Стандарт интеграл. Экспоненциал функц ба гипербол функцийн интеграл

Энэ хуудсан дээр та дараах зүйлсийг олох болно:

1. Үнэндээ антидеривативуудын хүснэгт - үүнийг PDF форматаар татаж аваад хэвлэх боломжтой;

2. Энэ хүснэгтийг хэрхэн ашиглах тухай видео;

3. Төрөл бүрийн сурах бичиг, тестийн эсрэг деривативыг тооцоолох олон жишээ.

Видео бичлэг дээр бид функцүүдийн эсрэг деривативуудыг тооцоолох шаардлагатай олон асуудлыг шинжлэх болно, ихэвчлэн нэлээд төвөгтэй боловч хамгийн чухал нь эдгээр нь хүч чадал биш юм. Дээр санал болгож буй хүснэгтэд нэгтгэсэн бүх функцууд нь дериватив шиг цээжээр мэддэг байх ёстой. Тэдгээргүйгээр интегралуудыг цаашид судлах, практик асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглах боломжгүй юм.

Өнөөдөр бид антидеривативуудыг үргэлжлүүлэн судалж, бага зэрэг ахиж байна нарийн төвөгтэй сэдэв. Хэрэв орвол сүүлчийн удааБид эсрэг деривативуудыг зөвхөн хүч чадлын функцууд болон арай илүү төвөгтэй барилга байгууламжуудаас авч үзсэн боловч өнөөдөр бид тригонометр болон бусад олон зүйлийг шинжлэх болно.

Сүүлийн хичээл дээр хэлсэнчлэн антидериватив нь деривативаас ялгаатай нь ямар ч стандарт дүрмийг ашиглан хэзээ ч "нэн даруй" шийдэгддэггүй. Түүнээс гадна муу мэдээ гэвэл деривативаас ялгаатай нь эсрэг деривативыг огт авч үзэхгүй байж магадгүй юм. Хэрэв бид үнэхээр бичвэл санамсаргүй функцмөн түүний деривативыг олохыг хичээ, тэгвэл энэ нь маш их юм өндөр магадлалтайбид амжилтанд хүрэх болно, гэхдээ энэ тохиолдолд эсрэг деривативыг бараг хэзээ ч тооцохгүй. Гэхдээ сайн мэдээ байна: үндсэн функц гэж нэрлэгддэг нэлээд том функцүүд байдаг бөгөөд тэдгээрийн эсрэг деривативуудыг тооцоолоход маш хялбар байдаг. Бүх төрлийн тест, бие даасан шалгалт, шалгалтууд дээр өгөгдсөн бусад бүх нарийн төвөгтэй бүтэц нь үнэндээ нэмэх, хасах болон бусад энгийн үйлдлүүдийн тусламжтайгаар эдгээр үндсэн функцуудаас бүрддэг. Ийм функцүүдийн прототипүүдийг удаан хугацаанд тооцоолж, тусгай хүснэгтэд нэгтгэсэн. Өнөөдөр бид эдгээр функцууд болон хүснэгтүүдтэй ажиллах болно.

Гэхдээ бид урьдын адил давталтаас эхэлнэ: эсрэг дериватив гэж юу болох, яагаад тэд хязгааргүй олон байдаг, тэдгээрийг хэрхэн тодорхойлох талаар санацгаая. ерөнхий үзэл. Үүнийг хийхийн тулд би хоёр энгийн асуудлыг сонгов.

Хялбар жишээнүүдийг шийдвэрлэх

Жишээ №1

$\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ болон ерөнхийдөө $\text( )\!\!\pi\ байгааг нэн даруй тэмдэглэе. !\!\ text( )$ нь функцийн шаардлагатай эсрэг дериватив нь тригонометртэй холбоотой болохыг бидэнд шууд сануулж байна. Хэрэв бид хүснэгтийг харвал $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ нь $\text(arctg)x$-аас өөр зүйл биш гэдгийг олж мэдэх болно. Тиймээс үүнийг бичье:

Үүнийг олохын тулд та дараахь зүйлийг бичих хэрэгтэй.

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

Жишээ №2

Энд бас бид ярьж байнаО тригонометрийн функцууд. Хэрэв бид хүснэгтийг харвал үнэхээр ийм зүйл тохиолддог.

Бид бүхэл бүтэн антидеривативуудын дотроос заасан цэгээр дамждагийг олох хэрэгтэй.

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Эцэст нь бичье:

Ийм энгийн. Ганц асуудалэсрэг деривативуудыг тоолох явдал юм энгийн функцууд, та эсрэг деривативуудын хүснэгтийг сурах хэрэгтэй. Гэсэн хэдий ч, танд зориулж дериватив хүснэгтийг судалсны дараа энэ нь асуудалгүй байх болно гэж би бодож байна.

Экспоненциал функц агуулсан асуудлыг шийдвэрлэх

Эхлэхийн тулд дараах томьёог бичье.

\[((e)^(x))\((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Энэ бүхэн практикт хэрхэн хэрэгжиж байгааг харцгаая.

Жишээ №1

Хэрэв бид хаалтны агуулгыг харвал эсрэг деривативуудын хүснэгтэд $((e)^(x))$ квадрат дотор байхын тулд ийм илэрхийлэл байхгүй тул энэ квадратыг томруулах шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд бид үржүүлэх товчилсон томъёог ашигладаг.

Нэр томьёо бүрийн эсрэг деривативыг олцгооё.

