Web sitesi " profesyonel öğretmen matematikte" döngüsü devam ediyor metodolojik makaleleröğretmeyle ilgili. Okul müfredatının en karmaşık ve sorunlu konularıyla çalışma yöntemlerimin açıklamalarını yayınlıyorum. Bu materyal, hem normal programda hem de matematik dersleri programında 8-11. sınıf öğrencileriyle çalışan matematik öğretmenleri ve eğitmenleri için faydalı olacaktır.
Bir matematik öğretmeni ders kitabında yetersiz bir şekilde sunulan materyali her zaman açıklayamaz. Ne yazık ki, bu tür konuların sayısı giderek artıyor ve kılavuzların yazarları takip edilerek sunum hataları topluca yapılıyor. Bu sadece yeni başlayan matematik öğretmenleri ve yarı zamanlı öğretmenler (öğretmenler öğrenciler ve üniversite eğitmenleridir) için değil aynı zamanda deneyimli öğretmenler, profesyonel öğretmenler, deneyim ve niteliklere sahip öğretmenler için de geçerlidir. Matematik öğretmenlerinin tümü, okul ders kitaplarındaki pürüzlü kenarları yetkin bir şekilde düzeltme yeteneğine sahip değildir. Herkes bu düzeltmelerin (veya eklemelerin) gerekli olduğunu da anlamıyor. Materyalin çocuklar tarafından niteliksel olarak algılanması için uyarlanmasına çok az çocuk katılıyor. Ne yazık ki, matematik öğretmenlerinin metodolojistler ve yayın yazarlarıyla birlikte ders kitabının her harfini toplu olarak tartıştığı zamanlar geçti. Daha önce bir ders kitabının okullara sunulmasından önce öğrenme çıktılarına ilişkin ciddi analizler ve çalışmalar yapılıyordu. Ders kitaplarını evrensel hale getirmeye çalışan ve onları güçlü matematik derslerinin standartlarına göre ayarlayan amatörlerin zamanı geldi.
Bilgi miktarını artırma yarışı, yalnızca özümsenme kalitesinin düşmesine ve bunun sonucunda matematikteki gerçek bilgi düzeyinin düşmesine yol açar. Ancak kimse buna dikkat etmiyor. Ve çocuklarımız zaten 8. sınıftayken enstitüde okuduklarımızı öğrenmeye zorlanıyorlar: olasılık teorisi, denklem çözme yüksek dereceler ve başka bir şey. Kitaplardaki materyalin çocuğun tam algısına göre uyarlanması arzu edilen çok şey bırakıyor ve matematik öğretmeni bununla bir şekilde uğraşmak zorunda kalıyor.
Yetişkin matematiğinde daha çok "Bezout teoremi ve Horner şeması" olarak bilinen "bir polinomu bir polinomla bir köşeye bölmek" gibi özel bir konuyu öğretme metodolojisi hakkında konuşalım. Sadece birkaç yıl önce bu soru bir matematik öğretmeni için o kadar da acil değildi çünkü ana konunun bir parçası değildi. okul müfredatı. Artık Telyakovsky'nin editörlüğünü yaptığı ders kitabının saygın yazarları, bence en iyi ders kitabının son baskısında değişiklikler yaptılar ve onu tamamen bozarak öğretmene yalnızca gereksiz endişeler eklediler. Matematik statüsüne sahip olmayan okul ve sınıfların öğretmenleri, yazarların yeniliklerine odaklanarak derslerine daha sık ek paragraflar eklemeye başladı ve meraklı çocuklar, matematik ders kitaplarının güzel sayfalarına bakarak giderek daha fazla soru sormaya başladı. öğretmen: “Bu köşeye bölme nedir? Bunu atlatacak mıyız? Bir köşe nasıl paylaşılır? Artık bu tür doğrudan sorulardan saklanacak bir şey yok. Öğretmenin çocuğa bir şeyler söylemesi gerekecek.
Nasıl? Ders kitaplarında yetkin bir şekilde sunulmuş olsaydı, muhtemelen konuyla çalışma yöntemini tanımlamazdım. Bizde her şey nasıl gidiyor? Ders kitaplarının basılıp satılması gerekiyor. Bunun için de düzenli olarak güncellenmeleri gerekiyor. Üniversite öğretmenleri çocukların kendilerine gelmesinden şikayetçi boş kafalar, bilgi ve beceri olmadan mı? Gereksinimler matematik bilgisi Büyüyor mu? Harika! Bazı alıştırmaları kaldıralım ve bunun yerine başka programlarda çalışılan konuları ekleyelim. Ders kitabımız neden daha kötü? Bazı ek bölümler ekleyeceğiz. Okul çocukları köşeyi bölme kuralını bilmiyor mu? Bu temel matematiktir. Bu paragraf “daha fazlasını öğrenmek isteyenler için” başlığıyla isteğe bağlı hale getirilmelidir. Öğretmenler buna karşı mı? Genel olarak öğretmenleri neden önemsiyoruz? Metodologlar ve okul öğretmenleri de buna karşı mı? Malzemeyi karmaşıklaştırmayacağız ve en basit kısmını ele alacağız.
Ve işte burada başlıyor. Konunun basitliği ve özümsenmesinin kalitesi, her şeyden önce mantığını anlamakta ve ders kitabı yazarlarının talimatlarına uygun olarak birbiriyle açıkça ilişkili olmayan belirli bir dizi işlemi gerçekleştirmede yatmaktadır. . Aksi takdirde öğrencinin kafasında sisler oluşacaktır. Yazarlar nispeten güçlü öğrencileri hedefliyorsa (fakat normal bir programda eğitim görüyorlarsa), o zaman konuyu emir şeklinde sunmamalısınız. Ders kitabında ne görüyoruz? Çocuklar, bu kurala göre bölme yapmalıyız. Polinomu açının altına alın. Böylece orijinal polinom çarpanlara ayrılacaktır. Ancak köşenin altındaki terimlerin neden tam olarak bu şekilde seçildiğini, neden köşenin üstündeki polinomla çarpılıp mevcut kalandan çıkarılması gerektiğini anlamak açık değildir. Ve en önemlisi, seçilen tek terimlilerin neden sonunda eklenmesi gerektiği ve ortaya çıkan parantezlerin neden orijinal polinomun bir uzantısı olacağı açık değildir. Her yetkin matematikçi ders kitabında verilen açıklamaların üzerine kalın soru işareti koyacaktır.
