Daha yüksek dereceli D U
Daha önce de söylediğimiz gibi diferansiyel denklemler çeşitli mertebelerde türevler içerebilir.
Bu tür diferansiyel denklemlerin çok sayıda keyfi entegrasyon sabiti içeren çözümleri vardır → sıra nedir diferansiyel denklem, yani 2. dereceden bir diferansiyel denklem için iki keyfi sabit C1 ve C2 olacaktır; 3. dereceden bir diferansiyel denklem için →C1,C2 ve C3 vb.
Böylece genel çözüm ( genel integral) böyle bir diferansiyel denklemin bir fonksiyonu olacaktır
.
Bu tür diferansiyel denklemlerin özel bir çözümünü elde etmek için, diferansiyel denklemin sırası kadar başlangıç koşulunun veya genel çözümde kaç tane keyfi sabitin elde edildiğinin belirlenmesi gerekir.
D U içeride tam diferansiyeller. Bütünleştirici faktör
Şeklindeki bir diferansiyel denkleme, toplam diferansiyellerde diferansiyel denklem denir. Sol Taraf bazılarının toplam diferansiyeli pürüzsüz fonksiyon, yani Eğer 
, 
. Gerekli ve yeterli koşul böyle bir fonksiyonun var olması şu şekildedir: 
Toplam diferansiyellerde bir diferansiyel denklemi çözmek için fonksiyonu bulmanız gerekir. Daha sonra diferansiyel denklemin genel çözümü keyfi bir C sabiti formunda yazılabilir.
Diferansiyel denklem için integral faktörü
çarpma işleminden sonra diferansiyel denklemin toplam diferansiyellerde bir denkleme dönüştüğü böyle bir fonksiyona denir. Denklemdeki M ve N fonksiyonlarının sürekli kısmi türevleri varsa ve aynı anda yok olmuyorlarsa, o zaman bir integrasyon çarpanı vardır. Fakat, genel yöntem onu bulmanın bir yolu yok.
Yapı genel çözüm LNDU
Doğrusal homojen olmayan diferansiyel denklemi düşünün
+ (x) + ... + (x)y" + (x)y = f(x).
- her ne ise başlangıç noktası(x0, y0, ) , x0∈ , C1 =C10 , ..., Cn = Cn0 değerleri vardır, öyle ki y = Φ(x, C10 , ..., Cn0) fonksiyonu y( başlangıç koşullarını karşılar x0) = y0 , y "(x0) ,..., (x0) = .
Adil aşağıdaki ifade(doğrusal denklemlerin genel çözümünün yapısına ilişkin teorem Olumsuz homojen denklem).
Bir doğrusal homojen diferansiyel denklemin denkleminin tüm katsayıları aralıkta sürekliyse ve y1(x), y2(x),..., yn(x) fonksiyonları karşılık gelen homojen denklemin bir çözüm sistemini oluşturuyorsa , o zaman homojen olmayan denklemin genel çözümü şu şekildedir:
y(x,C1,..., Cn) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + ... + Cn yn(x) + y*(x),
C1,...,Cn keyfi sabitler olmak üzere, y*(x) homojen olmayan denklemin özel bir çözümüdür.
LNDU 2. derece
İkinci mertebeden lineer homojen olmayan diferansiyel denklemler.
y" + py" + qy = f(x) formundaki denklem, burada p ve q - gerçek sayılar, f(x) - sürekli fonksiyon, ikinci dereceden doğrusal homojen olmayan denklem olarak adlandırılır sabit katsayılar.
Bir denklemin genel çözümü, homojen olmayan bir denklemin özel bir çözümü ile karşılık gelen homojen denklemin genel çözümünün toplamıdır. Homojen bir denklemin genel çözümünün bulunması araştırılmıştır. Belirli bir çözüm bulmak için yöntemi kullanırız belirsiz katsayılar Entegrasyon sürecini içermeyen.
Hadi düşünelim Farklı türde y" + py" + qy = f(x) denkleminin sağ tarafları.
1) Sağ taraf F(x) = Pn(x) formundadır; burada Pn(x), n dereceli bir polinomdur. Daha sonra y için özel bir çözüm, Qn(x)'in Pn(x) ile aynı derecede bir polinom olduğu ve r'nin kök sayısı olduğu formda aranabilir. karakteristik denklem, sıfıra eşit.
Örnek. y" – 2y" + y = x+1 denkleminin genel çözümünü bulun.
