રસાયણશાસ્ત્રમાં ખંડિત. અવકાશ સંશોધન પ્રયોગશાળા

ખંડિત

ખંડિત (lat. અસ્થિભંગ- કચડી, તૂટેલી, તૂટેલી) એક ભૌમિતિક આકૃતિ છે જે સ્વ-સમાનતાની મિલકત ધરાવે છે, એટલે કે, ઘણા ભાગોથી બનેલી છે, જેમાંથી દરેક સમગ્ર આકૃતિ સમાન છે, ગણિતમાં, ફ્રેકટલ્સને યુક્લિડિયનમાં બિંદુઓના સમૂહ તરીકે સમજવામાં આવે છે જગ્યા કે જેમાં અપૂર્ણાંક મેટ્રિક પરિમાણ હોય (મિન્કોવ્સ્કી અથવા હૌસડોર્ફના અર્થમાં), અથવા મેટ્રિક પરિમાણ ટોપોલોજીકલ કરતા અલગ હોય. Fractasm એ ફ્રેકટલ્સનો અભ્યાસ અને કંપોઝ કરવાનું સ્વતંત્ર ચોક્કસ વિજ્ઞાન છે.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અપૂર્ણાંક એ અપૂર્ણાંક પરિમાણ સાથે ભૌમિતિક પદાર્થો છે. ઉદાહરણ તરીકે, રેખાનું પરિમાણ 1 છે, ક્ષેત્રફળ 2 છે અને વોલ્યુમ 3 છે. ખંડિત માટે, પરિમાણ મૂલ્ય 1 અને 2 ની વચ્ચે અથવા 2 અને 3 ની વચ્ચે હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચોળાયેલું ખંડિત પરિમાણ કાગળનો બોલ આશરે 2.5 છે. ગણિતમાં, ફ્રેકટલ્સના પરિમાણની ગણતરી માટે એક ખાસ જટિલ સૂત્ર છે. શ્વાસનળીની નળીઓની શાખાઓ, ઝાડ પરના પાંદડા, હાથમાં નસો, નદી - આ ફ્રેકટલ્સ છે. સરળ શબ્દોમાં કહીએ તો, ખંડિત એ ભૌમિતિક આકૃતિ છે, જેનો ચોક્કસ ભાગ કદમાં બદલાતા, વારંવાર પુનરાવર્તિત થાય છે - આ સ્વ-સમાનતાનો સિદ્ધાંત છે. ફ્રેકટલ્સ પોતાના જેવા જ હોય છે, તેઓ દરેક સ્તરે (એટલે કે કોઈપણ સ્કેલ પર) પોતાના જેવા જ હોય છે. ફ્રેકટલ્સના ઘણા વિવિધ પ્રકારો છે. સૈદ્ધાંતિક રીતે, એવી દલીલ કરી શકાય છે કે વાસ્તવિક દુનિયામાં અસ્તિત્વમાં રહેલી દરેક વસ્તુ એક ખંડિત છે, પછી ભલે તે વાદળ હોય કે ઓક્સિજન પરમાણુ.

"અરાજકતા" શબ્દ કોઈને કંઈક અણધારી વિચારવા માટે બનાવે છે, પરંતુ હકીકતમાં, અરાજકતા એકદમ વ્યવસ્થિત છે અને અમુક કાયદાઓનું પાલન કરે છે. અંધાધૂંધી અને ભંગાણનો અભ્યાસ કરવાનો ધ્યેય એવી પેટર્નની આગાહી કરવાનો છે જે, પ્રથમ નજરમાં, અણધારી અને સંપૂર્ણપણે અસ્તવ્યસ્ત લાગે છે.

જ્ઞાનના આ ક્ષેત્રમાં અગ્રણી ફ્રેન્ચ-અમેરિકન ગણિતશાસ્ત્રી, પ્રોફેસર બેનોઈટ બી. મેન્ડેલબ્રોટ હતા. 1960 ના દાયકાના મધ્યમાં, તેમણે ખંડિત ભૂમિતિ વિકસાવી, જેનો હેતુ તૂટેલા, કરચલીવાળા અને અસ્પષ્ટ આકારોનું વિશ્લેષણ કરવાનો હતો. મેન્ડેલબ્રોટ સમૂહ (આકૃતિમાં બતાવેલ) એ પ્રથમ જોડાણ છે જે વ્યક્તિમાં જ્યારે તે "ફ્રેકટલ" શબ્દ સાંભળે છે ત્યારે ઉદ્ભવે છે. માર્ગ દ્વારા, મેન્ડેલબ્રોટે નક્કી કર્યું કે અંગ્રેજી દરિયાકિનારાનું ખંડિત પરિમાણ 1.25 છે.

ખંડિત બધું શોધે છે વધુ એપ્લિકેશનવિજ્ઞાનમાં. તેઓ વર્ણવે છે વાસ્તવિક દુનિયાપરંપરાગત ભૌતિકશાસ્ત્ર અથવા ગણિત કરતાં પણ વધુ સારી. બ્રાઉનિયન ગતિ- આ, ઉદાહરણ તરીકે, પાણીમાં સ્થગિત ધૂળના કણોની રેન્ડમ અને અસ્તવ્યસ્ત હિલચાલ છે. આ પ્રકારની હિલચાલ કદાચ ખંડિત ભૂમિતિનું પાસું છે જેનો સૌથી વધુ વ્યવહારુ ઉપયોગ છે. રેન્ડમ બ્રાઉનિયન ગતિમાં ફ્રીક્વન્સી રિસ્પોન્સ હોય છે જેનો ઉપયોગ ઘટના સહિતની આગાહી કરવા માટે થઈ શકે છે મોટી માત્રામાંડેટા અને આંકડા. ઉદાહરણ તરીકે, મેન્ડેલબ્રોટે બ્રાઉનિયન મોશનનો ઉપયોગ કરીને ઊનના ભાવમાં ફેરફારની આગાહી કરી હતી.

"ફ્રેક્ટલ" શબ્દનો ઉપયોગ માત્ર તરીકે જ થઈ શકે છે ગાણિતિક શબ્દ. પ્રેસ અને લોકપ્રિય વિજ્ઞાન સાહિત્યમાં, ખંડિતને એવી આકૃતિ કહી શકાય કે જેમાં નીચેનામાંથી કોઈપણ ગુણધર્મો હોય:

તે તમામ સ્કેલ પર બિન-તુચ્છ માળખું ધરાવે છે. આ નિયમિત આકૃતિઓથી વિપરીત છે (જેમ કે વર્તુળ, લંબગોળ, સરળ કાર્યનો આલેખ): જો આપણે નિયમિત આકૃતિના નાના ટુકડાને ખૂબ મોટા પાયે ધ્યાનમાં લઈએ, તો તે સીધી રેખાના ટુકડા જેવો દેખાશે. ફ્રેક્ટલ માટે, સ્કેલ વધારવાથી તમામ સ્કેલ પર સમાન જટિલ ચિત્ર જોવા મળશે.

સ્વ-સમાન અથવા લગભગ સ્વ-સમાન છે.

તેમાં અપૂર્ણાંક મેટ્રિક પરિમાણ અથવા મેટ્રિક પરિમાણ છે જે ટોપોલોજીકલ એક કરતાં વધી જાય છે.

કોમ્પ્યુટર ટેકનોલોજીમાં ફ્રેકટલ્સનો સૌથી ઉપયોગી ઉપયોગ ફ્રેકટલ ડેટા કમ્પ્રેશન છે. તે જ સમયે, છબીઓ પરંપરાગત પદ્ધતિઓ સાથે કરવામાં આવે છે તેના કરતા ઘણી સારી રીતે સંકુચિત થાય છે - 600:1 સુધી. ફ્રેક્ટલ કમ્પ્રેશનનો બીજો ફાયદો એ છે કે જ્યારે મોટું કરવામાં આવે છે, ત્યાં કોઈ પિક્સેલેશન અસર હોતી નથી, જે નાટકીય રીતે ઇમેજને ખરાબ કરે છે. તદુપરાંત, ખંડિત રીતે સંકુચિત ઇમેજ મોટાભાગે પહેલા કરતા મોટા થયા પછી વધુ સારી દેખાય છે. કોમ્પ્યુટર વૈજ્ઞાનિકો પણ જાણે છે કે સરળ સૂત્રો દ્વારા અનંત જટિલતા અને સુંદરતાના ભંગાણ પેદા કરી શકાય છે. વાસ્તવિક લેન્ડસ્કેપ તત્વો (વાદળો, ખડકો અને પડછાયાઓ) બનાવવા માટે ફિલ્મ ઉદ્યોગ વ્યાપકપણે ફ્રેક્ટલ ગ્રાફિક્સ ટેકનોલોજીનો ઉપયોગ કરે છે.

પ્રવાહમાં ઉથલપાથલનો અભ્યાસ ફ્રેકટલ્સ માટે ખૂબ જ સારી રીતે અપનાવે છે. આ અમને જટિલ પ્રવાહોની ગતિશીલતાને વધુ સારી રીતે સમજવાની મંજૂરી આપે છે. ફ્રેકટલ્સનો ઉપયોગ કરીને તમે જ્વાળાઓનું અનુકરણ પણ કરી શકો છો. છિદ્રાળુ સામગ્રીઓ ખૂબ જ જટિલ ભૂમિતિ ધરાવે છે તે હકીકતને કારણે ખંડિત સ્વરૂપમાં સારી રીતે રજૂ થાય છે. અંતર પર ડેટા પ્રસારિત કરવા માટે, ખંડિત આકારવાળા એન્ટેનાનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જે તેમના કદ અને વજનને મોટા પ્રમાણમાં ઘટાડે છે. ફ્રેક્ટલ્સનો ઉપયોગ સપાટીઓની વક્રતાનું વર્ણન કરવા માટે થાય છે. અસમાન સપાટી બે અલગ અલગ ફ્રેકટલ્સના સંયોજન દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે.

પ્રકૃતિની ઘણી વસ્તુઓમાં ખંડિત ગુણધર્મો હોય છે, ઉદાહરણ તરીકે, દરિયાકાંઠો, વાદળો, વૃક્ષોના મુગટ, સ્નોવફ્લેક્સ, રુધિરાભિસરણ તંત્ર અને મનુષ્ય અથવા પ્રાણીઓની મૂર્ધન્ય પ્રણાલી.

કોમ્પ્યુટરનો ઉપયોગ કરીને બાંધકામની સરળતા સાથે સૌંદર્યના સંયોજનને કારણે ખાસ કરીને પ્લેનમાં ફ્રેકલ્સ લોકપ્રિય છે.

અસામાન્ય ગુણધર્મોવાળા સ્વ-સમાન સેટના પ્રથમ ઉદાહરણો 19મી સદીમાં દેખાયા હતા (ઉદાહરણ તરીકે, બોલ્ઝાનો ફંક્શન, વેયરસ્ટ્રાસ ફંક્શન, કેન્ટર સેટ). બેનોઈટ મેન્ડેલબ્રોટ દ્વારા 1975માં "ફ્રેકટલ" શબ્દની રચના કરવામાં આવી હતી અને 1977માં તેમના પુસ્તક "ફ્રેક્ટલ જીઓમેટ્રી ઓફ નેચર" ના પ્રકાશન સાથે વ્યાપક લોકપ્રિયતા મેળવી હતી.

ડાબી બાજુનું ચિત્ર ડેરર પેન્ટાગોન ફ્રેક્ટલનું એક સરળ ઉદાહરણ બતાવે છે, જે પેન્ટાગોન્સના સમૂહને એકસાથે સ્ક્વોશ કરે છે. વાસ્તવમાં, તે પંચકોણનો ઉપયોગ કરીને આરંભકર્તા અને સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ તરીકે રચાય છે, જેમાં મોટી બાજુ અને નાની બાજુનો ગુણોત્તર કહેવાતા સુવર્ણ ગુણોત્તર (1.618033989 અથવા 1/(2cos72°)) બરાબર છે. એક જનરેટર. આ ત્રિકોણ દરેક પેન્ટાગોનની વચ્ચેથી કાપવામાં આવે છે, જેના પરિણામે એક મોટામાં ગુંદર ધરાવતા 5 નાના પેન્ટાગોન્સ જેવો આકાર મળે છે.

