Математикийн шинжилгээний аргын ерөнхий шинж чанар. Математикийн судалгаа

1774 онд Л.Эйлер хэрэв функцийг харуулсан у(х)шугаман интегралд минимумыг хүргэдэг J = J[y(x),Дараа нь энэ нь дараа нь гэж нэрлэгддэг дифференциал тэгшитгэлийг хангах ёстой Эйлерийн тэгшитгэл.Энэ баримтыг нээсэн нь математик загварчлалын (математик загвар бүтээх) чухал ололт байв. Ижил математик загварыг функциональ эсвэл Эйлерийн дифференциал тэгшитгэл (дифференциал тэгшитгэлийн систем) хэлбэрээр хоёр тэнцүү хэлбэрээр илэрхийлж болох нь тодорхой болсон. Үүнтэй холбогдуулан дифференциал тэгшитгэлийг функцээр солих гэж нэрлэдэг вариацын тооцооны урвуу бодлого.Иймд функциональ экстремумын асуудлын шийдлийг энэ функцэд тохирох Эйлерийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдэлтэй адил авч үзэж болно. Иймд ижил физик асуудлын математик томъёоллыг харгалзах хилийн нөхцөл бүхий функциональ хэлбэрээр (энэ функцийн экстремум нь физикийн асуудлын шийдлийг өгдөг) эсвэл Эйлерийн дифференциал тэгшитгэлийн хэлбэрээр илэрхийлж болно. ижил хилийн нөхцөл бүхий функциональд (энэ тэгшитгэлийг нэгтгэх нь асуудлын шийдлийг өгдөг).

Хэрэглээний шинжлэх ухаанд вариацын аргуудыг өргөнөөр дэлгэрүүлэхэд 1908 онд В.Рицын функциональ функцийг багасгах аргатай холбоотой хэвлэн нийтлүүлсэн нь тусалсан. Риц арга.Энэ аргыг сонгодог вариацын арга гэж үздэг. Үүний гол санаа нь хүссэн функц юм y = y(x) yфункцийг хүргэх (А ) хамтхилийн нөхцөл у (а) = А, у (б) = INхамгийн бага утгыг цуврал болгон хайсан

Хаана Cj (би = 0, yy) - үл мэдэгдэх коэффициентүүд; (r/(d) (r = 0, p) - зохицуулах функцууд(алгебр эсвэл тригонометрийн полип).

Координатын функцууд нь асуудлын хилийн нөхцлүүдийг яг хангасан хэлбэрээр олддог.

Функционалын деривативыг тодорхойлсны дараа (c)-г (A) орлуул ЖС, (r = 0, r) үл мэдэгдэхээс сүүлчийнх нь хувьд алгебрийн шугаман тэгшитгэлийн системийг олж авна. С коэффициентийг тодорхойлсны дараа (c) -аас хаалттай хэлбэрээр асуудлын шийдлийг олно.

Олон тооны цуврал нэр томъёог ашиглах үед (c) (х- 5? °о) зарчмын хувьд шаардлагатай нарийвчлалын уусмалыг авах боломжтой. Гэсэн хэдий ч яаж тодорхой асуудлуудын тооцоо, коэффициентийн матрицыг харуулах C, (g = 0, p)нь их хэмжээний коэффициент бүхий дүүргэсэн квадрат матриц юм үнэмлэхүй үнэ цэнэ. Ийм матрицууд нь ганц биетэй ойролцоо бөгөөд дүрмээр бол нөхцөл муутай байдаг. Учир нь тэдгээр нь матрицыг сайн нөхцөлдүүлэх ямар ч нөхцөлийг хангадаггүй. Эдгээр нөхцлүүдийн заримыг авч үзье.

• 1. Матрицын эерэг тодорхой байдал (гол диагональ дээр байрлах нэр томъёо нь эерэг ба хамгийн их байх ёстой).
• 2. Соронзон хальсны хамгийн бага өргөнтэй гол диагональтай харьцуулахад матрицын туузны дүрслэл (соронзон хальсны гадна байрлах матрицын коэффициентүүд нь тэгтэй тэнцүү).
• 3. Үндсэн диагональтай харьцуулахад матрицын тэгш хэмтэй байдал.

Үүнтэй холбогдуулан Ритцийн аргын ойролцоо тоо нэмэгдэхийн хэрээр матрицын нөхцөлийн дугаар нь түүний максимум ба хамгийн бага хувийн утгын харьцаагаар тодорхойлогддог бөгөөд энэ нь хязгааргүй их утгатай байх хандлагатай байдаг. Шийдвэрлэх явцад бөөрөнхийллийн алдаа хурдан хуримтлагдсанаас үүссэн шийдлийн нарийвчлал. том системүүдалгебрийн шугаман тэгшитгэлүүд сайжрахгүй, харин улам дорддог.

Ритцийн аргатай зэрэгцэн холбогдох Галеркины арга бий болсон. 1913 онд I. G. Bubnov тодорхойгүй C, (/ = 0,) алгебрийн шугаман тэгшитгэлийг тогтоожээ. n) (c)-ээс (A) хэлбэрийн функцийг ашиглахгүйгээр авч болно. Асуудлын математик томъёолол энэ тохиолдолдзохих хилийн нөхцөл бүхий дифференциал тэгшитгэлийг багтаасан болно. Ритцийн аргын нэгэн адил уусмалыг (c) хэлбэрээр хийдэг. φ,(x) координатын функцүүдийн тусгай дизайны ачаар (c) шийдэл нь асуудлын хилийн нөхцлийг бүрэн хангаж байна. Үл мэдэгдэх C коэффициентийг тодорхойлохын тулд, (g = 0, p)дифференциал тэгшитгэлийн зөрүүг эмхэтгэсэн бөгөөд зөрүүг бүх координатын функцэд ортогональ байх шаардлагатай φ 7 Cr) (/ = би = 0, p).Хүлээн авагчдыг тодорхойлох Үл мэдэгдэх C коэффициентүүдтэй холбоотой интегралууд байдаг. (Г= 0, r) бид Риц аргын ижил төстэй тэгшитгэлийн системтэй бүрэн давхцах алгебрийн шугаман тэгшитгэлийн системийг олж авдаг. Тиймээс ижил төстэй координатын функцүүдийн системийг ашиглан ижил асуудлыг шийдвэрлэхэд Риц, Бубнов-Галеркин аргууд нь ижил үр дүнд хүргэдэг.

Хүлээн авсан үр дүн нь тодорхой байгаа хэдий ч Ritz аргатай харьцуулахад Бубнов-Галеркины аргын чухал давуу тал нь дифференциал тэгшитгэлийн вариацын аналогийг (функциональ) байгуулах шаардлагагүй юм. Ийм аналогийг үргэлж барьж чадахгүй гэдгийг анхаарна уу. Энэ Бубнов-Галеркины аргатай холбогдуулан сонгодог вариацын аргуудыг ашиглах боломжгүй асуудлуудыг шийдэж болно.

Вариацийн бүлэгт хамаарах өөр нэг арга бол Канторовичийн арга юм. Түүний онцлох тэмдэг(c) төрлийн шугаман хослолын үл мэдэгдэх коэффициентүүд нь тогтмол биш, харин бие даасан функцүүдийн аль нэгээс хамаарах функцууд юм. асуудлын хувьсагч(жишээ нь, цаг хугацаа). Энд Бубнов-Галеркины аргын нэгэн адил дифференциал тэгшитгэлийн зөрүүг эмхэтгэж, зөрүүг бүх координатын функцэд ортогональ байх шаардлагатай (ру(дг)) (j = i = 0, p).Үл мэдэгдэх функцүүдийн хувьд интегралыг тодорхойлсны дараа fj(x)Бид эхний эрэмбийн энгийн дифференциал тэгшитгэлийн системтэй болно. Ийм системийг шийдвэрлэх аргууд сайн боловсруулсан (компьютерийн стандарт програмууд байдаг).

Шийдвэрлэх үеийн нэг чиглэл хил хязгаарын асуудалбайна хуваалцахяг (Фурье, интеграл хувиргалт гэх мэт) болон ойролцоо (вариацын, жигнэсэн үлдэгдэл, нэгдэл гэх мэт) аналитик аргууд. Ийм нэгдсэн арга барилзөвшөөрдөг хамгийн сайн аргаарашиглах эерэг талуудХязгааргүй функциональ цуваанаас бүрдэх нарийн шийдлийн үндсэн хэсэгтэй дүйцэхүйц энгийн хэлбэрээр илэрхийллийг нарийн бөгөөд төвөгтэй математик тооцоолол хийхгүйгээр олж авах боломжтой болсон тул хэрэглээний математикийн эдгээр хамгийн чухал хоёр төхөөрөмж юм. Практик тооцооллын хувьд дүрмээр бол хэд хэдэн нэр томъёоны хэсэгчилсэн нийлбэрийг ашигладаг. Илүү нарийвчлалтай үр дүнд хүрэхийн тулд ийм аргыг ашиглах үед эхний хэсэгпараболик координатыг гүйцэтгэх ёстой их тооойролцоо тооцоолол. Гэсэн хэдий ч том хэмжээтэй nЗэргэлдээх индексүүдтэй координатын функцууд нь бараг шугаман харилцаатай холбоотой алгебрийн тэгшитгэлд хүргэдэг. Энэ тохиолдолд коэффициентийн матрицыг бөглөж байна квадрат матриц, доройтоход ойрхон байгаа бөгөөд дүрмээр бол нөхцөл муутай болж хувирдаг. Тэгээд хэзээ n- 3? °° ойролцоо шийдэл нь сул нарийвчлалтай шийдэлд нийлэхгүй байж болно. Буруу нөхцөлтэй матрицтай алгебрийн шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх нь дугуйралтын алдаа хурдан хуримтлагддагтай холбоотой техникийн томоохон хүндрэл учруулдаг. Тиймээс ийм тэгшитгэлийн системийг завсрын тооцооллын өндөр нарийвчлалтайгаар шийдэх ёстой.

Цаг хугацааны (параболик) координатын эхний хэсэгт аналитик шийдлийг олж авах боломжийг олгодог ойролцоогоор аналитик аргуудын дунд тусгай байрыг ойлголтыг ашигладаг аргууд эзэлдэг. температурын эвдрэлийн урд.Эдгээр аргуудын дагуу биеийг халаах эсвэл хөргөх бүх үйл явцыг албан ёсоор хоёр үе шатанд хуваадаг. Тэдгээрийн эхнийх нь температурын эвдрэлийн урд хэсэг нь биеийн гадаргуугаас түүний төв рүү аажмаар тархаж, хоёр дахь нь биеийн бүх эзлэхүүн дэх температурын өөрчлөлт эхлэх хүртэл тодорхойлогддог. тогтвортой байдал. Дулааны процессыг цаг хугацаанд нь хоёр үе шатанд хуваах нь суурин бус дулаан дамжилтын илтгэлцүүрийн асуудлыг алхам алхмаар шийдвэрлэх боломжийг олгодог бөгөөд үе шат бүрт тус тусад нь дүрмээр бол эхний ойролцоолсон тооцооллын томъёог олоход хангалттай. нарийвчлалтай, инженерийн хэрэглээнд маш энгийн бөгөөд тохиромжтой. Эдгээр аргууд нь бас мэдэгдэхүйц сул талтай бөгөөд энэ нь хүссэн температурын функцийн координатын хамаарлыг априори сонгох хэрэгцээ юм. Ихэвчлэн квадрат эсвэл куб параболыг хүлээн зөвшөөрдөг. Энэхүү шийдлийн хоёрдмол утга нь нарийвчлалын асуудлыг үүсгэдэг, учир нь температурын талбайн нэг буюу өөр профайлыг урьдчилан таамаглах бүрт бид өөр өөр эцсийн үр дүнг авах болно.

