Экспоненциал тэгшитгэл ба тэгш бус байдлын жишээг шийдвэрлэх. Экспоненциал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх: үндсэн аргууд

Экспоненциал тэгшитгэл ба тэгш бус байдал нь үл мэдэгдэх нь экспонентт агуулагддаг тэгшитгэл юм.

Шийдэл экспоненциал тэгшитгэл a > 0, a ≠ 1, x нь үл мэдэгдэх a x = a b тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ирдэг. Дараах теорем үнэн тул энэ тэгшитгэл нь x = b язгууртай.

Теорем. Хэрэв a > 0, a ≠ 1 ба a x 1 = a x 2 байвал x 1 = x 2 болно.

Үзсэн мэдэгдлийг үндэслэлтэй болгоё.

x 1 = x 2 тэгш байдал биелэхгүй гэж үзье, өөрөөр хэлбэл. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, дараа нь экспоненциал функц y = a x нэмэгдэх тул a x 1 тэгш бус байдлыг хангах ёстой.< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >a x 2. Аль ч тохиолдолд бид a x 1 = a x 2 нөхцөлтэй зөрчилдсөн.

Хэд хэдэн асуудлыг авч үзье.

4 ∙ 2 x = 1 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

Тэгшитгэлийг 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0 хэлбэрээр бичье, үүнээс x + 2 = 0, өөрөөр хэлбэл. x = -2.

Хариулах. x = -2.

2 3x ∙ 3 x = 576 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2 тул тэгшитгэлийг 8 x ∙ 3 x = 24 2 эсвэл 24 x = 24 2 гэж бичиж болно.

Эндээс бид x = 2 болно.

Хариулах. x = 2.

3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

Зүүн талын хаалтнаас 3 x - 2 нийтлэг хүчин зүйлийг авбал бид 3 x - 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 x - 2 ∙ 25 = 25 болно.

эндээс 3 x - 2 = 1, өөрөөр хэлбэл. x – 2 = 0, x = 2.

Хариулах. x = 2.

3 x = 7 x тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

7 x ≠ 0 тул тэгшитгэлийг 3 x /7 x = 1 гэж бичиж болно, үүнээс (3/7) x = 1, x = 0 байна.

Хариулах. x = 0.

9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

3 x = a-г орлуулснаар өгөгдсөн тэгшитгэл a 2 – 4a – 45 = 0-ийг квадрат тэгшитгэл болгон бууруулна.

Энэ тэгшитгэлийг шийдэж, бид түүний үндсийг олно: a 1 = 9, ба 2 = -5, үүнээс 3 x = 9, 3 x = -5.

Экспоненциал функц авч чадахгүй тул 3 x = 9 тэгшитгэл нь 2 үндэстэй, 3 x = -5 тэгшитгэл нь үндэсгүй. сөрөг утгууд.

Хариулах. x = 2.

Шийдэл экспоненциал тэгш бус байдалихэвчлэн a x > a b эсвэл a x тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд ирдэг< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания экспоненциал функц.

Зарим асуудлыг авч үзье.

3 x тэгш бус байдлыг шийд< 81.

Шийдэл.

Тэгш бус байдлыг 3 x хэлбэрээр бичье< 3 4 . Так как 3 >1 бол y = 3 x функц нэмэгдэж байна.

Тиймээс x-ийн хувьд< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

Тиймээс x дээр< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Хариулах. X< 4.

16 x +4 x – 2 > 0 тэгш бус байдлыг шийд.

Шийдэл.

4 x = t гэж тэмдэглэвэл бид олж авна квадрат тэгш бус байдал t2 + t – 2 > 0.

Энэ тэгш бус байдал нь t-д хамаарна< -2 и при t > 1.

t = 4 x тул бид 4 x хоёр тэгш бус байдлыг олж авна< -2, 4 х > 1.

Бүх x € R-д 4 x > 0 байх тул эхний тэгш бус байдлын шийдэл байхгүй.

Хоёрдахь тэгш бус байдлыг бид 4 x > 4 0 хэлбэрээр бичнэ, эндээс x > 0 байна.

Хариулах. x > 0.

(1/3) x = x – 2/3 тэгшитгэлийг графикаар шийд.

Шийдэл.

1) y = (1/3) x ба y = x – 2/3 функцуудын графикийг байгуулъя.

2) Бидний зураг дээр үндэслэн авч үзсэн функцүүдийн графикууд абсцисса х ≈ 1 цэг дээр огтлолцдог гэж дүгнэж болно. Шалгах нь үүнийг баталж байна.

x = 1 нь энэ тэгшитгэлийн үндэс юм:

(1/3) 1 = 1/3 ба 1 – 2/3 = 1/3.

Өөрөөр хэлбэл бид тэгшитгэлийн нэг язгуурыг олсон гэсэн үг.

3) Өөр үндсийг олъё, эсвэл байхгүй гэдгийг баталъя. (1/3) х функц буурч, y = x – 2/3 функц нэмэгдэж байна. Тиймээс, x > 1-ийн хувьд эхний функцын утга 1/3-аас бага, хоёр дахь нь 1/3-аас их байна; x дээр< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 ба x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Хариулах. x = 1.

Энэ асуудлын шийдлээс харахад (1/3) x > x – 2/3 тэгш бус байдал x-ийн хувьд хангагдана гэдгийг анхаарна уу.< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоосыг оруулах шаардлагатай.

Экспоненциал тэгш бус байдал нь нарийн төвөгтэй, ойлгомжгүй зүйл гэж олон хүмүүс боддог. Тэдгээрийг шийдэж сурах нь зөвхөн Сонгогдсон хүмүүсийн л ойлгох чадвартай бараг л агуу урлаг юм...

Бүрэн утгагүй зүйл! Экспоненциал тэгш бус байдал нь хялбар байдаг. Мөн тэд үргэлж энгийн байдлаар шийдэгддэг. За, бараг үргэлж. :)

Өнөөдөр бид энэ сэдвийг дотор болон гадна талаас нь авч үзэх болно. Энэ хичээл дөнгөж ойлгож эхэлж байгаа хүмүүст маш их хэрэг болно энэ хэсэг сургуулийн математик. -ээс эхэлье энгийн даалгаваруудмөн бид илүү их зүйл рүү шилжих болно нарийн төвөгтэй асуудлууд. Өнөөдөр ямар ч хэцүү ажил байхгүй, гэхдээ таны унших гэж байгаа зүйл бүх төрлийн шалгалт, шалгалтын ихэнх тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд хангалттай байх болно. бие даасан ажил. Мөн таны энэ шалгалтанд.

Ердийнх шигээ тодорхойлолтоор эхэлцгээе. Экспоненциал тэгш бус байдал нь экспоненциал функц агуулсан аливаа тэгш бус байдлыг хэлнэ. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь үргэлж хэлбэрийн тэгш бус байдал болгон бууруулж болно

\[((a)^(x)) \gt b\]

$b$ дүрд хаана байж болох вэ? ердийн тоо, магадгүй илүү хатуу зүйл. Жишээ нь? Тиймээ:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ дөрвөлжин ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(x))). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Утга нь ойлгомжтой гэж бодож байна: $((a)^(x))$ экспоненциал функц байдаг, түүнийг ямар нэгэн зүйлтэй харьцуулж, дараа нь $x$ олохыг хүссэн. Ялангуяа эмнэлзүйн тохиолдлуудад $x$ хувьсагчийн оронд $f\left(x \right)$ функцийг тавьж, улмаар тэгш бус байдлыг бага зэрэг хүндрүүлдэг.

Мэдээжийн хэрэг, зарим тохиолдолд тэгш бус байдал илүү ноцтой харагдаж болно. Жишээлбэл:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Эсвэл бүр энэ нь:

Ерөнхийдөө ийм тэгш бус байдлын нарийн төвөгтэй байдал нь маш өөр байж болох ч эцэст нь тэдгээр нь $((a)^(x)) \gt b$ энгийн бүтэц рүү буусан хэвээр байна. Бид ямар нэгэн байдлаар ийм бүтээн байгуулалтыг олох болно (ялангуяа эмнэлзүйн тохиолдолд, юу ч санаанд орохгүй бол логарифм бидэнд туслах болно). Тиймээс, одоо бид ийм энгийн бүтээн байгуулалтыг хэрхэн шийдэхийг танд заах болно.

