1. Një ekuacion algjebrik i shkallës është një ekuacion i formës

ku është koeficienti kryesor

Llojet më të thjeshta ekuacionet algjebrike- ekuacionet e shkallës 1 dhe 2 dhe madje disa lloje të veçanta ekuacionesh të shkallës së 3-të - matematikanët mund të zgjidhnin në Babiloninë e lashtë rreth 4000 vjet më parë. Vërtetë, në ato kohë të largëta shkencëtarët nuk e dinin ende modernen simbolikën matematikore dhe shënoi si vetë ekuacionin ashtu edhe procesin e zgjidhjes së tij me fjalë, jo me formula

2. Ekuacioni arbitrar i shkallës së parë

ka gjithmonë, dhe për më tepër, të vetmen zgjidhje

NË kursi shkollor algjebër, vërtetohet teorema e mëposhtme për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik arbitrar

Nëse një numër, atëherë ekuacioni ka saktësisht dy rrënjë, të cilat jepen nga formula

Nëse , atëherë ka vetëm një rrënjë:

Nëse , atëherë rrënjët janë ndër numra realë Nr.

Matematikanët gjithmonë përpiqen të shmangin një ndarje të tillë të rasteve - numri i tyre do të rritet vetëm kur kalohet në ekuacione të një shkalle më të lartë. Sigurisht, do të ishte e dëshirueshme që të kishte formulimin e mëposhtëm: "Një ekuacion i shkallës së dytë ka dy rrënjë." Mund të arrihet nëse, nga njëra anë, koncepti i numrit zgjerohet në mënyrë që të jetë e mundur të nxirren rrënjët katrore nga numrat negativë, dhe nga ana tjetër, disa rrënjë numërohen "disa herë" (prezantoni konceptin e një rrënjë e shumëfishtë).

Të dyja mund të bëhen me kujdes.

3. Ekuacioni i përgjithshëm i shkallës së tretë ka formën

Duke pjesëtuar të dyja anët e këtij ekuacioni me koeficientin kryesor A - zgjidhjet padyshim nuk ndryshojnë nga kjo - arrijmë në një ekuacion të formës

Duke futur një sasi të re të panjohur, mund të shpëtoni nga termi që përmban të panjohurën në fuqinë e dytë, d.m.th., sillni ekuacionin në formë

quhet ekuacion i reduktuar i shkallës së tretë.

Informacioni rreth historisë së zbulimit të formulës për rrënjët e ekuacionit kub është i paplotë dhe kontradiktor. Me sa duket, ai ishte i pari (rreth 1515) që gjeti një metodë për zgjidhjen ekuacionet kubike profesor në Universitetin e Bolonjës S. Ferro (1465-1526). Në mënyrë të pavarur (rreth vitit 1535), kjo metodë u zbulua nga N. Tartaglia (1500-1557). Megjithatë, G. Cardano (1501-1576) ishte i pari që publikoi formulën për rrënjët e ekuacionit kub (vepra e tij u botua në 1545), dhe për këtë arsye kjo formulë mban emrin e tij. Vini re se Cardano mund të ketë qenë i njohur me punën e Tartaglia dhe Ferro.

Në shënimin modern, metoda për zgjidhjen e ekuacionit (1) është si më poshtë.

Le të prezantojmë dy të panjohura të reja; duke e vënë ne kemi

Nëse të panjohurat e kënaqin sistemin

atëherë ato plotësojnë edhe ekuacionin (2). Zgjidhja e sistemit (3) është shumë e thjeshtë. Le të bëjmë kubike ekuacionin e parë dhe të zëvendësojmë shprehjen nga ekuacioni i dytë; gjejmë se plotëson ekuacionin kuadratik

Prandaj,

dhe në fund

Kjo është formula e Cardanos për zgjidhjen e ekuacionit të reduktuar kub (1).

Pyetjet lindin menjëherë:

1) Çfarë duhet bërë nëse shprehja

2) Sa rrënjë ka ekuacioni kub?

3) A i jep formula e Cardanos (4) të gjitha zgjidhjet e ekuacionit (1)?

Këto pyetje janë të ndërlidhura. Është e lehtë, për shembull, të verifikohet se ekuacioni

ka zgjidhje -5, 2, 3, dhe vetëm në këtë rast

kështu që rrënjët katrore në formulën Cardano humbasin kuptimin e tyre dhe tre rrënjët e treguara nuk shprehen me këtë formulë.

Gjithçka sugjeron se këtu ka edhe më shumë sesa në rastin ekuacionet kuadratike, është e pamundur të bëhet pa futur disa “numra të rinj” për të cilët nxjerrja rrënjë katroreËshtë gjithmonë e mundur. Numra të tillë u prezantuan gradualisht gjatë shekujve 16-19. Ata quhen numra kompleks. Në numrat kompleks, çdo ekuacion algjebrik i shkallës ka saktësisht rrënjë

Merrni si shembull ekuacionin

Ajo luan rol të rëndësishëm në teori dhe do të na duhet në të ardhmen.

Në fushë numra komplekse ky ekuacion ka zgjidhje të ndryshme, të cilat quhen rrënjë të shkallës së unitetit:

Për të shkruar zgjidhje për një ekuacion kub, na duhen rrënjët e shkallës së 3-të të 1. Në përputhje me formulat (6), këta do të jenë numrat kompleks të mëposhtëm:

Mund të tregohet se tre rrënjët e ekuacionit kub të reduktuar janë

Këtu letra tregon rrënjën e tretë të siç është e lehtë për t'u parë, e barabartë me Kjo është formula përfundimtare e Cardano.

4. Në rastin e ekuacioneve të shkallës 1, 2 dhe 3, dimë formula që shprehin rrënjët përmes koeficientëve të ekuacionit duke përdorur veprime racionale: operacioni i nxjerrjes së rrënjëve katrore (në rastin e një ekuacioni kuadratik), veprimet. të nxjerrjes së rrënjëve katrore dhe kubike (në rastin e ekuacionit kub). Rregulla të ngjashme tregoi për ekuacionet e shkallës së 4-të studenti i G. Cardano, algjebristi italian L. Ferrari (1522-1565). Ato përfshijnë gjithashtu vetëm operacione dhe operacione racionale Të gjitha përpjekjet gjatë pothuajse tre shekujve (XVI-XVIII) për të gjetur rregulla të ngjashme për ekuacionet e 5-të dhe më shumë. shkallë të lartë me ndihmën e operacioneve racionale dhe operacionet nuk ishin të suksesshme.

Gradualisht ata filluan të dyshojnë se, ndoshta, është përgjithësisht e pamundur të shprehen rrënjët e ekuacionit të shkallës për në terma të koeficientëve vetëm duke përdorur operacionet dhe y për ato arbitrare natyrore, d.m.th., se është e pamundur të zvogëlohet zgjidhja e ekuacioneve të tilla. nga operacionet racionale për të zgjidhje konsistente ekuacionet lloj i veçantë. Rrënjët e ekuacioneve, d.m.th., ajo që zakonisht shënohet me , zakonisht quhen radikale, dhe për këtë arsye problemi i mundësisë së reduktimit të gjetjes së rrënjëve të një ekuacioni arbitrar në gjetjen e ekuacioneve të formës zakonisht quhet problemi i shprehjes së rrënjëve të një ekuacion nga radikalët.

