Plokštumos lygtis, kas yra d. Plokštumos lygtis, plokštumos lygčių tipai

1. Galima įrodyti teiginį, kad jei tarpas duotas stačiakampė sistema koordinuoja OXYZ, tada bet kurią pirmojo laipsnio lygtį su trimis nežinomas x,y,z būtinas ir pakankamai apibrėžia tam tikrą plokštumą šios sistemos atžvilgiu R. Ši lygtis vadinama bendrąja plokštumos lygtimi ir turi tokią formą:

A X+ B adresu+ C z+ D = 0 (17)

(palyginkite su bendrąja plokštumos tiesės lygtimi (15), kuri iš to išplaukia, kai z = 0) ir apibrėžia plokštumą R, statmenai vektoriui(A, B, C).

Vektorius – normalus plokštumos vektorius R.

(17) lygtis yra lygiavertė šioms lygtims.

2. Praeinančios plokštumos lygtis šį tašką M( x 0, y 0, z 0):

A( X- X 0) + B( adresu-adresu 0) + C( z-z 0) = 0.

3. Plokštumos atkarpomis lygtis

,

Kur ; ; .

4. Plokštumos, einančios per tris duotus taškus, kurie nėra toje pačioje tiesėje, lygtis parašyta kaip determinantas

,

kur ( X 1 , y 1 , z 1), (X 2 , y 2 , z 2), (X 3 , y 3 , z 3) - duotųjų taškų koordinatės.

Kampas tarp dviejų plokštumų apibrėžiamas kaip kampas tarp jų normaliųjų vektorių n 1 ir n 2. Taigi lygiagrečių plokštumų sąlyga

R 1 ir R 2:

ir dviejų plokštumų statmenumo sąlyga:

A 1 A 2 + B 1 IN 2 + C 1 SU 2 = 0 .

29 pavyzdys. Per tašką KAM(1, -3, 2) nubrėžkite plokštumą, lygiagrečią vektoriams

a =(1, 2, -3) ir b =(2,-1,-1) .

Sprendimas. Tegul M ( X, adresu, z) – savavališkas norimos plokštumos taškas. Vektorius

KM = (X- 1, adresu+ 3, z- 2) yra šioje plokštumoje, ir vektoriai A Ir b lygiagrečiai su juo. Todėl vektoriai KM , a ir b yra lygiagrečiai. Tada jų mišrus darbas lygus nuliui:

.

Taigi -(x –1) – (y + 3) – 5(z – 2) = 0 arba x+ 7y + 5z + 10 = 0. Tai norima plokštumos lygtis.

Įvairių tipų tiesės lygtis erdvėje

Tiesią erdvę erdvėje galima nurodyti taip:

1) dviejų nesutampančių ir nelygiagrečių plokštumų susikirtimo linija R 1 ir R 2:

;

2) tiesės, einančios per tam tikrą tašką, lygtys M(X 0 , adresu 0 , z 0) vektoriaus nurodyta kryptimi L = (m, n, p):

,

kuris vadinamas kanoninė tiesės lygtis erdvėje;

3) tiesės, einančios per du duotus taškus, lygtys M(X 1 , adresu 1 , z 1)

Ir M(x 2 , y 2 , z 2):

;

4) parametrinės lygtys:

.

30 pavyzdys. Sumažinti iki kanoninių ir parametriniai vaizdai tiesės lygtis

.

Sprendimas. Tiesi linija apibrėžiama kaip dviejų plokštumų susikirtimo linija. Šių plokštumų normalieji vektoriai n 1 = (3,1,-2) ir n 2 = (4,-7,-1) yra statmenos norimai tiesei, todėl jų vektorinis produktas [n 1 , n 2 ] = L lygiagrečiai jam yra vektorius [ n 1 , n 2 ] (arba bet kuris kolinearinis) gali būti laikomas krypties vektoriumi L norima tiesi linija.

[n 1 , n 2 ] =
.

Priimkime kaip L = 3i + j + 5k. Belieka rasti tam tikrą tašką nurodytoje linijoje. Tam įdedame, pavyzdžiui, z = 0. Gauname

.

