Sürekli avogadro fiziği. Avogadro sabiti

En basit model salınım hareketiİki atomlu bir moleküldeki atomlar iki kütleli bir sistem olarak hizmet edebilir T/ ve w?, elastik bir yay ile birbirine bağlanmıştır. İki atomun kütle merkezine göre titreşimi, bir eşdeğerin titreşimiyle değiştirilebilir

başlangıca göre kütle sıfır noktası R= 0, nerede

R- kütleler arasındaki mesafe, Tekrar- denge noktasının konumu.

Klasik düşüncede yayın ideal olduğu varsayılır. elastik kuvvet F deformasyonla doğru orantılıdır - dengeden sapma x = R-R e, Hooke yasasına göre:

Nerede İle- esneklik sabiti. Böylece kuvvet denge konumuna geri dönmeye yönlendirilir.

Hooke ve Newton yasalarını birlikte kullanmak (F-ta), yazılabilir:

(gösteren). Böyle bir denklemin çözümü şu şekilde bilinmektedir:

harmonik fonksiyonlara hizmet eder

Nerede evet- genlik ve

Azaltılmış kütlenin kullanılması /lşunu elde ederiz:

Bir sistemin potansiyel enerjisinin ölçüsü V işe hizmet ediyor

İÇİNDE kuantum mekaniği Basit bir model için titreşim analizi harmonik osilatör oldukça karmaşık. Schrödinger denkleminin çözülmesine dayanmaktadır.

(e/- titreşim dalga fonksiyonu, e - toplam enerji parçacıklar) ve sunumumuzun kapsamı dışındadır.

Bir kuantum osilatörü için bu yalnızca mümkündür ayrık seri formüle göre enerji E değerleri ve frekanslar E=hv. Ayrıca, minimum değer osilatörün enerjisi sıfır değildir. Bu miktara denir sıfır enerji osilatörün en düşük enerji seviyesine karşılık gelir ve eşittir, varlığı Heisenberg belirsizlik ilişkisine dayanarak açıklanabilir.

Böylece, uyarınca kuantum mekaniği Harmonik osilatörün enerjisi nicelenir:

Nerede v- salınımlı kuantum sayısı y=0, 1, 2, 3,... değerini alabilen

Bir osilatör kuantum ile etkileşime girdiğinde elektromanyetik radyasyonüç faktör dikkate alınmalıdır: 1) düzey popülasyonu (belirli bir zamanda bir molekül bulma olasılığı) enerji seviyesi); 2) bir kuantumun enerjisinin herhangi iki seviyenin enerji farkına karşılık gelmesi gerektiğine göre frekans kuralı (Bohr);

3) kuantum geçişleri için seçim kuralı: geçiş olasılığı, yani. absorpsiyon spektrumundaki çizgilerin yoğunluğu miktarla belirlenir. geçiş dipol momenti (bkz. teorik giriş). En basit harmonik osilatör durumunda seçim kuralı dalga fonksiyonları dikkate alınarak elde edilir. Geçişlerin yalnızca bitişik seviyeler arasında ("bir adım") gerçekleşebileceğini belirtir: titreşim kuantum sayısı bir değişir Av= 1. Bitişik seviyeler arasındaki mesafeler aynı olduğundan, harmonik bir osilatörün soğurma spektrumu, frekansa sahip yalnızca bir çizgi içermelidir.

Çünkü oda sıcaklığında ve daha fazlasında Boltzmann dağılımına uygun olarak düşük sıcaklıklar en düşük titreşim seviyesi doldurulur, daha sonra en yoğun geçiş en baştan itibaren gerçekleşir. düşük seviye(d=0) ve bu çizginin frekansı, daha yüksek seviyelerden bitişik daha yüksek seviyeye olan daha zayıf geçişlerin frekansı ile çakışmaktadır.

Harmonik osilatör dalga fonksiyonlarının grafikleri farklı anlamlar enerjiler Şekil 2.3'te gösterilmektedir. Harmonik bir osilatör için Schrödinger denkleminin çözümlerini temsil ederler.

Nerede N, - normalleştirme faktörü, H 0- Hermit polinomları, x = R-R e- denge konumundan sapma.

