Тэгшитгэл гэж юу вэ?

Алгебрийн чиглэлээр анхны алхмуудаа хийж байгаа хүмүүс мэдээжийн хэрэг материалын хамгийн эмх цэгцтэй танилцуулгыг шаарддаг. Тиймээс тэгшитгэл гэж юу болох тухай өгүүлэлдээ бид зөвхөн тодорхойлолт өгөх төдийгүй бас өгөх болно янз бүрийн ангилалжишээ бүхий тэгшитгэл.

Тэгшитгэл гэж юу вэ: ерөнхий ойлголт

Тиймээс тэгшитгэл нь латин үсгээр тэмдэглэгдсэн үл мэдэгдэх тэгш байдлын төрөл юм. Хаана тоон утгаЗөв тэгш байдлыг олж авах боломжийг олгодог өгөгдсөн үсгийг тэгшитгэлийн үндэс гэж нэрлэдэг бөгөөд та энэ талаар манай нийтлэлээс уншиж болно, гэхдээ бид тэгшитгэлийн талаар үргэлжлүүлэн ярих болно. Тэгшитгэлийн (эсвэл хувьсагчийн) аргументууд нь үл мэдэгдэх бөгөөд тэгшитгэлийн шийдэл нь түүний бүх язгуур буюу үндэс байхгүй эсэхийг олох явдал юм.

Тэгшитгэлийн төрлүүд

Тэгшитгэлийг хоёр хуваана том бүлгүүд: алгебрийн ба трансцендентал.

• Алгебрийн тэгшитгэл нь зөвхөн нэг юм алгебрийн үйлдлүүд- 4 арифметик, түүнчлэн экспоненциал болон байгалийн үндэс олборлолт.
• Трансцендент тэгшитгэл нь язгуурыг олохын тулд алгебрийн бус функцуудыг ашигладаг тэгшитгэл юм: жишээлбэл, тригонометр, логарифм болон бусад.

Алгебрийн тэгшитгэлүүдийн дунд дараахь зүйлүүд байдаг.

• бүхэл - бүхэл хэсгүүдээс бүрдэх хоёр хэсэгтэй алгебрийн илэрхийллүүдүл мэдэгдэх зүйлтэй холбоотой;
• бутархай - тоологч ба хуваагч дахь бүхэл тоон алгебрийн илэрхийллийг агуулсан;
• иррациональ - энд алгебрийн илэрхийллүүд язгуур тэмдгийн дор байна.

Бутархай ба иррационал тэгшитгэлүүдбүхэл тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хүртэл багасгаж болно.

Трансцендент тэгшитгэлийг дараахь байдлаар хуваана.

• Экспоненциал тэгшитгэл нь хувьсагчийг илтгэгч болгон агуулсан тэгшитгэл юм. Тэдгээрийг нэг суурь буюу экспонент руу шилжүүлэх замаар, авах замаар шийддэг нийтлэг үржүүлэгчхаалтны гадна, хүчин зүйлчлэлээр болон бусад зарим аргаар;
• логарифм - логарифм бүхий тэгшитгэлүүд, өөрөөр хэлбэл үл мэдэгдэх нь логарифмын дотор байдаг тэгшитгэлүүд. Ийм тэгшитгэлийг шийдэх нь маш хэцүү байдаг (ихэнх алгебрийнхаас ялгаатай нь), учир нь энэ нь хатуу тэгшитгэл шаарддаг. математикийн сургалт. Энд хамгийн чухал зүйл бол логарифм бүхий тэгшитгэлээс тэдгээргүй тэгшитгэл рүү шилжих, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийг хялбарчлах явдал юм (логарифмыг арилгах энэ аргыг потенциац гэж нэрлэдэг). Мэдээжийн хэрэг, хүчирхэгжүүлэх логарифм тэгшитгэлижил тоон суурьтай, коэффициентгүй тохиолдолд л боломжтой;
• тригонометрийн тэгшитгэлүүд нь тригонометрийн функцүүдийн шинж тэмдгүүдийн дагуу хувьсагчтай тэгшитгэл юм. Тэдний шийдэл нь тригонометрийн функцийг анхан шатны мэдлэгтэй байхыг шаарддаг;
• холимог юм ялгасан тэгшитгэлянз бүрийн төрөлд хамаарах хэсгүүдтэй (жишээлбэл, параболик ба эллипс хэсгүүд эсвэл эллипс ба гипербол гэх мэт).

Үл мэдэгдэх тоогоор ангилах тухайд бүх зүйл энгийн байдаг: нэг, хоёр, гурав гэх мэт үл мэдэгдэх тэгшитгэлүүдийг ялгадаг. Мөн олон гишүүнтийн зүүн талд байгаа зэрэгт суурилсан өөр ангилал байдаг. Үүний үндсэн дээр шугаман, дөрвөлжин, дөрвөлжин гэсэн ялгааг гаргадаг куб тэгшитгэл. Шугаман тэгшитгэлийг 1-р зэргийн тэгшитгэл, квадрат - 2, куб, 3-р зэрэг гэж нэрлэж болно. За, одоо нэг бүлгийн тэгшитгэлийн жишээг өгье.

Төрөл бүрийн тэгшитгэлийн жишээ

Алгебрийн тэгшитгэлийн жишээ:

• ax + b= 0
• сүх 3 + bx 2 + cx+ d= 0
• ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a= 0
  (a нь 0-тэй тэнцүү биш)

Трансцендент тэгшитгэлийн жишээ:

• cos x = x log x = x−5 2 x = logx+x 5 +40

Бүхэл тэгшитгэлийн жишээ:

• (2+x)2 = (2+x)(55x-4) (x2-12x+10)4 = (3x+10)4 (4x2+3x-10)2=9x4

Бутархай тэгшитгэлийн жишээ:

• 15 х + — = 5х - 17 х

Иррационал тэгшитгэлийн жишээ:

• √2kf(x)=g(x)

Шугаман тэгшитгэлийн жишээ:

• 2x+7=0 x - 3 = 2 - 4x 2x+3=5x+5 - 3x - 2

Квадрат тэгшитгэлийн жишээ:

• x 2 +5x−7= 0 3x 2 +5x−7= 0 11x 2 −7x+3 = 0

Куб тэгшитгэлийн жишээ:

• x 3 -9x 2 -46x+120=0 x 3 - 4x 2 + x + 6 = 0

Экспоненциал тэгшитгэлийн жишээ:

• 5 x+2 = 125 3 x 2 x = 8 x+3 3 2x +4 3 x -5 = 0

Логарифм тэгшитгэлийн жишээ:

• log 2 x= 3 log 3 x= -1

Тригонометрийн тэгшитгэлийн жишээ:

• 3sin 2 x + 4sin x cosx + cos 2 x = 2 sin(5x+π/4) = ctg(2x-π/3) sinx + cos 2 x + tan 3 x = ctg 4 x

Холимог тэгшитгэлийн жишээ:

• log x (лог 9 (4⋅3 x −3))=1 |5x−8|+|2⋅5x+3|=13

Тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд үүнийг нэмэх хэрэгтэй янз бүрийн төрөлхамгийн өөр өөр аргууд. Бараг ямар ч тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд танд зөвхөн алгебрийн мэдлэг төдийгүй тригонометрийн мэдлэг, ихэвчлэн маш гүнзгий мэдлэг хэрэгтэй болно.

Тэгшитгэл

Тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?