Энгийн экспоненциал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх

Маш энгийн зүйлийг авч үзье. Жишээлбэл, энэ нь:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Мэдээжийн хэрэг, баруун талд байгаа тоог хоёрын зэрэглэлээр дахин бичиж болно: $4=((2)^(2))$. Тиймээс анхны тэгш бус байдлыг маш тохиромжтой хэлбэрээр дахин бичиж болно.

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

Одоо миний гар $x \gt 2$ гэсэн хариултыг авахын тулд эрх мэдлийн үндсэн дээр хоёрыг "гатлах" гэж загатнаж байна. Гэхдээ ямар нэг зүйлийг хасахын өмнө хоёрын хүчийг санацгаая.

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

Бидний харж байгаагаар, илүү илүү их тооэкспонентт байгаа бол гаралтын тоо их байх болно. - Баярлалаа, кап! - гэж оюутнуудын нэг нь хашгирах болно. Энэ нь өөр үү? Харамсалтай нь ийм зүйл тохиолддог. Жишээлбэл:

\[((\left(\frac(1)(2) \баруун))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ баруун))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \баруун))^(3))=\frac(1)(8) );...\]

Энд бүх зүйл логиктой байна: юу илүү зэрэг, 0.5 тоог өөрөө үржүүлэх тусам (өөрөөр хэлбэл хагаст хуваагдана). Тиймээс үүссэн тоонуудын дараалал буурч байгаа бөгөөд эхний ба хоёр дахь дарааллын ялгаа нь зөвхөн үндсэн дээр байна:

• Хэрэв градусын суурь $a \gt 1$ бол илтгэгч $n$ нэмэгдэх тусам $((a)^(n))$ тоо мөн нэмэгдэх болно;
• Мөн эсрэгээр, хэрэв $0 \lt a \lt 1$ бол $n$ илтгэгч нэмэгдэх тусам $((a)^(n))$ тоо буурах болно.

Эдгээр баримтуудыг нэгтгэн дүгнэснээр бид экспоненциал тэгш бус байдлын бүх шийдэлд үндэслэсэн хамгийн чухал мэдэгдлийг олж авна.

Хэрэв $a \gt 1$ бол $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ тэгш бус байдал нь $x \gt n$ тэгш бус байдалтай тэнцүү байна. Хэрэв $0 \lt a \lt 1$ бол $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ тэгш бус байдал нь $x \lt n$ тэгш бус байдалтай тэнцүү байна.

Өөрөөр хэлбэл, суурь нь нэгээс их байвал та үүнийг зүгээр л арилгаж болно - тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдөхгүй. Хэрэв суурь нь нэгээс бага бол үүнийг арилгаж болно, гэхдээ тэр үед тэгш бус байдлын тэмдгийг өөрчлөх шаардлагатай болно.

Бид $a=1$ болон $a\le 0$ гэсэн сонголтыг авч үзээгүйг анхаарна уу. Учир нь эдгээр тохиолдолд тодорхойгүй байдал үүсдэг. $((1)^(x)) \gt 3$ хэлбэрийн тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдэхийг хэлье? Нэг нь ямар ч хүчинд дахин нэгийг өгөх болно - бид гурав ба түүнээс дээш удаа хэзээ ч авахгүй. Тэдгээр. шийдэл байхгүй.

ХАМТ сөрөг шалтгаануудилүү сонирхолтой. Жишээлбэл, энэ тэгш бус байдлыг авч үзье.

\[((\left(-2 \баруун))^(x)) \gt 4\]

Эхлээд харахад бүх зүйл энгийн:

Тийм үү? Гэхдээ үгүй! $x$-ын оронд хэд хэдэн тэгш тоо, хосыг орлуулахад хангалттай сондгой тоошийдэл буруу байгаа эсэхийг шалгах. Энийг хар даа:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x=4\Баруун сум ((\зүүн(-2 \баруун))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Баруун сум ((\зүүн(-2 \баруун))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Баруун сум ((\зүүн(-2 \баруун))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Баруун сум ((\зүүн(-2 \баруун))^(7))=-128 \lt 4. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Таны харж байгаагаар тэмдгүүд ээлжлэн солигддог. Гэхдээ илүү олон зүйл бий бутархай эрх мэдэлболон бусад цагаан тугалга. Жишээ нь, та $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (хоёрыг хасвал долоогийн зэрэглэлд) хэрхэн тооцоолох вэ? Арга ч үгүй!

Тиймээс тодорхой байхын тулд бид бүх экспоненциал тэгш бус байдалд (мөн тэгшитгэлд мөн адил) $1\ne a \gt 0$ байна гэж үздэг. Тэгээд бүх зүйл маш энгийнээр шийдэгддэг:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Баруун сум \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \баруун), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Ерөнхийдөө гол дүрмийг дахин санаарай: хэрэв экспоненциал тэгшитгэлийн суурь нь нэгээс их бол та үүнийг зүгээр л устгаж болно; ба суурь нь нэгээс бага бол түүнийг мөн арилгаж болох боловч тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдөнө.

Шийдлийн жишээ

Тиймээс хэд хэдэн энгийн экспоненциал тэгш бус байдлыг харцгаая.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Бүх тохиолдолд үндсэн ажил нь адилхан: тэгш бус байдлыг хамгийн энгийн хэлбэрт $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ болгон багасгах. Үүнийг бид одоо тэгш бус байдал бүрээр хийх бөгөөд үүний зэрэгцээ градус болон экспоненциал функцүүдийн шинж чанаруудыг давтах болно. За, явцгаая!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Та энд юу хийж чадах вэ? За, зүүн талд нь бид аль хэдийн байна экспоненциал илэрхийлэл- юуг ч өөрчлөх шаардлагагүй. Гэхдээ баруун талд нь ямар нэгэн тэнэглэл байна: бутархай, бүр хуваагч дахь үндэс!

Гэсэн хэдий ч бутархай ба хүчнүүдтэй ажиллах дүрмийг санацгаая.

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Нэгдүгээрт, бид фракцыг хүч болгон хувиргаснаар амархан салж чадна сөрөг үзүүлэлт. Хоёрдугаарт, хуваагч нь язгууртай тул түүнийг хүч болгон хувиргавал зүгээр байх болно - энэ удаад бутархай илтгэгчээр.

Эдгээр үйлдлүүдийг тэгш бус байдлын баруун талд дараалан хэрэглэж, юу болохыг харцгаая.

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \баруун))^(-1))=((\left(((2)^(\frac() 1)(3))) \баруун))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \баруун)=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Нэг зэрэглэлийг хүч болгон өсгөхөд эдгээр зэрэглэлийн илтгэгчүүд нийлдэг гэдгийг бүү мартаарай. Ерөнхийдөө экспоненциал тэгшитгэл ба тэгш бус байдалтай ажиллахдаа хүч чадалтай ажиллах хамгийн энгийн дүрмийг мэдэх нь зайлшгүй шаардлагатай.

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \баруун))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Үнэндээ, сүүлчийн дүрэмБид зүгээр л хэрэглэсэн. Тиймээс бидний анхны тэгш бус байдлыг дараах байдлаар дахин бичих болно.

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Баруун сум ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Одоо бид хоёр баазаас салж байна. 2 > 1 тул тэгш бус байдлын тэмдэг ижил хэвээр байна:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x-1\le -\frac(1)(3)\Баруун сум x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty;\frac(2)(3) \баруун]. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Энэ бол шийдэл! Гол бэрхшээл нь экспоненциал функцэд огтхон ч биш, харин анхны илэрхийлэлийг чадварлаг хувиргах явдал юм: та үүнийг хамгийн энгийн хэлбэрт нь болгоомжтой, хурдан оруулах хэрэгтэй.

Хоёр дахь тэгш бус байдлыг авч үзье.

\[((0.1)^(1-x)) \lt 0.01\]

Тийм болохоор. Аравтын бутархайнууд биднийг энд хүлээж байна. Би олон удаа хэлсэнчлэн, ямар ч эрх мэдэл бүхий илэрхийлэлд та аравтын бутархайг арилгах хэрэгтэй - энэ нь ихэвчлэн хурдан бөгөөд энгийн шийдлийг олж харах цорын ганц арга зам юм. Энд бид дараахь зүйлийг арилгах болно.