Titreşimsel geçişler için geçiş dipol momenti, R0(veya M")şuna eşittir:

Nerede ju - dipol momenti moleküller; tereddüt

vücut dalga fonksiyonları sırasıyla başlangıç ​​ve son durumları. Formülden geçişe izin verildiği açıktır,

denge noktasında ise - molekülün dipol momenti

denge noktasının konumuna yakın değişiklikler (eğri ju=f(R) bu noktada maksimumu geçmez). İntegral (formüldeki ikinci faktör) de sıfıra eşit olmamalıdır. Bitişik seviyeler arasında geçiş meydana gelirse bu koşulun karşılandığı gösterilebilir, dolayısıyla ek kural seçim ai = 1.

Durumunda iki atomlu moleküller titreşim spektrumları yalnızca heteronükleer moleküller için gözlemlenebilir; homonükleer moleküllerin dipol momenti yoktur ve titreşimler sırasında değişmezler. CO2'nin titreşim spektrumunda, dipol momentinin değiştiği titreşimler (antisimetrik esneme ve bükülme) ortaya çıkar, ancak değişmeden kaldığı simetrik titreşimler görünmez.

Hareket ederken harmonik salınımlar gerçekleştiren cisimlere harmonik osilatörler denir. Birkaç harmonik osilatör örneğine bakalım.

Örnek 1. Yaylı sarkaç bir kütle gövdesidirMağırlıksız bir elastik kuvvetin etkisi altında salınma yeteneğine sahip (M yaylar  M vücut ) yaylar (Şekil 4.2).

T

Şekil 4.3. Fiziksel sarkaç.

Örnek 2. Fiziksel bir sarkaç sağlam, ağırlık merkezi C ile çakışmayan hareketli bir yatay eksen etrafında yerçekiminin etkisi altında salınır (Şekil 4.3). Eksen O noktasından geçer. Sarkaç denge konumundan küçük bir açıyla  saptırılırsa ve serbest bırakılırsa, dinamiğin temel denklemine göre salınacaktır. dönme hareketi sağlam
, Nerede J- eylemsizlik momenti eksene göre sarkaç, M kuvvetin geri gelme anıdır fiziksel sarkaç denge konumuna getirin. Yerçekimi tarafından yaratılmıştır, momenti eşittir
(ben=İşletim Sistemi). Sonuç olarak elde ederiz
. Bu diferansiyel denklem için dalgalanmalar keyfi açılar sapmalar. Küçük açılarda,
,
veya alarak
fiziksel bir sarkacın salınımının diferansiyel denklemini elde ederiz
.
Çözümleri şu şekildedir:
veya
ve dönem
.

. Böylece, denge konumundan küçük sapmalar için fiziksel sarkaç, döngüsel frekansta harmonik salınımlar gerçekleştirir. Örnek 3.MMatematiksel bir sarkaç, kütlesi olan maddi bir noktadır.M(küçük boyutlu, ağır bir top), ağırlıksız bir yüzey üzerinde asılı (ile karşılaştırıldığında)ben. top), elastik, uzatılamaz iplik uzun Topu dikey konumdan küçük bir  açısı kadar saptırarak denge konumundan çıkarırsanız ve sonra serbest bırakırsanız, salınım yapacaktır. Bu sistemi fiziksel bir sarkaç olarak düşünürsek maddi bir noktanın eylemsizlik momenti

,
.

J = ml 2, o zaman fiziksel bir sarkacın formüllerinden matematiksel bir sarkacın döngüsel frekansı ve salınım periyodu için ifadeler elde ederiz.. @

4. 4. Sönümlü salınımlar Harmonik salınımların dikkate alınan örneklerinde, üzerine etki eden tek kuvvet maddi nokta (gövde), öyleydi yarı elastik kuvvet

F ve herhangi bir gerçek sistemde mevcut olan direnç kuvvetlerini hesaba katmamıştır. Bu nedenle, dikkate alınan salınımlara ideal sönümsüz harmonik salınımlar denilebilir. Gerçekte kullanılabilirlik Ortamın direnç kuvveti sistemin enerjisinin azalmasına neden olur. Enerji kaybı dış kuvvetlerin çalışmasıyla yenilenmezse salınımlar sönecektir. Sönümlü salınımlar, genliği zamanla azalan salınımlardır.

