Çok ilginç denklemler ve çözümleri. Basit doğrusal denklemleri çözme

Eserin metni görseller ve formüller olmadan yayınlanmaktadır.
Tam sürümÇalışmaya PDF formatında "Çalışma Dosyaları" sekmesinden ulaşılabilir

GİRİİŞ

"Denklem tüm matematik susamlarını açan altın anahtardır"

S. Koval

Okulda alınan matematik eğitimi yaşamın çok önemli bir parçasıdır. modern adam. Bizi çevreleyen hemen hemen her şey bir şekilde matematikle bağlantılıdır. Birçoğunun çözümü pratik problemler denklemlerin çözümüne indirgenir çeşitli türler.

Denklemler en çok hacimli konu tüm cebir dersi. Geçmişte akademik yıl Cebir derslerinde ikinci dereceden denklemleri öğrendik. İkinci dereceden denklemler hem matematik alanında hem de fizik ve kimya alanında çeşitli problemlerin çözümünde yaygın olarak kullanılmaktadır.

İÇİNDE okul kursu temel matematik çalışılıyor çözümlerİkinci dereceden denklemler. Ancak ikinci dereceden denklemleri çözmek için başka teknikler de vardır; bunlardan bazıları bunları hızlı ve rasyonel bir şekilde çözmenize olanak tanır.

8-9. sınıflardaki 84 öğrenciyle iki soru üzerine bir anket yaptık:

İkinci dereceden denklemleri çözmenin hangi yöntemlerini biliyorsunuz?

En sık hangilerini kullanıyorsunuz?

Anket sonuçlarına göre aşağıdaki sonuçlar elde edildi:

Elde edilen sonuçları analiz ettiğimizde çoğu öğrencinin ikinci dereceden denklemleri çözerken diskriminant kullanarak kök formülleri kullandığı ve ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüleceği konusunda yeterince bilgi sahibi olmadığı sonucuna vardık.

Bu nedenle seçtiğimiz konu konuyla alakalıdır.

Kendimizi belirledik hedef: ikinci dereceden denklemleri çözmenin alışılmadık yollarını keşfetmek, 8. ve 9. sınıflardaki öğrencilere çeşitli şekillerde Karar verme, seçme yeteneğini geliştirme rasyonel yolİkinci dereceden bir denklemin çözümü.

Bu hedefe ulaşmak için aşağıdakileri çözmeniz gerekir görevler:

İkinci dereceden denklemleri çözmenin farklı yolları hakkında bilgi toplamak,

Bulunan çözümlere hakim olun,

Excel'de ikinci dereceden bir denklemin köklerine ilişkin formülleri kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözmek için bir program oluşturmak,

Bir ders veya ders dışı etkinlik için didaktik materyal geliştirmek standart dışı yöntemler ikinci dereceden denklemlerin çözümü,

8 - 9. sınıf öğrencileriyle “İkinci dereceden denklemleri çözmenin alışılmadık yolları” dersini yürütün.

Çalışmanın amacı: ikinci dereceden denklemler.

Çalışmanın konusu: ikinci dereceden denklemleri çözmenin çeşitli yolları.

Çalışmanın pratik öneminin matematik derslerinde ikinci dereceden denklemleri çözmek için bir dizi teknik ve yöntem kullanma olasılığında yattığına inanıyoruz. ders dışı aktiviteler ve ayrıca 8-9. Sınıflardaki öğrencileri bu materyalle tanıştırmak.

1. BÖLÜM DÖRTLÜ DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜNDE OLAĞANÜSTÜ YÖNTEMLER

1. 1. KATSAYILARIN ÖZELLİKLERİ (a,b,c)

Yöntem katsayıların özelliklerine dayanmaktadır. ABC:

Eğer a+b+c=0, o zaman = 1, =

Örnek:

-6x 2 + 2x +4=0, o zaman = 1, = = .

Eğer a - b+c=0, o zaman = -1, = -

Örnek:

2017x 2 + 2001х +16 =0, o zaman = -1, -.

1. 1. KATSAYILARIN BAĞIMLILIKLARI (a,b,c)

Katsayıların aşağıdaki bağımlılıkları geçerlidir: ABC:

Eğer b=a 2 +1, c=a ise x 1 =-a; x2 = - .

Eğer b=-(a 2 +1), a=c ise x 1 =a; x 2 =.

Eğer b=a 2 -1, c=-a ise x 1 =-a; x2 = .

Eğer b=-(a 2 -1), -a=c ise x 1 =a; x2 = - .

Aşağıdaki denklemleri çözelim:

5x 2 + 26x + 5 = 0

X 1 = -5

X 2 = - 0,2.

13x 2 - 167x + 13 = 0

X 1 =13x 2 =

14x 2 + 195x - 14 = 0

X 1 = - 14x 2 =

10x 2 - 99x - 10 = 0

X 1 =10x 2 =-0,1.

1. 1. ANA ORANIN “TRANSFERİ”

Katsayı A serbest terimle çarpılır, sanki ona “atılmış” gibi, bu yüzden buna “atma” yöntemi denir. Daha sonra kökler Vieta teoremi kullanılarak bulunur. Bulunan kökler önceden aktarılan katsayıya bölünür, bu sayede denklemin köklerini buluruz.

Örnek:

2x 2 - 3x + 1 = 0.

"Hadi yuvarlayalım" oranı 2'ye ücretsiz üye sonuç olarak denklemi elde ederiz

en 2 - 3у + 2 = 0.

Vieta teoremine göre

en 1 = 2,x 1 = 2/2 , x 1 = 1,

en 2 = 1; X 2 = 1/2; X 2 = 0,5.

Cevap: 0,5; 1.

1. 1. GRAFİK ÇÖZÜM YÖNTEMİ

Eğer denklemde ise X 2 + bx + c= 0 ikinci ve üçüncü terimleri şuraya taşıyın sağ taraf, sonra bir elde ederiz X 2 = -bx-C .

Bağımlılık grafikleri oluşturalım en= balta 2 ve en= -bx-C tek bir koordinat sisteminde.

Birinci bağımlılığın grafiği orijinden geçen bir paraboldür. İkinci bağımlılığın grafiği düzdür.

Aşağıdaki durumlar mümkündür:

düz bir çizgi ve bir parabol iki noktada kesişebilir, kesişme noktalarının apsisleri ikinci dereceden denklemin kökleridir;

Bir düz çizgi ve bir parabol birbirine dokunabilir (yalnızca bir ortak nokta), yani. denklemin bir çözümü var;

düz bir çizgi ve parabol yoktur ortak noktalar, yani ikinci dereceden bir denklemin kökleri yoktur.

