Алгебрийн хичээл дээр багш нар бидэнд бага (үнэндээ маш том) анги байдаг гэж хэлдэг тригонометрийн тэгшитгэлэнэ нь шийдэгдээгүй байна стандарт аргуудыг ашиглан- хүчин зүйлчлэлээр ч, хувьсагчийн өөрчлөлтөөр ч биш, бүр нэг төрлийн нэр томъёогоор ч биш. Энэ тохиолдолд зарчмын хувьд өөр арга барил гарч ирдэг - арга туслах өнцөг.

Энэ арга юу вэ, яаж хэрэглэх вэ? Эхлээд нийлбэр/ялгааны синус ба нийлбэр/ялгааны косинусын томъёог санацгаая.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх)& \sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\& \cos \left(\ альфа \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\\end(зохицуулах)\]

Эдгээр томьёо нь танд сайн мэдэгдэж байгаа гэж би бодож байна - тэднээс давхар аргументуудын томъёог гаргаж авдаг бөгөөд үүнгүйгээр тригонометрийн хаана ч байхгүй. Гэхдээ одоо энгийн тэгшитгэлийг харцгаая:

Хоёр талыг 5-д хуваана:

$((\left(\frac(3)(5) \баруун))^(2))+((\left(\frac(4)(5) \баруун))^(2))= 1 гэдгийг анхаарна уу. $, энэ нь $\alpha $ өнцөг байх нь гарцаагүй гэсэн үг бөгөөд эдгээр тоонууд нь косинус ба синус болно. Тиймээс бидний тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичих болно.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх)& \cos \alpha \sin x+\sin \alpha \cos x=1 \\& \sin \left(\альфа +x \баруун)=1 \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Энэ нь аль хэдийн амархан шийдэгдсэн бөгөөд үүний дараа яагаад гэдгийг олж мэдэх л үлдлээ өнцөгтэй тэнцүү байна$\альфа $. Хэрхэн олж мэдэх, мөн тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваах зөв тоог хэрхэн сонгох вэ (үүнд энгийн жишээБид 5-д хуваагдсан) - энэ тухай өнөөдрийн видео хичээл дээр:

Өнөөдөр бид тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдлийг шинжлэх болно, эсвэл илүү нарийвчлалтайгаар "туслах өнцгийн арга" гэж нэрлэгддэг нэг арга юм. Яагаад энэ арга вэ? Учир нь сүүлийн хоёр, гурван өдөр би оюутнуудад тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх талаар зааж, бусад зүйлсээс гадна туслах өнцгийн аргыг судалж байхдаа бүх оюутнууд нэг ижил алдаа гаргасан. . Гэхдээ энэ арга нь ерөнхийдөө энгийн бөгөөд үүнээс гадна энэ нь тригонометрийн үндсэн аргуудын нэг юм. Тиймээс олон тригонометрийн асуудлуудтуслах өнцгийн аргаас бусад тохиолдолд тэдгээрийг шийдвэрлэх боломжгүй.

Тиймээс, эхлээд бид хэд хэдэн энгийн ажлыг авч үзэх болно, дараа нь бид илүү ноцтой ажлууд руу шилжих болно. Гэсэн хэдий ч эдгээр бүх арга нь биднээс туслах өнцгийн аргыг ашиглахыг шаардах бөгөөд үүний мөн чанарыг би эхний загварт хэлэх болно.

Тригонометрийн энгийн бодлого бодох

Жишээ №1

\[\cos 2x=\sqrt(3)\sin 2x-1\]

Өөрийнхөө илэрхийлэлийг бага зэрэг өөрчилье:

\[\cos 2x-\sqrt(3)\sin 2x=-1\left| \left(-1 \right) \баруун.\]

\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x-\cos 2x=1\]

Үүнийг бид яаж шийдэх вэ? Стандарт заль мэх нь томьёо ашиглан $\sin 2x$ болон $\cos 2x$-г шийдэх явдал юм давхар өнцөг, дараа нь нэгжийг $((\sin )^(2))x((\cos )^(2))x$ гэж дахин бичээд авна уу. нэгэн төрлийн тэгшитгэл, шүргэгч рүү авчирч, шийднэ. Гэсэн хэдий ч энэ бол маш их тооцоолол шаарддаг урт бөгөөд уйтгартай зам юм.

Би танд энэ талаар бодохыг зөвлөж байна. Бидэнд $\sin$ болон $\cos$ байна. Косинус ба синус нийлбэр ба ялгааны томъёог эргэн санацгаая.

\[\sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \]

\[\cos \left(\alpha +\beta \right)=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \]

\[\cos \left(\alpha -\beta \right)=\cos a\cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \]

Бид өөрсдийн жишээ рүү буцъя. Бүгдийг ялгааны синус хүртэл бууруулъя. Гэхдээ эхлээд тэгшитгэлийг бага зэрэг өөрчлөх хэрэгтэй. Коэффицентийг олъё:

$\sqrt(l)$ нь тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваах шаардлагатай ижил коэффициент бөгөөд ингэснээр синус ба косинусын өмнө өөрөө синус ба косинус болох тоо гарч ирнэ. Хуваацгаая:

\[\frac(\sqrt(3))(2)\cdot \sin 2x-\frac(1)(2)\cdot \cos 2x=\frac(1)(2)\]

Зүүн талд юу байгааг харцгаая: $\sin $ ба $\cos $ байдаг бөгөөд $\cos \alpha =\frac(\sqrt(3))(2)$ болон $\sin \alpha =\frac(1)(2)$? Үүнд: $\alpha =\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ байгаа нь ойлгомжтой. Тиймээс бид илэрхийллээ дараах байдлаар дахин бичиж болно.