Išsprendę šią sistemą, randame X = 1, adresu= - 2. Taigi, taškas KAM(1, -2, 0) priklauso nurodytai eilutei, o jos kanoninė lygtis turi formą

1. Plokštumos tiesės lygčių tipai

2. Pagrindiniai uždaviniai tiesioje erdvėje

3. Plokštuminių lygčių tipai erdvėje

4. Pagrindinės problemos plokštumoje erdvėje

5. Tiesės erdvėje lygčių tipai

6. Pagrindiniai uždaviniai tiesioje erdvėje

7. Pagrindiniai uždaviniai plokštumoje ir tiesėje erdvėje

8. Antros eilės kreivės

9. Antros eilės paviršiai

Šiame modulyje studentas turi išstudijuoti siūlomą teorinę medžiagą ugdymo elementai. (cm. Teorinė medžiaga Autorius aukštoji matematika: mokomoji medžiaga studentui. I dalis Sudarė: Kalukova O.M., Kosheleva N.N., Nikitina M.G., Pavlova E.S., Emelyanova S.G. - Toljatis: TSU, 2005 ir papildomi. literatūra)

7 lentelėje pateiktas modulio „Analitinė geometrija“ teorinės medžiagos studijų grafikas.

7 lentelė

Kilus klausimams, susisiekite su akademiniu konsultantu užduodami klausimus švietimo portalo forume.

Mokinys taip pat turėtų susipažinti su tipinės užduotys ir modulio pratimai, kad užbaigtumėte savo IPD versiją (žr. Problemų sprendimo vadovą: mokymo priemonė studentams I dalis. Sudarė: Nikitina M.G., Pavlova E.S., - Toljatis: TSU, 2008.)

8 lentelėje parodytas studijų grafikas praktiniais klausimais modulis "Analitinė geometrija"

8 lentelė

Kilus klausimams, kreipkitės į akademinį konsultantą užduodami klausimus švietimo portalo forume arba darbo valandomis individualios konsultacijos(individualių konsultacijų grafikas pateikiamas š edukacinis portalas).

Studentas turi užpildyti savo pasirinkimą namų darbai(žr. Individualūs namų darbai studentams, studijuojantiems 30/70 technologijas. I dalis. Sudarė: Kalukova O.M., Kosheleva N.N., Nikitina M.G., Pavlova E.S., Emelyanova S.G. ., - Togliatti: TSU, 2005).

Įgyvendinimo grafiką IDZ pateikia 9 lentelėje.

9 lentelė

12-osios savaitės pabaigoje perduokite IDD akademiniam konsultantui ir gaukite leidimą į testavimą švietimo portale

Įjungta tryliktoji savaitė Mokymų metu studentai atlieka modulių testavimą, kuris yra nustatytas tvarkaraštyje.

Galite nustatyti įvairiais būdais(vienas taškas ir vektorius, du taškai ir vektorius, trys taškai ir tt). Turint tai omenyje, plokštumos lygtis gali turėti įvairių tipų. Taip pat, esant tam tikroms sąlygoms, plokštumos gali būti lygiagrečios, statmenos, susikertančios ir pan. Apie tai kalbėsime šiame straipsnyje. Išmoksime sukurti bendrąją plokštumos lygtį ir dar daugiau.

Normali lygties forma

Tarkime, kad yra erdvė R 3, kuri turi stačiakampę XYZ koordinačių sistemą. Apibrėžkime vektorių α, kuris bus atleistas pradžios taškas O. Per vektoriaus α galą nubrėžiame plokštumą P, kuri bus jai statmena.