Përpjekjet për të vërtetuar ose hedhur poshtë këtë hipotezë u bënë veçanërisht të shpeshta në gjysmën e dytë të shekullit të 18-të dhe çuan në fillimi i XIX shekulli për të vërtetuar pamundësinë e zgjidhjes së një ekuacioni të përgjithshëm të shkallës 5 dhe më të lartë në radikale.

Ndër vepra XVIII shekulli në këtë drejtim spikat për qartësinë e mendimit kujtimet e matematikanit të famshëm francez J. L. Lagrange (1736-1813), me titull “Diskurse mbi zgjidhjen algjebrike të ekuacioneve” (1771-1772). Në të, autori analizoi në detaje dhe me kujdes metodat e njohura për zgjidhjen e ekuacioneve të shkallës 2, 3 dhe 4 në radikale, për të zbuluar se si dhe pse një zgjidhje e tillë është e mundur në këto raste. Në të njëjtën kohë, ai vuri në dukje këtë rrethanë: në të gjitha këto raste ekzistojnë disa funksione të rrënjëve që plotësojnë ekuacione të një shkalle më të ulët dhe për të cilat dihet tashmë se ato zgjidhen në radikale. Rrënjët ekuacioni origjinal, nga ana tjetër, mund të gjendet nga këto funksionet e ndërmjetme përsëri nga ekuacionet e zgjidhura në radikale.

Më pas, Lagranzhi eksploron pyetjen se si të gjejmë funksione të ngjashme nga rrënjët në rastet e njohura. Doli se këto janë polinome në rrënjë të cilat, për të gjitha permutacionet e mundshme të rrënjëve - dhe numri i tyre, siç dihet, është i barabartë - nuk merr një numër më i vogël vlerat, dhe madje edhe më pak se - shkalla e ekuacionit në studim). Kjo do të ndodhë kur nuk ndryshon me disa ndërrime të rrënjëve.

Kështu u shfaqën permutacionet në çështjen e zgjidhjes së një ekuacioni në radikale!

Nëse funksioni nga rrënjët merr vetëm k kuptime të ndryshme atëherë koeficientët e polinomit

sipas një teoreme të njohur për një kohë të gjatë - kjo është e ashtuquajtura teorema themelore për funksionet simetrike - ato duhet të shprehen në mënyrë racionale përmes koeficientëve të ekuacionit në studim.

4 Shembuj. 1. Le të jetë një funksion i alternuar

nga rrënjët e ekuacionit të fuqisë. Për të gjitha permutacionet e mundshme të rrënjëve, duhen vetëm dy vlera, në varësi të faktit nëse ndërrimi është çift apo tek. Për rrjedhojë, diskriminuesi i ekuacionit nuk ndryshon në të gjitha permutacionet e mundshme dhe shprehet në mënyrë racionale nëpërmjet koeficientëve të ekuacionit në studim. Për një ekuacion kuadratik

për ekuacionin kub të reduktuar

Funksioni i alternimit të shenjave të rrënjëve i plotëson ekuacionet

përkatësisht. Shprehjet nën rrënjën katrore do t'i njohim në formulën për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik dhe deri në një faktor konstant në formulën Cardano.

2. Një shembull tjetër u shfaq në veprën e Lagranzhit të përmendur më sipër. Këta janë të ashtuquajturit tretës të Lagranzhit. Ne do t'i konsiderojmë ato, si vetë Lagranzhi, për rastin e një ekuacioni të shkallës së 3-të. Përdorimi i rrënjëve kubike të 1

ato përcaktohen si më poshtë:

Këtu janë rrënjët e ekuacionit kub në studim. Le t'i kushtojmë vëmendje tretësve të dytë dhe të tretë. Siç mund të shihet lehtë, kur riorganizoni ciklikisht rrënjët, ato shumëzohen vetëm me, përkatësisht. Për rrjedhojë, ato i rezistojnë permutacioneve ciklike dhe për këtë arsye shprehen në mënyrë racionale nëpërmjet koeficientëve të ekuacionit dhe përmes A. Mund të llogariten paraqitjet përkatëse. Me nxjerrje rrënjë kubike mund të marrë. Sipas teoremës së Vietës, ky është koeficienti me shenjën e kundërt, pra në rastin e një ekuacioni kub të reduktuar. Duke ditur nga sistemi ekuacionet lineare(7), mund të merret nëse zbatohet llogaritjet e specifikuara, atëherë mund të siguroheni që ato janë llogaritur duke përdorur formulat Cardano.

Në mënyrë të ngjashme, vetëm teknikisht më e vështirë, mund të merrni një zgjidhje në radikale për një ekuacion të shkallës së 4-të. Sa i përket ekuacionit të shkallës së 5-të, një reduktim i ngjashëm me ekuacionet e shkallëve më të ulëta nuk mund të fitohej. Megjithatë, Lagranzhi nuk e përjashtoi mundësinë e tij.

Se një reduktim i tillë është thelbësisht i pazbatueshëm u tregua në 1799 në veprën " Teori e përgjithshme ekuacione, gjë që vërteton pamundësinë zgjidhje algjebrike ekuacionet e përgjithshme mbi shkallën e katërt” Matematikani italian P. Ruffini (1765-1822). Megjithatë, prova e tij përmbante boshllëqe që ai nuk ishte në gjendje t'i eliminonte. Një provë e saktë u dha vetëm në 1826 në veprën e matematikanit norvegjez N. G. Abel (1802-1829) "Dëshmia e pamundësisë së zgjidhshmërisë algjebrike të ekuacioneve, shkalla e të cilave tejkalon të katërtin".

Arsyeja e thellë për mosekzistencën e funksioneve të rrënjëve që plotësojnë ekuacionet e një shkalle më të ulët se ajo në shqyrtim (përjashtim është gjithmonë një funksion alternativ që plotëson një ekuacion kuadratik) u zbulua nga brilanti Matematikan francez Evariste Galois (1811-1832). Galois e lidhi çdo ekuacion me një grup të atyre permutacioneve të rrënjëve të tij që nuk ndryshojnë vlerat e të gjithë polinomeve nga rrënjët me koeficientë që varen në mënyrë racionale nga koeficientët. ekuacioni i dhënë. Ky grup tani quhet grupi Galois i ekuacionit në shqyrtim.

Koncepti i një grupi Galois të një ekuacioni mund të prezantohet si më poshtë. Le të jetë një ekuacion algjebrik i një shkalle (ana e majtë e këtij ekuacioni) një polinom i shkallës .

