Basit bir fiziksel sistem düşünün - maddi nokta Hooke kuvvetinin etkisi altında yatay bir yüzey üzerinde sürtünme olmadan salınma yeteneğine sahiptir (bkz. Şekil 2).

Yükün yer değiştirmesi küçükse (deforme olmamış yayın uzunluğundan çok daha az) ve yayın sertliği k'ye eşitse, yüke etki eden tek kuvvet Hooke kuvvetidir. Daha sonra denklem

yükün hareketi (Newton'un İkinci Yasası) şu şekildedir:

Terimleri eşitliğin sol tarafına kaydırıp maddi noktanın kütlesine bölerek (m'ye kıyasla yayın kütlesini ihmal ediyoruz) hareket denklemini elde ederiz.

(*) ,

,

,

salınım periyodu.

Daha sonra fonksiyonu alarak

ve zamana göre farklılaştırdıktan sonra, öncelikle yükün hareket hızının şuna eşit olduğuna ikna olduk:

ve ikinci olarak, tekrarlanan farklılaşmadan sonra,

,

yani X(t) aslında bir yay üzerindeki yük denkleminin bir çözümüdür.

Böyle bir sisteme, genel olarak, bir hareket denklemine (*) sahip olan mekanik, elektriksel veya diğer herhangi bir sisteme harmonik osilatör denir. X(t) tipi bir fonksiyona harmonik salınıcının hareket kanunu denir.
denir genlik,döngüsel veya doğal frekans,başlangıç ​​aşaması. Doğal frekans, osilatörün parametreleri tarafından belirlenir, genlik ve başlangıç ​​​​fazı, başlangıç ​​​​koşulları tarafından belirlenir.

Hareket kanunu X(t) serbest salınımları temsil eder. Bu tür salınımlar, sönümsüz sarkaçlar (matematiksel veya fiziksel), ideal bir salınım devresindeki akım ve voltaj ve diğer bazı sistemler tarafından gerçekleştirilir.

Harmonik titreşimler hem bir yönde hem de farklı yönlerde toplanabilir. Eklemenin sonucu aynı zamanda harmonik bir salınımdır, örneğin,

.

Bu, titreşimlerin üst üste binmesi (süperpozisyon) ilkesidir.

Matematikçiler, Fourier serileri adı verilen bu türden bir seri teorisi geliştirdiler. Ayrıca Fourier integralleri (frekanslar sürekli olarak değişebilir) ve hatta karmaşık frekanslarla çalışan Laplace integralleri gibi bir takım genellemeler de vardır.

§15. Sönümlü osilatör. Zorlanmış titreşimler.

Gerçek mekanik sistemler her zaman en azından az miktarda sürtünmeye sahiptir. En basit durum sıvı veya viskoz sürtünmedir. Bu, büyüklüğü sistemin hareket hızıyla orantılı olan (ve doğal olarak hareket yönünün tersine yönlendirilen) sürtünmedir. Hareket X ekseni boyunca meydana gelirse, hareket denklemi (örneğin, yay üzerindeki bir ağırlık için) şu şekilde yazılabilir:

,

Nerede – viskoz sürtünme katsayısı.

Bu hareket denklemi şu şekle dönüştürülebilir:

.

Burada
– zayıflama katsayısı, – hala osilatörün doğal frekansıdır (artık harmonik olarak adlandırılamaz; viskoz sürtünmeli sönümlü bir osilatördür).

Matematikçiler bu tür diferansiyel denklemleri çözebilirler. Çözümün fonksiyon olduğu gösterildi

Son formül aşağıdaki gösterimi kullanır: – başlangıç ​​genliği, zayıf sönümlü salınımların frekansı
,
. Ayrıca zayıflamayı karakterize eden diğer parametreler de sıklıkla kullanılır: logaritmik sönümleme azalması
, sistem dinlenme süresi
, sistem kalite faktörü
Burada pay, sistem tarafından depolanan enerjidir ve payda, T periyodu boyunca enerji kaybıdır.

Güçlü zayıflama durumunda
Çözeltinin periyodik olmayan bir formu vardır.

Sürtünme kuvvetlerine ek olarak, osilatöre bir dış kuvvetin etki ettiği durumlar sıklıkla vardır. Daha sonra hareket denklemi forma indirgenir

,

sağdaki ifadeye genellikle azaltılmış kuvvet denir, ifadenin kendisi
zorlayıcı kuvvet denir. Keyfi bir itici güç için denklemin çözümünü bulmak mümkün değildir. Genellikle harmonik bir itici güç dikkate alınır
. Bu durumda çözüm, uzun süre sıfıra eğilim gösteren (**) tipinde sönümlü bir parçayı ve sabit (zorlanmış) salınımları temsil eder.

Genlik zorunlu salınımlar

,

ve zorunlu salınımların aşaması

.

