Uzunluk kıyı şeridi

Ölçülebilir mi?
Ders kitaplarında uzunluk verme hakkımız var mı?
kıyı şeridi ve utanmayacak mıyız,
Öğrencilerden bu rakamı mı soruyorsunuz?

K.S. LAZAREVİÇ

Coğrafya derslerinde birçok istatistiksel göstergeyle çalışıyoruz. Çoğu çok basit ve net görünüyor: o kadar çok ki milyon insan, şu kadar milyonlarca ton kömür, şu kadar kilometre. Ama eğer bunu düşünmüyorsan durum böyle. Ancak herhangi bir sayıyı daha derine inmeniz gerekir ve bu net olmaktan çıkar. Bazen toz haline gelir. İşte örnekler.
Yakın zamanda satışa çıkan Dünya Atlası'nın açılışını yapıyoruz (M.: Federal State Unitary Enterprise Cartography Production Association, 2003). “Dünyanın eyaletleri ve bölgeleri” tablosunda şunları buluyoruz: “Fransa'nın başkenti Paris'tir (2.125,2 bin nüfuslu). Bir öğrenci sınavda böyle bir rakam verirse sınav görevlisi tatmin olur mu? Sonuçta Paris bunlardan biri en büyük merkezler Avrupa ve St. Petersburg'dan daha az değil. Ancak verilen rakamda bir hata yok: Burası Paris. idari sınırlar Paris şehri. Ve gerçekten yerleşik bir kentsel kümelenmenin sınırları içinde, on milyon dolarlık bir şehir.
Çoğu şey nasıl saydığınıza bağlıdır.
Bu, öğrenciden 2,2 ile 10 arasında herhangi bir sayıyı cevap olarak kabul edebileceğimiz anlamına gelmez; Öğrenci şu veya bu rakamı belirtirken arkasında ne olduğunu, neyin ölçüldüğünü ve nasıl ölçüldüğünü anlamalıdır. Bir milyon ton yüksek kalorili kömür ile kahverengi kömürün milyonları farklıdır. Ama kilometrelerce gibi görünüyordu. Afrika'da da bir kilometre bir kilometredir. Peki kilometrelerle ölçülen şey sorgulanabilir mi? Ancak uzunlukları kilometre cinsinden verirken bile ders kitabının yazarının öncelikle düşünmesi gerektiği ortaya çıktı. Ders kitabı kullanan bir öğretmenin, öğrencilere yayınlamadan ve onlardan ezberlemelerini istemeden önce bir şekli eleştirel analize tabi tutması gerekir. 10. sınıfa yönelik bir ders kitabı okuyoruz: “Kanada’nın üç okyanusa erişimi var ve

Bir haritadaki düzensiz eğriler bir eğrilik ölçer kullanılarak ölçülebilir; bu cihazın tekerleği eğri boyunca yuvarlanır ve her eğriyi dikkatlice kaydeder. Ancak kıyı şeridinin kıvrımlılığı genellikle o kadar fazladır ki, bunu bir eğrimetreyle takip etmek imkansızdır. Bir ölçüm pusulası ile eğri boyunca yürümek zorundasınız. En rahat adım uzunluğu 2 mm'dir. Farklı ölçeklerde bu adım elbette farklı mesafelere karşılık gelir; böyle bir ölçüm asla kesin bir uzunluk vermez, çünkü her adım eğriyi küçük bir bölüm üzerinde düzeltir, ancak bağıl hata az çok korunmuştur.
Örnek olması açısından Chukotka Özerk Okrugu'nun kıyı şeridinin uzunluğunu ölçmeye çalışalım. Rusya Coğrafyası Okul Atlası'ndan bir harita alalım (ölçek 1: 22.000.000) ve iki milimetrelik pusula adımlarıyla (44 km) tüm Çukçi sahilini yürüyelim. Sonuç 4300 km (98 pusula adımı) olacaktır. Ölçek haritasını kullanarak aynı ölçümü yapalım
1: 7.500.000. Burada zaten 345 iki milimetrelik (15 km) adım sayacağız, yani
5.200 km. Haritanın ölçümlerde kullanılması durumunda şunu varsaymak mantıklıdır: daha büyük ölçekteölçülen kıyı şeridi daha da uzun olacaktır.
Bir deney daha yapalım. Leningrad bölgesinin kıyı şeridinin uzunluğu. haritada
1: 22.000.000 - 300 km, haritaya göre 1: 2.500.000 - 555 km, haritaya göre topografik harita
1: 500.000 - 670 km. Aynı zamanda, topografik bir haritadan ölçülen, yalnızca Vyborg Körfezi'nin (kıyıların özellikle koylar ve koylarla girintili çıkıntılı olduğu) kıyı şeridinin uzunluğu 338 km'dir. okul atlası- 65 km (fark daha fazla)
5 kez!).
Böylece ölçülen kıyı şeridinin uzunluğunda ölçek arttıkça doğal bir artış söz konusudur. Bunun nedeni yalnızca pusulanın iki milimetrelik adımının yerde giderek daha küçük bir değere karşılık gelmesi değil, aynı zamanda esas olarak çizginin kendisinin, kilometre cinsinden ölçeğe göre çok doğru bir şekilde ölçülüp dönüştürülse bile gerçekte şu şekilde olmasıdır: daha uzun (Şek. 1) . Leningrad bölgesinin kıyısına yakın Rusya haritasında. Yalnızca Vyborg Körfezi, Neva Körfezi ve Finlandiya Körfezi'nin güney kıyısının küçük kıvrımları görülebilmektedir. 1: 2.500.000 ölçekli bir haritada, Vyborg Körfezi'nin ana hatları zaten oldukça karmaşıktır ve güneyde Koporskaya ve Luga Körfezleri açıkça görülmektedir. Yarım milyon yıllık haritada, Vyborg Körfezi'nde başka birçok küçük koy da var; bunlardan bazıları özel isimler(Baltiets Körfezi, Klyuchevskaya Körfezi) ve sadece güney sahili Finlandiya Körfezi önceki ölçeğe göre çok az değişmiş görünüyor; oradaki kıyı şeridi çok daha az engebeli.

Kıyı şeridinin tam uzunluğu nasıl belirlenir?
İngiliz meteorolog Richardson, memleketi Büyük Britanya'yı test alanı olarak seçerek bu hedefi kendine belirledi. Kıyı şeridi uzunluğunun, bu uzunluğun ölçüldüğü haritanın ölçeği arttıkça arttığı sonucuna varmıştır (Şekil 2). Bu artışın bir sınırı var mı? Zorlu. Denize doğru uzanan her küçük kum çıkıntısı, küçücük bir koy oluşturan her oyuk, suyun çevresinden akan her çakıl taşı kıyı şeridinin uzunluğunu artırır. En büyük ölçekli haritada bile görünmüyorlar ama gerçekte kıyı şeridindeki tüm bu düzensizlikler mevcut.

