Дериватив гэж юу вэ?
Дериватив функцийн тодорхойлолт ба утга

Нэг хувьсагчийн функцийн дериватив ба түүний хэрэглээний талаархи миний зохиогчийн хичээлд энэ нийтлэлийг гэнэтийн байдлаар байрлуулсан нь олон хүнийг гайхшруулах болно. Эцсийн эцэст, сургуулиас хойшхи хугацаанд: стандарт сурах бичиг нь юуны түрүүнд дериватив, түүний геометрийн тодорхойлолтыг өгдөг. механик мэдрэмж. Дараа нь оюутнууд функцүүдийн деривативуудыг тодорхойлолтоор нь олдог бөгөөд үнэн хэрэгтээ зөвхөн дараа нь тэд ялгах аргыг төгс болгодог. дериватив хүснэгтүүд.

Гэхдээ миний бодлоор дараах хандлага нь илүү прагматик юм: юуны өмнө САЙН ОЙЛГОХ нь зүйтэй юм. функцийн хязгаар, ялангуяа, хязгааргүй бага хэмжигдэхүүнүүд. Гол нь үүнд л байгаа юм деривативын тодорхойлолт нь хязгаар гэсэн ойлголт дээр суурилдаг, үүнийг муу авч үзсэн сургуулийн курс. Тийм ч учраас мэдлэгийн боржингийн залуу хэрэглэгчдийн нэлээд хэсэг нь деривативын мөн чанарыг ойлгодоггүй. Тиймээс, хэрэв та чиг баримжаа муутай бол дифференциал тооцооэсвэл ухаалаг тархи олон жилийн туршЭнэ ачаа тээшнээс амжилттай салсан тул эхлээрэй функцийн хязгаарлалт. Үүний зэрэгцээ, тэдний шийдлийг мастер/санаж аваарай.

Үүнтэй ижил практик мэдрэмж нь эхлээд давуу талтай гэдгийг зааж өгдөг дериватив олж сурах, үүнд нарийн төвөгтэй функцүүдийн деривативууд. Онол бол онол, гэхдээ тэдний хэлснээр та үргэлж ялгахыг хүсдэг. Үүнтэй холбогдуулан жагсаасан зүйлсийг судлах нь дээр үндсэн хичээлүүд, магадгүй энэ нь болох болно ялгах мастерүйлдлийнхээ мөн чанарыг ч ухааралгүйгээр.

Би нийтлэлийг уншсаны дараа энэ хуудасны материалаас эхлэхийг зөвлөж байна. Деривативтай холбоотой хамгийн энгийн асуудлууд, ялангуяа функцийн графиктай шүргэгчийн асуудлыг авч үзнэ. Гэхдээ та хүлээж болно. Баримт нь деривативын олон хэрэглээ үүнийг ойлгохыг шаарддаггүй бөгөөд онолын хичээл нэлээд хожуу гарч ирсэн нь гайхах зүйл биш юм - би тайлбарлах шаардлагатай үед өсөх/багарах интервал ба экстремумыг олохфункцууд. Түүгээр ч зогсохгүй тэрээр энэ сэдвээр нэлээд удаан ажилласан. Функц ба графикууд” Би үүнийг эрт тавихаар шийдсэн хүртэл.

Иймд эрхэм цайны савнууд аа, ханалт нь амтгүй, дутуу байх тул өлөн мал шиг үүсмэлийн мөн чанарыг шингээх гэж яарах хэрэггүй.

Функцийн өсөлт, бууралт, максимум, минимум гэсэн ойлголт

Олон сургалтын хэрэглэгдэхүүнзаримыг ашиглан дериватив гэсэн ойлголтод хүргэж байна практик асуудлууд, би ч бас үүнийг бодож олсон сонирхолтой жишээ. Бид хүрэх боломжтой хот руу аялах гэж байна гэж төсөөлөөд үз дээ янз бүрийн аргаар. Муруй ороомгийн замыг нэн даруй хаяж, зөвхөн шулуун хурдны замыг авч үзье. Гэсэн хэдий ч шулуун шугамын чиглэлүүд бас өөр байдаг: та гөлгөр хурдны замаар хот руу хүрч болно. Эсвэл уулархаг хурдны зам дагуу - дээш доош, дээш доош. Өөр нэг зам зөвхөн өгсөж, өөр нэг зам үргэлж урууддаг. Экстрим сонирхогчид эгц хад, эгц авиралт бүхий хавцлаар дамжин өнгөрөх замыг сонгох болно.

Гэхдээ таны хүссэн зүйлээс үл хамааран тухайн газрыг мэдэх эсвэл ядаж байршлыг нь олж мэдэхийг зөвлөж байна байр зүйн зураг. Хэрэв ийм мэдээлэл байхгүй бол яах вэ? Эцсийн эцэст та жишээлбэл, гөлгөр замыг сонгож болно, гэхдээ үр дүнд нь хөгжилтэй Финчүүдтэй цанын налуу дээр бүдрэх болно. Навигатор эсвэл бүр хиймэл дагуулын зураг найдвартай мэдээлэл өгөх нь үнэн биш юм. Тиймээс математик ашиглан замын хөнгөвчлөх ажлыг албан ёсны болгох нь сайхан байх болно.

Зарим замыг харцгаая (хажуу талаас нь харах):

Ямар ч тохиолдолд би танд энгийн баримтыг сануулж байна: аялал тохиолддог зүүнээс баруун тийш. Энгийн байхын тулд бид функц гэж үздэг тасралтгүйавч үзэж буй талбайд.

ямар онцлогтой вэ энэ хуваарийн дагуу?

Интервалтайгаар функц нэмэгддэг, өөрөөр хэлбэл түүний дараагийн утга бүр илүүөмнөх нэг. Товчхондоо хуваарь нь явж байна доороос дээш(бид толгод авирч байна). Мөн интервал дээр функц буурдаг- тус бүр дараагийн утга багаөмнөх бөгөөд бидний хуваарь ажиллаж байна дээрээс доош(бид налуугаар бууж байна).

Бид бас анхаарлаа хандуулъя ганц бие цэгүүд. Бидний хүрэх цэг дээр дээд тал нь, тэр нь байдагутга нь хамгийн том (хамгийн өндөр) байх замын ийм хэсэг. Үүний зэрэгцээ энэ нь хүрч байна хамгийн бага, Мөн байдагутга нь хамгийн бага (хамгийн бага) байх түүний хөрш.

Бид ангидаа илүү хатуу нэр томъёо, тодорхойлолтыг авч үзэх болно. функцийн экстремумын тухай, гэхдээ одоо өөр нэг чухал шинж чанарыг судалж үзье: интервал дээр функц нь нэмэгдэж байгаа боловч нэмэгддэг -тай өөр өөр хурдтай . Таны анхаарлыг татдаг хамгийн эхний зүйл бол график интервалын явцад дээшлэх явдал юм хамаагүй дажгүй, интервал дээр бодвол . Математикийн багаж ашиглан замын эгц байдлыг хэмжих боломжтой юу?

Функцийн өөрчлөлтийн хурд

Энэ санаа нь: бага зэрэг үнэ цэнийг авч үзье ("delta x"-г уншина уу), бид үүнийг дуудах болно аргументийн өсөлт, мөн замынхаа янз бүрийн цэгүүдэд "оролдож" эхэлцгээе:

1) Хамгийн зүүн цэгийг харцгаая: зайг туулж, бид налууг өндөрт авирдаг ( ногоон шугам). Тоо хэмжээ гэж нэрлэдэг функцийн өсөлт, болон дотор энэ тохиолдолдЭнэ өсөлт эерэг байна (тэнхлэгийн дагуух утгуудын ялгаа нь). тэгээс их). Замынхаа эгц байдлын хэмжүүр болох харьцааг бий болгоё. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь маш тодорхой тоо бөгөөд хоёр өсөлт нь эерэг тул .

Анхаар! Тэмдэглэлүүд нь НЭГтэмдэг, өөрөөр хэлбэл та "Х" -ээс "гурвалжин" хэсгийг "урагдаад" эдгээр үсгийг тусад нь авч үзэх боломжгүй. Мэдээжийн хэрэг, тайлбар нь функцийн өсөлтийн тэмдэгт хамаарна.