Doğal frekansın itici kuvvetin frekansına yaklaştıkça zorlanmış salınımların genliğinin arttığına dikkat edin. Bu fenomen şu şekilde bilinir: rezonans. Eğer sönüm büyükse rezonans artışı da büyük değildir. Bu rezonansa "donuk" denir. Düşük zayıflamalarda "keskin" rezonansın genliği oldukça önemli ölçüde artabilir. Sistem idealse ve içinde sürtünme yoksa, zorlanmış salınımların genliği sınırsız bir şekilde artar.

Ayrıca itici güç frekansında

İtici kuvvetin genliğinin maksimum değeri, şuna eşit olarak elde edilir:

.

İki atomlu bir moleküldeki atomların titreşim hareketinin en basit modeli, iki kütleli bir sistem olabilir. T/ ve w?, elastik bir yay ile birbirine bağlanmıştır. İki atomun kütle merkezine göre titreşimi, bir eşdeğerin titreşimiyle değiştirilebilir

başlangıca göre kütle sıfır noktası R= 0, nerede

R- kütleler arasındaki mesafe, Tekrar- denge noktasının konumu.

Klasik düşüncede yayın ideal olduğu varsayılır. elastik kuvvet F deformasyonla doğru orantılıdır - dengeden sapma x = R-R e, Hooke yasasına göre:

Nerede İle- esneklik sabiti. Böylece kuvvet denge konumuna geri dönmeye yönlendirilir.

Hooke ve Newton yasalarını birlikte kullanmak (F-ta), yazılabilir:

(gösteren). Böyle bir denklemin çözümü şu şekilde bilinmektedir:

harmonik fonksiyonlara hizmet eder

Nerede evet- genlik ve

Azaltılmış kütlenin kullanılması /lşunu elde ederiz:

Bir sistemin potansiyel enerjisinin ölçüsü V işe hizmet ediyor

İÇİNDE kuantum mekaniği Harmonik bir osilatörün basit bir modeli için salınım hareketinin analizi oldukça karmaşıktır. Schrödinger denkleminin çözülmesine dayanmaktadır.

(e/- titreşim dalga fonksiyonu, e - toplam enerji parçacıklar) ve sunumumuzun kapsamı dışındadır.

Bir kuantum osilatörü için bu yalnızca mümkündür ayrık seri formüle göre enerji E değerleri ve frekanslar E=hv. Ayrıca, minimum değer osilatörün enerjisi sıfır değildir. Bu miktara denir sıfır enerji osilatörün en düşük enerji seviyesine karşılık gelir ve eşittir, varlığı Heisenberg belirsizlik ilişkisine dayanarak açıklanabilir.

Böylece, uyarınca kuantum mekaniği Harmonik osilatörün enerjisi nicelenir:

Nerede v- salınımlı kuantum sayısı y=0, 1, 2, 3,.... değerini alabilen

Bir osilatör kuantumla etkileşime girdiğinde elektromanyetik radyasyonÜç faktör dikkate alınmalıdır: 1) düzey popülasyonu (bir molekülün belirli bir enerji düzeyinde olma olasılığı); 2) bir kuantumun enerjisinin herhangi iki seviyenin enerji farkına karşılık gelmesi gerektiğine göre frekans kuralı (Bohr);

3) kuantum geçişleri için seçim kuralı: geçiş olasılığı, yani. absorpsiyon spektrumundaki çizgilerin yoğunluğu miktarla belirlenir. geçiş dipol momenti (bkz. teorik giriş). En basit harmonik osilatör durumunda seçim kuralı dalga fonksiyonları dikkate alınarak elde edilir. Geçişlerin yalnızca bitişik seviyeler arasında ("bir adım") gerçekleşebileceğini belirtir: titreşim kuantum sayısı bir değişir Av= 1. Bitişik seviyeler arasındaki mesafeler aynı olduğundan, harmonik bir osilatörün soğurma spektrumu, frekansa sahip yalnızca bir çizgi içermelidir.

Çünkü oda sıcaklığında ve daha fazlasında Boltzmann dağılımına uygun olarak düşük sıcaklıklar en düşük titreşim seviyesi doldurulur, daha sonra en yoğun geçiş en baştan itibaren gerçekleşir. düşük seviye(d=0) ve bu çizginin frekansı, daha yüksek seviyelerden bitişik daha yüksek seviyeye olan daha zayıf geçişlerin frekansı ile çakışmaktadır.

Harmonik osilatör dalga fonksiyonlarının grafikleri farklı anlamlar enerjiler Şekil 2.3'te gösterilmektedir. Harmonik bir osilatör için Schrödinger denkleminin çözümlerini temsil ederler.

Nerede N, - normalleştirme faktörü, H 0- Hermit polinomları, x = R-R e- denge konumundan sapma.

