Ky mësim është menduar për ata që sapo kanë filluar të mësojnë ekuacionet eksponenciale. Si gjithmonë, le të fillojmë me përkufizimin dhe shembujt e thjeshtë.

Nëse jeni duke e lexuar këtë mësim, atëherë dyshoj se tashmë keni të paktën një kuptim minimal të ekuacioneve më të thjeshta - lineare dhe kuadratike: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$, etj. Të jesh në gjendje të zgjidhësh ndërtime të tilla është absolutisht e nevojshme për të mos "ngecur" në temën që do të diskutohet tani.

Pra, ekuacionet eksponenciale. Më lejoni t'ju jap disa shembuj:

\[((2)^(x))=4;\katër ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\katër ((9)^(x))=- 3\]

Disa prej tyre mund t'ju duken më komplekse, ndërsa të tjerët, përkundrazi, janë shumë të thjeshta. Por të gjithë kanë një veçori të rëndësishme të përbashkët: shënimi i tyre përmban funksionin eksponencial $f\left(x \right)=(a)^(x))$. Pra, le të prezantojmë përkufizimin:

Një ekuacion eksponencial është çdo ekuacion që përmban një funksion eksponencial, d.m.th. shprehja e formës $((a)^(x))$. Përveç kësaj funksionin e specifikuar ekuacionet e ngjashme mund të përmbajnë çdo ndërtim tjetër algjebrik - polinom, rrënjë, trigonometri, logaritme, etj.

OK atëherë. Ne e kemi zgjidhur përkufizimin. Tani pyetja është: si të zgjidhet gjithë kjo katrahurë? Përgjigja është e thjeshtë dhe komplekse.

Le të fillojmë me lajmin e mirë: nga përvoja ime në mësimdhënien e shumë studentëve, mund të them se shumica prej tyre i gjejnë ekuacionet eksponenciale shumë më të lehta se të njëjtat logaritme, dhe aq më tepër trigonometrinë.

Por ka një lajm të keq: ndonjëherë hartuesit e problemeve për të gjitha llojet e teksteve dhe provimeve goditen nga "frymëzimi" dhe truri i tyre i ndezur nga droga fillon të prodhojë ekuacione kaq brutale, saqë zgjidhja e tyre bëhet problematike jo vetëm për studentët - madje edhe shumë mësues. ngecni në probleme të tilla.

Megjithatë, le të mos flasim për gjëra të trishtueshme. Dhe le të kthehemi te ato tre ekuacione që u dhanë në fillim të tregimit. Le të përpiqemi të zgjidhim secilën prej tyre.

Ekuacioni i parë: $((2)^(x))=4$. Epo, në cilën fuqi duhet të ngrini numrin 2 për të marrë numrin 4? Ndoshta e dyta? Në fund të fundit, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - dhe morëm barazinë e saktë numerike, d.m.th. me të vërtetë $x=2$. Epo, faleminderit, Cap, por ky ekuacion ishte aq i thjeshtë sa edhe macja ime mund ta zgjidhte atë.

Le të shohim ekuacionin e mëposhtëm:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Por këtu është pak më e ndërlikuar. Shumë studentë e dinë se $((5)^(2))=25$ është tabela e shumëzimit. Disa gjithashtu dyshojnë se $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ është në thelb përkufizimi fuqitë negative(për analogji me formulën $((a)^(-n))=\frac(1)((a)^(n)))$).

Së fundi, vetëm disa të zgjedhur e kuptojnë se këto fakte mund të kombinohen dhe të japin rezultatin e mëposhtëm:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Kështu, ekuacioni ynë origjinal do të rishkruhet si më poshtë:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Djathtas ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Por kjo tashmë është plotësisht e zgjidhshme! Në të majtë në ekuacion ka një funksion eksponencial, në të djathtë në ekuacion ka një funksion eksponencial, nuk ka asgjë tjetër askund përveç tyre. Prandaj, ne mund të "heqim" bazat dhe të barazojmë budallallëk treguesit:

Ne kemi marrë ekuacionin linear më të thjeshtë që çdo student mund të zgjidhë në vetëm disa rreshta. Mirë, në katër rreshta:

\[\filloj(rreshtoj)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\fund (rreshtoj)\]

Nëse nuk e kuptoni se çfarë po ndodhte në katër rreshtat e fundit, sigurohuni që t'i ktheheni temës " ekuacionet lineare"dhe përsëriteni. Sepse pa një kuptim të qartë të kësaj teme, është shumë herët për ju të merrni ekuacione eksponenciale.

\[((9)^(x))=-3\]

Pra, si mund ta zgjidhim këtë? Mendimi i parë: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, kështu që ekuacioni origjinal mund të rishkruhet si më poshtë:

\[((\majtas(((3)^(2)) \djathtas))^(x))=-3\]

Pastaj kujtojmë se kur ngremë një fuqi në një fuqi, eksponentët shumëzohen:

\[((\majtas(((3)^(2)) \djathtas))^(x))=((3)^(2x))\Djathtas ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\fillim(radhis)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\fund (rreshtoj)\]

Dhe për një vendim të tillë do të marrim një dy sinqerisht të merituar. Sepse, me barazinë e një Pokemon, ne dërguam shenjën minus përpara të treve në fuqinë e kësaj treve. Por ju nuk mund ta bëni këtë. Dhe ja pse. Hidhini një sy fuqive të ndryshme të tre:

\[\fillimi(matrica) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\fund(matricë)\]

Kur përpilova këtë tabletë, isha aq i kujdesshëm sa munda: dhe gradë pozitive I konsiderova si negativë, ashtu edhe ata thyesorë... mirë, ku është të paktën një numër negativ këtu? Ai ka ikur! Dhe nuk mund të jetë, sepse funksioni eksponencial $y=((a)^(x))$, së pari, gjithmonë merr vetëm vlerat pozitive(pavarësisht se sa shumëzoni një ose e ndani me dy, ai përsëri do të jetë një numër pozitiv), dhe së dyti, baza e një funksioni të tillë - numri $a$ - sipas definicionit është një numër pozitiv!

Epo, atëherë si të zgjidhet ekuacioni $((9)^(x))=-3$? Por në asnjë mënyrë: nuk ka rrënjë. Dhe në këtë kuptim, ekuacionet eksponenciale janë shumë të ngjashme me ekuacionet kuadratike - gjithashtu mund të mos ketë rrënjë. Por nëse në ekuacionet kuadratike numri i rrënjëve përcaktohet nga diskriminuesi (diskriminues pozitiv - 2 rrënjë, negativ - pa rrënjë), atëherë në ekuacionet eksponenciale gjithçka varet nga ajo që është në të djathtë të shenjës së barabartë.

Kështu, le të formulojmë përfundimin kryesor: ekuacioni më i thjeshtë eksponencial i formës $((a)^(x))=b$ ka një rrënjë nëse dhe vetëm nëse $b>0$. Duke ditur këtë fakt të thjeshtë, mund të përcaktoni lehtësisht nëse ekuacioni që ju propozohet ka rrënjë apo jo. ato. A ia vlen ta zgjidhësh fare apo të shkruash menjëherë se nuk ka rrënjë.

Kjo njohuri do të na ndihmojë shumë herë kur duhet të vendosim më shumë detyra komplekse. Tani për tani, mjaft nga tekstet - është koha për të studiuar algoritmin bazë për zgjidhjen e ekuacioneve eksponenciale.

Si të zgjidhim ekuacionet eksponenciale

Pra, le të formulojmë problemin. Është e nevojshme të zgjidhet ekuacioni eksponencial:

\[((a)^(x))=b,\katër a,b>0\]

Sipas algoritmit "naiv" që kemi përdorur më parë, është e nevojshme të përfaqësohet numri $b$ si fuqi e numrit $a$:

Përveç kësaj, nëse në vend të ndryshores $x$ ka ndonjë shprehje, do të marrim një ekuacion të ri që tashmë mund të zgjidhet. Për shembull:

\[\fillim(rreshtoj)& ((2)^(x))=8\Shigjeta djathtas ((2)^(x))=((2)^(3))\Shigjeta djathtas x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Shigjeta djathtas ((3)^(-x))=((3)^(4))\Djathtas -x=4\Djathtas x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Djathtas ((5)^(2x))=((5)^(3))\Djathtas 2x=3\Djathtas x=\frac(3)( 2). \\\fund (radhis)\]

Dhe çuditërisht, kjo skemë funksionon në rreth 90% të rasteve. Po atëherë për 10% të mbetur? 10% e mbetur janë ekuacione eksponenciale pak "skizofrenike" të formës:

\[((2)^(x))=3;\katër ((5)^(x))=15;\katër ((4)^(2x))=11\]

Epo, në çfarë fuqie ju nevojitet për të ngritur 2 për të marrë 3? E para? Por jo: $((2)^(1))=2$ nuk mjafton. E dyta? As jo: $((2)^(2))=4$ është shumë. Cilin pastaj?

