Магадлал дээр ажиллах хэрэгцээ нь зарим үйл явдлын магадлалыг мэдэх үед үүсдэг бөгөөд эдгээр үйл явдлуудтай холбоотой бусад үйл явдлын магадлалыг тооцоолох шаардлагатай байдаг.

Магадлалыг нэмэх нь санамсаргүй үйл явдлын хослол эсвэл логик нийлбэрийн магадлалыг тооцоолох шаардлагатай үед ашиглагддаг.

Үйл явдлын нийлбэр АТэгээд Бтэмдэглэнэ А + Бэсвэл А ∪ Б. Хоёр үйл явдлын нийлбэр нь аль нэг үйл явдал тохиолдсон тохиолдолд л тохиолддог үйл явдал юм. Энэ нь гэсэн үг А + Б- ажиглалтын явцад тухайн үйл явдал тохиолдсон тохиолдолд л тохиолдох үйл явдал Аэсвэл үйл явдал Б, эсвэл нэгэн зэрэг АТэгээд Б.

Хэрэв үйл явдлууд АТэгээд Бхарилцан үл нийцэх ба тэдгээрийн магадлалыг өгвөл нэг туршилтын үр дүнд эдгээр үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлалыг магадлалыг нэмэх замаар тооцоолно.

Магадлалын нэмэх теорем.Хоёр зүйлийн нэг болох магадлал Үгүй хамтарсан арга хэмжээ, эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна:

Жишээ нь, ан хийж байхдаа хоёр удаа бууддаг. Үйл явдал А– эхний сумаар нугас цохих, үйл явдал IN– хоёр дахь удаагийн цохилт, үйл явдал ( А+ IN) – эхний болон хоёр дахь цохилтоос эсвэл хоёр цохилтоос авсан цохилт. Тэгэхээр, хэрэв хоёр үйл явдал бол АТэгээд IN- нийцэхгүй үйл явдлууд, тэгвэл А+ IN– эдгээр үйл явдлын дор хаяж нэг эсвэл хоёр үйл явдал тохиолдсон.

Жишээ 1.Нэг хайрцагт ижил хэмжээтэй 30 бөмбөг байна: 10 улаан, 5 цэнхэр, 15 цагаан. Өнгөт (цагаан биш) бөмбөгийг харахгүйгээр авах магадлалыг тооцоол.

Шийдэл. Үйл явдал болсон гэж үзье А- "улаан бөмбөгийг авлаа", мөн үйл явдал IN- "Цэнхэр бөмбөгийг авсан." Дараа нь үйл явдал нь "өнгөт (цагаан биш) бөмбөгийг авдаг." Үйл явдлын магадлалыг олцгооё А:

болон үйл явдлууд IN:

Үйл явдал АТэгээд IN- бие биедээ үл нийцэх, учир нь нэг бөмбөг авбал бөмбөг авах боломжгүй өөр өөр өнгө. Тиймээс бид магадлалын нэмэгдлийг ашигладаг:

Хэд хэдэн үл нийцэх үйл явдлын магадлалыг нэмэх теорем.Хэрэв үйл явдлууд үйл явдлын иж бүрдлийг бүрдүүлдэг бол тэдгээрийн магадлалын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү байна.

Эсрэг үйл явдлын магадлалын нийлбэр нь мөн 1-тэй тэнцүү байна.

Эсрэг үйл явдлууд нь үйл явдлын бүрэн багцыг бүрдүүлдэг бөгөөд үйл явдлын бүрэн багцын магадлал 1 байна.

Эсрэг үйл явдлын магадлалыг ихэвчлэн жижиг үсгээр тэмдэглэдэг хТэгээд q. Ялангуяа,

дараах зүйл дараах томъёонуудЭсрэг үйл явдлын магадлал:

Жишээ 2.Буудлагын талбайн бай нь 3 бүсэд хуваагдана. Тодорхой мэргэн бууч эхний бүсэд 0.15, хоёрдугаар бүсэд 0.23, гурав дахь бүсэд 0.17 байна. Буудагч бай онох магадлал, буудагч байг алдах магадлалыг ол.

Шийдэл: Буудагч байг онох магадлалыг ол:

Буудагч байг алдах магадлалыг олцгооё.

Магадлалыг нэмэх ба үржүүлэх аргыг хоёуланг нь ашиглах шаардлагатай илүү төвөгтэй бодлогуудыг "Магадлалыг нэмэх, үржүүлэхтэй холбоотой янз бүрийн бодлого" хуудаснаас үзнэ үү.

Харилцан нэгэн зэрэг тохиолдох үйл явдлын магадлалыг нэмэх

Хэрэв нэг үйл явдал тохиолдсон нь нэг ажиглалтад хоёр дахь үйл явдал тохиолдохыг үгүйсгэхгүй бол санамсаргүй хоёр үйл явдлыг хамтарсан гэж нэрлэдэг. Жишээ нь, үхэл шидэх үед үйл явдал Атоо 4 гарч цувисан гэж үзэж байна, үйл явдал IN- тэгш тоогоор эргэлддэг. 4 нь тэгш тоо тул хоёр үйл явдал таарч байна. Практикт харилцан нэгэн зэрэг тохиолдох үйл явдлуудын аль нэг нь тохиолдох магадлалыг тооцоолоход бэрхшээлтэй байдаг.

Хамтарсан үйл явдлын магадлалын нэмэх теорем.Хамтарсан үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд үүнээс магадлалыг хассан. ерөнхий довтолгооүйл явдал хоёулаа, өөрөөр хэлбэл магадлалын үржвэр. Хамтарсан үйл явдлын магадлалын томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.

Үйл явдлуудаас хойш АТэгээд INнийцтэй, үйл явдал А+ INгурвын аль нэг нь тохиолдвол үүсдэг боломжит үйл явдлууд: эсвэл AB. Тохиромжгүй үйл явдлыг нэмэх теоремын дагуу бид дараах байдлаар тооцоолно.

Үйл явдал АХэрэв үл нийцэх хоёр үйл явдлын аль нэг нь тохиолдвол гарна: эсвэл AB. Гэсэн хэдий ч хэд хэдэн үл нийцэх үйл явдлуудаас нэг үйл явдал тохиолдох магадлал нь эдгээр бүх үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Үүний нэгэн адил:

(6) ба (7) илэрхийллийг (5) илэрхийлэлд орлуулснаар бид хамтарсан үйл явдлын магадлалын томъёог олж авна.

Томъёо (8) ашиглахдаа үйл явдлыг харгалзан үзэх шаардлагатай АТэгээд INбайж болно:

• харилцан бие даасан;
• харилцан хамааралтай.

Харилцан хамааралгүй үйл явдлын магадлалын томъёо:

Харилцан хамааралтай үйл явдлын магадлалын томъёо:

Хэрэв үйл явдлууд АТэгээд INнийцэхгүй байгаа бол тэдгээрийн давхцал нь боломжгүй тохиолдол бөгөөд иймээс, П(AB) = 0. Тохиромжгүй үйл явдлын магадлалын дөрөв дэх томьёо нь:

Жишээ 3.Автомашины уралдаанд эхний машинаа жолоодоход түрүүлэх магадлал өндөр, хоёр дахь машинаа жолоодоход илүү их байдаг. Олно:

• хоёр машин хоёулаа ялах магадлал;
• дор хаяж нэг машин ялах магадлал;

1) Эхний машин ялах магадлал нь хоёр дахь машины үр дүнгээс хамаарахгүй тул үйл явдлууд А(эхний машин ялна) ба IN(хоёр дахь машин ялах болно) - үгүй хамааралтай үйл явдлууд. Хоёр машин хожих магадлалыг олъё:

2) Хоёр машины аль нэг нь ялах магадлалыг ол.