Savavališką tašką P pažymėkime kaip Q = (x, y, z). Taško Q spindulio vektorių pažymėkime raide p. Šiuo atveju vektoriaus α ilgis lygus р=IαI ir Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Tai vieneto vektorius, kuris nukreiptas į šoną, kaip ir vektorius α. α, β ir γ yra kampai, kurie susidaro atitinkamai tarp vektoriaus Ʋ ir erdvės ašių x, y, z teigiamų krypčių. Bet kurio taško QϵП projekcija į vektorių Ʋ yra pastovią vertę, kuris lygus p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Aukščiau pateikta lygtis turi prasmę, kai p=0. Vienintelis dalykas yra tai, kad plokštuma P šiuo atveju susikirs su tašku O (α = 0), kuris yra koordinačių pradžia, o vieneto vektorius Ʋ, išleistas iš taško O, bus statmenas P, nepaisant jo krypties, kuri reiškia, kad vektorius Ʋ yra nustatytas ženklo tikslumu. Ankstesnė lygtis yra mūsų plokštumos P lygtis, išreikšta vektorine forma. Bet koordinatėmis tai atrodys taip:

P čia yra didesnis arba lygus 0. Mes radome lygtį erdvės plokštumos normaliąja forma.

Bendroji lygtis

Jei lygtį padauginsime iš koordinačių iš bet kurio skaičiaus, kuris nėra lygus nuliui, gausime lygtį, lygiavertę šiai, apibrėžiančią tą pačią plokštumą. Tai atrodys taip:

Čia A, B, C yra skaičiai, kurie tuo pačiu metu skiriasi nuo nulio. Ši lygtis vadinama bendrosios plokštumos lygtimi.

Plokštumų lygtys. Ypatingi atvejai

Lygtis in bendras vaizdas gali būti pakeistas, jei yra papildomos sąlygos. Pažvelkime į kai kuriuos iš jų.

Tarkime, kad koeficientas A yra 0. Tai reiškia, kad duotas lėktuvas lygiagrečiai nurodytai ašiai Ox. Tokiu atveju pasikeis lygties forma: Ву+Cz+D=0.

Panašiai lygties forma pasikeis tokiomis sąlygomis:

• Pirma, jei B = 0, tada lygtis pasikeis į Ax + Cz + D = 0, o tai parodys lygiagretumą Oy ašiai.
• Antra, jei C=0, tai lygtis bus transformuota į Ax+By+D=0, o tai parodys lygiagretumą nurodytai Ozo ašiai.
• Trečia, jei D=0, lygtis atrodys taip: Ax+By+Cz=0, o tai reikš, kad plokštuma kerta O (kilmę).
• Ketvirta, jei A = B = 0, tada lygtis pasikeis į Cz + D = 0, o tai bus lygiagreti su Oxy.
• Penkta, jei B=C=0, tai lygtis tampa Ax+D=0, o tai reiškia, kad plokštuma su Oyz yra lygiagreti.
• Šešta, jei A=C=0, tada lygtis bus Ву+D=0, tai yra, ji praneš apie lygiagretumą Oxz.

Lygties tipas segmentais

Tuo atveju, kai skaičiai A, B, C, D skiriasi nuo nulio, (0) lygties forma gali būti tokia:

x/a + y/b + z/c = 1,

kurioje a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Verta paminėti, kad ši plokštuma susikirs su Ox ašimi taške, kurio koordinatės (a,0,0), Oy - (0,b,0) ir Oz - (0,0,c). ).

Atsižvelgiant į lygtį x/a + y/b + z/c = 1, nesunku vizualiai įsivaizduoti plokštumos išsidėstymą tam tikros koordinačių sistemos atžvilgiu.

Normaliosios vektoriaus koordinatės

Normalus vektorius n plokštumai P turi koordinates, kurios yra koeficientai bendroji lygtis tam tikros plokštumos, tai yra n (A, B, C).

Norint nustatyti normaliosios n koordinates, pakanka žinoti bendrąją tam tikros plokštumos lygtį.

Naudojant lygtį atkarpose, kurios forma x/a + y/b + z/c = 1, kaip ir naudojant bendrąją lygtį, galite parašyti bet kurio nurodytos plokštumos normaliojo vektoriaus koordinates: (1/a + 1/b + 1/ Su).

Verta paminėti, kad normalus vektorius padeda išspręsti įvairias problemas. Dažniausiai pasitaikančios problemos apima plokštumų statmenumo ar lygiagretumo įrodymą, kampų tarp plokštumų arba kampų tarp plokštumų ir tiesių nustatymo problemas.

