Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotları

Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotu y \u003d f (x), (x, f (x)) noktasından bu çizgiye olan mesafenin, grafik noktasının orijinden sınırsız olarak çıkarılmasıyla sıfıra yaklaşma özelliğine sahip bir çizgi olarak adlandırılır.

Şekil 3.10. verilen grafik örnekler dikey, yatay Ve eğik asimptot.

Grafiğin asimptotlarını bulmak aşağıdaki üç teoreme dayanmaktadır.

Düşey asimptot teoremi. Y \u003d f (x) fonksiyonunun x 0 noktasının bir mahallesinde tanımlanmasına izin verin (muhtemelen bu noktanın kendisi hariç) ve fonksiyonun tek taraflı limitlerinden en az biri sonsuza eşit olsun, yani. O zaman x \u003d x 0 satırı, y \u003d f (x) fonksiyonunun grafiğinin dikey asimptotudur.

Açıkçası, x \u003d x 0 satırı, işlev x 0 noktasında sürekli ise dikey bir asimptot olamaz, çünkü bu durumda . Bu nedenle, bir fonksiyonun süreksizlik noktalarında veya tanım kümesinin uçlarında düşey asimptotlar aranmalıdır.

Yatay asimptot teoremi. Yeterince büyük x için y \u003d f (x) işlevinin tanımlanmasına izin verin ve işlevin sonlu bir sınırı olsun . O halde y = b doğrusu Yatay asimptot fonksiyon grafiği.

Yorum. Sınırlardan yalnızca biri sonluysa, fonksiyon sırasıyla, sol taraflı veya sağ taraflı Yatay asimptot.

olması durumunda, fonksiyon eğik bir asimptota sahip olabilir.

Eğik asimptot teoremi. Yeterince büyük x için y = f(x) fonksiyonu tanımlansın ve var sonlu sınırlar . O halde y = kx + b doğrusu, fonksiyonun grafiğinin eğik bir asimptotudur.

Kanıt olmadan.

Eğik asimptot ve yatay asimptot, karşılık gelen limitlerin temeli belirli bir işaretin sonsuzluğu ise, sağlak veya solak olabilir.

Fonksiyonların incelenmesi ve grafiklerinin oluşturulması genellikle aşağıdaki adımları içerir:

1. Fonksiyonun etki alanını bulun.

2. Çift-tek için fonksiyonu araştırın.

3. Süreksizlik noktalarını ve fonksiyonun tanım kümesinin sınırları üzerindeki davranışını, eğer sonlu iseler inceleyerek düşey asimptotları bulun.

4. Yatay veya eğik asimptotlar, fonksiyonun sonsuzdaki davranışını inceleyerek.

Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotları

Asimptotun hayaleti, nihayet tek bir makalede somutlaşmak ve şaşkın okuyuculara özel bir zevk getirmek için uzun süredir sitede dolaşıyor. tam işlevli çalışma. Grafiğin asimptotlarını bulmak, belirtilen görevin birkaç bölümünden biridir. okul kursu olaylar hesaplama etrafında döndüğü için yalnızca genel bir bakışta fonksiyon limitleri, ama yine de aitler yüksek Matematik. Matematiksel analiz konusunda yetersiz bilgili ziyaretçiler, ipucunun anlaşılabilir olduğunu düşünüyorum ;-) ... dur-dur, nereye gidiyorsun? limitler- bu kolay!

İlk derste hemen karşılaşılan asimptot örnekleri hakkında temel fonksiyonların grafikleri, ve şimdi konu ayrıntılı olarak değerlendiriliyor.

Peki asimptot nedir?

Hayal etmek değişken nokta, fonksiyonun grafiği boyunca "hareket eder". asimptot dümdüz, nereye sınırsız yakın fonksiyonun grafiği, onu kaldırdığınızda yaklaşır değişken nokta sonsuzluğa.

Not : gösterimde ifadeye ihtiyacınız varsa tanım anlamlıdır matematiksel analiz lütfen öğreticiye bakın.

Bir düzlemde, asimptotlar doğal düzenlemelerine göre sınıflandırılır:

1) Dikey asimtotlarşeklinde bir denklemle verilir, burada "alfa" - gerçek Numara. Popüler temsilci, y ekseninin kendisini tanımlar,
hafif bir mide bulantısı kriziyle abartmayı hatırlıyoruz.

2) eğik asimptotlar geleneksel olarak yazılmış düz çizgi denklemiİle eğim faktörü. Bazen ayrı grup tahsis etmek özel durum – yatay asimptotlar. Örneğin, asimptot ile aynı hiperbol.

Çabucak başlıyoruz, konuyu kısa bir otomatik patlamayla vuralım:

Bir fonksiyonun grafiğinde kaç tane asimptot olabilir?