\[\cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))\cdot \sin 2x-\sin \frac(\text( )\! \!\pi\!\!\text( ))(\text(6))\cdot \cos 2x=\frac(1)(2)\]

\[\sin 2x\cdot \cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))-\cos 2x\cdot \sin \frac(\ text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))=\frac(1)(2)\]

Одоо бид ялгааны синусын томъёог олж авлаа. Бид ингэж бичиж болно:

\[\sin \left(2x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6)) \right)=\frac(1)(2) \]

Энд бид хамгийн энгийн сонгодог тригонометрийн бүтэцтэй. Би танд сануулъя:

Бид үүнийг тодорхой илэрхийлэл болгон бичих болно:

\[\left[ \begin(align)& 2x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\! \pi\!\!\text( ))(6)=2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\& 2x-\frac(\text( )\!\ !\pi\!\!\text( ))(\text(6))=\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-\frac(\text( )\!\! \pi\!\!\text( ))(\text(6))+2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\end(align) \баруун.\ ]

\[\left[ \begin(align)& 2x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2\text( )\!\!\pi \!\!\text( )n \\& 2x=\text( )\!\!\pi\!\!\text( )+2\text( )\!\!\pi\!\!\text ( )n \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун\]

\[\left[ \эхлэх(эгцлэх)& x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n \\& x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(2)+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n \\\төгсгөх(эгцлэх) \баруун.\]

Шийдлийн нюансууд

Хэрэв та ижил төстэй жишээтэй тулгарвал юу хийх хэрэгтэй вэ:

1. Шаардлагатай бол дизайныг өөрчлөх.
2. Залруулгын коэффициентийг олж, үндсийг нь авч, жишээний хоёр талыг түүгээр хуваа.
3. Тоонууд ямар синус болон косинусын утгыг олж авахыг харцгаая.
4. Бид синус эсвэл косинусын зөрүү эсвэл нийлбэрийн томъёог ашиглан тэгшитгэлийг өргөжүүлнэ.
5. Бид хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийддэг.

Үүнтэй холбогдуулан анхааралтай оюутнуудад хоёр асуулт байх болно.

Залруулгын коэффициентийг олох шатанд $\sin $ болон $\cos $-г бичихэд юу саад болж байна вэ? - Тригонометрийн үндсэн ижилсэл нь бидэнд саад болж байна. Үнэн хэрэгтээ, үр дүнд нь $\sin $ ба $\cos $ нь ижил аргументтай бусадтай адил квадратыг нь авахдаа нийтдээ яг "нэг" өгөх ёстой. Шийдвэр гаргах явцад та маш болгоомжтой байж, “X”-ийн өмнөх “2”-ыг алдахгүй байх хэрэгтэй.

Туслах өнцгийн арга нь "муухай" тэгшитгэлийг бүрэн хангалттай, "сайхан" болгон бууруулахад тусалдаг хэрэгсэл юм.

Жишээ №2

\[\sqrt(3)\sin 2x+2((\sin )^(2))x-1=2\cos x\]

Бидэнд $((\sin )^(2))x$ байгааг харж байгаа тул эрчим хүчний бууралтын тооцоог ашиглая. Гэсэн хэдий ч тэдгээрийг ашиглахаасаа өмнө тэдгээрийг гаргаж авцгаая. Үүнийг хийхийн тулд давхар өнцгийн косинусыг хэрхэн олохыг санаарай.

\[\cos 2x=((\cos )^(2))x-((\sin )^(2))x=2((\cos )^(2))x-1=1-2(( \нүгэл )^(2))x\]

Гурав дахь сонголтод $\cos 2x$ гэж бичвэл бид дараахыг авна.

\[\cos 2x=1-2((\sin )^(2))x\]

\[((\sin )^(2))x=\frac(1-((\cos )^(2))x)(x)\]

Би үүнийг тусад нь бичих болно:

\[((\sin )^(2))x=\frac(1-\cos 2x)(2)\]

Үүнтэй ижил зүйлийг $((\cos )^(2))x$-д хийж болно:

\[((\cos )^(2))x=\frac(1+\cos 2x)(2)\]

Бидэнд зөвхөн эхний тооцоо л хэрэгтэй. Даалгавар дээр ажиллаж эхэлцгээе:

\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x+2\cdot \frac(1-\cos 2x)(2)-1=2\cos x\]

\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x+1-\cos 2x-1=2\cos x\]

\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x-\cos 2x=2\cos x\]

Одоо ялгааны косинусын тооцоог ашиглая. Гэхдээ эхлээд $l$ засварыг тооцоод үзье:

Энэ баримтыг харгалзан дахин бичье.

\[\frac(\sqrt(3))(2)\cdot \sin 2x-\frac(1)(2)\cdot \cos 2x=\cos x\]

Энэ тохиолдолд бид $\frac(\sqrt(3))(2)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)$ гэж бичиж болно. $\frac(1)(2)=\cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)$. Дахин бичье:

\[\sin \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))\cdot \sin 2x-\cos \frac(\text( )\! \!\pi\!\!\text( ))(\text(3))\cdot \cos 2x=\cos x\]

\[-\cos \left(\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))+2x \right)=\cos x\]

Ухаалаг байдлаар хаалтанд "хасах" тэмдэг нэмье. Үүнийг хийхийн тулд дараахь зүйлийг анхаарна уу.

