Yasal istatistik verilerinin analizi, ortalama değerler ve ilgili değişim göstergeleri kullanılmadan mümkün değildir. Popülasyonlar, yalnızca ortalama değerlerin yardımıyla, genellikle karşılaştırıldıkları niceliksel bir değişken özelliği ile karakterize edilebilir.
İstatistikteki ortalama değer, yer ve zaman koşulları altında niceliksel olarak değişen herhangi bir özelliğe göre bir dizi homojen olgunun genelleştirilmiş bir özelliğidir.
Genellikle bir özelliğin niceliksel varyasyonunu genelleştirir. Herhangi ortalama boyutİncelenen özelliğe göre popülasyon birimlerinin bir dizi dağılımı, yani bir varyasyon serisi gizlidir.
Biri önemli koşullar ortalama değerlerin hesaplanması, ortalaması alınan özelliğe göre nüfus birimlerinin niteliksel homojenliğidir. Olaylar için hesaplanan ortalama değerler farklı şekiller, bir kurgudur. Heterojen popülasyonların farklılıklarını çarpıtabilir veya silebilir.
Kriminoloji, hukuk sosyolojisi ve diğer alanlarda pratik ve teorik olarak hukuk disiplinleri Grup ortalamaları genel olarak kabul edilebilir, yani yeterli istatistiksel gruplamalara dayalı olarak hesaplanan ortalamalardır.
Ortalamalar, gerçeklerin büyük bir genelleştirilmesine dayanır. Gözlemlenen sürecin altında yatan belirli eğilimleri ancak bu şekilde belirleyebilirler. Ortalama değerler en fazlasını yansıtır Genel desen incelenmekte olan tüm fenomen kütlesinin doğasında olan. Tüm değişen göstergelerin ortalama değeri olarak adlandırılan tipik bir niceliksel özellikte görülebilir.
Ortalama istatistiksel büyüklüklerçeşitli türleri vardır, ancak hepsi güç ortalamaları sınıfına dahil edilir, yani. çeşitli derecelerdeki seçeneklerden oluşturulan ortalamalar: aritmetik ortalama, harmonik ortalama, ikinci dereceden ortalama, geometrik ortalama, vb.
Çeşitli güç ortalamalarını hesaplarken, hesaplamanın yapıldığı tüm ana göstergeler değişmez.
Farklı şekiller aynı başlangıç göstergelerine sahip ortalamalar
derecenin farklı değerlerinden dolayı sayısal değerler aynı olmaktan uzaktır.
Ortalamanın derecesi ne kadar düşük olursa, ortalamaya karşılık gelen değer de o kadar düşük olur - bu bir kalıptır. Dolayısıyla verilen serinin her ortalaması, sağındaki ortalamalara göre majördür. Bütün bunlara ortalamaların çoğunluğu kuralı denir.
Olağan ortalamanın veya ağırlıklının seçimi istatistiksel materyalle gerçekleştirilir ve güç tipinin seçimi çalışmanın amacıdır.
Ortalama güçlere ek olarak, yasal istatistikler Mod ve medyan olan yapısal ortalamalar kullanılır.
En yaygın ortalama türü aritmetik ortalamadır. Çok basit bir şekilde hesaplanır: tüm seçeneklerin değerlerinin toplamı şuna bölünür: toplam sayısı seçenek birimleri.
Ayrık bir varyasyon serisinin aritmetik ortalaması, ağırlıklı aritmetik ortalama formülü kullanılarak hesaplanır. O sahip değil temel farklılıklar basit aritmetik ortalamadan. İçinde sadece aynı değerin toplamı, bu değerin frekansıyla çarpılmasıyla değiştirilir. Böylece her değer, oluşma sıklığına göre ağırlıklandırılır. Frekanslar yüzlerce ve binlerde olduğunda ağırlıklı ortalamanın kullanılması hesaplamayı büyük ölçüde basitleştirir.
Aritmetik ortalamayı hesaplarken, her bir değerin değerini bilmenize veya bu seçeneklere dayanarak oluşturulmuş bir varyasyon serisinin elinizin altında olmasına hiç gerek yoktur.
Pek çok toplam genellikle yasal kurumların resmi kayıtlarında zaten mevcuttur. Toplama sırayla gerçekleşir
Birincil muhasebe belgelerinden elde edilen verileri özetlerken ve gruplandırırken ilçelerde, şehirlerde, Federasyonun konularında ve merkezde.
Raporda özetlenen verilere dayanarak ortalamanın hesaplanması, her ayrı anlam seçenekler hiçbir şekilde kaydedilmez. Bu nedenle bazen ortalama ve göreceli değerler arasında diyebiliriz.
kesin sınırlar yoktur. Hepsi geneldir. Ayrıca herhangi bir ortalama değer bir tür oranı temsil eder.
iki mutlak değerler yani aynı zamanda belirli bir göreceli değerdir. Ama öte yandan herhangi bir Göreceli değer sürecin bir tür ortalama karakteristiğini verir.
Bir aralık serisiyle aritmetik ortalamayı hesaplamanın bazı özellikleri ve zorlukları vardır. istatistiksel göstergeler, yani bireysel sayısal seçenekler aralıklar halinde gruplandırıldığında.
Yasal istatistikler aralıklı serileri ayrık serilerden daha sık kullanır. Böylece ceza şartları, soruşturma şartları, ceza ve hukuk davalarının değerlendirme şartları, suçluların yaşı vb. dikkate alınır.
Aritmetik ortalamanın hesaplanmasını kolaylaştırmak için burada kanıt olmadan verilen bazı özelliklerini kullanabilirsiniz.
1. Ortalamanın frekansların toplamına göre çarpımı her zaman varyantın frekanslara göre çarpımlarının toplamına eşittir.
2. Her seçenekten aynı sayıyı çıkarırsanız veya eklerseniz, yeni ortalama aynı sayı kadar azalacak veya artacaktır.
3. Her seçenek herhangi bir sayıya bölünür veya çarpılırsa aritmetik ortalama aynı miktarda azalacak veya artacaktır.
4. Tüm frekanslar herhangi bir sayıya bölünür veya çarpılırsa aritmetik ortalama değişmeyecektir.
5. Aritmetik ortalamadan sapmaların toplamı her zaman sıfırdır.
6. Genel ortalama, nüfusun karşılık gelen kısımlarının sayısına göre ağırlıklandırılan kısmi ortalamaların ortalamasına eşittir.
Bir sonraki ortalama olan geometrik ortalama, gözlemlenen süreçlerin ortalama büyüme ve artış (azalış) oranlarının hesaplanmasında kullanılır. Suç dinamikleri, tespit edilen suçlular, tespit oranı, sabıka kaydı, toplam mahkum sayısı, beraat eden, cezai sorumluluktan kurtulan, dikkate alınan hukuk davaları, karşılanan ve karşılanmayan iddialar ve zaman içinde diğer yasal değişikliklere ilişkin bu parametrelerin incelenmesi önemli süreçler ve fenomenler var önemli bilimde ve pratikte.
Yasal olarak dinamik önemli olaylar Aritmetik ve geometrik ortalamalar da dahil olmak üzere birçok göstergeyle karakterize edilir. Aritmetik ortalamalar, ifade edilen yıllık ortalama mutlak artışı veya azalışı hesaplamak için kullanılır.
adlandırılmış numaralarda. Önemliler ama yeterli değiller özellikle
Karşılaştırma amacıyla, yüzde olarak ifade edilen büyüme, artış ve azalış oranlarının elde edilmesinde büyük fayda vardır. Bu parametreler geometrik ortalama formülü kullanılarak hesaplanır, ancak aynı mutlak göstergelere dayanır.
Ortalama yıllık büyüme ve kazanç oranlarını hesaplamak için, mutlak göstergeler ilk ve son yıllar dinamiklerin göreceli büyüklüğünün yüzde ve yıl sayısı olarak hesaplandığı temel alınarak. İÇİNDE istatistiksel koleksiyonlar ve resmi raporlama, gözlemlenen süreçteki toplamları ve hatta büyüme veya düşüş yüzdelerini zaten hesapladı. Bunlara ve yıl sayısına bağlı olarak, istediğiniz ortalama yıllık büyüme oranlarını ve ilgili süreçlerin artışlarını kolayca bulabilirsiniz.
Mod ve medyan. İstatistiklerde mod, belirli bir popülasyonda en sık bulunan değişkenin değeridir. Bazen tüm seçeneklerin yaklaşık olarak eşit sıklıkta ortaya çıktığı dağılımlar olabilir.
İÇİNDE benzer vakalar moda pratikte bulunmadığı için belirlenmemiştir. Diğer dağıtımlarda mod benzersiz olmayabilir.
Mod, bir özelliğin daha sık tekrarlanan değerini karakterize etmenin gerekli olduğu durumlarda kullanılır.
Modanın tanımı aralık serisi Modu belirlemek için verilen serinin modal aralığını belirlemek gerektiğinden biraz daha karmaşıktır.
