Hadi ilgilenelim basit kavramlar: sinüs ve kosinüs ve hesaplama kosinüs kare ve sinüs kare.

Sinüs ve kosinüs trigonometride (dik açılı üçgenlerin incelenmesi) incelenir.

Bu nedenle öncelikle dik üçgenin temel kavramlarını hatırlayalım:

Hipotenüs- her zaman karşı tarafta bulunan taraf dik açı(90 derece açı). Hipotenüs dik açılı bir üçgenin en uzun kenarıdır.

Bir dik üçgenin geri kalan iki kenarına denir bacaklar.

Ayrıca bir üçgendeki üç açının toplamının her zaman 180° olduğunu da unutmamalısınız.

Şimdi devam edelim alfa açısının kosinüsü ve sinüsü (∠α)(buna bir üçgendeki herhangi bir dolaylı açı denilebilir veya bir atama olarak kullanılabilir x - "x", bu özü değiştirmez).

Alfa açısının sinüsü (sin ∠α)- bu bir tutum zıt bacak (karşılık gelen açının karşısındaki taraf) hipotenüse. Şekle bakarsanız, günah ∠ABC = AC / BC

Alfa açısının kosinüsü (cos ∠α)- davranış bitişik bacağın hipotenüse olan açısına. Yukarıdaki şekle tekrar baktığımızda, çünkü ∠ABC = AB / BC

Ve bir hatırlatma olarak: kosinüs ve sinüs asla birden büyük olmayacaktır, çünkü herhangi bir yuvarlanma hipotenüsten daha kısadır (ve hipotenüs herhangi bir üçgenin en uzun kenarıdır, çünkü en uzun kenar üçgendeki en büyük açının karşısında yer alır) .

Kosinüs kare, sinüs kare

Şimdi temel trigonometrik formüllere geçelim: kosinüs kare ve sinüs kare hesaplamaları.

Bunları hesaplamak için temel trigonometrik özdeşliği hatırlamanız gerekir:

günah 2 α + çünkü 2 α = 1(bir açının sinüs karesi artı kosinüs karesi her zaman bire eşittir).

Trigonometrik özdeşlikten sinüsle ilgili sonuçlar çıkarıyoruz:

günah 2 α = 1 - çünkü 2 α

sinüs kare alfa bire eşit eksi kosinüs çift ​​açı alfa ve hepsini ikiye bölün.

günah 2 α = (1 – cos(2α)) / 2

​​​​​​​Trigonometrik özdeşlikten kosinüs hakkında şu sonuçlara varıyoruz:

çünkü 2 α = 1 - günah 2 α

yada daha fazla zor seçenek formüller: kosinüs kare alfa bir artı çift açılı alfanın kosinüsüne eşittir ve ayrıca her şeyi ikiye böleriz.

çünkü 2 α = (1 + cos(2α)) / 2

Bu ikisi daha fazla karmaşık formüller sinüs kare ve kosinüs kareye "trigonometrik fonksiyonların karelerinin derecesinin azaltılması" da denir. Onlar. ikinci derece vardı, birinciye indirdiler ve hesaplamalar daha kolay hale geldi.

Trigonometrik fonksiyonların değer tablosu

Not. Bu trigonometrik fonksiyon değerleri tablosu, belirtmek için √ işaretini kullanır kare kök. Kesir belirtmek için "/" sembolünü kullanın.

Ayrıca bakınız faydalı malzemeler:

İçin trigonometrik bir fonksiyonun değerinin belirlenmesi trigonometrik fonksiyonu gösteren çizginin kesişiminde bulun. Örneğin, sinüs 30 derece - günah (sinüs) başlıklı sütunu ararız ve bu tablo sütununun "30 derece" satırıyla kesişimini buluruz, kesişme noktalarında sonucu okuruz - yarım. Benzer şekilde buluyoruz kosinüs 60 derece, sinüs 60 derece (bir kez daha günah sütunu ile 60 derece çizgisinin kesişiminde sin 60 = √3/2 değerini buluyoruz), vb. Diğer “popüler” açıların sinüs, kosinüs ve teğet değerleri de aynı şekilde bulunur.