Yok, bir, iki, üç... veya sonsuz bir sayı. Örnekler için uzağa gitmeyeceğiz, hatırlayacağız temel fonksiyonlar. Parabol, kübik parabol, sinüsoid hiç asimptota sahip değildir. üstel grafik, logaritmik fonksiyon benzersiz bir asimptota sahiptir. Arktanjant, arktanjant iki taneye sahiptir ve tanjant, kotanjant sonsuz sayıdadır. Bir grafiğin hem yatay hem de dikey asimptotlara sahip olması alışılmadık bir durum değildir. Abartma, seni her zaman sevecek.

Ne demek ?

Bir fonksiyonun grafiğinin dikey asimptotları

Bir grafiğin dikey asimptotu genellikle sonsuzluk noktasında fonksiyonlar. Çok basit: eğer bir fonksiyon bir noktada sonsuz kırılmaya maruz kalırsa, o zaman düz bir çizgi, denklem tarafından verilen grafiğin dikey asimptotudur.

Not : gösterimin iki mükemmel belirtmek için kullanıldığına dikkat edin farklı kavramlar. Nokta ima edilir veya düz bir çizginin denklemi - bağlama bağlıdır.

Bu nedenle, bir noktada dikey bir asimptotun varlığını belirlemek için şunu göstermek yeterlidir: en az bir tek taraflı limitlerden sonsuz. Çoğu zaman bu, işlevin paydasının bulunduğu noktadır. sıfır. Özünde, dikey asimptotları zaten bulduk. son örnekler ders fonksiyonun sürekliliği üzerine. Ancak bazı durumlarda, yalnızca bir tek taraflı sınır vardır ve eğer sonsuzsa, o zaman tekrar - dikey asimptotu sevin ve destekleyin. En basit örnek: ve y ekseni (bkz. Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri).

Ayrıca yukarıdakilerden takip eder bariz gerçek: fonksiyon sürekli açıksa, o zaman dikey asimptot yoktur. Nedense aklıma bir parabol geldi. Gerçekten de, burada düz bir çizgiyi nereye "yapıştırabilirsiniz"? ... evet ... anlıyorum ... Freud Amca'nın takipçileri histerik bir şekilde bir araya geldi =)

Karşıt ifade genellikle doğru değildir: örneğin, işlev gerçek satırın tamamında tanımlanmamıştır, ancak asimptotlardan tamamen yoksundur.

Bir fonksiyonun grafiğinin eğik asimptotları

Eğik (özel bir durum olarak - yatay) asimptotlar, işlev bağımsız değişkeni "artı sonsuz" veya "eksi sonsuz" eğilimindeyse çizilebilir. Bu yüzden bir fonksiyonun grafiği ikiden fazla eğik asimptota sahip olamaz. Örneğin, üstel bir fonksiyonun grafiğinde tek bir yatay asimptot vardır ve ark teğetinin grafiğinde bu tür iki asimptot ve farklı olanlar vardır.

Buradaki grafik tek eğik asimptota yaklaştığında, "sonsuzlukları" altında birleştirmek gelenekseldir. tek kayıt. Örneğin, ... doğru tahmin ettiniz: .

Genel pratik kural :

eğer iki tane varsa son limit , o zaman düz çizgi, deki fonksiyonun grafiğinin eğik asimptotudur. Eğer en az bir yukarıdaki limitlerin sayısı sonsuz ise, eğik asimptot yoktur.

Not : "x" yalnızca "artı sonsuza" veya yalnızca "eksi sonsuza" eğilimliyse formüller geçerli kalır.

Parabolün eğik asimptotları olmadığını gösterelim:

Limit sonsuzdur, dolayısıyla eğik asimptot yoktur. Limiti bulurken dikkat edin cevap zaten alındığından artık gerekli değil.

Not : artı-eksi, eksi-artı işaretlerini anlamakta güçlük çekiyorsanız (veya yaşayacaksanız), lütfen dersin başındaki yardıma bakın.
sonsuz küçük fonksiyonlar hakkında, bu işaretleri nasıl doğru yorumlayacağımı söylediğim yer.

Açıkçası, herhangi bir ikinci dereceden için, kübik fonksiyon, polinom 4. ve daha yüksek dereceler ayrıca eğik asimptotlar da yoktur.

Ve şimdi grafiğin de eğik bir asimptotu olmadığından emin olalım. Belirsizliği ortaya çıkarmak için, L'Hopital'in kuralı:
, doğrulanacak olan.

Bununla birlikte, fonksiyon sonsuza kadar büyüdüğünde, grafiğinin yaklaşacağı böyle bir düz çizgi yoktur. sonsuz yakın.

Dersin pratik kısmına geçelim:

Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotları nasıl bulunur?

tabiri böyle tipik görev ve grafiğin TÜM asimptotlarını (dikey, eğik/yatay) bulmayı içerir. Sorunun formülasyonunda daha kesin olmak gerekirse, asimptotların varlığına yönelik bir çalışmadan bahsediyoruz (sonuçta hiç olmayabilir). Basit bir şeyle başlayalım:

örnek 1

Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Çözüm Bunu iki noktaya ayırmak uygundur:

1) Önce düşey asimptot olup olmadığını kontrol ederiz. Payda noktasında kaybolur ve bu noktada fonksiyonun zarar gördüğü hemen anlaşılır. sonsuz boşluk ve denklem tarafından verilen düz çizgi, fonksiyonun grafiğinin dikey asimptotudur. Ancak böyle bir sonuca varmadan önce tek taraflı sınırlar bulmak gerekir:

Makalede de aynı şekilde üzerinde durduğum hesaplama tekniğini hatırlatırım. Fonksiyon sürekliliği. kırılma noktaları. Limit işaretinin altındaki ifadede "x" yerine . Payda ilginç bir şey yok:
.