કેઓસ થિયરી કહે છે કે જટિલ બિનરેખીય પ્રણાલીઓ વારસાગત રીતે અણધારી છે, પરંતુ તે જ સમયે દાવો કરે છે કે આવી અણધારી પ્રણાલીઓને વ્યક્ત કરવાની રીત ચોક્કસ સમાનતામાં નહીં, પરંતુ સિસ્ટમની વર્તણૂકની રજૂઆતમાં - ગ્રાફમાં સાચી છે. વિચિત્ર આકર્ષણો, ફ્રેકટલ્સનું સ્વરૂપ ધરાવે છે. આમ, અરાજકતા સિદ્ધાંત, જેને ઘણા લોકો અણધારીતા તરીકે માને છે, તે સૌથી અસ્થિર પ્રણાલીઓમાં પણ અનુમાનિતતાનું વિજ્ઞાન હોવાનું બહાર આવ્યું છે. ગતિશીલ પ્રણાલીઓનો અભ્યાસ દર્શાવે છે કે સરળ સમીકરણો અસ્તવ્યસ્ત વર્તનને જન્મ આપી શકે છે જેમાં સિસ્ટમ ક્યારેય સ્થિર સ્થિતિમાં પાછી આવતી નથી અને કોઈ પેટર્ન દેખાતી નથી. ઘણી વખત આવી સિસ્ટમો મુખ્ય પરિમાણના ચોક્કસ મૂલ્ય સુધી એકદમ સામાન્ય રીતે વર્તે છે, પછી એક સંક્રમણનો અનુભવ કરે છે જેમાં વધુ વિકાસ માટે બે શક્યતાઓ હોય છે, પછી ચાર અને અંતે શક્યતાઓનો અસ્તવ્યસ્ત સમૂહ હોય છે.

તકનીકી વસ્તુઓમાં થતી પ્રક્રિયાઓની યોજનાઓ સ્પષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત ફ્રેક્ટલ માળખું ધરાવે છે. ન્યૂનતમ માળખું તકનીકી સિસ્ટમ(TS) TS ની અંદર બે પ્રકારની પ્રક્રિયાઓની ઘટના સૂચવે છે - મુખ્ય અને સહાયક, અને આ વિભાજન શરતી અને સંબંધિત છે. સહાયક પ્રક્રિયાઓના સંબંધમાં કોઈપણ પ્રક્રિયા મુખ્ય હોઈ શકે છે, અને કોઈપણ સહાયક પ્રક્રિયાને "તેની" સહાયક પ્રક્રિયાઓના સંબંધમાં મુખ્ય ગણી શકાય. ડાયાગ્રામના વર્તુળો ભૌતિક અસરો સૂચવે છે જે તે પ્રક્રિયાઓની ઘટનાની ખાતરી કરે છે જેના માટે ખાસ કરીને "તમારા પોતાના" વાહનો બનાવવાની જરૂર નથી. આ પ્રક્રિયાઓ પદાર્થો, ક્ષેત્રો, પદાર્થો અને ક્ષેત્રો વચ્ચેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓનું પરિણામ છે. ચોક્કસ કહીએ તો, ભૌતિક અસર એ એક વાહન છે જેના સંચાલનના સિદ્ધાંતને આપણે પ્રભાવિત કરી શકતા નથી, અને તેની ડિઝાઇનમાં દખલ કરવાની અમને તક નથી જોઈતી અથવા નથી.

રેખાકૃતિમાં દર્શાવેલ મુખ્ય પ્રક્રિયાનો પ્રવાહ ત્રણ સહાયક પ્રક્રિયાઓના અસ્તિત્વ દ્વારા સુનિશ્ચિત કરવામાં આવે છે, જે TS માટે મુખ્ય છે જે તેમને ઉત્પન્ન કરે છે. વાજબી બનવા માટે, અમે નોંધીએ છીએ કે ન્યૂનતમ ટીએસની કામગીરી માટે, ત્રણ પ્રક્રિયાઓ સ્પષ્ટપણે પૂરતી નથી, એટલે કે. યોજના ખૂબ જ અતિશયોક્તિપૂર્ણ છે.

આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે બધું સરળ હોવાથી દૂર છે. ઉપયોગી ( વ્યક્તિ માટે જરૂરી) પ્રક્રિયા 100% કાર્યક્ષમતા સાથે કરી શકાતી નથી. વિખરાયેલી ઊર્જા હાનિકારક પ્રક્રિયાઓ બનાવવા માટે ખર્ચવામાં આવે છે - ગરમી, કંપન, વગેરે. પરિણામે, હાનિકારક રાશિઓ લાભદાયી પ્રક્રિયા સાથે સમાંતર ઊભી થાય છે. "ખરાબ" પ્રક્રિયાને "સારી" સાથે બદલવી હંમેશા શક્ય નથી, તેથી સિસ્ટમ માટે હાનિકારક પરિણામોની ભરપાઈ કરવાના હેતુથી નવી પ્રક્રિયાઓ ગોઠવવી જરૂરી છે. એક લાક્ષણિક ઉદાહરણ ઘર્ષણનો સામનો કરવાની જરૂરિયાત છે, જે વ્યક્તિને બુદ્ધિશાળી લ્યુબ્રિકેશન સ્કીમ્સ ગોઠવવા, મોંઘા વિરોધી ઘર્ષણ સામગ્રીનો ઉપયોગ કરવા અથવા ઘટકો અને ભાગોના લુબ્રિકેશન અથવા તેના સામયિક રિપ્લેસમેન્ટ પર સમય પસાર કરવા દબાણ કરે છે.

પરિવર્તનશીલ પર્યાવરણના અનિવાર્ય પ્રભાવના અસ્તિત્વને કારણે, એક ઉપયોગી પ્રક્રિયાને સંચાલિત કરવાની જરૂર પડી શકે છે. નિયંત્રણ ક્યાં તો સ્વચાલિત ઉપકરણોનો ઉપયોગ કરીને અથવા સીધા વ્યક્તિ દ્વારા હાથ ધરવામાં આવી શકે છે. પ્રક્રિયા રેખાકૃતિ વાસ્તવમાં વિશિષ્ટ આદેશોનો સમૂહ છે, એટલે કે. અલ્ગોરિધમ દરેક આદેશનો સાર (વર્ણન) એ તેની સાથેની એક ઉપયોગી પ્રક્રિયાની સંપૂર્ણતા છે હાનિકારક પ્રક્રિયાઓઅને જરૂરી નિયંત્રણ પ્રક્રિયાઓનો સમૂહ. આવા અલ્ગોરિધમમાં, સહાયક પ્રક્રિયાઓનો સમૂહ એ નિયમિત સબરૂટિન છે - અને અહીં આપણે ફ્રેકટલ પણ શોધીએ છીએ. એક સદીના એક ક્વાર્ટર પહેલા બનાવેલ, આર. કોલરની પદ્ધતિ ફક્ત 12 જોડીના કાર્યો (પ્રક્રિયાઓ) ના એકદમ મર્યાદિત સેટ સાથે સિસ્ટમ્સ બનાવવાનું શક્ય બનાવે છે.

ગણિતમાં અસામાન્ય ગુણધર્મો સાથે સ્વ-સમાન સેટ

થી શરૂ થાય છે XIX ના અંતમાંસદી, શાસ્ત્રીય વિશ્લેષણના દૃષ્ટિકોણથી પેથોલોજીકલ હોય તેવા ગુણધર્મો સાથે સ્વ-સમાન પદાર્થોના ઉદાહરણો ગણિતમાં દેખાય છે. આમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છે:

કેન્ટર સેટ એ ક્યાંય ગાઢ અસંખ્ય સંપૂર્ણ સેટ છે. પ્રક્રિયામાં ફેરફાર કરીને, વ્યક્તિ સકારાત્મક લંબાઈનો ક્યાંય ગાઢ સમૂહ પણ મેળવી શકે છે.

સિઅરપિન્સકી ત્રિકોણ ("ટેબલક્લોથ") અને સિઅરપિન્સકી કાર્પેટ પ્લેન પર સેટ કરેલા કેન્ટરના એનાલોગ છે.

મેન્જરનો સ્પોન્જ ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં કેન્ટર સેટનું એનાલોગ છે;

વેરસ્ટ્રાસ અને વેન ડેર વેર્ડનના ઉદાહરણો ક્યાંય અલગ નથી સતત કાર્ય.

કોચ વળાંક - બિન-સ્વ-છેદિત સતત વળાંક અનંત લંબાઈ, કોઈપણ બિંદુએ સ્પર્શક નથી;

પીઆનો વળાંક એ ચોરસના તમામ બિંદુઓમાંથી પસાર થતો સતત વળાંક છે.

બ્રાઉનિયન કણનો માર્ગ પણ સંભાવના 1 સાથે ક્યાંય અલગ નથી.

તેનું હોસડોર્ફ પરિમાણ બે છે

ફ્રેક્ટલ કર્વ્સ મેળવવા માટે પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયા

પ્લેન પર ફ્રેક્ટલ કર્વ્સ મેળવવા માટે એક સરળ પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયા છે. ચાલો આપણે લિન્કની મર્યાદિત સંખ્યા સાથે મનસ્વી તૂટેલી રેખાને વ્યાખ્યાયિત કરીએ, જેને જનરેટર કહેવાય છે. આગળ, ચાલો તેમાંના દરેક સેગમેન્ટને જનરેટરથી બદલીએ (વધુ સ્પષ્ટ રીતે, જનરેટર જેવી તૂટેલી લાઇન). પરિણામી તૂટેલી લાઇનમાં, અમે ફરીથી દરેક સેગમેન્ટને જનરેટરથી બદલીએ છીએ. અનંત સુધી ચાલુ રાખીને, મર્યાદામાં આપણને ખંડિત વળાંક મળે છે. જમણી બાજુની આકૃતિ કોચ વળાંક માટે આ પ્રક્રિયાના પ્રથમ ચાર પગલાં બતાવે છે.

આવા વળાંકોના ઉદાહરણો છે:

ડ્રેગન કર્વ,

કોચ વળાંક (કોચ સ્નોવફ્લેક),

લેવી કર્વ,

મિન્કોવસ્કી વળાંક,

હિલ્બર્ટ વળાંક,

ડ્રેગન (હાર્ટર-હેથવે ફ્રેક્ટલ) ના તૂટેલા (વળાંક),

પીઆનો વળાંક.

સમાન પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરીને, પાયથાગોરિયન વૃક્ષ મેળવવામાં આવે છે.

ફ્રેકટલ્સ જેવા નિશ્ચિત બિંદુઓસંકોચન મેપિંગ

સ્વ-સમાનતા ગુણધર્મને ગાણિતિક રીતે કડક રીતે નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત કરી શકાય છે. પ્લેનના કોન્ટ્રાક્ટિવ મેપિંગ થવા દો. પ્લેનના તમામ કોમ્પેક્ટ (બંધ અને બાઉન્ડેડ) સબસેટના સેટ પર નીચેના મેપિંગને ધ્યાનમાં લો:

તે બતાવી શકાય છે કે મેપિંગ એ હોસડોર્ફ મેટ્રિક સાથે કોમ્પેક્ટાના સેટ પર સંકોચન મેપિંગ છે. તેથી, બનાચના પ્રમેય દ્વારા, આ મેપિંગ એક અનન્ય નિશ્ચિત બિંદુ ધરાવે છે. આ નિશ્ચિત બિંદુ આપણું ખંડિત હશે.

ઉપર વર્ણવેલ ફ્રેકટલ કર્વ્સ મેળવવા માટેની પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયા આ બાંધકામનો એક વિશેષ કેસ છે. તેમાંના તમામ મેપિંગ્સ સમાનતા મેપિંગ્સ છે, અને - જનરેટર લિંક્સની સંખ્યા.

સિઅરપિન્સકી ત્રિકોણ અને નકશા માટે, , નિયમિત ત્રિકોણ અને ગુણાંક 1/2 ના શિરોબિંદુઓ પર કેન્દ્રો સાથે હોમોથેટીઝ છે. તે જોવાનું સરળ છે કે જ્યારે મેપ કરવામાં આવે ત્યારે સિઅરપિન્સકી ત્રિકોણ પોતાનામાં રૂપાંતરિત થાય છે.

