Öğrenciler ilk yılda en sık 2. dereceden yüzeylerle karşılaşırlar. İlk başta bu konudaki problemler basit görünebilir, ancak okudukça yüksek matematik ve bilimsel tarafa doğru derinleşerek, sonunda olup bitenlere dair yönünüzü kaybedebilirsiniz. Bunun olmaması için, sadece ezberlemekle kalmayıp, şu veya bu yüzeyin nasıl elde edildiğini, katsayılardaki değişikliklerin onu ve orijinal koordinat sistemine göre konumunu nasıl etkilediğini ve yeni bir sistemin nasıl bulunacağını (bir merkezinin orijin koordinatlarıyla çakıştığı ancak aşağıdakilerden birine paralel olduğu koordinat eksenleri). En baştan başlayalım.
Tanım
Koordinatları aşağıdaki formun genel denklemini karşılayan 2. dereceden bir yüzeye GMT adı verilir:
Yüzeye ait her noktanın belirlenen bazda üç koordinata sahip olması gerektiği açıktır. Her ne kadar bazı durumlarda yer noktalar örneğin bir düzleme dönüşebilir. Bu sadece koordinatlardan birinin sabit olduğu ve izin verilen tüm değerler aralığı boyunca sıfıra eşit olduğu anlamına gelir.
Yukarıdaki eşitliğin tam yazılı şekli şöyle görünür:
A 11 x 2 +A 22 y 2 +A 33 z 2 +2A 12 xy+2A 23 yz+2A 13 xz+2A 14 x+2A 24 y+2A 34 z+A 44 =0.
A nm - bazı sabitler, x, y, z - karşılık gelen değişkenler afin koordinatlar herhangi bir nokta. Bu durumda sabit faktörlerden en az birinin olmaması gerekir. sıfıra eşit yani hiçbir nokta denkleme karşılık gelmeyecektir.
Örneklerin büyük çoğunluğunda, birçok sayısal faktör hala aynı şekilde sıfıra eşittir ve denklem önemli ölçüde basitleştirilmiştir. Pratikte bir noktanın bir yüzeye ait olup olmadığını belirlemek zor değildir (koordinatlarını denklemde yerine koyup özdeşliğin gözlenip görülmediğini kontrol etmek yeterlidir). Anahtar nokta böyle bir işte ikincisini getirmektir kanonik form.
Yukarıda yazılan denklem herhangi bir (hepsi aşağıda listelenmiştir) 2. dereceden yüzeyleri tanımlar. Aşağıdaki örneklere bakalım.
2. dereceden yüzey çeşitleri
2. derece yüzeylerin denklemleri yalnızca A nm katsayılarının değerlerinde farklılık gösterir. İtibaren genel görünüm sabitlerin belirli değerlerinde, aşağıdaki gibi sınıflandırılan çeşitli yüzeyler elde edilebilir:
- Silindirler.
- Eliptik tip.
- Hiperbolik tip.
- Konik tip.
- Parabolik tip.
- Uçaklar.
Listelenen türlerin her birinin doğal ve hayali bir formu vardır: sanal formda, gerçek noktaların yeri ya daha fazla yozlaşır. basit bir şekil veya tamamen yoktur.
Silindirler
Bu en basit türdür, çünkü nispeten karmaşık eğri yalnızca tabanda yer alır ve bir kılavuz görevi görür. Jeneratörler düz çizgilerdir, dik düzlemler, tabanın bulunduğu yer.
Grafik dairesel bir silindiri göstermektedir - özel durum eliptik silindir. XY düzleminde, jeneratörler Z eksenine paralel olduğundan, projeksiyonu bir elips (bizim durumumuzda bir daire) - bir kılavuz ve XZ'de - bir dikdörtgen olacaktır. katsayılara aşağıdaki değerleri vermek gerekir:
Her zamanki x, y, z, x gösterimleri yerine seri numarası- Önemli değil.
Aslında 1/a 2 ve burada belirtilen diğer sabitler genel denklemde belirtilen katsayılarla aynıdır, ancak bunları tam olarak bu biçimde yazmak gelenekseldir - bu kanonik gösterim. Bundan sonra bu giriş yalnızca kullanılacaktır.
Bu hiperbolik bir silindiri tanımlar. Şema aynı; abartı kılavuz olacak.
Parabolik silindir biraz farklı tanımlanır: kanonik formu, parametre adı verilen bir p katsayısı içerir. Aslında katsayı q=2p'dir, ancak bunu sunulan iki faktöre bölmek gelenekseldir.
Başka bir silindir türü daha var: hayali. Böyle bir silindire ait hiçbir gerçek nokta yoktur. Eliptik bir silindirin denklemiyle tanımlanır, ancak bir yerine -1 vardır.
Eliptik tip
Elipsoid eksenlerden biri boyunca uzatılabilir (bunun boyunca yukarıda belirtilen a, b, c sabitlerinin değerlerine bağlıdır; açıkçası, daha büyük eksen daha büyük bir katsayıya karşılık gelecektir).
Ayrıca hayali bir elipsoid de vardır - katsayılarla çarpılan koordinatların toplamının -1'e eşit olması koşuluyla:
Hiperboloidler
Sabitlerden birinde bir eksi göründüğünde, elipsoidin denklemi tek sayfalık bir hiperboloidin denklemine dönüşür. Bu eksinin x3 koordinatının önünde yer alması gerekmediğini anlamalısınız! Yalnızca hangi eksenlerin hiperboloidin dönme ekseni olacağını (veya ona paralel olacağını) belirler, çünkü karede ek terimler göründüğünde (örneğin, (x-2) 2), şeklin merkezi şu şekilde kayar: Sonuç olarak yüzey koordinat eksenlerine paralel hareket eder). Bu, tüm 2. derece yüzeyler için geçerlidir.