Температурын эвдрэлийн урд талын хөдөлгөөний хязгаарлагдмал хурдны санааг ашигладаг аргуудын дотроос хамгийн өргөн хэрэглэгддэг нь интеграл арга юм. дулааны тэнцвэр. Түүний тусламжтайгаар хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийг өгөгдсөн анхны нөхцлүүдтэй энгийн дифференциал тэгшитгэл болгон бууруулж болох бөгөөд үүний шийдлийг ихэвчлэн хаалттай аналитик хэлбэрээр авах боломжтой. Жишээлбэл, интеграл аргыг дулааны физик шинж чанар нь тогтмол биш боловч нарийн төвөгтэй функциональ хамаарлаар тодорхойлогддог тул дулаан дамжуулалтаас гадна конвекцийг харгалзан үзэх шаардлагатай асуудлуудыг шийдвэрлэхэд ашиглаж болно. Интеграл арга нь дээр дурдсан сул талтай байдаг - температурын профайлын априори сонголт нь шийдлийн өвөрмөц байдлын асуудлыг үүсгэж, түүний нарийвчлал багатай болоход хүргэдэг.

Дулаан дамжуулалтын асуудлыг шийдвэрлэхэд интеграл аргыг хэрэглэх олон жишээг Т.Гүүдманы бүтээлд өгсөн болно. Энэхүү бүтээлд агуу боломжуудын дүрслэлээс гадна түүний хязгаарлалтыг харуулсан болно. Тиймээс интеграл аргаар олон асуудлыг амжилттай шийдэж байгаа хэдий ч байдаг бүхэл бүтэн ангиэнэ аргыг бараг хэрэглэх боломжгүй ажлууд. Эдгээр нь жишээлбэл, оролтын функцүүдийн импульсийн өөрчлөлттэй холбоотой асуудлууд юм. Үүний шалтгаан нь квадрат эсвэл куб параболын хэлбэрийн температурын профайл нь ийм асуудлуудын жинхэнэ температурын профайлтай тохирохгүй байна. Тиймээс хэрэв судалж буй бие дэх температурын жинхэнэ хуваарилалт нь монотон бус функцийн хэлбэрийг авдаг бол ямар ч тохиолдолд асуудлын физик утгад нийцсэн сэтгэл ханамжтай шийдлийг олж авах боломжгүй юм.

Интеграл аргын нарийвчлалыг сайжруулах тодорхой арга бол дээд эрэмбийн олон гишүүнт температурын функцуудыг ашиглах явдал юм. Энэ тохиолдолд температурын эвдрэлийн урд талын хилийн үндсэн нөхцөл ба тэгш байдлын нөхцөл нь ийм олон гишүүнтийн коэффициентийг тодорхойлоход хангалтгүй юм. Үүнтэй холбогдуулан алдагдсан хилийн нөхцлүүдийг хайх шаардлагатай байгаа бөгөөд энэ нь өгөгдсөн нөхцлүүдийн хамт бүх зүйлийг харгалзан өндөр дарааллын температурын оновчтой профайлын коэффициентийг тодорхойлох боломжийг бидэнд олгоно. физик шинж чанарсудалж буй асуудал. Ийм нэмэлт хилийн нөхцлүүдийг үндсэн хилийн нөхцөл ба анхны дифференциал тэгшитгэлээс тэдгээрийг хилийн цэгүүдэд орон зайн координат болон цаг хугацааны хувьд ялгах замаар олж авч болно.

Дулаан дамжуулалтын янз бүрийн асуудлыг судлахдаа термофизик шинж чанарууд нь температураас хамаардаггүй гэж үздэг бөгөөд тэдгээрийг хилийн шинж чанар болгон авдаг. шугаман нөхцөл. Гэсэн хэдий ч биеийн температур өргөн хүрээний хэлбэлзэлтэй байвал термофизикийн шинж чанар нь температураас хамаардаг тул дулаан дамжуулах тэгшитгэл нь шугаман бус болдог. Үүний шийдэл нь илүү төвөгтэй болж, мэдэгдэж буй нарийн шинжилгээний аргууд нь үр дүнгүй болж хувирдаг. Дулааны балансын салшгүй арга нь асуудлын шугаман бус байдалтай холбоотой зарим хүндрэлийг даван туулах боломжийг олгодог. Жишээлбэл, шугаман бус хилийн нөхцөл бүхий хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийг өгөгдсөн анхны нөхцөл бүхий энгийн дифференциал тэгшитгэл болгон бууруулж, шийдлийг ихэвчлэн хаалттай аналитик хэлбэрээр авах боломжтой.

Үйл явцын олон чухал шинж чанарыг (шугаман бус байдал, шинж чанар, хилийн нөхцлийн хувьсах байдал гэх мэт) харгалзан үзээгүй тохиолдолд зөвхөн хялбаршуулсан математик томъёолол дахь асуудлын хувьд нарийн аналитик шийдлийг олж авсан нь мэдэгдэж байна. Энэ бүхэн нь математик загваруудын бодит байдлаас ихээхэн хазайхад хүргэдэг. физик үйл явц, тодорхой цахилгаан станцуудад тохиолддог. Нэмж дурдахад, нарийн шийдлүүд нь хилийн цэгүүдийн ойролцоо, цаг хугацааны координатын жижиг утгуудын хувьд аажмаар нийлдэг нарийн төвөгтэй хязгааргүй функциональ цувралаар илэрхийлэгддэг. Ийм шийдлүүд нь инженерийн хэрэглээнд бага ашиг тустай, ялангуяа температурын асуудлыг шийдвэрлэх нь бусад зарим асуудлыг (дулааны уян хатан байдлын асуудал) шийдвэрлэх завсрын алхам юм. урвуу асуудлууд, хяналтын даалгавар гэх мэт). Үүнтэй холбогдуулан дээр дурдсан хэрэглээний математикийн аргууд нь ихээхэн сонирхол татдаг бөгөөд энэ нь инженерчлэлийн хэрэглээнд хангалттай нарийвчлалтай олон тохиолдолд аналитик хэлбэрээр ойролцоо боловч шийдлийг олж авах боломжийг олгодог. Эдгээр аргууд нь сонгодог аргуудтай харьцуулахад аналитик шийдлийг олж авах боломжтой асуудлын хүрээг мэдэгдэхүйц өргөжүүлэх боломжийг олгодог.

Математикийн түүхэнд бид үндсэн болон орчин үеийн математик гэсэн хоёр үндсэн үеийг ялгаж салгаж болно. Шинэ (заримдаа дээд гэж нэрлэдэг) математикийн эрин үеийг тоолох заншил болсон үе бол 17-р зуун буюу математикийн анализ үүссэн зуун байв. 17-р зууны эцэс гэхэд. И.Ньютон, Г.Лейбниц болон тэдний өмнөх хүмүүс шинэ аппарат бүтээжээ дифференциал тооцооМатематик анализын үндэс, тэр ч байтугай орчин үеийн бүх байгалийн шинжлэх ухааны математик үндэс болох интеграл тооцоолол.

Математик анализ гэдэг нь судалгааны онцлог шинж чанартай (хувьсах хэмжигдэхүүн), судалгааны өвөрмөц арга (хязгааргүй тоогоор эсвэл хязгаарт дамжих аргаар дүн шинжилгээ хийх), үндсэн ойлголтуудын тодорхой систем (функц, хязгаар, дериватив) бүхий математикийн өргөн хүрээний салбар юм. , дифференциал, интеграл, цуваа) ба байнга сайжирч, хөгжиж буй аппарат, түүний үндэс нь дифференциал ба интеграл тооцоолол юм.

17-р зуунд математикийн ямар хувьсгал гарсан, тэр үеэс шилжилтийг юу тодорхойлдог талаар ойлголт өгөхийг хичээцгээе. анхан шатны математикМатематикийн шинжилгээний судалгааны сэдэв юу вэ, онолын болон хэрэглээний мэдлэгийн орчин үеийн бүх системд түүний үндсэн үүргийг юу тайлбарлаж байна.

Таны өмнө үзэсгэлэнтэй гүйцэтгэлтэй байна гэж төсөөлөөд үз дээ өнгөт гэрэл зурагдалайн шуургатай давалгаа эрэг рүү гүйж байна: хүчтэй бөхийсөн нуруу, эгц боловч бага зэрэг хонхойсон цээж, толгой нь аль хэдийн урагш хазайсан бөгөөд салхинд тарчлаан саарал дэлтэй унахад бэлэн байна. Та тэр мөчийг зогсоож, давалгааг барьж чадсан бөгөөд одоо та үүнийг яаралгүйгээр нарийвчлан судлах боломжтой. Долгионыг хэмжиж болох бөгөөд анхан шатны математикийн хэрэгслийг ашиглан та энэ долгионы тухай, тиймээс түүний бүх далайн эгч нарын талаар олон чухал дүгнэлт хийж болно. Харин давалгааг зогсоосноор хөдөлгөөн, амьдралаас нь хассан. Үүний гарал үүсэл, хөгжил, гүйлт, эрэг рүү цохих хүч - энэ бүхэн таны харааны хүрээнээс гадуур байсан, учир нь танд статик биш, дүрслэх, судлахад тохиромжтой хэл, математикийн аппарат хараахан байхгүй байна. хөгжиж буй, динамик үйл явц, хувьсагчболон тэдний харилцаа.

"Математик анализ нь байгалиас дутуугүй өргөн хүрээтэй: энэ нь бүх биет харилцааг тодорхойлж, цаг хугацаа, орон зай, хүч, температурыг хэмждэг." Ж. Фурье

Хөдөлгөөн, хувьсагч, тэдгээрийн хамаарал биднийг хаа сайгүй хүрээлж байдаг. Хөдөлгөөний янз бүрийн хэлбэрүүд ба тэдгээрийн зүй тогтол нь физик, геологи, биологи, социологи гэх мэт тодорхой шинжлэх ухааны судалгааны гол объектыг бүрдүүлдэг. Иймээс хувьсах хэмжигдэхүүнийг дүрслэх, судлахад яг тохирсон хэл, түүнд тохирсон математик аргууд шаардлагатай болсон. Тоон харьцааг дүрслэхдээ тоо, арифметикийн мэдлэгтэй ойролцоо хэмжээнд байх шаардлагатай. Тэгэхээр, математик шинжилгээхувьсагч, тэдгээрийн хамаарлыг тайлбарлах хэл, математик аргуудын үндэс суурийг бүрдүүлдэг. Өнөө үед математикийн шинжилгээгүйгээр зөвхөн сансрын траекторийг тооцоолох боломжгүй юм цөмийн реакторууд, далайн давалгааны урсгал болон циклоны хөгжлийн хэв маяг, гэхдээ үйлдвэрлэл, нөөцийн хуваарилалт, зохион байгуулалтыг эдийн засгийн хувьд удирдах технологийн процессууд, химийн урвалын явцыг урьдчилан таамаглах эсвэл байгаль дахь өөр хоорондоо холбоотой төрөл бүрийн амьтан, ургамлын тооны өөрчлөлтийг урьдчилан таамаглах, учир нь эдгээр нь бүгд динамик үйл явц юм.

Анхан шатны математик нь ихэвчлэн математик байсан тогтмол утгуудТэрээр геометрийн дүрсүүдийн элементүүдийн хоорондын хамаарал, тоон арифметик шинж чанар, алгебрийн тэгшитгэлийг голчлон судалсан. Түүний бодит байдалд хандах хандлагыг ямар нэг хэмжээгээр, хувьсан өөрчлөгдөж, хөгжиж буй амьд ертөнцийг хөдөлгөөнд нь харуулсан киноны тогтсон кадр бүрийг анхааралтай, бүр нарийн, бүрэн судлахтай харьцуулж болно, гэхдээ энэ нь тусдаа кадрт харагдахгүй байна. Үүнийг зөвхөн соронзон хальсыг бүхэлд нь харж ажиглаж болно. Гэхдээ кино урлагийг гэрэл зураггүйгээр төсөөлөхийн аргагүй байдаг шиг орчин үеийн математикБидний уламжлалт байдлаар энгийн гэж нэрлэдэг тэр хэсэггүйгээр, олон нэрт эрдэмтдийн санаа, ололт амжилтгүйгээр, заримдаа хэдэн арван зуунаар тусгаарлагдсан байх боломжгүй юм.

