Medžiaga iš Uncyclopedia

Integralinis skaičiavimas yra atkarpa matematinė analizė, kuriame tiriami integralai, jų savybės, skaičiavimo metodai ir taikymai. Kartu su diferencialinis skaičiavimas ji sudaro matematinės analizės aparato pagrindą.

Integralinis skaičiavimas atsirado iš svarstymo didelis skaičius gamtos mokslų ir matematikos problemas. Svarbiausias iš jų yra fizinė užduotis nustatyti, kas buvo aprėpta duoto laiko takai žinomu, bet galbūt kintamu judėjimo greičiu ir daug senesnė plotų ir tūrių skaičiavimo problema geometrines figūras(cm. Geometrinės problemos iki kraštutinumo).

Integralo skaičiavime svarbiausia yra integralo sąvoka, kuri vis dėlto turi dvi skirtingas interpretacijas, atitinkamai vedančias į neapibrėžtųjų ir apibrėžtųjų integralų sąvokas.

Diferencialiniame skaičiavime buvo pristatyta funkcijų diferencijavimo operacija. Integraliniame skaičiavime laikoma atvirkštinė diferenciacijos dalis matematinis veiksmas vadinama integracija arba, tiksliau, neterminuota integracija.

Kas tai yra atvirkštinis veikimas o koks jo netikrumas?

Atskyrimo operacija lygina suteikta funkcija F(x) jo išvestinė F"(x)=f(x). Tarkime, kad remiantis duota funkcija f(x), norime rasti funkciją F(x), kurios išvestinė yra funkcija f(x), t f(x) = F"(x). Ši funkcija vadinama antiderivatinė funkcija f(x).

Tai reiškia, kad atvirkštinė diferenciacijos operacija yra neterminuota integracija- susideda iš tam tikros funkcijos antidarinio suradimo.

Atkreipkite dėmesį, kad kartu su funkcija F(x), funkcijos f(x) antidariniu, akivaizdu, kad taip pat bus bet kokia funkcija ℱ(x) = F(x) + C, kuri skiriasi nuo F(x) pastovus terminas C; nes ℱ"(x) = F(x) = f(x).

Taigi, priešingai nei diferenciacija, kuri lygino funkciją su viena kita funkcija – pirmosios išvestinė, neapibrėžta integracija veda ne į vieną konkrečią funkciją, o į visą funkcijų rinkinį, ir tai yra jos neapibrėžtumas.

Tačiau šio neapibrėžtumo laipsnis nėra toks didelis. Prisiminkite, kad jei tam tikros funkcijos išvestinė yra lygi nuliui visuose tam tikro intervalo taškuose, tai yra funkcija, kuri yra pastovi nagrinėjamame intervale (intervaluose, kur kintamojo kitimo greitis visur lygus nuliui, tai nesikeičia). Tai reiškia, kad jei ℱ"(x) = F(x) tam tikrame intervale a<х

Taigi du tos pačios funkcijos antidariniai intervale gali skirtis tik pastoviu nariu.

Antidarinės funkcijos f(x) žymimos simboliu

kur ženklas ∫ rašomas: integralas. Tai vadinamasis neapibrėžtas integralas. Remiantis tuo, kas buvo įrodyta, neapibrėžtasis integralas nagrinėjamame intervale reiškia ne vieną konkrečią funkciją, o bet kurią formos funkciją

∫ f(x) dx = F(x) + C, (1)

kur F(x) yra tam tikra funkcijos f(x) antidarinė tam tikrame intervale, o C yra savavališka konstanta.

Pavyzdžiui, visoje skaičių eilutėje

∫ 2x dx = x 2 + C; ∫ cos dy = sin y + C; ∫ sin z dz = -cos z + C.

Čia mes specialiai pažymėjome integrandų argumentus su skirtingais simboliais: x, y, z, kad atkreiptume dėmesį į antidarinio, kaip funkcijos, nepriklausomumą nuo jo argumentui žymėti naudojamos raidės pasirinkimo.

Rašytųjų lygybių tikrinimas atliekamas paprastu jų dešiniųjų pusių diferencijavimu, dėl ko funkcijos 2x, cos y, sin z atsiranda atitinkamai kairiosiose pusėse po integraliu ženklu.

Taip pat naudinga turėti omenyje šiuos akivaizdžius ryšius, kurie tiesiogiai išplaukia iš antidarinės, išvestinės, diferencialo apibrėžimų ir iš santykio (1) neapibrėžtam integralui:

(∫f(x)dx)" = f(x),

d(∫f(x)dx) = f(x)dx,

∫F"(x)dx = F(x) + C,

∫dF(x) = F(x) + C.

Antidarinį rasti dažnai palengvina kai kurios bendrosios neapibrėžtosios integralo savybės:

∫сf(х)dx = с∫f(х)dx (pakeičiant pastovų koeficientą);

∫(f(x) + g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx (sumos integravimas);

∫f(x)dx = F (x) + C, tada

∫f(φ(t))φ"(t)dt = F(φ(t)) + C (kintamojo pokytis).

Šie ryšiai taip pat tikrinami tiesiogiai naudojant atitinkamas diferenciacijos taisykles.

Raskime laisvai krintančio tuštumoje kūno judėjimo dėsnį, pagrįstą vieninteliu faktu, kad nesant oro, laisvojo kritimo pagreitis g šalia Žemės paviršiaus yra pastovus ir nepriklauso nuo krintančio kūno savybių. . Fiksuokite vertikalią koordinačių ašį; Mes pasirenkame kryptį ašyje link Žemės. Tegu s(t)~ yra mūsų kūno koordinatė momentu t. Todėl žinome, kad s"(t)=g ir g yra konstanta. Reikia rasti funkciją s(t) – judėjimo dėsnį.

Kadangi g = v"(t), kur v(t) = s"(t), tada nuosekliai integruodami rasime

v(t) = ∫gdt = ∫1 dt = g t + C 1 (2)

s(t) = ∫v(t)dt = ∫(g t + C 1) dt = ∫g tdt + ∫C 1 dt = g∫tdt + C 1 ∫1 dt = gt 2 /2 + C 1 t + C 2.

Taigi mes tai radome

s(t) = gt 2 /2 + C 1 t + C 2, (3)

kur C 1 ir C 2 yra tam tikros konstantos. Tačiau krintantis kūnas vis tiek paklūsta vienam konkrečiam judėjimo dėsniui, kuriame nebėra jokios savivalės. Tai reiškia, kad yra keletas kitų sąlygų, kurių dar nenaudojome; jie leidžia tarp visų „konkuruojančių“ dėsnių (3) pasirinkti tą, kuris atitinka tam tikrą judėjimą. Šias sąlygas lengva nurodyti, jei suprantate fizinę konstantų C 1 ir C 2 reikšmę. Jei palyginsime kraštutinius santykio (2) narius, kai t = 0, paaiškėja, kad C 1 = v(0), o iš (3), kai t = 0, paaiškėja, kad C 2 = s(0). Taigi pati matematika mums priminė, kad norimas judėjimo dėsnis

s(t) = gt 2 /2 + v 0 t + s 0

bus visiškai nustatytas, jei nurodysime pradinę kūno padėtį s 0 = s(0) ir pradinį greitį v 0 = v(0). Visų pirma, jei d 0 = 0 ir s 0 = 0, gauname s(t) = gt 2 /2.

Dabar atkreipkime dėmesį, kad tarp išvestinės radimo operacijos (diferencijavimo) ir antidarinės suradimo operacijos (neapibrėžta integracija), be to, kas išdėstyta aukščiau, yra keletas esminių skirtumų. Visų pirma reikia turėti omenyje, kad jei bet kurio elementariųjų funkcijų derinio išvestinė pati yra išreiškiama elementariomis funkcijomis, t.y., yra elementarioji funkcija, tai elementariosios funkcijos antidarinys jau ne visada yra elementarioji funkcija. Pavyzdžiui, antiderivatinis

∫((sin x)/x)dx

elementari funkcija (sin x)/x (vadinama integraliu sinusu ir žymima specialiu simboliu si(x)), kaip galima įrodyti, nėra išreikšta elementarios funkcijos. Taigi esminis matematinis klausimas apie tam tikros funkcijos antidarinės egzistavimą neturėtų būti painiojamas su ne visada išsprendžiama problema rasti šią antidarinę tarp elementariųjų funkcijų. Integracija dažnai yra šaltinis, į kurį įvedamos svarbios ir plačiai naudojamos specialiosios funkcijos, kurios tiriamos ne prasčiau nei tokios „mokyklinės“ funkcijos kaip x 2 ar sin x, nors ir nėra įtrauktos į elementariųjų funkcijų sąrašą.

Galiausiai pažymime, kad antidarinės radimas, net ir išreikštas elementariomis funkcijomis, yra labiau panašus į meną, o ne į kanoninį skaičiavimo algoritmą, pavyzdžiui, diferenciacijos algoritmą. Dėl šios priežasties rasti dažniausiai pasitaikančių funkcijų antidariniai surenkami į neapibrėžtų integralų paieškos lenteles. Ši tokio tipo mikrolentelė akivaizdžiai atitinka atitinkamų pagrindinių elementariųjų funkcijų darinių mikrolentelę:

∫x n dx = 1/(n+1) x n+1 + C, kai n ≠ -1;

∫cos x dx = -sin x + C;

∫sin x dx = -cos x + C;

∫ dx/cos 2 x = tan x + C;

∫dx/sin 2 x = -ctg x + C.