Ek olarak, denklemlerin kanonik biçimde sunulduğunu ve sabitleri değiştirerek (işareti korurken!) değiştirilebileceğini anlamalısınız; aynı zamanda görünümleri (hiperboloit, koni vb.) aynı kalacaktır.
Böyle bir denklem iki yapraklı bir hiperboloit tarafından verilir.
Konik yüzey
Koni denkleminde birlik yoktur; sıfıra eşittir.
Bir koni yalnızca sınırlıdır konik yüzey. Aşağıdaki resim aslında grafikte iki adet koni olacağını göstermektedir.
Önemli not: dikkate alınan tüm kanonik denklemlerde, sabitlerin varsayılan olarak pozitif olduğu varsayılır. Aksi halde işaret son grafiği etkileyebilir.
Koordinat düzlemleri koninin simetri düzlemleri haline gelir, simetri merkezi orijinde bulunur.
Hayali bir koninin denkleminde yalnızca artılar vardır; tek bir gerçek noktaya sahiptir.
Paraboloidler
Uzayda 2. dereceden yüzeyler alabilir çeşitli şekiller benzer denklemlerle bile. Örneğin paraboloitler iki tiptedir.
x 2 /a 2 +y 2 /b 2 =2z
Eliptik bir paraboloit, Z ekseni çizime dik olduğunda bir elips şeklinde yansıtılacaktır.
x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =2z
Hiperbolik paraboloit: ZY'ye paralel düzlemli kesitlerde paraboller, XY'ye paralel düzlemli kesitlerde ise hiperboller elde edilecektir.
Kesişen düzlemler
Düzlemde 2. derece yüzeylerin dejenere olduğu durumlar vardır. Bu düzlemler çeşitli şekillerde düzenlenebilir.
Öncelikle kesişen düzlemlere bakalım:
x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =0
Kanonik denklemin bu modifikasyonuyla, basitçe kesişen iki düzlem (hayali!) elde ederiz; tüm gerçek noktalar denklemde bulunmayan koordinat ekseninde bulunur (kanonik olanda - Z ekseni).
Paralel düzlemler
Yalnızca bir koordinat varsa, 2. dereceden yüzeyler bir çifte dönüşür paralel düzlemler. Unutmayın, oyuncunun yerini başka herhangi bir değişken alabilir; daha sonra diğer eksenlere paralel düzlemler elde edilecektir.
Bu durumda hayali hale gelirler.
Tesadüf uçaklar
Bununla basit denklem bir çift düzlem tek bir düzleme dönüşür - çakışırlar.
Üç boyutlu bir temel durumunda yukarıdaki denklemin y=0 düz çizgisini belirtmediğini unutmayın! Diğer iki değişken eksik ama bu sadece değerlerinin sabit ve sıfıra eşit olduğu anlamına geliyor.
Yapı
Bir öğrenci için en zor görevlerden biri tam olarak 2. derece yüzeylerin yapımıdır. Eğrinin eksenlere göre eğim açıları ve merkezin kayması dikkate alındığında bir koordinat sisteminden diğerine geçmek daha da zordur. Tutarlı bir şekilde nasıl belirleneceğini gözden geçirelim gelecek görünümü Analitik bir şekilde çizim yapmak.
2. dereceden bir yüzey oluşturmak için yapmanız gerekenler:
- denklemi kanonik forma getirin;
- incelenen yüzeyin tipini belirlemek;
- katsayıların değerlerine göre inşa edin.
Aşağıda dikkate alınan tüm türler verilmiştir:
Bunu güçlendirmek için, bu tür bir görevin bir örneğini ayrıntılı olarak açıklayacağız.
Örnekler
Diyelim ki denklemimiz var:
3(x 2 -2x+1)+6y 2 +2z 2 +60y+144=0
Bunu kanonik forma getirelim. Tam kareleri seçelim, yani mevcut terimleri toplamın veya farkın karesinin ayrıştırması olacak şekilde düzenleyeceğiz. Örneğin: eğer (a+1) 2 =a 2 +2a+1 ise, bu durumda a 2 +2a+1=(a+1) 2 olur. İkinci bir operasyon gerçekleştireceğiz. Parantez içinde bu durumda Açıklamaya gerek yok çünkü bu sadece hesaplamaları karmaşıklaştıracaktır, ancak ortaya çıkarmak gerekir. ortak çarpan 6 (parantez içinde mükemmel kare oyun) ihtiyacınız olan:
3(x-1) 2 +6(y+5) 2 +2z 2 =6
Zet değişkeni bu durumda yalnızca bir kez görünür; şimdilik onu kendi haline bırakabilirsiniz.
Bu aşamada denklemi analiz edelim: Bütün bilinmeyenlerin önünde artı işareti bulunur; Altıya bölündüğünde bir kalıyor. Sonuç olarak önümüzde bir elipsoidi tanımlayan bir denklem var.
144'ün 150-6'ya dahil edildiğine ve ardından -6'nın sağa kaydırıldığına dikkat edin. Neden bu şekilde yapılması gerekiyordu? Açıkçası en büyük bölen V bu örnekte-6, bu nedenle, bir birimin kendisine bölündükten sonra sağda kalması için, 144'ten tam olarak 6'yı “bir kenara koymak” gerekir (birimin sağda olması gerektiği, bir birimin varlığıyla gösterilir). serbest terim - bilinmeyenle çarpılmayan bir sabit).
