал тоонуудын тоог тооцоолохын тулд тэдгээрийн багцын үндсэн байдлыг олох хэрэгтэй. Рационал тооны багц нь тоолж болдог гэдгийг батлахад хялбар байдаг. Үүнийг хийхийн тулд рационал тоонуудыг тоолох, өөрөөр хэлбэл рационал болон натурал тооны олонлогуудын хоорондох ялгааг бий болгох алгоритмыг өгөхөд хангалттай.Эдгээр алгоритмуудын хамгийн энгийн нь иймэрхүү харагдаж байна. Энгийн бутархайн төгсгөлгүй хүснэгтийг тус бүр дээр нь эмхэтгэсэн би- тус бүр дэх мөр Рационал тоонуудын тоог тооцоолохын тулд тэдгээрийн багцын үндсэн байдлыг олох хэрэгтэй. Рационал тооны багц нь тоолж болдог гэдгийг батлахад хялбар байдаг. Үүнийг хийхийн тулд рационал тоонуудыг тоолох, өөрөөр хэлбэл рационал болон натурал тооны олонлогуудын хоорондох ялгааг бий болгох алгоритмыг өгөхөд хангалттай. j бибутархай байрласан багана. Тодорхой байхын тулд энэ хүснэгтийн мөр, багануудыг нэгээс эхлэн дугаарласан гэж үздэг. Хүснэгтийн нүдийг , хаана гэж тэмдэглэнэ

- нүд байрлах хүснэгтийн эгнээний дугаар, ба

- баганын дугаар.

Үр дүнгийн хүснэгтийг "могой" ашиглан дараах албан ёсны алгоритмын дагуу тойрно. Эдгээр дүрмүүдийг дээрээс доош хайж, эхний тохирол дээр үндэслэн дараагийн байрлалыг сонгоно.Ийм эргэлтийн явцад шинэ рационал тоо бүр өөр натурал тоотой холбоотой байдаг. Өөрөөр хэлбэл, 1/1 бутархайг 1-ийн тоонд, 2/1-ийн бутархайг 2-ын тоонд хуваарилдаг. Зөвхөн үүнийг анхаарах хэрэгтэй.

Энэ алгоритмын дагуу бид бүх эерэг рационал тоог тоолж болно. Энэ нь эерэг рационал тооны багцыг тоолж болно гэсэн үг юм. Рационал тоо бүрд эсрэгээр нь оноож өгснөөр эерэг ба сөрөг рационал тоонуудын хоорондын ялгааг тогтооход хялбар байдаг. Тэр. сөрөг рационал тооны олонлогийг мөн тоолох боломжтой. Тэдний нэгдэл нь мөн тоолж болох олонлогийн шинж чанараар тоологддог. Рационал тооны олонлогийг мөн тоолж болох олонлогийн төгсгөлтэй олонлогийн нэгдэл гэж тооцдог.

Рационал тооны олонлогийг тоолох тухай мэдэгдэл нь зарим нэг төөрөгдөл үүсгэж магадгүй, учир нь эхлээд харахад энэ нь натурал тоонуудын багцаас хамаагүй өргөн юм шиг санагддаг. Үнэн хэрэгтээ энэ нь тийм биш бөгөөд бүх оновчтой тоог тоолоход хангалттай натурал тоонууд байдаг.

Рационал тоо дутагдалтай

Ийм гурвалжны гипотенузыг ямар ч хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй оновчтой тоо

Маягтын рационал тоо 1 / nтомоор nдур мэдэн бага хэмжээгээр хэмжиж болно. Энэ баримтыг бий болгодог төөрөгдүүлсэн сэтгэгдэлРационал тоог дурын геометрийн зайг хэмжихэд ашиглаж болно. Энэ нь үнэн биш гэдгийг харуулахад хялбар байдаг.

Пифагорын теоремоос бид тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенузыг түүний хөлийн квадратуудын нийлбэрийн квадрат язгуураар илэрхийлдэг гэдгийг бид мэднэ. Тэр. ижил хажуугийн гипотенузын урт зөв гурвалжиннэгж хөлтэй нь квадрат нь 2-той тэнцүү тоо юм.