Үүссэн бутархайн мөн чанарыг илүү утга учиртай судалж үзье. Эхлээд 20 метрийн өндөрт (зүүн хар цэг дээр) байцгаая. Метрүүдийн зайг (зүүн улаан шугам) туулсны дараа бид өөрсдийгөө 60 метрийн өндөрт олох болно. Дараа нь функцийн өсөлт нь байх болно метр (ногоон шугам) ба: . Тиймээс, метр бүртзамын энэ хэсэг өндөр нэмэгддэг дунджаар 4 метрээр... авирах хэрэгслээ мартсан уу? =) Өөрөөр хэлбэл, бүтээгдсэн хамаарал нь функцийн ӨӨРЧЛӨЛТИЙН ДУНДАЖ ХҮН (энэ тохиолдолд өсөлт)-ийг тодорхойлдог.

Анхаарна уу : тоон утгуудЭнэ жишээ нь зургийн пропорцтой тохирч байна.

2) Одоо хамгийн баруун талын хар цэгээс ижил зайд явцгаая. Энд өсөлт нь илүү аажмаар явагддаг тул өсөлт (час улаан шугам) харьцангуй бага бөгөөд өмнөх тохиолдолтой харьцуулахад харьцаа нь маш даруухан байх болно. Харьцангуй хэлэхэд, метр ба функциональ өсөлтийн хурднь . Өөрөөр хэлбэл, замын метр бүрт энд байдаг дунджаархагас метрийн өсөлт.

3) Бяцхан адал явдалуулын энгэрт. Ординатын тэнхлэг дээр байрлах дээд хар цэгийг харцгаая. Энэ бол 50 метрийн тэмдэг гэж бодъё. Бид дахин зайг даван туулж, үүний үр дүнд бид 30 метрийн түвшинд доошоо орлоо. Хөдөлгөөн явагдаж байгаа тул дээрээс доош(тэнхлэгийн "эсрэг" чиглэлд), дараа нь эцсийн функцийн өсөлт (өндөр) сөрөг байх болно: метр (зураг дээрх хүрэн сегмент). Мөн энэ тохиолдолд бид аль хэдийн ярьж байна буурах хурдОнцлогууд: , өөрөөр хэлбэл, энэ хэсгийн замын метр тутамд өндөр нь буурдаг дунджаар 2 метрээр. Тав дахь цэг дээр хувцасаа анхаарч үзээрэй.

Одоо өөрөөсөө асууя: ашиглахад хамгийн сайн "хэмжилтийн стандарт" нь юу вэ? Энэ нь ойлгомжтой, 10 метр бол маш бүдүүлэг юм. Сайн арваад овойлт нь тэдгээрт амархан багтах болно. Ямар ч овойлттой, доор нь гүн хавцал байж магадгүй бөгөөд хэдхэн метрийн дараа түүний нөгөө тал нь эгц дээшилдэг. Тиймээс, арван метрийн хувьд бид харьцаагаар дамжин өнгөрөх замын ийм хэсгүүдийн ойлгомжтой тайлбарыг олж авахгүй.

Дээрх хэлэлцүүлгээс дараах дүгнэлтийг гаргав. яаж бага үнэ цэнэ , бид замын топографийг илүү нарийвчлалтай тодорхойлдог. Үүнээс гадна дараахь баримтууд үнэн юм.

– Хэнд ч зориулавөргөх цэгүүд та тодорхой өсөлтийн хязгаарт тохирох утгыг (маш бага байсан ч) сонгож болно. Энэ нь харгалзах өндрийн өсөлт эерэг байх баталгаатай байх бөгөөд тэгш бус байдал нь эдгээр интервалын цэг бүрт функцийн өсөлтийг зөв зааж өгнө гэсэн үг юм.

- Үүний нэгэн адил, ямар ч хувьдналуу цэг нь энэ налуу дээр бүрэн тохирох утга байна. Иймээс өндрийн харгалзах өсөлт нь тодорхой сөрөг бөгөөд тэгш бус байдал нь өгөгдсөн интервалын цэг бүрт функцийн бууралтыг зөв харуулах болно.

– Ялангуяа сонирхолтой тохиолдол бол функцийн өөрчлөлтийн хурд тэг байх явдал юм: . Нэгдүгээрт, өндрийн тэг өсөлт () нь гөлгөр замын шинж тэмдэг юм. Хоёрдугаарт, бусад сонирхолтой нөхцөл байдал байдаг бөгөөд тэдгээрийн жишээг зураг дээр харж байна. Хувь тавилан биднийг бүргэдтэй дов толгод эсвэл мэлхий шуугих жалга довны ёроолд хүргэсэн гэж төсөөлөөд үз дээ. Хэрэв та ямар нэгэн чиглэлд жижиг алхам хийвэл өндрийн өөрчлөлт нь үл тоомсорлох бөгөөд функцийн өөрчлөлтийн хурд нь үнэндээ тэг гэж хэлж болно. Энэ бол яг цэг дээр ажиглагдсан дүр зураг юм.

Ингээд бид хүрч ирлээ гайхалтай боломжфункцийн өөрчлөлтийн хурдыг хамгийн оновчтой тодорхойлох. Эцсийн эцэст математик шинжилгээнь аргументийн өсөлтийг тэг рүү чиглүүлэх боломжийг олгодог: , өөрөөр хэлбэл үүнийг хийх хязгааргүй жижиг.

Үүний үр дүнд өөр нэг логик асуулт гарч ирнэ: зам, түүний хуваарийг олох боломжтой юу? өөр функц, аль бидэнд мэдэгдэнэбүх хавтгай хэсгүүдийн тухай, өгсөх, уруудах, оргилууд, хөндийгүүд, түүнчлэн замын дагуух цэг бүрийн өсөлт/бууралтын хурд?

Дериватив гэж юу вэ? Деривативын тодорхойлолт.
Дериватив ба дифференциалын геометрийн утга

Маш хурдан биш, анхааралтай уншина уу - материал нь энгийн бөгөөд хүн бүрт хүртээмжтэй! Хэрэв зарим газарт ямар нэг зүйл тодорхойгүй байвал та дараа нь нийтлэл рүү буцаж болно. Би илүү их зүйлийг хэлье, бүх зүйлийг сайтар ойлгохын тулд онолыг хэд хэдэн удаа судлах нь ашигтай байдаг (зөвлөгөө нь ялангуяа "техникийн" оюутнуудад хамааралтай болно. дээд математикболовсролын үйл явцад чухал үүрэг гүйцэтгэдэг).

Мэдээжийн хэрэг, деривативын тодорхойлолтод бид үүнийг дараах байдлаар орлуулдаг.

Бид юунд хүрэв? Тэгээд бид хуулийн дагуу чиг үүргийнх нь төлөө гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн дагуу тавьдаг бусад функцгэж нэрлэдэг дериватив функц(эсвэл зүгээр л дериватив).

Дериватив нь тодорхойлогддог өөрчлөлтийн хурдфункцууд Яаж? Энэ санаа нь нийтлэлийн эхнээс л улаан утас шиг урсдаг. Зарим нэг зүйлийг авч үзье тодорхойлолтын домэйнфункцууд Өгөгдсөн цэг дээр функцийг дифференциалч байг. Дараа нь:

1) Хэрэв бол функц нь цэг дээр нэмэгдэнэ. Бас байгаа нь ойлгомжтой интервал(маш жижиг ч гэсэн) функц өсөх цэгийг агуулсан бөгөөд түүний график нь "доороос дээш" явдаг.

2) Хэрэв бол функц нь цэг дээр буурна. Мөн функц буурах цэгийг агуулсан интервал байдаг (график "дээрээс доош" явдаг).

3) Хэрэв , тэгвэл хязгааргүй ойрхонцэгийн ойролцоо функц нь хурдаа тогтмол байлгадаг. Энэ нь тэмдэглэснээр тогтмол функцээр тохиолддог функцийн чухал цэгүүдэд, ялангуяа хамгийн бага ба дээд цэгүүдэд.

Бага зэрэг семантик. Юу байна өргөн утгаараа"Ялгах" үйл үг нь юу гэсэн үг вэ? Ялгах гэдэг нь ямар нэг онцлогийг тодруулах гэсэн үг. Функцийг ялгах замаар бид түүний өөрчлөлтийн хурдыг функцийн дериватив хэлбэрээр "тусгаарлана". Дашрамд хэлэхэд "үүсмэл" гэдэг үг юу гэсэн үг вэ? Чиг үүрэг болсонфункцээс.

