રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓની લાક્ષણિકતાઓનું મોડેલિંગ અને સંશોધન. માર્ગ

6.1. સ્ટોચેસ્ટિક મોડલિંગ તકનીક

"રેન્ડમ" ની વિભાવના એ ગણિત અને બંનેમાં સૌથી મૂળભૂત છે રોજિંદા જીવન. મોડેલિંગ રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ- આધુનિકમાં સૌથી શક્તિશાળી દિશા ગાણિતિક મોડેલિંગ.

જો કોઈ ઘટના વિશ્વસનીય રીતે અણધારી હોય તો તેને રેન્ડમ કહેવામાં આવે છે. અવ્યવસ્થિતતા આપણા વિશ્વને ઘેરી લે છે અને મોટે ભાગે ભજવે છે નકારાત્મક ભૂમિકાઆપણા જીવનમાં. જો કે, એવા સંજોગો છે કે જેમાં અવ્યવસ્થિતતા ઉપયોગી થઈ શકે છે.

IN જટિલ ગણતરીઓ, જ્યારે ઇચ્છિત પરિણામ ઘણા પરિબળો, મોડેલો અને માપના પરિણામો પર આધાર રાખે છે, ત્યારે ગણતરીની માત્રા ઘટાડી શકાય છે રેન્ડમ મૂલ્યો નોંધપાત્ર આંકડા. ઉત્ક્રાંતિના સિદ્ધાંત પરથી તે અનુસરે છે કે અવ્યવસ્થિતતા પોતાને રચનાત્મક તરીકે પ્રગટ કરે છે, હકારાત્મક પરિબળ. ખાસ કરીને, કુદરતી પસંદગીએક પ્રકારની અજમાયશ અને ભૂલ પદ્ધતિનો અમલ કરે છે, વિકાસની પ્રક્રિયામાં જીવતંત્રના સૌથી યોગ્ય ગુણધર્મો ધરાવતા વ્યક્તિઓની પસંદગી કરે છે. વધુમાં, અવ્યવસ્થિતતા તેના પરિણામોની બહુવિધતામાં પોતાને પ્રગટ કરે છે, જે બાહ્ય વાતાવરણમાં થતા ફેરફારો પ્રત્યે વસ્તીના પ્રતિભાવમાં સુગમતા પ્રદાન કરે છે.

ઉપરોક્તના આધારે, અજમાયશ અને ભૂલ દ્વારા, રેન્ડમ શોધ દ્વારા ઉકેલ મેળવવા માટેની પદ્ધતિઓના આધારે રેન્ડમનેસ મૂકવાનો અર્થ થાય છે.

ચાલો નોંધ લઈએ કે ઉપર, સિમ્યુલેશન મોડેલિંગનું ઉદાહરણ આપ્યા પછી - રમત "લાઇફ", અમે પહેલેથી જ આવશ્યકપણે સ્ટોકેસ્ટિક મોડલ. આ વિભાગમાં આપણે આવા મોડેલિંગની પદ્ધતિ વિશે વધુ વિગતવાર ચર્ચા કરીશું.

તેથી, કાર્યાત્મક મોડેલમાં કેટલાક ઇનપુટ પરિમાણોના મૂલ્યોને માત્ર સંભવિત અર્થમાં વ્યાખ્યાયિત કરવા દો. આ કિસ્સામાં, મોડેલ સાથે કામ કરવાની શૈલી નોંધપાત્ર રીતે બદલાય છે.

ગંભીર વિચારણા પર, શબ્દો "સંભાવના વિતરણ", "વિશ્વસનીયતા", " આંકડાકીય નમૂના", "રેન્ડમ પ્રક્રિયા", વગેરે.

રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓના કોમ્પ્યુટર ગાણિતિક મોડેલિંગમાં, કોઈ કહેવાતા સેટ વિના કરી શકતું નથી રેન્ડમ નંબરો, આપેલ વિતરણ કાયદાને સંતોષે છે. હકીકતમાં, આ નંબરો કમ્પ્યુટર દ્વારા જનરેટ કરવામાં આવે છે ચોક્કસ અલ્ગોરિધમનો, એટલે કે તેઓ સંપૂર્ણપણે રેન્ડમ નથી, જો માત્ર એટલા માટે કે જ્યારે પ્રોગ્રામ સમાન પરિમાણો સાથે પુનઃપ્રારંભ થાય છે, તો ક્રમ પુનરાવર્તિત થશે; આવી સંખ્યાઓને "સ્યુડો-રેન્ડમ" કહેવામાં આવે છે.

ચાલો પહેલા ચોક્કસ સેગમેન્ટ પર સમાન રીતે વિતરિત સંભવિત સંખ્યાઓની પેઢીને ધ્યાનમાં લઈએ. મોટા ભાગના રેન્ડમ નંબર જનરેટર પ્રોગ્રામ્સ એક ક્રમ બનાવે છે જેમાં આગલા નંબરને શોધવા માટે પહેલાની સંખ્યાનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. પ્રથમ એક પ્રારંભિક મૂલ્ય છે. બધા રેન્ડમ નંબર જનરેટર એવા ક્રમ ઉત્પન્ન કરે છે જે ચોક્કસ સંખ્યાના પદો પછી પુનરાવર્તિત થાય છે, જેને પીરિયડ કહેવાય છે, જે મશીન શબ્દની મર્યાદિત લંબાઈ સાથે સંબંધિત છે. સૌથી સરળ અને સૌથી સામાન્ય પદ્ધતિ એ અવશેષ પદ્ધતિ અથવા રેખીય સુસંગત પદ્ધતિ છે, જેમાં આગામી રેન્ડમ નંબર xn"મેપિંગ" દ્વારા વ્યાખ્યાયિત

જ્યાં a, સાથે, m - કુદરતી સંખ્યાઓ, મોડ - કહેવાતા મોડ્યુલો ડિવિઝન ફંક્શન (એક નંબરને બીજા મોડ્યુલો દ્વારા વિભાજીત કરવાનો બાકીનો ભાગ). સેન્સરનો સૌથી મોટો સંભવિત સમયગાળો (7.69) બરાબર છે ટી;જો કે, તે તેના પર આધાર રાખે છે એઅને સાથે.તે સ્પષ્ટ છે કે શું લાંબો સમયગાળો, વધુ સારું; જો કે, ખરેખર સૌથી મહાન mકમ્પ્યુટરની બીટ ગ્રીડ દ્વારા મર્યાદિત. કોઈપણ કિસ્સામાં, માં વપરાય છે ચોક્કસ કાર્યરેન્ડમ નંબરોનો નમૂનો સમયગાળા કરતા ઓછો હોવો જોઈએ, અન્યથા સમસ્યા ખોટી રીતે હલ થઈ જશે. નોંધ કરો કે જનરેટર સામાન્ય રીતે સંબંધ ઉત્પન્ન કરે છે DIV_ADBLOCK304">

અવ્યવસ્થિતતાનો પ્રશ્ન મર્યાદિત ક્રમસંખ્યાઓ તે પ્રથમ નજરમાં દેખાય છે તેના કરતાં ઘણી જટિલ છે, રેન્ડમનેસના ઘણા આંકડાકીય પરીક્ષણો છે, પરંતુ તે બધા સંપૂર્ણ જવાબ આપતા નથી. આમ, અનુક્રમે જનરેટ થયેલ સ્યુડોરેન્ડમ સંખ્યાઓ સંપૂર્ણ રીતે એકસરખી દેખાતી નથી, પરંતુ જૂથો બનાવવાનું વલણ ધરાવે છે (એટલે ​​​​કે, એકરૂપતા માટેના પરીક્ષણોમાંથી એક ભાગને વિભાજિત કરવાનું છે એમસમાન ભાગો - "બાસ્કેટ", અને અનુરૂપ "બાસ્કેટ" માં દરેક નવી રેન્ડમ નંબર મૂકીને. પરિણામ એ હિસ્ટોગ્રામ છે જેમાં દરેક સ્તંભની ઊંચાઈ "બાસ્કેટ" (ફિગ. 7.54) માં રેન્ડમ નંબરોની સંખ્યાના પ્રમાણમાં હોય છે.

ચોખા. 7.54.પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા નમૂના સાથે સેગમેન્ટ પર સમાનરૂપે વિતરિત સંખ્યાઓ માટે હિસ્ટોગ્રામનું દૃશ્ય

તે સ્પષ્ટ છે કે મોટી સંખ્યામાં પરીક્ષણો સાથે, કૉલમની ઊંચાઈ લગભગ સમાન હોવી જોઈએ. જો કે, આ માપદંડ જરૂરી છે પરંતુ પર્યાપ્ત નથી; ઉદાહરણ તરીકે, તે ખૂબ જ ટૂંકા સમયાંતરે "નોંધ આપતું નથી" ખૂબ માંગ ન કરતા વપરાશકર્તા માટે, મોટાભાગની પ્રોગ્રામિંગ ભાષાઓમાં બનેલ રેન્ડમ નંબર સેન્સર (જનરેટર) ની ક્ષમતાઓ સામાન્ય રીતે પૂરતી હોય છે. તેથી, PASCAL માં રેન્ડમ ફંક્શન છે, જેનાં મૂલ્યો શ્રેણીમાંથી રેન્ડમ નંબરો છે, મનસ્વી અંતરાલમાંથી સંખ્યાઓ મેળવવાનું સરળ છે [ a, b].

X = a + (b - a)∙r.

વધુ જટિલ વિતરણઘણીવાર સમાન વિતરણનો ઉપયોગ કરીને બનાવવામાં આવે છે. અમે અહીં માત્ર એક જ એકદમ સાર્વત્રિક ન્યુમેન પદ્ધતિનો ઉલ્લેખ કરીશું (જેને ઘણીવાર પસંદગી-અસ્વીકાર પદ્ધતિ પણ કહેવાય છે), જે એક સરળ ભૌમિતિક વિચારણા પર આધારિત છે. ચાલો ધારીએ કે કેટલાક સામાન્ય વિતરણ કાર્ય સાથે રેન્ડમ સંખ્યાઓ જનરેટ કરવી જરૂરી છે f(x)અંતરાલ પર [ a, b]. ચાલો હકારાત્મક પરિચય આપીએ ચોક્કસ કાર્યસરખામણીઓ w(x)જેમ કે w(x)= const અને w(x) >f(x)પર [ a, b] (સામાન્ય રીતે w(x)બરાબર મહત્તમ મૂલ્ય f(x)પર [ a, b]). વક્ર હેઠળનો વિસ્તાર હોવાથી f(x)અંતરાલ માટે સમાન [ x, x + ડીએક્સ] હિટ સંભાવના એક્સઆ અંતરાલ દરમિયાન, અજમાયશ અને ભૂલ પ્રક્રિયાને અનુસરી શકાય છે. અમે બે રેન્ડમ સંખ્યાઓ બનાવીએ છીએ જે લંબચોરસમાં સમાન સંભવિત કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરે છે એBCDસમાનરૂપે વિતરિત રેન્ડમ નંબર સેન્સરનો ઉપયોગ કરીને:

x = a + (b - a)∙r, y = w∙r

અને જો બિંદુ M(x, y)વળાંક હેઠળ આવતી નથી f(x), અમે તેને કાઢી નાખીએ છીએ, અને જો તે હિટ કરે છે, તો અમે તેને છોડી દઈએ છીએ (ફિગ. 7.55). આ કિસ્સામાં, કોઓર્ડિનેટ્સનો સમૂહ એક્સબાકીના બિંદુઓ સંભવિત ઘનતા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે f(x).