Kol kalbėjome apie diferenciacijos operacijos apvertimą, šiuo atžvilgiu priėjome prie antiderivatinio ir neapibrėžto integralo sąvokų ir pateikėme pirminį šių sąvokų apibrėžimą.

Dabar nurodysime kitokį, daug senesnį požiūrį į integralą, kuris buvo pagrindinis pradinis integralo skaičiavimo šaltinis ir atvedė prie apibrėžto integralo arba integralo tikrąja to žodžio prasme. Toks požiūris aiškiai matomas jau senovės graikų matematiko ir astronomo Eudoksas iš Knido (maždaug 408-355 m. pr. Kr.) ir Archimedas, t.y. ji atsirado dar gerokai prieš diferencialinio skaičiavimo atsiradimą ir diferenciacijos operaciją.

Klausimas, kurį svarstė Eudoksas ir Archimedas, kurdami jį spręsdami „išsekimo metodą“, kuris numatė integralo sąvoką, yra kreivinės figūros ploto apskaičiavimo klausimas. Žemiau nagrinėsime šį klausimą, bet kol kas, vadovaudamiesi I. Niutono, iškelsime tokią problemą: naudojant kūno greitį v(t), žinomą bet kuriuo momentu t iš laiko intervalo a≤t≤b, raskite kūno judėjimo kiekis per šį laikotarpį.

Jeigu būtų žinomas judėjimo dėsnis, t.y. kūno koordinačių priklausomybė nuo laiko, tada atsakymas akivaizdžiai būtų išreikštas skirtumu s(b) - s(a). Be to, jei intervale [a;b] žinotume bet kokią funkcijos v(t) antidarinę s̃(0), tai, kadangi s̃(t) = s(t) + C, kur C yra konstanta, galėtume raskite reikiamą poslinkio reikšmę skirtumo s̃(b) - s(a) pavidalu, kuris sutampa su skirtumu s(b) - s(i). Tai labai naudingas pastebėjimas, tačiau jei tam tikros funkcijos antidarinės v(t) nustatyti nepavyksta, turime elgtis visiškai kitaip.

Mes motyvuosime taip.

Jei intervalas [a;b] yra atskiri momentai t 0, t 1, ..., t n, kad a = t 0< t 1 < ... < t n = b, разбить на очень мелкие временные промежутки , i = 1, 2, ..., n, то на каждом из этих коротких промежутков скорость v(t) тела не успевает заметно измениться. Фиксировав произвольно момент τ i ∈ , можно таким образом приближенно считать, что на промежутке времени движение происходит с постоянной скоростью v(τ i). В таком случае для величины пути, пройденного за промежуток времени получаем приближенное значение v(τ i) ∆t i , где ∆t i = t i - t i-1 . Складывая эти величины, получаем приближенное значение

v(τ 1) ∆t 1 + v(τ 2) ∆t 2 + ... + v(τ n) ∆t n (4)

visiems judesiams intervale .

Rasta apytikslė reikšmė yra kuo tikslesnė, tuo smulkesnę intervalo dalijimą darome, t.y. tuo mažesnė didžiausio intervalo, į kurį intervalas padalintas, reikšmė ∆.

Tai reiškia, kad mūsų ieškomo poslinkio dydis yra riba

lim ∆→0 ∑ n i=1 v(τ i) ∆t i (5)

formos (4) sumos, kai reikšmė ∆ linkusi į nulį.

Specialios formos (4) sumos vadinamos funkcijos v(t) integralinėmis sumomis intervale , o jų riba (5), gauta neribotai tiksliai derinant skaidinius, vadinama integralu (arba apibrėžtuoju integralu). funkcija v(t) intervale . Integralas žymimas simboliu

kurioje skaičiai a, b vadinami integravimo ribomis, kai a yra apatinė riba, o b yra viršutinė riba integracija; funkcija v(t) po integralo ženklu ∫ vadinama integrandu; v(t)dt – integrandas; t- integracijos kintamasis.

Taigi pagal apibrėžimą

∫ a b v(t)dt = lim ∆→0 ∑ n i=1 v(τ i) ∆t i . (6)

Tai reiškia, kad norimas kūno judėjimo dydis per laiko intervalą žinomu judėjimo greičiu v(t) išreiškiamas funkcijos v(t) integralu (6) per intervalą.

Palyginę šį rezultatą su tuo, kuris buvo nurodytas antiderivatine kalba šio pavyzdžio svarstymo pradžioje, gauname garsųjį ryšį:

∫ a b v(t)dt = s(b)-s(a), (7)

jei v(t) = s"(t). Lygybė (7) vadinama Niutono-Leibnizo formule. Kairėje pusėje yra integralas, suprantamas kaip riba (6), o dešinėje - skirtumas reikšmės (integravimo intervalo galuose b ir a) funkcijos s(t), integrando funkcijos v(t) antidarinį Taigi Niutono-Leibnizo formulė sujungia integralą (6) ir antidarinį Todėl formulė gali būti naudojama dviem priešingomis kryptimis: norint apskaičiuoti integralą, surandant antidarinį, arba gauti integralą iš santykio (6). Niutono-Leibnizo formulė yra labai svarbi.

Integralas (6) ir formulė (7) iš esmės išsprendžia mūsų pavyzdyje iškeltą problemą. Taigi, jei v(t) = gt (kaip yra laisvojo kritimo atveju, pradedant iš ramybės būsenos, t. y. kai v(0) = 0), tada, radus antidarinį s(t) = gt 2 /2 + Iš funkcijos v(t) = g t pagal formulę (7) gauname reikšmę

∫ a b gt dt = gb 2 /2 - ga 2 /2

judėjimas per laiką, praėjusį nuo momento a iki momento b.

Remiantis ką tik analizuota fizine problema, kuri atvedė mus prie integralo ir Niutono-Leibnizo formulės, apibendrindami atliktus stebėjimus, dabar galime pasakyti, kad jei tam tikrame intervale a ≤ x ≤ b duota funkcija f(x), tada dalijant intervalą [a; b] taškai a = x 0< x 1 < ... < х n = b, составляя интегральные суммы

f(ξ 1) ∆x 1 + f(ξ 2) ∆x 2 + ... + f(ξ n) ∆x n , (4")

kur ξ i ∈, ∆x i = x i - x i-1, ir pereidami prie ribos ties ∆→0, kur ∆ = max (∆x 1, ∆x 2, ..., ∆x n), gauname pagal apibrėžimą integralas

∫ a b f(x) dx = lim ∆→0 ∑ n i=1 f(ξ i) ∆x i (6")

iš funkcijos f(x) per intervalą. Jei šiuo atveju F"(x)=f(x) on , t. y. F(x) yra funkcijos f(x) antiišvestinė intervale , tada Niutono-Leibnizo formulė galioja:

∫ a b F(x) dx = F(b) - F(a). (7")

Taigi, apibrėžtos svarbiausios integralinio skaičiavimo sąvokos ir gauta Niutono-Leibnizo formulė, jungianti integraciją ir diferenciaciją.

Kaip diferencialiniame skaičiavime išvestinės sampratą atvedė ne tik momentinio judėjimo greičio nustatymo, bet ir liestinės nubrėžimo problema, taip integraliniame skaičiavime integralo sąvoką veda ne tik fizinė problema, kaip nustatyti atstumą, nuvažiuotą tam tikru judėjimo greičiu, bet ir daugelis kitų problemų, tarp kurių yra senovės geometrinės problemos, susijusios su plotų ir tūrių skaičiavimu.

Tegul reikia rasti plotą S, parodytą Fig. 1 paveikslo aABb (vadinamo kreivine trapecija), kurios viršutinė „kraštinė“ AB yra atkarpoje nurodytos funkcijos y = f (x) grafikas. Taškai a = x 0< х 1 < ... < х n = b разобьем отрезок на мелкие отрезки , в каждом из которых фиксируем некоторую точку ξ i ∈ . Площадь узкой lenkta trapecija, esantis virš atkarpos, atitinkamo stačiakampio plotą f(ξ i)(x i-1 - x i) = f(ξ i)∆x i apytiksliai pakeičiame su pagrindu ir aukščiu f(ξ i). Tokiu atveju apytikslė visos figūros aABb ploto S reikšmė bus pateikta pagal pažįstamą integralų sumą ∑ n i=1 f(ξ i) ∆x i , o tiksli norimo ploto S reikšmė bus gauta kaip tokių sumų riba, kai didžiausio skaidinio segmento ilgis ∆ linkęs į nulį. Taip gauname:

∫ a b f(x) dx. (8)

Dabar pabandykime, vadovaudamiesi Archimedu, išsiaiškinti, kokiu santykiu parabolė y = x 2 padalija plotą, parodytą Fig. 2 vienetiniai kvadratai. Norėdami tai padaryti, pagal (8) formulę tiesiog apskaičiuojame apatinio parabolinio trikampio plotą S. Mūsų atveju = ir f(x) = x 2. Žinome funkcijos f(x) = x 2 antidarinį F(x) = x 3 /3, o tai reiškia, kad galime naudoti Niutono-Leibnizo formulę (7") ir lengvai gauti

S = ∫ 0 1 x 2 dx = 1/3 1 3 - 1/3 0 3 = 1/3.

Todėl parabolė kvadrato plotą padalija santykiu 2:1.

