Düz çizgileri geçmek. Çözümlü ve çözümsüz sorunlara örnekler

Stereometri

Bağımsız iş N 1

seçenek 1

1. Düz bir çizgi çizin A ve noktalar A,B Ve C, bu hatta ait değil. Gerekli notları alın.

2. B düzlemini, noktaları çizin E,F ona ait ve dönem G, ona ait değil. Gerekli notları alın.

3. Düz bir çizgi çizin A, a düzleminde yatıyor. Gerekli girişi yapın.

4. Kesişen iki a ve b düzlemini çizin. Gerekli girişi yapın.

seçenek 2

1. Bir noktada kesişen iki tane çizin Ö dümdüz A Ve B ve noktalar A,B,C, ve nokta Açizgiye ait A, Bçizgiye ait B, nokta C verilen satırlara ait değil.

2. g düzlemini ve ona ait olmayan noktaları çizin K,L ve ona ait olan nokta M. Gerekli notları alın.

3. Düz bir çizgi çizin B, düzlemi b noktasında kesen Ö. Gerekli girişi yapın.

4. Kesişen üç çizgi çizin A a, b ve g düzlemleri. Gerekli girişi yapın.

Bağımsız iş N 2

seçenek 1

1)İkizkenar üçgenin taban açıları birbirine eşittir.

2) Uzayda iki noktadan tek bir düz çizgi geçmektedir.

3) Dikey açılar eşittir.

4) Paralelkenar, bir dörtgendir. zıt taraflar ikili paralel.

2. Tanımla karşılıklı düzenleme a ve b düzlemleri, eğer içlerinde bir üçgen varsa ABC. Cevabınızı gerekçelendirin.

3. Üç noktadan kaç uçak geçebilir?

4. Bul en büyük sayı Farklı dört nokta çiftinden geçen çizgiler.

seçenek 2

1. Aşağıdaki cümlelerden aksiyomları, tanımları ve teoremleri belirtin:

1) Eğer iki düzlem varsa ortak nokta sonra düz bir çizgide kesişirler.

2) Orta hat Bir üçgenin iki kenarının orta noktalarını birleştiren doğru parçasıdır.

3) Uzaydaki düz çizgiler ve düzlemler için planimetri aksiyomları sağlanır.

4) Paralelkenarın köşegenleri kesişme noktasına göre ikiye bölünür.

2. Eğer noktalar içeriyorsa b ve g düzlemlerinin göreceli konumlarını belirleyin B Ve C. Cevabınızı gerekçelendirin.

3. Farklı 5 nokta çiftinden geçen en fazla sayıda doğruyu bulun.

4. Farklı dört nokta üçlüsünden geçen en fazla sayıda düzlemi bulun.

2. Stereometri aksiyomlarından elde edilen sonuçlar

seçenek 1

1. Kesişen iki çizginin düzleminde A Ve B verilen puan C, bu satırlara ait değil. Dümdüz C belirli bir düzlemde yatan noktadan geçer C C bu düz çizgilere göre?

2. Aynı doğruya ait olmayan üç nokta verilmiştir. Bu noktaları birleştiren üç doğru parçasından ikisini kesen tüm doğruların aynı düzlemde olduğunu kanıtlayın.

3. Düzlem düz bir çizgiyle verilmiştir C ve ona ait olmayan bir nokta C A, verilen çizgiden farklı ve geçmeyen bu nokta.

4. Bir düzlem, bir noktada kesişen iki şeyle tanımlanır Ö dümdüz A Ve B. Düz bir çizgi çiz C bu çizgileri kesen ve verilen düzlemde yer almayan.

seçenek 2

1. Doğrudan D, üçgenin düzleminde yer alan ABC, onun tarafını geçiyor AB. Çizgilerin göreceli konumu ne olabilir? D Ve M.Ö.?

2. a düzleminde iki paralel çizgi çiziliyor A Ve B. Bu doğruları kesen tüm doğruların aynı düzlemde olduğunu kanıtlayın.

3. Bir düzlem, bir noktada kesişen iki şeyle tanımlanır Ö dümdüz M Ve N. Bu düzlemde düz bir çizgi çizin k verilen doğrulardan farklı ve noktadan geçmeyen Ö.

4. Düzlem üç noktayla tanımlanır D,E,F, aynı hatta ait değil. Düz bir çizgi çiz A kenarları kesişen Almanya Ve DFüçgen DEF ve bu düzlemde yatmaz.

3. Uzaysal figürler

seçenek 1

1. Beşgen bir prizma çizin ve onu dörtyüzlülere bölün.

2. Köşelerin, kenarların ve yüzlerin sayısını belirleyin: a) küp; b) 7gen prizma; V) N-kömür piramidi.

3. Aşağıdakilere sahipse prizmanın türünü belirleyin: a) 10 köşe; b) 21 kaburga; c) 5 yüz.

4. 4gen prizmanın yüzleri, bitişik (ortak kenara sahip) yüzler aynı renkte olacak şekilde nasıl renklendirilebilir? farklı renkler? Hangi en küçük sayıÇiçeklere ihtiyacınız olacak mı?

seçenek 2

1. Beşgen bir piramit çizin ve onu dörtyüzlülere bölün.

2. Köşelerin, kenarların ve yüzlerin sayısını belirleyin: a) dikdörtgen paralel yüzlü; b) 6 taraflı piramit; V) N- karbon prizması.

3. Aşağıdakilere sahipse piramidin tipini belirleyin: a) 5 köşe; b) 14 kaburga; c) 9 yüz.

4. Bir oktahedronun yüzleri, komşu (ortak bir kenarı paylaşan) yüzlerin farklı renklere boyanacağı şekilde nasıl renklendirilebilir? Gerekli olan en az renk sayısı nedir?

4. Çokyüzlülerin modellenmesi

seçenek 1

1. Küpün birkaç ağını çizin.

2. Düzgün dört yüzlünün ağı olmayan, dört eşit eşkenar üçgenden oluşan bir şekil çizin.

3. Düzenli bir dörtgen piramidin gelişimini çizin ve bitişik yüzleri yapıştırırken farklı renklere sahip olacak şekilde renklendirin. Almanız gereken en az çiçek sayısı nedir?

4. Dikdörtgen bir paralel uçlu gelişme çizin ve bitişik yüzleri yapıştırırken farklı renklere sahip olacak şekilde renklendirin. Almanız gereken en az çiçek sayısı nedir?

seçenek 2

1. Düzenli bir tetrahedronun birkaç ağını çizin.

2. Altı kareden oluşan ve küp ağı olmayan bir şekil çizin.

3. Bir küp gelişimi çizin ve bitişik yüzleri yapıştırırken farklı renklere sahip olacak şekilde renklendirin. Almanız gereken en az çiçek sayısı nedir?

4. Düzenli 6gen piramidin gelişimini çizin ve bitişik yüzleri yapıştırırken farklı renklere sahip olacak şekilde renklendirin. Almanız gereken en az çiçek sayısı nedir?

5. Uzaydaki çizgilerin paralelliği

seçenek 1

1. Düzenli 4gen piramit şeklinde yazın SABCD tüm paralel kenar çiftleri.

2. İki paralel çizginin düzleminde A Ve B verilen nokta C, bu satırlara ait değil. Nokta yoluyla C doğrudan bir çizgi çizildi C. Düz bir çizgi nasıl konumlandırılabilir? C düz çizgilere göre A Ve B.

3. Verilen bir doğruya ait olmayan bir noktadan buna paralel bir doğru çizin.

4. Bul yer Verilen iki paralel doğruyu kesen doğrular.

seçenek 2

1. Küpün dört çift paralel kenarını yazın A...D 1.

2. Üç satır verilmiş A,B Ve İle. Tüm bu düz çizgileri içeren bir düzlem çizilebilecek şekilde bu düz çizgiler nasıl konumlandırılabilir?

3. Verilen iki paralel çizgi A Ve B. Bunlardan biriyle kesişen herhangi bir düzlemin diğeriyle de kesişeceğini kanıtlayın.

4. Belirli bir doğruya paralel olan ve ilkiyle kesişen başka bir doğruyla kesişen doğruların yerini bulun.

6. Geçiş çizgileri

seçenek 1

1. Bir küpün içinde A...D 1 kenarı geçen kenarları yazın AB.

2. 4gen piramidin kesişen kenar çiftlerini yazın SABCD.

3. Çizgiler birbirine göre nasıl konumlandırılmıştır? A Ve BŞekil 1'de? Cevabınızı gerekçelendirin.

4. İki çarpık çizgi verildiğinde A Ve B ve onlara ait olmayan bir nokta C. Düz bir çizgi oluşturun C, noktadan geçerek C ve çizgilerle kesişen A Ve B.

seçenek 2

1. Kenarla kesişen kenarları yazın S.A. düzenli 4gen piramit SABCD.

2. Köşegenle kesişen kenarları yazın B 1D Küba A...D 1.

C(Şekil 1). Dümdüz A a düzleminde yer alır ve doğruyu keser C. B düzlemindeki çizgiye paralel bir çizgi çizmek mümkün müdür? A? Cevabınızı gerekçelendirin.

4. Her biri verilen iki eğri çizgiyi kesen iki paralel çizgi var mı? Cevabınızı gerekçelendirin.

7. Düz bir çizgi ile bir düzlemin paralelliği

seçenek 1

1. Yüzün düzlemine paralel olan kenarları yazın CC 1D 1D doğru prizma ABCDEFA 1B 1C 1D 1e 1F 1.

2. Doğrudan A a düzlemine paralel; dümdüz B düzlemi a noktasında kesiyor B; dümdüz C, çizgilerle kesişen A Ve B sırasıyla noktalarda e Ve F, düzlemi a noktasında kesiyor C A Ve B?

3. a ve b düzlemleri düz bir çizgide kesişiyor C. Nokta A a düzlemine ait nokta B– düzlem b. Aşağıdakileri oluşturun: a) düz bir çizgi A, a düzleminde uzanıyor, noktadan geçiyor A ve b düzlemine paralel; b) düz B, noktadan geçen b düzleminde yatıyor B ve a düzlemine paralel. Düz çizgiler birbirine göre nasıl konumlandırılacak? A Ve B?

4. Puanlar A Ve B piramidin bitişik yan yüzlerine aittir. Bu yüzlerdeki bu noktalardan birbirine paralel iki parça çizin.

seçenek 2

1. Kenara paralel yüzlerin düzlemlerini yazın CC 1 paralel yüzlü A...D 1.

2. Doğrudan A a düzlemine paralel; dümdüz B Ve C, çizgiyi kesen A sırasıyla noktalarda B Ve C, a düzlemini sırasıyla noktalarda keser D Ve e. Çizim yapmak. Düz çizgiler birbirine göre nasıl konumlandırılabilir? A Ve B?

3. a ve b düzlemleri düz bir çizgide kesişiyor C. Dümdüz A a düzleminde yer alır. Aşağıdaki durumlarda bunu kanıtlayın: a) A b düzlemini bir noktada kesiyor A, O Açizgiye ait C; B) A b düzlemine paralelse doğruya paraleldir C.

4. Puanlar A Ve B prizmanın bitişik yan yüzlerine aittir. Bu yüzlerdeki bu noktalardan birbirine paralel iki parça çizin.

8. İki düzlemin paralelliği

seçenek 1

1. Paralel borunun paralel düzlemlerini yazın A...D 1.

2. İfadeler doğru mu:

1) Verilen bir düzleme ait olmayan bir noktadan, verilen düzleme paralel tek bir düzlem geçer.

2) Bir düzlemde bulunan iki doğru, başka bir düzlemde bulunan iki doğruya sırasıyla paralelse, bu düzlemler paraleldir.

3) Belirli bir düzleme paralel olan ve bu düzleme ait olmayan bir noktadan geçen sonsuz sayıda doğru vardır.

4) Verilen iki düzlemden biri, diğer düzlemde bulunan kesişen iki çizgiye paralelse bu düzlemler paraleldir.

3. Aynı üçüncü düzleme paralel iki düzlemin birbirine paralel olduğunu kanıtlayın.

4. Segmentler AB Ve CD sırasıyla a ve b paralel düzlemlerinde bulunur (Şekil 2). Düz çizgiler birbirine göre nasıl konumlandırılabilir? AC. Ve BD? Paralel olabilirler mi?

seçenek 2

1. B Üçgen piramit SABC tabanına paralel bir düzlem çizin ABC.

2. İfadeler doğru mu:

1) Bir düzlemde bulunan bir doğru başka bir düzlemde bulunan bir doğruya paralel ise bu düzlemler paraleldir.

2) Bir düzlem verilen iki düzlemi paralel doğrular boyunca kesiyorsa bu düzlemler paraleldir.

3) Belirli bir doğruya paralel olan ve bu doğruya ait olmayan bir noktadan geçen sonsuz sayıda düzlem vardır.

4) İki düzlem aynı doğruya paralel ise paraleldirler.

3. Bir düzlem iki paralel düzlemden biriyle kesişiyorsa diğeriyle de kesiştiğini kanıtlayın.

4. Segmentler AB Ve CD sırasıyla a ve b paralel düzlemlerinde bulunur (Şekil 3). Düz çizgiler birbirine göre nasıl konumlandırılabilir? reklam Ve M.Ö.? Kesişebilirler mi?

9. Uzaydaki vektörler

seçenek 1

1. İçin verilen vektör vektörleri oluşturun: a) -; b) 2; V) -.

2. Düzenli bir dörtgen piramidin köşelerinden oluşan tüm olası nokta çiftleri tarafından tanımlanan kaç vektör vardır?

ABCD .

4. Paralel boru verildiğinde A...D 1..gif" width = "128" height = "29 src = ">.gif" width = "15" height = "19 src = "> vektörleri oluşturun: a) 3; b) -2; V) .

2. Bir üçgen prizmanın köşelerinden oluşan tüm olası nokta çiftleri tarafından tanımlanan kaç vektör vardır?

3. Beraberlik düzenli tetrahedron ABCD ve bir vektör çizin: a) ; B) ; V) .

4. Paralel boru verildiğinde A...D 1..gif" width = "133" height = "29 src = ">.gif" width = "15" height = "17 src = "> ve ||=1 ile aynı yönde bir vektör elde etmek için.

2. Zıt yönlü iki vektör verildiğinde ve , ve || > ||..gif" width = "15" yükseklik = "19 src = ">.

3. Verilen bir tetrahedron ABCD. Eş düzlemli vektörleri tanımlayan üç çift köşe noktasını yazın.

4. Verilen bir küp A...D 1. Üçüzleri yazın eş düzlemli vektörler köşelerinde başlangıçları ve bitişleri olan.

seçenek 2

1..gif" width="15" height="21">, ters yönde ve ||=2 ile.

2..gif" width = "15" height = "21 src = ">.gif" width = "15" height = "21 src = ">|. + vektörünün yönünü ve uzunluğunu bulun.

3. Verilen bir tetrahedron ABCD. Eş düzlemli olmayan vektörleri tanımlayan üç çift köşeyi yazın.

4. Verilen bir küp A...D 1. Köşelerinde başlangıçları ve bitişleri olan eş düzlemli vektörlerin üçlülerini yazın.

11. Paralel aktarım

seçenek 1

1. Ortaya çıkan şekli oluşturun paralel aktarım dümdüz A eğer vektöre dönüştürülürse: a) e ait A, F ait değil A; b) puan e Ve F ait değilim A.

2. Segmentin ortası olan paralel çeviriyi belirtin G.H. bir noktaya çevirir M.

3. Kareden elde edilen bir şekil oluşturun ABCD bir vektöre paralel aktarım: a) https://pandia.ru/text/78/221/images/image025_45.gif" width = "28" height = "24 src = ">.

4. Dört yüzlüden elde edilen bir şekil oluşturun ABCD Bir vektöre paralel transfer.

seçenek 2

1. Merkezi bir noktada olan bir dairenin paralel ötelenmesiyle elde edilen bir şekil oluşturun Ö vektöre https://pandia.ru/text/78/221/images/image024_45.gif" width = "29" height = "24 src = ">.gif" width = "29" height = "24"> .