\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ баруун))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Баруун сум ((\left(\frac(1)(10) \баруун))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \баруун))^(2)). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Энд дахин бид хамгийн энгийн тэгш бус байдал, тэр ч байтугай 1/10 суурьтай, i.e. нэгээс бага. За, бид суурийг устгаж, тэмдгийг "бага" -аас "илүү" болгон өөрчилснөөр бид дараахь зүйлийг авна.

\[\эхлэх(эгцлэх) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Бид эцсийн хариултыг авсан: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Анхаарна уу: хариулт нь тодорхой багц бөгөөд ямар ч тохиолдолд $x \lt -1$ хэлбэрийн бүтээн байгуулалт биш юм. Учир нь албан ёсоор ийм бүтээн байгуулалт нь олонлог биш, харин $x$ хувьсагчийн хувьд тэгш бус байдал юм. Тийм ээ, энэ нь маш энгийн, гэхдээ энэ нь хариулт биш юм!

Чухал тэмдэглэл. Энэ тэгш бус байдалҮүнийг өөр аргаар шийдэж болох байсан - хоёр хэсгийг нэгээс илүү суурьтай хүчин чадал болгон бууруулж. Энийг хар даа:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Баруун сум ((\зүүн(((10)^(-1)) \баруун))^(1-x)) \ lt ((\зүүн(((10)^(-1)) \баруун))^(2))\Баруун сум ((10)^(-1\cdot \left(1-x \баруун)))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Ийм хувиргалт хийсний дараа бид дахин экспоненциал тэгш бус байдлыг олж авах болно, гэхдээ суурь нь 10 > 1. Энэ нь бид аравыг зүгээр л зурж болно гэсэн үг юм - тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдөхгүй. Бид авах:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Таны харж байгаагаар хариулт нь яг адилхан байсан. Үүний зэрэгцээ бид тэмдгийг өөрчлөх шаардлагаас өөрийгөө аварч, ямар ч дүрмийг санаж байна :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Гэсэн хэдий ч энэ нь таныг айлгахыг бүү зөвшөөр. Шалгуур үзүүлэлтэд юу ч байсан хамаагүй, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх технологи нь өөрөө хэвээр байна. Тиймээс эхлээд 16 = 2 4 гэдгийг тэмдэглэе. Энэ баримтыг харгалзан анхны тэгш бус байдлыг дахин бичье.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Өө! Бид ердийн квадрат тэгш бус байдлыг олж авлаа! Суурь нь хоёр буюу нэгээс их тоо тул тэмдэг нь хаана ч өөрчлөгдөөгүй.

Тооны шулуун дээрх функцын тэг

Бид $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ функцийн тэмдгүүдийг цэгцлэв - мэдээжийн хэрэг түүний график нь дээш салбарласан парабол байх тул "нэмэх" байх болно. ” тал дээр. Бид үйл ажиллагаа явуулж буй бүс нутгийг сонирхож байна тэгээс бага, өөрөөр хэлбэл $x\in \left(2;5 \right)$ нь анхны бодлогын хариулт юм.

Эцэст нь өөр нэг тэгш бус байдлыг авч үзье:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Дахин бид аравтын бутархай суурьтай экспоненциал функцийг харж байна. Энэ бутархайг энгийн бутархай болгон хөрвүүлье:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Баруун сум \\ & \Баруун сум ((0 ,2) )^(1+((x)^(2))))=((\зүүн(((5)^(-1)) \баруун))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \баруун)))\төгсгөл(эгц)\]

IN энэ тохиолдолдБид өмнөх тайлбарыг ашигласан - бид цаашдын шийдлийг хялбарчлахын тулд суурийг 5>1 тоо болгон бууруулсан. Баруун талд нь ижил зүйлийг хийцгээе:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \баруун))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ баруун))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Хоёр хувиргалтыг харгалзан анхны тэгш бус байдлыг дахин бичье.

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Баруун сум ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \баруун)))\ge ((5)^(-2))\]

Хоёр талын суурь нь ижил бөгөөд нэгээс давсан. Баруун болон зүүн талд өөр нэр томъёо байхгүй тул бид тавыг "тасалж" маш энгийн илэрхийлэлийг олж авна.

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Эндээс та илүү болгоомжтой байх хэрэгтэй. Олон оюутнууд зүгээр л задлах дуртай Квадрат язгуурТэгш бус байдлын хоёр талын язгуурыг $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$ гэх мэтээр бичнэ үү. Яг дөрвөлжингийн язгуур нь ямар ч тохиолдолд үүнийг хийх ёсгүй. модуль, ямар ч тохиолдолд анхны хувьсагч:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\right|\]

Гэсэн хэдий ч модультай ажиллах нь хамгийн таатай туршлага биш, тийм үү? Тиймээс бид ажиллахгүй. Үүний оронд бид зүгээр л бүх нөхцөлийг зүүн тийш шилжүүлж, интервалын аргыг ашиглан ердийн тэгш бус байдлыг шийднэ.

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\төгсгөл(зохицуулах)$

Бид олж авсан цэгүүдийг тоон шулуун дээр дахин тэмдэглээд тэмдгүүдийг харна.

Бид хатуу бус тэгш бус байдлыг шийдэж байсан тул график дээрх бүх цэгүүд сүүдэртэй байна. Тиймээс хариулт нь: $x\in \left[ -1;1 \right]$ нь интервал биш харин сегмент юм.

Ерөнхийдөө экспоненциал тэгш бус байдлын хувьд төвөгтэй зүйл байхгүй гэдгийг тэмдэглэхийг хүсч байна. Өнөөдөр бидний хийсэн бүх өөрчлөлтийн утга нь энгийн алгоритм дээр бууж байна.

• Бид бүх зэрэглэлийг бууруулах үндэслэлийг олох;
• $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ хэлбэрийн тэгш бус байдлыг олж авахын тулд хувиргалтыг болгоомжтой хийнэ. Мэдээжийн хэрэг, $x$ ба $n$ хувьсагчдын оронд илүү олон хувьсагч байж болно нарийн төвөгтэй функцууд, гэхдээ утга нь өөрчлөгдөхгүй;
• Зэрэглэлийн суурийг хөндлөн зур. Энэ тохиолдолд суурь $a \lt 1$ байвал тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдөж болно.

Үнэн хэрэгтээ энэ нь бүх тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх бүх нийтийн алгоритм юм. Мөн энэ сэдвээр танд хэлэх бусад бүх зүйл бол өөрчлөлтийг хялбаршуулж, хурдасгах тодорхой арга техник, заль мэх юм. Бид одоо эдгээр техникүүдийн талаар ярих болно.

оновчтой болгох арга

Өөр нэг тэгш бус байдлын багцыг авч үзье.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \баруун))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \баруун))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \right))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \баруун))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Тэгвэл тэдний юугаараа онцлог вэ? Тэд хөнгөн. Гэсэн хэдий ч зогсоо! π тоог тодорхой хэмжээнд өсгөсөн үү? Ямар утгагүй юм бэ?

$2\sqrt(3)-3$ тоог хэрхэн хүчирхэг болгох вэ? Эсвэл $3-2\sqrt(2)$? Асуудлын зохиолчид ажилдаа суухаасаа өмнө хэт их долоогоно уусан нь ойлгомжтой.

Үнэндээ эдгээр ажлуудад аймшигтай зүйл байхгүй. Танд сануулъя: экспоненциал функц нь $((a)^(x))$ хэлбэрийн илэрхийлэл бөгөөд $a$ суурь нь нэгээс бусад эерэг тоо юм. π тоо эерэг - бид үүнийг аль хэдийн мэддэг. $2\sqrt(3)-3$ болон $3-2\sqrt(2)$ гэсэн тоонууд ч эерэг байдаг - хэрэв та тэдгээрийг тэгтэй харьцуулж үзвэл үүнийг харахад хялбар болно.

