Harmonik bir osilatörün hareket denklemi. İdeal harmonik osilatör

Hareket ederken harmonik salınımlar gerçekleştiren cisimlere harmonik osilatörler denir. Birkaç harmonik osilatör örneğine bakalım.

Örnek 1. Yaylı sarkaç bir kütle gövdesidirMağırlıksız bir elastik kuvvetin etkisi altında salınma yeteneğine sahip (M yaylar  M vücut ) yaylar (Şekil 4.2).

T

Şekil 4.3. Fiziksel sarkaç.

Örnek 2. Fiziksel bir sarkaç, ağırlık merkezi C ile çakışmayan hareketli bir yatay eksen etrafında yerçekiminin etkisi altında salınan sert bir cisimdir (Şekil 4.3). Eksen O noktasından geçer. Sarkaç denge konumundan küçük bir açıyla  saptırılırsa ve serbest bırakılırsa, katı bir cismin dönme hareketinin dinamiği için temel denklemi izleyerek salınacaktır.
, Nerede J- eylemsizlik momenti Sarkaç eksene göre M, fiziksel sarkacı denge konumuna döndüren kuvvetin momentidir. Yerçekimi tarafından yaratılmıştır, momenti eşittir
(ben=İşletim Sistemi). Sonuç olarak elde ederiz
. Bu diferansiyel titreşim denklemidir keyfi açılar sapmalar. Küçük açılarda,
,
veya alarak
fiziksel bir sarkacın salınımının diferansiyel denklemini elde ederiz
.
Çözümleri şu şekildedir:
veya
ve dönem
.

. Böylece, denge konumundan küçük sapmalar için fiziksel sarkaç, döngüsel frekansta harmonik salınımlar gerçekleştirir. Örnek 3.MMatematiksel bir sarkaç, kütlesi olan maddi bir noktadır.M(küçük boyutlu, ağır bir top), ağırlıksız bir yüzey üzerinde asılı (ile karşılaştırıldığında)ben. top), elastik, uzatılamaz iplik uzun maddi bir noktanın eylemsizlik momenti J = ml 2, o zaman fiziksel bir sarkacın formüllerinden matematiksel bir sarkacın döngüsel frekansı ve salınım periyodu için ifadeler elde ederiz.

,
.

4. 4. Sönümlü salınımlar. @

Harmonik salınımların dikkate alınan örneklerinde, üzerine etki eden tek kuvvet maddi nokta(gövde), öyleydi yarı elastik kuvvet F ve herhangi bir gerçek sistemde mevcut olan direnç kuvvetlerini hesaba katmamıştır. Bu nedenle, dikkate alınan salınımlara ideal sönümsüz harmonik salınımlar denilebilir.

Gerçek bir salınım sisteminde ortamdan gelen bir direnç kuvvetinin varlığı sistemin enerjisinde azalmaya neden olur. Enerji kaybı dış kuvvetlerin çalışmasıyla yenilenmezse salınımlar sönecektir. Sönümlü salınımlar, genliği zamanla azalan salınımlardır.

Serbest sönümlü salınımları ele alalım. Düşük hızlarda, sürükleme kuvveti F C, v hızıyla orantılıdır ve yönü ile ters orantılıdır.
, burada r - sürükleme katsayısıçevre. Kullanma Newton'un ikinci yasası diferansiyel denklemi elde ederiz sönümlü salınımlar
,
,
. Haydi belirtelim
,
. Daha sonra diferansiyel denklem şu şekli alır:

Şekil 4.4. Sönümlü salınımların yer değiştirmesinin ve genliğinin zamana bağlılığı.

Bu sönümlü salınımların diferansiyel denklemidir. Burada  0 sistemin salınımlarının doğal frekansıdır, yani. r=0'da serbest salınımların frekansı,  - sönümleme katsayısı genlikteki azalma oranını belirler. Bu denklemin  0 koşulu altındaki çözümleri şunlardır:

veya
.