Radyan cinsinden sinüs pi, kosinüs pi, teğet pi ve diğer açılar

Aşağıdaki kosinüs, sinüs ve tanjant tablosu aynı zamanda argümanı olan trigonometrik fonksiyonların değerini bulmak için de uygundur. radyan cinsinden verilmiştir. Bunu yapmak için açı değerlerinin ikinci sütununu kullanın. Bu sayede popüler açıların değerini dereceden radyana çevirebilirsiniz. Örneğin ilk satırdaki 60 derecelik açıyı bulalım ve altındaki değerini radyan cinsinden okuyalım. 60 derece π/3 radyana eşittir.

Pi sayısı açıkça çevrenin neye bağlı olduğunu ifade eder. derece ölçüsü köşe. Böylece pi radyan 180 dereceye eşittir.

Pi (radyan) cinsinden ifade edilen herhangi bir sayı, pi (π) 180 ile değiştirilerek kolaylıkla dereceye dönüştürülebilir..

Örnekler:
1. sinüs pi.
günah π = günah 180 = 0
dolayısıyla pi'nin sinüsü 180 derecenin sinüsüne eşittir ve sıfıra eşittir.

2. Kosinüs pi.
cos π = cos 180 = -1
dolayısıyla pi'nin kosinüsü 180 derecenin kosinüsüne eşittir ve eksi bire eşittir.

3. Teğet pi
tg π = tg 180 = 0
dolayısıyla teğet pi, teğet 180 derece ile aynıdır ve sıfıra eşittir.

0 - 360 derece açılar için sinüs, kosinüs, teğet değerleri tablosu (ortak değerler)

Trigonometrik fonksiyonların değerleri tablosunda fonksiyon değeri yerine bir çizgi belirtilirse (teğet (tg) 90 derece, kotanjant (ctg) 180 derece), o zaman açının derece ölçüsünün belirli bir değeri için fonksiyon belirli bir değeri yoktur. Çizgi yoksa hücre boştur, bu da henüz girmediğimiz anlamına gelir istenen değer. En yaygın açı değerlerinin kosinüs, sinüs ve teğet değerlerine ilişkin mevcut verilerin çoğunu çözmek için oldukça yeterli olmasına rağmen, kullanıcıların bize hangi sorguları getirdiğiyle ilgileniyoruz ve tabloyu yeni değerlerle destekliyoruz. sorunlar.

En popüler açılar için sin, cos, tg trigonometrik fonksiyonların değer tablosu
0, 15, 30, 45, 60, 90... 360 derece
(sayısal değerler “Bradis tablolarına göre”)

Öğrencilerin en çok uğraştığı matematik alanlarından biri trigonometridir. Şaşılacak bir şey yok: Bu bilgi alanında akıcı bir şekilde uzmanlaşmak için mekansal düşünme Formülleri kullanarak sinüs, kosinüs, teğet, kotanjant bulma becerisi, ifadeleri basitleştirme, pi'yi hesaplamalarda kullanabilme. Ayrıca teoremleri ispatlarken trigonometriyi kullanabilmeniz gerekir ve bu da gelişmiş bir bilgi gerektirir. matematiksel hafıza veya karmaşık mantıksal zincirleri türetme yeteneği.

Trigonometrinin kökenleri

Bu bilimle tanışmak bir açının sinüs, kosinüs ve tanjantının tanımıyla başlamalıdır, ancak önce genel olarak trigonometrinin ne yaptığını anlamanız gerekir.