Studentët e ditur ndoshta tashmë e kanë hamendësuar: në raste të tilla, kur nuk është e mundur të zgjidhet "bukur", hyn në lojë "artileria e rëndë" - logaritmet. Më lejoni t'ju kujtoj se duke përdorur logaritmet, çdo numër pozitiv mund të përfaqësohet si fuqi e çdo numri tjetër pozitiv (përveç njërit):

E mbani mend këtë formulë? Kur u tregoj studentëve të mi për logaritmet, gjithmonë paralajmëroj: kjo formulë (gjithashtu kryesore identiteti logaritmik ose, nëse dëshironi, përkufizimi i një logaritmi) do t'ju ndjekë për një kohë shumë të gjatë dhe do të "shfaqet" më së shumti vende të papritura. Epo, ajo doli në sipërfaqe. Le të shohim ekuacionin tonë dhe këtë formulë:

\[\fillim(rreshtoj)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\fund (rreshtoj) \]

Nëse supozojmë se $a=3$ është numri ynë origjinal në të djathtë, dhe $b=2$ është vetë baza e funksionit eksponencial në të cilin duam të çojmë anën e djathtë, atëherë marrim sa vijon:

\[\filloj(rreshtoj)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Djathtas shigjeta 3=((2)^((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Shigjeta djathtas ((2)^(x))=(2)^(((\log )_(2))3)\Shigjeta djathtas x=( (\log )_(2))3. \\\fund (radhis)\]

Morëm një përgjigje paksa të çuditshme: $x=((\log )_(2))3$. Në një detyrë tjetër, shumë do të kishin dyshime me një përgjigje të tillë dhe do të fillonin të kontrollonin dyfish zgjidhjen e tyre: po sikur të kishte hyrë diku një gabim? Unë nxitoj t'ju kënaq: nuk ka asnjë gabim këtu, dhe logaritmet në rrënjët e ekuacioneve eksponenciale janë mjaft situatë tipike. Kështu që mësohu me të.

Tani le të zgjidhim dy ekuacionet e mbetura me analogji:

\[\fillim(rreshtoj)& ((5)^(x))=15\Djathtas ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Shigjeta djathtas x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Shigjeta djathtas ((4)^(2x))=((4)^((\log )_(4))11))\Shigjeta djathtas 2x=( (\log )_(4))11\Shigjeta djathtas x=\frac(1)(2)((\log)_(4))11. \\\fund (radhis)\]

Kjo është ajo! Nga rruga, përgjigja e fundit mund të shkruhet ndryshe:

Ne prezantuam një shumëzues në argumentin e logaritmit. Por askush nuk po na ndalon të shtojmë këtë faktor në bazë:

Për më tepër, të tre opsionet janë të sakta - është e thjeshtë forma të ndryshme regjistrime të të njëjtit numër. Cilin të zgjidhni dhe të shkruani në këtë zgjidhje varet nga ju që të vendosni.

Kështu, ne kemi mësuar të zgjidhim çdo ekuacion eksponencial të formës $((a)^(x))=b$, ku numrat $a$ dhe $b$ janë rreptësisht pozitiv. Megjithatë realitet i ashpër Bota jonë është e tillë që detyra të tilla të thjeshta do të hasen shumë, shumë rrallë. Më shpesh do të hasni diçka të tillë:

\[\filloj(rreshtoj)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\fund (radhis)\]

Pra, si mund ta zgjidhim këtë? A mund të zgjidhet fare kjo? Dhe nëse po, si?

Mos u trembni. Të gjitha këto ekuacione mund të reduktohen shpejt dhe lehtë në formula të thjeshta të cilat i kemi shqyrtuar tashmë. Thjesht duhet të mbani mend disa truke nga kursi i algjebrës. Dhe sigurisht, nuk ka rregulla për të punuar me diploma. Unë do t'ju tregoj për të gjitha këto tani :)

Shndërrimi i ekuacioneve eksponenciale

Gjëja e parë që duhet mbajtur mend: çdo ekuacion eksponencial, pavarësisht sa i ndërlikuar mund të jetë, në një mënyrë ose në një tjetër duhet të reduktohet në ekuacionet më të thjeshta - ato që kemi shqyrtuar tashmë dhe që dimë t'i zgjidhim. Me fjalë të tjera, skema për zgjidhjen e çdo ekuacioni eksponencial duket si kjo:

1. Shkruani ekuacionin origjinal. Për shembull: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Bëj një mut të çuditshëm. Ose edhe ndonjë katrahurë të quajtur "konverto një ekuacion";
3. Në dalje, merrni shprehjet më të thjeshta të formës $((4)^(x))=4$ ose diçka tjetër si kjo. Për më tepër, një ekuacion fillestar mund të japë disa shprehje të tilla njëherësh.

Gjithçka është e qartë me pikën e parë - edhe macja ime mund ta shkruajë ekuacionin në një copë letër. Pika e tretë gjithashtu duket të jetë pak a shumë e qartë - ne kemi zgjidhur tashmë një grup të tërë ekuacionesh të tilla më lart.

Por ç'të themi për pikën e dytë? Çfarë lloj transformimesh? Konvertoni çfarë në çfarë? Dhe si?

Epo, le ta zbulojmë. Para së gjithash, do të doja të shënoja sa vijon. Të gjitha ekuacionet eksponenciale ndahen në dy lloje:

1. Ekuacioni është i përbërë nga funksione eksponenciale me të njëjtën bazë. Shembull: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Formula përmban funksione eksponenciale me për arsye të ndryshme. Shembuj: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ dhe $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09$.

Le të fillojmë me ekuacionet e llojit të parë - ato janë më të lehta për t'u zgjidhur. Dhe në zgjidhjen e tyre, ne do të ndihmohemi nga një teknikë e tillë si nxjerrja në pah e shprehjeve të qëndrueshme.

Izolimi i një shprehjeje të qëndrueshme

Le të shohim përsëri këtë ekuacion:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Çfarë shohim? Të katër janë ngritur në shkallë të ndryshme. Por të gjitha këto gradë - shuma të thjeshta ndryshorja $x$ me numra të tjerë. Prandaj, është e nevojshme të mbani mend rregullat për të punuar me gradë:

\[\fillim(liroj)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))((a )^(y))). \\\fund (radhis)\]

E thënë thjesht, mbledhja mund të shndërrohet në një produkt të fuqive dhe zbritja mund të shndërrohet lehtësisht në pjesëtim. Le të përpiqemi t'i zbatojmë këto formula në shkallët nga ekuacioni ynë:

\[\filloj(rreshtoj)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=(4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\ fund (rreshtoj)\]

Le të rishkruajmë ekuacionin origjinal duke marrë parasysh këtë fakt, dhe më pas të mbledhim të gjithë termat në të majtë:

\[\filloj(rreshtoj)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -11; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\fund (radhis)\]

Katër termat e parë përmbajnë elementin $((4)^(x))$ - le ta heqim atë nga kllapa:

\[\fillim(rreshtoj)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \djathtas)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \djathtas)=-11. \\\fund (radhis)\]

Mbetet të ndajmë të dyja anët e ekuacionit me thyesën $-\frac(11)(4)$, d.m.th. në thelb shumëzohet me thyesën e përmbysur - $-\frac(4)(11)$. Ne marrim:

\[\fillim(rreshtoj)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \djathtas)\cdot \left(-\frac(4)(11) \djathtas )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \djathtas); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=(4)^(1)); \\& x=1. \\\fund (radhis)\]

Kjo është ajo! Ne e kemi reduktuar ekuacionin origjinal në formën e tij më të thjeshtë dhe kemi marrë përgjigjen përfundimtare.

Në të njëjtën kohë, në procesin e zgjidhjes ne zbuluam (dhe madje e hoqëm atë nga kllapa) shumëzues i përbashkët$((4)^(x))$ është një shprehje e qëndrueshme. Mund të përcaktohet si një ndryshore e re, ose thjesht mund ta shprehni me kujdes dhe të merrni përgjigjen. Në çdo rast, parimi kryesor i zgjidhjes është si më poshtë:

Gjeni në ekuacionin origjinal një shprehje të qëndrueshme që përmban një ndryshore që dallohet lehtësisht nga të gjithë funksionet eksponenciale.

Lajmi i mirë është se pothuajse çdo ekuacion eksponencial ju lejon të izoloni një shprehje kaq të qëndrueshme.

Por ka edhe një lajm të keq: shprehje të ngjashme mund të jetë mjaft e ndërlikuar dhe mund të jetë mjaft e vështirë për t'u identifikuar. Pra, le të shohim një problem tjetër:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Ndoshta dikush tani ka një pyetje: “Pasha, je të vrarë me gurë? Këtu ka baza të ndryshme - 5 dhe 0.2. Por le të provojmë ta konvertojmë fuqinë në bazën 0.2. Për shembull, le të heqim qafe thyesën dhjetore duke e reduktuar atë në një të rregullt:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\majtas(x+1 \djathtas)))=((\majtas(\frac(2)(10 ) \djathtas))^(-\majtas(x+1 \djathtas)))=((\majtas(\frac(1)(5) \djathtas))^(-\majtas(x+1 \djathtas)) )\]

Siç mund ta shihni, numri 5 u shfaq akoma, megjithëse në emërues. Në të njëjtën kohë, treguesi u rishkrua si negativ. Dhe tani le të kujtojmë një nga rregullat më të rëndësishme punë me diploma:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Djathtas ((\majtas(\frac(1)(5) \djathtas))^( -\majtas(x+1 \djathtas)))=((\majtas(\frac(5)(1) \djathtas))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Këtu, natyrisht, u gënjeva pak. Sepse për një kuptim të plotë, formula për të hequr qafe treguesit negativë duhej të shkruhej si kjo:

\[((a)^(-n))=\frac(1)((a)^(n)))=((\majtas(\frac(1)(a) \djathtas))^(n ))\Djathtas ((\majtas(\frac(1)(5) \djathtas))^(-\majtas(x+1 \djathtas)))=((\majtas(\frac(5)(1) \ djathtas))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Nga ana tjetër, asgjë nuk na pengoi të punonim vetëm me thyesa:

\[((\majtas(\frac(1)(5) \djathtas))^(-\majtas(x+1 \djathtas)))=((\majtas((5)^(-1)) \ djathtas))^(-\majtas(x+1 \djathtas)))=((5)^(\majtas(-1 \djathtas)\cdot \majtas(-\majtas(x+1 \djathtas) \djathtas) ))=((5)^(x+1))\]

Por në këtë rast, ju duhet të jeni në gjendje të ngrini një fuqi në një fuqi tjetër (më lejoni t'ju kujtoj: në këtë rast, treguesit mblidhen së bashku). Por nuk më duhej të "ktheja" fraksionet - ndoshta kjo do të jetë më e lehtë për disa.

