Kimyada fraktallar. Uzay Araştırma Laboratuvarı

Fraktal

Fraktal (lat. kırık- ezilmiş, kırılmış, kırılmış) kendine benzerlik özelliğine sahip, yani her biri şeklin tamamına benzeyen birkaç parçadan oluşan geometrik bir şekildir. Matematikte fraktallar, Öklid'deki nokta kümeleri olarak anlaşılır. kesirli bir metrik boyuta (Minkowski veya Hausdorff anlamında) veya topolojik olandan farklı bir metrik boyuta sahip olan uzay. Fraktazma, fraktalları inceleyen ve oluşturan bağımsız bir kesin bilimdir.

Başka bir deyişle fraktallar kesirli boyuta sahip geometrik nesnelerdir. Örneğin bir çizginin boyutu 1, alanı 2, hacmi 3'tür. Bir fraktal için boyut değeri 1 ile 2 arasında veya 2 ile 3 arasında olabilir. Örneğin buruşuk bir çizginin fraktal boyutu Kağıt topu yaklaşık 2,5'tur. Matematikte fraktalların boyutunu hesaplamak için özel bir karmaşık formül vardır. Trakeal tüplerin dalları, ağaçlardaki yapraklar, eldeki damarlar, bir nehir - bunlar fraktallardır. Basit bir ifadeyle fraktal, belirli bir kısmı tekrar tekrar tekrarlanan, boyutu değişen geometrik bir şekildir - bu, kendi kendine benzerlik ilkesidir. Fraktallar kendilerine benzerler, her seviyede (yani her ölçekte) kendilerine benzerler. Pek çok farklı fraktal türü vardır. Prensip olarak, ister bulut ister oksijen molekülü olsun, gerçek dünyada var olan her şeyin bir fraktal olduğu iddia edilebilir.

“Kaos” kelimesi insana öngörülemeyen bir şeyi hatırlatıyor ama aslında kaos oldukça düzenli ve belirli kanunlara uyuyor. Kaos ve fraktallar üzerinde çalışmanın amacı, ilk bakışta öngörülemez ve tamamen kaotik görünebilecek kalıpları tahmin etmektir.

Bu bilgi alanındaki öncü Fransız-Amerikalı matematikçi Profesör Benoit B. Mandelbrot'du. 1960'ların ortalarında kırık, buruşuk ve bulanık şekilleri analiz etmeyi amaçlayan fraktal geometriyi geliştirdi. Mandelbrot kümesi (şekilde gösterilmiştir), bir kişide "fraktal" kelimesini duyduğunda ortaya çıkan ilk çağrışımdır. Bu arada Mandelbrot, İngiliz kıyı şeridinin fraktal boyutunun 1,25 olduğunu tespit etti.

Fraktallar her şeyi bulur daha fazla uygulama bilimde. Onlar tarif ediyorlar gerçek dünya geleneksel fizik veya matematikten bile daha iyidir. Brown hareketi- bu, örneğin suda asılı duran toz parçacıklarının rastgele ve kaotik hareketidir. Bu tür hareket belki de fraktal geometrinin en pratik kullanıma sahip yönüdür. Rastgele Brown hareketinin, aşağıdaki olayları tahmin etmek için kullanılabilecek bir frekans yanıtı vardır: büyük miktarlar veriler ve istatistikler. Örneğin Mandelbrot, Brownian hareketini kullanarak yün fiyatlarındaki değişiklikleri tahmin etti.

"Fraktal" kelimesi sadece şu şekilde kullanılamaz: matematik terimi. Basında ve popüler bilim literatüründe bir fraktal, aşağıdaki özelliklerden herhangi birine sahip olan bir figür olarak adlandırılabilir:

Her ölçekte önemsiz olmayan bir yapıya sahiptir. Bu, normal şekillerin (daire, elips, düzgün fonksiyonun grafiği gibi) tam tersidir: eğer çok büyük ölçekte normal bir şeklin küçük bir parçasını düşünürsek, düz bir çizginin parçası gibi görünecektir. Bir fraktal için ölçeğin arttırılması yapının basitleştirilmesine yol açmaz; tüm ölçeklerde eşit derecede karmaşık bir resim göreceğiz.

Kendine benzer veya yaklaşık olarak kendine benzer.

Kesirli bir metrik boyutu veya topolojik olanı aşan bir metrik boyutu vardır.

Fraktalların bilgisayar teknolojisindeki en kullanışlı kullanımı fraktal veri sıkıştırmasıdır. Aynı zamanda görüntüler, geleneksel yöntemlerle yapıldığından çok daha iyi bir şekilde (600:1'e kadar) sıkıştırılır. Fraktal sıkıştırmanın bir başka avantajı da büyütüldüğünde görüntüyü önemli ölçüde kötüleştiren pikselleşme etkisinin olmamasıdır. Üstelik, fraktal olarak sıkıştırılmış bir görüntü, büyütüldükten sonra genellikle eskisinden daha iyi görünür. Bilgisayar bilimcileri ayrıca sonsuz karmaşıklık ve güzellikteki fraktalların basit formüllerle üretilebileceğini de biliyorlar. Film endüstrisi gerçekçi manzara öğeleri (bulutlar, kayalar ve gölgeler) oluşturmak için fraktal grafik teknolojisini yaygın olarak kullanıyor.

Akışlardaki türbülansın incelenmesi fraktallara çok iyi uyum sağlar. Bu, karmaşık akışların dinamiklerini daha iyi anlamamızı sağlar. Fraktalları kullanarak alevleri de simüle edebilirsiniz. Gözenekli malzemeler, çok karmaşık bir geometriye sahip olmaları nedeniyle fraktal biçimde iyi temsil edilir. Verileri mesafeler üzerinden iletmek için, boyutlarını ve ağırlıklarını büyük ölçüde azaltan fraktal şekilli antenler kullanılır. Fraktallar yüzeylerin eğriliğini tanımlamak için kullanılır. Pürüzlü bir yüzey, iki farklı fraktalın birleşimiyle karakterize edilir.

Doğadaki birçok nesne, örneğin kıyılar, bulutlar, ağaç taçları, kar taneleri, insan veya hayvanların dolaşım sistemi ve alveolar sistemi gibi fraktal özelliklere sahiptir.

Fraktallar, özellikle düzlem üzerinde, güzelliğin bilgisayar kullanılarak yapım kolaylığı ile birleşimi nedeniyle popülerdir.

Alışılmadık özelliklere sahip kendine benzer kümelerin ilk örnekleri 19. yüzyılda ortaya çıktı (örneğin, Bolzano işlevi, Weierstrass işlevi, Cantor kümesi). "Fraktal" terimi, 1975 yılında Benoit Mandelbrot tarafından icat edildi ve 1977'de "Doğanın Fraktal Geometrisi" kitabının yayınlanmasıyla yaygın bir popülerlik kazandı.

Soldaki resim, birbirine ezilmiş bir grup beşgen gibi görünen Darer Pentagon fraktalının basit bir örneğini gösteriyor. Aslında, başlatıcı olarak bir beşgen ve büyük kenarın küçüğüne oranının tam olarak altın orana (1.618033989 veya 1/(2cos72°)) eşit olduğu ikizkenar üçgenler kullanılarak oluşturulur. bir jeneratör. Bu üçgenler her bir beşgenin ortasından kesilerek, bir büyük beşgene yapıştırılmış 5 küçük beşgen gibi görünen bir şekil elde edilir.