એવા કિસ્સામાં કે જ્યાં મેપિંગ એ ગુણાંક સાથે સમાનતા રૂપાંતરણ છે, ફ્રેક્ટલનું પરિમાણ (કેટલીક વધારાની તકનીકી પરિસ્થિતિઓ હેઠળ) સમીકરણના ઉકેલ તરીકે ગણી શકાય. આમ, સિઅરપિન્સકી ત્રિકોણ માટે આપણે મેળવીએ છીએ .

સમાન બનાચ પ્રમેય દ્વારા, કોઈપણ કોમ્પેક્ટ સેટથી શરૂ કરીને અને તેના પર નકશાના પુનરાવૃત્તિઓ લાગુ કરીને, અમે કોમ્પેક્ટ સેટનો ક્રમ મેળવીએ છીએ (હૌસડોર્ફ મેટ્રિકના અર્થમાં) અમારા ફ્રેક્ટલમાં કન્વર્જિંગ.

જટિલ ગતિશીલતામાં ખંડિત

જુલિયા સેટ

અન્ય જુલિયા સેટ

બિનરેખીય ગતિશીલ પ્રણાલીઓનો અભ્યાસ કરતી વખતે ફ્રેકલ્સ કુદરતી રીતે ઉદ્ભવે છે. બહુપદીના પુનરાવૃત્તિઓ અથવા પ્લેન પર જટિલ ચલના હોલોમોર્ફિક ફંક્શન દ્વારા ગતિશીલ પ્રણાલીનો ઉલ્લેખ કરવામાં આવે ત્યારે સૌથી વધુ અભ્યાસ કરાયેલ કેસ છે. આ વિસ્તારના પ્રથમ અભ્યાસો 20મી સદીની શરૂઆતના છે અને તે ફતૌ અને જુલિયાના નામ સાથે સંકળાયેલા છે.

દો એફ(z) - બહુપદી, z 0 એ જટિલ સંખ્યા છે. નીચેના ક્રમને ધ્યાનમાં લો: z 0 , z 1 =એફ(z 0), z 2 =એફ(એફ(z 0)) = એફ(z 1),z 3 =એફ(એફ(એફ(z 0)))=એફ(z 2), …

અમને આ ક્રમના વર્તનમાં રસ છે કારણ કે તે વલણ ધરાવે છે nઅનંત સુધી. આ ક્રમ આ કરી શકે છે:

અનંત તરફ પ્રયત્ન કરો,

અંતિમ મર્યાદા માટે પ્રયત્ન કરો

મર્યાદામાં ચક્રીય વર્તન દર્શાવે છે, ઉદાહરણ તરીકે: z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …

અસ્તવ્યસ્ત રીતે વર્તવું, એટલે કે, ઉલ્લેખિત ત્રણ પ્રકારના વર્તનમાંથી કોઈ પણ દર્શાવશો નહીં.

મૂલ્યોના સેટ z 0, જેના માટે ક્રમ એક ચોક્કસ પ્રકારની વર્તણૂક દર્શાવે છે, તેમજ વિવિધ પ્રકારો વચ્ચે બહુવિધ દ્વિભાજન બિંદુઓ, ઘણી વખત ખંડિત ગુણધર્મો ધરાવે છે.

આમ, જુલિયા સમૂહ એ બહુપદી માટે વિભાજન બિંદુઓનો સમૂહ છે એફ(z)=z 2 +c(અથવા અન્ય સમાન કાર્ય), એટલે કે, તે મૂલ્યો z 0 જેના માટે ક્રમનું વર્તન ( z n) મનસ્વી રીતે નાના ફેરફારો સાથે નાટકીય રીતે બદલાઈ શકે છે z 0 .

ફ્રેક્ટલ સેટ મેળવવા માટેનો બીજો વિકલ્પ બહુપદીમાં પરિમાણ દાખલ કરવાનો છે એફ(z) અને તે પરિમાણ મૂલ્યોના સમૂહની વિચારણા જેના માટે ક્રમ ( z n) નિશ્ચિત સમયે ચોક્કસ વર્તન દર્શાવે છે z 0 આમ, મેન્ડેલબ્રોટ સમૂહ એ બધાનો સમૂહ છે, જેના માટે ( z n) માટે એફ(z)=z 2 +cઅને z 0 અનંતમાં જતું નથી.

અન્ય પ્રખ્યાત ઉદાહરણન્યુટનના પૂલ આ પ્રકારના છે.

અનુરૂપ ગતિશીલ પ્રણાલીઓની વર્તણૂકના આધારે પ્લેન પોઈન્ટને રંગીન કરીને જટિલ ગતિશાસ્ત્ર પર આધારિત સુંદર ગ્રાફિક છબીઓ બનાવવાનું લોકપ્રિય છે. ઉદાહરણ તરીકે, મેન્ડેલબ્રોટ સેટને પૂર્ણ કરવા માટે, તમે મહત્વાકાંક્ષાની ગતિના આધારે બિંદુઓને રંગીન કરી શકો છો ( z n) અનંત સુધી (વ્યાખ્યાયિત, કહો, સૌથી નાની સંખ્યા તરીકે n, જેના પર | z n| નિશ્ચિત મોટા મૂલ્ય કરતાં વધી જશે એ.

બાયોમોર્ફ્સ જટિલ ગતિશીલતાના આધારે અને જીવંત જીવોની યાદ અપાવે તેવા ફ્રેકટલ્સ છે.

સ્ટોકેસ્ટિક ફ્રેકટલ્સ

જુલિયા સેટ પર આધારિત રેન્ડમાઇઝ્ડ ફ્રેકટલ

પ્રાકૃતિક વસ્તુઓમાં ઘણીવાર ખંડિત આકાર હોય છે. સ્ટોકેસ્ટિક (રેન્ડમ) ફ્રેકટલ્સનો ઉપયોગ તેમને મોડેલ કરવા માટે કરી શકાય છે. સ્ટોકેસ્ટિક ફ્રેકટલ્સનાં ઉદાહરણો:

પ્લેન પર અને અવકાશમાં બ્રાઉનિયન ગતિનો માર્ગ;

પ્લેન પર બ્રાઉનિયન ગતિના માર્ગની સીમા. 2001 માં, લોલર, શ્રામ અને વર્નરે મેન્ડેલબ્રોટની પૂર્વધારણાને સાબિત કરી કે તેનું પરિમાણ 4/3 છે.

શ્રામ-લોનર ઉત્ક્રાંતિ એ સુસંગત રીતે અવિભાજ્ય ખંડિત વણાંકો છે જે આંકડાકીય મિકેનિક્સના નિર્ણાયક દ્વિ-પરિમાણીય મોડલમાં ઉદ્ભવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, આઇસિંગ મોડલ અને પરકોલેશનમાં.

રેન્ડમાઇઝ્ડ ફ્રેકટલ્સના વિવિધ પ્રકારો, એટલે કે, પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરીને મેળવેલા ફ્રેકટલ્સ જેમાં દરેક પગલા પર રેન્ડમ પેરામીટર રજૂ કરવામાં આવે છે. પ્લાઝ્મા એ આવા ફ્રેક્ટલ ઇનના ઉપયોગનું ઉદાહરણ છે કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સ.

પ્રકૃતિમાં

શ્વાસનળી અને શ્વાસનળીનું આગળનું દૃશ્ય

શ્વાસનળીનું વૃક્ષ

રક્ત વાહિનીઓનું નેટવર્ક

અરજી

કુદરતી વિજ્ઞાન

ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, અશાંત પ્રવાહી પ્રવાહ જેવી બિનરેખીય પ્રક્રિયાઓનું મોડેલિંગ કરતી વખતે ફ્રેકટલ્સ કુદરતી રીતે ઉદ્ભવે છે. જટિલ પ્રક્રિયાઓપ્રસરણ-શોષણ, જ્વાળાઓ, વાદળો, વગેરે. છિદ્રાળુ સામગ્રીના મોડેલિંગમાં ફ્રેકલ્સનો ઉપયોગ થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, પેટ્રોકેમિસ્ટ્રીમાં. જીવવિજ્ઞાનમાં, તેનો ઉપયોગ વસ્તીનું મોડેલ બનાવવા અને આંતરિક અંગ પ્રણાલીઓ (રક્ત વાહિની પ્રણાલી)નું વર્ણન કરવા માટે થાય છે.

રેડિયો એન્જિનિયરિંગ

ખંડિત એન્ટેના

એન્ટેના ઉપકરણોની ડિઝાઇનમાં ખંડિત ભૂમિતિનો ઉપયોગ સૌપ્રથમ અમેરિકન એન્જિનિયર નાથન કોહેન દ્વારા કરવામાં આવ્યો હતો, જેઓ તે સમયે બોસ્ટન ડાઉનટાઉનમાં રહેતા હતા, જ્યાં ઇમારતો પર બાહ્ય એન્ટેના સ્થાપિત કરવા પર પ્રતિબંધ હતો. નાથને એલ્યુમિનિયમ ફોઈલમાંથી કોચ વળાંકનો આકાર કાપીને કાગળના ટુકડા પર ચોંટાડ્યો, પછી તેને રીસીવર સાથે જોડી દીધો. કોહેને પોતાની કંપનીની સ્થાપના કરી અને તેમનું સીરીયલ પ્રોડક્શન શરૂ કર્યું.

ઇન્ફોર્મેટિક્સ

છબી સંકોચન

મુખ્ય લેખ: ફ્રેક્ટલ કમ્પ્રેશન અલ્ગોરિધમ

ખંડિત વૃક્ષ

ફ્રેકટલ્સનો ઉપયોગ કરીને ઇમેજ કમ્પ્રેશન અલ્ગોરિધમ્સ છે. તેઓ આ વિચાર પર આધારિત છે કે ઇમેજને બદલે, એક કમ્પ્રેશન નકશો સંગ્રહિત કરી શકે છે જેના માટે આ છબી (અથવા તેની નજીકની વસ્તુ) એક નિશ્ચિત બિંદુ છે. આ અલ્ગોરિધમનો એક પ્રકારનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો [ સ્ત્રોત 895 દિવસ ઉલ્લેખિત નથી] માઇક્રોસોફ્ટ દ્વારા તેના જ્ઞાનકોશ પ્રકાશિત કરતી વખતે, પરંતુ વ્યાપકઆ અલ્ગોરિધમ્સ પ્રાપ્ત થયા નથી.

કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સ

અન્ય ખંડિત વૃક્ષ

કોમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સમાં વૃક્ષો, છોડો, પર્વતીય લેન્ડસ્કેપ્સ, દરિયાઈ સપાટીઓ વગેરે જેવી કુદરતી વસ્તુઓની છબીઓ બનાવવા માટે ફ્રેકલ્સનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. ફ્રેકટલ ઈમેજીસ જનરેટ કરવા માટે ઘણા પ્રોગ્રામ્સનો ઉપયોગ થાય છે, જુઓ ફ્રેકટલ જનરેટર (પ્રોગ્રામ).

વિકેન્દ્રિત નેટવર્ક્સ

નેટસુકુકુ નેટવર્કમાં IP એડ્રેસ અસાઇનમેન્ટ સિસ્ટમ નેટવર્ક નોડ્સ વિશેની માહિતીને સઘન રીતે સંગ્રહિત કરવા માટે ફ્રેક્ટલ માહિતી કમ્પ્રેશનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરે છે. નેત્સુકુકુ નેટવર્કમાં દરેક નોડ પડોશી નોડ્સની સ્થિતિ વિશે માત્ર 4 KB માહિતીનો સંગ્રહ કરે છે, જ્યારે કોઈપણ નવા નોડ IP સરનામાઓના વિતરણના કેન્દ્રીય નિયમનની જરૂરિયાત વિના સામાન્ય નેટવર્ક સાથે જોડાય છે, જે ઉદાહરણ તરીકે, સામાન્ય નેટવર્ક માટે સામાન્ય છે. ઈન્ટરનેટ. આમ, ફ્રેક્ટલ માહિતી કમ્પ્રેશનનો સિદ્ધાંત સંપૂર્ણપણે વિકેન્દ્રિત અને તેથી સમગ્ર નેટવર્કની સૌથી સ્થિર કામગીરીની ખાતરી આપે છે.