Tarihsel olarak bu bölümdeki çalışmanın ana amacı matematik bilimi dik üçgenlerdi. 90 derecelik bir açının varlığı, iki kenar ve bir açı veya iki açı ve bir kenar kullanılarak söz konusu şeklin tüm parametrelerinin değerlerinin belirlenmesine olanak tanıyan çeşitli işlemlerin gerçekleştirilmesini mümkün kılar. Geçmişte insanlar bu modeli fark etmiş ve bina yapımında, navigasyonda, astronomide ve hatta sanatta aktif olarak kullanmaya başlamışlardır.

İlk aşama

Başlangıçta insanlar açılar ve kenarlar arasındaki ilişkiden yalnızca dik üçgen örneğini kullanarak bahsettiler. Daha sonra kullanım sınırlarını genişletmeyi mümkün kılan özel formüller keşfedildi. Gündelik Yaşam matematiğin bu dalı.

Bugün okulda trigonometri çalışması dik üçgenlerle başlıyor, ardından öğrenciler edindikleri bilgileri fizikte kullanıyor ve lisede başlayan soyut trigonometrik denklemleri çözüyorlar.

Küresel trigonometri

Daha sonra bilim bir sonraki gelişme düzeyine ulaştığında, farklı kuralların geçerli olduğu ve bir üçgendeki açıların toplamının her zaman 180 dereceden fazla olduğu küresel geometride sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantlı formüller kullanılmaya başlandı. Bu bölüm okulda okutulmaz ama en azından varlığını bilmek gerekir çünkü yeryüzü ve diğer herhangi bir gezegenin yüzeyi dışbükeydir, bu da herhangi bir yüzey işaretinin üç boyutlu uzay"yay şeklinde".

Küreyi ve ipliği alın. İpliği küre üzerindeki herhangi iki noktaya gergin olacak şekilde takın. Lütfen dikkat - bir yay şeklini almıştır. Küresel geometri, jeodezi, astronomi ve diğer teorik ve uygulamalı alanlarda kullanılan bu tür formlarla ilgilenir.

Sağ üçgen

Trigonometri kullanma yolları hakkında biraz bilgi sahibi olduktan sonra sinüs, kosinüs, tanjantın ne olduğunu, bunların yardımıyla hangi hesaplamaların yapılabileceğini ve hangi formüllerin kullanılacağını daha iyi anlamak için temel trigonometriye dönelim.

İlk adım, ilgili kavramları anlamaktır. dik üçgen. Öncelikle hipotenüs 90 derecelik açının karşısındaki kenardır. Bu en uzun olanıdır. Pisagor teoremine göre şunu hatırlıyoruz: Sayısal değer diğer iki tarafın karelerinin toplamının köküne eşittir.

Örneğin iki kenar sırasıyla 3 ve 4 santimetre ise hipotenüsün uzunluğu 5 santimetre olacaktır. Bu arada, eski Mısırlılar bunu yaklaşık dört buçuk bin yıl önce biliyorlardı.

Dik açı oluşturan kalan iki tarafa bacak denir. Ayrıca üçgende açıların toplamının da olduğunu unutmamalıyız. dikdörtgen sistem koordinatları 180 derecedir.

Tanım

Son olarak, geometrik temelin sağlam bir şekilde anlaşılmasıyla, sinüs, kosinüs ve bir açının tanjantının tanımına dönülebilir.

Bir açının sinüsü, karşı bacağın (yani istenen açının karşısındaki tarafın) hipotenüse oranıdır. Bir açının kosinüsü orandır bitişik bacak hipotenüse.

Ne sinüs ne de kosinüsün birden büyük olamayacağını unutmayın! Neden? Hipotenüs varsayılan olarak en uzun olduğundan, bacak ne kadar uzun olursa olsun hipotenüsten daha kısa olacaktır, bu da oranlarının her zaman birden küçük olacağı anlamına gelir. Bu nedenle, bir soruna verdiğiniz yanıtta 1'den büyük bir sinüs veya kosinüs değeri alırsanız, hesaplamalarda veya akıl yürütmede bir hata olup olmadığına bakın. Bu cevap açıkça yanlıştır.