Matematiksel yöntemlerin kullanımının coğrafi araştırmayı nasıl daha inandırıcı ve daha güvenilir hale getirebileceğini gösteren birçok örnek vardır. Burada tam tersi oldu: coğrafi araştırma - kıyı şeridinin uzunluğunun incelenmesi - yeni bir türün ortaya çıkmasına katkıda bulundu matematiksel kavram. Bu kavramın İngilizce adı fraktaldır, ancak Rusça'da henüz tam olarak çözülmemiştir ve üç versiyonu bulunmaktadır: fraktal(genitif ve enstrümantal vakalar irade fraktal, fraktal), fraktal erkeksi cinsiyette ( fraktal, fraktal) Ve fraktal kadınsı cinsiyette ( fraktallar, fraktal); için son zamanlarda doğru eğiliyor gibi görünüyor.
fraktal
Fraktal, her bir parçası sonsuz derecede karmaşık hale gelen, her parçanın uzunluğu ve tüm çizginin sürekli arttığı bir çizgidir. Bir örnek, genellikle Koch kar tanesi olarak adlandırılan figürdür, ancak bu isim yanlıştır: bu kar tanesi yirminci yüzyılın başında inşa edilmiştir. Helga von Koch ve soyadı reddedilmemeli. Hadi alalım eşkenar üçgen . Her bir kenarı üç eşit parçaya bölelim ve her bir kenarın orta kısmına bir eşkenar üçgen oluşturalım. Sıradan altı köşeli bir yıldız alacaksınız, altı köşeli bir şekil dışbükey köşeler ve altısı geliyor. Her bir kenarını (ve bu kenarlardan 12 tane var) üç eşit parçaya bölelim ve her bir kenarın orta kısmına yine bir eşkenar üçgen oluşturalım. Sonuç, 18 dışbükey ve 30 tekrarlayan açıya sahip 48 kenarlı bir şekil olacaktır. Bu işlemin tekrarlanması kez (bu elbette sadece zihinsel olarak yapılabilir), alanı sürekli artan, ancak giderek daha yavaş, yavaş yavaş belirli bir sınıra yaklaşan bir rakam elde ederiz (Şekil 3). Bu şeklin çevresi sonsuza kadar artar, çünkü ne kadar küçük olursa olsun şeklin kenarına yeni bir eşkenar üçgen oluşturduğumuzda, bu tarafın üç eşit parçasının yerini dört eşit parça alır ve dolayısıyla her bir kenarın uzunluğu (ve dolayısıyla tüm çevre) 4/3 kat artar ve birden büyük olan herhangi bir sayının kuvveti sonsuza eşittir (ve inşaatı sonsuz sayıda yaparız) sonsuza yönelir.

Kar tanesinin sınırı, tüm alanı kaplayan geniş, tüylü bir çizgiye benzer bir şey olacaktır. sınır bölgesi bu rakam. Klasik matematik açısından saçma görünen (çizginin genişliği yoktur ve yüzeyin kalınlığı yoktur) "geniş çizgi", "kalın yüzey" kavramları, fraktal teorisinin gelişmesiyle vatandaşlık hakları kazanmıştır. . Bir çizginin tek boyutlu olduğuna, yalnızca bir uzunluğa sahip olduğuna, üzerindeki bir noktanın konumunun bir koordinat tarafından belirlendiğine inanılıyor; yüzey iki boyutludur, bir alanı vardır, üzerindeki bir noktanın konumu iki koordinatla belirlenir; vücut üç boyutludur, hacmi vardır, üç koordinata ihtiyaç vardır. Ve fraktal teorisi kesirli boyut kavramını ortaya koyuyor: çizgi iki boyutlu olmadı, ancak tek boyutlu olmaktan çıktı. Hazırlıksız bir kişinin bunu anlaması oldukça zordur (bir buçuk kez hapşıramazsınız), ancak kıyı şeridinin nasıl davrandığını hatırlarsak - sadece haritada değil, doğada da, baktığınızda nasıl değiştiğini çömelerek, sonra ayağa kalkarak, sonra bir dağa tırmanarak, sonra bir uçağa veya uzay gemisine binerek, ne hissettiğimizi anlamayacağız. karmaşık sistem
bu satırı temsil eder; Onun için bir özellik kesinlikle yeterli değil - uzunluk. Ve coğrafi araştırmalardan doğan fraktallar teorisi coğrafyanın yardımına koşuyor. Rölyefi fraktal olarak incelemek için bir yöntem henüz geliştirilmedi, ancak kesinlikle umut vaat ediyor. İçindeki rahatlamaya baktığımızda Küçük ölçekli bir haritaya çizdiğimizde sıradağları, yaylaları, derin vadileri görüyoruz. Ortalama ölçekte tepeler, küçük vadiler ve vadiler şimdiden görülmeye başlandı. Daha da büyük; kumdaki tümsekleri ve rüzgar dalgalarını görebilirsiniz. Ancak bu sınır değil: bireysel çakıl taşları ve kum taneleri var. Pratik açıdan tüm bunlar önemlidir çünkü farklı ölçeklerdeki haritalarda tasvir edilecek nesnelerin nasıl doğru şekilde seçileceğini öğrenmeniz gerekir; Harita derleyicilerinin ana hatalarından biri, haritanın içeriği ile ölçeği arasındaki tutarsızlıktır; harita ya az yüklenmiştir ya da aşırı yüklenmiştir.
Peki kıyı şeridinin uzunluğuyla ne yapmalı?
Ölçülemez olduğu için ölçmeyi reddediyor musunuz? Hayır, bu bir seçenek değil. Basitçe, kıyı şeridinin uzunluğunu verirken mutlaka hangi ölçekli haritalarda ve ne şekilde ölçüldüğünü belirtmelisiniz. Ve aynı zamanda şart koşduğunuzdan emin olun, adaların kıyı şeridinin dikkate alınıp alınmadığı. Haritaların ölçeği ve adaların dahil olup olmadığı belirtilmeden kıyı şeridinin uzunluğuna ilişkin veriler anlamsız hale gelir. Maalesef tamamen güvenilir olduğunu iddia eden kaynaklarda bile korkunç saçmalıklar bulunabilir. Örneğin, ünlü CIA web sitesi " Dünya Gerçek kitabı". Burada her ülke ve okyanus için kıyı şeridi verileri veriliyor ancak ölçüm yöntemi belirtilmemiş. Sonuç olarak, Kanada'nın kıyı şeridinin 200 bin km'den fazla, Arktik Okyanusu'nun - 45,4 bin km, Atlantik Okyanusu'nun - 111,9 bin km'den fazla olduğu ortaya çıkıyor (veriler -yanlış düşünmeyin! - en yakın kilometre). Kanada'nın adalar dikkate alınarak düşünüldüğü kesin; Okyanusların nasıl değerlendirildiği bilinmiyor, ancak Kanada'yı çevreleyen üç okyanustan ikisinin kıyı şeridinin toplamı, yalnızca Kanada'nın kıyı şeridinden daha azdır. Norveç için bu rakam 21.925 km olup şu not verilmektedir: “Anakara 3419 km, büyük adalar 2413 km, uzun fiyortlar, çok sayıda küçük ada ve küçük virajlar çentikler] kıyı şeridi 16.093 km.” Toplam tutar tam olarak belirtildiği gibidir

Bir paradoks örneği: Birleşik Krallık kıyı şeridi 100 km'lik bölümler halinde ölçülürse uzunluğu yaklaşık 2.800 km olur. 50 km'lik bölümler kullanılırsa uzunluk yaklaşık 3.400 km, yani 600 km daha uzun olur.