Магадлалыг нэмэх ба үржүүлэх аргыг хоёуланг нь ашиглах шаардлагатай илүү төвөгтэй бодлогуудыг "Магадлалыг нэмэх, үржүүлэхтэй холбоотой янз бүрийн бодлого" хуудаснаас үзнэ үү.

Магадлалын нэмэх асуудлыг өөрөө шийдэж, дараа нь шийдлийг хар

Жишээ 4.Хоёр зоос шидэж байна. Үйл явдал А- эхний зоос дээрх төрийн сүлд алдагдсан. Үйл явдал Б- хоёр дахь зоос дээрх төрийн сүлд алдагдсан. Үйл явдлын магадлалыг ол C = А + Б .

Магадлалыг үржүүлэх

Үйл явдлын логик үржвэрийн магадлалыг тооцоолох шаардлагатай үед магадлалын үржвэрийг ашигладаг.

Энэ тохиолдолд санамсаргүй үйл явдлууд бие даасан байх ёстой. Нэг үйл явдал тохиолдсон нь хоёр дахь үйл явдлын магадлалд нөлөөлөхгүй бол хоёр үйл явдлыг бие биенээсээ хамааралгүй гэж нэрлэдэг.

Бие даасан үйл явдлын магадлалын үржүүлэх теорем.Хоёр бие даасан үйл явдал нэгэн зэрэг тохиолдох магадлал АТэгээд INнь эдгээр үйл явдлын магадлалын үржвэртэй тэнцүү бөгөөд дараах томъёогоор тооцоолно.

Жишээ 5.Зоосыг гурван удаа дараалан шиддэг. Төрийн сүлд гурван удаа гарч ирэх магадлалыг ол.

Шийдэл. Зоосыг эхний шидэх, хоёр дахь, гурав дахь удаагаа шидэхэд сүлд харагдах магадлал. Төрийн сүлд гурван удаа гарч ирэх магадлалыг олъё.

Магадлалыг үржүүлэх бодлогыг бие даан шийдэж, дараа нь шийдлийг хар

Жишээ 6.Есөн шинэ теннисний бөмбөгний хайрцаг байна. Тоглохын тулд гурван бөмбөг авч, тоглолтын дараа буцааж тавьдаг. Бөмбөгийг сонгохдоо тоглосон бөмбөгийг тоглоогүй бөмбөгөөс ялгадаггүй. Үүний дараа гарах магадлал хэд вэ гурван тоглоомХайрцагт тоглоогүй бөмбөг үлдсэн үү?

Жишээ 7.Орос цагаан толгойн 32 үсэг нь хайчлагдсан цагаан толгойн карт дээр бичигдсэн байдаг. Таван картыг санамсаргүй байдлаар ар араасаа зурж, харагдах дарааллаар нь ширээн дээр тавьдаг. Үсгүүд нь "төгсгөл" гэдэг үгийг үүсгэх магадлалыг ол.

Жишээ 8.Бүрэн тавцангаас (52 хуудас) дөрвөн картыг нэг дор гаргаж авдаг. Эдгээр дөрвөн карт бүгд өөр өөр костюмтай байх магадлалыг ол.

Жишээ 9. 8-р жишээн дээрхтэй ижил даалгавар боловч хасагдсаны дараа карт бүрийг тавцан руу буцаана.

Магадлалыг нэмэх, үржүүлэх, мөн хэд хэдэн үйл явдлын үржвэрийг тооцоолох шаардлагатай илүү төвөгтэй бодлогуудыг "Магадлалыг нэмэх, үржүүлэхтэй холбоотой янз бүрийн бодлого" хуудаснаас олж болно.

Харилцан хамааралгүй үйл явдлуудын дор хаяж нэг нь тохиолдох магадлалыг 1-ээс эсрэг үйл явдлын магадлалын үржвэрийг хасч, өөрөөр хэлбэл томъёог ашиглан тооцоолж болно.

Жишээ 10.Ачаа гол, төмөр зам, авто зам гэсэн гурван төрлийн тээврийн хэрэгслээр хүргэдэг. Ачаа хүргэж өгөх магадлал голын тээвэр, 0.82, төмөр замаар 0.87, авто тээврээр 0.90. Ачааг дор хаяж нэгээр нь хүргэх магадлалыг ол гурван төрөлтээвэрлэлт.

Чухал тэмдэглэл!
1. Хэрэв та томьёоны оронд gobbledygook-г харвал кэшээ цэвэрлэ. Үүнийг хөтөч дээрээ хэрхэн хийх талаар энд бичсэн болно:
2. Өгүүллийг уншиж эхлэхээсээ өмнө манай хөтөчийг хамгийн их анхаарч үзээрэй ашигтай нөөцУчир нь

Магадлал гэж юу вэ?

Би энэ нэр томьёотой анх удаа тааралдсан ч энэ нь юу болохыг ойлгохгүй байх байсан. Тиймээс би тодорхой тайлбарлахыг хичээх болно.

Магадлал гэдэг нь бидний хүсч буй үйл явдал болох магадлал юм.

Жишээлбэл, та найзынхаа гэрт очихоор шийдсэн бол орц, тэр ч байтугай түүний амьдардаг шалыг санаж байна. Гэтэл байрны дугаар, байршлыг мартчихаж. Одоо та шатан дээр зогсож байгаа бөгөөд таны өмнө сонгох боломжтой хаалганууд байна.

Хэрэв та анхны хаалганы хонх дарвал таны найз таны өмнөөс хаалгыг чинь онгойлгох магадлал (магадлал) хэд вэ? Байр л байдаг, нэгнийх нь ард найз нь амьдардаг. ХАМТ тэгш боломжБид ямар ч хаалгыг сонгох боломжтой.

Гэхдээ энэ ямар боломж вэ?

Хаалга, баруун хаалга. Эхний хаалганы хонхыг дарснаар таамаглах магадлал: . Өөрөөр хэлбэл, гурваас нэг удаа та нарийн таамаглах болно.

Бид нэг удаа залгаад хаалгыг хэр олон удаа таахыг мэдэхийг хүсч байна вэ? Бүх сонголтыг авч үзье:

1. Та дуудсан 1-рхаалга
2. Та дуудсан 2 дахьхаалга
3. Та дуудсан 3 дахьхаалга

Одоо найз байж болох бүх сонголтыг харцгаая:

А. Учир нь 1-рхаалга
б. Учир нь 2 дахьхаалга
В. Учир нь 3 дахьхаалга

Бүх сонголтуудыг хүснэгт хэлбэрээр харьцуулж үзье. Шалгалтын тэмдэг нь таны сонголт найзынхаа байршилтай давхцах үед сонголтуудыг, таарахгүй бол загалмайг заана.

Та бүх зүйлийг яаж харж байна Магадгүй сонголтуудтаны найзын байршил, аль хаалгыг дуугаргах нь таны сонголт.

А бүхний таатай үр дүн . Өөрөөр хэлбэл, та хаалганы хонхыг нэг удаа дарснаар та нэг удаа таах болно, өөрөөр хэлбэл. .

Энэ нь магадлал юм - таатай үр дүнгийн харьцаа (таны сонголт найзынхаа байршилтай давхцах үед) боломжит үйл явдлын тоонд харьцуулсан харьцаа юм.

Тодорхойлолт нь томъёо юм. Магадлалыг ихэвчлэн p-ээр тэмдэглэдэг тул:

Ийм томъёо бичих нь тийм ч тохиромжтой биш тул эерэг үр дүнгийн тоог авч үзье. нийт тоо хэмжээүр дүн.

Үүнийг хийхийн тулд магадлалыг хувиар бичиж болно, та үр дүнг дараах байдлаар үржүүлэх хэрэгтэй;

"Үр дүн" гэдэг үг таны анхаарлыг татсан байх. Математикчид янз бүрийн үйлдлийг (манай тохиолдолд ийм үйлдэл нь хаалганы хонх юм) туршилт гэж нэрлэдэг тул ийм туршилтын үр дүнг ихэвчлэн үр дүн гэж нэрлэдэг.