Нэр томьёог деривативын механик утгаар маш амжилттай тайлбарласан байдаг :
Цаг хугацаанаас хамааран биеийн координатын өөрчлөлтийн хууль, тухайн биеийн хөдөлгөөний хурдны функцийг авч үзье. Функц нь биеийн координатын өөрчлөлтийн хурдыг тодорхойлдог тул цаг хугацааны хувьд функцийн анхны дериватив юм: . Хэрэв "биеийн хөдөлгөөн" гэсэн ойлголт байгальд байгаагүй бол байхгүй байх байсан дериватив"Биеийн хурд" гэсэн ойлголт.

Биеийн хурдатгал нь хурдны өөрчлөлтийн хурд бөгөөд иймээс: . Хэрэв "биеийн хөдөлгөөн", "биеийн хурд" гэсэн анхны ойлголтууд байгальд байхгүй байсан бол байхгүй байх байсан дериватив"Биеийн хурдатгал" гэсэн ойлголт.

Чухал тэмдэглэл!
1. Хэрэв та томьёоны оронд gobbledygook-г харвал кэшээ цэвэрлэ. Үүнийг хөтөч дээрээ хэрхэн хийх талаар энд бичсэн болно:
2. Өгүүллийг уншиж эхлэхээсээ өмнө манай хөтөчийг хамгийн их анхаарч үзээрэй ашигтай нөөцУчир нь

Уул толгодоор дамжин өнгөрөх шулуун замыг төсөөлье. Энэ нь дээш доош явдаг боловч баруун, зүүн тийш эргэхгүй. Хэрэв тэнхлэгийг замын дагуу хэвтээ ба босоо чиглэлд чиглүүлсэн бол замын шугам нь зарим тасралтгүй функцын графиктай маш төстэй байх болно.

Тэнхлэг бол амьдралынхаа туршид бид далайн түвшинг ашигладаг тэг өндөр юм.

Ийм замаар урагшлахдаа бид бас дээшээ доошоо хөдөлдөг. Бид бас хэлж болно: аргумент өөрчлөгдөхөд (абсцисса тэнхлэгийн дагуух хөдөлгөөн), функцийн утга өөрчлөгдөнө (ординатын тэнхлэгийн дагуух хөдөлгөөн). Одоо замынхаа "эгц" байдлыг хэрхэн тодорхойлох талаар бодъё? Энэ ямар үнэ цэнэ байж болох вэ? Энэ нь маш энгийн: тодорхой зайд урагшлахад өндөр нь хэр их өөрчлөгдөх вэ. Үнэн хэрэгтээ, замын янз бүрийн хэсэгт нэг километр урагшлах (x тэнхлэгийн дагуу) бид дээшлэх эсвэл унах болно. өөр өөр тоо хэмжээметр далайн түвшинтэй харьцуулахад (ординатын тэнхлэгийн дагуу).

Ахиц дэвшлийг тэмдэглэе ("дельта x" -ийг уншина уу).

Грек үсгийг (дельта) математикт "өөрчлөх" гэсэн утгатай угтвар болгон ашигладаг. Энэ нь - энэ нь тоо хэмжээний өөрчлөлт, - өөрчлөлт; тэгээд юу вэ? Энэ нь зөв, цар хүрээний өөрчлөлт.

Чухал: илэрхийлэл нь нэг бүхэл, нэг хувьсагч юм. "Дельта"-г "x" эсвэл бусад үсгээс хэзээ ч бүү салга!

Энэ нь жишээлбэл, .

Ингээд бид урагшаа, хэвтээгээр, замаар урагшиллаа. Хэрэв бид замын шугамыг функцийн графиктай харьцуулж үзвэл өсөлтийг хэрхэн тэмдэглэх вэ? Мэдээж, . Энэ нь бид урагшлах тусам улам дээшилдэг. Үнэ цэнийг тооцоолоход хялбар байдаг: хэрэв бид эхэндээ өндөрт байсан бол хөдөлсний дараа бид өөрсдийгөө өндөрт олсон бол. Хэрэвтөгсгөлийн цэг

эхнийхээс доогуур болсон, энэ нь сөрөг байх болно - энэ нь бид дээшээ биш харин доошилж байна гэсэн үг юм.

"эгц" рүү буцъя: энэ нь нэг нэгж зайд урагшлахад өндөр нь хэр их (эгц) нэмэгдэж байгааг харуулсан утга юм.

Замын зарим хэсэгт нэг километр урагшлах үед зам нэг километрээр дээшилдэг гэж бодъё. Дараа нь энэ газарт налуу тэнцүү байна. Хэрэв зам нь м-ээр урагшилж байхдаа км-ээр буурсан уу? Дараа нь налуу нь тэнцүү байна.

Өөрөөр хэлбэл, бидний логикоор бол налуу нь бараг тэгтэй тэнцүү байгаа нь үнэн биш юм. Ердөө километрийн зайд их зүйл өөрчлөгдөж болно. Эгцийг илүү оновчтой, үнэн зөв үнэлэхийн тулд жижиг талбайнуудыг авч үзэх шаардлагатай. Жишээлбэл, хэрэв та нэг метрийг хөдөлгөхөд өндрийн өөрчлөлтийг хэмжих юм бол үр дүн нь илүү нарийвчлалтай байх болно. Гэхдээ энэ нарийвчлал нь бидэнд хангалтгүй байж магадгүй юм - эцэст нь замын голд шон байгаа бол бид зүгээр л өнгөрч болно. Тэгвэл бид ямар зайг сонгох ёстой вэ? Сантиметр? Миллиметр? Бага нь илүү!

IN бодит амьдралХамгийн ойрын миллиметр хүртэлх зайг хэмжих нь хангалттай юм. Гэхдээ математикчид үргэлж төгс төгөлдөрт тэмүүлдэг. Тиймээс энэ үзэл баримтлалыг зохион бүтээсэн хязгааргүй жижиг, өөрөөр хэлбэл үнэмлэхүй утга нь бидний нэрлэж чадах тооноос бага байна. Жишээлбэл, та: нэг их наяд дахь! Хэр бага вэ? Мөн та энэ тоог хуваавал бүр бага байх болно. гэх мэт. Хэрэв бид хэмжигдэхүүнийг хязгааргүй жижиг гэж бичихийг хүсвэл дараах байдлаар бичнэ: (бид "x нь тэг рүү чиглэдэг" гэж уншдаг). Үүнийг ойлгох нь маш чухал юм Энэ тоо тэгтэй тэнцүү биш байна!Гэхдээ маш ойрхон. Энэ нь та үүнийг хувааж болно гэсэн үг юм.

Хязгааргүй жижигийн эсрэг ойлголт нь хязгааргүй том (). Та тэгш бус байдлын талаар ажиллаж байхдаа үүнийг аль хэдийн олж мэдсэн байх: энэ тоо нь таны бодож байгаа бүх тооноос модулиар их байна. Хэрэв та хамгийн том нь гарч ирсэн бол боломжит тоо, зүгээр л хоёроор үржүүлбэл илүү ихийг авна. Мөн хязгааргүй хэвээр байна үүнээс гаднаюу болох бол. Үнэн хэрэгтээ, хязгааргүй том, хязгааргүй жижиг нь бие биенийхээ урвуу, өөрөөр хэлбэл at, мөн эсрэгээр: at.

Одоо буцаад замдаа орцгооё. Тохиромжтой тооцоолсон налуу нь замын хязгааргүй жижиг сегментийн хувьд тооцоолсон налуу юм, өөрөөр хэлбэл:

Хязгааргүй жижиг шилжилтийн үед өндрийн өөрчлөлт нь мөн хязгааргүй бага байх болно гэдгийг би тэмдэглэж байна. Гэхдээ хязгааргүй жижиг гэсэн үг биш гэдгийг сануулъя тэгтэй тэнцүү. Хязгааргүй цөөн тоог бие биендээ хуваавал нилээдгүй тоо гарч ирнэ ердийн тоо, Жишээлбэл, . Өөрөөр хэлбэл, нэг жижиг утга нөгөөгөөсөө яг дахин их байж болно.

Энэ бүхэн юуны төлөө вэ? Зам, эгц ... Бид автомашины раллид явахгүй, гэхдээ бид математикийн хичээл зааж байна. Мөн математикт бүх зүйл яг адилхан, зөвхөн өөрөөр нэрлэдэг.

Деривативын тухай ойлголт

Функцийн дериватив нь функцийн өсөлтийг аргументийн хязгааргүй бага өсөлтийн аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцаа юм.