İstatistiklerde medyan, yer alan seçenektir.
sıralama serisinin ortasında. Sıralı satırı ikiye böler. Medyanın her iki tarafında da aynı numara Nüfus birimleri. Medyan değeri belirlenirken özniteliğin değerinin aralıkta eşit dağıldığı varsayılır.
Şunun için hesaplanan medyan: varyasyon serisiönemli ölçüde farklı aralıklarla, aynı seri için hesaplanan medyandan farklıdır, ancak eşit aralıklarla.
Pratikte mod ve medyan bazen aritmetik ortalamanın yerine veya onunla birlikte kullanılır. Birlikte kullanıldıklarında, özellikle az sayıda birimin incelenen özelliğin çok küçük değerleri ile birleştirildiğinde birbirlerini tamamlarlar. Aritmetik ortalamaya ek olarak, ortalamadan farklı olarak popülasyon için özelliğin uç ve karakteristik değerlerine bağlı olmayan mod ve medyanı hesaplamak da daha iyidir. Medyan, nüfus sıralandığında ve sıralandığında yaklaşık bir aritmetik ortalama olarak kullanılabilir, daha sonra medyan, seçeneklerin orta değeri ile belirlenir. Bu nedenle diğer seçeneklerin değerlerinin değiştirilmesine gerek yoktur.
Varyasyon serisinin medyanının iki eşit parçaya bölünmesine ek olarak,
istatistiklerde daha fazlası kullanılıyor kesirli bölümler: varyasyon serisini frekansların toplamına göre 4 eşit parçaya bölen çeyrekler, ondalıklar -
10 eşit parça ve yüzdelik - 100 eşit parça başına. İncelenen sürecin daha anlamlı ve özlü tanımları için kullanılırlar, ancak
pratikte yasal istatistiklerde kullanılmaz.
Özellik varyasyonunun göstergeleri. Ortalama değerler, değişen bir özelliğe dayalı olarak bir popülasyonun önemli bir genelleme özelliğini temsil eder. Bunları saydıktan sonra ne kadar temsili, tipik veya homojen olduklarını anlamak gerekir çünkü aynı ortalamalar tamamen heterojen popülasyonları karakterize edebilir.
Varyasyon serilerindeki farklılıklar hakkındaki yargılarımızın istatistiksel olarak doğru olması için, çeşitli seçeneklerin ortalamadan sapma göstergelerine başvurmamız gerekir.
Değişimin ilk ve en basit göstergesi, en büyük ve en büyük arasındaki fark olarak hesaplanan varyasyon aralığıdır. en düşük değerler değişken özellik.
Aritmetik ortalama sapma, bir özellikteki varyasyonun ikinci ölçüsüdür. İstatistiksel analizde oldukça nadir kullanılır. Genellikle üçüncü bir varyasyon göstergesi kullanılır - dağılım veya sapmaların ortalama karesi.
Çıkarılarak kare kök Varyanstan bir sonraki, dördüncü varyasyon göstergesini, yani standart sapmayı elde ederiz.
Dağılım ve standart sapma, incelenen özelliğin varyasyonunun en yaygın göstergeleridir. Yasal istatistiklerde karşılaştırmalı olarak kullanılırlar. istatistiksel araştırma temsil hatasını haklı çıkarmak için örnek gözlem,
ve ayrıca bir faktörün işaretleri ile bir etkinin işaretleri arasındaki veya neden ve sonuç arasındaki korelasyonları ve diğer istatistiksel bağlantıları incelerken.
Değişim katsayısı, varyasyonun beşinci göstergesidir. Mutlak ve adlandırılmış sayılarla ifade edilen, varyasyon aralığı, doğrusal ortalama, standart sapma ve dağılımdan farklı olarak göreceli bir göstergedir. Varyasyon katsayısı karşılaştırmalı çalışmalar için birçok fırsat sağlar, çünkü örneğin karşılaştırma şu anlama gelir: Standart sapma ile varyasyon serisi farklı seviyelerde doğrudan imkansızdır. Değişim katsayısı bir dereceye kadar ortalamanın tipikliği için bir kriter gibi görünmektedir. Göreceli olarak büyükse, bu, bu ortalamanın tipikliğinin çok düşük olduğu ve tam tersine değeri küçükse, ortalamanın tipik ve güvenilir olduğu anlamına gelir.
İstatistiksel verilerin işlenmesi ve özetlenmesi sürecinde ortalama değerlerin belirlenmesi ihtiyacı ortaya çıkar. Kural olarak, aynı özelliğin bireysel değerleri popülasyonun farklı birimlerinde aynı değildir.
ortalama değer – incelenen popülasyonda incelenen özelliğin genelleştirici bir özelliği. Belirli yer ve zaman koşulları altında birim nüfus başına düşen tipik düzeyi yansıtır.
Örneğin, bir işletmedeki işçilerin gelirini incelerken genel özellik, bir işçinin ortalama geliridir. Bunu belirlemek için toplam tutarücretler, sosyal yardımlar ve işgücü yardımları şeklinde tüketime tahsis edilen fonlar, finansal asistanİncelenen dönem için (yıl, çeyrek, ay) işletmenin mülkünde bulunan hisse senetlerine ilişkin temettüler ve mevduat faizleri, işletmenin çalışan sayısına bölünür. Ortalama gelir, bir işletmedeki tüm işçi nüfusu için ortak olanı karakterize eder; incelenen dönemde belirli bir işletmenin belirli çalışma koşullarında işçi kitlesinin gelir düzeyi.
Nüfusun tamamı için hesaplanan ortalamaya ne ad verilir? genel ortalama.
Her grup için hesaplanan ortalamalara denir. grup ortalamaları.
Ortalamanın hesaplandığı nüfus birimi ne kadar fazlaysa, o kadar kararlıdır; daha kesin. Ortalama değerin hesaplanması iki işlemi içerir:
I – tüm birimler için verilerin toplanması (veri genelleştirme);
II – özetlenen verilerin popülasyondaki birim sayısına bölünmesi.
– bir özelliğin ortalama değeri ; N– nüfus birimlerinin sayısı;
XBen – Nüfusun her biriminin özelliğinin bireysel değeri.
Ortalama değerin özü, onun piyasa ekonomisindeki özel önemini belirler. Bireysel ve rastgele ortalama değer, genel ve gerekli olanı belirlememize, ekonomik kalkınma modelinin eğilimini belirlememize olanak tanır.
Güç ortalamaları:
ü aritmetik ortalama;
ü geometrik ortalama;
ü harmonik ortalama;
ü ortalama kare;
ü ortalama kronolojik.
Yapısal ortalamalar: mod ve medyan.
Çalışmanın amacına bağlı olarak bir veya daha fazla ortalama türünün seçimi yapılır, ekonomik öz ortalama gösterge ve mevcut başlangıç verilerinin niteliği. Ancak ortalama doğru uygulandığında gerçek ekonomik anlam taşıyan değerler elde edilir.
Aritmetik ortalama - En yaygın ortalama türü.
Aritmetik ortalamayla demek istediğimiz Bir özelliğin tüm değerlerinin toplamının popülasyonun tüm birimleri arasında eşit olarak dağıtılması durumunda popülasyonun her biriminin sahip olacağı bir özelliğin değeri.
Ortalama karakteristik hacminin, incelenen istatistiksel popülasyonun bireysel birimleri için değerlerinin toplamı olarak oluşturulduğu durumlarda hesaplanır. Kaynak verinin niteliğine bağlı olarak aritmetik ortalama şu şekilde belirlenir:
Basit aritmetik ortalama
değerlerin toplamının sayısına bölünmesiyle hesaplanır. 
Örnek: Maaş Ocak ayında bir atölyenin 3 işçisi için şuydu: 6500, 4955, 5323 ruble. Aylık ortalama maaş: 
ovmak.
Örnek: Bir ticari işletmenin on çalışanının ortalama hizmet süresini hesaplayın. Tek özellik değeri (yıl): 6,5,4,3,3,4,5,4,5,4.
= (6+5+4+3+3+4+5+4+5+4) : 10 = 43: 10 = 4,3 yıl.
Gördüğümüz gibi, özelliğin bireysel değerleri yalnızca tamsayılarla belirtilse bile, aritmetik ortalama kesirli bir sayı olabilir. Bu, soyut (teorik) bir miktar olan aritmetik ortalamanın özünden kaynaklanır; bunu kabul edebilir Sayısal değer Sunulan bireysel özellik değerleri kümesinde bulunmayan.
Aritmetik ortalama ağırlıklı
Aynı karakteristik değer birkaç kez ortaya çıktığında, bir dağılım serisi üzerinden bir karakteristiğin ortalama değerini hesaplamak genellikle gerekli olur. Verileri özelliğin değerine göre birleştirerek (yani gruplandırarak) ve her birinin tekrarlanma durumlarını sayarak aşağıdaki varyasyon serisini elde ederiz.