Kaos teorisi, karmaşık doğrusal olmayan sistemlerin kalıtsal olarak öngörülemez olduğunu söyler, ancak aynı zamanda bu tür öngörülemeyen sistemleri ifade etmenin yolunun tam eşitliklerde değil, sistemin davranışının grafiklerde temsilinde doğru olduğunu iddia eder. garip çekiciler, fraktallar biçimindedir. Böylece pek çok kişinin öngörülemezlik olarak düşündüğü kaos teorisinin, en kararsız sistemlerde bile öngörülebilirliğin bilimi olduğu ortaya çıkıyor. Dinamik sistemlerin incelenmesi, basit denklemlerin, sistemin asla kararlı bir duruma dönmediği ve hiçbir modelin ortaya çıkmadığı kaotik davranışlara yol açabileceğini göstermektedir. Genellikle bu tür sistemler, bir anahtar parametrenin belirli bir değerine kadar oldukça normal davranır, daha sonra daha fazla gelişme için iki olasılığın, ardından dört olasılığın ve son olarak da kaotik bir dizi olasılığın olduğu bir geçiş deneyimi yaşarlar.

Teknik nesnelerde meydana gelen süreç şemaları açıkça tanımlanmış bir fraktal yapıya sahiptir. Asgari yapı teknik sistem(TS), TS içinde iki tür sürecin (ana süreç ve destekleyici süreç) ortaya çıktığını ima eder ve bu bölünme koşullu ve görecelidir. Herhangi bir süreç, destekleyici süreçlerle ilgili olarak ana süreç olabilir ve destekleyici süreçlerden herhangi biri, "onun" destekleyici süreçleriyle ilgili olarak ana süreç olarak kabul edilebilir. Diyagramdaki daireler, özel olarak "kendi" araçlarınızı yaratmanın gerekli olmadığı süreçlerin gerçekleşmesini sağlayan fiziksel etkileri göstermektedir. Bu süreçler maddeler, alanlar, maddeler ve alanlar arasındaki etkileşimlerin sonucudur. Daha doğrusu fiziksel etki, çalışma prensibini etkileyemediğimiz, tasarımına müdahale etmek istemediğimiz veya müdahale etme imkanımızın olmadığı bir araçtır.

Diyagramda gösterilen ana sürecin akışı, bunları üreten TS için ana süreçler olan üç destekleyici sürecin varlığıyla sağlanır. Adil olmak gerekirse, minimal bir TS'nin bile işleyişi için üç sürecin açıkça yeterli olmadığını belirtiyoruz; Plan çok ama çok abartılı.

Her şey şemada gösterildiği kadar basit olmaktan uzaktır. Kullanışlı ( bir kişi için gerekli) İşlem %100 verimle gerçekleştirilemez. Dağıtılan enerji, zararlı süreçlerin (ısıtma, titreşim vb.) yaratılmasına harcanır. Sonuçta faydalı sürece paralel olarak zararlılar da ortaya çıkar. “Kötü” bir süreci “iyi” bir süreçle değiştirmek her zaman mümkün olmadığından, sisteme zarar verecek sonuçları telafi etmeye yönelik yeni süreçlerin düzenlenmesi gerekmektedir. Tipik bir örnek, kişiyi ustaca yağlama planları düzenlemeye, pahalı sürtünme önleyici malzemeler kullanmaya veya bileşenlerin ve parçaların yağlanması veya bunların periyodik olarak değiştirilmesi için zaman harcamaya zorlayan sürtünmeyle mücadele ihtiyacıdır.

Değişken bir Ortamın kaçınılmaz etkisi nedeniyle yararlı bir sürecin yönetilmesi gerekebilir. Kontrol, otomatik cihazlar kullanılarak veya doğrudan bir kişi tarafından gerçekleştirilebilir. Süreç diyagramı aslında bir dizi özel komuttan oluşur; algoritma. Her komutun özü (açıklaması), ona eşlik eden tek bir yararlı sürecin bütünlüğüdür. zararlı süreçler ve bir dizi gerekli kontrol süreci. Böyle bir algoritmada, destekleyici süreçler kümesi düzenli bir alt rutindir ve burada ayrıca bir fraktal keşfederiz. Çeyrek yüzyıl önce oluşturulan R. Koller'in yöntemi, yalnızca 12 çift işlevden (süreçten) oluşan oldukça sınırlı bir diziye sahip sistemler oluşturmayı mümkün kılıyor.

Matematikte alışılmadık özelliklere sahip kendine benzer kümeler

Başlangıç XIX sonu yüzyılda klasik analiz açısından patolojik özelliklere sahip kendine benzer nesnelerin örnekleri matematikte karşımıza çıkmaktadır. Bunlar aşağıdakileri içerir:

Cantor kümesi hiçbir yerde yoğun sayılamayan mükemmel bir kümedir. Prosedürü değiştirerek, hiçbir yerde yoğun olmayan bir pozitif uzunluk seti de elde edilebilir.

Sierpinski üçgeni ("masa örtüsü") ve Sierpinski halısı, düzlemde yer alan Cantor'un analoglarıdır.

Menger'in süngeri, Cantor'un üç boyutlu uzaydaki setinin bir benzeridir;

Weierstrass ve Van der Waerden örnekleri hiçbir yerde ayırt edilemiyor sürekli fonksiyon.

Koch eğrisi - kendisiyle kesişmeyen sürekli eğri sonsuz uzunluk, herhangi bir noktada teğetinin olmaması;

Peano eğrisi karenin tüm noktalarından geçen sürekli bir eğridir.

Bir Brown parçacığının yörüngesi de hiçbir yerde 1 olasılıkla türevlenemez.

Hausdorff boyutu ikidir

Fraktal eğriler elde etmek için yinelemeli prosedür

Bir düzlemde fraktal eğriler elde etmek için basit bir özyinelemeli prosedür vardır. Jeneratör adı verilen, sınırlı sayıda bağlantıya sahip keyfi bir kesikli çizgi tanımlayalım. Daha sonra içindeki her parçayı bir jeneratörle (daha doğrusu jeneratöre benzer kesikli bir çizgiyle) değiştirelim. Ortaya çıkan kesikli çizgide yine her segmenti bir jeneratörle değiştiriyoruz. Sonsuza kadar devam edersek limitte fraktal bir eğri elde ederiz. Sağdaki şekil Koch eğrisi için bu prosedürün ilk dört adımını göstermektedir.

Bu tür eğrilerin örnekleri şunlardır:

ejderha Eğrisi,

Koch eğrisi (Koch kar tanesi),

Lewy Eğrisi,

Minkowski eğrisi,

Hilbert eğrisi,

Bir ejderhanın kırık (eğrisi) (Harter-Haithway Fraktal),

Peano eğrisi.

Benzer bir prosedür kullanılarak Pisagor ağacı elde edilir.

Fraktallar gibi sabit noktalar kasılma eşlemeleri

Kendine benzerlik özelliği matematiksel olarak tam olarak aşağıdaki gibi ifade edilebilir. Düzlemin daralmalı haritalamaları olsun. Düzlemin tüm kompakt (kapalı ve sınırlı) alt kümelerinin kümesi üzerinde aşağıdaki eşlemeyi göz önünde bulundurun:

Haritalamanın kompakta kümesi üzerinde Hausdorff metriği ile bir daralma haritalaması olduğu gösterilebilir. Dolayısıyla Banach teoremine göre bu eşlemenin tek bir sabit noktası vardır. Bu sabit nokta bizim fraktalımız olacak.