12. Paralel mühendislik

seçenek 1

1. ile kaç puan alınacak? paralel tasarım uzayda iki farklı nokta mı? Uygun çizimler ve gerekçeler yapın.

2. Paralel tasarım sırasında korunan dikdörtgenin özelliklerini listeleyin.

3. İki düz çizgi, bir düzleme düz bir çizgi halinde ve bu düz çizgiye ait olmayan bir noktaya yansıtılacak şekilde nasıl konumlandırılmalıdır?

4. Paralel çizgiler A Ve B A,B Ve CŞekil 4'te gösterilmektedir. Dördüncü noktayı çizin D. Cevabınızı gerekçelendirin.

seçenek 2

1. Uzayda üç farklı nokta tasarlarken kaç puan alacaksınız? Uygun çizimler ve gerekçeler yapın.

2. Eşkenar dörtgenin paralel tasarım sırasında korunan özelliklerini listeleyiniz.

3. Bir doğru ve bir nokta, bir düzleme, bir doğruya ve bu doğruya ait bir noktaya yansıtılacak şekilde nasıl konumlandırılmalıdır?

4. Kesişen çizgiler A Ve B a ve b paralel düzlemleri dört noktada kesişiyor. Üçü A,B Ve CŞekil 5'te gösterilmektedir. Dördüncü noktayı çizin D. Cevabınızı gerekçelendirin.

13. Düzlem figürlerin paralel izdüşümleri

seçenek 1

1. İzdüşüm düzlemine paralel bir düzlemde uzanan bir dik ikizkenar üçgenin paralel izdüşümünü çizin.

2. Eşkenar üçgenin paralel izdüşümünü çizin ABC ve bunun üzerine noktadan bırakılan dikmelerin görüntülerini oluşturun M– yanın ortası AB yanlara AC. Ve M.Ö..

ABCDEF orijinal şekil olarak bir dikdörtgeni alarak ABDE.

4. Eşkenar üçgenin paralel izdüşümünü çizin ABC ve bunun üzerine noktadan çizilen bir dikin görüntüsünü oluşturun. k– segmentin orta noktası BÖ.(Ö– üçgenin merkezi) yana doğru AB.

seçenek 2

1. İzdüşüm düzlemine paralel bir düzlemde yer alan bir eşkenar üçgenin paralel izdüşümünü çizin.

2. Bir karenin paralel izdüşümünü çizin ABCD ve bunun üzerine noktadan çizilen dikmelerin bir görüntüsünü oluşturun e– yanın ortası M.Ö. düz çizgilere BD Ve AC.

3. Düzgün bir altıgenin paralel izdüşümünü çizin ABCDEF orijinal şekil olarak alınarak eşkenar üçgen as.

4. Bir dikdörtgenin paralel izdüşümünü çizin ABCD, hangisi reklam= 2AB. Bir tepe noktasından bırakılan bir dikmenin görüntüsünü oluşturun C diyagonal BD.

14. Mekansal figürlerin görüntüsü

seçenek 1

1. Düzenli bir dörtgen piramit ve yüksekliğini çizin.

2. İki yüzü tasarım düzlemine paralel olan bir küp çizin.

3. Şekil 6'da gösterilmektedir paralel projeksiyon Küba A...D

4. Verilen bir tetrahedron ABCD. Yüzünün alanı ADC eşittir S BDC uçağa ADC düz bir çizgi yönünde AB.

seçenek 2

1. Düzenli bir üçgen piramit ve yüksekliğini çizin.

2. Yüzleri tasarım düzlemine paralel olmayan bir küp çizin.

3. Şekil 7'de bir küpün paralel projeksiyonu gösterilmektedir A...D 1. Küp tasarım düzlemine göre nasıl konumlandırılır?

4. Verilen bir tetrahedron ABCD. Yüzünün alanı ABD eşittir Q. Yüzünün projeksiyon alanını bulun BDC uçağa A.D.B. düz bir çizgi yönünde SANTİMETRE., Nerede M– kaburganın ortası AB.

15. Çokyüzlülerin bölümleri

seçenek 1

1. Altıgen prizmada A...F 1 (Şekil 8) çizginin kesişme noktasını oluşturun Güç kalitesi uçakla ABC, noktalar nerede Q Ve P sırasıyla prizmanın yan kenarlarına aittir BB 1 ve GG 1.

2. Yan kaburgalarda dörtgen prizma A...D 1 üç puan verilir K,L,M(Şekil 9). Düzlem kesişme çizgisi oluşturun KLM uçakla ABC.

3. Noktalardan geçen bir düzlemle küpün bir bölümünü oluşturun X,E,Z MS.A.A. 1, BB 1 ve öyle ki balta:XD= 1:2, A 1e:Evet= 2:1, B 1Z:ZB = 1:2.

4. Doğru piramitte SABCD tabanın yanından geçen bir bölüm oluşturun reklam ve dönem M, yan kenara ait S.B..

seçenek 2

1. Yan kaburgalarda BB 1 ve E.E. 1 prizma ABCDEA 1B 1C 1D 1e Buna göre 1 puan verilir F Ve G(Şekil 10). Çizginin kesişme noktasını oluşturun FG uçakla ABC.

2. Verilen bir küp A...D 1. Kaburgalarının üzerinde A.A. 1, CC 1 ve GG Sırasıyla 1 üç puan verilir X,E,Z(Şekil 11). Düzlemlerin kesişim hattını oluşturun XYZ Ve ABC.

3. Düzenli bir üçgen prizmada A...C 1 noktalardan geçen bir bölüm oluşturun K,L Ve M, sırasıyla kenarlara ait A.A. 1, AC. Ve BB 1 ve öyle ki: AK =K.A. 1; AL:LC= 1:2 ve BM =M.B. 1.

4. Doğru piramitte SABCD diyagonalden geçen bir bölüm oluşturun AC. taban ve yan kenara paralel SD.

16. Uzayda düz çizgiler arasındaki açı. Çizgilerin dikliği

seçenek 1

1. Bir küpün içinde A...D AB Ve BB 1; B) BD Ve BB 1; V) AB 1 ve CC 1; G) AB 1 ve CD 1.

A...C 1 bölüm CD kenara dik AB CD Ve A.A. 1; B) CD Ve A 1B 1.

3. Doğru şekilde dörtgen piramit SABCDİle eşit kenarlar köşegen arasındaki açıyı bulun AC. taban ve yan kenar S.C..

4. Düzgün bir tetrahedronun kesişen kenarları arasındaki açıyı bulun.

seçenek 2

1. Bir küpün içinde A...D 1 çizgiler arasındaki açıyı bulun: a) M.Ö. Ve BB 1; B) A 1C 1 ve reklam; V) BB 1 ve BD; G) A 1D Ve M.Ö. 1.

2. Düzenli bir üçgen prizmada A...C 1 sabah– tabanın ortancası ABC. Çizgiler arasındaki açıyı bulun: a) sabah Ve C 1B 1; B) sabah Ve A 1C 1.

3. Düzenli bir tetrahedronda ABCD nokta M– kaburganın ortası C.B.. Çizgiler arasındaki açıyı bulun sabah Ve DC.

4. Düzgün bir üçgen piramidin kesişmeyen kenarları arasındaki açıyı bulun.

17. Bir doğrunun ve bir düzlemin dikliği

seçenek 1

1. Doğrunun doğru olduğunu kanıtlayın düzleme dik, bu düzlemle kesişiyor.

2. Merkezden Ö kare ABCD doğrudan bir çizgi çizildi TAMAM, bu karenin düzlemine dik. Bu çizgiyi kanıtlayın AK düz bir çizgiye dik BD.

3. Verilen bir noktadan geçen ve o doğruya dik olan doğrulara ait noktaların geometrik yerini bulunuz.

4. Nokta M yan yüze aittir ABDÜçgen piramit ABCD, hangisinde AB =BD Ve AC =CD. Bu piramidin bir bölümünü, noktadan geçen bir düzlemle inşa edin M ve çizgiye dik reklam.

seçenek 2

1. Doğrudan A a düzlemine dik olan bu düzlemi şu noktada keser: A. Bu çizgiyi kanıtlayın B, noktadan geçerek A ve çizgiye dik A, a düzleminde yer alır.

2. Noktadan M– yanın ortası AB eşkenar üçgen ABC doğrudan bir çizgi çizildi M.H., bu üçgenin düzlemine dik. Çizgilerin dikliğini kanıtlayın AB Ve HC.

3. Düz bir çizgi verildiğinde A ve ona ait olmayan bir nokta A. Bir noktadan geçen doğruların yerini bulma A ve çizgiye dik A.

4. Dikdörtgen paralel yüzlü A...D 1 bir noktadan geçen bir kesit oluşturun k, iç nokta çapraz bölüm A.A. 1C 1C ve çizgiye dik BB 1.

18. Dik ve eğik

seçenek 1

1. Verilen bir düzlem a. Noktadan A iki eğimli AB= 20 cm ve AC.= 15 cm. Birinci eğik düzlemin bu düzleme izdüşümü 16 cm'dir.

2. Bir noktadan M g düzlemine ait olmayan, ona eşit eğimli eğimler çizilir MA,M.B. Ve M.C.. Eğik olanların tabanlarının aynı çembere ait olduğunu kanıtlayın. Merkezini bulun.

3. Bir noktadan B b düzlemine 2 cm'lik iki eşit eğik düzlem çiziliyor. Aralarındaki açı 600 ve izdüşümleri arasındaki açı 900'dir. Bu noktadan bırakılan dikmeyi bulun B b uçağına.

4. Kenar uzunlukları 13 cm, 14 cm ve 15 cm olan bir üçgen verilmiştir. M Bu üçgenin düzlemine ait olmayan üçgenin kenarlarından 5 cm uzakta olan noktadan bırakılan dikmeyi bulun. M verilen üçgenin düzlemine.

seçenek 2

1. Bir noktadan A eğimli bir düzleme çizilir AB= 9 cm ve dik A.O.= 6 cm Bu dikmenin verilen eğik çizgiye izdüşümünü bulun.

2. Verilen bir çember üzerindeki tüm noktalardan eşit uzaklıkta olan uzaydaki noktaların yerini bulun.

3. Belirli bir noktadan, belirli bir düzleme iki eşit eğimli eğim çizilir ve aralarında 600 derecelik bir açı oluşturulur. Her eğik ile izdüşümü arasındaki açıyı bulun.

4. Nokta M Düzgün bir üçgenin her köşesinden cm, her kenarından 2 cm kaldırılır. Bu noktadan bırakılan dikmeyi bulun. Müçgenin düzlemine.

19. Düz bir çizgi ile düzlem arasındaki açı

seçenek 1

1. Bir piramitte yanal kaburgalar taban düzlemine eşit olarak eğimlidir. Piramidin tepesi hangi noktada yansıtılıyor?

2. Bir küpün içinde A...D A.A. 1 ve uçak AB 1D 1.

3. a düzlemine eğik bir düzlem çiziliyor M.H. (H a) düzlemine aittir. İzdüşümün eğik olup olmadığını kanıtlayın M.H. dik açılarla eşit açılar oluşturur AH. Ve B.H., a düzleminde yatıyor, sonra eğimli M.H. onlarla eşit açılar oluşturur.

4. Verilen düzleme, üzerinde verilen bir noktadan geçen ve düzlemle 900 derecelik bir açı oluşturan düz bir çizgi çizin.

seçenek 2

1. Düzgün bir piramitte yan kenarların taban düzlemine eşit eğimli olduğunu kanıtlayın.

2. Bir küpün içinde A...D 1 kenar arasındaki açının kosinüsünü bulun A 1D 1 ve uçak AB 1D 1.

3. b düzlemine eğik bir çizgi çizilir B.P. (P dik açılarla eşit açılar oluşturan b) düzlemine aittir P.E. Ve PF, b düzleminde yatıyor. Açıların düz çizgilerden oluştuğunu kanıtlayın P.E. Ve PF eğik projeksiyonlu B.P. b düzlemindekiler eşittir.

4. Belirli bir düzleme ait olmayan bir noktadan düzlemle 900 derecelik açı oluşturan düz bir çizgi çizin.

20. Noktalar, çizgiler ve düzlemler arasındaki mesafe

seçenek 1

1. Bir dik üçgende ABC(DIV_ADBLOCK16">

4. Bir küpün içinde A...D 1 kaburgalı A AB Ve B 1C 1.

seçenek 2

1. Dik üçgenin bacakları ABC(C= 900) üstten 15 cm ve 20 cm'ye eşittir. Cüçgen düzlemine bir dik çizilir CD 5 cm'ye eşit Noktadan uzaklığı bulun. D hipotenüse AB.

2. Birim küpte A...D 1 köşe arasındaki mesafeyi bulun D 1 ve: a) üst B; b) kenar AB; c) kenar BB 1C 1C.

3. Bir noktadan k bir dik uzunluk D ve dikle açıları 300 olan iki eğimli olan çizilir. Eğik olanlar arasındaki açı 600'dür. Eğik olanların tabanları arasındaki mesafeyi bulun.

4. Bir küpün içinde A...D 1 kaburgalı A kesişen kenarlar arasındaki mesafeyi bulun DC Ve BB 1.

21. Dihedral açı

seçenek 1

A. Bulmak dikey projeksiyon Eğik ile düzlem arasındaki açı 300 ise bu düzleme eğimlidir.

2. Dihedral açının bir yüzünde iki nokta alınıyor A Ve B. Dikeyler bunlardan çıkarılmıştır A.A. 1, BB 1 diğer tarafa ve A.A. 2, BB Dihedral açının kenarı başına 2. Bulmak BB 2 ise A.A. 1 = 6cm, BB 1 = 3cm, A.A. 2 = 24cm.

3. İki eşit dikdörtgen sahip olmak ortak taraf ve düzlemleri 450 derecelik bir açı oluşturur. İki şeklin, bir dikdörtgenin bir kenarının dik izdüşümünün diğerini böldüğü alanların oranını bulun.

4. Verilen bir doğrunun noktalarından bir düzleme çizilen dikmelerin aynı düzlemde bulunduğunu ve bu dikmelerin tabanlarının geometrik konumunun bu düzlemlerin kesişme çizgisi olduğunu kanıtlayın.

seçenek 2

1. Düzleme çizilen eğik çizgi şuna eşittir: A. Eğimli düzlem ile düzlem arasındaki açı 600 ise bu eğimli düzlemin düzleme dik izdüşümünü bulun.

2. Bir dihedral açının bir yüzünde kenarından 9 cm ve 12 cm aralıklı iki nokta alınıyor. İlk noktadan dihedral açının diğer yüzüne uzaklığı 20 cm. ikinci nokta.

3. İki ikizkenar üçgen sahip olmak Ortak zemin, düzlemleri 600 açı oluşturur. Ortak taban 16 cm'dir, tarafüçgenlerden biri 17 cm, diğerinin kenarları diktir. Ortak bir tabanın karşısında bulunan üçgenlerin köşeleri arasındaki mesafeyi bulun.

4. İki doğrunun bir düzlem üzerindeki dik izdüşümlerinin kesişme noktasının, bu doğruların kesişme noktasının aynı düzlem üzerindeki dik izdüşümü olduğunu kanıtlayın.

22. Düzlemlerin dikliği

seçenek 1

1. Verilen bir küp A...D 1. Düzlemlerin dikliğini kanıtlayın: a) ABD Ve DCC 1; B) AB 1C 1 ve ABB 1.

2. Belirli bir düzlemde bulunan belirli bir çizgi boyunca, bu düzleme dik bir düzlem çizin.

§ 2. BAĞIMSIZ ÇALIŞMA

1. Stereometrinin temel kavramları ve aksiyomları

Bağımsız iş N 1

seçenek 1

1. Düz bir çizgi çizin A ve noktalar A, B Ve C, bu hatta ait değil. Gerekli notları alın.

2. B düzlemini, noktaları çizin e, F, ona ait, dönem G, ona ait değil. Gerekli notları alın.

3. Düz bir çizgi çizin A, a düzleminde yatıyor. Gerekli girişi yapın.

4. Kesişen iki a ve b düzlemini çizin. Gerekli girişi yapın.

seçenek 2

1. Bir noktada kesişen iki tane çizin Ö dümdüz A Ve B ve noktalar A, B, C, ve nokta Açizgiye ait A, Bçizgiye ait B, nokta C verilen satırlara ait değil.