Aşağıdaki denklemleri çözelim:

1) x 2 + 2x - 3 = 0

x 2 = - 2x + 3

Bir koordinat sisteminde, y = x 2 fonksiyonunun bir grafiğini ve y = - 2x + 3 fonksiyonunun bir grafiğini oluşturacağız. Kesişme noktalarının apsislerini işaretleyerek cevaba ulaşıyoruz.

Cevap: x 1 = - 3, x 2 = 1.

2) x 2 + 6x +9 = 0

x 2 = - 6x - 9

Bir koordinat sisteminde, y = x 2 fonksiyonunun bir grafiğini ve y = -6x - 9 fonksiyonunun bir grafiğini oluşturacağız. Teğet noktasının apsisini belirledikten sonra cevabı alacağız.

Cevap: x= - 3.

3) 2x2 + 4x +7=0

2x2 = - 4x - 7

Bir koordinat sisteminde y = 2x 2 fonksiyonunun bir grafiğini ve fonksiyonun bir grafiğini oluşturacağız

y = 2x 2 parabolünün ve y = - 4x - 7 düz çizgisinin ortak noktaları yoktur, dolayısıyla denklemin kökleri yoktur.

Cevap: Kök yok.

1. 1. DÖRTLÜ DENKLEMLERİN PUSUL VE CETVELLER KULLANILARAK ÇÖZÜLMESİ

Denklemiх 2 +bх+c=0 olarak çözelim:

Çemberin merkezi olan S(-b:2a,(a+c):2a) noktalarını ve A(0,1) noktasını oluşturalım.

SA yarıçaplı bir daire çizin.

Ox ekseni ile kesişme noktalarının apsisleri orijinal denklemin kökleridir.

Bu durumda üç durum mümkündür:

1) Çemberin yarıçapı merkezin koordinatından daha büyüktür ( AS>SK, veya R>), daire eksenle kesişiyor Ah iki noktada..B( X 1 ; 0) ve D(x 2 ;0), burada X 1 Ve X 2 - ikinci dereceden denklemin kökleri Ah 2 + bx + c = 0.

2) Çemberin yarıçapı merkezin ordinatına eşittir ( AS = SВ, veya r=), daire eksene dokunuyor Ah B noktasında ( X 1 ; 0), nerede X 1 - ikinci dereceden bir denklemin kökü.

3) Çemberin yarıçapı merkezin koordinatından küçüktür ( GİBİ< SВ , veya R< ), dairenin x ekseniyle ortak noktası yoktur, bu durumda denklemin çözümü yoktur.

A) AS > SВ veya R>, B) AS = SВ veya r= V) GİBİ< SВ, veya R< .

İki çözüm X 1 Ve X 2 . Tek çözüm X 1.. Çözümü yok.

Örnek 1: 2x2 - 8x + 6 = 0.

Çözüm:

Yarıçaplı bir daire çizelim S.A. Nerede A (0;1).

Cevap: x 1 = 1, x 2 = 3.

Örnek 2: x 2 - 6x + 9 = 0.

Çözüm: S: x=3, y=5 koordinatlarını bulalım.

Cevap: x=3.

Örnek 3: x 2 + 4 x + 5 = 0.

Çözüm: Daire merkezinin koordinatları: x= - 2 ve y = 3.

Cevap: Kök yok

1. 1. NOMOGRAM KULLANARAK ÇÖZÜM

Nomogram (Yunanca “nomos”tan - yasa ve gramdan), grafik gösterimi fonksiyonel bağımlılıkları hesaplama yapmadan keşfetmek için basit geometrik işlemlerin (örneğin bir cetvel uygulama) kullanılmasına olanak tanıyan çeşitli değişkenlerin fonksiyonları. Örneğin ikinci dereceden bir denklemi formül kullanmadan çözmek.

Bu, ikinci dereceden denklemleri çözmenin eski ve artık unutulmuş bir yöntemidir; koleksiyonun 83. sayfasında yer almaktadır: Bradis V.M. "Dört basamaklı matematiksel tablolar." - M., “Drofa”, 2000. Tablo XXII. Denklemi çözmek için nomogram z 2 + pz + q = 0(bkz. Ek 1).

Bu nomogram, ikinci dereceden bir denklemi çözmeden, denklemin köklerini katsayılarından belirlemeye olanak tanır.

Nomogramın eğrisel ölçeği aşağıdaki formüllere göre oluşturulmuştur: doğum günü= , AB =

İnanmak OS = p, ED = q, OE = a(tümü cm cinsinden), üçgenlerin benzerliğinden SAN Ve CDF ikameler ve basitleştirmelerden sonra z 2 + pz + q = 0 denkleminin takip ettiği oranı elde ederiz ve z harfi, eğrisel ölçekte herhangi bir noktanın işareti anlamına gelir.

Örnek 1: z 2 - 9z + 8 = 0.

P ölçeğinde -9 işaretini ve q ölçeğinde 8 işaretini buluyoruz. Bu işaretler boyunca nomogramın kavisli ölçeğini 1 ve 8 işaretlerinde kesen düz bir çizgi çiziyoruz. Bu nedenle denklemin kökleri 1'dir. ve 8.

Cevap: 1; 8.

83. sayfadaki Bradis tablosunda çözülen şey bu denklemdir (bkz. Ek 1).

Örnek 2: 2z 2 - 9z + 2 = 0.

Bu denklemin katsayılarını 2'ye bölerek denklemi elde ederiz:

z 2 - 4,5z + 1 = 0. Nomogram kökleri verir z 1 = 4 Ve z 2 = 0,5.

Cevap: 4; 0,5.

Örnek 3:X 2 - 25x + 66 = 0

P ve q katsayıları ölçek dışıdır. Değiştirme işlemini gerçekleştirelim x = 5z denklemi elde ederiz:

z 2 - 5z + 2,64 = 0,

nomogram kullanarak çözüyoruz.

z'yi elde ederiz 1 = 0,6 Ve z 2 = 4,4,

Neresi X 1 = 5z 1 = 3,0 Ve X 2 = 5z 2 = 22,0.

Cevap: 3; 22.

Örnek 4: z 2 + 5z - 6 = 0, 1 =1 , A negatif kökçıkarma yaparak buluruz pozitif kök- p'den , onlar. z 2 = - p -1= - 5 - 1= -6.

Cevap: 1; -6.

Örnek 5: z 2 - 2z - 8 = 0, nomogram pozitif bir z kökü verir 1 =4, ve negatif z'ye eşittir 2 = - p -4 =

= 2 - 4= -2.

Cevap: 4; -2.

2. BÖLÜM. EXCEL KULLANARAK DÖRTLÜ BİR DENKLEMİN KÖK FORMÜLLERİYLE ÇÖZÜLMESİ

İkinci dereceden bir denklemi çözecek bir program oluşturmaya karar verdik. Excel'i kullanma- yaygın bilgisayar programı. Hesaplamalar yapmak, tabloları ve diyagramları derlemek, basit hesaplamalar yapmak ve karmaşık işlevler. Microsoft Office paketinin bir parçasıdır.

