Нэгжийн хэсэг буюу хэд хэдэн хэсгийг энгийн буюу энгийн бутархай гэж нэрлэдэг. Нэгжийг хуваах тэнцүү хэсгүүдийн тоог хуваагч, авсан хэсгүүдийн тоог тоологч гэнэ. Бутархайг дараах байдлаар бичнэ.

IN энэ тохиолдолд a нь тоологч, b нь хуваагч юм.

Хэрэв тоологч бол хуваагчаас бага, тэгвэл бутархай нь 1-ээс бага байх ба зөв бутархай гэж нэрлэдэг. Хэрэв тоологч нь хуваагчаас их бол бутархай нь 1-ээс их байвал бутархайг буруу бутархай гэж нэрлэдэг.

Бутархайн хуваагч ба хуваагч тэнцүү бол бутархай нь тэнцүү байна.

1. Хэрэв тоологчийг хуваагчаар хувааж болох юм бол энэ бутархай нь хуваагдлын хуваалттай тэнцүү байна.

Хэрэв хуваагдлыг үлдэгдлээр гүйцэтгэсэн бол энэ буруу бутархайг холимог тоогоор илэрхийлж болно, жишээлбэл:

Тэгвэл 9 нь бүрэн бус категори ( бүхэл хэсэгхолимог тоо),
1 - үлдэгдэл (бутархай хэсгийн тоологч),
5 нь хуваагч юм.

Холимог тоог бутархай болгохын тулд холимог тооны бүхэл хэсгийг хуваагчаар үржүүлж, бутархай хэсгийн тоог нэмэх шаардлагатай.

Үр дүн нь энгийн бутархайн хуваагч байх боловч хуваагч нь хэвээр үлдэнэ.

Бутархайтай үйлдлүүд

Бутархай тэлэлт.Бутархайн тоо болон хуваагчийг тэгээс өөр тоогоор үржүүлбэл бутархайн утга өөрчлөгдөхгүй.
Жишээ нь:

Бутархай хэсгийг багасгах.Бутархайн тоо болон хуваагчийг тэгээс өөр тоонд хуваахад бутархайн утга өөрчлөгдөхгүй.
Жишээ нь:

Бутархайг харьцуулах.Нэг тоологчтой хоёр бутархайн хуваагч нь бага нь их байна:

-тэй хоёр бутархайгаас ижил хуваагчтоологч нь их бол:

Тоолуур ба хуваагч нь ялгаатай бутархайг харьцуулахын тулд тэдгээрийг өргөжүүлэх, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийг авчрах шаардлагатай. нийтлэг хуваагч. Жишээлбэл, дараах бутархайг авч үзье.

Бутархайг нэмэх, хасах.Хэрэв бутархайн хуваагч ижил байвал бутархайг нэмэхийн тулд тэдгээрийн тоог нэмж, бутархайг хасахын тулд тоог нь хасах хэрэгтэй. Үр дүнгийн нийлбэр буюу зөрүү нь үр дүнгийн хуваагч байх боловч хуваагч нь хэвээр үлдэнэ. Хэрэв бутархайн хуваагч өөр байвал эхлээд бутархайг нийтлэг хуваагч болгон багасгах хэрэгтэй. Нэмэх үед холимог тоотэдгээрийн бүхэл ба бутархай хэсгүүдийг тусад нь нэмнэ. Холимог тоонуудыг хасахдаа эхлээд тэдгээрийг буруу бутархай хэлбэрт шилжүүлж, дараа нь нэгийг нь нөгөөгөөс нь хасаад дараа нь шаардлагатай бол үр дүнг дахин холимог тооны хэлбэрт шилжүүлэх хэрэгтэй.

Бутархайг үржүүлэх. Бутархайг үржүүлэхийн тулд тэдгээрийн тоо болон хуваагчийг тусад нь үржүүлж, эхний үржвэрийг хоёр дахь хэсэгт хуваах хэрэгтэй.

Бутархайн хуваагдал. Тоог бутархайд хуваахын тулд та энэ тоог эсрэг бутархайгаар үржүүлэх хэрэгтэй.

Аравтын тоо- энэ нь арав, зуу, мянга гэх мэтийг нэгээр хуваасны үр дүн юм. хэсгүүд. Эхлээд тооны бүхэл хэсгийг бичиж, дараа нь баруун талд аравтын бутархайг байрлуулна. Аравтын бутархайн дараах эхний орон нь аравны нэгийн тоог, хоёр дахь нь зуутын тоо, гурав дахь нь мянгатын тоо гэх мэтийг илэрхийлнэ. Аравтын бутархайн дараа байрлах тоог аравтын бутархай гэж нэрлэдэг.

Жишээ нь:

Аравтын бутархайн шинж чанарууд

Үл хөдлөх хөрөнгө:

Хэрэв та баруун талд тэг нэмбэл аравтын бутархай өөрчлөгдөхгүй: 4.5 = 4.5000.
Аравтын бутархайн төгсгөлд тэгийг хасвал аравтын бутархай өөрчлөгдөхгүй: 0.0560000 = 0.056.
Аравтын бутархай 10, 100, 1000 гэх мэтээр нэмэгддэг. удаа, хэрэв та аравтын бутархайг зөөвөл нэг, хоёр, гурав гэх мэт. баруун талд байрлал: 4.5 45 (бутархай 10 дахин нэмэгдсэн).
Аравтын бутархайг 10, 100, 1000 гэх мэтээр багасгадаг. удаа, хэрэв та аравтын бутархайг зөөвөл нэг, хоёр, гурав гэх мэт. зүүн талын байрлал: 4.5 0.45 (бутархай 10 дахин буурсан).

Тогтмол аравтын бутархай нь цэг гэж нэрлэгддэг эцэс төгсгөлгүй давтагдах цифрүүдийн бүлгийг агуулдаг: 0.321321321321…=0,(321)

Аравтын бутархайтай үйлдлүүд

Аравтын бутархайг нэмэх, хасах нь бүхэл тоог нэмэх, хасахтай адил хийгддэг тул та харгалзах тоог бичихэд л хангалттай. аравтын бутархайнэг дор.
Жишээ нь:

Аравтын бутархайг үржүүлэх нь хэд хэдэн үе шаттайгаар явагдана.

Бид аравтын бутархайг үл тоомсорлон бүхэл тоогоор үржүүлдэг.
Дүрэм үйлчилнэ: бүтээгдэхүүний аравтын бутархайн тоо нь бүх хүчин зүйлийн аравтын бутархайн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Жишээ нь:

Хүчин зүйлийн аравтын бутархайн тоонуудын нийлбэр нь: 2+1=3 байна. Одоо та үүссэн тооны төгсгөлөөс 3 цифрийг тоолж, аравтын бутархай тавих хэрэгтэй: 0.675.

Аравтын бутархайг хуваах. Аравтын бутархайг бүхэл тоонд хуваах: хэрэв ногдол ашиг хуваагчаас бага, дараа нь та хэсгийн бүхэл хэсэгт тэг бичиж, араас нь аравтын бутархай тавих хэрэгтэй. Дараа нь ногдол ашгийн аравтын бутархайг харгалзахгүйгээр бутархай хэсгийн дараагийн цифрийг бүхэл хэсэгт нэмж, ногдол ашгийн бүхэл хэсгийг хуваагчтай дахин харьцуулна. Хэрэв шинэ тоо дахин хуваагчаас бага байвал үйлдлийг давтах ёстой. Үр дүнгийн ногдол ашиг нь хуваагчаас их болтол энэ процесс давтагдана. Үүний дараа бүхэл тоонуудын адил хуваах болно. Хэрэв ногдол ашиг нь хуваагчаас их буюу тэнцүү бол эхлээд бүхэл хэсгийг нь хувааж, хуваалтын үр дүнг хуваалтын хэсэгт бичиж, аравтын бутархайг тавина. Үүний дараа бүхэл тоонуудын адил хуваагдал үргэлжилнэ.

Нэг аравтын бутархайг нөгөөд хуваах: эхлээд ногдол ашиг ба хуваагч дахь аравтын бутархайг хуваагч дахь аравтын бутархайн тоонд шилжүүлж, өөрөөр хэлбэл хуваагчийг бүхэл тоо болгож, дээр дурдсан үйлдлүүдийг гүйцэтгэнэ.

Урвуу болгохын тулд аравтынэнгийн нэгэнд аравтын бутархайн дараах тоог тоологч болгон, арвын k-ийн хүчийг хуваагч болгон авах шаардлагатай (k нь аравтын бутархайн тоо). Тэг биш бүхэл хэсэг нь энгийн бутархайд хадгалагдана; тэг бүхэл тоо хасагдсан.
Жишээ нь:

Бутархайг аравтын бутархай руу хөрвүүлэхийн тулд хуваах дүрмийн дагуу тоологчийг хуваагчаар хуваах ёстой.

Хувь гэдэг нь нэгжийн зууны нэг, жишээлбэл: 5% гэдэг нь 0.05 гэсэн үг. Харьцаа гэдэг нь нэг тооны нөгөө тоонд хуваагдсан хэсгийг хэлнэ. Пропорци гэдэг нь хоёр харьцааны тэгш байдал юм.

Жишээ нь:

Пропорцын гол шинж чанар: пропорцын туйлын нөхцлийн үржвэр нь түүний дунд гишүүний үржвэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл 5х30 = 6х25 байна. Хоёр харилцан хамааралтай хэмжигдэхүүнүүдХэрэв тэдгээрийн утгын харьцаа өөрчлөгдөөгүй байвал пропорциональ гэж нэрлэдэг (пропорциональ коэффициент).