Titreşimsel geçişler için geçiş dipol momenti, R0(veya M")şuna eşit:

Nerede ju - dipol momenti moleküller; tereddüt

sırasıyla başlangıç ​​ve son durumların katı dalga fonksiyonları. Formülden geçişe izin verildiği açıktır,

denge noktasında ise - molekülün dipol momenti

denge noktasının konumuna yakın değişiklikler (eğri ju=f(R) bu noktada maksimumu geçmez). İntegral (formüldeki ikinci faktör) de olmamalıdır. sıfıra eşit. Bitişik seviyeler arasında geçiş meydana gelirse bu koşulun karşılandığı gösterilebilir, dolayısıyla ek kural seçim ai = 1.

Durumunda iki atomlu moleküller titreşim spektrumları yalnızca heteronükleer moleküller için gözlemlenebilir; homonükleer moleküllerin dipol momenti yoktur ve titreşimler sırasında değişmezler. CO2'nin titreşim spektrumları, dipol momentinin değiştiği titreşimler (antisimetrik esneme ve bükülme) sergiler, ancak değişmeden kaldığı simetrik titreşimler görünmez.

2a. Uzay. Zaman. Hareket Feynman Richard Phillips

Bölüm 21 HARMONİK OSİLATÖR

Bölüm 21

HARMONİK Osilatör

§ 1. Doğrusal diferansiyel denklemler

§ 4. Başlangıç ​​koşulları

§ 1. Doğrusal diferansiyel denklemler

Tipik olarak, bir bilim olarak fizik birkaç bölüme ayrılmıştır: mekanik, elektrik vb. ve bu bölümleri birbiri ardına "geçeriz". Şimdi örneğin esas olarak mekanikten “geçiyoruz”. Ancak ara sıra tuhaf şeyler oluyor: Fiziğin yeni bölümlerine ve hatta diğer bilimlere geçerken, daha önce incelediklerimizden neredeyse hiç farklı olmayan denklemlerle karşı karşıya kalıyoruz. Dolayısıyla birçok olgunun bilimin tamamen farklı alanlarında analojileri vardır. En basit örnek: Ses dalgalarının yayılması ışık dalgalarının yayılmasına çok benzer. Akustiği yeterince ayrıntılı olarak incelersek, daha sonra oldukça "gittiğimizi" keşfedeceğiz. çoğu optik. Bu nedenle fiziğin bir alanındaki olayların incelenmesi diğer dalların incelenmesinde faydalı olabilir. Bu olası "bölümün kapsamının genişletilmesini" en baştan öngörmek iyidir, aksi takdirde küçük bir mekanik problemini incelemek için neden bu kadar çok zaman ve çaba harcadığımız kafa karıştırıcı olabilir.

Harmonik osilatörŞu anda üzerinde çalıştığımız çalışmaya neredeyse her yerde rastlayacağız; ancak bir yay üzerindeki ağırlığın, bir sarkacın küçük sapmalarının veya başka bir şeyin tamamen mekanik örnekleriyle başlayacağız. mekanik cihazlar aslında biraz çalışacağız diferansiyel denklem. Bu denklemle fizikte ve diğer bilimlerde sürekli olarak karşılaşılmaktadır ve aslında o kadar çok olguyu açıklamaktadır ki, aslında onu daha iyi incelemeye değer. Bu denklem yay üzerindeki ağırlığın salınımlarını, yay boyunca ileri geri akan yükün salınımlarını tanımlar. elektrik devresi, bir diyapazonun ürettiği titreşimler ses dalgaları Bir atomdaki elektronların benzer titreşimleri, ışık dalgaları. Buna, bir termostatın belirli bir sıcaklığının korunması, kimyasal reaksiyonlardaki karmaşık etkileşimler ve (oldukça beklenmedik bir şekilde) hem beslenen hem de zehirlenen bir bakteri kolonisinin büyümesiyle ilgili denklemler gibi düzenleyicilerin eylemlerini tanımlayan denklemleri ekleyin veya tavşanlarla beslenen tilkilerin üremesi, onlar da ot yerler vb. Mekanik bir osilatörle hemen hemen aynı denklemlerle tanımlanan olayların çok eksik bir listesini verdik. Bu denklemlere denir doğrusal diferansiyel denklemler sabit katsayılar. Bunlar, her biri bir türevi temsil eden birkaç terimin toplamından oluşan denklemlerdir. bağımlı miktar bağımsız olan üzerinde sabit bir katsayı ile çarpılır. Böylece,

doğrusal denir diferansiyel denklem sabit katsayılı n'inci dereceden (hepsi A N - devamlı).

§ 2. Harmonik osilatör

Belki de en basiti mekanik sistem Hareketi sabit katsayılı doğrusal diferansiyel denklemle tanımlanan yay üzerindeki bir kütledir. Yaya bir ağırlık takıldıktan sonra, yer çekimi kuvvetini dengelemek için biraz esneyecektir. Şimdi kütlenin denge konumundan dikey sapmalarını takip edelim (Şekil 21.1).