Хэрэв бид тоог ямар нэг рационал тоогоор илэрхийлж болно гэж үзвэл ийм бүхэл тоо байна ммөн ийм натурал тоо n, тэр нь , мөн бутархай нь буурах боломжгүй, өөрөөр хэлбэл тоонууд мТэгээд n- харилцан энгийн.

Хэрэв бол , өөрөөр хэлбэл м 2 = 2n 2. Тиймээс тоо м 2 нь тэгш, гэхдээ хоёрын үржвэр сондгой тоосондгой, энэ нь тоо өөрөө гэсэн үг юм мбас жигд. Тэгэхээр натурал тоо байна к, ийм тоо мхэлбэрээр төлөөлж болно м = 2к. Тооны квадрат мЭнэ утгаар м 2 = 4к 2, гэхдээ нөгөө талаас м 2 = 2n 2 гэдэг нь 4 гэсэн үг к 2 = 2n 2, эсвэл n 2 = 2к 2. Өмнөх дугаарт үзүүлсэн шиг м, энэ нь тоо гэсэн үг n- тэр ч байтугай м. Гэхдээ хоёулаа хоёр хуваагдсан тул тэдгээр нь харьцангуй анхдагч биш юм. Үүний үр дүнд гарсан зөрчил нь оновчтой тоо биш гэдгийг баталж байна.

Бутархайн тоологч ба хуваагч. Бутархайн төрлүүд. Бутархайг үргэлжлүүлэн харцгаая. Нэгдүгээрт, жижиг татгалзал - бид бутархай ба тэдгээртэй харгалзах жишээнүүдийг авч үзэхийн зэрэгцээ бид зөвхөн тоон дүрслэлээр ажиллах болно. Бутархай гэж бас байдаг үг хэллэгүүд(тоотой ба тоогүй).Гэсэн хэдий ч бүх "зарчмууд" болон дүрэм журам нь тэдэнд хамаатай боловч бид ирээдүйд ийм хэллэгийг тусад нь ярих болно. Би бутархайн сэдвийг алхам алхмаар зочилж, судлахыг (санахыг) зөвлөж байна.

Хамгийн гол нь ФРАКЦ бол ТООН гэдгийг ойлгож, санаж, ухаарах хэрэгтэй!!!

Энгийн бутархайхэлбэр нь хэд хэдэн байна:

"Дээр талд" байрлах дугаар (д энэ тохиолдолд m) -ийг тоологч гэж нэрлэдэг, доор байрлах тоог (n тоо) хуваагч гэж нэрлэдэг. Дөнгөж сая энэ сэдвийг хөндсөн хүмүүс үүнийг юу гэж нэрлэхээ мэдэхгүй эргэлздэг.

Тоолуур хаана, хуваагч хаана байдгийг үүрд санах арга энд байна. Энэ техник нь аман-дүрслэлийн холбоотой холбоотой байдаг. савтай гэж төсөөлөөд үз дээ шаварлаг ус. Ус тогтох тусам дээр нь цэвэр ус үлдэж, булингар (шороо) тогтдог гэдгийг санаарай.

CHISS хайлсан ус ДЭЭД (CHISS litel top)

Гря Z33NN ус ДООР (ZNNNN засварлагч доор байна)

Тиймээс, тоологч хаана, хуваагч хаана байгааг санах хэрэгцээ гармагц бид тэр даруй савтай суурин усыг нүдээр төсөөлөв. Цэвэр ус, доор нь бохир ус байна. Бусад санах ойн заль мэх байдаг, хэрэв тэд танд тусалж байвал сайн.

Энгийн бутархайн жишээ:

Тоонуудын хоорондох хэвтээ шугам нь юу гэсэн үг вэ? Энэ бол хуваах тэмдэгээс өөр зүйл биш юм. Бутархайг хуваах үйлдлийн жишээ болгон авч үзэж болох нь харагдаж байна. Энэ үйлдлийг зүгээр л энэ маягтаар бүртгэнэ. Өөрөөр хэлбэл, дээд тоо (тоологч) нь доод талд (хуваарагч) хуваагдана:

Үүнээс гадна тэмдэглэгээний өөр хэлбэр байдаг - бутархайг ингэж бичиж болно (налуу зураасаар):

1/9, 5/8, 45/64, 25/9, 15/13, 45/64 гэх мэт...