Son fonksiyonun grafiği Şekil 4.4'te gösterilmektedir. Üstteki noktalı çizgi fonksiyonun grafiğini verir
, A 0 - genlik başlangıç ​​anı zaman. Genlik, üstel yasaya göre zamanla azalır,  - zayıflama katsayısı büyüklük olarak terstir dinlenme zamanı yani genliğin e kat azaldığı süre boyunca, çünkü

,
, = 1, . Sönümlü salınımların frekansı ve periyodu
,
; ortamın çok düşük direncinde ( 2  0 2), salınım periyodu neredeyse eşittir
.

 arttıkça salınım periyodu artar ve > 0'da diferansiyel denklemin çözümü salınımların meydana gelmediğini ancak sistemin denge konumuna doğru monoton hareketinin meydana geldiğini gösterir. Bu tür harekete aperiyodik denir. Salınımların zayıflama hızını karakterize etmek için iki parametre daha kullanılır: sönümleme azalması D ve . logaritmik azalma

Sönümleme azalması, bir T periyodu boyunca salınımların genliğinin kaç kez azaldığını gösterir.

N

Çünkü , O
burada N, zaman başına salınımların sayısıdır.

Harmonik bir osilatörün salınımları Harmonik osilatör isminde fiziksel nesne zaman içindeki gelişimi diferansiyel denklemle açıklanan

Nerede Q– harmonik osilatörün genelleştirilmiş koordinatı, T- zaman, ? – harmonik bir osilatörün karakteristik frekansı. Değişkenin üzerindeki iki nokta zamana göre ikinci türevi gösterir. Büyüklük Q harmonik salınımlar gerçekleştiriyor.
Harmonik bir osilatörün oynama sorunu merkezi rol hem klasik hem de kuantum fiziği.
Büyük miktar fiziksel sistemler dengeden küçük sapmalarla harmonik osilatörler gibi davranırlar. Bunlar arasında matematiksel ve fiziksel sarkaçlar, moleküllerdeki atomların titreşimleri ve katılar, elektriksel salınım devreleri ve diğerleri.
Bir sarkacın küçük salınımları harmoniktir

Enerji, Lagrange ve Hamilton fonksiyonu
Kinetik enerji harmonik osilatör şu ifadeyle verilir:

Harmonik bir osilatörün potansiyel enerjisi şu ifadeyle verilir:

Buna göre değer göz önüne alındığında Q genelleştirilmiş koordinat, harmonik osilatörün Lagrange fonksiyonu yazılır

.

Genelleştirilmiş dürtü

Hamilton işlevi

.

Zorlanmış titreşimler
Harmonik osilatörün doğal frekansıyla mutlaka çakışmayan bir frekansa sahip harici bir periyodik kuvvetin etkisi altında, osilatör, genliği değere göre belirlenen harmonik salınımlar gerçekleştirir. dış kuvvet ve harici frekansın osilatörün doğal frekansına oranı.
Harmonik bir osilatörün frekansla zorlanmış salınımları? 0 denklemle tanımlanan frekansa sahip bir kuvvetin etkisi altında mı?

Nerede F 0 – dış kuvvetin genliği.
Zorlanmış salınımları tanımlayan bu denklemin özel bir çözümü şu şekildedir:

.

Harici bir kuvvetin etkisi altındaki harmonik bir osilatör, genlikte harmonik salınımlar gerçekleştirir . Genlik ne zaman zorunlu salınımlar sonsuzluk eğilimindedir. Bu olaya rezonans denir.
Harmonik osilatör zayıflama ile
Osilatörün enerjisinin dağılmasına ve ısıya dönüşmesine yol açan sürtünme kuvvetleri veya başka türden direnç dikkate alındığında, harmonik osilatörün denklemi değişir. Özellikle çok yaygın bir durum, direnç kuvvetlerinin miktarın değişim hızıyla orantılı olmasıdır. Q. Daha sonra harmonik osilatörün denklemi şu şekli alır:

Bu tür salınımlar yasaya göre zamanla bozulur

Sönümlemeli harmonik bir osilatörün zorlanmış salınımları
Periyodik bir dış kuvvetin etkisi altında, zayıflama olsa bile, osilatör için uygulanan kuvvete, frekans oranına ve ayrıca zayıflama miktarına bağlı bir genliğe sahip harmonik salınımlar oluşturulur.
Sönümleme dikkate alınarak zorunlu salınımların genliği formülle belirlenir.

