Дифференциал тэмдгийн дор функцийг нэгтгэн дүгнэх хүснэгт. Тодорхой бус интеграл дахь хувьсагчийг өөрчлөх арга

Зарим төрлийн интегралыг шийдвэрлэхдээ тэдний хэлснээр хувиргалт хийгддэг дифференциал тэмдгийн дор орох. Энэ нь хүснэгтэн интеграл олж авах, авахад хялбар болгохын тулд хийгддэг. Үүнийг хийхийн тулд дараах томъёог ашиглана: $$ f"(x) dx = d(f(x)) $$

Би үүнийг тэмдэглэхийг хүсч байна чухал нюансоюутнуудын бодож байгаа зүйл. Энэ арга нь хувьсагчийг солих (орлуулах) аргаас юугаараа ялгаатай вэ? Энэ нь адилхан зүйл, зүгээр л бичлэг дээр өөр харагдаж байна. Аль аль нь үнэн.

Томъёо

Хэрэв интеграл нь нэг нь нөгөөгийнхөө дифференциал болох хоёр функцийн үржвэрийг харуулсан бол дифференциал тэмдгийн доор хүссэн функцийг оруулна. Энэ нь дараах байдалтай харагдаж байна.

$$ \int f(\varphi(x)) \varphi"(x) dx = \int f(\varphi(x)) d(\varphi(x))=\int f(u) du $$ $$ u=\varphi(x)$$

Үндсэн чиг үүргийг нэгтгэн дүгнэх

Энэхүү шийдлийн аргыг амжилттай ашиглахын тулд та дериватив болон интеграцийн хүснэгтийг мэдэх хэрэгтэй. Дараахь томъёонууд нь тэдгээрээс гарна.

Шийдлийн жишээ

Тиймээс, бид нийтлэлд зарим төрлийн интегралуудыг дифференциал тэмдгийн доор оруулах замаар хэрхэн шийддэг талаар авч үзсэн. Бид ихэвчлэн нийтлэг байдаг ялгааг санав үндсэн функцууд. Хэрэв та тестийн даалгавраа өөрөө шийдэж чадахгүй эсвэл хангалттай цаг байхгүй бол бид танд туслах болно. аль болох хурдан. Захиалгын маягтыг бөглөнө үү, бид тантай холбогдох болно.

Эхлээд асуудлын талаархи мэдэгдлийн талаар бага зэрэг яръя ерөнхий үзэл, дараа нь орлуулах замаар нэгтгэх жишээнүүд рүү шилжинэ. Бид тодорхой интегралтай байна гэж бодъё $\int g(x) \; dx$. Гэсэн хэдий ч интегралын хүснэгтэд шаардлагатай томьёо агуулаагүй бөгөөд өгөгдсөн интегралыг хэд хэдэн хүснэгтэд хуваах боломжгүй (өөрөөр хэлбэл шууд интеграл арилсан). Гэхдээ бидний интеграл $\int g(x) \; dx$-д зарим хүснэгтийн интеграл $\int f(u) \; du=F(u)+C$. Томьёог хэрэглэсний дараа $\int f(u)\; du=F(u)+C$ бидний хийх ёстой зүйл бол $x$ хувьсагчийг буцаана. Албан ёсоор үүнийг дараах байдлаар бичиж болно.

$$\int g(x)\; dx=|u=\varphi(x)|=\int f(u) \; du=F(u)+C=F(\varphi(x))+C.$$

Асуудал нь ийм орлуулалтыг хэрхэн сонгох вэ $u$. Үүнийг хийхийн тулд танд нэгдүгээрт, деривативын хүснэгт, нийлмэл функцийг ялгахад ашиглах чадвар, хоёрдугаарт, тодорхойгүй интегралын хүснэгт хэрэгтэй болно. Нэмж дурдахад бид доор бичих томъёолол маш их хэрэгтэй болно. Хэрэв $y=f(x)$ бол:

\begin(equation)dy=y"dx\end(тэгшитгэл)

Тэдгээр. зарим функцийн дифференциал нь энэ функцийн деривативыг бие даасан хувьсагчийн дифференциалаар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна. Энэ дүрэм нь маш чухал бөгөөд энэ дүрэм нь орлуулах аргыг ашиглах боломжийг танд олгоно. Энд бид (1) томъёоноос олж авсан хэд хэдэн онцгой тохиолдлыг зааж өгөх болно. $y=x+C$ байг, $C$ нь тодорхой тогтмол (тоо, энгийнээр хэлбэл). Дараа нь $x+C$ илэрхийллийг $y$-ын оронд (1) томъёонд орлуулснаар бид дараах зүйлийг олж авна.

$$ d(x+C)=(x+C)" dx $$

$(x+C)"=x"+C"=1+0=1$ тул дээрх томъёо дараах байдалтай болно.

$$ d(x+C)=(x+C)" dx=1\cdot dx=dx.$$

Бид олж авсан үр дүнг тусад нь бичье, өөрөөр хэлбэл.

\begin(equation)dx=d(x+C)\end(тэгшитгэл)

Үүссэн томъёо нь дифференциал дор тогтмолыг нэмэхэд энэ дифференциал өөрчлөгдөхгүй гэсэн үг юм. $dx=d(x+10)$, $dx=d(x-587)$ гэх мэт.

Дахиад нэгийг харцгаая онцгой тохиолдолтомъёоны хувьд (1). $y=Cx$ байг, энд $C$ дахин тогтмол байна. Томъёонд (1) $y$-ийн оронд $Cx$ илэрхийллийг орлуулж энэ функцийн дифференциалыг олъё:

$$ d(Cx)=(Cx)"dx $$

$(Cx)"=C\cdot (x)"=C\cdot 1=C$ тул дээрх $d(Cx)=(Cx)"dx$ томъёо нь: $d(Cx)=Cdx $ болно. Хэрэв бид энэ томьёоны хоёр талыг $C$-д хуваавал ($C\neq 0$ гэж үзвэл) $\frac(d(Cx))(C)=dx$ гарна. Энэ үр дүнг арай өөр хэлбэрээр дахин бичиж болно:

\begin(equation)dx=\frac(1)(C)\cdot d(Cx)\;\;\;(C\neq 0)\end(тэгшитгэл)

Үүссэн томьёо нь дифференциал дор байгаа илэрхийллийг тэгээс бусад тогтмолоор үржүүлэхэд ийм үржүүлгийг нөхөх харгалзах үржүүлэгчийг оруулах шаардлагатайг харуулж байна. Жишээлбэл, $dx=\frac(1)(5) d(5x)$, $dx=-\frac(1)(19) d(-19x)$.

1 ба 2 дугаар жишээнүүдэд (2) ба (3) томъёог нарийвчлан авч үзэх болно.

Томъёоны тухай тэмдэглэл

Энэ сэдвээр 1-3-р томьёо болон тодорхой бус интегралын хүснэгтийн томъёог хоёуланг нь ашиглах бөгөөд тэдгээр нь мөн өөрийн гэсэн дугаартай байдаг. Төөрөгдөл гаргахгүйн тулд дараахь зүйлийг тохиролцъё: хэрэв сэдэвт "томьёо №1 ашиглах" гэсэн бичвэр гарч ирвэл энэ нь шууд утгаараа дараахь зүйлийг илэрхийлнэ: "томьёо №1 ашиглах, энэ хуудсан дээр байрладаг". Хэрэв бидэнд интегралын хүснэгтээс томьёо хэрэгтэй бол бид үүнийг тухай бүр тусад нь зааж өгөх болно. Жишээ нь: "бид интегралын хүснэгтээс №1 томъёог ашигладаг."

Бас нэг жижиг тэмдэглэл

Жишээнүүдтэй ажиллахаасаа өмнө тодорхойгүй интеграл ба тухай ойлголтод зориулагдсан өмнөх сэдвүүдэд танилцуулсан материалтай танилцахыг зөвлөж байна. Энэ сэдвийн материалын танилцуулга нь дурдсан сэдвүүдэд өгөгдсөн мэдээлэлд үндэслэсэн болно.

Жишээ №1

$\int \frac(dx)(x+4)$-г ол.

Хэрэв бид - руу хандвал $\int \frac(dx)(x+4)$ интегралтай яг таарах томьёог олж чадахгүй. Интегралын хүснэгтийн 2-р томьёо нь энэ интегралтай хамгийн ойр, i.e. $\int \frac(du)(u)=\ln|u|+C$. Асуудал нь дараах байдалтай байна: $\int \frac(du)(u)=\ln|u|+C$ томьёо нь $\int \frac(du)(u)$ интеграл дахь хуваагч дахь илэрхийллүүд болон дор байх ёстой дифференциал нь ижил байх ёстой (хоёул ижил $u$ үсэгтэй). Манай тохиолдолд $\int \frac(dx)(x+4)$-д $x$ үсэг дифференциалын доор, $x+4$ илэрхийлэл нь хуваарьт, өөрөөр хэлбэл. Хүснэгтийн томьёотой тодорхой зөрүүтэй байна. Хүснэгтийн интегралыг "тохируулах" оролдлого хийцгээе. Хэрэв бид дифференциалыг $x$-ийн оронд $x+4$-г орлуулбал юу болох вэ? Энэ асуултад хариулахын тулд $y$-ийн оронд $x+4$ илэрхийллийг орлуулж ашиглая:

$$ d(x+4)=(x+4)"dx $$

$(x+4)"=x"+(4)"=1+0=1$ тул $ d(x+4)=(x+4)"dx $ тэнцүү болно:

$$ d(x+4)=1\cdot dx=dx $$

Тэгэхээр $dx=d(x+4)$. Үнэнийг хэлэхэд, тогтмол $C$-ын оронд $4$-ын тоог орлуулснаар ижил үр дүнд хүрч болох байсан. Ирээдүйд бид үүнийг хийх болно, гэхдээ бид анх удаа $dx=d(x+4)$ тэгшитгэлийг олж авах журмыг нарийвчлан судалсан. Гэхдээ $dx=d(x+4)$ тэгш байдал бидэнд юу өгөх вэ?