\[\cos \left(\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))+2x \right)=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-\text( )\!\!\pi\!\!\text( +)\frac(\text( )\!\!\pi\! \!\text( ))(\text(3))+2x \баруун)=\]

\[=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+2x \баруун)=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )+\varphi \баруун)=-\cos \varphi \]

Бидний илэрхийлэл рүү буцаж очоод $\varphi $-ын дүрд $-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2x илэрхийлэл байгааг санацгаая. доллар. Тиймээс бичье:

\[-\left(-\cos \left(-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2x \баруун) \баруун)=\cos x\]

\[\cos \left(2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3) \right)=\cos x\]

Шийдэхийн тулд ижил төстэй даалгавар, та үүнийг санах хэрэгтэй:

\[\cos \alpha =\cos \beta \]

\[\left[ \эхлэх(эгцлэх)& \альфа =\бета +2\текст( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\& \альфа =-\бета +2\текст ( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Бидний жишээг харцгаая:

\[\left[ \begin(align)& 2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)=x+2\text( )\!\ !\pi\!\!\text( )n \\& 2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)=-x+2\text ( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Эдгээр тэгшитгэл бүрийг тооцоолъё:

Мөн хоёр дахь нь:

Эцсийн хариултыг бичье:

\[\left[ \эхлэх(эгцлэх)& x=\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2\text( )\!\!\ pi\!\!\text( )n \\& x=\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(9)+\frac(2\text( ) \!\!\pi\!\!\text( )n)(3) \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Шийдлийн нюансууд

Үнэн хэрэгтээ энэ илэрхийллийг янз бүрийн аргаар шийдэж болох боловч энэ нь туслах өнцгийн арга юм энэ тохиолдолдоновчтой. Нэмж дурдахад, энэ загварыг жишээ болгон ашигласнаар би хэд хэдэн сонирхолтой техник, баримтуудад анхаарлаа хандуулахыг хүсч байна.

• Зэрэг бууруулах томъёо. Эдгээр томъёог цээжлэх шаардлагагүй, гэхдээ та тэдгээрийг хэрхэн гаргаж авахаа мэдэх хэрэгтэй, үүнийг өнөөдөр би та нарт хэлсэн.
• $\cos \alpha =\cos \beta $ хэлбэрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.
• "Тэг" нэмэх.

Гэхдээ энэ нь бүгд биш юм. Өнөөг хүртэл бидний нэмэлт аргумент болгон гаргаж авсан $\sin $ болон $\cos $ нь эерэг байх ёстой гэж бид үзэж байсан. Тиймээс одоо бид илүү төвөгтэй асуудлыг шийдэх болно.

Илүү төвөгтэй асуудлын дүн шинжилгээ

Жишээ №1

\[\sin 3x+4((\sin )^(3))x+4\cos x=5\]

Эхний нэр томъёог өөрчилье:

\[\sin 3x=\sin \left(2x+x \right)=\sin 2x\cdot \cos x+\cos 2x\cdot \sin x\]

\[=2\left(1-\cos 2x \right)\cdot \sin x\]

Одоо энэ бүгдийг анхны бүтэцдээ орлъё:

\[\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x+2\sin x-2\cos x\sin x+4\cos x=5\]

\[\sin 2x\cos x-\operatorname(cosx)-cos2\sin x+2\sin x+4\cos x=5\]

\[\sin \left(2x-x \right)+2\sin x+4\cos x=5\]

Нэмэлт өөрчлөлтөө танилцуулъя:

Бид бичнэ:

\[\frac(3)(5)\sin x+\frac(4)(5)\cos x=1\]

Ийм $\alpha $ нь $\sin $ эсвэл $\cos $ нь $\frac(3)(5)$ ба $\frac(4)(5)$-тай тэнцүү байх болно. тригонометрийн хүснэгтҮгүй Ингээд ингэж бичээд илэрхийллийг нийлбэрийн синус болгон бууруулъя:

\[\sin x\cdot \cos \varphi +\cos x\cdot \sin \varphi =1\]

\[\sin \left(x+\varphi \баруун)=1\]

Энэ онцгой тохиолдол, хамгийн энгийн тригонометрийн бүтэц:

$\varphi $ нь хэдтэй тэнцүү болохыг олох л үлдлээ. Эндээс олон оюутнууд алдаа гаргадаг. Баримт нь $\varphi $ нь хоёр шаардлагад нийцдэг:

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх)& \cos \varphi =\frac(3)(5) \\& \sin \varphi =\frac(4)(5) \\\төгсгөх\баруун .\]

Радар зурж, ийм үнэ цэнэ хаана байгааг харцгаая.

Бидний илэрхийлэл рүү буцаж очоод бид дараахь зүйлийг бичнэ.

Гэхдээ энэ оруулгыг бага зэрэг оновчтой болгож болно. Учир нь бид дараахь зүйлийг мэддэг.

\[\альфа:\arcsin \alpha +\arccos \alpha =\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(2)),\]

Манай тохиолдолд бид үүнийг дараах байдлаар бичиж болно.