ચોખા. 7.55.પસંદગી-ઈનકાર પદ્ધતિ. કાર્ય w(x) = fમહત્તમ

આ પદ્ધતિ સંખ્યાબંધ વિતરણો માટે સૌથી અસરકારક નથી, પરંતુ તે સાર્વત્રિક, સરળ અને સમજી શકાય તેવું છે. તે અસરકારક છે જ્યારે સરખામણી કાર્ય ડબલ્યુ(x) ની નજીક f(x). નોંધ લો કે અમને કોઈ લેવા દબાણ કરતું નથી ડબલ્યુ(x)= સમગ્ર અંતરાલ પર const [ a, b]. જો f(x)ઝડપથી "પાંખો" પડી રહી છે, પછી તે લેવાનું વધુ સમજદાર છે ડબલ્યુ(x) એક પગલું કાર્ય તરીકે.

6.2. કતાર સિસ્ટમોમાં રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓનું મોડેલિંગ

કોણ લાઈનમાં ઊભું નથી અને અધીરાઈથી વિચાર્યું છે કે શું તે તેની પાસે ઉપલબ્ધ સમયમાં ખરીદી કરી શકશે (અથવા ભાડું ચૂકવી શકશે, કેરોયુઝલ ચલાવી શકશે વગેરે)? અથવા, હેલ્પલાઈન પર કૉલ કરવાનો પ્રયાસ કરીને અને ઘણી વખત ટૂંકી બીપ વાગવાથી, તમે ગભરાઈ જાઓ છો અને મૂલ્યાંકન કરો છો કે હું પસાર થઈ શકું છું કે નહીં? આવી "સરળ" સમસ્યાઓમાંથી, 20 મી સદીની શરૂઆતમાં, ખૂબ જ મુશ્કેલ વિજ્ઞાન- સિદ્ધાંત કતાર, સંભાવના સિદ્ધાંત અને ગાણિતિક આંકડાઓના ઉપકરણનો ઉપયોગ કરીને, વિભેદક સમીકરણો અને સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ. તેના સ્થાપક ડેનિશ વૈજ્ઞાનિક હતા જેમણે ટેલિફોન એક્સચેન્જની કામગીરીની સમસ્યાઓનો અભ્યાસ કર્યો હતો.

ત્યાર બાદ તે બહાર આવ્યું છે નવું વિજ્ઞાનઅર્થતંત્ર અને લશ્કરી બાબતોમાં અસંખ્ય આઉટલેટ્સ છે. ઉત્પાદન સંસ્થા, જીવવિજ્ઞાન અને ઇકોલોજી; તેના પર ડઝનબંધ પુસ્તકો અને હજારો મેગેઝિન લેખો લખાયા છે.

કતાર સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે કમ્પ્યુટર મોડેલિંગ. આંકડાકીય પરીક્ષણોની પદ્ધતિ (મોન્ટે કાર્લો પદ્ધતિ) ના સ્વરૂપમાં અમલમાં મૂકવામાં આવે છે, જો કે તે કતારના સિદ્ધાંતમાં મુખ્ય નથી, પરંતુ તેમાં ભૂમિકા ભજવે છે. મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા. તેમાં મુખ્ય લાઇન વિશ્લેષણાત્મક પરિણામો મેળવવાની છે, એટલે કે, સૂત્રો દ્વારા પ્રસ્તુત. જો કે, શક્યતાઓ વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિઓખૂબ જ મર્યાદિત છે, જ્યારે આંકડાકીય પરીક્ષણની પદ્ધતિ સાર્વત્રિક છે અને સમજવા માટે ખૂબ જ સરળ છે (ઓછામાં ઓછું એવું લાગે છે).

લાક્ષણિક કાર્ય: એક "વિક્રેતા" માટે કતાર. ચાલો સૌથી સરળ સમસ્યાઓમાંથી એકને ધ્યાનમાં લઈએ આ વર્ગના. એક વિક્રેતા સાથે એક સ્ટોર છે, જેમાં ગ્રાહકો રેન્ડમલી દાખલ થાય છે. જો વેચનાર મફત છે, તો તે તરત જ ખરીદનારને સેવા આપવાનું શરૂ કરે છે, જો ત્યાં ઘણા ખરીદદારો હોય, તો એક કતાર રચાય છે.

અહીં સમાન કાર્યો છે:

મોટર વાહનના કાફલામાં સમારકામ વિસ્તાર અને બસો કે જે ભંગાણને કારણે લાઇન છોડી દીધી છે;

ઈમરજન્સી રૂમ અને ઈજાના કારણે એપોઈન્ટમેન્ટ માટે આવેલા દર્દીઓ (એટલે ​​કે એપોઈન્ટમેન્ટ સિસ્ટમ વગર);

એક પ્રવેશદ્વાર (અથવા એક ટેલિફોન ઓપરેટર) સાથેનું ટેલિફોન એક્સચેન્જ અને પ્રવેશદ્વાર વ્યસ્ત હોય ત્યારે કતારમાં ઊભા રહેતા સબ્સ્ક્રાઇબર્સ (આવી સિસ્ટમ ક્યારેક પ્રેક્ટિસ કરવામાં આવે છે);

સર્વર સ્થાનિક નેટવર્કઅને કાર્યસ્થળ પર વ્યક્તિગત કમ્પ્યુટર કે જે એક સમયે એક કરતાં વધુ સંદેશ પ્રાપ્ત કરવા અને પ્રક્રિયા કરવા સક્ષમ સર્વરને સંદેશ મોકલે છે.

સ્પષ્ટતા માટે, અમે સ્ટોર, ગ્રાહકો અને વિક્રેતા વિશે વાત કરીશું. ચાલો આપણે અહીં ઊભી થતી સમસ્યાઓનો વિચાર કરીએ જે લાયક છે ગાણિતિક સંશોધનઅને, જેમ તે તારણ આપે છે, ખૂબ ગંભીર.

તેથી, આ સમસ્યાનું ઇનપુટ એ સ્ટોર પર આવતા ગ્રાહકોની રેન્ડમ પ્રક્રિયા છે. તે "માર્કોવિયન" છે, એટલે કે ખરીદદારોની કોઈપણ સળંગ જોડીના આગમન વચ્ચેના અંતરાલ એ અમુક કાયદા અનુસાર વિતરિત સ્વતંત્ર રેન્ડમ ઘટનાઓ છે. આ કાયદાની વાસ્તવિક પ્રકૃતિ અસંખ્ય અવલોકનો દ્વારા જ સ્થાપિત કરી શકાય છે; સૌથી સરળ મોડેલ પ્રોબેબિલિટી ડેન્સિટી ફંક્શન તરીકે, અમે 0 થી કેટલાક સમયની રેન્જમાં સમાન સંભવ વિતરણ લઈ શકીએ છીએ. ટી -સતત બે ગ્રાહકોના આગમન વચ્ચેનો મહત્તમ સંભવિત અંતરાલ. આ વિતરણ સાથે, બે ગ્રાહકોના આગમન વચ્ચે 1 મિનિટ, 3 મિનિટ અથવા 8 મિનિટ પસાર થવાની સંભાવના સમાન છે (જો ટી > 8).

ચાલો સ્થિર સામાન્ય અને માર્કોવ રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓના મોડેલિંગ માટે એલ્ગોરિધમ્સને ધ્યાનમાં લઈએ. આ પ્રક્રિયાઓનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે ગાણિતિક મોડેલોજટિલમાં બનતી વિવિધ પ્રકારની વાસ્તવિક પ્રક્રિયાઓ તકનીકી સિસ્ટમો. નીચે અમે સહસંબંધના માળખામાં અપનાવવામાં આવેલી કેટલીક આવશ્યક વ્યાખ્યાઓ અને વિભાવનાઓ રજૂ કરીએ છીએ સ્પેક્ટ્રલ સિદ્ધાંતોરેન્ડમ કાર્યો.

રેન્ડમ કાર્યબિન-રેન્ડમ દલીલ t નું કાર્ય કહેવાય છે, જે દલીલના દરેક નિશ્ચિત મૂલ્ય માટે રેન્ડમ ચલ છે. રેન્ડમ કાર્ય સમયકહેવાય છે રેન્ડમ પ્રક્રિયા. રેન્ડમ કાર્ય સંકલનઅવકાશના બિંદુઓ કહેવામાં આવે છે રેન્ડમ ક્ષેત્ર. ચોક્કસ દૃશ્ય, અનુભવના પરિણામે રેન્ડમ પ્રક્રિયા દ્વારા સ્વીકારવામાં આવે છે, તેને રેન્ડમ પ્રક્રિયાની અનુભૂતિ (પથ) કહેવામાં આવે છે. અવ્યવસ્થિત પ્રક્રિયાની તમામ પ્રાપ્ત અનુભૂતિઓ અનુભૂતિઓનું જોડાણ બનાવે છે. ચોક્કસ સમયે અનુભૂતિના મૂલ્યો (સમય વિભાગો) ને રેન્ડમ પ્રક્રિયાના ત્વરિત મૂલ્યો કહેવામાં આવે છે.

ચાલો નીચે આપેલ સંકેતો રજૂ કરીએ: X(t) - રેન્ડમ પ્રક્રિયા; x i (t) - પ્રક્રિયા X(t) નું i-th અમલીકરણ; x i (t j) - પ્રક્રિયા X(t)નું તાત્કાલિક મૂલ્ય, સમયની j-મી ક્ષણે i-th અમલીકરણને અનુરૂપ. t j સમયની એક જ ક્ષણે વિવિધ અમલીકરણના મૂલ્યોને અનુરૂપ તાત્કાલિક મૂલ્યોના સમૂહને X(t) પ્રક્રિયાનો j-th ક્રમ કહેવામાં આવશે અને x(t j) દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવશે. ઉપરથી તે અનુસરે છે કે રેન્ડમ પ્રક્રિયાની દલીલો સમય અને અમલીકરણ નંબર હોઈ શકે છે. આ સંદર્ભમાં, રેન્ડમ પ્રક્રિયાના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરવા માટેના બે અભિગમો કાયદેસર છે: પ્રથમ અમલીકરણના સમૂહના વિશ્લેષણ પર આધારિત છે, બીજો ક્રમના સમૂહ - સમય વિભાગો સાથે કાર્ય કરે છે. સમયસર રેન્ડમ પ્રક્રિયાની સંભવિત લાક્ષણિકતાઓના મૂલ્યોની અવલંબનની હાજરી અથવા ગેરહાજરી અથવા અમલીકરણની સંખ્યા નક્કી કરે છે કે મૂળભૂત ગુણધર્મોપ્રક્રિયા, જેમ કે સ્થિરતા અને એર્ગોડિસિટી. સ્થિરપ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે સંભવિત લાક્ષણિકતાઓજે સમય પર નિર્ભર નથી. એર્ગોડિકએક એવી પ્રક્રિયા છે જેની સંભવિત લાક્ષણિકતાઓ અમલીકરણ નંબર પર આધારિત નથી.