Çözüm: Karşılık gelen homojen denklemin genel çözümü Y = ex (C1 + C2x) formundadır. Karakteristik denklemin köklerinin hiçbiri k2 – 2k + 1 = 0 olmadığından sıfıra eşit(k1 = k2 = 1) ise, A ve B'nin bilinmeyen katsayılar olduğu formda özel bir çözüm ararız. İki kere türev alıp bu denklemde " ve " yerine -2A + Ax + B = x + 1 buluruz.
Katsayıların eşitlenmesi eşit derece eşitliğin her iki tarafında x: A = 1, –2A + B = 1, – A = 1, B = 3'ü buluyoruz. verilen denklem= x + 3 biçimindedir ve genel çözümü y = ex (C1 + C2x) + x + Z'dir.
2) Sağ taraf f(x) = eax Pn(x) formundadır; burada Рn(x), n dereceli bir polinomdur. Daha sonra, Qn(x)'in Pn(x) ile aynı derecede bir polinom olduğu ve r'nin, karakteristik denklemin a'ya eşit kök sayısı olduğu formda özel bir çözüm aranmalıdır. Eğer a = 0 ise f(x) = Pn (x), yani 1. durum meydana gelir.
Sabit katsayılı LOD.
Diferansiyel denklemi düşünün
gerçek sabitler nerede.
Denklem (8)'e genel bir çözüm bulmak için bunu yapıyoruz. Denklem (8) için karakteristik denklemi oluşturuyoruz: (9)
Denklemin (9) kökleri olsun ve aralarında katlar olabilir. Aşağıdaki durumlar mümkündür:
a) - gerçek ve farklı. Homojen denklemin genel çözümü;
b) karakteristik denklemin kökleri gerçektir, ancak aralarında katlar vardır, yani. o zaman genel çözüm şu olur
c) Karakteristik denklemin kökleri karmaşıksa (k=a±bi), genel çözüm şu şekildedir:
Genel yapı 2. dereceden LDE'ye çözümler
Doğrusal homojen diferansiyel denklemi düşünün
+ (x) + ... + (x)y" + (x)y = 0.
Bu denklemin bir aralıktaki genel çözümü, n keyfi sabit C1,..., Cn'ye bağlı olan ve aşağıdakileri sağlayan y = Φ(x, C1,..., Cn) fonksiyonudur. aşağıdaki koşullar:
− herhangi biri için kabul edilebilir değerler C1,..., Cn sabitlerinin y = Φ(x, C1,..., Cn) fonksiyonu üzerindeki denklemin bir çözümüdür;
− (x0, y0, ) , x0∈ başlangıç noktası ne olursa olsun, y = Φ(x, C10 , ..., Cn0) fonksiyonunu sağlayacak şekilde C1 =C10 , ..., Cn = Cn0 değerleri vardır başlangıç koşulları y(x0) = y0, y "(x0) = y1,0 ,..., (x0) = .
Böyle bir denklemin genel çözümünün yapısı aşağıdaki teorem ile belirlenir.
Teorem 1. Homojen olmayan denklemin (1) genel çözümü, bu denklemin bazı özel çözümlerinin toplamı olarak temsil edilir. y h ve karşılık gelen homojen denklemin genel çözümü
Kanıt. Toplamın (3) olduğunu kanıtlamamız gerekiyor.
Denklemin (1) genel bir çözümü vardır.
Öncelikle fonksiyon (3)'ün denklem (1)'in çözümü olduğunu kanıtlayalım. Onun yerine ikame en denklem (1)'deki toplam şu şekilde olacaktır:
- denklem (2)'nin bir çözümü olduğundan, denklem (4)'ün ilk parantezindeki ifade aynı şekilde sıfıra eşittir. Çünkü y h denklemin (1) bir çözümü ise, ikinci parantezdeki (4) ifade şuna eşittir: f(x). Dolayısıyla eşitlik (4) bir özdeşliktir. Böylece teoremin ilk kısmı kanıtlanmıştır.
Şimdi ifade (3)'ün denklem (1)'in genel bir çözümü olduğunu kanıtlayalım; İçerisindeki keyfi sabitlerin şu şekilde seçilebileceğini kanıtlayalım: başlangıç koşulları (5)
sayılar ne olursa olsun x 0, y 0, ve (eğer yalnızca işlevlerin olduğu alanlar bir 1, bir 2 Ve f(x) sürekli).