Yukarıda açıklanan fraktal eğrilerin elde edilmesine yönelik yinelemeli prosedür, bu yapının özel bir durumudur. İçindeki tüm eşlemeler benzerlik eşlemeleridir ve jeneratör bağlantılarının sayısıdır.

Sierpinski üçgeni ve haritası için , merkezleri düzgün bir üçgenin köşelerinde olan ve katsayısı 1/2 olan homotetiklerdir. Sierpinski üçgeninin sergilendiğinde kendine dönüştüğünü görmek kolaydır.

Eşlemelerin katsayılı benzerlik dönüşümleri olması durumunda, fraktalın boyutu (bazı ek teknik koşullar altında) denklemin çözümü olarak hesaplanabilir. Böylece Sierpinski üçgeni için şunu elde ederiz: .

Aynı Banach teoremine göre, herhangi bir kompakt kümeyle başlayıp haritanın yinelemelerini ona uygulayarak, fraktalımıza (Hausdorff metriği anlamında) yakınsak bir dizi kompakt küme elde ederiz.

Karmaşık dinamiklerde fraktallar

Julia seti

Başka bir Julia seti

Doğrusal olmayan dinamik sistemler incelenirken fraktallar doğal olarak ortaya çıkar. En çok çalışılan durum, dinamik bir sistemin düzlemde bir karmaşık değişkenin bir polinomunun veya holomorfik fonksiyonunun yinelemeleri ile tanımlanmasıdır. Bu alandaki ilk çalışmalar 20. yüzyılın başlarına kadar uzanıyor ve Fatou ve Julia isimleriyle ilişkilendiriliyor.

İzin vermek F(z) - polinom, z 0 karmaşık bir sayıdır. Aşağıdaki sırayı göz önünde bulundurun: z 0 , z 1 =F(z 0), z 2 =F(F(z 0)) = F(z 1),z 3 =F(F(F(z 0)))=F(z 2), …

Biz bu dizinin davranışıyla ilgileniyoruz N sonsuza kadar. Bu sıra şunları yapabilir:

sonsuzluk için çabala

nihai sınır için çabalamak

limitte döngüsel davranış sergiler, örneğin: z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …

düzensiz davranırlar, yani bahsedilen üç davranış türünden hiçbirini göstermezler.

Değer kümeleri z Dizinin belirli bir tür davranış sergilediği ve farklı türler arasında birden fazla çatallanma noktası sergilediği 0, genellikle fraktal özelliklere sahiptir.

Dolayısıyla Julia kümesi polinom için çatallanma noktaları kümesidir. F(z)=z 2 +C(veya başka bir benzer işlev), yani bu değerler z 0 bunun için dizinin davranışı ( z N) keyfi küçük değişikliklerle çarpıcı biçimde değişebilir z 0 .

Fraktal kümeler elde etmek için başka bir seçenek de polinoma bir parametre eklemektir. F(z) ve dizinin ( z N) sabit bir noktada belirli bir davranış sergiler z 0. Dolayısıyla Mandelbrot kümesi hepsinin kümesidir, bunun için ( z N) İçin F(z)=z 2 +C Ve z 0 sonsuza gitmez.

Bir diğer ünlü örnek Newton'un havuzları bu türdendir.

Karşılık gelen dinamik sistemlerin davranışına bağlı olarak düzlem noktalarını renklendirerek karmaşık dinamiklere dayalı güzel grafik görüntüler oluşturmak popülerdir. Örneğin Mandelbrot setini tamamlamak için noktaları aspirasyon hızına göre renklendirebilirsiniz ( z N) sonsuza kadar (örneğin en küçük sayı olarak tanımlanır) N, hangi noktada | z N| sabit bir büyük değeri aşacak A.

Biyomorflar karmaşık dinamikler üzerine inşa edilmiş ve canlı organizmaları anımsatan fraktallardır.

Stokastik fraktallar

Julia setine dayalı rastgele fraktal

Doğal nesneler genellikle fraktal bir şekle sahiptir. Stokastik (rastgele) fraktallar bunları modellemek için kullanılabilir. Stokastik fraktallara örnekler:

düzlemde ve uzayda Brown hareketinin yörüngesi;

Bir düzlemde Brown hareketinin yörüngesinin sınırı. 2001 yılında Lawler, Schramm ve Werner, Mandelbrot'un boyutunun 4/3 olduğu hipotezini kanıtladılar.

Schramm-Löwner evrimleri, istatistiksel mekaniğin kritik iki boyutlu modellerinde, örneğin Ising modelinde ve süzülmede ortaya çıkan, uyumlu olarak değişmez fraktal eğrilerdir.

çeşitli tipteki rastgele fraktallar, yani her adımda rastgele bir parametrenin dahil edildiği yinelemeli bir prosedür kullanılarak elde edilen fraktallar. Plazma böyle bir fraktalın kullanımına bir örnektir. bilgisayar grafikleri.

Doğada

Trakea ve bronşların önden görünümü

Bronş ağacı

Kan damarları ağı

Başvuru

Doğa bilimleri

Fizikte fraktallar, türbülanslı sıvı akışı gibi doğrusal olmayan süreçleri modellerken doğal olarak ortaya çıkar. karmaşık süreçler difüzyon-adsorpsiyon, alevler, bulutlar vb. Fraktallar, örneğin petrokimyada gözenekli malzemelerin modellenmesinde kullanılır. Biyolojide popülasyonları modellemek ve iç organ sistemlerini (kan damarı sistemi) tanımlamak için kullanılırlar.

Radyo mühendisliği

Fraktal antenler

Anten cihazlarının tasarımında fraktal geometrinin kullanımı ilk olarak, daha sonra binalara harici anten kurulumunun yasak olduğu Boston şehir merkezinde yaşayan Amerikalı mühendis Nathan Cohen tarafından kullanıldı. Nathan alüminyum folyodan bir Koch eğrisi şekli kesip bunu bir kağıt parçasına yapıştırdı ve ardından alıcıya yapıştırdı. Cohen kendi şirketini kurdu ve seri üretime başladı.

Bilişim

Görüntü sıkıştırma

Ana makale: Fraktal sıkıştırma algoritması

Fraktal ağaç

Fraktallar kullanan görüntü sıkıştırma algoritmaları vardır. Bunlar, görüntünün kendisi yerine, bu görüntünün (veya yakın bir görüntünün) sabit bir nokta olduğu bir sıkıştırma haritasının saklanabileceği fikrine dayanmaktadır. Bu algoritmanın varyantlarından biri kullanıldı [ kaynak belirtilmedi 895 gün] ansiklopedisini yayınlarken Microsoft tarafından, ancak yaygın bu algoritmalar alınmadı.

Bilgisayar grafikleri

Başka bir fraktal ağaç

Fraktallar bilgisayar grafiklerinde ağaçlar, çalılar, dağ manzaraları, deniz yüzeyleri vb. doğal nesnelerin görüntülerini oluşturmak için yaygın olarak kullanılır. Fraktal görüntüler oluşturmak için kullanılan birçok program vardır, bkz. Fraktal Jeneratör (program).

Merkezi olmayan ağlar

Netsukuku ağındaki IP adresi atama sistemi, ağ düğümleri hakkındaki bilgileri kompakt bir şekilde depolamak için fraktal bilgi sıkıştırma ilkesini kullanır. Netsukuku ağındaki her düğüm, komşu düğümlerin durumu hakkında yalnızca 4 KB bilgi depolarken, herhangi bir yeni düğüm, örneğin IP adreslerinin dağıtımının merkezi olarak düzenlenmesine gerek kalmadan ortak ağa bağlanır. İnternet. Böylece, fraktal bilgi sıkıştırma ilkesi, tamamen merkezi olmayan ve dolayısıyla tüm ağın en istikrarlı çalışmasını garanti eder.