Ийнхүү дараах арифметик үйлдлүүд тодорхойлогдлоо.
Жишээ нь:

Рационал тоонуудын багц нь эерэг ба сөрөг тоо (бүхэл тоо ба бутархай) ба тэгийг агуулдаг. Илүү нарийн тодорхойлолтМатематикт хүлээн зөвшөөрөгдсөн оновчтой тоонууд нь дараах байдалтай байна: хэрэв тоо нь энгийн хэлбэрээр дүрслэгдэх боломжтой бол түүнийг рационал тоо гэж нэрлэдэг. бууруулж болохгүй бутархайхэлбэрийн:, энд a ба b нь бүхэл тоо юм.

Сөрөг тооны хувьд үнэмлэхүй үнэ цэнэ(модуль) нь "-" тэмдгийг "+" болгон өөрчилснөөр олж авсан эерэг тоо; Учир нь эерэг тоотэг нь өөрөө тоо юм. Тооны модулийг заахдаа энэ тоог бичсэн хоёр шулуун шугамыг ашигладаг, жишээлбэл: |–5|=5.

Үнэмлэхүй үнэ цэнийн шинж чанарууд

Тооны модулийг өгье , үүнд дараах шинж чанарууд үнэн байна:

Мономиаль гэдэг нь хоёр буюу түүнээс дээш хүчин зүйлийн үржвэр бөгөөд тус бүр нь тоо, үсэг эсвэл үсгийн хүч юм: 3 x a x b. Коэффицентийг ихэвчлэн тоон үржүүлэгч гэж нэрлэдэг. Мономиалууд нь ижил эсвэл зөвхөн коэффициентээр ялгаатай байвал ижил төстэй гэж нэрлэдэг. Мономиалын зэрэг нь түүний бүх үсгүүдийн илтгэгчийн нийлбэр юм. Хэрэв мономиалуудын нийлбэр дунд ижил төстэй зүйлүүд байвал нийлбэрийг илүү их болгож бууруулж болно энгийн үзэмж: 3 x a x b + 6 x a = 3 x a x (b + 2). Энэ үйлдлийг цутгах гэж нэрлэдэг ижил төстэй гишүүдэсвэл хаалтанд оруулах замаар.

Олон гишүүнт гэдэг алгебрийн нийлбэрмономиалууд. Олон гишүүнтийн зэрэг нь өгөгдсөн олон гишүүнт багтсан нэг гишүүнтүүдийн зэрэглэлүүдийн хамгийн их нь юм.

Байдаг дараах томъёонуудтовчилсон үржүүлэх:

Факторжуулалтын аргууд:

Алгебрийн бутархай нь A ба B нь тоо, мономиал эсвэл олон гишүүнт байж болох хэлбэрийн илэрхийлэл юм.

Хэрэв хоёр илэрхийлэл (тоон ба цагаан толгойн) "=" тэмдгээр холбогдсон бол тэдгээр нь тэгш байдал үүсгэнэ. Зөвшөөрөгдөх бүх хүмүүст хүчинтэй аливаа жинхэнэ тэгш байдал тоон утгуудтүүнд орсон үсгүүдийн тоог таних тэмдэг гэж нэрлэдэг.

Тэгшитгэл гэдэг нь түүнд багтсан үсгүүдийн тодорхой утгуудад хүчинтэй байдаг үгийн тэгш байдал юм. Эдгээр үсгүүдийг үл мэдэгдэх (хувьсагч) гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээрийн утгыг илэрхийлдэг өгөгдсөн тэгшитгэладилтгал болж хувирдаг - тэгшитгэлийн язгуураар.

Тэгшитгэлийг шийдэх нь түүний бүх үндсийг олох гэсэн үг юм. Хоёр ба түүнээс дээш тэгшитгэл нь ижил үндэстэй бол тэдгээрийг эквивалент гэж нэрлэдэг.

тэг нь тэгшитгэлийн үндэс байсан;
тэгшитгэл нь зөвхөн байсан эцсийн тооүндэс.

Алгебрийн тэгшитгэлийн үндсэн төрлүүд:

ax + b = 0 шугаман тэгшитгэлийн хувьд:

хэрэв a x 0 бол нэг язгуур байна x = -b/a;
хэрэв a = 0, b ≠ 0 бол үндэс байхгүй;
a = 0, b = 0 бол язгуур нь дурын бодит тоо байна.

Тэгшитгэл xn = a, n N:

хэрэв n - сондгой тоо, аль ч a/n-тэй тэнцүү бодит язгууртай;
хэрэв n нь тэгш тоо бол 0-ийн хувьд хоёр үндэстэй болно.

Үндсэн таних тэмдгийн өөрчлөлтүүд: нэг илэрхийлэлийг өөртэй ижил тэнцүү илэрхийллээр солих; тэгшитгэлийн нөхцөлийг нэг талаас нөгөө тал руу нь эсрэг тэмдгээр шилжүүлэх; Тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгээс өөр ижил илэрхийллээр (тоо) үржүүлэх буюу хуваах.

Нэг үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэл нь дараах хэлбэрийн тэгшитгэл юм: ax+b=0, a ба b нь мэдэгдэж байгаа тоонууд, x нь үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүн юм.

Хоёр систем шугаман тэгшитгэлхоёр үл мэдэгдэх нь дараах хэлбэртэй байна.

Үүнд: a, b, c, d, e, f - өгсөн тоо; x, y нь үл мэдэгдэх.

a, b, c, d тоонууд нь үл мэдэгдэх коэффициентүүд; e, f- чөлөөт гишүүд. Энэ тэгшитгэлийн системийн шийдлийг хоёр үндсэн аргаар олж болно: орлуулах арга: нэг тэгшитгэлээс бид үл мэдэгдэх нэгийг нь коэффициентээр, нөгөө нь үл мэдэгдэхийг илэрхийлж, дараа нь сүүлчийн тэгшитгэлийг шийдэж, хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна нэг үл мэдэгдэхийг олж, дараа нь олсон утгыг эхний тэгшитгэлд орлуулж, хоёр дахь үл мэдэгдэхийг олох; нэг тэгшитгэлийг нөгөөд нь нэмэх, хасах арга.

Үндэстэй үйлдлүүд:

Арифметик n-р үндэссөрөг бус тооны а-ын хүчийг гэнэ сөрөг бус тоо, n-р зэрэгэнэ нь a-тай тэнцүү байна. Алгебрийн үндэс n-р зэрэг-аас өгсөн дугаарЭнэ тооны бүх язгуурын багцыг дуудна.

Иррационал тоог рационал тооноос ялгаатай нь m/n хэлбэрийн энгийн бууруулж болохгүй бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй бөгөөд энд m ба n нь бүхэл тоо юм. Эдгээр нь ямар ч нарийвчлалтайгаар тооцоолж болох боловч солих боломжгүй шинэ төрлийн тоонууд юм оновчтой тоо. Тэд геометрийн хэмжилтийн үр дүнд гарч ирж болно, жишээлбэл: дөрвөлжингийн диагоналийн уртыг хажуугийн урттай харьцуулсан харьцаа тэнцүү байна.

Квадрат тэгшитгэл нь алгебрийн тэгшитгэл 2-р зэрэглэлийн ax2+bx+c=0, энд a, b, c-д тоон буюу үсгийн коэффициент өгөгдсөн бол х тодорхойгүй байна. Хэрэв бид энэ тэгшитгэлийн бүх гишүүнийг a-д хуваавал үр дүн нь x2+px+q=0 - багасгасан тэгшитгэл p=b/a, q=c/a. Үүний үндсийг дараах томъёогоор олно.

Хэрэв b2-4ac>0 бол b2- 4ac=0 гэсэн хоёр өөр язгуур байна, тэгвэл хоёр байна. тэнцүү үндэс; b2-4ac Модуль агуулсан тэгшитгэл

Модуль агуулсан тэгшитгэлийн үндсэн төрлүүд:
1) |f(x)| = |g(x)|;
2) |f(x)| = g(x);
3) f1(x)|g1(x)| + f2(x)|g2(x)| + … + fn(x)|gn(x)| =0, n N, f(x), g(x), fk(x), gk(x) функцүүд өгөгдсөн.

Энэ нийтлэлийн тухай юм энгийн бутархай. Энд бид бүхэл бутархай гэсэн ойлголтыг танилцуулах бөгөөд энэ нь биднийг энгийн бутархайн тодорхойлолтод хүргэх болно. Дараа нь бид анхаарлаа хандуулах болно хүлээн зөвшөөрөгдсөн тэмдэглэгэээнгийн бутархайн хувьд ба бутархайн жишээг өгье, бутархайн хуваагч ба хуваагчийн талаар ярилцъя. Үүний дараа бид зөв ба буруу, эерэг ба сөрөг бутархайн тодорхойлолтыг өгч, бутархай тоонуудын байрлалыг авч үзэх болно. координатын туяа. Дүгнэж хэлэхэд бид үндсэн үйлдлүүдийг бутархайгаар жагсаав.

Хуудасны навигаци.

Бүхэл бүтэн хувьцаа

Эхлээд бид танилцуулъя хувьцааны тухай ойлголт.

Бидэнд хэд хэдэн туйлын ижил (өөрөөр хэлбэл тэнцүү) хэсгүүдээс бүрдсэн объект байна гэж бодъё. Тодорхой болгохын тулд, жишээ нь, алимыг хэд хэдэн тэнцүү хэсгүүдэд хуваасан, эсвэл хэд хэдэн тэнцүү зүсмэлүүдээс бүрдсэн жүржийг төсөөлж болно. Эдгээр тэнцүү хэсгүүд бүрийг бүрдүүлдэг бүхэл бүтэн сэдэв, дуудсан бүхэл бүтэн хэсгүүдэсвэл зүгээр л хувьцаа.