Sonuç olarak, ağırlıklı ortalamayı hesaplamak için aşağıdaki sıralı işlemler gerçekleştirilir: her seçeneğin frekansıyla çarpılması, elde edilen sonuçların toplanması, elde edilen toplamın frekansların toplamına bölünmesi.
Ağırlıklı aritmetik ortalama dikkate alınır farklı anlam bütünlük içindeki bireysel seçenekler. Bu nedenle seçeneklerin farklı numaralara sahip olduğu tüm durumlarda kullanılmalıdır. Bu durumlarda basit bir ortalamanın kullanılması kabul edilemez, çünkü bu kaçınılmaz olarak istatistiksel göstergelerin bozulmasına yol açar.
Aritmetik ortalamanın eşit olarak dağıldığı görülmektedir. ayrı nesneler toplam değer aslında her biri için değişen bir özellik.
Bazen ortalama değerlerin hesaplanması, ortalamanın hesaplandığı özelliğin değişkenleri aralıklar (- ila) şeklinde sunulduğunda, aralık dağılım serisi şeklinde gruplandırılmış veriler kullanılarak yapılmalıdır. Ortalama değeri hesaplamak için, her seçenekte ortalama x değerini belirlemek ve ardından olağan x y sırasına göre tartmak gerekir.
Kapalı bir aralıkta orta değer, alt ve üst sınırların değerlerinin toplamının yarısı olarak tanımlanır.
Bir aralık serisinin ortalama değerini hesaplama görevi, başlangıç ve son aralıkların uç sınırlarının bilinmemesi nedeniyle karmaşıklaşır. Bu durumda bu aralığın sınırları arasındaki mesafenin bitişik aralıkla aynı olduğu varsayılır.
Bir aralık serisinin ortalamasını hesaplamak için aritmetik ağırlıklı ortalama formülünü kullanmamıza rağmen, hesaplanan ortalamanın kesin bir değer olmadığını, çünkü grupların ortalama değerlerinin sayılarıyla çarpılması sonucunda, alamayacak gerçek değer. Tutarsızlığın derecesi bir dizi nedene bağlıdır: 1 – seçenek sayısı. Nasıl daha büyük sayı seçeneğini tercih ederseniz, aralığın ortasının grup ortalamasından çok az farklı olması muhtemeldir. Her grupta az sayıda birim varsa, grup ortalamaları aralığın yalnızca ortasında değil aynı zamanda üst veya alt sınırına yakın da olabilir.
Örnek, Bir reklam ajansının 12 çalışanının ortalama hizmet süresinin hesaplanması gerekmektedir. Aynı zamanda niteliğin (deneyimin) yıllar içindeki bireysel değerleri de bilinmektedir: 6,5,4,3,3,5,5,6,3,7,4,5.
Özelliğin değerine ilişkin verileri birleştirdikten ve her birinin tekrarlanma durumlarını saydıktan sonra, ağırlıklı aritmetik ortalama formülünü kullanarak gruplandırılmış verilere dayanarak ortalama hizmet süresini hesaplayacağız.
X = (3*3+4*2+5*4+6*2+7*1) : 12 = 56 : 12 = 4,7 Yılın.
Materyalin istatistiksel işlenmesi uygulamasında sorunlar ortaya çıkıyor çeşitli görevler fenomenlerin incelenmesinde özelliklere sahip olan ve çözümlerinde çeşitli ortalamaların kullanılmasını gerektiren. İstatistiksel ortalamaların her zaman ifade ettiği göz önüne alındığında kalite özellikleri okudu sosyal süreçler ve fenomenler arasındaki ilişkiye ve özelliklerine bağlı olarak ortalamanın doğru formunu seçmek önemlidir.
Aritmetik ortalamanın özellikleri:
Aritmetik ortalamanın, ortalamaların özünü anlamak ve hesaplamalarını basitleştirmek için gerekli olan bir takım özellikleri vardır.
1. Orta aritmetik toplam değişen miktarlar ortalamaların toplamına eşittir aritmetik büyüklükler:
Eğer x i = y i + z i ise o zaman
Bu kural, hangi durumlarda ortalama değerlerin toplanabileceğini gösterir. Örneğin, üretilen ürünler iki parçadan oluşuyorsa sen Ve z ve her birinin üretimi ortalama olarak maliyetlidir en= 3 saat z = 5 h, daha sonra bir ürünün imalatında harcanan ortalama süre ( X), eşit olacaktır: 3+5 = 8 saat, yani. X= y + z..
2. Değişken bir özelliğin bireysel değerlerinin ortalamadan sapmalarının cebirsel toplamı sıfıra eşittir, çünkü bir yöndeki sapmaların toplamı diğer yöndeki sapmaların toplamı ile iptal edilir, yani.
, Çünkü
Bu kural ortalamanın sonuç olduğunu gösterir.
3. Bir serideki tüm seçenekler aynı sayıda azaltılır veya artırılırsa A, o zaman ortalama aynı sayıda azalacak veya artacaktır A:
4. Bir serinin tüm seçenekleri azaltılır veya artırılırsa A kez, ortalama da buna uygun olarak azalacak veya artacaktır. A bir kere:
5. Bir serinin tüm frekansları aynı sayıya bölünür veya çarpılırsa D, o zaman ortalama değişmeyecektir:
Bu özellik, ortalamanın ölçeklerin büyüklüğüne değil, aralarındaki ilişkiye bağlı olduğunu gösterir. Sonuç olarak, yalnızca mutlak değil, aynı zamanda göreceli değerler de ağırlık görevi görebilir.
Ortalama kronolojik
Bazen sosyo-ekonomik göstergeleri analiz ederken, eşit momentli dinamiklerden gelen veriler varsa ortalama değeri belirlemek gerekir. Örneğin aylık ortalama mal envanteri; ayın başındaki satıcıların sayısı biliniyorsa, çeyrek ve yarı yıl için ortalama satıcı sayısı; veya bir bölgenin ortalama yıllık nüfusunu belirleyin, ardından kronolojik ortalamayı kullanın.
X=(x 1 + x 2 +x 3 +…+x n -1 + x n) : (n-1)
X – popülasyonun her biriminin özelliğinin bireysel değeri;
n – nüfus birimlerinin sayısı.
Harmonik ortalama
Harmonik ortalama, aritmetik ortalamanın tersidir. Ne zaman istatistiki bilgi popülasyonun bireysel değişkenleri için frekansları içermez, ancak bunların çarpımı olarak sunulur; ağırlıklı harmonik ortalama formülü kullanılır.
Bu formdaki ortalamaya denir ağırlıklı harmonik ortalama Ve ile gösterilir x gar M. vzvz . Sonuç olarak, harmonik ortalama aritmetik ortalamayla aynıdır. Gerçek ağırlıkların bilinmediği ancak çarpımın bilindiği durumlarda kullanılır. f x = z
Çalışmaların olduğu durumlarda fx aynı veya bire eşit (m=1), geçerlidir harmonik basit demek, formülle hesaplanır
Nerede X- ayrı seçenekler; P- onların numarası.
Geometrik ortalama
Bu ortalamanın, mutlak farklara değil, iki sayının oranlarına dikkat edildiğinde kullanılması uygundur. Bu nedenle ortalama yıllık büyüme oranlarının hesaplanmasında geometrik ortalama kullanılmaktadır.
veya
Bu, aşağıdaki gibi formüle edilebilecek geometrik ortalama formülüdür:
Geometrik ortalama kuvvetin köküne eşittir P sonraki her dönemin değerinin bir öncekinin değerine oranını karakterize eden büyüme katsayılarının çarpımından.
Geometrik ortalama değeri, eğer görev, niteliğin hem maksimum hem de minimum değerinden niteliksel olarak eşit uzaklıkta olacak bir nitelik değeri bulmaksa, ortalama almanın sonucu olan içerik açısından en doğru cevabı verir.
Örnek: Enflasyon sonucunda bir ürünün fiyatı ilk yılda bir önceki yıla göre iki katına çıktı; ikinci yıl için - önceki yılın seviyesinin üç katı daha. İki yılda fiyatın 6 kat arttığı açık. Yıllık ortalama fiyat artış oranını hesaplayın?
Ortalama büyüme hızının hesaplanmasında aritmetik ortalama uygun değildir. Geometrik ortalama doğru cevabı verir.
X = x 1 * x 2 = 2 * 3 = 6 = 2,45 çarpı.
Ortalama kare
İlgili bilgi.
İstatistiksel göstergelerin en yaygın şekli ekonomik araştırma, belirli yer ve zaman koşulları altında istatistiksel bir popülasyondaki bir özelliğin genelleştirilmiş niceliksel özelliği olan ortalama değerdir. Ortalama değer formundaki bir gösterge, tipik özellikleri ifade eder ve değişen özelliklerden birine göre benzer olayların genelleştirilmiş bir özelliğini sağlar. Nüfusun bir birimine atanan bu özelliğin düzeyini yansıtır. Ortalamaların yaygın kullanımı, onları ekonomideki olguları ve süreçleri analiz etmek için vazgeçilmez bir araç haline getiren bir takım olumlu özelliklere sahip olmaları ile açıklanmaktadır.