ઘણી વાર તેજસ્વી શોધો, વિજ્ઞાનમાં પરિપૂર્ણ, આપણા જીવનમાં ધરમૂળથી ફેરફાર કરી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, રસીની શોધ ઘણા લોકોને બચાવી શકે છે, પરંતુ નવા શસ્ત્રોનું નિર્માણ હત્યા તરફ દોરી જાય છે. શાબ્દિક રીતે ગઈકાલે (ઇતિહાસના ધોરણે) માણસે વીજળીને "કાબૂમાં" લીધી, અને આજે તે તેના વિના તેના જીવનની કલ્પના કરી શકશે નહીં. જો કે, એવી શોધ પણ છે કે, જેમ તેઓ કહે છે, પડછાયામાં રહે છે, તે હકીકત હોવા છતાં કે તેઓ આપણા જીવન પર એક અથવા બીજી અસર કરે છે. આમાંની એક શોધ ફ્રેકટલ હતી. મોટાભાગના લોકોએ આ ખ્યાલ વિશે ક્યારેય સાંભળ્યું પણ નથી અને તેનો અર્થ સમજાવી શકશે નહીં. આ લેખમાં આપણે ફ્રેકટલ શું છે તે પ્રશ્નને સમજવાનો પ્રયત્ન કરીશું અને વિજ્ઞાન અને પ્રકૃતિના પરિપ્રેક્ષ્યમાં આ શબ્દના અર્થને ધ્યાનમાં લઈશું.

અંધાધૂંધી માં ઓર્ડર

ફ્રેક્ટલ શું છે તે સમજવા માટે, આપણે ગણિતની સ્થિતિથી ડિબ્રીફિંગ શરૂ કરવું જોઈએ, પરંતુ તેમાં ડૂબતા પહેલા, આપણે થોડું ફિલોસોફી કરીશું. દરેક વ્યક્તિમાં કુદરતી જિજ્ઞાસા હોય છે, જેના કારણે તે શીખે છે આપણી આસપાસની દુનિયા. ઘણીવાર, જ્ઞાનની શોધમાં, તે તેના નિર્ણયોમાં તર્કનો ઉપયોગ કરવાનો પ્રયાસ કરે છે. આમ, તેની આસપાસ બનતી પ્રક્રિયાઓનું પૃથ્થકરણ કરીને, તે સંબંધોની ગણતરી કરવાનો અને ચોક્કસ પેટર્ન મેળવવાનો પ્રયાસ કરે છે. સૌથી વધુ મહાન દિમાગગ્રહો આ સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં વ્યસ્ત છે. સામાન્ય રીતે કહીએ તો, આપણા વૈજ્ઞાનિકો એવા દાખલાઓ શોધી રહ્યા છે જ્યાં કોઈ ન હોય, અને ન હોવું જોઈએ. અને તેમ છતાં, અરાજકતામાં પણ ચોક્કસ ઘટનાઓ વચ્ચે જોડાણ છે. આ જોડાણ તે છે જે ફ્રેકટલ છે. ઉદાહરણ તરીકે, રસ્તા પર પડેલી તૂટેલી ડાળીને ધ્યાનમાં લો. જો આપણે તેને નજીકથી જોશું, તો આપણે જોશું કે તેની બધી શાખાઓ અને ડાળીઓ સાથે તે પોતે એક વૃક્ષ જેવું લાગે છે. એક સંપૂર્ણ સાથે અલગ ભાગની આ સમાનતા પુનરાવર્તિત સ્વ-સમાનતાના કહેવાતા સિદ્ધાંતને સૂચવે છે. ફ્રેકટલ્સ પ્રકૃતિમાં દરેક જગ્યાએ જોવા મળે છે, કારણ કે ઘણા અકાર્બનિક અને કાર્બનિક સ્વરૂપો સમાન રીતે રચાય છે. આ વાદળો, દરિયાઈ શેલો, ગોકળગાયના શેલ, ઝાડના તાજ અને તે પણ છે રુધિરાભિસરણ તંત્ર. આ યાદીઅમે જાહેરાત અનંત ચાલુ રાખી શકીએ છીએ. આ બધા રેન્ડમ આકારોને ફ્રેક્ટલ અલ્ગોરિધમ દ્વારા સરળતાથી વર્ણવવામાં આવે છે. હવે આપણે ચોક્કસ વિજ્ઞાનના પરિપ્રેક્ષ્યમાં ફ્રેકટલ શું છે તે ધ્યાનમાં લેવા આવ્યા છીએ.

કેટલાક શુષ્ક તથ્યો

"ફ્રેક્ટલ" શબ્દનો લેટિનમાંથી "આંશિક", "વિભાજિત", "વિભાજિત" તરીકે અનુવાદ કરવામાં આવ્યો છે, અને આ શબ્દની સામગ્રી માટે, આવી કોઈ રચના નથી. તે સામાન્ય રીતે સ્વ-સમાન સમૂહ તરીકે અર્થઘટન કરવામાં આવે છે, સમગ્રનો એક ભાગ, જે તેની રચનાને સૂક્ષ્મ સ્તરે પુનરાવર્તિત કરે છે. આ શબ્દ 20મી સદીના સિત્તેરના દાયકામાં બેનોઈટ મેન્ડેલબ્રોટ દ્વારા બનાવવામાં આવ્યો હતો, જેને આજે ફ્રેક્ટલ અર્થની વિભાવના તરીકે ઓળખવામાં આવે છે ગ્રાફિક છબીએક ચોક્કસ માળખું જે, જ્યારે માપવામાં આવે છે, ત્યારે તે તેના જેવું જ હશે. જો કે, આ સિદ્ધાંતની રચના માટેનો ગાણિતિક આધાર પોતે મેન્ડેલબ્રોટના જન્મ પહેલાં જ નાખ્યો હતો, પરંતુ જ્યાં સુધી ઇલેક્ટ્રોનિક કમ્પ્યુટર્સ દેખાયા ત્યાં સુધી તેનો વિકાસ થઈ શક્યો નહીં.

ઐતિહાસિક પૃષ્ઠભૂમિ, અથવા તે બધું કેવી રીતે શરૂ થયું

19મી અને 20મી સદીના વળાંક પર, ફ્રેકટલ્સની પ્રકૃતિનો અભ્યાસ છૂટોછવાયો હતો. આ એ હકીકત દ્વારા સમજાવવામાં આવ્યું છે કે ગણિતશાસ્ત્રીઓ એવી વસ્તુઓનો અભ્યાસ કરવાનું પસંદ કરે છે કે જેના આધારે અભ્યાસ કરી શકાય સામાન્ય સિદ્ધાંતોઅને પદ્ધતિઓ. 1872 માં, જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી કે. વેયરસ્ટ્રાસે સતત કાર્યનું ઉદાહરણ બનાવ્યું જે ક્યાંય પણ અલગ નથી. જો કે, આ બાંધકામ સંપૂર્ણપણે અમૂર્ત અને સમજવું મુશ્કેલ હતું. ત્યારપછી સ્વીડનના હેલ્ગે વોન કોચ આવ્યા, જેમણે 1904 માં એક સતત વળાંક બનાવ્યો જેમાં ક્યાંય પણ સ્પર્શ ન હતો. તે દોરવા માટે એકદમ સરળ છે અને તે ખંડિત ગુણધર્મો ધરાવે છે. આ વળાંકના એક પ્રકારનું નામ તેના લેખક - "કોચ સ્નોવફ્લેક" ના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું હતું. દ્વારા આકૃતિઓની સ્વ-સમાનતાનો વિચાર વધુ વિકસાવવામાં આવ્યો હતો ભાવિ માર્ગદર્શક B. મેન્ડેલબ્રોટ ફ્રેન્ચમેન પોલ લેવી. 1938 માં, તેમણે "વિમાન અને અવકાશી વળાંકો અને સમગ્ર સમાન ભાગો ધરાવતી સપાટીઓ" લેખ પ્રકાશિત કર્યો. તેમાં તેણે વર્ણન કર્યું નવો દેખાવ- લેવીનો સી-વળાંક. ઉપરોક્ત તમામ આકૃતિઓ પરંપરાગત રીતે ભૌમિતિક ફ્રેકટલ્સ તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવી છે.

ગતિશીલ અથવા બીજગણિત ફ્રેકટલ્સ

TO આ વર્ગમેન્ડેલબ્રોટ સમૂહનો સંદર્ભ આપે છે. આ દિશામાં પ્રથમ સંશોધકો હતા ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રીઓપિયર ફાટૌ અને ગેસ્ટન જુલિયા. 1918 માં, જુલિયાએ તર્કસંગતના પુનરાવર્તનોના અભ્યાસ પર આધારિત એક પેપર પ્રકાશિત કર્યું જટિલ કાર્યો. અહીં તેમણે મેન્ડેલબ્રોટ સમૂહ સાથે ગાઢ સંબંધ ધરાવતા ફ્રેકટલ્સના પરિવારનું વર્ણન કર્યું. હકીકત હોવા છતાં કે આ કામગણિતશાસ્ત્રીઓમાં લેખકની પ્રશંસા કરી, તેણી ઝડપથી ભૂલી ગઈ. અને માત્ર અડધી સદી પછી, કમ્પ્યુટરનો આભાર, જુલિયાના કાર્યને બીજું જીવન મળ્યું. કોમ્પ્યુટરોએ દરેક વ્યક્તિ માટે ફ્રેકટલ્સની દુનિયાની સુંદરતા અને સમૃદ્ધિને દૃશ્યક્ષમ બનાવવાનું શક્ય બનાવ્યું જેને ગણિતશાસ્ત્રીઓ કાર્યો દ્વારા પ્રદર્શિત કરીને "જોઈ" શકે. મેન્ડેલબ્રોટ ગણતરીઓ કરવા માટે કમ્પ્યુટરનો ઉપયોગ કરનાર પ્રથમ વ્યક્તિ હતા (આવો વોલ્યુમ જાતે કરી શકાતો નથી) જેણે આ આંકડાઓની છબી બનાવવાનું શક્ય બનાવ્યું.

અવકાશી કલ્પના ધરાવતી વ્યક્તિ

મેન્ડેલબ્રોટે તેની શરૂઆત કરી વૈજ્ઞાનિક કારકિર્દીવી સંશોધન કેન્દ્ર IBM. માટે ડેટા ટ્રાન્સફરની શક્યતાઓનું અન્વેષણ લાંબા અંતર, વૈજ્ઞાનિકો એ હકીકતનો સામનો કરી રહ્યા છે મોટી ખોટજે ઘોંઘાટની દખલગીરીને કારણે ઊભી થઈ હતી. બેનોઈટ આ સમસ્યાનો ઉકેલ લાવવાની રીતો શોધી રહ્યો હતો. માપન પરિણામો દ્વારા જોતાં, તેણે એક વિચિત્ર પેટર્ન જોયું, એટલે કે: અવાજના આલેખ જુદા જુદા સમયના ભીંગડા પર સમાન દેખાતા હતા.

સમાન ચિત્ર એક દિવસના સમયગાળા માટે અને સાત દિવસ અથવા એક કલાક માટે જોવા મળ્યું હતું. બેનોઈટ મેન્ડેલબ્રોટે પોતે વારંવાર પુનરાવર્તન કર્યું હતું કે તે સૂત્રો સાથે કામ કરતો નથી, પરંતુ ચિત્રો સાથે રમે છે. આ વૈજ્ઞાનિક અલગ હતો કલ્પનાશીલ વિચારસરણી, કોઈપણ બીજગણિત સમસ્યાતેણે ભૌમિતિક પ્રદેશમાં ભાષાંતર કર્યું, જ્યાં સાચો જવાબ સ્પષ્ટ છે. તેથી તે આશ્ચર્યજનક નથી કે તે સમૃદ્ધ છે અને ખંડિત ભૂમિતિના પિતા બન્યા છે. છેવટે, આ આકૃતિની જાગૃતિ ત્યારે જ આવી શકે છે જ્યારે તમે રેખાંકનોનો અભ્યાસ કરો છો અને પેટર્નની રચના કરતી આ વિચિત્ર વમળોના અર્થ વિશે વિચારો છો. ફ્રેક્ટલ પેટર્નમાં સમાન તત્વો હોતા નથી, પરંતુ તે કોઈપણ સ્કેલ પર સમાન હોય છે.