Kıyı şeridinin uzunluğu nasıl ölçüldüğüne bağlıdır. Bir kara kütlesi, yüzlerce kilometreden milimetrenin kesirlerine veya daha küçüğüne kadar her büyüklükteki eğrilerle karakterize edilebildiğinden, ölçüm için alınması gereken en küçük elemanın boyutunu seçmenin açık bir yolu yoktur. Sonuç olarak, bu alanın çevresini kesin olarak belirlemek imkansızdır. Bu problemin çözümü için çeşitli matematiksel yaklaşımlar vardır.

Bir sınırın veya kıyı şeridinin uzunluğunu tahmin etmenin ana yöntemi, N eşit segmentler uzunluk ben pusula kullanarak bir harita veya hava fotoğrafı üzerinde. Segmentin her bir ucu ölçülen sınıra ait olmalıdır. Richardson, sınır değerlendirmesindeki tutarsızlıkları inceleyerek şu anda adı verilen şeyi keşfetti. Richardson etkisi: Ölçüm ölçeği tüm bölümlerin toplam uzunluğu ile ters orantılıdır. Yani kullanılan cetvel ne kadar kısa olursa ölçülen sınır da o kadar uzun olur. Böylece İspanyol ve Portekizli coğrafyacılar farklı ölçeklerdeki ölçümlerle yönlendirildiler.

Richardson için en çarpıcı olan şey, değerin ne zaman olduğuydu. ben sıfıra doğru eğilim gösterirken, sahilin uzunluğu sonsuza doğru yönelir. Richardson başlangıçta Öklid geometrisine dayanarak bu uzunluğun, normal uzunluklarda olduğu gibi sabit bir değere ulaşacağına inanıyordu. geometrik şekiller. Örneğin, çevre düzenli çokgen Bir daire içine yazılan , kenar sayısı arttıkça (ve her bir kenarın uzunluğu azaldıkça) dairenin uzunluğuna yaklaşır. Geometrik ölçümler teorisinde, belirli bir limitle yaklaşık olarak küçük parçalar şeklinde temsil edilebilen daire gibi düzgün bir eğriye doğrultulabilir eğri adı verilir.

Richardson'un çalışmasını tamamlamasından on yıldan fazla bir süre sonra Mandelbrot, sonsuz kıyı şeridi gibi doğada var olan düzeltilemez kompleksleri tanımlamak için matematiğin yeni bir dalı olan fraktal geometriyi geliştirdi. Onun kendi tanımı Fraktal araştırmasının temeli şu şekildedir:

bir kelime uydurdum fraktal Latince sıfatı temel alarak kırık. Karşılık gelen Latince fiil Fransız araç kırmak: Düzensiz parçalar oluşturun. Bu nedenle, "parçalı" olmanın yanı sıra, makuldür: kırık aynı zamanda "düzensiz" anlamına da gelmelidir.

Fraktalların temel özelliği, aynı şeyin tezahüründen oluşan kendi kendine benzerliktir. genel rakam herhangi bir ölçekte. Kıyı şeridi, koyların ve burunların bir alternatifi olarak algılanıyor. Varsayımsal olarak, eğer belirli bir kıyı şeridi kendi kendine benzerlik özelliğine sahipse, o zaman bir veya başka bir kısım ne kadar ölçeklenirse ölçeklensin, daha büyük koylar ve burunların üzerine bindirilmiş daha küçük koylar ve burunlardan oluşan benzer bir desen, daha küçük koylar ve burunlar olacaktır. kum. Bu ölçeklerde kıyı şeridi, körfezlerin ve burunların stokastik düzenlemesiyle anında değişen, potansiyel olarak sonsuz bir şerit gibi görünüyor. Mandelbrot, bu tür koşullar altında (düzgün eğrilerin aksine) şunu belirtiyor: "Kıyı şeridinin uzunluğu, onu anlamaya çalışanların parmaklarının arasından kayıp giden, anlaşılması zor bir kavramdır."

burada kıyı şeridi uzunluğu L, ε biriminin bir fonksiyonudur ve sağ taraftaki ifadeyle yaklaşık olarak hesaplanır. F bir sabittir, D kıyı şeridinin kendisine bağlı olan Richardson parametresidir (Richardson şunu vermemiştir: teorik açıklama ancak Mandelbrot, D'yi Hausdorff boyutunun (daha sonra fraktal boyut) tamsayı olmayan bir formu olarak tanımladı. Başka bir deyişle D, “pürüzlülüğün” pratik olarak ölçülen değeridir. Yeniden toplandıktan sağ taraf ifadelerden şunu elde ederiz:

burada Fε -D, L'yi elde etmek için gereken ε birim sayısı olmalıdır. Fraktal boyut, bir fraktalı tahmin etmek için kullanılan bir nesnenin boyutlarının sayısıdır: bir nokta için 0, bir çizgi için 1, alan şekilleri için 2. Sahil uzunluğunu ölçen kesikli çizgi tek yönde uzanmadığı ve aynı zamanda bir alanı temsil etmediği için ifadedeki D değeri kadardır. ara konum 1 ile 2 arasında (sahil için genellikle 1,5'tan az). Kalın bir çizgi veya 2ε genişliğinde şerit olarak yorumlanabilir. Daha fazla “kırık” kıyı var daha yüksek değer D ve dolayısıyla L'nin aynı ε için daha uzun olduğu ortaya çıkar. Mandelbrot, D'nin ε'ya bağlı olmadığını gösterdi.

Genel olarak kıyı şeritleri matematiksel fraktallardan farklıdır çünkü bunlar yalnızca istatistiksel olarak desen oluşturan çok sayıda küçük ayrıntı kullanılarak oluşturulmuştur.

Gerçekte kıyı şeritlerinde 1 cm'den küçük detaylar bulunmamaktadır. ] . Bunun nedeni erozyon ve diğer deniz olaylarıdır. Çoğu yerde minimum boyut çok daha yüksektir. Bu nedenle sonsuz fraktal model kıyı şeridi için uygun değildir.

Pratik nedenlerden dolayı, ölçü birimleri sırasına eşit minimum parça boyutunu seçin. Yani kıyı şeridi kilometre cinsinden ölçülürse, o zaman küçük değişiklikler bir kilometreden çok daha küçük çizgiler dikkate alınmaz. Kıyı şeridini santimetre cinsinden ölçmek için yaklaşık bir santimetrelik tüm küçük değişiklikler dikkate alınmalıdır. Ancak santimetre düzeyindeki ölçeklerde, örneğin halicin denizle birleştiği yerde veya ölçümlerin geniş watt'ta yapılması gereken yerlerde çeşitli keyfi fraktal olmayan varsayımların yapılması gerekir. Ayrıca kullanım çeşitli yöntemler Farklı ölçü birimleri için ölçümler, bu birimlerin basit çarpma işlemi kullanılarak dönüştürülmesine izin vermez.