Жишээ №2

Энэ нь шийдлийн техникийг илүү гүнзгий ойлгох шаардлагатай болно. стандарт даалгавартригонометр байхгүй. Гэхдээ энэ жишээг шийдэхийн тулд бид туслах өнцгийн аргыг бас ашигладаг.\[\]

Таны анхаарлыг татдаг хамгийн эхний зүйл бол эхнийхээс өндөр градус байхгүй тул градусын задралын томъёоны дагуу юу ч өргөжүүлэх боломжгүй юм. Урвуу тооцоог ашиглана уу:

Би яагаад 5 доллар гаргасан юм бэ? Энд харах:

Үндсэндээ нэг нэгж тригонометрийн ижилсэлбид үүнийг $((\sin )^(2))x+((\cos )^(2))x$ гэж бичиж болно:

Ийм бичлэг бидэнд юу өгдөг вэ? Баримт нь эхний хаалт нь яг дөрвөлжин хэлбэртэй байна. Үүнийг нураагаад авцгаая:

Би шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэхийг санал болгож байна:

\[\sin x+\cos x=t\]

Энэ тохиолдолд бид дараах илэрхийллийг авах болно.

\[((t)_(1))=\frac(5+1)(4)=\frac(3)(2)\]

\[((t)_(2))=\frac(5-1)(4)=1\]

Бид нийтдээ:

\[\left[ \begin(align)& \sin x+\cos x=\frac(3)(2) \\& \sin x+\cos x=1 \\\end(align) \right.\]

Мэдээжийн хэрэг мэдлэгтэй оюутнуудОдоо тэд ийм бүтээн байгуулалтыг нэг төрлийн бүтэцтэй болгох замаар амархан шийддэг гэж хэлэх болно. Гэхдээ бид тэгшитгэл бүрийг туслах өнцгийн аргыг ашиглан шийдэх болно. Үүнийг хийхийн тулд эхлээд $l$-ийн засварыг тооцоолно.

\[\sqrt(l)=\sqrt(2)\]

Бүгдийг $\sqrt(2)$-д хуваацгаая:

\[\left[ \begin(align)& \frac(\sqrt(2))(2)\sin x+\frac(\sqrt(2))(2)\cos x=\frac(3)(2\ sqrt(2)) \\& \frac(\sqrt(2))(2)\sin x+\frac(\sqrt(2))(2)\cos x=\frac(\sqrt(2))(2) ) \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун\]

Бүгдийг $\cos $ болгон бууруулъя:

\[\cos x\cdot \cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\sin x\sin \frac(\text( )\!\ !\pi\!\!\text( ))(\text(4))\]

\[\left[ \begin(align)& \cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4)) \баруун) =\frac(3)(2\sqrt(2)) \\& \cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) \ баруун)=\frac(\sqrt(2))(2) \\\төгсгөл(зөв) \баруун.\]

Эдгээр илэрхийлэл бүрийг авч үзье.

Эхний тэгшитгэл нь үндэсгүй бөгөөд энэ баримтыг батлахын тулд хуваагч дахь иррациональ байдал нь бидэнд туслах болно. Дараахь зүйлийг тэмдэглэе.

\[\sqrt(2)<1,5\]

\[\frac(3)(2\sqrt(2))>\frac(3)(3\cdot 1.5)=\frac(3)(3)=1\]

Нийтдээ $\cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) \right)$ байх шаардлагатай гэдгийг бид тодорхой нотолсон. тоотой тэнцүү байна, энэ нь "нэг" -ээс их бөгөөд иймээс энэ барилга нь үндэсгүй юм.

Хоёрдахьтай нь харцгаая:

Энэ бүтээн байгуулалтыг шийдье:

Зарчмын хувьд та хариултаа дараах байдлаар үлдээж болно, эсвэл үүнийг бичиж болно.

Чухал цэгүүд

Эцэст нь хэлэхэд, би "муухай" аргументуудтай ажиллахад дахин анхаарлаа хандуулахыг хүсч байна, өөрөөр хэлбэл. $\sin $ болон $\cos $ нь хүснэгтийн утга биш байх үед. Асуудал нь хэрэв бид тэгшитгэлдээ $\frac(3)(5)$ нь $\cos $, $\frac(4)(5)$ нь $\sin $ гэж хэлбэл, эцэст нь бид дараа нь дизайныг шийдэхийн тулд бид эдгээр шаардлагыг хоёуланг нь харгалзан үзэх хэрэгтэй. Бид хоёр тэгшитгэлийн системийг авдаг. Үүнийг анхаарч үзэхгүй бол дараах нөхцөл байдал үүсэх болно. Энэ тохиолдолд бид хоёр оноо авах ба $\varphi $-ын оронд $\arcsin \frac(4)(5)$ болон $-\arcsin \frac(4)(5)$ гэсэн хоёр тоо байх болно. Харин сүүлийнх нь бид ямар ч байдлаар сэтгэл хангалуун бус байна. $\frac(3)(5)$ цэгтэй ижил зүйл тохиолдох болно.

Энэ асуудал зөвхөн тэр үед л үүсдэг бид ярьж байна"муухай" аргументуудын талаар. Бидэнд байхад хүснэгтийн утгууд, тэгвэл тийм зүйл байхгүй.

Өнөөдрийн хичээл нь туслах өнцгийн арга гэж юу болох, түүнийг жишээн дээр хэрхэн ашиглахыг ойлгоход тусалсан гэж найдаж байна. өөр өөр түвшинхүндрэлүүд. Гэхдээ энэ нь туслах өнцгийн аргыг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэхэд зориулагдсан цорын ганц хичээл биш юм. Тиймээс бидэнтэй хамт байгаарай!

Нэмэлт (туслах) аргументуудын томъёо

Маягтын илэрхийлэлийг авч үзье

ба тоонууд нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш байна. Нэр томьёо бүрийг үржүүлж хувааж аваад гаргая нийтлэг үржүүлэгчхаалтны гадна талд:

Үүнийг шалгах нь амархан

Энэ нь теорем 2-оор ийм бодит өнцөг байна гэсэн үг

Тиймээс нийлбэрийн томъёоны синусыг ашиглан бид олж авна

Энд болон зэрэг өнцгийг туслах аргументын томъёо гэж нэрлэдэг бөгөөд нэгэн төрлийн бус асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг. шугаман тэгшитгэлба тэгш бус байдал.