Математик нь нэгдмэл бөгөөд түүний "дээд" хэсэг нь "анхан шатны" хэсэгтэй бараг ижилхэн баригдаж буй байшингийн дараагийн давхрыг өмнөхтэй нь холбож, математикийн нээдэг давхрааны өргөнийг холбодог. бидэн рүү бидний эргэн тойрон дахь ертөнц, бид энэ барилгын аль давхарт авирч чадсанаас хамаарна. 17-р зуунд төрсөн. Математик анализ нь бидэнд боломжуудыг нээж өгсөн шинжлэх ухааны тодорхойлолт, үгийн өргөн утгаараа хувьсагч, хөдөлгөөний тоон болон чанарын судалгаа.

Математик анализ үүсэх урьдчилсан нөхцөл юу вэ?

17-р зууны эцэс гэхэд. Дараах нөхцөл байдал үүссэн. Нэгдүгээрт, математикийн өөрийнх нь хүрээнд, олон жилийн туршҮүнтэй төстэй асуудлуудын зарим чухал ангиуд хуримтлагдсан (жишээлбэл, стандарт бус тоонуудын талбай ба эзэлхүүнийг хэмжих асуудал, муруй руу шүргэгч зурах асуудал), янз бүрийн онцгой тохиолдлуудад тэдгээрийг шийдвэрлэх аргууд гарч ирэв. Хоёрдугаарт, эдгээр асуудлууд нь дур зоргоороо (заавал жигд биш) механик хөдөлгөөнийг тайлбарлах, ялангуяа түүний агшин зуурын шинж чанарыг (хурд, хурдатгал) тооцоолох, түүнчлэн тэдгээрийн хурдыг олохтой нягт холбоотой болох нь тогтоогдсон. өгөгдсөн хувьсах хурдаар явагдах хөдөлгөөнд зарцуулсан зай. Эдгээр асуудлыг шийдвэрлэх нь физик, одон орон, технологийн хөгжилд зайлшгүй шаардлагатай байв.

Эцэст нь, гуравдугаарт, to 17-р зууны дунд үеВ. Р.Декарт, П.Фермат нарын бүтээлүүд үндэс суурийг тавьсан аналитик аргакоординатууд (аналитик геометр гэж нэрлэгддэг) нь тоо, тоон хамаарлын ерөнхий (аналитик) хэлээр нэг төрлийн бус гарал үүсэлтэй геометрийн болон физикийн асуудлуудыг томъёолох, эсвэл бидний хэлж байгаагаар тоон функцийг боловсруулах боломжийг олгосон.

Орчин үеийн Зөвлөлтийн болон гадаадын математикчид бүтээлдээ Н.Н.Лузиний санааг хөгжүүлдэг. Эдгээр нөхцөл байдлын нэгдэл нь ийм байдалд хүргэсэн XVII сүүл

В. Хоёр эрдэмтэн - И.Ньютон, Г.Лейбниц нар бие биенээсээ үл хамааран эдгээр асуудлыг шийдвэрлэх математикийн аппаратыг бий болгож, өмнөх үеийнхний үр дүнг нэгтгэн дүгнэж, нэгтгэн дүгнэж, эртний эрдэмтэн Архимед, Ньютон, Лейбниц нарын үеийн хүмүүс - Б. Кавальери, Б.Паскаль, Д.Грегори, И.Барроу. Энэхүү аппарат нь математик анализын үндэс суурь болсон - янз бүрийн хөгжиж буй үйл явцыг судалдаг математикийн шинэ салбар, жишээлбэл. Математикт функциональ хамаарал буюу өөрөөр хэлбэл функц гэж нэрлэгддэг хувьсагчдын хоорондын хамаарал. Дашрамд хэлэхэд, "функц" гэсэн нэр томъёо нь өөрөө зайлшгүй шаардлагатай байсан бөгөөд 17-р зуунд байгалийн жамаар үүссэн бөгөөд өнөөг хүртэл энэ нь зөвхөн ерөнхий математикийн төдийгүй ерөнхий шинжлэх ухааны ач холбогдолтой болжээ.

Шинжилгээний үндсэн ойлголт, математикийн хэрэгслийн талаархи анхны мэдээллийг "Дифференциал тооцоолол", "Интеграл тооцоолол" гэсэн нийтлэлд өгсөн болно. Дүгнэж хэлэхэд, би бүх математикт нийтлэг байдаг, шинжилгээний шинж чанар бүхий математикийн хийсвэрлэлийн зөвхөн нэг зарчим дээр анхаарлаа хандуулж, үүнтэй холбогдуулан математик анализ нь хувьсах хэмжигдэхүүнийг ямар хэлбэрээр судалдаг, түүний аргын ийм түгээмэл байдлын нууц нь юу болохыг тайлбарлахыг хүсч байна. бүх төрлийн бетоныг судлах зориулалттайболон тэдний харилцаа.

Хэд хэдэн тод жишээ, аналогийг авч үзье.

Жишээлбэл, алим, сандал, зааны хувьд биш, харин тодорхой объектуудаас хийсвэр хэлбэрээр бичсэн математикийн хамаарал нь шинжлэх ухааны гайхалтай ололт гэдгийг заримдаа бид ойлгохоо больсон. Энэ бол туршлагаас харахад янз бүрийн тодорхой объектод хамаарах математикийн хууль юм. Энэ нь математикт хийсвэр, хийсвэр тоонуудын ерөнхий шинж чанарыг судалснаар бодит ертөнцийн тоон хамаарлыг судалдаг гэсэн үг юм.

Жишээлбэл, сургуулийн математикийн хичээлээс энэ нь мэдэгдэж байна тодорхой нөхцөл байдалТа: "Хэрэв тэд надад 12 тонн хөрс тээвэрлэхийн тулд зургаан тоннын хоёр самосвал өгөхгүй бол би дөрвөн тоннын гурван самосвал гуйж болно, ажил дуусна, гэхдээ хэрэв тэд надад өгвөл. Дөрвөн тоннын даацтай нэг өөрөө буулгагч машин, дараа нь гурван рейс хийх хэрэгтэй болно. Тиймээс одоо бидэнд танил болсон хийсвэр тоо, тоон хэв маяг нь тэдгээрийн тодорхой илрэл, хэрэглээтэй холбоотой байдаг.

Тодорхой хувьсагчдын өөрчлөлтийн хуулиуд ба байгалийн хөгжиж буй үйл явц нь математик шинжилгээнд илэрч, судалж буй хийсвэр, хийсвэр хэлбэрийн функцтэй ойролцоогоор ижил төстэй байдаг.

Жишээлбэл, хийсвэр харьцаа нь кино театрын касс зарагдсан тасалбарын тооноос, хэрэв 20 нь 20 копейк бол нэг тасалбарын үнээс хамааралтай болохыг илэрхийлж болно. Гэхдээ хэрэв бид хурдны зам дээр дугуй унаж, цагт 20 км хурдалж байгаа бол энэ харьцааг дугуйгаар аялах хугацаа (цаг) ба энэ хугацаанд туулсан зай (километр) хоёрын харьцаа гэж ойлгож болно Жишээ нь, хэд хэдэн удаа өөрчлөгдөх нь -ийн утгыг пропорциональ (өөрөөр хэлбэл ижил тооны) өөрчлөлтөд хүргэдэг гэж үргэлж хэлээрэй, хэрэв байвал эсрэг дүгнэлт бас үнэн болно. Энэ нь ялангуяа кино театрын кассыг хоёр дахин нэмэгдүүлэхийн тулд та хоёр дахин олон үзэгч татах шаардлагатай бөгөөд ижил хурдтай дугуйгаар хоёр дахин хол явахын тулд хоёр дахин удаан явах хэрэгтэй болно гэсэн үг юм. .

Математик нь хамгийн энгийн хамаарал болон бусад илүү төвөгтэй хамаарлыг аль алиныг нь тодорхой тайлбараас хийсвэрлэсэн ерөнхий, хийсвэр хэлбэрээр судалдаг. Ийм судалгаанд тодорхойлсон функцийн шинж чанар эсвэл эдгээр шинж чанарыг судлах аргууд нь хийсвэр хэлбэрээр судлагдсан функц ямар чиглэлээр явагдахаас үл хамааран тодорхой үзэгдэл бүрт хамаарах ерөнхий математикийн арга, дүгнэлт, хууль тогтоомж, дүгнэлтийн шинж чанартай байх болно. Энэ үзэгдэл хамаарах мэдлэгийн хувьд .

Тиймээс математикийн анализ нь математикийн нэг салбар болох 17-р зууны төгсгөлд бий болсон. Математик шинжилгээний судалгааны сэдэв (орчин үеийн байр сууринаас харахад) нь функцууд, өөрөөр хэлбэл хувьсах хэмжигдэхүүний хоорондын хамаарал юм.

Математик анализ бий болсноор математик нь бодит ертөнцөд хөгжиж буй үйл явцыг судлах, тусгах боломжтой болсон; Математик нь хувьсагч, хөдөлгөөнийг багтаасан.

Бүх нийтийг бий болгох асар их боломж бүхий төслийн арга боловсролын үйл ажиллагаа, сургуулийн боловсролын системд улам бүр өргөн тархаж байгаа боловч төслийн аргыг ангийн системд "тохируулах" нь нэлээд хэцүү байдаг. Би мини судалгааг багтаасан тогтмол хичээл. Энэхүү ажлын хэлбэр нь үүсэх томоохон боломжийг нээж өгдөг танин мэдэхүйн үйл ажиллагаамөн оюутнуудын бие даасан онцлогийг харгалзан үзэхийг баталгаажуулж, томоохон төслүүд дээр ур чадвараа хөгжүүлэх замыг нээж өгдөг.

Татаж авах:

Урьдчилан үзэх:

"Хэрэв сургуульд сурч байгаа оюутан өөрөө юу ч бүтээж сураагүй бол амьдралдаа тэр зөвхөн дуурайж, хуулбарлах болно, учир нь хуулбарлаж сурсан ч энэ мэдээллийг бие даан хэрэгжүүлэх боломжтой хүмүүс цөөхөн байдаг." Л.Н.Толстой.

Онцлог шинж чанар орчин үеийн боловсролоюутнуудын сурах шаардлагатай мэдээллийн хэмжээ огцом нэмэгдсэн явдал юм. Оюутны хөгжлийн түвшинг бие даан шинэ мэдлэг олж авах, боловсролын болон практик үйл ажиллагаанд ашиглах чадвараар хэмжиж, үнэлдэг. Орчин үеийн сурган хүмүүжүүлэх үйл явцашиглахыг шаарддаг шинэлэг технологибагшлахдаа.

Шинэ үеийн Холбооны улсын боловсролын стандартыг ашиглахыг шаарддаг боловсролын үйл явцүйл ажиллагааны төрлийн технологи, дизайн, судалгааны аргууд нь боловсролын үндсэн хөтөлбөрийг хэрэгжүүлэх нөхцлийн нэг гэж тодорхойлсон.

Математикийн хичээлд ийм үйл ажиллагаанд онцгой үүрэг гүйцэтгэдэг бөгөөд энэ нь санамсаргүй биш юм. Математик бол ертөнцийг танин мэдэх түлхүүр, шинжлэх ухаан, технологийн дэвшлийн үндэс, хувь хүний ​​хөгжлийн чухал бүрэлдэхүүн хэсэг юм. Хүнд өгсөн үүрэг даалгаврын утга учрыг ойлгох, логикоор сэтгэх чадварыг төлөвшүүлэх, алгоритмын сэтгэн бодох чадварыг эзэмшүүлэх зорилготой юм.