Ama paydada çıkıyor sonsuz küçük negatif bir sayı :
, limitin kaderini belirler.

Soldaki limit sonsuzdur ve prensip olarak düşey bir asimptotun varlığı hakkında bir karara varmak zaten mümkündür. Ancak tek taraflı sınırlar sadece bunun için gerekli değildir - ANLAMAYA YARDIMCI OLURLAR, NASIL fonksiyonun grafiği bulunur ve çizilir DOĞRU ŞEKİLDE. Bu nedenle, sağ limiti de hesaplamalıyız:

Çözüm: tek taraflı limitler sonsuzdur, yani çizgi, fonksiyonun grafiğinin dikey bir asimptotudur.

İlk sınır sonlu, bu, "sohbete devam etmenin" ve ikinci sınırı bulmanın gerekli olduğu anlamına gelir:

İkinci sınır da sonlu.

Yani bizim asimptotumuz:

Çözüm: Denklemin verdiği düz çizgi, deki fonksiyonun grafiğinin yatay asimptotudur.

Yatay asimptotu bulmak için
Basitleştirilmiş formülü kullanabilirsiniz:

varsa sonlu limit , o zaman çizgi , noktasındaki fonksiyonun grafiğinin yatay asimptotu olur.

Fonksiyonun pay ve paydasının aynı olduğunu görmek kolaydır. bir büyüme sırası, bu, istenen sınırın sonlu olacağı anlamına gelir:

Cevap:

Koşula göre, çizimi tamamlamak gerekli değildir, ancak tüm hızıyla devam ediyorsa fonksiyon araştırması, ardından taslakta hemen bir eskiz yaparız:

Bulunan üç sınıra dayanarak, fonksiyonun grafiğinin nasıl yerleştirilebileceğini bağımsız olarak anlamaya çalışın. Oldukça zor? 5-6-7-8 noktalarını bulun ve bunları çizim üzerinde işaretleyin. Ancak, bu fonksiyonun grafiği kullanılarak oluşturulur. temel fonksiyon grafiğinin dönüşümleri ve bu makaledeki Örnek 21'i dikkatlice inceleyen okuyucular, bunun ne tür bir eğri olduğunu kolayca tahmin edeceklerdir.

Örnek 2

Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Bu için bir örnek bağımsız karar. Size hatırlatırım, süreç uygun bir şekilde iki noktaya ayrılır - dikey asimptotlar ve eğik asimptotlar. Örnek çözümde, basitleştirilmiş bir şema kullanılarak yatay asimptot bulunur.

Uygulamada, kesirli-rasyonel işlevlere en sık rastlanır ve hiperboller üzerine eğitimden sonra görevi karmaşıklaştıracağız:

Örnek 3

Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Çözüm: Bir, iki ve bitti:

1) Düşey asimptotlar bulunur sonsuz süreksizlik noktalarında, bu nedenle paydanın sıfıra gidip gitmediğini kontrol etmeniz gerekir. Karar vereceğiz ikinci dereceden denklem:

Diskriminant pozitiftir, bu nedenle denklemin iki gerçek kökü vardır ve iş önemli ölçüde eklenir =)

Tek taraflı limitleri daha fazla bulmak için kare üç terimliçarpanlarına ayırmak uygun:
(kompakt gösterim için, ilk parantez içinde "eksi" eklenmiştir). Güvenlik ağı için, parantezleri açarak zihinsel veya taslak üzerinde bir kontrol yapacağız.

Fonksiyonu formda yeniden yazalım

Şu noktada tek taraflı limitleri bulun:

Ve noktada:

Dolayısıyla, düz çizgiler, söz konusu fonksiyonun grafiğinin dikey asimptotlarıdır.

2) Fonksiyona bakarsanız , o zaman limitin sonlu olacağı ve yatay bir asimptota sahip olacağımız oldukça açıktır. Kısaca gösterelim:

Böylece, düz çizgi (apsis), bu fonksiyonun grafiğinin yatay asimptotudur.

Cevap:

Bulunan limitler ve asimptotlar, fonksiyonun grafiği hakkında birçok bilgi verir. Aşağıdaki gerçekleri dikkate alarak çizimi zihinsel olarak hayal etmeye çalışın:

Grafik versiyonunuzu bir taslak üzerinde çizin.

Tabii ki, bulunan limitler kesin olarak grafiğin türünü belirlemez ve bir hata yapabilirsiniz, ancak alıştırmanın kendisi sırasında paha biçilmez bir yardımcı olacaktır. tam işlevli çalışma. Doğru resim dersin sonundadır.