Урвуу тригонометрийн функцууд

Тодорхойлолт

Одоогоор бид тодорхойлох асуудлыг шийдсэн тригонометрийн функцууд өгөгдсөн өнцөг. Хэрэв энэ нь үнэ цэнэтэй бол яах вэ? урвуу асуудал: аливаа тригонометрийн функцийг мэдэж, харгалзах өнцгийг тодорхойлно.

арксин

Алдартай нь хаана байна гэсэн илэрхийллийг авч үзье бодит тоо. Тодорхойлолтоор бол синус нь абсцисса тэнхлэг ба тригонометрийн тойрогтой өнцөг үүсгэсэн цацрагийн огтлолцлын цэгийн ординат юм. Тиймээс тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд шулуун ба тригонометрийн тойргийн огтлолцлын цэгүүдийг олох хэрэгтэй.

Мэдээжийн хэрэг, шулуун шугам, тойрог байхгүй үед нийтлэг цэгүүд, энэ нь тэгшитгэлд шийдэл байхгүй гэсэн үг. Өөрөөр хэлбэл, үнэмлэхүй утгаараа синус нь 1-ээс их байх өнцгийг олох боломжгүй юм.

Шулуун ба тойрог нь огтлолцох цэгүүдтэй байх үед, жишээ нь, ба (зураг харна уу). Тиймээс өгөгдсөн синус нь бүх өнцөгтэй байх бөгөөд тэдгээрээс бүх өнцөг нь бүхэл тоогоор ялгаатай байна бүрэн хувьсгалууд, өөрөөр хэлбэл , - хязгааргүй тооны өнцөг. Энэ хязгааргүй олон янзын дундаас нэг өнцгийг хэрхэн сонгох вэ?

Тоотой тохирох өнцгийг өвөрмөц байдлаар тодорхойлохын тулд нэмэлт нөхцөлийг биелүүлэхийг шаардах шаардлагатай: энэ өнцөг нь сегментэд хамаарах ёстой. Энэ өнцгийг тооны арксинус гэж нэрлэдэг. өнцгийн тригонометрийн функцийн таних тэмдэг

Арксинбодит тоо нь синус нь тэнцүү бодит тоо юм. Энэ дугаарыг зааж өгсөн болно.

нуман косинус

Одоо маягтын тэгшитгэлийг авч үзье. Үүнийг шийдэхийн тулд абсциссатай тригонометрийн тойрог дээрх бүх цэгүүдийг олох шаардлагатай. шугамтай огтлолцох цэгүүд. Өмнөх тохиолдлын нэгэн адил авч үзэж буй тэгшитгэлд шийдэл байхгүй байна. Хэрэв шулуун ба тойргийн огтлолцох цэгүүд байвал тохирох болно хязгааргүй тообулангууд, .

Харгалзах өнцгийг хоёрдмол утгагүй тодорхойлох косинус өгсөн, оруулна уу нэмэлт нөхцөл: энэ өнцөг нь сегментэд хамаарах ёстой; ийм өнцгийг тооны нумын косинус гэнэ.

нумын косинусбодит тоо нь косинус нь тэнцүү бодит тоо юм. Энэ дугаарыг зааж өгсөн болно.

Арктангенс ба арккотангенс

Илэрхийлэлийг харцгаая. Үүнийг шийдэхийн тулд та тойрог дээр шугамтай огтлолцох бүх цэгүүдийг олох хэрэгтэй. налууаль тангенстай тэнцүүшулуун шугамын налуугийн өнцөг х тэнхлэгийн эерэг чиглэл. Тиймээс хүн бүрийн өмнө шууд ханд бодит үнэ цэнэхөндлөн тригонометрийн тойрогхоёр цэг дээр. Эдгээр цэгүүд нь гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй бөгөөд өнцгүүдтэй тохирч байна, .

Учир нь хоёрдмол утгагүй тодорхойлолтөгөгдсөн шүргэгчтэй өнцгийг интервалаас сонгоно.

АрктангенсДурын бодит тоо нь тангенс нь тэнцүү бодит тоо юм. Энэ дугаарыг зааж өгсөн болно.

Өнцгийн нумын тангенсыг тодорхойлохын тулд ижил төстэй үндэслэлийг ашигладаг бөгөөд цорын ганц ялгаа нь шулуун шугамтай тойргийн огтлолцлыг авч үзэх ба өнцгийг интервалаас сонгох явдал юм.

АрккотангенсДурын бодит тоо нь котангенс нь тэнцүү бодит тоо юм. Энэ дугаарыг зааж өгсөн.

Урвуу тригонометрийн функцүүдийн шинж чанарууд

Тодорхойлолт, утгын хүрээ

Тэгш/сондгой

Урвуу тригонометрийн функцийг хөрвүүлэх

Урвуу тригонометрийн функц агуулсан илэрхийллийг хувиргахын тулд эдгээр функцүүдийн тодорхойлолтоос үүссэн шинж чанаруудыг ихэвчлэн ашигладаг.