Энэ хэсэгт бид хамгийн их санаж (эсвэл хэнээс хамаарч судлах) болно энгийн тэгшитгэл. Тэгэхээр тэгшитгэл юу вэ? Ярьж байна хүний ​​хэл, энэ нь тэнцүү тэмдэг болон үл мэдэгдэх нэг төрлийн математик илэрхийлэл юм. Үүнийг ихэвчлэн үсгээр тэмдэглэдэг "X". Тэгшитгэлийг шийд- энэ нь орлуулах үед x-ийн утгыг олох явдал юм эхилэрхийлэл нь бидэнд зөв таних тэмдэг өгөх болно. Өөрийгөө таних нь туйлын дарамтгүй хүнд ч эргэлзээ төрүүлдэггүй илэрхийлэл гэдгийг сануулъя. математикийн мэдлэг. 2=2, 0=0, ab=ab гэх мэт. Тэгэхээр тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?Үүнийг олж мэдье.

Бүх төрлийн тэгшитгэлүүд байдаг (би гайхаж байна, тийм ээ?). Гэхдээ тэдний хязгааргүй олон янз байдлыг зөвхөн дөрвөн төрөлд хувааж болно.

4. Бусад.)

Бусад бүх зүйл, мэдээжийн хэрэг, хамгийн гол нь, тийм ээ ...) Үүнд куб, экспоненциал, логарифм, тригонометр болон бусад бүх зүйл орно. Бид холбогдох хэсгүүдэд тэдэнтэй нягт хамтран ажиллах болно.

Заримдаа эхний тэгшитгэлүүд байдаг гэдгийг би шууд хэлье гурван төрөлтэд чамайг маш их хуурч, чи тэднийг танихгүй байх болно ... Юу ч биш. Бид тэднийг хэрхэн тайвшруулахыг сурах болно.

Энэ дөрвөн төрөл яагаад бидэнд хэрэгтэй байна вэ? Тэгээд юу гэж шугаман тэгшитгэлнэг аргаар шийдсэн дөрвөлжинбусад, бутархай рациональ - гуравдугаарт,А амрахТэд огт зүрхлэхгүй байна! За, тэд огт шийдэж чадахгүй байгаадаа биш, би математикийн талаар буруу байсан юм.) Тэд өөрсдийн гэсэн тусгай арга, арга барилтай байдаг.

Гэхдээ аль ч тохиолдолд (би давтан хэлэхэд - төлөө ямар ч!) тэгшитгэлүүд нь шийдвэрлэх найдвартай бөгөөд бүтэлгүйтлийн аюулгүй суурь болдог. Хаа сайгүй, үргэлж ажилладаг. Энэ суурь - Аймшигтай сонсогдож байгаа ч энэ нь маш энгийн. Бас маш (Маш!)чухал.

Үнэн хэрэгтээ тэгшитгэлийн шийдэл нь эдгээр өөрчлөлтүүдээс бүрддэг. 99% Асуултын хариулт: " Тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?" яг эдгээр өөрчлөлтүүдэд оршдог. Санамж тодорхой байна уу?)

Тэгшитгэлийн ижил хувиргалт.

IN аливаа тэгшитгэлүл мэдэгдэх зүйлийг олохын тулд та хувиргаж, хялбаршуулах хэрэгтэй анхны жишээ. Тэгээд солих үед тийм Гадаад төрх тэгшитгэлийн мөн чанар өөрчлөгдөөгүй.Ийм хувиргалтыг гэж нэрлэдэг адилханэсвэл түүнтэй адилтгах.

Эдгээр өөрчлөлтүүд хамаарна гэдгийг анхаарна уу ялангуяа тэгшитгэлд.Математикт мөн чанарын өөрчлөлтүүд байдаг илэрхийллүүд.Энэ бол өөр сэдэв юм.

Одоо бид бүгдийг, бүгдийг, бүгдийг нь давтах болно таниулах өөрчлөлтүүдтэгшитгэл.

Үндсэн учраас тэдгээрийг хэрэглэж болно ямар чтэгшитгэлүүд - шугаман, квадрат, бутархай, тригонометр, экспоненциал, логарифм гэх мэт. гэх мэт.

Анхны таних өөрчлөлт: та ямар ч тэгшитгэлийн хоёр талд нэмэх (хасах) боломжтой ямар ч(гэхдээ нэг бөгөөд ижил!) тоо эсвэл илэрхийлэл (үүнд үл мэдэгдэх илэрхийлэл орно!). Энэ нь тэгшитгэлийн мөн чанарыг өөрчлөхгүй.

Дашрамд хэлэхэд, та энэ хувиргалтыг байнга ашигладаг байсан, та зүгээр л зарим нэр томъёог тэгшитгэлийн нэг хэсгээс нөгөө рүү тэмдгээр шилжүүлж байна гэж бодсон. Төрөл:

Тохиолдол нь танил тул бид хоёрыг баруун тийш шилжүүлж, бид дараахь зүйлийг авна.

Үнэндээ чи салган авсантэгшитгэлийн хоёр талаас хоёр байна. Үр дүн нь ижил байна:

x+2 - 2 = 3 - 2

Тэмдгийн өөрчлөлтөөр нэр томьёог зүүн, баруун тийш шилжүүлэх нь анхны таних тэмдгийн хувиргалтын товчилсон хувилбар юм. Бидэнд яагаад ийм гүн гүнзгий мэдлэг хэрэгтэй байна вэ? - Та асуух. Тэгшитгэлд юу ч байхгүй. Бурханы төлөө, тэвчих. Зөвхөн тэмдгийг өөрчлөхөө бүү мартаарай. Гэвч тэгш бус байдлын үед шилжүүлэх зуршил нь мухардалд хүргэдэг ...

Хоёр дахь таних өөрчлөлт: тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил зүйлээр үржүүлж (хувааж) болно тэг биштоо эсвэл илэрхийлэл. Энд ойлгомжтой хязгаарлалт аль хэдийн гарч ирэв: тэгээр үржүүлэх нь тэнэг бөгөөд хуваах нь бүрэн боломжгүй юм. Энэ бол та ямар нэгэн гайхалтай зүйлийг шийдэхдээ ашигладаг өөрчлөлт юм

Энэ нь тодорхой байна X= 2. Та үүнийг яаж олсон бэ? Сонголтоор уу? Эсвэл зүгээр л чамд санагдав уу? Сонгох, ухаарал хүлээхгүй байхын тулд та шударга гэдгээ ойлгох хэрэгтэй тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваасан-ээр 5. Зүүн талыг (5х) хуваахдаа тавыг багасгаж, цэвэр X үлдээсэн. Энэ нь бидэнд яг хэрэгтэй зүйл юм. Мөн (10)-ын баруун талыг таваар хуваахад үр дүн нь мэдээж хоёр болно.

Тэгээд л болоо.

Энэ нь инээдтэй, гэхдээ эдгээр хоёр (хоёрхон!) ижил төстэй өөрчлөлтүүд нь шийдлийн үндэс юм Математикийн бүх тэгшитгэлүүд.Хөөх! Юу, яаж гэх жишээг харах нь утга учиртай, тийм үү?)

Тэгшитгэлийн ижил төстэй хувиргалтын жишээ. Гол асуудлууд.

-ээс эхэлье эхлээдтаних тэмдгийн хувирал. Зүүнээс баруун тийш шилжүүлэх.

Залуучуудад зориулсан жишээ.)

Дараах тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй гэж үзье.

3-2х=5-3х

Шившлэгийг санацгаая: "X-тэй - зүүн талд, X-гүй - баруун талд!"Энэ шившлэг нь анхны таних хувирлыг ашиглах заавар юм.) Баруун талд X тэмдэгтэй ямар илэрхийлэл вэ? 3x? Хариулт нь буруу байна! Бидний баруун талд - 3x! Хасахгурван х! Тиймээс зүүн тийш шилжих үед тэмдэг нь нэмэх болж өөрчлөгдөнө. Энэ нь гарах болно:

3-2х+3х=5

Тиймээс X-г овоолон цуглуулсан. Тоонууд руу орцгооё. Зүүн талд гурав байна. Ямар тэмдгээр? "Аль ч биш" гэсэн хариултыг хүлээж авахгүй!) Гуравын өмнө, үнэхээр юу ч зураагүй. Энэ нь гурвын өмнө байгаа гэсэн үг юм нэмэх.Тиймээс математикчид зөвшөөрөв. Юу ч бичээгүй, энэ нь гэсэн үг нэмэх.Тиймээс, in баруун талгурвалыг шилжүүлэх болно хасахтай.Бид авах:

-2х+3х=5-3

Өчүүхэн төдий зүйл үлдлээ. Зүүн талд - ижил төстэй зүйлийг авчир, баруун талд - тоол. Хариулт нь шууд ирдэг:

Энэ жишээнд нэг таних өөрчлөлт хангалттай байсан. Хоёр дахь нь шаардлагагүй байсан. За яахав.)