Çarşaf Excel programları formüllerin görüntülendiği yer:

Excel sayfası gösteriliyor somut örnek ikinci dereceden denklemlerin çözümleri X 2 - 14x - 15 = 0:

3. BÖLÜM DÖRTLÜ DENKLEM ÇÖZÜMÜNDEKİ FARKLI YOLLARIN KARŞILAŞTIRILMASI

“Bir cebir öğrencisi için aynı problemi üç veya dört farklı şekilde çözmek çoğu zaman daha faydalıdır. çeşitli görevler. Bir sorunu çözmek çeşitli yöntemler Hangisinin daha kısa ve verimli olduğunu karşılaştırmalar yaparak öğrenebilirsiniz. Deneyim bu şekilde geliştirilir."

Walter Warwick Sawyer

Çalışma sırasında materyal topladık ve ikinci dereceden denklemleri çözmenin (köklerini bulmanın) yollarını inceledik. Denklemlerin farklı yöntemler kullanılarak çözülmesi Ek 2'de sunulmaktadır.

ders çalışıyor farklı yollarİkinci dereceden denklemleri çözerken, her denklem için kökleri bulmak için en etkili ve rasyonel seçeneği seçebileceğiniz sonucuna vardık. Her çözüm belirli durumlarda benzersiz ve kullanışlıdır. Bazı çözüm yöntemleri, OGE'deki görevleri çözerken önemli olan zamandan tasarruf etmenize olanak tanır, diğerleri ise çok büyük katsayılı bir denklemin çözülmesine yardımcı olur. Her yöntemin artılarını ve eksilerini yansıtan bir tablo derleyerek farklı çözüm yöntemlerini karşılaştırmaya çalıştık.

Biz geliştirdik bildiri. Ek 3'te konuyla ilgili görev bankası hakkında bilgi edinebilirsiniz.

Kullanma Microsoft Excel'in derledik elektronik tablo kök formüllerini kullanarak ikinci dereceden bir denklemin köklerini otomatik olarak hesaplamanıza olanak tanır.

konusunda bir ders gerçekleştirdik. alışılmadık şekillerde 9. sınıf öğrencileri için ikinci dereceden denklemlerin çözümü. Öğrenciler yöntemleri gerçekten beğendiler; kazanılan bilgilerin kendilerine faydalı olacağını belirttiler; ileri eğitim. Dersin sonucu, öğrencilerin ikinci dereceden denklemleri çözmek için çeşitli seçenekler sundukları çalışmalarıydı (bkz. Ek 4).

Çalışma materyali hem matematiği sevenler hem de matematik hakkında daha fazla bilgi edinmek isteyenler tarafından kullanılabilir.

EDEBİYAT

Bradis V. M. “Dört basamaklı matematiksel tablolar lise", M .: Bustard, 2000.

Vilenkin N.Ya. “8. sınıf için cebir”, M.: Prosveshchenie, 2000.

Galitsky M.L. “Cebirde problemlerin toplanması”, M .: Prosveshchenie 2002.

Glazer G. I. “Okulda matematik tarihi”, M .: Prosveshchenie, 1982.

Zvavich L.I. “Cebir 8. sınıf”, M.: Mnemosyne, 2002.

Makarychev Yu.N. “Cebir 8. sınıf”, M.: Prosveshchenie, 2015.

Pluzhnikov I. “İkinci dereceden denklemleri çözmenin 10 yolu” // Okulda matematik. - 2000.- Sayı 40.

Presman A.A. “Pusula ve cetvel kullanarak ikinci dereceden bir denklemin çözülmesi” // M., Kvant, No. 4/72, s.34.

Savin A.P. " Ansiklopedik Sözlük genç matematikçi"

M.: Pedagoji, 1989.

İnternet kaynakları:

http://revolution.allbest.ru/

EK 1

“BRADIS V.M. KOLEKSİYONU”

EK 2

“DENKLEMİN HER YOLLA ÇÖZÜLMESİ”

Orijinal denklem:4x 2 +3x -1 = 0.

1. İkinci dereceden bir denklemin kökleri için diskriminant D'yi kullanan formül

4x 2 +3x -1 = 0

d= B 2 - 4ac = 9+16 = 25 > 0, => Denklemin iki kökü var

X 1,2 =

X 1 ==

X 2 ==-1

2. Vieta teoremi

4x 2 +3x -1 = 0, Denklemi 4'e bölün ki azaltılsın

X 2 +x -=0

X 1 = -1

X 2 =

3. Tam kareyi seçme yöntemi

4x 2 +3x -1 = 0

(4x 2 +2*2х *+)-1=0

(2x +) 2 -=0

(2x + -)(2x + +)=0,

(2x -)=0 (2x +2)=0

X 1 = x 2 = -1

4. Gruplandırma yöntemi

4x 2 +3x -1 = 0

4x 2 +4x-1x-1=0

4x(x+1)-1(x+1)=0

(4x-1)(x+1)=0,çarpanlardan biri =0 olduğunda çarpım =0

(4x-1)=0 (x+1)=0

X 1 = x 2 = -1

5. Katsayıların özellikleri

4x 2 +3x -1 = 0

a - b+c=0 ise = -1, = -

4-3-1=0, => = -1, =

6. Ana katsayıyı “atma” yöntemi

4x 2 +3x -1 = 0

sen 2 +3y - 4 = 0

Vieta'nın teoremi:

sen 1 = -4

sen 2 = 1

Bulunan kökleri ana katsayıya bölerek denklemimizin köklerini elde edelim:

X 1 = -1

X 2 =

7. İkinci dereceden denklemleri pusula ve cetvel kullanarak çözme yöntemi

4x 2 +3x -1 = 0

Formülleri kullanarak dairenin merkez noktasının koordinatlarını belirleyelim:

X 1 = -1

X 2 =

8. Grafiksel çözüm

4x 2 +3x -1 = 0

4x 2 = - 3x + 1

Bir koordinat sisteminde fonksiyonun grafiğini oluşturacağız y = 4x 2 ve fonksiyonun grafiği

y = - 3x+1. Kesişme noktalarının apsislerini belirledikten sonra şu cevabı alıyoruz:

X 1 = -1

9. Nomogram kullanmak

4x 2 +3x -1 = 0, Denklemin katsayılarını 1/4'e bölersek denklemi elde ederiz

X 2 +x -= 0.

Nomogram pozitif bir kök verir = ,

ve pozitif kökü - p'den çıkararak negatif kökü buluyoruz , onlar.

X 2 = - p -=- -= -1.