Sıklıkla parlak keşifler Bilimde mükemmelleştirilmiş, hayatımızı kökten değiştirebilir. Örneğin aşının icadı birçok insanı kurtarabilir ama yeni silahların yaratılması cinayete yol açar. Kelimenin tam anlamıyla dün (tarih ölçeğinde) insan elektriği "evcilleştirdi" ve bugün artık onsuz hayatını hayal edemiyor. Ancak hayatımız üzerinde şu ya da bu etkiye sahip olmasına rağmen, dedikleri gibi gölgede kalan keşifler de var. Bu keşiflerden biri de fraktaldı. Çoğu insan bu kavramı hiç duymamıştır ve anlamını açıklayamayacaktır. Bu yazıda fraktalın ne olduğu sorusunu anlamaya çalışacağız ve bu terimin anlamını bilim ve doğa perspektifinden ele alacağız.

Kaos içinde düzen

Fraktalın ne olduğunu anlamak için, bilgilendirmeye matematiğin konumundan başlamalıyız, ancak onu derinlemesine incelemeden önce biraz felsefe yapacağız. Her insanın öğrendiği doğal bir merakı vardır. etrafımızdaki dünya. Çoğu zaman bilgi arayışında kararlarında mantığı kullanmaya çalışır. Böylece çevresinde meydana gelen süreçleri analiz ederek ilişkileri hesaplamaya ve belirli kalıplar çıkarmaya çalışır. En çok büyük beyinler gezegenler bu sorunları çözmekle meşgul. Kabaca söylemek gerekirse, bilim adamlarımız hiçbir şeyin olmadığı ve olmaması gereken kalıplar arıyorlar. Ancak kaosta bile belirli olaylar arasında bir bağlantı vardır. Bu bağlantı fraktalın ta kendisidir. Örnek olarak yol üzerinde duran kırık bir dalı düşünün. Yakından baktığımızda tüm dalları ve ince dallarıyla kendisinin bir ağaca benzediğini görürüz. Ayrı bir parçanın tek bir bütünle bu benzerliği, özyinelemeli kendine benzerlik ilkesi olarak adlandırılan ilkeyi gösterir. Fraktallar doğada her yerde bulunabilir, çünkü birçok inorganik ve organik form benzer şekilde oluşur. Bunlar bulutlar, deniz kabukları, salyangoz kabukları, ağaç taçları ve hatta dolaşım sistemi. Bu liste sonsuza kadar devam edebiliriz. Tüm bu rastgele şekiller fraktal bir algoritmayla kolayca tanımlanır. Şimdi kesin bilimler açısından fraktalın ne olduğunu düşünmeye geldik.

Bazı kuru gerçekler

"Fraktal" kelimesinin kendisi Latince'den "kısmi", "bölünmüş", "parçalanmış" olarak çevrilmiştir ve bu terimin içeriğine gelince, böyle bir formülasyon yoktur. Genellikle mikro düzeyde kendi yapısını tekrar eden, kendine benzeyen bir küme, bütünün bir parçası olarak yorumlanır. Bu terim, yirminci yüzyılın yetmişli yıllarında, bugün fraktal kavramının babası olarak tanınan Benoit Mandelbrot tarafından icat edildi. grafik görüntü Büyütüldüğünde kendisine benzer olacak belirli bir yapı. Ancak bu teorinin yaratılmasının matematiksel temeli Mandelbrot'un doğumundan önce atılmıştı, ancak elektronik bilgisayarlar ortaya çıkana kadar gelişemedi.

Tarihsel arka plan veya Her şey nasıl başladı?

19. ve 20. yüzyılların başında fraktalların doğasına ilişkin çalışmalar düzensizdi. Bu, matematikçilerin temel alınarak çalışılabilecek nesneleri çalışmayı tercih etmesiyle açıklanmaktadır. genel teoriler ve yöntemler. 1872'de Alman matematikçi K. Weierstrass, hiçbir yerde türevi alınamayan sürekli bir fonksiyonun örneğini oluşturdu. Ancak bu yapının tamamen soyut ve algılanması zor olduğu ortaya çıktı. Daha sonra, 1904'te hiçbir yerde teğeti olmayan sürekli bir eğri oluşturan İsveçli Helge von Koch geldi. Çizilmesi oldukça kolaydır ve fraktal özelliklere sahip olduğu ortaya çıkar. Bu eğrinin varyantlarından birine yazarının adı verilmiştir: “Koch kar tanesi”. Şekillerin kendine benzerliği fikri daha da geliştirildi. gelecekteki akıl hocası B. Mandelbrot Fransız Paul Levy. 1938'de "Bütüne benzer parçalardan oluşan düzlem ve uzaysal eğriler ve yüzeyler" makalesini yayınladı. İçinde anlattı yeni görünüm- Levi'nin C eğrisi. Yukarıdaki şekillerin tümü geleneksel olarak geometrik fraktallar olarak sınıflandırılır.

Dinamik veya cebirsel fraktallar

İLE bu sınıf Mandelbrot kümesini ifade eder. Bu yöndeki ilk araştırmacılar Fransız matematikçiler Pierre Fatou ve Gaston Julia. 1918'de Julia, rasyonel teorilerin yinelemeleri üzerine yapılan çalışmaya dayanan bir makale yayınladı. karmaşık işlevler. Burada Mandelbrot kümesiyle yakından ilişkili bir fraktal ailesini tanımladı. Buna rağmen bu iş Yazarı matematikçiler arasında yüceltti, hızla unutuldu. Ve sadece yarım yüzyıl sonra, bilgisayarlar sayesinde Julia'nın çalışmaları ikinci bir hayata kavuştu. Bilgisayarlar, matematikçilerin “görebildiği” fraktallar dünyasının güzelliğini ve zenginliğini, fonksiyonlar aracılığıyla görüntüleyerek her insana görünür kılmayı mümkün kıldı. Mandelbrot, bu rakamların görüntüsünü oluşturmayı mümkün kılan hesaplamaları (böyle bir hacim manuel olarak yapılamaz) gerçekleştirmek için bilgisayar kullanan ilk kişiydi.

Uzaysal hayal gücüne sahip bir kişi

Mandelbrot başladı bilimsel kariyer V araştırma merkezi IBM. Veri aktarımı olanaklarını araştırmak uzun mesafeler bilim insanları bu gerçekle karşı karşıya büyük kayıplar gürültü girişimi nedeniyle ortaya çıktı. Benoit bu sorunu çözmenin yollarını arıyordu. Ölçüm sonuçlarına bakarken garip bir model fark etti: gürültü grafikleri farklı zaman ölçeklerinde aynı görünüyordu.

Hem bir gün hem de yedi gün veya bir saat boyunca benzer bir tablo gözlendi. Benoit Mandelbrot'un kendisi de formüllerle çalışmadığını, resimlerle oynadığını sık sık tekrarladı. Bu bilim adamı farklıydı yaratıcı düşünme, herhangi cebirsel problem doğru cevabın belli olduğu geometrik bölgeye tercüme etti. Dolayısıyla zengin olması ve fraktal geometrinin babası olması şaşırtıcı değil. Sonuçta bu figürün farkındalığı ancak çizimleri incelediğinizde ve deseni oluşturan bu tuhaf girdapların anlamını düşündüğünüzde ortaya çıkabilir. Fraktal desenler aynı öğelere sahip değildir ancak her ölçekte benzerdirler.