Хувьцаа өөр гэдгийг анхаарна уу. Үүнийг тайлбарлая. Хоёр алим авцгаая. Эхний алимыг хоёр тэнцүү хэсэг болгон, хоёр дахь алимыг 6 тэнцүү хэсэг болгон хайчилж ав. Эхний алимны эзлэх хувь хоёр дахь алимныхоос өөр байх нь ойлгомжтой.

Бүхэл бүтэн объектыг бүрдүүлдэг хувьцааны тооноос хамааран эдгээр хувьцаанууд нь өөрийн гэсэн нэртэй байдаг. Үүнийг цэгцэлье цохилтын нэрс. Хэрэв объект хоёр хэсгээс бүрдэх бол тэдгээрийн аль нэгийг нь бүхэл зүйлийн хоёр дахь хэсэг гэж нэрлэдэг; хэрэв объект гурван хэсгээс бүрддэг бол тэдгээрийн аль нэгийг нь гуравны нэг хэсэг гэх мэт.

Нэг секундын хувьцаа байна тусгай нэр – хагас. Гуравны нэг нь гэж нэрлэдэг гурав дахь, мөн дөрөвний нэг хэсэг - дөрөвний нэг.

Товчхон байх үүднээс дараахь зүйлийг танилцуулав. тэмдэг цохих. Хоёр дахь хувьцааны нэг нь буюу 1/2, гуравны нэг нь буюу 1/3; дөрөвний нэгийг хуваалцах - дуртай эсвэл 1/4 гэх мэт. Хэвтээ баар бүхий тэмдэглэгээг илүү олон удаа ашигладаг болохыг анхаарна уу. Материалыг бататгахын тулд өөр нэг жишээ хэлье: оруулга нь бүхэл бүтэн нэг зуун жаран долооны хэсгийг илэрхийлнэ.

Хувьцаа гэдэг ойлголт нь объектоос хэмжигдэхүүн хүртэл үргэлжилдэг. Жишээлбэл, уртын хэмжүүрүүдийн нэг нь метр юм. Нэг метрээс богино уртыг хэмжихийн тулд метрийн фракцыг ашиглаж болно. Тиймээс та жишээ нь хагас метр эсвэл метрийн аравны нэг буюу мянганы нэгийг ашиглаж болно. Бусад хэмжээний хувьцааг мөн адил хэрэглэнэ.

Энгийн бутархай, тодорхойлолт, бутархайн жишээ

Бидний ашигладаг хувьцааны тоог тодорхойлохын тулд энгийн бутархай. Энгийн бутархайн тодорхойлолтод ойртох боломж олгох жишээг өгье.

Улбар шарыг 12 хэсгээс бүрдүүлээрэй. Энэ тохиолдолд хувьцаа бүр бүхэл жүржийн арван хоёрны нэгийг төлөөлдөг, өөрөөр хэлбэл, . Бид хоёр цохилтыг гэж, гурван цохилтыг гэж, гэх мэтээр, 12 цохилтыг бид гэж тэмдэглэнэ. Өгөгдсөн бичилт бүрийг энгийн бутархай гэж нэрлэдэг.

Одоо нэг генерал өгье энгийн бутархайн тодорхойлолт.

Энгийн бутархайн дуут тодорхойлолт нь бидэнд өгөх боломжийг олгодог энгийн бутархайн жишээ: 5/10, , 21/1, 9/4, . Мөн энд бичлэгүүд байна энгийн бутархайн тодорхойлолтод тохирохгүй, өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь энгийн бутархай биш юм.

Тоолуур ба хуваагч

Тохиромжтой болгохын тулд энгийн фракцуудыг ялгадаг тоологч ба хуваагч.

Тодорхойлолт.

Тоологчэнгийн бутархай (m/n) нь натурал тоо m.

Тодорхойлолт.

Хуваагчэнгийн бутархай (m/n) нь натурал тоо n.

Тиймээс, тоологч нь бутархай шугамын дээр (ташуу зураасны зүүн талд), хуваагч нь бутархай шугамын доор (ташуу зураасны баруун талд) байрлана. Жишээ нь 17/29 энгийн бутархайг авч үзье, энэ бутархайн хуваагч нь 17, хуваагч нь 29 гэсэн тоо юм.

Энгийн бутархайн тоо болон хуваагчд агуулагдах утгыг хэлэлцэх л үлдлээ. Бутархайн хуваагч нь нэг объект хэдэн хэсгээс бүрдэхийг, харин тоологч нь эргээд ийм хувьцааны тоог заана. Жишээлбэл, 12/5 бутархайн 5 хуваагч нь нэг объект таван хувьцаанаас бүрддэг, 12 тоологч нь 12 ийм хувьцаа авсан гэсэн үг юм.

Натурал тоог хуваагч 1-тэй бутархай

Энгийн бутархайн хуваагч байж болно нэгтэй тэнцүү. Энэ тохиолдолд объект нь хуваагдашгүй, өөрөөр хэлбэл энэ нь бүхэл бүтэн зүйлийг илэрхийлдэг гэж үзэж болно. Ийм бутархайн тоо нь хичнээн бүхэл объект авсныг заана. Тиймээс, энгийн бутархай m/1 хэлбэрийн натурал тоо m гэсэн утгатай. m/1=m тэгш байдлын үнэн зөвийг ингэж нотолсон.

Сүүлийн тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичье: m=m/1. Энэ тэгш байдал нь ямар ч натурал m тоог энгийн бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх боломжийг олгодог. Жишээлбэл, 4 тоо нь 4/1 бутархай, 103,498 тоо нь 103,498/1 бутархайтай тэнцүү байна.

Тэгэхээр, дурын натурал тоо m-ийг 1 хуваарьтай энгийн бутархайгаар m/1 гэж дүрсэлж болох ба m/1 хэлбэрийн дурын энгийн бутархайг натурал m тоогоор сольж болно..

Бутархайн талбарыг хуваах тэмдэг болгон

Анхны объектыг n ширхэг хувьцаа хэлбэрээр илэрхийлэх нь n тэнцүү хэсэгт хуваагдахаас өөр зүйл биш юм. Нэг зүйлийг n ширхэг хувьцаанд хуваасны дараа бид үүнийг n хүнд тэнцүү хувааж болно - тус бүр нэг хувьцаа авах болно.

Хэрэв бид эхлээд m ижил төстэй зүйлүүд, тус бүр нь n ширхэг хувьцаанд хуваагдвал бид эдгээр m зүйлийг n хүнд тэнцүү хувааж, хүн бүрт m зүйл тус бүрээс нэг хувийг өгч болно. Энэ тохиолдолд хүн бүр 1/n-ийн m хувьцаатай байх ба 1/n-ийн m хувьцаа нь m/n энгийн бутархайг өгнө. Иймээс m/n энгийн бутархайг n хүний хооронд m зүйлийг хуваахыг тэмдэглэж болно.

Ингэж бид энгийн бутархай ба хуваалтын хооронд тодорхой холболтыг олж авсан (натурал тоог хуваах ерөнхий санааг үзнэ үү). Энэ холболтыг дараах байдлаар илэрхийлнэ. бутархай шугамыг хуваах тэмдэг гэж ойлгож болно, өөрөөр хэлбэл m/n=m:n.

Энгийн бутархай ашиглан хоёрыг хуваах үр дүнг бичиж болно натурал тоонууд, үүний хувьд интеграл хуваагдал хийгдээгүй. Жишээлбэл, 5 алимыг 8 хүнд хуваасны үр дүнг 5/8 гэж бичиж болно, өөрөөр хэлбэл хүн бүр алимны наймны тавыг авах болно: 5:8 = 5/8.

Тэгш ба тэгш бус бутархай, бутархайн харьцуулалт

Энэ нь нэлээд байгалийн үйл ажиллагаа юм бутархайг харьцуулах, учир нь жүржийн 1/12 нь 5/12-оос ялгаатай, алимны 1/6 нь энэ алимны 1/6-тай ижил байх нь ойлгомжтой.

Хоёр энгийн бутархайг харьцуулсны үр дүнд үр дүнгийн нэг нь гарна: бутархай нь тэнцүү эсвэл тэгш бус байна. Эхний тохиолдолд бидэнд байна тэнцүү энгийн бутархай, хоёрдугаарт - тэгш бус энгийн бутархай. Тэнцүү ба тэгш бус энгийн бутархайн тодорхойлолтыг өгье.

Тодорхойлолт.

тэнцүү, хэрэв a·d=b·c тэгшитгэл үнэн бол.

Тодорхойлолт.

a/b ба c/d хоёр энгийн бутархай тэнцүү биш, a·d=b·c тэгшитгэл хангагдаагүй бол.

Тэнцүү бутархайн зарим жишээ энд байна. Жишээлбэл, 1·4=2·2 (шаардлагатай бол натурал тоог үржүүлэх дүрэм, жишээг үзнэ үү) тул 1/2 энгийн бутархай нь 2/4-тэй тэнцүү байна. Тодорхой болгохын тулд та хоёр ижил алимыг төсөөлж болно, эхнийх нь хагас, хоёр дахь нь 4 хэсэгт хуваагдана. Алимны дөрөвний хоёр нь 1/2 хувьтай тэнцэх нь ойлгомжтой. Тэнцүү энгийн бутархайн бусад жишээ бол 4/7 ба 36/63 бутархай, 81/50 ба 1620/1000 бутархай хосууд юм.

Харин 4·14=56, 13·5=65, өөрөөр хэлбэл 4·14≠13·5 учраас 4/13 ба 5/14 энгийн бутархай тэнцүү биш байна. Тэгш бус энгийн бутархайн бусад жишээ бол 17/7 ба 6/4 бутархай юм.

