İkinci dereceden form kavramı. İkinci dereceden formun matrisi. İkinci dereceden formun kanonik formu. Lagrange yöntemi. İkinci dereceden bir formun normal görünümü. İkinci dereceden formun sıralaması, indeksi ve imzası. Pozitif tanımlı ikinci dereceden form. Kuadrikler.

İkinci dereceden form kavramı: vektörün koordinatlarında ikinci dereceden homojen bir polinomla tanımlanan bir vektör uzayı üzerinde bir fonksiyon.

İkinci dereceden form N bilinmiyor her bir terimi bu bilinmeyenlerden birinin karesi veya iki farklı bilinmeyenin çarpımı olan toplam olarak adlandırılır.

İkinci dereceden matris: Matrise ikinci dereceden formdaki bir matris denir. bu temelde. Alan karakteristiği 2'ye eşit değilse ikinci dereceden formdaki matrisin simetrik olduğunu varsayabiliriz.

İkinci dereceden formda bir matris yazın:

Buradan,

Vektör matris formunda ikinci dereceden form şöyledir:

A, nerede

İkinci dereceden formun kanonik formu:İkinci dereceden bir forma kanonik denir, eğer hepsi yani

Herhangi bir ikinci dereceden form şuna indirgenebilir: kanonik form doğrusal dönüşümler kullanarak. Uygulamada genellikle aşağıdaki yöntemler kullanılmaktadır.

Lagrange yöntemi : tam karelerin sıralı seçimi. Örneğin, eğer

Daha sonra ikinci dereceden formda benzer bir prosedür gerçekleştirilir. vb. İkinci dereceden formda her şey ancak daha sonra ön dönüşümün ardından konu, dikkate alınan prosedüre gelir. Yani, örneğin, o zaman varsayarsak

İkinci dereceden formun normal formu: Normal ikinci dereceden form, tüm katsayıların +1 veya -1'e eşit olduğu kanonik ikinci dereceden bir formdur.

İkinci dereceden formun sıralaması, dizini ve imzası:İkinci dereceden formun sıralaması A matrisin rütbesi denir A. İkinci dereceden bir formun sırası, bilinmeyenlerin dejenere olmayan dönüşümleri altında değişmez.

Negatif katsayıların sayısına negatif form indeksi denir.

Kanonik formdaki pozitif terimlerin sayısına ikinci dereceden formun pozitif atalet indeksi, negatif terimlerin sayısına ise negatif indeks denir. Pozitif ve negatif endeksler arasındaki farka ikinci dereceden formun imzası denir.

Pozitif tanımlı ikinci dereceden form: Gerçek ikinci dereceden form Değişkenlerin aynı anda sıfır olmayan herhangi bir gerçek değeri için pozitif tanımlı (negatif tanımlı) olarak adlandırılır,

. (36)

Bu durumda matrise pozitif tanımlı (negatif tanımlı) da denir.

Pozitif belirli (negatif belirli) formlar sınıfı, negatif olmayan (yani pozitif olmayan) formlar sınıfının bir parçasıdır.

Kuadrikler:İkinci dereceden - N boyutlu hiperyüzey N+1 boyutlu uzay, ikinci dereceden bir polinomun sıfırları kümesi olarak tanımlanır. Koordinatları girerseniz ( X 1 , X 2 , xn+1 ) (Öklidyen veya afin uzayı), genel denklem kuadrikler şu şekle sahiptir

Bu denklem matris gösteriminde daha kısa bir şekilde yeniden yazılabilir:

burada x = ( X 1 , X 2 , xn+1 ) — satır vektörü, X T, yeri değiştirilmiş bir vektördür, Q— boyut matrisi ( N+1)×( N+1) (elemanlarından en az birinin sıfır olmadığı varsayılır), P bir satır vektörüdür ve R- devamlı. Gerçek olanlara göre kuadrikler çoğunlukla dikkate alınır karmaşık sayılar. Tanım, yansıtmalı uzaydaki kuadriklere genişletilebilir, aşağıya bakınız.

Daha genel olarak sistemin sıfırları kümesi polinom denklemleri cebirsel bir çeşit olarak bilinir. Bu nedenle, bir kuadrik, ikinci dereceden ve 1 kodlu bir (afin veya projektif) cebirsel çeşittir.

Düzlem ve uzayın dönüşümleri.

Düzlem dönüşümünün tanımı. Hareket algılama. hareketin özellikleri. İki tür hareket vardır: birinci türden hareket ve ikinci türden hareket. Hareket örnekleri. Analitik ifade hareketler. Düzlem hareketlerinin sınıflandırılması (varlığına bağlı olarak) sabit noktalar ve değişmez çizgiler). Grup düzlem hareketleri.

Düzlem dönüşümünün tanımı: Tanım. Noktalar arasındaki mesafeyi koruyan düzlem dönüşümüne denir hareket uçağın (veya hareketinin). Düzlem dönüşümü denir afin Aynı doğru üzerinde bulunan herhangi üç noktayı yine aynı doğru üzerinde bulunan ve aynı zamanda üç noktanın basit ilişkisini koruyarak üç noktaya dönüştürürse.

Hareket Tanımı: Bunlar noktalar arasındaki mesafeleri koruyan şekil dönüşümleridir. Eğer iki şekil hareket yoluyla birbirine tam olarak hizalanıyorsa bu şekiller aynı, eşittir.

Hareket özellikleri: Bir düzlemin yönelimi koruyan her hareketi ya bir paralel öteleme ya da bir dönmedir; bir düzlemin her yönelimi değiştiren hareketi ya bir eksenel simetri ya da bir kayma simetrisidir. Hareket ederken, düz bir çizgi üzerinde bulunan noktalar, düz bir çizgi üzerinde yer alan noktalara dönüşür ve sıraları korunur. göreceli konum. Hareket ederken yarım çizgiler arasındaki açılar korunur.

İki tür hareket: birinci türden hareket ve ikinci türden hareket: Birinci türden hareketler, belirli bir figürün tabanlarının yönünü koruyan hareketlerdir. Sürekli hareketlerle gerçekleştirilebilirler.

İkinci tür hareketler, tabanların yönünü tersine değiştiren hareketlerdir. Sürekli hareketlerle gerçekleştirilemezler.

Birinci türdeki hareketlerin örnekleri, düz bir çizgi etrafında öteleme ve dönmedir; ikinci türdeki hareketler ise merkezi ve ayna simetrileridir.

Birinci türden herhangi bir sayıda hareketin bileşimi, birinci türden bir harekettir.

İkinci türden çift sayıdaki hareketlerin bileşimi 1. türden harekettir ve 2. türden tek sayıdaki hareketlerin bileşimi 2. türden harekettir.

Hareket örnekleri:Paralel aktarım . Verilen vektör a olsun. A vektörüne paralel transfer, düzlemin kendi üzerine eşlenmesidir; burada her M noktası, MM1 vektörü olan M1 noktasına eşlenir. vektöre eşit A.