Durumu belirlemek için karasuları Kanada'nın Britanya Kolumbiyası eyaletinin kıyılarının sözde eğrilerini inşa ediyorlar; Kanada kıyı şeridinin uzunluğunun% 10'undan fazlasını oluşturuyorlar (Kanada Arktik takımadalarının tüm adaları dikkate alınarak) - 243.042'den 25.725 km. sadece 965 km'lik doğrusal bir mesafede km

Coğrafya okurken elbette her ülkenin kendine ait yüzölçümü ve sınır uzunluğunun olduğunu, özellikle bir ülke deniz veya okyanusla yıkanıyorsa belirli bir uzunlukta deniz sınırına sahip olduğunu hatırlarsınız. Bu sınır uzunluğunun nasıl belirlendiğini hiç merak ettiniz mi? 1977'de Amerikalı matematikçi Benoit Mandelbrot, sonraki soru: İngiltere kıyı şeridinin uzunluğu ne kadardır? Bu "çocukça soruya" doğru cevap vermenin imkansız olduğu ortaya çıktı. 1988 yılında Norveçli bilim adamı Jens Feder, Norveç kıyı şeridinin ne kadar uzun olduğunu bulmaya karar verdi. Norveç kıyılarının fiyortlarla yoğun bir şekilde girintili çıkıntılı olduğunu lütfen unutmayın. Diğer bilim adamları da Avustralya kıyılarındaki kıyı şeritlerinin uzunlukları hakkında kendilerine benzer sorular sordular. Güney Afrika, Almanya, Portekiz ve diğer ülkeler.

Kıyı şeridinin uzunluğunu ancak yaklaşık olarak ölçebiliyoruz. Uzaklaştıkça, giderek daha fazla küçük burun ve körfez ölçmemiz gerekiyor; kıyı şeridinin uzunluğu artar ve ölçeği küçültmenin (ve dolayısıyla kıyı şeridinin uzunluğunu artırmanın) hiçbir nesnel sınırı yoktur; bu çizginin olduğunu kabul etmek zorunda kalıyoruz sonsuz uzunluk. Düz çizginin boyutunun bir, karenin boyutunun iki ve küpün boyutunun üç olduğunu biliyoruz. Mandelbrot, "canavar" eğrileri ölçmek için kesirli boyutları (Hausdorff - Besicovitch boyutları) kullanmayı önerdi. Sahil şeridi gibi sonsuzca kırılan kıvrımlar tam olarak çizgi değildir. Uçağın bir kısmını bir yüzey gibi "süpürüyor" gibi görünüyorlar. Ama bunlar yüzey de değil. Bu, boyutlarının birden fazla ama aynı zamanda ikiden de küçük olduğunu, yani bunların kesirli boyutlu nesneler olduğunu varsaymanın makul olduğu anlamına gelir.

Norveçli bilim adamı E. Feder, kıyı şeridinin uzunluğunu ölçmenin başka bir yolunu önerdi. Harita, hücreleri boyutları e olan kare bir ızgarayla kaplıydı? e. Haritada kıyı şeridini kaplayan hücrelerin N(e) sayısının, e çözümlü bir pusula kullanılarak haritada kıyı şeridinde dolaşılabilecek adım sayısına yaklaşık olarak eşit olduğu görülmektedir. Eğer e azaltılırsa N(e) sayısı artacaktır. Birleşik Krallık kıyı şeridinin uzunluğu belirli bir L uzunluğuna sahipse, o zaman çözüme sahip bir pusulanın adım sayısı (veya sayısı) kare hücreler

Haritadaki sahil şeridini kapsayan N(e) e ile ters orantılı olacaktır ve Ln (e)=N(e) değeri ? k azaldıkça e L'yi sabit tutma eğiliminde olacaktır. Ne yazık ki birçok bilim adamının yaptığı hesaplamalar bunun tamamen doğru olmadığını göstermiştir. Perde azaldıkça ölçülen uzunluk artar. Ölçülen uzunluk L(e) ile adım e arasındaki ilişkinin yaklaşık ilişkiyle tanımlanabileceği ortaya çıktı. D katsayısına fraktal boyut denir. Fraktal kelimesi buradan gelir.

Latince kelime

Benzer şekilde, bir düzlem üzerindeki kapalı sınırlı bir alan (Şekil 4), kenarı e olan bir kare ızgara ile kaplanmışsa, o zaman e kenarı alanı kaplayan minimum kare sayısı şuna eşit olacaktır:

Kapalı sınırlı bir bölgeyi ele alırsak üç boyutlu uzay ve kenarı e olan bir küp alın, bu alanı dolduran küplerin sayısı

Yukarıda söylediklerimize dayanarak fraktal boyutu belirleyelim. genel durum aşağıdaki gibi:

Sol ve sağ tarafların logaritmasını alalım

e sıfıra doğru giderken (N sonsuza doğru giderken) limite geçerek şunu elde ederiz:

Bu eşitlik d ile gösterilen boyutun tanımıdır.

İyi bilinen gerçek:

Bir paradoks örneği: Birleşik Krallık kıyı şeridi 100 km'lik bölümler halinde ölçülürse uzunluğu yaklaşık 2.800 km olur. 50 km'lik bölümler kullanılırsa uzunluk yaklaşık 3.400 km, yani 600 km daha uzun olur.

Kıyı şeridinin uzunluğu nasıl ölçüldüğüne bağlıdır. Bir kara kütlesi, yüzlerce kilometreden milimetrenin kesirlerine veya daha küçüğüne kadar her büyüklükteki eğrilerle karakterize edilebildiğinden, ölçüm için alınması gereken en küçük elemanın boyutunu seçmenin açık bir yolu yoktur. Sonuç olarak, bu alanın çevresini kesin olarak belirlemek imkansızdır. Bu problemin çözümü için çeşitli matematiksel yaklaşımlar vardır.

İlk tür fraktallarla (yani fraktal boyutu 1'i aşan eğrilerle) tanışmadan önce, bazı kıyıların tipik bir bölümünü ele alalım. Açıkçası uzunluğu, başlangıç ​​ve bitiş noktaları arasındaki düz çizgi mesafesinden daha az olamaz. Ancak kural olarak kıyı şeridinde düzensiz şekil- kıvrımlı ve kırıktırlar ve uzunlukları şüphesiz, düz bir çizgide ölçülen uç noktaları arasındaki mesafeleri önemli ölçüde aşmaktadır.

Bir kıyı şeridinin uzunluğunu daha doğru tahmin etmenin birçok yolu vardır ve bu bölümde bunlardan bazılarını analiz edeceğiz. Sonunda çok dikkat çekici bir sonuca ulaşacağız: Sahil şeridinin uzunluğu çok kaygan bir kavramdır ve bunu çıplak elle kavrayamazsınız. Hangi ölçüm yöntemini kullanırsak kullanalım sonuç her zaman aynıdır: Tipik bir kıyı şeridinin uzunluğu çok uzundur ve o kadar kötü tanımlanmıştır ki, onu sonsuz olarak kabul etmek en uygunudur. Sonuç olarak, eğer biri farklı kıyıları uzunlukları açısından karşılaştırmaya karar verirse, uzunluk kavramının yerini alacak bir şey bulması gerekecektir. bu dava uygulanamaz.