Энэ бүх "аймшигтай" тэгш бус байдлыг дээр дурдсан энгийн зүйлсээс ялгаагүй шийдэж байгаа юм болов уу? Мөн тэд адилхан шийдэгдсэн үү? Тийм ээ, энэ үнэхээр зөв. Гэсэн хэдий ч тэдний жишээн дээр би бие даасан ажил, шалгалтын цагийг ихээхэн хэмнэдэг нэг аргыг авч үзэхийг хүсч байна. Бид оновчтой болгох аргын талаар ярих болно. Тиймээс, анхаарал:

$((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ хэлбэрийн аливаа экспоненциал тэгш бус байдал нь $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \) тэгш бус байдалтай тэнцүү байна. баруун) \gt 0 $.

Энэ бол бүхэл бүтэн арга. :) Та өөр төрлийн тоглоом болно гэж бодож байсан уу? Ийм зүйл байхгүй! Гэхдээ нэг мөрөнд шууд утгаар нь бичсэн энэ энгийн баримт нь бидний ажлыг ихээхэн хөнгөвчлөх болно. Энийг хар даа:

\[\эхлэх(матриц) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Дотоод \\ \зүүн(x+7-\зүүн(((x)^(2)) -3x+2 \баруун) \баруун)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \баруун) \gt 0 \\\end(матриц)\]

Тиймээс экспоненциал функц байхгүй болно! Мөн тэмдэг өөрчлөгдсөн эсэхийг санах шаардлагагүй. Гэхдээ энэ нь үүсдэг шинэ асуудал: новшийн үржүүлэгчийг яах вэ \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Энэ нь юу болохыг бид мэдэхгүй яг үнэ цэнэπ тоо. Гэсэн хэдий ч ахмад тодорхой зүйлийг сануулж байх шиг байна:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\ойролцоогоор 3.14... \gt 3\Баруун сум \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]

Ерөнхийдөө π-ийн яг утга нь бидэнд огт хамаагүй - ямар ч тохиолдолд $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 гэдгийг ойлгох нь бидний хувьд чухал юм. $, t.e. Энэ нь эерэг тогтмол бөгөөд тэгш бус байдлын хоёр талыг түүгээр хувааж болно.

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \баруун) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \баруун) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \зүүн(x-5 \баруун)\зүүн(x+1 \баруун) \lt 0. \\\төгсгөл(эгц)\]

Таны харж байгаагаар тодорхой мөчид бид хасах нэгээр хуваах шаардлагатай болсон бөгөөд тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдсөн. Төгсгөлд нь би квадрат гурвалжийг Виетийн теоремыг ашиглан өргөжүүлсэн - язгуурууд нь $((x)_(1))=5$ ба $((x)_(2))=-1$-тэй тэнцүү байх нь ойлгомжтой. . Дараа нь бүх зүйл шийдэгдэнэ сонгодог аргаинтервал:

Анхны тэгш бус байдал нь хатуу тул бүх оноо хасагдсан. Бид сөрөг утгатай бүс нутгийг сонирхож байгаа тул хариулт нь $x\in \left(-1;5 \right)$ байна. Энэ бол шийдэл. :)

Дараагийн даалгавар руу шилжье:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \баруун))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Энд бүх зүйл ерөнхийдөө энгийн, учир нь баруун талд нэгж байдаг. Нэг нь тэг зэрэглэлд хүрсэн ямар ч тоо гэдгийг бид санаж байна. Энэ тоо байсан ч гэсэн үндэслэлгүй илэрхийлэл, зүүн талын сууринд зогсож:

\[\эхлэх(эгцлэх) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \баруун))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \баруун))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \right)))^(0)); \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

За ингээд оновчтой болгоё:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \баруун)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \баруун) \lt 0. \\\төгсгөл(эгц)\ ]

Үлдсэн зүйл бол шинж тэмдгийг олж мэдэх явдал юм. $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ хүчин зүйл нь $x$ хувьсагчийг агуулаагүй - энэ нь зүгээр л тогтмол бөгөөд бид түүний тэмдгийг олж мэдэх хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд дараахь зүйлийг анхаарна уу.

\[\begin(матриц) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Дотоод \\ 2\зүүн(\sqrt(3)-2 \баруун) \lt 2\cdot \left(2) -2 \баруун)=0 \\\төгсгөл(матриц)\]

Хоёрдахь хүчин зүйл нь тогтмол биш, харин сөрөг тогтмол юм! Үүнийг хуваахдаа анхны тэгш бус байдлын тэмдэг эсрэгээр өөрчлөгдөнө.

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \баруун) \gt 0. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Одоо бүх зүйл бүрэн тодорхой болж байна. Баруун талын гурвалсан квадратын язгуурууд нь: $((x)_(1))=0$ ба $((x)_(2))=2$. Бид тэдгээрийг тооны мөрөнд тэмдэглээд $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$ функцийн тэмдгүүдийг харна:

Бид нэмэх тэмдгээр тэмдэглэгдсэн интервалуудыг сонирхож байна. Хариултаа бичих л үлдлээ:

Дараагийн жишээ рүү шилжье:

\[((\left(\frac(1)(3) \баруун))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ баруун))^(16-x))\]

Энд бүх зүйл тодорхой байна: суурь нь ижил тооны хүчийг агуулдаг. Тиймээс би бүгдийг товчхон бичих болно:

\[\begin(матриц) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Доошоо \\ ((\зүүн(((3)^(-1)) \баруун))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \баруун))^(16-x)) \\\төгсгөл(матриц)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ зүүн(16-х \баруун)))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \баруун) \баруун)\cdot \left(3-1 \баруун) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \зүүн(x+8 \баруун)\зүүн(x-4 \баруун) \lt 0. \\\төгсгөл(эгц)\]

Таны харж байгаагаар, өөрчлөлтийн явцад бид үржүүлэх шаардлагатай болсон сөрөг тоо, тэгэхээр тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдсөн. Төгсгөлд нь би дахин Виетийн теоремыг ашиглан квадрат гурвалжийг хүчин зүйл болгон ашигласан. Үүний үр дүнд хариулт нь дараах байх болно: $x\in \left(-8;4 \right)$ - хэн ч үүнийг тоон шугам татаж, цэгүүдийг тэмдэглэж, тэмдгүүдийг тоолж баталгаажуулах боломжтой. Үүний зэрэгцээ бид "иж бүрдэл"-ээс сүүлчийн тэгш бус байдал руу шилжих болно.

\[((\left(3-2\sqrt(2) \баруун))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Таны харж байгаагаар суурь дээр дахин байна иррационал тоо, баруун талд дахиад нэг байна. Тиймээс бид экспоненциал тэгш бус байдлыг дараах байдлаар дахин бичнэ.

\[((\left(3-2\sqrt(2) \баруун))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ баруун))^(0))\]

Бид оновчтой байдлыг ашигладаг:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \баруун)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \баруун) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \баруун)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \баруун) \lt 0. \\\төгсгөл(эгц)\ ]

Гэсэн хэдий ч $1-\sqrt(2) \lt 0$ байх нь маш ойлгомжтой, учир нь $\sqrt(2)\ойролцоогоор 1,4... \gt 1$. Тиймээс хоёр дахь хүчин зүйл нь дахин сөрөг тогтмол бөгөөд түүгээр тэгш бус байдлын хоёр талыг хувааж болно.

\[\эхлэх(матриц) \left(3x-((x)^(2))-0 \баруун)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \баруун) \lt 0 \\ \Дотоод \ \\төгсгөл(матриц)\]

\[\эхлэх(зохицуулах) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \баруун) \lt 0. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Өөр суурь руу шилжих

Экспоненциал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх тусдаа асуудал бол "зөв" суурийг хайх явдал юм. Харамсалтай нь аливаа ажлыг эхлээд харахад юуг үндэс болгон авах, энэ суурийн зэрэглэлд нийцүүлэн юу хийх нь тодорхой байдаггүй.

Гэхдээ санаа зовох хэрэггүй: энд ид шид, "нууц" технологи байхгүй. Математикийн хувьд алгоритмчлах боломжгүй аливаа чадварыг дадлага хийх замаар хялбархан хөгжүүлж болно. Гэхдээ үүний тулд та асуудлыг шийдэх хэрэгтэй болно өөр өөр түвшинхүндрэлүүд. Жишээлбэл, иймэрхүү:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \баруун))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \баруун))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \баруун))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \баруун))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ төгсгөл(тэгцүүлэх)\]

Хэцүү үү? Аймшигтай юу? Асфальт дээр тахиа цохихоос хамаагүй амархан! Оролдоод үзье. Эхний тэгш бус байдал:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Энд бүх зүйл тодорхой байна гэж би бодож байна:

Бид анхны тэгш бус байдлыг дахин бичиж, бүх зүйлийг хоёр суурь болгон бууруулна.