Сайн, таагүй үр дүн бий.

Өөрийнхөө жишээ рүү буцъя. Бид аль нэг хаалгыг нь дарсан ч бидний өмнө нээгдсэн гэж бодъё танихгүй хүн. Бид зөв таамаглаагүй. Үлдсэн хаалганы аль нэгийг нь дарвал манай найз бидэнд онгойлгож өгөх магадлал хэд вэ?

Хэрэв та тэгж бодож байсан бол энэ бол алдаа юм. Үүнийг олж мэдье.

Бидэнд хоёр хаалга үлдлээ. Тиймээс бидэнд боломжит алхамууд байна:

1) Дуудлага хийх 1-рхаалга
2) Дуудлага хийх 2 дахьхаалга

Найз нь энэ бүхнээс үл хамааран тэдний нэгний ард байгаа нь гарцаагүй (эцсийн эцэст тэр бидний дуудсан хүний ​​ард байгаагүй):

a) Найз 1-рхаалга
б) Найз 2 дахьхаалга

Хүснэгтийг дахин зурцгаая:

Таны харж байгаагаар зөвхөн таатай сонголтууд байдаг. Энэ нь магадлал тэнцүү гэсэн үг юм.

Яагаад болохгүй гэж?

Бидний авч үзсэн нөхцөл байдал хамааралтай үйл явдлын жишээ.Эхний үйл явдал бол эхний хаалганы хонх, хоёр дахь үйл явдал бол хоёр дахь хаалганы хонх юм.

Мөн тэдгээр нь дараах үйлдлүүдэд нөлөөлдөг тул хамааралтай гэж нэрлэдэг. Эцсийн эцэст, хэрэв эхний дуугарсны дараа хаалганы хонхыг найз нь дарсан бол тэр хоёрын аль нэгнийх нь ард байх магадлал хэд вэ? Зөв,.

Гэхдээ хамааралтай үйл явдлууд байгаа бол бас байх ёстой бие даасан? Энэ нь зөв, тэд тохиолддог.

Сурах бичгийн жишээ бол зоос шидэх явдал юм.

1. Нэг удаа зоос шид. Жишээ нь толгойд орох магадлал хэд вэ? Энэ нь зөв - учир нь бүх сонголтууд байдаг (толгой эсвэл сүүлний аль алинд нь зоос түүний ирмэг дээр буух магадлалыг үл тоомсорлох болно), гэхдээ энэ нь зөвхөн бидэнд тохирсон.
2. Гэхдээ энэ нь олны анхаарлыг татсан. За, дахин шидье. Одоо толгой цохих магадлал хэд вэ? Юу ч өөрчлөгдөөгүй, бүх зүйл өмнөх шигээ. Хэдэн сонголт байна вэ? Хоёр. Бид хэдтэй нь аз жаргалтай байна вэ? Нэг.

Энэ нь дор хаяж мянган удаа дараалан гарч ирэх болтугай. Нэг дор толгойгоо авах магадлал ижил байх болно. Үргэлж сонголтууд байдаг бөгөөд тааламжтай байдаг.

Хараат үйл явдлуудыг бие даасан үйл явдлуудаас ялгахад хялбар байдаг.

1. Хэрэв туршилтыг нэг удаа хийвэл (тэд нэг удаа зоос шидэж, хаалганы хонхыг нэг удаа дарах гэх мэт) үйл явдлууд үргэлж бие даасан байдаг.
2. Хэрэв туршилтыг хэд хэдэн удаа хийвэл (зоосыг нэг удаа шидэж, хаалганы хонхыг хэд хэдэн удаа дардаг) эхний үйл явдал үргэлж бие даасан байдаг. Дараа нь, хэрэв таатай үр дүнгийн тоо эсвэл бүх үр дүнгийн тоо өөрчлөгдвөл үйл явдлууд нь хамааралтай, хэрэв үгүй ​​бол тэдгээр нь бие даасан байна.

Магадлал тодорхойлох дадлага хийцгээе.

Жишээ 1.

Зоосыг хоёр удаа шиддэг. Хоёр дараалан толгой цохих магадлал хэд вэ?

Шийдэл:

Бүгдийг нь авч үзье боломжит сонголтууд:

1. Бүргэд-бүргэд
2. Толгой-сүүл
3. Сүүл-Толгой
4. Сүүл-сүүл

Таны харж байгаагаар зөвхөн сонголтууд байдаг. Эдгээрээс бид зөвхөн сэтгэл хангалуун байдаг. Энэ нь магадлал:

Хэрэв нөхцөл нь магадлалыг олохыг л асуувал хариултыг маягтаар өгөх ёстой аравтын. Хариултыг хувиар өгөх ёстой гэж заасан бол бид үржүүлнэ.

Хариулт:

Жишээ 2.

Шоколадны хайрцагт бүх шоколадыг нэг цаасан дээр савласан байдаг. Гэсэн хэдий ч амттанаас - самар, коньяк, интоор, карамель, нугатай.

Нэг чихэр аваад самартай чихэр авах магадлал хэд вэ? Хариултаа хувиар илэрхийлнэ үү.

Шийдэл:

Боломжит үр дүн хэр их байна вэ? .

Өөрөөр хэлбэл, хэрэв та нэг чихэр авбал энэ нь хайрцагт байгаа зүйлсийн нэг болно.

Хэчнээн таатай үр дүн гарсан бэ?

Учир нь хайрцагт зөвхөн самартай шоколад л байдаг.

Хариулт:

Жишээ 3.

Бөмбөлөгтэй хайрцагт. үүнээс цагаан, хар.

1. Гарах магадлал хэд вэ цагаан бөмбөг?
2. Бид хайрцагт илүү олон хар бөмбөг нэмсэн. Одоо цагаан бөмбөг зурах магадлал хэд вэ?

Шийдэл:

a) Хайрцагт зөвхөн бөмбөг байна. Тэдний дунд цагаан өнгөтэй.

магадлал нь:

б) Одоо хайрцагт илүү олон бөмбөг байна. Мөн тэр хэмжээгээр цагаан арьстнууд үлдсэн байна - .

Хариулт:

Нийт магадлал

Хайрцагт улаан, ногоон бөмбөг байна гэж бодъё. Улаан бөмбөг зурах магадлал хэд вэ? Ногоон бөмбөг? Улаан эсвэл ногоон бөмбөг үү?

Улаан бөмбөг зурах магадлал

Ногоон бөмбөг:

Улаан эсвэл ногоон бөмбөг:

Таны харж байгаагаар бүх боломжит үйл явдлын нийлбэр нь () -тэй тэнцүү байна. Энэ зүйлийг ойлгох нь олон асуудлыг шийдвэрлэхэд тусална.

Жишээ 4.

Хайрцагт тэмдэглэгээ байдаг: ногоон, улаан, цэнхэр, шар, хар.

Улаан тэмдэглэгээ БИШ зурах магадлал хэд вэ?

Шийдэл:

Тоогоо тоолъё таатай үр дүн.

Улаан тэмдэглэгээ БИШ, энэ нь ногоон, хөх, шар, хар гэсэн утгатай.

Бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх дүрэм

Бие даасан үйл явдлууд гэж юу болохыг та аль хэдийн мэддэг болсон.

Хоёр (эсвэл түүнээс дээш) бие даасан үйл явдал дараалан тохиолдох магадлалыг олох шаардлагатай бол яах вэ?

Бид зоосыг нэг удаа эргүүлэхэд хоёр удаа толгой харах магадлал хэд болохыг мэдэхийг хүсч байна гэж бодъё?

Бид аль хэдийн авч үзсэн - .

Хэрэв бид нэг удаа зоос шидвэл яах вэ? Бүргэдийг хоёр дараалан харах магадлал хэд вэ?