Paralel öteleme bir harekettir çünkü mesafeleri koruyarak düzlemin kendi üzerine haritalanmasıdır. Bu hareket görsel olarak tüm düzlemin yön yönünde kayması olarak temsil edilebilir. verilen vektör ama uzunluğunda.

Döndür. Düzlem üzerinde O noktasını gösterelim ( tornalama merkezi) ve açıyı ayarlayın α ( dönme açısı). Düzlemin O noktası etrafında bir a açısı kadar dönmesi, düzlemin kendi üzerine eşlenmesidir; burada her M noktası, OM = OM 1 ve MOM 1 açısı a'ya eşit olacak şekilde M 1 noktasına eşlenir. Bu durumda, O noktası yerinde kalır, yani kendi üzerine haritalanır ve diğer tüm noktalar O noktası etrafında aynı yönde - saat yönünde veya saat yönünün tersine döner (şekil saat yönünün tersine dönüşü gösterir).

Döndürme bir harekettir çünkü mesafelerin korunduğu düzlemin kendi üzerine haritalanmasını temsil eder.

Hareketin analitik ifadesi:ön görüntünün koordinatları ile noktanın görüntüsü arasındaki analitik bağlantı (1) biçimindedir.

Düzlem hareketlerin sınıflandırılması (sabit noktaların ve değişmez çizgilerin varlığına bağlı olarak): Tanım:

Düzlemdeki bir nokta, belirli bir dönüşüm altında kendisine dönüşüyorsa değişmezdir (sabittir).

Örnek: Ne zaman merkezi simetri simetri merkezinin noktası değişmez. Dönerken dönme merkezinin noktası değişmez. Şu tarihte: eksenel simetri düz bir çizgi değişmezdir - simetri ekseni, değişmez noktalardan oluşan düz bir çizgidir.

Teorem: Bir hareketin tek bir değişmez noktası yoksa en az bir değişmez yönü vardır.

Örnek: Paralel aktarım. Aslında bu yöne paralel düz çizgiler, değişmez noktalardan oluşmasa da, bir bütün olarak şekil olarak değişmezdir.

Teorem: Eğer bir ışın hareket ederse, ışın kendi içine aktarılır, o zaman bu hareket ya kimlik dönüşümü veya verilen ışını içeren düz çizgiye göre simetri.

Bu nedenle, değişmez noktaların veya şekillerin varlığına dayanarak hareketleri sınıflandırmak mümkündür.

Düzlem hareket grubu: Geometride önemli rol kendi kendini birleştiren figürlerden oluşan gruplar oynuyor. Eğer bir düzlemde (veya uzayda) belirli bir figür varsa, o zaman figürün kendisine dönüştüğü düzlemin (veya uzayın) tüm hareketlerinin bir kümesini düşünebiliriz.

Bu set bir gruptur. Örneğin, eşkenar üçgenÜçgeni kendisine dönüştüren düzlemin hareketleri grubu 6 unsurdan oluşur: bir nokta etrafında açılarla dönmeler ve üç düz çizgi etrafındaki simetriler.

Şekil 2'de gösterilmektedirler. 1 kırmızı çizgi. Kendi kendine kombinasyon grubunun elemanları düzgün üçgen farklı şekilde belirtilebilir. Bunu açıklamak için, normal bir üçgenin köşelerini 1, 2, 3 sayılarıyla numaralandıralım. Üçgenin kendi kendine hizalanması, 1, 2, 3 noktalarını aynı noktalara dönüştürür, ancak farklı bir sırayla alınır, yani. şartlı olarak bu parantezlerden biri şeklinde yazılabilir:

vesaire.

burada 1, 2, 3 sayıları, söz konusu hareketin bir sonucu olarak 1, 2, 3 köşelerinin girdiği köşelerin sayısını gösterir.

Projektif uzaylar ve modelleri.

Projektif uzay kavramı ve projektif uzay modeli. Projektif geometrinin temel gerçekleri. O noktasında ortalanan bir grup çizgi, projektif düzlemin bir modelidir. Projektif noktalar. Uzatılmış düzlem projektif düzlemin bir modelidir. Genişletilmiş üç boyutlu afin veya Öklid uzayı, yansıtmalı uzayın bir modelidir. Paralel tasarımda düz ve mekansal figürlerin görüntüleri.

Projektif uzay kavramı ve projektif uzay modeli:

Bir alan üzerindeki yansıtmalı uzay, belirli bir alan üzerindeki bazı doğrusal uzayların çizgilerinden (tek boyutlu altuzaylar) oluşan bir uzaydır. Doğrudan uzaylara denir noktalar projektif uzay. Bu tanım keyfi bir organa genelleştirilebilir

Boyutu varsa, o zaman yansıtmalı uzayın boyutuna sayı denir ve yansıtmalı uzayın kendisi gösterilir ve ilişkili olarak adlandırılır (bunu belirtmek için notasyon benimsenir).

Geçiş vektör uzayı karşılık gelen boyutlar projektif uzay isminde projeleştirme uzay.

Noktalar kullanılarak tanımlanabilir homojen koordinatlar.

Projektif geometrinin temel gerçekleri: Projektif geometri, projektif düzlemleri ve uzayları inceleyen bir geometri dalıdır. Ana özellik Projektif geometri, birçok tasarıma zarif simetri katan dualite ilkesine dayanmaktadır. Projektif geometri hem salt olarak incelenebilir geometrik nokta Projektif düzlemi bir alan üzerindeki bir yapı olarak ele alarak hem analitik (homojen koordinatlar kullanarak) hem de salgebraik bakış açısı. Çoğu zaman ve tarihsel olarak, gerçek yansıtmalı düzlemin "sonsuz çizgi"nin eklenmesiyle Öklid düzlemi olduğu kabul edilir.

Öklid geometrisinin ilgilendiği şekillerin özellikleri ise metrik(açıların, bölümlerin, alanların belirli değerleri) ve şekillerin eşdeğerliği bunlara eşdeğerdir uyum(yani rakamlar, metrik özellikleri korunurken hareket yoluyla birbirine çevrilebildiğinde), daha "derinlerde yatan" özellikler vardır geometrik şekiller, birden fazla dönüşüm sırasında korunur genel tip hareketten daha fazla. Projektif geometri, sınıfa göre değişmez olan şekillerin özelliklerinin incelenmesiyle ilgilenir. projektif dönüşümler ve bu dönüşümlerin kendisi.

Projektif geometri Öklid'i tamamlar ve güzel ve basit çözümler Paralel çizgilerin varlığı nedeniyle karmaşıklaşan birçok problem için. Konik bölümlerin projektif teorisi özellikle basit ve zariftir.

Projektif geometriye üç ana yaklaşım vardır: bağımsız aksiyomatizasyon, Öklid geometrisinin tamamlanması ve bir alan üzerindeki yapı.

aksiyomatizasyon

Projektif uzay farklı aksiyomlar kullanılarak tanımlanabilir.