10. Çözüm verilen denklem EXCEL'de

EK 3

"KONU İÇİN DİDAKTSEL MATERYAL

“DÖRTLÜ DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ” »

10x 2 + 2017х + 2007 = 0 -1 -200,7

-10x 2 + 7x + 3 = 0 -1 0,3

354x 2 -52x -302 = 0 1 -

100x 2 -99x-1 = 0 1 -0,01

5x 2 + 9x + 4 = 0 -1 -0,8

2017x 2 + x -2016 = 0 -1

22x 2 +10x-12 = 0 -1

5432x 2 -3087x-2345 = 0 1 -

4x 2 + 2x -6s = 0 1 -1,5

55x 2 -44х -11= 0 1 -0,2

6x 2 - 7х - 3 = 0 - , 1,5

4x 2 -17x-15 = 0 -0,75, 5

4271x 2 -4272x + 1 = 0 1,

3x 2 +10x + 7 = 0 -1, - 2

5x 2 - 11x + 2 = 0 2, 0,2

2x 2 - 11x + 15 = 0 2,5, 3

4x 2 + 4x -3= 0 -1,5, 0,5

5x 2 -12x + 7 = 0 1,4, 1

2x 2 + 13x + 15 = 0 -1,5 -5

3x 2 -7x + 2 = 0 1/3 2

EK 4

"ÖĞRENCİ ÇALIŞMASI"

Geri İleri

Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tüm özelliklerini temsil etmeyebilir. Eğer ilgileniyorsanız bu iş lütfen tam sürümünü indirin.

Ders hedefleri:

Eğitici:

• Her şey hakkındaki bilgiyi özetleyin denklem türleri Denklem çözümünde kullanılan tüm yöntemlerin önemini vurgular.
• Derste çeşitli tekniklerle öğrencilerin çalışmalarını yoğunlaştırmak.
• Denklem çözmede teorik ve pratik becerileri test edin.
• Bir denklemin birkaç yolla çözülebileceği gerçeğine odaklanın

Eğitici:

• BİT kullanımı yoluyla öğrencilerin konuya olan ilgisini artırın.
• Öğrencileri konuyla ilgili tarihi materyallerle tanıştırın.
• Gelişim zihinsel aktivite Denklemin türünü ve çözme yöntemlerini belirlerken.

Eğitici:

• Sınıfta disiplini aşılayın.
• Kendisindeki, başka bir insandaki ve çevremizdeki dünyadaki güzelliği algılama yeteneğini geliştirmek.

Ders türü:

• Bilginin genelleştirilmesi ve sistemleştirilmesi dersi.

Ders türü:

• Kombine.

Malzeme ve teknik ekipman:

• Bilgisayar
• Ekran
• Projektör
• Konunun sunumunu içeren disk

Yöntem ve teknikler:

• Sunum kullanma
• Ön konuşma
• Sözlü çalışma
• Oyun anları
• Çiftler halinde çalışın
• Yönetim kurulunda çalışmak
• Not defterlerinde çalışın

Ders planı:

1. Organizasyon anı (1 dakika)
2. Dersin konusunun çözülmesi (3 dakika)
3. Dersin konusunun ve amacının açıklanması (1 dakika)
4. Teorik ısınma (3 dakika)
5. Tarihi gezi (3 dakika)
6. Oyun “Fazlalığı giderin” (2 dakika)
7. Yaratıcı çalışma(2 dakika)
8. Görev “Hatayı bul” (2 dakika)
9. Bir denklemi birkaç yolla çözme (slaytta) (3 dakika)
10. Bir denklemi birkaç yolla çözme (tahtada) (24 dakika)
11. İkili olarak bağımsız çalışma ve ardından açıklama (5 dakika)
12. Bireysel ödev (1 dakika)
13. Ders özeti yansıması (1 dakika)

Ders epigrafı:

“Ancak eğlenerek öğrenebilirsiniz; bilgiyi sindirmek için onu iştahla özümsemeniz gerekir.”
A.Fransa

Ders özeti

Organizasyon kısmı

Öğrencilerin derse hazır olup olmadıklarını kontrol edip, derse gelmeyenleri işaretliyorum. Arkadaşlar, 19. yüzyıl Fransız yazarı A. France şöyle demişti: "Bilgiyi ancak eğlenerek öğrenebilirsiniz; bilgiyi sindirmek için onu iştahla özümsemeniz gerekir." O halde dersimizde yazarın tavsiyelerine uyalım ve bilgiyi büyük bir iştahla sindirelim, çünkü hayatımıza faydası olacaktır.

Dersin konusunun kodunun çözülmesi

Daha karmaşık bir göreve geçmek için basit görevlerle beynimizi çalıştıralım. Dersimizin konusu şifrelenmiştir; her cevabın kendine ait bir harfi olduğunu bilerek sözlü görevleri çözüp cevabını bularak dersin konusunu ortaya çıkaracağız. Sunum slaytı 3

Dersin konusunu ve amacını aktarma

Bugünkü dersin konusunu kendiniz belirlediniz

“Denklem türleri ve bunları çözme yöntemleri.” Sunum slaytı 4

Amaç: Her türlü denklemi ve bunları çözmek için kullanılan yöntemleri hatırlayın ve genelleştirin. Tüm yöntemleri kullanarak bir denklemi çözün. Sunum slaydı 5 Einstein'ın ifadesini okuyun Sunum slaydı 5

Teorik ısınma

Sorular Sunum slaytı 7

Cevaplar

1. Eşitlik içeren değişken değer, bir harfle belirlenmiş.
2. Bu, onun tüm köklerini bulmak ya da hiçbir kökün olmadığını kanıtlamak anlamına gelir.
3. Denklemin doğru olduğu değişkenin değeri.
4. Bu tanımdan sonra denklemle ilgili bir şiir okuyun. Sunum slaytı 12,13,14.

Son 2 sorunun cevapları Sunum slaytı 9,10,11

Tarihi gezi

“Denklemi kim ve ne zaman icat etti” ile ilgili tarihsel bilgiler Sunum slaytı 15

Diyelim ki... isimli ilkel bir annenin, muhtemelen adı bile yoktu, 4 çocuğuna vermek üzere bir ağaçtan 12 elma topladı. Muhtemelen sadece 12'ye kadar değil, dörde kadar saymayı da bilmiyordu ve 12'yi 4'e nasıl böleceğini de kesinlikle bilmiyordu. Ve muhtemelen elmaları şu şekilde bölmüştü: önce her çocuğa bir elma, sonra bir elma daha verdi. , sonra bir tane daha yalnız ve sonra elmaların kalmadığını ve çocukların mutlu olduğunu gördüm. Bu eylemleri modern matematik diliyle yazarsak x4=12 elde ederiz, yani annem denklem kurma problemini çözmüştür. Görünüşe göre yukarıda sorulan soruya cevap vermek imkansız. Denklem çözmeye yol açan problemler, insanoğlunun insan olduğu günden bu yana sağduyulu bir şekilde çözülmüştür. MÖ 3-4 bin yıllarında bile Mısırlılar ve Babilliler, şekli ve çözüm yöntemleri modern olanlara benzemeyen en basit denklemleri çözmeyi başardılar. Yunanlılar Mısırlıların bilgilerini miras aldılar ve yollarına devam ettiler. İyi şanslar Denklem doktrininin gelişimi, hakkında yazdıkları Yunan bilim adamı Diophantus (III. Yüzyıl) tarafından gerçekleştirildi:

Pek çok sorunu çözdü.
Kokuları ve duşları tahmin etti.
Gerçekten onun bilgisi muhteşemdir.