Örnek 4

Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Örnek 5

Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Bunlar bağımsız karar verme görevleridir. Her iki grafik de yine yatay asimptotlara sahiptir ve bunlar tarafından hemen algılanır. aşağıdaki özellikler: Örnek 4'te büyüme sırası payda Daha payın büyüme sırasına göre ve Örnek 5'te pay ve payda bir büyüme sırası. Örnek çözümde, birinci fonksiyon tam olarak eğik asimptotların varlığı için, ikinci fonksiyon ise limit boyunca araştırılır.

Benim öznel izlenimime göre yatay asimptotlar, "gerçekten eğimli" olanlardan belirgin şekilde daha yaygındır. uzun zamandır beklenen Genel dava:

Örnek 6

Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Çözüm: türün klasikleri:

1) Payda pozitif olduğundan fonksiyon sürekli tüm sayı doğrusunda ve dikey asimptotlar yok. …İyi mi? Doğru kelime değil - mükemmel! 1 numaralı öğe kapatıldı.

2) Eğik asimptotların varlığını kontrol edin:

İlk sınır sonlu, öyleyse devam edelim. Ortadan kaldırılacak ikinci limitin hesaplanması sırasında belirsizlik "sonsuz eksi sonsuz" ifadeyi getirmek ortak payda:

İkinci sınır da sonlu, bu nedenle, söz konusu fonksiyonun grafiği eğik bir asimptota sahiptir:

Çözüm:

Böylece, fonksiyonun grafiği için sonsuz yakın düz bir çizgiye yaklaşır:

Eğik asimptotunu orijinde kestiğine ve bu tür kesişme noktalarının oldukça kabul edilebilir olduğuna dikkat edin - sonsuzlukta "her şeyin normal olması" önemlidir (aslında tam olarak orada asimptotlardan bahsediyoruz).

Örnek 7

Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Çözüm: yorumlanacak özel bir şey yok, bu yüzden yayınlayacağım örnek örnek temiz çözüm:

1) Düşey asimptotlar. Noktayı keşfedelim.

Düz çizgi, noktasındaki çizim için dikey asimptottur.

2) Eğik asimptotlar:

Düz çizgi, noktasındaki grafik için eğik asimptottur.

Cevap:

Bulunan tek taraflı limitler ve asimptotlar, bu fonksiyonun grafiğinin neye benzediğini yüksek bir kesinlikle varsaymamızı sağlar. Dersin sonunda doğru çizim.

Örnek 8

Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Bu, bağımsız bir çözüm için bir örnektir, bazı limitleri hesaplama kolaylığı için, payı terim paydaya bölebilirsiniz. Ve yine sonuçları analiz ederek bu fonksiyonun grafiğini çizmeye çalışın.

Açıkçası, "gerçek" eğik asimptotların sahipleri, bunların grafikleridir. kesirli rasyonel fonksiyonlar payın en yüksek gücü olan bir tane daha paydanın en yüksek derecesi. Daha fazla ise, eğik asimptot olmayacaktır (örneğin, ).

Ancak hayatta başka mucizeler de olur:

Örnek 9

Örnek 11

Asimptotlar için bir fonksiyonun grafiğini inceleyin

Çözüm: belli ki , bu nedenle, yalnızca fonksiyonun bir grafiğinin olduğu sağ yarım düzlemi dikkate alıyoruz.

Dolayısıyla, düz çizgi (y ekseni), deki fonksiyonun grafiği için dikey asimptottur.

2) Eğik asimptota ilişkin bir araştırma, kullanılarak yapılabilir. tam şema, ancak makalede L'Hospital Kuralları bunu öğrendik doğrusal fonksiyon Daha yüksek sipariş logaritmikten daha fazla büyüme, bu nedenle: (aynı dersin 1. örneğine bakın).

Sonuç: apsis ekseni, deki fonksiyonun grafiğinin yatay asimptotudur.

Cevap:
, Eğer ;
, Eğer .

Netlik için çizim:

İlginç bir şekilde, görünüşte benzer bir fonksiyonun hiç asimptotu yoktur (dileyenler bunu kontrol edebilir).

İki son örneklerİçin bireysel çalışma:

Örnek 12

Asimptotlar için bir fonksiyonun grafiğini inceleyin

Çoğu durumda, önce eğrinin asimptotlarını çizerseniz, bir işlevi çizmek daha kolaydır.

Tanım 1. Asimptotlar, değişken artı sonsuza veya eksi sonsuza yöneldiğinde fonksiyonun grafiğinin istenildiği kadar yaklaştığı bu tür doğrular olarak adlandırılır.

Tanım 2. Değişken noktadan uzaklık varsa, düz bir çizgiye bir fonksiyonun grafiğinin asimptotu denir. M bu doğruya kadar olan fonksiyonun grafiği, nokta sonsuza kadar uzaklaştıkça sıfıra meyleder M fonksiyonun grafiğinin herhangi bir dalı boyunca koordinatların orijininden.

Üç tür asimptot vardır: dikey, yatay ve eğik.