.

Bu, dış kuvvetin tüm frekanslarında sonlu bir değerdir.
Dikeyden küçük bir başlangıç ​​sapması olan matematiksel bir sarkaç, frekansta harmonik salınımlar gerçekleştirir.

Salınım devresi harmonik osilatör, frekanslı

L'nin endüktans olduğu yerde, C kapasitanstır.
Daha fazla ayrıntı için Kuantum Osilatörüne bakın.
Spektrum özdeğerler ve kendi işlevleri
Dalga fonksiyonları kuantum sayılarıyla ilk altı durum N= 0 ila 5. Genelleştirilmiş koordinat ordinat ekseni üzerinde işaretlenmiştir. Harmonik osilatörün Hamiltonyeni, Hamilton fonksiyonundaki momentumun değiştirilmesiyle elde edilir. P Açık

.

Harmonik osilatörün spektrumu şu şekildedir: sabit denklem Schrödinger ve formülle verilir

.

Burada N– kuantum sayısı, sıfırdan sonsuza kadar değişir. Harmonik osilatörün enerji seviyeleri eşit uzaklıktadır. Karakteristik özellik Harmonik osilatörün özelliği, temel durumda bile harmonik osilatörün sıfır olmayan enerjiye sahip olmasıdır.

Bu düşük enerjiye denir sıfır salınım enerjisi.
Kendi işlevleri kuantum sayısına karşılık gelen harmonik osilatör N formüllerle verilir

,

Nerede, A Hn(x)– Hermit polinomları.
Ne zaman bile N Harmonik osilatörün özfonksiyonları eşleştirilmişken, Nepranu için bunlar tektir. Harmonik osilatörün Hamiltonyeni, değiştirme operatörüyle değişir X Açık - X(eşlik operatörü) ve dolayısıyla bu operatörle ortak özfonksiyonlara sahiptir.
Doğurma ve yok etme operatörleri
Doğum operatörünü tanımlarsak

Ve imha operatörü

,

.

Yaratma ve yok etme operatörleri komütasyon ilişkisini karşılar:

Harmonik osilatörün özfonksiyonları şu şekildedir:

Veya ket ve sutyen vektör gösterimini kullanarak:

Doğum operatörünün uyumlu operatör üzerindeki toplam eylemi | n> durumuna geçişe yol açar | n +1>:

İmha operatörünün durum üzerindeki eylemi | n> durumuna geçişe yol açar | n-1>:

Operatör

İlişkinin kendisi için geçerli olması nedeniyle buna parçacık numarası operatörü denir.

Seçim kuralları
Bir foton yayınlandığında veya soğurulduğunda, harmonik bir osilatör için izin verilen geçişler, kuantum numarası n'nin bir değiştiği geçişlerdir. Seviyelerin eşit mesafeli yapısı dikkate alındığında, bu seçim kuralı şuna yol açmaktadır: sonsuz sayı spektrumdaki seviyeler optik absorpsiyon Yoksa harmonik bir osilatörden frekanslı tek bir radyasyon hattı mı var?
Moleküllerin gerçek titreşim spektrumlarında, gerçek atomlar arası etkileşim potansiyelinin uyumsuzluğu, dört kutuplu geçişler vb. nedeniyle bu kuraldan sapmalar mümkündür.

Harmonik osilatör

Harmonik osilatör(klasik mekanikte) - denge konumundan çıkarıldığında geri çağırıcı bir kuvvet uygulayan bir sistem F, yer değiştirmeyle orantılı X(Hooke yasasına göre):

Nerede k- sistem sağlamlık katsayısı.