Julia-Mandelbrot

Bu figürün ilk çizimlerinden biri, Gaston Julia'nın çalışmasından doğan ve Mandelbrot tarafından daha da geliştirilen setin grafik yorumuydu. Gaston, bir döngü boyunca yinelenen basit bir formül temelinde oluşturulmuş bir kümenin neye benzediğini hayal etmeye çalıştı. geri bildirim. Ne söylendiğini açıklamaya çalışalım insan dili tabiri caizse parmaklarda. Belirli bir şey için sayısal değer formülü kullanarak yeni değeri buluyoruz. Formülde yerine koyarsak aşağıdakini buluruz. Sonuç büyük bir kümedir. Böyle bir kümeyi temsil etmek için bu işlemi gerçekleştirmeniz gerekir. büyük miktar kez: yüzlerce, binlerce, milyonlarca. Benoit'in yaptığı da buydu. Sırayı işleyip sonuçları aktardı. grafik formu. Daha sonra ortaya çıkan şekli renklendirdi (her renk bir şeye karşılık gelir). belli bir sayı yinelemeler). Bu grafik görüntüye “Mandelbrot fraktal” adı verildi.

L. Carpenter: doğanın yarattığı sanat

Fraktal teorisi hızla pratik uygulama buldu. Kendine benzeyen görüntülerin görselleştirilmesiyle çok yakından ilgili olduğundan, bunları oluşturmak için ilke ve algoritmaları ilk benimseyen kişidir. sıradışı şekiller, sanatçı oldu. Bunlardan ilki, Pixar stüdyosunun gelecekteki kurucusu Lauren Carpenter'dı. Uçak prototiplerinin sunumu üzerinde çalışırken, dağların görüntüsünü arka plan olarak kullanma fikri aklına geldi. Günümüzde hemen hemen her bilgisayar kullanıcısı bu tür bir görevin üstesinden gelebilmektedir ancak geçtiğimiz yüzyılın yetmişli yıllarında bilgisayarlar bu tür işlemleri gerçekleştiremiyordu çünkü o dönemde grafik editörleri veya üç boyutlu grafiklere yönelik uygulamalar yoktu. Ve sonra Loren, Mandelbrot'un "Fraktallar: Form, Rastgelelik ve Boyut" kitabıyla karşılaştı. Benoit bu kitapta fraktalların doğada var olduğunu (fyva) gösteren birçok örnek verdi, onların çeşitli şekillerini tanımladı ve bunların kolayca tanımlanabileceğini kanıtladı. matematiksel ifadeler. Matematikçi, bu benzetmeyi meslektaşlarından gelen eleştiri yağmuruna yanıt olarak geliştirdiği teorinin kullanışlılığına dair bir argüman olarak gösterdi. Bir fraktalın sadece olduğunu savundular güzel resim Hiçbir değeri olmayan, emeğin yan ürünü olan elektronik makineler. Carpenter bu yöntemi pratikte denemeye karar verdi. Kitabı dikkatlice inceledikten sonra, geleceğin animatörü fraktal geometriyi bilgisayar grafiklerinde uygulamanın bir yolunu aramaya başladı. Dağ manzarasının tamamen gerçekçi bir görüntüsünü bilgisayarında oluşturması yalnızca üç gününü aldı. Ve bugün bu prensip yaygın olarak kullanılmaktadır. Görünüşe göre fraktallar oluşturmak fazla zaman ve çaba gerektirmiyor.

Carpenter'ın çözümü

Lauren'ın kullandığı prensip basitti. Büyük olanları küçük öğelere, benzer olanları da daha küçük öğelere vb. bölmekten oluşur. Marangoz, büyük üçgenler kullanarak bunları 4 küçük üçgene böldü ve gerçekçi bir dağ manzarası elde edene kadar böyle devam etti. Böylece gerekli görüntüyü oluşturmak için bilgisayar grafiklerinde fraktal algoritmayı kullanan ilk sanatçı oldu. Günümüzde bu prensip çeşitli gerçekçi doğal formların taklit edilmesinde kullanılmaktadır.

Fraktal algoritma kullanan ilk 3 boyutlu görselleştirme

Lauren birkaç yıl içinde gelişmelerini uygulamaya koydu. büyük ölçekli proje- 1980'de Siggraph'ta gösterilen animasyonlu video Vol Libre. Bu video birçok kişiyi şok etti ve yaratıcısı Lucasfilm'de çalışmaya davet edildi. Burada animatör tam potansiyelini gerçekleştirmeyi başardı; "Star Trek" adlı uzun metrajlı film için üç boyutlu manzaralar (tüm bir gezegen) yarattı. Herhangi modern program(“Fraktallar”) veya bir 3 boyutlu grafik uygulaması (Terragen, Vue, Bryce), dokuları ve yüzeyleri modellemek için aynı algoritmayı kullanır.

Tom Beddard

Eskiden lazer fizikçisi, şimdi ise dijital sanatçı ve sanatçı olan Beddard, Fabergé fraktalları adını verdiği çok sayıda ilgi çekici geometrik şekil yarattı. Dıştan bakıldığında, bir Rus kuyumcunun dekoratif yumurtalarına benziyorlar; aynı parlak, karmaşık desene sahipler. Beddard, modellerin dijital görüntülerini oluşturmak için bir şablon yöntemi kullandı. Ortaya çıkan ürünler güzellikleriyle hayrete düşürüyor. Birçoğu ürünü karşılaştırmayı reddetse de kendi emeğiyle Bir bilgisayar programıyla yapılıyor ancak ortaya çıkan formların son derece güzel olduğunu kabul etmek gerekiyor. Önemli olan, herkesin WebGL yazılım kütüphanesini kullanarak böyle bir fraktal oluşturabilmesidir. Çeşitli fraktal yapıları gerçek zamanlı olarak keşfetmenizi sağlar.

Doğadaki fraktallar

Çok az insan dikkat ediyor ama bunlar inanılmaz rakamlar her yerde mevcuttur. Doğa kendisinden yaratılmıştır benzer rakamlar ama biz bunu fark etmiyoruz. Büyüteçle derimize veya bir ağacın yaprağına bakmamız yeterli, fraktalları göreceğiz. Veya örneğin bir ananas veya hatta bir tavus kuşunun kuyruğunu alın - benzer figürlerden oluşurlar. Ve Romanescu brokoli çeşidi genel olarak görünümüyle dikkat çekicidir çünkü ona gerçekten bir doğa mucizesi denilebilir.

Müzik molası

Görünüşe göre fraktallar sadece geometrik şekiller, aynı zamanda ses de olabilirler. Böylece müzisyen Jonathan Colton fraktal algoritmalar kullanarak müzik yazıyor. Doğal uyuma karşılık geldiğini iddia ediyor. Besteci, tüm eserlerini, eserlerin başkalarına ücretsiz olarak dağıtılmasını, kopyalanmasını ve aktarılmasını sağlayan CreativeCommons Atıf-Ticari Olmayan lisansı altında yayınlamaktadır.

Fraktal gösterge

Bu teknik çok beklenmedik bir uygulama buldu. Temelinde borsa piyasasını analiz etmek için bir araç oluşturuldu ve sonuç olarak Forex piyasasında kullanılmaya başlandı. Günümüzde fraktal gösterge tüm işlem platformlarında bulunmakta ve fiyat kırma adı verilen bir işlem tekniğinde kullanılmaktadır. Bu teknik Bill Williams tarafından geliştirilmiştir. Yazarın buluşu hakkında yorum yaptığı gibi, bu algoritma merkezi olanın maksimum veya tersine minimum uç noktayı yansıttığı birkaç "mum" un birleşimidir.