Në çdo rast, ekuacioni origjinal eksponencial do të rishkruhet si:

\[\filloj(rreshtoj)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\fund (radhis)\]

Pra, rezulton se ekuacioni origjinal mund të zgjidhet edhe më thjesht se ai i konsideruar më parë: këtu nuk keni nevojë as të zgjidhni një shprehje të qëndrueshme - gjithçka është zvogëluar vetvetiu. Mbetet vetëm të kujtojmë se $1=((5)^(0))$, nga e cila marrim:

\[\fillim(rreshtoj)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\fund (radhis)\]

Kjo është zgjidhja! Ne morëm përgjigjen përfundimtare: $x=-2$. Në të njëjtën kohë, unë do të doja të shënoja një teknikë që thjeshtoi shumë të gjitha llogaritjet për ne:

Në ekuacionet eksponenciale, sigurohuni që të hiqni qafe dhjetore, konvertojini në ato të rregullta. Kjo do t'ju lejojë të shihni të njëjtat baza të shkallëve dhe të thjeshtoni shumë zgjidhjen.

Le të kalojmë tani në ekuacione më komplekse në të cilat ka baza të ndryshme që nuk mund të reduktohen me njëra-tjetrën duke përdorur fuqitë fare.

Përdorimi i vetive të diplomave

Më lejoni t'ju kujtoj se kemi dy ekuacione veçanërisht të ashpra:

\[\fillim(rreshtoj)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\fund (radhis)\]

Vështirësia kryesore këtu është se nuk është e qartë se çfarë duhet dhënë dhe mbi çfarë baze. Ku vendos shprehje? Ku janë të njëjtat baza? Nuk ka asnjë nga këto.

Por le të përpiqemi të shkojmë në një mënyrë tjetër. Nëse nuk ka baza identike të gatshme, mund të përpiqeni t'i gjeni duke faktorizuar bazat ekzistuese.

Le të fillojmë me ekuacionin e parë:

\[\fillim(rreshtoj)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Djathtas ((21)^(3x))=((\majtas(7\cdot 3 \djathtas))^(3x))=(7)^(3x))\ cdot ((3) ^ (3x)). \\\fund (radhis)\]

Por ju mund të bëni të kundërtën - bëni numrin 21 nga numrat 7 dhe 3. Kjo është veçanërisht e lehtë për t'u bërë në të majtë, pasi treguesit e të dy shkallëve janë të njëjtë:

\[\filloj(rreshtoj)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\majtas(7\cdot 3 \djathtas))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\fund (radhis)\]

Kjo është ajo! E morët eksponentin jashtë produktit dhe menjëherë morët një ekuacion të bukur që mund të zgjidhet në disa rreshta.

Tani le të shohim ekuacionin e dytë. Gjithçka është shumë më e ndërlikuar këtu:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\majtas(\frac(27)(10) \djathtas))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

Në këtë rast, fraksionet doli të ishin të pakalueshme, por nëse diçka mund të zvogëlohet, sigurohuni që ta zvogëloni atë. Shpesh do të shfaqen arsye interesante me të cilat tashmë mund të punoni.

Fatkeqësisht, asgjë e veçantë nuk u shfaq për ne. Por ne shohim se eksponentët në të majtë në produkt janë të kundërt:

Më lejoni t'ju kujtoj: për të hequr qafe shenjën minus në tregues, thjesht duhet të "rrokullisni" fraksionin. Epo, le të rishkruajmë ekuacionin origjinal:

\[\fillo(rreshtoj)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \djathtas))^(x-1))=\frac(9 ) (100); \\& ((\majtas(100\cdot \frac(10)(27) \djathtas))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\majtas(\frac(1000)(27) \djathtas))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\fund (radhis)\]

Në rreshtin e dytë ne thjesht kemi kryer tregues i përgjithshëm nga produkti jashtë kllapave sipas rregullit $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \djathtas))^(x)) $, dhe në këtë të fundit thjesht shumëzoi numrin 100 me një fraksion.

Tani vini re se numrat në të majtë (në bazë) dhe në të djathtë janë disi të ngjashëm. Si? Po, është e qartë: ato janë fuqi të të njëjtit numër! Ne kemi:

\[\filloj(rreshtoj)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\majtas(\frac( 10)(3) \djathtas))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3))=((\majtas(\frac(3)(10) \djathtas))^(2)). \\\fund (radhis)\]

Kështu, ekuacioni ynë do të rishkruhet si më poshtë:

\[((\majtas((\majtas(\frac(10)(3) \djathtas))^(3)) \djathtas))^(x-1))=((\majtas(\frac(3 )(10)\djathtas))^(2))\]

\[((\majtas((\majtas(\frac(10)(3) \djathtas))^(3)) \djathtas))^(x-1))=((\majtas(\frac(10 )(3) \djathtas))^(3\majtas(x-1 \djathtas)))=((\majtas(\frac(10)(3) \djathtas))^(3x-3))\]

Në këtë rast, në të djathtë mund të merrni gjithashtu një diplomë me të njëjtën bazë, për të cilën mjafton thjesht të "ktheni" fraksionin:

\[((\majtas(\frac(3)(10) \djathtas))^(2))=((\majtas(\frac(10)(3) \djathtas))^(-2))\]

Ekuacioni ynë më në fund do të marrë formën:

\[\fillo(rreshtoj)& ((\majtas(\frac(10)(3) \djathtas))^(3x-3))=((\majtas(\frac(10)(3) \djathtas)) ^ (-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac (1) (3). \\\fund (radhis)\]

Kjo është zgjidhja. Ideja e tij kryesore qëndron në faktin se edhe me baza të ndryshme, ne përpiqemi, me grep ose me grep, t'i reduktojmë këto baza në të njëjtën gjë. Për këtë na ndihmojnë transformimet elementare të ekuacioneve dhe rregullave për të punuar me fuqitë.

Por cilat rregulla dhe kur duhet të përdoren? Si e kuptoni që në një ekuacion duhet të ndani të dyja anët me diçka, dhe në një tjetër duhet të faktorizoni bazën e funksionit eksponencial?

Përgjigja për këtë pyetje do të vijë me përvojë. Provoni dorën tuaj në fillim ekuacione të thjeshta, dhe më pas ndërlikoni gradualisht detyrat - dhe shumë shpejt aftësitë tuaja do të jenë të mjaftueshme për të zgjidhur çdo ekuacion eksponencial nga i njëjti Provim i Unifikuar Shtetëror ose ndonjë punë e pavarur/testuese.

Dhe për t'ju ndihmuar në këtë detyrë të vështirë, unë sugjeroj të shkarkoni një grup ekuacionesh nga faqja ime e internetit për ta zgjidhur vetë. Të gjitha ekuacionet kanë përgjigje, kështu që gjithmonë mund ta testoni veten.

Ky është emri për ekuacionet e formës ku e panjohura është si në eksponent ashtu edhe në bazën e fuqisë.

Ju mund të specifikoni një algoritëm plotësisht të qartë për zgjidhjen e një ekuacioni të formës. Për ta bërë këtë, duhet t'i kushtoni vëmendje faktit se kur Oh) jo e barabartë me zero, një dhe minus një, barazia e shkallëve me baza të njëjta (qoftë pozitive apo negative) është e mundur vetëm nëse eksponentët janë të barabartë, domethënë, të gjitha rrënjët e ekuacionit do të jenë rrënjët e ekuacionit f(x) = g(x) Pohimi i kundërt nuk është i vërtetë, kur Oh)< 0 Dhe vlerat thyesore f(x) Dhe g(x) shprehjet Oh) f(x) Dhe

Oh) g(x) humbasin kuptimin e tyre. Kjo është, kur lëviz nga në f(x) = g(x)(për dhe mund të shfaqen rrënjë të jashtme, të cilat duhet të përjashtohen duke kontrolluar ekuacionin origjinal. Dhe rastet a = 0, a = 1, a = -1 duhet të merren parasysh veçmas.

Pra për zgjidhje e plotë ekuacionet i konsiderojmë rastet:

a(x) = O f(x) Dhe g(x) do të jenë numra pozitivë, atëherë kjo është zgjidhja. Përndryshe, jo

a(x) = 1. Rrënjët e këtij ekuacioni janë rrënjët dhe ekuacioni origjinal.

a(x) = -1. Nëse, për një vlerë prej x që plotëson këtë ekuacion, f(x) Dhe g(x) janë numra të plotë të barazisë së njëjtë (ose të dyja çift ose të dyja tek), atëherë kjo është zgjidhja. Përndryshe, jo

Kur dhe zgjidhim ekuacionin f(x)= g(x) dhe duke i zëvendësuar rezultatet e fituara në ekuacionin origjinal i presim rrënjët e jashtme.

Shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve të fuqisë eksponenciale.

Shembulli nr. 1.

1) x - 3 = 0, x = 3. sepse 3 > 0, dhe 3 2 > 0, atëherë x 1 = 3 është zgjidhja.

2) x - 3 = 1, x 2 = 4.