Том хүүхдүүдэд зориулсан жишээ.)

Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...

Дашрамд хэлэхэд, би танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)

Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурцгаая - сонирхолтой!)

Та функц, деривативтай танилцах боломжтой.

Бид тэгш байдлын тухай ойлголтыг, тухайлбал тэдгээрийн нэг төрөл болох тоон тэгшитгэлийг судалсны дараа бид өөр нэг чухал төрөл болох тэгшитгэл рүү шилжиж болно. Энэ материалын хүрээнд бид тэгшитгэл гэж юу болох, түүний язгуурыг тайлбарлаж, үндсэн тодорхойлолтуудыг томъёолж, өгөх болно. янз бүрийн жишээтэгшитгэл ба тэдгээрийн үндсийг олох.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Тэгшитгэлийн тухай ойлголт

Ихэвчлэн тэгшитгэлийн тухай ойлголтыг эхэнд нь судалдаг сургуулийн курсалгебр. Дараа нь дараах байдлаар тодорхойлогдоно.

Тодорхойлолт 1

Тэгшитгэл-тэй тэнцүү гэж нэрлэдэг үл мэдэгдэх дугаар, үүнийг олох шаардлагатай.

Үл мэдэгдэх зүйлийг жижиг гэж тэмдэглэх нь заншилтай байдаг латин үсгээр, жишээ нь, t, r, m гэх мэт, гэхдээ ихэвчлэн x, y, z ашигладаг. Өөрөөр хэлбэл, тэгшитгэл нь түүний бичлэгийн хэлбэрээр тодорхойлогддог, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэл нь зөвхөн үүнийг бууруулахад тэгшитгэл болно. тодорхой төрөл– энэ нь үсэг, олох шаардлагатай утгыг агуулсан байх ёстой.

Хамгийн энгийн тэгшитгэлийн зарим жишээг өгье. Эдгээр нь x = 5, y = 6 гэх мэт тэгшитгэлүүд байж болно. арифметик үйлдлүүджишээлбэл, x + 7 = 38, z - 4 = 2, 8 · t = 4, 6: x = 3.

Хаалтны тухай ойлголтыг судалсны дараа хаалт бүхий тэгшитгэлийн тухай ойлголт гарч ирнэ. Үүнд 7 · (x − 1) = 19, x + 6 · (x + 6 · (x − 8)) = 3 гэх мэт. Олдох шаардлагатай үсэг нь нэгээс олон удаа гарч ирж болно, гэхдээ хэд хэдэн удаа, жишээ нь: жишээлбэл, x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 тэгшитгэлд. Мөн үл мэдэгдэх нь зөвхөн зүүн талд төдийгүй баруун талд эсвэл хоёр хэсэгт нэгэн зэрэг байрлаж болно, жишээлбэл, x (8 + 1) − 7 = 8, 3 - 3 = z + 3 эсвэл 8 x. − 9 = 2 (x + 17) .

Цаашилбал, оюутнууд бүхэл тоонуудын тухай ойлголттой болсны дараа бодит, оновчтой, натурал тоонууд, түүнчлэн логарифм, үндэс, хүч зэрэг эдгээр бүх объектыг багтаасан шинэ тэгшитгэлүүд гарч ирнэ. Бид ийм илэрхийллийн жишээнүүдэд тусдаа өгүүллийг зориулав.

7-р ангийн сургалтын хөтөлбөрт хувьсагчийн тухай ойлголт анх удаа гарч байна. Эдгээр нь авч болох захидал юм өөр өөр утгатай(дэлгэрэнгүй мэдээллийг тоон дээрх нийтлэлээс үзнэ үү, үг хэллэгүүдхувьсагчтай илэрхийллүүд). Энэ үзэл баримтлалд үндэслэн бид тэгшитгэлийг дахин тодорхойлж болно:

Тодорхойлолт 2

Тэгшитгэлутгыг нь тооцох шаардлагатай хувьсагчийг хамарсан тэгшитгэл юм.

Жишээлбэл, x + 3 = 6 x + 7 илэрхийлэл нь x хувьсагчтай тэгшитгэл, 3 y − 1 + y = 0 нь у хувьсагчтай тэгшитгэл юм.

Нэг тэгшитгэл нь нэгээс олон хувьсагчтай байж болох ч хоёр ба түүнээс дээш хувьсагчтай байж болно. Тэдгээрийг хоёр, гурван хувьсагч гэх мэт тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Тодорхойлолтыг бичье.

Тодорхойлолт 3

Хоёр (гурав, дөрөв ба түүнээс дээш) хувьсагчтай тэгшитгэл нь харгалзах тооны үл мэдэгдэх тоог агуулсан тэгшитгэл юм.

Жишээлбэл, 3, 7 x + 0, 6 = 1 хэлбэрийн тэгшитгэл нь нэг x хувьсагчтай тэгшитгэл, x − z = 5 нь x ба z хоёр хувьсагчтай тэгшитгэл юм. Гурван хувьсагчтай тэгшитгэлийн жишээ нь x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26 болно.

Тэгшитгэлийн үндэс

Тэгшитгэлийн тухай ярихад түүний язгуурын тухай ойлголтыг тодорхойлох хэрэгцээ нэн даруй гарч ирдэг. Энэ нь юу гэсэн үг болохыг тайлбарлахыг хичээцгээе.

Жишээ 1

Бидэнд нэг хувьсагчийг багтаасан тодорхой тэгшитгэл өгөгдсөн. Хэрэв бид оронд нь орлуулах юм бол үл мэдэгдэх захидалтоо, дараа нь тэгшитгэл нь тоон тэгшитгэл болно - үнэн эсвэл худал. Хэрэв тэгшитгэлийн a + 1 = 5 бол үсгийг 2 тоогоор сольвол тэгшитгэл худал болж, 4 бол зөв тэгшитгэл нь 4 + 1 = 5 болно.

Хувьсагч нь жинхэнэ тэгш байдал болж хувирах утгуудыг бид илүү их сонирхож байна. Тэдгээрийг үндэс буюу шийдэл гэж нэрлэдэг. Тодорхойлолтыг бичье.

Тодорхойлолт 4

Тэгшитгэлийн үндэсӨгөгдсөн тэгшитгэлийг жинхэнэ тэгшитгэл болгон хувиргах хувьсагчийн утгыг тэд гэж нэрлэдэг.

Үндэсийг шийдэл гэж нэрлэж болно, эсвэл эсрэгээр - эдгээр хоёр ойлголт нь ижил утгатай.

Жишээ 2

Энэ тодорхойлолтыг тодруулахын тулд жишээ татъя. Дээр бид a + 1 = 5 тэгшитгэлийг өгсөн. Тодорхойлолтоор бол үндэс нь энэ тохиолдолд 4 байх болно, учир нь үсгийн оронд орлуулбал энэ нь зөв тоон тэгшитгэлийг өгөх ба хоёр нь шийдэл болохгүй, учир нь энэ нь 2 + 1 = 5 буруу тэгшитгэлтэй тохирч байна.

Нэг тэгшитгэл хэдэн үндэстэй байж болох вэ? Тэгшитгэл бүр үндэстэй юу? Эдгээр асуултад хариулъя.