Ders kitabında belirtilen her şeyi pratikte öğrenci için açık hale getiren probleme yönelik çözümümü öğretmenlerin ve matematik öğretmenlerinin dikkatine sunuyorum. Aslında Bezout teoremini kanıtlayacağız: Eğer a sayısı bir polinomun kökü ise, o zaman bu polinom faktörlere ayrılabilir; bunlardan biri x-a'dır ve ikincisi orijinalden üç yoldan biriyle elde edilebilir: doğrusal bir faktörü dönüşümler yoluyla izole ederek, bir köşeye bölerek veya Horner şemasıyla. Bu formülasyonla bir matematik öğretmeninin çalışması daha kolay olacaktır.
Öğretim metodolojisi nedir? Her şeyden önce, bu, matematiksel sonuçların çıkarıldığı açıklamalar ve örnekler dizisindeki açık bir düzendir. Bu konu istisna yok. Bir matematik öğretmeninin çocuğa Bezout teoremini tanıtması çok önemlidir. bir köşeye bölmeden önce. Bu çok önemli! Anlamayı sağlamanın en iyi yolu, spesifik örnek. Seçilmiş bir köke sahip bir polinomu alalım ve bunu 7. sınıftan beri okul çocuklarına aşina olan bir yöntem kullanarak çarpanlara ayırma tekniğini gösterelim. kimlik dönüşümleri. Bir matematik öğretmeninin uygun açıklamaları, vurguları ve ipuçlarıyla, herhangi bir genel matematiksel hesaplama, keyfi katsayılar ve dereceler olmadan materyali aktarmak oldukça mümkündür.
Matematik öğretmeni için önemli tavsiyeler- Talimatları baştan sona takip edin ve bu sırayı değiştirmeyin.
Diyelim ki bir polinomumuz var. X yerine 1 sayısını koyarsak polinomun değeri sıfıra eşit olacaktır. Bu nedenle x=1 onun köküdür. Bunu iki terime ayırmaya çalışalım, böylece bunlardan biri doğrusal bir ifadenin ve bir tek terimlinin çarpımı olsun, ikincisi ise 'den bir küçük dereceye sahip olsun. Yani, onu formda temsil edelim
Kırmızı alan için tek terimliyi, baş terimle çarpıldığında orijinal polinomun baş terimiyle tamamen çakışacak şekilde seçiyoruz. Eğer öğrenci en zayıf öğrenci değilse, o zaman matematik öğretmenine gerekli ifadeyi söyleme konusunda oldukça yetenekli olacaktır: . Öğretmenden hemen kırmızı alana yerleştirmesi ve açıldığında ne olacağını göstermesi istenmelidir. Bu sanal geçici polinomu okların altına (küçük fotoğrafın altında) imzalamak ve onu mavi gibi bir renkle vurgulamak en iyisidir. Bu, seçimin geri kalanı olarak adlandırılan kırmızı alan için bir terim seçmenize yardımcı olacaktır. Öğretmenlere burada bu kalanın çıkarma yoluyla bulunabileceğini belirtmelerini tavsiye ederim. Bu işlemi gerçekleştirerek şunu elde ederiz:
Matematik öğretmeni öğrencinin dikkatini bu eşitliğin yerine bir koyduğumuzda sol tarafta sıfır elde edeceğimizin garanti olduğu gerçeğine çekmelidir (çünkü 1 orijinal polinomun köküdür) ve sağ tarafta da tabii ki aynı zamanda ilk terimi de sıfırlayacaktır. Bu, herhangi bir doğrulama olmaksızın birinin “yeşil kalanın” kökü olduğunu söyleyebileceğimiz anlamına gelir.
Bunu orijinal polinomla yaptığımız gibi ele alalım, aynısını ondan ayıralım. doğrusal çarpan. Matematik öğretmeni öğrencinin önüne iki çerçeve çizer ve soldan sağa doğru doldurmalarını ister.
Öğrenci öğretmen için kırmızı alan için bir monom seçer, böylece doğrusal ifadenin en yüksek terimiyle çarpıldığında genişleyen polinomun en yüksek terimini verir. Onu çerçeveye sığdırıyoruz, hemen braketi açıyoruz ve katlanan ifadeden çıkarılması gereken ifadeyi mavi renkle vurguluyoruz. Bu işlemi gerçekleştirerek elde ederiz
Ve son olarak son kalanla da aynısını yapıyoruz
sonunda alacağız
Şimdi ifadeyi parantezden çıkaralım ve orijinal polinomun faktörlere ayrıştırılmasını göreceğiz; bunlardan biri "x eksi seçilen kök".
Öğrencinin son "yeşil kalanın" kazara gerekli faktörlere ayrıştırıldığını düşünmesini önlemek için matematik öğretmeni şunu belirtmelidir: önemli özellik tüm yeşil kalanların her biri kök 1'e sahiptir. Bu kalanların dereceleri azaldığından, bize ilk polinomun derecesi ne olursa olsun, er ya da geç kök 1 ile doğrusal bir "yeşil kalan" elde edeceğiz ve bu nedenle zorunlu olarak bir miktar sayı ve ifadeyi ürüne ayrıştıracaktır.
Bundan sonra hazırlık çalışması Bir matematik öğretmeni için bir öğrenciye köşeye bölme işleminde ne olduğunu açıklamak zor olmayacaktır. Bu aynı süreçtir, yalnızca daha kısa ve daha kompakt bir biçimde, eşit işaretler olmadan ve vurgulanan aynı terimler yeniden yazılmadan. Doğrusal faktörün çıkarıldığı polinom köşenin soluna yazılır, seçilen kırmızı monomlar bir açıyla toplanır (şimdi neden toplanmaları gerektiği anlaşılıyor), çarpmanız gereken "mavi polinomları" elde etmek için “kırmızı” olanları x-1 oranında çıkarın ve ardından bunları şu anda seçili olandan çıkarın, bu ne zaman yapılır? sıradan bölüm bir sütundaki sayılar (burada daha önce çalışılanlarla bir benzetme bulunmaktadır). Ortaya çıkan "yeşil kalıntılar" yeni izolasyona ve "kırmızı monomiyallerin" seçimine tabi tutulur. Ve bu, sıfır "yeşil denge" elde edene kadar devam eder. Önemli olan öğrencinin anlaması başka kader açının üstünde ve altında yazılı polinomlar. Açıkçası bunlar, çarpımı orijinal polinomuna eşit olan parantezlerdir.