Аливаа бодит тооны хувьд энэ нь байна

ба эсрэгээр:

Үүнтэй адил ямар ч бодит тооны хувьд энэ нь агуулна

ба эсрэгээр:

Тригонометрийн болон урвуу тригонометрийн функцүүдийн графикууд

Тригонометрийн функцүүдийн графикууд

Функцийн графикийг сегмент дээр зурж эхэлцгээе. Үүнийг хийхийн тулд бид тригонометрийн тойрог дээрх синусын тодорхойлолтыг ашиглана. Тригонометрийн тойргийг (энэ тохиолдолд 16) тэнцүү хэсгүүдэд хувааж, ойролцоох координатын системийг байрлуулж, тэнхлэг дээрх хэрчмийг мөн тэнцүү хэсгүүдэд хуваая. Тойргийн хуваах цэгүүдээр тэнхлэгт параллель шулуун шугам татах замаар эдгээр шугамын огтлолцол дээр тэнхлэг дээрх харгалзах хуваах цэгүүдээс сэргээн босгосон перпендикуляраар бид координатууд нь синусуудтай тэнцүү цэгүүдийг олж авна. харгалзах өнцөг. Эдгээр цэгүүдээр гөлгөр муруй зурснаар бид функцийн графикийг олж авна. Бүхэл тооны шулуун дээрх функцийн графикийг авахын тулд синусын үечлэлийг ашиглана: , .

Функцийн графикийг олж авахын тулд бид багасгах томъёог ашиглана. Ийнхүү функцийн графикийг функцийн графикаас авна зэрэгцээ шилжүүлэгуртын сегментээр зүүн тийш.

Тригонометрийн функцүүдийн графикийг ашиглах нь бууралтын томъёог олж авах өөр хялбар арга юм. Хэд хэдэн жишээг харцгаая.

Илэрхийлэлийг хялбаршуулж үзье. Тэнхлэг дээр бид өнцгийг тэмдэглэж, түүний синус ба косинусыг тус тус тэмдэглэнэ. Тэнхлэг дээрх өнцгийг олж, синусын графиктай огтлолцох перпендикулярыг сэргээе. Энэ нь зурагнаас тодорхой харагдаж байна.

Даалгавар: илэрхийллийг хялбарчлах.

Функцийн график байгуулах ажил руу шилжье. Нэгдүгээрт, өнцгийн хувьд шүргэгч нь сегментийн урт гэдгийг санаарай AB. Синусын график байгуулж, баруун хагас тойргийг тэнцүү хэсгүүдэд хувааж, шүргэгч утгыг зурахтай адилтгаж, бид зурагт үзүүлсэн графикийг олж авна. Бусад утгын хувьд шүргэгч үечилсэн шинж чанарыг ашиглан графикийг гаргана.

График дээрх тасархай шугамууд нь асимптотуудыг илэрхийлдэг. Асимптотмуруй нь хязгааргүйд шилжих үед муруй нь хүссэн хэмжээгээр ойртож буй шулуун шугам юм, гэхдээ түүнийг огтолдоггүй.

Шүргэгчийн хувьд асимптотууд нь шулуун шугамууд бөгөөд тэдгээрийн харагдах байдал нь эдгээр цэгүүдэд тэг болж хувирахтай холбоотой байдаг.

Үүнтэй төстэй үндэслэлийг ашиглан функцийн графикийг олж авна. Үүний хувьд асимптотууд нь шулуун шугамууд, . Энэ графикийг мөн багасгах томъёог ашиглан олж авч болно, i.e. тэнхлэгийн тэгш хэмийн хувирал ба баруун тийш шилжих.

Тригонометрийн функцүүдийн шинж чанарууд

Урвуу тригонометрийн функцүүдийн графикууд

Эхлээд бид урвуу функцийн тухай ойлголтыг танилцуулж байна.

Хэрэв функц монотоноор нэмэгдэж эсвэл буурч байвал түүний хувьд байдаг урвуу функц. Урвуу функцийн графикийг байгуулахын тулд графикийг шулуун шугамтай харьцуулахад тэгш хэмийн хувиргалт хийх ёстой. Зураг нь урвуу функцийн графикийг олж авах жишээг харуулж байна.

Арксинус, арккосин, арктангенс, арккотангенс функцүүд нь синус, косинус, тангенс, котангенс функцүүдийн урвуу утгатай тул дээр дурдсан хувиргалтаар тэдгээрийн графикийг олж авна. Зураг дээрх анхны функцүүдийн графикууд сүүдэртэй байна.

Дээрх зургуудаас харахад урвуу тригонометрийн функцүүдийн нэг гол шинж чанар нь тодорхой байна: ижил тооны хамтарсан функцүүдийн нийлбэр нь тодорхой байна.

Лемма. Хэрэв хоёрын квадратуудын нийлбэр бодит тоонэгтэй тэнцүү бол эдгээр тоонуудын нэгийг косинус, нөгөөг нь зарим өнцгийн синус гэж үзэж болно.

Өөрөөр хэлбэл, хэрэв А 2 + б 2 = 1 , тэгвэл өнцөг байна φ , ийм

А = cosφ; б= sinφ.

Энэ лемма-г батлахын өмнө үүнийг тайлбарлая дараах жишээ:

$$ (\frac(\sqrt3)(2))^2 + (\frac(1)(2)) = \frac(3)(4) + \frac(1)(4) = 1 $$

Тиймээс өнцөг бий φ , ингэснээр \(\frac(\sqrt3)(2) \) = cos φ ; 1/2 = нүгэл φ .

гэх мэт φ Энэ тохиолдолд та 30°, 30° ± 360°, 30° ± 2 360° гэх мэт өнцгүүдийн аль нэгийг сонгож болно.