Нийт боломжит сонголтууд:

1. Бүргэд-бүргэд-бүргэд
2. Толгой-толгой-сүүл
3. Толгой-сүүл-толгой
4. Толгой-сүүл-сүүл
5. Сүүл-толгой-толгой
6. Сүүл-толгой-сүүл
7. Сүүл-сүүл-толгой
8. сүүл-сүүл-сүүл

Би чамайг мэдэхгүй ч энэ жагсаалтыг гаргахдаа хэд хэдэн удаа алдаа гаргасан. Хөөх! Зөвхөн сонголт (эхний) бидэнд тохирно.

5 шидэлтийн хувьд та боломжит үр дүнгийн жагсаалтыг өөрөө гаргаж болно. Гэхдээ математикчид чам шиг хөдөлмөрч биш.

Тиймээс тэд эхлээд анзаарч, дараа нь бие даасан үйл явдлын тодорхой дарааллын магадлал нь нэг үйл явдлын магадлалаар буурдаг гэдгийг нотолсон.

Өөрөөр хэлбэл,

Ижил золгүй зоосны жишээг харцгаая.

Бэрхшээлд орох магадлал? . Одоо бид зоосыг нэг удаа эргүүлнэ.

Толгой дараалан гарах магадлал хэд вэ?

Энэ дүрэм нь биднээс нэг үйл явдал дараалан хэд хэдэн удаа тохиолдох магадлалыг олохыг хүсэхэд л ажиллахгүй.

Хэрэв бид дараалсан шидэлтийн СҮҮЛ-ТОЛГОЙ-СҮҮЛ гэсэн дарааллыг олохыг хүсвэл мөн адил хийх болно.

Сүүлтэй болох магадлал нь , толгой - .

СҮҮЛ-ТОЛГОЙ-СҮҮЛ-СҮҮЛ гэсэн дарааллыг авах магадлал:

Хүснэгт хийж өөрөө шалгаж болно.

Тохиромжгүй үйл явдлын магадлалыг нэмэх дүрэм.

Тиймээс боль! Шинэ тодорхойлолт.

Үүнийг олж мэдье. Элэгдсэн зоосоо аваад нэг удаа шидчихье.
Боломжит сонголтууд:

1. Бүргэд-бүргэд-бүргэд
2. Толгой-толгой-сүүл
3. Толгой-сүүл-толгой
4. Толгой-сүүл-сүүл
5. Сүүл-толгой-толгой
6. Сүүл-толгой-сүүл
7. Сүүл-сүүл-толгой
8. сүүл-сүүл-сүүл

Тиймээс үл нийцэх үйл явдлууд нь тодорхой, өгөгдсөн үйл явдлын дараалал юм. - Эдгээр нь үл нийцэх үйл явдал юм.

Хэрэв бид хоёр (эсвэл түүнээс дээш) үл нийцэх үйл явдлын магадлалыг тодорхойлохыг хүсвэл эдгээр үйл явдлын магадлалыг нэмнэ.

Толгой эсвэл сүүл нь бие даасан хоёр үйл явдал гэдгийг ойлгох хэрэгтэй.

Хэрэв бид дараалал (эсвэл бусад) тохиолдох магадлалыг тодорхойлохыг хүсвэл магадлалыг үржүүлэх дүрмийг ашиглана.
Эхний шидэлтэд толгой, хоёр, гурав дахь шидэлтэд сүүл гарах магадлал хэд вэ?

Гэхдээ хэрэв бид хэд хэдэн дарааллын аль нэгийг авах магадлал хэд болохыг мэдэхийг хүсч байвал, жишээ нь толгой яг нэг удаа гарч ирэхэд, i.e. сонголтууд ба дараа нь бид эдгээр дарааллын магадлалыг нэмэх ёстой.

Нийт сонголтууд бидэнд тохирсон.

Дараалал бүрийн тохиолдох магадлалыг нэмснээр бид ижил зүйлийг олж авах боломжтой.

Тиймээс бид тодорхой, үл нийцэх, үйл явдлын дарааллын магадлалыг тодорхойлохыг хүсвэл магадлалыг нэмнэ.

Хэзээ үржүүлэх, хэзээ нэмэх талаар эргэлзэхгүй байх маш сайн дүрэм байдаг:

Бид нэг удаа зоос шидэж, толгойг нэг удаа харах магадлалыг мэдэхийг хүссэн жишээ рүү буцъя.
Юу болох ёстой вэ?

Унах ёстой:
(толгой, сүүл, сүүл) ЭСВЭЛ (сүүл, толгой, сүүл) OR (сүүл, сүүл, толгой).
Энэ нь дараах байдалтай байна.

Хэд хэдэн жишээг харцгаая.

Жишээ 5.

Хайрцагт харандаанууд байна. улаан, ногоон, улбар шар, шар, хар. Улаан эсвэл ногоон өнгийн харандаагаар зурах магадлал хэд вэ?

Шийдэл:

Жишээ 6.

Хэрэв үхрийг 2 удаа шидвэл нийт 8 оноо авах магадлал хэд вэ?

Шийдэл.

Бид яаж оноо авах вэ?

(ба) эсвэл (ба) эсвэл (ба) эсвэл (ба) эсвэл (ба).

Нэг (ямар ч) нүүртэй болох магадлал нь .

Бид магадлалыг тооцоолно:

Сургалт.

Магадлалыг хэзээ тооцоолох, хэзээ нэмэх, хэзээ үржүүлэх хэрэгтэйг одоо ойлгосон байх гэж бодож байна. Тийм биш гэж үү? Жаахан дасгал хийцгээе.

Даалгаварууд:

Хүз, зүрх, 13 дугуй, 13 очир алмааз зэрэг картуудыг агуулсан картын тавцанг авцгаая. Костюм бүрээс Эйс хүртэл.

1. Бөмбөг дараалан зурах магадлал хэд вэ (бид эхний картыг тавцан руу буцааж тавиад холино)?
2. Хар карт (хүрз эсвэл дугуй) зурах магадлал хэд вэ?
3. Зураг зурах магадлал хэд вэ (жак, хатан, хаан эсвэл хөзрийн тамга)?
4. Хоёр зураг дараалан зурах магадлал хэд вэ (бид тавцангаас зурсан эхний картыг хасдаг)?
5. Хоёр карт авч, (жак, хатан эсвэл хаан) ба хөзрийн картыг зурах дараалал нь хамаагүй.

Хариултууд:

Хэрэв та бүх асуудлыг өөрөө шийдэж чадсан бол чи үнэхээр мундаг байна! Одоо та Улсын нэгдсэн шалгалтанд магадлалын онолын асуудлуудыг самар шиг хагалах болно!

МАГАДЛЫН ОНОЛ. ДУНД ТҮВШИН

Нэг жишээ авч үзье. Бид үхэл хаялаа гэж бодъё. Энэ ямар яс вэ, чи мэдэх үү? Үүнийг нүүрэн дээрээ тоонууд бичсэн шоо гэж нэрлэдэг. Хэдэн нүүр царай, тийм олон тоо: хэдээс хэд хүртэл? руу.

Тиймээс бид шоо гүйлгэж, энэ нь гарч ирэхийг хүсч байна, эсвэл. Тэгээд бид үүнийг авдаг.

Магадлалын онолоор тэд юу болсныг хэлдэг азтай үйл явдал(хөгжилтэй гэж андуурч болохгүй).

Хэрэв ийм зүйл тохиолдвол үйл явдал ч таатай байх болно. Нийтдээ зөвхөн хоёр таатай үйл явдал тохиолдож болно.

Хэчнээн нь тааламжгүй вэ? Нийт боломжит үйл явдлууд байгаа тул тааламжгүй үйл явдлууд нь үйл явдал юм (энэ нь хэрэв эсвэл унасан бол).