Мөн энэ нь бидэнд өгдөг дараагийн гаралт: хэрэв $dx=d(x+4)$ бол $d(x+4)$-г $dx$-ийн оронд $\int \frac(dx)(x+4)$ интегралд орлуулж болно. интеграл нь үүнээс хамаарахгүй өөрчлөгдөнө:

$$ \int \frac(dx)(x+4)=\int \frac(d(x+4))(x+4)$$

Үүссэн интеграл нь $\int \frac(du)(u)=\ln|u|+C$ хүснэгтийн томьёотой бүрэн тохирч байхаар л бид энэ хувиргалтыг хийсэн. Энэ захидал харилцааг бүрэн тодорхой болгохын тулд $x+4$ илэрхийллийг $u$ үсгээр орлуулъя (өөрөөр хэлбэл, бид орлуулалт$u=x+4$):

$$ \int \frac(dx)(x+4)=\int \frac(d(x+4))(x+4)=|u=x+4|=\int \frac(du)(u) )=\ln|u|+C.$$

Уг нь асуудал аль хэдийн шийдэгдсэн. Үлдсэн зүйл бол $x$ хувьсагчийг буцаах явдал юм. $u=x+4$ гэдгийг санахад бид дараахыг авна: $\ln|u|+C=\ln|x+4|+C$. Бүрэн шийдэлтайлбаргүйгээр дараах байдалтай байна.

$$ \int \frac(dx)(x+4)=\int \frac(d(x+4))(x+4)=|u=x+4|=\int \frac(du)(u) )=\ln|u|+C=\ln|x+4|+C.$$

Хариулт: $\int \frac(dx)(x+4)=\ln|x+4|+C$.

Жишээ №2

$\int e^(3x) dx$-г ол.

Хэрэв бид тодорхой бус интегралын хүснэгт рүү эргэвэл $\int e^(3x) dx$ интегралтай яг таарах томьёог олж чадахгүй. Интегралын хүснэгтээс 4-р томьёо нь энэ интегралтай хамгийн ойр, i.e. $\int e^u du=e^u+C$. Асуудал нь дараах байдалтай байна: $\int e^u du=e^u+C$ томьёо нь $\int e^u du$ интеграл дахь $e$ ба дифференциал дор байгаа илэрхийллүүд байх ёстой гэж үздэг. адилхан (хоёулаа нэг үсэг $u$ байна). Манай тохиолдолд $\int e^(3x) dx$-д дифференциал дор $x$ үсэг, $e$-ийн хүчинд $3x$ илэрхийлэл байдаг, өөрөөр хэлбэл. Хүснэгтийн томьёотой тодорхой зөрүүтэй байна. Хүснэгтийн интегралыг "тохируулах" оролдлого хийцгээе. Хэрэв та дифференциалыг $x$-ийн оронд $3x$-г орлуулбал юу болох вэ? Энэ асуултад хариулахын тулд $y$-ийн оронд $3x$ илэрхийллийг орлуулж ашиглацгаая:

$$ d(3x)=(3x)"dx $$

$(3x)"=3\cdot (x)"=3\cdot 1=3$ байх тул $d(3x)=(3x)"dx$ тэгшитгэл дараах байдалтай болно.

$$ d(3x)=3dx $$

Үүссэн тэгш байдлын хоёр талыг $3$-д хуваахад бид: $\frac(d(3x))(3)=dx$, өөрөөр хэлбэл. $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$. Үнэн хэрэгтээ $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$ тэгш байдлыг $C$ тогтмолын оронд $3$ тоог зүгээр л орлуулснаар олж авч болно. Ирээдүйд бид үүнийг хийх болно, гэхдээ бид анх удаа $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$ тэгшитгэлийг олж авах журмыг нарийвчлан судалсан.

Үүссэн $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$ тэгш байдал бидэнд юу өгсөн бэ? Энэ нь $dx$-ийн оронд $\frac(1)(3)\cdot d(3x)$-г $\int e^(3x) dx$ интегралд орлуулж болох ба интеграл өөрчлөгдөхгүй гэсэн үг.

$$ \int e^(3x) dx= \int e^(3x) \cdot\frac(1)(3) d(3x) $$

Интеграл тэмдгээс $\frac(1)(3)$ тогтмолыг аваад $3x$ илэрхийллийг $u$ үсгээр орлуулъя (өөрөөр хэлбэл, бид үүнийг хийцгээе). орлуулалт$u=3x$), үүний дараа бид $\int e^u du=e^u+C$ хүснэгтийн томъёог хэрэглэнэ.

$$ \int e^(3x) dx= \int e^(3x) \cdot\frac(1)(3) d(3x)=\frac(1)(3)\cdot \int e^(3x) d(3x)=|u=3x|=\frac(1)(3)\cdot\int e^u du=\frac(1)(3)\cdot e^u+C.$$

Өмнөх жишээний нэгэн адил бид $x$ анхны хувьсагчийг буцаах хэрэгтэй. $u=3x$ тул $\frac(1)(3)\cdot e^u+C=\frac(1)(3)\cdot e^(3x)+C$. Сэтгэгдэлгүй бүрэн шийдэл нь дараах байдалтай байна.

$$ \int e^(3x) dx= \int e^(3x) \cdot\frac(1)(3) d(3x)=\frac(1)(3)\cdot \int e^(3x) d(3x)=|u=3x|=\frac(1)(3)\cdot\int e^u du=\frac(1)(3)\cdot e^u+C=\frac(1)( 3)\cdot e^(3x)+C.$$

Хариулт: $ \int e^(3x) dx= \frac(1)(3)\cdot e^(3x)+C$.

Жишээ №3

$\int (3x+2)^2 dx$-г ол.

Энэ интегралыг олохын тулд бид хоёр аргыг ашигладаг. Эхний арга бол хаалтуудыг нээж, шууд нэгтгэх явдал юм. Хоёр дахь арга нь орлуулах аргыг ашиглах явдал юм.

Эхний арга

$(3x+2)^2=9x^2+12x+4$ тул $\int (3x+2)^2 dx=\int (9x^2+12x+4)dx$. $\int (9x^2+12x+4)dx$ интегралыг гурван интегралын нийлбэрээр илэрхийлж, харгалзах интегралын тэмдгүүдээс тогтмолуудыг авч үзвэл бид дараахь зүйлийг олж авна.

$$ \int (9x^2+12x+4)dx=\int 9x^2 dx+\int 12x dx+\int 4 dx=9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\ cdot \int 1 dx $$

$\int x^2 dx$-г олохын тулд интегралын хүснэгтийн 1-р томьёонд $u=x$, $\alpha=2$-г орлуулна: $\int x^2 dx=\frac(x^(2) +1))( 2+1)+C=\frac(x^3)(3)+C$. Үүний нэгэн адил, $u=x$ болон $\alpha=1$-г хүснэгтээс ижил томьёонд орлуулснаар бид дараах байдалтай болно: $\int x^1 dx=\frac(x^(1+1))(1+1) )+ C=\frac(x^2)(2)+C$. $\int 1 dx=x+C$ тул:

$$ 9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\cdot \int 1 dx=9\cdot\frac(x^3)(3)+12\cdot \frac(x^) 2)(2)+4\cdot x+C=3x^3+6x^2+4x+C. $$

$$ \int (9x^2+12x+4)dx=\int 9x^2 dx+\int 12x dx+\int 4 dx=9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\ cdot \int 1 dx=\\ =9\cdot\frac(x^3)(3)+12\cdot \frac(x^2)(2)+4\cdot x+C=3x^3+6x^ 2+4x+C. $$

Хоёр дахь арга зам

Бид хаалт нээхгүй. Дифференциал дор $x$ биш $3x+2$ илэрхийлэл гарч ирэхийг оролдъё. Ингэснээр та шинэ хувьсагч оруулж, хүснэгтийн томъёог ашиглах боломжтой болно. Дифференциал доор гарч ирэхийн тулд $3$ хүчин зүйл хэрэгтэй тул утгад $C=3$ гэж орлуулбал $d(x)=\frac(1)(3)d(3x)$ болно. Үүнээс гадна дифференциалын дор $2$ гэсэн нэр томъёо байхгүй байна. Дифференциал тэмдгийн дор тогтмол нэмэхийн дагуу энэ дифференциал өөрчлөгдөхгүй, i.e. $\frac(1)(3)d(3x)=\frac(1)(3)d(3x+2)$. $d(x)=\frac(1)(3)d(3x)$ ба $\frac(1)(3)d(3x)=\frac(1)(3)d(3x+2) нөхцлөөс ) $ бидэнд байна: $dx=\frac(1)(3)d(3x+2)$.

$dx=\frac(1)(3)d(3x+2)$ тэгшитгэлийг өөр аргаар олж авч болохыг анхаарна уу.

$$ d(3x+2)=(3x+2)"dx=((3x)"+(2)")dx=(3\cdot x"+0)dx=3\cdot 1 dx=3dx;\ \dx=\frac(1)(3)d(3x+2). $$

Бид $dx=\frac(1)(3)d(3x+2)$ тэгшитгэлийг ашиглан $\frac(1)(3)d(3x) илэрхийллийг $\int (3x+2) интеграл болгон орлуулна. )^$dx$-ийн оронд 2 dx$ +2)$. Бид үүссэн интегралын тэмдгээс $\frac(1)(3)$ тогтмолыг авна.

$$ \int (3x+2)^2 dx=\int (3x+2)^2 \cdot \frac(1)(3)d(3x+2)=\frac(1)(3)\cdot \ int (3x+2)^2 d(3x+2). $$

Цаашдын шийдэл нь $u=3x+2$ орлуулалтыг хийж, интегралын хүснэгтээс №1 томъёог хэрэглэнэ.

$$ \frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2)=|u=3x+2|=\frac(1)(3)\cdot \int u^ 2 du=\frac(1)(3)\cdot \frac(u^(2+1))(2+1)+C=\frac(u^3)(9)+C. $$

$u$-ын оронд $3x+2$ илэрхийлэлийг буцаавал бид дараахийг авна:

$$ \frac(u^3)(9)+C=\frac((3x+2)^3)(9)+C. $$

Тайлбаргүй бүрэн шийдэл нь:

$$ \int (3x+2)^2 dx=\frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2)=|u=3x+2|=\\ = \frac(1)(3)\cdot \int u^2 du=\frac(u^3)(9)+C=\frac((3x+2)^3)(9)+C. $$

Би хэд хэдэн асуултыг урьдчилан харж байгаа тул тэдгээрийг томъёолж, хариулт өгөхийг хичээх болно.