Koeficientët e një polinomi - numrat duhet t'i përkasin njëkohësisht një fushe numrash - një grup numrash jo bosh që mbyllet nën veprimet e mbledhjes, shumëzimit, zbritjes dhe pjesëtimit me një numër të ndryshëm nga 0. Një fushë numerike është p.sh. , bashkësia Q e të gjithë numrave racionalë. Që kur konceptet e nevojshme janë futur në mënyrë uniforme për të gjitha fushat numerike, mjafton të merret parasysh vetëm njëra prej tyre. Prandaj, do të supozojmë se koeficientët e polinomit janë numra racionalë. Për më tepër, mund të supozohet (kjo vërtetohet në kurset e algjebrës) se të gjitha rrënjët e një polinomi janë të ndryshme, d.m.th., ekuacioni ka të ndryshme, në përgjithësi, rrënjë komplekse

Një lidhje racionale midis rrënjëve është çdo barazi e formës

ku është shenja e mbledhjes, shuma në anën e majtë të kësaj barazie merret mbi disa grupe treguesish dhe të gjithë koeficientët janë numra racionalë. Me fjalë të tjera, në anën e majtë të relacionit racional (8) gjendet një polinom i caktuar në c koeficientët racionalë. Bashkësia e të gjitha marrëdhënieve racionale ndërmjet rrënjëve të një ekuacioni varet vetëm nga polinomi. Është e qartë se shuma term-pas-term dhe produkti term-pas-term i marrëdhënieve racionale midis rrënjëve të disa polinomeve do të jenë gjithashtu marrëdhënie racionale midis rrënjëve të tij. Meqenëse një shembull i një lidhjeje racionale jozero është e lehtë të tregohet për çdo ekuacion, ne marrim nga kjo se ekuacion arbitrar korrespondon grup i pafund marrëdhëniet racionale midis rrënjëve të saj.

Lëreni tani

Disa ndërrime në bashkësinë e rrënjëve të ekuacionit. Le të përdorim këtë ndryshim në anën e majtë shprehjet (8). Çdo monom shndërrohet në monom nën veprimin e një rirregullimi (koeficientët e të gjithë monomëve mbeten të pandryshuar).

Ana e majtë e relacionit (8) shndërrohet në shprehjen e mëposhtme:

Ky numër mund të mos jetë zero. Të gjitha permutacionet nga grupi simetrik në grupin e rrënjëve të ekuacionit mund të ndahen në dy pjesë - ato që ruajnë relacionin racional (8) dhe ato që e shkelin atë. Nëse permutacionet ruajnë relacionin racional (8), atëherë është e qartë se produkti i tyre dhe ndërrimi i anasjelltë ndaj secilit prej tyre do ta shndërrojnë këtë barazi në relacion të sipërm. të njëjtin lloj. Me fjalë të tjera, grupi i të gjitha permutacioneve të mundshme që ruajnë lidhjen (8) (pasi nuk është bosh!) formon një grup. Ky grup quhet grupi Galois i ekuacionit

Bazuar në vetitë e këtij grupi Galois, mund të përcaktohet nëse një ekuacion i caktuar është i zgjidhshëm në radikale apo jo. Kriteri që rezulton përmban, në formën e rasteve të shpeshta, të gjithë informacionin e njohur më parë në lidhje me zgjidhshmërinë ose pazgjidhshmërinë e ekuacioneve algjebrike në radikale.

Por është e mundur që disa ekuacione me koeficientët numerikë i zgjidhshëm në radikale. Nëse kjo është e mundur apo jo, vërtetohet përsëri në bazë të shenjës së gjetur nga Galois.

Studimi i vetive të grupeve Galois është përtej qëllimit të prezantimit tonë. Vëmë re vetëm se nëse grupi Galois i një ekuacioni të caktuar është Abelian, atëherë ekuacioni është i zgjidhshëm në radikale. Të zgjidhshme në radikale do të jenë ekuacionet, grupi Galois i të cilave është një nga grupet dihedron, grupi i simetrisë së tetraedrit dhe kubit. Këta janë shembuj të të ashtuquajturave grupe të zgjidhshme, d.m.th. grupe Galois të ekuacioneve të zgjidhshme në radikale. Shembulli "më i vogël" i një grupi të pazgjidhshëm është një grup i alternuar i përbërë nga 60 permutacione; grupi që e përmban është gjithashtu i pazgjidhshëm Mund të themi se këto grupe janë "fajësore" për pazgjidhshmërinë e një ekuacioni të përgjithshëm të shkallës së 5-të në radikale: midis ekuacioneve të shkallës së 5-të ka grupe Galois të të cilëve përkon me ose An. shembull i një ekuacioni të tillë është

Meqenëse grupi Galois i një ekuacioni është një karakteristikë kaq e rëndësishme e tij, lind pyetja: si të ndërtohet ky grup nga ekuacioni? Rezulton se nuk ka nevojë të kontrollohet nëse të gjitha marrëdhëniet racionale nga rrënjët e ekuacionit i rezistojnë një ndryshimi të caktuar të rrënjëve të tij. Mjafton të kufizohemi në një verifikim të tillë për pjesën përfundimtare dhe mjaft të dukshme të këtyre marrëdhënieve. Prova e deklaratave të fundit dhe të tjera të përmendura këtu mund të gjendet në një nga librat kushtuar prezantimit të teorisë Galois dhe të treguar në listën e referencave.

Ushtrime

1. Duke përdorur diskriminuesin D të një ekuacioni kub, është e pamundur të përcaktohet nëse të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni përputhen, apo nëse vetëm dy prej tyre përkojnë. Jepni një shembull të një shprehjeje; i përbërë nga rrënjët e një ekuacioni të caktuar që do ta lejonte këtë.

5. Jepni shembuj të fushave me numra të ndryshëm nga fusha e numrave racionalë Q. Kontrolloni që të gjithë numrat e mundshëm të formës

formoni një fushë me numra.

6. Vërtetoni se nëse rrënja katrore e diskriminuesit të një polinomi është një numër racional, atëherë grupi Galois i këtij polinomi përbëhet tërësisht nga permutacione çift.

Ekuacionet algjebrike. Përkufizimi

Le të përcaktohen funksionet f(x) dhe μ(x) në një grup A. Dhe le të jetë e nevojshme të gjendet një bashkësi X në të cilën marrin këto funksione vlera të barabarta, me fjalë të tjera, gjeni të gjitha vlerat e x për të cilat vlen barazia: f(x)= q(x).

Me këtë formulim, kjo barazi quhet ekuacion me x të panjohur.

Një ekuacion quhet algjebrik nëse në të panjohurën kryhen vetëm veprime algjebrike - mbledhje, zbritje, shumëzim, pjesëtim, fuqizim dhe nxjerrje rrënjë. tregues natyror.

Ekuacionet algjebrike përmbajnë vetëm funksione algjebrike (numër të plotë, racional, irracional). Ekuacioni algjebrik në pamje e përgjithshme mund të përfaqësohet nga një polinom i shkallës së n-të me koeficientë realë:

Për shembull,

Bashkësia A quhet bashkësi (sipërfaqe) vlerat e pranueshme e panjohur për këtë ekuacion.