Леммагийн баталгаа:

Векторыг авч үзье \(\vec(0A)\)координаттай ( а, б ). Учир нь А 2 + б 2 = 1 , энэ векторын урт нь 1. Гэхдээ энэ тохиолдолд координат нь тэнцүү байх ёстой cos φ Тэгээд sinφ, Хаана φ - үүсэх өнцөг өгөгдсөн векторабсцисса тэнхлэгтэй.

Тэгэхээр, А = cosφ; б=sinφ, энэ нь нотлох шаардлагатай байсан юм.

Батлагдсан лемма нь илэрхийлэлийг өөрчлөх боломжийг бидэнд олгодог анүгэл х + б cos xсуралцахад илүү тохиромжтой хэлбэр.

Юуны өмнө хаалтнаас \(\sqrt(a^2 + b^2)\) илэрхийллийг авч үзье.

$$ a sinx + b cosx = \sqrt(a^2 + b^2)(\frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2))sinx + \frac(b)(\sqrt(a) ^2 + b^2))cosx) $$

Учир нь

$$ (\frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2)))^2 + (\frac(b)(\sqrt(a^2 + b^2)))^2 = 1 $ доллар

тоонуудын эхнийх нь \(\frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2)) \) ба \(\frac(b)(\sqrt(a^2 + b^2)) \) зарим өнцгийн косинус гэж үзэж болно φ , хоёр дахь нь - ижил өнцгийн синусын хувьд φ :

$$ \frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2)) = cos\phi, \;\; \frac(b)(\sqrt(a^2 + b^2)) = sin\phi $$

Гэхдээ энэ тохиолдолд

анүгэл х + б cos x = \(\sqrt(a^2 + b^2)\)(cos φ sin x + sin φ cos x) = \(\sqrt(a^2 + b^2)\) sin (x + φ )

анүгэл х + б cos x = \(\sqrt(a^2 + b^2)\) sin (x + φ), φ өнцөг нь нөхцлөөс тодорхойлогддог

$$ sin\phi = \frac(b)(\sqrt(a^2 + b^2)) \;\; cos\phi = \frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2)) $$

Жишээ.

1) \(sin x + cos x = \sqrt2 (\frac(1)(\sqrt2) sin x + \frac(1)(\sqrt2)cos x) = \sqrt2 (cos\frac(\pi)(4) )sin x + sin\frac(\pi)(4)cos x) =\\= \sqrt2(sinx + \frac(\pi)(4)) \)

Үр дүнгийн томъёо нүгэл x+cos x= \(\sqrt2(sinx + \frac(\pi)(4))\)санахад ашигтай.

2) Хэрэв тоонуудын аль нэг нь байвал А Тэгээд б эерэг ба нөгөө сөрөг, дараа нь илэрхийлэл
анүгэл х + б cos xНийлбэрийн синус руу биш, харин хоёр өнцгийн зөрүүний синус руу хөрвүүлэх нь илүү тохиромжтой. Тэгэхээр,

$$ 3sinx - 4cosx = \sqrt(9+16)(\frac(3)(\sqrt(9+16))sinx - \frac(4)(\sqrt(9+16))cosx) =\\= 5(sinx\cdot\frac(3)(5) - cosx\cdot\frac(4)(5)) = 5sin(x - \phi), $$

хаана доор φ Бид дараах нөхцлийг хангасан дурын өнцгийг хэлж болно.

cos φ = 3/5, нүгэл φ = 4 / 5

Ялангуяа нэг нь тавьж болно φ = арктан 4/3. Дараа нь бид авна:

3 sin x - 4 cos x = 5 sin (x - arctan 4/3).

Анхан шатны тригонометрийн тэгшитгэлүүд нь --- тригонометрийн функцүүдийн нэг нь: , .

Анхан шатны тригонометрийн тэгшитгэл нь хязгааргүй олон үндэстэй. Жишээлбэл, тэгшитгэл хангагдсан байна дараах утгууд:, гэх мэт. Ерөнхий томъёоҮүний дагуу тэгшитгэлийн бүх үндэс олддог, хаана байна:

Энд энэ нь бүхэл тоон утгыг авч болно, тэдгээр нь тус бүр нь тэгшитгэлийн тодорхой үндэстэй тохирч байна; Энэ томъёонд (мөн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх бусад томъёонд) гэж нэрлэдэг. параметр. Тэдгээрийг ихэвчлэн параметр нь бүхэл тоон утгыг хүлээн авах боломжтой гэдгийг онцлон тэмдэглэдэг.

Тэгшитгэлийн шийдлүүдийг томъёогоор олно

Томьёог ашиглан тэгшитгэлийг шийддэг

ба тэгшитгэл нь томъёогоор байна

Ерөнхий томьёо ашиглахгүйгээр шийдлийг бичиж болох энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийн зарим онцгой тохиолдлыг онцгойлон авч үзье.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед чухал үүрэгтригонометрийн функцүүдийн үеийг гүйцэтгэдэг. Тиймээс бид хоёр ашигтай теоремыг танилцуулж байна:

Теорем Хэрэв --- үндсэнфункцийн үе, дараа нь тоо нь функцийн үндсэн үе болно.

Функцийн хугацаа ба хэрэв байгаа бол харьцуулах боломжтой гэж хэлдэг бүхэл тооТэгээд юу гэж.

Теорем Хэрэв үечилсэн функцуудболон, харьцуулсан байх ба, дараа нь тэд байна ерөнхий үе, энэ нь функцүүдийн үе, .