Her şeyi altıya bölelim ve elipsoidin kanonik denklemini elde edelim:
(x-1) 2 /2+(y+5) 2 /1+z 2 /3=1
Daha önce kullanılan 2. derece yüzeylerin sınıflandırmasında, şeklin merkezinin koordinatların orijininde olması durumunda özel bir durum dikkate alınır. Bu örnekte ofsetlenmiştir.
Bilinmeyenleri olan her parantez yeni bir değişken olduğunu varsayıyoruz. Yani: a=x-1, b=y+5, c=z. Yeni koordinatlarda elipsoidin merkezi (0,0,0) noktasıyla çakışır, dolayısıyla a=b=c=0 olur, dolayısıyla: x=1, y=-5, z=0. Başlangıç koordinatlarında şeklin merkezi (1,-5,0) noktasındadır.
Elipsoid iki elipsten elde edilecektir: birincisi XY düzleminde ve ikincisi XZ düzleminde (veya YZ - önemli değil). Değişkenlerin bölündüğü katsayıların kanonik denklemde kareleri alınır. Dolayısıyla yukarıdaki örnekte ikinin köküne, bire ve üçün köküne bölmek daha doğru olacaktır.
Birinci elipsin Y eksenine paralel olan yan ekseni ikiye eşittir. Ana eksen X eksenine paraleldir - ikinin iki kökü. İkinci elipsin Y eksenine paralel olan küçük ekseni aynı kalır - ikiye eşittir. A ana eksen Z eksenine paralel olan , üçün iki köküne eşittir.
Orijinal denklemden elde edilen verileri kanonik forma dönüştürerek kullanarak bir elipsoid çizebiliriz.
Özetlemek
Bu yazıda ele alınan konu oldukça kapsamlıdır ancak aslında şimdi görebileceğiniz gibi çok karmaşık değildir. Aslında gelişimi, yüzeylerin adlarını ve denklemlerini (ve tabii ki neye benzediklerini) ezberlediğiniz anda sona erer. Yukarıdaki örnekte her adımı ayrıntılı olarak inceledik ancak denklemi kanonik forma getirmek minimum düzeyde yüksek matematik bilgisi gerektirir ve öğrenciye herhangi bir zorluk yaratmamalıdır.
Mevcut eşitliğe dayalı olarak gelecekteki programın analizi halihazırda fazlasıyla zor görev. Ancak bunu başarılı bir şekilde çözmek için, karşılık gelen ikinci dereceden eğrilerin (elipsler, paraboller ve diğerleri) nasıl oluşturulduğunu anlamak yeterlidir.
Dejenerasyon vakaları daha da basit bir bölümdür. Bazı değişkenlerin bulunmaması nedeniyle, daha önce de belirtildiği gibi sadece hesaplamalar değil, aynı zamanda inşaatın kendisi de basitleştirilmiştir.
Tüm yüzey türlerini güvenle adlandırabildiğiniz, sabitleri değiştirebildiğiniz, bir grafiği şu veya bu şekle dönüştürebildiğiniz anda konu hakim olacaktır.
Çalışmalarınızda iyi şanslar!
Eliptik denklem:
Özel bir durum eliptik silindiröyle dairesel silindir denklemi x 2 + y 2 = R 2'dir. x 2 =2pz denklemi uzayda tanımlar parabolik silindir.
Denklem: uzayda tanımlar hiperbolik silindir.
Bu yüzeylerin tümüne denir ikinci dereceden silindirlerçünkü denklemleri mevcut x, y, z koordinatlarına göre ikinci dereceden denklemlerdir.
18. Gerçel sayılar, karmaşık sayılar Karmaşık sayılarla ilgili işlemler. Karmaşık sayılar. Moivre'nin formülleri.
Karmaşık sayı isim z=x+iy formundaki ifade, burada x ve y gerçek sayılardır ve i sözdedir. hayali birim, . Eğer x=0 ise 0+iy=iy sayısı çağrılır. hayali bir sayı; y=0 ise, x+i0=x sayısı x gerçel sayısıyla tanımlanır, bu da Rall kümesinin gerçel olduğu anlamına gelir. fenomen sayıları tüm karmaşık sayılar kümesi C'nin bir alt kümesi, yani .Sayı x ad gerçel kısmı z, .İki karmaşık sayıya eşit denir (z1=z2), ancak ve ancak gerçek kısımları eşit ve imajiner kısımları eşitse: x1=x2, y1=y2. Özellikle, Z=x+iy karmaşık sayısı ancak ve ancak x=y=0 ise sıfıra eşittir. Karmaşık sayılar için “daha fazla” ve “daha az” kavramları getirilmemiştir. Yalnızca sanal kısmın işareti farklı olan z = x + iy и iki karmaşık sayıya eşlenik denir.
Geometrik resim karmaşık sayılar.
Herhangi bir z=x+iy karmaşık sayısı, Oksi düzleminin bir M(x,y) noktası ile x=Rez, y=Imz olacak şekilde temsil edilebilir. Ve tersine, koordinat düzleminin her M(x;y) noktası bir görüntü olarak düşünülebilir. karmaşık sayı z=x+iy. Karmaşık sayıların gösterildiği düzleme denir karmaşık düzlem, Çünkü z=x+0i=x gerçek sayılarını içerir. Ordinat ekseni sanal eksen olarak adlandırılır çünkü tamamen sanal karmaşık sayılar z=0+iy onun üzerinde yer alır. Z=x+iy karmaşık sayısı r=OM=(x,y) yarıçap vektörü kullanılarak belirtilebilir. Z karmaşık sayısını temsil eden r vektörünün uzunluğuna bu sayının modülü denir ve |z| veya r. arasındaki açının büyüklüğü Yön gerçek eksen ve karmaşık bir sayıyı temsil eden r vektörüne bu karmaşık sayının argümanı denir ve Argz veya ile gösterilir. Z=0 karmaşık sayısının argümanı tanımlı değildir. Karmaşık bir sayının argümanı çok değerli bir miktardır ve argz'nin () aralığında yer alan argümanın ana değeri olduğu bir terime kadar belirlenir, yani. - 
(bazen argümanın ana değeri, değer olarak alınır. aralığa ait (0; )).
z sayısını z=x+iy şeklinde yazmaya denir. cebirsel form karmaşık sayı.