Dikey asimtotlar

Tanım. Dümdüz X = A dır-dir fonksiyonun grafiğinin dikey asimptotu eğer nokta X = A dır-dir ikinci türden kırılma noktası bu özellik için

Tanımdan, çizginin X = A fonksiyonun grafiğinin dikey asimptotu F(X) aşağıdaki koşullardan en az birinin karşılanması durumunda:

Aynı zamanda fonksiyon F(X) için sırasıyla hiç tanımlanmayabilir X ≥ A Ve X ≤ A .

Yorum:

örnek 1 Fonksiyon Grafiği y=ln X dikey bir asimptota sahiptir X= 0 (yani, eksenle çakışan Oy) tanım bölgesinin sınırında, çünkü x sağda sıfıra eğilimli olduğu için fonksiyonun limiti eksi sonsuza eşittir:

(yukarıdaki şekil).

kendi başınıza ve sonra çözümleri görün

Örnek 2 Fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun.

Örnek 3 Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

yatay asimptotlar

Eğer (argüman artı veya eksi sonsuza gittiğinde fonksiyonun limiti bir değere eşitse) B), O y = B – Yatay asimptot çarpık y = F(X ) (x artı sonsuza giderken sağda, x eksi sonsuza giderken solda ve x artı veya eksi sonsuza giderken limitler eşitse iki taraflı).

Örnek 5 Fonksiyon Grafiği

de A> 1 sol yatay asimptota sahiptir y= 0 (yani, eksenle çakışan Öküz), çünkü "x" eksi sonsuza meylettiğinde fonksiyonun limiti sıfıra eşittir:

Eğrinin dik bir yatay asimptotu yoktur, çünkü x'in eğilimi artı sonsuza giderken fonksiyonun limiti sonsuza eşittir:

eğik asimptotlar

Yukarıda ele aldığımız dikey ve yatay asimptotlar koordinat eksenlerine paraleldir, bu yüzden onları oluşturmak için sadece ihtiyacımız vardı. belirli sayı- asimptotun geçtiği apsis veya ordinat ekseni üzerindeki bir nokta. Eğik asimptot - eğim için daha fazlası gerekiyor k düz çizginin eğim açısını gösteren ve Ücretsiz Üye B, çizginin başlangıç noktasının ne kadar üstünde veya altında olduğunu gösterir. Analitik geometriyi ve ondan - düz bir çizginin denklemlerini unutacak vakti olmayanlar, eğik bir asimptot için bulduklarını fark edeceklerdir. eğim denklemi. Eğik bir asimptotun varlığı, az önce belirtilen katsayıların bulunduğu aşağıdaki teorem ile belirlenir.

teorem. Bir eğri yapmak için y = F(X) bir asimptotu vardı y = kx + B , sonlu limitlerin olması gerekli ve yeterlidir k Ve B değişken eğiliminde olduğundan, incelenen fonksiyonun X artı sonsuza ve eksi sonsuza:

(1)

(2)

Böylece bulunan sayılar k Ve B ve eğik asimptotun katsayılarıdır.

İlk durumda (x artı sonsuza eğilimli olduğunda), sağ eğik asimptot elde edilir, ikinci durumda (x eksi sonsuza eğilimli olduğunda), soldur. Sağ eğik asimptot, Şekil 1'de gösterilmiştir. aşağıdan.

Eğik asimptotun denklemini bulurken, x'in hem artı sonsuza hem de eksi sonsuza eğilimini hesaba katmak gerekir. Bazı fonksiyonlar için, örneğin kesirli rasyoneller için bu limitler çakışır, ancak birçok fonksiyon için bu limitler farklıdır ve bunlardan sadece biri olabilir.

Sınırlar, artı sonsuza ve eksi sonsuza eğilimli x ile çakıştığında, düz çizgi y = kx + B eğrinin iki taraflı bir asimptotu.

Asimptotu tanımlayan sınırlardan en az biri ise y = kx + B , yoksa, fonksiyonun grafiğinde eğik bir asimptot yoktur (ancak dikey olabilir).

Yatay asimptot olduğunu görmek kolaydır y = B eğik özel bir durumdur y = kx + B de k = 0 .

Bu nedenle, eğer bir eğri herhangi bir yönde yatay bir asimptota sahipse, o zaman o yönde eğik bir asimptot yoktur ve bunun tersi de geçerlidir.

Örnek 6 Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Çözüm. İşlev, hariç tüm sayı satırında tanımlanır. X= 0 , yani

Bu nedenle kırılma noktasında X= 0 eğri dikey bir asimptota sahip olabilir. Aslında, x soldan sıfıra meylederken fonksiyonun limiti artı sonsuzdur:

Buradan, X= 0, bu fonksiyonun grafiğinin dikey asimptotudur.

Bu fonksiyonun grafiği yatay bir asimptota sahip değildir, çünkü x artı sonsuza meylettiğinde fonksiyonun limiti artı sonsuza eşittir:

Eğik bir asimptotun varlığını bulalım:

Sınırlı sınırlar var k= 2 ve B= 0 Dümdüz y = 2X bu fonksiyonun grafiğinin iki taraflı bir eğik asimptotudur (şek. örneğin içinde).