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Баруун сум \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \баруун)\cdot \left(2-1 \баруун) \lt 0\]

Тийм ээ, тийм ээ, та зөв сонссон: Би дээр дурдсан оновчтой аргыг ашигласан. Одоо бид анхааралтай ажиллах хэрэгтэй: бид амжилтанд хүрсэн бутархай оновчтой тэгш бус байдал(энэ нь хуваарьт хувьсагчтай зүйл) тиймээс та ямар нэг зүйлийг тэгтэй тэнцүүлэхээсээ өмнө бүгдийг нь авчрах хэрэгтэй. Ерөнхий хуваарьмөн байнгын хүчин зүйлээс ангижрах.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \баруун)\cdot \left(2-1 \баруун) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \баруун)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Одоо бид ашиглаж байна стандарт аргаинтервалууд. Тоологч тэг: $x=\pm 4$. Зөвхөн $x=0$ үед хуваагч тэг болно. Нийтдээ 3 цэгийг тоон шулуун дээр тэмдэглэх шаардлагатай (тэгш бус байдлын тэмдэг нь хатуу тул бүх цэгүүдийг хавчуулсан). Бид авах:

Таны таамаглаж байгаачлан сүүдэрлэх нь зүүн талын илэрхийлэл сөрөг утгатай байх интервалуудыг тэмдэглэдэг. Тиймээс эцсийн хариулт нь нэг дор хоёр интервалыг агуулна.

Анхны тэгш бус байдал нь хатуу байсан тул интервалын төгсгөлийг хариултанд оруулаагүй болно. Энэ хариултыг дахин баталгаажуулах шаардлагагүй. Үүнтэй холбогдуулан экспоненциал тэгш бус байдал нь логарифмынхаас хамаагүй хялбар байдаг: ODZ байхгүй, хязгаарлалт байхгүй гэх мэт.

Дараагийн даалгавар руу шилжье:

\[((\left(\frac(1)(3) \баруун))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Энд бас асуудал байхгүй, учир нь бид $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$ гэдгийг аль хэдийн мэдэж байгаа тул тэгш бус байдлыг бүхэлд нь дараах байдлаар дахин бичиж болно.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((\left(((3)^(-1)) \баруун))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x) ))\Баруун сум ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \баруун) \баруун)\cdot \left(3-1 \баруун)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left(-2 \right) \right. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Анхаарна уу: гурав дахь мөрөнд би жижиг зүйлд цаг үрэхгүй байхаар шийдсэн бөгөөд тэр даруй бүх зүйлийг (−2) хуваана. Минул эхний хаалтанд орсон (одоо хаа сайгүй давуу тал байгаа), хоёрыг тогтмол хүчин зүйлээр бууруулсан. Энэ нь бие даасан болон дээр бодит дэлгэц бэлтгэх үед яг хийх ёстой зүйл юм туршилтууд- үйлдэл, өөрчлөлт бүрийг дүрслэх шаардлагагүй.

Дараа нь интервалын танил арга хэрэгжиж байна. Тоологч тэг: гэхдээ байхгүй. Учир нь ялгаварлагч сөрөг байх болно. Хариуд нь хуваагчийг зөвхөн $x=0$-д тэг болгож шинэчилнэ сүүлийн удаа. За, $x=0$-ын баруун талд бутархай авах нь тодорхой байна эерэг утгууд, зүүн талд сөрөг байна. Бид сөрөг утгыг сонирхож байгаа тул эцсийн хариулт нь: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0.16 \баруун))^(1+2x))\cdot ((\left(6.25 \баруун))^(x))\ge 1\]

Экспоненциал тэгш бус байдлын аравтын бутархайг юу хийх ёстой вэ? Энэ нь зөв: тэднээс салж, энгийн зүйл болгон хувирга. Энд бид орчуулах болно:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Баруун сум ((\зүүн(0.16 \баруун))^(1+2х)) =(\ зүүн(\frac(4)(25) \баруун))^(1+2х)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Баруун сум ((\зүүн(6.25 \баруун))^(x))=((\зүүн(\ frac(25)) (4)\баруун))^(x)). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Тэгэхээр бид экспоненциал функцийн үндэс дээр юу олж авсан бэ? Мөн бид хоёр урвуу тоог авсан:

\[\frac(25)(4)=((\зүүн(\frac(4)(25) \баруун))^(-1))\Баруун сум ((\зүүн(\frac(25)(4) \ баруун))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \баруун))^(-1)) \баруун))^(x))=((\ зүүн(\frac(4)(25) \баруун))^(-x))\]

Тиймээс анхны тэгш бус байдлыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((\left(\frac(4)(25) \баруун))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \баруун) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \баруун))^(1+2x+\left(-x \баруун)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right)))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \баруун))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \баруун))^(0) ). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Мэдээжийн хэрэг, ижил суурьтай хүчийг үржүүлэхэд тэдгээрийн илтгэгчүүд нэмэгдэх бөгөөд энэ нь хоёр дахь мөрөнд болсон явдал юм. Нэмж дурдахад бид баруун талд байгаа нэгжийг, мөн 4/25-ийн суурь дахь хүч болгон төлөөлсөн. Үлдсэн зүйл бол оновчтой болгох явдал юм:

\[((\left(\frac(4)(25) \баруун))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \баруун))^(0)) \Баруун сум \left(x+1-0 \баруун)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \баруун)\ge 0\]

$\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, i.e. Хоёрдахь хүчин зүйл нь сөрөг тогтмол бөгөөд үүнийг хуваах үед тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдөнө.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x+1-0\le 0\Баруун сум x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty;-1 \баруун]. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Эцэст нь одоогийн "багц" -ын сүүлчийн тэгш бус байдал:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \баруун))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

Зарчмын хувьд энд байгаа шийдлийн санаа нь тодорхой байна: тэгш бус байдалд орсон бүх экспоненциал функцийг "3" суурь болгон бууруулах ёстой. Гэхдээ үүний тулд та үндэс, хүч чадлын талаар бага зэрэг оролдох хэрэгтэй болно.

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Эдгээр баримтуудыг харгалзан анхны тэгш бус байдлыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

\[\эхлэх(эгцлэх) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \баруун))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2))\баруун))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Тооцооллын 2, 3-р мөрөнд анхаарлаа хандуулаарай: тэгш бус байдалтай ямар нэгэн зүйл хийхээсээ өмнө үүнийг хичээлийн эхнээс ярьж байсан хэлбэрт оруулахаа мартуузай: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Хэрэв та зүүн эсвэл баруун талд зарим нэг солгой хүчин зүйл, нэмэлт тогтмол гэх мэт зүйлс байгаа бол, үндэслэлийг үндэслэлтэй болгох, "таслах" боломжгүй! Үүнийг ойлгоогүйн улмаас тоо томшгүй олон ажлыг буруу гүйцэтгэсэн энгийн баримт. Экспоненциал болон логарифмын тэгш бус байдлын шинжилгээг дөнгөж эхэлж байх үед би өөрөө оюутнуудтайгаа энэ асуудлыг байнга ажигладаг.

Гэхдээ даалгавар руугаа буцаж орцгооё. Энэ удаад оновчтой үндэслэлгүйгээр хийхийг оролдъё. Санаж үзье: зэрэглэлийн суурь нь нэгээс их байдаг тул гурвалсан тоог зүгээр л зурж болно - тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдөхгүй. Бид авах:

\[\эхлэх(зохицуулах) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Тэгээд л болоо. Эцсийн хариулт: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Тогтвортой илэрхийллийг тусгаарлаж, хувьсагчийг орлуулах

Эцэст нь хэлэхэд, би бэлтгэлгүй оюутнуудад нэлээд хэцүү болсон дөрвөн экспоненциал тэгш бус байдлыг шийдэхийг санал болгож байна. Тэдгээрийг даван туулахын тулд та зэрэгтэй ажиллах дүрмийг санах хэрэгтэй. Тодруулбал, олгох нийтлэг хүчин зүйлүүдхаалтнаас гарсан.