Sonuç olarak

Fraktalın ne olduğuna baktık. Görünüşe göre bizi çevreleyen kaosun içinde gerçekten de var mükemmel şekiller. Doğa en iyi mimar, ideal inşaatçı ve mühendis. Çok mantıklı bir şekilde düzenlenmiştir ve eğer bir model bulamazsak, bu onun var olmadığı anlamına gelmez. Belki farklı bir boyuttan bakmamız gerekiyor. Fraktalların hâlâ keşfetmediğimiz pek çok sır barındırdığını rahatlıkla söyleyebiliriz.

Fraktalların tüm çeşitliliğini sunmak için genel kabul görmüş sınıflandırmalarına başvurmak uygundur.

2.1 Geometrik fraktallar

Bu sınıfın fraktalları en görsel olanlardır. İki boyutlu durumda, bunlar bazı kesikli çizgiler (veya üç boyutlu durumda yüzey) kullanılarak elde edilir. jeneratör. Algoritmanın bir adımında sürekli çizgiyi oluşturan bölümlerin her biri, uygun ölçekte bir jeneratör sürekli çizgisiyle değiştirilir. Bu işlemin sonsuz tekrarı sonucunda geometrik bir fraktal elde edilir.

Şekil 1. Koch üçlü eğrisinin yapısı.

Bu fraktal nesnelerden birini, yani üçlü Koch eğrisini ele alalım. Eğrinin yapımı birim uzunluktaki bir bölümle başlar (Şekil 1) - bu Koch eğrisinin 0. neslidir. Daha sonra her bir bağlantı (sıfır nesildeki bir segment) şu şekilde değiştirilir: biçimlendirici unsurŞekil 1'de belirtilen n=1. Bu değiştirmenin sonucunda Koch eğrisinin yeni nesli elde edilir. 1. nesilde bu, her biri uzunlukta olan dört düz bağlantıdan oluşan bir eğridir. 1/3 . 3. nesli elde etmek için aynı eylemler gerçekleştirilir - her bağlantı, azaltılmış bir şekillendirme elemanı ile değiştirilir. Bu nedenle, her bir sonraki nesli elde etmek için, önceki neslin tüm bağlantılarının azaltılmış bir şekillendirme elemanı ile değiştirilmesi gerekir. Eğri N Herhangi bir sonlu için -inci nesil N isminde prefraktal. Şekil 1 eğrinin beş neslini göstermektedir. Şu tarihte: N Koch eğrisi sonsuza yaklaştıkça fraktal bir nesne haline gelir.

Şekil 2. Harter-Haithway "ejderhasının" inşası.

Başka bir fraktal nesne elde etmek için yapım kurallarını değiştirmeniz gerekir. Şekillendirme elemanının dik açılarla birbirine bağlanmış iki eşit parça olmasına izin verin. Sıfır nesilde yerini alacağız birim segmenti köşe üstte olacak şekilde bu şekillendirme elemanının üzerine yerleştirin. Böyle bir değişiklikle bağlantının ortasının yer değiştirmesi olduğunu söyleyebiliriz. Sonraki nesilleri inşa ederken kural izlenir: soldaki ilk bağlantı, bağlantının ortası hareket yönünün soluna kaydırılacak şekilde bir şekillendirme elemanı ile değiştirilir ve sonraki bağlantıları değiştirirken, bağlantıların yönleri segmentlerin ortalarının yer değiştirmesi değişmeli. Şekil 2, yukarıda açıklanan prensibe göre oluşturulan eğrinin ilk birkaç neslini ve 11. neslini göstermektedir. Fraktal eğriyi sınırla ( N sonsuza yönelme) denir Harter-Haithway'in ejderhası .

İÇİNDE makine grafikleri Ağaçların, çalıların ve kıyı şeridinin görüntülerini elde ederken geometrik fraktalların kullanılması gereklidir. İki boyutlu geometrik fraktallar, üç boyutlu dokular (bir nesnenin yüzeyindeki desenler) oluşturmak için kullanılır.

2.2 Cebirsel fraktallar

Bu en çok büyük grup fraktallar. Doğrusal olmayan süreçler kullanılarak elde edilirler. N boyutlu uzaylar. İki boyutlu süreçler en çok çalışılanlardır. Doğrusal olmayan yinelemeli bir süreci ayrık bir dinamik sistem olarak yorumlayarak, bu sistemlerin teorisinin terminolojisini kullanabiliriz: faz portresi, istikrarlı süreç, çekici vesaire.

Doğrusal olmayan dinamik sistemlerin birçok kararlı duruma sahip olduğu bilinmektedir. Belirli sayıda yinelemeden sonra dinamik sistemin kendini bulduğu durum, başlangıç durumuna bağlıdır. Bu nedenle, her kararlı durum (veya dedikleri gibi çekici), sistemin mutlaka söz konusu son durumlara düşeceği belirli bir başlangıç durumları bölgesine sahiptir. Böylece sistemin faz uzayı ikiye ayrılır. cazibe alanlarıçekiciler. Faz uzayı iki boyutlu ise çekim alanları farklı renklerle renklendirilerek elde edilebilir. renkli faz portre bu sistem (yinelemeli süreç). Renk seçim algoritmasını değiştirerek tuhaf çok renkli desenlere sahip karmaşık fraktal desenler elde edebilirsiniz. Matematikçiler için bir sürpriz, ilkel algoritmalar kullanarak çok karmaşık, önemsiz olmayan yapılar üretme yeteneğiydi.

Şekil 3. Mandelbrot kümesi.

Örnek olarak Mandelbrot kümesini düşünün (bkz. Şekil 3 ve Şekil 4). Yapım algoritması oldukça basittir ve basit bir yinelemeli ifadeye dayanmaktadır:

Z = Z[Ben] * Z[ben] + C,

Nerede Z ben ve C- karmaşık değişkenler. Her başlangıç noktası için yinelemeler gerçekleştirilir C dikdörtgen veya kare bölge - karmaşık düzlemin bir alt kümesi. Yinelemeli süreç şu ana kadar devam eder: Z[i] merkezi (0,0) noktasında bulunan 2 yarıçaplı dairenin ötesine geçmeyecek (bu, dinamik sistemin çekicisinin sonsuzda olduğu anlamına gelir) veya yeterince fazla sayıda yinelemeden sonra (örneğin, 200-500) Z[i] çember üzerinde bir noktada birleşecek. Tekrarlama sayısına bağlı olarak Z[i] dairenin içinde kaldı, noktanın rengini ayarlayabilirsiniz C(Eğer Z[i] yeterince fazla sayıda yineleme için dairenin içinde kalır, yineleme süreci durur ve bu tarama noktası siyaha boyanır).

Şekil 4. Mandelbrot kümesinin sınırının 200 kat büyütülmüş bir kesiti.

Yukarıdaki algoritma Mandelbrot kümesi olarak adlandırılan kümeye bir yaklaşım verir. Mandelbrot kümesi şu noktaları içerir: sonsuz yinelemelerin sayısı sonsuza gitmez (noktalar siyahtır). Kümenin sınırına ait noktalar (bu, karmaşık yapılar) için sonsuza git son sayı yinelemeler ve kümenin dışında kalan noktalar birkaç yinelemeden sonra (beyaz arka plan) sonsuza gider.