3) x - 3 = -1, x = 2. Të dy treguesit janë çift. Kjo zgjidhje është x 3 = 1.

4) x - 3 ? 0 dhe x? ± 1. x = x 2, x = 0 ose x = 1. Për x = 0, (-3) 0 = (-3) 0 - kjo zgjidhje është e saktë: x 4 = 0. Për x = 1, (- 2) 1 = (-2) 1 - kjo zgjidhje është e saktë x 5 = 1.

Përgjigje: 0, 1, 2, 3, 4.

Shembulli nr. 2.

Nga përkufizimi i një rrënjë katrore aritmetike: x - 1? 0, x? 1.

1) x - 1 = 0 ose x = 1, = 0, 0 0 nuk është zgjidhje.

2) x - 1 = 1 x 1 = 2.

3) x - 1 = -1 x 2 = 0 nuk përshtatet në ODZ.

D = (-2) - 4*1*5 = 4 - 20 = -16 - nuk ka rrënjë.

Leksion: "Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve eksponenciale".

1 . Ekuacionet eksponenciale.

Ekuacionet që përmbajnë të panjohura në eksponentë quhen ekuacione eksponenciale. Më i thjeshti prej tyre është ekuacioni ax = b, ku a > 0, a ≠ 1.

1) Në b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) Për b > 0, duke përdorur monotoninë e funksionit dhe teoremën e rrënjës, ekuacioni ka një rrënjë unike. Për ta gjetur atë, b duhet të paraqitet në formën b = aс, аx = bс ó x = c ose x = logab.

Ekuacionet eksponenciale përmes shndërrimeve algjebrike çojnë në ekuacioni standard të cilat zgjidhen duke përdorur metodat e mëposhtme:

1) mënyra e reduktimit në një bazë;

2) metoda e vlerësimit;

3) metoda grafike;

4) mënyra e futjes së variablave të rinj;

5) metoda e faktorizimit;

6) tregues - ekuacionet e fuqisë;

7) demonstruese me një parametër.

2 . Mënyra e reduktimit në një bazë.

Metoda bazohet në pronë e mëposhtme gradë: nëse dy gradë janë të barabarta dhe bazat e tyre janë të barabarta, atëherë eksponentët e tyre janë të barabartë, d.m.th., ne duhet të përpiqemi ta reduktojmë ekuacionin në formë

Shembuj. Zgjidhe ekuacionin:

1 . 3x = 81;

Le të paraqesim anën e djathtë të ekuacionit në formën 81 = 34 dhe të shkruajmë ekuacionin ekuivalent me origjinalin 3 x = 34; x = 4. Përgjigje: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">dhe le të kalojmë te ekuacioni për eksponentët 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4 x = 0,5 Përgjigje: 0,5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Vini re se numrat 0.2, 0.04, √5 dhe 25 përfaqësojnë fuqitë e 5. Le të përfitojmë nga kjo dhe të transformojmë ekuacionin origjinal si më poshtë:

, prej nga 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, nga ku gjejmë zgjidhjen x = -1. Përgjigje: -1.

5. 3x = 5. Sipas përcaktimit të logaritmit, x = log35. Përgjigje: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Le ta rishkruajmë ekuacionin në formën 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, d.m.th..png" width="181" height="49 src="> Prandaj x – 4 =0, x = 4. Përgjigje: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Duke përdorur vetitë e fuqive, shkruajmë ekuacionin në formën 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9 pastaj 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, pra x+1 = 2, x =1. Përgjigje: 1.

Banka e problemeve nr. 1.

Zgjidhe ekuacionin:

Testi nr. 1.

Testi nr. 2

3 Metoda e vlerësimit.

Teorema e rrënjës: nëse funksioni f(x) rritet (zvogëlohet) në intervalin I, numri a është çdo vlerë e marrë nga f në këtë interval, atëherë ekuacioni f(x) = a ka një rrënjë të vetme në intervalin I.

Gjatë zgjidhjes së ekuacioneve duke përdorur metodën e vlerësimit, përdoret kjo teoremë dhe vetitë e monotonitetit të funksionit.

Shembuj. Zgjidh ekuacionet: 1. 4x = 5 – x.

Zgjidhje. Le ta rishkruajmë ekuacionin si 4x +x = 5.

1. nëse x = 1, atëherë 41+1 = 5, 5 = 5 është e vërtetë, që do të thotë 1 është rrënja e ekuacionit.

Funksioni f(x) = 4x – rritet në R, dhe g(x) = x – rritet në R => h(x)= f(x)+g(x) rritet në R, si shuma e funksioneve në rritje, atëherë x = 1 është rrënja e vetme e ekuacionit 4x = 5 – x. Përgjigje: 1.

2.

Zgjidhje. Le ta rishkruajmë ekuacionin në formë .

1. nëse x = -1, atëherë , 3 = 3 është e vërtetë, që do të thotë x = -1 është rrënja e ekuacionit.

2. vërtetojë se ai është i vetmi.

3. Funksioni f(x) = - zvogëlohet në R, dhe g(x) = - x – zvogëlohet në R=> h(x) = f(x)+g(x) – zvogëlohet në R, si shuma e funksionet në rënie. Kjo do të thotë, sipas teoremës së rrënjës, x = -1 është rrënja e vetme e ekuacionit. Përgjigje: -1.

Banka e problemeve nr. 2. Zgjidhe ekuacionin

a) 4x + 1 =6 – x;

b)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Metoda e prezantimit të variablave të rinj.

Metoda është përshkruar në paragrafin 2.1. Futja e një ndryshoreje të re (zëvendësimi) zakonisht kryhet pas transformimeve (thjeshtimit) të termave të ekuacionit. Le të shohim shembuj.

Shembuj. R Zgjidhe ekuacionin: 1. .

Le ta rishkruajmë ekuacionin ndryshe: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> dmth..png" width="210" lartësi = "45">

Zgjidhje. Le ta rishkruajmë ekuacionin ndryshe:

Le të caktojmë https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - jo e përshtatshme.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - ekuacioni irracional. Vëmë re se

Zgjidhja e ekuacionit është x = 2,5 ≤ 4, që do të thotë 2,5 është rrënja e ekuacionit. Përgjigje: 2.5.

Zgjidhje. Le ta rishkruajmë ekuacionin në formë dhe t'i ndajmë të dyja anët me 56x+6 ≠ 0. Marrim ekuacionin

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">

Rrënjët e ekuacionit kuadratik janë t1 = 1 dhe t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Zgjidhje . Le ta rishkruajmë ekuacionin në formë

dhe vini re se është një ekuacion homogjen i shkallës së dytë.

Pjesëtojmë ekuacionin me 42x, marrim

Le të zëvendësojmë https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Përgjigje: 0; 0.5.

Banka e problemeve nr. 3. Zgjidhe ekuacionin

b)

G)

Testi nr. 3 me një zgjedhje të përgjigjeve. Niveli minimal.

Testi nr. 4 me një zgjedhje të përgjigjeve. Niveli i përgjithshëm.

5. Metoda e faktorizimit.

1. Zgjidheni ekuacionin: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Zgjidhje..png" width="169" height="69"> , nga ku

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Zgjidhje. Le të vendosim 6x nga kllapat në anën e majtë të ekuacionit dhe 2x në anën e djathtë. Marrim ekuacionin 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Meqenëse 2x >0 për të gjitha x, ne mund t'i ndajmë të dyja anët e këtij ekuacioni me 2x pa frikë se do të humbasim zgjidhjet. Ne marrim 3x = 1 x = 0.

3.

Zgjidhje. Le të zgjidhim ekuacionin duke përdorur metodën e faktorizimit.

Le të zgjedhim katrorin e binomit

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 është rrënja e ekuacionit.

Ekuacioni x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15. x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Testi nr. 6 Niveli i përgjithshëm.

6. Ekuacionet eksponenciale – fuqi.

Ngjitur me ekuacionet eksponenciale janë të ashtuquajturat ekuacione të fuqisë eksponenciale, d.m.th., ekuacione të formës (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Nëse dihet se f(x)>0 dhe f(x) ≠ 1, atëherë ekuacioni, ashtu si ai eksponencial, zgjidhet duke barazuar eksponentët g(x) = f(x).

Nëse kushti nuk përjashton mundësinë e f(x)=0 dhe f(x)=1, atëherë duhet t'i marrim parasysh këto raste kur zgjidhim një ekuacion eksponencial.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

Zgjidhje. x2 +2x-8 - ka kuptim për çdo x, pasi është një polinom, që do të thotë se ekuacioni është i barabartë me tërësinë

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

b)

7. Ekuacione eksponenciale me parametra.

1. Për cilat vlera të parametrit p ka ekuacioni 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) e vetmja zgjidhje?

Zgjidhje. Le të prezantojmë zëvendësimin 2x = t, t > 0, atëherë ekuacioni (1) do të marrë formën t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Diskriminues i ekuacionit (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Ekuacioni (1) ka një zgjidhje unike nëse ekuacioni (2) ka një rrënjë pozitive. Kjo është e mundur në rastet e mëposhtme.

1. Nëse D = 0, domethënë p = 1, atëherë ekuacioni (2) do të marrë formën t2 – 2t + 1 = 0, pra t = 1, pra, ekuacioni (1) ka një zgjidhje unike x = 0.

2. Nëse p1, atëherë 9(p – 1)2 > 0, atëherë ekuacioni (2) ka dy rrënjë të ndryshme t1 = p, t2 = 4p – 3. Kushtet e problemit plotësohen nga një grup sistemesh

Duke zëvendësuar t1 dhe t2 në sisteme, ne kemi

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Zgjidhje. Le atëherë ekuacioni (3) do të marrë formën t2 – 6t – a = 0. (4)

Le të gjejmë vlerat e parametrit a për të cilin të paktën një rrënjë e ekuacionit (4) plotëson kushtin t > 0.