Bashkësia X quhet bashkësia e zgjidhjeve dhe secila prej zgjidhjeve të saj x=a është rrënja e këtij ekuacioni. Të zgjidhësh një ekuacion do të thotë të gjesh bashkësinë e të gjitha zgjidhjeve të tij ose të provosh se nuk ka asnjë.

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve algjebrike

Në shumë shkencore dhe probleme inxhinierike kërkohet të zgjidhet një ekuacion i formës

ku f(x) është një funksion i dhënë i vazhdueshëm jolinear.

Në mënyrë analitike është e mundur të gjenden zgjidhje vetëm për ekuacionet më të thjeshta. Në shumicën e rasteve, është e nevojshme të zgjidhet një ekuacion i tipit (1) duke përdorur metoda numerike.

Zgjidhja numerike e ekuacionit (1) zakonisht kryhet në dy faza. Në fazën e parë, duhet të gjeni intervale të tilla ndryshimi në ndryshoren x ku ndodhet vetëm një rrënjë. Ky problem zakonisht zgjidhet grafikisht. Në fazën e dytë, rrënjët individuale sqarohen. Për këtë përdoren metoda të ndryshme.

Metodat e zgjidhjes ekuacionet jolineare ndahen në të drejtpërdrejta dhe përsëritëse. Metodat direkte ju lejojnë të shkruani rrënjët në formën e një formule. Megjithatë, ekuacionet e hasura në praktikë nuk mund të zgjidhen gjithmonë metoda të thjeshta. Për t'i zgjidhur ato përdorim metodat përsëritëse, d.m.th. metodat e përafrimeve të njëpasnjëshme.

Metodat e drejtpërdrejta - zgjidhja gjendet paraprakisht numër i njohur veprimet aritmetike, vendimi është i rreptë. Shembuj: Metoda Gaussian, metoda e rrënjës katrore, rregulla e Cramer-it, etj.

Metodat përsëritëse janë metoda të përafrimeve të njëpasnjëshme në të cilat është e pamundur të parashikohet numri i veprimeve aritmetike që do të kërkohen për të zgjidhur një ekuacion (sistemi) me një saktësi të caktuar. Shembuj: metoda përsëritje të thjeshta, metoda Gauss-Seidel, metoda e ndarjes së një segmenti në gjysmë, etj.

Ky punim studion dhe krahason metodën e thjeshtë të përsëritjes dhe gjysmë ndarje segment.

Emri koeficientët e ekuacionit janë të dhënat, hnaz. e panjohur dhe është e dëshiruara. A. koeficientët (1) jo të gjitha supozohen e barabartë me zero. Nëse atëherë thirret shkalla e ekuacionit.

Kuptimi i të panjohurës X, të cilat plotësojnë ekuacionin (1), d.m.th., kur zëvendësojnë në vend të kësaj, ata e shndërrojnë ekuacionin në një identitet, të quajtur. rrënjët e ekuacionit (1), si dhe rrënjët e polinomit

fn(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 +...+a n .(2)

Rrënjët e një polinomi lidhen me koeficientët e tij duke përdorur formulat e Vieta-s (shih. Teorema e Vietës). Të zgjidhësh një ekuacion do të thotë të gjesh të gjitha rrënjët e tij që shtrihen në gamën e konsideruar të vlerave të së panjohurës.

Për aplikime, rasti më i rëndësishëm është kur koeficientët dhe rrënjët e ekuacionit janë numra të një natyre ose një tjetër (për shembull, racional, real ose kompleks). Konsiderohet edhe rasti kur koeficientët dhe rrënjët janë elemente të një arbitrareje fusha. Nëse numri i dhënë(ose elementi i fushës) Me - rrënja e një polinomi fn(X) , pastaj sipas Pa teoremën f n(x).pjestueshëm me x-s pa lënë gjurmë. Ndarja mund të kryhet sipas Horner

skema. Numri (ose elementi i fushës) i thirrur. k-në ushtri rrënja e polinomit f(x)( k- numri natyror x-s), nëse f(x) pjesëtohet me ( rrënjë të thjeshta polinom.

Çdo polinom f(x) i shkallës n>0 me koeficientë nga fusha Rm ka më shumë se n rrënjë në Pn, duke numëruar secilën rrënjë aq herë sa shumësia e saj (dhe, për rrjedhojë, jo më shumë se n rrënjë të ndryshme).

NË fushë e mbyllur algjebrikishtÇdo polinom i shkallës ka saktësisht rrënjë (duke llogaritur shumësinë e tyre). Në veçanti, kjo është e vërtetë për fushën e numrave kompleksë.

Ekuacioni (1) i shkallës ps me koeficientë nga fusha Pnaz. i pareduktueshëm mbi një fushë R, nëse polinomi (2) është i pakalueshëm mbi këtë fushë, d.m.th. nuk mund të përfaqësohet si produkt i polinomeve të tjerë mbi fushë R, shkallët e të cilave janë më të vogla fq. Përndryshe, thirren polinomi dhe ekuacioni përkatës. dhënë. Polinomet e shkallës zero nuk janë në vetvete as të reduktueshëm dhe as të pakalueshëm. Vetia e një polinomi të dhënë të jetë e reduktueshme ose e pakalueshme mbi fushën P varet nga fusha në shqyrtim. Kështu, polinomi x 2 -2 është i pakalueshëm mbi fushën e numrave racionalë, pasi përndryshe do të kishte rrënjët racionale, por ne e paraqesim atë në fushën e numrave realë: x 2 - 2=(x+ Ts2)(X-Ts2) . Po kështu, polinomi x 2 + 1 është i pakalueshëm mbi fushën e numrave realë, por i reduktueshëm mbi fushën e numrave kompleksë. Në përgjithësi, vetëm polinomet e shkallës së parë janë të pakalueshëm në fushën e numrave kompleksë dhe çdo polinom mund të zbërthehet në faktorët linearë. Në fushën e numrave realë, vetëm polinomet e shkallës 1 dhe polinomet e shkallës 2 që nuk kanë rrënjë reale janë të pakalueshëm (dhe çdo polinom mund të zbërthehet në linear dhe të pakalueshëm polinomet katrore). Mbi fushën e numrave racionalë ekzistojnë polinome të pakalueshme të çdo shkalle, si p.sh., polinomet e formës Pareduktueshmëria e një polinomi mbi fushën e numrave racionalë përcaktohet nga kriteri Eisenstein: nëse për një polinom (2). i shkallës me koeficientë të plotë ekziston p i tillë që ai kryesor nuk pjesëtohet me p, të gjithë koeficientët e tjerë janë të pjesëtueshëm me , dhe termi i lirë nuk është i pjesëtueshëm deri atëherë ky polinom është i pazvogëlueshëm mbi fushën e numrave racionalë.

Le R - fushë me porosi. Për çdo polinom të shkallës së pareduktueshme mbi një fushë R, ka një gjë të tillë shtrirje fusha P, e cila përmban të paktën një rrënjë të polinomit, për më tepër, ekziston një polinom, d.m.th., një fushë; R, në të cilin ky polinom mund të zbërthehet në faktorë linearë. Çdo fushë është e mbyllur algjebrikisht.