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \баруун))^(x))\to \frac(((\left(((e))^ (2)) \баруун))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left((((e)^(-2)) \баруун))^(x))\to \frac(((\left(((e)) )^(-2)) \баруун))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

Одоо бүх нэр томъёог нэг илэрхийлэл болгон цуглуулж, ерөнхий эсрэг деривативыг авцгаая:

Жишээ №2

Энэ удаад зэрэг нь илүү том тул товчилсон үржүүлэх томъёо нь нэлээд төвөгтэй байх болно. Тиймээс хаалтуудыг нээцгээе:

Одоо энэ бүтцээс томъёоныхоо эсрэг деривативыг авахыг хичээцгээе.

Таны харж байгаагаар, командуудад экспоненциал функцтөвөгтэй, ер бусын зүйл байхгүй. Эдгээрийг бүгдийг нь хүснэгтээр тооцсон боловч анхааралтай суралцагчид $((e)^(2x))$ эсрэг дериватив нь $((a)-аас энгийн $((e)^(x))$-тэй ойрхон байгааг анзаарах байх. )^(x ))$. Тиймээс магадгүй өөр зүйл байгаа байх тусгай дүрэм, $((e)^(x))$ эсрэг деривативыг мэдсэнээр $((e)^(2x))$ олох боломжтой юу? Тиймээ, ийм дүрэм байдаг. Түүнээс гадна энэ нь антидеривативуудын хүснэгттэй ажиллах салшгүй хэсэг юм. Одоо бид жишээ болгон ажиллаж байсан ижил илэрхийлэлүүдийг ашиглан дүн шинжилгээ хийх болно.

Антидеривативуудын хүснэгттэй ажиллах дүрэм

Функцээ дахин бичье:

Өмнөх тохиолдолд бид шийдвэрлэхийн тулд дараах томъёог ашигласан.

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]

Харин одоо үүнийг арай өөрөөр хийцгээе: ямар үндэслэлээр $((e)^(x))\((e)^(x))$ гэдгийг санацгаая. Миний хэлсэнчлэн $((e)^(x))$ дериватив нь $((e)^(x))$-с өөр зүйл биш тул түүний эсрэг дериватив нь ижил $((e) ^-тэй тэнцүү байх болно. (x))$. Гэхдээ асуудал нь бидэнд $((e)^(2x))$ болон $((e)^(-2x))$ байгаа явдал юм. Одоо $((e)^(2x))$-ийн деривативыг олохыг хичээцгээе:

\[((\left(((e)^(2x)) \баруун))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \баруун))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Бүтээн байгуулалтаа дахин бичье:

\[((\left(((e)^(2x)) \баруун))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)(2) \баруун))^(\prime ))\]

Энэ нь $((e)^(2x))$ эсрэг деривативыг олох үед бид дараах зүйлийг олж авна гэсэн үг юм.

\[((e)^(2x))\frac(((e)^(2x)))(2)\]

Таны харж байгаагаар бид өмнөхтэй ижил үр дүнд хүрсэн боловч $((a)^(x))$-г олохдоо томьёог ашиглаагүй. Одоо энэ нь тэнэг юм шиг санагдаж магадгүй: стандарт томьёо байхад яагаад тооцооллыг хүндрүүлдэг вэ? Гэсэн хэдий ч арай илүү нарийн төвөгтэй илэрхийллүүдЭнэ техник нь маш үр дүнтэй гэдгийг та харах болно, i.e. эсрэг деривативыг олохын тулд дериватив ашиглах.

Бэлтгэлийн хувьд $((e)^(2x))$-ын эсрэг деривативыг ижил төстэй аргаар олъё.

\[((\left(((e)^(-2x)) \баруун))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \баруун)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \баруун))^(\prime ))\]

Тооцоолохдоо бидний барилгын ажлыг дараах байдлаар бичнэ.

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Бид яг ижил үр дүнд хүрсэн ч өөр замаар явсан. Энэ зам нь одоо бидэнд арай илүү төвөгтэй мэт санагдаж байгаа бөгөөд ирээдүйд илүү төвөгтэй антидеривативуудыг тооцоолох, хүснэгтүүдийг ашиглахад илүү үр дүнтэй байх болно.

Анхаар! Энэ их чухал цэг: деривативын нэгэн адил эсрэг деривативуудыг багц гэж үзэж болно янз бүрийн аргаар. Гэсэн хэдий ч, хэрэв бүх тооцоо, тооцоолол тэнцүү байвал хариулт нь ижил байх болно. Бид үүнийг $((e)^(-2x))$-ын жишээн дээр харлаа - нэг талаас бид энэ эсрэг деривативыг "зөв дамжин" тооцоолж, тодорхойлолтыг ашиглан хувиргах замаар тооцоолсон, нөгөө талаас, Бид $ ((e)^(-2x))$-г $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ хэлбэрээр төлөөлж болохыг санаж, зөвхөн дараа нь ашигласан. $( (a)^(x))$ функцийн эсрэг дериватив. Гэсэн хэдий ч бүх өөрчлөлтүүдийн дараа үр дүн нь хүлээгдэж байсан шигээ байв.

Одоо бид энэ бүхнийг ойлгосон тул илүү чухал зүйл рүү шилжих цаг болжээ. Одоо бид хоёр энгийн бүтцийг шинжлэх болно, гэхдээ тэдгээрийг шийдвэрлэхэд ашиглах техник нь хүснэгтээс хөрш антидеривативуудын хооронд зүгээр л "гүйх"-ээс илүү хүчирхэг, ашигтай хэрэгсэл юм.

Асуудлыг шийдвэрлэх: функцийн эсрэг деривативыг олох

Жишээ №1

Тоолуурт байгаа дүнг гурван тусдаа бутархай болгон хувааж үзье.

Энэ бол нэлээд байгалийн бөгөөд ойлгомжтой шилжилт юм - ихэнх оюутнууд үүнтэй холбоотой асуудалгүй байдаг. Илэрхийлэлээ дараах байдлаар дахин бичье.