Аажмаарматематикт тэд өөрчлөлт гэж нэрлэдэг. Аргумент () тэнхлэгийн дагуу шилжихэд хэр зэрэг өөрчлөгдөхийг нэрлэдэг аргументийн өсөлтмөн тэнхлэгийн дагуу урагшлах үед функц (өндөр) хэр их өөрчлөгдсөнийг нэрлэнэ функцийн өсөлтболон томилогдсон.

Тэгэхээр, функцийн дериватив нь хэзээ ба харьцаа юм. Бид деривативыг функцтэй ижил үсгээр тэмдэглэж, зөвхөн баруун дээд талд байгаа анхны тоогоор тэмдэглэнэ: эсвэл энгийн. Тиймээс эдгээр тэмдэглэгээг ашиглан дериватив томъёог бичье.

Замтай зүйрлэвэл энд функц нэмэгдэхэд дериватив эерэг, буурах үед сөрөг байна.

Дериватив нь тэгтэй тэнцүү байж чадах уу? Мэдээж. Жишээлбэл, бид тэгш, хэвтээ замаар явж байгаа бол эгц нь тэг байна. Өндөр нь огт өөрчлөгддөггүй нь үнэн. Деривативтай адил: дериватив тогтмол функц(тогтмол) нь тэгтэй тэнцүү:

учир нь ийм функцийн өсөлт нь аль нэг нь тэгтэй тэнцүү байна.

Уулын жишээг санацгаая. Сегментийн төгсгөлийг дагуулан зохион байгуулах боломжтой болсон өөр өөр талууддээрээс нь, ингэснээр төгсгөлийн өндөр нь ижил, өөрөөр хэлбэл сегмент нь тэнхлэгтэй параллель байна:

Гэхдээ том сегментүүд нь буруу хэмжилтийн шинж тэмдэг юм. Бид сегментээ өөртэйгээ зэрэгцүүлэн дээшлүүлж, урт нь багасна.

Эцсийн эцэст бид дээд талдаа хязгааргүй ойртох үед сегментийн урт нь хязгааргүй жижиг болно. Гэхдээ үүнтэй зэрэгцэн энэ нь тэнхлэгтэй параллель хэвээр байсан, өөрөөр хэлбэл түүний төгсгөлийн өндрийн зөрүү нь тэгтэй тэнцүү байна (энэ нь хандлагатай байдаггүй, гэхдээ тэнцүү). Тиймээс дериватив

Үүнийг ингэж ойлгож болно: бид хамгийн дээд талд зогсоход зүүн эсвэл баруун тийш бага зэрэг шилжих нь бидний өндрийг үл тоомсорлодог.

Мөн цэвэр алгебрийн тайлбар байдаг: оройн зүүн талд функц нэмэгдэж, баруун талд нь буурдаг. Өмнө нь мэдэж байсанчлан функц нэмэгдэхэд дериватив эерэг, буурах үед сөрөг байна. Гэхдээ энэ нь үсрэлтгүйгээр жигд өөрчлөгддөг (зам нь хаана ч налуугаа огцом өөрчилдөггүй). Тиймээс сөрөг ба хооронд эерэг утгуудзаавал байх ёстой. Энэ нь функц нэмэгдэхгүй, буурахгүй байх болно - оройн цэг дээр.

Тэвшийн хувьд ч мөн адил (зүүн талын функц буурч, баруун талд нэмэгдэх хэсэг):

Нэмэгдлийн талаар бага зэрэг илүү.

Тиймээс бид аргументыг хэмжээ болгон өөрчилдөг. Бид ямар үнэ цэнээс өөрчлөгддөг вэ? Энэ (маргаан) одоо юу болсон бэ? Бид ямар ч цэгийг сонгож болно, одоо бид үүнээс бүжиглэх болно.

Координаттай цэгийг авч үзье. Түүнд байгаа функцын утга тэнцүү байна. Дараа нь бид ижил өсөлтийг хийдэг: бид координатыг нэмэгдүүлнэ. Одоо ямар маргаан байна вэ? Маш амархан:. Функцийн үнэ одоо хэд вэ? Аргумент хаана явна, функц нь мөн адил байна: . Функцийн өсөлтийн талаар юу хэлэх вэ? Шинэ зүйл алга: энэ нь функц өөрчлөгдсөн хэмжээ хэвээр байна:

Өсөлтийг олох дасгал хийх:

1. Аргументийн өсөлт нь тэнцүү байх үед функцийн өсөлтийг ол.
2. Тухайн цэг дээрх функцэд мөн адил хамаарна.

Шийдэл:

IN өөр өөр цэгүүдижил аргументийн өсөлттэй бол функцийн өсөлт өөр байх болно. Энэ нь цэг бүрийн дериватив нь өөр байна гэсэн үг (бид энэ талаар хамгийн эхэнд ярилцсан - замын эгц байдал өөр өөр цэгүүдэд өөр өөр байдаг). Тиймээс бид дериватив бичихдээ ямар цэгийг зааж өгөх ёстой:

Эрчим хүчний функц.

Хүчин чадлын функц нь аргумент нь тодорхой хэмжээгээр (логик, тийм үү?) байдаг функц юм.

Түүнээс гадна - ямар ч хэмжээгээр: .

Хамгийн энгийн тохиолдол- энэ үед илтгэгч:

Нэг цэгээс түүний деривативыг олъё. Деривативын тодорхойлолтыг эргэн санацгаая:

Тиймээс аргумент нь -ээс өөрчлөгдөнө. Функцийн өсөлт хэд вэ?

Өсөлт нь энэ. Гэхдээ аль ч цэг дэх функц нь түүний аргументтай тэнцүү байна. Тийм учраас:

Дериватив нь дараахтай тэнцүү байна.

-ийн дериватив нь дараахтай тэнцүү байна.

б) Одоо бод квадрат функц (): .

Одоо үүнийг санацгаая. Энэ нь өсөлтийн утгыг үл тоомсорлож болно гэсэн үг юм, учир нь энэ нь хязгааргүй бага тул нөгөө нэр томъёоны дэвсгэр дээр ач холбогдолгүй болно.

Тиймээс бид өөр нэг дүрмийг гаргаж ирэв:

в) Бид логик цувралыг үргэлжлүүлнэ: .

Энэ илэрхийллийг янз бүрийн аргаар хялбарчилж болно: нийлбэрийн кубыг товчилсон үржүүлэх томъёог ашиглан эхний хаалтыг нээх, эсвэл шоо дөрвөлжингийн зөрүүг ашиглан илэрхийллийг бүхэлд нь хүчин зүйл болгон хуваах. Санал болгож буй аргуудын аль нэгийг ашиглан өөрөө хийхийг хичээ.

Тиймээс би дараахь зүйлийг авсан.

Үүнийг дахин санацгаая. Энэ нь бид дараахь зүйлийг агуулсан бүх нэр томъёог үл тоомсорлож болно гэсэн үг юм.

Бид авна: .

г) Том гүрний хувьд ижил төстэй дүрмийг авч болно:

e) Энэ дүрмийг ерөнхийд нь хэлж болно эрчим хүчний функцбүхэл тоо ч биш дурын илтгэгчтэй:

Дүрмийг "зэрэглэлийг коэффициент болгон урагшлуулж, дараа нь -ээр бууруулна" гэсэн үгээр томъёолж болно.

Бид энэ дүрмийг дараа нь батлах болно (бараг эцэст нь). Одоо хэд хэдэн жишээг харцгаая. Функцийн деривативыг ол:

1. (хоёр аргаар: томъёогоор болон деривативын тодорхойлолтыг ашиглан - функцийн өсөлтийг тооцоолох замаар);

Тригонометрийн функцууд.

Энд бид дээд математикийн нэг баримтыг ашиглах болно:

Илэрхийлэлээр.

Та институтын эхний жилдээ нотлох баримтыг сурах болно (мөн тэнд очихын тулд та Улсын нэгдсэн шалгалтыг сайн өгөх хэрэгтэй). Одоо би үүнийг графикаар харуулах болно:

Функц байхгүй үед график дээрх цэг таслагдахыг бид харж байна. Гэхдээ утгад ойртох тусам функц нь "зорилготой" зүйл юм.

Нэмж дурдахад та тооцоолуур ашиглан энэ дүрмийг шалгаж болно. Тийм ээ, тийм ээ, бүү ич, тооны машин ав, бид улсын нэгдсэн шалгалтанд хараахан ороогүй байна.