Coxeter şunları sağlar:

1. Düz bir çizgi ve üzerinde olmayan bir nokta var.

2. Her çizginin en az üç noktası vardır.

3. İki noktadan tam olarak bir düz çizgi çizebilirsiniz.

4. Eğer A, B, C, Ve D- çeşitli noktalar ve AB Ve CD kesişir, sonra AC Ve BD kesişir.

5. Eğer ABC bir düzlem ise, bu düzlemde olmayan en az bir nokta vardır ABC.

6. İki farklı uçaklar en az iki noktada kesişir.

7. Tam bir dörtgenin üç köşegen noktası eşdoğrusal değildir.

8. Bir doğru üzerinde üç nokta varsa X X

Projektif düzlem (üçüncü boyut olmadan) biraz farklı aksiyomlarla tanımlanır:

1. İki noktadan tam olarak bir düz çizgi çizebilirsiniz.

2. Herhangi iki doğru kesişir.

3. Üçü aynı doğru üzerinde olmayan dört nokta vardır.

4. Üç çapraz nokta tam dörtgenler doğrusal değil.

5. Bir doğru üzerinde üç nokta varsa Xφ'nin projektivitesine göre değişmezse, o zaman üzerindeki tüm noktalar Xφ'ye göre değişmez.

6. Desargues teoremi: Eğer iki üçgen bir noktadan geçen perspektifse, o zaman bir çizgiden geçen perspektiftir.

Üçüncü bir boyutun varlığında Desargues teoremi, üçüncü bir boyut getirilmeden kanıtlanabilir. ideal noktalar ve düz.

Genişletilmiş düzlem - projektif düzlem modeli: Afin uzayında A3 merkezi O noktasında olan bir S(O) doğruları demetini ve bu demetin merkezinden geçmeyen bir Π düzlemini alıyoruz: O 6∈ Π. Afin uzaydaki bir çizgi demeti projektif düzlemin bir modelidir. Π düzleminin noktaları kümesinin S bağlantısının düz çizgileri kümesine eşlenmesini tanımlayalım (Kahretsin, bu soruyu aldıysanız dua edin, beni affedin)

Genişletilmiş üç boyutlu afin veya Öklid uzayı - yansıtmalı uzayın bir modeli:

Haritalamayı örten hale getirmek için, afin düzlemi Π'yi projektif düzlem Π'ye resmi olarak uzatma işlemini tekrarlıyoruz, Π düzlemini bir dizi uygunsuz nokta (M∞) ile tamamlıyoruz, öyle ki: ((M∞)) = P0(O). Haritada S(O) düzlemleri demetinin her bir düzleminin ters görüntüsü d düzlemi üzerinde bir çizgi olduğundan, uzatılmış düzlemin bütün uygunsuz noktalarının kümesinin: Π = Π ∩ (M∞) olduğu açıktır. , (M∞), uzatılmış düzlemin uygunsuz bir d∞ doğrusunu temsil eder; bu, Π0 tekil düzleminin ters görüntüsüdür: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) Burada ve bundan sonra son eşitlik olan P0(O) = Π0'ı nokta kümelerinin eşitliği anlamında anlayacağımızı, ancak farklı bir yapıya sahip olacağımızı kabul edelim. Afin düzlemi uygunsuz bir doğruyla tamamlayarak, (I.21) eşlemesinin uzatılmış düzlemin tüm noktaları kümesinde eşit olmasını sağladık:

Paralel tasarım sırasındaki düz ve mekansal figürlerin görüntüleri:

Stereometride uzamsal şekiller incelenir ancak çizimde bunlar şu şekilde tasvir edilir: düz rakamlar. Düzlemde mekansal bir figür nasıl tasvir edilmelidir? Tipik olarak geometride bunun için paralel tasarım kullanılır. p bir düzlem olsun, ben- onu kesen düz bir çizgi (Şekil 1). Başından sonuna kadar keyfi nokta A, hatta ait değil ben, çizgiye paralel bir çizgi çizin ben. Bu doğrunun p düzlemiyle kesişme noktasına noktanın paralel izdüşümü denir. A düz çizgi yönünde p düzlemine ben. Onu belirtelim A". Eğer nokta Açizgiye ait ben, ardından paralel projeksiyonla A doğrunun kesişme noktasının p düzleminde olduğu kabul edilir ben uçakla p.

Böylece her nokta A uzayın projeksiyonu karşılaştırılır A" p düzlemine. Bu yazışmaya denir paralel tasarım düz çizgi yönünde p düzlemine l.

Projektif dönüşümler grubu. Problem çözümüne yönelik uygulama.

Bir düzlemin projektif dönüşümü kavramı. Düzlemin projektif dönüşümlerine örnekler. Projektif dönüşümlerin özellikleri. Homoloji, homolojinin özellikleri. Projektif dönüşümler grubu.

Bir düzlemin projektif dönüşümü kavramı: Projektif dönüşüm kavramı, merkezi projeksiyon kavramını genelleştirir. eğer yaparsan merkezi projeksiyonα düzleminin bir α 1 düzlemine, ardından α 1'in α 2'ye, α 2'nin α 3'e izdüşümü, ... ve son olarak bir α düzlemi N yine a 1 üzerinde, o zaman tüm bu projeksiyonların bileşimi a düzleminin projektif dönüşümüdür; Böyle bir zincire paralel projeksiyonlar da dahil edilebilir.

Projektif düzlem dönüşümlerine örnekler: Tamamlanmış bir düzlemin projektif dönüşümü, noktaların eşdoğrusallığının korunduğu veya başka bir deyişle herhangi bir çizginin görüntüsünün düz bir çizgi olduğu, kendi üzerine birebir eşlenmesidir. Her projektif dönüşüm bir merkezi ve paralel projeksiyonlar. Afin dönüşümü- Bu özel durum sonsuz uzaklıktaki düz çizginin kendisine dönüştüğü yansıtmalı.

Projektif dönüşümlerin özellikleri:

Projektif dönüşüm sırasında, bir doğru üzerinde bulunmayan üç nokta, bir doğru üzerinde yer almayan üç noktaya dönüştürülür.

Projektif dönüşüm sırasında çerçeve bir çerçeveye dönüşür.

Projektif dönüşüm sırasında bir çizgi düz bir çizgiye dönüşür ve bir kalem bir kurşun kaleme dönüşür.

Homoloji, homolojinin özellikleri:

Değişmez noktalardan oluşan bir çizgiye ve dolayısıyla değişmez çizgilerden oluşan bir kaleme sahip bir düzlemin projektif dönüşümüne homoloji denir.

1. Çakışmayan karşılık gelen homoloji noktalarından geçen bir çizgi, değişmez bir çizgidir;

2. Çakışmayan karşılık gelen homoloji noktalarından geçen çizgiler, merkezi değişmez bir nokta olan aynı kaleme aittir.