Kalbant apie integralus, ypač naudojant Niutono-Leibnizo formulę, galima naudoti bendrąsias neapibrėžtinio integralo savybes, kurios įvardintos straipsnio pradžioje. Visų pirma, kintamojo keitimo neapibrėžtajame integrale taisyklė, su sąlyga, kad a = φ(α), b = φ(β), atsižvelgiant į Niutono-Leibnizo formulę, leidžia daryti išvadą, kad

∫ a b f(x) dx = F(b) – F(a) = F(φ(β)) – F(φ(α)) = ∫ α β f(φ(t))φ"(t) dt,

ir taip gaunama labai naudinga formulė kintamajam pakeisti apibrėžtajame integrale:

∫ a b f(x) dx = ∫ α β f(φ(t))φ"(t) dt (9)

Kūnų tūriai taip pat apskaičiuojami naudojant integralus. Jei parodyta pav. 1 pasukite kreivinę trapeciją aABb aplink Ox ašį, gausite sukimosi kūną, kurį apytiksliai galima laikyti sudarytu iš siaurų cilindrų (3 pav.), gautą sukant atitinkamus stačiakampius. Laikydami tą patį žymėjimą, kiekvieno iš šių cilindrų tūrį rašome forma πf 2 ξ i ∆x i, (pagrindo ploto πf 2 ξ i ir aukščio ∆x i sandauga). Suma πf 2 ξ 1 ∆x 1 + πf 2 ξ 2 ∆x 2 + ... + πf 2 ξ n ∆x n duoda apytikslę nagrinėjamo apsisukimų kūno tūrio V reikšmę. Tiksli V reikšmė bus gauta kaip tokių sumų riba esant ∆→0. Reiškia,

V = π∫ a b f 2 (x) dx. (10)

Visų pirma, norint apskaičiuoti tūrį, parodytą Fig. 4 kūgius, pakanka į (10) formulę įdėti a = 0, b = h ir f(x) = kx, kur k – pasuktos tiesės kampinis koeficientas. Radę funkcijos f 2 (x) = k 2 x 2 antidarinį k 2 x 3 /3 ir panaudoję Niutono-Leibnizo formulę, gauname

V = π∫ 0 h k 2 x 2 dx = π (k 2 h 3 /3 - k 2 0 3 / 3)

= π(kh) 2 h/3 = Sh/3,

čia S = π(kh) 2 yra apskritimo, esančio kūgio apačioje, plotas.

Išanalizuotuose pavyzdžiuose išnaudojome geometrinę figūrą tokiomis figūromis, kurių plotus ar tūrius buvo galima apskaičiuoti, ir tada perėjome iki ribos. Ši technika, kilusi iš Eudoxus ir sukurta Archimedo, vadinama išsekimo metodu. Tai yra labiausiai paplitęs samprotavimo metodas daugelyje integralo programų.

Kaip kitą pavyzdį apsvarstykite labai specifinę „kosmoso“ problemą.

Norime apskaičiuoti greitį V, iki kurio reikia pagreitinti kūną (raketą), kad tada, inercija tolstant nuo planetos spinduliu, planetos gravitacija nebegrąžintų atgal. Šis greitis vadinamas antruoju kosminiu greičiu, priešingai nei pirmasis kosminis greitis, kurį turi turėti palydovas, patenkantis į orbitą šalia planetos paviršiaus.

Tegu m yra kūno masė, M – planetos masė. Kinetinės energijos mv 2 /2, kuri turėtų būti aprūpinta kūnu, kad galėtų ištrūkti iš planetos gravitacinio lauko, turėtų pakakti dirbti prieš gravitacijos jėgą. Šios jėgos dydis atstumu r nuo planetos centro pagal Niutono atrastą visuotinės gravitacijos dėsnį yra lygus

kur G yra gravitacinė konstanta. Taigi ši jėga keičiasi ir silpnėja tolstant nuo planetos.

Apskaičiuokime darbą A R R 0, kurį reikia atlikti, kad kūnas, esantis aukštyje R 0 (skaičiuojant nuo planetos centro), būtų pakeltas į aukštį R.

Jei jėga būtų pastovi, tada jos dydį tiesiog padaugintume iš kelio ilgio R - R 0 jos veikimo kryptimi ir rastume tobulą darbą. Tačiau jėga keičiasi, todėl visą intervalą padalinsime taškais R 0 = r 0< 1 < ... < r n = R на маленькие промежутки, в пределах которых изменением силы можно пренебречь; найдем приближенно элементарные работы

G mM/r i 2 (r i - r i-1) = G mM/r i 2 ∆r i

kiekviename intervale; sudėti pagrindinius darbus

G mM/r 1 2 ∆r 1 + G mM/r 2 2 ∆r 2 + ... + G mM/r n 2 ∆r n

gauname apytikslę norimo darbo A R R 0 intervale reikšmę, tiksliau, A R R 0 reikšmė išreiškiama tokiu integralu:

A R R 0 = ∫ R R 0 G mM/r 2 dr

kurioje integracinio kintamojo vaidmenį atlieka r. Dydžiai G, m, M yra pastovūs, o funkcija r -2 turi antidarinį -r -1, kurią žinodami randame naudodami Niutono-Leibnizo formulę

ARR 0 = GmM (1/R 0 - 1/R).

Jei R didinamas neribotai, t. y., kaip sakoma, kūnas pašalinamas iki begalybės, tada, pereidami iki ribos kaip R → ∞, gauname

A ∞ R 0 = GmM/R 0,

kur ∞ yra simbolis „begalybė“. Jei paskutinėje formulėje darome prielaidą, kad R 0 yra planetos spindulys, tai A ∞ R 0 bus darbas, kurį reikia atlikti prieš gravitacijos jėgas, kad kūnas iš planetos paviršiaus eitų į begalybę.

A ∞ R 0 gautą išraišką galima supaprastinti, jei prisiminsime kitą Niutono dėsnį F = ma, kuris susieja jėgą F ir jos sukeltą kūno masės m pagreitį a. Kūnas, laisvai krentantis ant planetos šalia jos paviršiaus, turi pagreitį a = g, kurį sukelia gravitacijos jėga

kur R 0 yra planetos spindulys. Reiškia,

GmM/R 0 2 = mg, o tai reiškia, kad

GmM/R 0 2 = g ir todėl A ∞ R 0 = mGR 0 .

Tai yra formulė, skirta apskaičiuoti darbą, kurio reikia norint pabėgti nuo planetos gravitacinio lauko. Norint „išeiti“ iš planetos pagal inerciją, reikia turėti vertikalųjį greitį v, kuriam esant kūno kinetinė energija mv 2 /2 būtų ne mažesnė arba bent lygi darbui, įveikiamam planetos gravitacijai įveikti.

Taigi antrasis pabėgimo greitis, gautas iš lygybės mv 2 /2 = mgR 0, išreiškiamas kaip

Visų pirma, Žemei g ≈ 10 m/s 2, R 0 ≈ 6 400 000 m, todėl v ≈ 8000 √2 m/s arba v ≈ 11,2 km/s.

Visuose iki šiol išnagrinėtuose pavyzdžiuose naudojome antidarinį, norėdami apskaičiuoti mus dominantį integralą, arba bent jau rasti integralą. Išsiaiškinkime pagrindinį jo egzistavimo klausimą. Šį klausimą jau palietėme skyriuje, skirtame antideriatyvui ir neapibrėžtam integralui.

Tegu atkarpoje duota funkcija f, kurios grafikas pavaizduotas tiese AB pav. 5. Žinome, kad visos kreivinės trapecijos aABb plotas išreiškiamas integralu (8). Pažymėkime ℱ(x) tos jos dalies, esančios virš atkarpos [a;x], plotą.

ℱ(x)=∫ a x f(x)dt. (11)

Čia integravimo kintamąjį pažymėjome t, kad nepainiotume jo su x, kuri mūsų atveju yra viršutinė integracijos riba.

Reikšmė ℱ(x) akivaizdžiai priklauso nuo taško x∈.

Parodykime, kad ℱ(x) yra funkcijos f(x) antidarinė atkarpoje , t.y. ℱ"(x)=f(x) x∈. Iš tikrųjų, kaip matyti iš 5 pav.

ℱ(x+h) – ℱ(x) ≈ f(x)h,

kuri yra lygiavertė apytikslei lygybei

(ℱ(x+h) – ℱ(x))/h ≈ f(x)

Mažėjant h reikšmei, šio ryšio tikslumas tik gerėja

lim h → 0 (ℱ(x+h) – ℱ(x))/h = f(x)

ir todėl

Taigi integralas (11) su kintamąja viršutine riba x suteikia funkcijos f(x) antidarinį. Tarp visų kitų funkcijos f(x) antidarinių segmente ši antidarinė išsiskiria akivaizdžia sąlyga ℱ(a) = 0. Kadangi integralas pagal jo apibrėžimą (6") gali būti apskaičiuotas bet kokiu iš anksto nustatytu tikslumu. , tada antidarinės (11) funkcijų f(x) reikšmę ℱ(x) bet kuriame x∈ taške galima rasti taip tiksliai, kaip norima, net nesidomėjus analitiniu ℱ(x) žymėjimu ar klausimu ar ℱ(x) yra elementari funkcija.