Гэхдээ хамгийн чухал зүйл бол хаалтнаас яг юу гаргаж болохыг ойлгож сурах явдал юм. Ийм илэрхийллийг тогтвортой гэж нэрлэдэг - үүнийг шинэ хувьсагчаар тэмдэглэж, улмаар экспоненциал функцээс салж болно. Тиймээс, даалгавруудыг авч үзье:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\зүүн(0.5 \баруун))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768. \\\төгсгөл(эгц)\]

Эхний мөрөөс эхэлцгээе. Энэ тэгш бус байдлыг тусад нь бичье.

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

$((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$ гэдгийг анхаарна уу. баруун талдахин бичиж болно:

Тэгш бус байдалд $((5)^(x+1))$-аас бусад экспоненциал функц байхгүй гэдгийг анхаарна уу. Ерөнхийдөө $x$ хувьсагч өөр хаана ч байхгүй тул шинэ хувьсагчийг танилцуулъя: $((5)^(x+1))=t$. Бид дараах бүтээн байгуулалтыг авна.

\[\эхлэх(зохицуулах) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Бид анхны хувьсагч руу буцна ($t=((5)^(x+1))$), мөн тэр үед 1=5 0 гэдгийг санаарай. Бидэнд байгаа:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Энэ бол шийдэл! Хариулт: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Хоёр дахь тэгш бус байдал руу шилжье:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Энд бүх зүйл адилхан. $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ гэдгийг анхаарна уу. Дараа нь зүүн талдахин бичиж болно:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \баруун. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10т\ge 90; \\ & t\ge 9\Баруун сум ((3)^(x))\ge 9\Баруун сум ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Баруун сум x\in \left[ 2;+\infty \баруун). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Бодит туршилт, бие даасан ажлын шийдлийг ойролцоогоор ийм байдлаар гаргах хэрэгтэй.

За, илүү төвөгтэй зүйлийг туршиж үзье. Жишээлбэл, тэгш бус байдал энд байна:

\[((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Энд ямар асуудал байна вэ? Юуны өмнө, зүүн талын экспоненциал функцүүдийн суурь нь өөр: 5 ба 25. Гэхдээ 25 = 5 2, тиймээс эхний гишүүнийг хувиргаж болно:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((25)^(x+1.5))=((\left(((5)^(2)) \баруун))^(x+1.5))= ((5) ^(2х+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\төгсгөл(зохицуулах) )\]

Таны харж байгаагаар эхлээд бид бүх зүйлийг авчирсан ижил суурь, дараа нь эхний нэр томъёог хоёр дахь нь амархан бууруулж болохыг анзаарсан - та зөвхөн экспонентийг өргөжүүлэх хэрэгтэй. Одоо та шинэ хувьсагчийг аюулгүйгээр оруулж болно: $((5)^(2x+2))=t$, тэгш бус байдлыг бүхэлд нь дараах байдлаар дахин бичих болно.

\[\эхлэх(зохицуулах) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Мөн дахин хэлэхэд ямар ч бэрхшээл гарахгүй! Эцсийн хариулт: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Өнөөдрийн хичээлээр эцсийн тэгш бус байдал руу шилжье.

\[((\left(0.5 \баруун))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768\]

Таны анхаарах ёстой хамгийн эхний зүйл бол мэдээжийн хэрэг, аравтыннэгдүгээр зэргийн суурь дээр. Үүнээс салах шаардлагатай бөгөөд нэгэн зэрэг бүх экспоненциал функцийг нэг суурь болох "2" тоонд оруулах хэрэгтэй.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Баруун сум ((\зүүн(0.5 \баруун))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \баруун))^(-4х-8))=((2)^(4х+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Баруун сум ((16)^(x+1.5))=((\зүүн(((2)^(4)) \баруун))^( x+ 1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4х+8))-((2)^(4х+6)) \gt 768. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Гайхалтай, бид эхний алхмыг хийлээ - бүх зүйл ижил суурь руу хөтөлсөн. Одоо та сонгох хэрэгтэй тогтвортой илэрхийлэл. $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$ гэдгийг анхаарна уу. Хэрэв бид $((2)^(4x+6))=t$ шинэ хувьсагчийг оруулбал анхны тэгш бус байдлыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

\[\эхлэх(зохицуулах) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0.5. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Мэдээжийн хэрэг, асуулт гарч ирж магадгүй юм: 256 = 2 8 гэдгийг бид хэрхэн олж мэдсэн бэ? Харамсалтай нь энд та хоёрын хүчийг (мөн гурав ба тавын хүчийг) мэдэх хэрэгтэй. За, эсвэл үр дүн гарах хүртэл 256-г 2-т хуваа (256 бол тэгш тоо тул та хувааж болно). Энэ нь иймэрхүү харагдах болно:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =(2)^(8)).\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) )\]

Гурав (9, 27, 81, 243 тоонууд нь түүний градусууд), долоо (49, 343 гэсэн тоонуудыг санахад таатай байх болно) нь мөн адил юм. Тав нь бас "сайхан" зэрэгтэй байдаг бөгөөд үүнийг та мэдэх хэрэгтэй:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Мэдээжийн хэрэг, хэрэв та хүсвэл эдгээр бүх тоог зүгээр л нэг нэгээр нь үржүүлснээр таны оюун ухаанд сэргэж болно. Гэсэн хэдий ч, та хэд хэдэн экспоненциал тэгш бус байдлыг шийдэх ёстой бөгөөд дараагийнх бүр нь өмнөхөөсөө илүү хэцүү байх үед таны хамгийн сүүлд бодохыг хүссэн зүйл бол зарим тоонуудын хүч юм. Энэ утгаараа эдгээр асуудлууд нь интервалын аргаар шийдэгддэг "сонгодог" тэгш бус байдлаас илүү төвөгтэй байдаг.

Асаалттай энэ хичээлБид илүү төвөгтэй экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх талаар авч үзэх болно, үндсэн зүйлийг эргэн санах болно онолын зарчимэкспоненциал функцийн талаар.

1. Экспоненциал функцийн тодорхойлолт, шинж чанар, хамгийн энгийн экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

Экспоненциал функцийн тодорхойлолт ба үндсэн шинж чанарыг эргэн санацгаая. Бүх экспоненциал тэгшитгэл ба тэгш бус байдлын шийдэл нь эдгээр шинж чанарууд дээр суурилдаг.

Экспоненциал функцхэлбэрийн функц бөгөөд суурь нь градус, энд x нь бие даасан хувьсагч, аргумент; y нь хамааралтай хувьсагч, функц.

Цагаан будаа. 1. Экспоненциал функцийн график

График нь нэгээс их, нэгээс бага боловч тэгээс их суурьтай экспоненциал функцийг харуулсан өсөлт ба бууралтыг харуулж байна.

Хоёр муруй хоёулаа (0;1) цэгээр дамждаг.

Экспоненциал функцийн шинж чанарууд:

Домэйн: ;

Утгын хүрээ: ;

Функц нь монотон, нэмэгдэх тусам буурдаг.

Монотон функц нь нэг аргументын утгыг өгөгдсөн утга тус бүрийг авдаг.

Аргумент нь хасахаас нэмэх хязгаар хүртэл нэмэгдэхэд функц нь тэгээс нэмэх хязгаар хүртэл нэмэгддэг. Эсрэгээр, аргумент нь хасахаас нэмэх хязгаар хүртэл нэмэгдэхэд функц нь багтаамжгүй, хязгааргүйгээс тэг хүртэл буурдаг.

2. Стандарт экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Хамгийн энгийн экспоненциал тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхийг танд сануулъя. Тэдний шийдэл нь экспоненциал функцийн монотон байдал дээр суурилдаг. Бараг бүх нарийн төвөгтэй экспоненциал тэгшитгэлийг ийм тэгшитгэл болгон бууруулж болно.

Экспонентуудын тэгш байдал тэгш эрхтэйэкспоненциал функцийн шинж чанар, тухайлбал түүний монотон байдлаас үүдэлтэй.

Шийдлийн арга:

Зэрэглэлийн суурийг тэнцүүлэх;

Экспонентуудыг тэнцүүл.

Илүү нарийн төвөгтэй экспоненциал тэгшитгэлүүдийг авч үзье.