Tek farkla, "düz" grafikler yerine en yaygın mekansal yüzeyleri dikkate alacağız ve bunları elle nasıl yetkin bir şekilde oluşturacağımızı da öğreneceğiz. Üç boyutlu çizimler oluşturmak için yazılım araçlarını seçmek için oldukça uzun zaman harcadım ve birkaç iyi uygulama buldum, ancak tüm kullanım kolaylığına rağmen bu programlar önemli sorunları çözmüyor pratik soru. Gerçek şu ki, öngörülebilir tarihsel gelecekte öğrenciler hala bir cetvel ve kalemle silahlandırılacak ve hatta yüksek kaliteli bir "makine" çizimine sahip olsalar bile, çoğu kişi onu doğru bir şekilde aktaramayacak. kareli kağıt. Bu nedenle kılavuzda özel ilgi manuel yapım tekniğine ayrılmıştır ve sayfadaki resimlerin önemli bir kısmı el yapımı bir üründür.
Bunun nesi farklı referans materyali analoglardan mı?
Terbiyeli bir yapıya sahip olmak pratik deneyim, En çok hangi yüzeylerle uğraşmam gerektiğini çok iyi biliyorum gerçek sorunlar yüksek matematik ve umarım bu makale size yardımcı olacaktır. mümkün olan en kısa sürede Bagajınızı, vakaların %90-95'inde yeterli olması gereken ilgili bilgi ve uygulamalı becerilerle doldurun.
Şu anda ne yapabilmeniz gerekiyor?
En temel:
Öncelikle şunları yapabilmeniz gerekir: doğru şekilde inşa etmek uzaysal Kartezyen koordinat sistemi (bkz. makalenin başlangıcı) Fonksiyonların grafikleri ve özellikleri) .
Bu makaleyi okuduktan sonra ne kazanacaksınız?
Şişe Ders materyallerine hakim olduktan sonra, işlevine ve/veya denklemine göre yüzeyin tipini hızlı bir şekilde belirlemeyi, uzayda nasıl konumlandığını hayal etmeyi ve elbette çizimler yapmayı öğreneceksiniz. İlk okumadan sonra her şeyi kafanıza oturtamamanızda sorun yoktur; daha sonra istediğiniz zaman herhangi bir paragrafa dönebilirsiniz.
Bilgi herkesin gücündedir - bu konuda uzmanlaşmak için herhangi bir süper bilgiye, özel sanatsal yeteneğe veya mekansal vizyona ihtiyacınız yoktur.
Haydi başlayalım!
Uygulamada, uzaysal yüzey genellikle verilir. iki değişkenli fonksiyon veya formun bir denklemi (sağ taraftaki sabit çoğunlukla sıfır veya bire eşittir). İlk atama daha tipiktir matematiksel analiz, ikincisi – için analitik geometri. Denklem aslında üstü kapalı olarak verilmiş Tipik durumlarda kolayca forma indirgenebilen 2 değişkenli bir fonksiyon. sana hatırlatıyorum en basit örnek C:
–düzlem denklemi tür .
– düzlem fonksiyonu açıkça .
Onunla başlayalım:
Düzlemlerin ortak denklemleri
Tipik seçenekler uçakların düzenlenmesi dikdörtgen sistem Koordinatlar makalenin başında ayrıntılı olarak tartışılmaktadır. Düzlem denklemi. Ancak yine de denklemler üzerinde duralım. büyük önem pratik için.
Öncelikle koordinat düzlemlerine paralel olan düzlemlerin denklemlerini tam otomatik olarak tanımalısınız. Düzlem parçaları standart olarak dikdörtgenler olarak gösterilir ve son iki durumda bunlar paralelkenarlara benzer. Varsayılan olarak herhangi bir boyutu seçebilirsiniz (elbette makul sınırlar dahilinde), ancak koordinat ekseninin düzlemi "deldiği" noktanın simetri merkezi olması arzu edilir: 
Açıkçası, koordinat eksenleri bazı yerlerde noktalı çizgilerle gösterilmelidir, ancak karışıklığı önlemek için bu nüansı ihmal edeceğiz.
– (sol çizim) eşitsizlik, düzlemin kendisi hariç, bizden en uzaktaki yarı uzayı belirtir;
– (orta çizim) eşitsizlik, düzlem de dahil olmak üzere sağ yarı uzayı belirtir;
– (sağ çizim)çifte eşitsizlik, her iki düzlemi de içeren düzlemler arasında yer alan bir "katmanı" tanımlar.
Kendi kendine ısınma için:
Örnek 1
Düzlemlerle sınırlanmış bir cisim çizin
Belirli bir bedeni tanımlayan bir eşitsizlikler sistemi oluşturun.
Kaleminizin altından eski bir tanıdık çıkmalı. küboid . Görünmeyen kenar ve yüzlerin noktalı çizgi ile çizilmesi gerektiğini unutmayın. Dersin sonunda çizim bitti.