Le të prezantojmë funksionin f(t) = t2 – 6t – a. Rastet e mëposhtme janë të mundshme.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Rasti 2. Ekuacioni (4) ka një zgjidhje unike pozitive nëse

D = 0, nëse a = – 9, atëherë ekuacioni (4) do të marrë formën (t – 3) 2 = 0, t = 3, x = – 1.

Rasti 3. Ekuacioni (4) ka dy rrënjë, por njëra prej tyre nuk e plotëson pabarazinë t > 0. Kjo është e mundur nëse

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

Kështu, për a 0, ekuacioni (4) ka një rrënjë të vetme pozitive . Atëherë ekuacioni (3) ka një zgjidhje unike

Kur a< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

nëse a< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
nëse a = – 9, atëherë x = – 1;

nëse a  0, atëherë

Le të krahasojmë metodat për zgjidhjen e ekuacioneve (1) dhe (3). Vini re se gjatë zgjidhjes së ekuacionit (1) u reduktua në një ekuacion kuadratik, diskriminuesi i të cilit është një katror i përsosur; Kështu, rrënjët e ekuacionit (2) u llogaritën menjëherë duke përdorur formulën për rrënjët e një ekuacioni kuadratik dhe më pas u nxorrën përfundime në lidhje me këto rrënjë. Ekuacioni (3) është reduktuar në një ekuacion kuadratik (4), diskriminuesi i të cilit nuk është një katror i përsosur, prandaj, kur zgjidhet ekuacioni (3), këshillohet të përdoren teorema për vendndodhjen e rrënjëve të një trinomi kuadratik. dhe një model grafik. Vini re se ekuacioni (4) mund të zgjidhet duke përdorur teoremën e Vietës.

Le të zgjidhim ekuacione më komplekse.

Problemi 3: Zgjidheni ekuacionin

Zgjidhje. ODZ: x1, x2.

Le të prezantojmë një zëvendësim. Le të jetë 2x = t, t > 0, atëherë si rezultat i transformimeve ekuacioni do të marrë formën t2 + 2t - 13 - a = 0. (*) Le të gjejmë vlerat e a për të cilat të paktën një rrënjë e ekuacioni (*) plotëson kushtin t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Përgjigje: nëse a > – 13, a  11, a  5, atëherë nëse a – 13,

a = 11, a = 5, atëherë nuk ka rrënjë.

Lista e literaturës së përdorur.

1. Guzeev themelet e teknologjisë arsimore.

2. Teknologjia Guzeev: nga pritja në filozofi.

M. “Drejtor shkolle” Nr.4, 1996

3. Guzeev dhe format organizative trajnimi.

4. Guzeev dhe praktika e teknologjisë arsimore integrale.

M." Arsimi publik", 2001

5. Guzeev nga format e një mësimi - seminari.

Matematika në shkollën nr 2, 1987 f. 9 – 11.

6. Teknologjitë arsimore Seleuko.

M. “Arsimi Publik”, 1998

7. Nxënësit e Epishevës të studiojnë matematikë.

M. "Iluminizmi", 1990

8. Ivanova përgatit mësime - punëtori.

Matematika në shkollën nr.6, 1990 f. 37-40.

9. Modeli i Smirnovit për mësimdhënien e matematikës.

Matematika në shkollën nr.1, 1997 f. 32-36.

10. Tarasenko mënyrat e organizimit të punës praktike.

Matematika në shkollën nr.1, 1993 f. 27-28.

11. Për një nga llojet e punës individuale.

Matematika në shkollën nr.2, 1994, fq.63 – 64.

12. Khazankin krijimtarisë nxënës shkollash.

Matematika në shkollën nr.2, 1989 f. 10.

13. Skanavi. Botues, 1997

14. dhe të tjera Algjebra dhe fillimet e analizës. Materiale didaktike Për

15. Krivonogov detyrat në matematikë.

M. “I Shtatori i Parë”, 2002

16. Çerkasov. Manual për nxënësit e shkollave të mesme dhe

duke hyrë në universitete. "A S T - shkolla e shtypit", 2002

17. Zhevnyak për ata që hyjnë në universitete.

Minsk dhe Federata Ruse "Rishikimi", 1996

18. Me shkrim D. Përgatitja për provimin në matematikë. M. Rolf, 1999

19. etj.Mësimi i zgjidhjes së ekuacioneve dhe inekuacioneve.

M. "Intelekti - Qendër", 2003

20. etj Materiale edukative dhe trajnuese për përgatitjen për EGE.

M. "Inteligjenca - Qendra", 2003 dhe 2004.

21 dhe opsionet CMM. Qendra e Testimit të Ministrisë së Mbrojtjes së Federatës Ruse, 2002, 2003.

22. Ekuacionet Goldberg. "Quantum" nr 3, 1971

23. Volovich M. Si të mësojmë me sukses matematikën.

Matematika, 1997 nr.3.

24 Okunev për mësimin, fëmijë! M. Arsimi, 1988

25. Yakimanskaya - mësimi i orientuar në shkollë.

26. Liimet punojnë në klasë. M. Dituria, 1975

Niveli i hyrjes

Ekuacionet eksponenciale. Udhëzues gjithëpërfshirës (2019)

Përshëndetje! Sot do të diskutojmë me ju se si të zgjidhim ekuacionet që mund të jenë elementare (dhe shpresoj që pas leximit të këtij artikulli, pothuajse të gjitha do të jenë kështu për ju), dhe ato që zakonisht jepen "për mbushje". Me sa duket më në fund do të flejë. Por unë do të përpiqem të bëj gjithçka që është e mundur në mënyrë që tani të mos futeni në telashe kur përballeni me këtë lloj ekuacionesh. Nuk do të rrah më shkurret, do ta hap menjëherë sekret i vogël: sot do të studiojmë ekuacionet eksponenciale.

Përpara se të kaloni në analizimin e mënyrave për t'i zgjidhur ato, unë do t'ju përshkruaj menjëherë një sërë pyetjesh (mjaft të vogla) që duhet t'i përsërisni përpara se të nxitoni për të sulmuar këtë temë. Pra, për të marrë rezultati më i mirë, Ju lutem, përsëris:

1. Vetitë dhe
2. Zgjidhja dhe ekuacionet

Përsëritet? E mahnitshme! Atëherë nuk do ta keni të vështirë të vini re se rrënja e ekuacionit është një numër. A e kuptoni saktësisht se si e bëra? A është e vërtetë? Pastaj le të vazhdojmë. Tani përgjigjuni pyetjes sime, çfarë është e barabartë me fuqinë e tretë? Ke plotesisht te drejte:. Cila fuqi e dy është tetë? Kjo është e drejtë - e treta! Sepse. Epo, tani le të përpiqemi të zgjidhim problemin e mëposhtëm: Më lejoni të shumëzoj numrin me vete një herë dhe të marr rezultatin. Pyetja është, sa herë kam shumëzuar me veten time? Sigurisht, ju mund ta kontrolloni këtë drejtpërdrejt:

\fillim(rreshtoj) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \fund( rreshtoj)

Atëherë mund të konkludoni se unë kam shumëzuar me veten time herë. Si tjetër mund ta kontrolloni këtë? Ja se si: drejtpërdrejt sipas përkufizimit të shkallës: . Por, duhet ta pranoni, nëse do të pyesja se sa herë duhen shumëzuar dy vetvetiu për të marrë, le të themi, do të më thoshit: Unë nuk do ta mashtroj veten dhe do të shumohem në vetvete derisa të jem blu në fytyrë. Dhe ai do të kishte absolutisht të drejtë. Sepse si mundesh shkruani shkurtimisht të gjitha hapat(dhe shkurtësia është motra e talentit)

ku - këto janë të njëjtat "herë", kur shumëzoni në vetvete.

Unë mendoj se ju e dini (dhe nëse nuk e dini, përsëritni urgjentisht, shumë urgjentisht shkallët!) se atëherë problemi im do të shkruhet në formën:

Si mund të konkludoni në mënyrë të arsyeshme se:

Kështu, pa u vënë re, shkruajta më të thjeshtat ekuacioni eksponencial:

Dhe madje e gjeta rrënjë. A nuk mendoni se gjithçka është krejtësisht e parëndësishme? Unë mendoj saktësisht të njëjtën gjë. Këtu është një shembull tjetër për ju:

Por çfarë duhet bërë? Në fund të fundit, nuk mund të shkruhet si fuqi e një numri (të arsyeshëm). Le të mos dëshpërohemi dhe të vërejmë se të dy këta numra shprehen në mënyrë të përsosur përmes fuqisë së të njëjtit numër. Cilin? E drejta:. Pastaj ekuacioni origjinal shndërrohet në formën:

Ku, siç e keni kuptuar tashmë,. Le të mos vonojmë më dhe ta shkruajmë përkufizim:

Në rastin tonë:.

Këto ekuacione zgjidhen duke i reduktuar në formën:

e ndjekur nga zgjidhja e ekuacionit

Në fakt, në shembullin e mëparshëm bëmë pikërisht këtë: morëm sa vijon: Dhe ne zgjidhëm ekuacionin më të thjeshtë.