Matematik öğretmeninin çalışmasının bir sonraki aşaması Bezout teoreminin formülasyonudur. Aslında eğitmenin bu yaklaşımıyla formülasyonu açık hale geliyor: Eğer a sayısı bir polinomun kökü ise, o zaman biri çarpanlara ayrılabilir ve diğeri orijinalinden üç yoldan biriyle elde edilir. :
- doğrudan ayrıştırma (gruplama yöntemine benzer)
- bir köşeye bölme (bir sütunda)
- Horner'ın devresi aracılığıyla
Tüm matematik öğretmenlerinin Horner diyagramını öğrencilere göstermediği ve tüm matematik öğretmenlerinin öğrencilere Horner diyagramını göstermediği söylenmelidir. okul öğretmenleri(neyse ki öğretmenler adına) dersler sırasında konunun çok derinlerine iniyorlar. Ancak öğrenci için matematik dersi Uzun bölmede durmak için bir neden göremiyorum. Üstelik en kullanışlı ve hızlı Ayrıştırma tekniği tam olarak Horner'ın şemasına dayanmaktadır. Bir çocuğa bunun nereden geldiğini açıklamak için, köşeye bölme örneğini kullanarak yeşil kalanlarda daha yüksek katsayıların görünümünü izlemek yeterlidir. Başlangıç polinomunun baş katsayısının, birinci "kırmızı monomiyalin" katsayısına ve ayrıca mevcut üst polinomun ikinci katsayısına taşındığı açıktır. düşüldü“kırmızı monomiyalin” mevcut katsayısının ile çarpılmasının sonucu. Bu nedenle mümkün eklemek ile çarpmanın sonucu. Öğrencinin dikkatini katsayılarla eylemlerin özelliklerine odakladıktan sonra, bir matematik öğretmeni bu eylemlerin genellikle değişkenleri kaydetmeden nasıl gerçekleştirildiğini gösterebilir. Bunu yapmak için orijinal polinomun kökünü ve katsayılarını öncelik sırasına göre aşağıdaki tabloya girmek uygundur:
Bir polinomda herhangi bir derece eksikse sıfır katsayısı tabloya zorlanır. “Kırmızı polinomların” katsayıları “kanca” kuralına göre alt satıra tek tek girilir: 
Kök, son kırmızı katsayı ile çarpılır, üst satırdaki bir sonraki katsayıya eklenir ve sonuç alt satıra yazılır. Son sütunda, son “yeşil kalanın” en yüksek katsayısını, yani sıfırı almamız garanti edilir. İşlem tamamlandıktan sonra sayılar eşleşen kök ile sıfır kalan arasına sıkıştırılmış ikinci (doğrusal olmayan) faktörün katsayıları olduğu ortaya çıktı.
Kök a, alt satırın sonunda sıfır verdiğinden, Horner şeması bir polinomun kökünün başlığına ilişkin sayıları kontrol etmek için kullanılabilir. Rasyonel köklerin seçimine ilişkin özel bir teorem ise. Bu unvanın yardımıyla elde edilen tüm adaylar, soldan sırayla Horner diyagramına eklenir. Sıfır alır almaz test edilen sayı bir kök olacak ve aynı zamanda orijinal polinomun kendi doğrusu üzerinde çarpanlara ayrılmasının katsayılarını alacağız. Çok uygun.
Sonuç olarak, Horner'ın şemasını doğru bir şekilde tanıtmak ve konuyu pratik olarak pekiştirmek için bir matematik öğretmeninin emrinde olması gerektiğini belirtmek isterim. yeterli miktar saat. “Haftada bir” rejimiyle çalışan bir öğretmenin köşe taksimi yapmaması gerekir. Matematikte Birleşik Devlet Sınavında ve Matematikte Devlet Matematik Akademisi'nde, ilk bölümde bu tür yollarla çözülebilecek üçüncü dereceden bir denklemle karşılaşmanız pek olası değildir. Bir öğretmen çocuğu Moskova Devlet Üniversitesi'nde matematik sınavına hazırlıyorsa, konunun incelenmesi zorunlu hale gelir. Üniversite öğretmenleri, Birleşik Devlet Sınavı'nın derleyicilerinin aksine, başvuranın bilgi derinliğini test etmeyi gerçekten severler.
Kolpakov Alexander Nikolaevich, matematik öğretmeni Moskova, Strogino
Vesaire. genel eğitim niteliğindedir ve büyük değer TÜM kursu incelemek için yüksek matematik. Bugün "okul" denklemlerini tekrarlayacağız, ancak yalnızca "okul" denklemlerini değil, dünyanın her yerinde bulunan denklemleri de tekrarlayacağız. çeşitli görevler Vishmat. Her zamanki gibi hikaye uygulamalı bir şekilde anlatılacak. Tanımlara ve sınıflandırmalara odaklanmayacağım, tam olarak sizlerle paylaşacağım. kişisel deneyimçözümler. Bilgiler öncelikli olarak yeni başlayanlara yöneliktir, ancak daha ileri düzeydeki okuyucular da kendileri için çok şey bulacaklardır. ilginç anlar. Ve elbette olacak yeni malzeme, ötesine geçmek lise.
Yani denklem... Birçoğu bu kelimeyi ürpererek hatırlıyor. Kökleri değerli olan "karmaşık" denklemler nelerdir... ...unut onları! Çünkü o zaman bu türün en zararsız "temsilcileriyle" tanışacaksınız. Veya sıkıcı trigonometrik denklemler Onlarca çözüm yöntemiyle. Dürüst olmak gerekirse ben de onları pek sevmedim... Panik yapma! – o zaman çoğunlukla “karahindiba” 1-2 adımda bariz bir çözümle sizi bekliyor. Her ne kadar “dulavratotu” kesinlikle yapışsa da, burada objektif olmanız gerekiyor.
Garip bir şekilde, yüksek matematikte aşağıdaki gibi çok ilkel denklemlerle uğraşmak çok daha yaygındır: doğrusal denklemler
Bu denklemi çözmek ne anlama geliyor? Bu, “x”in (kök) onu gerçek eşitliğe dönüştürecek BÖYLE değerini bulmak anlamına gelir. İşaret değişikliği ile “üç”ü sağa atalım:
ve “ikiyi” sıfırlayın sağ taraf (veya aynı şey - her iki tarafı da çarpın)
:
Kontrol etmek için kazanılan kupayı yerine koyalım orijinal denklem :
Doğru eşitlik elde edilir; bu, bulunan değerin gerçekten bir kök olduğu anlamına gelir. verilen denklem. Veya onların da söylediği gibi bu denklemi karşılıyor.
Lütfen kökün şu şekilde de yazılabileceğini unutmayın. ondalık:
Ve bu kötü üsluba bağlı kalmamaya çalışın! Sebebini özellikle ilk derste defalarca tekrarladım. yüksek cebir.