Lütfen, İHMAL ETMEYİN öğrenme hedefleriçok basit görünseler bile. Aksi takdirde, birini kaçırmış, ikisini kaçırmış ve daha sonra üç boyutlu bir çizimi denemek için tam bir saat harcamış olabilirsiniz. gerçek örnek. Ayrıca, mekanik iş materyali çok daha etkili bir şekilde öğrenmenize ve zekanızı geliştirmenize yardımcı olacak! Bu bir tesadüf değil anaokulu Ve ilkokulÇocuklara çizim, modelleme, yapım setleri ve diğer görevler yüklenir. ince motor becerileri parmaklar. Konu dışına çıktığım için kusura bakmayın ama iki defterimin kaybolmasına izin vermeyin gelişim psikolojisi =)
Bir sonraki uçak grubuna şartlı olarak “doğru orantılılık” diyeceğiz - bunlar koordinat eksenlerinden geçen uçaklardır:
2) formun bir denklemi eksenden geçen bir düzlemi belirtir;
3) formun bir denklemi eksenden geçen bir düzlemi belirtir.
Her ne kadar resmi işaret açık olsa da (denklemde hangi değişken eksik - düzlem o eksenden geçiyor) meydana gelen olayların özünü anlamak her zaman faydalıdır:
Örnek 2
Düzlem inşa et
İnşa etmenin en iyi yolu nedir? öneririm sonraki algoritma:
Öncelikle “y” harfinin alınabileceği açıkça görülen formdaki denklemi yeniden yazalım. herhangi anlamlar. Değeri sabitleyelim yani koordinat düzlemini ele alalım. Denklem seti uzay çizgisi, belirli bir koordinat düzleminde yatıyor. Bu çizgiyi çizimde gösterelim. Düz çizgi koordinatların başlangıç noktasından geçer, dolayısıyla onu oluşturmak için bir nokta bulmak yeterlidir. İzin vermek . Bir noktayı kenara koyun ve düz bir çizgi çizin.
Şimdi düzlem denklemine dönüyoruz. "Y" kabul ettiğinden herhangi değerler, daha sonra düzlemde oluşturulan düz çizgi sürekli olarak sola ve sağa "çoğaltılır". Eksenden geçen düzlemimiz tam olarak bu şekilde oluşuyor. Çizimi tamamlamak için düz çizginin soluna ve sağına iki tane koyarız paralel çizgiler ve sembolik paralelkenarın enine yatay bölümlerle “kapatılması”: 
Durum ek kısıtlamalar getirmediğinden uçağın bir parçası biraz daha küçük veya biraz daha büyük boyutlarda tasvir edilebildi.
Uzamsalın anlamını bir kez daha tekrarlayalım. doğrusal eşitsizlikörnek olarak. Tanımladığı yarım uzay nasıl belirlenir? Bir noktaya değinelim ait değilörneğin düzlemde bize en yakın yarı uzaydan bir nokta alıp koordinatlarını eşitsizlikte yerine koyarız:
Kabul edilmiş gerçek eşitsizlik Bu, eşitsizliğin alt (düzlece göre) yarı uzayı belirttiği, ancak düzlemin kendisinin çözüme dahil olmadığı anlamına gelir.
Örnek 3
Uçak inşa et
A) ;
B) .
Bunlar için görevler kendini geliştirme Zorluk durumunda benzer akıl yürütmeyi kullanın. Dersin sonunda kısa talimatlar ve çizimler.
Pratikte eksene paralel düzlemler özellikle yaygındır. Düzlemin eksenden geçtiği özel durum az önce “ol” noktasında tartışılmıştı ve şimdi daha fazlasını analiz edeceğiz. ortak görev:
Örnek 4
Düzlem inşa et
Çözüm: “z” değişkeni denklemde açıkça yer almamaktadır; bu, düzlemin uygulanan eksene paralel olduğu anlamına gelir. Önceki örneklerdeki tekniğin aynısını kullanalım.
Düzlemin denklemini formda yeniden yazalım. 
buradan "zet"in alabileceği açıktır herhangi anlamlar. Bunu düzeltelim ve “yerel” düzlemde düzenli bir “düz” düz çizgi çizelim. Bunu oluşturmak için referans noktaları almak uygundur.
"Z" kabul ettiğinden Tüm değerler, daha sonra oluşturulan düz çizgi sürekli olarak yukarı ve aşağı "çoğalır" ve böylece istenen düzlemi oluşturur. 
. Dikkatlice makul boyutta bir paralelkenar çiziyoruz: 
Hazır.
Segmentlerdeki bir düzlemin denklemi
En önemli uygulamalı çeşittir. Eğer Tüm ihtimaller düzlemin genel denklemi sıfır olmayan, o zaman formda temsil edilebilir 
buna denir düzlemin segmentlerdeki denklemi. Düzlemin koordinat eksenlerini noktalarda kestiği açıktır ve böyle bir denklemin en büyük avantajı çizim oluşturma kolaylığıdır:
Örnek 5
Düzlem inşa et
Çözüm: Öncelikle düzlemin parçalar halinde bir denklemini oluşturalım. Hadi aktaralım ücretsiz üye sağa gidin ve her iki tarafı da 12'ye bölün: 
Hayır, burada yazım hatası yok ve her şey uzayda oluyor! Önerilen yüzeyi yakın zamanda uçaklar için kullanılan yöntemin aynısını kullanarak inceliyoruz. Denklemi formda yeniden yazalım. 
, buradan "zet"in alındığı sonucu çıkıyor herhangi anlamlar. Düzlemde bir elips sabitleyip oluşturalım. "zet" kabul ettiğine göre Tüm değerler, daha sonra oluşturulan elips sürekli olarak yukarı ve aşağı "çoğaltılır". Yüzeyin anlaşılması kolaydır. sonsuz:
Bu yüzeye denir eliptik silindir
. Bir elips (herhangi bir yükseklikte) denir rehber silindir ve elipsin her noktasından geçen paralel çizgilere denir. şekillendirme silindir (bunlar gerçekten kelimeler onu oluşturur). Eksen simetri ekseni yüzey (ama onun bir parçası değil!).