Одоо энэ томъёог санацгаая:

Манай тохиолдолд бид дараахь зүйлийг авах болно.

Эдгээр бүх гурван давхар бутархайг арилгахын тулд би дараахь зүйлийг хийхийг санал болгож байна.

Жишээ №2

Өмнөх бутархайгаас ялгаатай нь хуваагч нь үржвэр биш, харин нийлбэр юм. Энэ тохиолдолд бид бутархайгаа хэд хэдэн нийлбэр болгон хувааж чадахгүй энгийн бутархай, гэхдээ та ямар нэгэн байдлаар тоологч нь хуваагчтай ойролцоогоор ижил илэрхийллийг агуулж байгаа эсэхийг шалгах хэрэгтэй. IN энэ тохиолдолдҮүнийг хийх нь маш энгийн:

Математикийн хэлээр "тэг нэмэх" гэж нэрлэгддэг энэхүү тэмдэглэгээ нь бутархайг дахин хоёр хэсэгт хуваах боломжийг олгоно.

Одоо бид хайж байсан зүйлээ олцгооё:

Энэ бол бүх тооцоо юм. Хэдийгээр өмнөхөөсөө илүү төвөгтэй мэт харагдаж байна өмнөх даалгавар, тооцооны хэмжээ бүр ч бага болсон.

Шийдлийн нюансууд

Хүснэгтийн эсрэг деривативуудтай ажиллах гол бэрхшээл нь энд байгаа бөгөөд энэ нь ялангуяа хоёрдугаар даалгаварт мэдэгдэхүйц юм. Баримт нь хүснэгтээр хялбархан тооцоолох зарим элементүүдийг сонгохын тулд бид яг юу хайж байгаагаа мэдэх хэрэгтэй бөгөөд эдгээр элементүүдийг хайхад антидеривативын бүх тооцоо багтдаг.

Өөрөөр хэлбэл, антидеривативын хүснэгтийг цээжлэх нь хангалттай биш - та хараахан байхгүй байгаа зүйлийг олж харах чадвартай байх ёстой, гэхдээ энэ асуудлыг зохиогч, эмхэтгэгч юу гэсэн үг болохыг олж мэдэх хэрэгтэй. Тийм ч учраас олон математикч, багш, профессорууд: "Антидериватив эсвэл интеграци гэж юу вэ - энэ нь зүгээр л нэг хэрэгсэл юм уу эсвэл жинхэнэ урлаг юм уу?" гэж байнга маргаж байдаг. Үнэн хэрэгтээ, миний хувийн бодлоор, интеграци бол урлаг биш юм - үүнд ямар ч агуу зүйл байхгүй, энэ бол зүгээр л дадлага, илүү дадлага юм. Дадлага хийхийн тулд өөр гурван ноцтой жишээг шийдье.

Бид практик дээр интеграцид сургадаг

Даалгавар №1

Дараах томьёог бичье.

\[((x)^(n))\frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\to \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\text(arctg)x\]

Дараахыг бичье.

Асуудал №2

Үүнийг дараах байдлаар дахин бичье.

Нийт эсрэг дериватив нь дараахтай тэнцүү байна.

Асуудал №3

Энэ даалгаврын хүндрэл нь өмнөх функцүүдээс ялгаатай нь $x$ хувьсагч огт байхгүй, i.e. дор хаяж ижил төстэй зүйлийг авахын тулд юу нэмэх, хасах нь бидэнд тодорхойгүй байна. Гэсэн хэдий ч үнэн хэрэгтээ энэ илэрхийлэл нь өмнөх бүтээн байгуулалтуудаас бүр ч илүү энгийн гэж тооцогддог, учир нь энэ функцдараах байдлаар дахин бичиж болно.

Та одоо асууж магадгүй: яагаад эдгээр функцүүд тэнцүү байна вэ? Шалгацгаая:

Үүнийг дахин бичье:

Өөрийнхөө илэрхийлэлийг бага зэрэг өөрчилье:

Би энэ бүгдийг оюутнууддаа тайлбарлахад бараг үргэлж ижил асуудал гарч ирдэг: эхний функцээр бүх зүйл бага эсвэл тодорхой байдаг, хоёр дахь функцээр та үүнийг азаар эсвэл дадлага хийж болно, гэхдээ та ямар өөр ухамсартай вэ? Гурав дахь жишээг шийдэхийн тулд заавал байх шаардлагатай юу? Үнэндээ, бүү ай. Сүүлчийн эсрэг деривативыг тооцоолохдоо бидний ашигласан техникийг "функцийг хамгийн энгийн болгон задлах" гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь маш ноцтой арга бөгөөд тусдаа видео хичээлийг үүнд зориулах болно.

Энэ хооронд би саяхан судалсан зүйлдээ, тухайлбал экспоненциал функцууд руу буцаж, тэдгээрийн агуулгын талаархи асуудлуудыг зарим талаар хүндрүүлэхийг санал болгож байна.

Эсрэг дериватив экспоненциал функцийг шийдвэрлэх илүү төвөгтэй асуудлууд

Даалгавар №1

Дараахь зүйлийг тэмдэглэе.

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \баруун))^(x))=((10)^(x) )\]

Энэ илэрхийллийн эсрэг деривативыг олохын тулд энгийн томъёог ашиглана уу - $((a)^(x))\frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

Манай тохиолдолд эсрэг дериватив нь дараах байдалтай байна.

Мэдээжийн хэрэг, бидний саяхан шийдсэн загвартай харьцуулахад энэ нь илүү энгийн харагдаж байна.