Örnek 7 Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Çözüm. Fonksiyonun bir kırılma noktası var X= -1 . Tek taraflı limitleri hesaplayalım ve süreksizliğin türünü belirleyelim:

Çözüm: X= −1, ikinci türden bir süreksizlik noktasıdır, dolayısıyla doğru X= −1, bu fonksiyonun grafiğinin dikey asimptotu.

Eğik asimptotlar aranıyor. Çünkü verilen işlev- kesirli-rasyonel, ve de sınırları çakışacaktır. Böylece, düz çizgi - eğik asimptotu denklemde ikame etmek için katsayıları buluyoruz:

Bulunan katsayıları eğimli düz bir çizginin denkleminde değiştirerek, eğik asimptotun denklemini elde ederiz:

y = −3X + 5 .

Şekilde fonksiyonun grafiği bordo renkle, asimptotlar ise siyah renkle gösterilmiştir.

Örnek 8 Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Çözüm. Bu fonksiyon sürekli olduğu için grafiğinde düşey asimptot yoktur. Eğik asimptotları arıyoruz:

Böylece, bu fonksiyonun grafiği bir asimptota sahiptir. y= 0'da ve asimptotu yok.

Örnek 9 Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Çözüm. İlk olarak, dikey asimptotları ararız. Bunun için fonksiyonun tanım alanını buluyoruz. İşlev, eşitsizlik ve 'yi tuttuğunda tanımlanır. değişken işareti X işaretiyle eşleşir. Bu nedenle, eşdeğer eşitsizliği düşünün. Bundan, işlevin kapsamını elde ederiz: . Düşey asimptot, yalnızca fonksiyonun etki alanının sınırında olabilir. Ancak X= 0, dikey bir asimptot olamaz, çünkü fonksiyon şu şekilde tanımlanmıştır: X = 0 .

Şu noktada sağdaki limiti göz önünde bulundurun (soldaki limit mevcut değil):

Nokta X= 2, ikinci türden bir süreksizlik noktasıdır, dolayısıyla çizgi X= 2 - bu fonksiyonun grafiğinin dikey asimptotu.

Eğik asimptotları arıyoruz:

Bu yüzden, y = X+ 1 - bu fonksiyonun grafiğinin eğik asimptotu . Aşağıdakiler için eğik bir asimptot arıyoruz:

Bu yüzden, y = −X − 1 - eğik asimptot .

Örnek 10 Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Çözüm. Fonksiyonun bir kapsamı var . Bu fonksiyonun grafiğinin dikey asimptotu yalnızca tanım bölgesinin sınırında olabileceğinden, fonksiyonun tek taraflı limitlerini .

Tanım . Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotu, fonksiyonun grafiğinin noktasından bu çizgiye olan uzaklığın, grafik noktasının orijininden sınırsız bir mesafe ile sıfıra eğilimli olma özelliğine sahip bir çizgidir..

Bunları bulma yöntemlerine göre, üç tür asimptot ayırt edilir: dikey, yatay, eğik.

Açıkçası, yatay olanlar eğimli olanların özel durumlarıdır (için).

Fonksiyon grafiğinin asimptotlarını bulmak aşağıdaki ifadelere dayanmaktadır.

teorem 1 . Fonksiyonun en azından noktanın bazı yarı komşuluklarında tanımlanmasına izin verin ve tek taraflı limitlerinden en az birinin bu noktada sonsuz olmasına izin verin, yani eşit. O zaman düz çizgi, fonksiyonun grafiğinin dikey asimptotu olur..

Bu nedenle, fonksiyon grafiğinin dikey asimptotları, fonksiyonun süreksizlik noktalarında veya tanım alanının uçlarında (bunlar sonlu sayılarsa) aranmalıdır.

teorem 2 . Fonksiyon, mutlak değerde yeterince büyük olan ve fonksiyonun sonlu bir limiti olan argüman değerleri için tanımlansın. . O zaman doğru, fonksiyonun grafiğinin yatay asimptotu olur.

Olabilir , A ve sonlu sayılardır, o zaman grafiğin iki farklı yatay asimptotu vardır: solak ve sağlak. Sonlu limitlerden yalnızca biri veya mevcutsa, grafiğin ya bir sol-elli ya da bir sağ-elli yatay asimtotu vardır.

teorem 3 . Mutlak değerde yeterince büyük olan ve sonlu limitler olan argüman değerleri için fonksiyon tanımlansın. Ve . O zaman düz çizgi, fonksiyonun grafiğinin eğik asimptotu olur..

Bu limitlerden en az biri sonsuzsa, eğik asimptot olmadığına dikkat edin.

Eğik asimptot, yatay asimptot gibi tek taraflı olabilir.

Örnek. Fonksiyon grafiğinin tüm asimptotlarını bulun.

Çözüm.

Fonksiyon ile tanımlanır. noktalarda tek yönlü limitlerini bulalım.