Ингээд оролдоод үзье: ;

Тооцоологчоо Радиан горимд шилжүүлэхээ бүү мартаарай!

гэх мэт. Бид бага байх тусам илүү ойр үнэ цэнэ-тай харилцах

a) Функцийг авч үзье. Ердийнх шиг, түүний өсөлтийг олъё:

Синусын зөрүүг бүтээгдэхүүн болгоё. Үүнийг хийхийн тулд бид томъёог ашигладаг ("" сэдвийг санаарай): .

Одоо дериватив нь:

Сэлгээ хийцгээе: . Тэгвэл хязгааргүй жижигийн хувьд мөн л хязгааргүй жижиг байна: . илэрхийлэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Одоо бид үүнийг илэрхийлэлтэйгээр санаж байна. Мөн түүнчлэн, нийлбэрт (өөрөөр хэлбэл, at) хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүнийг үл тоомсорлож байвал яах вэ.

Тиймээс бид дараах дүрмийг авна. синусын дериватив нь косинустай тэнцүү байна:

Эдгээр нь үндсэн ("хүснэгт") деривативууд юм. Энд тэд нэг жагсаалтад байна:

Дараа нь бид хэд хэдэн зүйлийг нэмж оруулах болно, гэхдээ эдгээр нь ихэвчлэн ашиглагддаг тул хамгийн чухал нь юм.

Дадлага хийх:

1. Тухайн цэг дээрх функцийн деривативыг олох;
2. Функцийн деривативыг ол.

Шийдэл:

Экспонент ба натурал логарифм.

Математикт функц байдаг бөгөөд түүний дериватив нь тухайн функцийн өөрийн утгатай тэнцүү байдаг. Үүнийг "экспонент" гэж нэрлэдэг бөгөөд экспоненциал функц юм

Энэ функцийн үндэс нь тогтмол юм - энэ нь хязгааргүй юм аравтын, өөрөөр хэлбэл, иррационал тоо (жишээ нь). Үүнийг "Эйлерийн тоо" гэж нэрлэдэг тул үсгээр тэмдэглэдэг.

Тиймээс, дүрэм:

Санахад маш амархан.

За, хол явахгүй, шууд харцгаая урвуу функц. Аль функцийн урвуу функц экспоненциал функц? Логарифм:

Манай тохиолдолд суурь нь дараах тоо юм.

Ийм логарифмийг (өөрөөр хэлбэл суурьтай логарифм) "байгалийн" гэж нэрлэдэг бөгөөд бид үүнд зориулж тусгай тэмдэглэгээ ашигладаг: бид оронд нь бичдэг.

Энэ нь юутай тэнцүү вэ? Мэдээжийн хэрэг.

Байгалийн логарифмын дериватив нь маш энгийн:

Жишээ нь:

1. Функцийн деривативыг ол.
2. Функцийн дериватив нь юу вэ?

Хариултууд: Үзэсгэлэнд оролцогч болон байгалийн логарифм- функцууд нь деривативын хувьд онцгой энгийн байдаг. Бусад суурьтай экспоненциал болон логарифм функцууд нь өөр деривативтай байх бөгөөд бид үүнийг дараа нь шинжлэх болно. дүрэм журмаар явцгааяялгах.

Ялгах дүрэм

Юуны дүрэм? Ахиад л шинэ нэр томъёо, дахиад?!...

Ялгаварлахдеривативыг олох үйл явц юм.

Ингээд л болоо. Энэ үйл явцыг нэг үгээр өөр юу гэж нэрлэх вэ? Дериватив биш ... Математикчид дифференциалыг функцийн ижил өсөлт гэж нэрлэдэг. Энэ нэр томъёо нь Латин дифференциас - ялгаа гэсэн үгнээс гаралтай. Энд.

Эдгээр бүх дүрмийг гаргахдаа бид хоёр функцийг ашиглана, жишээ нь, ба. Бидэнд мөн тэдгээрийн өсөлтийн томъёо хэрэгтэй болно:

Нийтдээ 5 дүрэм байдаг.

Тогтмолыг дериватив тэмдгээс хасна.

Хэрэв - зарим нь тогтмол тоо(тогтмол), тэгвэл.

Мэдээжийн хэрэг, энэ дүрэм нь ялгааны хувьд бас ажилладаг: .

Үүнийг баталъя. Байг, эсвэл илүү энгийн.

Жишээ.

Функцийн деривативуудыг ол:

1. нэг цэг дээр;
2. нэг цэг дээр;
3. нэг цэг дээр;
4. цэг дээр.

Шийдэл:

Бүтээгдэхүүний дериватив

Энд бүх зүйл ижил байна: шинэ функцийг нэвтрүүлж, түүний өсөлтийг олцгооё:

Дериватив:

Жишээ нь:

1. Функцийн деривативыг олох ба;
2. Тухайн цэг дээрх функцийн деривативыг ол.

Шийдэл:

Экспоненциал функцийн дериватив

Одоо таны мэдлэг зөвхөн илтгэгчийг бус аливаа экспоненциал функцийн деривативыг хэрхэн олохыг сурахад хангалттай (та энэ юу болохыг мартсан уу?).

Тэгэхээр хэдэн тоо хаана байна.

Бид функцийн деривативыг аль хэдийн мэдэж байгаа тул функцээ шинэ суурь руу оруулахыг хичээцгээе.

Үүний тулд бид ашиглах болно энгийн дүрэм: . Дараа нь:

За, бүтсэн. Одоо деривативыг олохыг хичээ, энэ функц нь нарийн төвөгтэй гэдгийг мартаж болохгүй.

Энэ ажилласан уу?

Энд өөрийгөө шалгана уу:

Томъёо нь экспонентийн деривативтай маш төстэй болж хувирав: энэ нь хэвээр үлдэж, зөвхөн нэг хүчин зүйл гарч ирсэн бөгөөд энэ нь зүгээр л тоо боловч хувьсагч биш юм.

Жишээ нь:
Функцийн деривативуудыг ол:

Хариултууд:

Логарифм функцийн дериватив

Үүнтэй төстэй: та байгалийн логарифмын деривативыг аль хэдийн мэддэг болсон.

Тиймээс өөр суурьтай дурын логарифмийг олохын тулд, жишээлбэл:

Бид энэ логарифмыг суурь болгон багасгах хэрэгтэй. Логарифмын суурийг хэрхэн өөрчлөх вэ? Та энэ томъёог санаж байна гэж найдаж байна:

Зөвхөн одоо бид оронд нь бичих болно:

Хуваагч нь зүгээр л тогтмол (хувьсагчгүй тогтмол тоо) юм. Деривативыг маш энгийнээр олж авдаг:

Экспоненциал ба логарифм функцуудУлсын нэгдсэн шалгалтанд бараг хэзээ ч ордоггүй, гэхдээ тэднийг мэдэхэд гомдохгүй.

Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив.

"Цогц функц" гэж юу вэ? Үгүй ээ, энэ бол логарифм биш, арктангенс ч биш. Эдгээр функцийг ойлгоход хэцүү байж болох юм (хэдийгээр танд логарифм хийхэд хэцүү гэж үзвэл "Логарифм" гэсэн сэдвийг уншвал зүгээр байх болно), гэхдээ математикийн үүднээс "цогцолбор" гэдэг нь "хэцүү" гэсэн үг биш юм.

Жижиг туузан дамжуулагчийг төсөөлөөд үз дээ: хоёр хүн сууж, зарим объекттой зарим үйлдэл хийж байна. Жишээлбэл, эхнийх нь шоколадны баарыг боодол дээр боож, хоёр дахь нь туузаар холбодог. Үр дүн нь нийлмэл объект юм: шоколадны баар ороож, туузаар холбосон. Шоколадны баар идэхийн тулд та урвуу алхамуудыг хийх хэрэгтэй урвуу дараалал.

Үүнтэй төстэй математик шугамыг бүтээцгээе: эхлээд бид тооны косинусыг олж, дараа нь гарсан тоог квадрат болгоно. Тиймээс, бидэнд тоо (шоколад) өгөгдсөн, би түүний косинусыг (боодол) олоод, дараа нь та миний авсан зүйлийг дөрвөлжин болго (туузаар уя). Юу болсон бэ? Чиг үүрэг. Энэ бол жишээ юм нарийн төвөгтэй функц: утгыг нь олохын тулд бид эхний үйлдлийг хувьсагчтай шууд хийж, дараа нь эхний үйлдлээс гарсан үйлдэлтэй хоёр дахь үйлдлийг хийнэ.