રેન્ડમ પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે સામાન્ય(અથવા ગૌસીયન) પ્રક્રિયા, જો એક-પરિમાણીય અને દ્વિ-પરિમાણીય કાયદાતેના કોઈપણ વિભાગોનું વિતરણ સામાન્ય છે. સામાન્ય રેન્ડમ પ્રક્રિયાની વ્યાપક લાક્ષણિકતાઓ તેની છે ગાણિતિક અપેક્ષાઅને સહસંબંધ કાર્ય. સ્થિર સામાન્ય રેન્ડમ પ્રક્રિયા માટે, MOF સ્થિર હોય છે, અને સહસંબંધ કાર્ય ફક્ત સમયની ક્ષણો વચ્ચેના તફાવત પર આધાર રાખે છે કે જેના માટે રેન્ડમ પ્રક્રિયાના ઓર્ડિનેટ લેવામાં આવે છે ( =t 2 -t 1). સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયા માટે, જો t 2 સમયે તેની ગાણિતિક અપેક્ષા m x થી રેન્ડમ પ્રક્રિયા X(t 2) ના ઓર્ડિનેટનું વિચલન પૂરતું મોટું હોય, તો તે t 1 સમયે આ વિચલનના મૂલ્યથી વ્યવહારીક રીતે સ્વતંત્ર બને છે. આ કિસ્સામાં, સહસંબંધ કાર્ય K(t), જે X(t 2) અને X(t 1) વચ્ચેના જોડાણની ક્ષણનું મૂલ્ય આપે છે, તે શૂન્ય તરફ વળશે. તેથી, કે ફોર્મનું કાર્ય (ફિગ. 2.2.), એક નિયમ તરીકે, અભિવ્યક્તિઓ દ્વારા અંદાજિત છે:

(2.38)

અને ફોર્મનું કાર્ય (ફિગ. 2.3.) - અભિવ્યક્તિઓ સાથે:

ફિગ.2.2. ફિગ.2.3.

સમયસર સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયાની સ્થિરતા અમને દલીલ - સમય - ને કેટલાક સહાયક ચલ સાથે બદલવાની મંજૂરી આપે છે, જે ઘણી એપ્લિકેશનોમાં આવર્તનનું પરિમાણ ધરાવે છે. આ રિપ્લેસમેન્ટ તમને ગણતરીઓને નોંધપાત્ર રીતે સરળ બનાવવા અને પરિણામોની વધુ સ્પષ્ટતા પ્રાપ્ત કરવાની મંજૂરી આપે છે. પરિણામી કાર્ય (S()) કહેવાય છે સ્પેક્ટ્રલ ઘનતાસ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયા છે અને પરસ્પર સહસંબંધ કાર્ય સાથે સંબંધિત છે વ્યસ્ત પરિવર્તનોફોરિયર:

(2.42)

(2.43)

સ્પેક્ટ્રલ ઘનતાના અન્ય સામાન્યીકરણો છે, ઉદાહરણ તરીકે:

(2.44)

ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ્સના આધારે, તે મેળવવાનું સરળ છે, ઉદાહરણ તરીકે, ફોર્મ (2.38) ના K(t) સાથેની રેન્ડમ પ્રક્રિયા માટે:

(2.45)

સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયા, જેની વર્ણપટની ઘનતા સ્થિર છે (S(w)=S=const), તેને સ્થિર કહેવામાં આવે છે. સફેદ અવાજ. સ્થિર સફેદ અવાજનું સહસંબંધ કાર્ય બધા માટે શૂન્ય જેટલું છે, જેનો અર્થ છે કે તેના કોઈપણ બે વિભાગો અસંબંધિત છે.

સ્થિર સામાન્ય રેન્ડમ પ્રક્રિયા (SNSP) નું મોડેલિંગ કરવાની સમસ્યાને એલ્ગોરિધમ શોધવાની સમસ્યા તરીકે ઘડી શકાય છે જે કમ્પ્યુટર પર આ પ્રક્રિયાના સ્વતંત્ર અમલીકરણને પ્રાપ્ત કરવાનું શક્ય બનાવે છે. પ્રક્રિયા X(t) ને અનુરૂપ પ્રક્રિયા X(nDt) દ્વારા અલગ સમય t n = nDt (Dt એ પ્રક્રિયાના નમૂના લેવાનું પગલું છે, n એ પૂર્ણાંક દલીલ છે) સાથે આપેલ ચોકસાઈ સાથે બદલવામાં આવે છે. પરિણામે, રેન્ડમ પ્રક્રિયા x(t) રેન્ડમ સિક્વન્સ સાથે સંકળાયેલ હશે:

x k [n] = x k (nDt), (2.46)

જ્યાં k અમલીકરણ નંબર છે.

દેખીતી રીતે, રેન્ડમ સિક્વન્સ x(nDt) ના મનસ્વી સભ્યને તેની સંખ્યાના રેન્ડમ ફંક્શન તરીકે ગણી શકાય, એટલે કે. પૂર્ણાંક દલીલ n અને, આમ, Dt ને વિચારણામાંથી બાકાત રાખો, જે લખતી વખતે ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે (2.46). વધુમાં, પૂર્ણાંક દલીલને સતત બદલાતી એકથી અલગ પાડવા માટે, તે ચોરસ કૌંસમાં બંધ છે.

રેન્ડમ સિક્વન્સને ઘણીવાર અલગ રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ અથવા સમય શ્રેણી કહેવામાં આવે છે.

માં ઉમેરી રહ્યા હોવાનું જાણવા મળે છે રેન્ડમ કાર્યબિન-રેન્ડમ ચલ સહસંબંધ કાર્યના મૂલ્યમાં ફેરફાર કરતું નથી. તેથી, વ્યવહારમાં, કેન્દ્રિત રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ ઘણી વાર મોડેલ કરવામાં આવે છે (એમઓઆર શૂન્યની બરાબર છે), જેમાંથી રેન્ડમ પ્રક્રિયાનું અનુકરણ કરતી રેન્ડમ સિક્વન્સના સભ્યોમાં એમઓઆર ઉમેરીને વ્યક્તિ હંમેશા વાસ્તવિક પર જઈ શકે છે.

રેન્ડમ સિક્વન્સ માટે, સહસંબંધ કાર્ય અને વર્ણપટની ઘનતા નિર્ભરતામાંથી ગણવામાં આવે છે:

(2.47)

(2.48)

રેન્ડમ પ્રક્રિયાને રેન્ડમ સિક્વન્સમાં ઘટાડવાનો અર્થ એ છે કે તેને બહુપરિમાણીય વેક્ટરથી બદલવું. તેથી, રેન્ડમ વેક્ટરના મોડેલિંગની માનવામાં આવતી પદ્ધતિ, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, મર્યાદિત સમય અંતરાલ પર નિર્દિષ્ટ રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓના મોડેલિંગ માટે યોગ્ય છે. જો કે, સ્થિર સામાન્ય રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ માટે ત્યાં વધુ છે અસરકારક પદ્ધતિઓમોડેલિંગ એલ્ગોરિધમ્સનું નિર્માણ. ચાલો બે પદ્ધતિઓનો વિચાર કરીએ જે વ્યવહારમાં સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાય છે.

મોડલિંગ રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ આધુનિક ગાણિતિક મોડેલિંગમાં સૌથી શક્તિશાળી દિશા છે.

જો કોઈ ઘટના વિશ્વસનીય રીતે અણધારી હોય તો તેને રેન્ડમ કહેવામાં આવે છે. અવ્યવસ્થિતતા આપણા વિશ્વને ઘેરી લે છે અને મોટાભાગે આપણા જીવનમાં નકારાત્મક ભૂમિકા ભજવે છે. જો કે, એવા સંજોગો છે કે જેમાં અવ્યવસ્થિતતા ઉપયોગી થઈ શકે છે. જટિલ ગણતરીઓમાં, જ્યાં ઇચ્છિત પરિણામ ઘણા પરિબળો, મોડેલો અને માપના પરિણામો પર આધારિત હોય છે, ત્યાં નોંધપાત્ર આંકડાઓના રેન્ડમ મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીને ગણતરીની માત્રામાં ઘટાડો કરવો શક્ય છે.

સંભવિત મોડેલિંગમાં, વિવિધ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે જેમાંથી સમસ્યાઓ હલ કરવાની મંજૂરી આપે છે વિવિધ વિસ્તારો. સંભવિત પદ્ધતિઓના ઉપયોગના ક્ષેત્રો નીચે સૂચિબદ્ધ છે.

આંકડાકીય મોડેલિંગની પદ્ધતિ: ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રની સીમા મૂલ્યની સમસ્યાઓનું નિરાકરણ, રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની પ્રણાલીઓનું નિરાકરણ, મેટ્રિક્સ વ્યુત્ક્રમ અને ગ્રીડ પદ્ધતિઓ જે તેમને ઘટાડે છે તેને ઉકેલવા માટે વિભેદક સમીકરણો, બહુવિધ પૂર્ણાંકોની ગણતરી, અભિન્ન સમીકરણોનું સમાધાન, સમસ્યાઓ પરમાણુ ભૌતિકશાસ્ત્ર, ગેસ ડાયનેમિક્સ, ફિલ્ટરેશન, હીટ એન્જિનિયરિંગ.

સિમ્યુલેશન મોડેલિંગ પદ્ધતિ: ક્યુઇંગ સિસ્ટમ્સનું મોડેલિંગ, સ્વચાલિત નિયંત્રણ સિસ્ટમ્સના કાર્યો, સ્વચાલિત નિયંત્રણ સિસ્ટમ્સ અને પ્રક્રિયા નિયંત્રણ સિસ્ટમ્સ, માહિતી સુરક્ષાની સમસ્યાઓ, જટિલ રમત પરિસ્થિતિઓ અને ગતિશીલ સિસ્ટમ્સનું મોડેલિંગ.

સ્ટોકેસ્ટિક અંદાજિત પદ્ધતિ: આંકડાકીય અંદાજ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે રિકરન્ટ અલ્ગોરિધમ્સ.

રેન્ડમ શોધ પદ્ધતિ: સિસ્ટમના ઑપ્ટિમાઇઝેશનની સમસ્યાઓનું નિરાકરણ તેના આધારે મોટી સંખ્યામાંપરિમાણો, મોટી સંખ્યામાં ચલોના ફંક્શનની સીમા શોધવી.

અન્ય પદ્ધતિઓ: પેટર્નની ઓળખની સંભવિત પદ્ધતિઓ, અનુકૂલનનાં નમૂનાઓ, તાલીમ અને સ્વ-શિક્ષણ.

રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓના કોમ્પ્યુટર ગાણિતિક મોડેલિંગમાં, કોઈ કહેવાતા રેન્ડમ નંબરોના સેટ વિના કરી શકતું નથી જે આપેલ વિતરણ કાયદાને સંતોષે છે. વાસ્તવમાં, આ નંબરો કમ્પ્યુટર દ્વારા ચોક્કસ અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને જનરેટ કરવામાં આવે છે, એટલે કે. તેઓ સંપૂર્ણપણે રેન્ડમ નથી, જો માત્ર એટલા માટે કે જ્યારે પ્રોગ્રામ સમાન પરિમાણો સાથે પુનઃપ્રારંભ થાય છે, તો ક્રમ પુનરાવર્તિત થશે; આવી સંખ્યાઓને "સ્યુડોરેન્ડમ" કહેવામાં આવે છે.

ખૂબ માંગ ન કરતા વપરાશકર્તા માટે, મોટાભાગની પ્રોગ્રામિંગ ભાષાઓમાં બનેલ રેન્ડમ નંબર સેન્સર (જનરેટર) ની ક્ષમતાઓ સામાન્ય રીતે પૂરતી હોય છે. તેથી, પાસ્કલ ભાષામાં એક રેન્ડમ ફંક્શન છે, જેનાં મૂલ્યો શ્રેણીમાંથી રેન્ડમ નંબરો છે. તેનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે રેન્ડમાઇઝ પ્રક્રિયાના ઉપયોગ દ્વારા કરવામાં આવે છે, જે શરૂઆતમાં સેન્સરને "સેટઅપ" કરવા માટે સેવા આપે છે, એટલે કે. સેન્સર પરના દરેક કોલ માટે રેન્ડમ નંબરોની વિવિધ શ્રેણીઓ પ્રાપ્ત કરવી. સમસ્યાઓ માટે કે જેના ઉકેલ માટે ખૂબ લાંબા અસંબંધિત ક્રમની જરૂર હોય છે, તે મુદ્દો વધુ જટિલ બને છે અને તેને બિન-માનકની જરૂર હોય છે.