Orta Asyalı matematikçi Muhammed el Khorezmi (9. yüzyıl) denklemlerin çözümüne büyük katkı sağladı. Ünlü kitabı El-Harezmi denklemlerin çözümüne ayrılmıştır. Buna “Kitab al-jabr wal-mukabala”, yani “Tamamlama ve Muhalefet Kitabı” denir. Bu kitap Avrupalılar tarafından tanındı ve başlığındaki "al-jabr" kelimesinden matematiğin ana bölümlerinden birinin adı olan "cebir" kelimesi geldi. Daha sonra birçok matematikçi denklem problemleri üzerinde çalıştı. İkinci dereceden denklemlerin x2+in=0 formuna indirgenmesiyle ilgili genel kural, 15. yüzyılda yaşayan Alman matematikçi Stiefel tarafından formüle edildi. Hollandalı matematikçi Girard'ın (16. yüzyıl) yanı sıra Descartes ve Newton'un çalışmalarından sonra çözüm yöntemi modern bir şekil aldı. Bir denklemin köklerinin katsayılarına bağımlılığını ifade eden formüller Vieth tarafından tanıtıldı. François Viet 16. yüzyılda yaşadı. Matematik ve astronomideki çeşitli problemlerin incelenmesine büyük katkılarda bulundu; özellikle denklemin katsayıları için harf tanımlarını tanıttı. Şimdi hayatından ilginç bir bölümle tanışalım. Viet, Fransa-İspanya Savaşı sırasında Kral III. Henry döneminde büyük ün kazandı. İspanyol engizisyoncular, İspanyolların düşmanlarıyla yazışmasını sağlayan çok karmaşık bir gizli yazı icat etti. Henry III Fransa'nın kendisinde bile.

Fransızlar boşuna kodun anahtarını bulmaya çalıştılar ve sonra kral Vieta'ya döndü. Viet'in iki haftalık sürekli çalışma sonucunda kodun anahtarını bulduğunu ve ardından İspanya için beklenmedik bir şekilde Fransa'nın birbiri ardına savaşlar kazanmaya başladığını söylüyorlar. Kodun çözülemeyeceğinden emin olan İspanyollar, Viet'i şeytanla bağlantısı olmakla suçladılar ve onu kazığa bağlanarak yakılmaya mahkum ettiler. Neyse ki Engizisyona iade edilmedi ve büyük bir matematikçi olarak tarihe geçti.

Oyun "Fazlalığı giderin"

Oyunun amacı Denklem türlerinde yönelim.

Bize üç tane verildi denklem sütunu, Her biri için denklemler bazı kriterlere göre tanımlanır, ancak bunlardan biri gereksizdir; sizin göreviniz onu bulmak ve karakterize etmektir. Sunum slaytı 16

Yaratıcı çalışma

Bu görevin amacı: Matematiksel konuşmayı dinlediğini anlama, çocukları denklem türlerine yönlendirme.

Ekranda 9 denklem görüyorsunuz. Her denklemin kendi numarası vardır, bu denklemin tipini isimlendireceğim ve bu tipte bir denklem bulmalı ve sadece altına göründüğü sayıyı koymalısınız, sonuç olarak 9 basamaklı bir sayı elde edeceksiniz Sunum slaytı 17

1. Azaltılmış ikinci dereceden denklem.
2. Kesirli rasyonel denklem
3. kübik denklem
4. Logaritmik denklem
5. Doğrusal denklem
6. Tamamlanmamış ikinci dereceden denklem
7. Üstel denklem
8. İrrasyonel denklem
9. Trigonometrik denklem

Görev "Hatayı bul"

Bir öğrenci denklemleri çözdü ama tüm sınıf güldü, her denklemde bir hata yaptı, senin görevin onu bulup düzeltmek. Sunum slaytı 18

Bir denklemi birkaç yolla çözme

Şimdi sınıfta zaman kazanmak için bir denklemi mümkün olan tüm yollarla çözelim, ekranda bir denklem. Şimdi bu denklemin türünü adlandıracak ve bu denklemi çözmek için hangi yöntemin kullanıldığını açıklayacaksınız. Sunum slaytları 19-27.

Bir denklemi birkaç yolla çözme (tahtada)

Örneğe baktık ve şimdi denklemi tahtada mümkün olan her şekilde çözelim.

X-2 - irrasyonel denklem

Denklemin her iki tarafının karesini alalım.

X 2 +2x+4x-1-4=0

Bu denklemi tahtada 9 şekilde çözüyoruz.

İkili olarak bağımsız çalışma ve ardından kurulda açıklama

Ve şimdi ikili olarak çalışacaksınız, masanıza bir denklem veriyorum, göreviniz denklemin türünü belirlemek, bu denklemi çözmenin tüm yollarını listelemek, 1-2'yi sizin için en rasyonel yollarla çözmek. (2 dakika)

Çiftler halinde çalışmaya yönelik görevler

Denklemi çöz

Sonrasında bağımsız çalışmaÇiftler halinde bir temsilci tahtaya gelir, denklemini sunar ve tek yönlü çözer.

Bireysel ödev(diferansiyellenebilir)

Denklemi çöz

(denklemin türünü belirleyin, her şekilde ayrı bir sayfada çözün)

Yansıma dersi özeti.

Dersi özetliyorum, bir denklemin birçok şekilde çözülebileceğine dikkat çekiyorum, puan veriyorum, kimin aktif olduğu ve kimin daha aktif olması gerektiği konusunda bir sonuç çıkarıyorum. Kalinin’in açıklamasını okudum Sunum slaytı 28

Bugünkü ders için belirlediğimiz hedeflere dikkatlice bakın:

• Sizce ne yapmayı başardık?
• Ne bu kadar iyi gitmedi?
• Özellikle neyi beğendiniz ve hatırladınız?
• Bugün yeni bir şey öğrendim...
• Bilgilerim ders sırasında işe yaradı...
• Benim için zordu...
• Dersi beğendim...