2. g düzlemini ve ona ait olmayan noktaları çizin k, L ve ona ait olan nokta M. Gerekli notları alın.

3. Düz bir çizgi çizin B, düzlemi b noktasında kesen Ö. Gerekli girişi yapın.

4. Kesişen üç çizgi çizin A a, b ve g düzlemleri. Gerekli girişi yapın.

Bağımsız iş N 2

seçenek 1

1)İkizkenar üçgenin taban açıları birbirine eşittir.

2) Uzayda iki noktadan tek bir düz çizgi geçmektedir.

3) Düşey açılar eşittir.

4) Paralelkenar, karşılıklı kenarları çiftler halinde paralel olan bir dörtgendir.

2. Eğer a ve b düzlemleri bir üçgen içeriyorsa göreceli konumlarını belirleyin ABC. Cevabınızı gerekçelendirin.

3. Üç noktadan kaç uçak geçebilir?

4. Farklı dört nokta çiftinden geçen en fazla sayıda doğruyu bulun.

seçenek 2

1. Aşağıdaki cümlelerden aksiyomları, tanımları ve teoremleri belirtin:

1) İki düzlemin ortak bir noktası varsa bunlar düz bir çizgide kesişir.

2) Üçgenin orta çizgisi, iki kenarının orta noktalarını birleştiren doğru parçasıdır.

3) Uzaydaki düz çizgiler ve düzlemler için planimetri aksiyomları sağlanır.

4) Paralelkenarın köşegenleri kesişme noktasına göre ikiye bölünür.

2. Eğer noktalar içeriyorsa b ve g düzlemlerinin göreceli konumlarını belirleyin B Ve C. Cevabınızı gerekçelendirin.

3. Farklı 5 nokta çiftinden geçen en fazla sayıda doğruyu bulun.

4. Dört noktanın farklı üçlülerinden geçen en fazla sayıda düzlemi bulun.

2. Stereometri aksiyomlarından elde edilen sonuçlar

seçenek 1

1. Kesişen iki çizginin düzleminde A Ve B verilen puan C, bu satırlara ait değil. Dümdüz C Belirli bir düzlemde yatan, bir noktadan geçer C. Düz bir çizgi nasıl konumlandırılabilir? C bu düz çizgilere göre?

2. Aynı doğruya ait olmayan üç nokta verilmiştir. Bu noktaları birleştiren üç doğru parçasından ikisini kesen tüm doğruların aynı düzlemde olduğunu kanıtlayın.

3. Düzlem düz bir çizgiyle verilmiştir C ve ona ait olmayan bir nokta C A verilen doğrudan farklı ve verilen noktadan geçmeyen.

4. Bir düzlem, bir noktada kesişen iki şeyle tanımlanır Ö dümdüz A Ve B. Düz bir çizgi çiz C bu çizgileri kesen ve verilen düzlemde yer almayan.

seçenek 2

1. Doğrudan D, üçgenin düzleminde yer alan ABC, onun tarafını geçer AB. Çizgilerin göreceli konumu ne olabilir? D Ve M.Ö.?

2. a düzleminde iki paralel çizgi çiziliyor A Ve B. Bu doğruları kesen tüm doğruların aynı düzlemde olduğunu kanıtlayın.

3. Bir düzlem, bir noktada kesişen iki şeyle tanımlanır Ö dümdüz M Ve N. Bu düzlemde düz bir çizgi çizin k verilen doğrulardan farklı ve noktadan geçmeyen Ö.

4. Düzlem üç noktayla tanımlanır D, e, F, aynı hatta ait değil. Düz bir çizgi çiz A kenarları kesişen Almanya Ve DFüçgen DEF ve bu düzlemde yatmaz.

3. Uzaysal figürler

seçenek 1

1. Beşgen bir prizma çizin ve onu dörtyüzlülere bölün.

2. Köşelerin, kenarların ve yüzlerin sayısını belirleyin: a) küp; b) 7gen prizma; V) N-kömür piramidi.

3. Aşağıdakilere sahipse prizmanın türünü belirleyin: a) 10 köşe; b) 21 kaburga; c) 5 yüz.

4. 4gen prizmanın yüzleri, komşu (ortak bir kenarı paylaşan) yüzler farklı renklere boyanacak şekilde nasıl renklendirilebilir? Gerekli olan en az renk sayısı nedir?

seçenek 2

1. Beşgen bir piramit çizin ve onu dörtyüzlülere bölün.

2. Köşelerin, kenarların ve yüzlerin sayısını belirleyin: a) dikdörtgen paralel yüzlü; b) 6 taraflı piramit; V) N- karbon prizması.

3. Aşağıdakilere sahipse piramidin tipini belirleyin: a) 5 köşe; b) 14 kaburga; c) 9 yüz.

4. Bir oktahedronun yüzleri, komşu (ortak bir kenarı paylaşan) yüzlerin farklı renklere boyanacağı şekilde nasıl renklendirilebilir? Gerekli olan en az renk sayısı nedir?

4. Çokyüzlülerin modellenmesi

seçenek 1

1. Küpün birkaç ağını çizin.

2. Düzgün dört yüzlünün ağı olmayan, dört eşit eşkenar üçgenden oluşan bir şekil çizin.

3. Düzenli bir dörtgen piramidin gelişimini çizin ve bitişik yüzleri yapıştırırken farklı renklere sahip olacak şekilde renklendirin. Almanız gereken en az çiçek sayısı nedir?

4. Dikdörtgen bir paralel uçlu gelişme çizin ve bitişik yüzleri yapıştırırken farklı renklere sahip olacak şekilde renklendirin. Almanız gereken en az çiçek sayısı nedir?

seçenek 2

1. Düzenli bir tetrahedronun birkaç ağını çizin.

2. Altı kareden oluşan ve küp ağı olmayan bir şekil çizin.

3. Bir küp gelişimi çizin ve bitişik yüzleri yapıştırırken farklı renklere sahip olacak şekilde renklendirin. Almanız gereken en az çiçek sayısı nedir?

4. Düzenli 6gen piramidin gelişimini çizin ve bitişik yüzleri yapıştırırken farklı renklere sahip olacak şekilde renklendirin. Almanız gereken en az çiçek sayısı nedir?

5. Uzaydaki çizgilerin paralelliği

seçenek 1

1. Düzenli 4gen piramit şeklinde yazın SABCD tüm paralel kenar çiftleri.

2. İki paralel çizginin düzleminde A Ve B verilen nokta C, bu satırlara ait değil. Nokta yoluyla C doğrudan bir çizgi çizildi C. Düz bir çizgi nasıl konumlandırılabilir? C düz çizgilere göre A Ve B.

3. Verilen bir doğruya ait olmayan bir noktadan buna paralel bir doğru çizin.

4. Verilen iki paralel doğruyu kesen doğruların yerini bulun.

seçenek 2

1. Küpün dört çift paralel kenarını yazın A… D 1 .

2. Üç satır verilmiş A, B Ve İle. Tüm bu düz çizgileri içeren bir düzlem çizilebilecek şekilde bu düz çizgiler nasıl konumlandırılabilir?

3. Verilen iki paralel çizgi A Ve B. Bunlardan biriyle kesişen herhangi bir düzlemin diğeriyle de kesişeceğini kanıtlayın.

4. Belirli bir doğruya paralel olan ve ilkiyle kesişen başka bir doğruyla kesişen doğruların yerini bulun.

6. Geçiş çizgileri

seçenek 1

1. Bir küpün içinde A… D 1 kenarı geçen kenarları yazın AB.

2. 4gen piramidin kesişen kenar çiftlerini yazın SABCD.

3. Çizgiler birbirine göre nasıl konumlandırılmıştır? A Ve BŞekil 1'de? Cevabınızı gerekçelendirin.

4. İki çarpık çizgi verildiğinde A Ve B ve onlara ait olmayan bir nokta C. Düz bir çizgi oluşturun C, noktadan geçerek C ve çizgilerle kesişen A Ve B.

seçenek 2

1. Kenarla kesişen kenarları yazın S.A. düzenli 4gen piramit SABCD.

2. Köşegenle kesişen kenarları yazın B 1 D Küba A...D 1 .

C(Şekil 1). Dümdüz A a düzleminde yer alır ve doğruyu keser C. B düzlemindeki çizgiye paralel bir çizgi çizmek mümkün müdür? A? Cevabınızı gerekçelendirin.

4. Her biri verilen iki eğri çizgiyi kesen iki paralel çizgi var mı? Cevabınızı gerekçelendirin.

7. Düz bir çizgi ile bir düzlemin paralelliği

seçenek 1

1. Yüzün düzlemine paralel olan kenarları yazın CC 1 D 1 D doğru prizma ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 e 1 F 1 .

2. Doğrudan A a düzlemine paralel; dümdüz B düzlemi a noktasında kesiyor B; dümdüz C, çizgilerle kesişen A Ve B sırasıyla noktalarda e Ve F, düzlemi a noktasında kesiyor C. Çizim yapmak. Düz çizgiler birbirine göre nasıl konumlandırılabilir? A Ve B?

3. a ve b düzlemleri düz bir çizgide kesişiyor C. Nokta A a düzlemine ait nokta B– düzlem b. Aşağıdakileri oluşturun: a) düz bir çizgi A, a düzleminde uzanıyor, noktadan geçiyor A ve b düzlemine paralel; b) düz B, noktadan geçen b düzleminde yatıyor B ve a düzlemine paralel. Düz çizgiler birbirine göre nasıl konumlandırılacak? A Ve B?

4. Puanlar A Ve B piramidin bitişik yan yüzlerine aittir. Bu yüzlerdeki bu noktalardan birbirine paralel iki parça çizin.

seçenek 2

1. Kenara paralel yüzlerin düzlemlerini yazın CC 1 paralel yüzlü A… D 1 .

2. Doğrudan A a düzlemine paralel; dümdüz B Ve C, çizgiyi kesen A sırasıyla noktalarda B Ve C, a düzlemini sırasıyla noktalarda keser D Ve e. Çizim yapmak. Düz çizgiler birbirine göre nasıl konumlandırılabilir? A Ve B?

3. a ve b düzlemleri düz bir çizgide kesişiyor C. Dümdüz A a düzleminde yer alır. Aşağıdaki durumlarda bunu kanıtlayın: a) A b düzlemini bir noktada kesiyor A, O Açizgiye ait C; B) A b düzlemine paralelse doğruya paraleldir C.

4. Puanlar A Ve B prizmanın bitişik yan yüzlerine aittir. Bu yüzlerdeki bu noktalardan birbirine paralel iki parça çizin.

8. İki düzlemin paralelliği

seçenek 1

1. Paralel borunun paralel düzlemlerini yazın A… D 1 .

2. İfadeler doğru mu:

1) Verilen bir düzleme ait olmayan bir noktadan, verilen düzleme paralel tek bir düzlem geçer.

2) Bir düzlemde bulunan iki doğru, başka bir düzlemde bulunan iki doğruya sırasıyla paralelse, bu düzlemler paraleldir.

3) Belirli bir düzleme paralel olan ve bu düzleme ait olmayan bir noktadan geçen sonsuz sayıda doğru vardır.

4) Verilen iki düzlemden biri, diğer düzlemde bulunan kesişen iki çizgiye paralelse bu düzlemler paraleldir.

3. Aynı üçüncü düzleme paralel iki düzlemin birbirine paralel olduğunu kanıtlayın.

4. Segmentler AB Ve CD sırasıyla a ve b paralel düzlemlerinde bulunur (Şekil 2). Düz çizgiler birbirine göre nasıl konumlandırılabilir? AC. Ve BD? Paralel olabilirler mi?

seçenek 2

1. Üçgen piramitte SABC tabanına paralel bir düzlem çizin ABC.

2. İfadeler doğru mu:

1) Bir düzlemde bulunan bir doğru başka bir düzlemde bulunan bir doğruya paralel ise bu düzlemler paraleldir.

2) Bir düzlem verilen iki düzlemi paralel doğrular boyunca kesiyorsa bu düzlemler paraleldir.

3) Belirli bir doğruya paralel olan ve bu doğruya ait olmayan bir noktadan geçen sonsuz sayıda düzlem vardır.

4) İki düzlem aynı doğruya paralel ise paraleldirler.

3. Bir düzlem iki paralel düzlemden biriyle kesişiyorsa diğeriyle de kesiştiğini kanıtlayın.

4. Segmentler AB Ve CD sırasıyla a ve b paralel düzlemlerinde bulunur (Şekil 3). Düz çizgiler birbirine göre nasıl konumlandırılabilir? reklam Ve M.Ö.? Kesişebilirler mi?

9. Uzaydaki vektörler

seçenek 1

1. Belirli bir vektör için
vektörleri oluşturun: a) - ; b) 2; V) - .

2. Düzenli bir dörtgen piramidin köşelerinden oluşan tüm olası nokta çiftleri tarafından tanımlanan kaç vektör vardır?

ABCD ve bir vektör çizin: a)
; B)
; V)
.

4. Paralel boru verildiğinde A… D
; B)
; V)
.

seçenek 2

1. Belirli bir vektör için vektörleri oluşturun: a) 3 ; b) -2; V) .

2. Bir üçgen prizmanın köşelerinden oluşan tüm olası nokta çiftleri tarafından tanımlanan kaç vektör vardır?

3. Düzenli bir tetrahedron çizin ABCD ve bir vektör çizin: a)
; B)
; V)
.

4. Paralel boru verildiğinde A… D 1. Vektörlerin toplamını bulun: a)
; B)
; V) .

10. Eşdoğrusal ve eşdüzlemsel vektörler

seçenek 1

vektörü elde etmek için , aynı şekilde yönlendirilmiş ve | |=1.

2. Zıt yönlü iki vektör verildiğinde ve , ve | | > | |. + vektörünün yönünü ve uzunluğunu bulun.

3. Verilen bir tetrahedron ABCD. Eş düzlemli vektörleri tanımlayan üç çift köşe noktasını yazın.

4. Verilen bir küp A… D 1. Köşelerinde başlangıçları ve bitişleri olan eş düzlemli olmayan vektörlerin üçlülerini yazın.

seçenek 2

1. Sıfırdan farklı bir vektör hangi sayı ile çarpılmalıdır? vektörü elde etmek için , ve ile zıt yönde | |=2.

2. Zıt yönlü iki vektör verildiğinde ve , ve | | |. + vektörünün yönünü ve uzunluğunu bulun.

3. Verilen bir tetrahedron ABCD. Eş düzlemli olmayan vektörleri tanımlayan üç çift köşeyi yazın.

4. Verilen bir küp A… D 1. Köşelerinde başlangıçları ve bitişleri olan eş düzlemli vektörlerin üçlülerini yazın.

11. Paralel aktarım

seçenek 1

1. Bir doğrunun paralel ötelenmesiyle elde edilen bir şekil oluşturun A vektöre
, Eğer bir) e ait A, F ait değil A; b) puan e Ve F ait değilim A.

2. Segmentin ortası olan paralel çeviriyi belirtin G.H. bir noktaya çevirir M.

3. Kareden elde edilen bir şekil oluşturun ABCD bir vektöre paralel transfer: a)
; B) .

ABCD Bir vektöre paralel transfer.

seçenek 2

1. Merkezi bir noktada olan bir dairenin paralel ötelenmesiyle elde edilen bir şekil oluşturun Ö vektöre
, eğer: a) nokta kçevreye aittir; b) nokta kçembere ait değil.

2. Kesişme noktası olan paralel ötelemeyi belirtin Ö iki düz çizgi A Ve B bir noktaya çevirir N.

3. Düzgün bir üçgenden elde edilen bir şekil oluşturun ABC bir vektöre paralel transfer: a) ; b) nokta nerede M– yanın ortası M.Ö..