Асуулт №1

Энд ямар нэг зүйл тохирохгүй байна. Эхний аргаар шийдэхэд бид $\int (9x^2+12x+4)dx=3x^3+6x^2+4x+C$-г олж авсан. Хоёрдахь аргыг шийдэхэд хариулт нь: $\int (3x+2)^2 dx=\frac((3x+2)^3)(9)+C$ болсон. Гэсэн хэдий ч хоёр дахь хариултаас эхнийх рүү шилжих боломжгүй юм! Хэрэв бид хаалтуудыг нээвэл бид дараахь зүйлийг авна.

$$ \frac((3x+2)^3)(9)+C=\frac(27x^3+54x^2+36x+8)(9)+C=\frac(27x^3)(9) +\frac(54x^2)(9)+\frac(36x)(9)+\frac(8)(9)+C=3x^3+6x^2+4x+\frac(8)(9)+ C. $$

Хариултууд нь таарахгүй байна! $\frac(8)(9)$ нэмэлт бутархай хаанаас ирсэн бэ?

Энэ асуулт нь өмнөх сэдвүүдийг үзэхийг зөвлөж байна. Тодорхой бус интегралын тухай сэдвийг уншина уу (анхаарал онцгой анхааралхуудасны төгсгөлд 2-р асуулт) болон шууд интеграцчилал (энэ нь 4-р асуултанд анхаарлаа хандуулах нь зүйтэй). Эдгээр сэдвүүд нь энэ асуудлыг нарийвчлан тусгасан болно. Товчхондоо, интеграл тогтмол $C$-г төлөөлж болно янз бүрийн хэлбэрүүд. Жишээ нь, бидний хувьд $C_1=C+\frac(8)(9)$-г дахин төлөвлөхөд бид дараахыг авна:

$$ 3x^3+6x^2+4x+\frac(8)(9)+C=3x^3+6x^2+4x+C_1. $$

Тиймээс хариултыг $3x^3+6x^2+4x+C$ хэлбэрээр эсвэл $\frac((3x+2)^3)(9)+ хэлбэрээр бичиж болно; канад доллар.

Асуулт №2

Яагаад хоёр дахь аргаар шийдэх шаардлагатай байсан бэ? Энэ бол шаардлагагүй хүндрэл юм! Яагаад эхний аргыг ашиглан хэд хэдэн алхамаар олж авсан хариултыг олохын тулд олон тооны шаардлагагүй томъёог ашигладаг вэ? Сургуулийн томъёог ашиглан хаалт нээхэд л хангалттай байв.

Юуны өмнө энэ бол тийм ч төвөгтэй зүйл биш юм. Орлуулах аргыг ойлгосноор та ижил төстэй жишээнүүдийг нэг мөрөнд шийдэж эхэлнэ: $\int (3x+2)^2 dx=\frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^2 d ( 3x+2)=\frac((3x+2)^3)(9)+C$. Гэсэн хэдий ч энэ жишээг өөрөөр харцгаая. Та $\int (3x+2)^2 dx$ биш, харин $\int (3x+2)^(200) dx$ тооцоолох хэрэгтэй гэж төсөөлөөд үз дээ. Хоёрдахь аргыг шийдэхдээ та градусыг бага зэрэг тохируулах хэрэгтэй бөгөөд хариулт бэлэн болно.

$$ \int (3x+2)^(200) dx=\frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^(200) d(3x+2)=|u=3x+2| =\\ =\frac(1)(3)\cdot \int u^(200) du=\frac(u^(201))(603)+C=\frac((3x+2)^(201) )(603)+C. $$

Одоо ижил интеграл $\int (3x+2)^(200) dx$-ийг эхний аргаар авах шаардлагатай гэж төсөөлөөд үз дээ. Эхлээд та $(3x+2)^(200)$ хаалтыг нээх хэрэгтэй бөгөөд ингэснээр хоёр зуун нэг нөхцлийн нийлбэрийг авах болно! Дараа нь нэр томъёо бүрийг нэгтгэх шаардлагатай болно. Тиймээс эндээс дүгнэлт нь: төлөө илүү өндөр зэрэгтэйарга шууд интеграцисайн биш. Хоёрдахь арга нь илт төвөгтэй хэдий ч илүү практик юм.

Жишээ № 4

$\int \sin2x dx$-г олоорой.

Бид энэ жишээг гурван өөр аргаар шийдэх болно.

Эхний арга

Интегралын хүснэгтийг харцгаая. Энэ хүснэгтийн 5-р томъёо нь бидний жишээнд хамгийн ойр, i.e. $\int \sin u du=-\cos u+C$. $\int \sin2x dx$ интегралыг $\int \sin u du$ хэлбэрт тохируулахын тулд дифференциал тэмдгийн доор $2$ хүчин зүйлийг оруулав. Үнэндээ бид үүнийг №2 жишээн дээр хийсэн тул дэлгэрэнгүй тайлбаргүйгээр хийж болно.

$$ \int \sin 2x dx=\left|dx=\frac(1)(2)\cdot d(2x) \right|=\int \sin 2x \cdot\frac(1)(2)d(2x) )=\\ =\frac(1)(2) \int \sin 2x d(2x)=|u=2x|=\frac(1)(2) \int \sin u du=-\frac(1) (2)\cos u+C=-\frac(1)(2)\cos 2x+C. $$

Хариулт: $\int \sin2x dx=-\frac(1)(2)\cos 2x+C$.

Хоёр дахь арга зам

Хоёрдахь аргыг шийдэхийн тулд бид энгийн аргыг хэрэглэдэг тригонометрийн томъёо: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. $\sin 2x$-ын оронд $2 \sin x \cos x$ илэрхийллийг орлуулж, интеграл тэмдэгээс $2$ тогтмолыг авцгаая.

Ийм өөрчлөлтийн зорилго юу вэ? Хүснэгтэнд $\int \sin x\cos x dx$ интеграл байхгүй, гэхдээ бид $\int \sin x\cos x dx$-г бага зэрэг өөрчилж, хүснэгтийнхтэй илүү адилхан болгож чадна. Үүнийг хийхийн тулд $d(\cos x)$ -г ашиглан олъё. Дээрх томъёонд $y$-ын оронд $\cos x$-г орлуулъя:

$$ d(\cos x)=(\cos x)"dx=-\sin x dx. $$

$d(\cos x)=-\sin x dx$ тул $\sin x dx=-d(\cos x)$. $\sin x dx=-d(\cos x)$ тул бид $\sin x dx$-ийн оронд $\int \sin x\cos x dx$-д $-d(\cos x)$-г орлуулж болно. Интегралын утга өөрчлөгдөхгүй:

$$ 2\cdot\int \sin x\cos x dx=2\cdot\int \cos x \cdot (-d(\cos x))=-2\int\cos x d(\cos x) $$

Өөрөөр хэлбэл, бид дифференциал дор нэмсэн$\cos x$. Одоо $u=\cos x$ орлуулалтыг хийсний дараа бид интегралын хүснэгтээс №1 томьёог хэрэглэж болно.

$$ -2\int\cos x d(\cos x)=|u=\cos x|=-2\int u du=-2\cdot \frac(u^2)(2)+C=-u^ 2+C=-\cos^2x+C. $$

Хариулт нь ирсэн. Ерөнхийдөө заавал $u$ үсэг оруулах шаардлагагүй. Энэ төрлийн интегралыг шийдвэрлэх хангалттай ур чадвар эзэмшсэн тохиолдолд нэмэлт тэмдэглэгээ хийх хэрэгцээ алга болно. Тайлбаргүй бүрэн шийдэл нь:

$$ \int \sin 2x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx=|\sin x dx=-d(\cos x)|=-2\int\cos x d(\cos x)= |u=\cos x|=\\ =-2\int u du=-2\cdot \frac(u^2)(2)+C=-u^2+C=-\cos^2x+C. $$

Хариулт: $\int \sin2x dx=-\cos^2x+C$.

Гурав дахь зам

Гурав дахь аргаар шийдэхийн тулд бид ижил тригонометрийн томъёог хэрэглэнэ: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. $\sin 2x$-ын оронд $2 \sin x \cos x$ илэрхийллийг орлуулж, интеграл тэмдэгээс $2$ тогтмолыг авцгаая.

$$ \int \sin 2x dx=\int 2 \sin x\cos x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx $$

-г ашиглан $d(\sin x)$-г олцгооё. Дээрх томъёонд $y$-ын оронд $\sin x$-г орлуулъя:

$$ d(\sin x)=(\sin x)"dx=\cos x dx. $$

Тэгэхээр $d(\sin x)=\cos x dx$. Үүссэн тэгш байдлаас үзэхэд бид $d(\sin x)$-г $\int \sin x\cos x dx$-д $\cos x dx$-ийн оронд орлуулж болно. Интегралын утга өөрчлөгдөхгүй:

$$ 2\cdot\int \sin x\cos x dx=2\cdot\int \sin x \cdot d(\sin x) $$

Өөрөөр хэлбэл, бид дифференциал дор нэмсэн$\sin x$. Одоо $u=\sin x$ орлуулалтыг хийсний дараа бид интегралын хүснэгтээс №1 томъёог хэрэглэж болно.

$$ 2\int\sin x d(\sin x)=|u=\sin x|=2\int u du=2\cdot \frac(u^2)(2)+C=u^2+C= \sin^2x+C. $$

Хариулт нь ирсэн. Тайлбаргүй бүрэн шийдэл нь:

$$ \int \sin 2x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx=|\cos x dx=d(\sin x)|=2\cdot\int \sin x \cdot d(\sin) x)=|u=\sin x|=\\ =2\int u du=2\cdot \frac(u^2)(2)+C=u^2+C=\sin^2x+C. $$

Хариулт: $\int \sin2x dx=\sin^2x+C$.

Энэ жишээг, ялангуяа гурван өөр (анхны харцаар) хариултыг уншсаны дараа асуулт гарч ирж магадгүй юм. Үүнийг авч үзье.

Асуулт №3

Хүлээгээрэй. Хариултууд нь ижил байх ёстой, гэхдээ тэд өөр байна! Жишээ №3-д ялгаа нь зөвхөн тогтмол $\frac(8)(9)$ байсан боловч энд хариултууд нь гадаад төрхөөрөө ч адилгүй: $-\frac(1)(2)\cos 2x+C $, $-\ cos^2x+C$, $\sin^2x+C$. Энэ бүхэн үнэхээр дахин интеграл тогтмол $C$-ийн тухай мөн үү?