1. પ્રોડક્શન સિસ્ટમ્સના સિમ્યુલેશન મોડેલિંગની સુવિધાઓ

ખૂબ જ જટિલ, વૈવિધ્યસભર, સંપૂર્ણ ગાણિતિક વર્ણન ધરાવતી ઉત્પાદન પ્રણાલીઓનું વિશ્લેષણ કરવા માટે, તેમજ ડિઝાઇન, અમલીકરણ અને વિકાસના સંખ્યાબંધ તબક્કાઓમાંથી પસાર થવા માટે, પર્યાપ્ત ગાણિતિક મોડલ બનાવવાનું શક્ય નથી, પછી ભલે તે તાર્કિક હોય કે સંખ્યાત્મક હોય. અહીં સિમ્યુલેશન મોડેલિંગ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવો સ્વાભાવિક છે.

દરેક ચોક્કસ રાજ્યની લાક્ષણિકતા ઉત્પાદન પરિમાણોના મૂલ્યોના સમૂહ દ્વારા સિસ્ટમને સ્પષ્ટપણે વર્ણવી શકાય છે. જો આ મૂલ્યો કમ્પ્યુટરમાં દાખલ કરવામાં આવે છે, તો પછી ગણતરીની પ્રક્રિયા દરમિયાન તેમના ફેરફારોને એક રાજ્યથી બીજા રાજ્યમાં સિસ્ટમના સંક્રમણના અનુકરણ તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે. આવી ધારણાઓ હેઠળ સિમ્યુલેશનસિસ્ટમને તેના લાક્ષણિક ઓપરેટિંગ નિયમો અનુસાર એક રાજ્યમાંથી બીજા રાજ્યમાં ખસેડીને તેની ગતિશીલ રજૂઆત તરીકે ગણી શકાય.

ઉત્પાદન પ્રણાલીઓનું અનુકરણ કરતી વખતે, તેમની સ્થિતિમાં ફેરફારો સમયની અલગ ક્ષણો પર થાય છે. આ કિસ્સામાં સિસ્ટમ સિમ્યુલેશનનો મુખ્ય ખ્યાલ સમય જતાં તેની સ્થિતિમાં ફેરફારો પ્રદર્શિત કરવાનો છે. આમ, અહીં નિર્ણાયક પરિબળ એ મોડેલ કરેલ સિસ્ટમના રાજ્યોની ઓળખ અને અસ્પષ્ટ વર્ણન છે.

સિમ્યુલેશન મોડલ, કોઈપણ વિશ્લેષણાત્મક અથવા અન્ય કાર્યાત્મક અવલંબનનો ઉપયોગ કર્યા વિના, વિજાતીય તત્વો ધરાવતા જટિલ પદાર્થોને પ્રદર્શિત કરવાની મંજૂરી આપે છે જેની વચ્ચે વિવિધ જોડાણો છે. આ મોડલ્સમાં માણસોનો પણ સમાવેશ કરી શકાય છે.

મૂળભૂત ગૂંચવણો વિના, આવા મોડેલોમાં નિર્ધારિત અને સ્ટોકેસ્ટિક પ્રવાહ (સામગ્રી અને માહિતી) બંનેનો સમાવેશ થઈ શકે છે. સિમ્યુલેશનનો ઉપયોગ કરીને, તમે વર્ક સ્ટેશન, સામગ્રી અને ઉત્પાદન પ્રવાહ, વાહનો અને કર્મચારીઓ વચ્ચેના સંબંધો પ્રદર્શિત કરી શકો છો.

આવા સ્પષ્ટ ફાયદાઓ હોવા છતાં, મુખ્યત્વે એપ્લિકેશનની પહોળાઈ અને વૈવિધ્યતામાં સમાવિષ્ટ, આ પદ્ધતિ તાર્કિક જોડાણોના અસ્તિત્વની દૃષ્ટિ ગુમાવે છે, જે આ મોડેલનો ઉપયોગ કરીને મેળવેલા ઉકેલોના સંપૂર્ણ ઑપ્ટિમાઇઝેશનની શક્યતાને બાકાત રાખે છે. જોવાયેલા વિકલ્પોમાંથી શ્રેષ્ઠ પસંદ કરવાની માત્ર શક્યતાની ખાતરી આપવામાં આવે છે.

વ્યવહારમાં, ઘણા વાસ્તવિક કેસોમાં સિમ્યુલેશન મોડેલિંગ એ સંશોધનની એકમાત્ર સંભવિત પદ્ધતિ છે. સિમ્યુલેશન મોડેલ વિકસાવ્યા પછી, તેના પર કમ્પ્યુટર પ્રયોગો હાથ ધરવામાં આવે છે, જે ઉત્પાદન પ્રણાલીની વર્તણૂક વિશે નિષ્કર્ષ દોરવાની મંજૂરી આપે છે.

આંકડાકીય પરીક્ષણ પદ્ધતિના વિકાસના પરિણામે કમ્પ્યુટર સિમ્યુલેશન મોડેલિંગ પદ્ધતિઓનો ઉદભવ અને વિકાસ પણ શક્ય બન્યો, જેણે વાસ્તવિક ઉત્પાદનમાં મોટું સ્થાન ધરાવતા રેન્ડમ ઇવેન્ટ્સ અને પ્રક્રિયાઓનું અનુકરણ કરવાનું શક્ય બનાવ્યું.

જ્યારે સિમ્યુલેશન મોડલનું સંકલન કરવામાં આવે છે અને અભ્યાસ હેઠળના ઑબ્જેક્ટને મોડલ કરવા માટે તેનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, ત્યારે ઘણી આંતરસંબંધિત સમસ્યાઓ હલ કરવી જરૂરી છે. આમાં શામેલ છે:

સિમ્યુલેટેડ સિસ્ટમનું વિશ્લેષણ અને તેના ઔપચારિક વર્ણનની તૈયારી, જેમાં માહિતીની ઓળખ અને સિસ્ટમની તાર્કિક રચના, તેના ઘટકોની ઓળખ, આ ઘટકોની સ્થિતિને દર્શાવતા પરિમાણોની પસંદગી, વિકાસ કમ્પ્યુટર મોડેલતેની વર્તણૂકને પુનઃઉત્પાદિત કરવામાં સક્ષમ સિસ્ટમ, કોમ્પ્યુટર મોડેલમાં ઇવેન્ટ્સ પ્રગટ કરવા માટે એક પ્રયોગનું આયોજન કરે છે જે સિમ્યુલેટેડ સિસ્ટમમાં ઘટનાઓને પ્રતિબિંબિત કરે છે;

કમ્પ્યુટર આંકડાકીય પ્રયોગો માટેની પદ્ધતિનો વિકાસ, જેમાં રેન્ડમ અથવા સ્યુડો-રેન્ડમ નંબરો, વિવિધ રેન્ડમ ઘટનાઓનું સિમ્યુલેશન, આંકડાકીય ડેટા પ્રોસેસિંગનો સમાવેશ થાય છે;

સિમ્યુલેશન મોડલ પર વાસ્તવિક કોમ્પ્યુટર પ્રયોગ હાથ ધરવો, જેમાં કોમ્પ્યુટર પર અભ્યાસ દરમિયાન મોડેલના પરિમાણો અને ચલોનું સંચાલન કરવું.

ઉપર વર્ણવ્યા હતા વિવિધ પદ્ધતિઓરેન્ડમ પ્રક્રિયાઓનું મોડેલિંગ, જ્યાં મુદ્દાની મૂળભૂત બાજુ મુખ્યત્વે ધ્યાનમાં લેવામાં આવી હતી. આ વિભાગ સામાન્ય પ્રકારના સહસંબંધ કાર્યો સાથે સ્થિર સામાન્ય પ્રક્રિયાઓને મોડેલ કરવા માટે આ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવાના પરિણામો રજૂ કરે છે. તે જ સમયે, જરૂરી બધું કરવામાં આવ્યું છે પ્રારંભિક કાર્યઅને સીધા ઉપયોગ માટે યોગ્ય સરળ મોડેલિંગ અલ્ગોરિધમ્સ મેળવવામાં આવ્યા હતા. વધુમાં, ઉદાહરણો આપવામાં આવે છે વ્યવહારુ અમલીકરણમોડેલિંગ અલ્ગોરિધમ્સ.

કોષ્ટકમાં 2.2 સિમ્યુલેટેડ પ્રક્રિયાઓના સહસંબંધ કાર્યો અને ઊર્જા સ્પેક્ટ્રાના પ્રકારો અને અનુરૂપ અલ્ગોરિધમ્સ આપવામાં આવ્યા છે. જરૂરી ખુલાસાઓ નીચે આપેલ છે.

કોષ્ટક 2.2.

કોષ્ટક 2.2 નું ચાલુ રાખવું.

કોષ્ટક 2.2 નું ચાલુ રાખવું.

કોષ્ટક 2.2 નું ચાલુ રાખવું.

સાથે સ્થિર સામાન્ય સતત રેન્ડમ પ્રક્રિયા આપેલ છે સહસંબંધ કાર્યડિજિટલ કમ્પ્યુટર પર સમય સાથે સંબંધિત તેના મૂલ્યોના એક અલગ ક્રમ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે, જ્યાં નમૂનાનું પગલું છે અને પૂર્ણાંક દલીલ છે. અહીં ચર્ચા કરાયેલા તમામ અલ્ગોરિધમ્સ ડિજિટલ કમ્પ્યુટર પર સિમ્યુલેટેડ રેન્ડમ પ્રક્રિયાના અલગ, સમય-અમર્યાદિત અમલીકરણ મેળવવા માટે રચાયેલ છે. આ તમામ અલ્ગોરિધમ્સ પેરામીટર્સ (0, 1) સાથે સ્વતંત્ર સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ નંબરોના ક્રમને રૂપાંતરિત કરવાના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે. સફેદ અવાજ) કાયદા અનુસાર સહસંબંધિત અનુક્રમમાં

કોરિલેશન ફંક્શન્સ સાથેની રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ, જે નંબર 1-5 હેઠળ કોષ્ટકમાં મૂકવામાં આવી છે, તે તર્કસંગત વર્ણપટની ઘનતા સાથેની રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓના વર્ગની છે. આવી પ્રક્રિયાઓને મોડલ કરવા માટે, તફાવત સમીકરણો (§ 2.3) નો ઉપયોગ કરવો એ સૌથી અનુકૂળ છે, જે એલ્ગોરિધમ્સ તરફ દોરી જાય છે જેમાં પદ્ધતિસરની ભૂલો નથી અને તે સરળ પુનરાવૃત્તિ સંબંધોમાં ઘટાડો થાય છે. આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને અલ્ગોરિધમ નંબર 1-5 મેળવવામાં આવે છે.

ઘાતાંકીય અને ઘાતાંકીય-કોસાઇન સહસંબંધ કાર્યો સાથે મોડેલિંગ પ્રક્રિયાઓ માટે અલ્ગોરિધમ્સ નંબર 1 અને 2 ની પહેલેથી જ § 2.3 માં ચર્ચા કરવામાં આવી છે અને તેને સમજૂતીની જરૂર નથી.