4. Dört yüzlüden elde edilen bir şekil oluşturun ABCD bir vektöre paralel transfer
.

12. Paralel mühendislik

seçenek 1

1. Uzayda iki farklı noktanın paralel izdüşümü ile kaç nokta elde edilecektir? Uygun çizimler ve gerekçeler yapın.

2. Paralel tasarım sırasında korunan dikdörtgenin özelliklerini listeleyin.

3. İki düz çizgi, bir düzleme düz bir çizgi halinde ve bu düz çizgiye ait olmayan bir noktaya yansıtılacak şekilde nasıl konumlandırılmalıdır?

4. Paralel çizgiler A Ve B A, B Ve CŞekil 4'te gösterilmektedir. Dördüncü noktayı çizin D. Cevabınızı gerekçelendirin.

seçenek 2

1. Uzayda üç farklı nokta tasarlarken kaç puan alacaksınız? Uygun çizimler ve gerekçeler yapın.

2. Eşkenar dörtgenin paralel tasarım sırasında korunan özelliklerini listeleyiniz.

3. Bir doğru ve bir nokta, bir düzleme, bir doğruya ve bu doğruya ait bir noktaya yansıtılacak şekilde nasıl konumlandırılmalıdır?

4. Kesişen çizgiler A Ve B a ve b paralel düzlemleri dört noktada kesişiyor. Üçü A, B Ve CŞekil 5'te gösterilmektedir. Dördüncü noktayı çizin D. Cevabınızı gerekçelendirin.

13. Düzlem figürlerin paralel izdüşümleri

seçenek 1

1. İzdüşüm düzlemine paralel bir düzlemde uzanan bir dik ikizkenar üçgenin paralel izdüşümünü çizin.

2. Eşkenar üçgenin paralel izdüşümünü çizin ABC ve bunun üzerine noktadan bırakılan dikmelerin görüntülerini oluşturun M– yanın ortası AB yanlara AC. Ve M.Ö..

ABCDEF orijinal şekil olarak bir dikdörtgeni alarak ABDE.

4. Eşkenar üçgenin paralel izdüşümünü çizin ABC ve bunun üzerine noktadan çizilen bir dikin görüntüsünü oluşturun. k– segmentin orta noktası BÖ.(Ö– üçgenin merkezi) yana doğru AB.

seçenek 2

1. İzdüşüm düzlemine paralel bir düzlemde yer alan bir eşkenar üçgenin paralel izdüşümünü çizin.

2. Bir karenin paralel izdüşümünü çizin ABCD ve bunun üzerine noktadan çizilen dikmelerin bir görüntüsünü oluşturun e– yanın ortası M.Ö. düz çizgilere BD Ve AC..

3. Düzgün bir altıgenin paralel izdüşümünü çizin ABCDEF başlangıç ​​şekli olarak eşkenar üçgeni alarak as.

4. Bir dikdörtgenin paralel izdüşümünü çizin ABCD, hangisi reklam = 2AB. Bir tepe noktasından bırakılan bir dikmenin görüntüsünü oluşturun C diyagonal BD.

14. Mekansal figürlerin görüntüsü

seçenek 1

1. Düzenli bir dörtgen piramit ve yüksekliğini çizin.

2. İki yüzü tasarım düzlemine paralel olan bir küp çizin.

3. Şekil 6 bir küpün paralel projeksiyonunu göstermektedir A… D

4. Verilen bir tetrahedron ABCD. Yüzünün alanı ADC eşittir S BDC uçağa ADC düz bir çizgi yönünde AB.

seçenek 2

1. Düzenli bir üçgen piramit ve yüksekliğini çizin.

2. Yüzleri tasarım düzlemine paralel olmayan bir küp çizin.

3. Şekil 7'de bir küpün paralel projeksiyonu gösterilmektedir A… D 1. Küp tasarım düzlemine göre nasıl konumlandırılır?

4. Verilen bir tetrahedron ABCD. Yüzünün alanı ABD eşittir Q. Yüzünün projeksiyon alanını bulun BDC uçağa A.D.B. düz bir çizgi yönünde SANTİMETRE., Nerede M– kaburganın ortası AB.

15. Çokyüzlülerin bölümleri

seçenek 1

1. Altıgen prizmada A… F 1 (Şekil 8) çizginin kesişme noktasını oluşturun Güç kalitesi uçakla ABC, noktalar nerede Q Ve P sırasıyla prizmanın yan kenarlarına aittir BB 1 ve GG 1 .

2. Dörtgen prizmanın yan kenarlarında A… D 1 üç puan verilir k, L, M(Şekil 9). Düzlem kesişme çizgisi oluşturun KLM uçakla ABC.

3. Noktalardan geçen bir düzlemle küpün bir bölümünü oluşturun X, e, Z, sırasıyla kenarlara ait reklam, A.A. 1 , BB 1 ve öyle ki balta:XD = 1:2, A 1 e:Evet= 2:1, B 1 Z:ZB = 1:2.

4. Doğru piramitte SABCD tabanın yanından geçen bir bölüm oluşturun reklam ve dönem M, yan kenara ait S.B..

seçenek 2

1. Yan kaburgalarda BB 1 ve E.E. 1 prizma ABCDEA 1 B 1 C 1 D 1 e Buna göre 1 puan verilir F Ve G(Şekil 10). Çizginin kesişme noktasını oluşturun FG uçakla ABC.

2. Verilen bir küp A… D 1. Kaburgalarının üzerinde A.A. 1 , CC 1 ve GG Sırasıyla 1 üç puan verilir X, e, Z(Şekil 11). Düzlemlerin kesişim hattını oluşturun XYZ Ve ABC.

3. Düzenli bir üçgen prizmada A… C 1 noktalardan geçen bir bölüm oluşturun k, L Ve M, sırasıyla kenarlara ait A.A. 1 , AC. Ve BB 1 ve öyle ki: AK = K.A. 1 ; AL:LC = 1:2 ve B.M. = M.B. 1 .

4. Doğru piramitte SABCD diyagonalden geçen bir bölüm oluşturun AC. taban ve yan kenara paralel SD.

16. Uzayda düz çizgiler arasındaki açı. Çizgilerin dikliği

seçenek 1

1. Bir küpün içinde A… D AB Ve BB 1; B) BD Ve BB 1; V) AB 1 ve CC 1; G) AB 1 ve CD 1 .

A… C 1 bölüm CD kenara dik AB. Çizgiler arasındaki açıyı bulun: a) CD Ve A.A. 1; B) CD Ve A 1 B 1 .

SABCD kenarları eşit olan köşegenler arasındaki açıyı bulun AC. taban ve yan kenar S.C..

4. Düzgün bir tetrahedronun kesişen kenarları arasındaki açıyı bulun.

seçenek 2

1. Bir küpün içinde A… D 1 çizgiler arasındaki açıyı bulun: a) M.Ö. Ve BB 1; B) A 1 C 1 Ve reklam; V) BB 1 ve BD; G) A 1 D Ve M.Ö. 1 .

2. Düzenli bir üçgen prizmada A… C 1 sabah– tabanın ortancası ABC. Çizgiler arasındaki açıyı bulun: a) sabah Ve C 1 B 1; B) sabah Ve A 1 C 1 .

3. Düzenli bir tetrahedronda ABCD nokta M– kaburganın ortası C.B.. Çizgiler arasındaki açıyı bulun sabah Ve DC.

4. Düzgün bir üçgen piramidin kesişmeyen kenarları arasındaki açıyı bulun.

17. Bir doğrunun ve bir düzlemin dikliği

seçenek 1

1. Bir düzleme dik olan bir doğrunun bu düzlemle kesiştiğini kanıtlayın.

2. Merkezden Ö kare ABCD doğrudan bir çizgi çizildi TAMAM, bu karenin düzlemine dik. Bu çizgiyi kanıtlayın AK düz bir çizgiye dik BD.

3. Verilen bir noktadan geçen ve o doğruya dik olan doğrulara ait noktaların geometrik yerini bulunuz.

4. Nokta M yan yüze aittir ABDÜçgen piramit ABCD, hangisinde AB = BD Ve AC. = CD. Bu piramidin bir bölümünü, noktadan geçen bir düzlemle inşa edin M ve çizgiye dik reklam.

seçenek 2

1. Doğrudan A a düzlemine dik olan bu düzlemi şu noktada keser: A. Bu çizgiyi kanıtlayın B, noktadan geçerek A ve çizgiye dik A, a düzleminde yer alır.

2. Noktadan M– yanın ortası AB eşkenar üçgen ABC doğrudan bir çizgi çizildi M.H., bu üçgenin düzlemine dik. Çizgilerin dikliğini kanıtlayın AB Ve HC.

3. Düz bir çizgi verildiğinde A ve ona ait olmayan bir nokta A. Bir noktadan geçen doğruların yerini bulma A ve çizgiye dik A.

4. Dikdörtgen paralel yüzlü A… D 1 bir noktadan geçen bir kesit oluşturun k, köşegen bölümün iç noktası A.A. 1 C 1 C ve çizgiye dik BB 1 .

18. Dik ve eğik

seçenek 1

1. Verilen bir düzlem a. Noktadan A iki eğimli AB= 20 cm ve AC.= 15 cm. Birinci eğik düzlemin bu düzleme izdüşümü 16 cm'dir.

2. Bir noktadan M g düzlemine ait olmayan, ona eşit eğimli eğimler çizilir M.A., M.B. Ve M.C.. Eğik olanların tabanlarının aynı çembere ait olduğunu kanıtlayın. Merkezini bulun.

3. Bir noktadan B b düzlemine 2 cm'lik iki eşit eğik düzlem çiziliyor. Aralarındaki açı 60 0 ve çıkıntıları arasındaki açı 90 0'dır. Bu noktadan bırakılan dikmeyi bulun B b uçağına.

4. Kenar uzunlukları 13 cm, 14 cm ve 15 cm olan bir üçgen verilmiştir. M Bu üçgenin düzlemine ait olmayan üçgenin kenarlarından 5 cm uzakta olan noktadan bırakılan dikmeyi bulun. M verilen üçgenin düzlemine.

seçenek 2

1. Bir noktadan A eğimli bir düzleme çizilir AB= 9 cm ve dik A.O.= 6 cm Bu dikmenin verilen eğik çizgiye izdüşümünü bulun.

2. Verilen bir çember üzerindeki tüm noktalardan eşit uzaklıkta olan uzaydaki noktaların yerini bulun.

3. Belirli bir noktadan, belirli bir düzleme, aralarında 60 0'lik bir açı oluşturan iki eşit eğimli eğim çizilir. Projeksiyonları arasındaki açı düzdür. Her eğik ile izdüşümü arasındaki açıyı bulun.

4. Nokta M Düzenli bir üçgenin her bir köşesine olan mesafe
cm ve her iki taraftan - 2 cm. noktadan düşen dik noktayı bulun. Müçgenin düzlemine.

19. Düz bir çizgi ile düzlem arasındaki açı

seçenek 1

1. Bir piramitte yanal kaburgalar taban düzlemine eşit olarak eğimlidir. Piramidin tepesi hangi noktada yansıtılıyor?

2. Bir küpün içinde A… D A.A. 1 ve uçak AB 1 D 1 .

3. a düzlemine eğik bir düzlem çiziliyor M.H. (H a) düzlemine aittir. İzdüşümün eğik olup olmadığını kanıtlayın M.H. dik açılarla eşit açılar oluşturur AH. Ve B.H., a düzleminde yatıyor, sonra eğimli M.H. onlarla eşit açılar oluşturur.

4. Belirli bir düzleme, üzerinde belirli bir noktadan geçen ve düzlemle 90 0 açı oluşturan düz bir çizgi çizin.

seçenek 2

1. Düzgün bir piramitte yan kenarların taban düzlemine eşit eğimli olduğunu kanıtlayın.

2. Bir küpün içinde A… D 1 kenar arasındaki açının kosinüsünü bulun A 1 D 1 ve uçak AB 1 D 1 .

3. b düzlemine eğik bir çizgi çizilir B.P. (P dik açılarla eşit açılar oluşturan b) düzlemine aittir P.E. Ve PF, b düzleminde yatıyor. Açıların düz çizgilerden oluştuğunu kanıtlayın P.E. Ve PF eğik projeksiyonlu B.P. b düzlemindekiler eşittir.

4. Bu düzleme ait olmayan bir noktadan düzlemle 90 0 açı oluşturan düz bir çizgi çizin.

20. Noktalar, çizgiler ve düzlemler arasındaki mesafe

seçenek 1

1. Bir dik üçgende ABC(
C= 90 0) bacak AC.Üstten 8 cm'ye eşittir. B Bu üçgenin düzlemine bir dik çizilir BD. Noktalar arasındaki mesafe A Ve D 10 cm'ye eşittir D bacağa AC..

2. Birim küpte A… D A ve: a) üst C 1; b) kenar CC 1; c) kenar BB 1 C 1 C.

3. Nokta M bir dik üçgenin tüm köşelerine olan uzaklık A. Bir üçgenin hipotenüsü eşittir C. Noktaya olan mesafeyi bulun M verilen üçgenin düzlemine.

4. Bir küpün içinde A… D 1 kaburgalı A AB Ve B 1 C 1 .

seçenek 2

1. Dik üçgenin bacakları ABC(C= 90 0) üstten 15 cm ve 20 cm'ye eşittir. Cüçgen düzlemine bir dik çizilir CD 5 cm'ye eşit Noktadan uzaklığı bulun. D hipotenüse AB.

2. Birim küpte A… D 1 köşe arasındaki mesafeyi bulun D 1 ve: a) üst B; b) kenar AB; c) kenar BB 1 C 1 C.

3. Bir noktadan k bir dik uzunluk D ve dikle açıları 30 0 olan iki eğimli olan çizilir. Eğik olanlar arasındaki açı 60 0'dır. Eğik olanların tabanları arasındaki mesafeyi bulun.

4. Bir küpün içinde A… D 1 kaburgalı A kesişen kenarlar arasındaki mesafeyi bulun DC Ve BB 1 .

21. Dihedral açı

seçenek 1

A. Eğik düzlem ile düzlem arasındaki açı 30 0 ise bu eğimli düzlemin düzleme dik izdüşümünü bulun.

2. Dihedral açının bir yüzünde iki nokta alınıyor A Ve B. Dikeyler bunlardan çıkarılmıştır A.A. 1 , BB 1 diğer tarafa ve A.A. 2 , BB Dihedral açının kenarı başına 2. Bulmak BB 2 ise A.A. 1 = 6cm, BB 1 = 3cm, A.A. 2 = 24cm.

3. İki eşit dikdörtgenin bir kenarları ortaktır ve düzlemleri 45 0 açı oluşturur. İki şeklin, bir dikdörtgenin bir kenarının dik izdüşümünün diğerini böldüğü alanların oranını bulun.

4. Verilen bir doğrunun noktalarından bir düzleme çizilen dikmelerin aynı düzlemde bulunduğunu ve bu dikmelerin tabanlarının geometrik konumunun bu düzlemlerin kesişme çizgisi olduğunu kanıtlayın.

seçenek 2

1. Düzleme çizilen eğik çizgi şuna eşittir: A. Eğimli düzlem ile düzlem arasındaki açı 60 0 ise, bu eğimli düzlemin düzleme dik izdüşümünü bulun.

2. Bir dihedral açının bir yüzünde kenarından 9 cm ve 12 cm aralıklı iki nokta alınıyor. İlk noktadan dihedral açının diğer yüzüne uzaklığı 20 cm. ikinci nokta.

3. İki ikizkenar üçgenin tabanları ortaktır ve düzlemleri 60 0 açı oluşturur. Ortak taban 16 cm, bir üçgenin kenarı 17 cm, diğerinin kenarları diktir. Ortak bir tabanın karşısında bulunan üçgenlerin köşeleri arasındaki mesafeyi bulun.

4. İki doğrunun bir düzlem üzerindeki dik izdüşümlerinin kesişme noktasının, bu doğruların kesişme noktasının aynı düzlem üzerindeki dik izdüşümü olduğunu kanıtlayın.