Тодорхойлолт:

Магадлал гэдэг нь таатай үйл явдлын тоог бүх боломжит үйл явдлын тоонд харьцуулсан харьцаа юм. Өөрөөр хэлбэл, магадлал нь бүх боломжит үйл явдлын хэдэн хувь нь таатай байгааг харуулдаг.

Магадлалыг илтгэнэ Латин үсэг(-аас бололтой Англи үгмагадлал - магадлал).

Магадлалыг хувиар хэмждэг заншилтай (сэдвийг үзнэ үү). Үүнийг хийхийн тулд магадлалын утгыг үржүүлэх шаардлагатай. Жишээн дээр шоомагадлал.

Мөн хувиар: .

Жишээ (өөрөө шийднэ үү):

1. Зоос шидэх үед толгой гарах магадлал хэд вэ? Толгойн буух магадлал хэд вэ?
2. Шоо шидэх үед авах магадлал хэд вэ тэгш тоо? Аль нь хачирхалтай вэ?
3. Энгийн, цэнхэр, улаан өнгийн харандааны хайрцагт. Бид санамсаргүй байдлаар нэг харандаа зурдаг. Энгийн нэгийг авах магадлал хэд вэ?

Шийдэл:

1. Хэдэн сонголт байна вэ? Толгой ба сүүл - ердөө хоёр. Тэдгээрийн хэд нь таатай байна вэ? Зөвхөн нэг нь бүргэд. Тэгэхээр магадлал

   Энэ нь сүүлтэй адил юм: .

2. Нийт сонголтууд: (шоо нь хэдэн талтай, маш олон янзын сонголтууд). Тааламжтай тоонууд: (эдгээр нь бүгд тэгш тоонууд :).
   Магадлал. Мэдээжийн хэрэг, сондгой тоонуудтай адилхан.
3. Нийт: . Тааламжтай: . Магадлал: .

Нийт магадлал

Хайрцаг дахь бүх харандаа ногоон өнгөтэй байна. Улаан харандаа зурах магадлал хэд вэ? Ямар ч боломж байхгүй: магадлал (эцсийн эцэст таатай үйл явдлууд -).

Ийм үйл явдлыг боломжгүй гэж нэрлэдэг.

Ногоон харандаа зурах магадлал хэд вэ? Нийт үйл явдлуудтай яг ижил тооны таатай үйл явдлууд байдаг (бүх үйл явдлууд таатай байдаг). Тэгэхээр магадлал нь эсвэл тэнцүү байна.

Ийм үйл явдлыг найдвартай гэж нэрлэдэг.

Хэрэв хайрцагт ногоон, улаан өнгийн харандаа байгаа бол ногоон эсвэл улаан өнгийн зурах магадлал хэд вэ? Дахин. Үүнийг тэмдэглэе: ногоон сугалах магадлал тэнцүү, улаан нь тэнцүү байна.

Дүгнэж хэлэхэд эдгээр магадлалууд яг тэнцүү байна. Энэ нь, бүх боломжит үйл явдлын магадлалын нийлбэр нь тэнцүү буюу.

Жишээ:

Харандааны хайрцагт цэнхэр, улаан, ногоон, энгийн, шар, бусад нь улбар шар өнгөтэй байна. Ногоон зурахгүй байх магадлал хэд вэ?

Шийдэл:

Бүх магадлалууд нийлдэг гэдгийг бид санаж байна. Мөн ногоон болох магадлал тэнцүү байна. Энэ нь ногооноор зурахгүй байх магадлал тэнцүү гэсэн үг юм.

Энэ заль мэхийг санаарай:Үйл явдал тохиолдохгүй байх магадлал нь тухайн үйл явдал болох магадлалыг хассантай тэнцүү байна.

Бие даасан үйл явдлууд ба үржүүлэх дүрэм

Та зоосыг нэг удаа эргүүлж, хоёр удаад ч толгой дээр гарахыг хүсдэг. Үүний магадлал ямар байна вэ?

Бүх боломжит хувилбаруудыг судалж үзээд хэд нь байгааг тодорхойлъё.

Толгой-толгой, сүүл-толгой, толгой-сүүл, сүүл-сүүл. Бусад нь яах вэ?

Нийт сонголтууд. Эдгээрээс зөвхөн нэг нь л бидэнд тохирсон: Бүргэд-Бүргэд. Нийтдээ магадлал тэнцүү байна.

Сайн байна. Одоо нэг удаа зоос эргүүлье. Тооцоогоо өөрөө хий. Энэ нь ажилласан уу? (хариулт).

Дараагийн шидэлт бүрийг нэмэхэд магадлал хоёр дахин буурч байгааг та анзаарсан байх. Ерөнхий дүрэмдуудсан үржүүлэх дүрэм:

Бие даасан үйл явдлын магадлал өөрчлөгддөг.

Бие даасан үйл явдлууд юу вэ? Бүх зүйл логик юм: эдгээр нь бие биенээсээ хамаардаггүй зүйлүүд юм. Жишээлбэл, бид зоосыг хэд хэдэн удаа шидэх үед шинэ шидэлт хийх бүрт үр дүн нь өмнөх бүх шидэлтээс хамаардаггүй. Бид хоёр өөр зоос зэрэг амархан шидэж чадна.

Илүү олон жишээ:

1. Шоог хоёр удаа шиддэг. Хоёр удаа авах магадлал хэд вэ?
2. Зоосыг нэг удаа шиддэг. Энэ нь эхний удаад толгой дээр гарч, дараа нь хоёр удаа сүүлтэй байх магадлал хэд вэ?
3. Тоглогч хоёр шоо шиднэ. Тэдгээрийн тоонуудын нийлбэр тэнцүү байх магадлал хэд вэ?

Хариултууд:

1. Үйл явдал нь бие даасан бөгөөд үржүүлэх дүрэм ажилладаг гэсэн үг: .
2. Толгойн магадлал тэнцүү байна. Сүүлний магадлал ижил байна. Үржүүлэх:
3. Хоёр -ki өнхрүүлсэн тохиолдолд л 12-ыг авах боломжтой: .

Тохиромжгүй үйл явдал ба нэмэх дүрэм

Бие биенээ нөхөж байгаа үйл явдлуудыг үл нийцэх гэж нэрлэдэг. бүрэн магадлал. Нэрнээс нь харахад тэд нэгэн зэрэг тохиолдох боломжгүй. Жишээлбэл, хэрэв бид зоос эргүүлбэл энэ нь толгой эсвэл сүүлтэй байж болно.

Жишээ.

Харандааны хайрцагт цэнхэр, улаан, ногоон, энгийн, шар, бусад нь улбар шар өнгөтэй байна. Ногоон эсвэл улаан зурах магадлал хэд вэ?

Шийдэл.

Ногоон харандаа зурах магадлал тэнцүү байна. Улаан -.

Бүх таатай үйл явдлууд: ногоон + улаан. Энэ нь ногоон эсвэл улаан зурах магадлал тэнцүү гэсэн үг юм.

Үүнтэй ижил магадлалыг дараах хэлбэрээр илэрхийлж болно: .

Энэ бол нэмэлт дүрэм юм:үл нийцэх үйл явдлын магадлалыг нэмнэ.

Холимог төрлийн асуудлууд

Жишээ.

Зоосыг хоёр удаа шиддэг. Оролтын үр дүн өөр байх магадлал хэд вэ?

Шийдэл.

Энэ нь хэрэв эхний үр дүн нь толгой байвал хоёр дахь нь сүүл байх ёстой, мөн эсрэгээр гэсэн үг юм. Үүнээс үзэхэд бие даасан хоёр хос үйл явдал байдаг бөгөөд эдгээр хосууд хоорондоо нийцэхгүй байна. Хаана үржүүлж, хаана нэмэхээ яаж андуурахгүй байх вэ.