Тиймээ, яг энэ тогтмол нь чухал юм. Бүх хариултыг нэг маягт болгон бууруулъя, үүний дараа тогтмолуудын энэ ялгаа бүрэн тодорхой болно. $-\frac(1)(2)\cos 2x+C$ гэж эхэлцгээе. Энгийн хэрэглээг үзье тригонометрийн тэгш байдал: $\cos 2x=1-2\sin^2 x$. Дараа нь $-\frac(1)(2)\cos 2x+C$ илэрхийлэл болно:

$$ -\frac(1)(2)\cos 2x+C=-\frac(1)(2)\cdot(1-2\sin^2 x)+C=-\frac(1)(2) +\frac(1)(2)\cdot 2\sin^2x+C=\sin^2 x+C-\frac(1)(2). $$

Одоо хоёр дахь хариулттай ажиллацгаая, өөрөөр хэлбэл. $-\cos^2x+C$. $\cos^2 x=1-\sin^2x$ тул:

$$ -\cos^2x+C=-(1-\sin^2x)+C=-1+\sin^2x+C=\sin^2x+C-1 $$

4-р жишээн дээр бидний хүлээн авсан гурван хариулт нь: $\sin^2 x+C-\frac(1)(2)$, $\sin^2x+C-1$, $\sin^2x+ C$ байв. . Тэд бие биенээсээ тодорхой тоогоор л ялгаатай байгаа нь одоо тодорхой болсон гэж бодож байна. Тэдгээр. Энэ асуудал дахин интеграл тогтмол болж хувирав. Таны харж байгаагаар интеграл тогтмол дахь жижиг ялгаа нь зарчмын хувьд ихээхэн өөрчлөгдөж болно гадаад төрххариулт - гэхдээ энэ нь хариултыг зөв болгоход саад болохгүй. Миний ойлгож байгаа зүйл: хэрэв та асуудлын цуглуулгаас таныхтай давхцахгүй байгаа хариултыг олж харвал энэ нь таны хариулт буруу гэсэн үг биш юм. Асуудлын зохиогчийн бодож байснаас өөр аргаар та зүгээр л хариулт авсан байж магадгүй юм. Тодорхой бус интегралын тодорхойлолт дээр үндэслэсэн шалгалт нь хариултын зөв эсэхийг шалгахад тусална. Жишээлбэл, $\int \sin2x dx=-\frac(1)(2)\cos 2x+C$ интеграл зөв олдвол $\left(-\frac(1)(2)\cos тэгшитгэл болно. 2x+ C\right)"=\sin 2x$. Тэгэхээр $\left(-\frac(1)(2)\cos 2x+C\right)$-ийн дериватив интегралтай тэнцүү байгаа нь үнэн эсэхийг шалгая. $\sin 2x $-ын:

$$ \left(-\frac(1)(2)\cos 2x+C\right)"=\left(-\frac(1)(2)\cos 2x\right)"+C"=-\frac (1)(2)\cdot(\cos 2x)"+0=\\ =-\frac(1)(2)\cdot (-\sin 2x)\cdot (2x)"=-\frac(1) (2)\cdot (-\sin 2x)\cdot 2=\sin 2x $$.

Баталгаажуулалт амжилттай дууссан. $\left(-\frac(1)(2)\cos 2x+C\right)"=\sin 2x$ тэгш байдал хангагдсан тул $\int \sin2x dx=-\frac(1)(2) )\cos 2x+C$ зөв байна. 5-р жишээн дээр бид үр дүнг зөв эсэхийг шалгах болно, гэхдээ зарим стандарт тооцоололд энэ нь зайлшгүй шаардлагатай. туршилтуудүр дүнг шалгах шаардлага бий.

Асаалттай энэ хичээлБид тодорхой бус интегралыг шийдвэрлэхэд ашигладаг хамгийн чухал бөгөөд хамгийн түгээмэл аргуудын нэг болох хувьсагчийн аргыг өөрчлөхтэй танилцах болно. Шаардлагатай материалыг амжилттай эзэмшихийн тулд суурь мэдлэгболон нэгтгэх ур чадвар. Хэрэв данх хоосон, дүүрсэн мэт мэдрэмж төрж байвал интеграл тооцоо, дараа нь та эхлээд миний тайлбарласан материалтай танилцах хэрэгтэй хүртээмжтэй хэлбэринтеграл гэж юу вэ, нарийвчлан шинжлэх үндсэн жишээнүүдэхлэгчдэд зориулсан.

Техникийн хувьд хувьсагчийг орлуулах арга нь тийм биш юм тодорхой интегралхоёр аргаар хэрэгжүүлдэг:

– Функцийг дифференциал тэмдгийн доор оруулах;
– Үнэн хэрэгтээ хувьсагчийг орлуулж байна.

Үндсэндээ эдгээр нь ижил зүйл боловч шийдлийн загвар нь өөр өөр харагдаж байна.

Илүү энгийн тохиолдлоор эхэлцгээе.

Дифференциал тэмдгийн дор функцийг нэгтгэх

Ангидаа Тодорхой бус интеграл. Шийдлийн жишээБид дифференциалыг хэрхэн нээхийг сурсан, би өгсөн жишээгээ танд сануулж байна:

Өөрөөр хэлбэл дифференциалыг илчлэх нь дериватив олохтой албан ёсоор бараг ижил юм.

Жишээ 1

Шалгалт хийх.

Бид интегралын хүснэгтийг хараад ижил төстэй томъёог олно. . Гэхдээ асуудал бол синус дор бид зөвхөн "X" үсэг биш, харин нарийн төвөгтэй илэрхийлэл. Юу хийх вэ?

Бид функцийг дифференциал тэмдгийн дор авчирдаг:

Дифференциалыг нээснээр дараахь зүйлийг шалгахад хялбар болно.

Үнэндээ ба ижил зүйлийн бичлэг юм.

Гэсэн хэдий ч эхний алхамд бид интегралыг яг ингэж бичих хэрэгтэй гэсэн санааг хэрхэн олж авсан бэ гэсэн асуулт хэвээр үлдэв. ? Яагаад ийм замаар, өөрөөр биш гэж?

Томъёо (болон бусад бүх хүснэгтийн томъѐо) нь зөвхөн хувьсагчийн хувьд биш, мөн аливаа нарийн төвөгтэй илэрхийлэлд ЗӨВХӨН ФУНКЦИЙН АРГУМЕНТ БОЛОХ хүчинтэй бөгөөд хэрэгжих боломжтой.(- бидний жишээнд) БА ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЭМДЭГДЭХ ИЛЭРХИЙЛЭЛТ БАЙСАН ТЭГЭЭД БАЙНА .

Тиймээс шийдвэрлэх үед сэтгэцийн үндэслэл нь иймэрхүү байх ёстой: "Би интегралыг шийдэх хэрэгтэй. Би хүснэгтийг хараад ижил төстэй томъёог олсон . Гэхдээ надад төвөгтэй аргумент байгаа бөгөөд би тэр даруй томъёог ашиглаж чадахгүй. Гэсэн хэдий ч, хэрэв би үүнийг дифференциал тэмдгийн дор авч чадвал бүх зүйл сайхан болно. Хэрэв би үүнийг бичвэл. Гэхдээ анхны интегралд гурав дахь хүчин зүйл байхгүй тул интеграл функц өөрчлөгдөхгүйн тулд би үүнийг "-ээр үржүүлэх хэрэгтэй. Ойролцоогоор ийм сэтгэцийн үндэслэлийн явцад дараахь оруулга үүсдэг.

Одоо та хүснэгтийн томъёог ашиглаж болно :

Бэлэн

Ганц ялгаа нь бидэнд "Х" үсэг байхгүй, харин нарийн төвөгтэй илэрхийлэл юм.

Шалгацгаая. Деривативын хүснэгтийг нээж хариултыг ялгана уу.

Анхны интеграл функцийг авсан нь интеграл зөв олдсон гэсэн үг.

Шалгалтын явцад бид ялгах дүрмийг ашигласан болохыг анхаарна уу нарийн төвөгтэй функц . Үндсэндээ функцийг дифференциал тэмдгийн доор оруулах ба - эдгээр нь хоорондоо урвуу хоёр дүрэм юм.

Жишээ 2

Интеграл функцэд дүн шинжилгээ хийцгээе. Энд бид бутархай бөгөөд хуваагч нь шугаман функц юм ("x"-ээс эхний зэрэгтэй). Бид интегралын хүснэгтийг хараад хамгийн төстэй зүйлийг олно. .

Бид функцийг дифференциал тэмдгийн дор авчирдаг:

Аль бутархайг үржүүлэхээ шууд олоход хэцүү байгаа хүмүүс ноорог дээрх дифференциалыг хурдан илрүүлж чадна: . Тийм ээ, энэ нь юу ч өөрчлөгдөхгүйн тулд интегралыг -ээр үржүүлэх хэрэгтэй гэсэн үг юм.
Дараа нь бид хүснэгтийн томъёог ашиглана :

Шалгалт:


Анхны интеграл функцийг авсан нь интеграл зөв олдсон гэсэн үг.

Жишээ 3

Тодорхойгүй интегралыг ол. Шалгалт хийх.

Жишээ 4

Тодорхойгүй интегралыг ол. Шалгалт хийх.

Энэ бол жишээ юм бие даасан шийдвэр. Хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна.

Интегралыг шийдэж байсан туршлагатай, ижил төстэй жишээнүүдхөнгөн мэт санагдаж, самар шиг хагарна:

Энэ догол мөрний төгсгөлд би "үнэгүй" хэргийн талаар ярихыг хүсч байна шугаман функцхувьсагч нь нэгжийн коэффициенттэй, жишээ нь:

Хатуухан хэлэхэд шийдэл нь дараах байдалтай байх ёстой.

Таны харж байгаагаар функцийг дифференциал тэмдгийн дор оруулах нь ямар ч үржүүлээгүй "өвдөлтгүй" байсан. Тиймээс практик дээр энэ урт шийдэлихэвчлэн үл тоомсорлож, тэр даруй бичдэг . Гэхдээ шаардлагатай бол багшид үүнийг хэрхэн шийдсэнээ тайлбарлахад бэлэн байгаарай! Учир нь хүснэгтэд үнэндээ интеграл байхгүй.

Тодорхой бус интеграл дахь хувьсагчийг өөрчлөх арга

Үргэлжлүүлэн авч үзье ерөнхий тохиолдол– тодорхой бус интеграл дахь хувьсагчдыг өөрчлөх арга.