En önemli mülk ortalama değer, incelenen popülasyonun tüm birimleri için ortak olanı yansıtmasıdır. Nüfusun bireysel birimlerinin nitelik değerleri, aralarında hem temel hem de rastgele olabilecek birçok faktörün etkisi altında bir yönde veya başka bir yönde dalgalanır. Örneğin, bir şirketin hisse senedi fiyatı öncelikle şu şekilde belirlenir: finansal sonuçlar onun faaliyetleri. Aynı zamanda belirli günlerde ve belirli borsalarda bu paylar, içinde bulunulan şartlara göre daha yüksek veya daha düşük bir fiyattan satılabilmektedir. Ortalama değerin özü, nüfusun bireysel birimlerinin karakteristik değerlerinde rastgele faktörlerin eyleminin neden olduğu sapmaları iptal etmesi ve ana faktörlerin eyleminin neden olduğu değişiklikleri dikkate almasıdır. . Bu, ortalama değerin, özelliğin tipik düzeyini yansıtmasına ve bireysel birimlerin doğasında bulunan bireysel özelliklerden soyutlanmasına olanak tanır.
İstatistiklerde kullanılır Farklı türde ortalama değerler. En sık kullanılanlar aritmetik ortalama, harmonik ortalama, geometrik ortalama ve ikinci dereceden ortalamadır. Bir veya diğer ortalamanın seçimi, ortalaması alınan özelliğin içeriğine ve hesaplanması gereken spesifik verilere bağlıdır.
Bu ortalamalar, popülasyonun her bir değişkeninin yalnızca bir kez meydana gelmesi durumunda hesaplanabilir (bu durumda ortalamaya denir) basit veya ağırlıksız), veya seçenekler tekrarlandığında farklı numara kez (bu durumda seçeneklerin tekrarlama sayısına denir sıklık veya istatistiksel ağırlık ve ağırlıklar dikkate alınarak hesaplanan ortalama, ağırlıklı ortalama).
Basit aritmetik ortalama– formülle hesaplanan en yaygın ortalama değer türü
Aritmetik ortalama ağırlıklı
Nerede x ben- seçenek ve ben– frekans veya istatistiksel ağırlık.
Örnek. Ofisin birinci katındaki beş ofiste yapılan incelemede, bu ofislerde 1, 2, 3, 4, 5 kişinin çalıştığı görüldü. Basit aritmetik ortalamayı hesaplayalım:
onlar. Birinci katta ofis başına ortalama 3 kişi bulunmaktadır.
Aynı binadaki tüm odaların muayene sonuçları Tablo 8.2'de gösterilmektedir.
Tablo 8.2
Ofis binası anket sonuçları
Bu binada çalışan ortalama çalışan sayısını hesaplayalım:
Onlar. Bu binada ortalama 2 ofis başına 7 çalışan bulunmaktadır.
Aritmetik ortalama her zaman bir popülasyonun değişken bir karakteristiğinin genelleyici niceliksel özelliğidir.
Harmonik ortalama seçeneklerin kendilerinin değil karşılıklı değerlerinin toplanmasının gerekli olduğu durumlarda hesaplanır.
Hesaplama formülü harmonik basit demek Sonraki:
Harmonik ortalama ağırlıklı formülle belirlenir
Nerede x ben- seçenek, N– seçenek sayısı, V ben– ters değerler için ağırlıklar x ben.
Örnek. Harmonik ortalama ağırlıklandırılmamış(Bu, ağırlıklı formdan çok daha az sıklıkla kullanılan ortalama formdur). Uygulamanın kapsamını göstermek için basitleştirilmiş bir yöntem kullanacağız. geleneksel örnek. Ön siparişlere dayalı posta siparişi konusunda uzmanlaşmış bir şirkette, iki çalışanın malların paketlenmesi ve nakliyesinde görev aldığını varsayalım. Bunlardan ilkinin bir siparişi işleme koyması 5 dakika sürer, ikincisi ise 15 dakika sürer. 1 sipariş için harcanan ortalama süre nedir? toplam süreİşçilerin çalışma saatleri aynı mı?
İlk bakışta bu sorunun cevabı, 1 siparişte harcanan zamanın bireysel değerlerinin ortalamasının alınmasında yatmaktadır; (5 + 15) : 2 = 10, min. Bir saatlik çalışma örneğini kullanarak bu yaklaşımın geçerliliğini kontrol edelim. Bu saat içerisinde, ilk işçi 12 siparişi (60:5), ikinci işçi ise 4 siparişi (60:15) işler, bu da toplam 16 sipariş anlamına gelir. Bireysel değerleri tahmini ortalama değerleriyle değiştirirsek, o zaman her iki çalışan tarafından işlenen toplam sipariş sayısı bu durumda azalacak:
Çözüme ortalamanın orijinal oranı üzerinden yaklaşalım. Harcanan ortalama süreyi belirlemek için, herhangi bir aralıkta (örneğin bir saat) harcanan toplam süreyi, bu aralıkta iki çalışan tarafından işlenen toplam sipariş sayısına bölmek gerekir:
Şimdi bireysel değerleri ortalama değerleriyle değiştirirsek, saat başına işlenen toplam sipariş sayısı değişmeyecektir:
Emirler
Özetlemek gerekirse: değerlerin aşağıdaki gibi olduğu durumlarda ağırlıklı ortalama yerine ağırlıksız harmonik ortalama kullanılabilir. Wj nüfus birimleri eşittir (dikkate alınan örnekte çalışanların çalışma saatleri aynıdır).
Örnek. Harmonik ortalama ağırlıklı. Döviz alım satımı sırasında, operasyonun ilk saatinde beş işlem gerçekleştirildi. Ruble satış miktarına ve rublenin ABD doları karşısındaki döviz kuruna ilişkin veriler tablo 8.3'te verilmektedir.
Tablo 8.3
Döviz ticaretinin ilerlemesine ilişkin veriler
Belirlemek için ortalama oran Dolara karşı ruble, tüm işlemler sırasında dolar alımına harcanan ruble satış miktarı ile bu işlemler sonucunda elde edilen dolar miktarı arasındaki oranı bulmanız gerekiyor.
Onlar. Bir doların ortalama oranı 25,48 rubleydi.
Ortalama oranı hesaplamak için aritmetik ortalama kullanıldıysa; ovmak. bir dolara, sonra bu döviz kuruyla 29 milyon dolarlık satın alma. 739,5 milyon ruble harcamak gerekecek ki bu doğru değil.
Geometrik ortalama olayların dinamiklerini analiz etmek için kullanılır ve ortalama büyüme oranını belirlemenizi sağlar. Geometrik ortalamayı hesaplarken, bir özelliğin bireysel değerleri genellikle göreceli göstergeler Serinin her seviyesinin bir önceki seviyeye oranı olarak zincir değerleri şeklinde oluşturulan dinamikler.
Ortalama geometrik basit formülle hesaplanır
Frekansları kullanırsak M, alıyoruz ağırlıklı geometrik ortalama formülü
Ortalama kare Bir özelliğin varyasyonunu incelerken kullanılır. Sapmalar seçenek olarak kullanılır gerçek değerler aritmetik ortalamadan veya belirli bir normdan karakteristik.
Gruplandırılmamış veriler için formülü kullanın ortalama kare basit
Gruplandırılmış veriler için formülü kullanın ağırlıklı ortalama kare
Aynı sayıda seçenek için hesaplanan aritmetik, harmonik, geometrik ve ikinci dereceden ortalamalar birbirinden farklıdır. Onların Sayısal değer ortalama güç formülündeki üs arttıkça artar, yani – ortalama A.Ya'nın çoğunluk kuralı. Boyarsky.
Yapısal ortalamalar
Ekonomik uygulamada en sık kullanılan yapısal ortalamalar şunlardır: moda Ve medyan.
Moda– bu, belirli bir popülasyonda en sık bulunan özelliğin (varyantın) değeridir; Bu, frekansı en yüksek olan seçenektir. İÇİNDE ayrık seri moda tanıma göre belirlenir, yani. Bu, dağılım serisinde en yüksek frekansa sahip olan özelliğin varyantlarından biridir. Bir aralık serisi için modu (8.16) formülünü kullanarak buluruz. en yüksek frekans modal aralığı tanımlama:
nerede x 0 – modal aralığın başlangıç (alt) sınırı;
H– aralık boyutu;
f Mo– modal aralığın frekansı;
f Mo-1– modal olandan önceki aralığın frekansı;
fMo+1– modal olanı takip eden aralığın frekansı.
Medyan sıralanan serinin ortasında yer alan özelliğin değeridir; Dağılımın sıralı satırında satırın bir yarısı medyandan daha büyük, diğer yarısı medyandan daha küçük bir karakteristik değere sahiptir.
Ayrık bir seride medyan, doğrudan medyan sayısına karşılık gelen birikmiş frekanstan bulunur.