Plokštumos lygties tipas pagal taško ir normaliojo vektoriaus koordinates

Nulinis vektorius n, statmenas duotai plokštumai, vadinamas normaliuoju tam tikrai plokštumai.

Tarkime, kad koordinačių erdvėje (stačiakampė koordinačių sistema) Oxyz duota:

• taškas Mₒ su koordinatėmis (xₒ,yₒ,zₒ);
• nulinis vektorius n=A*i+B*j+C*k.

Būtina sudaryti lygtį plokštumai, kuri eis per tašką Mₒ, statmeną normaliajai n.

Mes pasirenkame bet kurį savavališką erdvės tašką ir pažymime jį M (x y, z). Tegul bet kurio taško M (x,y,z) spindulio vektorius yra r=x*i+y*j+z*k, o taško Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) spindulio vektorius - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Taškas M priklausys duotajai plokštumai, jei vektorius MₒM yra statmenas vektoriui n. Parašykime ortogonalumo sąlygą naudodami skaliarinį sandaugą:

[MₒM, n] = 0.

Kadangi MₒM = r-rₒ, plokštumos vektorinė lygtis atrodys taip:

Ši lygtis gali turėti kitą formą. Tam naudojamos skaliarinio sandaugos savybės, o transformacija yra kairėje pusėje lygtys = -. Jei pažymėsime jį kaip c, gausime sekančią lygtį

: - c = 0 arba = c, kuris išreiškia plokštumai priklausančių duotųjų taškų spindulio vektorių projekcijų pastovumą. Dabar galite gauti įrašo koordinačių vaizdą vektoriaus lygtis

mūsų plokštuma = 0. Kadangi r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k ir n = A*i+B*j+C*k, mes mes turime:

Pasirodo, turime lygtį plokštumai, einančia per tašką, statmeną normaliajai n:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Plokštumos lygties tipas pagal dviejų taškų koordinates ir vektoriaus, esančio kolinerėje su plokštuma

Nurodykime du savavališkus taškus M′ (x′,y′,z′) ir M″ (x″,y″,z″), taip pat vektorių a (a′,a″,a‴). Dabar galime sukurti lygtį duotai plokštumai, kuri eis per esamus taškus M′ ir M″, taip pat bet kurį tašką M su koordinatėmis (x, y, z) lygiagrečiai. duotas vektorius

A.

Šiuo atveju vektoriai M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) ir M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) turi būti vienodi su vektoriumi a=(a′,a″,a‴), o tai reiškia, kad (M′M, M″M, a)=0.

Taigi, mūsų plokštumos lygtis erdvėje atrodys taip:

Tarkime, kad turime tris taškus: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), kurie nepriklauso tai pačiai linijai. Būtina parašyti plokštumos, einančios per duotus tris taškus, lygtį. Geometrijos teorija teigia, kad tokia plokštuma tikrai egzistuoja, tačiau ji yra vienintelė ir unikali. Kadangi ši plokštuma kerta tašką (x′,y′,z′), jos lygties forma bus tokia:

Čia A, B, C skiriasi nuo nulio tuo pačiu metu. Taip pat duotoji plokštuma kerta dar du taškus: (x″,y″,z″) ir (x‴,y‴,z‴). Šiuo atžvilgiu turi būti įvykdytos šios sąlygos:

Dabar galime kurti vienalytė sistema su nežinomais u, v, w:

Mūsų atvejis x,y arba z išsikiša savavališkas taškas, kuris tenkina (1) lygtį. Atsižvelgiant į (1) lygtį ir (2) bei (3) lygčių sistemą, aukščiau esančiame paveikslėlyje nurodytą lygčių sistemą tenkina vektorius N (A,B,C), kuris nėra trivialus. Štai kodėl šios sistemos determinantas yra lygus nuliui.

Gauta (1) lygtis yra plokštumos lygtis. Jis tiksliai praeina per 3 taškus ir tai lengva patikrinti. Norėdami tai padaryti, turime išplėsti savo determinantą į pirmosios eilutės elementus. Iš esamų determinanto savybių matyti, kad mūsų plokštuma vienu metu kerta tris iš pradžių duotus taškus (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Tai yra, mes išsprendėme mums skirtą užduotį.