3. Nokta, onun görüntüsü ve homolojinin merkezi aynı düz çizgi üzerinde yer alır.

Projektif dönüşüm grubu: P 2 yansıtmalı düzleminin kendi üzerine yansıtmalı haritalamasını, yani bu düzlemin (P 2 ' = P 2) yansıtmalı dönüşümünü düşünün.

Daha önce olduğu gibi, yansıtmalı düzlem P2'nin yansıtmalı dönüşümlerinin f 1 ve f 2 bileşimi f 1 ve f 2 dönüşümlerinin sıralı olarak yürütülmesinin sonucudur: f = f 2 °f 1 .

Teorem 1: P 2 projektif düzleminin tüm projektif dönüşümlerinin H kümesi, projektif dönüşümlerin bileşimine göre bir gruptur.

Kare şekiller.
Formların kesinliğini imzalayın. Sylvester kriteri

"İkinci dereceden" sıfatı hemen buradaki bir şeyin bir kareyle (ikinci derece) bağlantılı olduğunu ima eder ve çok yakında bu "bir şeyi" ve şeklin ne olduğunu öğreneceğiz. Bir tekerleme olduğu ortaya çıktı :)

Yeni dersime hoş geldiniz. Hemen ısınma amacıyla çizgili şekle bakacağız. doğrusal. Doğrusal form değişkenler isminde homojen 1. derece polinom:

- bazı özel sayılar * (en az birinin sıfırdan farklı olduğunu varsayıyoruz), a keyfi değerler alabilen değişkenlerdir.

* Bu konu çerçevesinde sadece ele alacağız gerçek sayılar .

"Homojen" terimiyle zaten dersimizde karşılaşmıştık. homojen doğrusal denklem sistemleri ve içinde bu durumda polinomun artı sabitine sahip olmadığı anlamına gelir.

Örneğin: – iki değişkenin doğrusal formu

Şimdi şekil ikinci dereceden. İkinci dereceden şekil değişkenler isminde homojen 2. dereceden polinom, her dönemi değişkenin karesini içerir veya çiftler değişkenlerin ürünü. Yani, örneğin, iki değişkenin ikinci dereceden formu aşağıdaki forma sahiptir:

Dikkat! Bu standart gösterim ve içindeki hiçbir şeyi değiştirmenize gerek yok! "Korkutucu" görünüme rağmen, burada her şey basit - sabitlerin çift alt simgeleri hangi değişkenlerin hangi terime dahil edildiğini gösterir:
– bu terim ve (kare) çarpımını içerir;
- işte iş;
- ve işte iş burada.

– Bir katsayının “eksi”sini kaybettiklerinde, bunun bir terime ait olduğunu anlamadan hemen büyük bir hata olacağını tahmin ediyorum:

Bazen ruhta bir "okul" tasarım seçeneği vardır, ancak yalnızca bazen. Bu arada, sabitlerin bize hiçbir şey söylemediğini ve bu nedenle "kolay gösterimi" hatırlamanın daha zor olduğunu unutmayın. Özellikle daha fazla değişken olduğunda.

Ve ikinci dereceden üç şekli değişkenler zaten altı üye içeriyor:

...neden “iki” faktör “karışık” terimlerle ifade ediliyor? Bu uygundur ve yakında bunun nedeni anlaşılacaktır.

Fakat genel formül Hadi yazalım, bir “sayfa” olarak düzenlemek uygun olur:

– her satırı dikkatle inceliyoruz – bunda yanlış bir şey yok!

İkinci dereceden form, değişkenlerin karelerini içeren terimleri ve eşleştirilmiş çarpımlarını içeren terimleri içerir. (santimetre. kombinatoryal kombinasyon formülü) . Başka bir şey yok - "yalnız X" yok ve eklenmiş sabit yok (o zaman ikinci dereceden bir form elde etmeyeceksiniz, ancak heterojen 2. dereceden polinom).

İkinci dereceden formun matris gösterimi

Değerlere bağlı olarak söz konusu form hem olumlu hem de olumlu bir hal alabilir. negatif değerler ve aynısı herhangi bir doğrusal form için de geçerlidir - katsayılarından en az biri sıfırdan farklıysa, o zaman pozitif veya negatif olabilir (değerlere bağlı olarak).

Bu formun adı alternatif işaret. Ve eğer doğrusal form her şey şeffaftır, o zaman ikinci dereceden formda işler çok daha ilginçtir:

Bu formun herhangi bir işaretin anlamını alabileceği kesinlikle açıktır. ikinci dereceden form da alternatif olabilir.

Veya belki de değil:

– aynı anda sıfıra eşit olmadığı sürece her zaman.

– herkes için vektör sıfır hariç.

Ve genel olarak, eğer birisi içinse sıfır olmayan vektör , o zaman ikinci dereceden form denir pozitif tanımlı; eğer öyleyse o zaman negatif tanımlı.

Ve her şey yoluna girecek, ancak ikinci dereceden formun kesinliği yalnızca basit örnekler ve bu görünürlük hafif bir komplikasyonla bile kaybolur:
– ?

Formun pozitif tanımlı olduğu varsayılabilir, ancak bu gerçekten böyle midir? Birdenbire sahip olduğu değerler ortaya çıktı sıfırdan az?

Bu skorda var teorem: eğer HEPSİ özdeğerlerİkinci dereceden formdaki matrisler pozitiftir * , o zaman pozitif tanımlıdır. Hepsi olumsuzsa, o zaman olumsuzdur.

* Teorik olarak gerçek bir simetrik matrisin tüm özdeğerlerinin olduğu kanıtlanmıştır. geçerli

Yukarıdaki formun matrisini yazalım:
ve Denklem'den. hadi onu bulalım özdeğerler:

Hadi eski güzeli çözelim ikinci dereceden denklem:

, bu form anlamına gelir pozitif olarak tanımlanır, yani sıfır olmayan değerler için sıfırdan büyük.

Ele alınan yöntem işe yarıyor gibi görünüyor, ancak büyük bir AMA var. Zaten üçe üçlük bir matris için uygun sayıları aramak uzun ve hoş olmayan bir iştir; yüksek olasılıkla irrasyonel kökleri olan 3. dereceden bir polinom elde edeceksiniz.

Ne yapmalıyım? Daha kolay bir yol var!

Sylvester kriteri

Hayır Sylvester Stallone değil :) Öncelikle ne olduğunu hatırlatayım köşe küçükleri matrisler. Bu elemeler onun solundan “büyüyen” üst köşe:

ve sonuncusu matrisin determinantına tam olarak eşittir.

Şimdi aslında kriter:

1) İkinci dereceden form tanımlanır olumlu ancak ve ancak TÜM açısal küçüklerinin sıfırdan büyük olması durumunda: .