Aralıklı değişim serisi durumunda medyan aşağıdaki formülle belirlenir:
Nerede x-o– medyan aralığın alt sınırı;
N ben– seri numarası medyanlar (Σf/2);
S Me -1– medyan aralığa kadar birikmiş frekans;
f ben– medyan aralığın frekansı.
Örnek. Tablodaki verilere göre modu ve medyanı hesaplayalım. 8.4.
Tablo 8.4
Şehir ailelerinin büyüklüklerine göre dağılımı
Ocak 2008'de kişi başına düşen ortalama gelir
Formül (8.16)'yı kullanarak modu bulalım:
Medyanı (8.17) formülünü kullanarak hesaplayalım:
ilk bulunan N medyanlar: N Me = Σf ben /2= 5000. Birikmiş frekanslara dayanarak 5000'in (7000 – 8000) aralığında olduğunu belirleriz, değeri aşağıdaki formülle belirlenir:
Sonuç: Modaya göre, en yaygın ortalama kişi başına gelir 7.730 ruble, ortancaya göre, şehirdeki ailelerin yarısının ortalama kişi başına geliri 7.800 rublenin altında, geri kalan ailelerin ise 7.800 rubleden fazla.
Mod, medyan ve aritmetik ortalamanın oranı, özelliğin toplamdaki dağılımının doğasını gösterir ve asimetrisini değerlendirmemizi sağlar. Eğer M 0<М е <Х – sağ tarafta asimetri var X<М е <М 0 serinin sol yönlü asimetrisinin olduğu sonucuna varmak gerekir.
Test görevleri
1. Göreli büyüklüklerin istatistikteki rolü nedir?
2. Göreli büyüklükleri ifade etmenin hangi biçimleri mevcuttur?
3. İstatistiklerde ortalamaların anlamı nedir?
4. İstatistiklerde ne tür ortalamalar kullanılır?
5. Harmonik, ikinci dereceden ve geometrik ortalama hangi durumlarda kullanılır?
6. Tablo 8.5'teki verilere dayanarak modu ve medyanı belirleyin.
Tablo 8.5
Ticari işletmelerin şehir içindeki dağılımı
A ürününün perakende fiyat düzeyine göre
7. Tablo 8.6'ya göre personelin ortalama yaşını belirleyiniz.
Tablo 8.6
Şirket çalışanlarının yaşlara göre dağılımı
8. Tablo 8.7'yi kullanarak aşağıdakilerin ortalama hizmet süresini belirleyin: a) işçiler; b) çalışanlar.
Tablo 8.7
Çalışanların hizmet sürelerine göre dağılımı
Bu bölümde ortalama değerlerin amacı açıklanmakta, bunların ana türleri ve biçimleri ile hesaplama yöntemleri tartışılmaktadır. Sunulan materyali incelerken, ortalama değerlerin oluşturulmasına yönelik gereklilikleri anlamak gerekir, çünkü bunlara uygunluk, bu değerleri bir dizi homojen birim için nitelik değerlerinin tipik özellikleri olarak kullanmanıza izin verir.
Ortalama formları ve türleri
ortalama değer popülasyonun birimi başına elde edilen nitelik değerleri düzeyinin genelleştirilmiş bir özelliğidir. Göstergelerin oranının bir ölçüsü olan göreceli değerden farklı olarak, ortalama değer, nüfus birimi başına düşen özelliğin bir ölçüsü olarak hizmet eder.
Ortalama değerin en önemli özelliği, incelenen popülasyonun tüm birimleri için ortak olanı yansıtmasıdır.
Nüfusun bireysel birimlerinin nitelik değerleri, bazıları önemli veya rastgele olabilen birçok faktörün etkisi altında bir yönde veya başka bir yönde dalgalanır. Örneğin, banka kredilerine ilişkin faiz oranları, tüm kredi kuruluşları için başlangıç faktörleri (zorunlu karşılıkların düzeyi ve merkez bankası tarafından ticari bankalara sağlanan kredilere ilişkin taban faiz oranı vb.) ve aynı zamanda kredilerin özellikleri tarafından belirlenmektedir. Belirli bir kredinin doğasında bulunan riske, büyüklüğüne ve geri ödeme süresine, bir krediyi işleme ve geri ödemesini izleme maliyetlerine vb. bağlı olarak her bir özel işlem.
Ortalama değer, bir özelliğin bireysel değerlerini özetler ve belirli bir popülasyonun en karakteristik özelliği olan genel koşulların, belirli yer ve zaman koşullarındaki etkisini yansıtır. Ortalamanın özü, nüfusun bireysel birimlerinin karakteristik değerlerinde rastgele faktörlerin etkisinden kaynaklanan sapmaları iptal etmesi ve ana faktörlerin eyleminin neden olduğu değişiklikleri dikkate almasıdır. . Ortalama değer, niteliksel olarak homojen bir popülasyondan hesaplandığında, belirli bir birim popülasyonundaki bir özelliğin tipik düzeyini yansıtacaktır. Bu bağlamda ortalama yöntemi gruplama yöntemiyle birlikte kullanılır.
Nüfusu bir bütün olarak karakterize eden ortalama değerlere denir genel, ve bir grup veya alt grubun özelliklerini yansıtan ortalamalar, - grup.
Genel ve grup ortalamalarının birleşimi, zaman ve mekan arasında karşılaştırma yapılmasına olanak tanır ve istatistiksel analizin sınırlarını önemli ölçüde genişletir. Örneğin, 2002 nüfus sayımının sonuçları özetlendiğinde, çoğu Avrupa ülkesi gibi Rusya'nın da yaşlanan bir nüfusla karakterize olduğu ortaya çıktı. 1989 nüfus sayımına göre ülke sakinlerinin ortalama yaşı üç yıl artarak 37,7 yıl, erkekler - 35,2 yıl, kadınlar - 40,0 yıl oldu (1989 verilerine göre bu rakamlar sırasıyla 34,7 ve 31 idi). ve 37,2 yıl). Rosstat'a göre, 2011 yılında doğumda beklenen yaşam süresi erkekler için 63 yıl, kadınlar için ise 75,6 yıldı.
Her ortalama, incelenen popülasyonun bir özelliğine göre özelliğini yansıtır. Pratik kararlar verebilmek için kural olarak nüfusu çeşitli özelliklere göre karakterize etmek gerekir. Bu durumda ortalamalar sistemi kullanılır.
Örneğin, bankacılık faaliyetlerinde kabul edilebilir bir risk seviyesinde operasyonların gerekli karlılık seviyesine ulaşmak için, verilen kredilere ilişkin ortalama faiz oranları, mevduat ve diğer finansal araçlara ilişkin ortalama faiz oranları dikkate alınarak belirlenmektedir.
Ortalama değeri hesaplamanın şekli, türü ve metodolojisi, çalışmanın belirtilen amacına, incelenen özelliklerin türüne ve ilişkisine ve ayrıca ilk verilerin niteliğine bağlıdır. Ortalamalar iki ana kategoriye ayrılır:
- 1) güç ortalamaları;
- 2) yapısal ortalamalar.
Ortalama formül, uygulanan ortalamanın derecesinin değerine göre belirlenir. Artan üs ile k ortalama değer buna göre artar.
Ortalama değerler, kitlesel sosyal olayların özet (nihai) özelliğini sağlayan genel istatistiksel göstergeleri ifade eder, çünkü bunlar, değişen özelliklere sahip çok sayıda bireysel değer temel alınarak oluşturulmuştur. Ortalama değerin özünü açıklığa kavuşturmak için, ortalama değerin hesaplandığı verilere göre, bu fenomenlerin işaretlerinin değerlerinin oluşumunun özelliklerini dikkate almak gerekir.
Her kütle olgusunun birimlerinin çok sayıda özelliğe sahip olduğu bilinmektedir. Bu özelliklerden hangisini alırsak alalım, değerleri bireysel birimler için farklı olacaktır; değişir veya istatistiklerde söylendiği gibi bir birimden diğerine değişir. Örneğin, bir çalışanın maaşı, onun niteliklerine, yaptığı işin niteliğine, hizmet süresine ve diğer birçok faktöre göre belirlenmekte ve bu nedenle çok geniş sınırlar içerisinde değişiklik göstermektedir. Tüm faktörlerin birleşik etkisi, her çalışanın kazanç miktarını belirler, ancak ekonominin farklı sektörlerindeki çalışanların ortalama aylık maaşından bahsedebiliriz. Burada, büyük bir popülasyonun bir birimine atanan, değişen bir özelliğin tipik, karakteristik değeriyle çalışıyoruz.