Yra paprasti ir labai efektyvūs skaitmeniniai integravimo metodai – tai vadinamosios kvadratūros formulės. Jie leidžia elektroniniams kompiuteriams gauti tam tikrų integralų reikšmes per sekundės dalį. Dėl šios aplinkybės (11) formulė yra priemonė rasti antidarinį. Pavyzdžiui, šiuolaikiniai povandeniniai laivai kartais būna dideliame gylyje ištisus mėnesius ir nukeliauja didelius atstumus; Neturėdami ryšio su išoriniu pasauliu, jie vis dėlto patenka į tiksliai apibrėžtą aikštę. Navigacinė įranga, leidžianti bet kuriuo metu nustatyti valties koordinates, yra techninis (11) formulės įgyvendinimas ir paremtas šiuo fiziniu principu. Būdami uždaroje judančioje patalpoje (gerai garso nepraleidžiančiame minkštame vežime, lėktuve ir pan.) judesio greičio nejaučiame, tačiau greičio-pagreičio pasikeitimą tikrai jaučiame. Teigiama, kai greitis didėja, kai masė spaudžia į lėktuvo sėdynę, ir neigiama stabdant, kai gali praversti net saugos diržai. Kadangi tarp masės m pagreičio a ir jį sukeliančios jėgos F yra tiesioginis proporcingas ryšys F = ma, įsišaknijimo a reikšmę galima objektyviai išmatuoti, pritvirtinant masę m prie laisvojo spyruoklės galo, esančio išilgai judėjimo kryptimi ir standžiai sujungiant antrąjį jo galą, pavyzdžiui, su judančio kambario galine siena. Jei spyruoklės tempimas ir suspaudimas yra proporcingas ją veikiančiai jėgai, tai pagal masės m nuokrypio nuo pusiausvyros padėties dydį galima nustatyti pagreičio, vykstančio tam tikra kryptimi, dydį a(t). bet kuriuo momentu t.

Jei judėjimas prasidėjo nuliniu pradiniu greičiu, tada, žinodami a(t), pirmiausia galime rasti judėjimo greitį v(t) pagal formulę (11), o žinodami v(t), rasti poslinkį s(t) šia kryptimi šiuo metu ir nuo tada

v(t) = ∫ 0 t a(u) du, a s(t) = ∫ 0 t v(u) du.

Prietaiso rodmenų apdorojimas ir šių integralų skaičiavimas atliekamas elektroniniu kompiuteriu. Jei yra trys pagreičio jutikliai, laikomi (pavyzdžiui, giroskopais) trimis viena kitai statmenomis kryptimis, galite bet kada sužinoti savo judėjimą kiekviena iš šių krypčių ir taip nustatyti visas tris savo koordinates tam tikroje koordinačių sistemoje, kuris yra atspirties taškas – bazė, aerodromas, kosmodromas.

Įvadas

Integralo simbolis buvo įvestas 1675 m., o integralo skaičiavimo klausimai nagrinėjami nuo 1696 m. Nors integralą daugiausia tiria matematikai, fizikai taip pat prisidėjo prie šio mokslo. Beveik nė viena fizikos formulė neapsieina be diferencialinio ir integralinio skaičiavimo. Todėl nusprendžiau patyrinėti integralą ir jo taikymą.

Integralinio skaičiavimo istorija

Integralo sąvokos istorija glaudžiai susijusi su kvadratų paieškos problemomis. Vienų ar kitų plokštumos matematikos figūrų kvadratūros uždaviniai Senovės Graikija o Roma vadino problemas skaičiuojant plotus. Lotyniškas žodis quadratura verčiamas kaip „į kvadratą“. Specialaus termino poreikis paaiškinamas tuo, kad senovėje (ir vėliau, iki XVIII a.) idėjos apie realius skaičius dar nebuvo pakankamai išplėtotos. Matematikai operavo savo geometriniais analogais arba skaliariniais dydžiais, kurių negalima padauginti. Todėl reikėjo suformuluoti plotų paieškos uždavinius, pavyzdžiui, taip: „Sukurkite kvadratą, kurio dydis lygus duotam apskritimui“. (Šios klasikinės „apskritimo kvadrato“ problemos, kaip žinoma, negalima išspręsti naudojant kompasą ir liniuotę.)

Simbolį t įvedė Leibnicas (1675). Šis ženklas yra lotyniškos S raidės (pirmoji žodžio summ raidė a) modifikacija Patį žodį integralas išrado J. Bernoulli (1690). Tikriausiai jis kilęs iš lotynų kalbos integro, kuris verčiamas kaip įvedimas į ankstesnę būseną, atkūrimas. (Iš tiesų, integravimo operacija „atkuria“ funkciją, kurią diferencijuojant buvo gautas integrandas.) Galbūt termino integralas kilmė kitokia: žodis sveikasis skaičius reiškia visumą.

Susirašinėjimo metu I. Bernoulli ir G. Leibnicas sutiko su J. Bernoulli pasiūlymu. Tuo pat metu, 1696 m., atsirado naujos matematikos šakos pavadinimas – integralinis skaičiavimas (calculus integralis), kurį įvedė I. Bernoulli.

Kiti gerai žinomi terminai, susiję su integraliniu skaičiavimu, atsirado daug vėliau. Dabar vartojamas pavadinimas „primityvi funkcija“ pakeitė ankstesnę „primityviąją funkciją“, kurią įvedė Lagranžas (1797). Lotyniškas žodis primitivus verčiamas kaip „pradinis“: F(x) = m f(x)dx – f (x) pradinė (arba originali, arba antidarinė), kuri gaunama iš F(x) diferencijuojant.

Šiuolaikinėje literatūroje visų funkcijos f(x) antidarinių aibė dar vadinama neapibrėžtuoju integralu. Šią sampratą pabrėžė Leibnicas, pastebėjęs, kad visos antidarinės funkcijos skiriasi savavališka konstanta b, vadinama apibrėžtuoju integralu (pavadinimą įvedė C. Fourier (1768-1830), tačiau integracijos ribas nurodė jau Euleris).

Daugelis reikšmingų Senovės Graikijos matematikų pasiekimų sprendžiant plokštumos figūrų kvadratų (t. y. plotų skaičiavimo), taip pat kūnų kubatūrų (tūrio skaičiavimo) problemas yra susiję su Eudokso Knido (c) pasiūlytu išsekimo metodu. 408 – apie 355 m. pr. m. e.). Naudodamas šį metodą Eudoxus įrodė, kad, pavyzdžiui, dviejų apskritimų plotai yra susiję kaip jų skersmens kvadratai, o kūgio tūris yra lygus 1/3 cilindro, turinčio tą patį pagrindą ir aukštį, tūrio.

Eudokso metodą patobulino Archimedas. Pagrindiniai etapai, apibūdinantys Archimedo metodą: 1) įrodyta, kad apskritimo plotas yra mažesnis už bet kurio aplink jį aprašyto taisyklingo daugiakampio plotą, bet didesnis už bet kurio įbrėžto plotą; 2) įrodyta, kad neribotai padvigubėjus kraštinių skaičiui, šių daugiakampių plotų skirtumas siekia nulį; 3) norint apskaičiuoti apskritimo plotą, belieka rasti reikšmę, į kurią linksta taisyklingo daugiakampio ploto santykis, kai jo kraštinių skaičius neribotai padvigubinamas.

Naudodamas išnaudojimo metodą ir daugybę kitų išradingų svarstymų (įskaitant mechanikos modelių naudojimą), Archimedas išsprendė daug problemų. Jis įvertino skaičių p (3,10/71

Archimedas numatė daugybę integralinio skaičiavimo idėjų. (Priduriame, kad praktikoje pirmąsias teoremas apie ribas jis įrodė.) Tačiau prireikė daugiau nei pusantro tūkstančio metų, kol šios idėjos rado aiškią išraišką ir buvo perkeltos į skaičiavimo lygį.

Daug naujų rezultatų gavę XVII amžiaus matematikai mokėsi iš Archimedo darbų. Taip pat buvo aktyviai naudojamas ir kitas metodas – nedaliųjų metodas, taip pat atsiradęs Senovės Graikijoje (jis pirmiausia siejamas su atomistinėmis Demokrito pažiūromis). Pavyzdžiui, jie įsivaizdavo išlenktą trapeciją (1 pav., a) sudarytą iš vertikalių f(x) ilgio atkarpų, kurioms vis dėlto priskyrė plotą, lygų be galo mažajai reikšmei f(x)dx. Remiantis šiuo supratimu, reikalingas plotas buvo laikomas lygiu sumai

be galo daug be galo mažų plotų. Kartais net buvo pabrėžiama, kad atskiri šios sumos nariai yra nuliai, bet ypatingos rūšies nuliai, kurie, pridėdami prie begalinio skaičiaus, duoda tiksliai apibrėžtą teigiamą sumą.

Tokiu dabar, atrodytų, bent jau abejotinu pagrindu, J. Kepleris (1571-1630) savo raštuose „Naujoji astronomija“.

1609 ir „Vyno statinių stereometrija“ (1615) teisingai apskaičiavo plotų skaičių (pavyzdžiui, elipsės ribojamos figūros plotą) ir tūrius (kėbulas buvo supjaustytas į 6 plonas plokštes). Šiuos tyrimus tęsė italų matematikai B. Cavalieri (1598-1647) ir E. Torricelli (1608-1647). B. Cavalieri suformuluotas principas, jo įdiegtas pagal kai kurias papildomas prielaidas, išlaiko savo reikšmę ir mūsų laikais.

Tegul reikia rasti paveikslo plotą, parodytą 1 paveiksle, b, kur kreivės, ribojančios figūrą iš viršaus ir apačios, turi lygtis

y = f(x) ir y=f(x)+c.

Įsivaizduodami figūrą, sudarytą iš „nedalomų“, Cavalieri terminologija, be galo plonų stulpelių, pastebime, kad jų visų bendras ilgis yra c. Judindami juos vertikalia kryptimi, galime suformuoti stačiakampį, kurio pagrindas b-a ir aukštis c. Todėl reikalingas plotas lygus gauto stačiakampio plotui, t.y.

S = S1 = c (b - a).