2) İkinci dereceden form tanımlanır negatif ancak ve ancak açısal küçüklerin işaret bakımından değişmesi durumunda ve 1. küçük sıfırdan küçükse: , , if – çift veya , if – tek.

En az bir köşe minör ise karşıt işaret, ardından form alternatif işaret. Açısal küçükler “şu” işaretliyse ancak aralarında sıfır olanlar varsa, o zaman bu özel durum Daha yaygın örneklere tıkladıktan sonra biraz sonra tartışacağım.

Matrisin açısal küçüklerini analiz edelim :

Bu da bize hemen formun negatif olarak tanımlanmadığını söyler.

Çözüm: tüm köşe minörleri sıfırdan büyüktür, bu da form anlamına gelir pozitif olarak tanımlanır.

Özdeğer yöntemiyle bir fark var mı? ;)

Form matrisini şu şekilde yazalım: Örnek 1:

birincisi açısal minördür ve ikincisi bundan şeklin işaret olarak değiştiği sonucu çıkar, yani. değerlere bağlı olarak hem pozitif hem de negatif değerler alabilir. Ancak bu zaten ortadadır.

Formu ve matrisini alalım Örnek 2:

Bunu içgörü olmadan anlamanın bir yolu yok. Ancak Sylvester'ın kriteriyle umursamıyoruz:
dolayısıyla form kesinlikle negatif değildir.

ve kesinlikle olumlu değil (tüm açısal küçüklerin pozitif olması gerektiğinden).

Çözüm: şekil değişiyor.

Isınma örnekleri bağımsız karar:

Örnek 4

Araştırma ikinci dereceden formlar işaretin kesinliği için

A)

Bu örneklerde her şey düzgün (dersin sonuna bakın), ama aslında böyle bir görevi tamamlamak için Sylvester'ın kriteri yeterli olmayabilir.

Mesele şu ki, "uç" durumlar var, yani: eğer varsa sıfır olmayan vektör, ardından şekil belirlenir negatif olmayan, eğer – o zaman negatif. Bu formlar var sıfır olmayan bunun için vektörler.

Burada aşağıdaki “akordeon”dan alıntı yapabilirsiniz:

Vurgulama mükemmel kare, hemen görüyoruz olumsuzluk form: ve eşit koordinatlara sahip herhangi bir vektör için sıfıra eşittir, örneğin: .

"Ayna" örneği negatif belli bir biçim:

ve daha da önemsiz bir örnek:
– burada herhangi bir vektör için form sıfıra eşittir; burada keyfi bir sayıdır.

Negatif olmayan veya pozitif olmayan formlar nasıl belirlenir?

Bunun için konsepte ihtiyacımız var büyük küçükler matrisler. Majör minör, aynı sayıdaki satır ve sütunların kesişiminde bulunan elementlerden oluşan minördür. Dolayısıyla matrisin 1. dereceden iki ana minörü vardır:
(eleman 1. satır ile 1. sütunun kesişme noktasında bulunur);
(eleman 2. sıra ile 2. sütunun kesişimindedir),

ve 2. dereceden bir majör minör:
– 1., 2. sıra ve 1., 2. sütunun elemanlarından oluşur.

Matris “üçe üç” Yedi ana küçük hareket var ve burada pazılarınızı esnetmeniz gerekecek:
– 1. dereceden üç küçük çocuk,
üç adet 2. dereceden küçükler:
– 1., 2. sıra ve 1., 2. sütunun elemanlarından oluşur;
– 1., 3. sıra ve 1., 3. sütunun elemanlarından oluşur;
– 2., 3. sıra ve 2., 3. sütunun elemanlarından oluşur,
ve bir adet 3. derece minör:
– 1., 2., 3. sıra ve 1., 2. ve 3. sütunun elemanlarından oluşur.
Egzersiz yapmak anlamak için: matrisin tüm büyük küçüklerini yazın .
Ders sonunda kontrol edip devam ediyoruz.

Schwarzenegger kriteri:

1) Sıfırdan farklı* ikinci dereceden form tanımlanmış negatif olmayan ancak ve ancak büyük reşit olmayanların TÜMÜ ise negatif olmayan(sıfırdan büyük veya sıfıra eşit).

* Sıfır (dejenere) ikinci dereceden formun tüm katsayıları sıfıra eşittir.

2) Matris ile sıfır olmayan ikinci dereceden form tanımlanır negatif ancak ve ancak:
– 1. dereceden majör küçükler olumlu değil(sıfırdan küçük veya sıfıra eşit);
– 2. dereceden majör küçükler negatif olmayan;
– 3. dereceden majör küçükler olumlu değil(dönüşüm başladı);
…
– inci mertebeden majör minör olumlu değil, eğer – tek veya negatif olmayan, eğer – hatta.

En az bir minör zıt işaretteyse, form işaret dönüşümlüdür.

Yukarıdaki örneklerde kriterin nasıl çalıştığını görelim:

Bir şekil matrisi oluşturalım ve Öncelikle Açısal küçükleri hesaplayalım - ya olumlu ya da olumsuz tanımlanırsa?

Elde edilen değerler Sylvester kriterini karşılamıyor ancak ikinci minör olumsuz değil ve bu 2. kriterin kontrol edilmesini gerekli kılar (2. kriterin otomatik olarak yerine getirilmeyeceği durumlarda, yani formun işaret değişimine ilişkin sonuca hemen varılır).

1. derecenin ana küçükleri:
– olumlu,
2. dereceden majör minör:
– olumsuz değil.

Bu nedenle, TÜM majör küçükler negatif değildir, bu da şu anlama gelir: negatif olmayan.

Form matrisini yazalım Sylvester kriterinin açıkça karşılanmadığı bir durum. Ancak zıt işaretler de almadık (çünkü her iki açısal küçük de sıfıra eşit). Bu nedenle negatif olmama/pozitif olmama kriterinin yerine getirilip getirilmediğini kontrol ediyoruz. 1. derecenin ana küçükleri:
– olumlu değil,
2. dereceden majör minör:
– olumsuz değil.

Dolayısıyla Schwarzenegger'in kriterine göre (2. nokta) form pozitif olarak tanımlanmamıştır.

Şimdi daha ilginç bir soruna daha yakından bakalım:

Örnek 5

İşaret kesinliği için ikinci dereceden formu inceleyin

Bu form herkese eşit olabilecek "alfa" sırasını süslüyor gerçek sayı. Ama bu sadece daha eğlenceli olacak biz karar veririz.

Öncelikle form matrisini yazalım; birçok kişi muhtemelen bunu sözlü olarak yapmaya çoktan alışmıştır: ana diyagonal Kareler için katsayıları koyduk ve simetrik yerlere karşılık gelen "karışık" ürünlerin katsayılarının yarısını koyduk:

Açısal küçükleri hesaplayalım:

Üçüncü determinantı 3. satırda genişleteceğim:

Tanım. Aynı anda sıfır olmayan değişkenlerin gerçek değerleri için tüm değerleri pozitifse, ikinci dereceden bir forma pozitif tanımlı denir. Açıkçası, ikinci dereceden form pozitif tanımlıdır.