Төслийн аргыг ангийн системд оруулах нь нэлээд хэцүү байдаг. Би ердийн хичээлдээ лавлагааны элементүүдийг оруулах замаар уламжлалт болон суралцагч төвтэй системийг ухаалаг хослуулахыг хичээдэг. Би хэд хэдэн жишээ хэлье.

Тиймээс бид "Тойрог" сэдвийг судлахдаа оюутнуудтай дараах судалгааг хийдэг.

"Тойрог" математикийн судалгаа.

1. Хэрхэн тойрог барих, үүнд ямар хэрэгсэл хэрэгтэйг бодоорой. Тойргийн тэмдэг.
2. Тойрог тодорхойлохын тулд энэ геометрийн дүрс ямар шинж чанартай болохыг харцгаая. Тойргийн төвийг тойрогт хамаарах цэгээр холбоно. Энэ сегментийн уртыг хэмжиж үзье. Туршилтыг гурван удаа давтан хийцгээе. Ингээд дүгнэлт хийцгээе.
3. Тойргийн төвийг дээрх дурын цэгтэй холбосон хэрчмийг тойргийн радиус гэнэ. Энэ бол радиусын тодорхойлолт юм. Радиусын тэмдэглэгээ. Энэ тодорхойлолтыг ашиглан 2см5мм радиустай тойрог байгуул.
4. Дурын радиустай тойрог байгуул. Радиусыг байгуулж, хэмжинэ. Хэмжилтээ тэмдэглэ. Өөр гурван өөр радиус байгуул. Тойрог дээр хэдэн радиус зурж болох вэ?
5. Тойргийн цэгүүдийн шинж чанарыг мэдэж, түүний тодорхойлолтыг өгөхийг хичээцгээе.
6. Дурын радиустай тойрог байгуул. Энэ сегментийг тойргийн төвөөр дамжин өнгөрөхийн тулд тойрог дээрх хоёр цэгийг холбоно. Энэ сегментийг диаметр гэж нэрлэдэг. Диаметрийг тодорхойлъё. Диаметрийн тэмдэглэгээ. Гурван диаметрийг нэмж хий. Тойрог хэдэн диаметртэй вэ?
7. Дурын радиустай тойрог байгуул. Диаметр ба радиусыг хэмжинэ. Тэднийг харьцуул. Туршилтыг өөр өөр тойрогтой гурван удаа давтана. Дүгнэлт гаргах.
8. Тойрог дээрх дурын хоёр цэгийг холбоно. Үүссэн сегментийг хөвч гэж нэрлэдэг. Нэг хөвчийг тодорхойлъё. Өөр гурван хөвч бүтээ. Тойрог хэдэн хөвчтэй вэ?
9. Радиус нь хөвч мөн үү? Үүнийг нотол.
10. Диаметр нь хөвч мөн үү? Үүнийг нотол.

Ажилладаг судалгааны мөн чанарпропедевтик шинж чанартай байж болно. Тойргийг судалж үзээд бид цувралыг авч үзэж болно сонирхолтой шинж чанарууд, аль нь оюутнууд таамаглалын түвшинд томъёолж, дараа нь энэ таамаглалыг баталж чадна. Жишээлбэл, дараах судалгаа:

"Математикийн судалгаа"

1. 3 см радиустай тойрог байгуулж, диаметрийг нь зур. Диаметрийн төгсгөлийг тойрог дээрх дурын цэгтэй холбож, хөвчний үүсгэсэн өнцгийг хэмжинэ. Дахин хоёр тойрог хийх ижил бүтээн байгуулалтыг хий. Та юу анзаарсан бэ?
2. Дурын радиустай тойрог дээр туршилтыг давтаж, таамаглал дэвшүүл. Хийсэн бүтээн байгуулалт, хэмжилтийг ашиглан үүнийг нотолсон гэж үзэж болох уу?

"Хавтгай дээрх шулуунуудын харьцангуй байрлал" сэдвийг судлахдаа математикийн судалгааг бүлгээр хийдэг.

Бүлэгт зориулсан даалгавар:

1. бүлэг.

1. Нэг координатын системд функцийн графикийг байгуул

Ү = 2х, у = 2х+7, у = 2х+3, у = 2х-4, у = 2х-6.

2. Хүснэгтийг бөглөж асуултуудад хариулна уу.

Өгүүллийн агуулга

МАТЕМАТИК ШИНЖИЛГЭЭ,Өөрчлөлтийн янз бүрийн үйл явцыг тоон байдлаар судлах аргуудыг хангадаг математикийн салбар; өөрчлөлтийн хурдыг (дифференциал тооцоолол) судлах, муруй контур ба гадаргуугаар хязгаарлагдсан дүрсүүдийн муруй, талбай, эзэлхүүний уртыг тодорхойлох (интеграл тооцоо) асуудлыг авч үздэг. Математик шинжилгээний асуудлын хувьд тэдгээрийн шийдэл нь хязгаарын тухай ойлголттой холбоотой байдаг нь ердийн зүйл юм.

Математик анализын эхлэлийг 1665 онд И.Ньютон, (1675 онд) Г.Лейбниц нар бие даан тавьсан боловч чухал бэлтгэл ажлыг И.Кеплер (1571–1630), Ф.Кавальери (1598–1647), П.Фермат (1601–1665), Ж.Уоллис (1616–1703), И.Барроу (1630–1677).

Илтгэлийг илүү тод болгохын тулд бид график хэл рүү хандах болно. Тиймээс уншигч танд энэ нийтлэлийг уншиж эхлэхээсээ өмнө АНАЛИТИК ГЕОМЕТР гэсэн өгүүллийг судалж үзэх нь зүйтэй болов уу.

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТООЦОО

Шүргэх.

Зураг дээр. 1-т муруйн фрагментийг харуулав y = 2x – x 2, хооронд хаалттай x= –1 ба x= 3. Энэ муруйн хангалттай жижиг сегментүүд шулуун харагдаж байна. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв Рнь энэ муруйн дурын цэг бол энэ цэгийг дайран өнгөрч буй тодорхой шулуун шугам байгаа бөгөөд энэ нь тухайн цэгийн жижиг орчмын муруйн ойролцоо утгатай байна. Р, мөн ойр орчмын хэмжээ бага байх тусмаа илүү сайн болно. Ийм шугамыг цэг дээрх муруйтай шүргэгч гэж нэрлэдэг Р. Дифференциал тооцооллын гол үүрэг бол шүргэгч байгаа муруйн аль ч цэгт шүргэгчийн чиглэлийг олох боломжийг олгодог ерөнхий аргыг бий болгох явдал юм. Хурц завсарлагатай муруйг төсөөлөхөд хэцүү биш (Зураг 2). Хэрэв Рнь ийм завсарлагааны дээд хэсэг бол бид ойролцоогоор шулуун шугамыг барьж болно П.Т. 1 - цэгийн баруун талд Рба өөр нэг ойролцоо шулуун шугам RT 2 - цэгийн зүүн талд Р. Гэхдээ нэг цэгийг дайран өнгөрөх нэг шулуун шугам байдаггүй Р, цэгийн ойролцоо муруйд адилхан сайн ойртсон Пбаруун ба зүүн талд хоёуланд нь тул цэг дээрх шүргэгч Пбайхгүй.

Зураг дээр. 1 шүргэгч FROMгарал үүслээр нь зурсан ТУХАЙ= (0,0). Энэ шугамын өнцгийн коэффициент нь 2, i.e. абсцисса 1-ээр өөрчлөгдөхөд ординат 2-оор нэмэгдэнэ.Хэрэв xТэгээд y– дурын цэгийн координатууд FROM, дараа нь холдох ТУХАЙхол зайд Xнэгж баруун тийш, бид холдож байна ТУХАЙ 2-оор yнэгж хүртэл. Тиймээс, y/x= 2, эсвэл y = 2x. Энэ бол шүргэгч тэгшитгэл юм FROMмуруй руу y = 2x – x 2 цэг дээр ТУХАЙ.

Энэ цэгийг дайран өнгөрч буй олон тооны шугамаас яагаад гэдгийг тайлбарлах шаардлагатай байна ТУХАЙ, шулуун шугамыг сонгосон FROM. 2 налуутай шулуун шугам бусад шулуунаас юугаараа ялгаатай вэ? Нэг энгийн хариулт байдаг бөгөөд үүнийг тойрогтой шүргэгчийн зүйрлэлээр өгөх уруу таталтыг эсэргүүцэхэд хэцүү байдаг: шүргэгч. FROMнь муруйтай зөвхөн нэг нийтлэг цэгтэй, харин өөр ямар ч босоо бус шугамаар дамжин өнгөрдөг ТУХАЙ, муруйг хоёр удаа огтолж байна. Үүнийг дараах байдлаар баталгаажуулж болно.

Илэрхийлснээс хойш y = 2x – x 2-ыг хасах замаар авч болно X 2-ын y = 2x(шугамын тэгшитгэл FROM), дараа нь утгууд yграфикийн талаарх мэдлэг бага байна yцэгээс бусад бүх цэгт шулуун шугамын хувьд x= 0. Иймд график нь цэгээс бусад газарт байна ТУХАЙ, доор байрладаг FROM, мөн энэ шугам болон график нь зөвхөн нэг нийтлэг цэгтэй байна. Түүнээс гадна, хэрэв y = mx- цэгээр дамжин өнгөрөх өөр шугамын тэгшитгэл ТУХАЙ, тэгвэл огтлолцох хоёр цэг байх нь гарцаагүй. Үнэхээр, mx = 2x – x 2 зөвхөн хэзээ ч биш x= 0, гэхдээ бас үед x = 2 – м. Тэгээд зөвхөн хэзээ м= 2 уулзварын цэгүүд хоёулаа давхцаж байна. Зураг дээр. 3 нь хэзээ тохиолдлыг харуулж байна м 2-оос бага тул баруун талд ТУХАЙхоёр дахь уулзварын цэг гарч ирнэ.

Юу FROM– цэгийг дайран өнгөрөх цорын ганц босоо бус шулуун шугам ТУХАЙГрафиктай зөвхөн нэг нийтлэг цэгтэй байх нь түүний хамгийн чухал шинж чанар биш юм. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв бид бусад график руу шилжих юм бол шүргэгчийн шинж чанар нь удахгүй тодорхой болно ерөнхий тохиолдолгүйцэтгэгдээгүй байна. Жишээлбэл, Зураг дээрээс. 4 (1,1) цэгийн ойролцоо муруйн график байгаа нь тодорхой байна y = x 3-ыг шулуун шугамаар сайн ойролцоолсон RTГэсэн хэдий ч үүнтэй нэгээс олон нийтлэг зүйл байдаг. Гэсэн хэдий ч бид анхаарч үзэхийг хүсч байна RTцэг дээр энэ графиктай шүргэнэ Р. Тиймээс, эхний жишээн дээр бидэнд маш сайн үйлчилсэнээс өөр шүргэгчийг тодруулах арга замыг олох шаардлагатай байна.

Үүнийг цэгээр нь авч үзье ТУХАЙмөн дурын цэг Q = (h,к) муруй график дээр y = 2x – x 2 (Зураг 5) шулуун шугамыг (секант гэж нэрлэдэг) зурсан. Муруйн тэгшитгэлд утгуудыг орлуулах x = hТэгээд y = к, бид үүнийг ойлгодог к = 2h – h 2, тиймээс секантын өнцгийн коэффициент нь тэнцүү байна

Маш бага хэмжээгээр hутга учир мойрхон 2. Түүнээс гадна сонгох h 0-д хангалттай ойрхон бид хийж чадна мдур зоргоороо 2-т ойрхон. Бид үүнийг хэлж чадна м"хязгаард хүрэх хандлагатай" нь 2-тэй тэнцүү үед hтэг эсвэл ямар ч хязгаарт хүрэх хандлагатай байдаг м 2 цагтай тэнцүү hтэг рүү чиглэж байна. Бэлгэдлийн хувьд дараах байдлаар бичигдсэн байна.