Bu bölümde uygun bir yedek arayışına başlayacağız ve arama sürecinde onu tanımaktan kaçınamayız. çeşitli formlar Fraktal boyut, ölçü ve eğri kavramları.

ALTERNATİF ÖLÇÜM YÖNTEMLERİ

Yöntem A. Ölçüm pusulasının açıklığını adım uzunluğu dediğimiz belirli bir uzunluğa ayarlayalım ve her yeni adıma bir öncekinin bittiği noktadan başlayarak bu pusula ile ilgimizi çeken kıyı şeridi boyunca yürüyelim. Adım sayısı ile uzunluk e'nin çarpımı bize bankanın yaklaşık uzunluğunu verecektir. Okuldan biliyoruz ki, bu işlemi her seferinde pusulanın açıklığını azaltarak tekrarlarsak, o zaman değerin hızla gerçek uzunluk adı verilen çok özel bir değere ulaşmasını bekleyebiliriz. Ancak gerçekte yaşananlar beklentilerimizle örtüşmüyor. Tipik bir durumda, gözlemlenen uzunluk sınırsız bir şekilde artma eğilimindedir.

Bu davranışın nedeni açıktır: 1/100.000 ve 1/10.000 ölçekli haritalarda bir yarımadaya veya körfeze bakarsanız, o zaman son harita ilkinde göremediğimiz daha küçük yarımadaları ve koyları net bir şekilde ayırt edebiliyoruz. Aynı bölgenin 1/1000 ölçekli haritası bize daha da küçük yarımadalar, koylar vb. gösterecektir. Her yeni detay bankanın toplam uzunluğunu arttırır.

Yukarıdaki prosedür, kıyı şeridinin şeklinin, uzunluğunun, uzunlukları referans kitaplarında bulunabilecek basit geometrik eğrilerin uzunluklarının toplamı olarak doğrudan temsil edilemeyecek kadar düzensiz olduğunu varsaymaktadır. Yani, Yöntem A kıyı şeridini diziyle değiştirir kırık çizgiler uzunluğunu belirleyebildiğimiz düz bölümlerden oluşur.

Yöntem B. Aynı "pürüzsüzleştirme" başka yollarla da sağlanabilir. Sahil boyunca yürüyen bir adam hayal edin en kısa rota Yörüngesi hiçbir zaman sudan en fazla uzaklaşmayan, belirtilen mesafe. Ulaştıktan sonra bitiş noktası, değeri biraz azaltarak geri döner. Sonra tekrar tekrar, ta ki en sonunda değer örneğin 50 cm'ye ulaşana kadar. Kişi daha detaylı bir yörüngeyi takip edemeyecek kadar iri ve beceriksiz olduğu için bunu daha da azaltmak mümkün değildir. Bana bu ulaşılamayan küçük ayrıntıların, öncelikle insanları doğrudan ilgilendirmediği ve ikinci olarak, yılın zamanına ve gelgit yüksekliğine bağlı olarak o kadar önemli değişikliklere maruz kaldıkları ve ayrıntılı kayıtlarının genellikle kaybolduğu yönünde itiraz edilebilir. hepsi anlam. Bu itirazlardan ilkini bu bölümün ilerleyen kısımlarında ele alacağız. İkinci itiraza gelince, kendimizi gelgitin çekildiği kayalık bir sahili ve sakin suyu düşünmekle sınırlandırarak etkisiz hale getirebiliriz. Prensip olarak, bir kişi kendisine yardım etmesi için fareyi, ardından karıncayı vb. çağırarak daha ayrıntılı yaklaşık eğrilerin izini sürebilir. Ve yine yürüyüşçümüz suya yaklaştıkça kat etmesi gereken mesafe sonsuza kadar artar.

Yöntem C. Yöntem B, su ile kıyı arasında belirli bir asimetriyi ima eder. Bu asimetriyi önlemek için Kantor, kıyı şeridini sanki odaklanmamış bir mercekten bakıyormuş gibi görmeyi önerdi, bunun sonucunda her nokta yarıçaplı yuvarlak bir noktaya dönüştü. Başka bir deyişle, Cantor, hem karada hem de suda, kıyı şeridine olan mesafeyi aşmayan tüm noktaları dikkate alır. Bu noktalar bir tür sosis veya genişlik şeridi oluşturur (böyle bir "sosis" örneği - farklı bir bağlamda da olsa - Şekil 56'da gösterilmektedir). Ortaya çıkan bandın alanını ölçüp bölelim. Eğer kıyı şeridi düz olsaydı, şerit bir dikdörtgen olurdu ve yukarıda anlatılan şekilde bulunan değer, kıyının gerçek uzunluğunu verirdi. Gerçek kıyı şeritleriyle uğraşırken, sınırsız olarak artan uzunluğun kaba bir tahminini elde ederiz.

YöntemD. Noktacı sanatçılar tarzında yapılmış, yani kıtaların ve okyanusların yarıçaplı renkli yuvarlak noktalarla tasvir edildiği bir harita hayal edin. Noktaların merkezlerini Yöntem C'deki gibi kıyı şeridine ait noktalar olarak kabul etmek yerine, çizgiyi tamamen gizleyen noktaların sayısının en küçük olmasını isteyeceğiz. Sonuç olarak, burunların yakınındaki noktalar çoğunlukla karada, körfezlerin yakınındaki noktalar ise denizde yer alacak. Buradaki kıyı şeridinin uzunluğunun tahmini, noktaların kapladığı alanın .'ye bölünmesi sonucu elde edilecektir. Bu değerlendirmenin “davranışı” da arzulanan çok şey bırakıyor.

ÖLÇÜM SONUÇLARININ RASGELE

Önceki bölümü özetlersek, dört yöntemden herhangi birini kullanmanın sonucunun her zaman aynı olduğunu görüyoruz. e azaldıkça eğrinin yaklaşık uzunluğu sonsuza doğru yönelir.

Bu gerçeğin önemini tam olarak anlayabilmek için herhangi bir sıradan Öklid eğrisinin uzunluğunun benzer bir ölçümünü yapalım. Örneğin, bir düz çizgi bölümünde, yaklaşık tahmini ölçüm verileri temel olarak çakışır ve gerekli uzunluğu belirler. Bir daire durumunda yaklaşık değer uzunluk artar, ancak oldukça hızlı bir şekilde belirli bir sınıra doğru koşar. Uzunluğu bu şekilde belirlenebilen eğrilere doğrultulabilir eğriler denir.

İnsanoğlunun evcilleştirdiği bazı kıyı şeritlerinin uzunluğunu ölçmeye çalışmak, örneğin bugün görünen Chelsea yakınlarındaki kıyı şeridinin uzunluğunu ölçmeye çalışmak daha da öğretici olacaktır. İnsanlar hala arazinin çok büyük kıvrımlarını değiştirmeden bıraktığı için pusulamıza çok büyük bir çözüm yükleyeceğiz ve onu yavaş yavaş azaltacağız. Beklenildiği gibi kıyı şeridinin uzunluğu artacak.