Асуудал №2

Дахин хэлэхэд, энэ функцийг хоёр тусдаа нэр томъёонд хялбархан хувааж болно - хоёр тусдаа бутархай. Дахин бичье:

Дээр тайлбарласан томъёог ашиглан эдгээр нэр томъёо тус бүрийн эсрэг деривативыг олох хэрэгтэй.

Хүчин чадлын функцтэй харьцуулахад экспоненциал функцууд илүү төвөгтэй байсан ч тооцоолол, тооцооллын нийт хэмжээ нь илүү хялбар болсон.

Мэдээжийн хэрэг мэдлэгтэй оюутнуудБидний дөнгөж сая хэлэлцсэн зүйл (ялангуяа өнөөг хүртэл хэлэлцсэн зүйлийн цаана) энгийн илэрхийлэл мэт санагдаж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч өнөөдрийн видео хичээлд зориулж эдгээр хоёр бодлогыг сонгохдоо би өөр нэг нарийн төвөгтэй, боловсронгуй техникийг танд хэлэх зорилго тавиагүй - миний танд үзүүлэхийг хүссэн зүйл бол та анхны функцийг өөрчлөхийн тулд стандарт алгебрийн техникийг ашиглахаас айх хэрэггүй юм. .

"Нууц" техникийг ашиглах

Эцэст нь хэлэхэд, би өөр нэг сонирхолтой техникийг авч үзэхийг хүсч байна, энэ нь нэг талаас, бидний өнөөдрийн голчлон ярилцсан зүйлийнхээ хүрээнээс давж гардаг, гэхдээ нөгөө талаас, энэ нь нэгдүгээрт, огт төвөгтэй биш юм. Тэр ч байтугай анхан шатны оюутнууд ч үүнийг эзэмшиж чаддаг, хоёрдугаарт, энэ нь ихэвчлэн бүх төрлийн тест, тестүүдээс олддог. бие даасан ажил, өөрөөр хэлбэл Үүний талаархи мэдлэг нь эсрэг деривативуудын хүснэгтийн талаархи мэдлэгээс гадна маш их хэрэгтэй болно.

Даалгавар №1

Мэдээжийн хэрэг, бидний өмнө байгаа зүйл бол маш төстэй зүйл юм эрчим хүчний функц. Энэ тохиолдолд бид юу хийх ёстой вэ? Бодоод үз дээ: $x-5$ нь $x$-ээс тийм ч их ялгаатай биш - тэд зүгээр л $-5$ нэмсэн. Үүнийг ингэж бичье.

\[((x)^(4))\frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \баруун))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

$((\left(x-5 \right))^(5))$-ын деривативыг олохыг хичээцгээе:

\[((\left(((\left(x-5 \баруун))^(5)) \баруун))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \баруун)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \баруун))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \баруун))^(4))\]

Үүнээс үүдэн гарч байна.

\[((\зүүн(x-5 \баруун))^(4))=((\зүүн(\frac(((\зүүн(x-5 \баруун))^(5)))(5) \ баруун))^(\prime ))\]

Хүснэгтэнд ийм утга байхгүй тул бид одоо энэ томъёог ашиглан өөрсдөө гаргаж авсан стандарт томъёохүчний функцийн эсрэг дериватив. Хариултаа ингэж бичье.

Асуудал №2

Эхний шийдлийг харсан олон оюутнууд бүх зүйл маш энгийн гэж бодож магадгүй: хүчний функц дэх $x$-г шугаман илэрхийллээр солиход л бүх зүйл байрандаа орно. Харамсалтай нь бүх зүйл тийм ч энгийн биш, одоо бид үүнийг харах болно.

Эхний илэрхийлэлтэй зүйрлэвэл бид дараахь зүйлийг бичнэ.

\[((x)^(9))\frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \баруун))^(10)) \баруун))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \баруун)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \баруун))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \баруун))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \баруун)) ^(9))\]

Бидний дериватив руу буцаж очоод бид дараахь зүйлийг бичиж болно.

\[((\left((\left(4-3x \баруун))^(10)) \баруун))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \баруун)) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \баруун))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \баруун)))^(10)))(-30) \баруун))^(\prime ))\]

Энэ нь нэн даруй дараах байдалтай байна:

Шийдлийн нюансууд

Анхаарна уу: хэрэв өнгөрсөн удаад юу ч өөрчлөгдөөгүй бол хоёр дахь тохиолдолд $-10$-ын оронд $-30$ гарч ирсэн. -10$ ба -30$ хооронд ямар ялгаа байдаг вэ? Мэдээжийн хэрэг, -3 доллараар. Асуулт: Энэ хаанаас ирсэн бэ? Сайн ажиглавал деривативыг тооцсоны үр дүнд авсан нь харагдаж байна нарийн төвөгтэй функц- $x$-д байсан коэффициент нь доорх антидеривативт харагдана. Энэ их чухал дүрэм, Би өнөөдрийн видео заавар дээр анх хэлэлцэхээр төлөвлөөгүй байсан ч үүнгүйгээр хүснэгтийн эсрэг деривативуудын танилцуулга бүрэн бус байх болно.

Тиймээс дахин хийцгээе. Бидний гол чадлын функц байгаасай:

\[((x)^(n))\frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Одоо $x$-ийн оронд $kx+b$ илэрхийллийг орлъё. Дараа нь юу болох вэ? Бид дараахь зүйлийг олох хэрэгтэй.

\[((\left(kx+b \баруун))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1) \right)\cdot k)\]

Үүнийг бид ямар үндэслэлээр баталж байна вэ? Маш энгийн. Дээр бичсэн барилгын деривативыг олъё:

\[((\left(\frac((\left(kx+b \баруун)))^(n+1)))(\left(n+1 \баруун)\cdot k) \баруун))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \баруун)\cdot k)\cdot \left(n+1 \баруун)\cdot ((\left(kx+b \баруун))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \баруун))^(n))\]

Энэ бол анх байсан илэрхийлэл юм. Тиймээс энэ томъёо нь бас зөв бөгөөд үүнийг антидеривативуудын хүснэгтийг нөхөхөд ашиглаж болно, эсвэл хүснэгтийг бүхэлд нь цээжлэх нь дээр.