Зүүн талын үндсийг арилгаж, градусыг ижил суурь руу аваачъя:

Нарийн төвөгтэй экспоненциал тэгшитгэлийг хамгийн энгийн болгож багасгахын тулд хувьсагчдыг орлуулах аргыг ихэвчлэн ашигладаг.

Эрчим хүчний шинж чанарыг ашиглацгаая:

Бид орлуулах хүнийг танилцуулж байна. Тэгвэл байг

Үүссэн тэгшитгэлийг хоёроор үржүүлж, бүх гишүүнийг зүүн тал руу шилжүүлье.

Эхний үндэс нь y утгын мужийг хангахгүй тул бид үүнийг хаяна. Бид авах:

Зэрэглэлийг ижил үзүүлэлт болгон бууруулъя:

Орлуулахыг танилцуулъя:

Тэгвэл байг . Ийм орлуулалтаар y нь эерэг утгыг авах нь тодорхой байна. Бид авах:

Бид ийм квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхээ мэддэг тул хариултыг бичиж болно.

Үндэс нь зөв олдсон эсэхийг шалгахын тулд та Виетийн теоремыг ашиглан шалгаж, өөрөөр хэлбэл үндэс ба тэдгээрийн үржвэрийн нийлбэрийг олж, тэгшитгэлийн холбогдох коэффициентүүдтэй харьцуулж болно.

Бид авах:

3. Хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга зүй

Дараахь зүйлийг судалж үзье чухал төрөлэкспоненциал тэгшитгэлүүд:

Энэ төрлийн тэгшитгэлийг f ба g функцүүдийн хувьд хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Зүүн талд нь бий квадрат гурвалжин g параметртэй f-тэй харьцангуй эсвэл f параметртэй g-тэй харьцуулахад квадрат гурвалсан.

Шийдлийн арга:

Энэ тэгшитгэлийг квадрат тэгшитгэлээр шийдэж болох боловч өөрөөр хийх нь илүү хялбар байдаг. Үүнд анхаарах хоёр тохиолдол байна:

Эхний тохиолдолд бид авдаг

Хоёр дахь тохиолдолд бид хамгийн дээд хэмжээгээр хувааж, дараахь зүйлийг авах эрхтэй.

Хувьсагчийн өөрчлөлтийг оруулах шаардлагатай бол бид y-ийн квадрат тэгшитгэлийг олж авна.

f ба g функцууд нь дурын байж болохыг анхаарна уу, гэхдээ эдгээр нь экспоненциал функц байх тохиолдолд бид сонирхож байна.

4. Нэг төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээ

Бүх гишүүдийг тэгшитгэлийн зүүн тал руу шилжүүлье.

Экспоненциал функцүүд нь хатуу эерэг утгыг олж авдаг тул бид дараахь тохиолдлыг авч үзэхгүйгээр тэгшитгэлийг нэн даруй хуваах эрхтэй.

Бид авах:

Орлуулахыг танилцуулъя: (экпоненциал функцийн шинж чанарын дагуу)

Бид квадрат тэгшитгэлийг авсан:

Бид Виетийн теоремыг ашиглан үндсийг тодорхойлно.

Эхний үндэс нь y-ийн утгын хүрээг хангахгүй, бид үүнийг хаяад бид дараахь зүйлийг авна.

Зэрэглэлийн шинж чанарыг ашиглаж, бүх градусыг энгийн суурь болгон бууруулъя:

f ба g функцийг анзаарахад хялбар байдаг:

Экспоненциал функцууд нь хатуу эерэг утгыг олж авдаг тул бид тэгшитгэлийг нэн даруй хуваах эрхтэй.

Олонхийн шийдвэр математикийн асуудлуудтоон, алгебрийн эсвэл функциональ илэрхийллийн хувиргалттай ямар нэгэн байдлаар холбоотой. Дээрх нь ялангуяа шийдвэрт хамаарна. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын хувилбаруудад энэ төрлийн асуудалд, ялангуяа C3 даалгаврыг багтаасан болно. C3 даалгавруудыг шийдэж сурах нь зөвхөн зорилгод төдийгүй чухал юм амжилттай дуусгахУлсын нэгдсэн шалгалт, гэхдээ энэ чадвар нь ахлах сургуулийн математикийн хичээлд суралцахад хэрэг болно гэсэн шалтгаанаар.

C3 даалгавруудыг гүйцэтгэхдээ та шийдэх хэрэгтэй янз бүрийн төрөлтэгшитгэл ба тэгш бус байдал. Эдгээрийн дотор рационал, иррационал, экспоненциал, логарифм, тригонометр, агуулсан модулиуд ( үнэмлэхүй утгууд), түүнчлэн хосолсон. Энэ нийтлэлд экспоненциал тэгшитгэл ба тэгш бус байдлын үндсэн төрлүүдийг авч үзэх болно янз бүрийн аргатэдний шийдвэр. Бусад төрлийн тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх талаар C3 бодлогуудыг шийдвэрлэх аргуудад зориулсан нийтлэлүүдийн "" хэсгээс уншина уу. Улсын нэгдсэн шалгалтын сонголтуудматематик.

Тодорхой дүн шинжилгээ хийж эхлэхээсээ өмнө экспоненциал тэгшитгэл ба тэгш бус байдал, Математикийн багшийн хувьд би танд зарим зүйлийг сайтар нягтлахыг санал болгож байна онолын материал, энэ нь бидэнд хэрэгтэй болно.

Экспоненциал функц

Экспоненциал функц гэж юу вэ?

Маягтын функц y = а х, Хаана а> 0 ба а≠ 1 гэж нэрлэдэг экспоненциал функц.

Үндсэн экспоненциал функцийн шинж чанарууд y = а х:

Экспоненциал функцийн график

Экспоненциал функцийн график нь илтгэгч:

Экспоненциал функцийн графикууд (экпонент)

Экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Заалтүл мэдэгдэх хувьсагч нь зөвхөн зарим зэрэглэлийн илтгэгчээр олддог тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Шийдлийн хувьд экспоненциал тэгшитгэлТа дараах энгийн теоремыг мэдэж, ашиглах чадвартай байх хэрэгтэй.

Теорем 1.Экспоненциал тэгшитгэл а е(x) = а g(x) (Хаана а > 0, а≠ 1) тэгшитгэлтэй тэнцүү байна е(x) = g(x).

Үүнээс гадна санах нь ашигтай байдаг үндсэн томъёозэрэгтэй үйлдлүүд:

Гарчиг=" QuickLaTeX.com-с үзүүлсэн">!}

Жишээ 1.Тэгшитгэлийг шийд:

Шийдэл:Бид дээрх томъёо, орлуулалтыг ашигладаг:

Дараа нь тэгшитгэл нь:

Хүлээн авсан зүйлээ ялгаварлан гадуурхах квадрат тэгшитгэлэерэг:

Гарчиг=" QuickLaTeX.com-с үзүүлсэн">!}

Энэ тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй гэсэн үг. Бид тэдгээрийг олдог:

Урвуу орлуулалт руу шилжихэд бид дараахь зүйлийг авна.

Хоёр дахь тэгшитгэл нь үндэсгүй, учир нь экспоненциал функц нь тодорхойлолтын бүх талбарт эерэг утгатай байдаг. Хоёр дахь асуудлыг шийдье:

Теорем 1-д хэлсэн зүйлийг харгалзан бид ижил тэгшитгэл рүү шилждэг. x= 3. Энэ нь даалгаврын хариулт байх болно.

Хариулт: x = 3.

Жишээ 2.Тэгшитгэлийг шийд:

Шийдэл:талбайн хязгаарлалт хүлээн зөвшөөрөгдсөн утгуудРадикал илэрхийлэл нь ямар ч утгыг илэрхийлдэг тул тэгшитгэл нь тийм биш юм x(экпоненциал функц y = 9 4 -хэерэг ба тэгтэй тэнцүү биш).

Бид тэгшитгэлийг шийддэг эквивалент хувиргалтэрх мэдлийг үржүүлэх, хуваах дүрмийг ашиглан:

Сүүлийн шилжилтийг теорем 1-ийн дагуу хийсэн.

Хариулт:x= 6.