Нэг үндэсгүй тэгшитгэлүүд бас байдаг. Жишээ нь 0 x = 5 байх болно. Бид хязгааргүй олон зүйлийг орлуулж чадна өөр өөр тоо, гэхдээ тэдгээрийн аль нь ч үүнийг жинхэнэ тэгшитгэл болгон хувиргахгүй, учир нь 0-ээр үржүүлэхэд үргэлж 0 гардаг.

Мөн хэд хэдэн үндэстэй тэгшитгэлүүд байдаг. Тэд төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй байж болно олон тооныүндэс.

Жишээ 3

Тэгэхээр x − 2 = 4 тэгшитгэлд зөвхөн нэг язгуур байна - зургаа, x 2 = 9-д хоёр үндэс - гурав ба хасах гурав, x -д · (x - 1) · (x - 2) = 0 гурван үндэс - тэг, нэг, хоёр, x=x тэгшитгэлд хязгааргүй олон үндэс бий.

Одоо тэгшитгэлийн язгуурыг хэрхэн зөв бичихийг тайлбарлая. Хэрэв тэд байхгүй бол бид "тэгшитгэлд үндэс байхгүй" гэж бичнэ. Энэ тохиолдолд та хоосон олонлогийн ∅ тэмдгийг бас зааж өгч болно. Хэрэв үндэс байгаа бол бид тэдгээрийг таслалаар тусгаарлаж бичнэ эсвэл багцын элемент болгон зааж өгнө. хаалт. Тиймээс, хэрэв тэгшитгэл нь 2, 1, 5 гэсэн гурван үндэстэй бол бид 2, 1, 5 эсвэл (- 2, 1, 5) гэж бичнэ.

Үндэсийг энгийн тэгш байдлын хэлбэрээр бичихийг зөвшөөрнө. Тэгэхээр тэгшитгэл дэх үл мэдэгдэхийг у үсгээр тэмдэглэж, язгуур нь 2 ба 7 байвал у = 2 ба у = 7 гэж бичнэ. Заримдаа үсгүүдэд доод тэмдэгтүүдийг нэмдэг, жишээлбэл, x 1 = 3, x 2 = 5. Ийм байдлаар бид язгууруудын тоог зааж өгдөг. Хэрэв тэгшитгэл нь хязгааргүй олон шийдэлтэй бол хариултыг дараах байдлаар бичнэ тоон интервалэсвэл бид нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн тэмдэглэгээг ашигладаг: натурал тооны багцыг N, бүхэл тоог Z, бодит тоог R гэж тэмдэглэнэ. Хэрэв тэгшитгэлийн шийд нь дурын бүхэл тоо байх шаардлагатай бол x ∈ Z, нэгээс ес хүртэлх бодит тоо байвал у ∈ 1, 9 гэж бичнэ гэж бодъё.

Хэрэв тэгшитгэл нь хоёр, гурав ба түүнээс дээш үндэстэй бол бид дүрмээр бол үндэс биш, харин тэгшитгэлийн шийдлийн талаар ярьдаг. Хэд хэдэн хувьсагчтай тэгшитгэлийн шийдийн тодорхойлолтыг томъёолъё.

Тодорхойлолт 5

Хоёр, гурав ба түүнээс дээш хувьсагчтай тэгшитгэлийн шийдэл нь өгөгдсөн тэгшитгэлийг зөв тоон тэгшитгэл болгон хувиргах хувьсагчийн хоёр, гурав ба түүнээс дээш утгууд юм.

Тодорхойлолтыг жишээгээр тайлбарлая.

Жишээ 4

Хоёр хувьсагчтай тэгшитгэл болох x + y = 7 илэрхийлэл байна гэж бодъё. Эхний оронд нэгийг, хоёр дахь оронд хоёрыг орлъё. Бид буруу тэгш байдлыг олж авах бөгөөд энэ хос утгууд нь шийдэл болохгүй гэсэн үг юм өгөгдсөн тэгшитгэл. Хэрэв бид 3 ба 4-р хосыг авбал тэгш байдал үнэн болох бөгөөд энэ нь бид шийдлийг олсон гэсэн үг юм.

Ийм тэгшитгэл нь үндэсгүй эсвэл хязгааргүй олон байж болно. Хэрэв бид хоёр, гурав, дөрөв ба түүнээс дээш утгыг бичих шаардлагатай бол тэдгээрийг таслалаар тусгаарлаж бичнэ хаалт. Өөрөөр хэлбэл, дээрх жишээн дээр хариулт нь (3, 4) шиг харагдах болно.

Практикт та ихэвчлэн нэг хувьсагч агуулсан тэгшитгэлтэй харьцах хэрэгтэй болдог. Бид тэдгээрийг шийдвэрлэх алгоритмыг тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд зориулсан нийтлэлд нарийвчлан авч үзэх болно.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Өгүүллийн агуулга

Тэгшитгэл.Тэгшитгэл гэдэг нь хоёр алгебр илэрхийллийн тэгш байдлыг илэрхийлдэг математик харилцаа юм. Хэрэв хэн нэгэнд тэгш байдал үнэн бол хүлээн зөвшөөрөгдөх үнэ цэнэтүүнд орсон үл мэдэгдэх зүйлс, дараа нь түүнийг таних тэмдэг гэж нэрлэдэг; жишээ нь, хэлбэрийн хамаарал ( x – 1) 2 = (x – 1)(x– 1) хувьсагчийн бүх утгын хувьд гүйцэтгэнэ x. Өөрийгөө танихын тулд ердийн тэнцүү тэмдгийн оронд ихэвчлэн є тэмдгийг бичдэг бөгөөд энэ нь "ижил тэнцүү" гэсэн утгатай. Олон гишүүнтийн хүчин зүйлчлэлийг бичихдээ (дээрх жишээн дээрх шиг) таних тэмдгийг алгебрт ашигладаг. Тэд мөн нүгэл 2 зэрэг харилцаанд тригонометрт байдаг x+ cos 2 x= 1 ба дотор ерөнхий тохиолдолхоёр өөр мэт санагдах математикийн илэрхийлэлүүдийн хоорондын албан ёсны харилцааг илэрхийл.

Хэрэв хувьсагч агуулсан тэгшитгэл x, нь зөвхөн тодорхой утгуудад гүйцэтгэгддэг ба бүх утгын хувьд биш x, таних байдлын нэгэн адил эдгээр утгыг тодорхойлох нь ашигтай байж болох юм x, үүний хувьд энэ тэгшитгэл хүчинтэй байна. Ийм үнэт зүйлс xтэгшитгэлийн үндэс буюу шийд гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, 5-ын тоо нь 2-р тэгшитгэлийн үндэс юм x + 7= 17.

Тэгшитгэл нь шийдлийн хүчирхэг хэрэгсэл болдог практик асуудлууд. Яг хэлМатематик нь нэгэнт заасан баримт, харилцааг энгийнээр илэрхийлэх боломжийг олгодог энгийн хэлээр, ойлгомжгүй, төвөгтэй мэт санагдаж магадгүй. Үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнүүд, жишээ нь асуудалд тэмдэгээр тэмдэглэгдсэн байдаг x, -д асуудлыг томъёолсноор олж болно математик хэлтэгшитгэл хэлбэрээр. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргууд нь тэгшитгэлийн онол гэж нэрлэгддэг математикийн салбарын гол сэдэв юм.

Тэгшитгэлийн төрөл

Алгебрийн тэгшитгэл.

Маягтын тэгшитгэл fn= 0, хаана fn– нэг буюу хэд хэдэн хувьсагчийн олон гишүүнтийг алгебрийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Олон гишүүнт гэдэг нь хэлбэрийн илэрхийлэл юм

fn = а 0 x i y j ... v k + a 1 x l y m ... v n +ј + a s x p y q ... v r,

Хаана x, y,..., vхувьсагч ба би, j,..., r- илтгэгч (бүхэл тоо) сөрөг бус тоо). Нэг хувьсагчийн олон гишүүнтийг дараах байдлаар бичнэ.