અલ્ગોરિધમ્સ નંબર 2-5 સમાન છે અને માત્ર પરિમાણોના મૂલ્યોમાં જ ભિન્ન છે, જેનું નિર્ધારણ દરેક ચોક્કસ કિસ્સામાં કોષ્ટકમાં આપેલા સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને ગણતરીમાં આવે છે. 2.2. એલ્ગોરિધમ્સ નંબર 3-5 માં રિકરન્ટ ફોર્મ્યુલાના પરિમાણોની ગણતરી માટે અભિવ્યક્તિઓ મેળવતી વખતે, ઘાતાંકીય-કોસાઇન સહસંબંધ કાર્યના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને § 2.3 માં ચર્ચા કરાયેલ પરિવર્તનોનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો: દરેક પ્રકારના સહસંબંધ કાર્ય માટે અનુક્રમની સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા હતી. (2.51) અનુસાર લખાયેલ, બંને દિશામાં અનુરૂપ અનંત શ્રેણીનો સરવાળો એકતરફી કોષ્ટકો અનુસાર હાથ ધરવામાં આવ્યો હતો. સ્વતંત્ર પરિવર્તનોલેપ્લેસ, અને પરિણામી અપૂર્ણાંક તર્કસંગતના અંશનું અવયવીકરણ સ્પેક્ટ્રલ કાર્યોબહુપદીને ફેક્ટર કરીને હાથ ધરવામાં આવ્યું હતું (બહુપદીનો ક્રમ બીજા કરતા વધારે ન હતો) અને પછી અભિવ્યક્તિ (2.61) અને (2.62) અનુસાર બહુપદીના મૂળનો ઉપયોગ કરીને. વર્ણપટના વિધેયોના છેદ આપમેળે પરિબળ બન્યા હતા.

રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ નંબર 6-8નું અનુકરણ કરવા માટે, જે તર્કસંગત સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા સાથે પ્રક્રિયાઓના વર્ગ સાથે સંબંધિત નથી, સ્લાઇડિંગ સમેશન પદ્ધતિનો ઉપયોગ સૌથી વધુ અસરકારક તરીકે કરવામાં આવ્યો હતો. આ કિસ્સામાં.

અલ્ગોરિધમ્સ નંબર 6-8 મુજબ, ક્રમ વજન સાથે ક્રમના સરવાળા સરવાળોની પદ્ધતિ દ્વારા મેળવવામાં આવે છે. સૂત્ર (2.12) નો ઉપયોગ કરીને પ્રક્રિયાઓના ઉર્જા સ્પેક્ટ્રાને એકીકૃત કરીને ભારાંક ગુણાંક માટે અભિવ્યક્તિઓ મેળવવામાં આવી હતી. એવું માનવામાં આવતું હતું કે રેન્ડમ પ્રક્રિયા નંબર 6 [બેન્ડમાં સ્પેક્ટ્રમ યુનિફોર્મ સાથેની પ્રક્રિયા] માટે નમૂનાની આવર્તન અને . પ્રક્રિયાઓ નંબર 7, 8 વિશે, એવું માનવામાં આવતું હતું કે નમૂનાની આવર્તન પૂરતી ઊંચી છે, જેથી ઉપલી મર્યાદાઇન્ટિગ્રલ (2.12) માં અનંતની સમાન લઈ શકાય છે. તેથી, એલ્ગોરિધમ નંબર 7, 8 માં ગુણાંક માટેના અભિવ્યક્તિઓનો ઉપયોગ ક્યારે કરવો જોઈએ . મર્યાદિત મર્યાદાને અનંત સાથે બદલવાથી આ કિસ્સામાં (2.12) પ્રકારના અવિભાજ્યને ટેબ્યુલરમાં ઘટાડવાનું શક્ય બન્યું.

અલ્ગોરિધમ્સ નંબર 6-8 અંદાજિત છે, જો કે, પરિમાણ વધારીને, પદ્ધતિસરની ભૂલને નજીવી બનાવી શકાય છે. પસંદ કરેલ મૂલ્યો સાથે અને પદ્ધતિની ભૂલનો સરળતાથી વજન ગુણાંકને જોડીને અંદાજ લગાવી શકાય છે. સહસંબંધ કાર્ય નંબર 8 સાથે રેન્ડમ પ્રક્રિયા માટે ગુણાંકની ગણતરી અને પદ્ધતિની ભૂલની ગણતરીનું ઉદાહરણ અગાઉ § 2.2 માં આપવામાં આવ્યું હતું. આ જ ફકરો રેન્ડમ પ્રક્રિયા નંબર 9 મોડેલિંગ માટે અલ્ગોરિધમનું વર્ણન પ્રદાન કરે છે [જુઓ. અલ્ગોરિધમ (2.48)].

કોષ્ટકમાં આપેલ અલ્ગોરિધમ્સ. 2.2 પ્રાયોગિક પરીક્ષણને આધિન હતા. 1000 નમૂનાઓની લંબાઈ સાથે સિમ્યુલેટેડ રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓના ડિજિટલ કોમ્પ્યુટર અમલીકરણ પર વિકાસ કરીને ચકાસણી હાથ ધરવામાં આવી હતી. આપેલ મૂલ્યોપરિમાણો અને . આ અનુભૂતિઓમાંથી, નમૂનાના સહસંબંધ કાર્યોની ગણતરી કરવામાં આવી હતી અને આપેલ સહસંબંધ કાર્યો સાથે સરખામણી કરવામાં આવી હતી. પ્રારંભિક સ્વતંત્ર રેન્ડમ નંબરો M-20 ડિજિટલ કમ્પ્યુટર માટે સામાન્ય રેન્ડમ નંબર સેન્સરના પ્રમાણભૂત પ્રોગ્રામ અનુસાર બનાવવામાં આવ્યા હતા.

ઉત્પાદન દરમિયાન પ્રારંભિક મૂલ્યોરેન્ડમ પ્રક્રિયાઓના અમલીકરણ નંબર 1-5 તરીકે પરિમાણો (0, 1) સાથે સ્વતંત્ર સામાન્ય રેન્ડમ નંબરોના નમૂના મૂલ્યો લેવામાં આવ્યા હતા.

ફિગ માં. 2.5 દર્શાવેલ છે પ્રારંભિક વિભાગોકોષ્ટકમાંથી કેટલીક રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓના 400 નમૂનાઓની લંબાઈ સાથે અમલીકરણ. 2.2; અમલીકરણની સરળતા માટે, તેઓ સતત રેખા તરીકે બતાવવામાં આવે છે. અમલીકરણોની બાજુમાં આ અમલીકરણો (ડેશ લાઇન) નો ઉપયોગ કરીને ડિજિટલ કમ્પ્યુટર પર ગણતરી કરાયેલ સહસંબંધ કાર્યો સાથે આપેલ સહસંબંધ કાર્યો (સોલિડ લાઇન) બતાવવામાં આવે છે. કોષ્ટકમાં સહસંબંધ કાર્યોની જેમ આલેખ સમાન સંખ્યાઓ સાથે ચિહ્નિત થયેલ છે. 2.2. પરિમાણ મૂલ્યો અને . પસંદ કરેલ છે જેથી બધી સિમ્યુલેટેડ પ્રક્રિયાઓ માટે સહસંબંધ અંતરાલો લગભગ સમાન હોય. આકૃતિ ઉલ્લેખિત અને નમૂના સહસંબંધ કાર્યો વચ્ચે સારો કરાર દર્શાવે છે.

સહસંબંધ કાર્ય નંબર 2 સાથેની રેન્ડમ પ્રક્રિયા બિન-વિભેદક છે, તેથી તેના અમલીકરણો વિભેદક રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓના અન્ય ચાર અમલીકરણો જેટલા સરળ નથી.

અમલીકરણ નંબર 2 અને 3 વચ્ચે, તેમજ અમલીકરણ નંબર 6, 7 વચ્ચે, કોઈ ચોક્કસ સમાનતા જોઈ શકે છે, જે એ હકીકત દ્વારા સમજાવે છે કે અમલીકરણો સફેદ અવાજના સમાન સ્વતંત્ર અમલીકરણને રૂપાંતરિત કરીને ડિજિટલ કમ્પ્યુટર પર રચવામાં આવ્યા હતા. .

અમલીકરણ નંબર 2, 3 ની શરૂઆતમાં, ખૂબ મોટા નકારાત્મક ઉત્સર્જન દૃશ્યમાન છે. આ આઉટલિયર્સ ક્ષણિક પ્રક્રિયાને કારણે સિમ્યુલેટેડ પ્રક્રિયાઓના પ્રારંભિક વિભાગોના વિકૃતિનું પરિણામ છે. ખરેખર, પ્રારંભિક શરતોપસંદ કરવામાં આવે છે જેથી માત્ર રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ નંબર 1 અને નંબર 5-9 શરૂઆતથી જ સ્થિર હોય.

રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ નંબર 2-4 નું મોડેલિંગ કરતી વખતે ક્ષણિક પ્રક્રિયામાંથી છૂટકારો મેળવવા માટે, જ્યારે ઉપર સ્વીકારવામાં આવી હતી તેમ સ્વતંત્ર રેન્ડમ સંખ્યાઓને બદલે, તેમના પ્રારંભિક મૂલ્યોની ગણતરી કરતી વખતે, સહસંબંધ સાથે ચાર-પરિમાણીય રેન્ડમ વેક્ટર લેવું જરૂરી છે. મેટ્રિક્સ

નિષ્કર્ષમાં, અમે કેટલીક તકનીકોનો નિર્દેશ કરીએ છીએ જે અમને ઉપર ચર્ચા કરેલ એલ્ગોરિધમ્સના સરળ પરિવર્તન દ્વારા સિમ્યુલેટેડ સ્થિર સામાન્ય રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓના વર્ગને વિસ્તૃત કરવાની મંજૂરી આપે છે.

તે જાણીતું છે, ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે ઘણી સ્વતંત્ર સ્થિર સામાન્ય રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓનો સરવાળો કરવામાં આવે છે, ત્યારે એક સ્થિર સામાન્ય રેન્ડમ પ્રક્રિયા રચાય છે, જેનું સહસંબંધ કાર્ય શરતોના સહસંબંધ કાર્યોના સરવાળા જેટલું હોય છે. તેથી, જો કોઈ પ્રક્રિયાનું સહસંબંધ કાર્ય કોષ્ટકમાંથી બે અથવા વધુ સહસંબંધ કાર્યોનો સરવાળો છે. 2.2, પછી ઉપરોક્ત એલ્ગોરિધમ્સનો ઉપયોગ કરીને મેળવેલા બે અથવા વધુ સ્વતંત્ર અમલીકરણોનો સરવાળો કરીને આ પ્રક્રિયાના અલગ અમલીકરણની રચના કરી શકાય છે. જો, ઉદાહરણ તરીકે, સિમ્યુલેટેડ પ્રક્રિયાના સહસંબંધ કાર્યનું સ્વરૂપ છે

પછી તેના સ્વતંત્ર અમલીકરણો જનરેટ કરવા માટેનું અલ્ગોરિધમ ફોર્મમાં લખવામાં આવશે

તે એક રેન્ડમ પ્રક્રિયા છે

જ્યાં , અમલીકરણને રૂપાંતરિત કરો અને સહસંબંધ કાર્ય સાથે રેન્ડમ પ્રક્રિયાના અમલીકરણમાં (2.83).