Дээрх бутархайг бид дараах байдлаар бичиж болно.

Хуваалтын үр дүн бол энэ тоог хэрхэн мэдэх явдал юм.

Бид үүнийг ойлгосон - ЭНЭ БОЛ ФРАКЦИЙН ТООН!!!

Та аль хэдийн анзаарсанчлан энгийн бутархай нь тоологчтой байж болно хуваагчаас бага, хуваагчаас их байх ба түүнтэй тэнцүү байж болно. Олон бий чухал цэгүүд, ямар ч онолын сайжруулалтгүйгээр зөн совингоор ойлгомжтой. Жишээлбэл:

1. 1 ба 3-р бутархайг 0.5 ба 0.01 гэж бичиж болно. Жаахан урагшилцгаая - эдгээр нь аравтын бутархай, бид тэдгээрийн талаар бага зэрэг ярих болно.

2. 4 ба 6-р бутархайн үр дүнд 45:9=5, 11:1 = 11 бүхэл тоо гарна.

3. 5-р бутархайн үр дүнд нэг 155:155 = 1 байна.

Ямар дүгнэлтүүд өөрсдийгөө санал болгож байна вэ? Дараачийн:

1. Тоологчийг хуваагчаар хуваахад өгч болно эцсийн тоо. Энэ нь ажиллахгүй байж магадгүй, 7-ыг 13-аар эсвэл 17-ыг 11-ээр хуваана - ямар ч боломжгүй! Та эцэс төгсгөлгүй хувааж болно, гэхдээ бид энэ талаар доор ярих болно.

2. Бутархайн үр дүнд бүхэл тоо гарч болно. Тиймээс бид ямар ч бүхэл тоог бутархай, эс тэгвээс хязгааргүй тооны бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно, хараарай, эдгээр бүх бутархайнууд 2-той тэнцүү байна:

Илүү их! Бид ямар ч бүхэл тоог үргэлж бутархай хэлбэрээр бичиж болно - тоо нь өөрөө тоологч хэсэгт, нэгж нь хуваарьт байна:

3. Бид хэзээд ямар ч хуваарьтай нэгжийг бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно.

* Эдгээр цэгүүд нь тооцоолол, хувиргалт хийх явцад бутархайтай ажиллахад маш чухал юм.

Бутархайн төрлүүд.

Одоо энгийн бутархайн онолын хуваагдлын тухай. Тэд хуваагддаг зөв ба буруу.

Тоолуур нь хуваагчаасаа бага бутархайг зөв бутархай гэнэ. Жишээ нь:

Тоолуур нь хуваагчаас их буюу тэнцүү бутархайг буруу бутархай гэнэ. Жишээ нь:

Холимог бутархай(холимог тоо).

Холимог бутархай нь бүхэл тоо болон зөв бутархай хэлбэрээр бичигдсэн бутархай бөгөөд энэ тоо болон түүний бутархай хэсгийн нийлбэр гэж ойлгогддог. Жишээ нь:

Холимог бутархайг үргэлж буруу бутархай болон эсрэгээр илэрхийлж болно. Үргэлжлүүлье!

Аравтын бутархай.

Бид эдгээрийг дээр дурдсан, эдгээр нь (1) ба (3) жишээнүүд бөгөөд одоо илүү дэлгэрэнгүй. Аравтын бутархайн жишээг энд үзүүлэв: 0.3 0.89 0.001 5.345.

Хуваагч нь 10, 100, 1000 гэх мэт 10-ын зэрэгтэй бутархайг аравтын бутархай гэнэ. Эхний гурван заасан бутархайг энгийн бутархай хэлбэрээр бичих нь тийм ч хэцүү биш юм.

Дөрөв дэх нь холимог бутархай (холимог тоо):

Аравтын бутархай байна дараах хэлбэрбичлэгүүд - эхлэнбүхэл хэсэг нь эхэлж, дараа нь бүхэл ба бутархай хэсгүүдийн тусгаарлагч нь цэг эсвэл таслал, дараа нь бутархай хэсэг, бутархай хэсгийн цифрүүдийн тоог бутархай хэсгийн хэмжээсээр хатуу тодорхойлно: хэрэв эдгээр нь аравны нэг бол бутархай хэсгийг нэг оронтой тоогоор бичсэн; хэрэв мянганы нэг - гурав; арван мянганы нэг - дөрөв гэх мэт.