જુલિયા - મેન્ડેલબ્રોટ

આ આકૃતિના પ્રથમ ડ્રોઇંગમાંનું એક સેટનું ગ્રાફિક અર્થઘટન હતું, જેનો જન્મ ગેસ્ટન જુલિયાના કાર્યમાંથી થયો હતો અને મેન્ડેલબ્રોટ દ્વારા વધુ વિકસિત કરવામાં આવ્યો હતો. ગેસ્ટને કલ્પના કરવાનો પ્રયાસ કર્યો કે સેટ કેવો દેખાય છે, જે લૂપ દ્વારા પુનરાવર્તિત એક સરળ સૂત્રના આધારે બનાવવામાં આવ્યો હતો. પ્રતિસાદ. ચાલો શું કહેવામાં આવ્યું હતું તે સમજાવવાનો પ્રયાસ કરીએ માનવ ભાષા, તેથી વાત કરવા માટે, આંગળીઓ પર. ચોક્કસ માટે સંખ્યાત્મક મૂલ્યસૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આપણે નવી કિંમત શોધીએ છીએ. અમે તેને સૂત્રમાં બદલીએ છીએ અને નીચેના શોધીએ છીએ. પરિણામ એક વિશાળ છે આવા સમૂહનું પ્રતિનિધિત્વ કરવા માટે, તમારે આ કામગીરી કરવાની જરૂર છે મોટી રકમવખત: સેંકડો, હજારો, લાખો. બેનોઈટે આ જ કર્યું. તેણે ક્રમની પ્રક્રિયા કરી અને પરિણામોને સ્થાનાંતરિત કર્યા ગ્રાફિક સ્વરૂપ. ત્યારબાદ, તેણે પરિણામી આકૃતિને રંગ આપ્યો (દરેક રંગ અનુરૂપ ચોક્કસ સંખ્યાપુનરાવર્તનો). આ ગ્રાફિક ઈમેજને "મેન્ડેલબ્રોટ ફ્રેકટલ" નામ આપવામાં આવ્યું હતું.

એલ. સુથાર: કુદરત દ્વારા બનાવવામાં આવેલ કલા

ફ્રેકટલ્સના સિદ્ધાંતને ઝડપથી વ્યવહારુ ઉપયોગ મળ્યો. તે સ્વ-સમાન છબીઓના વિઝ્યુલાઇઝેશન સાથે ખૂબ નજીકથી સંબંધિત હોવાથી, આના નિર્માણ માટે સિદ્ધાંતો અને અલ્ગોરિધમ્સ અપનાવનાર પ્રથમ અસામાન્ય આકારો, કલાકારો બન્યા. તેમાંથી પ્રથમ પિક્સરના ભાવિ સ્થાપક, લોરેન કાર્પેન્ટર હતા. એરક્રાફ્ટ પ્રોટોટાઇપના પ્રેઝન્ટેશન પર કામ કરતી વખતે, તેને પર્વતોની છબીને પૃષ્ઠભૂમિ તરીકે ઉપયોગ કરવાનો વિચાર આવ્યો. આજે, લગભગ દરેક કમ્પ્યુટર વપરાશકર્તા આવા કાર્યનો સામનો કરી શકે છે, પરંતુ છેલ્લી સદીના સિત્તેરના દાયકામાં, કમ્પ્યુટર્સ આવી પ્રક્રિયાઓ કરવા સક્ષમ ન હતા, કારણ કે તે સમયે ત્રિ-પરિમાણીય ગ્રાફિક્સ માટે કોઈ ગ્રાફિક સંપાદકો અથવા એપ્લિકેશનો નહોતા. અને પછી લોરેન મેન્ડેલબ્રોટના પુસ્તક "ફ્રેકલ્સ: ફોર્મ, રેન્ડમનેસ એન્ડ ડાયમેન્શન" પર આવી. તેમાં, બેનોઈટે ઘણા ઉદાહરણો આપ્યા, જે દર્શાવે છે કે ફ્રેકટલ્સ પ્રકૃતિમાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે (ફાઈવા), તેમણે તેમના વિવિધ આકારોનું વર્ણન કર્યું અને સાબિત કર્યું કે તેઓ સરળતાથી વર્ણવી શકાય છે. ગાણિતિક અભિવ્યક્તિઓ. ગણિતશાસ્ત્રીએ આ સાદ્રશ્યને તેમના સાથીદારોની ટીકાના અવરોધના જવાબમાં વિકસાવી રહેલા સિદ્ધાંતની ઉપયોગીતા માટે દલીલ તરીકે ટાંક્યો. તેઓએ દલીલ કરી હતી કે ફ્રેકટલ ન્યાયી છે સુંદર ચિત્ર, કોઈ મૂલ્ય નથી, કામની આડપેદાશ છે ઇલેક્ટ્રોનિક મશીનો. કાર્પેન્ટરે આ પદ્ધતિને વ્યવહારમાં અજમાવવાનું નક્કી કર્યું. પુસ્તકનો કાળજીપૂર્વક અભ્યાસ કર્યા પછી, ભાવિ એનિમેટરે કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સમાં ખંડિત ભૂમિતિને અમલમાં મૂકવાની રીત શોધવાનું શરૂ કર્યું. તેના કમ્પ્યુટર પર પર્વતીય લેન્ડસ્કેપની સંપૂર્ણ વાસ્તવિક છબી રેન્ડર કરવામાં તેને માત્ર ત્રણ દિવસનો સમય લાગ્યો. અને આજે આ સિદ્ધાંત વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે. જેમ જેમ તે તારણ આપે છે, ફ્રેકટલ્સ બનાવવા માટે વધુ સમય અને પ્રયત્ન નથી લાગતો.

સુથારનો ઉકેલ

લોરેનનો ઉપયોગ કરવામાં આવેલ સિદ્ધાંત સરળ હતો. તે મોટા તત્વોને નાના તત્વોમાં વિભાજીત કરે છે, અને તે સમાન નાના તત્વોમાં, વગેરે. સુથાર, મોટા ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરીને, તેમને 4 નાનામાં વિભાજિત કરે છે, અને તેથી વધુ, જ્યાં સુધી તેની પાસે વાસ્તવિક પર્વત લેન્ડસ્કેપ ન હોય. આમ, જરૂરી ઇમેજ બનાવવા માટે કોમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સમાં ફ્રેક્ટલ અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરનાર તે પ્રથમ કલાકાર બન્યો. આજે આ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ વિવિધ વાસ્તવિક કુદરતી સ્વરૂપોનું અનુકરણ કરવા માટે થાય છે.

ફ્રેક્ટલ અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ 3D વિઝ્યુલાઇઝેશન

થોડા વર્ષોમાં, લોરેને તેના વિકાસને લાગુ કર્યું મોટા પાયે પ્રોજેક્ટ- એનિમેટેડ વિડિયો વોલ લિબ્રે, 1980 માં સિગ્ગ્રાફ પર બતાવવામાં આવ્યો. આ વિડિઓએ ઘણાને આંચકો આપ્યો, અને તેના નિર્માતાને લુકાસફિલ્મમાં કામ કરવા માટે આમંત્રિત કરવામાં આવ્યા. અહીં એનિમેટર તેની સંપૂર્ણ ક્ષમતાનો અહેસાસ કરવામાં સક્ષમ હતો તેણે ફીચર ફિલ્મ "સ્ટાર ટ્રેક" માટે ત્રિ-પરિમાણીય લેન્ડસ્કેપ્સ (એક આખો ગ્રહ) બનાવ્યો. કોઈપણ આધુનિક કાર્યક્રમ(“Fractals”) અથવા 3D ગ્રાફિક્સ એપ્લિકેશન (Terragen, Vue, Bryce) ટેક્સચર અને સપાટીઓને મોડેલ કરવા માટે સમાન અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરે છે.

ટોમ બેડાર્ડ

અગાઉ લેસર ભૌતિકશાસ્ત્રી અને હવે ડિજિટલ કલાકાર અને કલાકાર, બેડાર્ડે ઘણા રસપ્રદ ભૌમિતિક આકારો બનાવ્યા, જેને તેમણે ફેબર્ગે ફ્રેકટલ્સ તરીકે ઓળખાવ્યા. બાહ્યરૂપે, તેઓ રશિયન જ્વેલરના સુશોભિત ઇંડા જેવા લાગે છે; તેમની પાસે સમાન તેજસ્વી, જટિલ પેટર્ન છે. બેડાર્ડે તેના મોડલ્સના ડિજિટલ રેન્ડરિંગ્સ બનાવવા માટે ટેમ્પલેટ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કર્યો. પરિણામી ઉત્પાદનો તેમની સુંદરતાથી આશ્ચર્યચકિત થાય છે. જોકે ઘણા લોકો ઉત્પાદનની તુલના કરવાનો ઇનકાર કરે છે સ્વયં બનાવેલકમ્પ્યુટર પ્રોગ્રામ સાથે, પરંતુ તે સ્વીકારવું આવશ્યક છે કે પરિણામી સ્વરૂપો અત્યંત સુંદર છે. ખાસ વાત એ છે કે કોઈપણ વ્યક્તિ WebGL સોફ્ટવેર લાઈબ્રેરીનો ઉપયોગ કરીને આવા ફ્રેકટલ બનાવી શકે છે. તે તમને વાસ્તવિક સમયમાં વિવિધ ફ્રેક્ટલ સ્ટ્રક્ચર્સનું અન્વેષણ કરવાની મંજૂરી આપે છે.

પ્રકૃતિમાં ખંડિત

થોડા લોકો ધ્યાન આપે છે, પરંતુ આ અદ્ભુત આંકડાદરેક જગ્યાએ હાજર છે. કુદરત પોતાનામાંથી જ સર્જાય છે સમાન આંકડા, અમે માત્ર તે નોટિસ નથી. બૃહદદર્શક કાચ દ્વારા આપણી ત્વચા અથવા ઝાડના પાંદડાને જોવા માટે તે પૂરતું છે, અને આપણે ખંડિત જોશું. અથવા લો, ઉદાહરણ તરીકે, અનેનાસ અથવા તો મોરની પૂંછડી - તેમાં સમાન આકૃતિઓ હોય છે. અને રોમેનેસ્કુ બ્રોકોલીની વિવિધતા સામાન્ય રીતે તેના દેખાવમાં આકર્ષક હોય છે, કારણ કે તેને ખરેખર પ્રકૃતિનો ચમત્કાર કહી શકાય.

સંગીત વિરામ

તે તારણ આપે છે કે ફ્રેકટલ્સ માત્ર નથી ભૌમિતિક આકારો, તેઓ અવાજો પણ હોઈ શકે છે. આમ, સંગીતકાર જોનાથન કોલ્ટન ખંડિત અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને સંગીત લખે છે. તે કુદરતી સંવાદિતાને અનુરૂપ હોવાનો દાવો કરે છે. સંગીતકાર તેની બધી કૃતિઓને ક્રિએટિવકોમન્સ એટ્રિબ્યુશન-નોન કોમર્શિયલ લાયસન્સ હેઠળ પ્રકાશિત કરે છે, જે મફત વિતરણ, નકલ અને અન્યને કૃતિઓનું ટ્રાન્સફર પ્રદાન કરે છે.