અલગ ગણતરી કરવા માટે ત્રિકોણમિતિ કાર્યોઅને રિકરન્ટ એલ્ગોરિધમ (1.3) નો ઉપયોગ કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે, પછી એલ્ગોરિધમ (2.84) ફોર્મમાં લખવામાં આવશે

સંક્ષિપ્ત માહિતી

સિમ્યુલેશન મોડેલિંગ (મોન્ટે કાર્લો પદ્ધતિ) દ્વારા અભ્યાસ કરાયેલ રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓમાં, ખાસ કરીને, કતારોની રચના અને સેવા સાથે સંકળાયેલ પ્રક્રિયાઓનો સમાવેશ થાય છે (કહેવાતી પ્રક્રિયાઓ કતાર).આ વર્ગનું સૌથી સરળ કાર્ય આ છે. એક સેવા કેન્દ્ર (એક સેલ્સપર્સન સાથેનો સ્ટોર, વાહનના કાફલામાં સમારકામનો વિસ્તાર, એક ડૉક્ટર સાથેનો ઇમરજન્સી રૂમ, એક ઇનપુટ સાથેનો ટેલિફોન એક્સચેન્જ, એક ઇનપુટ ચેનલ સાથેનું સર્વર વગેરે) સાથે કતારબદ્ધ સિસ્ટમ છે. ક્લાઈન્ટો સિસ્ટમની સેવાઓનો અવ્યવસ્થિત રીતે આશરો લે છે (સાથે આપેલ કાર્યઆગમન વચ્ચે સમય અવધિનું વિતરણ). જો સિસ્ટમ મફત છે, તો તે તરત જ ક્લાયન્ટને સેવા આપવાનું શરૂ કરે છે, અન્યથા તે તેને કતારમાં મૂકે છે. દરેક ગ્રાહક માટે સેવાનો સમયગાળો - રેન્ડમ ચલજાણીતા વિતરણ કાયદા સાથે.

આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, "કતારમાં ગ્રાહકના રાહ જોવાના સમયનું સંભવિત વિતરણ કાર્ય શું છે?" જેવા પ્રશ્નોના જવાબ આપવા જરૂરી છે. "સિસ્ટમનો ડાઉનટાઇમ ક્લાયન્ટ્સ માટે શું રાહ જોઈ રહ્યો છે?", "જો આ કાર્યો પોતે જ નક્કી કરવા મુશ્કેલ છે, તો પછી તેમના સૌથી વધુ શું છે મહત્વપૂર્ણ લાક્ષણિકતાઓ(એટલે ​​કે ગાણિતિક અપેક્ષા, ભિન્નતા, વગેરે)?

આ કાર્યનો આધાર સેવા સિસ્ટમમાં પ્રવેશતા ગ્રાહકોની રેન્ડમ પ્રક્રિયા છે. કોઈપણ સળંગ ક્લાયન્ટની જોડીના આગમન વચ્ચેના અંતરાલ અમુક કાયદા અનુસાર વિતરિત સ્વતંત્ર રેન્ડમ ઘટનાઓ છે. આ કાયદાની વાસ્તવિક પ્રકૃતિ અસંખ્ય અવલોકનો દ્વારા જ સ્થાપિત કરી શકાય છે; સૌથી સરળ મોડેલ પ્રોબેબિલિટી ડેન્સિટી ફંક્શન તરીકે, અમે 0 થી કેટલાક સમયની રેન્જમાં સમાન સંભવ વિતરણ લઈ શકીએ છીએ. ટી -સતત બે ગ્રાહકોના આગમન વચ્ચેનો મહત્તમ શક્ય અંતરાલ. આ વિતરણ સાથે, બે ગ્રાહકોના આગમન વચ્ચે 1 મિનિટ, 3 મિનિટ અથવા 8 મિનિટ પસાર થવાની સંભાવના સમાન છે (જો ટી> 8 મિનિટ).

આવા વિતરણ, અલબત્ત, અવાસ્તવિક છે; વાસ્તવમાં, મોટાભાગની કતાર પ્રક્રિયાઓ માટે વિતરણ કાર્ય વધે છે t= 0, ચોક્કસ મૂલ્ય t = τ પર મહત્તમ ધરાવે છે અને મોટા પ્રમાણમાં ઝડપથી ઘટે છે ટી,તે ફિગમાં બતાવેલ ફોર્મ ધરાવે છે. 7.6.

અલબત્ત, તમે ઘણું પસંદ કરી શકો છો પ્રાથમિક કાર્યો, ગુણાત્મક રીતે આ દેખાવ ધરાવે છે. ક્યુઇંગ થિયરીમાં, પોઈસન ફંક્શન્સના પરિવારનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે

જ્યાં λ - કેટલાક સતત p -મનસ્વી પૂર્ણાંક.

વિધેયો (35) પાસે મહત્તમ x = છે p/λઅને સામાન્ય.

આ સમસ્યામાં બીજી રેન્ડમ પ્રક્રિયા, જે કોઈપણ રીતે પ્રથમ સાથે જોડાયેલી નથી, તે રેન્ડમ ઘટનાઓના ક્રમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે - દરેક ગ્રાહક માટે સેવાનો સમયગાળો. સેવાની અવધિનું સંભવિત વિતરણ સમાન છે ગુણવત્તા દેખાવ, અગાઉના કેસની જેમ.

ઉદાહરણ તરીકે, કૉલમમાં કોષ્ટકમાં એરેન્ડમ નંબરો રેકોર્ડ કરવામાં આવે છે - ક્લાયંટના આગમન વચ્ચેના અંતરાલ (મિનિટમાં), કૉલમમાં માં -રેન્ડમ નંબરો - સેવાનો સમયગાળો (મિનિટમાં). નિશ્ચિતતા માટે લેવામાં આવે છે મહત્તમ= 10 અને bmax= 5.

ચોખા. .6. કતારબદ્ધ સિસ્ટમમાં ગ્રાહકના દેખાવો વચ્ચે સમયના વિતરણની સંભાવના ઘનતાનું યોજનાકીય રજૂઆત

આ ટૂંકા કોષ્ટકમાંથી, અલબત્ત, જથ્થા માટે કયા વિતરણ કાયદા સ્વીકારવામાં આવે છે તે સ્થાપિત કરવું અશક્ય છે. એઅને INબાકીની કૉલમ વિશ્લેષણની સરળતા માટે આપવામાં આવી છે; તેમાં સમાવિષ્ટ સંખ્યાઓ પ્રાથમિક ગણતરી દ્વારા જોવા મળે છે. કૉલમ C બતાવે છે શરતી સમયગ્રાહક આગમન; ડી-સેવાની શરૂઆતની ક્ષણ; ઇ -સેવાનો અંત; F-ક્લાયંટે સમગ્ર સિસ્ટમમાં વિતાવેલ સમયની લંબાઈ; જી-સેવાની રાહ જોતા લાઇનમાં વિતાવેલો સમય; એન -સિસ્ટમ દ્વારા ક્લાયન્ટની રાહ જોતા સમય (જો ત્યાં કોઈ ન હોય તો). કોષ્ટકને આડી રીતે ભરવાનું અનુકૂળ છે, લાઇનથી લાઇનમાં ખસેડવું. આગલા ક્લાયન્ટની સેવાની શરૂઆત કાં તો તેના આગમનના સમય દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, જો સિસ્ટમ વ્યસ્ત ન હોય, અથવા અગાઉના ક્લાયન્ટના પ્રસ્થાનના સમય દ્વારા, અમે સુવિધા માટે પ્રસ્તુત કરીએ છીએ. અનુરૂપ સૂત્રો(તેમનામાં i= 1, 2, 3, ...):

c 1 = 0, c i+1 = c i + a i+1 ; d 1 = 0, d i+1 = મહત્તમ(c i+l, e i);(36a)

e 1 = b 1 e i = d i + b i ; f i = e i + c i ; g 1 = 0; g i+1 = f i+1 + b i+1 h 1 = 0; h i+1 = d i+1 - e i(36b)

આમ, કૉલમ A અને Bમાં સંખ્યાઓના રેન્ડમ સેટને જોતાં, ક્લાયંટને લાઇનમાં ઊભા રહેવું પડ્યું (કૉલમ જી),અને સિસ્ટમ ક્લાયંટની રાહ જોતી નિષ્ક્રિય હતી (કૉલમ એન).

આ પ્રકારની પ્રણાલીઓનું મોડેલિંગ કરતી વખતે, પહેલો પ્રશ્ન એ ઊભો થાય છે કે તમારે લાઇનમાં રાહ જોવાનો સરેરાશ સમય કેટલો છે? તે જવાબ આપવા માટે સરળ લાગે છે - તમારે ફક્ત શોધવાની જરૂર છે

(37)

પરીક્ષણોની કેટલીક શ્રેણીમાં. એ જ રીતે, તમે h નું સરેરાશ મૂલ્ય શોધી શકો છો . પ્રાપ્ત પરિણામોની વિશ્વસનીયતા વિશેના પ્રશ્નનો જવાબ આપવો વધુ મુશ્કેલ છે; આ કરવા માટે, તમારે પરીક્ષણોની શ્રેણીબદ્ધ અને ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે પ્રમાણભૂત પદ્ધતિઓગાણિતિક આંકડાઓ (વિદ્યાર્થી વિતરણનો ઉપયોગ કરીને પ્રક્રિયા ઘણીવાર યોગ્ય હોય છે).

વધુ મુશ્કેલ પ્રશ્ન- રેન્ડમ ચલોનું વિતરણ શું છે જીઅને એનરેન્ડમ ચલોના આપેલ વિતરણ માટે એઅને માં?તમે સિમ્યુલેશન પરિણામોના આધારે અનુરૂપ હિસ્ટોગ્રામ બનાવીને આનો ગુણાત્મક જવાબ મેળવવાનો પ્રયાસ કરી શકો છો. પછી વિતરણના પ્રકાર વિશે કેટલીક પૂર્વધારણા બનાવવામાં આવે છે અને આ પૂર્વધારણાની વિશ્વસનીયતા ચકાસવા માટે એક અથવા વધુ આંકડાકીય માપદંડોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ફંક્શન (એક પ્રયોગમૂલક પણ, પરંતુ તદ્દન વિશ્વસનીય) હોવાને કારણે, લાઇનમાં રાહ જોવાની પ્રક્રિયાની પ્રકૃતિ વિશેના કોઈપણ પ્રશ્નનો જવાબ આપવો શક્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે: લાંબા સમય સુધી રાહ જોવાની સંભાવના શું છે ટીમિનિટ? વિસ્તાર ગુણોત્તર શોધીએ તો જવાબ મળશે વક્ર ટ્રેપેઝોઇડ, શેડ્યૂલ દ્વારા મર્યાદિતવિતરણ ઘનતા, સીધી x = tઅને y=0સમગ્ર આકૃતિનો વિસ્તાર.

સુરક્ષા પ્રશ્નો

1. "રેન્ડમ પ્રક્રિયા" શું છે?

2. સમાનરૂપે વિતરિત રેન્ડમ નંબરોના કમ્પ્યુટર જનરેશનના સિદ્ધાંતો શું છે?

3. તમે પોઈસન વિતરણ કાયદા સાથે રેન્ડમ નંબરોનો ક્રમ કેવી રીતે મેળવી શકો છો?

4. "ક્યુઇંગ સિસ્ટમ" શું છે? ઉદાહરણો આપો.

5. વિસ્તારોની ગણતરી માટે મોન્ટે કાર્લો પદ્ધતિ શું છે સપાટ આંકડા? શરીરની માત્રા?

6. તમે રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓના કયા ઉદાહરણો આપી શકો છો?

નિબંધો માટે વિષયો

1. રેન્ડમ નંબરોના સિક્વન્સના કમ્પ્યુટર જનરેશનના સિદ્ધાંતો અને આંકડાકીય માપદંડક્રમના ગુણધર્મો નક્કી કરી રહ્યા છીએ.

2. રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓના કોમ્પ્યુટર મોડેલિંગમાંથી મેળવેલા પરિણામોની આંકડાકીય પ્રક્રિયા માટેની પદ્ધતિઓ.