Эдгээр бутархай нь төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй байж болно.

Аравтын бутархай төгсгөлийн жишээ: 0.234; 0.87; 34.00005; 5.765.

Жишээ нь эцэс төгсгөлгүй юм. Жишээлбэл, Пи тоо нь хязгааргүй юм аравтын, илүү – 0.333333333333…. 0.1666666666…. мөн бусад. Мөн 3, 5, 7 гэх мэт тоонуудын үндсийг задалсан үр дүн. хязгааргүй бутархай байх болно.

Бутархай хэсэг нь мөчлөгтэй байж болно (энэ нь мөчлөг агуулсан), дээрх хоёр жишээ нь яг үүнтэй төстэй бөгөөд бусад жишээнүүд:

0.123123123123...... мөчлөг 123

0.781781781718...... мөчлөг 781

0.0250102501…. мөчлөг 02501

Тэдгээрийг 0,(123) 0,(781) 0,(02501) гэж бичиж болно.

Пи тоо нь мөчлөгийн бутархай биш, жишээ нь гурвын үндэс гэх мэт.

Доорх жишээнүүдэд бутархайг "эргэх" гэх мэт үгс сонсогдоно - энэ нь тоологч ба хуваагчийг сольж байна гэсэн үг юм. Үнэндээ ийм бутархай нэртэй байдаг - харилцан бутархай. Харилцан бутархайн жишээ:

Жижиг тойм! Бутархай нь:

Энгийн (зөв ба буруу).

Аравтын тоо (хязгааргүй ба хязгааргүй).

Холимог (холимог тоо).

Тэгээд л болоо!

Хүндэтгэсэн, Александр.

Тоолуур, хуваасан нь хуваагч юм.

Бутархай бичихийн тулд эхлээд тоологчийг бичиж, дараа нь тоон доор хэвтээ шугам зурж, шугамын доор хуваагчийг бичнэ. Тоолуур ба хуваагчийг заагласан хэвтээ шугамыг бутархай шугам гэнэ. Заримдаа ташуу "/" эсвэл "∕" хэлбэрээр дүрсэлсэн байдаг. Энэ тохиолдолд тоологчийг мөрийн зүүн талд, хуваагчийг баруун талд бичнэ. Жишээлбэл, "гуравны хоёр" бутархайг 2/3 гэж бичнэ. Тодорхой болгохын тулд тоологчийг ихэвчлэн мөрний дээд талд, хуваагчийг доод талд бичдэг, өөрөөр хэлбэл 2/3-ын оронд та дараахийг олж болно: ⅔.

Бутархайн үржвэрийг тооцоолохын тулд эхлээд нэгийн тоог үржүүлнэ бутархайтоологч нь өөр. Үр дүнг шинийн тоонд бичнэ үү бутархай. Үүний дараа хуваагчийг үржүүлнэ. Нийт утгыг шинэ хэсэгт оруулна уу бутархай. Жишээлбэл, 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

Нэг бутархайг нөгөө бутархайд хуваахын тулд эхлээд эхний хэсгийн хуваагчийг хоёр дахь бутархайгаар үржүүлнэ. Хоёрдахь бутархай (хуваагч) -тай ижил зүйлийг хий. Эсвэл бүх үйлдлүүдийг хийхээсээ өмнө хуваагчийг эргүүлээрэй, хэрэв танд илүү тохиромжтой бол: хуваагч нь тоологчийн оронд гарч ирэх ёстой. Дараа нь ногдол ашгийн хуваагчийг хуваагчийн шинэ хуваагчаар үржүүлж, тоог үржүүлнэ. Жишээлбэл, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).

Эх сурвалжууд:

• Бутархайн үндсэн асуудлууд

Бутархай тоог дараах хэлбэрээр илэрхийлж болно янз бүрийн хэлбэрээр яг үнэ цэнэтоо хэмжээ. Та бутархайтай ижил зүйлийг хийж болно математик үйлдлүүд, бүхэл тоонуудын адил: хасах, нэмэх, үржүүлэх, хуваах. Шийдвэр гаргаж сурахын тулд бутархай, бид тэдний зарим шинж чанарыг санаж байх ёстой. Тэд төрлөөс хамаарна бутархай, бүхэл тоо, нийтлэг хуваагч байгаа эсэх. Зарим арифметик үйлдлүүдгүйцэтгэлийн дараа тэд үр дүнгийн бутархай хэсгийг багасгахыг шаарддаг.