е(x) = а 0 x n + а 1 x n – 1 +... + a n – 1x + a n

эсвэл онцгой тохиолдолд 3 x 4 – x 3 + 2x 2 + 4x– 1. Нэг үл мэдэгдэх алгебрийн тэгшитгэл нь хэлбэрийн аливаа тэгшитгэл юм е(x) = 0. Хэрэв а 0 Үгүй тэгвэл 0 nтэгшитгэлийн зэрэг гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, 2 x+ 3 = 0 – нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэл; Функцийн графикаас хойш нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэлийг шугаман гэж нэрлэдэг у = сүх + бшулуун шугам шиг харагдаж байна. Хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэлийг квадрат, гуравдугаар зэргийн тэгшитгэлийг куб гэж нэрлэдэг. Дээд зэрэглэлийн тэгшитгэлүүд нь ижил төстэй нэртэй байдаг.

Трансцендент тэгшитгэл.

Логарифм, экспоненциал, эсвэл гэх мэт трансцендент функц агуулсан тэгшитгэлүүд тригонометрийн функц, трансцендентал гэж нэрлэдэг. Жишээ нь дараах тэгшитгэл байж болно.

Энд лог нь 10 суурьтай логарифм юм.

Дифференциал тэгшитгэл.

Энэ нь нэг буюу хэд хэдэн функц, тэдгээрийн дериватив эсвэл дифференциал агуулсан тэгшитгэлд өгсөн нэр юм. Дифференциал тэгшитгэл нь байгалийн хуулиудыг үнэн зөв гаргах маш үнэ цэнэтэй хэрэгсэл болох нь батлагдсан.

Интеграл тэгшитгэл.

Интеграл тэмдгийн дор үл мэдэгдэх функц агуулсан тэгшитгэлүүд, жишээлбэл, е (с) = t К (с, т) е(т) dt, Хаана е(с) Мөн К(с,т) өгөгдсөн, ба е(т) олох шаардлагатай.

Диофантийн тэгшитгэл.

Диофантийн тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг алгебрийн тэгшитгэлшийдлийг бүхэл тоогоор хайдаг бүхэл тооны коэффициент бүхий хоёр ба түүнээс дээш үл мэдэгдэх зүйлстэй рационал тоо. Жишээлбэл, тэгшитгэл 3 x – 5y= 1 шийдэлтэй байна x = 7, y= 4; ерөнхийдөө түүний шийдлүүд нь хэлбэрийн бүхэл тоо юм x = 7 + 5n, y = 4 + 3n.

АЛГЕБРИЙН ТЭГШИГЭЛИЙГ ШИЙДЭХ

Дээрх бүх төрлийн тэгшитгэлийн хувьд нийтлэг аргуудшийдэл байхгүй. Гэсэн хэдий ч олон тохиолдолд, ялангуяа тодорхой төрлийн алгебрийн тэгшитгэлийн хувьд хангалттай байдаг бүрэн онолтэдний шийдвэр.

Шугаман тэгшитгэл.

Эдгээр энгийн тэгшитгэлийг үл мэдэгдэхийн утга шууд харагдах эквивалент тэгшитгэл болгон бууруулж шийддэг. Жишээлбэл, тэгшитгэл x+ 2 = 7-ийг тэнцүү тэгшитгэл болгон бууруулж болно x= 5-ын тоог баруун, зүүн талаас нь 2-ыг хасна. Холих алхамууд энгийн тэгшитгэл, Жишээлбэл, x+ 2 = 7, эквивалент нь дөрвөн аксиомыг ашиглахад үндэслэсэн болно.

1. Хэрэв тэнцүү утгуудижил тоогоор нэмэгдвэл үр дүн нь тэнцүү байх болно.

2. Хэрэв та ижил тооноос ижил тоог хасвал үр дүн нь тэнцүү болно.

3. Хэрэв тэнцүү утгыг ижил тоогоор үржүүлбэл үр дүн нь тэнцүү болно.

4. Хэрэв тэнцүү хэмжигдэхүүнийг ижил тоонд хуваавал үр дүн нь тэнцүү байна.

Жишээлбэл, 2-р тэгшитгэлийг шийдэх x+ 5 = 15, бид 2-р аксиомыг ашиглаж, баруун болон зүүн талаас 5-ын тоог хасч, 2-р тэнцүү тэгшитгэлийг гаргана. x= 10. Дараа нь бид 4-р аксиомыг ашиглаж, үүссэн тэгшитгэлийн хоёр талыг 2-т хуваасны үр дүнд анхны тэгшитгэл хэлбэрт хүрнэ. x= 5, энэ нь хүссэн шийдэл юм.

Квадрат тэгшитгэл.

Ерөнхий шийдлүүд квадрат тэгшитгэл сүх 2 + bx + c= 0-ийг томъёогоор авч болно

Тиймээс тодорхой тохиолдолд давхцаж болох хоёр шийдэл байдаг.

Бусад алгебрийн тэгшитгэлүүд.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх томьёотой төстэй тодорхой томьёог зөвхөн гурав, дөрөвдүгээр зэрэглэлийн тэгшитгэлд бичиж болно. Гэхдээ эдгээр томъёо нь нарийн төвөгтэй бөгөөд үндсийг нь амархан олоход үргэлж тусалдаггүй. Тав ба түүнээс дээш зэрэглэлийн тэгшитгэлийн хувьд тэдний хувьд Н.Абел 1824 онд нотолсон шиг үүнийг зааж өгөх боломжгүй юм. ерөнхий томъёо, энэ нь тэгшитгэлийн язгуурыг радикалуудыг ашиглан коэффициентээр нь илэрхийлэх болно. Зарим онцгой тохиолдолд тэгшитгэл илүү өндөр зэрэгтэйтэдгээрийг факторинг хийх замаар хялбархан шийдэж болно зүүн тал, өөрөөр хэлбэл хүчин зүйл болгон тооцох.

Жишээлбэл, тэгшитгэл x 3 + 1 = 0-ийг хүчин зүйлчилсэн хэлбэрээр бичиж болно ( x + 1)(x 2 – x+ 1) = 0. Хүчин зүйл бүрийг тэгтэй тэнцүүлэх замаар шийдлийг олно.

Тиймээс үндэс нь тэнцүү байна x= –1, өөрөөр хэлбэл. зөвхөн 3 үндэс.

Хэрэв тэгшитгэлийг хүчин зүйлээр ангилах боломжгүй бол ойролцоо шийдлүүдийг ашиглана. Ойролцоогоор шийдлийг олох үндсэн аргуудыг Хорнер, Ньютон, Грефф нар боловсруулсан. Гэсэн хэдий ч бүх тохиолдолд шийдэл байдаг гэдэгт итгэлтэй байдаг: алгебрийн тэгшитгэл n-Яг зэрэгтэй nүндэс.

Шугаман тэгшитгэлийн системүүд.

Хоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийг ингэж бичиж болно

Тэгшитгэл бол бүх математикийн тулгын чулуун ойлголтуудын нэг юм. Сургууль, дээд боловсрол хоёулаа. Үүнийг ойлгох нь утга учиртай, тийм үү? Түүнээс гадна энэ бол маш энгийн ойлголт юм. Өөрийгөө доороос үзнэ үү. :) Тэгэхээр тэгшитгэл юу вэ?

Энэ үг нь “тэгш”, “тэгш” гэсэн үгтэй нэг язгууртай байгаа нь хэн нэгний эсэргүүцлийг төрүүлэхгүй байх гэж бодож байна.

Тэгшитгэл нь хоёр математик илэрхийллүүд, "=" тэмдгээр холбогдсон (тэнцүү).