Ancak bir tane var ilginç özellik: Daha fazla azalmayla kendimizi kaçınılmaz olarak uzunluğun neredeyse değişmeden kaldığı belirli bir ara bölgede buluyoruz. Bu bölge yaklaşık 20 m'den 20 cm'ye (çok yaklaşık olarak) kadar uzanır. 20 cm'nin altına düştüğünde uzunluk tekrar artmaya başlar; artık tek tek taşlar ölçüm sonucunu etkilemektedir. Dolayısıyla, değerdeki değişimin bir grafiğini bir fonksiyon olarak çizerseniz, o zaman şüphesiz, benzer grafiklerde 20 m ila 20 cm aralığında e değerlerine sahip düz bir alan bulacaksınız. doğal “vahşi” kıyılarda bu tür düz alanlar gözlenmez.

Bu düz bölgede yapılan ölçümlerin çok büyük pratik değere sahip olduğu açıktır. Çünkü farklılar arasındaki sınırlar bilimsel disiplinler esas olarak bilim adamları arasında işbölümü konusunda yapılan bir anlaşmanın sonucudur, örneğin ölçeği 20 m'yi aşan, yani insanın henüz ulaşmadığı tüm olguları coğrafya bölümüne aktarabiliriz. Böyle bir sınırlama bize çok spesifik bir coğrafi uzunluk verecektir. Sahil Güvenlik aynı değeri "vahşi" kıyılarla çalışmak için başarıyla kullanabilir ve ansiklopediler ve almanaklar herkese karşılık gelen uzunluğu söyleyecektir.

Öte yandan, herhangi bir ülkenin, hatta ilgili tüm devlet kurumlarının kendi aralarında tek bir anlam kullanmak konusunda anlaşacağını hayal etmek benim için zor ve bunun dünyanın tüm ülkeleri tarafından benimsenmesini hayal etmek tamamen imkansız. Richardson şu örneği veriyor: İspanyol ve Portekiz ansiklopedileri farklı uzunluklar veriyor kara sınırı bu ülkeler arasında %20'lik bir farkla (Belçika ile Hollanda arasındaki sınırda da aynı durum geçerlidir). Bu tutarsızlık kısmen farklı seçimlerle açıklanmalıdır. Birazdan tartışacağımız ampirik kanıtlar, böyle bir farklılığın ortaya çıkması için bir değerin diğerinden yalnızca iki kat farklı olmasının yeterli olduğunu göstermektedir; Üstelik küçük bir ülkenin (Portekiz) sınırlarının uzunluğunu büyük komşusuna göre daha dikkatli ölçmesi şaşırtıcı değil.

Keyfi seçime karşı ikinci ve daha önemli argüman felsefi ve genel bilimsel niteliktedir. Doğa insandan bağımsız olarak vardır ve herhangi bir özel anlama veya şeye çok fazla önem veren herkes, Doğayı anlama sürecindeki belirleyici halkanın, genel kabul görmüş standartları veya çok değişken teknik araçları olan insan olduğunu varsayar. Eğer kıyı şeritleri bir gün obje haline gelecekse bilimsel araştırma uzunluklarına ilişkin gözlemlenen belirsizliği yasaklayacak bir yasa çıkarmamız pek olası değildir. Ancak coğrafi uzunluk kavramı ilk bakışta göründüğü kadar zararsız değildir. Tamamen “objektif” değildir, çünkü uzunluğu bu şekilde belirlerken gözlemcinin etkisi kaçınılmazdır.

ÖLÇÜMLERİN KEYFİ SONUÇLARININ TANIMASI VE ÖNEMİ

Kuşkusuz pek çok kişi kıyı şeritlerinin indirgenemez eğriler olduğu görüşündedir ve bu nedenle başka türlü düşünen kimseyi hatırlamıyorum. Ancak bu görüşü destekleyen yazılı kanıt arayışım neredeyse tamamen başarısız oldu. İkinci bölümde Perrin'den yapılan alıntılara ek olarak Steinhaus'un makalesinde de şu gözlem var: “Vistula'nın sol yakasının uzunluğunu artan doğrulukla ölçerek onlarca, yüzlerce ve hatta binlerce değer elde edilebilir. okul haritasının verdiğinden kat kat daha büyük.. Şu ifade gerçeğe çok yakın görünüyor: Doğada bulunan yayların çoğu düzeltilemez. Bu ifade, düzeltilemeyen yayların matematiksel bir kurgu olduğu ve doğada tüm yayların düzeltilebilir olduğu gerçeğine dayanan popüler inanışla çelişmektedir. Görünüşe göre bu iki çelişkili ifadeden ilkinin doğru olduğu kabul edilmeli.” Ancak ne Perrin ne de Steinhaus tahminlerini daha ayrıntılı bir şekilde geliştirip mantıksal sonuçlarına ulaştırma zahmetine girmediler.

K. Fadiman ilginç bir hikaye anlatıyor. Arkadaşı Edward Kasner bu deneyi birkaç kez gerçekleştirdi: “Küçük çocuklara Amerika Birleşik Devletleri kıyılarının toplam uzunluğunun ne olduğunu sordu. Çocuklardan biri oldukça "makul" bir tahminde bulunduktan sonra,... Kasner... onları, tüm burunların ve körfezlerin çevresini çok dikkatli bir şekilde ölçtükleri ve ardından aynı şekilde dikkatlice takip ettikleri takdirde bu rakamın ne kadar artırılabileceğini düşünmeye davet etti. bu burunların her birinde ve bu koyların her birinde daha küçük burunlar ve koylar var, sonra kıyı şeridini oluşturan her çakıl taşını ve her kum tanesini, her molekülü, her atomu vb. ölçün. Kıyının sizin kadar uzun olabileceği ortaya çıktı. beğenmek . Çocuklar bunu hemen anladı ama Kasner'in yetişkinlerle sorunları vardı.” Hikaye elbette çok güzel ama arayışımla bir ilgisi olması pek mümkün değil. Kasner'ın gerçekliğin daha fazla çalışmaya değer bazı yönlerini vurgulamaya çalışmadığı açık.

Dolayısıyla elinizde tuttuğunuz makalenin ve kitabın aslında bu konuya ayrılmış ilk çalışmaları temsil ettiğini söyleyebiliriz.

William James, The Will to Believe (İnanma İradesi) adlı kitabında1 şöyle yazıyor: “Sınıflandırma çerçevesine uymayan şey... her zaman büyük keşifler için zengin bir alandır. Herhangi bir bilimde, genel kabul görmüş ve düzenli gerçeklerin etrafında, kurallara ilişkin tozlu bir istisna bulutu her zaman daire çizer - incelikli, tutarsız, nadiren karşılaşılan fenomenler, göz ardı edilmesi düşünmekten daha kolay olan fenomenler. Her bilim bunun için çabalar mükemmel durum kapalı ve katı bir hakikatler sistemi... Sistem içerisinde sınıflandırılamayan olaylar, paradoksal saçmalıklar olarak kabul edilir ve kesinlikle doğru değildir. Bilimsel vicdanın en iyi niyetleri doğrultusunda ihmal ediliyor ve reddediliyorlar... Düzensiz olayları ciddi bir şekilde inceleyen herkes yaratabilecektir. yeni bilim eskisinin temelinde. Bu sürecin sonunda güncel bilimin kuralları büyük oranda dünün istisnaları haline gelecektir.”