İncir. 21.1. Bir yay üzerinde asılı duran ağırlık.

Harmonik osilatörün basit bir örneği.

Denge konumundan yukarı doğru sapmaları şu şekilde ifade ederiz: X ve tamamen elastik bir yay ile karşı karşıya olduğumuzu varsayalım. Bu durumda gerilmeye karşı gelen kuvvetler gerilmeyle doğru orantılıdır. Bu, kuvvetin olduğu anlamına gelir - kx(Eksi işareti bize kuvvetin yer değiştirmeye karşı olduğunu hatırlatır). Dolayısıyla ivme çarpı kütle şuna eşit olmalıdır: kx

m(d 2 x/dt 2) =-kx.(21.2)

Basitleştirmek adına, bunun şu şekilde sonuçlandığını varsayalım (veya gerektiği gibi birim sistemini değiştirdiğimizi) k/m = 1. Denklemi çözmemiz gerekiyor

d 2 x/dt 2 =-x. (21.3)

Bundan sonra denklem (21.2)'ye dönüyoruz; k Ve M açıkça yer almaktadır.

Mekaniği çalışmaya yeni başladığımızda denklem (21.3) ile zaten karşılaştık. Sayısal olarak çözdük [bkz. sorun 1, denklem (9.12)] hareketi bulmak için. Sayısal entegrasyonla bir eğri bulduk (bkz. Şekil 9.4, sayı 1), bu da m parçacığının başlangıç ​​anı dengesiz ama dinlenme halindeyken denge konumuna geri döner. Parçacığı denge konumuna geldikten sonra takip etmedik ama burada durmayacağı, duracağı açık. dalgalanmak (salınım yapmak). Sayısal entegrasyonu kullanarak denge noktasına dönme zamanını bulduk: t= 1.570. Tam bir döngünün süresi dört kat daha uzundur: T 0 =6,28 "sn". Bütün bunları sayısal entegrasyonla bulduk çünkü daha iyi nasıl çözeceğimizi bilmiyorduk. Ancak matematikçiler bize, iki kez türevi alındığında -1 ile çarpıldığında kendine dönüşen belirli bir fonksiyon verdiler. (Elbette bu tür fonksiyonları doğrudan hesaplayabilirsiniz, ancak bu, cevabı bulmaktan çok daha zordur.)

Bu fonksiyon: x=maliyet. Bunu ayırt edelim: dx/dt=-sint, A D 2 x/dt 2 =-wt=-x. Başlangıç ​​anında t=0, x=1 ve başlangıç ​​hızı sıfıra eşit; Bunlar tam olarak sayısal entegrasyon sırasında yaptığımız varsayımlardır. Artık bunu bilerek x=maliyet, bulacağız bire bir aynı z=0 olduğu zaman değeri. Cevap: t=p/2, veya 1,57108. Daha önce yanılmıştık son işaret, çünkü sayısal entegrasyon yaklaşıktır, ancak hata çok küçüktür!

İşleri daha da ileri götürmek için, zamanın gerçek saniyelerle ölçüldüğü birim sistemine dönelim. Bu durumda çözüm ne olacak? Belki sabitleri dikkate alırız k Ve T, karşılık gelen maliyet faktörüyle çarpılıyor mu? Hadi deneyelim. İzin vermek x=Amaliyet, Daha sonra dx/dt=-Asint Ve D 2 t/dt 2 =-maliyet=-x.Üzülerek, denklem (21.2)'yi çözmeyi başaramadık ama tekrar (21.3)'e geri döndük. Ama açtık en önemli mülk doğrusal diferansiyel denklemler: Denklemin çözümünü bir sabitle çarparsak yine çözümü elde ederiz. Nedeni matematiksel olarak açıktır. Eğer X denklemin bir çözümüdür, ardından denklemin her iki tarafı da ile çarpıldıktan sonra A türevler de şu şekilde çarpılacaktır: A ve bu nedenle Ah denklemi de tatmin edecek X. Fizikçinin bu konuda söyleyeceklerini dinleyelim. Ağırlık yayı öncekinden iki kat daha fazla esnetirse kuvvet iki katına çıkacak, ivme iki kat artacak, elde edilen hız iki kat artacak ve aynı zamanda ağırlık iki kat mesafe kat edecektir. Ama bu iki katı daha uzun mesafe- tam olarak aynı mesafe gerekli Ağırlığı denge pozisyonuna aktarın. Bu nedenle dengeyi sağlamak için gereklidir. aynı miktarda zaman ve başlangıçtaki ofsete bağlı değildir. Yani hareket doğrusal bir denklemle tanımlanırsa “kuvvet” ne olursa olsun zaman içinde aynı şekilde gelişecektir.