Бид урвуу дарааллаар ижил алхмуудыг хялбархан хийж чадна: эхлээд та үүнийг квадрат болго, дараа нь би гарсан тооны косинусыг хайж байна: . Үр дүн нь бараг үргэлж өөр байх болно гэдгийг таахад хялбар байдаг. Чухал онцлогнарийн төвөгтэй функцууд: үйлдлийн дараалал өөрчлөгдөхөд функц өөрчлөгдөнө.

Өөрөөр хэлбэл, нийлмэл функц нь аргумент нь өөр функц болох функц юм: .

Эхний жишээнд, .

Хоёр дахь жишээ: (ижил зүйл). .

Бидний хамгийн сүүлд хийх үйлдлийг дуудах болно "гадаад" функц, мөн эхний гүйцэтгэсэн үйлдэл - үүний дагуу "дотоод" функц(эдгээр нь албан бус нэрс, би зөвхөн материалыг энгийн хэлээр тайлбарлахад ашигладаг).

Аль функц нь гадаад, аль нь дотоод гэдгийг өөрөө тодорхойлохыг хичээ.

Хариултууд:Дотоод болон гадаад функцийг салгах нь хувьсагчийг өөрчлөхтэй маш төстэй: жишээлбэл, функцэд

Бид хувьсагчдыг сольж, функцийг авдаг.

За, одоо бид шоколадаа гаргаж аваад деривативыг хайх болно. Процедур нь үргэлж эсрэгээрээ байдаг: эхлээд бид гадаад функцийн деривативыг хайж, дараа нь үр дүнг дотоод функцийн деривативаар үржүүлнэ. -тай холбоотой анхны жишээЭнэ нь иймэрхүү харагдаж байна:

Өөр нэг жишээ:

Ингээд эцэст нь албан ёсны дүрмийг томъёолъё:

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олох алгоритм:

Энэ нь энгийн юм шиг санагдаж байна, тийм үү?

Жишээнүүдээр шалгацгаая:

ҮҮСГЭЛ. ГОЛ ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧХОН

Функцийн дериватив- функцийн өсөлтийг аргументийн хязгааргүй бага өсөлтийн аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцаа:

Үндсэн деривативууд:

Ялгах дүрэм:

Тогтмолыг дериватив тэмдгээс хасна:

Нийлбэрийн дериватив:

Бүтээгдэхүүний дериватив:

Хэсгийн дериватив:

Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив:

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олох алгоритм:

1. Бид "дотоод" функцийг тодорхойлж, түүний уламжлалыг олдог.
2. Бид "гадаад" функцийг тодорхойлж, түүний уламжлалыг олдог.
3. Бид эхний болон хоёр дахь цэгүүдийн үр дүнг үржүүлдэг.

За ингээд сэдэв дууслаа. Хэрэв та эдгээр мөрүүдийг уншиж байгаа бол та маш дажгүй байна гэсэн үг.

Учир нь хүмүүсийн ердөө 5% нь ямар нэг зүйлийг бие даан эзэмших чадвартай байдаг. Хэрэв та эцсээ хүртэл уншсан бол та энэ 5% -д байна!

Одоо хамгийн чухал зүйл.

Та энэ сэдвээр онолыг ойлгосон. Би давтан хэлье, энэ бол зүгээр л супер! Та үе тэнгийнхнийхээ дийлэнх олонхоос аль хэдийн илүү болсон.

Асуудал нь энэ нь хангалтгүй байж магадгүй юм ...

Юуны төлөө?

Учир нь амжилттай дуусгахУлсын нэгдсэн шалгалт, коллежид төсвөөр элсэх, ХАМГИЙН ЧУХАЛ насан туршдаа.

Би чамайг юунд ч итгүүлэхгүй, нэг л зүйлийг хэлье...

Хүлээн авсан хүмүүс сайн боловсрол, хүлээн аваагүй хүмүүсээс хамаагүй их орлого олдог. Энэ бол статистик.

Гэхдээ энэ нь гол зүйл биш юм.

Хамгийн гол нь тэд ИЛҮҮ АЗ ЖАРГАЛТАЙ байдаг (ийм судалгаанууд байдаг). Магадгүй тэдний өмнө илүү их нээлттэй байгаа болохоор тэр байх илүү их боломжуудтэгээд амьдрал илүү гэрэл гэгээтэй болох уу? Мэдэхгүй...

Гэхдээ өөрийнхөөрөө бод...

Улсын нэгдсэн шалгалтанд бусдаас илүү байж, эцэст нь... аз жаргалтай байхын тулд юу хэрэгтэй вэ?

ЭНЭ СЭДВИЙН АСУУДЛЫГ ШИЙДВЭРЭЭР ГАРАА АВНА.

Шалгалтын үеэр танаас онол асуухгүй.

Танд хэрэгтэй болно цаг хугацааны эсрэг асуудлыг шийдвэрлэх.

Хэрэв та тэдгээрийг шийдэж амжаагүй бол (МАШ ИХ!) Та хаа нэгтээ тэнэг алдаа гаргах нь дамжиггүй, эсвэл зүгээр л цаг зав гарахгүй.

Энэ нь спорттой адил юм - баттай ялахын тулд та үүнийг олон удаа давтах хэрэгтэй.

Хүссэн газраасаа цуглуулгаа олоорой зайлшгүй шийдэл бүхий, нарийвчилсан шинжилгээ мөн шийд, шийд, шийд!

Та бидний даалгавруудыг (заавал биш) ашиглаж болно, бид мэдээж санал болгож байна.

Бидний даалгавруудыг илүү сайн ашиглахын тулд та одоо уншиж байгаа YouClever сурах бичгийн ашиглалтын хугацааг уртасгахад туслах хэрэгтэй.

Яаж? Хоёр сонголт байна:

1. Энэ нийтлэл дэх бүх далд ажлуудын түгжээг тайлах -
2. Сурах бичгийн бүх 99 нийтлэл дэх бүх далд даалгаврын хандалтыг нээнэ үү - Сурах бичиг худалдаж аваарай - 499 рубль

Тийм ээ, бидний сурах бичигт ийм 99 өгүүлэл байгаа бөгөөд тэдгээрт байгаа бүх даалгаврууд болон далд текстүүдийг шууд нээх боломжтой.

Бүх далд даалгаврууд руу нэвтрэх эрхийг сайтын ашиглалтын хугацаанд олгодог.

Тэгээд эцэст нь ...

Хэрэв танд бидний даалгавар таалагдахгүй бол бусдыг хайж олоорой. Зөвхөн онол дээр бүү зогс.

“Ойлголоо”, “Би шийдэж чадна” гэдэг бол огт өөр чадвар юм. Танд хоёулаа хэрэгтэй.

Асуудлыг хайж олоод шийдээрэй!

Энэ нийтлэлд бид нэг хувьсагчийн функцийн дериватив сэдвээр цаашдын бүх онолыг үндэслэх үндсэн ойлголтуудыг өгөх болно.

Зам x нь f(x) функцийн аргумент бөгөөд тэгээс ялгаатай жижиг тоо юм.

("delta x"-г уншина уу) гэж нэрлэдэг функцийн аргументыг нэмэгдүүлэх. Зураг дээр улаан шугам нь аргумент дахь х утгаас утга руу шилжихийг харуулж байна (тиймээс аргументийн "өсгөх" нэрний мөн чанар).

Аргументийн утгаас функцийн утгууд руу шилжих үед функц нь интервал дээр монотон байх тохиолдолд зохих ёсоор өөрчлөгдөнө. Ялгаа гэж нэрлэдэг f(x) функцийн өсөлт, энэ аргументын өсөлттэй харгалзах. Зураг дээр функцийн өсөлтийг цэнхэр шугамаар харуулав.

Тодорхой жишээн дээр эдгээр ойлголтуудыг авч үзье.

Жишээлбэл, функцийг авч үзье . Аргументийн цэг болон өсөлтийг засъя. Энэ тохиолдолд функцээс шилжих үед функцийн өсөлт нь тэнцүү байх болно

Сөрөг өсөлт нь сегмент дээрх функц буурч байгааг илтгэнэ.

График дүрслэл

Нэг цэг дэх функцийн деривативыг тодорхойлох.

f(x) функцийг (a; b) интервал дээр тодорхойлж, энэ интервалын цэгүүд байг. Цэг дэх f(x) функцийн деривативфункцийн өсөлтийг аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцааны хязгаар гэж нэрлэдэг. Томилогдсон .