Дараа нь цэг дээрх графикт шүргэгч ТУХАЙцэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугам гэж тодорхойлогддог ТУХАЙ, энэ хязгаартай тэнцэх налуутай. Шүргэгчийн энэхүү тодорхойлолтыг ерөнхий тохиолдолд хэрэглэнэ.

Энэ аргын давуу талыг өөр нэг жишээгээр харуулъя: муруйн графиктай шүргэгчийн налууг олъё. y = 2x – x 2 ямар ч үед П = (x,y), хамгийн энгийн тохиолдлоор хязгаарлагдахгүй П = (0,0).

Болъё Q = (x + h, y + к) – зайд байрлах график дээрх хоёр дахь цэг hбаруун талд Р(Зураг 6). Бид налууг олох хэрэгтэй к/hсекант PQ. Цэг Qзайд байдаг

тэнхлэгээс дээш X.

Хаалтуудыг нээвэл бид дараахь зүйлийг олно.

Энэ тэгшитгэлээс хасах y = 2x – x 2, цэгээс босоо зайг ол Рцэг хүртэл Q:

Тиймээс налуу мсекант PQтэнцүү байна

Одоо тэр hтэг рүү чиглэдэг, м 2-2 хүртэл байдаг x; Бид сүүлчийн утгыг шүргэгчийн өнцгийн коэффициент болгон авна П.Т.. (Хэрэв ижил үр дүн гарна hхүлээн зөвшөөрдөг сөрөг утгууд, энэ нь цэгийн сонголттой тохирч байна Qзүүн талд П.) Хэзээ гэдгийг анхаарна уу x= 0 бол олж авсан үр дүн өмнөхтэй давхцаж байна.

Илэрхийлэл 2 – 2 x 2-ын дериватив гэж нэрлэдэг x – x 2. Хуучин өдрүүдэд деривативыг "дифференциал харьцаа" гэж нэрлэдэг байсан ба " дифференциал коэффициент" Хэрэв 2-р илэрхийллээр x – x 2 томилно е(x), i.e.

дараа нь деривативыг тэмдэглэж болно

Функцийн графикт шүргэгчийн налууг олохын тулд y = е(x) хэзээ нэгэн цагт орлуулах шаардлагатай еў ( x) энэ цэгт тохирох утга X. Тиймээс налуу еў (0) = 2 at X = 0, еў (0) = 0 үед X= 1 ба еў (2) = -2 at X = 2.

Дериватив нь мөн тэмдэглэгдсэн байдаг цагтў , dy/dx, D x yТэгээд Ду.

муруй байгаа нь баримт y = 2x – xӨгөгдсөн цэгийн ойролцоо байгаа 2 нь энэ цэг дэх шүргэгчээс бараг ялгагдахгүй байгаа нь шүргэгчийн өнцгийн коэффициентийг шүргэлтийн цэг дээрх "муруйны өнцгийн коэффициент" гэж ярих боломжийг бидэнд олгодог. Тиймээс бидний авч үзэж буй муруйн налуу (0,0) цэг дээр 2 налуу байна гэж хэлж болно x= 0 өөрчлөлтийн хувь yхарьцангуй xтэнцүү 2. (2,0) цэг дээр шүргэгчийн налуу (болон муруй) -2 байна. (Хасах тэмдэг нь өсөх тусам гэсэн үг юм xхувьсагч yбуурна.) (1,1) цэгт шүргэгч хэвтээ байна. Бид үүнийг муруй гэж хэлдэг y = 2x – xЭнэ үед 2 нь хөдөлгөөнгүй утгатай байна.

Дээд ба доод.

Бид зүгээр л муруй гэдгийг харуулсан е(x) = 2x – x 2 нь (1,1) цэг дээр хөдөлгөөнгүй байна. Учир нь еў ( x) = 2 – 2x = 2(1 – x), хэзээ гэдэг нь тодорхой байна x, 1-ээс бага, еў ( x) эерэг, тиймээс yнэмэгддэг; цагт x, том 1, еў ( x) сөрөг, тиймээс yбуурдаг. Тиймээс, зурагт заасан (1,1) цэгийн ойролцоо. 6 үсэг М, гэсэн утгатай цагтцэг хүртэл өсдөг М, цэг дээр хөдөлгөөнгүй Мба цэгийн дараа буурна М. Энэ цэгийг "хамгийн их" гэж нэрлэдэг, учир нь утга цагтэнэ үед хангалттай жижиг хороололд түүний аль ч утгыг давж байна. Үүний нэгэн адил "хамгийн бага" нь ойролцоох бүх утгыг илэрхийлэх цэг гэж тодорхойлогддог yутгыг давах цагтяг энэ мөчид. Энэ нь мөн тохиолдож болно гэсэн хэдий ч дериватив е(x) тодорхой цэг дээр алга болж, энэ цэгийн ойролцоо тэмдэг нь өөрчлөгддөггүй; Хамгийн их ч биш, хамгийн бага ч биш ийм цэгийг гулзайлтын цэг гэж нэрлэдэг.

Жишээ болгон олъё суурин цэгмуруй

Энэ функцийн дериватив нь тэнцүү байна

мөн цагт тэг рүү очно x = 0, X= 1 ба X= –1; тэдгээр. (0,0), (1, –2/15) ба (–1, 2/15) цэгүүдэд. Хэрэв X-1-ээс бага зэрэг бага еў ( x) сөрөг; Хэрэв X-1-ээс арай илүү, тэгвэл еў ( x) эерэг байна. Тиймээс (–1, 2/15) цэг нь хамгийн дээд цэг юм. Үүний нэгэн адил цэг (1, –2/15) нь хамгийн бага гэдгийг харуулж болно. Гэхдээ дериватив еў ( x) нь (0,0) цэгийн өмнө болон хойно хоёулаа сөрөг байна. Тиймээс (0,0) нь гулзайлтын цэг юм.

муруйн хэлбэр, түүнчлэн муруй нь тэнхлэгийг огтолж байгааг судлах Xцагт е(x) = 0 (жишээ нь хэзээ X= 0 эсвэл ) нь зурагт үзүүлсэн шиг түүний графикийг ойролцоогоор харуулах боломжийг бидэнд олгоно. 7.

Ерөнхийдөө хэрэв бид хасах юм бол ер бусын тохиолдлууд(шулуун сегментүүд эсвэл хязгааргүй тооны гулзайлтыг агуулсан муруй), дөрвөн сонголт байдаг харьцангуй байрлалшүргэгч цэгийн ойролцоох муруй ба шүргэгч Р. (см. будаа. 8, шүргэгч нь эерэг налуутай байна.)

1) Цэгийн хоёр тал дээр Рмуруй нь шүргэгчээс дээш байрладаг (Зураг 8, А). Энэ тохиолдолд тэд цэг дээр муруй гэж хэлдэг Рдоош гүдгэр эсвэл хотгор.

2) Цэгийн хоёр тал дээр Рмуруй нь шүргэгчийн доор байрладаг (Зураг 8, б). Энэ тохиолдолд муруйг дээшээ гүдгэр эсвэл зүгээр л гүдгэр гэж нэрлэдэг.

3) ба 4) муруй нь цэгийн нэг талд шүргэгчээс дээш байрлана Рба доор - нөгөө талд. Энэ тохиолдолд Р- гулзайлтын цэг.

Утгыг харьцуулах еў ( x) хоёр талд Рцэг дээрх үнэ цэнээр нь Р, эдгээр дөрвөн тохиолдлын аль нь тодорхой асуудалд тулгарах ёстойг тодорхойлж болно.

Хэрэглээ.

Дээр дурдсан бүх зүйлд чухал ач холбогдолтой програмууд байдаг янз бүрийн бүс нутаг. Жишээлбэл, биеийг босоо тэнхлэгээс дээш шидвэл анхны хурдсекундэд 200 фут, дараа нь өндөр с, түүгээр дамжуулан тэдгээр нь байрлах болно тсекундтэй харьцуулахад эхлэх цэгбайх болно

Бидний авч үзсэн жишээнүүдийн адилаар бид олж мэднэ

энэ хэмжигдэхүүн c үед тэг болно. Дериватив еў ( x) нь c утга хүртэл эерэг, энэ хугацааны дараа сөрөг байна. Тиймээс, схүртэл нэмэгдэж, дараа нь хөдөлгөөнгүй болж, улмаар буурдаг. Ийм л байна ерөнхий тодорхойлолтдээш шидэгдсэн биеийн хөдөлгөөн. Үүнээс бид бие хэзээ хүрэхийг мэддэг хамгийн өндөр цэг. Дараа нь орлуулах т= 25/4 В е(т), бид 625 фут, хамгийн их өргөх өндөр авдаг. Энэ асуудалд еў ( т) физикийн утгатай. Энэ дериватив нь бие нь агшин зуур ямар хурдтай хөдөлж байгааг харуулдаг т.

Одоо өөр төрлийн програмыг авч үзье (Зураг 9). 75 см2 талбай бүхий картон хуудаснаас та дөрвөлжин ёроолтой хайрцаг хийх хэрэгтэй. Энэ хайрцаг нь хамгийн их эзэлхүүнтэй байхын тулд ямар хэмжээтэй байх ёстой вэ? Хэрэв X– хайрцагны суурийн тал ба hнь түүний өндөр, дараа нь хайрцагны эзэлхүүн байна В = x 2 h, мөн гадаргуугийн талбай нь 75 = байна x 2 + 4хх. Тэгшитгэлийг хувиргаснаар бид дараахь зүйлийг авна.

-ийн дериватив Втэнцүү болж байна

мөн цагт тэг рүү очно X= 5. Дараа нь

Тэгээд В= 125/2. Функцийн график В = (75x – x 3)/4-ийг Зураг дээр үзүүлэв. 10 (сөрөг утгууд Xбайхгүй гэж орхисон физик утгаэнэ асуудалд).

Дериватив.

Дифференциал тооцооллын чухал ажил бол деривативыг хурдан бөгөөд хялбар олох боломжийг олгодог аргуудыг бий болгох явдал юм. Жишээлбэл, үүнийг тооцоолоход хялбар байдаг

(Тогтмолын дериватив нь мэдээж тэг юм.) Ерөнхий дүрмийг гаргахад хэцүү биш:

Хаана n- дурын бүхэл тоо эсвэл бутархай. Жишээлбэл,

(Энэ жишээ нь хэр ашигтай болохыг харуулж байна бутархай үзүүлэлтүүдградус.)

Энд хамгийн чухал зарим томъёо байна:

Мөн дараах дүрмүүд байдаг: 1) хэрэв хоёр функц тус бүр g(x) Мөн е(x) нь деривативтай бол тэдгээрийн нийлбэрийн дериватив нь эдгээр функцүүдийн деривативуудын нийлбэртэй тэнцүү, ялгааны дериватив нь деривативуудын зөрүүтэй тэнцүү байна, i.e.

2) хоёр функцийн үржвэрийн деривативыг дараахь томъёогоор тооцоолно.

3) хоёр функцийн харьцааны дериватив нь хэлбэртэй байна

4) тогтмол тоогоор үржүүлсэн функцийн дериватив нь энэ функцийн деривативаар үржүүлсэн тогтмолтай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл.

Функцийн утгыг алхам алхмаар тооцоолох шаардлагатай болдог. Жишээлбэл, нүглийг тооцоолох x 2, бид эхлээд олох хэрэгтэй у = x 2, дараа нь тооны синусыг тооцоол у. Бид "гинжин дүрэм" гэж нэрлэгддэг ийм нарийн төвөгтэй функцүүдийн деривативыг олдог.

Бидний жишээнд е(у) = нүгэл у, еў ( у) = cos у, тиймээс,

Эдгээр болон бусад ижил төстэй дүрмүүд нь олон функцийн деривативуудыг нэн даруй бичих боломжийг олгодог.

Шугаман ойролцоо тооцоолол.