Bu arada denklem “Arapça” olarak da çözülebilir:
Ve en ilginç olanı - bu giriş tamamen yasal! Ancak öğretmen değilseniz, bunu yapmamak daha iyidir çünkü burada özgünlük cezalandırılır =)
Ve şimdi biraz hakkında
grafiksel çözüm yöntemi
Denklem şu şekildedir ve kökü "X" koordinatı kesişme noktaları doğrusal fonksiyon grafiği programlı doğrusal fonksiyon (x ekseni):
Örnek o kadar basit görünüyor ki burada analiz edilecek başka bir şey yok, ancak beklenmedik bir nüans daha "sıkıştırılabilir": aynı denklemi formda sunalım ve fonksiyonların grafiklerini oluşturalım: 
Aynı zamanda lütfen iki kavramı karıştırmayın: bir denklem bir denklemdir ve işlev– bu bir fonksiyondur! Fonksiyonlar sadece yardım Denklemin köklerini bulun. Bunlardan iki, üç, dört ve hatta sonsuz sayıda olabilir. Bu anlamda en yakın örnek, tanınmış ikinci dereceden denklem ayrı bir paragraf alınan çözüm algoritması "sıcak" okul formülleri. Ve bu tesadüf değil! Eğer ikinci dereceden bir denklemi çözebilir ve biliyorsan Pisagor teoremi o zaman “yüksek matematiğin yarısı zaten cebinizde” diyebiliriz =) Elbette abartılı ama gerçeklerden o kadar da uzak değil!
Bu nedenle tembel olmayalım ve ikinci dereceden denklemleri kullanarak çözelim. standart algoritma:
Bu, denklemin iki farklı olduğu anlamına gelir geçerli kök: 
Bulunan her iki değerin de bu denklemi gerçekten karşıladığını doğrulamak kolaydır: 
Çözüm algoritmasını aniden unutursanız ve elinizde hiçbir araç/yardım eli yoksa ne yapmalısınız? Bu durum örneğin bir test veya sınav sırasında ortaya çıkabilir. Grafik yöntemini kullanıyoruz! Ve iki yol var: yapabilirsin noktadan noktaya inşa etmek parabol 
böylece eksenin nerede kesiştiğini buluruz (eğer hiç geçerse). Ancak daha kurnazca bir şey yapmak daha iyidir: denklemi formda hayal edin, grafikleri daha fazla çizin basit işlevler- Ve "X" koordinatları kesişme noktaları açıkça görülüyor! 
Düz çizginin parabole değdiği ortaya çıkarsa, denklemin iki eşleşen (çoklu) kökü vardır. Düz çizginin parabolle kesişmediği ortaya çıkarsa, o zaman gerçek kök yoktur.
Bunu yapmak için elbette inşa edebilmeniz gerekir. temel fonksiyonların grafikleri ama öte yandan bir okul çocuğu bile bu becerileri yapabilir.
Ve yine - bir denklem bir denklemdir ve işlevler, sadece yardımcı oldu denklemi çöz!
Bu arada bir şeyi daha hatırlamakta fayda var: Bir denklemin tüm katsayıları sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılırsa kökleri değişmez.
Yani, örneğin, denklem 
aynı köklere sahiptir. Basit bir “kanıt” olarak sabitleri parantezlerden çıkaracağım: 
ve onu acısız bir şekilde çıkaracağım (Her iki parçayı da “eksi ikiye” böleceğim):
ANCAK! Fonksiyonu dikkate alırsak 
, o zaman buradaki sabitten kurtulamazsınız! Çarpanın yalnızca parantezlerden çıkarılmasına izin verilir: 
.
Pek çok kişi grafiksel çözüm yöntemini "onursuz" bir şey olarak değerlendirerek hafife alıyor ve hatta bazıları bu olasılığı tamamen unutuyor. Ve bu temelde yanlıştır, çünkü grafik çizmek bazen sadece durumu kurtarır!
Başka bir örnek: En basit trigonometrik denklemin köklerini hatırlamadığınızı varsayalım: . Genel formül içeride okul ders kitapları, tüm referans kitaplarında ilköğretim matematik, ancak bunlar sizin için mevcut değildir. Ancak denklemi çözmek kritik öneme sahiptir (“iki”). Bir çıkış yolu var! – fonksiyonların grafiklerini oluşturun: 
daha sonra kesişme noktalarının “X” koordinatlarını sakin bir şekilde yazıyoruz: 
Sonsuz sayıda kök vardır ve cebirde bunların özet gösterimi kabul edilir:
, Nerede ( – tamsayılar kümesi)
.
Ve "uzaklaşmadan", tek değişkenli eşitsizlikleri çözmenin grafiksel yöntemi hakkında birkaç söz. Prensip aynıdır. Yani örneğin eşitsizliğin çözümü herhangi bir "x"tir, çünkü Sinüzoid neredeyse tamamen düz çizginin altında yer alır. Eşitsizliğin çözümü sinüzoidin parçalarının düz çizginin tam üzerinde olduğu aralıklar kümesidir. (x ekseni):
veya kısaca:
Ancak eşitsizliğin birçok çözümü şunlardır: boşÇünkü sinüzoidin hiçbir noktası düz çizginin üzerinde değildir.
Anlamadığınız bir şey var mı? Acilen dersleri inceleyin setleri Ve fonksiyon grafikleri!
Hadi ısınalım:
Görev 1
Aşağıdaki trigonometrik denklemleri grafiksel olarak çözün:
Cevaplar dersin sonunda
Gördüğünüz gibi ders çalışmak kesin bilimler Formülleri ve referans kitaplarını tıka basa doldurmaya gerek yok! Üstelik bu, temelde hatalı bir yaklaşımdır.
Dersin başında size güvence verdiğim gibi, standart yüksek matematik dersindeki karmaşık trigonometrik denklemlerin çok nadiren çözülmesi gerekir. Tüm karmaşıklık, kural olarak, çözümü en basit denklemlerden kaynaklanan iki grup kök olan denklemlerle sona erer ve 
. İkincisini çözme konusunda fazla endişelenmeyin; bir kitaba bakın veya internette bulun =)
Grafiksel çözüm yöntemi daha az önemsiz durumlarda da yardımcı olabilir. Örneğin aşağıdaki "paçavra" denklemini düşünün:
Çözüme dair beklentiler... hiçbir şeye benzemiyor, ancak denklemi formda hayal etmeniz yeterli, inşa edin fonksiyon grafikleri ve her şey inanılmaz derecede basit olacak. Makalenin ortasında bununla ilgili bir çizim var. sonsuz küçük fonksiyonlar (sonraki sekmede açılacaktır).