Ortalama değer bunu yansıtır genel, Bu, incelenen popülasyonun tüm birimleri için tipiktir. Aynı zamanda, nüfusun bireysel birimlerinin özelliklerinin değerine etki eden tüm faktörlerin etkisini sanki karşılıklı olarak söndürüyormuş gibi dengeler. Herhangi bir sosyal olgunun düzeyi (veya boyutu) iki grup faktörün eylemiyle belirlenir. Bazıları genel ve temeldir, sürekli çalışır, incelenen olgunun veya sürecin doğasıyla yakından ilişkilidir ve tipik incelenen popülasyonun tüm birimleri için ortalama değere yansıtılan. Diğerleri bireysel, etkileri daha az belirgindir ve epizodik, doğası gereği rastgeledir. Ters yönde hareket ederek popülasyonun bireysel birimlerinin niceliksel özellikleri arasında farklılıklara neden olurlar ve incelenen özelliklerin sabit değerini değiştirmeye çalışırlar. Bireysel özelliklerin etkisi ortalama değerde söner. Genel özelliklerde dengeli ve karşılıklı olarak iptal edilen tipik ve bireysel faktörlerin birleşik etkisinde, matematiksel istatistiklerden bilinen temel prensip genel biçimde ortaya çıkar. büyük sayılar kanunu.
Toplamda, özelliklerin bireysel değerleri ortak bir kütle halinde birleşir ve olduğu gibi çözülür. Buradan ortalama değer hiçbiriyle niceliksel olarak örtüşmeden, özelliklerin bireysel değerlerinden sapabilen “kişisel olmayan” gibi davranır. Ortalama değer, bireysel birimlerinin özellikleri arasındaki rastgele, atipik farklılıkların karşılıklı iptali nedeniyle tüm popülasyon için genel, karakteristik ve tipik olanı yansıtır, çünkü değeri sanki tüm nedenlerin ortak sonucu tarafından belirlenir.
Ancak ortalama değerin bir özelliğin en tipik değerini yansıtabilmesi için herhangi bir popülasyon için değil, yalnızca niteliksel olarak homojen birimlerden oluşan popülasyonlar için belirlenmesi gerekir. Bu gereklilik, ortalamaların bilimsel temelli kullanımının temel koşuludur ve sosyo-ekonomik olayların analizinde ortalama yöntemi ile gruplama yöntemi arasında yakın bir bağlantı olduğunu ima eder. Sonuç olarak, ortalama değer, belirli yer ve zaman koşulları altında homojen bir popülasyonun birimi başına değişen bir özelliğin tipik düzeyini karakterize eden genel bir göstergedir.
Ortalama değerlerin özünü bu şekilde tanımlarken, herhangi bir ortalama değerin doğru hesaplanmasının aşağıdaki şartların yerine getirilmesini gerektirdiğini vurgulamak gerekir:
- ortalama değerin hesaplandığı nüfusun niteliksel homojenliği. Bu, ortalama değerlerin hesaplanmasının, homojen, benzer olayların tanımlanmasını sağlayan gruplandırma yöntemine dayanması gerektiği anlamına gelir;
- ortalama değerin hesaplanmasında rastgele, tamamen bireysel nedenlerin ve faktörlerin etkisi hariç. Bu, ortalamanın hesaplanmasının, büyük sayılar yasasının etkisinin ortaya çıktığı ve tüm rastgeleliğin iptal edildiği yeterince büyük malzemeye dayandığı durumda elde edilir;
- Ortalama değeri hesaplarken, hesaplamanın amacını ve sözde değeri belirlemek önemlidir. belirleyici gösterge(özellik) yönlendirilmesi gereken yer.
Tanımlayıcı gösterge, ortalaması alınan özelliğin değerlerinin toplamı, ters değerlerinin toplamı, değerlerinin çarpımı vb. olarak hareket edebilir. Tanımlayıcı gösterge ile ortalama değer arasındaki ilişki şu şekilde ifade edilir: eğer ortalaması alınan özelliğin tüm değerleri ortalama değerle değiştirilir, bu durumda bunların toplamı veya çarpımı tanımlayıcı göstergeyi değiştirmez. Tanımlayıcı gösterge ile ortalama değer arasındaki bu bağlantıya dayanarak, ortalama değerin doğrudan hesaplanması için bir başlangıç niceliksel ilişki oluşturulur. Ortalama değerlerin istatistiksel popülasyonların özelliklerini koruma yeteneğine denir özelliği tanımlamaktadır.
Nüfusun tamamı için hesaplanan ortalama değere ne ad verilir? genel ortalama; her grup için hesaplanan ortalama değerler - grup ortalamaları. Genel ortalama, incelenen olgunun genel özelliklerini yansıtır, grup ortalaması ise belirli bir grubun belirli koşulları altında gelişen olgunun bir özelliğini verir.
Hesaplama yöntemleri farklı olabilir, bu nedenle istatistiklerde birkaç tür ortalama değer vardır; bunların başlıcaları aritmetik ortalama, harmonik ortalama ve geometrik ortalamadır.
Ekonomik analizde ortalamaların kullanılması, bilimsel ve teknolojik ilerlemenin, sosyal olayların sonuçlarını değerlendirmenin ve ekonomik kalkınma için rezerv aramanın ana aracıdır. Aynı zamanda, ortalama göstergelere aşırı güvenmenin, ekonomik ve istatistiksel analizler yapılırken taraflı sonuçlara yol açabileceği de unutulmamalıdır. Bunun nedeni, genel göstergeler olan ortalama değerlerin, nüfusun bireysel birimlerinin niceliksel özelliklerinde gerçekte var olan ve bağımsız ilgi gösterebilecek bu farklılıkları ortadan kaldırması ve görmezden gelmesidir.
Ortalama türleri
İstatistiklerde iki büyük sınıfa ayrılan çeşitli ortalama türleri kullanılır:
- güç araçları (harmonik ortalama, geometrik ortalama, aritmetik ortalama, ikinci dereceden ortalama, kübik ortalama);
- yapısal araçlar (mod, medyan).
Hesaplamak güç ortalamaları mevcut tüm karakteristik değerlerin kullanılması gereklidir. Moda Ve medyan yalnızca dağılımın yapısı tarafından belirlenir, bu nedenle bunlara yapısal, konumsal ortalamalar denir. Medyan ve mod, güç ortalamasının hesaplanmasının imkansız veya pratik olmadığı popülasyonlarda sıklıkla ortalama bir özellik olarak kullanılır.
En yaygın ortalama türü aritmetik ortalamadır. Altında aritmetik ortalama bir özelliğin tüm değerlerinin toplamının popülasyonun tüm birimleri arasında eşit olarak dağıtılması durumunda popülasyonun her biriminin sahip olacağı bir özelliğin değeri olarak anlaşılmaktadır. Bu değerin hesaplanması, değişen karakteristiklerin tüm değerlerinin toplanmasına ve elde edilen miktarın şu şekilde bölünmesine indirgenir: Toplam Nüfus birimleri. Örneğin, beş işçi parça üretimi için bir siparişi yerine getirirken, birincisi 5 parça, ikincisi 7, üçüncüsü 4, dördüncüsü 10, beşincisi 12 parça üretti. Kaynak verilerde her birinin değeri olduğundan seçeneği yalnızca bir kez gerçekleştiğinden, bir işçinin ortalama çıktısını belirlemek için basit aritmetik ortalama formülü uygulanmalıdır:
yani örneğimizde bir işçinin ortalama çıktısı şuna eşittir:
Basit aritmetik ortalamanın yanı sıra, çalışıyorlar ağırlıklı aritmetik ortalama.Örneğin, yaşları 18 ile 22 arasında değişen 20 kişilik bir gruptaki öğrencilerin ortalama yaşını hesaplayalım; xi- ortalaması alınan özelliğin çeşitleri, fi- kaç kez meydana geldiğini gösteren frekans i-th toplam değer (Tablo 5.1).
Tablo 5.1
Öğrencilerin ortalama yaşı
Ağırlıklı aritmetik ortalama formülünü uygulayarak şunu elde ederiz:
Ağırlıklı aritmetik ortalamayı seçmenin belirli bir kuralı vardır: iki göstergeye ilişkin bir dizi veri varsa, bunlardan biri için hesaplamanız gerekir
ortalama değer ve aynı zamanda mantıksal formülünün paydasının sayısal değerleri biliniyor ve payın değerleri bilinmiyor, ancak bu göstergelerin çarpımı olarak bulunabilir, o zaman ortalama değer gerekir aritmetik ağırlıklı ortalama formülü kullanılarak hesaplanır.