Zgjidhshmëria e ekuacioneve algjebrike në radikale. Çdo A.u. gradë jo më shumë se 4 zgjidhen në radikale. Zgjidhja e problemeve që çojnë në lloje të veçanta ekuacionesh të shkallës 2 dhe 3 mund të gjendet në Babiloninë e lashtë (2000 pes) (shih. Ekuacioni kuadratik, ekuacioni kub). Paraqitja e parë e teorisë së zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike është dhënë në librin e Diofantit “Aritmetika” (shek. III pas Krishtit). Zgjidhja në radikale për ekuacionet e shkallës 3 dhe 4 me koeficientët e shkronjave u mor nga matematikanët italianë në shekullin e 16-të. (cm. Cardano, metoda Ferrari). Për gati 300 vjet pas kësaj, u bënë përpjekje të pasuksesshme për të zgjidhur në radikale një ekuacion me koeficientët e shkronjave të fuqive të 5-ta dhe më të larta. Më në fund, në 1826 N. Abel vërtetoi se kjo ishte e pamundur.

Formulimi modern Teorema e Abelit: le të (1) × një ekuacion të shkallës me koeficientë të mirëfilltë × çdo fushë dhe fushë RF funksionet racionale nga me koeficientët nga TE; pastaj rrënjët e ekuacionit (1) (që shtrihen në një shtrirje të fushës P) nuk mund të shprehet përmes koeficientëve të këtij ekuacioni duke përdorur një numër të fundëm veprimesh të mbledhjes, zbritjes, shumëzimit, pjesëtimit (të cilat kanë kuptim në terren P) dhe shenjat rrënjësore (domethënëse në zgjerimin e fushës R). Me fjalë të tjera, ekuacioni i përgjithshëm shkalla n>4 është e pazgjidhshme në radikale (shih, f. 226).

Megjithatë, teorema e Abelit nuk e përjashton faktin që çdo A. me koeficientë të dhënë numerikë (ose koeficientë nga të kësaj fushe) zgjidhet në radikale. Ekuacionet e çdo shkalle të çdo lloji të veçantë zgjidhen në radikale (për shembull, ekuacionet binomiale). Zgjidhje e plotë pyetja se në çfarë kushtesh A. në. i tretshëm në radikale, ca. 1830 E. Galois (E. Galois).

Kryesor Teoria Galois mbi zgjidhshmërinë e A. në. në radikale është formuluar si më poshtë: le të jetë Η një polinom me koeficientë nga fusha K, i pakalueshëm mbi K; atëherë: 1) nëse të paktën një rrënjë e një ekuacioni shprehet në radikale përmes koeficientëve të këtij ekuacioni, dhe eksponentët e radikalëve nuk janë të pjesëtueshëm me karakteristikën e zeros K, atëherë Galois i këtij ekuacioni mbi fushë është i zgjidhshëm; 2) anasjelltas, nëse grupi Galois i ekuacionit f(x) = Q mbi fushën Krestim, dhe K është ose e barabartë me zero ose më e madhe se të gjitha rendet e faktorëve të përbërjes së këtij grupi, atëherë të gjitha rrënjët e ekuacionit përfaqësohen në radikale përmes koeficientëve të tij, dhe të gjithë eksponentët e radikalëve që ndodhin janë numra të thjeshtë , dhe ekuacionet binomiale që korrespondojnë me këto radikale janë të pareduktueshme mbi fusha, tek këto po bashkohen me Krimenë.

E. Galois e vërtetoi këtë teoremë për rastin kur K H fusha e numrave racionalë; në këtë rast, të gjitha kushtet për karakteristikën e fushës K që përmban formulimi i teoremës bëhen të panevojshme.

Teorema e Abelit është pasojë e teoremës së Galois, pasi grupi Galois i ekuacioneve të shkallës ns sipas koeficientëve shkronja mbi fushë Funksionet racionale të koeficientëve të një ekuacioni me koeficientë nga çdo fushë CN simetrike. grupi dhe për është i pavendosur. Për cilindo, ekzistojnë ekuacione të shkallës ps me koeficientë racionalë (dhe madje të plotë) që janë të pazgjidhshëm në radikale. Një shembull i një ekuacioni të tillë për është ekuacioni , ku рН është një numër i thjeshtë. Teoria Galois përdor metodën e reduktimit të zgjidhjes së një algoritmi të caktuar. tek zinxhiri më shumë ekuacione të thjeshta, thirri tretës të këtij ekuacioni.

Zgjidhshmëria e ekuacioneve në radikale është e lidhur ngushtë me çështjen e gjeometrisë. ndërtime duke përdorur busulla dhe vizore, në veçanti problemi i ndarjes së një rrethi në n pjesë të barabarta (shih Ndarja e një polinomi rrethor, rrënjë primitive).

Ekuacionet algjebrike në një të panjohur me koeficientë numerikë. Për të gjetur rrënjët e A. u. me koeficientë nga fusha e numrave realë ose kompleksë të shkallës më të lartë se 2, si rregull, përdoren metoda të përafërta të llogaritjes (p.sh. Metoda e parabolës). Në këtë rast, është e përshtatshme që së pari të heqësh qafe rrënjët e shumta. Një numër c është një rrënjë k-fish i një polinomi nëse dhe vetëm nëse polinomi dhe derivatet e tij sipas rendit kH 1 përfshirëse shkoni në zero në . Nëse ndahet me më të madhin pjesëtues i përbashkët të këtij polinomi dhe derivatit të tij, atëherë rezulton një polinom që ka të njëjtat rrënjë me polinomin, por vetëm të shumëfishit të parë. Madje është e mundur të ndërtohen polinome që kanë si rrënjë të thjeshta Të gjitha rrënjët e një polinomi kanë të njëjtën shumësi. Një polinom ka rrënjë të shumta nëse dhe vetëm nëse është diskriminuese e barabartë me zero.

Shpesh lindin probleme të përcaktimit të kufijve dhe numrit të rrënjëve. Përtej kufirit të sipërm të moduleve të të gjitha rrënjëve (si reale ashtu edhe komplekse) të a. (1) me çdo koeficient kompleks mund të marrim numrin

Në rastin e koeficientëve realë, zakonisht jepet një kufi më i saktë nga Metoda e Njutonit. Drejt një përkufizimi kufiri i sipërm rrënjë pozitive zvogëlon përcaktimin e kufirit të poshtëm të kufirit pozitiv, si dhe kufirit të sipërm dhe të poshtëm rrënjë negative.

Për të përcaktuar numrin e rrënjëve reale, mënyra më e lehtë është përdorimi Teorema e Dekartit. Nëse dihet se të gjitha rrënjët e një polinomi të dhënë janë reale (si, për shembull, për polinomin karakteristik të një matrice simetrike reale), atëherë teorema e Dekartit jep numrin e saktë të rrënjëve. Duke marrë parasysh një polinom, mund të përdorni të njëjtën teoremë për të gjetur numrin e rrënjëve negative. Numri i saktë i rrënjëve reale që shtrihen në një interval të caktuar (në veçanti, numri i të gjitha rrënjëve reale) të një polinomi me koeficientë realë që nuk kanë rrënjë të shumëfishta mund të gjendet nga Rregulli Sturma. Teorema e Dekartit është një rast i veçantë Budana H Teorema e Furierit, duke dhënë një vlerësim të sipërm për numrin e rrënjëve reale të një polinomi me koeficientë realë të përfshirë në një interval të caktuar fiks.