22. Düzlemlerin dikliği

seçenek 1

1. Verilen bir küp A… D ABD Ve DCC 1; B) AB 1 C 1 ve ABB 1 .

2. Belirli bir düzlemde bulunan belirli bir çizgi boyunca, bu düzleme dik bir düzlem çizin.

3. İki dik düzlem a ve b düz bir çizgide kesişiyor AB. Dümdüz CD a düzleminde paralel olarak uzanır AB ve ondan 60 cm uzaklıkta yer almaktadır. Nokta e b düzlemine aittir ve 91 cm uzaklıkta yer almaktadır. AB. Noktaya olan mesafeyi bulun e düz bir çizgiye CD.

4. Doğrunun doğru olduğunu kanıtlayın A ve aynı b düzlemine dik olan a düzlemi, eğer düz çizgi paralelse paraleldir. A a düzleminde yer almıyor.

seçenek 2

1. Verilen bir küp A… D 1. Düzlemlerin dikliğini kanıtlayın: a) A.A. 1 D 1 Ve D 1 B 1 C 1; B) A 1 B 1 D Ve BB 1 C 1 .

2. Eğik düzlem boyunca bu düzleme dik bir düzlem çizin.

3. Segment MN birbirine dik iki düzlemde uçları vardır ve onlarla eşit açı yapar. noktaları kanıtlayın M Ve N bu düzlemlerin kesişme çizgisinden eşit uzaklıkta.

4. İki a ve b düzleminin, g düzlemine dik olması ve onu paralel çizgiler boyunca kesmesi durumunda paralel olduklarını kanıtlayın.

23*. Merkezi tasarım

Bağımsız iş N 1

seçenek 1

1. Merkezi tasarım sırasında tasarım düzlemine paralel olan düz çizgi nereye gider?

2. Düz şekil tasarım düzlemine paralel bir düzlemde yer alır ve merkez ile tasarım düzlemi arasındadır. Bir şekil ile izdüşümü arasındaki benzerlik katsayısı nasıl belirlenir?

R. Yüksekliğin ortasından tabana paralel bir düzlem çizilir. Kesit alanını bulun.

4. Üçgen piramitte ABCD(Şekil 12) noktalardan M Ve N, sırasıyla yüzlere ait ABD Ve BCD, kenara paralel bir bölüm çizin AC..

seçenek 2

1. Hangi durumda iki doğrunun merkezi izdüşümü iki paralel doğru olacaktır?

2. Bir düzlem şekli projeksiyon düzlemine paralel bir düzlemde yer almaktadır. Tasarım düzlemi, tasarım merkezi ile verilen şeklin düzlemi arasında yer alır. Bir şekil ile izdüşümü arasındaki benzerlik katsayısı nasıl belirlenir?

3. Koninin tabanının yarıçapı eşittir R. Tabana paralel ve koninin yüksekliğini buna göre bölen bir düzlemle kesişir. M:N, üstten sayıyorum. Kesit alanını bulun.

4. Üçgen piramitte ABCD(Şekil 13) bir noktadan M piramidin yüksekliğine ait YAPMAK, yüze paralel bir kesit çizin BCD.

Bağımsız iş N 2

seçenek 1

1. Doğrudan MS. Bir nokta ile aynı yarı uzayda bulunan belirli bir çizginin bir kısmının merkezi izdüşümünü çizin S p düzlemine göre.

A… D A.A. 1 C 1 .

3. Düzgün bir altıgen prizmanın merkezi izdüşümünü tabanlarına paralel bir düzlem üzerine çizin.

4. Düzenli bir dörtgen piramit verildiğinde SABCD tabandaki dihedral açısı 60 0'a eşittir. Çizgiler arasındaki mesafeyi bulun AB Ve S.C., Eğer AB= 1.

seçenek 2

1. Doğrudan M tasarım düzlemi p ile kesişir ve tasarım merkezinden geçmez S. Belirli bir çizginin farklı yarı uzaylarda bulunan bir kısmının merkezi izdüşümünü bir nokta ile çizin S p düzlemine göre.

2. Küpün merkezi izdüşümünü çizin A… D 1 düzleme paralel bir düzlemde AB 1 C 1 .

3. Düzgün bir altıgen prizmanın merkezi izdüşümünü tabanlarına paralel olmayan bir düzlem üzerine çizin.

4. Düzenli bir üçgen prizma verildiğinde A… C 1, tüm kenarları 1'e eşittir. Çizgiler arasındaki mesafeyi bulun A.A. 1 ve M.Ö. 1 .

24. Çokyüzlü açılar

seçenek 1

1. Hangi koşullar altında a, b ve g açılarının bir üçgen açının düzlem açıları olabileceğini yazın.

2. Üçgen açıda tüm düzlem açıları dik açıdır. Kenarlarına üstten 2 cm, 4 cm, 6 cm'lik parçalar serilir ve uçlarından bir düzlem çizilir. Ortaya çıkan bölümün alanını bulun.

3. Bir tetrahedral açının tüm yüzlerinin düzlemleri kaç doğru boyunca çiftler halinde kesişir?

seçenek 2

1. Üçgen açının iki düzlem açısı a ve b'ye eşittir ve a > b. Belirli bir üçgen açının üçüncü düzlem açısı g'nin değerlerinin mümkün olduğu sınırları yazın.

2. Her şey üç yüzlü bir açıda dihedral açılar- dümdüz. Bu açının tepe noktasından, iç bölgesindeki kenarlara projeksiyonları eşit olan bir parça çizilir. A, B Ve C. Bu segmenti bulun.

3. Bir pentahedral açının tüm yüzlerinin düzlemleri kaç doğru boyunca çiftler halinde kesişir?

25*. Dışbükey çokyüzlüler

seçenek 1

N-kömür prizması: a) dışbükey; b) dışbükey olmayan.

2. 5 köşesi olan dışbükey bir çokyüzlü çizin.

3. Dışbükey bir çokyüzlüde Г yüzlerinin sayısı bilinmektedir ve her yüz aynı sayıda kenara sahiptir N. Aşağıdakilerin sayısını bulun: a) düzlem açıları (
); b) belirli bir çokyüzlünün kenarları (P). Sayılar ve P arasında nasıl bir ilişki vardır?

4. Dışbükey bir çokyüzlünün B köşeleri, P kenarları ve T yüzleri vardır. Onu kestiler M yönlü açı. Ortaya çıkan çokyüzlünün köşe, kenar ve yüz sayısını bulun.

seçenek 2

1. Köşe sayısını (B), kenarları (P) ve yüzleri (D) belirleyin N-kömür piramidi: a) dışbükey; b) dışbükey olmayan.

2. 6 köşesi olan dışbükey bir çokyüzlü çizin.

3. Dışbükey bir çokyüzlüde, B köşelerinin sayısı bilinir ve her köşede aynı sayıda kenar birleşir. M. Aşağıdakilerin sayısını bulun: a) düzlem açıları (); b) belirli bir çokyüzlünün (P) kenarları. Sayılar ve P arasında nasıl bir ilişki vardır?

4. Dışbükey bir çokyüzlünün B köşeleri, P kenarları ve T yüzleri vardır. Onun için N- kömür yüzüne bir piramit inşa edildi. Yeni çokyüzlünün köşe, kenar ve yüz sayısını bulun.

26*. Euler teoremi

seçenek 1

1. Euler teoreminin geçerli olduğu, dışbükey olmayan bir çokyüzlü çizin.

3. B köşeli, P kenarlı ve G yüzlü herhangi bir dışbükey çokyüzlüde aşağıdaki eşitsizliğin geçerli olduğunu kanıtlayın: 3B – 6 R.

4. Düzenli üçgen piramidin tabanının yüksekliğini bulun H ve yan kenar B.

seçenek 2

1. Euler teoreminin geçerli olmadığı, dışbükey olmayan bir çokyüzlü çizin.

2. Herhangi bir dışbükey çokyüzlü için ilişkinin doğru olduğunu kanıtlayın

3. B köşeli, P kenarlı ve G yüzlü herhangi bir dışbükey çokyüzlüde aşağıdaki eşitsizliğin geçerli olduğunu kanıtlayın: 3G – 6 P.

4. Taban tarafı olan düzgün üçgen piramidin yüksekliğini bulun A ve yan kenar yüksekliği H.

27. Düzenli çokyüzlüler

seçenek 1

1. Çizim: a) bir tetrahedronun gelişimi; b) altı yüzlüye ikili bir çokyüzlü.

2. Oktahedronun, köşelerinden birinden ve bu tepe noktasının ait olmadığı iki paralel kenarın orta noktalarından geçen bir düzlemle bir kesiti oluşturun. Bölüm türünü belirleyin.

3. Dörtyüzlüye ABCD eşit kenarlara sahip düzenli bir üçgen prizma, tabanlarından birinin köşeleri yan kenarlarda olacak şekilde yazılmıştır. reklam, BD, CD ve diğeri - uçakta ABC. Bir tetrahedronun kenarı A. Prizmanın kenarını bulun.

4. Bir tetrahedronda ABCD M– orta boy YAPMAK tetrahedron, yüz düzlemine paralel ADC. Bölüm türünü belirleyin.

seçenek 2

1. Çizim: a) bir küpün gelişimi; b) dört yüzlüye ikili bir çokyüzlü.

2. Oktahedronun iki paralel kenarından geçen bir düzlemle bir kesiti oluşturun. Bölüm türünü belirleyin.

3. Bir küp, bir oktahedronun içine, köşeleri oktahedronun kenarlarında olacak şekilde yazılmıştır. Oktahedronun kenarı A. Küpün kenarını bulun.

4. Bir tetrahedronda ABCD noktadan geçen bir düzlemi içeren bir kesit çizin M, yüze ait ABC yüz düzlemine paralel BCD. Bölüm türünü belirleyin.

28*. Yarı düzenli çokyüzlüler

seçenek 1

1. Kesik bir altı yüzlünün köşe (B), kenarları (P) ve yüzlerinin (D) sayısını bulun.

2. 5gen antiprizma nasıl elde edilir?

3. Düzenli bir altıgen prizmaya bir çokyüzlü ikilisi çizin.

4. Düzenli üçgen ABC ve başka bir üçgen ADC ortak bir yanı var AC. ve aralarındaki açı 30 0 olan farklı düzlemlerde bulunur. Tepe noktası Düçgenin düzlemine dik olarak izdüşümü ABC merkezine. Düzgün bir üçgenin yüksekliği H. Tarafı bul reklamüçgen ADC.

seçenek 2

1. Kesik oktahedronun köşe (B), kenar (P) ve yüz (D) sayısını bulun.

2. Sekizgen antiprizma nasıl elde edilebilir?

3. 6gen antiprizmaya ikili bir çokyüzlü çizin.

4. Kare ABCD ve üçgen ABE ortak bir yanı var AB ve aralarındaki açı 45 0 olan farklı düzlemlerde bulunur. Tepe noktası eüçgen, merkezindeki karenin düzlemine dik olarak izdüşümü yapar Ö. Yükseklik E.H.üçgen eşittir H. Üçgenin kare düzlemine dik izdüşümü alanını ve parçanın dik izdüşümü alanını bulun O.E.üçgenin düzlemine.

29*. Yıldız çokyüzlüler

seçenek 1

1. Oktahedrondan Kepler yıldızı nasıl elde edilir?

2. Küçük yıldız şeklindeki dodecahedronun köşe (B), kenarları (P) ve yüzlerinin (D) sayısını bulun.

3. Bir küpten kesik bir küp nasıl elde edilir? Küpün kenarı eşitse kenarı neye eşittir? A?

4. Bir düzlem üçgen bir piramidi kesiyorsa ve kesişen iki kenarına paralelse kesitin bir paralelkenar olacağını kanıtlayın.

seçenek 2

1. Altı yüzlüden Kepler yıldızı nasıl elde edilir?

2. Büyük dodecahedronun köşe (B), kenarları (P) ve yüzlerinin (D) sayısını bulun.

3. Bir küpten küpoktahedron nasıl elde edilir? Küpün kenarı eşitse kenarı neye eşittir? A?

4. Düzgün bir tetrahedronun, kesiti kare olacak şekilde bir düzlemle kesilebileceğini kanıtlayın.

otuz*. Kristaller – doğal çokyüzlüler

seçenek 1

1. Bir kaya kristali çizin.

2. Eşkenar dörtgen bir dodecahedron çizin. Köşelerinin, kenarlarının ve yüzlerinin sayısı nedir?

3. İzlanda spar kristalinin tüm düzlemsel açılarının toplamını bulun.

4. Kenarı eşitse, bir elmas kristalinin (küpoktahedron biçiminde) tüm yüzlerinin alanlarının toplamını bulun. A.

seçenek 2

1. Bir İzlanda spar kristali çizin.

2. Eşkenar dörtgen bir dodecahedron çizin. Düzlem açılarının, dihedral açıların sayısını belirleyin; çokyüzlü açılar ve çeşitleri.

3. Granat kristalinin tüm düzlemsel açılarının toplamını bulun.

4. Kenarı şuna eşitse, bir elmas kristalinin (kesik oktahedron biçiminde) tüm yüzlerinin alanlarının toplamını bulun A.

31. Küre ve top. Kürenin ve düzlemin göreceli konumu

seçenek 1

1. Yarıçapı 10 cm olan bir kürenin merkezinden 9 cm uzaklıkta bulunan bir düzlemle kesişiyor. Kesit alanını bulun.

2. Yarıçaplı bir topun bölümleri R R 1 ve R 2. Bu düzlemler aynı hizada bulunuyorsa aralarındaki mesafeyi bulun farklı taraflar merkezden.

3. Üçgenin kenarları küreye temas ediyor. Kürenin yarıçapı 5 cm ve üçgenin kenarları 12 cm, 10 cm, 10 cm ise kürenin merkezinden üçgenin düzlemine olan mesafeyi bulun.

4. Eşkenar dörtgenin her bir tarafı yarıçapı 10 cm olan bir küreye dokunmaktadır. Eşkenar dörtgenin düzlemi kürenin merkezinden 8 cm uzaktadır, eğer eşkenar dörtgenin alanı 12,5 cm ise.

seçenek 2

1. Topun yarıçapının ortasından kendisine dik bir düzlem çizilir. Belirli bir topun büyük dairesinin alanı, ortaya çıkan bölümün alanıyla nasıl ilişkilidir?

2. Yarıçaplı bir topun bölümleri R iki paralel düzlemler yarıçapları var R 1 ve R 2. Merkezin aynı tarafında bulunuyorlarsa bu düzlemler arasındaki mesafeyi bulun.

3. Eşkenar dörtgenin kenarları yarıçapı 13 cm olan bir küreye değmektedir. Eşkenar dörtgenin köşegenleri 30 cm ve 40 cm ise eşkenar dörtgenin düzleminden kürenin merkezine olan mesafeyi bulun.

4. Topun yarıçapının ucundan 30 0 yapan bir düzlem çiziliyor. Kürenin yarıçapı 6 cm ise bu düzleme göre kürenin kesit alanını bulun.

32. Bir kürenin içine yazılmış çokyüzlüler

seçenek 1

1. Bir prizmanın etrafındaki küreyi tanımlayabilmesi için sağlaması gereken özellikleri listeleyiniz.

2. Şekil 14 üçgen piramidi göstermektedir ABCD bir avantajı olan D.B. düzleme dik ABC ve açı ACB 90 0'a eşittir. Bu piramidin etrafında tanımlanan kürenin merkezini bulun.

3. Düzenli bir dörtgen piramitte SABCD taban tarafı ABCD 4 cm'ye eşit, tabandaki dihedral açı 45 0. Çevreleyen kürenin yarıçapını bulun. Merkezi nerede olacak?

4. Düzgün bir dörtgen prizma etrafında çevrelenen bir kürenin yarıçapı eşittir R. Köşegeninin yan yüzüyle a açısı yaptığını bilerek bu prizmanın yüksekliğini bulun.

seçenek 2

1. Bir piramidin etrafındaki küreyi tanımlayabilmesi için sağlaması gereken özellikleri listeleyiniz.

2. Şekil 15'te bir piramit gösterilmektedir ABCD, kimin açıları A.D.B., ADC Ve BDC dümdüz. Bu piramidin etrafında tanımlanan kürenin merkezini bulun.