Mütevazı amacı Doğanın geometrisinin tamamen yenilenmesi olan bu makale, sınıflandırılması mümkün olmayan ve ancak sansürün izniyle onlardan bahsetmenin mümkün olduğu olguları tanımlamaktadır. Bir sonraki bölümde bu olayların ilkiyle karşılaşacaksınız.

RICHARDSON ETKİSİ

Yöntem A kullanılarak elde edilen yaklaşık uzunluktaki değişime ilişkin ampirik bir çalışma, Richardson'un makalesinde anlatılıyor; bağlantı şans eseri (veya kaçınılmaz) gözüme çarptı. Buna dikkat etmemin tek nedeni Lewis Fry Richardson'ın özgün düşünme tarzıyla tuhaflığa benzeyen olağanüstü bir bilim insanı olduğunu çok duymuş olmamdı (bkz. Bölüm 40). 10. Bölüm'de göreceğimiz gibi, insanlık türbülansın doğasına ilişkin en derin ve kalıcı fikirlerinden bazılarını borçludur: özel ilgi Bunlardan hak eden, türbülansın kendine benzer bir kademenin ortaya çıkmasını öngördüğü durumdur. Başkaları üzerinde de çalıştı karmaşık problemler- örneğin devletler arasındaki silahlı çatışmanın niteliği gibi. Deneyleri klasik basitliğin örnekleriydi ancak ihtiyaç duyulduğunda daha karmaşık kavramları kullanmaktan çekinmedi.

Şekil 2'de gösterilmiştir. Richardson'un ölümünden sonra makaleleri arasında keşfedilen 57 grafik, neredeyse gizli olan (ve bu tür yayınlar için tamamen uygun olmayan) "Yearbook on ortak sistemler" Bu grafikleri inceledikten sonra, iki sabitin olduğu sonucuna varıyoruz (bunlara ve diyelim) - öyle ki, kıyı şeridinin uzunluğunu, buna yaklaşan kesikli bir çizgi oluşturarak belirlemek için, yaklaşık uzunluk aralıklarını alıp yazmak gerekir. aşağıdaki formül:

Göstergenin değeri, görünüşe göre ölçülen kıyı şeridinin doğasına bağlıdır ve bu hattın farklı bölümleri ayrı ayrı ele alındığında farklı değerler verebilir. Richardson'a göre büyüklük, herhangi bir özel anlamı olmayan, yalnızca kullanışlı bir göstergeydi. Ancak bu göstergenin değeri kıyı şeridi uzunluğunu tahmin etmek için seçilen yönteme bağlı görünmüyor. Bu onun en yakın ilgiyi hak ettiği anlamına gelir.

KIYI ŞERİTİNİN FRAKTAL BOYUTU

Richardson'un çalışmasını inceledikten sonra, üssün bir tam sayı olmasa da bir boyut olarak, daha doğrusu fraktal bir boyut olarak anlaşılabileceğini ve anlaşılması gerektiğini öne sürdüm. Elbette, yukarıdaki ölçüm yöntemlerinin tamamının, saf matematikte zaten kullanılan standart dışı genelleştirilmiş boyut tanımlarına dayandığının tamamen farkındaydım. Kıyı şeridi kapsamına dayalı uzunluk tespiti en küçük sayı Kaplamanın boyutunu belirlemek için kullanılan yarıçap noktaları. Kıyı şeridinin genişlikte bir şeritle kaplanmasına dayanan uzunluğun belirlenmesi, Cantor ve Minkowski'nin fikrini somutlaştırmaktadır (bkz. Şekil 56) ve buna karşılık gelen boyutu Bouligan'a borçluyuz. Ancak bu iki örnek, matematiğin oldukça uzmanlaşmış çeşitli alanlarında öne çıkan (çoğu yalnızca birkaç uzman tarafından bilinen) birçok boyutun varlığına yalnızca ipucu veriyor. Bu boyutlardan bazılarını Bölüm 39'da daha ayrıntılı olarak ele alacağız.

Matematikçiler neden bu farklı boyut bolluğunu ortaya koyma ihtiyacı duydular? O zaman ne belirli durumlar kabul ediyorlar farklı anlamlar. Neyse ki bu yazıda bu tür durumlarla karşılaşmayacaksınız, dolayısıyla olası alternatif boyutların bir listesini burada bulabilirsiniz. temiz vicdan ancak henüz bahsetmediğim ikiye indirelim. Listemizdeki en eski ve en kapsamlı şekilde incelenen boyut Hausdorff'a kadar uzanır ve fraktal boyutu tanımlamaya yarar; bununla çok yakında ilgileneceğiz. Daha basit olan ikinci boyuta benzerlik boyutu denir: aynı değildir genel karakter Ancak ilk boyut olarak birçok durumda fazlasıyla yeterli olduğu ortaya çıkıyor - bunu bir sonraki bölümde ele alacağız.

Tabii ki burada vermeyeceğim matematiksel kanıt Richardson üssünün bir boyut olduğu. Dürüst olmak gerekirse, böyle bir kanıtın herhangi bir çerçevede nasıl gerçekleştirilebileceğini hayal edemiyorum. doğa bilimi. Sadece uzunluk kavramının kavramsal bir sorun oluşturduğuna, göstergenin kullanışlı ve şık bir çözüm sunduğuna okuyucunun dikkatini çekmek istiyorum. Artık fraktal boyut kıyı şeridi çalışmalarında yerini aldığına göre, herhangi bir özel nedenden dolayı düşüncesizce ve safça inandığımız o zamanlara geri dönmek istememiz pek olası değil. Hâlâ inanan herkes, haklı olduğunu kanıtlamak istiyorsa artık denemek zorunda kalacak.

Bir sonraki adımı (kıyı şeritlerinin şeklini açıklamak ve diğer, daha temel hususlardan anlam çıkarmak) 28. Bölüme ertelemeyi öneriyorum. Bu aşamada, ilk yaklaşım olarak şunu söylemek yeterlidir. Bu değer gerçekleri doğru bir şekilde tanımlamak için çok büyük, ancak kıyı şeridinin boyutunun eğri için olağan Öklid değerini aştığına inanmanın mümkün, olması gereken ve doğal olduğunu söylemek bizim için fazlasıyla yeterli.