Ийм нөхцөл байдалд зориулсан энгийн дүрэм байдаг. "AND" эсвэл "OR" гэсэн холбоосыг ашиглан юу болох талаар тайлбарлахыг хичээ. Жишээлбэл, энэ тохиолдолд:

Энэ нь (толгой ба сүүл) эсвэл (сүүл ба толгой) гарч ирэх ёстой.

"ба" гэсэн холбоос байвал үржүүлэх, "эсвэл" байвал нэмэх нь:

Та өөрөө туршаад үзээрэй:

1. Зоосыг хоёр удаа шидэхэд зоос хоёр удаа нэг талдаа буух магадлал хэд вэ?
2. Шоог хоёр удаа шиддэг. Нийт оноо авах магадлал хэд вэ?

Шийдэл:

Өөр нэг жишээ:

Нэг удаа зоос шид. Толгойнууд дор хаяж нэг удаа гарч ирэх магадлал хэд вэ?

Шийдэл:

МАГАДЛЫН ОНОЛ. ГОЛ ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧХОН

Магадлал гэдэг нь таатай үйл явдлын тоог бүх боломжит үйл явдлын тоонд харьцуулсан харьцаа юм.

Бие даасан үйл явдлууд

Хэрэв нэг нь тохиолдсон нь нөгөө нь тохиолдох магадлалыг өөрчлөхгүй бол хоёр үйл явдал бие даасан байна.

Нийт магадлал

Бүх боломжит үйл явдлын магадлал () -тэй тэнцүү байна.

Үйл явдал тохиолдохгүй байх магадлал нь тухайн үйл явдал болох магадлалыг хассантай тэнцүү байна.

Бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх дүрэм

Тодорхой дарааллын бие даасан үйл явдлын магадлал нь үйл явдал бүрийн магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна

Тохиромжгүй үйл явдлууд

Туршилтын үр дүнд нэгэн зэрэг тохиолдох боломжгүй үйл явдлуудыг үл нийцэх үйл явдлууд гэнэ. Тохиромжгүй үйл явдлын цуваа үүсдэг бүтэн бүлэгүйл явдал.

Тохиромжгүй үйл явдлын магадлалыг нэмдэг.

Юу болох ёстойг тайлбарласны дараа "AND" эсвэл "OR" холбоосыг ашиглан "AND"-ын оронд үржүүлэх тэмдэг, "OR"-ын оронд бид нэмэх тэмдэг тавина.

За ингээд сэдэв дууслаа. Хэрэв та эдгээр мөрүүдийг уншиж байгаа бол энэ нь таныг маш дажгүй гэсэн үг юм.

Учир нь хүмүүсийн ердөө 5% нь өөрөө ямар нэг зүйлийг эзэмших чадвартай байдаг. Хэрэв та дуустал нь уншсан бол та энэ 5% -д байна!

Одоо хамгийн чухал зүйл.

Та энэ сэдвээр онолыг ойлгосон. Би давтан хэлье, энэ бол зүгээр л супер! Та үе тэнгийнхнийхээ дийлэнх олонхоос аль хэдийн илүү болсон.

Асуудал нь энэ нь хангалтгүй байж магадгүй юм ...

Юуны төлөө?

Учир нь амжилттай дуусгахУлсын нэгдсэн шалгалт, коллежид төсвөөр элсэх, ХАМГИЙН ЧУХАЛ насан туршдаа элсэх.

Би чамайг юунд ч итгүүлэхгүй, би нэг л зүйлийг хэлье...

Хүлээн авсан хүмүүс сайн боловсрол, хүлээн аваагүй хүмүүсээс хамаагүй их орлого олдог. Энэ бол статистик.

Гэхдээ энэ нь гол зүйл биш юм.

Хамгийн гол нь тэд ИЛҮҮ АЗ ЖАРГАЛТАЙ байдаг (ийм судалгаанууд байдаг). Магадгүй тэдний өмнө илүү их нээлттэй байгаа болохоор тэр байх илүү их боломжуудтэгээд амьдрал илүү гэрэл гэгээтэй болох уу? Мэдэхгүй...

Гэхдээ өөрийнхөөрөө бод...

Улсын нэгдсэн шалгалтанд бусдаас илүү байж, эцэст нь... аз жаргалтай байхын тулд юу хэрэгтэй вэ?

ЭНЭ СЭДВИЙН АСУУДЛЫГ ШИЙДВЭРЭЭР ГАРАА АВНА.

Шалгалтын үеэр танаас онол асуухгүй.

Танд хэрэгтэй болно цаг хугацааны эсрэг асуудлыг шийдвэрлэх.

Хэрэв та тэдгээрийг шийдэж амжаагүй бол (МАШ ИХ!) Та хаа нэгтээ тэнэг алдаа гаргах нь гарцаагүй, эсвэл зүгээр л цаг зав гарахгүй.

Энэ нь спорттой адил юм - баттай ялахын тулд та үүнийг олон удаа давтах хэрэгтэй.

Хүссэн газраасаа цуглуулгаа олоорой зайлшгүй шийдэл бүхий, нарийвчилсан шинжилгээ мөн шийд, шийд, шийд!

Та бидний даалгавруудыг (заавал биш) ашиглаж болно, бид мэдээж санал болгож байна.

Бидний даалгавруудыг илүү сайн ашиглахын тулд та одоо уншиж байгаа YouClever сурах бичгийн ашиглалтын хугацааг уртасгахад туслах хэрэгтэй.

Яаж? Хоёр сонголт байна:

1. Энэ нийтлэл дэх бүх далд ажлуудын түгжээг тайлах -
2. Сурах бичгийн бүх 99 нийтлэл дэх бүх далд даалгаврын хандалтыг нээнэ үү - Сурах бичиг худалдаж аваарай - 499 рубль

Тийм ээ, бидний сурах бичигт ийм 99 өгүүлэл байгаа бөгөөд тэдгээрт байгаа бүх даалгаврууд болон далд текстүүдийг шууд нээх боломжтой.

Бүх далд даалгаврууд руу нэвтрэх эрхийг сайтын ашиглалтын хугацаанд олгодог.

Тэгээд эцэст нь ...

Хэрэв танд бидний даалгавар таалагдахгүй бол бусдыг хайж олоорой. Зөвхөн онол дээр бүү зогс.

“Ойлголоо”, “Би шийдэж чадна” гэдэг бол огт өөр чадвар юм. Танд хоёулаа хэрэгтэй.

Асуудлыг хайж олоод шийдээрэй!

Магадлалын онол, математик статистик

1. Магадлалын онолын хичээл, түүний эдийн засаг, техникийн асуудлыг шийдвэрлэх ач холбогдол. Магадлал ба түүний тодорхойлолт

Удаан хугацааны туршид хүн төрөлхтөн өөрийн үйл ажиллагаанд зөвхөн детерминистик гэж нэрлэгддэг хэв маягийг судалж, ашигладаг байсан. Гэсэн хэдий ч санамсаргүй үйл явдлууд бидний хүсэл эрмэлзэлгүйгээр бидний амьдралд нэвтрэн орж, биднийг байнга хүрээлж байдаг тул бараг бүх байгалийн үзэгдлүүд санамсаргүй шинж чанартай байдаг тул тэдгээрийг хэрхэн судалж, энэ зорилгоор судлах арга зүйг боловсруулах шаардлагатай байна.

Илрэх хэлбэрийн дагуу учир шалтгааны холбооБайгаль, нийгмийн хуулиудыг детерминист (урьдчилан тодорхойлсон) ба статистик гэсэн хоёр ангилалд хуваадаг.

Жишээлбэл, хууль тогтоомжид үндэслэсэн селестиел механикгаригуудын одоо мэдэгдэж байгаа байрлалын дагуу нарны системТэдний байрлалыг нарны болон цаг хугацааны аль ч үед бараг хоёрдмол утгагүйгээр урьдчилан таамаглах боломжтой сар хиртэлт. Энэ бол детерминист хуулиудын жишээ юм.