Hata bizim avantajımıza oldu; çözümü bir sabitle çarparak önceki denklemin çözümünü elde edeceğimizi öğrendik. Birkaç deneme ve yanılmadan sonra, manipüle etmek yerine şu sonuca varabilirsiniz: Xölçeği değiştirmeniz gerekiyor zaman. Başka bir deyişle, denklem (21.2) şu şekilde bir çözüme sahip olmalıdır:

x=cos w 0 ton. (21.4)

(Burada w 0 hiç de dönen bir cismin açısal hızı değildir ancak her değeri özel bir harfle belirtirsek tüm alfabelere sahip olmayacağız.) Burada şunu sağladık: w indeks 0, çünkü hâlâ çok daha fazla omegayla tanışmamız gerekiyor: bunu hatırla w 0 eşleşme doğal hareket osilatör. (21.4)’ü çözüm olarak kullanmaya çalışmak daha başarılıdır çünkü dx/dt=-(w 0 günah w 0 ton ve D 2 x/dt 2 =-w 2 0 w S w 0 t=-w 2 0x. Sonunda çözmek istediğimiz denklemi çözdük. Bu denklem (21.2) ile çakışır, eğer w 2 0 = k/m.

Şimdi anlamalısın fiziksel anlam w 0. Açının 2i'ye değişmesinden sonra kosinüsün "tekrarlandığını" biliyoruz. Bu yüzden x=cosw 0 T irade periyodik hareket; bu hareketin tam bir döngüsü "açıda" 2p'lik bir değişikliğe karşılık gelir. Boyut w 0 T sıklıkla denir faz hareketler. Değiştirmek için w saat 2'de 0 , değişmek gerek T Açık T 0 (dönem tam salınım); Kesinlikle, T 0 denklemden bulunur w 0 T 0 = 2s. Bu şu anlama geliyor w Bir döngü için 0 t 0'ın hesaplanması gerekir ve artırırsanız her şey tekrarlanır T Açık T 0 ; bu durumda fazı 2p artıracağız. Böylece,

Bu, ağırlık ne kadar ağır olursa yayın ileri geri salınımının o kadar yavaş olacağı anlamına gelir. Bu durumda atalet daha büyük olacak ve eğer kuvvet değişmezse yükü hızlandırmak ve yavaşlatmak için daha fazla zamana ihtiyaç duyulacaktır. Daha sert bir yay alırsanız hareket daha hızlı gerçekleşmelidir; aslında yay sertliği arttıkça periyot azalır.

Şimdi kütlenin yaydaki salınım periyodunun bağlı olmadığını belirtelim. Nasıl dalgalanmalar başlıyor. Baharı ne kadar uzattığımızın bir önemi yok gibi görünüyor. Hareket denklemi (21.2) şunu belirler: dönem salınımlar, ancak salınımların genliği hakkında hiçbir şey söylemiyor. Salınımın genliği elbette belirlenebilir ve şimdi bununla ilgileneceğiz, ancak bunun için başlangıç ​​koşulları.

Mesele şu ki, (21.2) denkleminin en genel çözümünü henüz bulamadık. Birkaç çeşit çözüm vardır. Çözüm x=acosw 0 T ilk anda yayın gerildiği ve hızının sıfır olduğu duruma karşılık gelir. Yayın farklı şekilde hareket etmesini sağlayabilirsiniz; örneğin, dengeli bir yayın durduğu anı yakalayabilirsiniz. (x=0), ve ağırlığa keskin bir şekilde çarptı; bu, t=0 anında yaya bir miktar hız kazandırıldığı anlamına gelecektir. Bu hareket başka bir çözüme (21.2) karşılık gelecektir - kosinüsün sinüs ile değiştirilmesi gerekir. Kosinüse bir taş daha atalım: eğer x=cos ise w 0 t-çözeltisi, daha sonra yayın sallandığı odaya girince, o anda (buna “t=0” diyelim) bob denge konumundan (x=0) geçtiğinde, bunu değiştirmek zorunda kalacağız başka biriyle çözüm. Buradan, x=cosw 0 T olamaz genel karar; Genel çözüm, deyim yerindeyse, zamanın kökeninin hareket ettirilmesine izin vermelidir. Örneğin, çözüm bu özelliğe sahiptir x=acosw 0 (t-t 1 ), burada t 1 bir tür sabittir. Daha sonra genişletebiliriz

çünkü(w 0 t+D)=çünkü w 0 Tçünkü D-günah w 0 T günah D ve yaz

x=Açünkü w 0 T+İÇİNDE günah w 0 T,

burada A=acos D Ve B=- asin D. Bu formların her biri genel çözümü (21.2) yazmak için kullanılabilir: dünyada mevcut diferansiyel denklemin çözümlerinden herhangi biri