HAUSDORFF'UN FRAKTAL BOYUTU

Farklı doğal kıyı şeritlerinin sonsuz uzunlukta olduğunu ve ayrıca antropometrik değere dayalı uzunluk değerinin gerçek durum hakkında yalnızca kısmi bir fikir verdiğini kabul edersek, farklı kıyı şeritleri birbirleriyle nasıl karşılaştırılabilir? Sonsuz, sonsuzun dörtle çarpımından farklı olmadığına göre, herhangi bir bankanın uzunluğunun, dörtte birinin uzunluğundan dört kat daha büyük olduğunu söylemenin bize ne faydası olur? Gerekli en iyi yol Bir eğrinin bir "ölçüsü" olması gerektiği ve eğrinin tamamı için bu ölçünün, herhangi bir çeyreği için aynı ölçüden dört kat daha büyük olması gerektiği şeklindeki oldukça makul fikri ifade etmek.

Bu hedefe ulaşmak için son derece ustaca bir yöntem Felix Hausdorff tarafından önerildi. Onun yöntemi, bir çokgenin doğrusal ölçüsünün, herhangi bir dönüşüm olmaksızın kenarlarının uzunluklarının eklenmesiyle hesaplanmasına dayanmaktadır. Bu kenar uzunluklarının, doğrunun Öklid boyutuna eşit bir kuvvete yükseltildiği varsayılabilir (bu varsayımın nedeni yakında açıklığa kavuşacaktır). Kapalı bir çokgenin iç bölgesinin yüzeyinin ölçüsü de benzer şekilde hesaplanır - onu karelerle kaplayarak, bu karelerin kenar uzunluklarının toplamını bularak ve bunu bir kuvvete yükselterek (düzlemin Öklid boyutu) ). Hesaplamalarda “yanlış” dereceyi kullanırsak bu hesaplamaların sonucu bize herhangi bir sonuç vermeyecektir. faydalı bilgiler: herhangi bir kapalı çokgenin alanı olacaktır sıfıra eşit ve iç bölgesinin uzunluğu sonsuz olacaktır.

Bu tür konumlardan, küçük uzunluk aralıklarından oluşan bir kıyı şeridinin çokgen (parçalı doğrusal) yaklaşımını ele alalım. Aralığın uzunluğunu bir kuvvete yükseltip bunu aralık sayısıyla çarparak, geçici olarak "boyut olarak yaklaşık uzunluk" olarak adlandırılabilecek belirli bir değer elde ederiz. Richardson'a göre kenar sayısı eşit olduğundan yaklaşık kapsamımız şu değeri alır: .. Yani, kıyı şeridinin yaklaşık büyüklüğü ancak ve ancak şu durumda ihtiyatlı davranış sergiler.

BİR EĞRİN FRAKTAL BOYUTU BİRİMDEN BÜYÜK OLABİLİR; FRAKTAL EĞRİLER

Hausdorff boyutu, yaratıcısının amaçladığı gibi sıradan bir boyutun görevlerini korur ve ölçüyü belirlemede bir üs görevi görür.

Ancak öte yandan, boyut oldukça sıra dışıdır; kesirli sayı! Üstelik eğrilerin “doğal” boyutu olan birlikten daha büyüktür (topolojik boyutlarının da birliğe eşit olduğu kesin olarak kanıtlanabilir).

Fraktal boyutu topolojik boyutunu aşan eğrilere 1 fraktal eğriler adını vermeyi öneriyorum. Bu bölümün kısa bir özetini sunabilirim. sonraki ifade: Coğrafi ölçeklerde kıyı şeritleri fraktal eğriler kullanılarak modellenebilir. Kıyı şeritleri fraktal yapıdadır.

Pirinç. 55. MAYMUN AĞACI

Bu aşamada bu küçük çizimi sadece dekoratif bir unsur olarak düşünmek gerekir, sadece bir boşluğu doldurur.

Ancak Bölüm 14'ü okuduktan sonra okuyucu burada Şekil 2'deki "mimari" bilmeceyi çözmeye yönelik bir ipucu bulabilecektir. 210. Aşağıdaki jeneratör daha ciddi bir ipucu sağlıyor:

Bir matematikçinin özellikle düzensiz bir eğriyi "evcilleştirmesi" gerekiyorsa, aşağıdaki standart prosedürü kullanabilir: belirli bir değer seçilir ve eğrinin her noktasının etrafına yarıçaplı bir daire oluşturulur. En azından Hermann Minkowski'ye ve hatta bizzat Georg Cantor'a kadar uzanan bu prosedür biraz kaba ama çok etkilidir. (Doğrulanmamış söylentilere göre sosis teriminin kökeni, bir şekilde Norbert Wiener'in bu prosedürü Brown eğrilerine uygulamasıyla bağlantılıdır.)

Burada yayınlanan resimlerde, yukarıda açıklanan yumuşatma gerçek kıyılara değil, sürekli olarak daha fazla ince ayrıntı ekleyerek biraz sonra oluşturacağımız (bkz. Şekil 79) teorik bir eğriye uygulanır. Sağda gösterilen sosis parçasını üstte yer alan sosisin sağ ucuyla karşılaştırdığımızda, eğrinin oluşturulmasındaki kritik aşamanın, eğrinin . Daha fazlası için sonraki aşamalar sosis önemli ölçüde değişmez.

Pirinç. 57. RICHARDSON'UN KIYI ŞERİDİ UZUNLUKLARININ BÜYÜME HIZINA İLİŞKİN AMPİRİK VERİLERİ

Bu şekil, kenar uzunluğu azalan eşkenar çokgenler kullanılarak çeşitli eğriler üzerinde yapılan eğri uzunluğu ölçümlerinin deneysel sonuçlarını göstermektedir. Beklendiği gibi, daire söz konusu olduğunda hassasiyeti artan ölçümler, çok hızlı bir şekilde çok spesifik bir değer etrafında sabitlenen bir değer verir.

Kıyı şeritlerinde ise yaklaşık uzunluk değerleri tam tersine hiç stabil değildir. Adım uzunluğu sıfıra yaklaştıkça, çift logaritmik koordinat sisteminde çizilen uzunluk yaklaşımları negatif eğimli bir düz çizgi oluşturur. Aynı şey ülkeler arasındaki kara sınırları için de geçerlidir. Richardson'un çeşitli ansiklopediler üzerinde yaptığı araştırmalar, ilgili ülkelerin haritacıları tarafından ortak sınırın uzunluğunun belirlenmesinde önemli farklılıklar olduğunu ortaya çıkardı: örneğin, İspanya ile Portekiz arasındaki sınırın uzunluğu İspanyolların bakış açısından 987 km ve 1214 km'dir. Portekizlilerin bakış açısından km; Hollanda ile Belçika arasındaki sınır (380 ve 449 km) de benzer şekilde etkilendi. Karşılık gelen çizgilerin eğimi -0,25 olduğundan, ölçümler arasındaki yüzde yirmilik bir fark, bu ölçümler için kabul edilen değerler arasında iki kat fark anlamına gelir ki bu o kadar da inanılmaz bir varsayım değildir.

Richardson hiçbir şey vermedi teorik yorumlama düz çizgilerinin farklı eğimleri. Kıyı şeritlerini fraktal eğrilere yaklaşımlar olarak yorumlamayı amaçlıyoruz ve eğim katsayıları farkın yaklaşık değerleri olarak karşılık gelen düz çizgiler, burada fraktal boyuttur.