Edebiyat.

1. Dorofeev G.V. “Lise dersi için matematikte yazılı sınav yapmak için görevlerin toplanması” - M.: Bustard, 2006.
2. Garner Martin. Matematik bulmacaları ve eğlence.
3. Ivlev B.M., Sahakyan S.M. Didaktik materyaller 10. sınıf, 11. sınıf cebir ve analizin başlangıcı. M.: Aydınlanma. 2002.

temsil eden denklem ikinci dereceden üç terimli genellikle ikinci dereceden denklem olarak adlandırılır. Cebirsel açıdan bakıldığında a*x^2+b*x+c=0 formülüyle tanımlanır. Bu formülde x bulunması gereken bilinmeyendir (buna serbest değişken denir); a, b ve c - sayısal oranlar. Belirtilen bileşenlerle ilgili bir takım kısıtlamalar vardır: örneğin, a katsayısı 0'a eşit olmamalıdır.

Denklem çözme: diskriminant kavramı

Kavramın yalnızca a katsayısının 0'dan tamamen farklı olmasını gerektirdiği akılda tutulmalıdır. Sonuç olarak, b katsayısı 0'a eşit olabilir ve bu durumda denklemin kendisi a*x^2+c biçimindedir. =0. Böyle bir durumda diskriminant ve köklerin hesaplanmasında kullanılan formüllerde 0 katsayı değerinin kullanılması gerekmektedir. Dolayısıyla bu durumda diskriminant D=-4ac olarak hesaplanacaktır.

Denklemi pozitif diskriminantla çözme

Denklemi sıfır ve negatif diskriminantla çözme

Genel Bakanlık ve mesleki eğitim RF

Belediye eğitim kurumu

12 Numaralı Spor Salonu

kompozisyon

konuyla ilgili: Denklemler ve bunları çözme yöntemleri

Tamamlayan: 10 "A" sınıfı öğrencisi

Krutko Evgeniy

Kontrol eden: matematik öğretmeni Iskhakova Gülsum Akramovna

Tümen 2001

Planı...................................................... .................................................. ...... ................................................ 1

Giriiş................................................. ....... ................................................... ................................................. 2

Ana bölüm.................................................. ................................................................... ........................... 3

Çözüm................................................. .................................................. ........................ 25

Başvuru................................................. .................................................. ...... ................ 26

Kullanılan literatür listesi................................................. ....................................... 29

Planla.

Giriiş.

Tarihsel bilgi.

Denklemler. Cebirsel denklemler.

a) Temel tanımlar.

b) Doğrusal denklem ve çözme yöntemi.

c) İkinci dereceden denklemler ve bunları çözme yöntemleri.

d) Binom denklemleri ve bunların çözümü.

D) Kübik denklemler ve bunu çözmenin yolları.

e) Biquadratic denklem ve bunu çözmenin bir yolu.

g) Dördüncü dereceden denklemler ve çözüm yöntemleri.

g) Denklemler yüksek dereceler ve çözümden yöntemler.

h) Rasyonel cebirsel denklem ve bu şekilde

Ve) İrrasyonel denklemler ve bunu çözmenin yolları.

j) Bir işaret altında bilinmeyen içeren denklemler.

Mutlak değer ve bunu çözme yöntemi.

Aşkın denklemler.

A) Üstel denklemler ve bunları çözmenin bir yolu.

B) Logaritmik denklemler ve bunları çözmenin bir yolu.

giriiş

Alınan matematik eğitimi ortaokul, öyle temel bileşen genel eğitim Ve genel kültür modern adam. Modern insanı çevreleyen hemen hemen her şey bir şekilde matematikle bağlantılıdır. A son başarılar fizik, teknoloji ve Bilişim teknolojisi gelecekte de durumun aynı kalacağından şüpheniz olmasın. Bu nedenle, birçok pratik problemin çözümü, nasıl çözüleceğini öğrenmeniz gereken çeşitli denklem türlerinin çözülmesine bağlıdır.

Bu çalışma, yukarıdaki konuyla ilgili çalışılan materyali özetleme ve sistematik hale getirme girişimidir. Malzemeyi en basitinden başlayarak zorluk sırasına göre düzenledim. Hem okul cebir dersinden bildiğimiz denklem türlerini hem de ek materyalleri içerir. Aynı zamanda okul dersinde işlenmeyen ancak yüksek öğrenime girerken bilgisine ihtiyaç duyulabilecek denklem türlerini de göstermeye çalıştım. eğitim kurumu. Çalışmamda denklem çözerken kendimi sadece bunlarla sınırlamadım. geçerli çözüm, ama aynı zamanda karmaşık olduğunu da belirtti, çünkü aksi takdirde denklemin çözülemeyeceğini düşünüyorum. Sonuçta, bir denklemin gerçek kökleri yoksa bu, çözümlerinin olmadığı anlamına gelmez. Maalesef zaman yetersizliğinden dolayı elimdeki tüm materyali sunamadım, ancak burada sunulan materyalle bile birçok soru ortaya çıkabilir. Umarım bilgim çoğu soruyu cevaplamaya yeterlidir. Böylece materyali sunmaya başlıyorum.

Matematik... düzeni ortaya çıkarır,

simetri ve kesinlik,

ve bunlar güzelliğin en önemli türleridir.

Aristo.

Tarihsel arka plan

Bilgelerin bilinmeyen miktarlar içeren eşitlikler hakkında ilk kez düşünmeye başladıkları o uzak zamanlarda, muhtemelen madeni para veya cüzdan yoktu. Ancak bilinmeyen sayıda öğeyi tutabilecek depolama önbelleklerinin rolü için mükemmel olan yığınların yanı sıra tencere ve sepetler de vardı. MÖ 2. binyılda Mısırlı yazar Ahmes, "Üçte iki, yarım ve yedide birle birlikte 37 yapan bir yığın arıyoruz..." diye öğretmişti. Antik çağlarda matematik problemleri Mezopotamya, Hindistan, Çin, Yunanistan, bilinmeyen miktarlar bahçedeki tavus kuşlarının sayısını, sürüdeki boğa sayısını, mal paylaşımında dikkate alınan şeylerin bütünlüğünü ifade ediyordu. Hesap bilimi konusunda iyi eğitim almış katipler, yetkililer ve inisiyeler gizli bilgi Rahipler bu tür görevlerle oldukça başarılı bir şekilde başa çıktılar.