Serbest sönümlü salınımları ele alalım. Düşük hızlarda, sürükleme kuvveti F C, v hızıyla orantılıdır ve yönü ile ters orantılıdır.
, burada r - sürükleme katsayısıçevre. Kullanma Newton'un ikinci yasası diferansiyel denklemi elde ederiz sönümlü salınımlar
,
,
. Haydi belirtelim
,
. Daha sonra diferansiyel denklem şu şekli alır:

Şekil 4.4. Sönümlü salınımların yer değiştirmesinin ve genliğinin zamana bağlılığı.

Bu sönümlü salınımların diferansiyel denklemidir. Burada  0 sistemin salınımlarının doğal frekansıdır, yani. r=0'da serbest salınımların frekansı,  - sönümleme katsayısı genlikteki azalma oranını belirler.  0 koşulu altında bu denklemin çözümleri şunlardır:

veya
.

Son fonksiyonun grafiği Şekil 4.4'te gösterilmektedir. Üstteki noktalı çizgi fonksiyonun grafiğini verir
0 ise zamanın ilk anında genliktir. Genlik, üstel yasaya göre zamanla azalır,  - zayıflama katsayısı büyüklük olarak terstir dinlenme zamanı yani genliğin e kat azaldığı süre boyunca, çünkü

,
, = 1, . Sönümlü salınımların frekansı ve periyodu
,
; ortamın çok düşük direncinde ( 2  0 2), salınım periyodu neredeyse eşittir
.

 arttıkça salınım periyodu artar ve > 0'da diferansiyel denklemin çözümü salınımların meydana gelmediğini ancak sistemin denge konumuna doğru monoton hareketinin meydana geldiğini gösterir. Bu tür harekete aperiyodik denir. Salınımların zayıflama hızını karakterize etmek için iki parametre daha kullanılır: sönümleme azalması D ve . logaritmik azalma

Sönümleme azalması, bir T periyodu boyunca salınım genliğinin kaç kez azaldığını gösterir.

N

Sönümleme azalmasının doğal logaritması logaritmik azalmadır. Çünkü
, O

burada N, zaman başına salınımların sayısıdır.

Harmonik osilatör Harmonik osilatör (klasik mekanikte) - denge konumundan çıkarıldığında geri çağırıcı bir kuvvet uygulayan bir sistem F , yer değiştirmeyle orantılı X

Nerede (Hooke yasasına göre): k

- sistem sağlamlık katsayısı. (klasik mekanikte) - denge konumundan çıkarıldığında geri çağırıcı bir kuvvet uygulayan bir sistem Eğer Sisteme etki eden tek kuvvet olduğuna göre sisteme denir. basit veya muhafazakar harmonik osilatör . Böyle bir sistemin serbest titreşimleri denge konumuna yakın ( harmonik titreşimler). Frekans ve genlik sabittir ve frekans, genliğe bağlı değildir.

Harmonik bir osilatörün mekanik örnekleri, matematiksel bir sarkaç (küçük sapma açılarına sahip), bir burulma sarkacı ve akustik sistemlerdir. Harmonik bir osilatörün diğer analogları arasında, elektrik harmonik osilatörün altını çizmeye değer (bkz. LC devresi).

Serbest titreşimler

Muhafazakar harmonik osilatör

Muhafazakar harmonik osilatörün bir modeli olarak kütlesel bir yük alıyoruz M, yaya sertlikle sabitlenmiştir (Hooke yasasına göre): .

İzin vermek , yer değiştirmeyle orantılı- yükün denge konumuna göre yer değiştirmesi. Daha sonra Hooke yasasına göre, bir geri çağırıcı kuvvet buna etki edecektir:

Daha sonra toplam enerji sabit bir değere sahiptir

Basit harmonik hareket - bu basit bir harekettir harmonik osilatör, ne zorlanan ne de sönümlenen periyodik hareket. Basit harmonik hareket yapan bir cisim, mutlak değeri yer değiştirmeyle doğru orantılı olan tek bir değişken kuvvete maruz kalır. , yer değiştirmeyle orantılı denge konumundan ters yönde yönlendirilir.

Bu hareket periyodiktir: vücut sinüzoidal bir yasaya göre denge konumu etrafında salınır. Sonraki her salınım bir öncekiyle aynıdır ve salınımların periyodu, frekansı ve genliği sabit kalır. Denge konumunun koordinatlı bir noktada olduğunu varsayarsak, sıfıra eşit, ardından ofset , yer değiştirmeyle orantılı Vücudun herhangi bir zamanda denge konumundan çıkışı aşağıdaki formülle verilir:

Nerede A- salınımların genliği, F- frekans, φ - başlangıç ​​aşaması.