Гэсэн хэдий ч бүх үзэгдлүүд тийм ч таатай байдаггүй үнэн зөв таамаглал. Тиймээс урт хугацааны уур амьсгалын өөрчлөлт, богино хугацааны цаг агаарын өөрчлөлт нь амжилттай урьдчилан таамаглах объект биш юм, i.e. олон хууль тогтоомж, хэв маяг нь детерминистик тогтолцоонд хамаагүй бага нийцдэг. Ийм төрлийн хуулиудыг статистикийн хууль гэж нэрлэдэг. Эдгээр хуулиудын дагуу системийн ирээдүйн төлөвийг хоёрдмол утгагүй, зөвхөн тодорхой магадлалаар тодорхойлдог.

Бусадтай адил магадлалын онол математикийн шинжлэх ухаан, практикийн хэрэгцээ шаардлагаас сэргэж, хөгжүүлсэн. Тэрээр бөөн санамсаргүй үйл явдлуудын хэв маягийг судалдаг.

Магадлалын онол нь тодорхой нөхцөл байдал давтагдах үед олон удаа давтагдах массын санамсаргүй үйл явдлын шинж чанарыг судалдаг. Аливаа зүйлийн гол өмч санамсаргүй үйл явдал, түүний шинж чанараас үл хамааран түүнийг хэрэгжүүлэх арга хэмжээ эсвэл магадлал юм.

Бидний ажиглаж буй үйл явдлуудыг (үзэгдэл) найдвартай, боломжгүй, санамсаргүй гэсэн гурван төрөлд хувааж болно.

Болох нь тодорхой болсон үйл явдлыг тодорхой гэж нэрлэдэг. Бидний мэдэх боломжгүй үйл явдлыг боломжгүй гэж нэрлэдэг. Санамсаргүй үйл явдал бол тохиолдох эсвэл болохгүй үйл явдал юм.

Магадлалын онол нь санамсаргүй үйл явдалд бүх шалтгааны нөлөөллийг тооцох боломжгүй тул ганц үйл явдал болох эсэхийг урьдчилан таамаглах зорилт тавьдаггүй. Нөгөөтэйгүүр энэ нь хангалттай юм байна их тоонэгэн төрлийн санамсаргүй үйл явдлууд нь тодорхой шинж чанараас үл хамааран тодорхой зүй тогтолд, тухайлбал, магадлалын хэв маягт захирагддаг.

Тиймээс магадлалын онолын сэдэв нь массын нэгэн төрлийн санамсаргүй үйл явдлын магадлалын хэв маягийг судлах явдал юм.

Масстай холбоотой зарим даалгавар санамсаргүй үзэгдэл, тэд 17-р зууны эхээр зохих математикийн аппарат ашиглан шийдвэрлэхийг оролдсон. Төрөл бүрийн ахиц дэвшил, үр дүнг судлах мөрийтэй тоглоом, B. Pascal, P. Fermat болон H. Huygens in 17-р зууны дунд үеолон зууны үндэс суурийг тавьсан сонгодог онолмагадлал. Тэд өөрсдийн бүтээлүүддээ санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлал ба математикийн хүлээлт гэсэн ойлголтыг далд байдлаар ашигласан. Зөвхөн дотор XVIII эхэн үеВ. Ж.Бернулли магадлалын тухай ойлголтыг томъёолсон.

Магадлалын онол нь Мойвр, Лаплас, Гаусс, Пуассон болон бусад хүмүүсийн амжилтын өртэй.

Оросууд ба Зөвлөлтийн математикчид, тухайлбал P.L. Чебышев, А.А. Марков, А.М. Ляпунов, С.Н. Бернштейн, А.Н. Колмогоров, А.Я. Хинчин, А.Прохоров гэх мэт.

Магадлалын онолыг хөгжүүлэхэд онцгой байр суурь эзэлдэг Узбекийн сургууль бөгөөд түүний нэрт төлөөлөгчид академич В.И. Романовский, С.Х. Сираждинов, Т.А. Сарымсаков, Т.А. Азларов, Ш.К. Фарманов, профессор И.С. Бадалбаев, М.У. Гафуров, Ш.А. Хашимов болон бусад.

Өмнө дурьдсанчлан практикийн хэрэгцээ нь магадлалын онолыг бий болгоход хувь нэмэр оруулснаар түүний шинжлэх ухаан болгон хөгжихөд нөлөөлж, улам олон салбар, хэсгүүд гарч ирэхэд хүргэсэн. Магадлалын онол дээр үндэслэсэн математик статистик, түүний даалгавар нь дээжээс сэргээн босгох явдал юм тодорхой хэмжээгээрнайдвартай байдлын шинж чанар хүн ам. Онол зэрэг шинжлэх ухааны салбарууд магадлалын онолоос салсан санамсаргүй үйл явц, онол дараалал, мэдээллийн онол, найдвартай байдлын онол, эконометрик загварчлал гэх мэт.

Магадлалын онолын хэрэглээний хамгийн чухал салбаруудад эдийн засаг, техникийн шинжлэх ухаан орно. Одоогийн байдлаар эдийн засаг, техникийн үзэгдлийн судалгааг магадлалын онолд суурилсан загварчлалгүйгээр, харилцан хамаарлын загваргүйгээр төсөөлөхөд хэцүү байдаг. регрессийн шинжилгээ, хангалттай, "мэдрэмжтэй" дасан зохицох загварууд.

Замын хөдөлгөөний урсгалд болж буй үйл явдлууд, найдвартай байдлын зэрэг бүрэлдэхүүн хэсгүүдмашин, зам дээрх автомашины осол, янз бүрийн нөхцөл байдалЗамыг төлөвлөх явцад тэдгээрийн тодорхой бус байдлаас шалтгаалан магадлалын онолын аргуудыг ашиглан судлагдсан асуудлын хүрээнд багтдаг.

Магадлалын онолын үндсэн ойлголтууд нь туршлага эсвэл туршилт, үйл явдал юм. Тодорхой нөхцөл, нөхцөл байдалд хийж байгаа үйлдлийг бид туршилт гэж нэрлэдэг. Туршилтын тодорхой хэрэгжилт бүрийг тест гэж нэрлэдэг.

Туршилтын төсөөлж болох үр дүн бүрийг анхан шатны үйл явдал гэж нэрлэдэг бөгөөд үүнийг тэмдэглэнэ. Санамсаргүй үйл явдлууд нь тодорхой тооны энгийн үйл явдлуудаас бүрдэх ба A, B, C, D,... гэж тэмдэглэдэг.

Ийм энгийн үйл явдлын багц

1) туршилтын үр дүнд энгийн үйл явдлуудын нэг нь үргэлж тохиолддог;

2) нэг туршилтын явцад зөвхөн нэг л зүйл тохиолдох болно анхан шатны үйл явдаланхан шатны үйл явдлын орон зай гэж нэрлэгдэх ба үүнийг тэмдэглэнэ.

Тиймээс аливаа санамсаргүй үйл явдал нь анхан шатны үйл явдлын орон зайн дэд хэсэг юм. Энгийн үйл явдлын орон зайн тодорхойлолтоор найдвартай үйл явдлыг дараах байдлаар тэмдэглэж болно. Боломжгүй үйл явдлыг -ээр тэмдэглэнэ.

Жишээ 1. Шидэх шоо. Энэхүү туршилтанд тохирох энгийн үйл явдлын орон зай дараах хэлбэртэй байна.

Жишээ 2. Цүнхэнд 2 улаан, 3 хөх, 1 цагаан, нийт 6 бөмбөг байна. Туршилт нь савнаас санамсаргүй байдлаар бөмбөг зурахаас бүрдэнэ. Энэхүү туршилтанд тохирох энгийн үйл явдлын орон зай дараах хэлбэртэй байна.