Хэрэв хоёр энгийн бутархайг харьцуулж үзвэл тэдгээр нь тэнцүү биш бол та эдгээр энгийн бутархайн аль нь болохыг олж мэдэх хэрэгтэй. багаөөр, аль нь - илүү. Үүнийг олж мэдэхийн тулд жирийн бутархайг харьцуулах дүрмийг ашигладаг бөгөөд үүний мөн чанар нь харьцуулсан бутархайг нийтлэг хуваагч руу авчирч, дараа нь тоологчдыг харьцуулах явдал юм. Энэ сэдвээр нарийвчилсан мэдээллийг бутархай харьцуулах өгүүллээр цуглуулсан болно: дүрэм, жишээ, шийдэл.

Бутархай тоо

Бутархай бүр нь тэмдэглэгээ юм бутархай тоо. Өөрөөр хэлбэл, бутархай нь бутархай тооны "бүрхүүл" юм гадаад төрх, мөн бүх семантик ачаалал бутархай тоонд агуулагддаг. Гэхдээ товч бөгөөд хялбар байх үүднээс бутархай ба бутархай тоо гэсэн ойлголтуудыг нэгтгэж, зүгээр л бутархай гэж нэрлэдэг. Энд дахин хэлэх нь зүйтэй болов уу алдартай үг: бид бутархай гэж хэлдэг - бид гэсэн үг бутархай тоо, бид бутархай тоог хэлдэг - бид бутархай гэсэн үг.

Координатын туяа дээрх бутархай

Энгийн бутархайтай харгалзах бүх бутархай тоонууд нь өөрийн гэсэн өвөрмөц газартай байдаг, өөрөөр хэлбэл бутархай ба координатын цацрагийн цэгүүдийн хооронд нэгээс нэг харгалзах явдал байдаг.

Координатын туяа дээрх m/n бутархайд тохирох цэгт хүрэхийн тулд эх үүсвэрээс эерэг чиглэлд m хэрчмийг тусгаарлах шаардлагатай бөгөөд урт нь нэгж сегментийн 1/n хэсэгтэй тэнцүү байна. Ийм сегментийг нэгж сегментийг n тэнцүү хэсэгт хуваах замаар олж авах боломжтой бөгөөд үүнийг үргэлж луужин болон захирагч ашиглан хийж болно.

Жишээлбэл, координатын туяа дээр 14/10 бутархайтай тохирох M цэгийг үзүүлье. Жижиг зураасаар тэмдэглэгдсэн О цэг дээр төгсгөлтэй сегментийн урт нь нэгж сегментийн 1/10 байна. 14/10 координаттай цэгийг 14 сегментийн зайд гарал үүслээр нь арилгана.

Тэнцүү бутархай нь ижил бутархай тоотой тохирч байна, өөрөөр хэлбэл, тэнцүү бутархайкоординатын цацраг дээрх ижил цэгийн координатууд юм. Жишээлбэл, 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 координатууд нь координатын цацрагийн нэг цэгтэй тохирч байна, учир нь бүх бичигдсэн бутархайнууд тэнцүү байна (энэ нь байрлуулсан нэгжийн хагасын зайд байрладаг). гарал үүслээс эерэг чиглэлд).

Хэвтээ ба баруун тийш чиглэсэн координатын туяа, координат нь цэг том хэсэг, координат нь байгаа цэгийн баруун талд байрлана жижиг хэсэг. Үүний нэгэн адил жижиг координаттай цэг нь том координаттай цэгийн зүүн талд байрладаг.

Зөв ба буруу бутархай, тодорхойлолт, жишээ

Энгийн фракцуудын дунд байдаг зөв ба буруу бутархай . Энэ хуваалт нь тоологч ба хуваагч хоёрын харьцуулалт дээр суурилдаг.

Зөв ба буруу жирийн бутархайг тодорхойлъё.

Тодорхойлолт.

Зөв бутархай нь хуваагчаас бага энгийн бутархай, өөрөөр хэлбэл m

Тодорхойлолт.

Буруу бутархайнь хуваагчаас их буюу тэнцүү байх энгийн бутархай, өөрөөр хэлбэл m≥n бол энгийн бутархай буруу байна.

Зөв бутархайн зарим жишээ энд байна: 1/4, , 32,765/909,003. Үнэн хэрэгтээ, бичигдсэн энгийн бутархай бүрийн тоо нь хуваагчаас бага байдаг (шаардлагатай бол натурал тоог харьцуулах өгүүллийг үзнэ үү), тиймээс тэдгээр нь тодорхойлолтоор зөв юм.

Бутархай бутархайн жишээ энд байна: 9/9, 23/4, . Үнэн хэрэгтээ, бичигдсэн энгийн бутархайн эхнийх нь хуваагчтай тэнцүү, үлдсэн бутархайн хувьд хуваагч нь хуваагчаас их байна.

Бутархайг нэгтэй харьцуулах үндсэн дээр зөв ба буруу бутархайн тодорхойлолтууд байдаг.

Тодорхойлолт.

зөв, хэрэв нэгээс бага бол.

Тодорхойлолт.

Энгийн бутархайг нэрлэдэг буруу, хэрэв энэ нь нэгтэй тэнцүү эсвэл 1-ээс их бол.

Тэгэхээр 7/11 энгийн бутархай 7/11 зөв байна<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 ба 27/27=1.

Хувааригчаас их буюу тэнцүү тоологчтой энгийн бутархайнууд "зохисгүй" гэсэн нэрийг хэрхэн авах ёстойг бодоцгооё.

Жишээлбэл, 9/9 буруу бутархайг авъя. Энэ бутархай нь есөн хэсгээс бүрдэх объектын есөн хэсгийг авдаг гэсэн үг юм. Өөрөөр хэлбэл, байгаа есөн хэсгээс бид бүхэл бүтэн объектыг бүрдүүлж чадна. Өөрөөр хэлбэл, 9/9-ийн буруу бутархай нь үндсэндээ бүхэл бүтэн объектыг өгдөг, өөрөөр хэлбэл 9/9 = 1. Ерөнхийдөө, хуваагчтай тэнцүү тоологчтой буруу бутархай нь нэг бүхэл объектыг илэрхийлэх бөгөөд ийм бутархайг натурал 1-ээр сольж болно.

Одоо 7/3 ба 12/4 буруу бутархайг авч үзье. Эдгээр долоон гурав дахь хэсгээс бид хоёр бүхэл объектыг (нэг бүхэл бүтэн объект 3 хэсгээс бүрддэг, дараа нь хоёр бүхэл объектыг бүтээхэд 3 + 3 = 6 хэсэг хэрэгтэй болно) гуравны нэг хэсэг үлдэх нь тодорхой байна. . Өөрөөр хэлбэл, 7/3 буруу бутархай нь үндсэндээ 2 объект, мөн ийм объектын 1/3 гэсэн үг юм. Мөн дөрөвний арван хоёр хэсгээс бид гурван бүхэл бүтэн объект (тус бүр нь дөрвөн хэсэгтэй гурван объект) хийж болно. Өөрөөр хэлбэл, 12/4 гэсэн хэсэг нь үндсэндээ 3 бүхэл объект гэсэн үг юм.

Үзсэн жишээнүүд нь биднийг дараахь дүгнэлтэд хүргэж байна: буруу бутархайг натурал тоогоор, тоологчийг хуваагчаар (жишээлбэл, 9/9 = 1 ба 12/4 = 3) тэнцүү хуваасан үед эсвэл нийлбэрээр сольж болно. натурал тоо ба зохих бутархай, хуваагч нь хуваагчдаа жигд хуваагдахгүй байх үед (жишээ нь: 7/3=2+1/3). Магадгүй энэ нь зөв бус фракцуудад "тогтмол бус" гэсэн нэрийг олж авсан зүйл юм.

Бутархай бутархайг натурал тоо ба зөв бутархайн (7/3=2+1/3) нийлбэрээр дүрслэх нь онцгой анхаарал татаж байна. Энэ процессыг бүхэл бүтэн хэсгийг буруу бутархайгаас тусгаарлах гэж нэрлэдэг бөгөөд тусад нь, илүү анхааралтай авч үзэх шаардлагатай.

Бутархай бутархай болон холимог тоонуудын хооронд маш нягт хамаарал байдгийг бас тэмдэглэх нь зүйтэй.

Эерэг ба сөрөг бутархай

Энгийн бутархай бүр эерэг бутархай тоотой тохирч байна (эерэг ба сөрөг тоонуудын тухай өгүүллийг үзнэ үү). Энэ нь энгийн бутархай юм эерэг бутархай. Жишээлбэл, энгийн бутархай 1/5, 56/18, 35/144 эерэг бутархай байна. Бутархайн эерэг талыг тодруулах шаардлагатай бол урд нь нэмэх тэмдэг тавьдаг, жишээ нь +3/4, +72/34.

Хэрэв та энгийн бутархайн өмнө хасах тэмдэг тавьсан бол энэ оруулга нь сөрөг бутархай тоотой тохирно. Энэ тохиолдолд бид ярьж болно сөрөг бутархай. Сөрөг бутархайн зарим жишээ энд байна: −6/10, −65/13, −1/18.

Эерэг ба сөрөг бутархай m/n ба −m/n нь эсрэг тоонууд юм. Жишээлбэл, 5/7 ба -5/7 бутархайнууд нь эсрэг талын бутархайнууд юм.

Эерэг бутархай, ерөнхийдөө эерэг тоонууд нь нэмэлт, орлого, аливаа үнэ цэнийн өсөлт гэх мэтийг илэрхийлдэг. Сөрөг бутархай нь зардал, өр эсвэл аливаа тоо хэмжээ буурахтай тохирч байна. Жишээлбэл, −3/4 сөрөг хэсгийг 3/4-тэй тэнцүү өр гэж тайлбарлаж болно.