Жишээ 5

Тодорхойгүй интегралыг ол.

Жишээ болгон би хичээлийн эхэнд үзсэн интегралыг авсан. Өмнө дурьдсанчлан интегралыг шийдэхийн тулд хүснэгтийн томъёо таалагдсан , мөн би түүнд энэ асуудлыг бүхэлд нь багасгахыг хүсч байна.

Орлуулах аргын цаад санаа нь нарийн төвөгтэй илэрхийллийг (эсвэл зарим функцийг) нэг үсгээр солих.
IN энэ тохиолдолдэнэ нь өөрөө санал болгож байна:
Хоёр дахь хамгийн алдартай орлуулах захидал бол захидал юм.
Зарчмын хувьд та бусад үсгийг ашиглаж болно, гэхдээ бид уламжлалаа баримтлах болно.

Тэгэхээр:
Гэхдээ бид үүнийг солих үед бидэнд үлдэх болно! Хэрэв шинэ хувьсагч руу шилжсэн бол шинэ интегралд бүх зүйл үсгээр илэрхийлэгдэх ёстой гэж олон хүн таамаглаж байсан бөгөөд энд дифференциал хийх газар огт байхгүй.
Энэ нь зайлшгүй шаардлагатай гэсэн логик дүгнэлт юм зөвхөн хамаарах зарим илэрхийлэл болж хувирна.

Үйлдэл нь дараах байдалтай байна. Бид орлуулахыг сонгосны дараа энэ жишээнд дифференциалыг олох хэрэгтэй. Дифференциалаар хүн бүр аль хэдийн нөхөрлөлийг бий болгосон гэж бодож байна.

Түүнээс хойш

Дифференциалыг задалсны дараа би эцсийн үр дүнг аль болох богино хугацаанд дахин бичихийг зөвлөж байна.
Одоо пропорциональ дүрмийн дагуу бид юу хэрэгтэйг илэрхийлж байна.

Үүний үр дүнд:
Тиймээс:

Мөн энэ нь аль хэдийн хамгийн хүснэгтийн интеграл юм (Мэдээж интегралын хүснэгт нь хувьсагчийн хувьд бас хүчинтэй).

Эцэст нь урвуу орлуулалтыг хийх л үлдлээ. Үүнийг санацгаая.

Бэлэн.

Үзэж буй жишээний эцсийн загвар нь иймэрхүү харагдах ёстой.

“

Орлуулъя:

“

Дүрс нь математикийн ямар ч утгагүй бөгөөд энэ нь бид завсрын тайлбарын шийдлийг тасалдуулсан гэсэн үг юм.

Тэмдэглэлийн дэвтэрт жишээ бэлтгэхдээ урвуу орлуулалтыг энгийн харандаагаар тэмдэглэх нь дээр.

Анхаар! IN дараах жишээнүүдДифференциалын байршлыг нарийвчлан тайлбарлахгүй.

Одоо эхний шийдлийг санах цаг болжээ:

Ялгаа нь юу вэ? Үндсэн ялгаа байхгүй. Энэ нь үнэндээ ижил зүйл юм. Гэхдээ даалгаврыг төлөвлөх үүднээс функцийг дифференциал тэмдгийн доор оруулах арга нь хамаагүй богино байдаг..

гэсэн асуулт гарч ирнэ. Хэрэв эхний арга нь богино бол яагаад солих аргыг ашиглах хэрэгтэй вэ? Баримт нь хэд хэдэн интегралын хувьд функцийг дифференциалын тэмдэгт "тохируулах" нь тийм ч хялбар биш юм.

Жишээ 6

Тодорхой бус интегралыг ол.

Сэлгээ хийцгээе: (энд өөр солих гэж бодоход хэцүү байна)

Таны харж байгаагаар орлуулалтын үр дүнд анхны интеграл нь мэдэгдэхүйц хялбаршуулсан - ердийнх хүртэл буурсан байна. эрчим хүчний функц. Энэ бол орлуулах зорилго юм - интегралыг хялбарчлах.

Залхуу дэвшилтэт хүмүүс функцийг дифференциал тэмдгийн доор оруулснаар энэ интегралыг хялбархан шийдэж чадна.

Өөр нэг зүйл бол ийм шийдэл нь бүх оюутнуудад тохирохгүй нь ойлгомжтой. Нэмж дурдахад, энэ жишээнд функцийг дифференциал тэмдгийн доор оруулах аргыг ашигласан болно шийдвэр гаргахдаа төөрөлдөх эрсдэлийг ихээхэн нэмэгдүүлдэг.

Жишээ 7

Тодорхойгүй интегралыг ол. Шалгалт хийх.

Жишээ 8

Тодорхойгүй интегралыг ол.

Солих:
Энэ нь юу болж хувирахыг харах л үлдлээ

За, бид үүнийг илэрхийлсэн, гэхдээ тоологч дээр "X" үлдсэн тохиолдолд яах вэ?!
Үе үе интегралуудыг шийдвэрлэх явцад бид дараах заль мэхтэй тулгардаг: бид ижил орлуулалтаас илэрхийлэх болно!

Жишээ 9

Тодорхойгүй интегралыг ол.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна.

Жишээ 10

Тодорхойгүй интегралыг ол.

Миний хайлтын хүснэгтэд хувьсагч солих дүрэм байдаггүйг зарим хүмүүс анзаарсан нь лавтай. Үүнийг санаатайгаар хийсэн. Дээрх жишээнүүдэд энэ дүрэм тодорхой харагдахгүй тул тайлбар, ойлголтод төөрөгдөл үүсгэх болно.

Одоо хувьсагчийг орлуулах аргыг ашиглах үндсэн үндэслэлийн талаар ярих цаг болжээ. В интегралямар нэг функц ба түүний дериватив байх ёстой:(функцууд бүтээгдэхүүнд байхгүй байж болно)

Үүнтэй холбогдуулан интегралыг олохдоо деривативын хүснэгтийг харах хэрэгтэй болдог.

Харж буй жишээн дээр бид тоологчийн зэрэг нь хуваагчаас нэгээр бага байгааг анзаарч байна. Деривативын хүснэгтээс бид градусыг нэгээр бууруулдаг томъёог олдог. Хэрэв та үүнийг хуваагч гэж зааж өгвөл тоологч нь сайн зүйл болж хувирах магадлал өндөр байна гэсэн үг юм.

Дифференциал тэмдгийг бүртгүүлэх аргыг уран зохиолд бараг өгдөггүй тул эхлээд бид яагаад ашигтай болохыг харуулах болно.

Ихэнхдээ интегралд та 2 фрагментийг харж болно, тэдгээрийн нэг нь деривативтай төстэйөөр. Жишээлбэл,

a) интеграл дахь тоологч x-ийн дериватив шиг харагдаж байна :
;

б) интеграл
хэлбэрээр төлөөлж болно
, Хаана
;

в) функц
интегралд
- Энэ
.

Ихэнхдээ ийм интегралыг шинэ хувьсагчаар солих замаар олохыг санал болгодог дериватив нь функцилрүүлсэн. Тиймээс заасан интегралуудын хувьд

а) хэрэв
, Тэр
, Дараа нь
Тэгээд
, хаана

б) учир нь
, Тэр
, Дараа нь
Тэгээд
, Тийм учраас

Орлуулах аргыг 4-р хэсэгт илүү дэлгэрэнгүй тайлбарласан болно.

Гэсэн хэдий ч орлуулах аргыг ашиглан 3-р интегралыг тооцоолох нь бэрхшээлтэй холбоотой. Үүнийг анзаараарай
, бид сольсон
.

Дараа нь
Тэгээд
. Экспресс
дамжуулан тТа үүнийг хийж чадна:

(
, Тийм учраас
). Орлуулж үзье:

Хүнд хэцүү үйлдлүүдийн үр дүнд бараг бүх зүйл багасч, энгийн хүснэгтийн интегралыг олж авсан. Бараг илэрхийлэх шаардлагагүй байсан бол илүү хурдан хүрэх боломжтой байсан уу гэсэн асуулт гарч ирнэ.

Үнэн хэрэгтээ илүү богино шийдэл байдаг:

дараа нь солих
, бид нэн даруй интегралыг олж авна

Үүнтэй адил интегралуудыг олох боломжтой

Энд үйлдлүүдийг нарийвчлан харуулсан бөгөөд тэдгээрийн талыг нь алгасаж болно. Дараах шийдэл нь шийдлийг ялангуяа богиносгох болно.

Үндсэн дифференциалуудын хүснэгт

Дифференциал тэмдгийг бүртгүүлэх жишээ

3) ;

PD1.Интегралуудыг ол

1) а)
; б)
; V)
; G)
; г)
;

д)
; ба)
; h)
; Тэгээд)
; Хэнд)
;

2) а)
; б)
; V)
; G)
; г)
;

д)
; ба)
; h)
; Тэгээд)
; Хэнд)
;

3) а)
; б)
; V)
; G)
; г)

д)
; ба)
; h)
; Тэгээд)
; Хэнд)
;

4) а)
; б)
; V)
; G)
; г)
;

д)
; ба)
; h)
; Тэгээд)
; Хэнд)
;

5) а)
; б)
; V)
; G)
; г)
;

д)
; ба)
; h)
; Тэгээд)
; Хэнд)
.

§ 3. Квадрат илэрхийлэл агуулсан функцүүдийн интеграл

Илэрхийлэл агуулсан функцүүдийг нэгтгэх үед
, томъёо нь туслах болно
. Жишээлбэл,

б)
;

Үүссэн хаалтыг тэмдэглэх нь тохиромжтой шинэ захидалмөн энэ хувьсагчийн дээрх интеграл руу очно (шинэ болон хуучин хувьсагчийн дифференциалууд давхцах болно).

Коэффициентийг дөрвөлжингийн урд талд хаалтанд оруулах нь дээр.

,

тэгээд боломжтой бол интегралын тэмдгийн хувьд. Тэгэхээр,

Орлуулах зорилго нь шугаман гишүүнгүйгээр интеграл руу шилжих явдал юм
, зөвхөн агуулсан интеграл учраас
, илүү амархан олддог бөгөөд ихэвчлэн хүснэгтийг ашигладаг. Үүний зэрэгцээ үүнийг санах нь чухал юм
,
, гэх мэт.