Деривативыг мэдсэнээр бид олон тохиолдолд функцийн графикийг энэ цэг дэх шүргэгчийн аль нэг цэгийн ойролцоо орлуулж болно. их ач холбогдол, учир нь шулуун шугамууд ажиллахад хялбар байдаг.

Энэ санаа нь функцүүдийн ойролцоо утгыг тооцоолоход шууд хэрэглэгдэхүүнийг олдог. Жишээлбэл, хэзээ утгыг тооцоолох нь нэлээд хэцүү байдаг x= 1.033. Гэхдээ та 1.033 тоо 1-тэй ойролцоо байгааг ашиглаж болно. Ойрхон x= 1 бид ямар ч ноцтой алдаа гаргахгүйгээр графыг шүргэгч муруйгаар сольж болно. Ийм шүргэгчийн налуу утгатай тэнцүү байнадериватив ( x 1/3)ў = (1/3) x x = 1 үед –2/3, өөрөөр хэлбэл. 1/3. (1,1) цэг нь муруй дээр байрладаг бөгөөд энэ цэг дэх муруйн шүргэгчийн өнцгийн коэффициент нь 1/3-тай тэнцүү тул шүргэгч тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна.

Энэ шулуун шугам дээр X = 1,033

Хүлээн авсан үнэ цэнэ yбодит үнэ цэнэд маш ойрхон байх ёстой y; бөгөөд үнэндээ энэ нь үнэнээс ердөө 0.00012-оор илүү юм. Математик шинжилгээнд энэ төрлийн шугаман ойролцоо тооцооллын нарийвчлалыг нэмэгдүүлэх аргуудыг боловсруулсан. Эдгээр аргууд нь бидний ойролцоогоор тооцооллын найдвартай байдлыг баталгаажуулдаг.

Саяхан тайлбарласан процедур нь нэг ашигтай тэмдэглэгээг санал болгож байна. Болъё П– функцийн графикт тохирох цэг ехувьсагч X, функцийг зөвшөөр е(x) ялгах боломжтой. Цэгийн ойролцоо байгаа муруйн графикийг орлуулъя РЭнэ үед зурсан шүргэгч. Хэрэв Xүнэ цэнээр өөрчлөгдөнө h, тэгвэл шүргэгчийн ординат нь хэмжээгээр өөрчлөгдөнө hХ е ў ( x). Хэрэв hХэрэв энэ нь маш бага бол сүүлчийн утга нь ординатын жинхэнэ өөрчлөлтийн ойролцоо утгатай болно. yграфик. Хэрэв оронд нь hбид тэмдгийг бичих болно dx(энэ бол бүтээгдэхүүн биш!), Харин ординатын өөрчлөлт yгэж тэмдэглэе dy, тэгвэл бид авна dy = е ў ( x)dx, эсвэл dy/dx = е ў ( x) (см. будаа. 11). Тиймээс оронд нь Dyэсвэл е ў ( x) тэмдгийг ихэвчлэн деривативыг илэрхийлэхэд ашигладаг dy/dx. Энэхүү тэмдэглэгээний тав тухтай байдал нь голчлон гинжин дүрмийн тодорхой харагдах байдлаас хамаарна (ялгаалалт нарийн төвөгтэй функц); шинэ тэмдэглэгээнд энэ томъёо дараах байдалтай байна.

Энэ нь хаана байна гэсэн үг юм цагт-аас хамаарна у, А уэргээд хамаарна X.

Хэмжээ dyдифференциал гэж нэрлэдэг цагт; бодит байдал дээр үүнээс хамаарна хоёрхувьсагч, тухайлбал: from Xболон нэмэгдэл dx. Өсөх үед dxмаш жижиг хэмжээтэй dyутгын харгалзах өөрчлөлттэй ойролцоо байна y. Гэхдээ өсөлт гэж бодъё dxбага, шаардлагагүй.

Функцийн дериватив y = е(x) бид тодорхойлсон е ў ( x) эсвэл dy/dx. Ихэнхдээ деривативын деривативыг авах боломжтой байдаг. Үр дүнг хоёр дахь дериватив гэж нэрлэдэг е (x) болон тэмдэглэгдсэн байна е ўў ( x) эсвэл г 2 y/dx 2. Жишээлбэл, хэрэв е(x) = x 3 – 3x 2, тэгвэл е ў ( x) = 3x 2 – 6xТэгээд е ўў ( x) = 6x– 6. Дээд зэрэглэлийн деривативт ижил төстэй тэмдэглэгээг ашигладаг. Гэсэн хэдий ч зайлсхийхийн тулд их хэмжээнийцус харвалт (деривативын дараалалтай тэнцүү), дөрөв дэх деривативыг (жишээлбэл) гэж бичиж болно. е (4) (x), ба дериватив n-р зэрэг е (n) (x).

Хоёр дахь дериватив эерэг байвал нэг цэгийн муруй доош гүдгэр, хоёр дахь дериватив сөрөг байвал дээшээ гүдгэр болохыг харуулж болно.

Хэрэв функц хоёр дахь деривативтай бол утгын өөрчлөлт y, өсөлттэй харгалзах dxхувьсагч X, томъёог ашиглан ойролцоогоор тооцоолж болно

Энэ ойролцоо нь ихэвчлэн дифференциалаар өгөгдсөнөөс илүү байдаг еў ( x)dx. Энэ нь муруйн хэсгийг шулуун шугамаар биш харин параболоор солихтой тохирч байна.

Хэрэв функц бол е(x) өндөр эрэмбийн деривативууд байдаг, тэгвэл

Үлдсэн нэр томъёо нь хэлбэртэй байна

Хаана x- хооронд хэдэн тоо xТэгээд x + dx. Дээрх үр дүнг үлдэгдэл гишүүнтэй Тейлорын томъёо гэж нэрлэдэг. Хэрэв е(x) бүх дарааллын деривативтай, дараа нь ихэвчлэн Rn® 0 цагт n ® Ґ .

ИНТЕГРАЛ ТООЦОО

Квадратууд.

Муруй шугамын хэсгүүдийг судлахдаа хавтгай дүрсүүдМатематик шинжилгээний шинэ талууд нээгдэж байна. Эртний Грекчүүд ийм төрлийн асуудлыг шийдэхийг оролдсон бөгөөд жишээлбэл, тойргийн талбайг тодорхойлох нь тэдний нэг байв. хамгийн хэцүү даалгаварууд. Маш их амжилтАрхимед энэ асуудлыг шийдэж чадсан бөгөөд тэрээр параболик сегментийн талбайг олж чадсан (Зураг 12). Архимед маш нарийн үндэслэлийг ашиглан параболын сегментийн талбай нь хүрээлэгдсэн тэгш өнцөгтийн талбайн 2/3 нь бөгөөд энэ тохиолдолд (2/3)(16) = 32/ тэнцүү болохыг нотолсон. 3. Бид дараа нь харах болно, энэ үр дүнг математик шинжилгээний аргуудыг ашиглан хялбархан олж авах боломжтой.

Ньютон, Лейбниц нарын өмнөх хүмүүс, гол төлөв Кеплер, Кавальери нар муруйн дүрсүүдийн талбайг тооцоолох асуудлыг логикийн хувьд зөв гэж нэрлэх аргагүй боловч маш үр дүнтэй болсон аргыг ашиглан шийдсэн. 1655 онд Уоллис Кеплер, Кавальери нарын аргыг Декартын аргуудтай хослуулсан үед ( аналитик геометр) болон шинээр төрсөн алгебрийн давуу талыг ашигласнаар Ньютон гарч ирэх үе шат бүрэн тавигдсан.

Уоллис талбайг тооцоолох шаардлагатай дүрсийг маш нарийн тууз болгон хувааж, тус бүрийг тэгш өнцөгт гэж үзсэн. Дараа нь тэр ойролцоох тэгш өнцөгтүүдийн талбайг нэмж, хамгийн энгийн тохиолдолд туузны тоо хязгааргүй байх үед тэгш өнцөгтүүдийн талбайн нийлбэр хандлагатай утгыг олж авсан. Зураг дээр. 13-р зурагт муруй доорх талбайн тууз болгон хуваахад тохирсон тэгш өнцөгтүүдийг үзүүлэв y = x 2 .

Үндсэн теорем.

Ньютон, Лейбниц нарын агуу нээлт нь талбайн нийлбэрийн хязгаарт хүрэх цаг хугацаа шаардсан үйл явцыг арилгах боломжтой болсон. Энэ нь газар нутгийн үзэл баримтлалыг шинэчлэн харсны ачаар хийгдсэн. Гол нь ординат зүүнээс баруун тийш хөдөлж байгаа муруй доорх талбайг бид төсөөлж, ординатаар шүүрдсэн талбай ямар хурдаар өөрчлөгдөхийг асуух ёстой. Хэрэв бид тухайн газар нутгийг урьдчилан мэддэг хоёр онцгой тохиолдлыг авч үзвэл энэ асуултын хариултын түлхүүрийг олж авах болно.

Шугаман функцийн график доорх талбайгаас эхэлье y = 1 + x, учир нь энэ тохиолдолд талбайг энгийн геометр ашиглан тооцоолж болно.

Болъё А(x) – шулуун шугамын хооронд хаагдсан онгоцны хэсэг y = 1 + xба сегмент OQ(Зураг 14). Жолоо барьж байхдаа QPбаруун хэсэг А(x) нэмэгддэг. Ямар хурдаар? Трапецын талбай нь түүний өндрийн үржвэр ба суурийн нийлбэрийн хагастай тэнцүү гэдгийг бид мэдэж байгаа тул энэ асуултад хариулахад хэцүү биш юм. Тиймээс,

Талбайн өөрчлөлтийн хурд А(x) түүний деривативаар тодорхойлогдоно

Бид үүнийг харж байна Аў ( x) ординаттай давхцаж байна цагтоноо Р. Энэ санамсаргүй тохиолдол мөн үү? Зураг дээр үзүүлсэн параболыг шалгахыг хичээцгээе. 15. Талбай А (x) параболын доор цагт = X 0-ээс 2-ын хооронд байна Xтэнцүү байна А(x) = (1 / 3)(x)(x 2) = x 3/3. Энэ талбайн өөрчлөлтийн хурдыг илэрхийллээр тодорхойлно

энэ нь ординаттай яг таарч байна цагтхөдлөх цэг Р.

Хэрэв бид энэ дүрэм ерөнхий тохиолдолд ийм байна гэж үзвэл

функцийн график доорх талбайн өөрчлөлтийн хурд юм y = е(x), дараа нь үүнийг тооцоолол болон бусад хэсэгт ашиглаж болно. Үнэндээ харьцаа Аў ( x) = е(x) нь дараах байдлаар томьёолж болох үндсэн теоремыг илэрхийлнэ: дериватив буюу талбайн өөрчлөлтийн хурд X, функцийн утгатай тэнцүү байна е (x) цэг дээр X.

Жишээлбэл, функцийн график доорх талбайг олох y = x 0-ээс 3 хүртэл X(Зураг 16), тавьцгаая

Боломжит хариултыг уншина:

-ийн уламжлалаас хойш X 4/4 нь үнэхээр тэнцүү X 3. Үүнээс гадна, А(x) үед тэгтэй тэнцүү байна X= 0, хэрэв байх ёстой А(x) үнэхээр газар нутаг юм.

Дээрх илэрхийллээс өөр хариулт байхгүй гэдгийг математик шинжилгээ нотолж байна А(x), байхгүй. Дараах эвристик (хатуу бус) үндэслэлийг ашиглан энэхүү мэдэгдэл нь үнэмшилтэй гэдгийг харуулъя. Хоёрдахь шийдэл байна гэж бодъё IN(x). Хэрэв А(x) Мөн IN(x) тэг утгаас нэгэн зэрэг "эхлэх" X= 0 ба үргэлж ижил хурдаар өөрчлөгддөг бол тэдгээрийн утга нь байж болохгүй Xөөр болж чадахгүй. Тэд хаа сайгүй давхцах ёстой; тиймээс өвөрмөц шийдэл байдаг.