Гэхдээ... аль нь ч биш. Мөн дотор нь (дор хаяж нэг нь) агуулагддаг үл мэдэгдэх тоо хэмжээ. Эсвэл өөрөөр хэлбэл, хувьсах утга.Эсвэл товчхондоо "хувьсагч". Үүнийг ихэвчлэн үсгээр тэмдэглэдэг "X".

Нэг хувьсагч байж болно, эсвэл хэд хэдэн хувьсагч байж болно. IN сургуулийн математик-тэй тэгшитгэлүүд нэгхувьсагч. Одоо бид нэг хувьсагчтай тэгшитгэлийг авч үзэх болно. Хоёр ба түүнээс дээш хувьсагчтай - тусгай хичээлд.

Тэгшитгэлийг шийднэ гэдэг нь юу гэсэн үг вэ?

Тэгшитгэлд орсон хувьсагчийг авч болно ямар чматематикийн хувьд хүлээн зөвшөөрөгдсөн утгууд. Тийм учраас хувьсах шинж чанартай байдаг. :) Хувьсагчийн зарим утгуудын хувьд зөв тоон тэгшитгэлийг олж авдаг бол бусад хүмүүсийн хувьд тийм биш юм.

Тэгэхээр энд байна:

Тэгшитгэлийг шийдэх гэдэг нь хувьсагчийн орлуулах үед ийм БҮХ утгыг олох гэсэн үг юм эхтэгшитгэл нь зөв тэгшитгэл болж хувирав. Эсвэл илүү шинжлэх ухаанчаар бол жинхэнэ мөн чанар. Эсвэл хувьсагчийн ийм утга байхгүй гэдгийг нотлох.

Юу болов жинхэнэ тэгш байдал?Энэ бол математикийн гүн гүнзгий мэдлэгээр дарамтлуулдаггүй хүнд ч эргэлзээгүй тэгш байдал юм. Жишээ нь: 5=5, 0=0, -10=-10. гэх мэт. :)

Хувьсагчийн утгууд, үүнийг орлуулах үед үүнд хүрнэ жинхэнэ тэгш байдал, маш үзэсгэлэнтэй, шинжлэх ухааны үүднээс нэрлэдэг - тэгшитгэлийн үндэс.

Нэг үндэс байж болно, хэд хэдэн байж болно. Эсвэл магадгүй хязгааргүй олон үндэс- бүхэл интервал эсвэл бүр бүхэл тоон мөр –∞ өмнө +∞ . Тийм ээ, энэ нь бас тохиолддог! Бүх зүйлээс тодорхой тэгшитгэлхамаарна.)

Мөн ийм зүйл тохиолддог энэ нь хориотойБидэнд жинхэнэ тэгш байдлыг өгөх X-г ол. Зарчмын хувьд энэ нь боломжгүй юм. Тодорхой шалтгааны улмаас. Ийм X байхгүй ...

Ийм тохиолдолд ихэвчлэн тэгшитгэл гэж хэлдэг үндэсгүй.

Тэгшитгэлүүд юунд зориулагдсан вэ?

Асуулт нь инээдтэй юм. Амьдралын төлөө! Сургуульд дүрмээр бол тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд шаардлагатай байдаг үгийн асуудлууд . Эдгээр нь ажил, сонирхол болон бусад олон даалгаварууд гэдгийг танд сануулъя.

Тэгээд дотор насанд хүрсэн амьдралТэгшитгэлгүйгээр хамгийн нийтлэг зүйлд ч хариулах боломжгүй, гэхдээ энэ нь амин чухал юм чухал асуултуудөдөр тутмын амьдрал: маргааш цаг агаар ямар байх вэ, барилга өгөгдсөн ачааллыг тэсвэрлэж чадах эсэх. Эсвэл цахилгаан шат. Эсвэл онгоц. Пуужин хаашаа онох бол... Тэгээд одоо бидний дунд цаг уурын мэдээлэгч, инженер, нягтлан бодогч, эдийн засагч, програмист байхгүй байх байсан... Шаардлагагүй мэт. Энэ нь урам зориг өгдөг үү?)

Яагаад ийм байна вэ? Гэхдээ тэгшитгэлүүд бараг бүх зүйлийг дүрсэлсэн байдаг хүнд мэддэг байгалийн үзэгдлүүдболон үйл явц.Агаарын даралт, температурын өөрчлөлт, өндөр, хууль бүх нийтийн таталцал, бактерийн өсөлт, цацраг идэвхт задрал, химийн урвал, цахилгаан эрчим хүч, эрэлт нийлүүлэлт - энэ бүхний гол цөм нь математик тэгшитгэл! Энгийн, төвөгтэй - бүх төрлийн. Ямар ч үзэгдэл, нөхцөл байдлаас үл хамааран тэгшитгэл нь ийм байна.)

Тиймээс, санацгаая:

Тэгшитгэл нь олон төрлийн хэрэглээний асуудлыг шийдвэрлэх маш хүчирхэг, олон талын хэрэгсэл юм.

Ямар төрлийн тэгшитгэлүүд байдаг вэ?

Математикт тоо томшгүй олон тэгшитгэл байдаг. Ихэнх янз бүрийн төрөл. Гэхдээ бүх төрлийн тэгшитгэлийг зөвхөн 4 ангилалд хувааж болно.

1. ,

2. ,

3. (эсвэл бутархай оновчтой),

4. Бусад.

Янз бүрийн категорийн тэгшитгэлүүд шаарддаг ба өөр хандлагаТэдний шийдэлд: шугаман тэгшитгэлийг нэг аргаар, квадрат тэгшитгэлийг өөр аргаар, бутархай тэгшитгэлийг гурав дахь, тригонометр, логарифм, экспоненциал болон бусад аргаар шийддэг.

Мэдээжийн хэрэг, өөр өөр тэгшитгэлүүд байдаг, тийм ээ ...) Эдгээр нь хоёулаа үндэслэлгүй бөгөөд тригонометр , ба , ба , болон бусад олон тэгшитгэлүүд. Тэгээд бүр дифференциал тэгшитгэл(оюутнуудын хувьд), үл мэдэгдэх үүргийг тоогоор биш харин гүйцэтгэдэг функц.Эсвэл бүр функцүүдийн гэр бүл. :)

Холбогдох хичээлүүдэд бид эдгээр бүх төрлийн тэгшитгэлийг нарийвчлан шинжлэх болно. Тэгээд бид энд байна - үндсэн техникүүдболон дүрэм.

Эдгээр дүрмийг гэж нэрлэдэг - тэгшитгэлийн ижил (эсвэл түүнтэй адилтгах) хувиргалт . Тэдний хоёр нь л байдаг. Мөн тэднийг тойрон гарах арга байхгүй. Ингээд танилцацгаая!

Тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ? Тэгшитгэлийн ижил (эквивалент) хувиргалт.

Шийдэл ямар чтэгшитгэл нь түүнд багтсан илэрхийлэлүүдийг алхам алхмаар хувиргахаас бүрдэнэ. Гэхдээ зөвхөн ямар ч өөрчлөлт биш, харин алхам алхмаар бүхэл бүтэн тэгшитгэлийн мөн чанар өөрчлөгдөөгүй. Хэдийгээр хувиргалт бүрийн дараа тэгшитгэл өөрчлөгдөж, эцэст нь анхныхаасаа тэс өөр болно.

Математикийн ийм хувиргалтыг гэж нэрлэдэг тэнцүүэсвэл адилхан. Тэдгээрийн нэлээд олон нь байдаг, гэхдээ тэгшитгэлийн олон янзын хувиргалтуудын дотроос нэг нь ялгардаг. хоёр үндсэн. Тэдгээрийг энэ хичээлээр хэлэлцэх болно. Тийм, тийм, зөвхөн хоёр! Гэхдээ - маш чухал! Мөн тус бүр нь онцгой анхаарал хандуулах ёстой.