Тухайлбал (§ 2-г үзнэ үү),

Хаана а- дурын тоо, тоо
. Үүнээс гадна, хэзээ

Хаана
.

Тайлбар 1.Орлуулсны дараа интегралууд ихэвчлэн гарч ирдэг
,
эсвэл
. Тэдгээрийг дараах байдлаар олж болно.

2 ба 3-р тохиолдолд ижил төстэй.

Гэсэн хэдий ч хэлбэрийн интегралууд
нэлээд төвөгтэй. Бэлэн болсон томъёог ашиглана уу

(энэ нь үнэхээр тийм эсэхийг ялгах замаар шалгана уу).

KI1.Тэгш байдлыг ашиглан ол
болон орлуулалт
:

Жишээ 1(богинохон
гэж тодорхойлсон
.

Хайж байхдаа
Тэгээд
гэдгийг харгалзан үзсэн
Тэгээд
Үүний дагуу бид хүснэгтийг нэгтгэх үндсэн дүрмийг ашигласан.

KI2.Нэг нь хүснэгт, нөгөө нь KI1 даалгаврынхтай төстэй интеграл бүрийг интегралын нийлбэр болгон өргөжүүлэх замаар интегралуудыг ол.

Жишээ 2.Интегралыг олъё
, хоёрын нийлбэр болгон өргөжүүлэх:

Хариулт:(Модуль үргэлж байдаг тул шаардлагагүй
).

Жишээ 3.Интегралыг ижил аргаар авч үзье
:

Интегралыг олох хамгийн оновчтой арга бол:

чи үүнийг хаанаас сурсан юм
;

Тэгээд хаана
.

Хариулт: .

Тайлбар 2.Ирээдүйд та интегралыг 2 эсвэл 3 интеграл болгон хуваах шаардлагатай болдог бөгөөд тус бүрд нь тогтмол гарч ирдэг (
, гэх мэт). Товчхондоо бид тус тусад нь туслах интеграл тус бүрийн тогтмолуудыг зааж өгөх (гэхдээ заагаагүй) бөгөөд зөвхөн ерөнхий тогтмолыг бичих болно. Cхариултанд. Үүний зэрэгцээ, үргэлж C- зарим шугаман хослол.

KI3.Хугарагч дахь төгс квадратыг олж, орлуулалт хийсний дараа олоорой

Жишээ 4.
Үүнийг анзаарч байна

солих
, Дараа нь
Тэгээд.

Интегралд орлуулъя:

Жишээ 5.

Учир нь энэ нь солих боломжтой юм
, аль үед
Тэгээд
. Орлуулж үзье:

Жишээ 6.

Энд бид солино
, хаана
Тэгээд
. Орлуулж үзье:

Хаана
. Интегралыг хоёр хувааж үзье:

.

Өмнөх жишээнүүдийн нэгэн адил,

2-р интеграл нь хүснэгтэн хэлбэртэй байна:
.

Тэгэхээр, хаана
. Тиймээс

Жишээ 7.

Одоо солих
, Тийм учраас
Тэгээд
.

Шинэ хувьсагчийн интеграл руу шилжье:

Хаана
.

Үүнийг тусад нь олъё

V)
(хүснэгтийн интеграл).

2-р үр дүнг 7, 3-ыг 10-аар үржүүлж, ижил төстэй нөхцөлүүдийг цуглуулж, хуучин хувьсагч руу буцъя:

KI4.Иррационал функцүүдийн интегралыг ол:

Жишээ 8.Олъё
. Үндэсгүй ижил төстэй интеграл дээр аль хэдийн олдсон (жишээ 6) бөгөөд зохих алхам дээр үндэс нэмэхэд хангалттай.

,

Хаана
. Бид үүнийг задалдаг

мөн бид олдог

б)
.

Тиймээс, хаана
.

Хариулт: .

Жишээ 9.
Бүрэн квадратыг дараах байдлаар авах нь тохиромжтой.

Хаана
. Дараа нь

.

Бид солих болно
. Үүний зэрэгцээ
Тэгээд
:

Бид 8-р жишээн дээрхтэй ижил аргаар явна:

Хариулт: .

Тайлбар 3.Та "-" тэмдэг эсвэл үндсэн доороос ямар нэгэн сөрөг хүчин зүйлийг арилгах боломжгүй.
;, гэх мэт. Жишээ 9 нь цорын ганц боломжтойг харуулж байна зөв замүйлдлүүд.

Жишээ 10. 9-р жишээнд квадратыг оруулбал юу өөрчлөгдөхийг харцгаая: бид олдог
. Одоо ижил сэлгээний дараа ийм болж байна

Ердийнх шигээ,

2 ба 3-р интегралууд нь жишээ 9-тэй ижил аргаар олддог.

;

.

19-р хуудасны зааврын дагуу 1-р интегралыг дараах байдлаар хувиргаж болно.

дахиад хаана
, А

Шинэ интегралыг тригонометрийн орлуулалтаар олно
, эсвэл хэсэг хэсгээр нь давтан нэгтгэх замаар, авах
Тэгээд
. Бэлэн болсон томъёог ашиглацгаая
(хуудас 19):

Бүх интегралуудыг харгалзах коэффициентээр нь үржүүлж, нэгтгэж үзье.

Хариултанд бид ижил төстэй нэр томъёог танилцуулж байна.

Интеграл тооцоо

1.1 Эсрэг дериватив, тодорхойгүй интеграл

Тодорхойлолт.Чиг үүрэг F(x)функцийн эсрэг дериватив гэж нэрлэдэг f(x)дээр X if for all .

Илэрхийлэл F(x)+Cфункцийн бүх эсрэг деривативуудын гэр бүлийг төлөөлдөг f(x). (C=const).

Тодорхойлолт.Хэрэв F(x)– функцийн эсрэг деривативуудын нэг f(x),дараа нь илэрхийлэл F(x)+Cтодорхойгүй интеграл гэж нэрлэдэг.

Томилогдсон .

Хамгийн энгийн шинж чанарууд.

1)

2)

3)

Үндсэн интегралын хүснэгт

1) .	10) .
2) .	11) .
3) .	12) .
4) .	13) .
5) .	14) .
6) .	15) .
7) .	16) .
8) .	17) .
9) .

Ялангуяа:

; ; .

Тодорхой бус интегралын тодорхойлолт, шинж чанараас харахад дифференциал ба интеграл нь харилцан урвуу үйлдэл юм: томъёо тус бүрийн баруун талын дериватив нь интегралтай тэнцүү байна. Жишээлбэл, 2-р томъёог шалгацгаая.

Жишээ нь:

Интеграцийн аргууд

Дифференциал тэмдгийг тооцох арга ( амаар солиххувьсагч)

Хэрэв үүнтэй холбоотой бол хувьсах интегралхүснэгт биш бол зарим тохиолдолд шаардлагатай функцийг дифференциал тэмдгийн доор оруулан шинэ хувьсагчийн хувьд хүснэгтэн хэлбэрт оруулж болно.

Үүний зэрэгцээ ашиглахад тохиромжтой дараах томъёонууд, тэдгээрийг унших үед ялгах томъёоноос олж авдаг урвуу дараалал:

…
, n≠-1

Жишээ(1а даалгаврыг үзнэ үү)

Хувьсагчийг бичгээр солих арга (орлуулалт)

1. Шинэ хувьсагч (орлуулах) оруулах

2. Орлуулахыг ялгах.

3. Бид интегралд шинэ хувьсагч оруулж байна.

4. Интегралыг тооцоол.

5. Бид хуучин хувьсагч руу буцна.

Жишээ(даалгавар 1а-г үзнэ үү):

Хэсэгээр нь нэгтгэх арга

Энэ аргыг маягтын интегралд ашигладаг:

A), , ;

б), , , , ;

олон гишүүнт хаана байна.

Хэсэгээр нь нэгтгэх томъёо нь дараах байдалтай байна.

.

1) a) төрлийн интегралын хувьд авна U =P(x),бусад бүх зүйл dV байна.

2) b) төрлийн интегралын хувьд авна dV =P(x)dx.

3) в) төрлийн интегралын хувьд Уямар ч функцийг хүлээн авбал аргыг хоёр удаа хэрэглэнэ.

Жишээ(1б даалгаврыг үзнэ үү):

.

4) шийдлийг өөрөөр бичиж болно:

Бид анхны интегралыг олж авлаа y

Тодорхой интеграл

Бүс нутгийн асуудал.

Талбайг тооцоолъё хавтгай дүрс, хуваарийн дагуу хязгаарлагддагтасралтгүй, сөрөг бус функц y=f(x), шулуун x=a, x=b, сегмент [ а,б]. Энэ дүрсийг муруй трапец гэж нэрлэдэг.

1) Хэсэг хувацгаая [ а, б] санамсаргүй байдлаар nцэг бүхий хэсгүүд. Бид авдаг nурттай жижиг сегментүүд ; .

2) Хуваах цэгүүдээр босоо шугамыг зур. Трапецийг эвдэх болно nтрапец. Энгийн сегмент бүр дээр бид дур зоргоороо цэг сонгоно.

Эдгээр цэгүүдэд функцийн утгыг олцгооё

Эдгээр ординатуудыг тэгш өнцөгтүүдийн өндрөөр авч үзье.

3) Талбайнууд бага байна гэж үзье муруй шугаман трапецуудсуурь ба өндөртэй тэгш өнцөгтүүдийн талбайтай ойролцоогоор тэнцүү байна. Дараа нь

Хуваалтын сегментүүд бага байх тусам энэ тэгш байдал илүү нарийвчлалтай болно. Учир нь яг үнэ цэнэТрапецын талбайн хувьд бид хуваах сегментүүдийн тоо тодорхой бус хугацаагаар нэмэгдэж, эдгээр сегментүүдийн хамгийн том урт нь тэг болох хандлагатай байгаа тул шаталсан дүрсүүдийн талбайн хандлагатай байх хязгаарыг хүлээн зөвшөөрөх болно.

.

Тодорхой интегралын шинж чанарууд

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

6) Хэрэв тийм бол;

Хэрэв, тэгвэл.

Үр дагавар.Хэрэв бол .