"Нууц: техник:"-ийн дүгнэлт:

• Бидний саяхан шалгасан функцуудыг хоёуланг нь хүснэгтэд заасан эсрэг дериватив болгон бууруулж болох боловч хэрвээ бид дөрөвдүгээр зэрэглэлийг ямар нэгэн байдлаар даван туулж чадвал би есдүгээр зэрэглэлийг зоригтой гэж үзэхгүй байх болно. илчлэх.
• Хэрэв бид эрх мэдлээ өргөтгөх юм бол ийм хэмжээний тооцоо гарах байсан энгийн даалгаварбиднээс хангалтгүй зээлэх болно их тооцаг.
• Ийм учраас шугаман илэрхийлэл агуулсан ийм бодлогуудыг “толгойгоор” шийдэх шаардлагагүй. Хүснэгтээс зөвхөн $kx+b$ илэрхийлэл байгаагаараа ялгаатай эсрэг деривативтай тааралдмагц дээр бичсэн томъёог санаж, хүснэгтийнхээ эсрэг дериватив дээр орлуулаарай, тэгвэл бүх зүйл сайн болно. илүү хурдан бөгөөд хялбар.

Мэдээжийн хэрэг, энэ техникийн нарийн төвөгтэй байдал, ноцтой байдлаас шалтгаалан бид дараагийн видео хичээлүүдэд үүнийг олон удаа авч үзэх болно, гэхдээ энэ нь өнөөдрийн хувьд юм. Энэ хичээл нь антидериватив болон интеграцчлалыг ойлгохыг хүсдэг оюутнуудад үнэхээр тусална гэж найдаж байна.

Оюутан бүрийн мэдэх ёстой үндсэн интегралууд

Жагсаалтад орсон интегралууд нь үндсэн суурь, үндэс суурь юм. Эдгээр томъёог заавал санаж байх ёстой. Илүү ихийг тооцоолохдоо комплекс интегралТа тэдгээрийг байнга ашиглах хэрэгтэй болно.

Та төлнө үү онцгой анхаарал(5), (7), (9), (12), (13), (17) ба (19) томъёонд. Интеграл хийхдээ хариултдаа дурын тогтмол C нэмэхээ бүү мартаарай!

Тогтмолын интеграл

Эрчим хүчний функцийг нэгтгэх

Үнэн хэрэгтээ бид зөвхөн (5) ба (7) томъёогоор хязгаарлагдах боломжтой байсан боловч энэ бүлгийн бусад интегралууд маш олон удаа тохиолддог тул тэдэнд бага зэрэг анхаарал хандуулах нь зүйтэй юм.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | +C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Экспоненциал функц ба гипербол функцийн интеграл

Мэдээжийн хэрэг, томъёо (8) (магадгүй цээжлэхэд хамгийн тохиромжтой) гэж үзэж болно онцгой тохиолдолтомъёо (9). -ийн интегралын томъёо (10) ба (11). гиперболын синусТэгээд гипербол косинус(8) томъёоноос амархан гаргаж авдаг боловч эдгээр харилцааг зүгээр л санах нь дээр.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Тригонометрийн функцүүдийн үндсэн интегралууд

Сурагчдын ихэвчлэн гаргадаг алдаа бол томьёо (12) ба (13) дахь тэмдгүүдийг андуурдаг явдал юм. Синусын дериватив нь косинустай тэнцүү гэдгийг санаж, олон хүн яагаад ч юм интеграл гэж үздэг. sinx функцууд cosx-тэй тэнцүү. Энэ үнэн биш! Синусын интеграл нь "хасах косинус"-тай тэнцүү, харин cosx-ийн интеграл нь "зүгээр л синус"-тай тэнцүү байна:

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 нүгэл 2 x d x = − c t g x + C (15)

Урвуу тригонометрийн функц болгон бууруулсан интеграл

Арктангенс руу хөтлөх томъёо (16) нь байгалийн хувьд (17) a=1 томъёоны онцгой тохиолдол юм. Үүний нэгэн адил (18) нь (19)-ийн онцгой тохиолдол юм.

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Илүү төвөгтэй интегралууд

Эдгээр томъёог санах нь зүйтэй. Тэдгээрийг бас ихэвчлэн ашигладаг бөгөөд гаралт нь нэлээд уйтгартай байдаг.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln |
x + x 2 + a 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln |
x + x 2 − a 2 | +C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln |

x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23) ∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

Интеграцийн ерөнхий дүрмүүд 1) Хоёр функцийн нийлбэрийн интегралнийлбэртэй тэнцүү байна

харгалзах интеграл: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Хоёр функцийн ялгааны интеграл

зөрүүтэй тэнцүү байна харгалзах интеграл: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26) 3) Тогтмолыг интеграл тэмдэгээс гаргаж болно: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Үл хөдлөх хөрөнгө (26) нь ердөө л (25) ба (27) шинж чанаруудын хослол гэдгийг харахад хялбар байдаг.

4) Комплекс функцийн интеграл, хэрэв дотоод функцшугаман байна: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Энд F(x) нь f(x) функцийн эсрэг дериватив юм. Анхаарна уу: энэ томъёо нь зөвхөн дотоод функц Ax + B үед л ажиллана.

Чухал: байхгүй байна бүх нийтийн томъёоХоёр функцийн үржвэрийн интеграл, түүнчлэн бутархайн интегралын хувьд:

∫ f (x) g (x) d x = ?