Ndonjëherë njerëzit janë të interesuar të gjejnë rrënjë të një lloji të veçantë, për shembull, kriteri Hurwitz jep të nevojshme dhe gjendje e mjaftueshme në mënyrë që të gjitha rrënjët e ekuacionit (me koeficientë kompleksë) të kenë pjesë reale negative (shih. Rousa H Kriteri Hurwitz).

Për një polinom me koeficientë racionalë, ekziston një metodë për llogaritjen e të gjitha rrënjëve të tij racionale. Një polinom me koeficientë racionalë ka të njëjtat rrënjë si një polinom me koeficientë të plotë, i cili fitohet duke shumëzuar me të përbashkëtat e të gjithë emëruesve të koeficientëve thyesat e pareduktueshme të formës , për të cilën rH janë numra , dhe H është pjesëtues i numrit (dhe madje vetëm ato të këtyre thyesave për të cilat, për çdo numër të plotë, numri është i pjesëtueshëm me ).

Nëse , atëherë të gjitha rrënjët racionale të polinomit (nëse i ka fare) janë numra të plotë që janë pjesëtues anëtar i lirë, dhe mund të gjendet me forcë brutale.

Sistemet e ekuacioneve algjebrike. Rreth sistemeve A.U shkalla e parë shih Ekuacioni linear.

Sistemi i dy A.U. çdo shkallë me dy të panjohura x dhe y mund të shkruhet si:

Ku H polinomet në një të panjohur X.

Nëse jep diçka vlerë numerike, ju merrni një sistem me dy ekuacione nga një e panjohur me koeficientë konstante. Rezultante ky sistem do të ketë përcaktuesin e mëposhtëm:

Pohimi i mëposhtëm është i vërtetë: një numër është një rrënjë e rezultantes nëse dhe vetëm nëse polinomet kanë një rrënjë të përbashkët ose të dy koeficientët kryesorë janë të barabartë me zero.

Kështu, për të zgjidhur sistemin (3) ju duhet të gjeni të gjitha rrënjët e rezultatit, të zëvendësoni secilën prej këtyre rrënjëve në sistemin (3) dhe të gjeni rrënjë të përbashkëta këto dy ekuacione me një të panjohur u. Përveç kësaj, është e nevojshme të gjenden rrënjët e përbashkëta të dy polinomeve dhe gjithashtu të zëvendësohen ato në sistemin (3) dhe të kontrollohet nëse ekuacionet që rezultojnë me një të panjohur kanë rrënjë të përbashkëta. Me fjalë të tjera, zgjidhja e një sistemi prej dy A. në. me dy të panjohura vjen deri te zgjidhja e një ekuacioni me një të panjohur dhe llogaritja e rrënjëve të përbashkëta të dy ekuacioneve me një të panjohur (rrënjët e përbashkëta të dy ose më shumë polinomeve me një të panjohur janë rrënjët e pjesëtuesit më të madh të përbashkët). - EKUACIONI ALGJEBRIK, ekuacion që mund të shndërrohet në mënyrë që në anën e majtë të ketë një polinom në të panjohurat, dhe në anën e djathtë do të ketë një zero. Shkalla e një polinomi quhet shkalla e ekuacionit. Ekuacionet më të thjeshta algjebrike: ekuacioni linear... ...

Fjalor Enciklopedik i Ilustruar Ekuacioni i përftuar duke barazuar dy shprehjet algjebrike . Për shembull, x2+xy+y2 =x+1. Një ekuacion algjebrik me një të panjohur mund të shndërrohet në formën aо + a1x + ... + anxn=0 ...

Fjalori i madh enciklopedik ekuacioni algjebrik - - [L.G. Sumenko. Fjalor anglisht-rusisht për teknologjinë e informacionit. M.: Ndërmarrja Shtetërore TsNIIS, 2003.] Temat Teknologjia e informacionit në përgjithësi ekuacioni polinomial EN ... Udhëzues Teknik i Përkthyesit - ekuacion i marrë duke barazuar dy algjebra. shprehjet. Për shembull, x2 + xy + y2 = x+ 1. A.y. me një të panjohur x mund të shndërrohet në formën ao + a1x+ ... + anxn = 0 ...

Shkenca natyrore. Fjalor Enciklopedik Një ekuacion i shkallës së katërt në matematikë është një ekuacion algjebrik i formës: . Shkalla e katërt për ekuacionet algjebrike është më e larta në të cilën ekziston zgjidhje analitike

në radikalë në formë të përgjithshme (d.m.th., për çdo vlerë... ... Wikipedia Grafiku i një polinomi të shkallës 6, me 5 pikat kritike . Një ekuacion i shkallës së gjashtë është një ekuacion algjebrik që ka shkallë maksimale

6. Në përgjithësi mund të shkruhet si më poshtë... Wikipedia

Ekuacionet algjebrike - ekuacionet e formës ku është një polinom në ndryshore. Këto variabla quhen të panjohura. Një grup i renditur numrash e plotëson këtë ekuacion nëse, kur zëvendësohet me , me , etj. fitohet barazia numerike e saktë (për shembull, trefishi i renditur i numrave (3, 4, 5) plotëson ekuacionin, pasi ). Numri që plotëson një ekuacion algjebrik në një të panjohur quhet rrënja e atij ekuacioni. Grupi i të gjitha grupeve të numrave të kënaqshëm, ka shumë zgjidhje për këtë ekuacion. Dy ekuacione algjebrike që kanë të njëjtin grup zgjidhjesh quhen ekuivalente. Shkalla e një polinomi quhet shkalla e ekuacionit. Për shembull, - një ekuacion i shkallës së parë, - një shkallë e dytë, dhe - shkalla e katërt. Ekuacionet e shkallës së parë quhen gjithashtu lineare (shiko Ekuacionet lineare).

Një ekuacion algjebrik me një të panjohur ka numri përfundimtar rrënjët dhe bashkësia e zgjidhjeve të një ekuacioni algjebrik me një numër i madh të panjohurat mund të jenë një numër i pafund i grupeve specifike të numrave. Prandaj, ata zakonisht konsiderojnë jo ekuacione individuale algjebrike me të panjohura, por sisteme ekuacionesh dhe kërkojnë grupe numrash që përmbushin njëkohësisht të gjitha ekuacionet e një sistemi të caktuar. Kombinimi i të gjitha këtyre grupeve formon grupin e zgjidhjeve të sistemit. Për shembull, bashkësia e zgjidhjeve të sistemit të ekuacioneve është: .