Bize ulaşan kaynaklar, eski bilim adamlarının bazı genel teknikler Bilinmeyen miktarlarla ilgili problemleri çözme. Ancak tek bir papirüs değil, tek bir tane bile kil tablet bu tekniklere ilişkin herhangi bir açıklama verilmemiştir. Yazarlar sadece ara sıra sayısal hesaplamalarına "Bak!", "Bunu yap!", "Doğru olanı buldun" gibi kısa yorumlarda bulundular. Bu anlamda istisna, Yunan matematikçi İskenderiyeli Diophantus'un (III. Yüzyıl) “Aritmetiği”dir - çözümlerinin sistematik bir sunumuyla denklem oluşturmaya yönelik bir problemler koleksiyonu.

Ancak sorunları çözmeye yönelik yaygın olarak bilinen ilk el kitabı, 9. yüzyıldaki Bağdatlı bilim adamının çalışmasıydı. Muhammed bin Musa el-Harezmi. Bu risalenin Arapça ismi olan "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("Restorasyon ve muhalefet kitabı") olan "el-cebr" kelimesi zamanla iyi bilinen "cebir" kelimesine dönüştü ve çalışma El-Harizmi'nin bizzat kendisi denklem çözme biliminin gelişmesinde başlangıç ​​noktası oldu.

denklemler Cebirsel denklemler

Temel tanımlar

Cebirde iki tür eşitlik dikkate alınır: özdeşlikler ve denklemler.

Kimlik içerdiği harflerin tüm (kabul edilebilir) değerleri için geçerli olan bir eşitliktir). Bir işaretle birlikte bir kimliği kaydetmek için

Denklem içerisinde yer alan harflerin yalnızca belirli değerleri için geçerli olan bir eşitliktir. Denklemde yer alan harfler problemin koşullarına göre eşit olmayabilir; bazıları hepsini kabul edebilir. geçerli değerler(onlara denir parametreler veya katsayılar denklemler ve genellikle ilk harflerle gösterilir Latin alfabesi:

İÇİNDE genel görünüm denklem şu şekilde yazılabilir:

Sayıya bağlı olarak bilinmeyen denklem bir, iki vb. bilinmeyenli denklem denir.

Doğrusal denklemler. Çözüm, örnekler.

Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)

Doğrusal denklemler.

Doğrusal denklemler en fazla değildir karmaşık konu okul matematik. Ancak burada eğitimli bir öğrenciyi bile şaşırtabilecek bazı hileler var. Hadi çözelim mi?)

Tipik olarak doğrusal bir denklem aşağıdaki formun bir denklemi olarak tanımlanır:

balta + B = 0 Nerede a ve b– herhangi bir sayı.

2x + 7 = 0. Burada a=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 Burada a=0,1, b=-2.3

12x + 1/2 = 0 Burada a=12, b=1/2

Karmaşık bir şey yok, değil mi? Özellikle şu kelimeleri fark etmezseniz: "burada a ve b herhangi bir sayıdır"... Ve bunu fark edip dikkatsizce düşünürseniz?) Sonuçta, eğer a=0, b=0(herhangi bir sayı mümkün mü?), o zaman komik bir ifadeyle karşılaşıyoruz:

Ama hepsi bu değil! Eğer, diyelim ki, a=0, A b=5, Bunun tamamen saçma bir şey olduğu ortaya çıkıyor:

Bu sinir bozucu ve matematiğe olan güveni sarsıyor, evet...) Özellikle sınavlarda. Ancak bu tuhaf ifadelerden X'i de bulmanız gerekiyor! Bu hiç mevcut değil. Ve şaşırtıcı bir şekilde bu X'i bulmak çok kolaydır. Bunu yapmayı öğreneceğiz. Bu derste.

Doğrusal bir denklem görünümünden nasıl tanınır? Neye bağlı dış görünüş.) İşin püf noktası, doğrusal denklemlerin yalnızca formdaki denklemler olmamasıdır balta + B = 0 , aynı zamanda dönüşümler ve basitleştirmeler yoluyla bu forma indirgenebilecek tüm denklemler. Ve düşüp düşmeyeceğini kim bilebilir?)

Bazı durumlarda doğrusal bir denklem açıkça tanınabilir. Diyelim ki elimizde sadece birinci dereceye kadar bilinmeyenlerin ve sayıların olduğu bir denklem var. Ve denklemde yok kesirler bölünür bilinmiyor , bu önemli! Ve bölünerek sayı, veya sayısal bir kesir - bu hoş karşılanır! Örneğin:

Bu doğrusal bir denklemdir. Burada kesirler var ama karede, küpte vb. x yok, paydada da x yok, yani. HAYIR x'e bölme. Ve işte denklem

doğrusal olarak adlandırılamaz. Burada X'lerin hepsi birinci derecededir, ancak x ile ifadeye göre bölme. Sadeleştirmeler ve dönüşümlerden sonra doğrusal bir denklem, ikinci dereceden bir denklem veya istediğiniz herhangi bir şeyi elde edebilirsiniz.

Bazı karmaşık örneklerde doğrusal denklemi neredeyse çözene kadar tanımanın imkansız olduğu ortaya çıktı. Bu çok üzücü. Ancak ödevlerde kural olarak denklemin biçimi sorulmuyor, değil mi? Ödevler denklem istiyor karar vermek. Bu beni mutlu ediyor.)

Doğrusal denklemlerin çözümü. Örnekler.

Çözümün tamamı doğrusal denklemler denklemlerin özdeş dönüşümlerinden oluşur. Bu arada, bu dönüşümler (ikisi!) çözümlerin temelini oluşturuyor matematiğin tüm denklemleri. Başka bir deyişle çözüm herhangi denklem tam da bu dönüşümlerle başlar. Doğrusal denklemlerde çözüm bu dönüşümlere dayanır ve tam cevapla biter. Bağlantıyı takip etmek mantıklı değil mi?) Üstelik orada doğrusal denklem çözme örnekleri de var.

Öncelikle en basit örneğe bakalım. Hiçbir tuzak olmadan. Bu denklemi çözmemiz gerektiğini varsayalım.

x - 3 = 2 - 4x

Bu doğrusal bir denklemdir. X'lerin hepsi birinci kuvvettedir, X'lere bölünme yoktur. Ama aslında bunun nasıl bir denklem olduğu bizim için önemli değil. Bunu çözmemiz gerekiyor. Buradaki şema basittir. X'li her şeyi denklemin sol tarafında, X'siz (sayılar) her şeyi sağ tarafta toplayın.

Bunu yapmak için aktarmanız gerekir - 4x giriş sol taraf elbette işaret değişikliğiyle ve - 3 - Sağa. Bu arada, bu Denklemlerin ilk özdeş dönüşümü.Şaşırmış? Bu, bağlantıyı takip etmediğiniz, ancak boşuna olduğu anlamına gelir...) Şunu elde ederiz:

x + 4x = 2 + 3

İşte benzerlerini düşünüyoruz:

Tam mutluluk için neye ihtiyacımız var? Evet, böylece solda saf bir X var! Beşi yolda. Yardımla beşten kurtulmak denklemlerin ikinci özdeş dönüşümü. Yani denklemin her iki tarafını da 5'e bölüyoruz. Hazır bir cevap alıyoruz:

Temel bir örnek elbette. Bu ısınmak için.) Burada neden aynı dönüşümleri hatırladığım çok açık değil mi? TAMAM. Boğayı boynuzlarından tutalım.) Daha sağlam bir şeye karar verelim.