(25) ба (26) томъёог ашиглая (функцийн нийлбэр буюу ялгаварын интеграл нь харгалзах интегралуудын нийлбэр буюу зөрүүтэй тэнцүү байна. Бид дараахийг олж авна: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

Тогтмолыг интеграл тэмдэгээс (томъёо (27)) гаргаж болно гэдгийг санацгаая. Илэрхийлэл нь хэлбэрт шилжсэн

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e ​​x d x + 12 ∫ 1 d x

Одоо үндсэн интегралуудын хүснэгтийг ашиглая. Бид (3), (12), (8) ба (1) томъёог ашиглах шаардлагатай болно. Хүчин чадлын функц, синус, экспоненциал, тогтмол 1-ийг нэгтгэж үзье. Төгсгөлд нь дурын тогтмол C нэмэхээ бүү мартаарай:

3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Дараа нь анхан шатны өөрчлөлтүүдБид эцсийн хариултыг авна:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Ялгаварлан өөрийгөө сорих: авах үүссэн функцийн деривативмөн анхны интеграл илэрхийлэлтэй тэнцүү эсэхийг шалгаарай.

Интегралын хураангуй хүснэгт

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln |

x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) ∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | (x + x 2 − a 2 | + C (a > 0), Интегралын хүснэгтийг (II хэсэг) энэ линкээс татаж авна ууХэрэв та их сургуульд сурч байгаа бол, хэрэв танд хүндрэлтэй байгаа бол дээд математикматематик шинжилгээ

шугаман алгебр

, магадлалын онол, статистик), хэрэв танд мэргэшсэн багшийн үйлчилгээ шаардлагатай бол хуудас руу очно уу.болон нэгтгэх аргууд. Нийлбэр эсвэл зөрүүг нэгтгэх дүрэм. Тогтмолыг интеграл тэмдгийн гадуур хөдөлгөж байна. Хувьсах солих арга. Хэсэгээр нь нэгтгэх томъёо. Асуудлыг шийдэх жишээ.

Интеграцийн дөрвөн үндсэн аргыг доор жагсаав.

1) Нийлбэр эсвэл зөрүүг нэгтгэх дүрэм.
.
Энд ба доор u, v, w нь x интегралчлах хувьсагчийн функцууд юм.

2) Тогтмолыг интеграл тэмдгийн гадуур хөдөлгөж байна.
c нь x-ээс хамааралгүй тогтмол байг.

3) Дараа нь интеграл тэмдэгээс гаргаж болно.
Хувьсах солих арга.
Тодорхой бус интегралыг авч үзье. Хэрэв бид ийм функцийг олж чадвал φ(x)
,
x-ээс, тэгэхээр
.

4) тэгвэл t = φ(x) хувьсагчийг орлуулснаар бид байна
,
Хэсэгээр нь нэгтгэх томъёо.

Энд u ба v нь интеграцийн хувьсагчийн функцууд юм.Эцсийн зорилго Тодорхой бус интегралыг тооцоолох гэдэг нь хувиргах замаар өгөгдсөн интегралыг хүснэгтийн интеграл гэж нэрлэдэг хамгийн энгийн интеграл болгон багасгахыг хэлнэ. Хүснэгтийн интегралуудаар илэрхийлэгдэнэүндсэн функцууд By.
мэдэгдэж байгаа томъёонууд

Интегралын хүснэгтийг үзнэ үү >>>

Жишээ

Тодорхой бус интегралыг тооцоолох

Шийдэл
Интеграл нь гурван гишүүний нийлбэр ба зөрүү гэдгийг бид тэмдэглэж байна.
, Мөн . 1 .

Арга хэрэглэх 5, 4, Тэгээд 2 Дараа нь бид шинэ интегралуудын интегралуудыг тогтмол тоогоор үржүүлж байгааг тэмдэглэв 2 .

, тус тус. Арга хэрэглэх
.
Интегралын хүснэгтээс бид томъёог олно 2 n = гэж үзвэл

, бид эхний интегралыг олно.
.
Хоёрдахь интегралыг хэлбэрээр дахин бичье

Бид үүнийг анзаарч байна. Дараа нь.
.
Гурав дахь аргыг ашиглацгаая. Бид t = φ хувьсагчийг өөрчилдөг

(x) = log x Интегралын хүснэгтээс бид томъёог олноТүүнээс хойш

интеграцийн хувьсагч
.
ямар ч үсгээр тэмдэглэж болно, тэгвэл
Гурав дахь интегралыг хэлбэрээр дахин бичье
Бид интеграцийн томъёог хэсгүүдээр нь ашигладаг.
;
;

;
;
.

Үүнийг тавья. Дараа ньИлүү их эртний материалдеривативыг олох асуудлыг авч үзсэн ба түүний төрөл бүрийн програмууд: тооцоо

налуу

графикт шүргэгч, оновчлолын асуудлыг шийдвэрлэх, монотон ба экстремумын функцуудыг судлах. $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arcctg))\nolimits)$

Зураг 1.