7) Хэрэв f(x)үргэлжилсээр байна [ а, б], м, М- түүний хамгийн бага ба тус тус хамгийн өндөр үнэ цэнэдээр [ а, б] байвал тооцоолол хүчинтэй байна

8) (Дундаж утгын теорем). Хэрэв f(x)үргэлжилсээр байна [ а, б], тэгвэл ядаж нэг ийм цэг байдаг

Ньютон-Лейбницийн томъёо

Болъё f(x)– үргэлжлүүлэн [ дээр а, б], F(x)– функцийн эсрэг дериватив f(x)дээр [ а,б], тэгвэл тодорхой интеграл нь энэ сегмент дээрх эсрэг деривативын (өөрөөр хэлбэл тодорхой бус интеграл) нэмэгдэлтэй тэнцүү байна:

Жишээ

Хэсэг хэсгүүдээр нэгтгэх

("хэсгээрээ нэгтгэхийг үзнэ үү" Тодорхой бус интеграл")

Тодорхой интегралын хэсгүүдийн интегралын томъёо нь хэлбэртэй байна

Жишээ.

Тодорхой интеграл дахь хувьсагчийг өөрчлөх

Теорем. Болъё f(x)үргэлжилсээр байна [ а, б], орлуулалтыг танилцуулна. Хэрэв

1) тасралтгүй,

2) өөрчлөх үед т-аас, функц нь -ээс өөрчлөгдөнө аруу б, , тэгвэл хувьсагчийг орлуулах томъёо хүчинтэй байна:

Жишээ (2-р даалгаврыг үзнэ үү):

Үндсэн ойлголтууд

1. Дифференциал тэгшитгэл(DU)Энэ нь бие даасан хувьсагч, хүссэн функц болон түүний деривативуудыг холбосон тэгшитгэл юм.

2. Хамгийн дээд захиалга DE-д орсон хүссэн функцийн деривативыг нэрлэнэ DU захиалга.

3. Дифференциал тэгшитгэлийг шийднэ гэдэг нь түүнийг хангах бүх функцийг олохыг хэлнэ, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийг тэгшитгэлд орлуулах үед энэ нь ижил утгатай болж хувирна.

4. DE-ийн шийдлийг олох гэж нэрлэдэг алсын удирдлагыг нэгтгэх, DE-ийн шийдлийн графикийг нэрлэнэ интеграл муруй.

Нэг төрлийн функцууд

Чиг үүрэг f(x,y)нэгэн төрлийн гэж нэрлэдэг кНэг төрлийн байдлын 3-р зэрэг, хэрэв тэгш байдал хангагдсан бол:

Ялангуяа, хэрэв

– тэг зэрэглэлийн нэгэн төрлийн нэгэн төрлийн функц.

Жишээ

1) .

– нэгэн төрлийн функцнэгэн төрлийн хоёр дахь зэрэг.

2) .

– тэг зэрэглэлийн нэгэн төрлийн нэгэн төрлийн функц.

Магадлал

Эдгээр нь хэлбэрийн тэгшитгэл юм

тогтмолууд хаана байна.

Ерөнхий шийдэлийм тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

дурын тогтмолууд хаана байна

Ерөнхий шийдэл нэгэн төрлийн тэгшитгэл,

(1) тэгшитгэлийн шугаман бие даасан хэсэгчилсэн шийдлүүд.

Тодорхойлолт.Функцуудыг шугаман бие даасан (хамааралтай) гэж нэрлэдэг ( а, б), хэрэв цагт

(1) тэгшитгэлийн шийдэл нь шийдэлд буурна алгебрийн тэгшитгэл

,

(2)

шинж чанар гэж нэрлэдэг, ямар зэрэг к(1) тэгшитгэлийн деривативын дараалалтай тэнцүү байна.

Дараах тохиолдлууд боломжтой.

1. Хэзээ тэгшитгэл (2) нь өөр өөр бодит язгууртай бол DE (1)-ийн хэсэгчилсэн шийдлүүд нь , хэлбэртэй байна (үүнийг шууд орлуулах замаар баталгаажуулж болно).

Тэд шугаман бие даасан (тодорхойлолтыг үзнэ үү). Дараа нь ерөнхий шийдэл (1) дараах хэлбэртэй байна.

2. Хэзээ шинж чанарын тэгшитгэл(2) хоёр бодит байна тэнцүү үндэс, дараа нь хувийн шийдлээр Д.У. (1) функцууд бөгөөд ерөнхий шийдэл (1) нь хэлбэртэй байна

3. Хэрэв , тэгвэл шинж чанарын тэгшитгэл (2) нь бодит үндэсгүй боловч байна нарийн төвөгтэй үндэстөрлийн.

Дараа нь тусгай шийдлүүд

Ерөнхий шийдэл (1) хэлбэртэй байна

Жишээ(даалгавар 5-ыг үзнэ үү):

1) , шинж чанарын тэгшитгэлийг байгуулъя:

; ; .

2) , шинж чанарын тэгшитгэлийг байгуулъя

;

;

3)

Мөр

Цуврал, нэгдэл, нийлбэр.

Тоонуудын дарааллыг өгье

Тооны цуврал илэрхийлэл гэж нэрлэдэг

. (1)

Эхний нөхцлийн нийлбэрийг нэрлэдэг хэсэгчилсэн дүн.

Хэсэгчилсэн нийлбэрүүд нь эргээд дараалал үүсгэдэг , энэ нь зарим цувралын хувьд нийлж, бусад цувралын хувьд ялгаатай байдаг.

Мөр (1) гэж нэрлэдэг нэгдэх, хэрэв байгаа бол эцсийн хязгаардараалал хэсэгчилсэн дүн.

Сцувралын нийлбэр гэж нэрлэдэг. Хэрэв энэ хязгаар байхгүй эсвэл хязгааргүйтэй тэнцүү бол цувралыг дуудна ялгаатай.

Дивергент цувралд нийлбэр байхгүй.

Ээлжит цуврал

Лейбницийн тэмдэг.

Хэрэв ээлжлэн цувралд байгаа бол

1) цувралын гишүүдийн үнэмлэхүй утга буурна ;

дараа нь ээлжлэн цуваа нийлж, нийлбэр нь эхний гишүүний модулиас хэтрэхгүй байна.

Үр дагавар.Хувьсах цувааг Лейбницийн шалгуурын дагуу нэгтгэе. Хэрэв энэ цувралын нийлбэрийг нийлбэрээр соливол nэхний нөхцлүүд, дараа нь зөвшөөрөгдсөн алдаа нь эхний хасагдсан гишүүний модулиас хэтрэхгүй байна.

Хувьсах цуврал ба түүний үнэмлэхүй утгуудаас бүрдэх цувралыг авч үзье. Хэрэв цувралаас бүрдсэн бол үнэмлэхүй утгууд, нэгддэг, тэгвэл ээлжлэн цувралдуудсан туйлын нэгдмэлойролцоо. Хэрэв ээлжлэн цуваа нийлж, үнэмлэхүй утгуудаас бүрдсэн цуваа салж байвал ээлжлэн цуваа гэж нэрлэдэг. нөхцөлт нийлдэг.

Жишээ.Болзолт болон үнэмлэхүй нэгдэлэгнээ.

Энэ бол ээлжлэн цуврал юм. Лейбницийн тестийг хэрэгжүүлье.

1) ;

2) . => цуврал Лейбницийн шалгуурын дагуу нийлдэг.

Бид цувааг нөхцөлт болон үнэмлэхүй нийлэлтийг шалгадаг. Үүнийг хийхийн тулд энэ цувралын үнэмлэхүй утгуудаас бүрдэх цувралыг авч үзье.

нь ерөнхий гармоник цуваа, учир нь нийлдэг к=3>1, тэгвэл ээлжлэн цуваа нь туйлын нийлсэн цуваа болно.

Эрчим хүчний цуврал

Эрчим хүчний цувралхэлбэрийн цуврал гэж нэрлэдэг:

Хаана - тогтмолууд, цувралын коэффициент, тоо а- эгнээний төв.

At а=0 бидэнд байна

Хүчний цуваа (1) хэлбэрийг авах үед

Аль хэдийн болсон тооны цуврал. Энэ нь нэгдэж эсвэл хуваагдаж болно.

Хэрэв цуврал (2) нийлбэл - нэгдэх цэг эрчим хүчний цуврал(1). Хэрэв цуврал (2) зөрүүтэй байвал - ялгах цэг. Нийцэх цэгүүдийн багцыг нэрлэдэг нэгдэх талбарэрчим хүчний цуврал.

Абелийн теорем. Аливаа чадлын цуваа (1)-ийн хувьд цуврал үнэмлэхүй нийлдэг, гадна талд нь салдаг, хил дээр байж болох интервал байдаг. өөр дүрнэгдэл.

– нэгдэх интервалын радиус.

- нэгдэх интервал.

Хэрэв Р=0, дараа нь цэг x=0 нь нийлэх цорын ганц цэг юм.

Хэрэв Р=¥, дараа нь цуваа бүх тооны шулуун дээр нийлнэ.

Жишээ.

1) Эрчим хүчний цувааны радиус ба нийлэх интервалыг ол. Интервалын төгсгөлд цувааны нийлэлтийг судал.

Дараа нь (-5; 5) нь цуваа үнэмлэхүй нийлэх интервал юм. Цувралуудын хил хязгаарт нийлэх мөн чанарыг судалж үзье.

1) x=–5, дараа нь хүчний цуваа хэлбэрийг авна

Энэ бол ээлжлэн цуврал юм. Үүний тулд бид Лейбницийн шалгуурыг ашигладаг.

– Лейбницийн тестийн эхний нөхцөл хангагдаагүй, дараа нь цуврал

diverges, цэг – зөрөх цэг.

2) x=5; - Үүний үр дүнд цувралууд хуваагддаг шаардлагатай функц, Дараа нь x=5 – зөрүүтэй цэг.

(-5; 5) - энэ чадлын цувааны нэгдэх талбар.

.

– энэ чадлын цувааны нэгдэх интервал. Бид хил дээр судалгаа хийдэг:

1), дараа нь эрчим хүчний цуваа дараах хэлбэртэй болно.

- Энэ бол ээлжлэн цуврал юм. Хоёр нөхцлийг шалгацгаая:

1) ;

2) , дараа нь цуврал Лейбницийн шалгуурын дагуу нийлдэг, цэг нь анхны хүчний цувааны нийлэх цэг бөгөөд энэ нь нийлэх мужид ордог.

2) . Мэдэгдэж байгаагаар энэ цувралыг гармоник цувралтай харьцуулж үзье.