Bunu şu şekilde temsil edebileceğimizi fark ederek 
, Nerede y 1 , y 2 Denklemin (2) doğrusal bağımsız çözümleri ve C1 Ve C2 keyfi sabitlerdir, eşitliği (3) biçiminde yeniden yazabiliriz. Daha sonra koşul (5)'e göre bir sistemimiz olacak
.
Bu denklem sisteminden şunu belirlemek gerekir: C1 Ve C2. Sistemi formda yeniden yazalım.
(6)
Sistem belirleyicisi 
– çözümler için bir Wronski determinantı var 1'de Ve 2'de noktada . Bu fonksiyonlar koşula göre doğrusal olarak bağımsız olduğundan, Wronski determinantı sıfıra eşit değildir, bu nedenle sistem (6) tek karar C1 Ve C2, yani öyle anlamlar var C1 Ve C2 burada formül (3), verilen başlangıç koşullarını karşılayan denklem (1)'in çözümünü belirler.
Dolayısıyla, eğer homojen denklemin (2) genel çözümü biliniyorsa, homojen olmayan denklemin (1) integrali alınırken asıl görev herhangi bir özel çözümü bulmaktır. y h.
Sabit katsayılı ve sağ tarafı olan doğrusal homojen olmayan ikinci dereceden diferansiyel denklemler özel Tip. Belirsiz katsayılar yöntemi.
Bazen entegrasyona başvurmadan daha basit bir çözüm bulmak mümkün olabilir. Bu gerçekleşir özel durumlar fonksiyon ne zaman f(x)özel bir görünüme sahiptir.
Denklemi alalım, (1)
Nerede P Ve Q gerçek sayılar ve f(x)özel bir görünüme sahiptir. Denklem (1) için buna benzer birkaç olasılığı ele alalım.
İzin vermek sağ kısım denklem (1) üründür üstel fonksiyon bir polinoma, yani benziyor 
, (2)
n'inci dereceden bir polinom nerede. O zaman aşağıdaki durumlar mümkündür:
bir sayı - bir kök değil karakteristik denklem 
.
Bu durumda (3) formunda özel bir çözüm aranmalıdır.
onlar. aynı zamanda bir polinom biçiminde N-inci derece, nerede A 0, A 1,…, A n katsayılar belirlenecektir.
Bunları belirlemek için ve türevlerini buluyoruz.
Değiştirme y h ve denklem (1)'e yerleştirip her iki tarafı da sahip olacağımız bir faktörle azaltarak:
Burada n'inci dereceden bir polinom, – (n-1)'inci dereceden bir polinom ve – (n-2)'inci dereceden bir polinom var.
Böylece eşittir işaretinin solunda ve sağında polinomlar vardır N-inci derece. Katsayıların aynı derecelerde eşitlenmesi X(bilinmeyen katsayıların sayısı eşittir), katsayıları belirlemek için bir denklem sistemi elde ederiz A 0, A 1, ..., A n.
Denklemin (1) sağ tarafı şu şekle sahipse:
Doğrusal homojen olmayan bir diferansiyel denklem için N- birinci derece
sen(N) + A 1(X)sen(N- 1) + ... + BİR- 1 (X) sen" + BİR(X)sen = f(x),
Nerede sen = sen(X) - Olumsuz bilinen fonksiyon, A 1(X),A 2(X), ..., BİR- 1(X), BİR(X), F(X) - bilinen, sürekli, adil:
1) eğer sen 1(X) Ve sen 2(X) homojen olmayan bir denklemin iki çözümü ise, o zaman fonksiyon
sen(X) = sen 1(X) - sen 2(X) - karşılık gelen homojen denklemin çözümü;
2) eğer sen 1(X) homojen olmayan bir denklemin çözümü ve sen 2(X) karşılık gelen homojen denklemin çözümüdür, o zaman fonksiyon
sen(X) = sen 1(X) + sen 2(X) - homojen olmayan bir denklemin çözümü;
3) eğer sen 1(X), sen 2(X), ..., ay(X) - N doğrusal bağımsız kararlar homojen denklem ve evet(X) - keyfi karar homojen olmayan denklem,
o zaman herhangi biri için başlangıç değerleri
X 0, sen 0, sen 0,1, ..., sen 0,N- 1
İfade
sen(X)=C 1 sen 1(X) + C 2 sen 2(X) + ... + cn yn(X) +evet(X)
isminde genel karar doğrusal homojen olmayan diferansiyel denklem N-inci sipariş.