Son olarak bir açının tanjantı, karşı kenarın komşu kenara oranıdır. Sinüsün kosinüse bölünmesi aynı sonucu verecektir. Bakın: formüle göre, kenarın uzunluğunu hipotenüse bölüyoruz, sonra ikinci kenarın uzunluğuna bölüyoruz ve hipotenüsle çarpıyoruz. Böylece teğetin tanımındaki ilişkinin aynısını elde ederiz.

Buna göre kotanjant, köşeye bitişik tarafın karşı tarafa oranıdır. Birini teğete bölerek de aynı sonucu elde ederiz.

Böylece sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın ne olduğuna dair tanımlara baktık ve formüllere geçebiliriz.

En basit formüller

Trigonometride formüller olmadan yapamazsınız - onlar olmadan sinüs, kosinüs, teğet, kotanjant nasıl bulunur? Ancak sorunları çözerken tam olarak gerekli olan şey budur.

Trigonometriyi incelemeye başladığınızda bilmeniz gereken ilk formül, bir açının sinüs ve kosinüsünün karelerinin toplamının bire eşit olduğunu söylüyor. Bu formül Pisagor teoreminin doğrudan bir sonucudur, ancak kenar yerine açının boyutunu bilmeniz gerekiyorsa zaman kazandırır.

Çoğu öğrenci, çözerken de oldukça popüler olan ikinci formülü hatırlayamıyor. okul görevleri: Bir ile açının tanjantının karesinin toplamı, birin açının kosinüsünün karesine bölünmesine eşittir. Daha yakından bakın: Bu, ilk formüldekiyle aynı ifadedir, yalnızca kimliğin her iki tarafı da kosinüsün karesine bölünmüştür. Basit bir matematiksel işlemin işe yaradığı ortaya çıktı trigonometrik formül tamamen tanınamaz. Unutmayın: sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın ne olduğunu, dönüştürme kurallarını ve birkaçını bilmek temel formüllerİstediğiniz zaman gerekli daha karmaşık formülleri bir kağıt parçası üzerinde kendiniz türetebilirsiniz.

Çift açı formülleri ve bağımsız değişkenlerin eklenmesi

Öğrenmeniz gereken iki formül daha, açıların toplamı ve farkı için sinüs ve kosinüs değerleriyle ilgilidir. Aşağıdaki şekilde sunulmuştur. Lütfen ilk durumda sinüs ve kosinüsün her iki kez çarpıldığını ve ikincisinde sinüs ve kosinüsün ikili çarpımının toplandığını unutmayın.

Çift açılı argümanlarla ilişkili formüller de vardır. Tamamen öncekilerden türetilmiştir - bir eğitim olarak alfa açısını alarak bunları kendiniz elde etmeye çalışın. açıya eşit beta.

Son olarak çift açı formüllerinin sinüs, kosinüs, tanjant alfanın gücünü azaltacak şekilde yeniden düzenlenebileceğini unutmayın.

Teoremler

Temel trigonometrideki iki ana teorem sinüs teoremi ve kosinüs teoremidir. Bu teoremlerin yardımıyla sinüs, kosinüs ve tanjantı, dolayısıyla şeklin alanını ve her bir tarafın boyutunu vb. nasıl bulacağınızı kolayca anlayabilirsiniz.

Sinüs teoremi, bir üçgenin her bir kenarının uzunluğunu karşıt açıya bölerek şunu elde ettiğimizi belirtir: aynı numara. Üstelik bu sayı, çevrelenen dairenin, yani belirli bir üçgenin tüm noktalarını içeren dairenin iki yarıçapına eşit olacaktır.

Kosinüs teoremi, Pisagor teoremini herhangi bir üçgene yansıtarak genelleştirir. İki tarafın karelerinin toplamından, çarpımlarının bitişik açının çift kosinüsüyle çarpılmasıyla elde edilen değerin üçüncü tarafın karesine eşit olacağı ortaya çıktı. Böylece Pisagor teoreminin kosinüs teoreminin özel bir durumu olduğu ortaya çıkıyor.