Хэвтээ ба баруун чиглэлд сөрөг фракцууд эхийн зүүн талд байрлана. Координатууд нь эерэг бутархай m/n ба сөрөг −m/n хэсэг болох координатын шугамын цэгүүд нь эх цэгээс ижил зайд, харин О цэгийн эсрэг талд байрлана.

Энд 0/n хэлбэрийн бутархай хэсгүүдийг дурдах нь зүйтэй. Эдгээр бутархайнууд нь тэг тоотой тэнцүү, өөрөөр хэлбэл 0/n=0.

Эерэг бутархай, сөрөг бутархай, 0/n бутархайнууд нийлж рационал тоог үүсгэдэг.

Бутархайтай үйлдлүүд

Бид энгийн бутархайтай нэг үйлдлийг - бутархайг харьцуулах талаар дээр дурдсан. Өөр дөрвөн арифметик функцийг тодорхойлсон бутархайтай үйлдлүүд– бутархайг нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах. Тэдгээрийг тус бүрээр нь харцгаая.

Бутархайтай үйлдлүүдийн ерөнхий мөн чанар нь натурал тоотой харгалзах үйлдлүүдийн мөн чанартай төстэй юм. Нэг зүйрлэл хийцгээе.

Бутархайг үржүүлэхбутархайгаас бутархайг олох үйлдэл гэж үзэж болно. Үүнийг тодруулахын тулд жишээ татъя. Бид алимны 1/6-ийг авъя, бид 2/3-ыг авах хэрэгтэй. Бидэнд хэрэгтэй хэсэг нь 1/6 ба 2/3 бутархайг үржүүлсний үр дүн юм. Хоёр энгийн бутархайг үржүүлсний үр дүн нь энгийн бутархай (тусгай тохиолдолд энэ нь натурал тоотой тэнцүү) юм. Дараа нь бид бутархайг үржүүлэх - Дүрэм, жишээ, шийдэл гэсэн нийтлэл дэх мэдээллийг судлахыг зөвлөж байна.

Лавлагаа.

Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математик: 5-р ангийн сурах бичиг. боловсролын байгууллагууд.
Виленкин Н.Я. болон бусад. 6-р анги: Ерөнхий боловсролын сургалтын байгууллагын сурах бичиг.
Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математик (техникийн сургуульд элсэгчдэд зориулсан гарын авлага).

Математикийн хувьд бутархай гэдэг нь нэг буюу хэд хэдэн нэгжээс тогтсон тоо юм. Өөрөөр хэлбэл, бутархай нь нэг бүхэл зүйлийн зарим хэсгийг төлөөлдөг. Жишээлбэл, объектыг 4 тэнцүү хэсэгт хувааж, тэдгээрийн 1-ийг авбал бид 1/4 бутархайг авна, энд 3 нь тоологч, 4 нь хуваагч, ийм хуваагдлын үр дүн (0.25) байна. Сургуулийн сургалтын хөтөлбөрт янз бүрийн фракцуудыг ашигладаг;

Энгийн, аравтын бутархай, үечилсэн бутархай

Бичлэгийн аргын дагуу энгийн ба аравтын бутархайг ялгадаг. Эхний тохиолдолд бутархайг энгийн бутархай гэж нэрлэдэг. Энэ нь доорх зурган дээрх шиг хэвтээ буюу налуу зураасаар тусгаарлагдсан хоёр натурал тооноос бүрдэнэ.

Аравтын бутархай нь хуваарь нь нэг, дараа нь тэгтэй энгийн бутархай бөгөөд ийм бутархайн жишээг дараах зурагт үзүүлэв. Гэсэн хэдий ч ийм бутархайг ихэвчлэн хуваагчгүйгээр бичдэг бөгөөд таслал (0.3) нь бүхэл хэсгийг заадаг. Энэ тохиолдолд аравтын бутархайн дараа энгийн бутархайн хуваагч дахь тэгтэй тооны тоог зааж өгнө.

Байрлалын цэгийн өмнө бичигдсэн аравтын бутархай хэсгийг бутархайн бүхэл хэсэг, түүний араас аравтын бутархай гэж нэрлэдэг. Түүнээс гадна аравтын бутархайн тоо нь төгсгөлтэй (2.3) эсвэл хязгааргүй (2.333333) байж болно.

Сүүлчийн тохиолдолд давтагдах тоонуудыг цэг гэж нэрлэдэг тул бид үечилсэн бутархайн тухай ярьж байна. Бичгийн хувьд үеийг хаалтанд оруулах нь заншилтай байдаг, жишээлбэл, 2, (3). Энэ оруулгыг дараах байдлаар уншина: хоёр бүхэл тоо ба гурван цэг. Гэсэн хэдий ч үечилсэн бутархайг бөөрөнхийлж болно, дараа нь тэдгээрийг ихэвчлэн дугуй бутархай гэж нэрлэдэг боловч математикийн хувьд дугуйрсан бутархай гэж хэлэх нь илүү зөв байх болно.

Зөв, буруу, холимог бутархай

Тоолуурын модуль нь хуваагчийн модулиас бага байвал бутархайг зөв гэж нэрлэдэг. (1/3, 2/5, 7/8), эс тэгвээс бутархайг буруу бутархай (3/2, 9/7, 13/5) гэж нэрлэдэг. Тоолуур ба хуваагч нь тэнцүү бутархайг мөн буруу бутархай гэж ангилдаг.

Үүний зэрэгцээ аливаа буруу бутархайг холимог бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Энд 1 нь холимог тооны бүхэл хэсэг, 1/2 нь бутархай хэсэг юм. Холимог тоог бутархай болгон хувиргахын тулд та бүхэл хэсгийг хуваагчаар үржүүлж, үр дүнгийн утгад тоог нэмэх хэрэгтэй. Ийм үйлдлүүдийн үр дүнд жирийн бутархайн хүртэгч олддог бол хуваагч нь хэвээр үлдэнэ.

Буурах ба бууруулж болохгүй бутархай

Бутархайн хүртэгч ба хуваагчийг ижил тоонд (нэгээс бусад) хувааж болох тохиолдолд бутархайг бууруулж болох, бусад тохиолдолд бууруулж болохгүй гэж нэрлэдэг. Жишээ нь:

3/9 нь бууруулж болох бутархай, учир нь тоологч ба хуваагч хоёулаа 3-т хуваагдаж болно;
3/5 нь бууруулж болохгүй бутархай, учир нь хоёулаа анхны тоо, өөрөөр хэлбэл. зөвхөн өөртөө болон 1-д хуваагддаг;
Тоолуур ба хуваагчийг хоёуланг нь хувааж чадах нийтлэг тоо байхгүй тул 2/7 нь бууруулж болохгүй бутархай юм.

Нийлмэл ба харилцан бутархай

Ихэнхдээ сургуулийн сурагчид аль фракцыг харилцан хамаарал, аль нь нийлмэл гэж нэрлэдэгийг ойлгодоггүй. Эндээс харахад бүх зүйл маш энгийн байдаг. Хэрэв бид 7/8 бутархайг авч, тоологч ба хуваагчийг сольвол 8/7 бутархай болно. Эдгээр фракцуудыг (7/8 ба 8/7) харилцан адилгүй гэж нэрлэдэг. Түүнээс гадна ийм фракцуудын үржвэр нь үргэлж 1-тэй тэнцүү байдаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Нийлмэл бутархай нь бутархайн хэд хэдэн шинж чанарыг агуулсан илэрхийллийг агуулдаг. Ийм бутархайн жишээг доор өгөв.

Үүнээс гадна эерэг ба сөрөг бутархайг ялгадаг. Сүүлийнхийг харуулахын тулд бутархайн өмнө "-" тэмдэг тавина. Энэ тохиолдолд эерэг тоонуудын адил "+" тэмдгийг ихэвчлэн заадаггүй.

Бид сургуульд сурч эхлэхээсээ хамаагүй эрт амьдралдаа бутархайтай тааралддаг. Хэрэв бид бүхэл бүтэн алимыг хагас болгон хуваасан бол жимсний хагасыг авна. Үүнийг дахин таслацгаая - энэ нь ¼ болно. Эдгээр нь бутархай юм. Тэгээд бүх зүйл энгийн мэт санагдсан. Насанд хүрсэн хүний хувьд. Хүүхдэд (мөн энэ сэдвийг бага сургуулийн төгсгөлд судалж эхэлдэг) хийсвэр математикийн ойлголтууд аймшигтай ойлгомжгүй хэвээр байгаа бөгөөд багш зөв ба буруу бутархай, энгийн ба аравтын бутархай гэж юу болохыг, ямар үйлдлүүдийг хийж болохыг тодорхой тайлбарлах ёстой. тэдэнтэй хамт, хамгийн чухал нь энэ бүхэн яагаад хэрэгтэй вэ.

Ямар төрлийн бутархай байдаг вэ?

Сургуульд шинэ сэдвийг танилцуулах нь энгийн бутархай тооноос эхэлдэг. Тэдгээрийг дээд ба доор гэсэн хоёр тоог тусгаарлах хэвтээ шугамаар амархан танина. Дээд талыг нь тоологч, доод хэсгийг хуваагч гэж нэрлэдэг. Буруу, зөв энгийн бутархай бичих жижиг үсгийн сонголт байдаг - ташуу зураасаар, жишээлбэл: ½, 4/9, 384/183. Энэ сонголтыг шугамын өндөр хязгаарлагдмал, "хоёр давхар" маягтыг ашиглах боломжгүй үед ашигладаг. Яагаад? Тийм ээ, учир нь энэ нь илүү тохиромжтой. Бид үүнийг хэсэг хугацааны дараа харах болно.