Tanım. Değişkenlerin sıfır olmayan değerleri için sıfır olmayan bir değer hariç, tüm değerleri negatifse, ikinci dereceden bir form, negatif tanımlı olarak adlandırılır.

Tanım. Negatif (pozitif) değerler almıyorsa, ikinci dereceden bir formun pozitif (negatif) yarı tanımlı olduğu söylenir.

Hem pozitif hem de negatif değer alan ikinci dereceden formlara belirsiz denir.

Şu tarihte: N=1 ikinci dereceden form ya pozitif tanımlıdır (at ), ya da negatif tanımlıdır (at ). Belirsiz formlar adresinde görünür.

Teorem(İkinci dereceden bir formun pozitif kesinliği için Sylvester testi). İkinci dereceden form için

Pozitif olarak tanımlanmışsa, aşağıdaki koşulların yerine getirilmesi gerekli ve yeterlidir:

.

Kanıt. Dahil edilen değişkenlerin sayısına ilişkin tümevarım kullanıyoruz. Bir değişkene bağlı ikinci dereceden bir form için, ve teoremin ifadesi açıktır. Aşağıdakilere bağlı olarak ikinci dereceden form için teoremin doğru olduğunu varsayalım: N-1 değişkenler .

1. Gerekliliğin kanıtı. İzin vermek

pozitif kesin. Daha sonra ikinci dereceden form

pozitif tanımlı olacaktır, çünkü if , o zaman at .

Tümevarım hipotezine göre, formun tüm majör minörleri pozitiftir, yani.

.

Bunu kanıtlamak kalıyor.

Dejenere olmayan doğrusal dönüşümle pozitif belirli ikinci dereceden form X=BY kanonik forma indirgenmiş

İkinci dereceden form köşegen bir matrise karşılık gelir

bir determinant ile.

Tekil olmayan bir matris tarafından tanımlanan doğrusal dönüşüm İÇİNDE, matrisi dönüştürür İLEİkinci dereceden formu bir matrise dönüştürün. Ama o zamandan beri O .

2. Yeterlilik kanıtı. İkinci dereceden formun tüm önde gelen küçüklerinin pozitif olduğunu varsayalım: .

İkinci dereceden formun pozitif tanımlı olduğunu kanıtlayalım. Tümevarım varsayımı ikinci dereceden formun pozitif kesinliğini ima eder . Bu yüzden dejenere olmayan bir doğrusal dönüşümle normal forma indirgenir. Değişkenlerin uygun değişimini yapıp koyarak şunu elde ederiz:

Nerede - bazı yeni katsayılar.

Değişkenleri değiştirerek şunu elde ederiz:

.

Bu ikinci dereceden formun matrisinin determinantı eşittir ve işareti, işaretiyle çakıştığı için, o zaman ve dolayısıyla ikinci dereceden form - pozitif tanımlı. Teorem kanıtlandı.

İkinci dereceden bir formun negatif tanımlı olması için gerekli ve yeterlidir:

pozitif tanımlıydı, bu da matrisin tüm ana küçüklerinin olduğu anlamına geliyordu

olumluydu. Ama bu şu anlama geliyor

onlar. matrisin ana küçüklerinin işaretleri C eksi işaretinden başlayarak dönüşümlü olarak kullanın.

Örnek. İkinci dereceden bir formun pozitif (negatif) belirli mi yoksa belirsiz mi olduğunu hesaplayın.

Çözüm. İkinci dereceden formun matrisi şu şekildedir:

.

Matrisin ana küçüklerini hesaplayalım İLE:

İkinci dereceden form pozitif tanımlıdır.

Çözüm. Matrisin ana küçüklerini hesaplayalım

İkinci dereceden form belirsizdir.

Sonuç olarak aşağıdaki teoremi formüle ediyoruz.

Teorem(İkinci dereceden formların eylemsizlik yasası). İkinci dereceden formun dejenere olmayana indirgendiği normal formdaki pozitif ve negatif karelerin sayısı doğrusal dönüşümler, bu dönüşümlerin seçimine bağlı değildir.

7.5. Şunun için görevler: bağımsız çalışma 7. bölümde

7.1. Matrisli ikinci dereceden bir formun olduğunu kanıtlayın A pozitif tanımlı ise ikinci dereceden form ters matris pozitif kesin.

7.2. Bulmak normal görünüm bölgede gerçek sayılar

7.3. Gerçek sayılar alanında normal formu bulun

Tanım: İkinci dereceden form doğrusal uzayda simetrik çift doğrusal forma karşılık gelir V , bir vektör argümanının fonksiyonu olarak adlandırılır .

İkinci dereceden bir form verilmiş olsun ve buna karşılık gelen simetrik iki doğrusal form olsun. Daha sonra

buradan ikinci dereceden bir form verildiğinde, karşılık gelen simetrik çift doğrusal formun da benzersiz bir şekilde belirlendiği sonucu çıkar. Yani, doğrusal uzayda simetrik çift doğrusal ve ikinci dereceden formlar arasında V bire bir yazışma kurulur, böylece ikinci dereceden formlar simetrik çift doğrusal formlar kullanılarak incelenebilir.

düşünelim N boyutlu doğrusal uzay. İkinci dereceden formun matrisi belirli bir doğrusal uzay temelinde buna karşılık gelen matrise simetrik denir çift ​​doğrusal form aynı temelde. İkinci dereceden formdaki bir matris her zaman simetriktir.

Uzayın bazı tabanlarında ikinci dereceden formda bir matris gösterelim. Her zamanki gibi belirlersek X vektörün koordinat sütununu aynı temelde alırsak, eşitlik 5.5'ten ikinci dereceden formun yazılmasının matris formunu elde ederiz:

.

Teorem 5.4. Doğrusal uzayda iki taban verilsin

(5.10)

, (5.11)

ve sırasıyla (5.10) ve (5.11) tabanlarında ikinci dereceden formdaki matrisler olsun. O zaman nerede T– (5.10)'dan (5.11)'e geçiş matrisi.

Kanıt, Teorem 5.2'den ve ikinci dereceden formdaki bir matrisin tanımından gelir.

Geçiş matrisinin olması nedeniyle T dejenere değilse, yeni bir tabana geçerken ikinci dereceden formdaki matrisin sırası değişmez. Bu nedenle aşağıdaki tanımı formüle edebiliriz.

Tanım. Rütbe Doğrusal bir uzayda tanımlanan ikinci dereceden bir formun matrisinin bazı ve dolayısıyla uzayın herhangi bir tabanındaki sırasıdır ( ile gösterilir).