Eğer F Sisteme etki eden tek kuvvet olduğuna göre sisteme denir. basit veya muhafazakar harmonik osilatör. Böyle bir sistemin serbest titreşimleri periyodik hareket denge konumuna yakın (harmonik titreşimler). Frekans ve genlik sabittir ve frekans, genliğe bağlı değildir.

Harmonik bir osilatörün mekanik örnekleri, matematiksel bir sarkaç (küçük sapma açılarına sahip), bir burulma sarkacı ve akustik sistemlerdir. Harmonik bir osilatörün diğer analogları arasında, elektrik harmonik osilatörün altını çizmeye değer (bkz. LC devresi).

Serbest titreşimler

Muhafazakar harmonik osilatör

Muhafazakar harmonik osilatörün bir modeli olarak kütlesel bir yük alıyoruz M, yaya sertlikle sabitlenmiştir k .

İzin vermek X- yükün denge konumuna göre yer değiştirmesi. Daha sonra Hooke yasasına göre, bir geri çağırıcı kuvvet buna etki edecektir:

Daha sonra toplam enerji sabit bir değere sahiptir

Basit harmonik hareket- bu basit bir harekettir harmonik osilatör, ne zorlanan ne de sönümlenen periyodik hareket. Basit harmonik hareket yapan bir cisim, mutlak değeri yer değiştirmeyle doğru orantılı olan tek bir değişken kuvvete maruz kalır. X denge konumundan ters yönde yönlendirilir.

Bu hareket periyodiktir: vücut sinüzoidal bir yasaya göre denge konumu etrafında salınır. Sonraki her salınım bir öncekiyle aynıdır ve salınımların periyodu, frekansı ve genliği sabit kalır. Denge konumunun koordinatlı bir noktada olduğunu varsayarsak, sıfıra eşit, ardından ofset X Vücudun herhangi bir zamanda denge konumundan çıkışı aşağıdaki formülle verilir:

Nerede A- salınımların genliği, F- frekans, φ - başlangıç ​​aşaması.

Hareket sıklığı belirlenir karakteristik özellikler sistem (örneğin, hareketli bir cismin kütlesi), genlik ve başlangıç ​​\u200b\u200bfazı başlangıç ​​\u200b\u200bkoşullarına göre belirlenir - salınımların başladığı andaki vücudun yer değiştirmesi ve hızı. Sistemin kinetik ve potansiyel enerjileri de bu özelliklere ve koşullara bağlıdır.

Basit harmonik hareket olabilir matematiksel modeller çeşitli türler bir yayın salınımı gibi hareketler. Kabaca basit harmonik hareket olarak kabul edilebilecek diğer durumlar sarkacın hareketi ve moleküllerin titreşimidir.

Basit harmonik hareket, daha karmaşık hareket türlerini analiz etmenin bazı yollarının temelini oluşturur. Bu yöntemlerden biri, özü daha fazla öğenin genişletilmesine dayanan Fourier dönüşümüne dayanan yöntemdir. karmaşık tip hareketleri bir dizi basit harmonik harekete dönüştürür.

Basit harmonik hareketin meydana geldiği herhangi bir sistemin iki temel özelliği vardır:

1. Bir sistem denge dışına atıldığında, sistemi tekrar dengeye getirecek bir geri çağırıcı kuvvetin bulunması gerekir.
2. Geri getirme kuvveti yer değiştirmeyle tam olarak veya yaklaşık olarak orantılı olmalıdır.

Yük yayı sistemi bu koşulların her ikisini de karşılar.

Yer değiştiren bir yük bir geri getirme kuvvetine maruz kaldığında hızlanır ve orijinal konumuna dönme eğilimi gösterir. başlangıç ​​noktası yani denge konumuna. Yük denge konumuna yaklaştıkça geri çağırıcı kuvvet azalır ve sıfıra yaklaşır. Ancak durumda X = 0 yük, geri getirme kuvvetinin etkisi nedeniyle elde edilen belirli bir miktarda harekete (impulse) sahiptir. Bu nedenle yük, denge konumunu aşar ve yayı yeniden deforme etmeye başlar (ancak halihazırda ters yön). Geri çağırıcı kuvvet, hız sıfır olana kadar onu yavaşlatma eğiliminde olacaktır; ve kuvvet yine yükü denge konumuna döndürmeye çalışacaktır.