Энгийн бутархайгаас гадна аравтын бутархай байдаг. Тэдгээрийг ялгах нь маш энгийн: хэрэв нэг тохиолдолд хэвтээ эсвэл налуу зураас ашигладаг бол нөгөө тохиолдолд тоонуудын дарааллыг тусгаарлахад таслал ашигладаг. Жишээ авч үзье: 2.9; 163.34; 1.953. Бид тоонуудыг зааглахдаа цэг таслалыг зориуд ашигласан. Тэдний эхнийх нь "хоёр цэг есөн" гэж унших болно.

Шинэ ойлголтууд

Энгийн бутархай руу буцъя. Тэд хоёр төрлөөр ирдэг.

Зөв бутархайн тодорхойлолт нь дараах байдалтай байна: энэ нь хуваагч нь хуваагчаас бага бутархай юм. Энэ яагаад чухал вэ? Бид одоо харах болно!

Та хэд хэдэн алимтай, хоёр дахин хуваасан. Нийт - 5 хэсэг. Та "хоёр хагас" эсвэл "таван хагас" алимтай юу гэж хэлэх вэ? Мэдээжийн хэрэг, эхний сонголт нь илүү байгалийн сонсогдож байгаа бөгөөд бид үүнийг найзуудтайгаа ярилцахдаа ашиглах болно. Гэхдээ хэрэв хүн бүр хэдэн жимс авахыг тооцоолох шаардлагатай бол, хэрэв компанид таван хүн байвал бид 5/2 тоог бичиж, 5-д хуваана - математикийн үүднээс энэ нь илүү тодорхой болно. .

Тиймээс, зөв ба буруу бутархайг нэрлэх дүрэм нь: хэрэв бүхэл хэсгийг бутархайгаар (14/5, 2/1, 173/16, 3/3) ялгаж чадвал энэ нь буруу байна. Хэрэв ½, 13/16, 9/10-ын жишээн дээр үүнийг хийх боломжгүй бол энэ нь зөв байх болно.

Бутархайн үндсэн шинж чанар

Бутархайн хуваагч ба хуваагчийг нэгэн зэрэг үржүүлж эсвэл ижил тоогоор хуваавал түүний утга өөрчлөгдөхгүй. Төсөөлөөд үз дээ: тэд бялууг 4 тэнцүү хэсэгт хувааж, танд нэгийг өгсөн. Тэд нэг бялууг найман хэсэг болгон хувааж, танд хоёрыг өгсөн. Энэ үнэхээр чухал уу? Эцсийн эцэст ¼ ба 2/8 нь ижил зүйл юм!

Бууруулах

Математикийн сурах бичгүүдийн бодлого, жишээнүүдийн зохиогчид бичихэд төвөгтэй боловч товчилсон бутархайг санал болгож, оюутнуудыг төөрөгдүүлэхийг эрмэлздэг. Зөв бутархайн жишээ энд байна: 167/334, энэ нь маш "аймар" мэт санагдаж байна. Гэхдээ бид үүнийг ½ гэж бичиж болно. 334 тоо нь 167-д үлдэгдэлгүйгээр хуваагддаг - энэ үйлдлийг хийсний дараа бид 2-ыг авна.

Холимог тоо

Бутархай бутархайг холимог тоогоор илэрхийлж болно. Энэ нь бүхэл хэсгийг урагш авчирч, хэвтээ шугамын түвшинд бичих явдал юм. Үнэн хэрэгтээ илэрхийлэл нь нийлбэр хэлбэртэй байна: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 гэх мэт.

Хэсгийг бүхэлд нь гаргахын тулд тоологчийг хуваагчаар хуваах хэрэгтэй. Үлдсэн хуваалтыг дээд талд, мөрний дээгүүр, бүх хэсгийг илэрхийллийн өмнө бичнэ. Тиймээс бид бүтцийн хоёр хэсгийг авна: бүхэл нэгж + зөв бутархай.

Та мөн урвуу үйлдлийг хийж болно - үүнийг хийхийн тулд бүхэл тоог хуваагчаар үржүүлж, үр дүнгийн утгыг тоологч дээр нэмэх хэрэгтэй. Ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй.

Үржүүлэх, хуваах

Хачирхалтай нь бутархайг үржүүлэх нь нэмэхээс хялбар байдаг. Шаардлагатай бүх зүйл бол хэвтээ шугамыг сунгах явдал юм: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.

Хуваах үед бүх зүйл бас энгийн: та бутархайг хөндлөн чиглэлд үржүүлэх хэрэгтэй: (7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16.

Бутархай нэмэх

Хэрэв та нэмэх шаардлагатай эсвэл хуваагчдаа өөр өөр тоо байвал яах вэ? Үржүүлэхтэй адил зүйл хийх нь ажиллахгүй болно - энд та зөв бутархайн тодорхойлолт ба түүний мөн чанарыг ойлгох хэрэгтэй. Нэр томъёог нийтлэг хуваагч руу авчрах шаардлагатай, өөрөөр хэлбэл хоёр бутархайн доод хэсэг нь ижил тоотой байх ёстой.

Үүнийг хийхийн тулд та бутархайн үндсэн шинж чанарыг ашиглах хэрэгтэй: хоёр хэсгийг ижил тоогоор үржүүлнэ. Жишээлбэл, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.

Нөхцөлүүдийг багасгахын тулд аль хуваагчийг хэрхэн сонгох вэ? Энэ нь бутархайн хуваагч дахь хоёр тооны үржвэр болох хамгийн бага тоо байх ёстой: 1/3 ба 1/9-ийн хувьд энэ нь 9 байх болно; ½ ба 1/7 - 14-ийн хувьд, учир нь 2 ба 7-д үлдэгдэлгүйгээр хуваагдах жижиг утга байхгүй.

Хэрэглээ

Буруу бутархайг юунд ашигладаг вэ? Эцсийн эцэст, бүхэл бүтэн хэсгийг нэн даруй сонгож, холимог тоо авах нь илүү тохиромжтой бөгөөд үүнийг дуусгах болно! Хэрэв та хоёр бутархайг үржүүлэх эсвэл хуваах шаардлагатай бол жигд бус хэсгийг ашиглах нь илүү ашигтай байдаг.

Дараах жишээг авч үзье: (2 + 3/17) / (37/68).

Энэ нь огт хасах зүйлгүй юм шиг санагдаж байна. Гэхдээ эхний хаалтанд нэмэх үр дүнг буруу бутархай гэж бичвэл яах вэ? Харах: (37/17) / (37/68)

Одоо бүх зүйл байрандаа орно! Бүх зүйл тодорхой болохуйц жишээг бичье: (37*68) / (17*37).

Тоолуур ба хуваагч дахь 37-г цуцалъя, эцэст нь дээд ба доод хэсгийг 17-д хуваая. Та зөв ба буруу бутархайн үндсэн дүрмийг санаж байна уу? Бид хуваагч болон хуваагчийг нэгэн зэрэг хийвэл ямар ч тоогоор үржүүлж, хувааж болно.

Тиймээс бид хариултыг авах болно: 4. Жишээ нь төвөгтэй мэт санагдсан боловч хариулт нь зөвхөн нэг тоог агуулдаг. Энэ нь математикт ихэвчлэн тохиолддог. Хамгийн гол нь айх хэрэггүй, энгийн дүрмийг дагаж мөрдөх явдал юм.

Нийтлэг алдаа

Хэрэгжүүлэхдээ оюутан нийтлэг алдаануудын нэгийг амархан гаргаж чаддаг. Ихэнхдээ тэдгээр нь анхаарал болгоомжгүй байдлаас болж, заримдаа судлагдсан материал нь толгойдоо зохих ёсоор хадгалагдаагүйгээс болдог.

Ихэнхдээ тоологч дахь тоонуудын нийлбэр нь түүний бие даасан бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг багасгахыг хүсдэг. Жишээн дээр хэлье: (13 + 2) / 13, хаалтгүйгээр бичсэн (хэвтээ шугамтай), олон оюутнууд туршлагагүйн улмаас 13-ыг дээр ба доор зурсан байна. Гэхдээ ямар ч тохиолдолд үүнийг хийх ёсгүй, учир нь энэ бол бүдүүлэг алдаа юм! Хэрэв нэмэхийн оронд үржүүлэх тэмдэг байсан бол бид хариултанд 2-ын тоог авах болно, гэхдээ нэмэх үед аль нэг нөхцөлтэй үйлдэл хийхийг зөвшөөрдөггүй, зөвхөн бүхэл нийлбэрээр.

Залуус ч гэсэн бутархайг хуваахдаа алдаа гаргадаг. Хоёр зөв бууруулж болохгүй бутархайг авч бие биендээ хуваая: (5/6) / (25/33). Сурагч үүнийг хольж, үүссэн илэрхийлэлийг (5*25) / (6*33) гэж бичиж болно. Гэхдээ энэ нь үржүүлэхэд тохиолдох болно, гэхдээ бидний тохиолдолд бүх зүйл арай өөр байх болно: (5*33) / (6*25). Бид боломжтой зүйлийг багасгаж, хариулт нь 11/10 байх болно. Бид үүссэн буруу бутархайг аравтын бутархай гэж бичнэ - 1.1.

Хаалт

Аливаа математик илэрхийлэлд үйлдлүүдийн дараалал нь үйлдлийн тэмдгийн давуу байдал, хаалт байгаа эсэхээр тодорхойлогддог гэдгийг санаарай. Бусад бүх зүйл тэнцүү, үйлдлийн дарааллыг зүүнээс баруун тийш тоолно. Энэ нь бутархайн хувьд бас үнэн юм - тоологч эсвэл хуваагч дахь илэрхийлэлийг энэ дүрмийн дагуу нарийн тооцдог.