Belirli bir yüzeye ait herhangi bir noktanın koordinatları mutlaka denklemi karşılar 
.
mekansal eşitsizlik, silindirik yüzeyin kendisi de dahil olmak üzere sonsuz "borunun" "içerisini" belirtir ve buna göre, zıt eşitsizlik silindirin dışındaki noktaların kümesini tanımlar.
İÇİNDE pratik problemler en popüler özel durum ne zaman rehber silindir daire:
Örnek 8
Denklemin verdiği yüzeyi oluşturun
Sonsuz bir "boru" tasvir etmek imkansızdır, bu nedenle sanat genellikle "kırpma" ile sınırlıdır.
İlk olarak, düzlemde yarıçaplı bir daire ve ardından üstünde ve altında birkaç daire daha oluşturmak uygundur. Ortaya çıkan daireler ( kılavuzlar silindir) dört paralel düz çizgiyle dikkatlice bağlayın ( şekillendirme silindir): 
Gözümüze görünmeyen çizgiler için noktalı çizgiler kullanmayı unutmayın.
Belirli bir silindire ait herhangi bir noktanın koordinatları denklemi sağlar 
. Kesinlikle “boru”nun içinde kalan herhangi bir noktanın koordinatları eşitsizliği karşılar 
ve eşitsizlik 
dış parçanın bir dizi noktasını tanımlar. Daha iyi bir anlayış için birkaçını düşünmenizi öneririm belirli noktalar uzay ve kendiniz görün.
Örnek 9
Bir yüzey oluşturun ve düzlem üzerindeki izdüşümünü bulun
Denklemi formda yeniden yazalım. 
bundan "x"in aldığı sonucu çıkıyor herhangi anlamlar. Düzlemde düzeltip tasvir edelim daire– merkez orijinde, birim yarıçaplı. "x" sürekli olarak kabul ettiğinden Tüm değerler, daha sonra oluşturulan daire simetri eksenine sahip dairesel bir silindir oluşturur. Başka bir daire çizin ( rehber silindir) ve bunları dikkatlice düz çizgilerle bağlayın ( şekillendirme silindir). Bazı yerlerde örtüşmeler vardı ama ne yapmalı, böyle bir eğim: 
Bu sefer kendimi boşluktaki bir silindir parçasıyla sınırladım ve bu tesadüf değil. Pratikte genellikle yüzeyin yalnızca küçük bir parçasını tasvir etmek gerekir.
Bu arada, burada 6 generatris var - iki ek düz çizgi, sol üst ve sağ alt köşelerden yüzeyi "kaplıyor".
Şimdi silindirin düzlem üzerindeki izdüşümüne bakalım. Pek çok okuyucu projeksiyonun ne olduğunu anlıyor, ancak yine de beş dakikalık bir fiziksel egzersiz daha yapalım. Lütfen ayağa kalkın ve eksenin noktası alnınıza dik olacak şekilde başınızı çizimin üzerine eğin. Bu açıdan bakıldığında silindirin görünüşü, onun bir düzlem üzerindeki izdüşümüdür. Ancak düz çizgiler arasında, düz çizgilerin kendisi de dahil olmak üzere, sonsuz bir şerit gibi görünüyor. Bu projeksiyon- tam olarak bu tanım alanı işlevler (silindirin üst “oluğu”), (alt “oluk”).
Bu arada diğer koordinat düzlemlerine projeksiyonlarla durumu netleştirelim. Güneş ışınlarının silindirin ucundan ve eksen boyunca parlamasına izin verin. Bir silindirin bir düzlem üzerindeki gölgesi (izdüşümü) benzer bir sonsuz şerittir - düzlemin, düz çizgiler de dahil olmak üzere düz çizgilerle (- herhangi biri) sınırlanan bir kısmı.
Ancak düzleme izdüşümü biraz farklıdır. Silindire eksenin ucundan bakarsanız, birim yarıçaplı bir daireye yansıtılacaktır. 
, inşaatına başladık.
Örnek 10
Bir yüzey oluşturun ve koordinat düzlemlerine izdüşümlerini bulun
Bu bir görev için bağımsız karar. Koşul çok net değilse, her iki tarafın karesini alın ve sonucu analiz edin; Fonksiyon tarafından silindirin hangi kısmının belirtildiğini bulun. Yukarıda defalarca kullanılan yapım tekniğini kullanın. Hızlı Çözüm Dersin sonunda çizim ve yorumlar.
Eliptik ve diğerleri silindirik yüzeyler Koordinat eksenlerine göre kaydırılabilir, örneğin:
(hakkındaki makalenin tanıdık motiflerine dayanarak 2. derece satırlar)
- eksene paralel bir noktadan geçen simetri doğrusuna sahip birim yarıçaplı bir silindir. Ancak pratikte bu tür silindirlere oldukça nadir rastlanır ve koordinat eksenlerine göre “eğik” olan silindirik bir yüzeyle karşılaşmak kesinlikle inanılmazdır.
Parabolik silindirler
Adından da anlaşılacağı gibi, rehber böyle bir silindir parabol.
Örnek 11
Bir yüzey oluşturun ve koordinat düzlemlerine izdüşümlerini bulun.