Sistemde enerji kaybı olmadığı sürece yük yukarıda anlatıldığı gibi salınım yapacaktır; böyle bir harekete periyodik denir.

Daha ileri analizler, yük-yay sistemi durumunda hareketin basit harmonik olduğunu gösterecektir.

Basit dinamiği harmonik hareket

Tek boyutlu uzaydaki titreşimler için Newton'un İkinci Yasasını dikkate alarak ( f= M  d² X/D T² ) ve Hooke yasası ( F = −kx yukarıda açıklandığı gibi), ikinci dereceden bir doğrusal diferansiyel denklemimiz var:

Bu diferansiyel denklemin çözümü sinüzoidaldir; bir çözüm şudur:

Nerede A, ω ve φ - sabitler ve denge konumu başlangıç ​​konumu olarak alınır. Bu sabitlerin her biri önemli bir değeri temsil eder. fiziksel özellik hareketler: A genlik, ω = 2π F- dairesel frekans ve φ - başlangıç ​​aşaması.

Evrensel dairesel hareket

Basit harmonik hareket bazı durumlarda evrensel dairesel hareketin tek boyutlu izdüşümü olarak düşünülebilir. Bir nesne yarıçaplı bir daire boyunca sabit bir ω açısal hızıyla hareket ediyorsa R merkezi düzlemin orijini olan x−y, o zaman her biri boyunca böyle bir hareket koordinat eksenleri genlikle basit harmoniktir R ve dairesel frekans ω.

Basit bir sarkaç gibi bir ağırlık

Küçük açıların yaklaşımında, basit bir sarkacın hareketi basit harmoniğe yakındır. Uzunluktaki bir çubuğa bağlı böyle bir sarkacın salınım periyodu ℓ ivme ile serbest düşüş G formülle verilir

Bu, salınım periyodunun sarkacın genliğine ve kütlesine bağlı olmadığını, yerçekiminin ivmesine bağlı olduğunu gösterir. G bu nedenle, sarkacın aynı uzunluğu ile Ay'da daha yavaş sallanacaktır, çünkü orada yerçekimi daha zayıftır ve daha az değer serbest düşüş ivmesi.

Açısal ivme ifadesi koordinatın sinüsüyle orantılı olduğundan, bu yaklaşım yalnızca küçük sapma açıları için doğrudur:

ne yapar açısal ivmeθ açısıyla doğru orantılıdır ve bu, basit harmonik hareket tanımını karşılar.

Sönümlü harmonik osilatör

Aynı modeli temel alarak buna viskoz sürtünme kuvvetini de ekleyeceğiz. Viskoz sürtünme kuvveti, yükün ortama göre hareket hızına karşı yönlendirilir ve bu hız ile orantılıdır. Daha sonra tam güç Yüke etki eden aşağıdaki gibi yazılır:

Benzer eylemleri gerçekleştirerek, açıklayan bir diferansiyel denklem elde ederiz. sönümlü osilatör:

Burada atama tanıtılmıştır: . Katsayıya zayıflama sabiti denir. Bunun aynı zamanda frekans boyutu da vardır.

Çözüm üç duruma ayrılıyor.

Kritik sönümleme dikkat çekicidir, çünkü osilatörün denge konumuna en hızlı şekilde yöneldiği yer kritik sönümlemedir. Sürtünme kritikten azsa denge konumuna daha hızlı ulaşacak, ancak atalet nedeniyle dengeyi "aşacak" ve salınım yapacaktır. Sürtünme kritik değerden büyükse osilatör üstel olarak denge konumuna yönelecektir, ancak ne kadar yavaş olursa sürtünme de o kadar büyük olur.