Şimdi ikinci dereceden formu koordinat formunda yazalım. Bunu yapmak için vektörü (5.10) tabanına genişletiyoruz: . Aynı temelde ikinci dereceden formda bir matris ise, o zaman eşitlik (5.4) uyarınca elimizde

– (5.12)

İkinci dereceden formun koordinat gösterimi. (5.12)’yi ayrıntılı olarak yazalım. N= 3, verilen

Dolayısıyla, eğer bir temel verilirse, koordinat gösterimindeki ikinci dereceden form, ikinci dereceden homojen bir polinom gibi görünür. N değişkenler – belirli bir temelde vektör koordinatları. Bu polinom denir görüş Belirli bir temelde ikinci dereceden form. Ancak uygulamalarda bu tür polinomlar genellikle bağımsız olarak ortaya çıkar ve herhangi bir görünür bağlantı yoktur. doğrusal uzaylar(örneğin, fonksiyonların ikinci diferansiyelleri), böylece ikinci dereceden formun başka bir tanımını formüle edeceğiz.

Tanım. İkinci dereceden form N değişkenler bu değişkenlerde ikinci dereceden homojen bir polinom, yani (5.12) formunun bir fonksiyonu olarak adlandırılır. İkinci dereceden formdaki bir matris (5.12) simetrik bir matristir.

Örnekİkinci dereceden formda bir matris derlemek. İzin vermek

(5.12) ve (5.13)'ten, katsayısının ile çakıştığı açıktır, yani. İkinci dereceden formdaki bir matrisin köşegen elemanları karelerin katsayılarıdır. Aynı şekilde çarpımın katsayısının yarısını da görüyoruz. Böylece ikinci dereceden formun (5.14) matrisi şuna benzer:

.

Şimdi uzayda yine iki tabanı (5.10) ve (5.11) seçelim ve her zamanki gibi şunu gösterelim: vektörün sırasıyla (5.10) ve (5.11) tabanlarındaki koordinat sütunlarıdır. Tabandan (5.10) tabana (5.11) geçerken, vektörün koordinatları yasaya göre değişir:

(5.10)'dan (5.11)'e geçiş matrisi nerededir. Matrisin dejenere olmadığını unutmayın. Eşitlik (5.15)'i yazalım. koordinat formu:

veya ayrıntılı olarak:

(5.17)

(5.17) (veya (5.16) eşitliğini kullanarak, ki bu da aynı şeydir) değişkenlerden değişkenlere geçiyoruz.

Tanım. Değişkenlerin doğrusal dejenere olmayan dönüşümü değişkenlerin dönüşümü denir, sistem tarafından belirlenen eşitlikler (5.16) veya (5.17) veya tekil olmayan bir matris olması koşuluyla bir matris eşitliği (5.15). Matris T değişkenlerin bu dönüşümünün matrisi denir.

(5.12)'de değişkenler yerine ifadelerini formül (5.17)'ye göre değişkenler aracılığıyla değiştirirsek, parantezleri açıp benzerlerini getirirsek, ikinci dereceden başka bir homojen polinom elde ederiz:

.

Bu durumda değişkenlerin (5.17) doğrusal dejenere olmayan dönüşümünün ikinci dereceden formu ikinci dereceden forma dönüştürdüğü söylenir. Değişkenlerin değerleri ve , ilişkiyle ilgili(5.15) (veya ilişkiler (5.16) veya (5.17)) olarak adlandıracağız ilgili değişkenlerin belirli bir doğrusal dejenere olmayan dönüşümü için.

Tanım. Değişkenler kümesine denir önemsiz değil içindeki değişkenlerden en az birinin değeri sıfırdan farklıysa. Aksi takdirde değişkenler kümesi çağrılır önemsiz .

Lemma 5.2. Değişkenlerin doğrusal, dejenere olmayan dönüşümüyle, önemsiz bir değişken kümesi, önemsiz bir kümeye karşılık gelir.

Eşitlik (5.15)'ten açıkça şu sonuç çıkar: if , o zaman . Öte yandan, matrisin dejenerasyonsuzluğunu kullanarak T, yine (5.15)'ten şunu elde ederiz: için de .◄

Sonuçlar. Değişkenlerin doğrusal, dejenere olmayan dönüşümüyle, önemsiz olmayan bir değişken kümesi, önemsiz olmayan bir kümeye karşılık gelir.

Teorem 5.5. Doğrusal dejenere olmayan dönüşüm (5.15) ikinci dereceden formu alırsa matris ile A ikinci dereceden forma matris ile A", o zaman (Teorem 5.4'ün başka bir formülasyonu).

Sonuçlar. Değişkenlerin doğrusal dejenere olmayan dönüşümüyle, ikinci dereceden formdaki bir matrisin determinantı işareti değiştirmez.

Yorum. Geçiş matrisi ve matrisinden farklı olarak doğrusal operatör Değişkenlerin doğrusal dejenere olmayan dönüşümünün matrisi sütunlarla değil satırlarla yazılır.

Değişkenlerin iki doğrusal dejenere olmayan dönüşümü verilsin:

Bunları sırasıyla uygulayalım:

Değişkenlerin doğrusal dejenere olmayan dönüşümlerinin bileşimi(5.18) ve (5.19)'a sıralı uygulamalar denir, yani değişkenlerin dönüşümü. (5.20)'den, değişkenlerin iki doğrusal dejenere olmayan dönüşümünün bileşiminin aynı zamanda değişkenlerin doğrusal bir dejenere olmayan dönüşümü olduğu açıktır.

Tanım.İkinci dereceden formlara denir eş değer Değişkenlerin birini diğerine götüren doğrusal, dejenere olmayan bir dönüşümü varsa.

İkinci dereceden şekil f(x 1, x 2,...,x n) n değişkenin her bir terimi ya değişkenlerden birinin karesi ya da iki farklı değişkenin belirli bir katsayı ile çarpımı olan bir toplamdır: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij =a ji).

Bu katsayılardan oluşan A matrisine ikinci dereceden form matrisi denir. Her zaman simetrik matris (yani ana köşegen etrafında simetrik bir matris, a ij =a ji).

Matris gösteriminde ikinci dereceden form f(X) = X T AX'tir, burada

Aslında

Örneğin ikinci dereceden formu matris formunda yazalım.

Bunu yapmak için ikinci dereceden formda bir matris buluyoruz. Çapraz elemanları, kare değişkenlerin katsayılarına eşittir ve geri kalan elemanlar, ikinci dereceden formun karşılık gelen katsayılarının yarısına eşittir. Bu yüzden

X değişkenlerinin matris sütunu, Y matris sütununun dejenere olmayan doğrusal dönüşümüyle elde edilsin; X = CY, burada C n'inci dereceden tekil olmayan bir matristir. O halde ikinci dereceden f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y.

Böylece, dejenere olmayan bir doğrusal dönüşüm C ile ikinci dereceden formun matrisi şu biçimi alır: A * =C T AC.