Теорем нь функцын үе гэж юу болохыг заасан бөгөөд үндсэн үе байх албагүй. Жишээлбэл, функцүүдийн үндсэн үе ба --- , тэдгээрийн бүтээгдэхүүний үндсэн үе --- .

Туслах аргументыг танилцуулж байна

Маягтын илэрхийллийг хувиргах стандарт арга нь дараах байдалтай байна: let --- булан, тэгшитгэлээр өгөгдсөн, . Ямар ч тохиолдолд ийм өнцөг байдаг. Тиймээс. Хэрэв, эсвэл бусад тохиолдолд.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх схем

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ бидний баримтлах үндсэн схем нь дараах байдалтай байна.

шийдэл өгөгдсөн тэгшитгэлшийдвэрт хүрдэг энгийн тэгшитгэл. Шийдэл --- хөрвүүлэлт, хүчин зүйлчлэл, үл мэдэгдэхийг орлуулах. Үндсэн зарчим бол үндсээ алдахгүй байх явдал юм. Энэ нь явахдаа гэсэн үг юм дараах тэгшитгэлд(тэгшитгэлүүд) бид нэмэлт (гадны) үндэс гарч ирэхээс айдаггүй, гэхдээ зөвхөн бидний "гинж" -ийн дараагийн тэгшитгэл (эсвэл салаалсан тохиолдолд тэгшитгэлийн багц) бүр нь өмнөхийн үр дагавар болохыг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Нэг нь боломжит аргууд root сонголт бол шалгалт юм. Тригонометрийн тэгшитгэлийн хувьд үндэс сонгох, шалгахтай холбоотой бэрхшээл нь дүрмээр бол алгебрийн тэгшитгэлтэй харьцуулахад огцом нэмэгддэг гэдгийг нэн даруй тэмдэглэе. Эцсийн эцэст, бид бүрдсэн цувралуудыг шалгах ёстой хязгааргүй тоогишүүд.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ үл мэдэгдэхийг солих талаар онцгойлон дурдах хэрэгтэй. Ихэнх тохиолдолд шаардлагатай орлуулалтын дараа энэ нь гарч ирдэг алгебрийн тэгшитгэл. Түүгээр ч барахгүй тэгшитгэлүүд нь тригонометрийн шинж чанартай байдаг тул тийм ч ховор биш юм Гадаад төрх, үндсэндээ тэд тийм биш, эхний алхмаас хойш --- орлуулалтхувьсагч --- алгебр болж хувирах ба тригонометр рүү буцах нь зөвхөн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үе шатанд л тохиолддог.

Дахин нэг удаа сануулъя: үл мэдэгдэх зүйлийг солих нь эхний боломжоор хийгдэх ёстой бөгөөд орлуулсны дараа үүссэн тэгшитгэлийг үндэс сонгох үе шатыг багтаасан эцэс хүртэл шийдэж, зөвхөн дараа нь анхны үл мэдэгдэх зүйл рүү буцах ёстой.

Тригонометрийн тэгшитгэлийн нэг онцлог нь хариултыг олон тохиолдолд бичиж болно янз бүрийн арга замууд. Тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд хариултыг дараах байдлаар бичиж болно.

1) хоёр цуврал хэлбэрээр: , ;

2) дээрх цувралуудын хослол болох стандарт хэлбэрээр: , ;

3) тул хариултыг хэлбэрээр бичиж болно, . (Ирээдүйд параметр эсвэл хариултын бичлэгт байгаа нь автоматаар энэ параметр нь бүх боломжит бүхэл утгыг хүлээн авна гэсэн үг юм. Үл хамаарах зүйлийг зааж өгнө.)

Мэдээжийн хэрэг, жагсаасан гурван тохиолдол нь хэлэлцэж буй тэгшитгэлийн хариултыг бичих бүх боломжийг шавхдаггүй (тэдгээрийн тоо хязгааргүй олон байдаг).

Жишээлбэл, тэгш байдал үнэн байх үед. Тиймээс эхний хоёр тохиолдолд хэрэв, бид үүнийг орлуулж болно.

Ихэвчлэн хариултыг 2-р цэг дээр үндэслэн бичдэг. Дараах зөвлөмжийг санах нь зүйтэй: хэрэв ажил тэгшитгэлийг шийдэхэд дуусаагүй бол судалгаа хийх, үндэс сонгох шаардлагатай хэвээр байгаа бол бичлэг хийх хамгийн тохиромжтой хэлбэр. 1-д заасан болно. (Тэгшитгэлийн хувьд ижил төстэй зөвлөмжийг өгөх ёстой.)

Хэлснийг харуулсан жишээг авч үзье.

Жишээ Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.Хамгийн ойлгомжтой арга бол дараахь зүйл юм. Энэ тэгшитгэлхоёр хуваагдана: i. Тэдгээрийг тус бүрээр нь шийдэж, олж авсан хариултуудыг нэгтгэснээр бид олох болно.

Өөр арга зам.Түүнээс хойш градусыг бууруулах томъёог сольж хэрэглэж байна. Бага зэрэг өөрчлөлт хийсний дараа бид хаана байна.

Эхлээд харахад хоёр дахь томъёо нь эхнийхээс онцгой давуу талтай байдаггүй. Гэсэн хэдий ч, хэрэв бид жишээ нь авч үзвэл, энэ нь гарч ирнэ, i.e. тэгшитгэл нь шийдэлтэй байдаг бол эхний арга нь биднийг хариулт руу хөтөлдөг. “Харах”, тэгш байдлыг батлах нь тийм ч амар биш.