Та харилцаагаа хэрхэн зөвтгөх вэ? Аў ( x) = е(x) ерөнхий тохиолдолд? Энэ асуултын хариултыг зөвхөн талбайн өөрчлөлтийн хурдыг функц болгон судалж байж болно Xерөнхий тохиолдолд. Болъё м – хамгийн бага утгафункцууд е (x) хүртэлх зайд Xруу ( x + h), А М – хамгийн өндөр үнэ цэнэЭнэ функц нь ижил интервалд. Дараа нь шилжих үед талбайн өсөлт X( x + h) хоёр тэгш өнцөгтийн талбайн хооронд хаалттай байх ёстой (Зураг 17). Хоёр тэгш өнцөгтийн суурь нь тэнцүү байна h. Жижиг тэгш өнцөгт нь өндөртэй мболон талбай mh, тус тус илүү том, МТэгээд Мh. Талбайн эсрэг график дээр X(Зураг 18) абсцисса нь өөрчлөгдөхөд тодорхой байна h, ординатын утга (өөрөөр хэлбэл талбай) хоорондын хэмжээгээр нэмэгддэг mhТэгээд Мh. Энэ график дээрх секант налуу нь хооронд байна мТэгээд М. Хэзээ юу болох вэ hтэг рүү чиглэдэг үү? Хэрэв функцийн график бол y = е(x) тасралтгүй (өөрөөр хэлбэл тасалдал агуулаагүй), дараа нь М, Мөн мтэмүүлэх е(x). Тиймээс налуу Аў ( x) функц болох талбайн график Xтэнцүү байна е(x). Яг ийм дүгнэлтэд хүрэх шаардлагатай байсан.

Лейбниц муруйн доорх талбайг санал болгосон y = е(x) 0-ээс Атэмдэглэгээ

Нарийвчлалтай хандлагын хувьд энэ тодорхой интеграл гэж нэрлэгддэг зүйлийг Уоллисын аргаар тодорхой нийлбэрийн хязгаар гэж тодорхойлох ёстой. Дээр олж авсан үр дүнг авч үзвэл, ийм функцийг олох боломжтой бол энэ интегралыг тооцоолох нь тодорхой байна. А(x), хэзээ алга болдог X= 0 ба дериватив байна Аў ( x), тэнцүү е (x). Ийм функцийг олохыг ихэвчлэн интеграл гэж нэрлэдэг боловч энэ үйлдлийг эсрэг ялгах гэж нэрлэх нь илүү тохиромжтой, өөрөөр хэлбэл энэ нь ямар нэг утгаараа ялгаатай байдлын урвуу утгатай юм. Олон гишүүнтийн хувьд интеграл нь энгийн. Жишээлбэл, хэрэв

ялгах замаар шалгахад хялбар байдаг А(x).

Талбайг тооцоолохын тулд А 1 муруй дор y = 1 + x + x 2 /2, 0 ба 1 ординатуудын хооронд бид зүгээр л бичдэг

болон, орлуулах X= 1, бид авна А 1 = 1 + 1/2 + 1/6 = 5/3. Дөрвөлжин А(x) 0-ээс 2 хүртэл тэнцүү байна А 2 = 2 + 4/2 + 8/6 = 16/3. Зураг дээрээс харж болно. 19, 1 ба 2 ординатуудын хооронд хүрээлэгдсэн талбай нь тэнцүү байна А 2 – А 1 = 11/3. Үүнийг ихэвчлэн тодорхой интеграл хэлбэрээр бичдэг

Эзлэхүүн.

Үүнтэй төстэй үндэслэл нь эргэлтийн биетүүдийн эзлэхүүнийг тооцоолоход гайхалтай хялбар болгодог. Бөмбөгний эзэлхүүнийг тооцоолох жишээг ашиглан үүнийг харуулъя, өөр сонгодог асуудал, Эртний Грекчүүд өөрсдийн мэддэг аргуудыг ашиглан маш их бэрхшээлтэй шийдэж чадсан.

Радиусын дөрөвний нэг тойрог дотор байгаа онгоцны хэсгийг эргүүлье r, тэнхлэгийн эргэн тойронд 360 ° өнцгөөр X. Үүний үр дүнд бид хагас бөмбөрцгийг (Зураг 20) авдаг бөгөөд түүний эзлэхүүнийг бид тэмдэглэдэг В(x). Энэ нь ямар хурдаар нэмэгдэж байгааг тодорхойлох хэрэгтэй В(x) нэмэгдэж байна x. -аас хөдөлж байна Xруу X + h, эзлэхүүний өсөлт нь эзлэхүүнээс бага байгаа эсэхийг шалгахад хялбар байдаг х(r 2 – x 2)hрадиус ба өндөртэй дугуй цилиндр h, мөн эзлэхүүнээс илүү х[r 2 – (x + h) 2 ]hцилиндрийн радиус ба өндөр h. Тиймээс функцийн график дээр В(x) секантын өнцгийн коэффициентийг хооронд нь хавсаргасан х(r 2 – x 2) ба х[r 2 – (x + h) 2 ]. Хэзээ hтэг рүү чиглэдэг, налуу нь тэг рүү чиглэдэг

At x = rбид авдаг

бөмбөрцгийн эзэлхүүний хувьд, тиймээс 4 p rБөмбөгний нийт эзэлхүүний хувьд 3/3.

Үүнтэй төстэй арга нь муруйн урт ба муруй гадаргуугийн талбайг олох боломжийг олгодог. Жишээлбэл, хэрэв а(x) - нумын урт PRЗураг дээр. 21, дараа нь бидний даалгавар бол тооцоолох явдал юм аў( x). Эвристик түвшинд шаардлагатай үед ердийн гарц руу орохгүй байх боломжийг бидэнд олгодог техникийг ашиглацгаая. хатуу нотолгооүр дүн. Функцийн өөрчлөлтийн хурд гэж үзье А(x) цэг дээр Рмуруйг шүргэгчээр нь сольсонтой адил П.Т.цэг дээр П. Гэхдээ зурагнаас. 21 нь гишгэх үед шууд харагдана hцэгийн баруун эсвэл зүүн талд Xдагуу RTутга учир А(x) өөрчлөгдөнө

Тиймээс функцийн өөрчлөлтийн хурд а(x) байна

Функцийг өөрөө олохын тулд а(x), та тэгш байдлын баруун талд байгаа илэрхийллийг нэгтгэх хэрэгтэй. Ихэнх функцүүдэд нэгтгэх нь нэлээд хэцүү байдаг нь харагдаж байна. Тиймээс интеграл тооцооллын аргуудыг боловсруулах нь ихэнх ньматематик шинжилгээ.

Эсрэг деривативууд.

Өгөгдсөн функцтэй дериватив нь тэнцүү функц бүр е(x), эсрэг дериватив (эсвэл анхдагч) гэж нэрлэдэг е(x). Жишээлбэл, X 3/3 – функцийн эсрэг дериватив X 2 оноос хойш ( x 3 /3)ў = x 2. Мэдээжийн хэрэг X 3/3 нь функцийн цорын ганц эсрэг дериватив биш юм X 2 учир нь x 3 /3 + Cнь бас дериватив юм X 2 ямар ч тогтмол ХАМТ. Гэсэн хэдий ч дараах зүйлд бид ийм нэмэлт тогтмолуудыг орхихыг зөвшөөрч байна. Ерөнхийдөө

Хаана nэерэг бүхэл тоо, учир нь ( x n + 1/(n+ 1))ў = x n. Харилцаа (1) нь бүр илүү ерөнхий утгаараа хангагдсан бол nдурын рационал тоогоор солино к, -1-ээс бусад.

Дурын эсрэг дериватив функц өгөгдсөн функц е(x) нь ихэвчлэн тодорхойгүй интеграл гэж нэрлэгддэг е(x) хэлбэрт оруулан тэмдэглэнэ

Жишээлбэл, хойш (нүгэл x)ў = cos x, томъёо хүчинтэй байна

Өгөгдсөн функцийн тодорхойгүй интегралын томъёо байдаг олон тохиолдолд тодорхойгүй интегралын олон тооны өргөн хэвлэгдсэн хүснэгтээс олж болно. -аас интегралууд үндсэн функцууд(эдгээрт хүч, логарифм, экспоненциал функц, тригонометрийн функцууд, урвуу тригонометрийн функцууд, түүнчлэн нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах үйлдлүүдийг ашиглан олж авсан төгсгөлийн хослолууд). Хүснэгтийн интегралуудыг ашиглан илүү төвөгтэй функцүүдийн интегралыг тооцоолж болно. Тодорхой бус интегралыг тооцоолох олон арга байдаг; Эдгээрээс хамгийн түгээмэл нь хувьсах буюу орлуулах арга юм. Энэ нь тодорхойгүй интегралд орлуулахыг хүсвэл (2) xзарим дифференциалагдах функц руу x = g(у), интеграл өөрчлөгдөхгүй байхын тулд зайлшгүй шаардлагатай x-ээр солино gў ( у)ду. Өөрөөр хэлбэл тэгш байдал

(орлуулалт 2 x = у, хаанаас 2 dx = ду).

Өөр нэг интеграцийн аргыг танилцуулъя - хэсгүүдээр нэгтгэх аргыг. Энэ нь аль хэдийн мэдэгдэж байсан томъёонд тулгуурладаг

Зүүн ба баруун талыг нэгтгэж, үүнийг харгалзан үзэх замаар

Энэ томьёог хэсэгчилсэн интеграцийн томъёо гэж нэрлэдэг.

Жишээ 2. Та олох хэрэгтэй. Учир нь cos x= (нүгэл x)ў, бид үүнийг бичиж болно

(5) -аас у = xТэгээд v= нүгэл x, бид авдаг

Тэгээд хойш (-cos x)ў = нүгэл xбид үүнийг олдог

Бид зөвхөн маш их зүйлээр хязгаарлагддаг гэдгийг онцлон тэмдэглэх нь зүйтэй товч танилцуулгамаш өргөн хүрээтэй сэдэв болгон, үүнд олон гайхалтай арга техникийг хуримтлуулсан.

Хоёр хувьсагчийн функцууд.

Муруйн улмаас y = е(x) бид хоёр асуудлыг авч үзсэн.

1) Өгөгдсөн цэг дээрх муруйн шүргэгчийн өнцгийн коэффициентийг ол. Энэ асуудлыг деривативын утгыг тооцоолох замаар шийддэг еў ( x) заасан цэг дээр.

2) Тэнхлэгийн сегмент дээрх муруй доорх талбайг ол X, хязгаарлагдмал босоо шугамууд X = АТэгээд X = б. Энэ асуудлыг тодорхой интегралыг тооцоолох замаар шийддэг.

Эдгээр асуудал бүр нь гадаргуугийн хувьд аналогтой байдаг z = е(x,y).

1) Өгөгдсөн цэг дээр гадаргуутай шүргэгч хавтгайг ол.

2) Хавтгайн хэсгийн дээрх гадаргуугийн доорх эзэлхүүнийг ол xy, муруйгаар хязгаарлагдсан ХАМТ, мөн хажуу талаас - хавтгайд перпендикуляр xyхилийн муруйн цэгүүдийг дайран өнгөрөх ХАМТ (см. будаа. 22).

Дараах жишээнүүд эдгээр асуудлыг хэрхэн шийдэж байгааг харуулж байна.

Жишээ 4. Гадаргуутай шүргэгч хавтгайг ол

цэг дээр (0,0,2).

Хэрэв хавтгайд байрлах огтлолцох хоёр шулуун байвал хавтгайг тодорхойлно. Эдгээр шулуун шугамуудын нэг ( л 1) бид онгоцонд сууна xz (цагт= 0), хоёр дахь ( л 2) - онгоцонд yz (x = 0) (см. будаа. 23).