ખંડિત સૂચક

આ તકનીકને ખૂબ જ અણધારી એપ્લિકેશન મળી છે. તેના આધારે, સ્ટોક એક્સચેન્જ માર્કેટનું વિશ્લેષણ કરવા માટેનું એક સાધન બનાવવામાં આવ્યું હતું, અને પરિણામે, તે ફોરેક્સ માર્કેટમાં ઉપયોગમાં લેવાનું શરૂ થયું હતું. આજકાલ, ફ્રેક્ટલ સૂચક તમામ ટ્રેડિંગ પ્લેટફોર્મ પર જોવા મળે છે અને તેનો ઉપયોગ પ્રાઈસ બ્રેકઆઉટ નામની ટ્રેડિંગ ટેકનિકમાં થાય છે. આ તકનીક બિલ વિલિયમ્સ દ્વારા વિકસાવવામાં આવી હતી. જેમ લેખક તેની શોધ પર ટિપ્પણી કરે છે, આ અલ્ગોરિધમઘણી “મીણબત્તીઓ” નું સંયોજન છે, જેમાં કેન્દ્રિય મહત્તમ અથવા તેનાથી વિપરીત, લઘુત્તમ આત્યંતિક બિંદુને પ્રતિબિંબિત કરે છે.

નિષ્કર્ષમાં

તેથી અમે ફ્રેકટલ શું છે તે જોયું. તે તારણ આપે છે કે આપણી આસપાસની અરાજકતામાં, ખરેખર અસ્તિત્વમાં છે સંપૂર્ણ આકારો. કુદરત છે શ્રેષ્ઠ આર્કિટેક્ટ, આદર્શ બિલ્ડર અને એન્જિનિયર. તે ખૂબ જ તાર્કિક રીતે ગોઠવાયેલ છે, અને જો આપણે કોઈ પેટર્ન શોધી શકતા નથી, તો તેનો અર્થ એ નથી કે તે અસ્તિત્વમાં નથી. કદાચ આપણે અલગ સ્કેલ પર જોવાની જરૂર છે. આપણે વિશ્વાસ સાથે કહી શકીએ કે ફ્રેકટલ્સ હજુ પણ ઘણા રહસ્યો ધરાવે છે જે આપણે હજુ સુધી શોધવાના બાકી છે.

ફ્રેકટલ્સની સંપૂર્ણ વિવિધતા પ્રસ્તુત કરવા માટે, તેમના સામાન્ય રીતે સ્વીકૃત વર્ગીકરણનો આશરો લેવો અનુકૂળ છે.

2.1 ભૌમિતિક ભંગાણ

આ વર્ગના ફ્રેકટલ્સ સૌથી વધુ દ્રશ્ય છે. દ્વિ-પરિમાણીય કિસ્સામાં, તેઓ કેટલીક તૂટેલી રેખા (અથવા ત્રિ-પરિમાણીય કિસ્સામાં સપાટી) નો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવે છે, જેને કહેવાય છે. જનરેટર. અલ્ગોરિધમના એક પગલામાં, પોલીલાઈન બનાવતા દરેક સેગમેન્ટને યોગ્ય સ્કેલ પર જનરેટર પોલીલાઈનથી બદલવામાં આવે છે. આ પ્રક્રિયાના અનંત પુનરાવર્તનના પરિણામે, ભૌમિતિક ફ્રેકટલ પ્રાપ્ત થાય છે.

ફિગ 1. કોચ ટ્રાયડ વળાંકનું બાંધકામ.

ચાલો આ ખંડિત પદાર્થોમાંથી એકને ધ્યાનમાં લઈએ - ત્રિઆદિ કોચ વળાંક. વળાંકનું નિર્માણ એકમ લંબાઈ (ફિગ. 1) ના સેગમેન્ટથી શરૂ થાય છે - આ કોચ વળાંકની 0મી પેઢી છે. આગળ, દરેક લિંક (શૂન્ય પેઢીમાં એક સેગમેન્ટ) દ્વારા બદલવામાં આવે છે રચનાત્મક તત્વ, દ્વારા ફિગ. 1 માં નિયુક્ત n=1. આ રિપ્લેસમેન્ટના પરિણામે, કોચ વળાંકની આગામી પેઢી પ્રાપ્ત થાય છે. 1લી પેઢીમાં, આ ચાર સીધી લિંક્સનો વળાંક છે, દરેક લંબાઈ 1/3 . 3 જી પેઢી મેળવવા માટે, સમાન ક્રિયાઓ કરવામાં આવે છે - દરેક લિંકને ઘટાડતા ઘટક સાથે બદલવામાં આવે છે. તેથી, દરેક અનુગામી પેઢી મેળવવા માટે, પાછલી પેઢીની તમામ લિંક્સને ઘટાડાના ઘટક સાથે બદલવી આવશ્યક છે. વળાંક n- કોઈપણ સીમિત માટે મી પેઢી nકહેવાય છે પ્રીફ્રેક્ટલ. આકૃતિ 1 વળાંકની પાંચ પેઢીઓ દર્શાવે છે. મુ nજેમ જેમ કોચ વળાંક અનંતની નજીક આવે છે, તે ખંડિત પદાર્થ બની જાય છે.

આકૃતિ 2. હાર્ટર-હેથવે "ડ્રેગન" નું બાંધકામ.

અન્ય ફ્રેક્ટલ ઑબ્જેક્ટ મેળવવા માટે, તમારે બાંધકામના નિયમો બદલવાની જરૂર છે. ઘડતા તત્વને કાટખૂણો પર જોડાયેલા બે સમાન સેગમેન્ટ રહેવા દો. શૂન્ય પેઢીમાં આપણે બદલીશું એકમ સેગમેન્ટઆ રચના તત્વ પર જેથી ખૂણો ટોચ પર હોય. અમે કહી શકીએ કે આવા રિપ્લેસમેન્ટ સાથે લિંકની મધ્યમાં વિસ્થાપન છે. અનુગામી પેઢીઓનું નિર્માણ કરતી વખતે, આ નિયમનું પાલન કરવામાં આવે છે: ડાબી બાજુની પ્રથમ કડીને બનાવતા તત્વ સાથે બદલવામાં આવે છે જેથી કડીની મધ્ય હિલચાલની દિશાની ડાબી બાજુએ ખસેડવામાં આવે, અને જ્યારે અનુગામી લિંક્સને બદલતી વખતે, દિશાઓ સેગમેન્ટ્સના મધ્યનું વિસ્થાપન વૈકલ્પિક હોવું જોઈએ. આકૃતિ 2 ઉપર વર્ણવેલ સિદ્ધાંત અનુસાર બાંધવામાં આવેલ વળાંકની પ્રથમ કેટલીક પેઢીઓ અને 11મી પેઢી દર્શાવે છે. ખંડિત વળાંક મર્યાદિત કરો (એટ nઅનંત તરફ વલણ) કહેવાય છે હાર્ટર-હેથવેનો ડ્રેગન .

IN મશીન ગ્રાફિક્સવૃક્ષો, છોડો અને દરિયાકિનારાની છબીઓ મેળવવા માટે ભૌમિતિક ફ્રેકટલ્સનો ઉપયોગ જરૂરી છે. દ્વિ-પરિમાણીય ભૌમિતિક ફ્રેકટલ્સનો ઉપયોગ ત્રિ-પરિમાણીય ટેક્સચર (ઓબ્જેક્ટની સપાટી પરના પેટર્ન) બનાવવા માટે થાય છે.

2.2 બીજગણિત ખંડિત

આ સૌથી વધુ છે મોટું જૂથખંડિત તેઓ માં બિનરેખીય પ્રક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવે છે n- પરિમાણીય જગ્યાઓ. દ્વિ-પરિમાણીય પ્રક્રિયાઓ સૌથી વધુ અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. બિનરેખીય પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયાને એક અલગ ગતિશીલ પ્રણાલી તરીકે અર્થઘટન કરતા, વ્યક્તિ આ સિસ્ટમોના સિદ્ધાંતની પરિભાષાનો ઉપયોગ કરી શકે છે: તબક્કો પોટ્રેટ, સ્થિર પ્રક્રિયા, આકર્ષનારવગેરે

તે જાણીતું છે કે બિનરેખીય ગતિશીલ સિસ્ટમોમાં ઘણી સ્થિર સ્થિતિઓ હોય છે. ચોક્કસ સંખ્યાના પુનરાવૃત્તિઓ પછી ગતિશીલ સિસ્ટમ પોતાને જે સ્થિતિમાં શોધે છે તે તેની પ્રારંભિક સ્થિતિ પર આધારિત છે. તેથી, દરેક સ્થિર રાજ્ય (અથવા, જેમ તેઓ કહે છે, આકર્ષનાર) પાસે પ્રારંભિક રાજ્યોનો ચોક્કસ પ્રદેશ હોય છે, જેમાંથી સિસ્ટમ વિચારણા હેઠળના અંતિમ રાજ્યોમાં આવશ્યકપણે આવશે. આમ, સિસ્ટમના તબક્કાની જગ્યા વિભાજિત કરવામાં આવે છે આકર્ષણના વિસ્તારોઆકર્ષનારા જો તબક્કાની જગ્યા દ્વિ-પરિમાણીય હોય, તો આકર્ષણના વિસ્તારોને વિવિધ રંગોથી રંગીને, વ્યક્તિ મેળવી શકે છે. રંગ તબક્કો પોટ્રેટઆ સિસ્ટમ (પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયા). રંગ પસંદગી અલ્ગોરિધમ બદલીને, તમે વિચિત્ર મલ્ટીકલર પેટર્ન સાથે જટિલ ફ્રેકટલ પેટર્ન મેળવી શકો છો. ગણિતશાસ્ત્રીઓ માટે આશ્ચર્યજનક બાબત એ હતી કે આદિમ ગાણિતીક નિયમોનો ઉપયોગ કરીને ખૂબ જ જટિલ બિન-તુચ્છ રચનાઓ બનાવવાની ક્ષમતા.

ફિગ 3. મેન્ડેલબ્રોટ સેટ.

ઉદાહરણ તરીકે, મેન્ડેલબ્રોટ સમૂહને ધ્યાનમાં લો (ફિગ. 3 અને ફિગ. 4 જુઓ). તેના બાંધકામ માટેનું અલ્ગોરિધમ એકદમ સરળ છે અને તે સરળ પુનરાવર્તિત અભિવ્યક્તિ પર આધારિત છે:

ઝેડ = ઝેડ[i] * ઝેડ[i] + સી,

જ્યાં ઝેડહું અને સી- જટિલ ચલો. દરેક પ્રારંભિક બિંદુ માટે પુનરાવર્તનો કરવામાં આવે છે સીલંબચોરસ અથવા ચોરસ પ્રદેશ - જટિલ પ્લેનનો સબસેટ. સુધી પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયા ચાલુ રહે છે ઝેડ[i] ત્રિજ્યા 2 ના વર્તુળની બહાર જશે નહીં, જેનું કેન્દ્ર બિંદુ (0,0) પર આવેલું છે, (આનો અર્થ એ છે કે ગતિશીલ પ્રણાલીનું આકર્ષનાર અનંત પર છે), અથવા પુનરાવર્તનની પૂરતી મોટી સંખ્યા પછી (ઉદાહરણ તરીકે, 200-500) ઝેડ[i] વર્તુળ પરના અમુક બિંદુ પર કન્વર્જ થશે. જે દરમિયાન પુનરાવર્તનોની સંખ્યા પર આધાર રાખે છે ઝેડ[i] વર્તુળની અંદર રહી, તમે બિંદુનો રંગ સેટ કરી શકો છો સી(જો ઝેડ[i] પુનરાવર્તનની પૂરતી મોટી સંખ્યા માટે વર્તુળની અંદર રહે છે, પુનરાવૃત્તિ પ્રક્રિયા અટકે છે અને આ રાસ્ટર બિંદુ કાળો રંગવામાં આવે છે).

ફિગ. 4. મેન્ડેલબ્રોટ સમૂહની સીમાનો એક વિભાગ, 200 વખત વિસ્તૃત.

ઉપરોક્ત અલ્ગોરિધમ કહેવાતા મેન્ડેલબ્રોટ સમૂહનો અંદાજ આપે છે. મેન્ડેલબ્રોટ સમૂહમાં પોઈન્ટ છે જે દરમિયાન અનંતપુનરાવર્તનોની સંખ્યા અનંત સુધી જતી નથી (બિંદુઓ કાળા છે). સમૂહની સીમા સાથે જોડાયેલા બિંદુઓ (આ તે છે જ્યાં જટિલ રચનાઓ) માટે અનંત પર જાઓ અંતિમ સંખ્યાપુનરાવૃત્તિઓ, અને સમૂહની બહાર પડેલા બિંદુઓ અનેક પુનરાવર્તનો (સફેદ પૃષ્ઠભૂમિ) પછી અનંતમાં જાય છે.