Dvikampis kampas tarp plokštumų

Dvikampis kampas reiškia erdvinį geometrinė figūra, sudarytas iš dviejų pusiau plokštumų, kylančių iš vienos tiesios linijos. Kitaip tariant, tai yra erdvės dalis, kurią riboja šios pusiau plokštumos.

Tarkime, kad turime dvi plokštumas su tokiomis lygtimis:

Žinome, kad vektoriai N=(A,B,C) ir N¹=(A¹,B¹,C¹) yra statmeni pagal duotus lėktuvus. Šiuo atžvilgiu kampas φ tarp vektorių N ir N¹ yra lygus kampui (diedraliui), esančiam tarp šių plokštumų. Taškinis produktas turi formą:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

būtent todėl

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Pakanka atsižvelgti į tai, kad 0≤φ≤π.

Tiesą sakant, dvi plokštumos, kurios susikerta, sudaro du kampus (dihedral): φ 1 ir φ 2. Jų suma lygi π (φ 1 + φ 2 = π). Kalbant apie jų kosinusus, jų absoliučios vertės yra lygios, tačiau skiriasi ženklu, ty cos φ 1 = -cos φ 2. Jei (0) lygtyje A, B ir C pakeisime atitinkamai skaičiais -A, -B ir -C, tada gauta lygtis nustatys tą pačią plokštumą, vienintelę, kampą φ in cos lygtisφ=NN 1 /|N||N 1 | bus pakeistas π-φ.

Statmenos plokštumos lygtis

Plokštumos, kurių kampas yra 90 laipsnių, vadinamos statmenomis. Naudodami aukščiau pateiktą medžiagą galime rasti plokštumos, statmenos kitai, lygtį. Tarkime, kad turime dvi plokštumas: Ax+By+Cz+D=0 ir A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Galime sakyti, kad jie bus statmeni, jei cosφ=0. Tai reiškia, kad NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Lygiagrečios plokštumos lygtis

Dvi plokštumos, kuriose nėra bendrų taškų, vadinamos lygiagrečiomis.

Sąlyga (jų lygtys tokios pat kaip ir ankstesnėje pastraipoje) yra ta, kad vektoriai N ir N¹, kurie yra statmeni jiems, yra kolinearūs. Ir tai reiškia, kad jie yra įvykdyti šias sąlygas proporcingumas:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Jei proporcingumo sąlygos yra išplėstos - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

tai rodo, kad šios plokštumos sutampa. Tai reiškia, kad lygtys Ax+By+Cz+D=0 ir A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 apibūdina vieną plokštumą.

Atstumas iki plokštumos nuo taško

Tarkime, kad turime plokštumą P, kuri pateikiama pagal (0) lygtį. Reikia rasti atstumą iki jo nuo taško, kurio koordinatės (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Norėdami tai padaryti, turite paversti plokštumos P lygtį į normalią formą:

(ρ,v)=р (р≥0).

IN šiuo atvejuρ (x,y,z) yra mūsų taško Q, esančio P, spindulio vektorius, p yra statmens P, kuris buvo atleistas nuo nulinis taškas, v yra vieneto vektorius, esantis a kryptimi.

Tam tikro taško Q = (x, y, z), priklausančio P, skirtumo ρ-ρº spindulio vektorius, taip pat tam tikro taško spindulio vektorius Q 0 = (xₒ, yₒ, zₒ) yra toks vektorius, absoliuti vertė kurio projekcija į v yra lygi atstumui d, kurį reikia rasti nuo Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) iki P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, bet

(ρ-ρ 0,v)= (ρ,v)-(ρ 0,v) =р-(ρ 0,v).

Taigi pasirodo

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

Taigi rasime absoliuti vertė gauta išraiška, tai yra norima d.

Naudodami parametrų kalbą gauname akivaizdų:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Jeigu nustatytas taškas Q 0 yra kitoje plokštumos P pusėje, kaip ir koordinačių pradžia, taigi tarp vektoriaus ρ-ρ 0 ir v yra:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

Tuo atveju, kai taškas Q 0 kartu su koordinačių pradžia yra toje pačioje P pusėje, tada sukurtas kampas yra smailus, tai yra:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

Dėl to išeina, kad pirmuoju atveju (ρ 0 ,v)>р, antruoju (ρ 0 ,v)<р.