Hareket sıklığı belirlenir karakteristik özellikler sistem (örneğin, hareketli bir cismin kütlesi), genlik ve başlangıç ​​\u200b\u200bfazı başlangıç ​​\u200b\u200bkoşullarına göre belirlenir - salınımların başladığı andaki vücudun yer değiştirmesi ve hızı. Sistemin kinetik ve potansiyel enerjileri de bu özelliklere ve koşullara bağlıdır.

Basit harmonik hareket olabilir matematiksel modeller çeşitli türler bir yayın salınımı gibi hareketler. Kabaca basit harmonik hareket olarak kabul edilebilecek diğer durumlar sarkacın hareketi ve moleküllerin titreşimleridir.

Basit harmonik hareket, daha karmaşık hareket türlerini analiz etmenin bazı yollarının temelini oluşturur. Bu yöntemlerden biri, özü daha fazla öğenin genişletilmesine dayanan Fourier dönüşümüne dayanan yöntemdir. karmaşık tip hareketleri bir dizi basit harmonik harekete dönüştürür.

Basit harmonik hareketin meydana geldiği herhangi bir sistemin iki temel özelliği vardır:

1. Bir sistem dengeden çıktığında, sistemi tekrar dengeye getirecek bir geri çağırıcı kuvvetin bulunması gerekir.
2. Geri getirme kuvveti yer değiştirmeyle tam olarak veya yaklaşık olarak orantılı olmalıdır.

Yük yayı sistemi bu koşulların her ikisini de karşılar.

Yer değiştiren bir yük bir geri getirme kuvvetine maruz kaldığında hızlanır ve orijinal konumuna dönme eğilimi gösterir. başlangıç ​​noktası yani denge konumuna. Yük denge konumuna yaklaştıkça geri çağırıcı kuvvet azalır ve sıfıra yaklaşır. Ancak durumda , yer değiştirmeyle orantılı = 0 yük, geri getirme kuvvetinin etkisi nedeniyle elde edilen belirli bir miktarda harekete (impulse) sahiptir. Bu nedenle yük, denge konumunu aşar ve yayı yeniden deforme etmeye başlar (ancak halihazırda ters yön). Geri çağırıcı kuvvet, hız sıfır olana kadar onu yavaşlatma eğiliminde olacaktır; ve kuvvet yine yükü denge konumuna döndürmeye çalışacaktır.

Sistemde enerji kaybı olmadığı sürece yük yukarıda anlatıldığı gibi salınım yapacaktır; böyle bir harekete periyodik denir.

Daha ileri analizler, yük-yay sistemi durumunda hareketin basit harmonik olduğunu gösterecektir.

Basit harmonik hareketin dinamiği

Tek boyutlu uzaydaki titreşimler için Newton'un İkinci Yasasını dikkate alarak ( f= M  d² , yer değiştirmeyle orantılı/D T² ) ve Hooke yasası ( (klasik mekanikte) - denge konumundan çıkarıldığında geri çağırıcı bir kuvvet uygulayan bir sistem = −kx yukarıda açıklandığı gibi), ikinci dereceden bir doğrusal diferansiyel denklemimiz var:

Bu diferansiyel denklemin çözümü sinüzoidaldir; bir çözüm şudur:

Nerede A, ω ve φ - sabitler ve denge konumu başlangıç ​​konumu olarak alınır. Bu sabitlerin her biri önemli bir değeri temsil eder. fiziksel özellik hareketler: A genlik, ω = 2π F- dairesel frekans ve φ - başlangıç ​​aşaması.

Evrensel dairesel hareket

Basit harmonik hareket bazı durumlarda evrensel dairesel hareketin tek boyutlu izdüşümü olarak düşünülebilir. Bir nesne yarıçaplı bir daire boyunca sabit bir ω açısal hızıyla hareket ediyorsa R merkezi düzlemin orijini olan x−y, o zaman her biri boyunca böyle bir hareket koordinat eksenleri genlikle basit harmoniktir R ve dairesel frekans ω.