D 2 x/dt 2 =-w 2 0 Xşeklinde yazılabilir

x=acosw 0 (t-t 1 ), (21.6a)

x=acos(w 0 t+D), (21.6b)

x=Açünkü w 0 t+B günah w 0 T.(21.6v)

(21.6)'da bulunan niceliklerden bazılarının isimleri vardır: w 0 çağrı açısal frekans; 1'de fazın değiştiği radyan sayısıdır sn. Diferansiyel denklem ile belirlenir. Diğer miktarlar denklemle belirlenmez, ancak bağlıdır başlangıç ​​koşulları. Devamlı A Yükün maksimum sapmasının bir ölçüsü olarak hizmet eder ve denir. genlik dalgalanmalar. Devamlı D bazen denir faz salınımlar, ancak burada yanlış anlamalar mümkündür, çünkü diğerleri fazı w 0 t+D olarak adlandırır ve fazın zamana bağlı olduğunu söyler. D diyebiliriz faz kayması bazılarının sıfır olarak alınmasıyla karşılaştırıldığında. Kelimeler üzerinde tartışmayalım. Farklı D, farklı aşamalardaki hareketlere karşılık gelir. Bu doğrudur ancak D'ye aşama denilip adlandırılmayacağı başka bir sorudur.

§ 3. Harmonik hareket ve dairesel hareket

Denklemin (21.2) çözümündeki kosinüs, harmonik hareketin dairesel hareketle bir ilgisi olduğunu göstermektedir. Bu karşılaştırma elbette yapaydır çünkü doğrusal harekette daire oluşturulacak hiçbir yer yoktur: ağırlık kesinlikle yukarı ve aşağı hareket eder. Denklemi zaten çözdüğümüzü söyleyerek kendimizi haklı çıkarabiliriz. harmonik hareket dairesel hareketin mekaniğini incelerken. Eğer bir parçacık bir daire içinde hareket ediyorsa sabit hız v, daha sonra dairenin merkezinden parçacığa olan yarıçap vektörü, büyüklüğü zamanla orantılı olan bir açıyla döner. Bu açıyı q olarak gösterelim =vt/R(Şekil 21.2).

İncir. 21.2. Bir daire içinde sabit hızla hareket eden parçacık.

Daha sonra D Q /dt= w 0 =v/R.İvmenin a=v 2 /R=w 2 0 R olduğu ve merkeze doğru yönlendirildiği bilinmektedir. Belirli bir andaki hareketli bir noktanın koordinatları eşittir

X=R cosq, y=Rsinq.

Peki ya hızlanma? İvmenin x bileşeni nedir? D 2 x/dt 2 . N Bu değer tamamen geometrik olarak bulunabilir: ivme değerinin projeksiyon açısının kosinüsüyle çarpımına eşittir; Ortaya çıkan ifadenin önüne eksi işareti koymalısınız çünkü ivme merkeze doğru yönlendirilir:

A X =- acosq=-wRcosq=-w 2 0 X.(21.7)

Başka bir deyişle, bir parçacık bir daire içinde hareket ettiğinde, hareketin yatay bileşeninin ivmesi orantılıdır. yatay yer değiştirme merkezden. Elbette daire içindeki hareket durumu için çözümleri biliyoruz: x=Rco'lar w 0 T. Denklem (21.7) dairenin yarıçapını içermemektedir; aynı w 0 değerine sahip herhangi bir daire etrafında hareket ederken de aynıdır.

Bu nedenle, bir yay üzerindeki ağırlığın sapmasının cosw 0 t ile orantılı olmasını ve hareketin sanki bir daire içinde hareket eden bir parçacığın x koordinatını takip ediyormuşuz gibi görünmesini beklememizin çeşitli nedenleri vardır. açısal hız w 0. Bu, bir ağırlığın yay üzerindeki yukarı ve aşağı hareketinin, bir noktanın daire boyunca hareketine tam olarak karşılık geldiğini gösteren bir deney yapılarak doğrulanabilir. Şek. Şekil 21.3'te, bir ark lambasının ışığı, dönen bir diske saplanmış hareketli bir iğnenin ve yakınlarda hareket eden dikey olarak salınan bir ağırlığın gölgelerini ekrana yansıtıyor.

İncir. 21.3. Basit harmonik hareketin denkliğinin gösterilmesi ve düzgün hareketçevresi etrafında.

Ağırlığın doğru zamanda ve doğru yerden salınmasını sağlarsanız ve ardından diskin hızını, hareketlerinin frekansları çakışacak şekilde dikkatlice seçerseniz, ekrandaki gölgeler birbirini tam olarak takip edecektir. İşte sayısal bir çözüm bulurken kosinüse neredeyse yakın olduğumuzdan emin olmanın başka bir yolu.