Bazı durumlarda, başlangıçtaki istatistiksel verilerin doğası öyledir ki, aritmetik ortalamanın hesaplanması anlamını yitirir ve tek genelleştirici gösterge yalnızca başka tür bir ortalama olabilir - harmonik ortalama.Şu anda, aritmetik ortalamanın hesaplama özellikleri, elektronik hesaplama teknolojisinin yaygın olarak kullanılmaya başlanması nedeniyle genel istatistiksel göstergelerin hesaplanmasındaki ilgisini kaybetmiştir. Basit ve ağırlıklı da olabilen harmonik ortalama değer, pratikte büyük önem kazanmıştır. Mantıksal bir formülün payının sayısal değerleri biliniyorsa ve paydanın değerleri bilinmiyorsa, ancak bir göstergenin diğerine kısmi bölümü olarak bulunabiliyorsa, ortalama değer harmonik kullanılarak hesaplanır. ağırlıklı ortalama formülü
Örneğin otomobilin ilk 210 km'yi 70 km/saat hızla, kalan 150 km'yi ise 75 km/saat hızla kat ettiği bilinsin. Aritmetik ortalama formülünü kullanarak bir arabanın 360 km'lik yolculuğun tamamındaki ortalama hızını belirlemek imkansızdır. Seçenekler ayrı bölümlerdeki hızlar olduğundan xj= 70 km/saat ve X2= 75 km/saat ise ve ağırlıklar (fi) yolun karşılık gelen bölümleri olarak kabul edilirse, bu durumda seçenekler ve ağırlıkların çarpımının ne fiziksel ne de ekonomik bir anlamı olacaktır. Bu durumda, bölümler yolun bölümlerini karşılık gelen hızlara (seçenekler xi) bölmekten, yani yolun ayrı bölümlerini geçmek için harcanan zamana (fi) bölmekten anlam kazanır. / xi). Yolun bölümleri fi ile gösterilirse, yolun tamamı Σfi olarak ifade edilir ve yolun tamamında harcanan süre Σ fi olarak ifade edilir. / xi , Daha sonra ortalama hız, tüm yolun harcanan toplam süreye bölümü olarak bulunabilir:
Örneğimizde şunu elde ederiz:
Harmonik ortalamayı kullanırken tüm seçeneklerin (f) ağırlıkları eşitse, ağırlıklı olan yerine kullanabilirsiniz basit (ağırlıklandırılmamış) harmonik ortalama:
burada xi bireysel seçeneklerdir; N- ortalama karakteristiğin değişken sayısı. Hız örneğinde, farklı hızlarda kat edilen yol bölümleri eşitse basit harmonik ortalama uygulanabilir.
Herhangi bir ortalama değer, ortalama özelliğin her bir varyantının yerini aldığında, ortalama göstergeyle ilişkili bazı nihai, genel göstergelerin değerinin değişmeyeceği şekilde hesaplanmalıdır. Bu nedenle, rotanın ayrı bölümlerindeki gerçek hızları ortalama değerle (ortalama hız) değiştirirken toplam mesafe değişmemelidir.
Ortalama değerin formu (formülü), bu son göstergenin ortalama değerle ilişkisinin doğası (mekanizması) ile belirlenir, bu nedenle, seçenekleri ortalama değerleriyle değiştirirken değeri değişmemesi gereken son gösterge, isminde belirleyici gösterge. Ortalama formülünü türetmek için, ortalama gösterge ile belirleyici gösterge arasındaki ilişkiyi kullanarak bir denklem oluşturmanız ve çözmeniz gerekir. Bu denklem, ortalama karakteristik (gösterge) değişkenlerinin ortalama değerleriyle değiştirilmesiyle oluşturulur.
İstatistiklerde aritmetik ortalama ve harmonik ortalamanın yanı sıra diğer ortalama türleri (formları) da kullanılır. Hepsi özel durumlar güç ortalaması. Aynı veri için tüm güç ortalama türlerini hesaplarsak, o zaman değerler
aynı olacaklar, kural burada geçerli büyük rant ortalama. Ortalamanın üssü arttıkça ortalama değerin kendisi de artar. Pratik araştırmalarda çeşitli güç ortalama türlerini hesaplamak için en sık kullanılan formüller Tabloda sunulmaktadır. 5.2.
Tablo 5.2
Geometrik ortalama şu durumlarda kullanılır: N büyüme katsayıları, karakteristiğin bireysel değerleri ise kural olarak, dinamik serideki her seviyenin önceki seviyesine oran olarak zincir değerleri şeklinde oluşturulan göreceli dinamik değerlerdir. Dolayısıyla ortalama, ortalama büyüme oranını karakterize eder. Ortalama geometrik basit formülle hesaplanır
Formül ağırlıklı geometrik ortalama aşağıdaki forma sahiptir:
Yukarıdaki formüller aynıdır, ancak biri mevcut katsayılara veya büyüme oranlarına, ikincisi ise seri seviyelerinin mutlak değerlerine uygulanır.
Ortalama kare kare fonksiyonların değerleriyle hesaplanırken kullanılır, bir özelliğin bireysel değerlerinin dağılım serisindeki aritmetik ortalama etrafındaki dalgalanma derecesini ölçmek için kullanılır ve formülle hesaplanır
Ağırlıklı ortalama kare başka bir formül kullanılarak hesaplanır:
Ortalama kübik kübik fonksiyon değerleriyle yapılan hesaplamalarda kullanılır ve formül kullanılarak hesaplanır
ortalama kübik ağırlıklı:
Yukarıda tartışılan tüm ortalama değerler genel bir formül olarak sunulabilir:
ortalama değer nerede; - bireysel anlam; N- incelenen popülasyonun birim sayısı; k- ortalamanın türünü belirleyen üs.
Aynı kaynak verilerini kullanırken, daha fazla k genel güç ortalaması formülünde ortalama değer ne kadar büyük olursa. Bundan, güç ortalamalarının değerleri arasında doğal bir ilişki olduğu anlaşılmaktadır:
Yukarıda açıklanan ortalama değerler, incelenen nüfus hakkında genel bir fikir verir ve bu açıdan bunların teorik, uygulamalı ve eğitimsel önemi tartışılmaz. Ancak ortalama değerin gerçekte var olan seçeneklerin hiçbiriyle örtüşmediği görülür, bu nedenle, istatistiksel analizde, dikkate alınan ortalamalara ek olarak, çok özel bir konumu işgal eden belirli seçeneklerin değerlerinin kullanılması tavsiye edilir. sıralı (sıralanmış) nitelik değerleri serisi. Bu miktarlar arasında en sık kullanılanlar şunlardır: yapısal, veya tanımlayıcı, ortalama- mod (Mo) ve medyan (Me).
Moda- Belirli bir popülasyonda en sık bulunan bir özelliğin değeri. Bir varyasyon serisiyle ilgili olarak mod, sıralanan seride en sık tekrarlanan değer, yani en yüksek frekansa sahip seçenektir. Moda, herhangi bir ürünün en sık ziyaret edilen mağazalarının, en yaygın fiyatının belirlenmesinde kullanılabilir. Popülasyonun önemli bir kısmının özellik özelliğinin boyutunu gösterir ve formülle belirlenir.
burada x0 aralığın alt sınırıdır; H- aralık boyutu; fm- aralık frekansı; fm_ 1 - önceki aralığın sıklığı; fm+ 1 - bir sonraki aralığın frekansı.
Medyan sıralanan satırın ortasında bulunan seçenek çağrılır. Ortanca, seriyi her iki tarafında da aynı sayıda nüfus birimi olacak şekilde iki eşit parçaya böler. Bu durumda popülasyondaki birimlerin yarısı değişkenlik özelliğinin değerine medyandan küçük, diğer yarısı ise medyandan daha büyük bir değere sahiptir. Medyan, değeri bir dağılım serisinin elemanlarının yarısından büyük veya eşit veya aynı zamanda yarısından küçük veya eşit olan bir eleman incelenirken kullanılır. Medyan, nitelik değerlerinin nerede yoğunlaştığı, diğer bir deyişle merkezlerinin nerede olduğu konusunda genel bir fikir verir.
Medyanın tanımlayıcı doğası, popülasyondaki birimlerin yarısının sahip olduğu değişen bir özelliğin değerlerinin niceliksel sınırını karakterize etmesiyle ortaya çıkar. Ayrık bir varyasyon serisi için medyanı bulma problemi kolaylıkla çözülebilir. Serinin tüm birimlerine seri numarası verilmişse ortanca seçeneğin seri numarası (n+1)/2 olarak belirlenir ve serinin üye sayısı çift sayıdır. , bu durumda medyan, seri numarasına sahip iki seçeneğin ortalama değeri olacaktır. N/ 2 ve N / 2 + 1.
Aralık değişim serilerinde medyanı belirlerken öncelikle içinde bulunduğu aralığı (medyan aralığı) belirleyin. Bu aralık, birikmiş frekans toplamının serinin tüm frekanslarının toplamına eşit veya yarısına eşit olmasıyla karakterize edilir. Bir aralık varyasyon serisinin medyanı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:
Nerede X0- aralığın alt sınırı; H- aralık boyutu; fm- aralık frekansı; F- serinin üye sayısı;
∫m-1 verilen seriden önceki serinin birleştirilmiş terimlerinin toplamıdır.
İncelenen popülasyonun yapısını daha iyi karakterize etmek için medyanın yanı sıra, sıralanan seride çok özel bir konuma sahip olan diğer seçenek değerleri de kullanılır. Bunlar şunları içerir: çeyrekler Ve ondalık.Çeyrekler, seriyi frekansların toplamına göre 4 eşit parçaya ve ondalık dilimleri 10 eşit parçaya böler. Üç çeyrek ve dokuz ondalık dilim vardır.