Duket si asgjë e komplikuar, apo jo? Le të praktikojmë së pari më të thjeshtat shembuj:

Ne përsëri shohim se anët e djathta dhe të majta të ekuacionit duhet të përfaqësohen si fuqi të një numri. Vërtetë, në të majtë kjo tashmë është bërë, por në të djathtë ka një numër. Por është në rregull, sepse ekuacioni im do të shndërrohet mrekullisht në këtë:

Çfarë duhej të përdorja këtu? Çfarë rregulli? Rregulli i "gradave brenda gradave" e cila lexon:

Po sikur:

Përpara se t'i përgjigjemi kësaj pyetjeje, le të plotësojmë tabelën e mëposhtme:

Është e lehtë për ne të vërejmë se sa më pak, aq më pak vlerë, por megjithatë të gjitha këto vlera më i madh se zero. DHE DO TË JETË GJITHMONË KAQ!!! E njëjta pronë është e vërtetë PËR ÇDO BAZË ME NDONJË TREGUES!! (për çdo dhe). Atëherë çfarë mund të konkludojmë për ekuacionin? Ja çfarë është: ajo nuk ka rrënjë! Ashtu si çdo ekuacion nuk ka rrënjë. Tani le të praktikojmë dhe Le të zgjidhim shembuj të thjeshtë:

Le të kontrollojmë:

1. Këtu nuk do të kërkohet asgjë nga ju, përveç njohjes së vetive të gradave (që, meqë ra fjala, ju kërkova ta përsërisni!) Si rregull, gjithçka të çon në bazën më të vogël: , . Atëherë ekuacioni origjinal do të jetë i barabartë me sa vijon: Gjithçka që më nevojitet është të përdor vetitë e fuqive: Gjatë shumëzimit të numrave me baza të njëjta, fuqitë mblidhen dhe kur pjesëtohen, zbriten. Atëherë unë do të marr: Epo, tani me një ndërgjegje të pastër do të kaloj nga ekuacioni eksponencial në atë linear: \filloj(radhis)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\fund (radhis)

2. Në shembullin e dytë, duhet të jemi më të kujdesshëm: problemi është se në anën e majtë nuk mund të përfaqësojmë të njëjtin numër si fuqi. Në këtë rast ndonjëherë është e dobishme paraqesin numrat si produkt i fuqive me baza të ndryshme, por me eksponentë të njëjtë:

Ana e majtë e ekuacionit do të duket si: Çfarë na dha kjo? Ja çfarë: Numrat me baza të ndryshme por eksponentë të njëjtë mund të shumëzohen.Në këtë rast, bazat shumëzohen, por treguesi nuk ndryshon:

Në situatën time kjo do të japë:

\filloj (radhis)
& 4\cdot ((64)^(x))(25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\fund (radhis)

Jo keq, apo jo?

3. Nuk më pëlqen kur, pa qenë nevoja, kam dy terma në njërën anë të ekuacionit dhe asnjë në anën tjetër (ndonjëherë, sigurisht, kjo justifikohet, por tani nuk është kështu). Do ta zhvendos termin minus djathtas:

Tani, si më parë, unë do të shkruaj gjithçka për sa i përket fuqive të tre:

Shtoj shkallët në të majtë dhe marr një ekuacion të barabartë

Ju mund ta gjeni lehtësisht rrënjën e saj:

4. Si në shembullin tre, termi minus ka një vend në anën e djathtë!

Në të majtën time, pothuajse gjithçka është në rregull, përveç çfarë? Po, “shkalla e gabuar” e të dyve po më shqetëson. Por këtë mund ta rregulloj lehtësisht duke shkruar: . Eureka - në të majtë të gjitha bazat janë të ndryshme, por të gjitha shkallët janë të njëjta! Le të shumohemi menjëherë!

Këtu përsëri gjithçka është e qartë: (nëse nuk e kuptoni se si në mënyrë magjike Mora barazinë e fundit, bëj një pushim për një minutë, merr frymë dhe lexova përsëri vetitë e gradës me shumë kujdes. Kush tha që ju mund të kaloni një diplomë me tregues negativ? Epo, këtë po them unë, askush). Tani do të marr:

\filloj (radhis)
& ((2)^(4\majtas((x) -9 \djathtas)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\fund (radhis)

Këtu janë disa probleme për t'u praktikuar, të cilave unë do t'u jap vetëm përgjigjet (por në një formë "të përzier"). Zgjidhini ato, kontrolloni ato dhe ju dhe unë do të vazhdojmë kërkimin tonë!

Gati? Përgjigjet si kjo:

1. çdo numër

Mirë, mirë, bëra shaka! Këtu janë disa skica zgjidhjesh (disa shumë të shkurtra!)

A nuk mendoni se nuk është rastësi që një fraksion në të majtë është tjetra "e përmbysur"? Do të ishte mëkat të mos përfitonim nga kjo:

Ky rregull përdoret shumë shpesh gjatë zgjidhjes së ekuacioneve eksponenciale, mbajeni mend mirë!

Atëherë ekuacioni origjinal do të bëhet si ky:

Duke zgjidhur këtë ekuacion kuadratik, do të merrni rrënjët e mëposhtme:

2. Një zgjidhje tjetër: pjesëtimi i të dy anëve të ekuacionit me shprehjen majtas (ose djathtas). Ndani me atë që është në të djathtë, atëherë marr:

Ku (pse?!)

3. As që dua të përsëris veten, gjithçka tashmë është "përtypur" aq shumë.

4. ekuivalente me një ekuacion kuadratik, rrënjët

5. Ju duhet të përdorni formulën e dhënë në problemin e parë, atëherë do të merrni se:

Ekuacioni është kthyer në një identitet të parëndësishëm që është i vërtetë për cilindo. Atëherë përgjigja është çdo numër real.

Epo, tani ju keni praktikuar zgjidhjen ekuacione të thjeshta eksponenciale. Tani dua t'ju jap disa shembuj të jetës reale që do t'ju ndihmojnë të kuptoni pse ato nevojiten në parim. Këtu do të jap dy shembuj. Njëra prej tyre është mjaft e përditshme, por tjetra ka më shumë gjasa të jetë me interes shkencor dhe jo praktik.

Shembulli 1 (merkantil) Le të kesh rubla, por dëshiron ta kthesh në rubla. Banka ju ofron t'i merrni këto para me një normë vjetore me kapitalizim mujor të interesit (akruale mujore). Pyetja është, për sa muaj ju duhet të hapni një depozitë për të arritur shumën përfundimtare të kërkuar? Një detyrë mjaft e zakonshme, apo jo? Sidoqoftë, zgjidhja e saj shoqërohet me ndërtimin e ekuacionit eksponencial përkatës: Le të jetë shuma fillestare, - shumën përfundimtare, - norma e interesit për periudhën, - numri i periudhave. Pastaj:

Në rastin tonë (nëse norma është vjetore, atëherë ajo llogaritet në muaj). Pse ndahet me? Nëse nuk e dini përgjigjen për këtë pyetje, mbani mend temën ""! Atëherë marrim këtë ekuacion:

Ky ekuacion eksponencial tashmë mund të zgjidhet vetëm me ndihmën e një kalkulatori (pamja e tij lë të kuptohet për këtë, dhe kjo kërkon njohuri të logaritmeve, me të cilat do të njihemi pak më vonë), gjë që do të bëj: ... Kështu , për të marrë një milion, do të duhet të japim një kontribut për një muaj (jo shumë shpejt, apo jo?).

Shembulli 2 (më tepër shkencor). Megjithë "izolimin" e tij të caktuar, ju rekomandoj t'i kushtoni vëmendje: ai rregullisht "rrëshqet në Provimin e Unifikuar të Shtetit!! (problemi i marrë nga versioni “real”) Gjatë kalbjes izotopi radioaktiv masa e tij zvogëlohet sipas ligjit, ku (mg) është masa fillestare e izotopit, (min.) është koha e kaluar nga momenti fillestar, (min.) është gjysma e jetës. Në momentin fillestar të kohës, masa e izotopit është mg. Gjysma e jetës së tij është min. Pas sa minutash masa e izotopit do të jetë e barabartë me mg? Është në rregull: ne thjesht marrim dhe zëvendësojmë të gjitha të dhënat në formulën e propozuar:

Le t'i ndajmë të dyja pjesët me "me shpresën" se në të majtë do të marrim diçka të tretshme:

Epo, ne jemi shumë me fat! Është në të majtë, pastaj le të kalojmë në ekuacionin ekuivalent:

Ku është min.

Siç mund ta shihni, ekuacionet eksponenciale kanë zbatime shumë reale në praktikë. Tani dua t'ju tregoj një mënyrë tjetër (të thjeshtë) për zgjidhjen e ekuacioneve eksponenciale, e cila bazohet në nxjerrjen e faktorit të përbashkët nga kllapat dhe më pas grupimin e termave. Mos u trembni nga fjalët e mia, këtë metodë e keni hasur tashmë në klasën e 7-të kur keni studiuar polinomet. Për shembull, nëse duhet të faktorizoni shprehjen:

Le të grupojmë: termat e parë dhe të tretë, si dhe të dytin dhe të katërt. Është e qartë se e para dhe e treta janë ndryshimi i katrorëve:

dhe i dyti dhe i katërti kanë një faktor të përbashkët prej tre:

Atëherë shprehja origjinale është ekuivalente me këtë:

Ku të nxirret faktori i përbashkët nuk është më i vështirë:

Prandaj,

Kjo është përafërsisht ajo që do të bëjmë kur zgjidhim ekuacionet eksponenciale: kërkoni "përbashkësinë" midis termave dhe hiqeni atë nga kllapat, dhe më pas - sido që të ndodhë, besoj se do të jemi me fat =)) Për shembull:

Në të djathtë është larg nga të qenit një fuqi prej shtatë (kam kontrolluar!) Dhe në të majtë - është pak më mirë, ju, natyrisht, mund të "prisni" faktorin a nga i dyti nga mandati i parë, dhe më pas të merreni me atë që keni, por le të jemi më të matur me ju. Nuk dua të merrem me thyesat që formohen në mënyrë të pashmangshme kur "zgjedh" , kështu që a nuk duhet ta heq atë? Atëherë nuk do të kem asnjë fraksion: siç thonë ata, ujqërit ushqehen dhe delet janë të sigurta:

Llogaritni shprehjen në kllapa. Në mënyrë magjike, magjike, rezulton se (çuditërisht, edhe pse çfarë duhet të presim tjetër?).