$s(t)$ функцээр илэрхийлэгдсэн урьд нь мэдэгдэж байсан туулсан замын дагуух деривативыг ашиглан $v(t)$ агшин зуурын хурдыг олох асуудлыг мөн авч үзсэн. агшин зуурын хурд$v(t)$ нь $s(t)$ замын функцийн дериватив хэлбэрээр олддог: $v(t)=s’(t)$. Тиймээс, шийдэх урвуу асуудал, өөрөөр хэлбэл, замыг тооцоолохын тулд та дериватив нь хурдны функцтэй тэнцүү байх функцийг олох хэрэгтэй. Гэхдээ замын дериватив нь хурд, өөрөөр хэлбэл: $s’(t) = v(t)$ гэдгийг бид мэднэ. Хурд нь хурдатгалын цагтай тэнцүү: $v=at$. Хүссэн замын функц нь дараах хэлбэртэй болохыг тодорхойлоход хялбар байдаг: $s(t) = \frac(at^2)(2)$. Гэхдээ энэ нь бүрэн дүүрэн шийдэл биш юм. Бүрэн шийдэлдараах хэлбэртэй байна: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$, $C$ нь тогтмол байна. Яагаад ийм болсон бэ гэдгийг цаашид хэлэлцэх болно. Одоохондоо олдсон шийдлийн зөв эсэхийг шалгая: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+0 =at=v(t)$.

Хурд дээр суурилсан замыг олох нь чухал гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй физик утгаэсрэг дериватив.

Үүссэн $s(t)$ функцийг $v(t)$ функцийн эсрэг дериватив гэнэ. Маш сонирхолтой, ер бусын нэр, тийм ээ. Энэ нь мөн чанарыг тайлбарлах маш олон утгыг агуулдаг энэ үзэл баримтлалмөн түүнийг ойлгоход хүргэдэг. Энэ нь "эхний" ба "зураг" гэсэн хоёр үг агуулж байгааг та анзаарах болно. Тэд өөрсдийнхөө төлөө ярьдаг. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь бидэнд байгаа деривативын анхны функц юм. Мөн энэ деривативыг ашиглан бид "эхний", "анхны зураг", өөрөөр хэлбэл эсрэг дериватив байсан функцийг хайж байна. Үүнийг заримдаа команд функц эсвэл эсрэг дериватив гэж нэрлэдэг.

Бидний мэдэж байгаагаар деривативыг олох үйл явцыг дифференциал гэж нэрлэдэг. Эсрэг деривативыг олох үйл явцыг интеграл гэж нэрлэдэг. Интеграцийн үйл ажиллагаа нь ялгах үйлдлийн урвуу үйлдэл юм. Үүний эсрэг заалт нь бас үнэн юм.

Тодорхойлолт.Тодорхой интервал дээрх $f(x)$ функцийн эсрэг дериватив нь $F(x)$ функц бөгөөд үүсмэл нь заасан интервалаас бүх $x$-д $f(x)$ функцтэй тэнцүү байна: $F' (x)=f (x)$.

Хэрэв бид анх $s(t)$ ба $v(t)$-ийн тухай ярьж байсан бол $F(x)$ ба $f(x)$ тодорхойлолтод хаанаас ирсэн бэ гэсэн асуулт хэн нэгэнд гарч ирж магадгүй юм. Гол нь $s(t)$ ба $v(t)$ нь функцийн тэмдэглэгээний онцгой тохиолдол бөгөөд энэ тохиолдолд тодорхой утга, өөрөөр хэлбэл, энэ нь цаг хугацааны функц, хурдны функц юм. Энэ нь $t$ хувьсагчтай адилхан - энэ нь цаг хугацааг илэрхийлдэг. Мөн $f$ ба $x$ нь функц болон хувьсагчийн ерөнхий тэмдэглэгээний уламжлалт хувилбар юм. $F(x)$ эсрэг деривативын тэмдэглэгээнд онцгой анхаарал хандуулах нь зүйтэй. Юуны өмнө $F$ бол капитал юм. Эсрэг деривативуудыг тодорхойлсон том үсгээр. Хоёрдугаарт, үсэг нь адилхан: $F$ ба $f$. Өөрөөр хэлбэл, $g(x)$ функцийн хувьд эсрэг деривативыг $G(x)$, $z(x)$-д $Z(x)$ гэж тэмдэглэнэ. Тэмдэглэгээнээс үл хамааран эсрэг дериватив функцийг олох дүрэм үргэлж ижил байдаг.

Хэд хэдэн жишээг харцгаая.

Жишээ 1.$F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ функц нь $f(x)=\cos5x$ функцийн эсрэг дериватив гэдгийг батал.

Үүнийг нотлохын тулд бид $F'(x)=f(x)$ гэсэн тодорхойлолтыг ашиглаж, $F(x)$ функцийн деривативыг олно: $F'(x)=( \frac(1)(5 ) \sin5x)'=\frac(1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. Энэ нь $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ нь $f(x)=\cos5x$-ын эсрэг дериватив гэсэн үг. Q.E.D.

Жишээ 2.Дараах эсрэг деривативуудад аль функц тохирохыг ол: a) $F(z)=\tg z$; б) $G(l) = \sin l$.

Шаардлагатай функцуудыг олохын тулд тэдгээрийн деривативуудыг тооцоолъё:
a) $F’(z)=(\tg z)’=\frac(1)(\cos^2 z)$;
б) $G(l) = (\sin l)’ = \cos l$.

Жишээ 3.$f(x)=0$-ын эсрэг дериватив ямар байх вэ?
Тодорхойлолтыг ашиглацгаая. Ямар функц нь $0$-тэй тэнцүү дериватив байж болохыг бодъё. Деривативын хүснэгтийг эргэн санахад аливаа тогтмол нь ийм деривативтай байх болно. Бидний хайж буй антидериватив нь: $F(x)= C$ болохыг олж мэдсэн.

Үүссэн шийдлийг геометрийн болон физикийн хувьд тайлбарлаж болно. Геометрийн хувьд энэ нь $y=F(x)$ графикийн шүргэгч нь энэ графикийн цэг бүрт хэвтээ байх ба иймээс $Ox$ тэнхлэгтэй давхцаж байна гэсэн үг. Бие махбодийн хувьд үүнийг цэг нь хурдтай байдагтай холбон тайлбарладаг тэгтэй тэнцүү, байрандаа үлдэнэ, өөрөөр хэлбэл туулсан зам нь өөрчлөгдөөгүй. Үүний үндсэн дээр бид дараах теоремыг томъёолж болно.