Dikkatsiz hatalar

Sinüs, kosinüs ve tanjantın ne olduğunu bilseniz bile, dalgınlıktan veya en basit hesaplamalardaki hatalardan dolayı hata yapmak kolaydır. Bu tür hatalardan kaçınmak için en popüler olanlara bir göz atalım.

Öncelikle, nihai sonucu elde edene kadar kesirleri ondalık sayılara dönüştürmemelisiniz - cevabı şu şekilde bırakabilirsiniz: ortak kesir Koşullarda aksi belirtilmediği sürece. Böyle bir dönüşüme hata denemez, ancak sorunun her aşamasında yazarın fikrine göre azaltılması gereken yeni köklerin ortaya çıkabileceği unutulmamalıdır. Bu durumda gereksiz şeylerle zamanınızı boşa harcamış olursunuz. matematiksel işlemler. Bu özellikle üçün kökü veya ikinin kökü gibi değerler için geçerlidir çünkü bunlar her adımda problemlerle karşılaşır. Aynı şey “çirkin” sayıların yuvarlanması için de geçerli.

Ayrıca, kosinüs teoreminin herhangi bir üçgen için geçerli olduğunu ancak Pisagor teoreminin geçerli olmadığını unutmayın! Yanlışlıkla kenarların çarpımının iki katını aralarındaki açının kosinüsüyle çarpmayı unutursanız, yalnızca tamamen yanlış bir sonuç elde etmekle kalmayacak, aynı zamanda konuyu tam olarak anlamadığınızı da göstereceksiniz. Bu dikkatsiz bir hatadan daha kötüdür.

Üçüncüsü, sinüsler, kosinüsler, teğetler, kotanjantlar için 30 ve 60 derecelik açıların değerlerini karıştırmayın. Bu değerleri unutmayın çünkü sinüs 30 derecedir kosinüse eşit 60 ve tam tersi. Onları karıştırmak kolaydır, bunun sonucunda kaçınılmaz olarak hatalı bir sonuç elde edersiniz.

Başvuru

Pek çok öğrenci trigonometri çalışmaya başlamak için acele etmiyor çünkü pratik anlamını anlamıyorlar. Bir mühendis veya gökbilimci için sinüs, kosinüs, tanjant nedir? Bunlar, mesafeyi hesaplayabileceğiniz kavramlardır. uzak yıldızlar, bir göktaşının düşeceğini tahmin edin, başka bir gezegene bir araştırma sondası gönderin. Onlar olmadan bir bina inşa etmek, bir araba tasarlamak, bir yüzeydeki yükü veya bir nesnenin yörüngesini hesaplamak imkansızdır. Ve bunlar sadece en bariz örnekler! Sonuçta trigonometri şu veya bu şekilde müzikten tıbba kadar her yerde kullanılıyor.

Nihayet

Yani sinüs, kosinüs ve tanjantsınız. Bunları hesaplamalarda kullanabilir ve okul problemlerini başarıyla çözebilirsiniz.

Trigonometrinin asıl amacı, bir üçgenin bilinen parametrelerini kullanarak bilinmeyenleri hesaplamanız gerektiği gerçeğine dayanır. Toplamda altı parametre vardır: uzunluk üç taraf ve üç açının boyutları. Görevlerdeki tek fark, farklı giriş verilerinin verilmiş olmasıdır.

Artık bacakların veya hipotenüsün bilinen uzunluklarına göre sinüs, kosinüs ve teğetleri nasıl bulacağınızı biliyorsunuz. Bu terimler bir orandan başka bir şey ifade etmediğinden ve oran bir kesir olduğundan, Ana hedef trigonometrik problem sıradan bir denklemin veya bir denklem sisteminin köklerini bulmaktır. Ve burada normal okul matematiği size yardımcı olacaktır.