Aynı grafiksel yöntem Denklemin zaten iki kökü olduğunu ve bunlardan birinin olduğunu öğrenebilirsiniz. sıfıra eşit ve görünüşe göre diğeri, mantıksız ve segmentine aittir. Verilen kök yaklaşık olarak hesaplanabilir, örneğin, teğet yöntem. Bu arada, bazı problemlerde kökleri bulmanız gerekmiyor, ancak bulmanız gerekiyor gerçekten varlar mı?. Ve burada da çizim yardımcı olabilir - grafikler kesişmiyorsa kök yoktur.
Tamsayı katsayılı polinomların rasyonel kökleri.
Horner şeması
Şimdi sizleri bakışlarınızı Orta Çağ'a çevirmeye ve klasik cebirin eşsiz atmosferini hissetmeye davet ediyorum. Materyali daha iyi anlamak için en azından biraz okumanızı tavsiye ederim karmaşık sayılar.
Onlar en iyileridir. Polinomlar.
İlgilendiğimiz konu formun en yaygın polinomları olacaktır. tüm katsayılar Doğal sayı isminde polinom derecesi, sayı – en yüksek derecenin katsayısı (veya sadece en yüksek katsayı) ve katsayısı ücretsiz üye.
Bu polinomu kısaca ile belirteceğim.
Bir polinomun kökleri denklemin köklerini çağır
Demir mantığını seviyorum =)
Örnekler için makalenin en başına gidin: 
1. ve 2. derece polinomların köklerini bulmada herhangi bir sorun yoktur ancak arttıkça bu iş daha da zorlaşır. Öte yandan her şey daha ilginç! Ve dersin ikinci bölümünün tam olarak buna ayrılacağı şey bu.
İlk olarak, kelimenin tam anlamıyla teori ekranının yarısı:
1) Sonuç olarak cebirin temel teoremi, derece polinomu tam olarak karmaşık kökler. Bazı kökler (hatta tümü) özellikle geçerli. Ayrıca gerçek kökler arasında aynı (birden fazla) kök bulunabilir. (minimum iki, maksimum adet).
Eğer bir karmaşık sayı bir polinomun kökü ise, o zaman birleşik sayısı da zorunlu olarak bu polinomun köküdür (eşlenik karmaşık kökler gibi görünmek ).
En basit örnek ilk olarak 8'de ortaya çıkan ikinci dereceden bir denklemdir (beğenmek) sınıf ve sonunda konuyu "bitirdik" karmaşık sayılar. Size şunu hatırlatmama izin verin: İkinci dereceden bir denklemin ya iki farklı gerçek kökü vardır, ya birden fazla kökü vardır ya da eşlenik karmaşık kökleri vardır.
2) Gönderen Bezout'un teoremi eğer bir sayı bir denklemin kökü ise, o zaman karşılık gelen polinom çarpanlara ayrılabilir:
burada derece polinomu var.
Ve yine eski örneğimize bakalım: denklemin kökü olduğundan, o zaman . Bundan sonra ünlü “okul” genişlemesini elde etmek zor değil.
Bezout teoreminin sonucunun büyük bir pratik değeri vardır: 3. dereceden bir denklemin kökünü biliyorsak, onu şu şekilde temsil edebiliriz: 
ve itibaren ikinci dereceden denklem kalan kökleri tanımak kolaydır. Eğer 4. dereceden bir denklemin kökünü biliyorsak, o zaman sol tarafı bir çarpıma vs. genişletmek mümkündür.
Ve burada iki soru var:
Birinci soru. Bu kökü nasıl bulabilirim? Her şeyden önce, doğasını tanımlayalım: yüksek matematiğin birçok probleminde şunu bulmak gerekir: akılcıözellikle tüm polinomların kökleri ve bu bağlamda esas olarak onlarla ilgileneceğiz.... ...o kadar güzeller ki, o kadar yumuşaklar ki, onları bulmak istiyorsunuz! =)
İlk akla gelen seçim yöntemidir. Örneğin denklemi düşünün. Buradaki yakalama serbest terimdedir - eğer sıfıra eşit olsaydı, o zaman her şey yoluna girerdi - "X" i parantezlerden çıkarırız ve köklerin kendileri yüzeye "düşer": 
Ancak serbest terimimiz "üç" e eşittir ve bu nedenle denklemde yerine koymaya başlarız farklı sayılar, "kök" olduğunu iddia ediyor. Her şeyden önce tekil değerlerin ikamesi kendini göstermektedir. yerine koyalım: 
Kabul edilmiş yanlış eşitlik dolayısıyla birim “uymadı.” Tamam, yerine koyalım: 
Kabul edilmiş doğru eşitlik! Yani değer bu denklemin köküdür.
3. dereceden bir polinomun köklerini bulmak için analitik yöntem (sözde Cardano formülleri) ama şimdi biraz farklı bir görevle ilgileniyoruz.
Polinomumuzun kökü - olduğundan, polinom şu şekilde temsil edilebilir ve ortaya çıkabilir: İkinci soru: “küçük erkek kardeş” nasıl bulunur?
En basit cebirsel düşünceler, bunu yapmak için 'ye bölmemiz gerektiğini önerir. Bir polinom bir polinoma nasıl bölünür? Aynı okul yöntemi Paylaşıldı normal sayılar- “bir sütunda”! Bu yöntem Dersin ilk örneklerinde detaylı olarak anlattım. Karmaşık Limitler ve şimdi adı verilen başka bir yönteme bakacağız. Horner şeması.
İlk önce “en yüksek” polinomu yazıyoruz herkesle
sıfır katsayılar dahil:
, ardından bu katsayıları (kesinlikle sırayla) tablonun üst satırına giriyoruz:
Kökü sola yazıyoruz:
Horner'ın planının "kırmızı" sayı olması durumunda da işe yarayacağına dair hemen rezervasyon yaptıracağım Olumsuz polinomun köküdür. Ancak işleri aceleye getirmeyelim.