2.3 સ્ટોકેસ્ટિક ફ્રેકટલ્સ

ફ્રેક્ટલ્સનો બીજો જાણીતો વર્ગ સ્ટોકેસ્ટિક ફ્રેકટલ્સ છે, જે જો તેના કેટલાક પરિમાણોને પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયામાં અવ્યવસ્થિત રીતે બદલવામાં આવે તો પ્રાપ્ત થાય છે. આ કિસ્સામાં, પરિણામી વસ્તુઓ કુદરતી વસ્તુઓ જેવી જ છે - અસમપ્રમાણતાવાળા વૃક્ષો, કઠોર દરિયાકિનારોવગેરે દ્વિ-પરિમાણીય સ્ટોકેસ્ટિક ફ્રેકટલ્સનો ઉપયોગ ભૂપ્રદેશ અને દરિયાઈ સપાટીના મોડેલિંગમાં થાય છે.

ફ્રેકટલ્સનું અન્ય વર્ગીકરણ છે, ઉદાહરણ તરીકે, ફ્રેકટલ્સને ડિટરમિનિસ્ટિક (બીજગણિતીય અને ભૌમિતિક) અને નોન-ડિટરમિનિસ્ટિક (સ્ટોચેસ્ટિક)માં વિભાજિત કરવું.

ખંડિત ઉદાહરણ

અડધી સદી કરતા પણ ઓછા સમય પહેલા ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા “ફ્રેક્ટલ”નો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો, અને ટૂંક સમયમાં, સિનેર્જેટિક્સ અને આકર્ષણ સાથે, યુવા થિયરી ઓફ ડિટરમિનિસ્ટિક કેઓસના “ત્રણ સ્તંભો” પૈકીનું એક બની ગયું હતું, અને આજે તે પહેલાથી જ એક તરીકે ઓળખાય છે. બ્રહ્માંડની રચનાના મૂળભૂત તત્વો.

સાથે લેટિન શબ્દ ફ્રેકટસનો અનુવાદ થાય છેજેમ કે "તૂટેલા", આધુનિક લેટિન ભાષાઓતેનો અર્થ "ફાટેલ" આપ્યો. ફ્રેક્ટલ એવી વસ્તુ છે જે સંપૂર્ણ/મોટા જેમાંથી તે એક ભાગ છે તે સમાન હોય છે, અને તે જ સમયે, તેના દરેક ભાગની નકલ કરે છે. ઘટક. આમ, "અપૂર્ણતા" એ તેના ઘટકો માટે "બધું" ની અનંત સમાનતા છે, એટલે કે, તે કોઈપણ સ્તરે સ્વ-સમાનતા છે. ખંડિત શાખાના દરેક સ્તરને "પુનરાવર્તન" કહેવામાં આવે છે; આ કિસ્સામાં, જે બિંદુએ વિભાજન થાય છે (ઉદાહરણ તરીકે, એક થડને શાખાઓમાં, એક નદીને બે પ્રવાહોમાં, વગેરે) વિભાજન બિંદુ કહેવામાં આવે છે.

ફ્રેકટસ શબ્દગણિતશાસ્ત્રી બેનોઈટ મેન્ડેલબ્રોટ દ્વારા 1975 માં વર્ણન કરવા માટે પસંદ કરવામાં આવી હતી વૈજ્ઞાનિક શોધઅને થોડા વર્ષો પછી લોકપ્રિય બન્યા - તેમણે તેમના પુસ્તક ફ્રેકટલ જીઓમેટ્રી ઓફ નેચરમાં વ્યાપક પ્રેક્ષકો માટે વિષય વિકસાવ્યા પછી.

આજે, ફ્રેક્ટલ વ્યાપકપણે કહેવાતા "ફ્રેક્ટલ આર્ટ" ની વિચિત્ર પેટર્ન તરીકે ઓળખાય છે. કમ્પ્યુટર પ્રોગ્રામ્સ. પરંતુ કમ્પ્યુટરની મદદથી તમે માત્ર સુંદર અમૂર્ત ચિત્રો જ નહીં, પણ ખૂબ જ વિશ્વાસપાત્ર કુદરતી લેન્ડસ્કેપ્સ - પર્વતો, નદીઓ, જંગલો પણ બનાવી શકો છો. અહીં, હકીકતમાં, વિજ્ઞાનના સંક્રમણનો મુદ્દો છે વાસ્તવિક જીવન, અથવા ઊલટું, જો આપણે ધારીએ કે સામાન્ય રીતે તેમને અલગ કરવું શક્ય છે.

મુદ્દો એ છે કે ખંડિત સિદ્ધાંતમાં શોધોનું વર્ણન કરવા માટે જ યોગ્ય નથી ચોક્કસ વિજ્ઞાન. આ, સૌ પ્રથમ, પ્રકૃતિની રચના અને વિકાસનો સિદ્ધાંત છે. આપણી આસપાસની દરેક વસ્તુ ફ્રેકટલ્સ છે! ઉદાહરણોનું સૌથી સ્પષ્ટ જૂથ છે ઉપનદીઓ સાથેની નદીઓ, રુધિરકેશિકાઓ સાથેની વેનિસ સિસ્ટમ, વીજળી, હિમ પેટર્ન, વૃક્ષો... તાજેતરમાં જ, વૈજ્ઞાનિકો, પરીક્ષણ ખંડિત સિદ્ધાંત, પ્રાયોગિક રીતે ચકાસાયેલ છે કે એક વૃક્ષની રેખાકૃતિના આધારે આ વૃક્ષો જ્યાં ઉગે છે તે જંગલ વિસ્તાર વિશે તારણો કાઢી શકાય છે. ખંડિત જૂથોના અન્ય ઉદાહરણો: અણુ – પરમાણુ – ગ્રહોની વ્યવસ્થા – સૌર સિસ્ટમ- તારાવિશ્વો - બ્રહ્માંડ... મિનિટ - કલાક - દિવસ - અઠવાડિયું - મહિનો - વર્ષ - સદી ... લોકોનો સમુદાય પણ ખંડિતતાના સિદ્ધાંતો અનુસાર પોતાને ગોઠવે છે: હું - કુટુંબ - કુળ - રાષ્ટ્રીયતા - રાષ્ટ્રીયતા - જાતિઓ.. વ્યક્તિગત - જૂથ - પક્ષ - રાજ્ય. કર્મચારી - વિભાગ - વિભાગ - એન્ટરપ્રાઇઝ - ચિંતા... વિવિધ ધર્મોના દૈવી દેવીપૂજકો પણ એક જ સિદ્ધાંત પર બાંધવામાં આવ્યા છે, જેમાં ખ્રિસ્તી ધર્મનો સમાવેશ થાય છે: ભગવાન પિતા - ટ્રિનિટી - સંતો - ચર્ચ - વિશ્વાસીઓ, દૈવી દેવીપૂજકોના સંગઠનનો ઉલ્લેખ ન કરવો મૂર્તિપૂજક ધર્મો.

વાર્તાજણાવે છે કે 19મી સદીમાં વૈજ્ઞાનિકો - પોઈનકેરે, ફાટૌ, જુલિયા, કેન્ટોર, હૌસડોર્ફના કાર્યોમાં સ્વ-સમાન સેટ સૌપ્રથમ નોંધાયા હતા, પરંતુ સત્ય એ છે કે પહેલાથી જ મૂર્તિપૂજક સ્લેવોએ અમને સાબિતી આપી હતી કે લોકો વ્યક્તિગત અસ્તિત્વને નાની વિગતો તરીકે સમજતા હતા. બ્રહ્માંડની અનંતતામાં. આ એક પદાર્થ છે જેનો અભ્યાસ બેલારુસ અને યુક્રેનના કલા ઇતિહાસકારો દ્વારા કરવામાં આવ્યો છે લોક સંસ્કૃતિ, "સ્પાઈડર" કહેવાય છે. તે એક પ્રકારનો શિલ્પ પ્રોટોટાઇપ છે આધુનિક શૈલી"મોબાઇલ" (ભાગો અંદર છે સતત ચળવળએકબીજાને સંબંધિત). "સ્પાઈડર" ઘણીવાર સ્ટ્રોથી બનેલું હોય છે, તેમાં સમાન આકારના નાના, મધ્યમ, મોટા તત્વો, એકબીજાથી સસ્પેન્ડ કરવામાં આવે છે જેથી દરેક નાનો ભાગ મોટા ભાગને અને સમગ્ર રચનાને બરાબર પુનરાવર્તિત કરે. આ ડિઝાઇન ઘરના મુખ્ય ખૂણામાં લટકાવવામાં આવી હતી, જાણે કોઈના ઘરને આખી દુનિયાના તત્વ તરીકે દર્શાવતું હોય.

ખંડિતતાનો સિદ્ધાંત આજે દરેક જગ્યાએ કાર્ય કરે છે, જેમાં ફિલસૂફીનો સમાવેશ થાય છે, જે કહે છે કે દરેક જીવન દરમિયાન, અને કોઈપણ અને સમગ્ર જીવન ફ્રેક્ચરલ છે, ત્યારે "દ્વિભાજન બિંદુઓ" થાય છે, જ્યારે વધુ ઉચ્ચ સ્તરોવિકાસ થઈ શકે છે અલગ અલગ રીતેઅને તે ક્ષણ જ્યારે વ્યક્તિ "પસંદગી પહેલાં પોતાને શોધે છે" તે તેના જીવનના ફ્રેક્ચર્સમાં વાસ્તવિક "બફર્કેશન પોઇન્ટ" છે.

ડિટરમિનિસ્ટિક કેઓસનો સિદ્ધાંત કહે છે કે દરેક ફ્રેકટલનો વિકાસ અનંત નથી. વૈજ્ઞાનિકો માને છે કે ચોક્કસ ક્ષણે એક મર્યાદા આવે છે જેની બહાર પુનરાવૃત્તિની વૃદ્ધિ અટકી જાય છે અને ખંડિત "સંકુચિત" થવાનું શરૂ કરે છે, ધીમે ધીમે તેના મૂળ એકમ માપ સુધી પહોંચે છે, અને પછી પ્રક્રિયા ફરીથી વર્તુળમાં જાય છે - શ્વાસ અને શ્વાસ બહાર કાઢવાની જેમ, પ્રકૃતિમાં સવાર અને રાત્રિ, શિયાળા અને ઉનાળાના ફેરફારો.

NNN ના સંપાદકો આકસ્મિક રીતે ખૂબ જ સામે આવ્યા રસપ્રદ સામગ્રી, વપરાશકર્તા xtsarx ના બ્લોગમાં પ્રસ્તુત, સિદ્ધાંતના ઘટકોને સમર્પિત ખંડિતઅને તેણી વ્યવહારુ એપ્લિકેશન. જેમ જાણીતું છે, ફ્રેકટલ્સનો સિદ્ધાંત દૂર ચાલે છે છેલ્લી ભૂમિકાનેનોસિસ્ટમ્સના ભૌતિકશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્રમાં. સુલભ ભાષામાં પ્રસ્તુત આ સારી સામગ્રીમાં યોગદાન આપ્યું છે વિશાળ શ્રેણીવાચકો અને વિપુલ પ્રમાણમાં ગ્રાફિક અને તે પણ વિડિઓ સામગ્રી દ્વારા સમર્થિત, અમે તેને તમારા ધ્યાન પર રજૂ કરીએ છીએ. અમે આશા રાખીએ છીએ કે NNN વાચકોને આ સામગ્રી રસપ્રદ લાગશે.

કુદરત એટલી રહસ્યમય છે કે તમે જેટલો વધુ તેનો અભ્યાસ કરશો, તેટલા વધુ પ્રશ્નો ઉદભવશે... નાઇટ લાઈટનિંગ - ડાળીઓના સ્રાવના વાદળી "જેટ", બારી પરના હિમાચ્છાદિત પેટર્ન, સ્નોવફ્લેક્સ, પર્વતો, વાદળો, ઝાડની છાલ - આ બધું સામાન્ય કરતાં વધી જાય છે. યુક્લિડિયન ભૂમિતિ. અમે સીધી રેખાઓ, વર્તુળો અને ત્રિકોણ સાથે ખડક અથવા ટાપુની સીમાઓનું વર્ણન કરી શકતા નથી. અને અહીં તેઓ અમારી મદદ માટે આવે છે ખંડિત. આ પરિચિત અજાણ્યાઓ શું છે?