વિષય સેમિનાર

સાથે રેન્ડમ નંબરોની સિક્વન્સ મેળવવી કાયદા દ્વારા આપવામાં આવે છેવિતરણો

લેબોરેટરી કામ

1. આ કાર્ય કરતી વખતે, આપેલ સંભાવના વિતરણ કાયદા સાથે સ્યુડોરેન્ડમ નંબરોની લાંબી શ્રેણીઓ બનાવવી જરૂરી છે. તે ઇચ્છિત વિતરણ કાયદા (ઉદાહરણ તરીકે, "પસંદગી-અસ્વીકાર" પ્રક્રિયા) સાથે આ ક્રમને ક્રમમાં રૂપાંતરિત કરવા માટેની પ્રક્રિયાઓમાંથી એકનો ઉપયોગ કરીને, લાગુ પ્રોગ્રામિંગ સિસ્ટમમાં બનેલા સમાનરૂપે વિતરિત રેન્ડમ નંબરોના પ્રમાણભૂત સેન્સર પર આધારિત હોઈ શકે છે. .

2. રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓના મોડેલિંગમાં કેન્દ્રીય કાર્યોમાંનું એક રેન્ડમ ચલોની લાક્ષણિકતાઓ શોધવાનું છે જે મોડેલિંગનો હેતુ છે. મુખ્ય આવી લાક્ષણિકતા વિતરણ કાર્ય છે. સિમ્યુલેશન દરમિયાન બાંધવામાં આવેલા હિસ્ટોગ્રામ અને તેના વિશેની પૂર્વધારણા પરથી તેના દેખાવનું ગુણાત્મક મૂલ્યાંકન કરી શકાય છે. કાર્યાત્મક સ્વરૂપમાં વપરાયેલ પ્રમાણભૂત માપદંડોમાંથી એકનો ઉપયોગ કરીને તપાસો ગાણિતિક આંકડા(ઉદાહરણ તરીકે, માપદંડ % 2). જો કે, આ હંમેશા સલાહભર્યું હોતું નથી, ખાસ કરીને જો સમસ્યા માટે રેન્ડમ ચલની માત્ર કેટલીક લાક્ષણિકતાઓ નક્કી કરવાની જરૂર હોય - મોટાભાગે સરેરાશ મૂલ્ય અને ભિન્નતા. તેઓ વિતરણ કાર્યનું મોડેલિંગ કર્યા વિના શોધી શકાય છે. તે જ સમયે આંકડાકીય મૂલ્યાંકનપરિણામોની વિશ્વસનીયતા ફરજિયાત છે.

3. કમ્પ્યુટર સ્ક્રીન પર નીચેના સ્વરૂપમાં સિમ્યુલેશન પરિણામો પ્રદર્શિત કરવા યોગ્ય છે: ગણતરી કરેલ મૂલ્યના મૂલ્યોના કોષ્ટકોના સ્વરૂપમાં (સામાન્ય રીતે કેટલાક નમૂનાઓમાં), રેન્ડમ ચલોના વિતરણના હિસ્ટોગ્રામના સ્વરૂપમાં સિમ્યુલેશન દરમિયાન બાંધવામાં આવે છે.

4. જ્યાં શક્ય હોય ત્યાં, કમ્પ્યુટર સ્ક્રીન પર અનુરૂપ પ્રક્રિયાના વિઝ્યુઅલ ડિસ્પ્લે સાથે સિમ્યુલેશન મોડેલિંગની સાથે સલાહ આપવામાં આવે છે (કતાર બનાવવાની પ્રક્રિયા, વસ્તી મોડેલિંગ સમસ્યાઓમાં વસ્તુઓનો જન્મ અને અદ્રશ્ય, વગેરે).

અંદાજિત પૂર્ણ થવાનો સમય 16 કલાક.

માટે સોંપણી પ્રયોગશાળા કામ

ઉલ્લેખિત રેન્ડમ પ્રક્રિયાનું સિમ્યુલેશન હાથ ધરો અને આંકડાકીય માપદંડોનો ઉપયોગ કરીને મેળવેલા પરિણામોની વિશ્વસનીયતાનું મૂલ્યાંકન કરો.

કાર્ય વિકલ્પો

વિકલ્પ 1

ઉપર વર્ણવેલ રેન્ડમ ચલોના સમાન વિતરણ કાયદા હેઠળ એક વિક્રેતા સાથે સ્ટોરમાં કતારનું અનુકરણ કરો: ગ્રાહકોનું આગમન અને સેવાનો સમયગાળો (પેરામીટર્સના ચોક્કસ નિશ્ચિત સેટ માટે). સ્થિર લાક્ષણિકતાઓ મેળવો: ખરીદનાર દ્વારા લાઇનમાં રાહ જોવાના સરેરાશ મૂલ્યો અને ખરીદદારોના આગમનની રાહ જોતી વખતે વેચનારનો નિષ્ક્રિય સમય. તેમની વિશ્વસનીયતાનું મૂલ્યાંકન કરો. જથ્થાના વિતરણ કાર્યની પ્રકૃતિનું મૂલ્યાંકન કરો gઅને h

વિકલ્પ 2

ઇનપુટ ઇવેન્ટ્સના સંભવિત વિતરણના પોઈસન કાયદાઓ સાથે સમાન મોડેલિંગ હાથ ધરો: ગ્રાહકોનું આગમન અને સેવાનો સમયગાળો (પેરામીટર્સના ચોક્કસ નિશ્ચિત સેટ માટે).

વિકલ્પ 3

ઇનપુટ ઇવેન્ટ્સની સંભાવના વિતરણના સામાન્ય કાયદા હેઠળ સમાન મોડેલિંગ હાથ ધરો: ગ્રાહકોનું આગમન અને સેવાનો સમયગાળો (પેરામીટર્સના ચોક્કસ નિશ્ચિત સેટ માટે).

વિકલ્પ 4

ઉપર ચર્ચા કરેલ સિસ્ટમમાં, જ્યારે કતાર સમયની મર્યાદા વિના વધે ત્યારે ગંભીર પરિસ્થિતિ ઊભી થઈ શકે છે. હકીકતમાં, જો ગ્રાહકો ઘણી વાર સ્ટોરમાં પ્રવેશ કરે છે (અથવા વેચનાર ખૂબ ધીમું છે), તો કતાર વધવા લાગે છે, અને આ સિસ્ટમમાં અંતિમ સમયસેવા કટોકટી આવશે.

જથ્થાઓ વચ્ચે સંબંધ બાંધો (મહત્તમ, bmax),ઉલ્લેખિત સરહદને પ્રતિબિંબિત કરે છે જટિલ પરિસ્થિતિ, ઇનપુટ ઇવેન્ટ્સના સમાન સંભવિત વિતરણ સાથે.

વિકલ્પ 5

ઇન્ટરસિટી પર ટેલિફોન એક્સચેન્જબે ટેલિફોન ઓપરેટરો ઓર્ડરની સામાન્ય કતાર આપે છે. આગળનો ઓર્ડર ટેલિફોન ઓપરેટર દ્વારા આપવામાં આવે છે કે જેઓ સૌપ્રથમ ઉપલબ્ધ થયા હતા. જો ઓર્ડર પ્રાપ્ત થાય તે સમયે બંને વ્યસ્ત હોય, તો કૉલ રદ કરવામાં આવે છે અને તમારે ફરીથી કૉલ કરવાની જરૂર છે. ઇનપુટ પ્રવાહને પોઈસન ગણીને પ્રક્રિયાને મોડલ કરો.

વિકલ્પ 6

અગાઉના સંસ્કરણમાં વર્ણવેલ પરિસ્થિતિનું અનુકરણ કરો, પરંતુ ધારો કે ઓર્ડર આપવાનો પ્રયાસ કરતી વખતે જો બંને ટેલિફોન ઓપરેટરો વ્યસ્ત હોય, તો એક કતાર રચાય છે.

વિકલ્પ 7

એક ઇનપુટ સાથે ટેલિફોન એક્સચેન્જનો ઉપયોગ કરવા દો પરંપરાગત સિસ્ટમ: જો સબ્સ્ક્રાઇબર વ્યસ્ત હોય, તો પછી કતાર રચાતી નથી અને તમારે ફરીથી કૉલ કરવો આવશ્યક છે. પરિસ્થિતિનું અનુકરણ કરો: ત્રણ સબ્સ્ક્રાઇબર્સ એક જ નંબરના માલિકને કૉલ કરવાનો પ્રયાસ કરે છે અને, જો સફળ થાય, તો તેની સાથે થોડા સમય માટે (અવધિમાં રેન્ડમ) વાત કરો. એવી સંભાવના કેટલી છે કે કોઈ વ્યક્તિ કૉલ કરવાનો પ્રયાસ કરી શકશે નહીં ચોક્કસ સમય ટી?

વિકલ્પ 8

પાછલા સંસ્કરણમાં વર્ણવેલ પરિસ્થિતિનું અનુકરણ કરો, પરંતુ ધારો કે જો સબ્સ્ક્રાઇબરનો ફોન સંપર્ક કરવાનો પ્રયાસ કરતી વખતે વ્યસ્ત હોય, તો એક કતાર રચાય છે.

વિકલ્પ 9

ઈમરજન્સી રૂમમાં એક જ ડોક્ટર કામ કરે છે. દર્દી માટે સારવારનો સમયગાળો અને દર્દીઓના પ્રવેશ વચ્ચેનો સમય અંતરાલ પોઈસન કાયદા અનુસાર વિતરિત થયેલ રેન્ડમ ચલો છે. ઇજાઓની તીવ્રતા અનુસાર, દર્દીઓને ત્રણ કેટેગરીમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે; રેન્ડમ ઘટનાસમાન સંભાવના વિતરણ સાથે. ડૉક્ટર પ્રથમ દર્દીઓને સૌથી ગંભીર ઇજાઓ (તેમના પ્રવેશના ક્રમમાં) ની સારવાર કરે છે, પછી, જો ત્યાં કોઈ ન હોય તો, મધ્યમ ઇજાઓવાળા દર્દીઓ (તેમના પ્રવેશના ક્રમમાં), અને માત્ર ત્યારે જ - નાની ઇજાઓવાળા દર્દીઓ. પ્રક્રિયાનું મોડેલ બનાવો અને દરેક શ્રેણીના દર્દીઓ માટે કતારમાં સરેરાશ રાહ જોવાના સમયનો અંદાજ કાઢો.

વિકલ્પ 10

અગાઉના સંસ્કરણમાં વર્ણવેલ પરિસ્થિતિનું અનુકરણ કરો, જો કે બે ડોકટરો ઇમરજન્સી રૂમમાં કામ કરે છે, અને દર્દીઓને ત્રણને બદલે બે કેટેગરીમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે.

વિકલ્પ 11

એક વણકર લૂમના સમૂહને સેવા આપે છે, જરૂરિયાત મુજબ ટૂંકા ગાળાના હસ્તક્ષેપ કરે છે, જેનો સમયગાળો રેન્ડમ ચલ છે. એક સાથે બે મશીનોના ડાઉનટાઇમની સંભાવના કેટલી છે? એક મશીનનો સરેરાશ ડાઉનટાઇમ કેટલો લાંબો છે?

વિકલ્પ 12

પાછલા સંસ્કરણમાં વર્ણવેલ પરિસ્થિતિનું અનુકરણ કરો, જો લૂમના જૂથને બે વણકરો દ્વારા સંયુક્ત રીતે સેવા આપવામાં આવે છે.