2.3 Stokastik fraktallar

Fraktalların iyi bilinen bir başka sınıfı da stokastik fraktallardır; bunlar, bazı parametrelerinin yinelemeli bir süreçte rastgele değiştirilmesi durumunda elde edilir. Bu durumda ortaya çıkan nesneler doğal olanlara çok benzer: asimetrik ağaçlar, sağlam kıyı şeridi vesaire. Arazi ve deniz yüzeyi modellemesinde iki boyutlu stokastik fraktallar kullanılır.

Fraktalların başka sınıflandırmaları da vardır; örneğin fraktalları deterministik (cebirsel ve geometrik) ve deterministik olmayan (stokastik) olarak ayırmak.

Fraktal örnek

"Fraktal" matematikçiler tarafından yarım asırdan daha kısa bir süre önce kullanılmaya başlandı ve çok geçmeden sinerji ve çekiciyle birlikte genç Deterministik Kaos Teorisinin "üç sütunundan" biri haline geldi ve bugün şimdiden en iyilerden biri olarak kabul ediliyor. Evrenin yapısının temel unsurları.

İLE Latince fractus kelimesi tercüme edilmiştir"kırık" gibi, modern Latin dilleri ona "yırtık" anlamını verdi. Fraktal, parçası olduğu bütünün aynısı/daha büyüğü olan ve aynı zamanda kendisinin her birini kopyalayan bir şeydir. bileşen. Dolayısıyla “fraktallık”, “her şeyin” bileşenlerine olan sonsuz benzerliğidir, yani her düzeyde kendine benzerliktir. Fraktal dalın her düzeyine "yineleme" adı verilir; tanımlanan veya grafiksel olarak gösterilen sistem ne kadar gelişmişse, gözlemci o kadar çok fraktal yineleme görür. Bu durumda, bölünmenin meydana geldiği noktaya (örneğin, bir gövdenin dallara ayrılması, bir nehrin iki akıntıya ayrılması vb.) çatallanma noktası denir.

Fraktus terimi açıklamak için 1975 yılında matematikçi Benoit Mandelbrot tarafından seçilmiştir. bilimsel keşif ve birkaç yıl sonra - Doğanın Fraktal Geometrisi adlı kitabında konuyu daha geniş bir kitleye yönelik geliştirdikten sonra popüler oldu.

Günümüzde fraktal, yaygın olarak "fraktal sanatı" olarak adlandırılan fantastik desenler olarak bilinmektedir. bilgisayar programları. Ancak bir bilgisayarın yardımıyla yalnızca güzel soyut resimler değil, aynı zamanda çok inandırıcı doğal manzaralar da (dağlar, nehirler, ormanlar) oluşturabilirsiniz. Aslında bilimin bilime geçiş noktası da burasıdır. gerçek hayat veya tam tersi, eğer bunları ayırmanın genellikle mümkün olduğunu varsayarsak.

Önemli olan şu ki fraktal prensibi sadece keşifleri tanımlamak için uygun değil kesin bilimler. Bu, her şeyden önce doğanın yapısının ve gelişiminin ilkesidir. Etrafımızdaki her şey fraktaldır! En belirgin örnek grubu, kolları olan nehirler, kılcal damarlı toplardamar sistemi, yıldırımlar, don desenleri, ağaçlar... Son zamanlarda bilim insanları, testler fraktal teori, bir ağacın diyagramına dayanarak bu ağaçların yetiştiği orman alanı hakkında sonuçlar çıkarılabileceğini deneysel olarak doğruladılar. Fraktal grupların diğer örnekleri: atom – molekül – gezegen sistemi – güneş sistemi- galaksiler - evren... Dakika - saat - gün - hafta - ay - yıl - yüzyıl... Hatta insan topluluğu bile kendisini fraktallık ilkelerine göre düzenler: Ben - aile - klan - milliyet - milliyetler - ırklar.. Bireysel - grup - parti - devlet. Çalışan - departman - departman - işletme - endişe... Farklı dinlerin ilahi panteonları bile, Hıristiyanlık da dahil olmak üzere aynı prensip üzerine inşa edilmiştir: Baba Tanrı - Üçlü - azizler - kilise - inananlar, ilahi panteonların organizasyonundan bahsetmeye bile gerek yok. pagan dinleri.

Hikaye kendine benzer kümelerin ilk kez 19. yüzyılda Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff gibi bilim adamlarının çalışmalarında fark edildiğini belirtiyor, ancak gerçek şu ki pagan Slavlar bize insanların bireysel varoluşu küçük bir ayrıntı olarak anladıklarına dair kanıt bıraktılar. evrenin sonsuzluğunda. Bu, Belarus ve Ukrayna'daki sanat tarihçilerinin incelediği bir nesnedir. halk kültürü"örümcek" denir. O bir çeşit heykel prototipi modern tarz"mobil" (parçalar içeride sürekli hareket birbirlerine göre). "Örümcek" genellikle samandan yapılır ve aynı şekilli küçük, orta boydan oluşur. büyük elemanlar Her küçük parça, büyük parçayı ve bir bütün olarak tüm yapıyı tam olarak tekrarlayacak şekilde birbirinden asılır. Bu tasarım sanki kişinin evini tüm dünyanın bir unsuru olarak ifade ediyormuşçasına evin ana köşesine asıldı.

Fraktallık teorisi bugün felsefe de dahil olmak üzere her yerde işe yarar; bu teori, her yaşamda ve bir bütün olarak tüm yaşamın fraktal olduğunu, daha fazla olduğunda "çatallanma noktalarının" meydana geldiğini söyler. yüksek seviyeler gelişme gidebilir farklı şekillerde insanın “kendini bir seçimle karşı karşıya bulduğu” an, hayatının fraktallarındaki asıl “çatallanma noktası”dır.

Deterministik Kaos teorisi, her fraktalın gelişiminin sonsuz olmadığını söylüyor. Bilim adamları, belirli bir anda, yinelemelerin büyümesinin durduğu ve fraktalın "daralmaya" başladığı, yavaş yavaş orijinal birim ölçüsüne ulaştığı ve ardından sürecin tekrar bir daire içine girdiğine - nefes alma ve nefes vermeye benzer şekilde - bir sınır geldiğine inanıyor. Doğada sabah ve gecenin, kış ve yazın değişimleri.

NNN editörleri kazara çok ilginç malzeme, xtsarx kullanıcısının blogunda sunulmuştur, teorinin unsurlarına ayrılmıştır fraktallar ve o pratik uygulama. Bilindiği gibi fraktal teorisi bundan çok uzaktır. son rol Nanosistemlerin fiziği ve kimyası. Herkesin erişebileceği bir dilde sunulan bu iyi materyale katkıda bulunarak geniş aralık Bol miktarda grafik ve hatta video materyalle desteklenen okuyucularımızın dikkatine sunuyoruz. NNN okuyucularının bu materyali ilginç bulacağını umuyoruz.

Doğa o kadar gizemli ki, onu ne kadar çok incelerseniz o kadar çok soru ortaya çıkıyor... Gece şimşekleri - dallanan deşarjların mavi "jetleri", penceredeki ayaz desenler, kar taneleri, dağlar, bulutlar, ağaç kabuğu - bunların hepsi olağanın ötesine geçiyor Öklid geometrisi. Bir kayayı ya da bir adanın sınırlarını düz çizgilerle, dairelerle, üçgenlerle anlatamayız. Ve burada yardımımıza geliyorlar fraktallar. Bu tanıdık yabancılar neler?