Эдгээр хоёр ижил хувиргалтыг нэг эсвэл өөр дарааллаар ашиглах нь математикийн тэгшитгэлийн 99% -ийг амжилттай шийдвэрлэх баталгаа болно. Сэтгэл татам, тийм үү?

За, цаашаа яв!

Анхны таних өөрчлөлт:

Та тэгшитгэлийн хоёр талд дурын (гэхдээ адилхан!) тоо эсвэл илэрхийлэл (хувьсагчтай) нэмэх (эсвэл хасах) боломжтой. Энэ нь тэгшитгэлийн мөн чанарыг өөрчлөхгүй.

Та тэгшитгэлийн нэг хэсгээс нөгөө хэсэг рүү зарим нэр томъёог шилжүүлж, тэмдгүүдийг өөрчилдөг гэж гэнэн бодоод энэ хувиргалтыг хаа сайгүй ашигладаг. :)

Жишээлбэл, энэ гайхалтай тэгшитгэл:

Энд бодох зүйл алга, бид гурвыг баруун тийш шилжүүлж, хасахыг нэмэх болгон өөрчилнө:

Гэхдээ үнэхээр юу болоод байна вэ? Гэвч бодит байдал дээр та... тэгшитгэлийн хоёр талд гурвыг нэмнэ!

Энд юу болж байна:

Мөн үр дүн нь ижил байна:

Тэгээд л болоо. Зүүн талд цэвэр X хэвээр байна (энэ нь бидний хүрэхийг хичээж байгаа зүйл), баруун талд - юу ч тохиолдсон. Гэхдээ хамгийн чухал зүйл бол гурав нэмэхээс хоёр хэсэгтбүхэл бүтэн тэгшитгэлийн мөн чанар өөрчлөгдөөгүй!

Тэмдгийн өөрчлөлтөөр нэр томъёог нэг хэсгээс нөгөөд шилжүүлэх нь энгийн зүйл юм товчилсон хувилбаранхны таних өөрчлөлт.

Тэгээд бид яагаад ийм гүн ухах хэрэгтэй байна вэ? Тэгшитгэлд ямар ч шаардлагагүй. Тайвшир, санаа зовох хэрэггүй. Тэмдгийг өөрчлөхөө бүү мартаарай.) Гэхдээ тэгш бус байдлын үед шилжүүлэх зуршил нь бага зэрэг урам хугарах болно, тийм ээ ...

Энэ бол анхны ижил төстэй өөрчлөлт байв. Хоёр дахь руугаа явцгаая.

Хоёр дахь таних өөрчлөлт:

Тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил тэг биш тоо эсвэл илэрхийллээр үржүүлж (хувааж) болно.

Бид үнэхээр аймшигтай зүйлийг шийдэхдээ энэ ижил өөрчлөлтийг байнга ашигладаг:

Энэ нь энд байгаа бүх хүмүүст ойлгомжтой x=3. Та энэ хариултыг яаж авсан бэ? Та үүнийг авсан уу? Та таамагласан уу?

Сонгож, таамаглахгүйн тулд (бид бол зөгнөгч биш, математикч) та зүгээр л гэдгийг ойлгох хэрэгтэй. тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваасандөрөвний хувьд. Энэ нь биднийг зовоож байна.

Үүн шиг:

Энэ хуваах саваа нь дөрөв хуваагдана гэсэн үг. хоёр хэсэгбидний тэгшитгэл. Бутархайгаар дамжуулан энэ процедур дараах байдалтай байна.

Зүүн талд дөрвөн хөлийг амжилттай багасгаж, X нь дотогшоо үлддэг гайхалтай тусгаарлалт. Баруун талд 12-ыг 4-т хуваахад үр дүн нь мэдээжийн хэрэг гурав болно. :)

Тэгээд л болоо.)

Гайхалтай сонсогдож байна, гэхдээ энэ хоёр (зөвхөн хоёр!) энгийн өөрчлөлтүүдшийдвэрийн үндэс болно бүх математикийн тэгшитгэлүүд! Тиймээ яг тийм хүн бүр, Би огт хэтрүүлсэнгүй! Сургуулийн шугаман ба квадратаас эхлээд их сургуулийн дифференциал хүртэл.)

За, тэгшитгэлүүдийн ижил төстэй хувиргалтыг үйлдэл дээр харцгаая?

Тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд таних хувиргалтыг ашиглах.

-ээс эхэлье эхлээдтаних тэмдгийн хувирал. Зүүн ба баруун тийш шилжүүлэх.

Эхлэгчдэд зориулсан жишээ:

1 – x = 3 – 2x

Энэ бол төвөгтэй асуудал биш юм. Энэ . Бид шившлэгийн дагуу шууд ажилладаг: "Зүүн талд X үсэгтэй, баруун талд X үсэггүй."

Энэ тарни бүх нийтийн зааварчилгааанхны таних өөрчлөлтийн хэрэглээний талаар. Тиймээс тэгшитгэлийг харцгаая. Баруун талд X-тэй ямар гишүүн байна вэ? Юу? 2x? Үгүй ээ!) Бидний баруун талд -2х (хасаххоёр х)! Тиймээс зүүн тал руу шилжихэд хасах нь өөрчлөгдөнө нэмэх:

1 – x +2x = 3

Ажлын тал нь дууссан, X-г зүүн талд цуглуулсан. Үлдсэн зүйл бол баруун талд байгаа бүх тоог цуглуулах явдал юм. Тэгшитгэлийн зүүн талд нэг байна. Дахин асуулт гарч ирнэ - ямар тэмдэгтэй вэ? "Юу ч байхгүй" гэсэн хариулт ажиллахгүй.) 1-ийн өмнө зүүн талд юу ч бичсэнгүй. Энэ нь түүний өмнө тэмдэг байгаа гэсэн үг юм "нэмэх". Математикт ингэж ажилладаг: юу ч бичээгүй, энэ нь давуу тал гэсэн үг.)

Тиймээс нэг нь баруун тийш шилжих болно хасахтай:

-x + 2x = 3 - 1

Энэ бол бараг бүх зүйл. Зүүн талд бид ижил төстэй зүйлсийг танилцуулж, баруун талд нь тоолно. Тэгээд бид авах:

x = 2

Энэ бол бүрэн энгийн тэгшитгэл байсан.

Одоо ахлах сургуулийн сурагчдын хувьд илүү сайхан жишээ:

Тэгшитгэлийг шийд:

тэгшитгэл. Тэгээд юу гэж? Хэнд хамаатай юм? Юутай ч, эхний алхам бол үндсэн таних өөрчлөлтийг хийх явдал юм ("Зүүн талд X тэмдэгттэй...."). Үүнийг хийхийн тулд X-тэй нэр томъёо (өөрөөр хэлбэл, - бүртгэл 3 x) зүүн тийш шилжих. Тэмдгийн өөрчлөлттэй:

А тоон илэрхийлэл (бүртгэл 3 4 ) баруун тийш шилжих. Мөн тэмдгийн өөрчлөлттэй бол мэдээж:

Тэгээд л болоо. Баруун талд нь цэвэр томъёо байна. -тэй найзалсан хүн толгойдоо тэгшитгэлийг гүйцээж, дараахь зүйлийг авна.

x=3

Юу? Та синус хүсч байна уу? Энд синусууд байна:

Бас дахин бүгд адилхан!Бид эхний ижил төстэй өөрчлөлтийг хийдэг - бид шилжүүлдэг нүгэл xзүүн тийш (хасах тэмдэгтэй), баруун тийш -0.25 (нэмэх тэмдэгтэй):

Бид хамгийн энгийнийг нь авсан тригонометрийн тэгшитгэлсинустай, үүнийг (мэддэг хүмүүст) шийдвэрлэхэд хэцүү биш юм.