Bendrasis Cavalieri principas plokštuminių figūrų plotams suformuluotas taip: Tegul tam tikro pieštuko linijos lygiagrečiai kerta figūras Ф1 ir Ф2 išilgai vienodo ilgio atkarpų (1 pav., c). Tada figūrų F1 ir F2 plotai yra lygūs.

Panašus principas veikia stereometrijoje ir yra naudingas ieškant tomų.

XVII amžiuje Buvo padaryta daug atradimų, susijusių su integraliniu skaičiavimu. Taigi P. Fermatas jau 1629 m. išsprendė bet kurios kreivės y = xn kvadratūros uždavinį, kur n yra sveikas skaičius (tai yra, iš esmės išvedė formulę m xndx = (1/n+1)xn+1), ir šiuo pagrindu išsprendė daugybę problemų, siekdamas surasti svorio centrus. I. Kepleris, išvesdamas savo garsiuosius planetų judėjimo dėsnius, iš tikrųjų rėmėsi apytikslės integracijos idėja. I. Barrow (1630-1677), Niutono mokytojas, priartėjo prie integracijos ir diferenciacijos ryšio supratimo. Didelę reikšmę turėjo darbas, susijęs su funkcijų vaizdavimu galios eilučių pavidalu.

Tačiau, nepaisant daugelio itin išradingų XVII amžiaus matematikų gautų rezultatų reikšmingumo, skaičiavimo dar nebuvo. Reikėjo išryškinti bendras idėjas, kuriomis grindžiamas daugelio konkrečių problemų sprendimas, taip pat nustatyti diferenciacijos ir integravimo operacijų ryšį, kuris suteikia gana bendrą algoritmą. Tai padarė Niutonas ir Leibnicas, kurie savarankiškai atrado faktą, žinomą kaip Niutono-Leibnizo formulė. Taigi pagaliau buvo suformuotas bendras metodas. Jis dar turėjo išmokti rasti daugelio funkcijų antidarinius, pateikti naujus loginius skaičiavimus ir pan. Bet pagrindinis dalykas jau padarytas: sukurta diferencialinė ir integralinė skaičiavimas.

Kitame amžiuje aktyviai vystėsi matematinės analizės metodai (pirmiausia paminėtini L. Eulerio, baigusio sisteminį elementariųjų funkcijų integravimo tyrimą, ir I. Bernulli pavardes). Kuriant integralinį skaičiavimą, dalyvavo rusų matematikai M.V. Ostrogradskis (1801-1862), V.Ya. Bunyakovskis (1804-1889), P.L. Čebyševas (1821-1894). Ypač svarbūs buvo Čebyševo rezultatai, kurie įrodė, kad yra integralų, kurių negalima išreikšti elementariomis funkcijomis.

Griežtas integralinės teorijos pristatymas pasirodė tik praėjusiame amžiuje. Šios problemos sprendimas siejamas su O. Cauchy, vieno didžiausių matematikų, vokiečių mokslininko B. Riemanno (1826-1866) ir prancūzų matematiko G. Darboux (1842-1917) vardais.

Į daugelį klausimų, susijusių su plotų egzistavimu ir figūrų tūriais, atsakymus gavo sukūręs C. Jordanas (1838-1922) matavimo teoriją.

Įvairius integralo sąvokos apibendrinimus jau mūsų amžiaus pradžioje pasiūlė prancūzų matematikai A. Lebesgue (1875-1941) ir A. Denjoy (188 4-1974), sovietų matematikas A.Ya. Khinchinchin (1894-1959).

Planuoti

Funkcijos ir neapibrėžto integralo antidarinė. Pagrindinės neapibrėžtinio integralo savybės. Pagrindinių neapibrėžtųjų integralų lentelė. Pagrindiniai integravimo metodai: tiesioginis integravimas, pakeitimo metodas, integravimas dalimis.

Racionalios trupmenos. Paprastųjų racionaliųjų trupmenų integravimas. Racionaliųjų trupmenų integravimas.

Trigonometrinių funkcijų integravimas. Kai kurių neracionalių funkcijų integravimas. Integralai, kurių negalima išreikšti elementariomis funkcijomis.

Apibrėžtasis integralas. Pagrindinės apibrėžtojo integralo savybės. Integruotas su kintama viršutine riba. Niutono-Leibnizo formulė. Pagrindiniai apibrėžtojo integralo skaičiavimo metodai (kintamojo keitimas, integravimas dalimis).

Apibrėžtinio integralo geometriniai taikymai. Kai kurie apibrėžtojo integralo taikymai ekonomikoje.

Netinkami integralai (integralai su begalinėmis integravimo ribomis, neribotų funkcijų integralai).

Funkcijos ir neapibrėžto integralo antidarinys

Integraliniame skaičiavime pagrindinis uždavinys yra surasti funkciją y=f(x) žinomu jo išvestiniu.

1 apibrėžimas. Funkcija F(x) vadinamas antidarinis funkcijas f(x) intervale ( a, b), jei yra lygybė galioja: arba .

1 teorema. Bet kuri ištisinė eilutė intervale [ a, b] funkcija f(x) šiame segmente turi antidarinį F(x).

Toliau apžvelgsime funkcijas, kurios yra tolydžios intervale.

2 teorema. Jei funkcija F(x) yra funkcijos antidarinys f(x) intervale ( a, b), tada visų antidarinių aibė pateikiama formule F(x)+SU, Kur SU - pastovus skaičius.

Įrodymas.

Funkcija F(x)+SU yra funkcijos antidarinys f(x), nes.

Leiskite F(x) – kitoks, kitoks nei F(x) antiderivatinė funkcija f(x), t.y. . Tada mes turime

o tai reiškia

Kur SU– pastovus skaičius. Vadinasi,

2 apibrėžimas. Visų antiderivatinių funkcijų rinkinys F(x)+SU už funkciją f(x) vadinamas neapibrėžtas integralas nuo funkcijos f(x) ir yra pažymėtas simboliu .

Taigi, pagal apibrėžimą

(1)

(1) formulėje f(x) vadinamas integrand funkcija, f(x)dx – integrandas, x– integravimo kintamasis, neapibrėžto integralo ženklas.

Funkcijos neapibrėžtinio integralo radimo operacija vadinama integracijašią funkciją.

Geometriškai neapibrėžtas integralas yra kreivių šeima (kiekviena skaitinė reikšmė SU atitinka tam tikrą šeimos kreivę). Kiekvienos antidarinės (kreivės) grafikas vadinamas integralinė kreivė. Jie nesikerta ir nesiliečia vienas su kitu. Per kiekvieną plokštumos tašką eina tik viena integralioji kreivė. Visos integralinės kreivės gaunamos viena nuo kitos lygiagrečiai perkeliant išilgai ašies Oi.

Pagrindinės neapibrėžtinio integralo savybės

Panagrinėkime neapibrėžtinio integralo savybes, kurios išplaukia iš jo apibrėžimo.

1. Neapibrėžtinio integralo išvestinė lygi integrandui, neapibrėžtinio integralo diferencialas lygus integrandui:

Įrodymas.

Leiskite Tada

2. Kai kurios funkcijos diferencialo neapibrėžtas integralas yra lygus šios funkcijos ir savavališkos konstantos sumai:

Įrodymas.

Tikrai,.

3. Pastovus veiksnys a() gali būti paimtas kaip neapibrėžto integralo ženklas:

4. Baigtinio skaičiaus funkcijų algebrinės sumos neapibrėžtasis integralas yra lygus šių funkcijų integralų algebrinei sumai:

5. Jeigu F(x) – antiderivatinė funkcija f(x), Tai

Įrodymas.

tikrai,

6 (integravimo formulių nekintamumas). Bet kuri integravimo formulė išlaiko savo formą, jei integravimo kintamasis pakeičiamas bet kuria diferencijuojama šio kintamojo funkcija:

kur u– diferencijuojama funkcija.

Pagrindinių neapibrėžtųjų integralų lentelė

Kadangi integravimas yra atvirkštinis diferenciacijos veiksmas, daugumą pateiktų formulių galima gauti invertuojant atitinkamas formules diferenciacija. Kitaip tariant, pagrindinių integravimo formulių lentelė gaunama iš elementariųjų funkcijų išvestinių lentelės ją skaitant atgal (iš dešinės į kairę).

Čia yra pagrindinių neapibrėžtų integralų lentelė. (Atkreipkite dėmesį, kad čia, kaip ir diferencialiniame skaičiavime, raidė u gali reikšti ir nepriklausomą kintamąjį ( u=x) ir nepriklausomo kintamojo ( u=u(x)).)

Vadinami integralai 1–12 lentelės formos.

Kai kurios iš minėtų formulių integralų lentelėje, neturinčios analogo išvestinių lentelėje, patikrinamos diferencijuojant jų dešiniąsias puses.

Integralinis skaičiavimas

matematikos šaka, tirianti integralų skaičiavimo savybes ir metodus bei jų taikymą. aš ir. glaudžiai susijęs su diferencialiniu skaičiavimu (žr. diferencialinį skaičiavimą) ir kartu su ja sudaro vieną iš pagrindinių matematinės analizės (arba be galo mažos analizės) dalių. Centrinės sąvokos aš ir. yra sąvokos apibrėžtasis integralas Ir neapibrėžtas integralas vieno realaus kintamojo funkcijos.