Baş katsayıyı yukarıdan kaldırıyoruz:
Alt hücreleri doldurma işlemi bir şekilde nakışı andırıyor; burada "eksi bir", sonraki adımlara nüfuz eden bir tür "iğne" dir. “Aşağıya taşınan” sayıyı (–1) ile çarpıyoruz ve üst hücredeki sayıyı çarpıma ekliyoruz:
Bulunan değeri “kırmızı iğne” ile çarpıyoruz ve aşağıdaki denklem katsayısını ürüne ekliyoruz:
Ve son olarak ortaya çıkan değer yine “iğne” ve üst katsayı ile “işlenir”:
Son hücredeki sıfır bize polinomun bölündüğünü söyler iz bırakmadan (olması gerektiği gibi) genişleme katsayıları doğrudan tablonun alt satırından "kaldırılır":
Böylece denklemden eşdeğer bir denkleme geçtik ve kalan iki kökle her şey açık (V bu durumda eşlenik karmaşık kökler elde ederiz).
Bu arada denklem grafiksel olarak da çözülebilir: arsa "yıldırım" 
ve grafiğin x eksenini kestiğini görün ()
noktada. Veya aynı "kurnaz" numara - denklemi formda yeniden yazıyoruz, çiziyoruz temel grafikler ve kesişme noktalarının “X” koordinatını tespit edin.
Bu arada, 3. dereceden herhangi bir fonksiyon polinomunun grafiği eksenle en az bir kez kesişir, bu da karşılık gelen denklemin olduğu anlamına gelir. en azından bir geçerli kök. Bu gerçek tek dereceli herhangi bir polinom fonksiyonu için geçerlidir.
Ve burada ayrıca üzerinde durmak istiyorum önemli nokta terminolojiyle ilgili olan: polinom Ve polinom fonksiyonu – bu aynı şey değil! Ancak pratikte sıklıkla örneğin "bir polinomun grafiği" hakkında konuşurlar ki bu elbette ihmaldir.
Ancak Horner'ın planına dönelim. Geçenlerde bahsettiğim gibi bu şema diğer numaralar için de çalışıyor ancak eğer numara Olumsuz denklemin kökü ise formülümüzde sıfırdan farklı bir ekleme (kalan) görünür:
Horner'ın şemasına göre "başarısız" değerini "çalıştıralım". Bu durumda, aynı tabloyu kullanmak uygundur - sola yeni bir "iğne" yazın, önde gelen katsayıyı yukarıdan hareket ettirin (sol yeşil ok), ve yola çıkıyoruz: 
Kontrol etmek için parantezleri açıp sunalım benzer terimler:
, TAMAM.
Kalanın (“altı”) tam olarak polinomun değeri olduğunu fark etmek kolaydır. Ve aslında - nasıl bir şey: 
, ve daha da güzeli - şöyle:
Yukarıdaki hesaplamalardan Horner'ın planının yalnızca polinomu çarpanlara ayırmaya değil, aynı zamanda kökün "uygar" bir seçimini gerçekleştirmeye de izin verdiğini anlamak kolaydır. Hesaplama algoritmasını küçük bir görevle kendi başınıza birleştirmenizi öneririm:
Görev 2
Horner'ın şemasını kullanarak bulun bütün kök Denklem ve karşılık gelen polinomu çarpanlarına ayırın
Başka bir deyişle, burada son sütunda sıfır kalan "çizilene" kadar 1, –1, 2, –2, ... – sayılarını sırayla kontrol etmeniz gerekir. Bu, bu doğrunun "iğnesinin" polinomun kökü olduğu anlamına gelecektir.
Hesaplamaların tek bir tabloda düzenlenmesi uygundur. Detaylı çözüm ve dersin sonunda cevap.
Kök seçme yöntemi nispeten iyidir basit vakalar ancak polinomun katsayıları ve/veya derecesi büyükse süreç daha uzun sürebilir. Ya da belki aynı listeden 1, –1, 2, –2 gibi bazı değerler vardır ve dikkate almanın bir anlamı yoktur? Ayrıca köklerin kesirli olduğu ortaya çıkabilir ve bu da tamamen bilimsel olmayan bir dürtüye yol açacaktır.
Neyse ki rasyonel kökler için "aday" değerlerin aranmasını önemli ölçüde azaltabilecek iki güçlü teorem vardır:
Teorem 1 düşünelim indirgenemez kesir, nerede. Sayı denklemin kökü ise, serbest terim bölünür ve baş katsayı bölünür.
özellikle, eğer baş katsayı ise, bu rasyonel kök bir tamsayıdır:
Ve teoremden şu lezzetli ayrıntıyla yararlanmaya başlıyoruz:
Denkleme dönelim. Baş katsayısı olduğundan, varsayımsal rasyonel kökler yalnızca tamsayı olabilir ve serbest terimin mutlaka bu köklere kalan olmadan bölünmesi gerekir. Ve “üç” yalnızca 1, –1, 3 ve –3'e bölünebilir. Yani elimizde sadece 4 “kök aday” var. Ve göre Teorem 1, diğer rasyonel sayılarİLKEDE bu denklemin kökleri olamaz.
Denklemde biraz daha “rakipler” var: serbest terim 1, –1, 2, – 2, 4 ve –4'e bölünmüştür.
Lütfen 1, –1 rakamlarının olası kökler listesinin “düzenli sayıları” olduğunu unutmayın. (teoremin bariz bir sonucu) ve çoğu en iyi seçimöncelik kontrolü için.
Daha anlamlı örneklere geçelim:
Sorun 3
Çözüm: baş katsayı olduğundan, varsayımsal rasyonel kökler yalnızca tam sayı olabilir ve bölen olmaları gerekir ücretsiz üye. “Eksi kırk” aşağıdaki sayı çiftlerine bölünmüştür:
– toplam 16 “aday”.
Ve burada hemen baştan çıkarıcı bir düşünce ortaya çıkıyor: tüm olumsuzlukları veya tümünü ayıklamak mümkün mü? pozitif kökler? Bazı durumlarda bu mümkün! İki işaret formüle edeceğim:
1) Eğer Tüm Polinomun katsayıları negatif değilse pozitif köklere sahip olamaz. Ne yazık ki, bizim durumumuz bu değil (Şimdi, eğer bize bir denklem verilmişse - o zaman evet, polinomun herhangi bir değerini değiştirirken, polinomun değeri kesinlikle pozitiftir, bu da her şeyin olduğu anlamına gelir pozitif sayılar (ve mantıksız olanlar da) denklemin kökleri olamaz.