Pastaj zvogëlojmë të dyja anët e ekuacionit me këtë faktor. Ne marrim: , nga.

Këtu është një shembull më i komplikuar (me të vërtetë paksa):

Çfarë problemi! Nuk kemi një këtu terren të përbashkët! Nuk është plotësisht e qartë se çfarë duhet bërë tani. Le të bëjmë atë që mundemi: së pari, lëvizim "katër" në njërën anë dhe "pesë" në anën tjetër:

Tani le të nxjerrim "gjeneralin" majtas dhe djathtas:

Pra, çfarë tani? Cili është përfitimi i një grupi kaq budallenj? Në pamje të parë nuk duket fare, por le të shohim më thellë:

Epo, tani do të sigurohemi që në të majtë të kemi vetëm shprehjen c, dhe në të djathtë - gjithçka tjetër. Si ta bëjmë këtë? Ja se si: Ndani të dyja anët e ekuacionit fillimisht me (kështu që të heqim qafe eksponentin në të djathtë), dhe më pas ndajmë të dyja anët me (kështu që ne heqim qafe faktorin numerik në të majtë). Më në fund marrim:

E pabesueshme! Në të majtë kemi një shprehje, dhe në të djathtë kemi një shprehje të thjeshtë. Pastaj menjëherë konkludojmë se

Ja një shembull tjetër për ta përforcuar:

Unë do ta sjell atë zgjidhje e shkurtër(pa e shqetësuar vërtet veten me shpjegime), përpiquni të kuptoni vetë të gjitha "hollësitë" e zgjidhjes.

Tani për konsolidimin përfundimtar të materialit të mbuluar. Përpiquni t'i zgjidhni vetë problemet e mëposhtme. Unë do të jap vetëm rekomandime dhe këshilla të shkurtra për zgjidhjen e tyre:

1. Le të heqim faktorin e përbashkët nga kllapat: Ku:
2. Le të paraqesim shprehjen e parë në formën: , ndani të dyja anët dhe merrni atë
3. , atëherë ekuacioni origjinal shndërrohet në formën: Epo, tani një aluzion - kërkoni se ku e kemi zgjidhur tashmë ju dhe unë këtë ekuacion!
4. Imagjinoni si, si, ah, mirë, pastaj ndani të dyja anët, kështu që të merrni ekuacionin më të thjeshtë eksponencial.
5. Nxirreni nga kllapat.
6. Nxirreni nga kllapat.

EKUACIONET EKSPONETARE. NIVELI I MESËM

Unë supozoj se pas leximit të artikullit të parë, i cili foli rreth çfarë janë ekuacionet eksponenciale dhe si t'i zgjidhim ato, ju keni zotëruar minimumin e nevojshëm njohuritë e nevojshme për zgjidhjen e shembujve të thjeshtë.

Tani do të shikoj një metodë tjetër për zgjidhjen e ekuacioneve eksponenciale, kjo është

"metodë e prezantimit të një ndryshoreje të re" (ose zëvendësim). Ai zgjidh shumicën e problemeve "të vështira" në temën e ekuacioneve eksponenciale (dhe jo vetëm ekuacioneve). Kjo metodë është një nga më të përdorurat në praktikë. Së pari, ju rekomandoj që të njiheni me temën.

Siç e keni kuptuar tashmë nga emri, thelbi i kësaj metode është të prezantoni një ndryshim të tillë të ndryshores që ekuacioni juaj eksponencial të shndërrohet mrekullisht në një që mund ta zgjidhni lehtësisht. Gjithçka që ju mbetet pas zgjidhjes së këtij "ekuacioni të thjeshtuar" është të bëni një "zëvendësim të kundërt": domethënë, të ktheheni nga i zëvendësuari tek ai i zëvendësuar. Le të ilustrojmë atë që sapo thamë me një shembull shumë të thjeshtë:

Shembulli 1:

Ky ekuacion zgjidhet duke përdorur një "zëvendësim të thjeshtë", siç e quajnë matematikanët në mënyrë përçmuese. Në fakt, zëvendësimi këtu është më i dukshëm. Duhet vetëm ta shohë atë

Atëherë ekuacioni origjinal do të kthehet në këtë:

Nëse imagjinojmë gjithashtu se si, atëherë është absolutisht e qartë se çfarë duhet të zëvendësohet: natyrisht, . Çfarë bëhet atëherë ekuacioni origjinal? Ja çfarë:

Rrënjët e saj mund t'i gjeni lehtësisht vetë: . Çfarë duhet të bëjmë tani? Është koha për t'u kthyer në variablin origjinal. Çfarë harrova të përmend? Përkatësisht: kur zëvendësoni një shkallë të caktuar me një ndryshore të re (d.m.th., kur zëvendësoni një lloj), do të më interesojë vetëm rrënjë pozitive! Ju vetë mund të përgjigjeni lehtësisht pse. Kështu, ju dhe unë nuk jemi të interesuar, por rrënja e dytë është mjaft e përshtatshme për ne:

Pastaj nga.

Përgjigje:

Siç mund ta shihni, në shembullin e mëparshëm, një zëvendësim thjesht po kërkonte duart tona. Fatkeqësisht, nuk është gjithmonë kështu. Megjithatë, le të mos shkojmë direkt te gjërat e trishtueshme, por le të praktikojmë me një shembull më shumë me një zëvendësim mjaft të thjeshtë

Shembulli 2.

Është e qartë se ka shumë të ngjarë që ne do të duhet të bëjmë një zëvendësim (kjo është më e vogla nga fuqitë e përfshira në ekuacionin tonë), por përpara se të prezantojmë një zëvendësim, ekuacioni ynë duhet të "përgatitet" për të, përkatësisht: , . Atëherë mund të zëvendësoni, si rezultat marr shprehjen e mëposhtme:

Oh tmerr: një ekuacion kub me formula absolutisht të tmerrshme për zgjidhjen e tij (epo, duke folur në pamje e përgjithshme). Por le të mos dëshpërohemi menjëherë, por le të mendojmë se çfarë duhet të bëjmë. Unë do të sugjeroj mashtrimin: ne e dimë se për të marrë një përgjigje "të bukur", duhet ta marrim atë në formën e një fuqie prej tre (pse do të ishte kjo, ah?). Le të përpiqemi të hamendësojmë të paktën një rrënjë të ekuacionit tonë (do të filloj të hamendësoj me fuqitë e tre).

Supozimi i parë. Jo një rrënjë. Mjerisht dhe ah ...

.
Ana e majtë është e barabartë.
Ana e djathtë: !
Hani! Mendoi rrënjën e parë. Tani gjërat do të bëhen më të lehta!

A dini për skemën e ndarjes "qoshe"? Sigurisht që po, e përdorni kur pjesëtoni një numër me një tjetër. Por pak njerëz e dinë se e njëjta gjë mund të bëhet me polinomet. Ekziston një teoremë e mrekullueshme:

Duke aplikuar për situatën time, kjo më tregon se është i pjesëtueshëm pa mbetje me. Si kryhet ndarja? Ja se si:

Shikoj me cilin monom duhet të shumëzoj për të marrë qartë, atëherë:

Unë zbres shprehjen që rezulton nga, marr:

Tani, me çfarë më duhet të shumëzoj për të marrë? Është e qartë se më tej, atëherë do të marr:

dhe zbritni përsëri shprehjen që rezulton nga ajo e mbetura:

Epo, hapi i fundit është të shumëzoni me dhe të zbrisni nga shprehja e mbetur:

Urra, ndarja ka mbaruar! Çfarë kemi grumbulluar në privat? Sigurisht: .

Pastaj morëm zgjerimin e mëposhtëm të polinomit origjinal:

Le të zgjidhim ekuacionin e dytë:

Ka rrënjë:

Pastaj ekuacioni origjinal:

ka tre rrënjë:

Ne, natyrisht, do ta hedhim poshtë rrënjën e fundit, pasi ajo më pak se zero. Dhe dy të parat pas zëvendësimit të kundërt do të na japin dy rrënjë:

Përgjigje: ..

Me këtë shembull nuk doja fare t'ju trembja, përkundrazi u nisa të tregoja se megjithëse kishim mjaft; zëvendësim i lehtë, megjithatë ajo çoi në mjaft ekuacion kompleks, zgjidhja e të cilave kërkonte disa aftësi të veçanta nga ne. Epo, askush nuk është i imunizuar nga kjo. Por zëvendësimi në këtë rast ishte mjaft i dukshëm.

Këtu është një shembull me një zëvendësim pak më pak të dukshëm:

Nuk është aspak e qartë se çfarë duhet të bëjmë: problemi është se në ekuacionin tonë ka dy baza të ndryshme dhe një bazë nuk mund të merret nga tjetra duke e ngritur atë në ndonjë fuqi (të arsyeshme, natyrisht). Megjithatë, çfarë shohim? Të dy bazat ndryshojnë vetëm në shenjë, dhe produkti i tyre është diferenca e katrorëve të barabartë me një:

Përkufizimi:

Kështu, numrat që janë bazat në shembullin tonë janë të konjuguar.