Bu nedenle, kadranlı göstergelerde (örneğin ampermetrelerde), okumaların mümkün olduğu kadar hızlı okunabilmesi için genellikle kritik zayıflama sağlamaya çalışırlar.

Bir osilatörün sönümlenmesi de sıklıkla kalite faktörü adı verilen boyutsuz bir parametreyle karakterize edilir. Kalite faktörü genellikle harfle gösterilir. Tanım gereği kalite faktörü şuna eşittir:

Kalite faktörü ne kadar yüksek olursa, osilatör salınımlarının azalması o kadar yavaş olur.

Kritik sönümlemeli bir osilatörün kalite faktörü 0,5'tir. Buna göre kalite faktörü osilatörün davranışını gösterir. Kalite faktörü 0,5'ten büyükse osilatörün serbest hareketi salınımları temsil eder; Zamanla denge konumunu sınırsız sayıda geçecektir. 0,5'ten küçük veya ona eşit bir kalite faktörü, osilatörün salınımsız hareketine karşılık gelir; V serbest hareket denge konumunu en fazla bir kez geçecektir.

Kalite faktörüne bazen osilatörün kazanç faktörü denir, çünkü bazı uyarma yöntemlerinde, uyarma frekansı rezonans frekansıyla çakıştığında, salınımların genliği, düşük bir frekansta uyarıldığından yaklaşık iki kat daha büyük olur.

Ayrıca kalite faktörü, salınım genliğinin bir faktör kadar azaldığı salınım döngülerinin sayısının ile çarpılmasına yaklaşık olarak eşittir.

Durumunda salınım hareketi zayıflama ayrıca aşağıdaki gibi parametrelerle de karakterize edilir:

• Yaşam süresi titreşimler (diğer adıyla bozunma süresi, bu aynı dinlenme zamanı) τ - salınımların genliğinin azalacağı süre e bir kere.

Zorlanmış titreşimler

Osilatör salınımlarına, kendisine bazı ek dış etkiler uygulandığında zorlanmış denir. Bu etki üretilebilir çeşitli yollarla ve tarafından çeşitli kanunlar. Örneğin kuvvet uyarımı, belirli bir yasaya göre yalnızca zamana bağlı olan bir kuvvetin yükü üzerindeki etkisidir. Kinematik uyarım, yay bağlantı noktasının hareketiyle osilatör üzerindeki etkidir. verilen yasa. Örneğin yükün sürtünme yaşadığı ortamın belirli bir yasaya göre hareket etmesi durumunda sürtünmeden etkilenmek de mümkündür.

Kuantum alanında ve diğer alanlardaki keşifler. Aynı zamanda, gerçekleştirilmesi mümkün olan yeni cihazlar ve cihazlar icat edilmektedir. çeşitli çalışmalar ve mikro dünyanın olaylarını açıklayın. Bu tür mekanizmalardan biri, çalışma prensibi eski uygarlıkların temsilcileri tarafından bilinen harmonik bir osilatördür.

Cihaz ve türleri

Harmonik bir osilatör mekanik sistem katsayılı bir diferansiyel ile tanımlanan hareket halinde sabit değer. En basit örnekler bu tür cihazlar - yay üzerindeki yük, sarkaç, akustik sistemler, hareket moleküler parçacıklar vesaire.

Geleneksel olarak, bu cihazın aşağıdaki türleri ayırt edilebilir:

Cihaz Uygulaması

Bu cihaz şu alanlarda kullanılır: çeşitli alanlar, esas olarak doğayı incelemek için salınım sistemleri. Foton elemanlarının davranışını incelemek için kuantum harmonik bir osilatör kullanılır. Deney sonuçları çeşitli alanlarda kullanılabilir. Böylece, bir Amerikan enstitüsünden fizikçiler, birbirlerinden oldukça uzak mesafelerde bulunan berilyum atomlarının kuantum düzeyinde etkileşime girebileceğini keşfettiler. Üstelik bu parçacıkların davranışı, uyumlu bir osilatöre benzer şekilde ileri-geri hareket eden makrokozmostaki cisimlere (metal toplara) benzer. Berilyum iyonları fiziksel olmasına rağmen uzun mesafeler, en küçük enerji birimlerini (kuantum) değiş tokuş etti. Bu keşif, BT teknolojilerinde önemli ilerlemelere olanak tanırken, aynı zamanda bilgisayar ekipmanı ve elektronik üretiminde yeni bir çözüm sunuyor.