Liestinės plokštuma ir jos lygtis

Paviršiaus liestinės plokštuma sąlyčio taške Mº yra plokštuma, kurioje yra visos galimos kreivių, nubrėžtų per šį paviršiaus tašką, liestinės.

Naudojant tokio tipo paviršiaus lygtį F(x,y,z)=0, liestinės plokštumos lygtis liestinės taške Mº(xº,yº,zº) atrodys taip:

F x (xº,yº,zº)(x-xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Jei paviršių nurodysite aiškia forma z=f (x,y), tada liestinės plokštuma bus aprašyta lygtimi:

z-zº =f(xº, yº)(x-xº)+f(xº, yº)(y-yº).

Dviejų plokštumų sankirta

Koordinačių sistemoje (stačiakampėje) yra Oxyz, pateiktos dvi plokštumos П′ ir П″, kurios susikerta ir nesutampa. Kadangi bet kuri stačiakampėje koordinačių sistemoje esanti plokštuma nustatoma pagal bendrąją lygtį, manysime, kad P′ ir P″ pateikiamos lygtimis A′x+B′y+C′z+D′=0 ir A″x +B″y+ С″z+D″=0. Šiuo atveju turime plokštumos P′ normaliąją n′ (A′,B′,C′) ir plokštumos P″ normaliąją n″ (A″,B″,C'). Kadangi mūsų plokštumos nėra lygiagrečios ir nesutampa, šie vektoriai nėra kolineariniai. Naudodamiesi matematikos kalba, šią sąlygą galime užrašyti taip: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Tegul tiesė, esanti P′ ir P″ sankirtoje, yra pažymėta raide a, šiuo atveju a = P′ ∩ P″.

a yra tiesi linija, susidedanti iš visų (bendrų) plokštumų P′ ir P″ taškų aibės. Tai reiškia, kad bet kurio taško, priklausančio tiesei a, koordinatės turi vienu metu tenkinti lygtis A′x+B′y+C′z+D′=0 ir A″x+B″y+C″z+D″=0 . Tai reiškia, kad taško koordinatės bus dalinis šios lygčių sistemos sprendimas:

Dėl to paaiškėja, kad šios lygčių sistemos (bendrasis) sprendimas nustatys kiekvieno tiesės taško, kuris veiks kaip P′ ir P″ susikirtimo taškas, koordinates ir nustatys tiesę. a Oxyz (stačiakampėje) koordinačių sistemoje erdvėje.

Plokštumos lygtis, plokštumos lygčių tipai.

Pjūvio plokštumoje erdvėje mes nagrinėjome plokštumą iš geometrijos perspektyvos. Šiame straipsnyje mes pažvelgsime į plokštumą iš algebros perspektyvos, tai yra, pereisime prie plokštumos aprašymo naudodami plokštumos lygtį.

Pirmiausia pažvelkime į klausimą: „Kas yra plokštumos lygtis“? Po to apsvarstysime pagrindinius stačiakampės koordinačių sistemos plokštumų lygčių tipus Oxyz trimatė plokštuma.

Puslapio naršymas.

• Plokštumos lygtis – apibrėžimas.
• Bendroji plokštumos lygtis.
• Plokštumos atkarpomis lygtis.
• Normalios plokštumos lygtis.

Plokštumos lygtis – apibrėžimas.

Tegul stačiakampė koordinačių sistema yra fiksuota trimatėje erdvėje Oxyz ir duotas lėktuvas.

Plokštuma, kaip ir bet kuri kita geometrinė figūra, susideda iš taškų. Stačiakampėje koordinačių sistemoje Oxyz Kiekvienas taškas atitinka sutvarkytą skaičių trigubą – taško koordinates. Tarp kiekvieno plokštumos taško koordinačių galima nustatyti ryšį naudojant lygtį, vadinamą plokštumos lygtimi.