Në këtë rast, hapi i zgjuar do të ishte shumëzojini të dyja anët e ekuacionit me numrin e konjuguar.

Për shembull, në, atëherë ana e majtë e ekuacionit do të bëhet e barabartë me, dhe e djathta. Nëse bëjmë një zëvendësim, atëherë ekuacioni ynë origjinal do të bëhet si ky:

rrënjët e saj, atëherë, dhe duke e kujtuar këtë, ne e kuptojmë atë.

Përgjigje: ,.

Si rregull, metoda e zëvendësimit është e mjaftueshme për të zgjidhur shumicën e ekuacioneve eksponenciale "shkollore". Detyrat e mëposhtme janë marrë nga Provimi i Unifikuar i Shtetit C1 ( nivel i rritur kompleksiteti). Ju tashmë jeni mjaftueshëm të shkolluar për t'i zgjidhur vetë këta shembuj. Unë do të jap vetëm zëvendësimin e kërkuar.

1. Zgjidhe ekuacionin:
2. Gjeni rrënjët e ekuacionit:
3. Zgjidheni ekuacionin: . Gjeni të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit:

Dhe tani disa shpjegime dhe përgjigje të shkurtra:

1. Këtu mjafton të theksojmë se... Atëherë ekuacioni origjinal do të jetë i barabartë me këtë: Ky ekuacion zgjidhet me zëvendësim Bëni vetë llogaritjet e mëtejshme. Në fund, detyra juaj do të reduktohet në zgjidhjen e problemeve të thjeshta trigonometrike (në varësi të sinusit ose kosinusit). Zgjidhje shembuj të ngjashëm do ta shikojmë në pjesë të tjera.
2. Këtu mund të bëni edhe pa zëvendësim: thjesht lëvizni subtrahend në të djathtë dhe përfaqësoni të dyja bazat përmes fuqive të dy: , dhe pastaj shkoni direkt në ekuacionin kuadratik.
3. Ekuacioni i tretë gjithashtu zgjidhet mjaft standarde: le të imagjinojmë se si. Pastaj, duke zëvendësuar, marrim një ekuacion kuadratik: atëherë,

   Ju tashmë e dini se çfarë është një logaritëm, apo jo? Jo? Pastaj lexoni temën urgjentisht!

   Rrënja e parë padyshim nuk i përket segmentit, por e dyta është e paqartë! Por do ta zbulojmë shumë shpejt! Meqenëse, atëherë (kjo është një veti e logaritmit!) Le të krahasojmë:

   Zbresim nga të dyja anët, atëherë marrim:

   Ana e majtë mund të përfaqësohet si:

   shumëzojini të dyja anët me:

   atëherë mund të shumëzohet me

   Pastaj krahasoni:

   që atëherë:

   Atëherë rrënja e dytë i përket intervalit të kërkuar

   Përgjigje:

Siç mund ta shihni, Përzgjedhja e rrënjëve të ekuacioneve eksponenciale kërkon një njohuri mjaft të thellë të vetive të logaritmeve, ndaj ju këshilloj të jeni sa më të kujdesshëm kur zgjidhni ekuacione eksponenciale. Siç e kuptoni, në matematikë gjithçka është e ndërlidhur! Siç tha mësuesi im i matematikës: "matematika, si historia, nuk mund të lexohet brenda natës".

Si rregull, të gjitha Vështirësia në zgjidhjen e problemave C1 është pikërisht zgjedhja e rrënjëve të ekuacionit. Le të praktikojmë me një shembull tjetër:

Është e qartë se vetë ekuacioni zgjidhet mjaft thjesht. Duke bërë një zëvendësim, ne reduktojmë ekuacionin tonë origjinal në sa vijon:

Së pari le të shohim rrënjën e parë. Le të krahasojmë dhe: që atëherë. (pronë funksioni logaritmik, në). Atëherë është e qartë se rrënja e parë nuk i përket intervalit tonë. Tani rrënja e dytë: . Është e qartë se (pasi funksioni në është në rritje). Mbetet për të krahasuar dhe...

që atëherë, në të njëjtën kohë. Në këtë mënyrë unë mund të "ngazë një kunj" midis dhe. Ky kunj është një numër. Shprehja e parë është më e vogël dhe e dyta është më e madhe. Atëherë shprehja e dytë është më e madhe se e para dhe rrënja i përket intervalit.

Përgjigje:.

Së fundi, le të shohim një shembull tjetër të një ekuacioni ku zëvendësimi është mjaft jo standard:

Le të fillojmë menjëherë me atë që mund të bëhet, dhe çfarë - në parim, mund të bëhet, por është më mirë të mos e bëjmë. Ju mund të imagjinoni gjithçka përmes fuqive të tre, dy dhe gjashtë. Në çfarë do të çojë kjo? Nuk do të çojë në asgjë: një grumbull gradash, disa prej të cilave do të jenë mjaft të vështira për t'u hequr qafe. Çfarë nevojitet atëherë? Le të theksojmë se një Dhe çfarë do të na japë kjo? Dhe fakti që zgjidhjen e këtij shembulli mund ta reduktojmë në zgjidhjen e një ekuacioni eksponencial mjaft të thjeshtë! Së pari, le të rishkruajmë ekuacionin tonë si:

Tani le të ndajmë të dy anët e ekuacionit që rezulton me:

Eureka! Tani mund të zëvendësojmë, marrim:

Epo, tani është radha juaj të zgjidhni problemet e demonstrimit dhe unë do t'u jap vetëm komente të shkurtra për të mos u ngatërruar rrugën e drejtë! fat të mirë!

1. Më e vështira! Është kaq e vështirë të shohësh një zëvendësim këtu! Por megjithatë, ky shembull mund të zgjidhet plotësisht duke përdorur shkarkimi katror i plotë . Për ta zgjidhur atë, mjafton të theksohet se:

Atëherë këtu është zëvendësimi juaj:

(Vini re se këtu në zëvendësimin tonë nuk mund ta hedhim poshtë rrënjë negative!!! Pse mendoni?)

Tani për të zgjidhur shembullin duhet të zgjidhni vetëm dy ekuacione:

Të dyja mund të zgjidhen me një "zëvendësim standard" (por i dyti në një shembull!)

2. Vini re këtë dhe bëni një zëvendësim.

3. Zbërthejeni numrin në faktorë të përbashkët dhe thjeshtoni shprehjen që rezulton.

4. Ndani numëruesin dhe emëruesin e thyesës me (ose, nëse preferoni) dhe bëni zëvendësimin ose.

5. Vini re se numrat dhe janë të konjuguar.

EKUACIONET EKSPONETARE. NIVELI I AVANCUAR

Përveç kësaj, le të shohim një mënyrë tjetër - zgjidhja e ekuacioneve eksponenciale duke përdorur metodën e logaritmit. Nuk mund të them se zgjidhja e ekuacioneve eksponenciale duke përdorur këtë metodë është shumë popullore, por në disa raste vetëm ajo mund të na çojë në vendimi i duhur ekuacioni ynë. Përdoret veçanërisht shpesh për të zgjidhur të ashtuquajturat " ekuacione të përziera ": domethënë ato ku ndodhin funksione të llojeve të ndryshme.

Për shembull, një ekuacion i formës:

në rastin e përgjithshëm, mund të zgjidhet vetëm duke marrë logaritme të të dy anëve (për shembull, në bazë), në të cilën ekuacioni origjinal do të kthehet në sa vijon:

Le të shohim shembullin e mëposhtëm:

Është e qartë se ODZ logaritmike funksionet, ne jemi të interesuar vetëm për. Megjithatë, kjo rrjedh jo vetëm nga ODZ e logaritmit, por për një arsye më shumë. Unë mendoj se nuk do të jetë e vështirë për ju të merrni me mend se cila është.

Le të marrim logaritmin e të dy anëve të ekuacionit tonë në bazë:

Siç mund ta shihni, marrja e logaritmit të ekuacionit tonë origjinal na çoi shpejt në përgjigjen e saktë (dhe të bukur!). Le të praktikojmë me një shembull tjetër:

Nuk ka asgjë të keqe as këtu: le të marrim logaritmin e të dy anëve të ekuacionit në bazë, atëherë marrim:

Le të bëjmë një zëvendësim:

Megjithatë, diçka na ka munguar! E keni vënë re se ku kam bërë një gabim? Në fund të fundit, atëherë:

e cila nuk e plotëson kërkesën (mendoni se nga erdhi!)

Përgjigje:

Mundohuni të shkruani zgjidhjen e ekuacioneve eksponenciale më poshtë:

Tani krahasoni vendimin tuaj me këtë:

1. Le të logaritmojmë të dyja anët e bazës, duke marrë parasysh se:

(rrënja e dytë nuk është e përshtatshme për ne për shkak të zëvendësimit)

2. Logaritmi në bazë:

Le të transformojmë shprehjen që rezulton në formën e mëposhtme:

EKUACIONET EKSPONETARE. PËRSHKRIMI I SHKURTËR DHE FORMULAT THEMELORE

Ekuacioni eksponencial

Ekuacioni i formës:

thirrur ekuacioni më i thjeshtë eksponencial.

Vetitë e gradave

Qasjet ndaj zgjidhjes

• Reduktimi në të njëjtën bazë
• Duke çuar në të njëjtin tregues gradë
• Zëvendësimi i ndryshueshëm
• Thjeshtimi i shprehjes dhe zbatimi i njërës prej sa më sipër.