Танд хэрэгтэй болно

• - тооцоолуур

Зааварчилгаа

Тоонуудыг сайтар ажиглаарай. Хэрэв бутархайн дунд аравтын бутархай ба жигд бус бутархай байдаг бол заримдаа аравтын бутархайтай үйлдлүүдийг хийж, дараа нь жигд бус хэлбэрт шилжүүлэх нь илүү тохиромжтой байдаг. Орчуулж чадах уу бутархайЭнэ хэлбэрээр эхлээд тоологчийн аравтын бутархайн араас утгыг бичиж, хуваарьт 10-ыг тавина. Шаардлагатай бол дээрх ба доор байгаа тоог нэг хуваагчаар хувааж бутархайг багасгана. Бүхэл хэсэг нь тусгаарлагдсан бутархайг хуваагчаар үржүүлээд үр дүнд нь тоог нэмэх замаар буруу хэлбэрт шилжүүлэх ёстой. Өгөгдсөн үнэ цэнэшинэ тоологч болно бутархай. Анхны буруу хэсгээс бүхэл хэсгийг сонгох бутархай, та тоологчийг хуваагчаар хуваах хэрэгтэй. Бүхэл бүтэн үр дүн-аас бичнэ үү бутархай. Үлдсэн хэсэг нь шинэ хуваагч, хуваагч болно бутархайэнэ нь өөрчлөгдөхгүй. -тэй бутархайн хувьд бүхэл хэсэгэхлээд бүхэл тоо, дараа нь бутархай хэсгүүдэд тус тусад нь үйлдлийг гүйцэтгэх боломжтой. Жишээлбэл, 1 2/3 ба 2 ¾-ийн нийлбэрийг тооцоолж болно:
- Бутархайг буруу хэлбэрт хөрвүүлэх:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Бүхэл тоог тусад нь нийлбэр ба бутархай хэсгүүднөхцөл:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Тэдгээрийг ":" тусгаарлагч ашиглан дахин бичээд үргэлжлүүлнэ үү тогтмол хуваагдал.

Авахын тулд эцсийн үр дүнТоолуур ба хуваагчийг нэг бүхэл тоонд хуваах замаар үүссэн бутархайг багасгаж, энэ тохиолдолд хамгийн их байх болно. Энэ тохиолдолд шугамын дээр болон доор бүхэл тоо байх ёстой.

тэмдэглэл

Хугацагч нь өөр өөр бутархайгаар арифметик хийж болохгүй. Бутархай бүрийн хуваагч ба хуваагчийг үржүүлэхэд хоёр бутархайн хуваагч тэнцүү байхаар тоо сонго.

Хэрэгтэй зөвлөгөө

Бичлэг хийх үед бутархай тооНогдол ашгийг мөрний дээгүүр бичнэ. Энэ хэмжигдэхүүнийг бутархайн тоологч гэж тодорхойлсон. Бутархайн хуваагч буюу хуваагчийг мөрний доор бичнэ. Жишээлбэл, нэг хагас килограмм будааг бутархай хэлбэрээр дараах байдлаар бичнэ: 1 ½ кг будаа. Бутархайн хуваагч нь 10 бол бутархайг аравтын бутархай гэнэ. Энэ тохиолдолд тоологч (ногдол ашиг) нь таслалаар тусгаарлагдсан бүх хэсгийн баруун талд бичигдсэн байна: 1.5 кг будаа. Тооцоолоход хялбар болгохын тулд ийм бутархайг үргэлж бичиж болно буруу хэлбэрээр: 1 2/10 кг төмс. Хялбаршуулахын тулд та тоологч ба хуваагч утгыг нэг бүхэл тоонд хувааж багасгаж болно. IN энэ жишээнд 2-т хувааж болно. Үр дүн нь 1 1/5 кг төмс болно. Таны арифметик хийх гэж буй тоонууд ижил хэлбэрээр байгаа эсэхийг шалгаарай.