Bu örneğe dayanamadım =)
Çözüm: Hadi alışılmış yoldan gidelim. Denklemi "zet" in herhangi bir değer alabileceği şekilde yeniden yazalım. Daha önce önemsiz referans noktalarını işaretledikten sonra düzlem üzerinde sıradan bir parabol sabitleyip oluşturalım. "Z" kabul ettiğinden Tüm değerler, daha sonra oluşturulan parabol sürekli olarak yukarı ve aşağı sonsuza kadar "çoğaltılır". Aynı parabolü örneğin bir yüksekliğe (düzlemde) yerleştiririz ve bunları paralel düz çizgilerle dikkatlice bağlarız ( silindiri oluşturan): 
sana hatırlatıyorum faydalı teknik: Başlangıçta çizimin kalitesinden emin değilseniz, önce çizgileri bir kalemle çok ince çizmek daha iyidir. Daha sonra eskizin kalitesini değerlendiriyoruz, yüzeyin gözlerimizden gizlendiği alanları buluyoruz ve ancak bundan sonra kaleme baskı uyguluyoruz.
Projeksiyonlar.
1) Silindirin bir düzleme izdüşümü bir paraboldür. Bu durumda hakkında konuşmanın imkansız olduğu unutulmamalıdır. iki değişkenli bir fonksiyonun tanım alanı– silindir denkleminin indirgenememesi nedeniyle işlevsel biçim.
2) Bir silindirin bir düzleme izdüşümü, eksen de dahil olmak üzere yarım düzlemdir.
3) Ve son olarak silindirin düzlem üzerindeki izdüşümünün tamamı düzlemdir.
Örnek 12
İnşa etmek parabolik silindirler:
a) kendinizi yakın yarı uzaydaki yüzeyin bir parçasıyla sınırlandırın;
b) aralıkta
Zorluk durumunda acele etmiyoruz ve önceki örneklere benzeterek akıl yürütmüyoruz; ne mutlu ki teknoloji iyice gelişmiş durumda. Yüzeylerin biraz hantal olması kritik değildir - temel resmin doğru şekilde görüntülenmesi önemlidir. Ben şahsen çizgilerin güzelliğiyle pek ilgilenmiyorum; eğer C notuyla kabul edilebilir bir çizim elde edersem, genellikle onu yeniden yapmam. Bu arada, örnek çözüm çizimin kalitesini artırmak için başka bir teknik kullanıyor ;-)
Hiperbolik silindirler
Kılavuzlar bu tür silindirler hiperbollerdir. Gözlemlerime göre bu tür yüzey önceki türlere göre çok daha az yaygındır, bu yüzden kendimi tek bir şematik çizimle sınırlayacağım. hiperbolik silindir :
Buradaki akıl yürütme ilkesi tamamen aynı - olağan okul abartısı düzlemden itibaren sürekli olarak yukarı ve aşağı sonsuza kadar “çoğalır”.
Söz konusu silindirler sözde silindirlere aittir. 2. dereceden yüzeyler ve şimdi bu grubun diğer temsilcileriyle tanışmaya devam edeceğiz:
Elipsoid. Küre ve top
Kanonik denklem dikdörtgen koordinat sistemindeki bir elipsoid şu şekle sahiptir: 
, Nerede - pozitif sayılar (aks milleri elipsoid), hangi genel durum farklı. Elipsoid denir yüzey, Bu yüzden vücut belirli bir yüzeyle sınırlıdır. Çoğu kişinin tahmin ettiği gibi beden eşitsizlikle belirlenir 
ve herhangi birinin koordinatları iç nokta(aynı zamanda yüzeydeki herhangi bir nokta) zorunlu olarak bu eşitsizliği karşılar. Tasarım koordinat eksenlerine ve koordinat düzlemlerine göre simetriktir: 
“Elipsoid” teriminin kökeni de açıktır: eğer yüzey “kesilmişse” koordinat düzlemleri, bu durumda bölümlerin üç farklı bölümü olacaktır (genel durumda)
Tanım 1. Silindirik yüzey birbirine paralel doğruların oluşturduğu yüzeylere denir şekillendirme .
Tüm oluşturan silindirik yüzeyleri kesen herhangi bir düzlem, onu çizgi boyunca keserse R, o zaman bu satır çağrılır rehber bu silindirik yüzey.
Teorem . Uzayda bir Kartezyen koordinat sistemi ve düzlemdeki bir denklem tanıtılırsa xOy bir doğrunun denklemidir R o zaman uzaydaki bu denklem silindirik bir yüzeyin denklemidir L kılavuz çizgisi ile R ve jeneratörler eksene paraleldir Oz(Şekil 3.19, a).
Kanıt. Nokta 
silindirik bir yüzey üzerinde yatıyor L ancak ve ancak projeksiyon 
puan M uçağa xOy eksene paralel Oz hatta yatıyor R, yani ancak ve ancak denklem geçerliyse 
.
Benzer sonuçlar formdaki denklemler için de geçerlidir 
(Şekil 3.19, b) ve 
(Şekil 3.19, c).
Tanım 2 . Kılavuzları ikinci dereceden çizgiler olan silindirik yüzeylere denir ikinci dereceden silindirik yüzeyler .
Üç tip ikinci derece silindir vardır: eliptik (Şekil 3.20)
, (5.42)
hiperbolik (Şekil 3.21)
, (5.43)
parabolik (Şekil 3.22)
. (5.44)
Pirinç. 3.20 Şekil. 3.21 Şek. 3.22
Silindirler için, denklemlerle verilir(5.42), (5.43) ve (5.44), kılavuz çizgileri sırasıyla elipstir
,
hiperbol
,
parabol
,
ve jeneratörler eksene paraleldir Oz.
Yorum. Görüldüğü gibi ikinci dereceden konik ve silindirik yüzeyler doğrusal üreteçlere sahiptir ve bu yüzeylerin her biri uzayda düz bir çizginin hareketi ile oluşturulabilmektedir.