Хэзээ сүүлчийн хязгаар нь бетоныг авдаг эцсийн үнэ цэнэ, дараа нь тэд оршихуйн тухай ярьдаг цэг дээрх төгсгөлтэй дериватив. Хэрвээ хязгаар нь хязгааргүй бол тэд ингэж хэлдэг дериватив нь тухайн цэг дээр хязгааргүй байдаг. Хэрэв хязгаар байхгүй бол Энэ цэг дэх функцийн дериватив байхгүй байна.

f(x) функцийг дуудна цэг дээр ялгах боломжтой, энэ нь хязгаарлагдмал деривативтай байх үед.

Хэрэв f(x) функц нь тодорхой интервалын (a; b) цэг бүрт дифференциалагдах боломжтой бол функцийг энэ интервал дээр дифференциалагдах гэж нэрлэдэг. Тиймээс (a; b) интервалаас ямар ч х цэг нь энэ цэг дэх функцийн деривативын утгатай холбогдож болно, өөрөөр хэлбэл, бид шинэ функцийг тодорхойлох боломжтой болно. (a; b) интервал дээрх f(x) функцийн дериватив.

Деривативыг олох үйлдлийг гэнэ ялгах.

Цэг дэх ба интервал дээрх функцийн деривативын тухай ойлголтуудын мөн чанарыг ялгаж үзье: цэг дээрх функцийн дериватив нь тоо, интервал дээрх функцийн дериватив нь функц юм.

Зургийг илүү ойлгомжтой болгохын тулд үүнийг жишээгээр харцгаая. Ялгахдаа бид деривативын тодорхойлолтыг ашиглах болно, өөрөөр хэлбэл бид хязгаарыг олох болно. Хэрэв хүндрэл гарвал онолын хэсэгт хандахыг зөвлөж байна.

Жишээ.

Тодорхойлолтыг ашиглан цэг дээрх функцийн деривативыг ол.

Шийдэл.

Нэгэнт функцийн деривативыг тухайн цэгээс хайж байгаа тул хариулт нь тоо агуулсан байх ёстой. Функцийн өсөлтийн аргументийн өсөлтийн харьцааны хязгаарыг бичиж, тригонометрийн томъёог ашиглая:

Нэг хувьсагчийн функцийн дериватив.

Танилцуулга.

Бодит арга зүйн хөгжилҮйлдвэр, барилгын инженерийн факультетийн оюутнуудад зориулагдсан. Тэдгээрийг математикийн хичээлийн хөтөлбөртэй уялдуулан "Нэг хувьсагчийн функцийн дифференциал тооцоо" хэсэгт эмхэтгэсэн.

Бүтээлүүд нь нэг арга зүйн удирдамжийг төлөөлдөг бөгөөд үүнд: онолын товч мэдээлэл; Эдгээр шийдлийн нарийвчилсан шийдэл, тайлбар бүхий "стандарт" асуудал, дасгалууд; туршилтын сонголтууд.

Догол мөр бүрийн төгсгөлд нэмэлт дасгалууд байдаг. Энэхүү хөгжүүлэлтийн бүтэц нь тэдгээрийг багшийн хамгийн бага туслалцаатайгаар тухайн хэсгийг бие даан эзэмшихэд тохиромжтой болгодог.

§1. Деривативын тодорхойлолт.

Механик ба геометрийн утга

дериватив.

Дериватив гэдэг ойлголт бол хамгийн түгээмэл ойлголтуудын нэг юм чухал ойлголтуудЭнэ нь 17-р зуунд бий болсон. Деривативын тухай ойлголт үүсэх нь түүхэн хоёр асуудалтай холбоотой байдаг: ээлжлэн хөдөлгөөний хурдны асуудал ба муруйн шүргэгчийн асуудал.

Эдгээр ажлуудыг үл харгалзан тэдгээрийн өөр агуулгатай, функц дээр хийгдэх ёстой ижил математикийн үйлдэл рүү хөтлөх Энэ үйлдлийг математикт хүлээн авсан тусгай нэр. Үүнийг функцийг ялгах үйлдэл гэж нэрлэдэг. Ялгах үйлдлийн үр дүнг дериватив гэж нэрлэдэг.

Тэгэхээр x0 цэг дээрх y=f(x) функцийн дериватив нь функцийн өсөлтийг аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцааны хязгаар (хэрэв байгаа бол) юм.
цагт
.

Деривативыг ихэвчлэн дараах байдлаар тэмдэглэдэг.
.

Тиймээс, тодорхойлолтоор

Тэмдгийг мөн деривативыг тэмдэглэхэд ашигладаг
.

Деривативын механик утга.

Хэрэв s=s(t) нь материаллаг цэгийн тэгш шулуун хөдөлгөөний хууль бол
t цаг дээрх энэ цэгийн хурд.

Деривативын геометрийн утга.

Хэрэв y=f(x) функц цэг дээр деривативтай бол , дараа нь тухайн цэг дээрх функцийн графикт шүргэгчийн өнцгийн коэффициент
тэнцүү байна
.

Жишээ.

Функцийн деривативыг ол
цэг дээр =2:

1) Үүнд нэг оноо өгье =2 өсөлт
. Үүнийг анхаарна уу.

2) Цэг дэх функцийн өсөлтийг ол =2:

3) Функцийн өсөлтийн аргументийн өсөлтийн харьцааг үүсгэцгээе:

харьцааны хязгаарыг олъё
:

.

Тиймээс,
.

§ 2. Заримын дериватив

хамгийн энгийн функцууд.

Оюутан тодорхой функцийн деривативыг хэрхэн тооцоолох талаар сурах хэрэгтэй: y=x,y= ерөнхийдөө = .

y=x функцийн деривативыг олъё.

тэдгээр. (x)′=1.

Функцийн деривативыг олъё

Дериватив

Болъё
Дараа нь

Хүчин чадлын функцийн деривативуудын илэрхийлэлд хэв маягийг анзаарахад хялбар байдаг
n=1,2,3-тай.

Тиймээс,

. (1)

Энэ томъёо нь ямар ч бодит n-д хүчинтэй.

Ялангуяа (1) томъёог ашиглан бид:

;

.

Жишээ.

Функцийн деривативыг ол

.

.

Энэ функц нь хэлбэрийн функцийн онцгой тохиолдол юм

цагт
.

(1) томъёог ашиглан бид байна

.

y=sin x ба y=cos x функцуудын деривативууд.

y=sinx гэж үзье.

∆x-д хуваавал бид олж авна

∆x→0-ийн хязгаарт хүрч, бид байна

y=cosx гэж үзье.

∆x→0-ийн хязгаарт хүрч, бид олж авна

;
. (2)

§3. Ялгаварлах үндсэн дүрмүүд.

Ялгах дүрмийг авч үзье.

Теорем1 . Хэрэв u=u(x) ба v=v(x) функцууд өгөгдсөн цэг дээр дифференциалагдах боломжтой бол энэ үед тэдгээрийн нийлбэр мөн дифференциалагдах ба нийлбэрийн дериватив нь гишүүн орнуудын деривативуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. : (u+v)"=u"+v".(3 )

Баталгаа: y=f(x)=u(x)+v(x) функцийг авч үзье.

Аргумент x-ийн ∆x өсөлт нь u ба v функцүүдийн ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) нэмэгдлүүдтэй тохирч байна. Дараа нь y функц нэмэгдэх болно

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Тиймээс,

Тэгэхээр, (u+v)"=u"+v".

Теорем2. Хэрэв u=u(x) ба v=v(x) функцүүд өгөгдсөн цэг дээр дифференциалагдах боломжтой бол тэдгээрийн үржвэр нь ижил цэгт дифференциалагдах боломжтой. Энэ тохиолдолд үржвэрийн деривативыг дараах томъёогоор олно. uv)"=u"v+uv". (4)

Баталгаа: y=uv байг, энд u ба v нь x-ийн зарим дифференциалагдах функцууд байна. x-д ∆x-ийн өсөлтийг өгье, тэгвэл u ∆u, v нь ∆v, y нь ∆y-ийн өсөлтийг хүлээн авна.

Бидэнд y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), эсвэл байна

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Иймд ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Эндээс

∆x→0-ийн хязгаарт хүрч, u ба v нь ∆x-ээс хамаарахгүй гэдгийг харгалзан үзвэл бид дараах байдалтай болно.