Эхнийх нь хэр түгээмэл болохыг харж байна уу? эквивалент хувиргалт! Энэ нь хаа сайгүй, хаа сайгүй олддог бөгөөд түүнийг тойрч гарах арга байхгүй ... Тийм учраас үүнийг автоматаар, алдаагүй хийх боломжтой байх нь маш чухал юм.

Үнэн хэрэгтээ та энд зөвхөн нэг алдаа гаргаж болно - шилжүүлэхдээ тэмдгийг өөрчлөхөө мартаж болно. Энэ нь байнга тохиолддог зүйл юм. Хэн ч анхаарал болгоомжлолыг цуцалсангүй, тийм ээ ...)

За, тоглоомуудаа үргэлжлүүлье? Одоо хөгжилтэй байцгаая хоёрдугаартөөрчлөлт!)

Тэгшитгэлийг шийд:

7х=28

Үнэнийг хэлэхэд дажгүй залуу.) За, энэ бол сэтгэл хөдлөл...

Бид харж, боддог: энэ тэгшитгэлд юу саад болж байна вэ? Юу, юу... Тийм ээ, долоо нь замд саад болж байна! Түүнээс салах нь сайхан байх болно. Тийм ээ, анхны тэгшитгэлийг алдагдуулахгүйн тулд.)

Гэхдээ яаж? Зөв шилжих үү? Өө... Зогс! Үгүй.) X тэмдэгтэй долоо үржүүлэххолбогдсон. Коэффициент, та харж байна.) Та үүнийг X-ээс салгаад баруун тийш шилжүүлж болохгүй. Энэ бол бүхэл бүтэн илэрхийлэл юм 7xбүрэн хэмжээгээр - гуйя (асуулт - яагаад?). Гэхдээ долоон тусад нь - ямар ч боломжгүй.

Үржүүлэх / хуваах талаар санах цаг болжээ! Бидэнд цэвэр X хариулт хэрэгтэй, тийм үү? Мөн долоо нь саад болж байна. Тиймээс бид зүүн талыг долоогоор хуваана. Бид X-ийг коэффициентээс "арилгадаг". Тэгэхээр бидшаардлагатай. Гэхдээ дараа нь баруун тал нь мөн долоон хуваагдах ёстой: энэ нь аль хэдийн байна математикшаарддаг. Тэнд юу ч болсон бүтнэ. Гэхдээ жишээ нь сайн байна. Би оролдсон.) 28 нь 7-д төгс хуваагддаг. Та 4 авна.

Хариулт: x=4

Эсвэл энэ тэгшитгэл:

Энд биднийг юу зогсоож байна вэ? Бутархай нь 1/6, тийм үү? Тиймээс энэ бүхнээс салцгаая. Тэгшитгэлд аюулгүй.) Яаж? За, та ижил зүйлийг хийж болно - хоёр хэсгийг ижил 1/6-аар хуваана. Гэхдээ энэ нь оюун санаанд тийм ч тохиромжтой биш юм. Зарим хүмүүс төөрөлдөх болно ...

Гэхдээ бид зөвхөн хуваагаад зогсохгүй хэрхэн үржүүлэхээ мэддэг!) Бид санаж байна бага ангиуд, бид ямар арга хэмжээ авсны дараа бутархай алга болдог уу?Зөв! Хэзээ манай фракц алга болдог үржүүлэххуваагчтай тэнцүү (эсвэл үржвэр) тоогоор. Тиймээс тэгшитгэлийнхээ хоёр талыг 6-аар үржүүлцгээе. Зүүн талд та цэвэр X авах болно, гэхдээ баруун талыг 6-аар үржүүлэх нь хамгийн хэцүү ажил биш юм.)

Ингээд л болоо.) Үржүүлэх хоёр хэсэгШаардлагатай тооны тэгшитгэлүүд нь завсрын тооцооллыг алгасаж, дашрамд хэлэхэд та амархан алдаа гаргах боломжтой бутархай хэсгүүдээс нэн даруй ангижрах боломжийг олгодог. Богино зам - алдаа бага!

Одоо цагийн машин руу буцаж, ахлах сургууль руугаа:

Тэгшитгэлийг шийд:

X-д хүрч, үүгээрээ үүнийг шийдэхийн тулд гайхалтай тригонометрийн тэгшитгэл , бид эхлээд зүүн талд байгаа цэвэр косинусыг ямар ч коэффициентгүйгээр авах хэрэгтэй. Гэвч хоёр тал нь саад болдог. :) Тиймээс бид зүүн талыг бүхэлд нь 2 хуваана:

Гэхдээ дараа нь баруун талыг хоёр хуваах шаардлагатай болно: энэ нь МАТЕМАТИК-т зайлшгүй шаардлагатай. Хуваах:

Баруун талд нь авсан хүснэгтийн утгакосинус. Одоо сайхан сэтгэлийн тэгшитгэл шийдэгдсэн.)

Энэ бол бүх мэргэн ухаан юм. Таны харж байгаагаар тэгшитгэлийн ижил хувиргалт нь ашигтай зүйл юм. Үүний зэрэгцээ хамгийн хэцүү биш. Дамжуулах, үржүүлэх/хуваах. Гэсэн хэдий ч, хүн бүр анх удаа, алдаагүй амжилтанд хүрдэггүй, өө, хүн бүр биш ... Энд хоёр гол асуудал байна.

Асуудал нэг (туршлагагүй хүмүүст):

Заримдаа сурагч тэгшитгэлийг хялбарчлах нь нэг нэгээр нь, нэг удаа, бүрмөсөн хийгддэг гэж боддог. тогтсон дүрэм. Тэр зүгээр л энэ дүрмийг ойлгож, ойлгож чадахгүй байна: зарим жишээнд тэд үржүүлэх (эсвэл хуваах) -аас эхэлдэг бол заримд нь шилжүүлгээр эхэлдэг. Тэд үүнийг гурав орчим удаа шилжүүлж, хэзээ ч үржүүлдэггүй ...

Жишээлбэл, иймэрхүү зүйл шугаман тэгшитгэл:

10x + 5 = 5x - 20

Хаанаас эхлэх вэ? Та шилжүүлгээс эхэлж болно:

10x – 5x = -20 - 5

Эсвэл та эхлээд хоёр хэсгийг тав хувааж, дараа нь шилжүүлж болно. Дараа нь тоонууд нэн даруй хялбар болно:

Бидний харж байгаагаар ийм, тэрийг шийдэх боломжтой. Мөн энэ нь энгийн жишээ юм! Энэ нь туршлагагүй оюутнуудад асуулт гарч ирдэг: "Аль нь зөв бэ?"

Бүх талаараа зөв! Аль нь танд илүү тохиромжтой. :) Энд бүх нийтийн жор байхгүй, байж ч болохгүй. Математик танд хоёр төрлийн тэгшитгэлийн хувиргалтын сонголтыг санал болгож байна. Мөн эдгээр өөрчлөлтүүдийн дараалал нь зөвхөн үүнээс хамаарна анхны тэгшитгэл, түүнчлэн шийдвэр гаргагчийн хувийн сонголт, дадал зуршлаас.

Асуудал хоёр (бүх хүнд... бараг л):

Тооцооллын алдаа. Өөрчлөлтийн үед та хаалтыг байнга үржүүлэх хэрэгтэй. Илэрхийллийг хаалтанд хийж, хашилтыг нээнэ. Бутархайг үржүүлэх, хуваах. Эрдмийн зэрэгтэй ажиллах... Товчхондоо математикийн анхан шатны үйлдлүүдийг бүхэлд нь авах боломжтой. Бүх үр дагавартай ...

Эдгээр хоёр асуудлыг зөвхөн нэг аргаар арилгах боломжтой - дадлага хийх.Эргэлзээ, алдаа алга болдог. Жишээ нь энгийн болж, даалгавар нь илүү хялбар болно. Эцэст нь хэлэхэд, математик биш, харин та математикийг тушаадаг. :)