Puna e Abelit fitoi njohje dhe matematikanët filluan të shqetësoheshin për fatin e tij. Matematikanët akademikë francezë i dërgojnë një mesazh mbretit suedez, i cili sundoi Norvegjinë, me një kërkesë për të marrë pjesë në fatin e Abelit. Ndërkohë, tuberkulozi i Abelit po përparonte me shpejtësi dhe më 6 prill 1829 ai vdiq. Ekuacionet algjebrike të shkallës 1 me një të panjohur tashmë ishin zgjidhur Egjipti i lashtë dhe Babilonia e Lashtë. Skribët babilonas ishin në gjendje të zgjidhnin ekuacionet kuadratike, si dhe sistemet më të thjeshta të ekuacioneve lineare dhe ekuacioneve të shkallës së 2-të. Duke përdorur tabela të veçanta, ata zgjidhën edhe disa ekuacione të shkallës së 3-të, p.sh. Në Greqinë e Lashtë, ekuacionet kuadratike zgjidheshin duke përdorur ndërtime gjeometrike. Matematikani grek Diophantus (shek. III) zhvilloi metoda për zgjidhjen e ekuacioneve algjebrike dhe sistemet e ekuacioneve të tilla me shumë të panjohura në numrat racionalë . Për shembull, ai e zgjidhi ekuacionin me numra racional

Disa probleme gjeometrike: dyfishimi i një kubi, treprerja e një këndi (shih Problemet klasike të antikitetit), ndërtimi i një shtatëkëndëshi të rregullt - çojnë në zgjidhjen e ekuacioneve kubike. Gjatë zgjidhjes, ishte e nevojshme të gjendeshin pikat e kryqëzimit të seksioneve konike (elipset, parabolat dhe hiperbolat). Duke përdorur metoda gjeometrike, matematikanët e Lindjes mesjetare studiuan zgjidhjet e ekuacioneve kubike. Megjithatë, ata nuk ishin në gjendje të nxirrnin një formulë për t'i zgjidhur ato. Zbulimi i parë i madh i matematikës evropiane perëndimore u mor në shekullin e 16-të. formula për zgjidhjen e ekuacionit kub. Sepse në atë kohë numra negativ ende nuk ishte bërë i përhapur, ishte e nevojshme të analizoheshin veçmas lloje të tilla ekuacionesh si, etj. Matematikani italian S. del Ferro (1465-1526) zgjidhi ekuacionin dhe ia komunikoi zgjidhjen dhëndrit dhe studentit A. -M. Fiore, i cili sfidoi matematikanin e shquar autodidakt N. Tartaglia (1499-1557) në një turne matematikor. Disa ditë para turneut, Tartaglia gjeti metodë e përgjithshme duke zgjidhur ekuacionet kub dhe fitoi, duke zgjidhur shpejt të 30 problemet që i ofroheshin. Megjithatë, formula e gjetur nga Tartaglia për zgjidhjen e ekuacionit

Krijimi i simbolikës algjebrike dhe përgjithësimi i konceptit të numrit deri në numra kompleksë e bënë të mundur në shekujt XVII-XVIII. kërkimore vetitë e përgjithshme ekuacionet algjebrike të shkallëve më të larta, si dhe vetitë e përgjithshme të polinomeve në një dhe disa ndryshore.

Një nga më detyra të rëndësishme teoria e ekuacioneve algjebrike në shekujt 17-18. po gjente një formulë për zgjidhjen e një ekuacioni të shkallës së 5-të. Pas kërkimeve të pafrytshme të shumë brezave algjebristësh, me përpjekjet e një shkencëtari francez të shekullit të 18-të. J. Lagrange (1736-1813), shkencëtari italian P. Ruffini (1765-1822) dhe matematikani norvegjez N. Abel në fundi i XVIII- fillimi i shekullit të 19-të u vërtetua se nuk ka asnjë formulë që mund të përdoret për të shprehur rrënjët e çdo ekuacioni të shkallës së 5-të përmes koeficientëve të ekuacionit, duke përdorur vetëm veprime aritmetike dhe nxjerrjen e rrënjëve. Këto studime u plotësuan nga puna e E. Galois, teoria e të cilit bën të mundur përcaktimin për çdo ekuacion nëse rrënjët e tij janë të shprehura në radikale. Edhe para kësaj, K.F. Gausi zgjidhi problemin e shprehjes së rrënjëve të ekuacionit në radikale katrore, tek të cilat reduktohet problemi i ndërtimit të një trekëndëshi të rregullt duke përdorur një busull dhe një vizore. Në veçanti, është e pamundur të ndërtohet një shtatëkëndësh i rregullt, nëntëkëndësh, etj. duke përdorur këto mjete. – një ndërtim i tillë është i mundur vetëm në rastin kur - një numër i thjeshtë i formës ose një produkt i ndryshëm numrat e thjeshtë këtij lloji.

Së bashku me kërkimin e formulave për të zgjidhur ekuacione specifike u hetua çështja e ekzistencës së rrënjëve për çdo ekuacion algjebrik. Në shekullin e 18-të filozofi dhe matematikani francez J. D'Alembert vërtetoi se çdo ekuacion algjebrik i shkallës jozero me koeficientë kompleksë ka të paktën një rrënjë komplekse. Nga kjo teoremë doli se çdo polinom i shkallës 0 mund të zbërthehet në një produkt të faktorëve linearë.

Aktualisht, teoria e sistemeve të ekuacioneve algjebrike është kthyer në një fushë të pavarur të matematikës të quajtur gjeometria algjebrike. Ai studion linjat, sipërfaqet dhe manifoldet me dimensione më të larta, të përcaktuara nga sisteme të ekuacioneve të tilla.

EKUACIONI ALGJEBRIK, një ekuacion i formës F(x 1 ,…,x m)=0, ku F është një polinom në m variabla, të cilët quhen të panjohur.

Supozohet se koeficientët e polinomit i përkasin një fushe kryesore fikse K. Zgjidhja e një ekuacioni algjebrik është një grup i tillë x * 1,..., x * m vlerash të panjohura nga fusha K (ose e saj shtrirje), e cila, pas zëvendësimit në polinomin F, e kthen atë në zero. Detyra kryesore e teorisë së ekuacioneve algjebrike është të sqarojë kushtet kur një ekuacion i caktuar algjebrik ka një zgjidhje dhe një përshkrim të grupit të të gjitha zgjidhjeve.

Një ekuacion algjebrik me një të panjohur ka formën

Supozohet se n>0 dhe a 0 ≠ 0. Numri n quhet shkalla e ekuacionit, dhe numrat a 0, a 1 ... dhe n janë koeficientët e tij. Vlerat e të panjohurës x që janë zgjidhje të ekuacionit quhen rrënjët e tij, si dhe rrënjët e polinomit F(x). Nëse α është rrënja e ekuacionit (1), atëherë polinomi F(x) ndahet pa mbetje me (x-α) (teorema e Bezout). Një element α i fushës kryesore K (ose shtrirja e saj) quhet rrënjë k-fish e një ekuacioni algjebrik nëse polinomi F(x) është i pjesëtueshëm me (x-α)k dhe i papjesëtueshëm me (x-α)k. +1. Rrënjët e shumëfishit 1 quhen gjithashtu rrënjë të thjeshta të një ekuacioni.