3. Düzenli bir üçgen piramitte SABCçevrelenen kürenin merkezi, yüksekliği 6 cm ve 3 cm'ye eşit parçalara böler. Tabanın kenarını bulun. ABC piramitler.

4. 4 açılı düzgün bir prizmada, tabanın köşegeni ve yan yüzün köşegeni sırasıyla 16 cm ve 14 cm'dir. Çevreleyen kürenin yarıçapını bulun.

33. Bir kürenin etrafında tanımlanan çokyüzlüler

seçenek 1

1. Tabandaki dihedral açıları eşit olan bir piramidin içine bir küre yazmak mümkün müdür? Cevabını açıkla.

2. Tabanı 6 cm ve 8 cm köşegenli bir eşkenar dörtgen olan kürenin yakınında düz bir prizma tanımlanmaktadır. Tabanın alanını ve prizmanın yüksekliğini bulun.

3. Düzenli bir dörtgen piramidin tabanının kenarı şuna eşittir: A tabandaki dihedral açı 60 0'dır. Yazılı kürenin yarıçapını bulun.

4. Düzgün 4gen kesik piramidin tabanlarının kenarları 1 cm ve 7 cm olup, yan kenarı tabana 45 0 açıyla eğimlidir. Çevreleyen kürenin yarıçapını bulun.

seçenek 2

1. Düz bir çizgi hangi özelliklere sahip olmalıdır? üçgen prizma içine bir küre yazılsın diye mi?

2. Piramidin tabanında, her biri eşit açıları a'ya ve tabanı eşit olan bir ikizkenar üçgen bulunur. A. Piramidin yan yüzleri taban düzlemine b açısıyla eğimlidir. Bu piramidin içine yazılan kürenin yarıçapını bulun.

3. Yüksekliği eşit olan düzgün bir piramidin içine yerleştirilmiş bir topun yarıçapını bulun. H ve tabandaki dihedral açı 45 0'dır.

4. Düzgün üçgen kesik piramidin yüksekliği 17 cm, tabanları etrafındaki çevrelenmiş dairelerin yarıçapları 5 cm ve çevrelenmiş kürenin yarıçapını bulun.

34. Silindir. Koni

seçenek 1

1. Taban yarıçapı 4 cm, yüksekliği 6 cm olan bir silindirin eksenine paralel bir kesiti çiziliyor. Kesit köşegeni ile silindir ekseni arasındaki mesafe 2 cm'dir.

2. Koninin tepesinden tabanına 60 0 açıyla bir kesit çiziliyor. Koninin yüksekliği 12 cm ise, koninin taban merkezinden kesit düzlemine olan mesafeyi bulun.

3. Nokta M koninin yüksekliğine aittir. Nokta N koninin tabanının düzlemine aittir, ancak bu tabanın dışında bulunur. Çizginin kesişme noktasını oluşturun MN bir koninin yüzeyi ile.

4. Köşegenler eksenel bölüm kesik koni diktir, yüksekliği 2 cm'dir. Tabanlara paralel yüksekliğin ortasından çizilen kesik koninin kesit alanını bulun.

seçenek 2

1. Silindirin yüksekliği 15 cm, taban yarıçapı 10 cm'dir. Uçları her iki taban dairelerine ait olan ve uzunluğu 3 olan bir doğru parçası verilmiştir.
cm. Bu segment ile silindirin ekseni arasındaki mesafeyi bulun.

2. Koninin tepesinden yüksekliğine 30 0 açıyla bir kesit çizilir. Koninin yüksekliği 3 ise kesit alanını bulun
cm ve tabanın yarıçapı 5 cm'dir.

3. Eksenel kesit konide belirtilmiştir. Puanlar k Ve L koninin bu bölümde yer almayan iki jeneratörüne aittir. Çizginin kesişme noktasını oluşturun KL belirli bir eksenel bölümün düzlemi ile.

4. Kesik bir koninin tabanlarının yarıçapları 1:3 oranındadır, genatrix taban düzlemi ile 45 0 açı yapar, yükseklik H. Tabanların alanını bulun.

35. Dönün. Rotasyon rakamları

seçenek 1

1. Kareyi döndürerek elde edilen şekli çizin ABCD düz bir çizgi etrafında A, tepe noktasından geçerek B BD.

2. Bir dairenin bir teğet etrafında döndürülmesiyle elde edilen bir şekil çizin.

3. Eğri denklemle verilir sen = günah X, 0 X P. Bu eğri bir eksen etrafında döndürüldüğünde ortaya çıkacak şekli çizin oy.

4. Düzlem silindirin ekseninden geçer ve silindirin eksenel bölümünün alanı, tabanının alanıyla 4: p olarak ilişkilidir. Eksenel bölümün köşegenleri arasındaki açıyı bulun.

seçenek 2

1. Eşkenar dörtgenin döndürülmesiyle elde edilen şekli çizin ABCD düz bir çizgi etrafında A, tepe noktasından geçerek C Ve dikey diyagonal AC..

2. Çapı olmayan bir kirişin etrafında bir dairenin döndürülmesiyle elde edilen bir şekil çizin.

3. Eğri denklemle verilir sen =
, 0 X 4. Bu eğriyi eksen etrafında döndürerek elde edilecek şekli çiziniz. Öküz.

4. Koninin yüksekliği 20 cm, onunla generatrix arasındaki açı 60 0'dır. Koninin karşılıklı dik iki generatriksinden çizilen kesit alanını bulun.

36. Yazılı ve çevrelenmiş silindirler

seçenek 1

1. Yarıçapı 10 cm olan ve eksenel bölümünün köşegeni taban düzlemine 30 0 açıyla eğimli olan bir kürenin içine bir silindir yazılmıştır. Silindirin yüksekliğini ve tabanının yarıçapını bulun.

2. Yarıçaplı bir kürenin çevrelediği silindirin tabanının yarıçapını bulun R.

R düzgün bir üçgen prizma yazılıdır. Silindirin ekseninden ve prizmanın yan kenarından geçen prizmanın kesit alanını bulun.

R düzenli bir dörtgen prizma tanımlanmaktadır. Yüzlerinin alanını bulun.

seçenek 2

1. Generatrisi 8 cm olan ve eksenel bölümün köşegeni taban düzlemine 60 0 açıyla eğimli olan bir kürenin içine bir silindir yazılmıştır. Kürenin yarıçapını ve silindirin tabanını bulun.

2. Yarıçaplı bir küre etrafında çevrelenmiş bir silindirin generatrisini bulun R.

3. Yarıçapı eşit olan eşkenar bir silindire (tabanın çapına eşit yükseklik) R düzgün bir dörtgen prizma yazılıdır. Silindirin ekseninden ve prizmanın yan kenarından geçen prizmanın kesit alanını bulun.

4. Taban yarıçapı eşit olan bir eşkenar silindirin yakınında R düzenli bir üçgen prizma tanımlanmaktadır. Yüzlerinin alanını bulun.

37*. Bir silindirin bir düzleme göre bölümleri. Elips

seçenek 1

1. Bir silindir ve silindirin yan yüzeyinin, silindirin tabanıyla 45 0 açı oluşturan bir düzlemle kesişimi olan bir elips çizin.

2. Yan yüzey Silindir, silindir ekseniyle 30° açı yapan bir düzlemle kesişiyor. Silindirin tabanının yarıçapı eşitse, kesitte elde edilen elipsin ana eksenini bulun. R.

3. Düzlem silindirin yan yüzeyiyle kesişir ve taban düzlemi ile 30 0'lik bir açı oluşturur. Silindirin taban yarıçapı 3 cm ise kesitte elde edilen elipsin odak noktaları arasındaki mesafeyi bulun.

R, silindirin tabanıyla 45 0 açı oluşturan bir düzlemle kesişiyor. Kesitte elde edilen elipsin noktalarından odak noktalarına olan mesafelerin toplamını bulun.

seçenek 2

1. Bir silindir ve silindirin yan yüzeyinin, silindirin tabanıyla 60 0 açı oluşturan bir düzlemle kesişimi olan bir elips çizin.

2. Ana ekseni küçük ekseninin iki katı olan yan yüzey bölümünde bir elips elde etmek için düzlem silindirin taban düzlemine hangi açıda çizilmelidir?

3. Düzlem silindirin yan yüzeyiyle kesişir ve taban düzlemi ile 45 0'lik bir açı oluşturur. Silindirin taban yarıçapı 2 cm ise kesitte elde edilen elipsin odak noktaları arasındaki mesafeyi bulun.

4. Taban yarıçapı şu şekilde olan bir silindir: R, silindirin tabanıyla 30 0 açı oluşturan bir düzlemle kesişiyor. Kesitte elde edilen elipsin noktalarından odak noktalarına olan mesafelerin toplamını bulun.

38. Yazılı ve sınırlı koniler

seçenek 1

1. Yarıçapı 4 cm olan bir kürenin içine bir koni yazılmıştır. Eksenel bölümün tepe noktasındaki açı 60 0 ise, bu koninin yüksekliğini ve tabanının yarıçapını bulun.

2. Koninin tabanının yarıçapı eşittir R genatrix, taban düzlemine 60 0 açıyla eğimlidir. Koninin içine yazılan kürenin yarıçapını bulun.

3. Taban açıları tutarlı bir şekilde şu şekilde ilişkili olan bir koniye 4gen piramit yerleştirmek mümkün müdür: a) 1: 5: 9: 7; b) 4:2:5:7?

4. Piramidin tabanı, tabanları 8 cm ve 18 cm olan ikizkenar yamuktur; Piramidin tabanındaki dihedral açılar eşittir. Piramitte bir koni yazılıdır. Koninin tabanının yarıçapını ve daha azsa yüksekliğini bulun yan kaburga Piramit yamuğun küçük tarafıyla 60°'lik bir açı yapar.

seçenek 2

1. Bir konide genatrix 15 cm'dir ve tabanla 60 0 açı yapar. Çevreleyen kürenin yarıçapını bulun.

2. Yarıçapı olan bir koninin içine bir küre yazılmıştır. R. Eksenel bölümün tepe noktasındaki açı 60 0 ise koninin taban yarıçapını bulun.

3. Tabanın kenarlarının tutarlı bir şekilde ilişkili olduğu bir koninin yakınında 4gen bir piramidi tanımlamak mümkün müdür: a) 5: 6: 8: 7; b) 3:10:15:7?

4. Piramidin tabanı dik üçgen; yan kaburgalar birbirine eşittir ve yan yüzler bacakların arasından geçerek tabanla 30 0 ve 60 0 açı yapar. Piramidin etrafında ortak bir yüksekliğe sahip olacak şekilde bir koni tanımlanmıştır. Piramidin yüksekliği ise koninin taban yarıçapını bulun. H.

39*. Konik bölümler

seçenek 1

1. Koninin generatrisi, tabanının düzlemine 60 0 açıyla eğimlidir. Koninin tabanının yarıçapı eşittir R. Tabanın merkezinden taban düzlemine 60° açı yapacak şekilde bir düzlem çiziliyor. Konik bir yüzeye çizilen ve bu düzleme teğet olan bir kürenin yarıçapını bulun.

2. Bir koni ve konik yüzeyi bir elips boyunca kesen bir düzlem çizin.

3. Koninin eksenel bölümünün tepesindeki açı 90 0'dır. Konik yüzeyin kesitinde aşağıdakileri elde etmek için düzlem koninin taban düzlemine hangi açıda çizilmelidir: a) bir elips; b) parabol; c) abartı mı?

4. Koninin ekseni ile generatrisi arasındaki açı 45 0'dır. Generatrix'in, koninin tepe noktasından belirli bir mesafede aralıklı bir noktasından A, bu generatrix'e dik bir düzlem çizilir. Konik yüzeyin bu düzlem tarafından kesilmesinden kaynaklanan parabolün odak noktası ile doğrultmanı arasındaki mesafeyi bulun.

seçenek 2

1. Koninin eksenel bölümünün tepesindeki açı 90 0'dır. Koninin tepe noktasından belirli bir mesafede aralıklı olan generatrix noktası boyunca A, bu generatrix'e dik bir düzlem çizilir. Bu düzleme teğet konik bir yüzeye yazılan kürenin yarıçapını bulun.

2. Bir koni ve konik yüzeyi bir parabol boyunca kesen bir düzlem çizin.

3. Koninin generatrisi, tabanının düzlemine 60 0 açıyla eğimlidir. Konik bir yüzeyin kesitinde aşağıdakileri elde etmek için düzlemin taban düzlemine hangi açıda çizilmesi gerekir: a) bir elips; b) parabol; c) abartı mı?

4. Koninin eksenel bölümünün tepesindeki açı 30 0'dır. Generatrix'in tepe noktasından belirli bir mesafede aralıklı bir noktasından B, bu generatrix'e dik bir düzlem çizilir. Konik yüzeyin bu düzleme göre kesitinden elde edilen elipsin ana eksenini bulun.

40. Mekansal figürlerin simetrisi

seçenek 1

1. Uzaydaki iki noktanın merkezi olarak simetrik olduğu noktayı bulun.

2. Verilen a düzlemine göre verilen doğruya ayna simetrisine sahip bir doğru çizin. Farklı durumları düşünün.

3. Eksenel simetri ile eksene dik bir düzlemin kendine dönüştüğünü kanıtlayın.

4. Düzgün üçgen prizmanın simetri elemanlarını bulun.

seçenek 2

1. Uzaydaki iki noktanın göreceli olarak simetrik olduğu bir çizgi bulun.

2. Verilen düzleme, noktaya göre merkezi olarak simetrik bir düzlem oluşturun Ö. Farklı durumları düşünün.

3. Eksenel simetri ile eksene dik olan düz çizgilerin yine eksene dik olan düz çizgilere dönüştüğünü kanıtlayın.

4. Düzenli 6 noktalı piramidin simetri elemanlarını bulun.

41. Hareketler

seçenek 1

1. İki hareketin kompozisyonunun (bunları sırayla gerçekleştirmenin) bir hareket olduğunu kanıtlayın.

A Küba A… D 1 zirveye C 1 .

A düzenli tetrahedron ABCD Başa C.

4. İki kişinin bileşimi (sıralı yürütme) ne tür bir harekettir? eksenel simetriler paralel eksenlerle mi?

seçenek 2

1. Hareketin tersi olan dönüşümün de hareket olduğunu kanıtlayın.

2. Yukarıya doğru hareket eden hareketleri bulun B 1 küp A… D 1 zirveye D.

3. Yukarıya doğru hareket eden hareketleri bulun D düzenli tetrahedron ABCD Başa B.

4. İki merkezi simetrinin bileşimi (sıralı yürütülmesi) nasıl bir harekettir?

42*. Yüzey yönelimi. Mobius şeridi

seçenek 1

1. Yüzeyin kaç tarafı vardır: a) piramitler; b) prizmalar; c) iki kez bükülmüş bir Möbius şeridi?

2. Bir Mobius şeridi çizin.

A, B(A b) uzunluğun kenarlarını yapıştırarak A. Mobius şeridinin yüzey alanı nedir?

4. Altıgenden tek taraflı bir yüzey yapıştırmak mümkün müdür?

seçenek 2

1. Yüzeyin kaç kenarı vardır: a) koni; b) silindir; c) Moebius şeridi?

2. İki kez bükülmüş bir Möbius şeridi çizin.

3. Mobius şeridi kenarları olan bir dikdörtgenden elde edilir A, B(A b) uzunluğun kenarlarını yapıştırarak A. Mobius şeridinin kenarının uzunluğu nedir?

4. Tek taraflı bir yüzeyi sekizgenden yapıştırmak mümkün mü?

43. Uzaydaki şekillerin hacmi. Silindir hacmi

seçenek 1

1. Dik dairesel bir silindirin eksenel kesiti bir kenarı 3 cm olan bir karedir. Silindirin hacmini bulun.

2. Küpten A… D Kenarı 1'e eşit olan 1'de, yüzün bitişik kenarlarının orta noktalarından geçen düzlemler tarafından 4 adet üçgen prizma kesilir. ABCD, kenara paralel A.A. 1. Küpün geri kalan kısmının hacmini bulun.