2) Eğer katsayılar tek dereceler negatif değildir ve tüm çift kuvvetler için (ücretsiz üye dahil) negatifse polinom olamaz negatif kökler. Bu bizim durumumuz! Biraz daha yakından baktığınızda, denklemde herhangi bir negatif "X"i yerine koyduğunuzda şunu görebilirsiniz: sol taraf kesinlikle negatif olacak, yani negatif kökler yok olmak
Böylece araştırma için 8 sayı kaldı:
Horner'ın planına göre onları sırayla "yükliyoruz". Umarım zihinsel hesaplamalarda zaten ustalaşmışsınızdır: 
“İkiyi” test ederken şans bizi bekliyordu. Dolayısıyla, söz konusu denklemin kökü ve
Denklemi incelemeye devam ediyor 
. Bunu diskriminant aracılığıyla yapmak kolaydır, ancak aynı şemayı kullanarak gösterge niteliğinde bir test yapacağım. Öncelikle serbest terimin 20'ye eşit olduğunu belirtelim. Teorem 1 8 ve 40 sayıları olası kökler listesinden çıkar ve değerleri araştırmaya bırakılır (Horner'ın planına göre biri elendi).
Üç terimlinin katsayılarını yeni tablonun en üst satırına yazıyoruz ve Aynı “iki” ile kontrol etmeye başlıyoruz. Neden? Kökler katlar olabileceği için lütfen: - bu denklemin 10'u var özdeş kökler. Ama dikkatimizi dağıtmayalım: 
Ve burada elbette biraz yalan söylüyordum, köklerin rasyonel olduğunu biliyordum. Sonuçta, eğer bunlar irrasyonel veya karmaşık olsaydı, geri kalan tüm sayıların başarısız bir şekilde kontrol edilmesiyle karşı karşıya kalırdım. Bu nedenle pratikte ayrımcıya rehberlik etmek gerekir.
Cevap: rasyonel kökler: 2, 4, 5
Analiz ettiğimiz problemde şanslıydık çünkü: a) hemen düştüler negatif değerler ve b) kökü çok hızlı bir şekilde bulduk (ve teorik olarak listenin tamamını kontrol edebiliriz).
Ancak gerçekte durum çok daha kötü. Sizi “adlı heyecan verici bir oyunu izlemeye davet ediyorum” Son Kahraman»:
Sorun 4
Denklemin rasyonel köklerini bulun
Çözüm: İle Teorem 1 varsayımsal paylar rasyonel kökler koşulu karşılaması gerekir ("on ikinin el'e bölümü"nü okuyoruz) ve paydalar koşula karşılık gelir. Buna dayanarak iki liste elde ederiz:
"listele":
ve "um'u listele": (Neyse ki buradaki sayılar doğaldır).
Şimdi mümkün olan tüm köklerin bir listesini yapalım. İlk olarak “el listesini” sayısına bölüyoruz. Aynı rakamların elde edileceği kesinlikle açıktır. Kolaylık sağlamak için bunları bir tabloya koyalım:
Pek çok kesir azaltılarak zaten "kahraman listesinde" olan değerler ortaya çıktı. Yalnızca “yeni başlayanlar” ekliyoruz: 
Benzer şekilde, aynı "listeyi" şu şekilde bölüyoruz: 
ve nihayet
Böylece oyunumuza katılanların ekibi tamamlandı: 
Maalesef bu problemdeki polinom "pozitif" veya "negatif" kriterini karşılamıyor ve bu nedenle üst veya alt satırı göz ardı edemiyoruz. Tüm sayılarla çalışmanız gerekecek.
Nasıl hissediyorsun? Haydi, kafanızı kaldırın – mecazi anlamda “öldürücü teorem” olarak adlandırılabilecek başka bir teorem daha var…. ...“adaylar” elbette =)
Ama önce en az bir tanesi için Horner diyagramını kaydırmanız gerekiyor. bütün sayılar. Geleneksel olarak bir tane alalım. En üst satıra polinomun katsayılarını yazıyoruz ve her şey her zamanki gibi:
Dört açıkça sıfır olmadığı için değer söz konusu polinomun kökü değildir. Ama bize çok yardımcı olacak.
Teorem 2 Bazıları için ise genel olarak polinomun değeri sıfırdan farklıysa: rasyonel kökleri (varsa) koşulu karşılamak
Bizim durumumuzda ve dolayısıyla tüm olası köklerin bu koşulu karşılaması gerekir. (buna Koşul No. 1 diyelim). Bu dörtlü pek çok “adayın” “katil”i olacak. Bir gösteri olarak birkaç kontrole bakacağım:
"Aday"ı kontrol edelim. Bunu yapmak için, onu yapay olarak kesir şeklinde temsil edelim, buradan açıkça görüldüğü gibi. Test farkını hesaplayalım: . Dört "eksi ikiye" bölünür: Bu, olası kökün testi geçtiği anlamına gelir.
Değeri kontrol edelim. İşte test farkı: 
. Elbette ve dolayısıyla ikinci “konu” da listede kalıyor.
Horner şeması - bir polinomu bölme yöntemi
$$P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1 )+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$$
$x-a$ binomunda. İlk satırı belirli bir polinomun katsayılarını içeren bir tabloyla çalışmanız gerekecek. İkinci satırın ilk elemanı $x-a$ binomundan alınan $a$ sayısı olacaktır:
n'inci dereceden bir polinomu $x-a$ binomuna böldükten sonra, derecesi orijinalden bir eksik olan bir polinom elde ederiz; $n-1$'a eşittir. Horner'ın planının doğrudan uygulamasını örneklerle göstermek en kolay yoldur.
Örnek No.1
Horner'ın şemasını kullanarak $5x^4+5x^3+x^2-11$'ı $x-1$'a bölün.
İki satırlık bir tablo yapalım: İlk satıra $x$ değişkeninin azalan kuvvetlerine göre düzenlenmiş $5x^4+5x^3+x^2-11$ polinomunun katsayılarını yazıyoruz. Bu polinomun birinci dereceden $x$ içermediğini unutmayın; $x$'ın birinci kuvvetinin katsayısı 0'dır. $x-1$'a böldüğümüz için ikinci satıra bir tane yazıyoruz:
İkinci satırdaki boş hücreleri doldurmaya başlayalım. İkinci satırın ikinci hücresine $5$ sayısını yazıyoruz ve onu ilk satırın karşılık gelen hücresinden hareket ettiriyoruz:
Bir sonraki hücreyi şu prensibe göre dolduralım: $1\cdot 5+5=10$:
İkinci satırın dördüncü hücresini de aynı şekilde dolduralım: $1\cdot 10+1=11$:
Beşinci hücre için şunu elde ederiz: $1\cdot 11+0=11$:
Ve son olarak, son altıncı hücre için şunu elde ederiz: $1\cdot 11+(-11)=0$:
Sorun çözüldü, geriye sadece cevabı yazmak kalıyor:
Gördüğünüz gibi ikinci satırda yer alan (bir ile sıfır arasında) sayılar $5x^4+5x^3+x^2-11$'ın $x-1$'a bölünmesiyle elde edilen polinomun katsayılarıdır. Doğal olarak, orijinal $5x^4+5x^3+x^2-11$ polinomunun derecesi dörde eşit olduğundan, elde edilen $5x^3+10x^2+11x+11$ polinomunun derecesi şöyle olur: bir tane daha az, yani . üçe eşittir. İkinci satırdaki son sayı (sıfır), $5x^4+5x^3+x^2-11$ polinomunun $x-1$'a bölünmesinden kalan kısım anlamına gelir. Bizim durumumuzda kalan sıfırdır, yani. polinomlar eşit olarak bölünebilir. Bu sonuç şu şekilde de karakterize edilebilir: $x=1$ için $5x^4+5x^3+x^2-11$ polinomunun değeri sıfıra eşittir.