Örneğin, f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 ikinci dereceden formundan doğrusal dönüşümle elde edilen ikinci dereceden f(y 1, y 2) formunu bulalım.

İkinci dereceden form denir kanonik(sahip olmak kanonik görünüm), eğer i≠j için tüm katsayılarısa ij = 0 ise, yani f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Matrisi köşegendir.

Teorem(kanıt burada verilmemiştir). Herhangi bir ikinci dereceden form, dejenere olmayan bir doğrusal dönüşüm kullanılarak kanonik forma indirgenebilir.

Örneğin, f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 ikinci dereceden formunu kanonik forma getirelim.

Bunu yapmak için önce seçiyoruz mükemmel kare değişken x 1 ile:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

Şimdi x 2 değişkenine sahip tam bir kare seçiyoruz:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 = = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

Daha sonra dejenere olmayan doğrusal dönüşüm y 1 = x 1 + x 2,y 2 = x 2 – (1/10)x 3 ve y 3 = x 3 bu ikinci dereceden formu kanonik forma f(y 1,y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

İkinci dereceden bir formun kanonik formunun belirsiz bir şekilde belirlendiğine dikkat edin (aynı ikinci dereceden form kanonik forma indirgenebilir) farklı şekillerde 1). Ancak çeşitli yöntemlerle elde edilen kanonik formların bir takım ortak özellikleri vardır. Özellikle, ikinci dereceden bir formun pozitif (negatif) katsayılarına sahip terimlerin sayısı, formun bu forma indirgeme yöntemine bağlı değildir (örneğin, ele alınan örnekte her zaman iki negatif ve bir pozitif katsayı olacaktır). Bu özelliğe denir İkinci dereceden formların eylemsizlik yasası.

Aynı ikinci dereceden formu kanonik forma farklı bir şekilde getirerek bunu doğrulayalım. Dönüşüme x 2:f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + değişkeniyle başlayalım. 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = -3(x 2 2 – - 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2 /3) x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = = -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2 /3) x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =f(y 1 ,y 2 ,y 3) = -3y 1 2 - - 3y 2 2 + 2y 3 2 , burada y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3 ,y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 ve y3 = x1. Burada y 3 için 2'lik pozitif bir katsayı ve y 1 ve y 2 için iki negatif katsayı (-3) vardır (ve başka bir yöntem kullanarak, y 1 için 2'lik pozitif bir katsayı ve iki negatif katsayı elde ettik - (-5) y 2 için ve (-1/20) y 3 için).

Aynı zamanda, ikinci dereceden formdaki bir matrisin rütbesinin de belirtildiği belirtilmelidir. ikinci dereceden formun sıralaması, kanonik formun sıfır olmayan katsayılarının sayısına eşittir ve doğrusal dönüşümler altında değişmez.

İkinci dereceden f(X) formu denir olumlu(negatif)kesin, eğer değişkenlerin aynı anda sıfıra eşit olmayan tüm değerleri için pozitifse, yani f(X) > 0 (negatif, yani f(X)< 0).

Örneğin ikinci dereceden f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 formu pozitif tanımlıdır, çünkü karelerin toplamıdır ve ikinci dereceden f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 formu negatif tanımlıdır, çünkü temsil eder, f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2 biçiminde temsil edilebilir.

Çoğu pratik durumda, ikinci dereceden bir formun kesin işaretini belirlemek biraz daha zordur, bu nedenle bunun için aşağıdaki teoremlerden birini kullanırız (bunları kanıt olmadan formüle edeceğiz).

Teorem. İkinci dereceden bir form pozitif (negatif) kesindir ancak ve ancak hepsi özdeğerler matrisleri pozitiftir (negatif).

Teorem (Sylvester kriteri). İkinci dereceden bir form, ancak ve ancak bu formun matrisinin tüm önde gelen küçüklerinin pozitif olması durumunda pozitif tanımlıdır.

Ana (köşe) minör An-th düzeninin k-th dereceli matrislerine, A () matrisinin ilk k satır ve sütunlarından oluşan matrisin determinantı denir.

Negatif belirli ikinci dereceden formlar için asal küçüklerin işaretlerinin dönüşümlü olduğunu ve birinci dereceden küçüklerin negatif olması gerektiğini unutmayın.

Örneğin işaret kesinliği için ikinci dereceden f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 formunu inceleyelim.

= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 - 2- 3+ 2) – 4 = 2 - 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17; . Bu nedenle ikinci dereceden form pozitif tanımlıdır.

Yöntem 2. A matrisinin birinci dereceden asal minörü  1 =a 11 = 2 > 0. İkinci dereceden asal minör  2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Bu nedenle, Sylvester'ın kriterine göre, ikinci dereceden denklem form pozitif tanımlıdır.

İşaret kesinliği için başka bir ikinci dereceden formu inceliyoruz, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Yöntem 1. İkinci dereceden A = şeklinde bir matris oluşturalım. Karakteristik denklemşöyle görünecek = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17 ; . Bu nedenle ikinci dereceden form negatif tanımlıdır.

Yöntem 2. A matrisinin birinci dereceden baş minörü  1 =a 11 = = -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. Bu nedenle Sylvester kriterine göre ikinci dereceden form negatif tanımlıdır (eksiden başlayarak majör minörlerin işaretleri dönüşümlüdür).

Başka bir örnek olarak, işareti belirlenmiş ikinci dereceden f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 formunu inceliyoruz.

Yöntem 1. İkinci dereceden A = şeklinde bir matris oluşturalım. Karakteristik denklem şu şekilde olacaktır: = (2 -)* *(-3 -) – 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) – 4 = 2 +- 10 = 0;D= 1 + 40 = 41; . Bu sayılardan biri negatif, diğeri pozitiftir. Özdeğerlerin işaretleri farklıdır. Sonuç olarak, ikinci dereceden form ne negatif ne de pozitif tanımlı olabilir; bu ikinci dereceden form işaret tanımlı değildir (herhangi bir işaretin değerini alabilir).

Yöntem 2. A matrisinin birinci dereceden asal minörü  1 =a 11 = 2 > 0. İkinci dereceden asal minörü 2 = = -6 – 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1İkinci dereceden bir formu kanonik forma indirgemek için düşünülen yöntemin, değişkenlerin karelerinde sıfır olmayan katsayılarla karşılaşıldığında kullanılması uygundur. Eğer bunlar orada değilse, dönüşümü gerçekleştirmek hala mümkündür, ancak başka teknikler kullanmanız gerekir. Örneğin, f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 = olsun

= (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – - (x 1 - x 2) 2 - 2x 1 x 2 ; 4x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 - x 2) 2 ;f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = (1/2)* *(x 1 + x 2 ) 2 – (1/2)*(x 1 - x 2) 2 =f(y 1 ,y 2) = (1/2)y 1 2 – (1/2)y 2 2, burada y 1 = x 1 + x 2, аy 2 = x 1 – x 2.