3. Sağ üçgen prizma, yan kenardan geçen ve karşısındaki yan yüzün alanını göreceli olarak bölen bir düzlemle kesişir. M:N. Prizmanın hacmi hangi oranda bölünür?

4. Sağ paralel borunun tabanı, köşegenleri 5:2 oranında olan bir eşkenar dörtgendir. Paralelyüzün köşegenlerinin 17 dm ve 10 dm olduğunu bilerek paralelyüzün hacmini bulunuz.

seçenek 2

1. Silindirin eksenel bölümünün köşegeni 2 cm'dir ve taban düzlemine 60 0 açıyla eğimlidir. Silindirin hacmini bulun.

2. Ses düzeyi doğru altıgen prizma eşittir V. Köşeleri bu prizmanın taban kenarlarının orta noktaları olan bir prizmanın hacmini belirleyin.

3. Dik üçgen prizmanın hacmi, tabanların orta çizgilerinden geçen düzleme hangi oranda bölünür?

4. Sağ paralel borunun tabanı, köşegenleri 1 dm ve 7 dm olan bir eşkenar dörtgendir. Bir paralelyüzün köşegenlerinin oranının 13:17 olduğunu bilerek paralelyüzün hacmini bulunuz.

44. Cavalieri prensibi

seçenek 1

1. Tabanları ve yükseklikleri eşit olan iki koninin boyutlarının eşit olduğu doğru mudur?

1. Taban alanı şuna eşit olan eğik prizmanın hacmini bulun: S ve yan kenar B taban düzlemine 60 0 açıyla eğimlidir.

3. Eğik bir paralel boruda, iki yan yüzün alanları vardır S 1 ve S 2, ortak kenarları eşittir A ve aralarında 150 0'lik bir dihedral açı oluştururlar. Paralelyüzün hacmini bulun.

4. Eğik bir üçgen prizmada yan yüzlerden birinin alanı eşittir Q ve ondan karşı kenara olan mesafe D. Prizmanın hacmini bulun.

seçenek 2

1. Tabanları ve yükseklikleri eşit olan iki piramidin boyutlarının eşit olduğu doğru mu?

2. Taban yarıçapı şu şekilde olan eğik silindirin hacmini bulun: R ve yan kenar B taban düzlemine 45 0 açıyla eğimlidir.

3. Eğik bir paralel boruda taban ve yan yüz dikdörtgendir ve alanları sırasıyla 20 cm 2 ve 24 cm 2'dir. Düzlemleri arasındaki açı 30 0'dır. Paralel borunun diğer yüzü 15 cm2 alana sahiptir. Paralelyüzün hacmini bulun.

4. Eğik bir üçgen prizmada iki yan yüz birbirine diktir ve ortak kenarları şuna eşittir: A. Bu yüzlerin alanları eşittir S 1 ve S 2. Prizmanın hacmini bulun.

45. Piramidin hacmi

seçenek 1

1. Hacmi eşit olan bir piramit V ve tabanda, her biri piramidin tepesinden ve tabanın bitişik yanlarının orta noktalarından geçen dört düzlemle kesişen bir dikdörtgen bulunur. Piramidin geri kalan kısmının hacmini bulun.

2. Piramidin tabanı, kenarı 1'e eşit olan bir eşkenar üçgendir. Yan yüzlerinden ikisi taban düzlemine diktir ve üçüncüsü tabanla 60 0 açı oluşturur. Piramidin hacmini bulun.

3. Primordiumun tabanında, bacaklarından biri 3 cm olan ve bitişik olan dik üçgen bulunur. keskin köşe 30 0'a eşittir. Piramidin tüm yan kenarları taban düzlemine 60 0 açıyla eğimlidir. Piramidin hacmini bulun.

4. Kenarı 2'ye eşit olan küpün yüzlerinin merkezleri A, oktahedronun köşeleri olarak hizmet eder. Hacmini bulun.

seçenek 2

1. Köşegen kesiti eşit olan düzgün bir dörtgen piramidin hacmini bulun. düzgün üçgen kenarı 1'e eşit olan

2. Piramidin tabanı bir dikdörtgendir, bir yan yüzü taban düzlemine dik, diğer üç yan yüzü ise taban düzlemine 60 0 açıyla eğimlidir. Piramidin yüksekliği 3 cm'dir. Piramidin hacmini bulunuz.

3. Tabanında bir eşkenar dörtgen bulunan piramidin yan yüzleri, taban düzlemine 30 0 açıyla eğimlidir. Eşkenar dörtgenin köşegenleri 10 cm ve 24 cm'dir. Piramidin hacmini bulunuz.

4. Kenarı eşit olan bir küpün içine A Düzenli bir tetrahedron, köşeleri küpün dört köşesiyle çakışacak şekilde yazılmıştır. Dört yüzlünün hacmini bulun.

46. ​​​​Bir koninin hacmi

seçenek 1

1. Koninin tabanının çapı 12 cm, eksenel bölümün tepesindeki açı 90 0'dır. Koninin hacmini bulun.

2. İki koninin yüksekliği ortaktır ve paralel üsler. Her koninin hacmi eşitse ortak kısımlarının hacmini bulun V.

3. Hacmi eşit olan bir koninin içine V, bir silindir yazılıdır. Koninin taban çaplarının silindire oranı 10:9 ise silindirin hacmini bulun.

4. Normal 4gen piramidin her kenarı eşittir A. Piramidin tabanının düzlemine paralel bir düzlem, kesik piramidi ondan keser. Kesitin kenarı eşitse kesik piramidin hacmini bulun B.

seçenek 2

1. Koninin eksenel bölümü, alanı 9 cm2 olan ikizkenar dik üçgendir. Koninin hacmini bulun.

2. Başka bir koni, bir koninin içine, yazılı koninin tabanının merkezi, bu koninin yüksekliğini, koninin tepe noktasından ve yazılı koninin tepe noktasından sayılarak 3:2 oranında bölecek şekilde yazılmıştır. koni bu koninin tabanının merkezinde yer alır. Verilen ve yazılı konilerin hacimlerinin oranını bulun.

3. İki eşit koninin ortak yükseklikleri ve paralel taban düzlemleri varsa, ortak kısımlarının hacminin her birinin hacmine eşit olduğunu kanıtlayın.

4. Kesik koninin tabanlarının yarıçapları 3 cm ve 5 cm'dir. Kesik koninin orta bölüme bölündüğü kısımlarının hacimlerinin oranını bulun.

47. Topun hacmi ve parçaları

seçenek 1

1. Kürenin hacminin, içine yazılan küpün hacmine oranını bulun.

2. Kürenin hacminin, etrafında tanımlanan oktahedronun hacmine oranını bulun.

3. Topun içine çapına dik olan ve onu 3 cm ve 9 cm'ye eşit parçalara bölen bir düzlem çizilir. Topun parçalarının hacimlerini bulun.

4. Küresel sektörün yarıçapı R eksenel kesitteki açı 120 0'dır. Küresel sektörün hacmini bulun.

seçenek 2

1. Kürenin hacminin, içinde yazılı olan oktahedronun hacmine oranını bulun.

2. Kürenin hacminin, onu çevreleyen küpün hacmine oranını bulun.

3. Yarıçapı 13 cm olan bir topun merkezinin karşılıklı kenarlarına 5 cm yarıçaplı iki eşit paralel kesit çizilir. Ortaya çıkan küresel tabakanın hacmini bulun.

4. Taban dairesinin yarıçapı 60 cm ve kürenin yarıçapı 75 cm olan bir küresel sektörün hacmini bulun.

48. Yüzey alanı

seçenek 1

1. Düzgün üçgen prizmanın tabanının kenarından ve karşı kenarın ortasından geçen düzlem tabanla 45 0 açı oluşturur ve tabanın kenarı eşittir A. Prizmanın yanal ve toplam yüzey alanını bulun.

2. Piramidin tabanı, kenarı eşit olan bir karedir. A. Piramidin iki yüzü tabana diktir ve geri kalan iki yan yüzü ona 60 0 açıyla eğimlidir. Piramidin yan yüzey alanını bulun.

3. Düzenli bir dörtgen prizmada tabanın kenarı şuna eşittir: B; tabanların karşılıklı kenarlarından çizilen kesit, taban düzlemi ile j açısı yapar. Verilen prizma etrafında çevrelenen silindirin yan yüzey alanını bulun.

4. Koninin eksenel bölümünün tepe noktasındaki açı 60°'dir; kare Harika daire Topun bu konisine yazılan şuna eşittir: Q

seçenek 2

1. 4 açılı normal bir prizmanın tabanının kenarı şuna eşittir: A. Tabanların karşılıklı kenarlarından çizilen düzlem bunlardan biriyle 60° açı yapıyor. Prizmanın yanal ve toplam yüzey alanını bulun.

2. Üçgen piramidin iki yan yüzü tabanına diktir; piramidin yüksekliği H; Tepe noktasındaki düzlem açıları 60 0, 60 0 ve 90 0'dır. Piramidin yan yüzey alanını bulun.

3. Normal bir üçgen prizmada yan kenar şuna eşittir: B; yan kenarın ortasını tabanın merkezine bağlayan parça tabanla j açısı yapar. Bu prizmanın içine yazılan silindirin yan yüzey alanını bulun.

4. Bir konide, generatriks tabanla 60 0'lik bir açı yapar; Sınırlandırılmış bir topun büyük dairesinin alanı Q. Koninin toplam yüzey alanını bulun.

49. Topun ve parçalarının yüzey alanı

seçenek 1

1. Eşkenar bir koninin toplam yüzey alanının (eksenel bölüm bir eşkenar üçgendir), koninin yüksekliğinin çapına sahip bir topun yüzey alanına eşit olduğunu kanıtlayın.

2. Eksenel bölümün köşegeni eşit olan eşkenar bir silindire (eksenel bölüm bir karedir) yazılan topun yüzey alanını bulun A.

3. Küresel kayışın tabanlarının yarıçapları 10 cm ve 12 cm, yüksekliği ise 11 cm'dir. Küresel kayışın yüzey alanını bulun.

4. Bilye parçasının yarıçapı eşittir R eksenel bölümün yayı 90 0'dır. Segmentin toplam yüzey alanını bulun.

seçenek 2

1. Eşkenar koni (eksenel bölüm eşkenar üçgendir) ve yarım kürenin ortak bir tabanı varsa, koninin yan yüzeyinin alanının yarım kürenin yüzey alanına eşit olduğunu kanıtlayın.

2. Biri yazılı, ikincisi eşkenar silindir (eksenel kesiti kare) etrafında çevrelenen iki topun yüzey alanlarının oranını bulun.

3. Topun yarıçapı 25 cm'dir. Topun yüzeyinin alanı 49p cm2 olan bir kesitle bölündüğü parçaların alanlarını bulun.

4. Bilya bölümünün yüksekliği H eksenel bölümün yayı 120 0'a eşittir. Segmentin toplam yüzey alanını bulun.

50. Uzayda dikdörtgen koordinat sistemi

seçenek 1

1. Koordinatları kullanarak noktaları oluşturun: A(1,2,3); B(-2,0,3); C(0,0,-4); D(3,-1,0).

2. Bu noktalar arasında k(-6,0,0), L(10,-5,0), M(0,6,0), N(7,-8,0), P(0,0,-20), Q(0,11,-2) aşağıdakilere ait olanları bulun: a) eksen oy; b) eksenler Oz; c) uçak Oksi; d) uçaklar Oyz.

3. Verilen noktalardan çıkarılan dikmelerin tabanlarının koordinatlarını bulun e(6,-2,8) ve F(-3,2,-5) üzerinde: a) ekseni Öküz; b) uçak Öküz.

G.H., Eğer G(2,-3,5), H(4,1,-3).

sen(8,0,6), V(20.-14.0) aşağıdakilere göre: a) düzlem Oyz; b) eksenler Öküz.

seçenek 2

1. 1. Koordinatları kullanarak noktaları oluşturun: e(-1,2,0); F(1,0,-4); G(2,3,-1); H(0,-2,0).

2. Noktalar arasında A(0,-1,0), B(0,1,-3), C(4,0,0), D(0,0,-5), e(-1,0,7), F(0,10,10) aşağıdakilere ait olanları bulun: a) eksen Öküz; b) eksenler oy; c) uçak Oyz; d) uçaklar Öküz.

3. Noktalardan bırakılan dikmelerin tabanlarının koordinatlarını bulun M(9,-1,-6) ve N(-12,5,8) on: a) ekseni Oz; b) uçak Oksi.

4. Parçanın orta noktasının koordinatlarını bulun G.H., Eğer G(3,-2,4), H(5,2,-6).

5. Noktalara simetrik olan noktaların koordinatlarını bulun P(0,0,5), V(0,-1,-2) aşağıdakilere göre: a) düzlem Oksi; b) eksenler oy.

51. Uzaydaki noktalar arasındaki mesafe

seçenek 1

A(2,3,4), B(1,2,3), C(3,4,5) üçgenin köşelerine göre.

Oz M(-1,-2,0) ve N(3,0,4).

C(-2,0,3) ve: a) yarıçap; b) bir noktadan geçmek k(1,-4,3).

X 2 + 8sen + sen 2 + z 2 – 6X =0.

5. Küre X 2 + sen 2 + z 2 +4X – 2sen=0 bir düzlemle kesişiyor Oyz

seçenek 2

1. Noktaların olup olmadığını belirleyin e(-4,-5,-6), F(-1,-2,-3), G(-2,-3,-4) üçgenin köşelerine göre.

2. Eksene ait bir noktanın koordinatlarını bulun oy ve noktalardan eşit uzaklıkta k(1,3,0) ve L(4,-1,3).

3. Merkezi noktası olan bir kürenin denklemini yazın C(0,-5,6) ve: a) yarıçap 10; b) bir noktadan geçmek H(2,-3,5).

4. Denklemde verilen kürenin merkezinin ve yarıçapının koordinatlarını bulun X 2 + sen 2 + z 2 – 8z - 20 =0.

5. Küre X 2 + sen 2 + z 2 +2X – 6z=0 bir düzlemle kesişiyor Oksi. Kesitte yer alan dairenin merkezinin koordinatlarını ve yarıçapını bulun.

52. Vektör koordinatları

seçenek 1

1. Vektörün koordinatlarını bulun: a) 2 + 3 - 4 ; b) -5 + 10; c) - + .

2. Vektörün uzunluğunu bulun: a) (1,-2,10); b) eğer A(0,-5,1), B(2,0,-8); c) + eğer (6,2,-6), (2,-2,0).

3. Noktanın koordinatlarını bulun C, Eğer bir)
(-5,6,8), D(0,-1,2); B) D(-13, ,6),
(-5,0,0).

4. Sayıları bulun X, sen, z eşitliğin sağlanması için =
, eğer (5,-2,0), (0,2,-6), (-5,0,-8), (-5,2,-4).

seçenek 2

1. Vektörün koordinatlarını bulun: a) 3 - 4 + 2 ; b) -2 -; V) - .

2. Vektörün uzunluğunu bulun: a) (0,-3,2); b) eğer M(0,-5,1), N(2,0,-8); c) - eğer (0,-2,6), (-5,0,3) ise.

3. Noktanın koordinatlarını bulun e, eğer: a) (0,-3,11), F(5,-1,0); B) F(5,0,-9),
(-2,4,-6).

4. Sayıları bulun sen, v, w eşitlik = olacak şekilde
, eğer (-30,6,-12), (5,-6,0), (10,-3,2), (0,1,2).

53. Vektörlerin nokta çarpımı

seçenek 1

1. İşareti tanımlayın nokta ürün vektörler ve aralarındaki açı eşitsizlikleri sağlıyorsa: a) 0 0

2. Ve vektörleri arasındaki açı 90 0'a eşittir. Neden açıya eşit vektörler arasında: a) - ve ; bant ?

+
+
= 0.