Юуны өмнө, хэрэв цагт= 0, тэгвэл z = е(x,0) = 2 – 2x – 3x 2. -тай холбоотой дериватив X, тэмдэглэсэн еў x(x,0) = –2 – 6x, цагт X= 0 нь –2 гэсэн утгатай. Шулуун л 1 тэгшитгэлээр өгөгдсөн z = 2 – 2x, цагт= 0 – шүргэгч ХАМТ 1, гадаргуугийн хавтгайтай огтлолцох шугамууд цагт= 0. Үүний нэгэн адил, хэрэв X= 0, тэгвэл е(0,y) = 2 – y – y 2 , ба дериватив нь хамааралтай цагтшиг харагдаж байна

Учир нь еў y(0,0) = –1, муруй ХАМТ 2 - гадаргуугийн хавтгайтай огтлолцох шугам yz- шүргэгчтэй л 2 тэгшитгэлээр өгөгдсөн z = 2 – y, X= 0. Хүссэн шүргэгч хавтгай нь хоёр шулууныг агуулна л 1 ба л 2 ба тэгшитгэлээр бичигдэнэ

Энэ бол онгоцны тэгшитгэл юм. Үүнээс гадна бид шууд хүлээн авдаг л 1 ба л 2, үүний дагуу, цагт= 0 ба X = 0.

Тэгшитгэл (7) нь шүргэгч хавтгайг үнэхээр тодорхойлж байгаа нь энэ тэгшитгэл нь (6) тэгшитгэлд багтсан нэгдүгээр эрэмбийн нэр томъёог агуулж байгаа бөгөөд хоёр дахь эрэмбийн нэр томъёог - хэлбэрээр төлөөлж болохыг тэмдэглэснээр эвристик түвшинд баталж болно. Учир нь энэ илэрхийлэл бүх утгын хувьд сөрөг байна XТэгээд цагт, бусад X = цагт= 0, гадаргуу (6) нь цэгээс бусад бүх газар (7) хавтгайн доор байрладаг Р= (0,0,0). Бид гадаргуу (6) цэг дээр дээшээ гүдгэр байна гэж хэлж болно Р.

Жишээ 5. Гадаргуутай шүргэгч хавтгайг ол z = е(x,y) = x 2 – y 2 гарал үүсэл 0.

Онгоцонд цагт= 0 бидэнд байна: z = е(x,0) = x 2 ба еў x(x,0) = 2x. Асаалттай ХАМТ 1, огтлолцлын шугам, z = x 2. Яг цэг дээр Оналуу нь тэнцүү байна еў x(0,0) = 0. Хавтгай дээр X= 0 бидэнд байна: z = е(0,y) = –y 2 ба еў y(0,y) = –2y. Асаалттай ХАМТ 2, огтлолцлын шугам, z = –y 2. Яг цэг дээр Омуруй налуу ХАМТ 2 тэнцүү байна еў y(0,0) = 0. Шүргэдэг тул ХАМТ 1 ба ХАМТ 2 нь тэнхлэг XТэгээд цагт, тэдгээрийг агуулсан шүргэгч хавтгай нь хавтгай юм z = 0.

Гэсэн хэдий ч гарал үүслийн ойролцоо бидний гадаргуу шүргэгч хавтгайтай нэг талд байдаггүй. Үнэхээр муруй ХАМТ 0 цэгээс бусад бүх газар 1 нь шүргэгч хавтгай ба муруйгаас дээш байрладаг ХАМТ 2 - тус тусын доор. Гадаргуу нь шүргэгч хавтгайтай огтлолцдог z= 0 шулуун шугамаар цагт = XТэгээд цагт = –X. Ийм гадаргуугийн эхэнд эмээлийн цэг байдаг гэж үздэг (Зураг 24).

Хэсэгчилсэн дериватив.

Өмнөх жишээнүүдэд бид деривативуудыг ашигласан е (x,y) By Xболон өөр цагт. Одоо ийм деривативуудыг илүү дэлгэрэнгүй авч үзье ерөнхий утгаараа. Хэрэв бид хоёр хувьсагчийн функцтэй бол, жишээлбэл, Ф(x,y) = x 2 – xy, тэгвэл бид цэг бүрт түүний "хэсэгчилсэн дериватив"-ийн хоёрыг тодорхойлж болно Xболон засах цагт, нөгөө нь – ялгах цагтболон засах X. Эдгээр деривативуудын эхнийхийг дараах байдлаар тэмдэглэв еў x(x,y) эсвэл ¶ е/¶ x; хоёрдугаарт - яаж е f ў y. Холимог дериватив хоёулаа бол (хэрэв XТэгээд цагт, By цагтТэгээд X) тасралтгүй, дараа нь ¶ 2 е/¶ x¶ y= ¶ 2 е/¶ y¶ x; бидний жишээнд ¶ 2 е/¶ x¶ y= ¶ 2 е/¶ y¶ x = –1.

Хэсэгчилсэн дериватив еў x(x,y) функцийн өөрчлөлтийн хурдыг заана ецэг дээр ( x,y) нэмэгдүүлэх чиглэлд X, А еў y(x,y) – функцийн өөрчлөлтийн хурд енэмэгдүүлэх чиглэлд цагт. Функцийн өөрчлөлтийн хурд ецэг дээр ( X,цагт) өнцөг үүсгэсэн шулуун шугамын чиглэлд qэерэг тэнхлэгийн чиглэлтэй X, функцийн дериватив гэж нэрлэдэг ечиглэлд; түүний утга нь функцийн хоёр хэсэгчилсэн деривативын хослол юм Шүргэдэг хавтгай дахь f нь бараг тэнцүү байна (жижиг үед dxТэгээд dy) жинхэнэ өөрчлөлт zгадаргуу дээр, гэхдээ дифференциалыг тооцоолох нь ихэвчлэн хялбар байдаг.

Бидний өмнө нь авч үзсэн хувьсагчийн аргын өөрчлөлтийн томъёог нэг хэмжээст тохиолдолд нийлмэл функцийн дериватив буюу гинжин дүрмийн нэрээр нэрлэдэг. цагт-аас хамаарна X, А X-аас хамаарна т, дараах хэлбэртэй байна:

Хоёр хувьсагчийн функцүүдийн хувьд ижил төстэй томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.

Хэсэгчилсэн ялгааны тухай ойлголт, тэмдэглэгээг илүү өндөр хэмжигдэхүүнүүдэд ерөнхийд нь илэрхийлэхэд хялбар байдаг. Ялангуяа тэгшитгэлээр гадаргууг далд хэлбэрээр зааж өгсөн бол е(x,y,z) = 0, гадаргууд шүргэгч хавтгайн тэгшитгэлийг илүү тэгш хэмтэй хэлбэрээр өгч болно: цэг дээрх шүргэгч хавтгайн тэгшитгэл ( x(x 2 /4)], дараа нь нэгтгэсэн X 0-ээс 1 хүртэл. Эцсийн үр дүн 3/4 байна.

Формула (10) нь давхар интеграл гэж нэрлэгддэг, i.e. энгийн "эс" -ийн эзлэхүүний нийлбэрийн хязгаар гэж. Ийм эс бүр нь D суурьтай байдаг xД yмөн өндөр, өндөртэй тэнцүүтэгш өнцөгт суурийн зарим цэгээс дээш гадаргуу ( см. будаа. 26). Томъёо (10) дээрх үзэл бодлын аль аль нь тэнцүү байгааг харуулж болно. Давхар интегралмеханикт тулгардаг хүндийн төв болон олон тооны моментуудыг олоход ашигладаг.

Математикийн аппаратын илүү нарийн үндэслэл.

Өнөөг хүртэл бид математикийн шинжилгээний үзэл баримтлал, аргуудыг зөн совингийн түвшинд танилцуулсан бөгөөд үүнд хандахаас эргэлзсэнгүй. геометрийн хэлбэрүүд. Илүү ихийг товчхон авч үзэх нь бидэнд үлдлээ хатуу аргууд, 19-20-р зуунд гарч ирсэн.

19-р зууны эхэн үед "математикийн анализыг бий болгох" шуурга, дарамтын эрин үе дуусах үед түүнийг зөвтгөх тухай асуултууд урган гарч ирэв. Абел, Коши болон бусад хэд хэдэн нэр хүндтэй математикчдийн бүтээлүүдэд "хязгаарлалт", "тасралтгүй функц", "конвергент цуваа" гэсэн ойлголтуудыг нарийн тодорхойлсон байдаг. Энэ нь математикийн шинжилгээний үндэслэлд логик дарааллыг нэвтрүүлэх, судалгааны найдвартай хэрэгсэл болгоход зайлшгүй шаардлагатай байв. 1872 онд Вейерштрасс хаа сайгүй үргэлжилсэн боловч хаана ч ялгагдахгүй функцуудыг нээсний дараа (ийм функцүүдийн график цэг бүрд хазайлттай байдаг) нарийвчилсан үндэслэл гаргах хэрэгцээ улам бүр тодорхой болсон. Энэ үр дүн нь математикчдад гайхалтай нөлөө үзүүлсэн, учир нь энэ нь тэдний геометрийн зөн совинтой илт зөрчилдөж байв. Геометрийн зөн совингийн найдваргүй байдлын илүү тод жишээ бол тодорхой квадратыг бүрэн дүүргэсэн Д.Пианогийн бүтээсэн тасралтгүй муруй байв. түүний бүх цэгийг дайран өнгөрдөг. Эдгээр болон бусад нээлтүүд нь математикийн "арифметизаци" хөтөлбөрийг бий болгосон. бүгдийг зөвтгөх замаар илүү найдвартай болгох математикийн ойлголтуудтооны тухай ойлголтыг ашиглан. Математикийн үндэс суурьтай холбоотой бүтээлүүдэд тодорхой байхаас бараг цэвэршсэн байдлаар татгалзсан нь түүхэн үндэслэлтэй байв.

Логик хатуу байдлын орчин үеийн хууль тогтоомжийн дагуу муруйн доорх талбайн талаар ярих нь хүлээн зөвшөөрөгдөхгүй y = е(x) ба тэнхлэгийн сегментээс дээш X, байсан ч гэсэн е – тасралтгүй функцэхлээд тодорхойлохгүйгээр яг утга"бүс нутаг" гэсэн нэр томьёо нь ийм байдлаар тодорхойлогдсон газар нутаг бодитой байдаг гэдгийг нотлохгүйгээр. Энэ асуудлыг 1854 онд өгсөн Б.Риман амжилттай шийдвэрлэжээ нарийн тодорхойлолттодорхой интегралын тухай ойлголт. Түүнээс хойш тодорхой интеграл гэсэн ойлголтын нийлбэрийн санаа нь олон гүнзгийрүүлсэн судалгаа, ерөнхий дүгнэлтийн сэдэв байсаар ирсэн. Үүний үр дүнд өнөөдөр утга учир өгөх боломжтой тодорхой интеграл, интеграл хаа сайгүй тасалдсан ч гэсэн. А.Лебесг (1875–1941) болон бусад математикчид асар их хувь нэмэр оруулсан интеграцийн шинэ үзэл баримтлал нь орчин үеийн математик шинжилгээний хүч, гоо үзэсгэлэнг нэмэгдүүлсэн.

Эдгээр болон бусад ойлголтуудын талаар дэлгэрэнгүй ярих нь зохимжгүй байх болно. Бид зөвхөн хязгаар ба тодорхой интегралын хатуу тодорхойлолтыг өгөхөөр хязгаарлагдах болно.

Дүгнэж хэлэхэд математикийн шинжилгээ нь эрдэмтэн, инженер хүний ​​гарт байдаг туйлын үнэ цэнэтэй хэрэгсэл байсаар өнөөг хүртэл үр өгөөжтэй санааны эх сурвалж болж математикчдын анхаарлыг татсаар байгааг хэлье. Үүний зэрэгцээ орчин үеийн хөгжил 20-р зуунд математикийн шинжилгээг давамгайлсан хүмүүс улам бүр шингээж байгааг харуулж байна. хийсвэр алгебр, топологи зэрэг математикийн салбарууд.