Çünkü Ve (diğer iki tek taraflı limit artık bulunamaz), o zaman çizgiler fonksiyonun grafiğinin dikey asimptotlarıdır.

bilgi işlem

(L'Hopital kuralını uygulayın) = .

Yani doğru yatay bir asimptottur.

Yatay asimptot var olduğundan, artık eğik asimptotlar aramıyoruz (onlar yok).

Cevap: Grafiğin iki dikey ve bir yatay asimptotu vardır.

Genel Fonksiyon Çalışmasıy = F (X ).

İşlev kapsamı. Etki alanını bulun D(F) . Çok zor değilse aralığı da bulmakta fayda var. E(F) . (Bununla birlikte, çoğu durumda, bulma sorunu E(F) fonksiyonun uç noktaları bulunana kadar ertelenir.)

Bir fonksiyonun özel özellikleri. Açığa çıkarmak Genel Özellikler fonksiyonlar: çift, tek, periyodik, vb. Her fonksiyon çift veya tek gibi özelliklere sahip değildir. Tanım alanı, eksendeki 0 noktası etrafında asimetrik ise, bir fonksiyon kesinlikle ne çift ne de tektir. Öküz. Aynı şekilde, herhangi bir periyodik fonksiyon için tanım alanı ya tüm gerçek eksenden ya da periyodik olarak tekrarlanan boşluk sistemlerinin birleşiminden oluşur.

Dikey asimtotlar. Bağımsız değişken tanım alanının sınır noktalarına yaklaştığında işlevin nasıl davrandığını öğrenin D(F) eğer böyle sınır noktaları varsa. Bu durumda dikey asimptotlar görünebilir. Fonksiyonun tanımlanmadığı süreksizlik noktaları varsa, bu noktalarda fonksiyonun düşey asimptotlarının varlığı da kontrol edilir.

Eğik ve yatay asimptotlar. eğer kapsam D(F) (a;+) veya (-;b) şeklindeki ışınları içerir, o zaman sırasıyla x+ veya x−'de eğik asimptotlar (veya yatay asimptotlar) bulmaya çalışabiliriz, yani limxf(x)'i bulun. eğik asimptotlar : y = kx + B, burada k=limx+xf(x) ve b=limx+(f(x)−x). yatay asimptotlar : y = B, burada limxf(x)=b.

Grafiğin eksenlerle kesişme noktalarını bulma. Grafiğin eksenle kesişme noktasını bulma Oy. Bunu yapmak için değeri hesaplamanız gerekir. F(0). Grafiğin eksenle kesişme noktalarını da bulun Öküz, neden denklemin köklerini buluyorsunuz? F(X) = 0 (veya kök olmadığından emin olun). Denklem genellikle yalnızca yaklaşık olarak çözülebilir, ancak köklerin ayrılması grafiğin yapısını daha iyi anlamaya yardımcı olur. Ardından, kökler ve kırılma noktaları arasındaki aralıklarda fonksiyonun işaretini belirlemeniz gerekir.

Grafiğin asimptot ile kesişme noktalarını bulma. Bazı durumlarda bulmak gerekli olabilir karakteristik noktalarönceki paragraflarda bahsedilmeyen grafikler. Örneğin, fonksiyonun eğik bir asimptotu varsa, grafiğin bu asimptot ile herhangi bir kesişme noktası olup olmadığını bulmaya çalışabilirsiniz.

Dışbükeylik ve içbükeylik aralıklarını bulma. Bu, ikinci türev f(x)'in işareti incelenerek yapılır. Dışbükey ve içbükey aralıkların birleşim noktalarındaki bükülme noktalarını bulun. Bükülme noktalarında fonksiyonun değerini hesaplayın. Fonksiyonun başka süreklilik noktaları varsa ( Eğilme noktaları) ikinci türevin 0'a eşit olduğu veya bulunmadığı durumlarda, bu noktalarda fonksiyonun değerini hesaplamak da yararlıdır. f(x)'i bulduktan sonra, f(x)0 eşitsizliğini çözeriz. Çözüm aralıklarının her birinde, fonksiyon aşağı doğru dışbükey olacaktır. f(x)0 ters eşitsizliğini çözerek, fonksiyonun yukarı doğru dışbükey (yani içbükey) olduğu aralıkları buluruz. Bükülme noktalarını, fonksiyonun dışbükeylik yönünü değiştirdiği (ve sürekli olduğu) noktalar olarak tanımlarız.

Şekil 3.10. grafik örnekler verilir dikey, yatay Ve eğik asimptot.

Grafiğin asimptotlarını bulmak aşağıdaki üç teoreme dayanmaktadır.

Yatay asimptot teoremi. Yeterince büyük x için y \u003d f (x) işlevinin tanımlanmasına izin verin ve işlevin sonlu bir sınırı olsun . O halde y = b doğrusu, fonksiyonun grafiğinin yatay asimptotudur.

Yorum. Sınırlardan yalnızca biri sonluysa, fonksiyon sırasıyla, sol taraflı veya sağ taraflı Yatay asimptot.

olması durumunda, fonksiyon eğik bir asimptota sahip olabilir.