"માઈક્રોસ્કોપ હેઠળ, તેણે ચાંચડ પર તે શોધ્યું
ચાંચડ જે જીવને કરડે છે;
તે ચાંચડ પર એક નાનું ચાંચડ છે,
દાંત ગુસ્સાથી ચાંચડને વીંધે છે
નાનું ચાંચડ, અને તેથી અનંત." D. સ્વિફ્ટ.

થોડો ઇતિહાસ

પ્રથમ વિચારો ખંડિત ભૂમિતિ 19મી સદીમાં ઉદ્ભવ્યો. કેન્ટરે, એક સરળ પુનરાવર્તિત (પુનરાવર્તિત) પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરીને, રેખાને બિનજોડાણવાળા બિંદુઓના સંગ્રહમાં ફેરવી (કહેવાતા કેન્ટર ડસ્ટ). તે એક લાઇન લેશે અને મધ્ય ત્રીજાને દૂર કરશે અને પછી બાકીના વિભાગો સાથે તે જ પુનરાવર્તન કરશે.

ચોખા. 1. પીઆનો વળાંક 1.2–5 પુનરાવર્તનો.

પીઆનો દોર્યો ખાસ પ્રકારરેખાઓ પીઆનોએ નીચે મુજબ કર્યું:: પ્રથમ પગલામાં, તેણે એક સીધી રેખા લીધી અને તેને મૂળ રેખાની લંબાઈ કરતા 3 ગણા ટૂંકા 9 વિભાગો સાથે બદલી. પછી તેણે પરિણામી લાઇનના દરેક સેગમેન્ટ સાથે તે જ કર્યું. અને તેથી જાહેરાત અનંત પર. તેની વિશિષ્ટતા એ છે કે તે સમગ્ર પ્લેનને ભરી દે છે. તે સાબિત થયું છે કે પ્લેન પરના દરેક બિંદુ માટે કોઈ એક બિંદુ શોધી શકે છે રેખા સાથે જોડાયેલાપીઆનો. પીઆનોનો વળાંક અને કેન્ટરની ધૂળ સામાન્ય ભૌમિતિક વસ્તુઓથી આગળ વધી ગઈ હતી. તેમની પાસે સ્પષ્ટ પરિમાણ નહોતું. કેન્ટરની ધૂળ એક-પરિમાણીય સીધી રેખાના આધારે બાંધવામાં આવી હોય તેવું લાગતું હતું, પરંતુ તેમાં બિંદુઓ (પરિમાણ 0)નો સમાવેશ થતો હતો. અને પીઆનો વળાંક એક-પરિમાણીય રેખાના આધારે બનાવવામાં આવ્યો હતો, અને પરિણામ એક પ્લેન હતું. વિજ્ઞાનના અન્ય ઘણા ક્ષેત્રોમાં, સમસ્યાઓ દેખાઈ જેના ઉકેલથી ઉપર વર્ણવેલ (બ્રાઉનિયન મોશન, સ્ટોકના ભાવ) જેવા જ વિચિત્ર પરિણામો આવ્યા. આપણામાંના દરેક આ પ્રક્રિયા કરી શકે છે ...

ફ્રેકટલ્સનો પિતા

20મી સદી સુધી, આવા પરનો ડેટા વિચિત્ર વસ્તુઓ, તેમને વ્યવસ્થિત કરવાના કોઈપણ પ્રયાસ વિના. હું તેમને પર લઈ ગયો ત્યાં સુધી તે હતું બેનોઈટ મેન્ડેલબ્રોટ – આધુનિક ખંડિત ભૂમિતિ અને ફ્રેકટલ શબ્દના પિતા.

ચોખા. 2. બેનોઈટ મેન્ડેલબ્રોટ.

IBM માં ગાણિતિક વિશ્લેષક તરીકે કામ કરતી વખતે, તેમણે અવાજનો અભ્યાસ કર્યો ઇલેક્ટ્રોનિક સર્કિટ, જે આંકડાઓનો ઉપયોગ કરીને વર્ણવી શકાયું નથી. ધીરે ધીરે તથ્યોની તુલના કરતા, તે ગણિતમાં નવી દિશાની શોધમાં આવ્યો - ખંડિત ભૂમિતિ.

1975 માં બી. મેન્ડેલબ્રોટ દ્વારા "ફ્રેક્ટલ" શબ્દ રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો. મેન્ડેલબ્રોટના જણાવ્યા મુજબ, ખંડિત(લેટિનમાંથી "ફ્રેકટસ" - અપૂર્ણાંક, તૂટેલા, તૂટેલા) કહેવામાં આવે છે સમગ્ર સમાન ભાગો સમાવતું માળખું. સ્વ-સમાનતાની મિલકત શાસ્ત્રીય ભૂમિતિના પદાર્થોથી ફ્રેકટલ્સને તીવ્રપણે અલગ પાડે છે. મુદત સ્વ-સમાનતાઅર્થ ઑબ્જેક્ટના સૌથી નાના ભીંગડા અને મેક્રોસ્કેલ બંને પર, દંડ, પુનરાવર્તિત રચનાની હાજરી.

ચોખા. 3. "ફ્રેકટલ" ખ્યાલની વ્યાખ્યા તરફ.

સ્વ-સમાનતાના ઉદાહરણો છે: કોચ, લેવી, મિન્કોવસ્કી વણાંકો, સિઅરપિન્સકી ત્રિકોણ, મેન્જર સ્પોન્જ, પાયથાગોરિયન વૃક્ષ, વગેરે.

સાથે ગાણિતિક બિંદુદ્રષ્ટિ, ખંડિત- આ, સૌ પ્રથમ, અપૂર્ણાંક (મધ્યવર્તી, "પૂર્ણાંક નહીં") પરિમાણ સાથે સેટ કરો. જ્યારે સરળ યુક્લિડિયન રેખા બરાબર એક-પરિમાણીય જગ્યાને ભરે છે, ત્યારે ખંડિત વળાંક એક-પરિમાણીય અવકાશની સીમાઓથી આગળ વિસ્તરે છે, જે સીમાઓની બહાર દ્વિ-પરિમાણીય અવકાશમાં પ્રવેશ કરે છે આમ, કોચ વળાંકનું ખંડિત પરિમાણ 1 અને 2 ની વચ્ચે હશે આનો અર્થ એ છે કે ખંડિત પદાર્થ માટે, તેની લંબાઈને ચોક્કસ રીતે માપવી અશક્ય છે! આ ભૌમિતિક ફ્રેકટલ્સમાંથી, પ્રથમ ખૂબ જ રસપ્રદ અને ખૂબ પ્રખ્યાત છે - કોચનો સ્નોવફ્લેક.

ચોખા. 4. "ફ્રેકટલ" ખ્યાલની વ્યાખ્યા તરફ.

તે આધાર પર બાંધવામાં આવે છે સમભુજ ત્રિકોણ . જેમાંથી દરેક લાઇનને 4 લીટીઓ દ્વારા બદલવામાં આવે છે, દરેક મૂળ લંબાઈના 1/3. આમ, દરેક પુનરાવર્તન સાથે, વળાંકની લંબાઈ ત્રીજા ભાગથી વધે છે. અને જો આપણે કરીએ અનંત સંખ્યાપુનરાવૃત્તિઓ - આપણને ફ્રેકટલ મળે છે - અનંત લંબાઈનો કોચ સ્નોવફ્લેક. તે તારણ આપે છે કે આપણું અનંત વળાંક આવરી લે છે મર્યાદિત વિસ્તાર. યુક્લિડિયન ભૂમિતિમાંથી પદ્ધતિઓ અને આકૃતિઓનો ઉપયોગ કરીને તે જ કરવાનો પ્રયાસ કરો.
કોચ સ્નોવફ્લેકનું પરિમાણ(જ્યારે સ્નોવફ્લેક 3 ગણો વધે છે, ત્યારે તેની લંબાઈ 4 ગણી વધે છે) D=log(4)/log(3)=1.2619.

ફ્રેક્ટલ વિશે જ

ફ્રેક્ટલ્સ વિજ્ઞાન અને ટેક્નોલોજીમાં વધુને વધુ એપ્લિકેશન શોધી રહ્યા છે. આનું મુખ્ય કારણ એ છે કે તેઓ વાસ્તવિક દુનિયાનું વર્ણન પરંપરાગત ભૌતિકશાસ્ત્ર અથવા ગણિત કરતાં પણ વધુ સારી રીતે કરે છે. તમે અવિરતપણે પ્રકૃતિમાં ખંડિત પદાર્થોના ઉદાહરણો આપી શકો છો - આ વાદળો, અને બરફના ટુકડા, અને પર્વતો, અને વીજળીના ચમકારા અને અંતે, ફૂલકોબી છે. ફ્રેક્ટલ જેવું કુદરતી પદાર્થ- આ એક શાશ્વત સતત ચળવળ, નવી રચના અને વિકાસ છે.

ચોખા. 5. અર્થશાસ્ત્રમાં ખંડિત.

ઉપરાંત, ફ્રેક્ટલ્સ વિકેન્દ્રિતમાં એપ્લિકેશન શોધે છે કમ્પ્યુટર નેટવર્ક્સ અને "ફ્રેકટલ એન્ટેના" . કહેવાતા "બ્રાઉનિયન ફ્રેકટલ્સ" વિવિધ સ્ટોકેસ્ટિક (બિન-નિર્ધારિત) "રેન્ડમ" પ્રક્રિયાઓના મોડેલિંગ માટે ખૂબ જ રસપ્રદ અને આશાસ્પદ છે. નેનોટેકનોલોજીના કિસ્સામાં, ફ્રેકટલ્સ પણ ભૂમિકા ભજવે છે મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા , કારણ કે તેમના અધિક્રમિક સ્વ-સંસ્થાને કારણે ઘણા નેનોસિસ્ટમમાં બિન-પૂર્ણાંક પરિમાણ હોય છે, એટલે કે, તેઓ તેમની ભૌમિતિક, ભૌતિક-રાસાયણિક અથવા કાર્યાત્મક પ્રકૃતિમાં ખંડિત છે. ઉદાહરણ તરીકે, એક તેજસ્વી ઉદાહરણરાસાયણિક ખંડિત પ્રણાલીઓ અણુઓ "ડેન્ડ્રીમર" છે . વધુમાં, ખંડિતતાનો સિદ્ધાંત (સ્વ-સમાન, સ્કેલિંગ માળખું) એ સિસ્ટમની વંશવેલો રચનાનું પ્રતિબિંબ છે અને તેથી નેનોસિસ્ટમ્સની રચના અને ગુણધર્મોનું વર્ણન કરવા માટે પ્રમાણભૂત અભિગમો કરતાં વધુ સામાન્ય અને સાર્વત્રિક છે.

ચોખા. 6. "ડેન્ડ્રીમર" અણુઓ.

ચોખા. 7. આર્કિટેક્ચરલ અને બાંધકામ પ્રક્રિયામાં સંચારનું ગ્રાફિક મોડેલ. માઇક્રોપ્રોસેસીસના દ્રષ્ટિકોણથી ક્રિયાપ્રતિક્રિયાનું પ્રથમ સ્તર.

ચોખા. 8. આર્કિટેક્ચરલ અને બાંધકામ પ્રક્રિયામાં સંચારનું ગ્રાફિક મોડેલ. મેક્રો પ્રક્રિયાઓના પરિપ્રેક્ષ્યમાંથી ક્રિયાપ્રતિક્રિયાનું બીજું સ્તર (મોડલનો ટુકડો).

ચોખા. 9. આર્કિટેક્ચરલ અને બાંધકામ પ્રક્રિયામાં સંચારનું ગ્રાફિક મોડેલ. મેક્રો પ્રક્રિયાઓના પરિપ્રેક્ષ્યમાંથી ક્રિયાપ્રતિક્રિયાનું બીજું સ્તર (સંપૂર્ણ મોડેલ)