Жишээ 3.Тэгшитгэлийг шийд:

Шийдэл:хоёр хэсэг анхны тэгшитгэл 0.2-т хувааж болно x. Энэ илэрхийлэлээс хойш энэ шилжилт нь тэнцүү байх болно Тэгээс дээшямар ч үнэ цэнээр x(экпоненциал функц нь түүний тодорхойлолтын мужид хатуу эерэг байдаг). Дараа нь тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно.

Хариулт: x = 0.

Жишээ 4.Тэгшитгэлийг шийд:

Шийдэл:Бид өгүүллийн эхэнд өгөгдсөн хүчийг хуваах, үржүүлэх дүрмийг ашиглан тэнцүү хувиргах замаар тэгшитгэлийг энгийн болгон хялбаршуулдаг.

Тэгшитгэлийн хоёр талыг 4-т хуваана x, өмнөх жишээн дээрх шиг, ижил төстэй хувиргалт, оноос хойш энэ илэрхийлэлямар ч утгын хувьд тэгтэй тэнцүү биш x.

Хариулт: x = 0.

Жишээ 5.Тэгшитгэлийг шийд:

Шийдэл:функц y = 3x, тэгшитгэлийн зүүн талд зогсож байгаа нь нэмэгдэж байна. Чиг үүрэг y = —xТэгшитгэлийн баруун талын -2/3 нь буурч байна. Энэ нь хэрэв эдгээр функцүүдийн графикууд огтлолцож байвал хамгийн ихдээ нэг цэг байна гэсэн үг юм. Энэ тохиолдолд графикууд цэг дээр огтлолцож байгааг таахад хялбар байдаг x= -1. Өөр үндэс байхгүй болно.

Хариулт: x = -1.

Жишээ 6.Тэгшитгэлийг шийд:

Шийдэл:Бид тэгшитгэлийг эквивалент хувиргалтаар хялбарчилж, экспоненциал функц нь ямар ч утгын хувьд тэгээс их байна гэдгийг хаа сайгүй санаж байна xӨгүүллийн эхэнд өгөгдсөн эрх мэдлийн бүтээгдэхүүн ба коэффициентийг тооцоолох дүрмийг ашиглан:

Хариулт: x = 2.

Экспоненциал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх

Заалтүл мэдэгдэх хувьсагч нь зөвхөн зарим зэрэглэлийн илтгэгчид агуулагдах тэгш бус байдал гэж нэрлэгддэг.

Шийдлийн хувьд экспоненциал тэгш бус байдалДараах теоремыг мэдэх шаардлагатай.

Теорем 2.Хэрэв а> 1, дараа нь тэгш бус байдал а е(x) > а g(x) нь ижил утгатай тэгш бус байдалтай тэнцүү байна: е(x) > g(x). Хэрэв 0< а < 1, то показательное неравенство а е(x) > а g(x) нь эсрэг утгатай тэгш бус байдалтай тэнцүү байна: е(x) < g(x).

Жишээ 7.Тэгш бус байдлыг шийд:

Шийдэл:Анхны тэгш бус байдлыг дараах хэлбэрээр үзүүлье.

Энэ тэгш бус байдлын хоёр талыг 3 2-т хуваая x, энэ тохиолдолд (функцийн эерэг байдлаас шалтгаалан y= 3 2x) тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдөхгүй:

Орлуулахыг ашиглацгаая:

Дараа нь тэгш бус байдал нь дараах хэлбэртэй болно.

Тиймээс тэгш бус байдлын шийдэл нь интервал юм.

урвуу орлуулалт руу шилжихэд бид дараахь зүйлийг авна.

Экспоненциал функцийн эерэг байдлаас шалтгаалан зүүн тэгш бус байдал автоматаар хангагдана. Давуу талыг ашиглаж байна мэдэгдэж байгаа өмчлогарифмын хувьд бид эквивалент тэгш бус байдал руу шилждэг:

Зэрэглэлийн суурь нь нэгээс их тоо байх тул (теорем 2-ын дагуу) дараах тэгш бус байдалд шилжих шилжилттэй тэнцүү байна.

Тиймээс бид эцэст нь хүрлээ хариулт:

Жишээ 8.Тэгш бус байдлыг шийд:

Шийдэл:Хүчин чадлын үржүүлэх, хуваах шинж чанаруудыг ашиглан тэгш бус байдлыг дараах хэлбэрээр бичнэ.

Шинэ хувьсагчийг танилцуулъя:

Энэ орлуулалтыг харгалзан үзвэл тэгш бус байдал нь дараах хэлбэртэй байна.

Бутархайн хүртэгч ба хуваагчийг 7-оор үржүүлснээр бид дараахь тэнцүү тэгш бус байдлыг олж авна.

Тиймээс тэгш бус байдал хангагдана дараах утгуудхувьсагч т:

Дараа нь урвуу орлуулалт руу шилжихэд бид дараахь зүйлийг авна.

Эндхийн зэрэглэлийн суурь нь нэгээс их байх тул тэгш бус байдалд шилжих нь тэнцүү байх болно (теорем 2-оор):

Эцэст нь бид авдаг хариулт:

Жишээ 9.Тэгш бус байдлыг шийд:

Шийдэл:

Бид тэгш бус байдлын хоёр талыг дараах илэрхийллээр хуваана.

Энэ нь үргэлж тэгээс их байдаг (экпоненциал функцийн эерэг байдлаас шалтгаалан) тэгш бус байдлын тэмдгийг өөрчлөх шаардлагагүй. Бид авах:

t интервалд байрладаг:

Урвуу орлуулалт руу шилжихэд бид анхны тэгш бус байдал хоёр тохиолдолд хуваагддаг болохыг олж мэдэв.

Эхний тэгш бус байдал нь экспоненциал функцийн эерэг байдлаас шалтгаалан шийдэлгүй. Хоёр дахь асуудлыг шийдье:

Жишээ 10.Тэгш бус байдлыг шийд:

Шийдэл:

Параболагийн салбарууд y = 2x+2-x 2 нь доош чиглэсэн тул орой дээрээ хүрэх утгаараа дээрээс хязгаарлагдана.

Параболагийн салбарууд y = x 2 -2xШалгуур үзүүлэлт дэх +2 нь дээш чиглэсэн бөгөөд энэ нь доод цэгтээ хүрэх утгаараа доороос хязгаарлагддаг гэсэн үг юм.

Үүний зэрэгцээ функц нь доороос хязгаарлагдмал болж хувирдаг y = 3 x 2 -2x+2, энэ нь тэгшитгэлийн баруун талд байна. Тэр зорилгодоо хүрдэг хамгийн бага утгаилтгэгчийн параболын ижил цэгт байх ба энэ утга нь 3 1 = 3-тай тэнцүү байна. Тэгэхээр зүүн талын функц, баруун талын функц нь 3-тай тэнцүү утгыг авсан тохиолдолд л анхны тэгш бус байдал үнэн болно. ижил цэг дээр (уулзалтаар эдгээр функцүүдийн утгын хүрээ нь зөвхөн энэ тоо юм). Энэ нөхцөл нь нэг цэгт хангагдана x = 1.

Хариулт: x= 1.

Шийдвэр гаргаж сурахын тулд экспоненциал тэгшитгэл ба тэгш бус байдал,тэдгээрийг шийдвэрлэхэд байнга сургах шаардлагатай байдаг. Энэ хүнд хэцүү ажилд янз бүрийн зүйл туслах болно. арга зүйн гарын авлага, асуудлын номууд дээр анхан шатны математик, өрсөлдөөнт бодлогын цуглуулга, сургуулийн математикийн хичээл, түүнчлэн бие даасан сессүүд-тай мэргэжлийн багш. Та бүхний бэлтгэл сургуулилтад амжилт, шалгалтанд өндөр амжилт гаргахыг чин сэтгэлээсээ хүсэн ерөөе.

Сергей Валерьевич

P.S. Эрхэм хүндэт зочид! Сэтгэгдэл хэсэгт тэгшитгэлээ шийдэх хүсэлтийг бүү бичээрэй. Харамсалтай нь надад үүнийг хийх цаг үнэхээр алга. Ийм мессежийг устгах болно. Нийтлэлийг уншина уу. Магадгүй үүнээс та даалгавраа бие даан шийдвэрлэх боломжийг олгодоггүй асуултуудын хариултыг олох болно.