Tüm ikinci dereceden yüzeyler arasında, silindir ve koniye ek olarak, tek katmanlı bir hiperboloit ve bir hiperbolik paraboloidin de doğrusal jeneratörlere sahip olduğu ve tıpkı bir silindir ve koni durumunda olduğu gibi, bunların her ikisinin de olduğu ortaya çıktı. yüzeyler uzayda düz bir çizginin hareketiyle oluşturulabilir (bkz. özel literatür).
§4. Genel ikinci dereceden yüzey denkleminin kanonik forma indirgenmesi
Genel ikinci dereceden yüzey denkleminde
a) ikinci dereceden form
Nerede 
;
b) doğrusal form
Nerede 
;
c) ücretsiz üye 
.
Denklemi (5.45) kanonik forma getirmek için öncelikle böyle bir koordinat dönüşümünün gerçekleştirilmesi gerekir. 
ve sonuç olarak ilişkili ortonormal temel 
ikinci dereceden formu (5.46) kanonik forma dönüştürür (bkz. kitap 2, bölüm 8, §3, paragraf 3.1).
Bu ikinci dereceden formun matrisi
,
nerede, yani matris A– simetrik. ile belirtelim 
özdeğerler ve aracılığıyla 
matrisin özvektörlerinden oluşan ortonormal taban A.İzin vermek
–
temelden geçiş matrisi 
tabana 
, A 
– bu temelle ilişkili yeni bir koordinat sistemi.
Daha sonra koordinatları dönüştürürken
(5.48)
ikinci dereceden form (5.46) kanonik formu alır
Nerede 
.
Şimdi koordinat dönüşümünü (5.48) doğrusal forma (5.47) uygulayarak şunu elde ederiz:
Nerede 
,
– yeni form katsayıları (5.47).
Böylece denklem (5.45) şu şekli alır:
+.
Bu denklem şuna indirgenebilir: kanonik form formüllere göre koordinat sisteminin paralel aktarımını kullanma
veya 
(5.49)
Koordinat sistemi dönüşümünü gerçekleştirdikten sonra paralel aktarım
(5.49), genel denklem Kartezyen koordinat sistemine göre ikinci derece yüzeyler (5.45) 
aşağıdaki on yedi yüzeyden birini ifade edecektir:
1) elipsoid 
2) hayali elipsoid 
3) tek sayfalık hiperboloit 
4) iki yapraklı hiperboloit 
5) koni 
6) hayali koni 
7) eliptik paraboloit
8) hiperbolik paraboloit
9) eliptik silindir
10) hayali eliptik silindir
11) iki hayali kesişen düzlem
12) hiperbolik silindir
13) kesişen iki düzlem
14) parabolik silindir
15) iki paralel düzlem
16) iki hayali paralel düzlem
17) iki çakışan düzlem
Örnek. Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemine göre tanımlanan bir yüzeyin tipini ve konumunu belirleyin 
ve ilgili ortonormal temel 
denklem
İkinci dereceden formu verelim
(5.51)
kanonik forma. Bu formun matrisi şu şekle sahiptir:
.
Bu matrisin özdeğerlerini karakteristik denklemden belirleyelim.
Buradan 1 = 2, 2 = 0, 3 = 3.
Şimdi bulduk özvektörler matrisler A: 1) izin ver 
, o zaman denklemden 
veya koordinat formunda
nerede olduğunu bul 
– herhangi bir sayı ve dolayısıyla 
, A 
. Doğrusal vektörlerin tüm kümesinden 
bir vektör seç 
, kimin modülü 
, yani vektörü normalleştir 
.
2) için 
sahibiz
.
Buradan 
, Nerede 
– herhangi bir sayı. Daha sonra 
, A 
. Vektörün normalleştirilmesi 
, birim vektörü bulun 
:
,
Nerede 
.
3)
, ardından bileşenler için 
vektör 
bir sistemimiz var
Nereden, nereden 
– herhangi bir sayı ve dolayısıyla 
, A 
. Vektörün normalleştirilmesi 
, birim vektörü bulun 
vektörün verdiği yön için 
:
Nerede 
.
Şimdi ortonormal tabandan hareket edelim 
ortonormal bir temele 
, matrisin özvektörlerinden oluşur A ve son temele yeni bir Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemi bağlayın 
. Böyle bir dönüşümün geçiş matrisi şu şekildedir:
,
ve koordinatlar formüllere göre dönüştürülür
(5.52)
Bu koordinat dönüşümünü ikinci dereceden forma (5.51) uygulayarak onu kanonik forma indirgeyebiliriz.
, Nerede 
.
Şimdi doğrusal formülün hangi forma sahip olduğunu belirleyelim
, Nerede 
,
koordinatlar formüllere (5.52) göre dönüştürülürse. Sahibiz
Böylece, eğer koordinat sistemi 
formülleri (5.52) kullanarak dönüştürün, ardından göreceli olarak yeni sistem koordinatlar 
söz konusu ikinci dereceden yüzey denklemle verilir
Denklem (5.53), formüllere göre koordinat sisteminin paralel aktarımı kullanılarak kanonik forma indirgenir.
bundan sonra yüzeyin koordinat sistemine göre denklemi 
formu alır
veya 
Bu denklem, yönlendirici elipsi koordinat düzleminde yer alan eliptik bir silindiri ifade eder. 
ve üreten çizgiler eksene paraleldir 
Yorum. Bu bölümde ana hatları verilen, ikinci dereceden bir yüzeyin genel denklemini kanonik forma indirgemeye yönelik şema, aynı zamanda ikinci dereceden bir eğrinin genel denklemini kanonik forma indirgemeye de uygulanabilir.