анхан шатны үйл явдлууд хаана байна дараах утгууд: - цагаан бөмбөг гарч ирэв; - улаан бөмбөг гарч ирэв; - цэнхэр бөмбөг гарч ирэв. Дараах үйл явдлуудыг авч үзье.

A - цагаан бөмбөгний дүр төрх;

B -- улаан бөмбөгний харагдах байдал;

C - цэнхэр бөмбөгний харагдах байдал;

D - өнгөт (цагаан бус) бөмбөгний дүр төрх.

Эндээс бид эдгээр үйл явдал тус бүр нь нэг буюу өөр боломжийн зэрэгтэй байгааг харж байна: зарим нь - илүү, бусад нь - бага. Б үйл явдлын боломжийн зэрэг нь А үйл явдлынхаас их байх нь ойлгомжтой; C үйл явдал - В үйл явдлуудаас; үйл явдлууд D - үйл явдлуудаас C. Үйл явдлыг боломжийн хэмжээгээр нь бие биентэйгээ тоон байдлаар харьцуулахын тулд үйл явдал бүртэй холбох шаардлагатай нь ойлгомжтой. тодорхой тоо, аль нь их байх тусам үйл явдал болох боломжтой.

Бид энэ тоог тэмдэглээд А үйл явдлын магадлал гэж нэрлэнэ. Одоо магадлалын тодорхойлолтыг өгье.

Энгийн үйл явдлуудын орон зайг төгсгөлөг олонлог, түүний элементүүдийг байг. Тэдгээрийг ижил төстэй энгийн үйл явдлууд гэж бид таамаглах болно, жишээлбэл. Бүх энгийн үйл явдалд байдаггүй илүү их боломжбусдаас илүү гадаад төрх. Мэдэгдэж байгаагаар санамсаргүй үйл явдал бүр нь дэд олонлог болох энгийн үйл явдлуудаас бүрддэг. Эдгээр энгийн үйл явдлуудыг А-д таатай гэж нэрлэдэг.

А үйл явдлын магадлалыг томъёогоор тодорхойлно

Энд m нь А-д тааламжтай элементар үйл явдлын тоо, n нь багтсан бүх элементар үйл явдлын тоо юм.

Хэрэв жишээ 1-д А нь тэгш тооны оноо эргэлдэх үйл явдлыг илэрхийлж байвал

Жишээ 2-т үйл явдлын магадлал дараах утгатай байна.

Магадлалын тодорхойлолтоос дараахь шинж чанарууд гарч ирнэ.

1. Магадлал найдвартай үйл явдалнэгтэй тэнцүү.

Үнэн хэрэгтээ, хэрэв үйл явдал найдвартай бол бүх энгийн үйл явдлууд түүнд таалагддаг. Энэ тохиолдолд m=n, тиймээс

2. Боломжгүй үйл явдлын магадлал 0 байна.

Үнэн хэрэгтээ, хэрэв ямар нэгэн үйл явдал боломжгүй бол нэг ч энгийн үйл явдал үүнийг дэмждэггүй. Энэ тохиолдолд m=0, тиймээс

3. Санамсаргүй тохиолдлын магадлал байдаг эерэг тоо, тэг ба нэгийн хооронд хаагдсан.

Үнэн хэрэгтээ, энгийн үйл явдлын нийт тооны зөвхөн нэг хэсэг нь санамсаргүй үйл явдлыг дэмждэг. Энэ тохиолдолд, тиймээс, тиймээс,

Тиймээс аливаа үйл явдлын магадлал нь тэгш бус байдлыг хангадаг

Үйл явдлын харьцангуй давтамж нь тухайн үйл явдал болсон туршилтын тоог бодитоор хийсэн туршилтын нийт тоонд харьцуулсан харьцаа юм.

Тиймээс А үйл явдлын харьцангуй давтамжийг томъёогоор тодорхойлно

Энд m нь үйл явдлын тохиолдлын тоо, n - нийт тоотуршилтууд.

Магадлал ба харьцангуй давтамжийн тодорхойлолтыг харьцуулж үзвэл бид дараахь дүгнэлтэд хүрэв: магадлалын тодорхойлолт нь туршилтыг бодитоор хийх шаардлагагүй; харьцангуй давтамжийг тодорхойлох нь туршилтыг бодитоор хийсэн гэж үздэг.

Жишээ 3. Санамсаргүй байдлаар сонгогдсон 80 ижил хэсгээс 3 гэмтэл илэрсэн. Гэмтэлтэй хэсгүүдийн харьцангуй давтамж нь

Жишээ 4. Он гарсаар нэг объектод 24 удаагийн хяналт шалгалт хийж, 19 зөрчил бүртгэгдсэн байна. Хууль зөрчсөн харьцангуй давтамж нь

Урт хугацааны ажиглалтаас харахад хэрэв туршилтыг ижил нөхцөлд явуулсан бол туршилтын тоо нэлээд их байвал харьцангуй давтамж бага зэрэг өөрчлөгддөг (бага байх тусам илүү их туршилт хийх), тодорхой тогтмол орчимд хэлбэлздэг. тоо. Энэ нь тодорхой болсон тогтмол тооүйл явдал болох магадлал бий.

Тиймээс, хэрэв харьцангуй давтамжийг туршилтаар тогтоосон бол үр дүнгийн тоог магадлалын утга болгон авч болно. Энэ бол магадлалын статистик тодорхойлолт юм.

Дүгнэж хэлэхэд бид авч үзэх болно геометрийн тодорхойлолтмагадлал.

Хэрэв анхан шатны үйл явдлын орон зайг хавтгай эсвэл огторгуйн тодорхой талбай, А-г түүний дэд олонлог гэж үзвэл А үйл явдлын магадлалыг А ба талбайн хэмжээ эсвэл эзлэхүүний харьцаа гэж үзэх ба, олно. дараах томъёоны дагуу:

Дахин давтах, хянах асуултууд:

1. Шалтгаан холбоог илрэх хэлбэрээр нь байгаль, нийгмийн хууль тогтоомжийг ямар ангиудад хуваадаг вэ?

2. Ямар төрлийн үйл явдлуудыг хувааж болох вэ?

3. Магадлалын онолын хичээл юу вэ?

4. Магадлалын онолын хөгжлийн түүхийн талаар та юу мэдэх вэ?

5. Эдийн засаг, техникийн асуудлуудад магадлалын онол ямар ач холбогдолтой вэ?

6. Туршилт, туршилт, энгийн үзэгдэл, үйл явдал гэж юу вэ, тэдгээрийг хэрхэн тодорхойлсон бэ?

7. Энгийн үйл явдлын орон зайг юу гэж нэрлэдэг вэ?

8. Үйл явдлын магадлалыг хэрхэн тодорхойлох вэ?

9. Магадлалын ямар шинж чанарыг та мэдэх вэ?

10. Та юу мэдэх вэ харьцангуй давтамжүйл явдал?

11. Мөн чанар нь юу вэ статистик тодорхойлолтмагадлал?

12. Магадлалын геометрийн тодорхойлолт юу вэ?

А.Н. Колмогоровын намтар, уран бүтээл

Магадлалын анхан шатны онол нь магадлалын онолын зөвхөн магадлалыг шийдвэрлэх ёстой хэсэг юм. хязгаарлагдмал тооүйл явдал. Математикийн салбар болох магадлалын онол...

Вектор орон зай. Асуудлыг шийдвэрлэх шугаман програмчлал графикаар

Одоо шугаман програмчлалын хэд хэдэн асуудлыг авч үзээд графикаар шийдье. Бодлого 1. max Z = 1+ - , . Шийдэл. Энэ асуудлын тэгш бус байдлын системээр тодорхойлсон хагас хавтгайд байхгүй гэдгийг анхаарна уу нийтлэг цэгүүд(Зураг 2)