Basit bir sarkaç gibi bir ağırlık

Küçük açıların yaklaşımında, basit bir sarkacın hareketi basit harmoniğe yakındır. Uzunluktaki bir çubuğa bağlı böyle bir sarkacın salınım periyodu ℓ ivme ile serbest düşüş G formülle verilir

Bu, salınım periyodunun sarkacın genliğine ve kütlesine bağlı olmadığını, yerçekiminin ivmesine bağlı olduğunu gösterir. G bu nedenle, sarkacın aynı uzunluğu ile Ay'da daha yavaş sallanacaktır, çünkü orada yerçekimi daha zayıftır ve daha az değer serbest düşüş ivmesi.

Açısal ivme ifadesi koordinatın sinüsüyle orantılı olduğundan, bu yaklaşım yalnızca küçük sapma açıları için doğrudur:

o ne yapıyor açısal ivmeθ açısıyla doğru orantılıdır ve bu, basit harmonik hareket tanımını karşılar.

Sönümlü harmonik osilatör

Aynı modeli temel alarak buna viskoz sürtünme kuvvetini de ekleyeceğiz. Viskoz sürtünme kuvveti, yükün ortama göre hareket hızına karşı yönlendirilir ve bu hız ile orantılıdır. Daha sonra tam güç Yüke etki eden aşağıdaki gibi yazılır:

Benzer eylemleri gerçekleştirerek, açıklayan bir diferansiyel denklem elde ederiz. sönümlü osilatör:

Burada atama tanıtılmıştır: . Katsayıya zayıflama sabiti denir. Bunun aynı zamanda frekans boyutu da vardır.

Çözüm üç duruma ayrılıyor.

Kritik sönümleme dikkat çekicidir, çünkü osilatörün en hızlı şekilde denge konumuna yöneldiği yer kritik sönümlemedir. Sürtünme kritikten azsa denge konumuna daha hızlı ulaşacak, ancak atalet nedeniyle dengeyi "aşacak" ve salınım yapacaktır. Sürtünme kritikten büyükse, osilatör üstel olarak denge konumuna yönelecektir, ancak ne kadar yavaş olursa sürtünme de o kadar büyük olur.

Bu nedenle, kadranlı göstergelerde (örneğin ampermetrelerde), okumaların mümkün olduğu kadar hızlı okunabilmesi için genellikle kritik zayıflama sağlamaya çalışırlar.

Bir osilatörün sönümlenmesi sıklıkla kalite faktörü adı verilen boyutsuz bir parametreyle de karakterize edilir. Kalite faktörü genellikle harfle gösterilir. Tanım gereği kalite faktörü şuna eşittir:

Kalite faktörü ne kadar yüksek olursa, osilatör salınımlarının bozulması o kadar yavaş olur.

Kritik sönümlemeli bir osilatörün kalite faktörü 0,5'tir. Buna göre kalite faktörü osilatörün davranışını gösterir. Kalite faktörü 0,5'ten büyükse osilatörün serbest hareketi salınımları temsil eder; Zamanla denge konumunu sınırsız sayıda geçecektir. 0,5'ten küçük veya ona eşit bir kalite faktörü, osilatörün salınımsız hareketine karşılık gelir; V serbest hareket denge konumunu en fazla bir kez geçecektir.

Kalite faktörüne bazen osilatörün kazanç faktörü denir, çünkü bazı uyarma yöntemlerinde, uyarma frekansı rezonans frekansıyla çakıştığında, salınımların genliği, düşük bir frekansta uyarıldığından yaklaşık iki kat daha büyük olur.

Ayrıca kalite faktörü, salınım genliğinin bir faktör kadar azaldığı salınım döngülerinin sayısının ile çarpılmasına yaklaşık olarak eşittir.

Salınımlı hareket durumunda sönümleme ayrıca şu parametrelerle de karakterize edilir:

• Yaşam süresi titreşimler (diğer adıyla bozunma süresi, bu aynı dinlenme zamanı) τ - salınımların genliğinin azalacağı süre e bir kere.

Zorlanmış titreşimler

Osilatör salınımlarına, kendisine bazı ek dış etkiler uygulandığında zorunlu denir. Bu etki üretilebilir çeşitli yollarla ve tarafından çeşitli kanunlar. Örneğin kuvvet uyarımı, belirli bir yasaya göre yalnızca zamana bağlı olan bir kuvvetin yükü üzerindeki etkisidir. Kinematik uyarım, yay bağlantı noktasının hareketiyle osilatör üzerindeki etkidir. verilen yasa. Örneğin yükün sürtünme yaşadığı ortamın belirli bir yasaya göre hareket etmesi durumunda sürtünmeden etkilenmek de mümkündür.