Çdo polinom i shkallës n me koeficientë nga fusha K nuk ka më shumë se n rrënjë në K, duke numëruar rrënjët duke marrë parasysh shumëzimet e tyre. Nëse fusha K është e mbyllur algjebrikisht, atëherë çdo polinom i tillë ka saktësisht n rrënjë, duke marrë parasysh shumëzimet e tyre. Në veçanti, kjo është e vërtetë për fushën e numrave kompleks C (teorema themelore e algjebrës). Nga teorema e Bezout rrjedh se F(x) mund të paraqitet në formë

ku α 1,.....α n janë rrënjët e ekuacionit. Rrënjët dhe koeficientët e ekuacionit lidhen me formulat e Vietës

Çdo ekuacion i shkallës n≤ 4 mund të zgjidhet në radikale. Kjo do të thotë se për rrënjët e një ekuacioni ka formula të qarta që shprehin rrënjët përmes koeficientëve të ekuacionit dhe përdorin vetëm mbledhje, zbritje, shumëzim, pjesëtim dhe nxjerrje rrënjë. Në rastin e n=2 (ekuacioni kuadratik), formulat kanë formën

Zgjidhjet për problemet që reduktohen në lloje të veçanta ekuacionesh të shkallës së dytë dhe të tretë gjenden në tekstet kuneiforme Babilonia e lashtë. Paraqitja e parë e teorisë së zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike është dhënë në Aritmetika e Diofantit (shek. III). Zgjidhja në radikale e ekuacioneve të shkallës 3 dhe 4 në formë të përgjithshme u mor nga matematikanët italianë G. Cardano dhe L. Ferrari në shekullin e 16-të. Për gati 300 vjet janë bërë përpjekje për të gjetur zgjidhje e përgjithshme në radikalët e ekuacioneve të shkallëve më të mëdha se 4. Në vitin 1826 N. Abel vërtetoi se kjo është e pamundur (megjithatë nuk përjashtohet mundësia e ekzistencës së formulave të tilla për ekuacione specifike të shkallës n>4). Një zgjidhje e plotë për pyetjen se në cilat kushte një ekuacion algjebrik është i zgjidhshëm në radikale u mor nga E. Galois (rreth 1830). Çështja e zgjidhshmërisë së ekuacioneve në radikale është e lidhur ngushtë me çështjen e ndërtime gjeometrike duke përdorur një busull dhe një vizore, veçanërisht me ndarjen e një rrethi në n pjesë të barabarta, me vërtetimin e pamundësisë së dyfishimit të një kubi, treprerjen e një këndi dhe katrorin e një rrethi.

Për aplikime, rasti është shumë i rëndësishëm kur koeficientët dhe rrënjët e ekuacionit janë numra (nga fushat e numrave të plotë Z, Q racionale, R reale ose C numra komplekse); në këtë rast, shpesh përdoren vetitë e veçanta të këtyre fushave (për shembull, prania e topologjisë ose renditja në to). Në këtë rast, duke përdorur funksione speciale, mund të merrni formula të qarta për zgjidhjen e ekuacioneve të shkallës më të madhe se 4.

Për të gjetur praktikisht rrënjët e ekuacioneve me koeficientë nga R dhe C, përdoren metoda të përafërta. Për të vlerësuar nga lart numrin e rrënjëve reale të ekuacioneve me koeficientë realë, mund të përdorni teoremën e Dekartit: numri i rrënjëve pozitive, duke marrë parasysh shumëfishimet e tyre, është i barabartë ose me numër çift më pak se numri i ndryshimeve të shenjave në sekuencën e koeficientëve jozero të ekuacionit.

Ekzistojnë vlerësime të shumta për vlerat e rrënjëve. Kështu, mbi fushën C vlerat | α i |, i = 1, ..., n, nuk kalojnë

Nëse koeficientët janë realë dhe a 0 ≥a 1 ≥ ... ≥a n ≥0, atëherë të gjitha rrënjët e ekuacionit qëndrojnë në plan kompleks në një rreth njësi.

Në lidhje me studimin e çështjes së qëndrueshmërisë sistemet mekanike lind pyetja se kur të gjitha rrënjët e një polinomi të dhënë F(x) kanë pjesë reale negative (problemi Routh-Hurwitz). Polinome të tilla F quhen të qëndrueshme. Rezultatet kryesore mbi polinomet e qëndrueshme i përkasin C. Hermite, shkencëtarit anglez E. Routh dhe matematikanëve gjermanë A. Hurwitz dhe I. Schur.

Sistemet e ekuacioneve algjebrike në disa të panjohura studiohen në gjeometrinë algjebrike. Një seksion i veçantë, teoria e ekuacioneve diofantine, përfshin studimin e ekuacioneve algjebrike mbi fusha të hapura, siç është fusha Q.

Një sistem ekuacionesh algjebrike është një sistem ekuacionesh që ka formën

Sistemet e ekuacioneve të shkallës 1 (ekuacionet lineare) studiohen në algjebër lineare.

Rezultati më i thjeshtë për numrin e zgjidhjeve të një sistemi ekuacionesh algjebrike vlen për rastin kur ka k ekuacionet homogjene nga k + 1 ndryshore. Të gjitha zgjidhjet x 1 * ,...,x x+1 k kombinohen në klasa zgjidhjesh λ 1 * ..., λх k+1 *, ku λ≠0 i përket fushës K. Atëherë numri i jo- zero (klasa) zgjidhjesh të sistemit duke marrë parasysh shumëzimet e tyre në rast i përgjithshëmështë i barabartë me prodhimin e fuqive të polinomeve F 1, ..., F k. Kushti i përgjithshëm është që koeficientët e polinomeve F 1, ..., F k të mos i përkasin disa varieteteve algjebrike në hapësirë ​​afine Një koeficient që ka një dimension rreptësisht më të vogël se A (teorema e Bezout).

Në rastin kur merren parasysh sistemet e ekuacioneve algjebrike johomogjene, për të gjetur numrin e zgjidhjeve të tyre është e nevojshme të përdoren invariante më delikate sesa shkalla, përkatësisht poliedrat e Njutonit. Nëse

ku i=(i 1 ,..i n) Є Z n atëherë poliedri i Njutonit i një polinomi F është trupi konveks në hapësirën R n të pikave i për të cilat a i ≠ 0. Numri i zgjidhjeve të një sistemi ekuacionesh aritmetike shprehet përmes poliedrit të Njutonit të polinomeve F 1 ,. . . ,Fk.

Lit.: Mishina A.P., Proskuryakov I.V. Algjebër lineare, polinomet, algjebër e përgjithshme. M., 1965; Kurosh A.G. Kursi i algjebrës së lartë. M., 1975; Kostrikin A.I. Hyrje në algjebër. M., 1977; Postnikov M. M. Polinome të qëndrueshme. M., 1981; Fadeev D.K., Sominsky I.S. Problemet në algjebër më të lartë. Shën Petersburg, 2001.

I. V. Proskuryakov, A. N. Parshin.