Eğik asimptot teoremi. Yeterince büyük x için y = f(x) fonksiyonu tanımlansın ve sonlu limitler olsun . O halde y = kx + b doğrusu, fonksiyonun grafiğinin eğik bir asimptotudur.

Kanıt olmadan.

Eğik asimptot ve yatay asimptot, karşılık gelen limitlerin temeli belirli bir işaretin sonsuzluğu ise, sağlak veya solak olabilir.

Fonksiyonların incelenmesi ve grafiklerinin oluşturulması genellikle aşağıdaki adımları içerir:

1. Fonksiyonun etki alanını bulun.

2. Çift-tek için fonksiyonu araştırın.

3. Süreksizlik noktalarını ve fonksiyonun tanım kümesinin sınırları üzerindeki davranışını, eğer sonlu iseler inceleyerek düşey asimptotları bulun.

4. Fonksiyonun sonsuzdaki davranışını inceleyerek yatay veya eğik asimptotları bulun.

5. Fonksiyonun ekstremumlarını ve monotonluk aralıklarını bulun.

6. Fonksiyonun dışbükeylik aralıklarını ve bükülme noktalarını bulun.

7. Koordinat eksenleri ve muhtemelen bazılarıyla kesişme noktalarını bulun ek puanlar takvimi açıklığa kavuşturmak.

fonksiyon diferansiyeli

Bir fonksiyonun bazı tabanlar için bir limiti varsa, ispatlanabilir. son sayı, o zaman bu sayının toplamı ve aynı tabana sahip sonsuz küçük bir değer olarak temsil edilebilir (ve tersi): .

Bu teoremi türevlenebilir bir fonksiyona uygulayalım: .

Böylece, Dy fonksiyonunun artışı iki terimden oluşur: 1) Dx'e göre doğrusal, yani. f`(x)Dx; 2) Dx'e göre doğrusal olmayan, yani a(Dx)Dx. Aynı zamanda, beri , bu ikinci terim, Dx'ten daha yüksek bir mertebeden sonsuz küçüktür (Dx sıfıra meylettiği için, sıfıra daha da hızlı meyleder).

Diferansiyel fonksiyon, fonksiyonun artışının Dx kısmına göre doğrusal, ana olarak adlandırılır, ürüne eşit bağımsız değişkenin artımlı türevi dy = f `(x)Dх.

y = x fonksiyonunun diferansiyelini bulun.

dy = f `(x)Dx = x`Dx = Dx olduğundan, dx = Dx, yani bağımsız bir değişkenin diferansiyeli, o değişkenin artışına eşittir.

Bu nedenle, bir fonksiyonun diferansiyel formülü dy = f `(x)dх şeklinde yazılabilir. Bu nedenle türevin sembollerinden biri dy/dх kesridir.

geometrik anlam resimli diferansiyel
şekil 3.11. y = f(x) fonksiyonunun grafiğini alın keyfi nokta M(x, y). X argümanına bir Dx artışı verelim. O zaman y = f(x) fonksiyonu, Dy = f(x + Dх) - f(x) artışını alacaktır. Fonksiyonun grafiğine, x ekseninin pozitif yönüyle a açısı oluşturan M noktasında bir teğet çizelim, yani f `(x) = tg a. İtibaren sağ üçgen MKN
KN \u003d MN * tg a \u003d Dx * tg a \u003d f `(x) Dx \u003d dy.

Böylece, bir fonksiyonun diferansiyeli, x, Dx ile artırıldığında verilen bir noktada fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin ordinatındaki artıştır.

Bir diferansiyelin özellikleri temel olarak bir türevinkilerle aynıdır:

3. d(u ± v) = du ± dv.

4. d(uv) = v du + u dv.

5. d(u/v) = (v du - u dv)/v 2 .

Ancak, var önemli özellik türevi olmayan bir fonksiyonun diferansiyeli diferansiyel form değişmezliği.

y = f(x) fonksiyonu için diferansiyelin tanımından, diferansiyel dy = f`(x)dх şeklindedir. Bu fonksiyon y karmaşık ise, yani y = f(u), burada u = j(x), sonra y = f ve f `(x) = f `(u)*u`. O halde dy = f`(u)*u`dx. Ama işlev için
u = j(x) diferansiyeli du = u`dx. Dolayısıyla dy = f `(u)*du.

dy = f `(x)dх ve dy = f `(u)*du eşitliklerini karşılaştırarak, x bağımsız değişkeninin bir fonksiyonu yerine, bağımlı değişken Diferansiyelin bu özelliği, diferansiyelin formunun (veya formülünün) değişmezliği (yani değişmezliği) olarak adlandırılır.

Ancak yine de bu iki formül arasında bir fark vardır: Birincisinde bağımsız değişkenin diferansiyeli bu değişkenin artışına eşittir, yani. dx = Dx ve ikincisinde, du fonksiyonunun diferansiyeli, bu Du fonksiyonunun artışının yalnızca doğrusal kısmıdır ve yalnızca küçük Dх du » Du için.