– эцсийн тоо, тэгвэл харьцуулах шалгуурын үр дүнд цуваа нь ижилхэн, өөрөөр хэлбэл, хоёулаа зөрөх тул цэг нь анхны чадлын цувааны зөрүүний цэг юм.

– чадлын цувааны ойртох муж.

Магадлалын онол

Үйл явдлын магадлал

Магадлалүйл явдал АЭнэ үйл явдал тохиолдоход таатай үр дүнгийн тооны харьцаа юм нийт тообүх төрлийн үндсэн үр дүнтестүүд, өөрөөр хэлбэл, хаана м– үйл явдал болсон үндсэн үр дүнгийн тоо А(сайхан үр дүн), n- өгөгдсөн тестийн бүх боломжит үр дүнгийн тоо. Энэ сонгодог тодорхойлолтүйл явдлын магадлал.

1) Болъё У – найдвартай үйл явдал, дараа нь туршилтын аливаа үр дүн нь довтолгоонд таатай байна У, өөрөөр хэлбэл m=n, Дараа нь

П(У)=1.

2) В– боломжгүй үйл явдал бол туршилтын нэг ч үр дүн таатай байх болно, жишээлбэл. m= 0, тэгвэл

П(В)=0.

3) А – санамсаргүй үйл явдал, 0<м<n, дараа нь, i.e.

0<П(А)<1.

Жишээ. Бид зоосыг хоёр удаа шиддэг. Төрийн сүлд дор хаяж нэг удаа гарч ирэх магадлалыг тодорхойл.

Болъё А- дор хаяж нэг удаа төрийн сүлд харагдахаас бүрдсэн үйл явдал. Анхан шатны үр дүн нь GG, GC, CG, CC бөгөөд зөвхөн дөрвөн үр дүн байдаг бөгөөд үүнээс үйл явдал тохиолдоход таатай байдаг. А- тэгвэл гурав.

Комбинаторикийн элементүүд

1. Гурван элементтэй болцгооё a, b, c. Бид эдгээрээс хоёр элементийн хослол (сонголт) үүсгэдэг. ab, ba, ac, ca, bc, cb- тэдний зургаа нь байна. Эдгээр нь элементүүд болон элементүүдийн харагдах дарааллаар бие биенээсээ ялгаатай байдаг. Ийм дээжийг нэрлэдэг байршуулалт, томилогдсон.

2. Зөвхөн элементүүдийн дарааллаар бие биенээсээ ялгаатай сонголтуудыг дуудна орлуулалт, томилогдсон.

3. Ядаж нэг элементээр өөр хоорондоо ялгаатай дээжийг дуудна хослолууд, томилогдсон.

,

.

Үүнийг санах хэрэгтэй .

Жишээ. 6 охин багтдаг тус бүлгийн 20 оюутны дундаас таван тасалбар сугалаагаар тодорчээ. Тасалбар эзэмшигчдийн дунд хоёр охин байх магадлалыг тодорхойл.

20 хүний ​​дунд 5 тасалбарыг янз бүрээр тарааж болно. 14 хүүгийн дунд 3 тасалбарыг янз бүрээр, 6 охины дунд 2 тасалбарыг янз бүрээр тарааж болно. Охидын хос бүрийг дурын гурван хөвгүүнтэй хослуулж болно, өөрөөр хэлбэл таатай үр дүнгийн тоо нь , бүх боломжит үр дүнгийн тоо нь . Дараа нь

.

Үндсэн теоремууд.

Нэмэх теоремууд

1. Ядаж нэг үл нийцэх үйл явдал тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.

П(A+B)=П(А)+П(Б).

2. Хоёр хамтарсан үйл явдлын дор хаяж нэг нь тохиолдох магадлал нь эдгээр үзэгдлийн магадлалын нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд тэдгээрийн хамтарсан тохиолдлын магадлалыг тооцдоггүй.

П(A+B)=П(А)+П(Б)–П(AB).

Үржүүлэх теоремууд

Тодорхойлолт.

1) Үйл явдлуудыг дууддаг бие даасан, хэрэв нэг үйл явдал тохиолдох магадлал нь өөр үйл явдал болсон эсэхээс хамаарахгүй бол.

2) Үйл явдлуудыг дууддаг хамааралтай, хэрэв тэдгээрийн аль нэг нь тохиолдох магадлал нь нөгөө нь тохиолдсон эсэхээс хамаарна.

3) Үйл явдлын магадлал А, үйл явдал болох нөхцөлөөр тооцсон INаль хэдийн болсон, гэж нэрлэдэг нөхцөлт магадлал, тэмдэглэсэн (унш: " Р-аас Агэж заасан INболсон").

Теорем 1. Анхны үйл явдал аль хэдийн тохиолдсон тохиолдолд аль нэгнийх нь магадлалыг нөгөөгийнх нь нөхцөлт магадлалаар үржүүлсэнтэй тэнцүү хоёр хамааралтай үйл явдлын хамт тохиолдох магадлал.

.

Теорем 2. Бие даасан үйл явдлууд хамтдаа тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.

Даалгавар. 36 картын тавцангаас хоёр картыг нэг нэгээр нь санамсаргүй байдлаар зурдаг. хоёр үүр татагдах магадлалыг ол.

Болъё А– эхний карт нь үүр байх тохиолдол;

IN– хоёр дахь карт нь үүр байх тохиолдол;

ХАМТ– хоёр домкрат татсанаас бүрдсэн үйл явдал.

Дараа нь . Үйл явдал АТэгээд IN– хамааралтай, тэгвэл .

Үйл явдлын бүрэн бүлэг

Хэрэв үйл явдлын нийлбэр нь найдвартай үйл явдал бол (өөрөөр хэлбэл, туршилтын үр дүнд ядаж нэг нь тохиолдох болно) бол үйл явдлууд үүсдэг. бүтэн бүлэгүйл явдал. Хэрэв эдгээр үйл явдлууд хосоороо үл нийцдэг бол тэдгээр нь хосоороо үл нийцэх үйл явдлуудын бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг.

Теорем. Хэрэв тэдгээр нь хосоороо үл нийцэх үйл явдлуудын бүрэн бүлгийг бүрдүүлж байвал эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэр нь 1.-тэй тэнцүү байна.

Тодорхойлолт.Бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг хоёр л боломжит үйл явдлыг дуудна эсрэг.

Эсвэл: үйл явдлын эсрэг Атохиолдохгүй байхаас бүрдсэн үйл явдал гэж нэрлэдэг А("үгүй" гэж уншина А»).

Теорем. Эсрэг хоёр үйл явдлын магадлалын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү байна. .

Хэрэв , Тэр p+q= 1 .

Дор хаяж нэг үйл явдал тохиолдох магадлал

Теорем. Болъё А– наад зах нь нэг үйл явдал тохиолдсоноос бүрдсэн үйл явдал. - хамтын бие даасан үйл явдлууд. Дараа нь .

Даалгавар.Гурван машин нь бие биенээсээ хамааралгүй ажилладаг. Эхний машин нэг цагийн дотор бүтэлгүйтэх магадлал 0.015; хоёр, гурав дахь машинуудын хувьд эдгээр магадлал 0.02 ба 0.025 байна. Нэг цагийн дотор ядаж нэг машин доголдох магадлалыг ол.

A Өмнөх теоремын бүх нөхцөл хангагдъя. Гэхдээ энэ үйл явдал аль хэдийн мэдэгдэж байг А- болсон. Дараа нь туршилтын дараах таамаглалын магадлалыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

.

П(А) нийт магадлалын томъёог ашиглан олно.

Даалгавар.Хоёр машин нь ижил хэсгүүдийг үйлдвэрлэдэг бөгөөд тэдгээрийг нийтлэг конвейер дээр угсардаг. Эхний машины бүтээмж хоёр дахь машинаас хоёр дахин их байна. Эхнийх нь маш сайн чанарын эд ангиудын дунджаар 60%, хоёр дахь нь 84% -ийг үйлдвэрлэдэг. Угсрах шугамаас санамсаргүй байдлаар авсан хэсэг нь маш сайн чанартай болсон. Хоёрдахь машин үйлдвэрлэсэн байх магадлалыг ол.

– санамсаргүй байдлаар авсан хэсгийг эхний машин, хоёрдугаарт үйлдвэрлэдэг үйл явдал. А– санамсаргүй байдлаар авсан хэсэг нь маш сайн чанартай байхаас бүрдсэн үйл явдал.

Бернуллигийн томъёо

Үүнийг үйлдвэрлэе nбие даасан туршилт, тус бүр нь үйл явдал Амагадлалаар гарч ирж болно П(А)=х, ба . Үйл явдлын дараалал Ахамаагүй. Дараа нь магадлал nбие даасан туршилтын үйл явдал Аяг ирдэг мхугацааг дараах томъёогоор тооцоолно.

,

хослолын тоо хаана байна nэлементүүд м(дээрээс үзнэ үү).

Даалгавар.Буу нь бай руу таван удаа бууддаг. Нэг удаагийн цохилтоор цохих магадлал 0.6 байна. Буу хоёр удаа онох магадлалыг ол.

Санамсаргүй хувьсагч

Санамсаргүй хувьсагчТуршилтын үр дүнд урьдаас үл мэдэгдэх, санамсаргүй нөхцөл байдлаас шалтгаалан боломжит утгуудын нэгийг нь авдаг хэмжигдэхүүнийг үргэлж анхаарч үзэх боломжгүй хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг. Томилогдсон X, Y, Z,

Тэгвэл энэхүү санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль дараах хэлбэртэй байна.

Хяналт:

Тоон шинж чанар

Математикийн хүлээлтДискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын бүтээгдэхүүн ба эдгээр боломжит утгуудын магадлалын нийлбэр юм. Заасан:

Математикийн хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын төв нь математикийн хүлээлтийн зүүн ба баруун талд байрладаг тоо юм.

ЗөрчилДискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтээс квадрат хазайх математик хүлээлт юм.

Үүнийг баталж болно

Энэ томъёо нь тооцоололд ашиглахад тохиромжтой. Тархалт гэдэг нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлттэй харьцуулахад боломжит утгуудын тархалтын хэмжүүрийг тодорхойлдог.

Стандарт хазайлтдуудсан .

Жишээ. (8-р даалгаврыг үзнэ үү). Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын цуваа өгөгдсөн. Хай .