Теорем. (Функцийн тогтмол байдлын тэмдэг). Хэрэв зарим интервал дээр $F’(x) = 0$ байвал энэ интервал дээрх $F(x)$ функц тогтмол байна.

Жишээ 4.Аль функц нь a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$; б) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; в) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; d) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, энд $a$ нь зарим тоо юм.
Эсрэг деривативын тодорхойлолтыг ашиглан бид энэ асуудлыг шийдэхийн тулд бидэнд өгсөн эсрэг дериватив функцүүдийн деривативуудыг тооцоолох хэрэгтэй гэж дүгнэж байна. Тооцоолохдоо тогтмол тоонуудын дериватив нь тэгтэй тэнцүү гэдгийг санаарай.
a) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
б) $F_2 =\left(\frac(x^7)(7) – 3\баруун)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
в) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)’= x^6$;
d) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)’ = x^6$.

Бид юу харж байна вэ? Хэд хэдэн өөр функцууд нь ижил функцийн командууд юм. Үүнээс үзэхэд аливаа функц нь хязгааргүй олон эсрэг деривативтай бөгөөд тэдгээр нь $F(x) + C$ хэлбэртэй байх ба $C$ нь дурын тогтмол юм. Өөрөөр хэлбэл, интеграцийн үйл ажиллагаа нь ялгах үйлдлээс ялгаатай нь олон утгатай байдаг. Үүний үндсэн дээр антидеривативуудын үндсэн шинж чанарыг тодорхойлсон теоремыг томъёолъё.

Теорем. (Антидеривативуудын үндсэн шинж чанар). $F_1$ ба $F_2$ функцуудыг байг эсрэг дериватив функцууд$f(x)$ тодорхой интервалаар. Дараа нь энэ интервалын бүх утгуудын хувьд дараах тэгш байдал үнэн болно: $F_2=F_1+C$, $C$ нь тогтмол байна.

Боломжтой байдлын баримт хязгааргүй тооэсрэг деривативуудыг геометрийн аргаар тайлбарлаж болно. Ашиглах замаар зэрэгцээ шилжүүлэг$Oy$ тэнхлэгийн дагуу $f(x)$-ын аль ч хоёр эсрэг деривативын графикийг бие биенээсээ авч болно. Энэ бол геометрийн утгаэсрэг дериватив.

Тогтмол $C$-г сонгосноор эсрэг деривативын график тодорхой цэгээр дамжин өнгөрөхийг баталгаажуулж чадна гэдгийг анхаарах нь маш чухал юм.

Зураг 3.

Жишээ 5.График нь $(3; 1)$ цэгийг дайран өнгөрөх $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$ функцийн эсрэг деривативыг ол.
Эхлээд $f(x)$-ын бүх эсрэг деривативуудыг олъё: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
Дараа нь $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ график $(3; 1)$ цэгээр дамжин өнгөрөх С тоог олно. Үүнийг хийхийн тулд бид цэгийн координатыг график тэгшитгэлд орлуулж, $C$-оор шийднэ.
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
Бид $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$ эсрэг деривативтай тохирох $y=\frac(x^3)(9)+x-5$ графикийг авсан.

Эсрэг деривативуудын хүснэгт

Эсрэг деривативыг олох томъёоны хүснэгтийг дериватив олох томъёог ашиглан эмхэтгэж болно.

Хүснэгтийн зөв эсэхийг дараах байдлаар шалгаж болно: баруун баганад байрлах антидеривативын багц бүрийн хувьд деривативыг олоорой. холбогдох функцууд, зүүн баганад зогсож байна.

Эсрэг деривативыг олох зарим дүрэм

Таны мэдэж байгаагаар олон функцууд илүү олон байдаг нарийн төвөгтэй дүр төрх, эсрэг деривативын хүснэгтэд зааснаас илүү бөгөөд энэ хүснэгтээс функцүүдийн нийлбэр болон үржвэрийн дурын дурын хослолыг илэрхийлж болно. Эндээс асуулт гарч ирнэ: ийм функцүүдийн эсрэг деривативуудыг хэрхэн тооцоолох вэ. Жишээлбэл, хүснэгтээс бид $x^3$, $\sin x$, $10$-ын эсрэг деривативуудыг хэрхэн тооцоолохыг мэддэг. Жишээлбэл, $x^3-10\sin x$-ийн эсрэг деривативыг хэрхэн тооцоолох вэ? Цаашид $\frac(x^4)(4)+10\cos x$-тэй тэнцүү байх болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.
1. Хэрэв $F(x)$ нь $f(x)$-д эсрэг дериватив бол, $g(x)$-д $G(x)$ байвал $f(x)+g(x)$-д эсрэг дериватив байна. $ F(x)+G(x)$-тай тэнцүү.
2. Хэрэв $F(x)$ нь $f(x)$-ийн эсрэг дериватив ба $a$ тогтмол бол $af(x)$-ийн эсрэг дериватив нь $aF(x)$ байна.
3. Хэрэв $f(x)$-ийн эсрэг дериватив нь $F(x)$, $a$ ба $b$ нь тогтмол бол $\frac(1)(a) F(ax+b)$ нь эсрэг дериватив байна. $f (ax+b)$.
Хүлээн авсан дүрмийг ашиглан бид эсрэг деривативуудын хүснэгтийг өргөжүүлж болно.

Жишээ 5.Дараахын эсрэг деривативуудыг олох:

a) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;

б) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;

в) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;

г) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.

a) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;

б) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;

в) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;

г) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.