Эцсийн эцэст энэ нь нэг тоог нөгөө тоонд хуваах үр дүн юм. Хэрэв тэдгээр нь жигд хуваагдаагүй бол энэ нь бутархай болно - энэ бол бүх зүйл.

Компьютер дээр бутархайг хэрхэн бичих вэ

Стандарт хэрэгслүүд нь хоёр "давхарга" -аас бүрдэх бутархай үүсгэхийг үргэлж зөвшөөрдөггүй тул оюутнууд заримдаа янз бүрийн заль мэх хийдэг. Жишээлбэл, тэд тоологч болон хуваагчийг Paint график засварлагч руу хуулж, хооронд нь нааж, хооронд нь хэвтээ шугам татдаг. Мэдээжийн хэрэг, илүү хялбар сонголт байдаг бөгөөд энэ нь ирээдүйд танд хэрэг болох олон нэмэлт функцуудыг өгдөг.

Microsoft Word програмыг нээнэ үү. Дэлгэцийн дээд хэсэгт байрлах самбаруудын нэгийг "Оруулах" гэж нэрлэдэг - дээр дарна уу. Баруун талд, цонхны хаах, багасгах дүрс байрладаг талд "Формула" товчлуур байна. Энэ бол яг бидэнд хэрэгтэй зүйл юм!

Хэрэв та энэ функцийг ашиглавал дэлгэцэн дээр гар дээр байхгүй математикийн тэмдэгтүүдийг ашиглах, мөн сонгодог хэлбэрээр бутархай бичих боломжтой тэгш өнцөгт хэсэг гарч ирнэ. Өөрөөр хэлбэл, тоологч ба хуваагчийг хэвтээ шугамаар хуваана. Ийм зөв бутархай бичихэд маш амархан байгаад та гайхах байх.

Математик сур

Хэрэв та 5-6-р ангид суралцаж байгаа бол удалгүй сургуулийн олон хичээл дээр математикийн мэдлэг (бутархай тоотой ажиллах чадварыг оруулаад) шаардлагатай болно. Физикийн бараг бүх асуудалд, хими, геометр, тригонометрийн бодисын массыг хэмжихдээ та бутархайгүйгээр хийж чадахгүй. Удалгүй та цаасан дээрх илэрхийлэлийг ч бичихгүйгээр толгойдоо бүх зүйлийг тооцоолж сурах болно, гэхдээ илүү төвөгтэй жишээнүүд гарч ирэх болно. Тиймээс зөв бутархай гэж юу болох, түүнтэй хэрхэн ажиллах талаар суралцаж, сургалтын хөтөлбөрөө дагаж, гэрийн даалгавраа цаг тухайд нь хий, тэгвэл та амжилтанд хүрнэ.

1 Энгийн бутархай гэж юу вэ? Бутархайн төрлүүд.
Бутархай гэдэг нь үргэлж бүхэл зүйлийн зарим хэсгийг илэрхийлдэг. Баримт нь тоо хэмжээг үргэлж натурал тоогоор илэрхийлэх боломжгүй, өөрөөр хэлбэл дахин тооцоолно: 1,2,3 гэх мэт. Жишээлбэл, та хагас тарвас эсвэл дөрөвний нэг цагийг хэрхэн тодорхойлох вэ? Ийм учраас бутархай буюу тоо гарч ирсэн.

Эхлэхийн тулд ерөнхийдөө энгийн бутархай ба аравтын бутархай гэсэн хоёр төрлийн бутархай байдаг гэж хэлэх ёстой. Энгийн бутархайг дараах байдлаар бичнэ.
Аравтын бутархайг өөрөөр бичнэ:

Энгийн бутархай нь хоёр хэсгээс бүрдэнэ: дээд талд нь тоологч, доод талд хуваагч байна. Тоолуур ба хуваагчийг бутархай шугамаар тусгаарлана. Тиймээс санаарай:

Аливаа бутархай нь бүхэл бүтэн хэсэг юм. Ихэвчлэн бүхэлд нь авч үздэг 1 (нэгж). Бутархайн хуваагч нь бүхэл хэдэн хэсэгт хуваагдаж байгааг харуулдаг ( 1 ), тоологч нь хэдэн хэсгийг авсан болохыг илэрхийлнэ. Хэрэв бид бялууг 6 тэнцүү хэсэгт хуваасан бол (математикт тэд хэлдэг хувьцаа ), дараа нь бялууны хэсэг бүр 1/6-тай тэнцүү байх болно. Хэрэв Вася 4 ширхэг идсэн бол 4/6 идсэн гэсэн үг.

Нөгөөтэйгүүр, ташуу зураас нь хуваах тэмдэгээс өөр зүйл биш юм. Тиймээс бутархай гэдэг нь тоо ба хуваагч гэсэн хоёр тооны хуваалт юм. Асуудлын текст эсвэл жор дээр бутархайг ихэвчлэн дараах байдлаар бичдэг: 2/3, 1/2 гэх мэт. Зарим фракцууд өөрийн гэсэн нэртэй байдаг, жишээлбэл, 1/2 - "хагас", 1/3 - "гурав дахь", 1/4 - "дөрөвний нэг"
Одоо ямар төрлийн энгийн бутархай байдаг болохыг олж мэдье.

2 Энгийн бутархайн төрлүүд

Зөв, буруу, холимог гэсэн гурван төрлийн энгийн бутархай байдаг.

Зөв бутархай

Хэрэв тоологч нь хуваагчаас бага бол ийм бутархайг дуудна зөв,Жишээ нь: Зөв бутархай нь үргэлж 1-ээс бага байдаг.

Буруу бутархай

Хэрэв тоологч нь хуваагчаас их эсвэл хуваагчтай тэнцүү бол ийм бутархайг нэрлэдэг. буруу, Жишээ нь:

Бутархай бутархай нь нэгээс их (хэрэв тоо нь хуваагчаас их бол) эсвэл нэгтэй тэнцүү (хэрэв тоо нь хуваагчтай тэнцүү бол)

Холимог бутархай

Хэрэв бутархай нь бүхэл тоо (бүхэл тоо) ба зөв бутархай (бутархай хэсэг) -ээс бүрддэг бол ийм бутархайг нэрлэдэг. холимог, Жишээ нь:

Холимог бутархай нь үргэлж нэгээс их байдаг.

3 Бутархай хөрвүүлэлт

Математикийн хувьд ердийн бутархайг ихэвчлэн хувиргах шаардлагатай байдаг, өөрөөр хэлбэл холимог бутархайг буруу бутархай болгон хувиргах шаардлагатай болдог. Энэ нь үржүүлэх, хуваах гэх мэт тодорхой үйлдлүүдийг хийхэд зайлшгүй шаардлагатай.

Тэгэхээр, ямар ч холимог бутархайг буруу бутархай болгон хувиргаж болно. Үүнийг хийхийн тулд бүхэл хэсгийг хуваагчаар үржүүлж, бутархай хэсгийн тоог нэмнэ. Үүссэн дүнг тоологч болгон авч, хуваагчийг ижил хэвээр үлдээнэ, жишээлбэл:

Аливаа буруу бутархайг холимог бутархай болгон хувиргаж болно. Үүнийг хийхийн тулд тоологчийг хуваагчаар (үлдэгдэлтэй) хуваана. Үр дүн нь бүхэл тоо, үлдсэн хэсэг нь бутархай хэсгийн тоо байх болно, жишээлбэл:

Үүний зэрэгцээ тэд: "Бид бүхэл бүтэн хэсгийг буруу бутархайгаас тусгаарласан" гэж хэлдэг.

Өөр нэг дүрмийг санаж байх хэрэгтэй: Аливаа бүхэл тоог 1 хуваарьтай бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно, Жишээ нь:

Бутархайг хэрхэн харьцуулах талаар ярилцъя.

4 Бутархайн харьцуулалт

Бутархайг харьцуулахдаа хэд хэдэн хувилбар байж болно: Ижил хуваагчтай бутархайг харьцуулах нь амархан, харин хуваагч нь өөр байвал хамаагүй хэцүү байдаг. Мөн холимог бутархайн харьцуулалт бас байдаг. Гэхдээ санаа зовох хэрэггүй, одоо бид сонголт бүрийг нарийвчлан авч үзээд бутархайг хэрхэн харьцуулах талаар сурах болно.

Ижил хуваагчтай бутархайг харьцуулах

Ижил хуваагчтай боловч өөр өөр тооны бутархай хоёр бутархайгаас том тоологчтой бутархай нь илүү байна, жишээлбэл:

Бутархайг ижил тоологчтой харьцуулах

Тоологч нь ижил боловч өөр хуваагчтай хоёр бутархайн дотроос бага хуваагчтай бутархай нь илүү байна, жишээлбэл:

Холимог ба буруу бутархайг зөв бутархайтай харьцуулах

Буруу эсвэл холимог бутархай нь зөв бутархайгаас үргэлж их байдаг, жишээлбэл:

Хоёр холимог бутархайг харьцуулах

Холимог бутархай хоёрыг харьцуулахдаа бүхэл хэсэг нь илүү том хэсэг нь илүү байна, жишээлбэл:

Хэрэв холимог бутархайн бүх хэсгүүд ижил байвал бутархай хэсэг нь илүү том байна, жишээлбэл:

Бутархайг өөр өөр тоо болон хуваагчтай харьцуулах

Бутархайг хөрвүүлэхгүйгээр өөр өөр тоо болон хуваагчтай харьцуулах боломжгүй. Эхлээд бутархайг ижил хуваагч болгон бууруулж, дараа нь тэдгээрийн тоог харьцуулах ёстой. Тоолуур нь их байх тусмаа бутархай нь их байна. Гэхдээ бид өгүүллийн дараагийн хоёр хэсэгт бутархайг ижил хуваагч руу хэрхэн бууруулах талаар авч үзэх болно. Эхлээд бид бутархайн үндсэн шинж чанарыг авч үзэх ба бутархайг багасгах, дараа нь бутархайг ижил хуваагч руу шууд бууруулах болно.