Medyan ve mod, aritmetik ortalamanın aksine, değişken bir özelliğin değerlerindeki bireysel farklılıkları ortadan kaldırmaz ve bu nedenle istatistiksel popülasyonun ek ve çok önemli özellikleridir. Uygulamada sıklıkla ortalamanın yerine veya onunla birlikte kullanılırlar. İncelenen popülasyonun, değişen karakteristiklerin çok büyük veya çok küçük değerlerine sahip belirli sayıda birim içerdiği durumlarda medyan ve modun hesaplanması özellikle tavsiye edilir. Popülasyonun pek karakteristik özelliği olmayan seçeneklerin bu değerleri, aritmetik ortalamanın değerini etkilerken, medyan ve mod değerlerini etkilemez, bu da ikincisini ekonomik ve istatistiksel açıdan çok değerli göstergeler haline getirir. analiz.
Değişim göstergeleri
İstatistiksel araştırmanın amacı, incelenen istatistiksel popülasyonun temel özelliklerini ve kalıplarını tanımlamaktır. İstatistiksel gözlem verilerinin özet olarak işlenmesi sürecinde, dağıtım serisi. Gruplamaya esas alınan özelliğin niteliksel veya niceliksel olmasına bağlı olarak, niteliksel ve değişken olmak üzere iki tür dağılım serisi vardır.
Varyasyonel niceliksel özelliklere göre oluşturulan dağılım serilerine denir. Nüfusun bireysel birimlerindeki niceliksel özelliklerin değerleri sabit değildir, birbirlerinden az çok farklıdırlar. Bir özelliğin değerindeki bu farka denir. varyasyonlar.İncelenen popülasyonda bulunan bir özelliğin bireysel sayısal değerlerine denir değerlerin çeşitleri. Popülasyonun bireysel birimlerindeki çeşitliliğin varlığı, çok sayıda faktörün özellik seviyesinin oluşumu üzerindeki etkisinden kaynaklanmaktadır. Nüfusun bireysel birimlerindeki özelliklerin doğası ve çeşitlilik derecesinin incelenmesi, herhangi bir istatistiksel araştırmanın en önemli konusudur. Özellik değişkenliğinin ölçüsünü tanımlamak için varyasyon indeksleri kullanılır.
İstatistiksel araştırmanın bir diğer önemli görevi, popülasyonun belirli özelliklerinin değişmesinde bireysel faktörlerin veya gruplarının rolünü belirlemektir. Bu sorunu çözmek için istatistikler, varyasyonun ölçüldüğü bir göstergeler sisteminin kullanımına dayanan, varyasyonu incelemek için özel yöntemler kullanır. Uygulamada, bir araştırmacı, birimlerin toplamdaki nitelik değerine göre dağılımı hakkında bir fikir vermeyen oldukça fazla sayıda nitelik değeri varyantıyla karşı karşıyadır. Bunu yapmak için, karakteristik değerlerin tüm çeşitlerini artan veya azalan sırada düzenleyin. Bu süreç denir diziyi sıralıyoruz. Sıralanan seri, özelliğin toplamda aldığı değerler hakkında hemen genel bir fikir verir.
Nüfusun kapsamlı bir açıklaması için ortalama değerin yetersizliği, bizi, incelenen özelliğin değişkenliğini (değişimini) ölçerek bu ortalamaların tipikliğini değerlendirmemize olanak tanıyan göstergelerle ortalama değerleri tamamlamaya zorlar. Bu çeşitlilik göstergelerinin kullanılması, istatistiksel analizin daha eksiksiz ve anlamlı olmasını ve böylece incelenen sosyal olgunun özüne ilişkin daha derin bir anlayış kazanmayı mümkün kılar.
Değişimin en basit belirtileri şunlardır: minimum Ve maksimum - bu, özelliğin toplamdaki en küçük ve en büyük değeridir. Karakteristik değerlerin bireysel değişkenlerinin tekrar sayısına denir tekrarlama sıklığı Nitelik değerinin tekrarlanma sıklığını gösterelim fi, incelenen popülasyonun hacmine eşit frekansların toplamı şöyle olacaktır:
Nerede k- özellik değerleri için seçenek sayısı. Frekansları frekanslarla değiştirmek uygundur - wi. Sıklık- göreceli frekans göstergesi - bir birimin kesirleri veya yüzde olarak ifade edilebilir ve varyasyon serilerini farklı gözlem sayılarıyla karşılaştırmanıza olanak tanır. Resmi olarak elimizde:
Bir özelliğin varyasyonunu ölçmek için çeşitli mutlak ve göreceli göstergeler kullanılır. Mutlak varyasyon göstergeleri arasında ortalama doğrusal sapma, varyasyon aralığı, dağılım ve standart sapma yer alır.
Varyasyon aralığı(R), incelenen popülasyondaki özelliğin maksimum ve minimum değerleri arasındaki farkı temsil eder: R= Xmax - Xmin. Bu gösterge, yalnızca seçeneklerin maksimum değerleri arasındaki farkı gösterdiğinden, incelenen özelliğin değişkenliği hakkında yalnızca en genel fikri verir. Değişim serisindeki frekanslarla, yani dağılımın doğasıyla tamamen ilgisizdir ve bağımlılığı, yalnızca özelliğin aşırı değerlerinde kararsız, rastgele bir karakter verebilir. Varyasyon aralığı, incelenen popülasyonların özellikleri hakkında herhangi bir bilgi sağlamaz ve elde edilen ortalama değerlerin tipiklik derecesini değerlendirmemize izin vermez. Bu göstergenin uygulama kapsamı oldukça homojen popülasyonlarla sınırlıdır; daha doğrusu, bir özelliğin değişimi, özelliğin tüm değerlerinin değişkenliğini dikkate alan bir gösterge ile karakterize edilir.
Bir özelliğin varyasyonunu karakterize etmek için, tüm değerlerin, incelenen popülasyon için tipik olan herhangi bir değerden sapmalarını genelleştirmek gerekir. Bu tür göstergeler
ortalama doğrusal sapma, dağılım ve standart sapma gibi varyasyonlar, popülasyonun bireysel birimlerinin karakteristik değerlerinin aritmetik ortalamadan sapmalarının dikkate alınmasına dayanır.
Ortalama doğrusal sapma bireysel seçeneklerin aritmetik ortalamalarından sapmalarının mutlak değerlerinin aritmetik ortalamasını temsil eder:
Varyantın aritmetik ortalamadan sapmasının mutlak değeri (modülü); F- sıklık.
İlk formül, seçeneklerin her biri toplamda yalnızca bir kez ortaya çıkarsa ve ikincisi eşit olmayan frekanslarla seri halinde uygulanırsa uygulanır.
Seçeneklerin aritmetik ortalamadan sapmalarının ortalamasını almanın başka bir yolu daha vardır. İstatistikte çok yaygın olan bu yöntem, seçeneklerin ortalama değerden sapmalarının karelerinin ve sonraki ortalamalarının hesaplanmasına indirgenir. Bu durumda yeni bir varyasyon göstergesi elde ederiz - dağılım.
Dağılım(σ 2) - nitelik değeri seçeneklerinin ortalama değerlerinden kare sapmalarının ortalaması:
Seçeneklerin kendi ağırlıkları (veya varyasyon serisinin frekansları) varsa ikinci formül uygulanır.
Ekonomik ve istatistiksel analizde, bir özelliğin değişimini çoğunlukla standart sapmayı kullanarak değerlendirmek gelenekseldir. Standart sapma(σ) varyansın kareköküdür:
Ortalama doğrusal ve standart sapmalar, bir özelliğin değerinin, incelenen popülasyonun birimleri arasında ortalama olarak ne kadar dalgalandığını gösterir ve seçeneklerle aynı ölçüm birimleriyle ifade edilir.
İstatistiksel uygulamada sıklıkla farklı özelliklerin varyasyonlarını karşılaştırmaya ihtiyaç vardır. Örneğin, personelin yaşı ve nitelikleri, hizmet süresi ve ücretleri vb. değişkenleri karşılaştırmak büyük ilgi görmektedir. Bu tür karşılaştırmalar için, özelliklerin mutlak değişkenliğine ilişkin göstergeler (doğrusal ortalama ve standart sapma) uygun değildir. Aslında, yıllarla ifade edilen hizmet süresi değişkenliğini, ruble ve kopek cinsinden ifade edilen ücret değişkenliğiyle karşılaştırmak imkansızdır.
Çeşitli özelliklerin değişkenliğini birlikte karşılaştırırken, göreceli değişkenlik ölçülerini kullanmak uygundur. Bu göstergeler mutlak göstergelerin aritmetik ortalamaya (veya medyana) oranı olarak hesaplanır. Mutlak bir varyasyon göstergesi olarak varyasyon aralığını, ortalama doğrusal sapmayı ve standart sapmayı kullanarak, göreceli değişkenlik göstergeleri elde edilir:
Nüfusun homojenliğini karakterize eden, göreceli değişkenliğin en yaygın kullanılan göstergesi. Normale yakın dağılımlar için varyasyon katsayısı %33'ü geçmiyorsa popülasyon homojen kabul edilir.