Sonuç şu şekilde de formüle edilebilir: $5x^4+5x^3+x^2-11$ polinomunun $x=1$ noktasındaki değeri sıfıra eşit olduğundan, bu durumda birlik polinomun köküdür $5x^4+5x^3+ x^2-11$.
Örnek No.2
$x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ polinomunu Horner şemasını kullanarak $x+3$'a bölün.
Hemen $x+3$ ifadesinin $x-(-3)$ biçiminde temsil edilmesi gerektiğini şart koşalım. Horner'ın planı tam olarak -3$'ı içerecek. Orijinal $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ polinomunun derecesi dörde eşit olduğundan, bölme sonucunda üçüncü dereceden bir polinom elde ederiz:
Sonuç şu anlama geliyor
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$
Bu durumda $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ $x+3$'a bölündüğünde kalan $4$ olur. Veya aynı olan, $x=-3$ için $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ polinomunun değeri $4$'a eşittir. Bu arada, verilen polinomun içine doğrudan $x=-3$ yazarak bunu tekrar kontrol etmek kolaydır:
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4.$$
Onlar. Bir polinomun değerini bulmak gerekiyorsa Horner şeması kullanılabilir. değeri belirle değişken. Amacımız bir polinomun tüm köklerini bulmaksa, Horner şeması, örnek 3'te tartışıldığı gibi, tüm kökleri tüketene kadar art arda birkaç kez uygulanabilir.
Örnek No.3
Horner şemasını kullanarak $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ polinomunun tüm tamsayı köklerini bulun.
Söz konusu polinomun katsayıları tamsayı olup, katsayı değişkenin en büyük üssünden öncedir (yani $x^6$'dan önce). bire eşit. Bu durumda polinomun tamsayı kökleri serbest terimin bölenleri arasında aranmalıdır. 45 sayısının bölenleri arasındadır. Belirli bir polinom için bu tür kökler 45 $ sayıları olabilir; \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; 1$ ve -45$; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1$. Örneğin $1$ sayısını kontrol edelim:
Gördüğünüz gibi, $x=1$ ile $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ polinomunun değeri $192$'a eşittir ( son numara ikinci satırda) ve $0$ değil, bu nedenle birlik bu polinomun kökü değildir. Bir tanesinin kontrolü başarısız olduğundan, $x=-1$ değerini kontrol edelim. Yeni tablo Bu amaçla derleme yapmayacağız, tabloyu kullanmaya devam edeceğiz. 1 numara, buna yeni (üçüncü) bir satır ekleniyor. $1$ değerinin kontrol edildiği ikinci satır kırmızı renkle vurgulanacak ve sonraki tartışmalarda kullanılmayacaktır.
Elbette tabloyu yeniden yazabilirsiniz, ancak manuel olarak doldurmak çok zaman alacaktır. Üstelik doğrulaması başarısız olan birden fazla sayı olabilir ve her seferinde yeni bir tablo yazmak zordur. "Kağıt üzerinde" hesaplanırken kırmızı çizgilerin üzeri çizilebilir.
Yani, $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ polinomunun $x=-1$'daki değeri sıfıra eşittir, yani. $-1$ sayısı bu polinomun köküdür. $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ polinomunu $x-(-1)=x+1$ binomuna böldükten sonra $x polinomunu elde ederiz ^5+x ^4-22x^3+2x^2+69x+45$, katsayıları tablonun üçüncü satırından alınmıştır. 2 (bkz. örnek No. 1). Hesaplamaların sonucu şu şekilde de sunulabilir:
\begin(denklem)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45)\end(denklem)
Tamsayı kökleri aramaya devam edelim. Şimdi $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$ polinomunun köklerini aramamız gerekiyor. Yine bu polinomun tamsayı kökleri serbest terimi olan $45$ sayısının bölenleri arasında aranır. $-1$ sayısını tekrar kontrol etmeye çalışalım. Yeni bir tablo oluşturmayacağız ancak önceki tabloyu kullanmaya devam edeceğiz. 2 numara, yani Buna bir satır daha ekleyelim:
Yani, $-1$ sayısı $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$ polinomunun köküdür. Bu sonuç şu şekilde yazılabilir:
\begin(denklem)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \end(denklem)
Eşitlik (2) dikkate alınarak eşitlik (1) aşağıdaki biçimde yeniden yazılabilir:
\begin(denklem)\begin(hizalanmış) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4-22x^2+24x+45)\end(hizalanmış)\end(denklem)
Şimdi $x^4-22x^2+24x+45$ polinomunun köklerini doğal olarak serbest teriminin bölenleri arasında ($45$ sayıları) aramamız gerekiyor. $-1$ sayısını tekrar kontrol edelim:
$-1$ sayısı, $x^4-22x^2+24x+45$ polinomunun köküdür. Bu sonuç şu şekilde yazılabilir:
\begin(denklem)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \end(denklem)
Eşitlik (4)'ü hesaba katarak eşitliği (3) aşağıdaki biçimde yeniden yazıyoruz:
\begin(denklem)\begin(hizalanmış) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3 +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2-21x+45)\end(hizalanmış)\end(denklem)
Şimdi $x^3-x^2-21x+45$ polinomunun köklerini arıyoruz. $-1$ sayısını tekrar kontrol edelim:
Denetim başarısızlıkla sonuçlandı. Altıncı satırı kırmızıyla vurgulayalım ve başka bir sayıyı, örneğin $3$ sayısını kontrol etmeye çalışalım:
Geri kalan sıfırdır, dolayısıyla $3$ sayısı söz konusu polinomun köküdür. Yani $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. Şimdi eşitlik (5) aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir.