5 Бутархайн үндсэн шинж чанар. Бутархай хэсгүүдийг багасгах. GCD-ийн тухай ойлголт.

Санаж байна уу: Та зөвхөн ижил хуваагчтай бутархайг нэмэх, хасах, харьцуулах боломжтой. Хэрэв хуваагч нь өөр бол та эхлээд бутархайг ижил хуваагч руу авчрах хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл бутархайн аль нэгийг нь хуваагч нь хоёр дахь бутархайтай ижил болгохын тулд хувиргах хэрэгтэй.

Бутархай нь нэг чухал шинж чанартай байдаг бөгөөд үүнийг бас нэрлэдэг бутархайн үндсэн шинж чанар:

Хэрэв бутархайн хуваагч ба хуваагч хоёулаа ижил тоогоор үржүүлж эсвэл хуваагдвал бутархайн утга өөрчлөгдөхгүй.

Энэ өмчийн ачаар бид боломжтой бутархайг багасгах:

Бутархайг багасгах гэдэг нь тоо болон хуваагчийг хоёуланг нь ижил тоогоор хуваахыг хэлнэ.(дээрх жишээг харна уу). Бутархайг багасгахад бид үйлдлээ дараах байдлаар бичиж болно.

Ихэнхдээ тэмдэглэлийн дэвтэрт фракцыг дараах байдлаар товчилдог.

Гэхдээ санаарай: та зөвхөн хүчин зүйлийг багасгаж чадна. Хэрэв тоологч эсвэл хуваагч нь нийлбэр эсвэл зөрүүг агуулж байвал та нөхцөлийг багасгаж болохгүй.

Жишээ:

Та эхлээд нийлбэрийг үржүүлэгч рүү хөрвүүлэх хэрэгтэй: Заримдаа их тоотой ажиллахдаа бутархайг багасгахын тулд олоход тохиромжтой байдаг

Тоолуур ба хуваагчийн хамгийн том нийтлэг хуваагч (GCD)Хамгийн их нийтлэг хуваагч (GCD)

Хоёр тооны (жишээ нь бутархайн хуваагч ба хуваагч) gcd-ийг олохын тулд та хоёр тоог анхны үржүүлэгч болгон хувааж, хоёуланд нь ижил хүчин зүйлийг тэмдэглэж, эдгээр хүчин зүйлийг үржүүлэх хэрэгтэй. Үүссэн бүтээгдэхүүн нь GCD байх болно. Жишээлбэл, бид бутархайг багасгах хэрэгтэй:

96 ба 36 тоонуудын gcd-г олъё:

GCD нь тоологч болон хуваагч хоёулаа 12-ын хүчин зүйлтэй болохыг харуулж байгаа бөгөөд бид бутархайг хялбархан багасгаж чадна.

Заримдаа бутархайг ижил хуваарьт хүргэхийн тулд аль нэг бутархайг багасгахад хангалттай. Гэхдээ ихэвчлэн хоёр фракцын хувьд нэмэлт хүчин зүйлийг сонгох шаардлагатай байдаг. Тэгэхээр:

6 Бутархайг ижил хуваарьт хэрхэн бууруулах вэ. Хамгийн бага нийтлэг үржвэр (LCM).

Бутархайг ижил хуваагч болгон бууруулахдаа бид хуваагчийн хувьд эхний болон хоёр дахь хуваарьт хоёуланд нь хуваагдах тоог сонгоно (өөрөөр хэлбэл энэ нь математикийн хувьд хоёр хуваагчийн үржвэр байх болно). Мөн энэ тоо аль болох бага байх нь зүйтэй бөгөөд энэ нь тоолоход илүү тохиромжтой юм. Тиймээс бид хоёр хуваагчийн LCM-ийг олох ёстой.

Хоёр тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр (LCM)нь эдгээр тоонуудын аль алинд нь үлдэгдэлгүй хуваагддаг хамгийн бага натурал тоо юм. Заримдаа LCM-ийг амаар олж болно, гэхдээ ихэнхдээ, ялангуяа их тоотой ажиллахдаа та дараах алгоритмыг ашиглан LCM-ийг бичгээр олох хэрэгтэй.

Хэд хэдэн тооны LCM-ийг олохын тулд танд дараахь зүйлс хэрэгтэй болно.

Эдгээр тоог анхны хүчин зүйл болгон хуваа
Хамгийн том өргөтгөлийг аваад эдгээр тоонуудыг бүтээгдэхүүн болгон бич
Хамгийн том задралд байдаггүй (эсвэл цөөн удаа тохиолддог) бусад задралд байгаа тоонуудыг сонгоод бүтээгдэхүүнд нэмнэ.
Бүтээгдэхүүн дэх бүх тоог үржүүл, энэ нь LCM болно.

Жишээлбэл, 28 ба 21 тоонуудын LCM-ийг олъё:

Гэсэн хэдий ч фракцууддаа буцаж орцгооё. Бид хоёр хуваагчийн LCM-ийг олж эсвэл тооцоолсны дараа бид эдгээр бутархайн тоонуудыг үржүүлэх ёстой. нэмэлт үржүүлэгч. Та тэдгээрийг LCM-ийг харгалзах бутархайн хуваах замаар олж болно, жишээлбэл:

Тиймээс бид бутархайнуудаа ижил хуваагч болгон бууруулсан - 15.

7 Бутархайг нэмэх, хасах

Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэх, хасах

Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэхийн тулд тэдгээрийн тоог нэмэх хэрэгтэй, гэхдээ хуваагчийг ижил хэвээр үлдээх хэрэгтэй, жишээлбэл:

Ижил хуваагчтай бутархайг хасахын тулд эхний бутархайн хуваагчаас хоёр дахь бутархайг хасч, хуваагчийг хэвээр үлдээх хэрэгтэй, жишээлбэл:

Ижил хуваагчтай холимог бутархайг нэмэх, хасах

Холимог бутархай нэмэхийн тулд та тэдгээрийн бүхэл хэсгийг тусад нь нэмж, дараа нь бутархай хэсгүүдийг нэмж, үр дүнг холимог бутархай хэлбэрээр бичих хэрэгтэй.

Хэрэв бутархай хэсгүүдийг нэмэхдээ буруу бутархай авсан бол түүнээс бүхэл хэсгийг сонгоод бүхэл хэсэгт нэмнэ, жишээлбэл:

Хасах үйлдлийг ижил төстэй байдлаар гүйцэтгэдэг: бүхэл хэсгийг бүхэл хэсгээс, бутархай хэсгийг бутархай хэсгээс хасна.

Хэрэв хасалтын бутархай хэсэг нь хасах бутархай хэсгээс их байвал бид бүх хэсгээс нэгийг нь "зээлдэж", хасах хэсгийг буруу бутархай болгон хувиргаж, дараа нь ердийнхөөрөө үргэлжлүүлнэ:

Үүний нэгэн адил бүхэл тооноос бутархайг хасах:

Бүхэл тоо ба бутархайг хэрхэн нэмэх вэ

Бүхэл тоо болон бутархай нэмэхийн тулд та бутархайн өмнө тэр тоог нэмээд холимог бутархай үүсгэнэ, жишээлбэл:

Хэрэв бид бүхэл тоо ба холимог бутархайг нэмэх, бид энэ тоог бутархайн бүхэл хэсэгт нэмнэ, жишээлбэл:

Өөр өөр хуваагчтай бутархайг нэмэх, хасах.

Өөр өөр хуваагчтай бутархайг нэмэх, хасахын тулд эхлээд тэдгээрийг ижил хуваагч руу аваачиж, дараа нь ижил хуваагчтай бутархайг нэмэх (тоологчийг нэмнэ) хийх ёстой.

Хасахдаа бид дараах байдлаар ажиллана.

Хэрэв бид холимог бутархайтай ажиллах юм бол бид тэдгээрийн бутархай хэсгүүдийг ижил хуваагч болгон бууруулж, дараа нь ердийнхөөрөө хасна: бүхэл хэсгийг бүхэлд нь, бутархай хэсгийг бутархай хэсгээс:

8 Бутархайг үржүүлэх, хуваах.

Бутархайг үржүүлэх, хуваах нь нэмэх, хасахаас хамаагүй хялбар байдаг, учир нь тэдгээрийг нэг хуваагч болгон багасгах шаардлагагүй. Бутархайг үржүүлэх, хуваах энгийн дүрмийг санаарай.

Тоолуур ба хуваагч дахь тоонуудыг үржүүлэхийн өмнө бутархайг багасгахыг зөвлөж байна, өөрөөр хэлбэл бидний жишээн дээрх хуваагч ба хуваагч дахь ижил хүчин зүйлээс салахыг зөвлөж байна.

Бутархайг натурал тоонд хуваах, та хуваагчийг энэ тоогоор үржүүлж, тоологчийг өөрчлөхгүй үлдээх хэрэгтэй:

Жишээ нь:

Бутархайг бутархайд хуваах

Нэг бутархайг нөгөөд хуваахын тулд ногдол ашгийг хуваагчийн эсрэгээр (харилцан бутархай) үржүүлэх хэрэгтэй.

Хэрэв бид бутархайг эргүүлбэл, өөрөөр хэлбэл бид тоологч ба хуваагчийг сольсноор бид эсрэг бутархай болно. Бутархайн үржвэр ба түүний урвуу нь нэгийг өгдөг. Математикийн хувьд ийм тоонуудыг харилцан тоо гэж нэрлэдэг.

Жишээлбэл, тоонууд - харилцан урвуу байна, оноос хойш