Apibrėžtasis integralas. Tarkime, turime apskaičiuoti plotą S„Kreivinė trapecija“ - figūros ABCD(cm. ryžių. ), apribota ištisinės tiesės lanku, kurios lygtis yra adresu = f(x), segmentas AB x ašis ir dvi ordinatės AD Ir B.C. Norėdami apskaičiuoti plotą Sšios lenktos trapecijos pagrindas AB(segmentas [ a, b]) skirstomi į n sekcijos (nebūtinai lygios) su taškais A = x 0 x 1 x n-1 x n = b, žymintys šių atkarpų ilgius Δ x 1, Δ x 2, ..., Δ x n; kiekvienoje tokioje vietoje statomi stačiakampiai su aukščiais f(ξ 1), f(ξ 2), ..., f(ξ n) kur ξ k- tam tikras taškas nuo segmento [ x k - 1 , x k] (įjungta ryžių. pastatytas tamsintas stačiakampis k-tas skyrius pertvaros; f (ξ k) – jo aukštis). Suma S n sukonstruotų stačiakampių plotai laikomi ploto aproksimacija S išlenkta trapecija:

S≈S n = f(ξ 1) Δ x 1 + f(ξ 2) Δ x 2 + f(ξ n) Δ x n

arba naudojant sumos simbolį Σ ( graikiška raidė„sigma“):

Nurodyta išraiška kreivinės trapecijos plotui, kuo mažesnis ilgis Δ, tuo tikslesnis x k pertvaros zonos. Norėdami rasti tikslią vertę plotas S turime rasti Sumos ribą S n darant prielaidą, kad padalijimo taškų skaičius didėja neribotai, o didžiausias iš ilgių Δ x k linkęs į nulį.

Atsižvelgdami nuo nagrinėjamos problemos geometrinio turinio, pasiekiame apibrėžtojo funkcijos integralo sąvoką. f(x), ištisinis intervalu [ a, b], dėl integralinių sumų ribos S n prie tos pačios ribos. Šis integralas yra pažymėtas

Simbolis ∫ (išplėstas S- pirmoji žodžio Summa raidė vadinama integraliu ženklu, f(x) - integrando funkcija, skaičiai A Ir b vadinamos apatine ir viršutine apibrėžtojo integralo ribomis. Jeigu A = b, tada pagal apibrėžimą jie daro prielaidą

Apibrėžtinio integralo savybės:

(k- pastovus). Taip pat akivaizdu, kad

Apibrėžtųjų integralų skaičiavimas apsiriboja kreivių apribotų plotų ("kvadratūrų radimo" problemos), kreivių lankų ilgių ("tiesinimo kreivių"), kūnų paviršiaus plotų, kūnų tūrių matavimo ("kubatūrų radimo") uždaviniai, taip pat sunkumo centrų koordinačių, inercijos momentų, kūno kelio žinomu judėjimo greičiu, jėgos atliekamo darbo nustatymo ir daugelio kitų gamtos mokslų ir technologijų problemų. Pavyzdžiui, plokštumos kreivės lanko ilgis, pateikta lygtimi adresu = f(x) segmente [ a, b], išreikštas integralu

kūno apimtis, susidaro sukimosi būdušis lankas aplink ašį Jautis, - integralas

Atliekamas tikrasis apibrėžtųjų integralų skaičiavimas įvairiais būdais. IN kai kuriais atvejais apibrėžtąjį integralą galima rasti tiesiogiai apskaičiuojant atitinkamos integralinės sumos ribą. Tačiau dažniausiai toks perėjimas prie ribos yra sunkus. Kai kuriuos apibrėžtuosius integralus galima apskaičiuoti pirmiausia suradus neapibrėžtuosius integralus (žr. toliau). Paprastai tenka apytiksliai apskaičiuoti apibrėžtuosius integralus, naudojant įvairias kvadratūros formules (pavyzdžiui, trapecijos formulę (žr. Trapecijos formulę), Simpsono formulę (žr. Simpsono formulę)). Tokį apytikslį skaičiavimą galima atlikti kompiuteryje su absoliuti klaida, neviršijant bet kokių mažų teigiamas skaičius. Tais atvejais, kai nereikia didelio tikslumo, apytiksliai apibrėžtųjų integralų skaičiavimui naudokite grafiniai metodai(Žr. Grafinius skaičiavimus).

Apibrėžtinio integralo sąvoka apima neriboto integravimo intervalo atvejį, taip pat kai kurias neribotų funkcijų klases. Tokie apibendrinimai vadinami netinkami integralai(Žr. Netinkami integralai).

Formos išraiškos

kur yra funkcija f(x, α) yra tęstinis in x vadinami nuo parametrų priklausančiais integralais. Jie naudojami kaip pagrindinė daugelio specialiųjų funkcijų mokymosi priemonė (žr. Specialiosios funkcijos) (žr., pavyzdžiui, gama funkciją).

Neapibrėžtas integralas. Neapibrėžtų integralų radimas arba integravimas yra atvirkštinė diferenciacijos operacija. Diferencijuojant duotąją funkciją, ieškoma jos išvestinės. Integruojant, atvirkščiai, ieškoma antiderivatinės (arba primityviosios) funkcijos – funkcijos, kurios išvestinė lygi duotai funkcijai. Taigi funkcija F(x) yra šios funkcijos antidarinys f(x), jei F"(x) = f(x) arba kas tas pats, dF(x) = f(x) dx. Ši funkcija f(x) gali turėti skirtingus antidarinius, tačiau visi jie skiriasi vienas nuo kito tik pastoviais terminais. Todėl visi antidariniai, skirti f(x) yra išraiškoje F(x) + SU, kuris vadinamas neapibrėžtuoju funkcijos integralu f(x) ir užsirašykite

Apibrėžtasis integralas kaip viršutinės integracijos ribos funkcija

Integravimo ir diferenciacijos operacijų tarpusavio atvirkštinis pobūdis išreiškiamas lygybėmis

Tai reiškia galimybę iš formulių ir diferenciacijos taisyklių gauti atitinkamas formules ir integravimo taisykles (žr. lentelę, kur C, m, a, k- nuolatinis ir m≠ -1, A > 0).

Pagrindinių integralų ir integravimo taisyklių lentelė

Sunkumas I. ir. palyginti su diferencialiniu skaičiavimu, elementariųjų funkcijų integralai ne visada išreiškiami elementariomis funkcijomis, jie gali būti neišreiškiami, kaip sakoma, „galutine forma“. aš ir. turi tik atskirus integravimo metodus galutinėje formoje, kurių kiekvieno apimtys yra ribotos (integravimo metodai pateikti matematinės analizės vadovėliuose: daugelyje žinynų pateikiamos plačios integralų lentelės).

Funkcijų klasė, kurios integralai visada išreiškiami elementariomis funkcijomis, apima visų racionaliųjų funkcijų aibę

Kur P(x) Ir K(x) yra daugianariai. Daugelis funkcijų, kurios nėra racionalios, taip pat integruojasi į galutinę formą, pavyzdžiui, funkcijos, nuo kurių racionaliai priklauso

arba iš x Ir racionalios galios trupmenomis

Pavyzdžiui, galutinėje formoje taip pat yra integruota daug transcendentinių funkcijų racionalios funkcijos sinusas ir kosinusas. Funkcijos, kurios vaizduojamos neapibrėžtais integralais, kurie nėra paimti į galutinę formą, yra naujos transcendentinės funkcijos. Daugelis jų yra gerai ištirtos (žr., pavyzdžiui, Integralinis logaritmas, Integralinis sinusas ir integralinis kosinusas, Integralinė eksponentinė funkcija).

Istorinė informacija. Užduočių atsiradimas I. ir. susiję su plotų ir tūrių radimu. Nemažai tokio pobūdžio problemų išsprendė Senovės Graikijos matematikai. Senovės matematika numatė I. ir idėjas. reikšmingai didesniu mastu nei diferencialinis skaičiavimas. Didelį vaidmenį sprendžiant tokias problemas suvaidino išnaudojimo metodas, sukurtas Eudoxus of Cnidus (žr. Eudoxus of Cnidus) ir plačiai naudojamas Archimedo. Tačiau Archimedas neišskyrė bendras turinys integravimo būdai ir integralo samprata, o juo labiau nesukūrė algoritmo I. ir. Artimųjų ir Artimųjų Rytų mokslininkai IX-XV a. studijavo ir išvertė Archimedo kūrinius į kažką viešai prieinamą jų bendruomenėje arabų, bet žymiai naujų rezultatų I. ir. jie jo negavo. Europos mokslininkų veikla tuo metu buvo dar kuklesnė. Tik XVI–XVII a. plėtra gamtos mokslai Europos matematikai iškėlė nemažai naujų problemų, ypač kvadratų, kubatūrų ir svorio centrų nustatymo problemą. Archimedo darbai, pirmą kartą paskelbti 1544 m. (lotynų ir graikų kalbos), pradėjo traukti platų dėmesį, o jų tyrimas buvo vienas svarbiausių atspirties taškai tolesnė I. ir. Senovės „nedalomas“ metodas (žr. Nedalomas metodas) buvo atgaivintas J. Keplerio. Daugiau bendra formašio metodo idėjas plėtojo B. Cavalieri, E. Torricelli, J. Wallis, B. Pascal (žr. Pascal). Nemažai geometrinių ir mechaninių problemų buvo išspręsta taikant „nedalomąjį“ metodą. Paskelbta tuo pačiu metu vėlesnis darbas P. Santvaros parabolėms kvadratuoti n laipsnio, o vėliau – H. Huygenso a tiesinant kreives.