"Mikroskop altında pire üzerinde şunu keşfetti:
Hayatları ısıran bir pire;
O pirenin üzerinde minik bir pire var,
Bir diş öfkeyle pireyi deler
Pire ve böylece sonsuza kadar.” D. Swift.

Biraz tarih

İlk fikirler fraktal geometri 19. yüzyılda ortaya çıktı. Cantor, basit bir özyinelemeli (tekrarlayan) prosedür kullanarak, çizgiyi bağlantısız noktalardan oluşan bir koleksiyona (Cantor Tozu olarak adlandırılan) dönüştürdü. Bir çizgi alıp ortadaki üçte birlik kısmı kaldırıyor ve ardından aynı işlemi geri kalan bölümlerle tekrarlıyordu.

Pirinç. 1. Peano eğrisi 1,2–5 yineleme.

Peano berabere kaldı özel türçizgiler. Peano şunları yaptı:: İlk adımda düz bir çizgi aldı ve onun yerine orijinal çizginin uzunluğundan 3 kat daha kısa 9 parça koydu. Daha sonra ortaya çıkan çizginin her bölümü için aynısını yaptı. Ve bu sonsuza kadar devam edecek. Benzersizliği tüm düzlemi doldurmasıdır. Düzlemdeki her noktaya karşılık bir noktanın bulunabileceği kanıtlanmıştır. çizgiye ait Peano. Peano'nun eğrisi ve Cantor'un tozu sıradan geometrik nesnelerin ötesine geçti. Net bir boyutları yoktu. Cantor'un tozu tek boyutlu bir düz çizgi temelinde inşa edilmiş gibi görünüyordu, ancak noktalardan (boyut 0) oluşuyordu. Ve Peano eğrisi tek boyutlu bir çizgiye dayanarak oluşturuldu ve sonuç bir düzlemdi. Bilimin diğer birçok alanında, çözümleri yukarıda açıklananlara benzer garip sonuçlara (Brown hareketi, hisse senedi fiyatları) yol açan sorunlar ortaya çıktı. Her birimiz bu işlemi yapabiliriz...

Fraktalların Babası

20. yüzyıla kadar bu tür veriler garip nesneler, onları sistemleştirmeye yönelik herhangi bir girişimde bulunmadan. Ben onları işe alana kadar öyleydi Benoit Mandelbrot – modern fraktal geometrinin ve fraktal kelimesinin babası.

Pirinç. 2. Benoit Mandelbrot.

IBM'de matematik analisti olarak çalışırken gürültü üzerine çalıştı. elektronik devreler istatistikler kullanılarak tanımlanamayan. Gerçekleri yavaş yavaş karşılaştırarak matematikte yeni bir yön keşfetmeye başladı: fraktal geometri.

“Fraktal” terimi 1975 yılında B. Mandelbrot tarafından tanıtıldı. Mandelbrot'a göre, fraktal(Latince “fractus”tan - kesirli, kırık, kırık) denir Bütüne benzer parçalardan oluşan yapı. Kendine benzerlik özelliği, fraktalları klasik geometri nesnelerinden keskin bir şekilde ayırır. Terim kendine benzerlik araç Nesnenin hem en küçük ölçeklerinde hem de makro ölçekte ince, tekrar eden bir yapının varlığı.

Pirinç. 3. “Fraktal” kavramının tanımına doğru.

Kendi kendine benzerliğe örnekler:: Koch, Levy, Minkowski eğrileri, Sierpinski üçgeni, Menger süngeri, Pisagor ağacı vb.

İLE matematiksel nokta görüş, fraktal- bu, her şeyden önce, kesirli (ara, “tamsayı değil”) boyuta sahip küme. Pürüzsüz bir Öklid çizgisi tek boyutlu uzayı tam olarak doldururken, fraktal bir eğri tek boyutlu uzayın sınırlarının ötesine uzanarak iki boyutlu uzayın sınırlarını aşıyor. Böylece Koch eğrisinin fraktal boyutu 1 ile 2 arasında olacaktır. Bu, her şeyden önce şu anlama gelir: Fraktal bir nesne için uzunluğunu doğru bir şekilde ölçmek imkansızdır! Bu geometrik fraktallardan ilki çok ilginç ve oldukça ünlüdür. Koch'un kar tanesi.

Pirinç. 4. “Fraktal” kavramının tanımına doğru.

Temel üzerine inşa edilmiştir eşkenar üçgen . Her satırı, her biri orijinal uzunluğunun 1/3'ü olan 4 satırla değiştirilir. Böylece her yinelemede eğrinin uzunluğu üçte bir oranında artar. Ve eğer yaparsak sonsuz sayı tekrarlar - bir fraktal elde ederiz - sonsuz uzunlukta bir Koch kar tanesi. Sonsuz eğrimizin kapsadığı ortaya çıktı sınırlı alan. Öklid geometrisindeki yöntemleri ve rakamları kullanarak aynısını yapmaya çalışın.
Koch kar tanesi boyutu(Kar tanesi 3 kat arttığında uzunluğu 4 kat artar) D=log(4)/log(3)=1.2619.

Fraktalın kendisi hakkında

Fraktallar bilim ve teknolojide giderek daha fazla uygulama buluyor. Bunun temel nedeni, gerçek dünyayı bazen geleneksel fizik veya matematikten bile daha iyi tanımlamalarıdır. Doğadaki fraktal nesnelere sonsuz sayıda örnek verebilirsiniz - bunlar bulutlar, kar taneleri, dağlar, bir şimşek çakması ve son olarak karnabahardır. Fraktal gibi doğal nesne– bu ebedi ve sürekli bir hareket, yeni oluşum ve gelişmedir.

Pirinç. 5. Ekonomide fraktallar.

Ayrıca, Fraktallar merkezi olmayan uygulamalarda uygulama buluyor bilgisayar ağları Ve "fraktal antenler" . "Brown fraktalları" olarak adlandırılanlar çok ilginçtir ve çeşitli stokastik (deterministik olmayan) "rastgele" süreçleri modellemek için umut vericidir. Nanoteknoloji durumunda fraktallar da rol oynuyor önemli rol çünkü hiyerarşik öz-örgütlenmeleri nedeniyle birçok kişi nanosistemlerin tamsayı olmayan bir boyutu vardır yani geometrik, fizikokimyasal veya fonksiyonel doğaları itibarıyla fraktallardır. Örneğin, parlak bir örnek kimyasal fraktal sistemler "dendrimerler" molekülleridir . Ek olarak, fraktallık ilkesi (kendine benzer, ölçeklenen yapı) sistemin hiyerarşik yapısının bir yansımasıdır ve bu nedenle nanosistemlerin yapısını ve özelliklerini tanımlamada standart yaklaşımlardan daha genel ve evrenseldir.

Pirinç. 6. “Dendrimer” molekülleri.

Pirinç. 7. Mimarlık ve inşaat sürecinde iletişimin grafik modeli. Mikro süreçler açısından birinci düzey etkileşim.

Pirinç. 8. Mimarlık ve inşaat sürecinde iletişimin grafik modeli. Makro süreçler açısından ikinci düzey etkileşim (modelin bir parçası).

Pirinç. 9. Mimarlık ve inşaat sürecinde iletişimin grafik modeli. Makro süreçler perspektifinden ikinci düzeyde etkileşim (modelin tamamı)

Pirinç. 10. Grafik modelin düzlemsel gelişimi. İlk homeostatik durum.

Fraktallar ve altın oran "Fraktallar" bölüm 1 "Fraktallar" bölüm 2 "Fraktallar" bölüm 3 "Fraktallar" bölüm 4 "Fraktallar" bölüm 5