Örneğin, işte denklem:

Nereden başlayacağız? X'lerle - sola mı, X'ler olmadan - sağa mı? Bu mümkün. Küçük adımlarla uzun yol. Veya bunu evrensel ve güçlü bir şekilde hemen yapabilirsiniz. Elbette cephanenizde aynı denklem dönüşümleri varsa.

Sana soruyorum anahtar soru: Bu denklemin en sevmediğiniz yanı nedir?

100 kişiden 95'i cevap verecek: kesirler ! Cevap doğru. Öyleyse onlardan kurtulalım. Bu nedenle hemen başlıyoruz ikinci kimlik dönüşümü. Paydanın tamamen azalması için soldaki kesri neyle çarpmanız gerekir? Doğru, saat 3'te. Peki sağda mı? 4'e kadar. Ama matematik her iki tarafı da çarpmamıza izin veriyor aynı numara. Nasıl dışarı çıkabiliriz? Her iki tarafı da 12 ile çarpalım! Onlar. Açık ortak payda. Sonra hem üç hem de dört azalacak. Her parçayı çarpmanız gerektiğini unutmayın tamamen. İşte ilk adım şöyle görünüyor:

Parantezleri genişletiyoruz:

Dikkat etmek! Pay (x+2) Parantez içine aldım! Bunun nedeni kesirleri çarparken payın tamamının çarpılmasıdır! Artık kesirleri azaltabilirsiniz:

Kalan parantezleri genişletin:

Örnek değil ama saf zevk!) Şimdi büyüyü hatırlayalım genç sınıfları: X ile - sola, X olmadan - sağa! Ve bu dönüşümü uygulayın:

İşte benzerlerinden bazıları:

Ve her iki parçayı da 25'e bölün, yani. ikinci dönüşümü tekrar uygulayın:

İşte bu. Cevap: X=0,16

Lütfen dikkat: Orijinal kafa karıştırıcı denklemi güzel bir forma getirmek için iki (sadece iki!) kimlik dönüşümleri– bir denklemin işaret değişikliği ile sola-sağa çevrilmesi ve bir denklemin aynı sayı ile çarpılması-bölülmesi. Bu evrensel yöntem! Bu şekilde çalışacağız herhangi denklemler! Kesinlikle herhangi biri. Bu özdeş dönüşümleri sıkıcı bir şekilde tekrarlamamın nedeni budur.)

Gördüğünüz gibi doğrusal denklemleri çözme prensibi basittir. Denklemi alıp basitleştiriyoruz kimlik dönüşümleri bir yanıt almadan önce. Buradaki asıl problem çözüm prensibinde değil, hesaplamalardadır.

Ama... En temel doğrusal denklemleri çözme sürecinde öyle sürprizler vardır ki, sizi büyük bir şaşkınlığa sürükleyebilirler...) Neyse ki, bu türden yalnızca iki sürpriz olabilir. Bunlara özel durumlar diyelim.

Doğrusal denklemlerin çözümünde özel durumlar.

İlk sürpriz.

diyelim ki anladın en temel denklem, şunun gibi bir şey:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Biraz sıkıldık, onu X ile sola, X olmadan - sağa hareket ettiriyoruz... İşaret değişikliğiyle her şey mükemmel... Anlıyoruz:

2x-5x+3x=5-2-3

Sayıyoruz ve... ah!!! Şunu elde ederiz:

Bu eşitliğe kendi başına itiraz edilemez. Gerçekten sıfır sıfıra eşit. Ama X kayıp! Ve cevaba şunu yazmalıyız: x neye eşittir? Aksi takdirde çözüm sayılmaz, değil mi...) Kilitlenme?

Sakinlik! Bu gibi şüpheli durumlarda en genel kurallar sizi kurtaracaktır. Denklemler nasıl çözülür? Bir denklemi çözmek ne anlama gelir? Bu şu anlama gelir, yerine konulduğunda x'in tüm değerlerini bulun orijinal denklem, bize gerçek eşitliği verecektir.

Ama gerçek eşitliğimiz var çoktan işe yaradı! 0=0, ne kadar daha doğru?! Geriye bunun hangi x'te olacağını bulmak kalıyor. X'in hangi değerleri yerine konulabilir? orijinal denklem eğer bu x'ler yine de sıfıra indirilecekler mi? Hadi?)

Evet!!! X'ler değiştirilebilir herhangi! Hangilerini istiyorsunuz? En az 5, en az 0,05, en az -220. Hala küçülecekler. Bana inanmıyorsanız kontrol edebilirsiniz.) X'in herhangi bir değerini yerine koyun orijinal denklemi kurun ve hesaplayın. Her zaman işe yarayacak saf gerçek: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 vb.

İşte cevabınız: x - herhangi bir sayı.

Cevap farklı matematiksel sembollerle yazılabilir, özü değişmez. Bu tamamen doğru ve eksiksiz bir cevaptır.

İkinci sürpriz.

Aynı temel doğrusal denklemi alalım ve içindeki yalnızca bir sayıyı değiştirelim. Buna karar vereceğiz:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Aynı özdeş dönüşümlerden sonra ilgi çekici bir şey elde ederiz:

Bunun gibi. Doğrusal bir denklem çözdük ve garip bir eşitlik elde ettik. Konuşuyorum matematik dili, elimizde sahte eşitlik. Ve konuşuyorum basit bir dille, bu doğru değil. Çılgın. Ama yine de bu saçmalık, bunun için çok iyi bir neden. doğru karar denklemler.)

Yine genel kurallara göre düşünüyoruz. Orijinal denklemde yerine konulduğunda x'ler bize ne verir? doğru eşitlik mi? Evet, hiçbiri! Böyle bir X yok. Ne koyarsanız koyun her şey azalacak, sadece saçmalık kalacak.)

İşte cevabınız: hiçbir çözüm yok.

Bu aynı zamanda tamamen eksiksiz bir cevaptır. Matematikte bu tür yanıtlara sıklıkla rastlanır.

Bunun gibi. Şimdi, umarım herhangi bir (sadece doğrusal değil) denklemin çözümü sırasında X'lerin ortadan kaybolması kafanızı hiç karıştırmaz. Bu zaten tanıdık bir konudur.)

Artık doğrusal denklemlerdeki tüm tuzakları ele aldığımıza göre, bunları çözmek mantıklı olacaktır.

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.