Harmonik osilatör tahminde kullanılır müzik eserleri. Bu yönteme spektroskopik inceleme denir. En istikrarlı sistemin dört müzisyenden oluşan bir kompozisyon (dörtlü) olduğu tespit edildi. A modern işlerÇoğu anharmoniktir.

Harmonik bir osilatör, yarı elastik bir kuvvetin etkisi altında tek boyutlu harekete maruz kalan bir parçacıktır. Böyle bir parçacığın potansiyel enerjisi şu şekildedir:

Formül (27.1)'deki k'yi şu şekilde ifade etmek:

Dolayısıyla tek boyutlu durumda osilatörün Schrödinger denklemi (bkz. (21.5)) şuna benzer:

Toplam enerji, osilatör). Teorik olarak diferansiyel denklemler Denklemin (27.2) E parametresinin değerleri için sonlu, kesin ve sürekli çözümlere sahip olduğu kanıtlanmıştır.

Şek. 27.1 diyagramı gösterir enerji seviyeleri harmonik osilatör. Açıklık sağlamak için seviyeler eğriye yazılmıştır. potansiyel enerji. Ancak şunu da unutmamak gerekir ki kuantum mekaniği toplam enerji, kesin olarak tanımlanmış T ve U enerjilerinin toplamı olarak temsil edilemez (önceki paragrafın son paragrafına bakın).

Harmonik bir osilatörün enerji seviyeleri eşit uzaklıktadır, yani birbirinden aynı uzaklıkta yer alır. En az olası anlam enerji eşittir. Bu değere sıfır noktası enerjisi denir.

Sıfır noktası enerjisinin varlığı, ışığın kristaller tarafından saçılımını inceleyen deneylerle doğrulanmıştır. düşük sıcaklıklar. Saçılan ışığın yoğunluğunun sıcaklık düştükçe sıfıra değil, belli bir seviyeye kadar yöneldiği ortaya çıktı. nihai değer, ne zaman olduğunu belirten mutlak sıfır atomların titreşimleri kristal kafes durma.

Kuantum mekaniği olasılıkları hesaplamamızı sağlar çeşitli geçişler kuantum sistemi bir eyaletten diğerine. Bu tür hesaplamalar, harmonik bir osilatör için yalnızca bitişik seviyeler arasındaki geçişlerin mümkün olduğunu göstermektedir. Bu tür geçişler sırasında kuantum sayısı bir değişir:

Değişikliklere uygulanan koşullar kuantum sayıları Sistemin bir durumdan diğerine geçişleri sırasındaki kurallara seçim kuralları denir.

Dolayısıyla harmonik bir osilatör için formül (27.4) ile ifade edilen bir seçim kuralı vardır.

Kural (27.4)'ten, harmonik bir osilatörün enerjisinin yalnızca /rto kısımlarında değişebileceği sonucu çıkar. Kuantum mekaniğinde doğal olarak elde edilen bu sonuç, akla çok yabancı olan sonuçla örtüşmektedir. klasik fizik Tamamen siyah bir cismin emisyonunu hesaplamak için Planck'ın yapmak zorunda olduğu bir varsayım (bkz. § 7). Planck'ın harmonik bir osilatörün enerjisinin yalnızca Ha'nın tam katı olabileceğini varsaydığını unutmayın. Gerçekte ayrıca sıfır enerji Varlığı ancak kuantum mekaniğinin yaratılmasından sonra kurulan.