વિકલ્પ 13

INશહેરના મોટર વાહન કાફલામાં બે રિપેર ઝોન છે. એક - ટૂંકા અને સમારકામ સેવા આપે છે સરેરાશ અવધિ, અન્ય - મધ્યમ અને લાંબા ગાળાના (એટલે ​​​​કે, દરેક ઝોન દ્વારા મધ્યમ-ગાળાની સમારકામ હાથ ધરવામાં આવી શકે છે). જેમ જેમ બ્રેકડાઉન થાય છે તેમ, વાહનો કાફલાને પહોંચાડવામાં આવે છે; ડિલિવરી વચ્ચે સમય અંતરાલ - રેન્ડમ ઝેરનું મૂલ્ય. સમારકામ સમયગાળો સાથે રેન્ડમ ચલ છે સામાન્ય કાયદોવિતરણો વર્ણવેલ સિસ્ટમનું મોડેલ બનાવો. ટૂંકા ગાળાના, મધ્યમ ગાળાના અને લાંબા ગાળાના સમારકામની જરૂર હોય તેવા વાહનો માટે અનુક્રમે સરેરાશ રાહ જોવાનો સમય શું છે?

વિકલ્પ 14

સિમ્યુલેશન મોડલનો અમલ કરો આંકડાકીય મોડેલિંગબુફોનની સમસ્યા (XVIII સદી) ઉકેલવા માટે. લેખકે વિશ્લેષણાત્મક રીતે શોધી કાઢ્યું કે જો સમાંતર રેખાઓ દ્વારા આલેખિત ક્ષેત્ર પર, તેમની વચ્ચેનું અંતર એલ,રેન્ડમ પર સોય ફેંકે છે l, પછી સંભાવના કે સોય ઓછામાં ઓછી એક સીધી રેખા પાર કરશે તે સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

આ સમસ્યાએ સંખ્યાના નિર્ધારણનું અનુકરણ કરવાની રીત પ્રદાન કરી પી.ખરેખર, જો L = 2l,તે . સિમ્યુલેશન દરમિયાન, આ ગણતરી કરો.

વિકલ્પ 15

એક-પરિમાણીય રેન્ડમ વૉક મૉડલ ("શરાબી" મૉડલ) વિકસાવો. ચાલવું નિયમ અનુસાર સેટ કરવામાં આવ્યું છે: જો સેગમેન્ટમાંથી રેન્ડમ નંબર 0.5 કરતા ઓછો હોય, તો અંતર દ્વારા જમણી તરફ એક પગલું લેવામાં આવે છે. h, અન્યથા - બાકી. અવ્યવસ્થિત સંખ્યાઓનું વિતરણ સમાન સંભવિત માનવામાં આવે છે.

સમસ્યાનું નિરાકરણ કરો: આવા ચાલવા માટે પ્રારંભિક બિંદુથી દૂર જવાની સંભાવના કેટલી છે nપગલાં?

વિકલ્પ 16

INપાછલા સંસ્કરણમાંથી સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ, પ્રશ્નનો જવાબ મેળવો: "શરાબી" પછી પાછા ફરવાની સંભાવના શું છે nમાં પગલાં પ્રારંભિક બિંદુ?

વિકલ્પ 17

એક બિંદુ અવ્યવસ્થિત રીતે કરવાની ક્ષમતા સાથે ચોરસ ગ્રીડના ગાંઠો સાથે પ્લેન પર ભટકાય છે સમાન સંભાવનાનિશ્ચિત (એક ચાલમાં) પગથિયાં ડાબે-જમણે-ઉપર-નીચે. ચળવળ બંધમાં થાય છે લંબચોરસ વોલ્યુમ, અને દિવાલ સાથે સંપર્ક પર થાય છે અરીસાની છબીતેણી પાસેથી.

સિમ્યુલેશન દરમિયાન, પ્રશ્નનો જવાબ આપો: દરેક નોડની મુલાકાતની આવર્તન તે નોડના અંતર સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે જ્યાંથી ચળવળ શરૂ થાય છે.

વિકલ્પ 18

વિકલ્પ 17 માટેના કાર્યની સમાન પરિસ્થિતિનું મોડેલ બનાવો, જો કે ભટકવાનું ક્ષેત્ર અમર્યાદિત હોય અને પૂછવામાં આવેલા પ્રશ્નનો જવાબ આપો.

વિકલ્પ 19

મધમાખીની ફ્લાઇટનું અનુકરણ કરો. પ્લેન પર (ક્લીયરિંગ) મધના છોડ આપેલ એકાગ્રતા (1 એમ 2 દીઠ) સાથે રેન્ડમ રીતે ઉગે છે. મધ્યમાં એક મધપૂડો છે જેમાંથી મધમાખી બહાર ઉડે છે. મધમાખી એક છોડમાંથી અન્ય છોડમાં ઉડી શકે છે, પરંતુ છોડ વચ્ચે વધતા અંતર (કેટલાક કાયદા મુજબ) સાથે પસંદગીની સંભાવના એકવિધ રીતે ઘટે છે. આપેલ સંખ્યાની પ્રાથમિક ફ્લાઇટ દરમિયાન મધમાખી ચોક્કસ આપેલ છોડની મુલાકાત લે તેવી સંભાવના કેટલી છે?

વિકલ્પ 20

ફ્લેટ મોડલ લાગુ કરો બ્રાઉનિયન ગતિ nલંબચોરસમાં કણો. કણોને મર્યાદિત કદના દડા ગણો. એકબીજા પર અને દિવાલો પરના કણોની અસરો સંપૂર્ણપણે સ્થિતિસ્થાપક તરીકે મોડેલ કરવી જોઈએ. આ મોડેલમાં કણોની સંખ્યા પર દિવાલો પરના ગેસના દબાણની અવલંબન નક્કી કરો.

વિકલ્પ 21

વિગતવાર વિકાસ કરો અને બંધ પાત્રમાં વાયુઓના મિશ્રણ (પ્રસરણ)ના મોડેલનો અમલ કરો. IN પ્રારંભિક ક્ષણસમય, દરેક ગેસ અડધા જહાજ પર કબજો કરે છે. આ મોડેલનો ઉપયોગ કરીને, વિવિધ ઇનપુટ પરિમાણો પર પ્રસરણ દરની અવલંબનનો અભ્યાસ કરો.

વિકલ્પ 22

નીચેની યોજના અનુસાર "શિકારી-શિકાર" સિસ્ટમનું સિમ્યુલેશન મોડલ લાગુ કરો.

20x20 "ટાપુ" જંગલી સસલા, વરુ અને તેણી-વરુ વસે છે. દરેક જાતિના ઘણા પ્રતિનિધિઓ છે. સમયની દરેક ક્ષણે 1/9 ની સમાન સંભાવના સાથે સસલા આઠ પડોશી ચોરસમાંથી એકમાં જાય છે (મર્યાદિત વિસ્તારોને બાદ કરતાં દરિયાકિનારો) અથવા માત્ર ગતિહીન બેસો. દરેક સસલામાં બે સસલામાં પરિવર્તિત થવાની સંભાવના 0.2 હોય છે. દરેક વરુ અવ્યવસ્થિત રીતે ફરે છે જ્યાં સુધી તે જે સસલાને શિકાર કરી રહી છે તે નજીકના આઠ ચોરસમાંથી એકમાં ન આવે. જો વરુ અને સસલું એક જ ચોરસમાં હોય, તો તે વરુ સસલાને ખાય છે અને એક બિંદુ મેળવે છે. નહિંતર, તેણી 0.1 પોઈન્ટ ગુમાવે છે.

શૂન્ય પોઇન્ટ સાથે વરુ અને તેણી-વરુ મૃત્યુ પામે છે. સમયની પ્રારંભિક ક્ષણે, બધા વરુ અને તેણી-વરુ પાસે 1 બિંદુ છે. જ્યાં સુધી પડોશી ચોરસમાંના બધા સસલા અદૃશ્ય થઈ જાય ત્યાં સુધી વરુ વરુની જેમ વર્તે છે; પછી, જો તેણી-વરુ નજીકના આઠ ચોરસમાંથી એકમાં હોય, તો વરુ તેનો પીછો કરે છે.

જો વરુ અને વરુ એક જ ચોરસમાં હોય અને ખાવા માટે કોઈ સસલું ન હોય, તો તેઓ રેન્ડમ લિંગના સંતાનો પેદા કરશે.

સમયાંતરે વસ્તી ફેરફારોનું અવલોકન કરો. મોનિટર કરો કે કેવી રીતે મોડેલ પરિમાણોમાં ફેરફાર વસ્તીના ઉત્ક્રાંતિને અસર કરે છે.

વિકલ્પ 23

ત્વચાના કદના વિસ્તાર પર દાદના ચેપના ફેલાવાની પ્રક્રિયાનું મોડેલ બનાવવા માટે n x p(p-વિચિત્ર) કોષો.

એવું માનવામાં આવે છે કે મૂળ ચેપગ્રસ્ત ત્વચા કોષ કેન્દ્રિય છે. દરેક સમયના અંતરાલમાં, ચેપગ્રસ્ત કોષ 0.5 ની સંભાવના સાથે કોઈપણ પડોશી તંદુરસ્ત કોષને સંક્રમિત કરી શકે છે. સમયના છ એકમો પછી, ચેપગ્રસ્ત કોષ ચેપ સામે રોગપ્રતિકારક બની જાય છે, પરિણામી રોગપ્રતિકારક શક્તિ આગામી ચાર એકમો સુધી ચાલે છે, અને પછી કોષ સ્વસ્થ બને છે. વર્ણવેલ પ્રક્રિયાના સિમ્યુલેશન દરમિયાન, આઉટપુટ વર્તમાન સ્થિતિદરેક સમયના અંતરાલ પર ત્વચા વિસ્તારનું અનુકરણ, ચેપગ્રસ્ત, ચેપ સામે પ્રતિરોધક અને તંદુરસ્ત કોષો નોંધે છે.

અવલોકન કરો કે ક્ષેત્રના કદમાં ફેરફાર અને ચેપની સંભાવના સિમ્યુલેશન પરિણામોને કેવી રીતે અસર કરે છે.

વિકલ્પ 24

વિગતવાર વિકાસ કરો અને પ્રદૂષકોના વિતરણ માટે એક મોડેલ અમલમાં મૂકો પર્યાવરણફેક્ટરીની ચીમની દ્વારા વાતાવરણમાં ઉત્સર્જિત પદાર્થના કણો (ઉદાહરણ તરીકે, પાવર પ્લાન્ટમાં કોલસાના દહનના પરિણામે નીકળતી રાખ). બે ઘટકો ધરાવતા કણની ગતિને ધ્યાનમાં લો: માં આડું વિમાન- પવનના રેન્ડમ ગસ્ટ્સના પ્રભાવ હેઠળ, વર્ટિકલમાં - ગુરુત્વાકર્ષણના પ્રભાવ હેઠળ.

વધુ વાંચન

1. બેઈલી એન.જીવવિજ્ઞાનમાં આંકડાકીય પદ્ધતિઓ: અનુવાદ. અંગ્રેજીમાંથી - એમ.: IL, 1962.

2. Gnedenko B.V., Kovalenko I.N.ક્યુઇંગ થિયરીનો પરિચય. - એમ.: નૌકા, 1966.

3. સાતી ટી.ક્યુઇંગ થિયરીના તત્વો અને તેના ઉપયોગો: અનુવાદ. અંગ્રેજીમાંથી - એમ.: સોવ. રેડિયો, 1991.

4. શેનોન આર.સિસ્ટમ્સનું સિમ્યુલેશન મોડેલિંગ - કલા અને વિજ્ઞાન: અનુવાદ. અંગ્રેજીમાંથી - એમ.: મીર, 1978.

પ્રકરણ 7 માટે પરીક્ષણો