Šių tyrimų metu buvo atskleistas integravimo metodų bendrumas sprendžiant iš pažiūros nepanašius geometrijos ir mechanikos uždavinius, kurie buvo redukuoti iki kvadratų kaip apibrėžtojo integralo geometrinis atitikmuo. Paskutinė šio laikotarpio atradimų grandinės grandis buvo tarpusavio santykių užmezgimas atsiliepimai tarp liestinės ir kvadratūros nubrėžimo problemų, t.y. tarp diferenciacijos ir integracijos. Pagrindinės sąvokos ir algoritmas I. ir. buvo sukurti nepriklausomai vienas nuo kito I. Niutonas ir G. Leibnicas. Pastarasis priklauso terminui „integralinis skaičiavimas“ ir integralo ∫ žymėjimui ydx.

Be to, Niutono darbuose pagrindinį vaidmenį atliko neapibrėžtinio integralo sąvoka (fluents, žr. Fluxian calculus), o Leibnicas rėmėsi apibrėžtojo integralo samprata. Tolesnė plėtra aš ir. XVIII amžiuje siejamas su I. Bernoulli ir ypač L. Eulerio vardais . pradžioje – XIX a. aš ir. kartu su diferencialiniu skaičiavimu jį perstatė O. Koši, remdamasis ribų teorija. Vystantis I. ir. XIX amžiuje Dalyvavo rusų matematikai M. V. Ostrogradskis, V. Jakovskis, P. L. Čebyševas. XIX amžiaus pabaigoje – XX amžiaus pradžioje. Aibių teorijos ir realaus kintamojo funkcijų teorijos raida paskatino pagilinti ir apibendrinti pagrindines informacijos ir teorijos sąvokas. (B. Riemannas, A. Lebesgue'as ir kt.).

Lit.:Istorija. Van der Waerden B. L., Pabudimo mokslas, vert. iš Olandijos, M., 1959; Willeitner G., Matematikos istorija nuo Dekarto iki XIX amžiaus vidurio, vert. iš vokiečių k., 2 leid., M., 1966 m. Stroek D. Ya., Trumpas rašinys matematikos istorija, vert. iš vokiečių k., 2 leid., M., 1969 m.; Cantor M.. Vorleslingen über Geschichte der Mathematik, 2 Aufl., Bd 3-4, Lpz. - B., 1901-24.

I. ir klasikų įkūrėjų ir klasikų darbai. Niutonas I., Matematiniai darbai, vert. iš lotynų kalbos, M.-L., 1937 m. Leibnizas G., Rinktinės matematinių darbų ištraukos, vert. Su. lotyniškai „sėkmės“ matematiniai mokslai“, 1948, t. 3, v. 1; Euler L., Integralinis skaičiavimas, vert. iš lotynų kalbos, t. 1-3, M., 1956-58; Koshy O.L., Santrauka diferencialinio ir integralinio skaičiavimo pamokos, vert. iš prancūzų k., Sankt Peterburgas, 1831 m. jo, Algebrinė analizė, vert. iš prancūzų k., Leipcigas, 1864 m.

Vadovėliai ir mokymo priemonės pagal I. ir. Khinchin D. Ya. Trumpas kursas Matematinė analizė, 3 leidimas, 1957 m.; Smirnovas V.I., Kursas aukštoji matematika, 22 leidimas, t. 1, M., 1967; Fikhtengolts G. M., Diferencialinio ir integralinio skaičiavimo kursas, 7 leidimas, t. 2, M., 1969; Iljinas V., Poznyak E. G., Matematinės analizės pagrindai, 3 leidimas, 1 dalis, M., 1971; Kurant R., Diferencialinio ir integralinio skaičiavimo kursas, vert. su juo. ir anglų k., 4-asis leidimas, 1 tomas, M., 1967 m. Dwight G.-B., Integralų lentelės ir kt matematines formules, vert. iš anglų kalbos, M., 1964 m.

Redagavo akademikas A. N. Kolmogorovas.

Didžioji sovietinė enciklopedija. - M.: Sovietinė enciklopedija . 1969-1978 .

Pažiūrėkite, kas yra „Integrinis skaičiavimas“ kituose žodynuose:

Integralinis skaičiavimas- Integralinis skaičiavimas. Integralų sumų konstravimas apibrėžtajam integralui apskaičiuoti nuolatinė funkcija f(x), kurio grafikas yra MN kreivė. INTEGRALINIS SKAIČIUS, matematikos šaka, kurioje tiriamos savybės ir skaičiavimo metodai... ... Iliustruotas enciklopedinis žodynas

Matematikos šaka, tirianti integralų skaičiavimo savybes ir metodus bei jų taikymą sprendžiant įvairius matematinius, fizikinius ir kitus uždavinius. Integralinis skaičiavimas buvo pasiūlytas sistemine forma XVII a. I. Niutonas ir G... Didysis enciklopedinis žodynas

Aukštosios matematikos katedra, diferencialiniam skaičiavimui priešingų veiksmų doktrina, būtent kelių kintamųjų dydžių santykio nustatymas pagal duotą diferencialinė lygtis iš jų. Taigi, yra...... Žodynas svetimžodžiai rusų kalba

INTEGRALINIS SKAIČIUS, žr. Mokslinis ir techninis enciklopedinis žodynas

Integralinis skaičiavimas, matematikos šaka, tirianti integralų skaičiavimo savybes ir metodus bei jų taikymą. aš ir. glaudžiai susiję su diferencialinis skaičiavimas ir kartu su ja sudaro vieną iš pagrindinių matematinės analizės (arba be galo mažos analizės) dalių. Pagrindinės sąvokos I. ir. yra vieno tikrojo kintamojo funkcijų apibrėžtojo integralo ir neapibrėžto integralo sąvokos.

Apibrėžtasis integralas. Tarkime, turime apskaičiuoti plotą S„Kreivinė trapecija“ - figūros ABCD(cm. ryžių. ), apribota ištisinės tiesės lanku, kurios lygtis yra adresu = f(x), segmentas AB x ašis ir dvi ordinatės AD Ir B.C. Norėdami apskaičiuoti plotą Sšios lenktos trapecijos pagrindas AB(segmentas [ a, b]) skirstomi į n sekcijos (nebūtinai lygios) su taškais A = x 0 < x 1 < ... < x n-1< < x n = b, žymintys šių sekcijų ilgį D x 1, D x 2,..., D x n; kiekvienoje tokioje vietoje statomi stačiakampiai su aukščiais f(x 1), f(x 2), ..., f(x n) kur x k- tam tikras taškas nuo segmento [ x k - 1 , x k] (įjungta ryžių. stačiakampis, pastatytas ant k-osios pertvaros atkarpos, yra nuspalvintas; f (x k) – jo aukštis). Suma S n sukonstruotų stačiakampių plotai laikomi ploto aproksimacija S išlenkta trapecija:

S» S n = f(x 1) D x 1 + f(x 2)D x 2 + f(x n) D x n

arba naudojant sumos simbolį S (graikiška raidė sigma), kad sutrumpintumėte užrašą:

Nurodyta kreivinės trapecijos ploto išraiška tikslesnė, kuo mažesnis ilgis D x k pertvaros zonos. Norėdami sužinoti tikslią ploto vertę S reikia surasti riba sumos S n darant prielaidą, kad padalijimo taškų skaičius didėja neribotai, o didžiausias iš ilgių D x k linkęs į nulį.

Simbolis ò (išplėstas S- pirmoji žodžio Summa raidė vadinama integraliu ženklu, f(x) - integrando funkcija, skaičiai A Ir b vadinamos apatine ir viršutine apibrėžtojo integralo ribomis. Jeigu A = b, tada pagal apibrėžimą jie daro prielaidą

Be to,

Apibrėžtinio integralo savybės:

(k- pastovus). Taip pat akivaizdu, kad

(skaitinė reikšmė apibrėžtasis integralas nepriklauso nuo integravimo kintamojo žymėjimo pasirinkimo).

Apibrėžtųjų integralų skaičiavimas apsiriboja kreivių apribotų plotų ("kvadratūrų radimo" problemos), kreivių lankų ilgių ("tiesinimo kreivių"), kūnų paviršiaus plotų, kūnų tūrių matavimo ("kubatūrų radimo") uždaviniai, taip pat sunkumo centrų koordinačių, inercijos momentų, kūno kelio žinomu judėjimo greičiu, jėgos atliekamo darbo nustatymo ir daugelio kitų gamtos mokslų ir technologijų problemų. Pavyzdžiui, plokštumos kreivės lanko ilgis, pateiktas lygtimi adresu = f(x) segmente [ a, b], išreikštas integralu

kūno tūris, susidarantis šiam lankui sukantis aplink ašį Jautis, - integralas

šio kūno paviršius – integralu

Faktinis apibrėžtųjų integralų skaičiavimas atliekamas įvairiais būdais. Kai kuriais atvejais apibrėžtąjį integralą galima rasti tiesiogiai apskaičiuojant atitinkamos integralo sumos ribą. Tačiau dažniausiai toks perėjimas prie ribos yra sunkus. Kai kuriuos apibrėžtuosius integralus galima apskaičiuoti pirmiausia suradus neapibrėžtuosius integralus (žr. toliau). Paprastai reikia apytiksliai apskaičiuoti apibrėžtuosius integralus, naudojant įvairius kvadratūros formulės (Pavyzdžiui, trapecijos formulė , Simpsono formulė ). Tokį apytikslį skaičiavimą galima atlikti kompiuteriu, kurio absoliuti paklaida neviršija bet kurio nurodyto mažo teigiamo skaičiaus. Tais atvejais, kai nereikia didelio tikslumo, apytiksliai apibrėžtųjų integralų skaičiavimui naudojami grafiniai metodai (žr. Grafinis skaičiavimas ).