Burada şunu vurgulamak mümkündür ki, düzgün dairesel hareketin matematiği, yukarı-aşağı salınım hareketinin matematiğine çok benzediğinden, bu hareketi dairesel hareketin bir izdüşümü olarak düşünürsek, salınım hareketinin analizi büyük ölçüde basitleşecektir. Başka bir deyişle, tamamen gereksiz bir denklem gibi görünen denklem (21.2)'yi ekleyebiliriz. en ve her iki denklemi birlikte düşünün. Bunu yaptıktan sonra tek boyutlu salınımları harekete indirgemiş oluruz. çevresi etrafında, bu bizi diferansiyel denklemi çözmekten kurtaracak. Yapabileceğiniz başka bir numara da girmek karmaşık sayılar, ancak bunun hakkında daha fazlası bir sonraki bölümde.

§ 4. Başlangıç ​​koşulları

Anlamının ne olduğunu bulalım A ve B veya a ve D. Elbette hareketin nasıl başladığını gösteriyorlar. Hareket küçük bir sapma ile başlarsa bir tür salınım elde ederiz; Yayı biraz esnetip sonra ağırlığa vurursanız durum farklı olacaktır. Kalıcı A Ve İÇİNDE a ve D ya da diğer iki sabit, hareketin başladığı koşullar tarafından belirlenir ya da genellikle söylendiği gibi, başlangıç ​​koşulları. Başlangıç ​​koşullarına göre sabitleri belirlemeyi öğrenmeniz gerekir. Bunun için (21.6)'daki bağıntılardan herhangi biri kullanılabilirse de, en iyisi (21.6c)'yi ele almaktır. Başlangıç ​​anında t=0 ağırlığın denge konumundan şu miktar kadar yer değiştirmesine izin verin: X 0 ve hızı var v 0 . Bu en çok genel durum, hangisi aklına gelirse. (Başlangıç ​​değerini ayarlayamazsınız hızlanma,çünkü yayın özelliklerine bağlıdır; sadece büyüklüğü ortadan kaldırabiliriz X 0 .) Şimdi hesaplayalım A Ve İÇİNDE. Denklemi ile başlayalım

x=Acosw O t+B günah w 0t;

hıza da ihtiyacımız olduğundan farklılaştırıyoruz X ve alıyoruz

v=- w 0 Asin w 0t+ w 0 milyar dolar w 0 ton.

Bu ifadeler herkes için geçerli T, ancak miktarlar hakkında ek bilgimiz var X Ve v t=0'da. Dolayısıyla t=0 olarak ayarlarsak sol tarafa geçmeliyiz X 0 Ve v 0 , çünkü buna dönüşüyorlar X Ve v t=0'da. Üstelik sıfırın kosinüsünün de olduğunu biliyoruz. bire eşit ve sıfırın sinüsü sıfırdır. Buradan,

X 0 =A· 1+V· 0=A

v sen =-w 0 bir 0+ w 0 B 1= w 0 B.

Böylece bu özel durumda

A=x 0 , V=v 0 /w 0 .

bilmek A Ve İÇİNDE, Eğer istersek a ve D'yi bulabiliriz.

Böylece osilatörün hareketi sorunu çözüldü, ancak bir tane var ilginç şey, kontrol edilmesi gerekiyor. Enerjinin korunup korunmadığını bulmamız gerekiyor. Sürtünme kuvveti yoksa enerjinin korunması gerekir. Artık formülleri kullanmak bizim için uygun

x=açünkü( w veya t+D) ve v=-w 0 asin( w 0 t+D).

Kinetik enerjiyi bulalım T ve potansiyel enerji sen. Potansiyel enerji herhangi bir zamanda 1/2'ye eşittir kx 2 , Nerede X - ofset, bir k- yayın elastik sabiti. Onun yerine ikame X yukarıda yazılan ifadeyi buluruz

u= 1 / 2 kx 2 = 1 / 2 ka 2 çünkü 2 ( w 0 t+D).

Elbette potansiyel enerji zamana bağlıdır; her zaman pozitiftir, bu da anlaşılabilir bir durumdur: sonuçta potansiyel enerji yayın enerjisidir ve onunla birlikte değişir. X.Kinetik enerji eşit 1 / 2 mv 2 ; için ifadeyi kullanarak v, aldık

T = 1 / 2 mv 2 = 1 / 2 mw 2 0 A 2 günah 2 (w 0 t+D).

Kinetik enerji maksimumda sıfırdır x, çünkü bu durumda ağırlık durur; ağırlık denge pozisyonunu (x = 0) geçtiğinde kinetik enerji maksimuma ulaşır çünkü bu, ağırlığın en hızlı hareket ettiği zamandır. Bu nedenle kinetik enerjideki değişim, potansiyel enerjideki değişimin tersidir. Toplam enerji sabit olmalıdır. Aslında bunu hatırlarsak k=mw 2 0 , O

T+U= 1 / 2m w 2 0 a 2 = 1/2 rn w 2 0 ve 2.