Теорем 3. Хоёр функцийн хуваагчийн дериватив нь бутархайтай тэнцүү, хуваагч нь хуваагчийн квадраттай тэнцүү, хуваагч нь ногдол ашгийн дериватив ба хуваагчийн үржвэр ба үржвэрийн зөрүү юм. ногдол ашиг ба хуваагчийн дериватив, i.e.

Хэрэв
Тэр
(5)

Теорем 4.Тогтмолын дериватив нь тэг, i.e. хэрэв y=C бол C=const бол у"=0.

Теорем 5.Тогтмол хүчин зүйлийг деривативын тэмдгээс гаргаж болно, i.e. хэрэв y=Cu(x), энд С=const бол y"=Cu"(x).

Жишээ 1.

Функцийн деривативыг ол

.

Энэ функц нь хэлбэртэй байна
, энд u=x,v=cosx. Ялгах дүрмийг (4) ашигласнаар бид олдог

.

Жишээ 2.

Функцийн деривативыг ол

.

(5) томъёог хэрэглэцгээе.

Энд
;
.

Даалгаврууд.

Деривативуудыг олох дараах функцууд:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

Тодорхойлолт.\(y = f(x) \) функцийг дотроо \(x_0\) цэгийг агуулсан тодорхой интервалд тодорхойл. Аргументад энэ интервалаас гарахгүй байхаар \(\Delta x \) нэмэгдэл өгье. \(\Delta y \) (\(x_0 \) цэгээс \(x_0 + \Delta x \) цэг рүү шилжих үед) функцийн харгалзах өсөлтийг олж \(\frac(\Delta) хамаарлыг байгуулъя. y)(\Дельта x) \). Хэрэв энэ харьцаа \(\Дельта х \баруун сум 0\) дээр хязгаар байгаа бол заасан хязгаарыг дуудна. функцийн дериватив\(y=f(x) \) цэг дээр \(x_0 \) ба \(f"(x_0) \) гэж тэмдэглэнэ.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Ү тэмдгийг ихэвчлэн деривативыг илэрхийлэхэд ашигладаг." y" = f(x) гэдгийг анхаарна уу. шинэ онцлог, гэхдээ дээрх хязгаар байгаа бүх x цэгүүдэд тодорхойлогдсон y = f(x) функцтэй угаасаа холбоотой. Энэ функцийг ингэж нэрлэдэг: y = f(x) функцийн дериватив.

Деривативын геометрийн утгадараах байдалтай байна. Хэрэв y = f(x) функцийн графикт у тэнхлэгтэй параллель биш абсцисса x=a цэгт шүргэгч зурах боломжтой бол f(a) шүргэлтийн налууг илэрхийлнэ. :
\(k = f"(a)\)

\(k = tg(a) \) тул \(f"(a) = tan(a) \) тэгш байдал үнэн болно.

Одоо деривативын тодорхойлолтыг ойролцоо тэгш байдлын үүднээс тайлбарлая. \(y = f(x)\) функц нь деривативтай байг тодорхой цэг\(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Энэ нь x цэгийн ойролцоо \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \ойролцоогоор f"(x)\), өөрөөр хэлбэл \(\Дельта y \ойролцоогоор f"(x) \cdot\ гэсэн үг юм. Delta x\). Үүний үр дүнд үүссэн ойролцоо тэгш байдлын утга учир нь дараах байдалтай байна: функцийн өсөлт нь аргументийн өсөлттэй "бараг пропорциональ" бөгөөд пропорциональ байдлын коэффициент нь деривативын утга юм. өгсөн оноо X. Жишээлбэл, \(y = x^2\) функцийн хувьд ойролцоогоор \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) хүчинтэй байна. Хэрэв бид деривативын тодорхойлолтыг сайтар судалж үзвэл түүнийг олох алгоритмыг агуулсан болохыг олж мэдэх болно.

Үүнийг томъёолъё.

y = f(x) функцийн деривативыг хэрхэн олох вэ?

1. \(x\) утгыг засаад \(f(x)\)-г ол.
2. \(x\) аргументад \(\Дельта x\) нэмэгдэл өг. шинэ цэг\(x+ \Delta x \), олох \(f(x+ \Delta x) \)
3. Функцийн өсөлтийг ол: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \) хамаарлыг үүсгэ.
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$-г тооцоол.
Энэ хязгаар нь х цэг дээрх функцийн дериватив юм.

Хэрэв y = f(x) функц нь x цэг дээр деривативтай бол түүнийг х цэг дээр дифференциалагдах гэж нэрлэдэг. y = f(x) функцийн деривативыг олох процедурыг нэрлэнэ ялгах y = f(x) функцууд.

Дараах асуултын талаар ярилцъя: цэг дээрх функцийн тасралтгүй байдал ба дифференциал байдал хоорондоо хэрхэн холбоотой вэ?

y = f(x) функцийг x цэг дээр дифференциалагдах гэж үзье. Дараа нь M(x; f(x)) цэг дээрх функцын график руу шүргэгчийг зурж болох ба шүргэгчийн өнцгийн коэффициент нь f "(x) -тэй тэнцүү гэдгийг санаарай. Ийм график "эвдэж" чадахгүй. М цэг дээр, өөрөөр хэлбэл функц нь x цэг дээр тасралтгүй байх ёстой.

Эдгээр нь "гар" аргументууд байсан. Илүү хатуу үндэслэлийг хэлье. Хэрэв y = f(x) функц нь x цэг дээр дифференциалагдах боломжтой бол \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\) ойролцоо тэнцүү байна. Хэрэв энэ тэгшитгэлд \(\Delta x) \) тэг рүү чиглэдэг бол \(\Delta y \) нь тэг болох хандлагатай байх ба энэ нь тухайн цэг дэх функцийн тасралтгүй байх нөхцөл юм.

Тэгэхээр, Хэрэв функц нь x цэг дээр дифференциал болох юм бол энэ нь тухайн цэг дээр тасралтгүй байна.

Урвуу мэдэгдэл нь үнэн биш юм. Жишээ нь: функц y = |x| хаа сайгүй, тухайлбал x = 0 цэг дээр үргэлжилдэг боловч “холболтын цэг” (0; 0) дээрх функцийн графикт шүргэгч байхгүй. Хэрэв аль нэг цэгт шүргэгчийг функцийн графикт зурах боломжгүй бол тухайн үед дериватив байхгүй болно.

Өөр нэг жишээ. \(y=\sqrt(x)\) функц нь x = 0 цэгийг оруулаад бүх тооны шулуун дээр тасралтгүй байна. Мөн функцийн графикт шүргэгч нь x = 0 цэгийг оруулаад аль ч цэгт оршдог. Гэхдээ энэ үед шүргэгч нь у тэнхлэгтэй давхцдаг, өөрөөр хэлбэл абсцисса тэнхлэгт перпендикуляр, түүний тэгшитгэл нь x = 0 хэлбэртэй байна. Налуугийн коэффициентийм мөр байхгүй, энэ нь \(f"(0) \) ч байхгүй гэсэн үг

Тиймээс бид функцийн шинэ шинж чанар болох ялгах чадвартай танилцсан. Функцийн графикаас ялгах боломжтой гэж яаж дүгнэх вэ?

Хариултыг үнэндээ дээр өгөв. Хэрэв аль нэг цэгт абсцисса тэнхлэгт перпендикуляр биш функцийн графикт шүргэгч зурах боломжтой бол энэ үед функц дифференциал болно. Хэрэв аль нэг цэгт функцийн графикт шүргэгч байхгүй эсвэл абсцисса тэнхлэгт перпендикуляр байвал энэ үед функц ялгах боломжгүй болно.

Ялгах дүрэм

Деривативыг олох үйлдлийг гэнэ ялгах. Энэ үйлдлийг гүйцэтгэхдээ та ихэвчлэн координат, нийлбэр, функцын бүтээгдэхүүнүүд, түүнчлэн "функцийн функцүүд", өөрөөр хэлбэл нарийн төвөгтэй функцүүдтэй ажиллах шаардлагатай болдог. Деривативын тодорхойлолт дээр үндэслэн бид энэ ажлыг хөнгөвчлөх ялгах дүрмийг гаргаж авч болно. Хэрэв C нь тогтмол тоо бөгөөд f=f(x), g=g(x) нь зарим дифференциалагдах функц байвал дараах нь үнэн болно. ялгах дүрэм:

Зарим функцийн деривативын хүснэгт