Apibrėžtinio integralo sąvoka apima neriboto integravimo intervalo atvejį, taip pat kai kurias neribotų funkcijų klases. Tokie apibendrinimai vadinami netinkami integralai .

Formos išraiškos

kur yra funkcija f(x, a) yra tęstinis x vadinami nuo parametrų priklausančiais integralais. Jie yra pagrindinė daugelio studijų priemonė specialios funkcijos (žr. pvz. Gama funkcija ).

Neapibrėžtas integralas. Neapibrėžtų integralų radimas arba integravimas yra atvirkštinė diferenciacijos operacija. Diferencijuojant duotąją funkciją, ieškoma jos išvestinės. Integruojant, atvirkščiai, ieškoma antiderivatinės (arba primityviosios) funkcijos – funkcijos, kurios išvestinė lygi duotai funkcijai. Taigi funkcija F(x) yra šios funkcijos antidarinys f(x), jei F"(x) = f(x) arba kas tas pats, dF(x) = f(x) dx.Ši funkcija f(x) gali turėti skirtingus antidarinius, tačiau visi jie skiriasi vienas nuo kito tik pastoviais terminais. Todėl visi antidariniai, skirti f(x) yra išraiškoje F(x) + SU, kuris vadinamas neapibrėžtuoju funkcijos integralu f(x) ir užsirašykite

Apibrėžtasis integralas kaip viršutinės integracijos ribos funkcija

(„integralas su kintama viršutine riba“) yra vienas iš integrando funkcijos antidarinių. Tai leidžia nustatyti pagrindinė formulė aš ir. (Niutono-Leibnizo formulė):

išreiškianti tam tikro integralo skaitinę reikšmę kaip skirtumą tarp tam tikros antidarinės integrandų funkcijos verčių viršutinėje ir apatinėje integracijos ribose.

Integravimo ir diferenciacijos operacijų tarpusavio atvirkštinis pobūdis išreiškiamas lygybėmis

Tai reiškia galimybę iš formulių ir diferenciacijos taisyklių gauti atitinkamas formules ir integravimo taisykles (žr. lentelę, kur C, m, a, k- nuolatinis ir m¹ -1, A > 0).

Pagrindinių integralų ir integravimo taisyklių lentelė

¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾

¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾

Funkcijų klasė, kurios integralai visada išreiškiami elementariomis funkcijomis, apima visų racionaliųjų funkcijų aibę

Kur P(x) Ir K(x) yra daugianariai. Daugelis funkcijų, kurios nėra racionalios, taip pat integruojasi į galutinę formą, pavyzdžiui, funkcijos, nuo kurių racionaliai priklauso

arba iš x ir trupmenos racionalios galios

Galutinėje formoje taip pat yra integruota daug transcendentinių funkcijų, pavyzdžiui, racionalios sinuso ir kosinuso funkcijos. Funkcijos, kurios vaizduojamos neapibrėžtais integralais, kurie nėra paimti į galutinę formą, yra naujos transcendentinės funkcijos. Daugelis jų yra gerai ištirtos (žr., pvz. Integralinis logaritmas , Integralinis sinusas ir integralusis kosinusas , Integralinis eksponentinė funkcija ).

Integralo sąvoka apima daugelio realių kintamųjų funkcijas (žr Daugialypis integralas , Kreivinis integralas , Paviršiaus integralas ), taip pat kompleksinio kintamojo funkcijas (žr. Analitinės funkcijos ) ir vektorines funkcijas (žr Vektorinis skaičiavimas ).

Dėl integralo sąvokos išplėtimo ir apibendrinimo žr. Integralinis.

Istorinė informacija. Užduočių atsiradimas I. ir. susiję su plotų ir tūrių radimu. Nemažai tokio pobūdžio problemų išsprendė Senovės Graikijos matematikai. Senovės matematika numatė I. ir idėjas. daug didesniu mastu nei diferencialinis skaičiavimas. Suvaidino svarbų vaidmenį sprendžiant tokias problemas išsekimo metodas , sukurtas Eudoksas iš Knido ir plačiai naudojamas Archimedas. Tačiau Archimedas nenustatė bendro integravimo technikų turinio ir integralo sampratos, juo labiau nesukūrė dirbtinio intelekto algoritmo. Artimųjų ir Artimųjų Rytų mokslininkai IX-XV a. studijavo ir išvertė Archimedo kūrinius į arabų kalbą, kuri paprastai buvo prieinama jų aplinkoje, tačiau reikšmingai nauji rezultatai I. ir. jie jo negavo. Europos mokslininkų veikla tuo metu buvo dar kuklesnė. Tik XVI–XVII a. Gamtos mokslų raida Europos matematikai iškėlė nemažai naujų užduočių, visų pirma – kvadratų, kubatūrų ir svorio centrų nustatymo uždavinys. Archimedo darbai, pirmą kartą išleisti 1544 m. (lotynų ir graikų kalbomis), ėmė sulaukti didelio dėmesio, jų tyrimas buvo vienas svarbiausių atspirties taškų tolesnei istorijos raidai. Antikvariniai „nedalomas“ metodas buvo atgaivintas I. Kepleris. Bendresne forma šio metodo idėjas sukūrė B. Kavalieriai , E. Torricelli , J. Wallis , B. Paskalis. Nemažai geometrinių ir mechaninių problemų buvo išspręsta taikant „nedalomąjį“ metodą. Tuo pačiu laiku datuojami ir vėliau publikuoti P. darbai. Ūkis iškeliant paraboles kvadratu n laipsnis, o vėliau – X kūryba. Huygensas tiesinant kreives.

Šių tyrimų metu buvo atskleistas integravimo metodų bendrumas sprendžiant iš pažiūros nepanašius geometrijos ir mechanikos uždavinius, kurie buvo redukuoti iki kvadratų kaip apibrėžtojo integralo geometrinis atitikmuo. Paskutinė šio laikotarpio atradimų grandinės grandis buvo abipusio grįžtamojo ryšio tarp liestinių ir kvadratų piešimo, tai yra tarp diferenciacijos ir integracijos, problemų nustatymas. Pagrindinės sąvokos ir algoritmas I. ir. buvo sukurti nepriklausomai vienas nuo kito. Niutonas ir G. Leibnicas. Pastarasis priklauso terminui „integralinis skaičiavimas“ ir integralo ò žymėjimui ydx.

Be to, Niutono darbuose pagrindinį vaidmenį atliko neapibrėžto integralo sąvoka (fluents, žr. Fluxion skaičiavimas ), o Leibnicas rėmėsi apibrėžtojo integralo samprata. Tolesnė I. ir. XVIII amžiuje siejamas su vardais I. Bernulis ir ypač L. Euleris. pradžioje – XIX a. aš ir. O. buvo perstatytas kartu su diferencialiniu skaičiavimu. Koši remiantis ribų teorija. Vystantis I. ir. XIX amžiuje Dalyvavo rusų matematikai M.V. Ostrogradskis , V. Ya. Buniakovskis , P.L. Čebyševas . XIX amžiaus pabaigoje – XX amžiaus pradžioje. Aibių teorijos ir realaus kintamojo funkcijų teorijos raida paskatino pagilinti ir apibendrinti pagrindines informacijos ir teorijos sąvokas. (B. Riemanas , A. Lebesgue ir tt).

Lit.: Istorija. Van der Waerden B. L., Pabudimo mokslas, vert. iš Olandijos, M., 1959; Willeitner G., Matematikos istorija nuo Dekarto iki XIX amžiaus vidurio, vert. iš vokiečių k., 2 leid., M., 1966 m. Stroek D. Ya., Trumpas matematikos istorijos eskizas, vert. iš vokiečių k., 2 leid., M., 1969 m.; Cantor M.. Vorleslingen ü ber Geschichte der Mathematik, 2 Aufl., Bd 3-4, Lpz. - B., 1901-24.

I. ir klasikų įkūrėjų ir klasikų darbai. Niutonas I., Matematiniai darbai, vert. iš lotynų kalbos, M.-L., 1937 m. Leibnizas G., Rinktinės matematinių darbų ištraukos, vert. Su. lot., „Matematikos mokslų pažanga“, 1948, 3 t., amžius. 1; Euler L., Integralinis skaičiavimas, vert. iš lotynų kalbos, t. 1-3, M., 1956-58; Koshy O. L., Diferencialinio ir integralinio skaičiavimo pamokų santrauka, vert. iš prancūzų k., Sankt Peterburgas, 1831 m. jo, Algebrinė analizė, vert. iš prancūzų k., Leipcigas, 1864 m.

Vadovėliai ir mokymo priemonės apie I. ir. Khinchin D. Ya., Trumpas matematinės analizės kursas, 3 leidimas, 1957 m. Smirnovas V.I., Aukštosios matematikos kursas, 22 leidimas, 1 t., M., 1967 m. Fikhtengolts G. M., Diferencialinio ir integralinio skaičiavimo kursas, 7 leidimas, t. 2, M., 1969; Iljinas V., Poznyak E. G., Matematinės analizės pagrindai, 3 leidimas, 1 dalis, M., 1971; Kurant R., Diferencialinio ir integralinio skaičiavimo kursas, vert. su juo. ir anglų k., 4-asis leidimas, 1 tomas, M., 1967 m. Dwight G.-B., Integralų ir kitų matematinių formulių lentelės, vert. iš anglų kalbos, M., 1964 m.

Redagavo akademikas A. N. Kolmogorovas.

Didžioji tarybinė enciklopedija M.: "Tarybų enciklopedija", 1969-1978