Formun sağ tarafında sabit katsayılı homojen olmayan diferansiyel denklemlerin kısmi çözümlerini bulmak için:
Pk(X)exp(a X)çünkü( bx) + S M(X)exp(a X)günah( bx),
Nerede Pk(X), Q M(X) - derece polinomları k Ve M Buna göre, belirli bir çözümü oluşturmak için basit bir algoritma vardır. seçim yöntemi.
Seçim yöntemi veya belirlenemeyen katsayılar yöntemi aşağıdaki gibidir.
Denklemin gerekli çözümü şu şekilde yazılır:
(PR(X)exp(a X)çünkü( bx) + Qr(X)exp(a X)günah( bx))xs,
Nerede PR(X), Qr(X) - derece polinomları R= maksimum( k, M) İle Bilinmeyen katsayılar
halkla ilişkiler , pr- 1, ..., P 1, P 0, QR, QR- 1, ..., Q 1, Q 0.
Böylece, Sabit katsayılı doğrusal homojen olmayan bir diferansiyel denklemin genel çözümünü bulmak için,
karşılık gelen homojen denklemin genel çözümünü bulun (karakteristik denklemi yazın, karakteristik denklemin tüm köklerini bulun ben 1, ben 2, ... , içinde, yaz temel sistemçözümler sen 1(X), sen 2(X), ..., ay(X));
homojen olmayan denklemin herhangi bir özel çözümünü bulun evet(X);
Genel çözümün ifadesini yazın
sen(X)=C 1 sen 1(X) + C 2 sen 2(X) + ... + cn yn(X) + evet(X);
Özel sağ tarafı olan sabit katsayılı ikinci dereceden doğrusal homojen olmayan diferansiyel denklemler. Belirsiz katsayılar yöntemi.
Formun diferansiyel denklemi (1)
burada f, sabit katsayılı, n'inci dereceden doğrusal diferansiyel denklem olarak adlandırılan bilinen bir fonksiyondur. Eğer öyleyse, o zaman denklem (1) homojen, aksi takdirde - homojen olmayan olarak adlandırılır.
Sabit katsayılı ve özel bir formun sağ tarafı olan, yani fonksiyonların toplamları ve çarpımlarından oluşan doğrusal homojen olmayan denklemler için belirsiz katsayılar yöntemiyle özel bir çözüm aranabilir. Özel çözümün türü karakteristik denklemin köklerine bağlıdır. Aşağıda özel bir sağ tarafa sahip doğrusal homojen olmayan bir denklemin kısmi çözüm türlerinin bir tablosu bulunmaktadır.
Karmaşık düzlem. Karmaşık bir sayının modülü ve argümanı. Argümanın ana anlamı. Geometrik anlam
Karmaşık sayılar şu şekilde yazılır: a+bi. Burada a ve b gerçel sayılardır ve i ise hayali birim, yani ben 2 = –1. a sayısına apsis denir ve b, a+bi karmaşık sayısının ordinatıdır. a+bi ve a-bi olmak üzere iki karmaşık sayıya eşlenik karmaşık sayılar denir.
Geometrik gösterim Karışık sayılar. Gerçek sayılar sayı doğrusu üzerindeki noktalarla temsil edilir:
Burada A noktası –3 sayısını, B noktası 2 sayısını ve O noktası sıfırı temsil etmektedir. Bunun tersine, karmaşık sayılar noktalarla temsil edilir. koordinat uçağı. Bu amaçla her iki eksende aynı ölçeklere sahip dikdörtgen (Kartezyen) koordinatları seçiyoruz. Daha sonra karmaşık sayı a+bi apsis a ve ordinat b ile P noktası ile temsil edilecektir (şekle bakınız). Bu koordinat sistemine karmaşık düzlem denir.
Bir karmaşık sayının modülü, koordinat (karmaşık) düzleminde bir karmaşık sayıyı temsil eden OP vektörünün uzunluğudur. a+ bi karmaşık sayısının modülü | a+ bi | veya r harfi ve şuna eşittir:
Eşlenik karmaşık sayılar aynı modüle sahiptir. __
Karmaşık bir sayının argümanı, OX ekseni ile bu karmaşık sayıyı temsil eden OP vektörü arasındaki açıdır. Dolayısıyla tan = b/a.