Enerji genliğin karesine bağlıdır: titreşimin genliğini iki katına çıkarırsanız enerji dört katına çıkar. Ortalama potansiyel enerji maksimumun yarısına ve dolayısıyla toplamın yarısına eşittir; ortalama kinetik enerji de yarıya eşittir toplam enerji.

§ 5. Etki altındaki titreşimler dış kuvvet

Düşünmek bize kalıyor harmonik osilatör salınımları dış gücün etkisi altındadır. Bu durumda hareket denklemle tanımlanır.

MD 2 x/dt 2 =-kx+F(t).(21.8)

Bu koşullar altında ağırlığın nasıl davranacağını düşünelim. Harici itici güç herhangi bir şekilde zamana bağlı olabilir. En basit bağımlılıkla başlayalım. Kuvvetin salındığını varsayalım.

F(t)=F 0 maliyet.(21.9)

dikkat w- bu gerekli değil w 0: değiştirebileceğimizi varsayacağız w kuvvetin farklı frekanslarda etki göstermesine neden olur. Bu nedenle, özel olarak seçilmiş bir kuvvet (21.9) durumunda denklem (21.8)'i çözmemiz gerekir. Çözüm (21.8) ne olacak? Özel çözümlerden biri (genel çözüme daha sonra değineceğiz) şuna benzer:

z=Ccoswt, (21.10)

sabit nerede İLE yine de belirlenmesi gerekiyor. Başka bir deyişle, bu formda bir çözüm bulmaya çalışırken, ağırlığı ileri geri çekersek, sonunda belli bir frekansta ileri geri sallanmaya başlayacağını varsayıyoruz. etkili kuvvet. Durumun böyle olup olamayacağını görelim. (21.10)'u (21.9)'a koyarsak, şunu elde ederiz:

Mw 2 İLE coswt=-mw 2 0 coswt+F 0 coswt. (21.11)

Zaten değiştirdik k mw 2 0'a göre, çünkü iki frekansı karşılaştırmak daha uygundur. Denklem (21.11) her terimin içerdiği kosinüse bölünebilir ve doğru seçilmiş bir değerle olduğundan emin olunabilir. İLE(21.10) ifadesi çözüm olacaktır. Bu değer İLEşöyle olmalı:

Böylece ağırlık T kendisine etki eden kuvvetin frekansı ile salınır, ancak salınımın genliği kuvvetin frekansı ile frekans arasındaki ilişkiye bağlıdır serbest hareket osilatör. Eğer с w 0'a göre çok küçükse, ağırlık kuvvetten sonra hareket eder. Şokların yönünü çok hızlı değiştirirseniz ağırlık, kuvvetin tersi yönde hareket etmeye başlar. Bu, bize miktarın olduğunu söyleyen eşitlikten (21.12) kaynaklanır. İLE w büyükse negatif sahip olmak harmonik osilatörün frekansı w 0 . (Harmonik osilatörün doğal frekansına w 0, uygulanan frekansa ise w diyeceğiz.) yüksek frekans payda çok büyür ve ağırlık pratikte hareket etmez.

Bulduğumuz çözüm yalnızca osilatör ile etki eden kuvvet arasında dengenin zaten kurulduğu durumda geçerlidir; bu, diğer hareketler sona erdikten sonra meydana gelir. Bu ölme hareketlerine denir geçiş kuvvete tepki F(t), ve (21.10) ve (21.12) ile tanımlanan hareket şu şekildedir: denge cevap.

Formül (21.12)'ye daha yakından baktığımızda ilginç bir şeyi fark edeceğiz: eğer co frekansı neredeyse w 0'a eşitse, o zaman İLE sonsuza yaklaşır. Yani kuvveti kendi frekansına “uyum içinde” ayarlarsanız ağırlıktaki sapmalar devasa boyutlara ulaşacaktır. Bir çocuğu salıncakta itmek zorunda kalan herkes bunu bilir. Gözlerinizi kapatıp salıncağı rastgele iterseniz bunu yapmak oldukça zordur. Ancak doğru ritmi bulursak salınımı sallamak kolaydır, ancak ritmi tekrar kaybettiğimizde şoklar salınımı yavaşlatmaya başlayacak ve bu tür çalışmaların pek faydası olmayacaktır.

Co frekansı tam olarak w 0'a eşitse, genlik şöyle olmalıdır: sonsuz, ki bu elbette imkansızdır. Tamamen doğru olmayan bir denklemi çözdüğümüz için hata yaptık. Denklem (21.8)'i oluştururken sürtünme kuvvetini ve diğer birçok kuvveti unuttuk. Bu nedenle genlik hiçbir zaman sonsuza ulaşmayacaktır; Belki bahar çok daha erken kırılır!