Plokštumos lygtis stačiakampėje koordinačių sistemoje Oxyz trimatėje erdvėje yra lygtis su trimis kintamaisiais x, y Ir z, kurią tenkina bet kurio tam tikros plokštumos taško koordinatės ir netenkina taškų, esančių už duotosios plokštumos, koordinatės.

Taigi plokštumos lygtis tampa tapatybe, kai į ją pakeičiamos bet kurio plokštumos taško koordinatės. Jei taško, kuris nėra šioje plokštumoje, koordinates pakeisite plokštumos lygtimi, ji pavirs neteisinga lygybe.

Belieka išsiaiškinti, kokios formos yra plokštumos lygtis. Atsakymas į šį klausimą pateikiamas kitoje šio straipsnio pastraipoje. Žvelgdami į ateitį, pastebime, kad plokštumos lygtis gali būti užrašoma įvairiais būdais. Įvairių tipų plokštumų lygčių egzistavimą lemia sprendžiamų uždavinių specifika.

Puslapio viršuje

Bendroji plokštumos lygtis.

Pateikiame teoremos formuluotę, kuri suteikia mums plokštumos lygties formą.

Teorema.

Bet kuri formos lygtis , kur A, B, C Ir D– kai kurie realieji skaičiai ir A, IN Ir C tuo pačiu metu nėra lygūs nuliui, apibrėžia plokštumą stačiakampėje koordinačių sistemoje Oxyz trimatėje erdvėje, o kiekviena plokštuma – stačiakampėje koordinačių sistemoje Oxyz trimatėje erdvėje gali būti pateikta formos lygtimi.

Lygtis vadinama bendrosios plokštumos lygtis erdvėje. Jei nepridedate skaičių A, IN, SU Ir D konkrečias reikšmes, tada vadinama bendroji plokštumos lygtis plokštumos lygtis bendra forma.

Reikėtų pažymėti, kad formos lygtis, kurioje yra koks nors realusis skaičius, išskyrus nulį, apibrėžs tą pačią plokštumą, nes lygybės ir yra lygiavertės. Pavyzdžiui, bendrosios plokštumos lygtys ir nurodykite tą pačią plokštumą, nes jas tenkina tų pačių taškų koordinatės trimatėje erdvėje.

Šiek tiek paaiškinkime pateiktos teoremos prasmę. Stačiakampėje koordinačių sistemoje Oxyz kiekviena plokštuma atitinka jos bendrąją lygtį, o kiekviena lygtis atitinka plokštumą tam tikroje trimatės erdvės stačiakampėje koordinačių sistemoje. Kitaip tariant, plokštuma ir jos bendroji lygtis yra neatskiriamos.

Jei visi koeficientai A, IN, SU Ir D bendrojoje lygtyje plokštumos yra ne lygios nuliui, tada ji vadinama užbaigti. Priešingu atveju vadinama bendroji plokštumos lygtis nepilnas.

Nepilniose lygtyse nurodomos plokštumos, lygiagrečios koordinačių ašims, einančios per koordinačių ašis, lygiagrečios koordinačių plokštumoms, statmenos koordinačių plokštumoms, sutampančios su koordinačių plokštumomis, taip pat plokštumos, einančios per koordinačių pradinę vietą.

Pavyzdžiui, lėktuvas lygiagrečiai x ašiai ir statmenai koordinačių plokštumai Oyz, lygtis z = 0 apibrėžia koordinačių plokštumą Oxy, o bendrosios plokštumos lygtis yra tokios formos atitinka plokštuma, einanti per pradžią.

Taip pat atkreipkite dėmesį, kad koeficientai A, B Ir C bendrojoje lygtyje plokštumos reiškia plokštumos normaliojo vektoriaus koordinates.

Visas plokštumos lygtis, kurios aptariamos tolesnėse pastraipose, galima gauti iš bendrosios plokštumos lygties, taip pat sumažinti iki bendrosios plokštumos lygties. Taigi, kai jie kalba apie plokštumos lygtį, jie turi omenyje bendrąją plokštumos lygtį, jei nenurodyta kitaip.

Puslapio viršuje