4. Düzenli bir tetrahedronda ABCD kenarı 1'e eşit olduğunda skaler çarpımı bulun: a)
; B)
; V)
, Nerede H Ve QAC. Ve BD.

seçenek 2

1. Aşağıdaki durumlarda ve vektörleri arasındaki açının hangi aralıkta bulunduğunu belirleyin: a) > 0.

2. Vektörler arasındaki açı ve
90 0'a eşittir. a) ve - ; vektörleri arasındaki açı nedir? bant - ?

3. Eşitliği kanıtlayın: a) ; B)
=
.

4. Düzenli bir tetrahedronda ABCD eşit bir kenara sahip A, skaler çarpımı bulun: a)
; B) ; c) nerede e Ve F– sırasıyla kaburgaların ortası M.Ö. Ve reklam.

54. Uzayda bir düzlemin denklemi

seçenek 1

H(-3,0,7) ve koordinatları (1,-1,3) olan vektöre dik.

2. Düzlem 2'nin kesişme noktasının koordinatlarını bulun X – sen + 3z– 1 = 0 eksenli: a) apsis; b) koordine edin.

B(3,-2,2) ve: a) düzleme paralel Oyz; b) eksene dik Öküz.

M(5,-1,3) ve vektöre dik ise N(0,-2,1).

seçenek 2

1. Noktadan geçen düzlemin denklemini yazın P(5,-1,0) ve (0,-6,10) koordinatlı vektöre dik.

2. Düzlemin kesişme noktasının koordinatlarını bulun X + 4sen - 6z– 7 = 0 ekseni ile: a) ordinat; b) başvurunuz.

3. Noktadan geçen düzlemin denklemini yazın C(2,-4,-3) ve: a) düzleme paralel Öküz; b) eksene dik oy.

4. Noktadan geçen düzlemin denklemini yazın e ve (4,-5,0) vektörüne dik ise, F(3,-1,6).

55*. Uzayda bir çizginin denklemi

seçenek 1

1. Değeri bulun D, bunun için düz çizgi

ekseni geçiyor Oz.

Düz çizginin olması için: a) eksene paralel olması Öküz; b) bir düzlemde yatmak Öküz; c) ekseni geçti oy.

koordinat düzlemleri ile.

seçenek 2

1. Değerleri bulun B Ve D, bunun için düz çizgi

düzlemle kesişiyor Oksi.

2. Doğrunun denklemlerindeki katsayıların sağlaması gereken koşulları bulun

düz çizginin olması için: a) eksenle çakışması Oz; b) düzleme paraleldi Oyz; c) başlangıç ​​noktasından geçti.

3. Doğrunun kesişme noktalarının koordinatlarını bulun

koordinat düzlemleri ile.

4. Doğrunun parametrik denklemlerini yazın

56. Uzamsal figürlerin analitik ataması

seçenek 1

X 2 + sen 2 +z 2 = 1; B) X 2 = 1; V) xyz = 0.

A)
B)

3. Puan verilir A(2,5,12), B(1,0,0), C(-1,-5,4) ve uçaklar
Ve , sırasıyla denklem 2 ile verilmiştir X – sen + z+1 = 0 ve X – 5sen –13z+1 = 0. Bu düzlemlerin her biri için, verilen noktalar arasından, düzlemin orijinle aynı tarafında bulunanları bulun.

4. Verilen düzlem 3 X – sen +4z Ö(0,0,0) ve D(2,1,0); B) e(1,2,1) ve F(5,15,-1)?

seçenek 2

1. Hangisini öğrenin geometrik şekil denklemi kurar: a) X 2 + sen 2 +(z+1)2 = 1; B) X 2 – sen 2 = 0; V) X 2 = 0.

2. Sistemin hangi geometrik şekli tanımladığını öğrenin:

A)
B)

3. Puan verilir e(-14,22,0), F(1,-5,12), G(0,0,5) ve uçaklar Ve , sırasıyla denklemlerle verilir X – 2z+12 = 0 ve X + 5sen + z+25 = 0. Bu düzlemlerin her biri için, verilen noktalar arasından, düzlemin orijinle aynı tarafında bulunanları bulun.

4. Verilen düzlem 3 X – sen +4z+1 = 0. Noktalar aynı tarafta mı? a) A(-1,2,-5) ve B(-15,1,0); B) k(1,
,5) ve L(1,15,-15)?

57*. Optimizasyon problemlerinde çokyüzlüler

seçenek 1

1. Dört yüzlünün köşeleri aşağıdaki koordinatlara sahiptir: Ö(0,0,0), A(1,1,0), B(0,2,0),C(1,5,7). Bu tetrahedronun iç bölgesini karakterize eden eşitsizlikleri yazın.

2. Aşağıdaki eşitsizlik sistemi tarafından tanımlanan alanı bulun:

a) b)

Onu hayal et.

3. Dik üçgen prizmanın iç bölgesini belirleyen eşitsizlik sistemini yazınız. OABO 1 A 1 B 1 ise Ö(0,0,0), A(0,2,0), B(0,0,2), Ö 1 (5,0,0). Bunu çizin ve hacmini bulun.

sen = X + sen – 2z + Önceki problemdeki üçgen prizmada 1.

seçenek 2

1. Bir tetrahedronun köşeleri verildiğinde A(-1,1,0), B(-2,2,0), C(-2,0,0), D(-1,5,7). noktalardan hangisi M(2,3,-1), N(- , , ), P(0,0,1), H(- , , ) bu tetrahedronun iç bölgesine mi ait?

2. Aşağıdaki eşitsizlik sistemi tarafından tanımlanan alanı bulun: a) b)

3. Dört yüzlünün iç bölgesini belirleyen eşitsizlik sistemini yazın OABC, Eğer Ö(0,0,0), A(5,0,0), B(0,3,0), C(0,0,6). Bunu çizin ve hacmini bulun.

4. Doğrusal fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulun sen= X – sen + z – Önceki problemdeki dörtyüzlü üzerinde 1.

58*. Bir düzlemdeki kutupsal koordinatlar

seçenek 1

A(2, ), B(1, ), C( , ), D(3, ), e(4, ), F( , ).

2. Noktaların Kartezyen koordinatlarını yazın G(2, ), H( , ), P(5, ), Q(3,- ).

3. Birim karenin köşegenlerinin kutupsal koordinatlarını ve köşegenlerinin kesişme noktalarını bulun; köşelerinden birini koordinatların kökeni olarak ve seçilen tepe noktasından geçen tarafı kutup ekseni olarak alın.

M(1, ), N(3, ), P( ,- ), Q(, ) aşağıdakilere göre: a) kutup ekseni; b) koordinatların kökeni.

seçenek 2

1. Çizim yapın kutup sistemi nokta koordinatları A(3, ), B(5, ), C( , ), D(6, ), e(2, ), F( , ).

2. Noktaların kutupsal koordinatlarını yazın k(0,6), L(-2,0), M(-1,1), N( ,1).

3. Köşelerinden birini başlangıç ​​noktası olarak alarak, kenarı 1'e eşit olan ve seçilen köşeden geçen tarafı kutup ekseni olarak alan düzgün bir altıgenin köşelerinin kutupsal koordinatlarını bulun.

4. Noktalara simetrik olan noktaların kutupsal koordinatlarını bulun G(2, ), H(3, ), R(3,- ), S( , ) aşağıdakilere göre: a) koordinatların kökeni; b) kutup ekseni.

59*. Uzayda küresel koordinatlar

seçenek 1

1. Uzayda küresel koordinatlarla belirtilen aşağıdaki noktaların Kartezyen koordinatlarını bulun: (1,45 0 ,60 0), (2,30 0 ,90 0), (1,90 0 , 20 0).

2. Uzaydaki aşağıdaki noktaların Kartezyen koordinatlarla verilen küresel koordinatlarını bulun: A(1,1, ), B(1,0,1), C(0,0,1).

3. Küresel koordinatları şu koşulları sağlayan uzaydaki noktaların geometrik yerlerini bulun: a) y = 45 0 ; b) j= 60 0 .

R 2; B) R 1, 0 mı?

seçenek 2

1. Uzayda küresel koordinatlarla belirtilen aşağıdaki noktaların Kartezyen koordinatlarını bulun: (1,-45 0,60 0), (2,30 0,-90 0), (3,-90 0, 50 0) .

2. Bul küresel koordinatlar Kartezyen koordinatlarla belirtilen uzayda aşağıdaki noktalar: A(2,2 ), B(-1,0,1), C(0,0,-1).

3. Küresel koordinatları şu koşulları sağlayan uzaydaki noktaların geometrik yerlerini bulun: a) y= 30 0 ; b) j = 90 0 .

4. Eşitsizlikler uzayda hangi şekli verir: a) R 1; B) R 1, - j 0?

60*. Uzamsal figürleri tasvir etmek için "Matematik" bilgisayar programını kullanma

seçenek 1

1. Bir tetrahedronun görüntüsünü elde edin.

2. Dörtyüzlüyü kesme işlemini gerçekleştirin ve bir oktahedron elde edin.

3. Oktahedrondan Kepler yıldızı nasıl elde edilir?

z = xy.

seçenek 2

1. Bir küpün görüntüsünü alın.

2. Küpü kesme işlemini gerçekleştirin ve bir küpoktahedron elde edin.

3. Bir küpten eşkenar dörtgen bir dodecahedron nasıl elde edilir?

4. Yüzeyin görüntüsünü alın z = çünkü Xçünkü sen.

YANITLAR

Bağımsız iş N 2

1'de. 4. 6. B2. 3. 10. 4. 4.

1'de. 2.a) B=8, P=12, D=6; b) V=14, P=21, D=9; c) B= N+1, P=2 N, Г= N+1. 3. a) 5gen; b) 7gen; c) 3gen. 4. Üç renk. 2'DE. 2.a) B=8, P=12, D=6; b) B=7, P=12, G=7; c) B=2 N, P=3 N, Г= N+2. 3. a) dörtgen; b) 7gen; c) sekizgen. 4. İki renk.

1'de. 3. 3. 4. 3. B2. 3. 3. 4. 3.

1'de. 3. Kendi aralarında çiftleşirler. 2'DE. 3. Hayır. 4. Hayır.

1'de. 3. Paralel.

1'de. 2. 1), 3), 4) numaralı ifadeler doğrudur. 4. Eğer AB || CD, O AC.|| BD; Eğer AB ile kesişiyor CD, O AC. ile kesişiyor BD. 2'DE. 2. İfade 3) doğrudur. 4. Eğer AB || CD, O reklam Ve M.Ö. kesişir; Eğer AB Ve CD o zaman melezleşelim reklam Ve M.Ö. melez.

1'de. 2.26.3.a) ; B)
; V)
, Nerede M- orta M.Ö.. 4.a)
; B) ; V)
. 2'DE. 2. 24. 3. a)
; B) ; V)
, Nerede M- orta B.A.. 4.a)
; B) ; V) .

1'de. 1. . 2. Vektör +, vektör ile aynı yöne sahiptir; | + | = | | - | |. 2'DE. 1.
. 2. Vektör +, vektör ile aynı yöne sahiptir; | + |=| | - | |.

1'de. 1. Bir, içlerinden geçen düz çizgi tasarım yönüne paralel ise; aksi takdirde iki. 2. Karşıt tarafların paralelliği ve eşitliği; kesişme noktasında köşegenleri ikiye böler. 3. Düz çizgiler kesişiyor ve bunlardan biri tasarım yönüne paralel. 2'DE. 1. Bir, eğer tüm noktalar tasarım yönüne paralel bir düz çizgiye aitse; ikincisi, bu noktalardan herhangi ikisinden geçen çizgi tasarım yönüne paralel ise ve üçüncü nokta bu doğruya ait değilse; diğer durumlarda üç. 2. Karşıt tarafların paralelliği ve eşitliği; kesişme noktasında köşegenleri ikiye böler. 3. Düz çizgi tasarım yönüne paralel değildir ve nokta bu noktadan geçen çizgiye veya düzleme aittir ve çizgi tasarım yönüne paraleldir.

1'de. 3. Küpün yüzleri tasarım düzlemine paralel değildir ve tasarım yönü köşegenine paraleldir B.D. 4. . 2'DE. 1. H=24, P=36, D=14. 4. . 3.Rb; b) yB. 4.a) Evet; b) hayır. 2'DE. 1. a) Merkezi (0,0,-1) noktasında ve yarıçapı 1 olan küre; b) kesişen iki düzlem; c) uçak Oyz. 2.a) Dikdörtgen paralel yüzlü; b) bir düzlemde uzanan iki kesişen çizgi Oksi. 3. İçin: nokta F; için: puan e, F, G. 4.a) Evet; b) hayır.

1'de. 1.

2. a) Köşeleri (0,0,0), (1,0,0) olan bir tetrahedronun iç bölgesi. (0,1,0), (0,0,1); b) köşeleri (5,5,0), (5,3,0), (7,3,0), (7,5,0), (5,5,10) olan dikdörtgen bir paralel borunun iç bölgesi , (5 ,3,10), (7,3,10), (7,5,10).

3.
V = 20. 4. 8 – en büyük; 3 en küçüğüdür.

2'DE. 1. Puanlar N Ve H. 2. a) İki paralel düzlem arasındaki alan; b) köşeleri (0,0,0), (0,3,0) olan dik üçgen prizmanın iç bölgesi. (0,0,3), (-2,0,0), (-2,3,0), (-2, 0,3).

(); (); (0, stereometri. Gerçek nesnelere örnekler verin... çokyüzlüler. Gelişim. Liste temel kavramlar Ve aksiyomlar stereometri. Gerçek nesnelere örnekler verin...

Düzenli bir üçgen piramitte SABCüst ile S yan kenar ile arasındaki açı
taban düzlemi eşittir 60° tabanın kenarları eşittir 1 , SH- piramidin yüksekliği.
Noktadan geçen bir düzlemle piramidin kesit alanını bulun N
kaburgalara paralel S.A. Ve M.Ö..

Yükseklik tabanı düzenli piramit- burası üçgenin merkezi ABC. İlk önce biz yürüteceğiz
nokta boyunca Nçizgi segmenti RT, kenara paralel Güneş. P ve T noktaları bölüme aittir.

Yüzün düzleminde ACS nokta boyunca T hadi bir bölüm çizelim TK kenara paralel GİBİ.

Yüzün düzleminde ABC nokta boyunca R hadi bir bölüm çizelim P.L. kenara paralel GİBİ.

Noktaları birleştirmek İLE Ve L istenilen bölümü elde ediyoruz. Bunun bir dikdörtgen olduğunu kanıtlayalım.

Segmentler TK Ve P.L. yalnızca paralel değil (her biri paraleldir) GİBİ), fakat aynı zamanda eşittir.

Yani bu bir dörtgen KLPT- paralelkenar temelinde paralelkenar.
Ayrıca, TK ⊥ TR, Çünkü AS⊥CB ve yanlar TK Ve TR paralel GİBİ Ve C.B..
Hadi bunu kanıtlayalım AS⊥CB. Üç dik teoremi kullanabilirsiniz.
GİBİ- eğimli, reklam bu eğikliğin projeksiyonu ABC, AD⊥CB, Araç, AS⊥CB.

Bir dikdörtgenin alanını bulmak için kenarlarını bulup çarpmanız gerekir.
Yan tarafa dikkat edin TR tabanın kenarının üçte ikisidir BC = 1.
Dikdörtgenin ikinci tarafı TK yan kaburganın üçte biri GİBİ.
Üçgenin yan kenarını bulabiliriz Şah, burada ∠SAH = 60°
(yan kenar ile taban arasındaki açı) ve ∠ASH = 30°, bunun anlamı AS = 2·AN.

Segmentin uzunluğunu bulun BİR, tabanın yanını bilerek bunu farklı şekillerde yapabilirsiniz.
Formüller olmadan yapmak ve dik bir üçgen düşünmek daha iyidir ANF.

Hadi üçgene geri dönelim Şah ve piramidin yan kenarını bulun:

Bulunan kenarları çarpmak ve kesit alanını elde etmek kalır.