Bu yazımızda kapsamlı bir inceleme yapacağız. Temel trigonometrik kimlikler, bir açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantı arasında bağlantı kuran ve bu trigonometrik fonksiyonlardan herhangi birinin bilinen bir diğeri aracılığıyla bulunmasını sağlayan eşitliklerdir.

Bu yazımızda analiz edeceğimiz ana trigonometrik özdeşlikleri hemen listeleyelim. Bunları bir tablo halinde yazalım ve aşağıda bu formüllerin çıktılarını verip gerekli açıklamaları yapacağız.

Sayfada gezinme.

Bir açının sinüsü ve kosinüsü arasındaki ilişki

Bazen yukarıdaki tabloda listelenen ana trigonometrik özdeşlikler hakkında değil, tek bir tane hakkında konuşurlar. temel trigonometrik kimlik tip . Bu gerçeğin açıklaması oldukça basittir: Eşitlikler, ana trigonometrik özdeşliğin her iki parçasını da sırasıyla ve'ye bölerek elde edilir ve eşitlikler Ve sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarından takip edin. Bunu aşağıdaki paragraflarda daha ayrıntılı olarak konuşacağız.

Yani, özel ilgi ana trigonometrik özdeşliğe adı verilen eşitliği tam olarak temsil eder.

Ana trigonometrik özdeşliği kanıtlamadan önce formülasyonunu veriyoruz: bir açının sinüs ve kosinüsünün karelerinin toplamı aynı şekilde bire eşittir. Şimdi bunu kanıtlayalım.

Temel trigonometrik özdeşlik şu durumlarda sıklıkla kullanılır: dönüşüm trigonometrik ifadeler . Bir açının sinüs ve kosinüsünün karelerinin toplamının bir ile değiştirilmesine olanak sağlar. Temel trigonometrik kimlik daha az sıklıkla kullanılmaz. Ters sipariş: birim herhangi bir açının sinüs ve kosinüsünün karelerinin toplamı ile değiştirilir.

Sinüs ve kosinüs yoluyla teğet ve kotanjant

Bir bakış açısının sinüs ve kosinüsü ile teğet ve kotanjantı birleştiren kimlikler ve sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarından hemen yararlanın. Aslında, tanım gereği sinüs, y'nin ordinatıdır, kosinüs, x'in apsisidir, teğet, ordinatın apsise oranıdır, yani, ve kotanjant apsisin koordinata oranıdır, yani, .

Kimliklerin bu kadar açık olması sayesinde Teğet ve kotanjant genellikle apsis ve ordinat oranıyla değil, sinüs ve kosinüs oranıyla tanımlanır. Yani bir açının tanjantı, sinüsün bu açının kosinüsüne oranıdır ve kotanjant, kosinüsün sinüse oranıdır.

Bu paragrafın sonunda belirtmek gerekir ki, kimlikler ve İçerdiği trigonometrik fonksiyonların anlamlı olduğu tüm açılarda gerçekleşir. Yani formül, (aksi takdirde payda sıfır olur ve sıfıra bölmeyi tanımlamadık) dışında herhangi biri için geçerlidir ve formül - hepsi için farklı, burada z herhangi bir değerdir.

Teğet ve kotanjant arasındaki ilişki

Daha da belirgin trigonometrik özdeşlikönceki ikisine göre, formun bir açısının teğetini ve kotanjantını birleştiren özdeşliktir . Bunun dışındaki tüm açılar için geçerli olduğu açıktır, aksi takdirde teğet veya kotanjant tanımlanmaz.

Formülün kanıtı Çok basit. Tanım gereği ve nereden . Kanıt biraz daha farklı bir şekilde gerçekleştirilebilirdi. O zamandan beri , O .

Yani anlamlı oldukları aynı açının teğet ve kotanjantı .

Merkezi orijinde olacak şekilde bir birim çember oluşturursak ve argüman için isteğe bağlı bir değer belirlersek x 0 ve eksenden sayın Öküz köşe X 0, o zaman bu köşe birim çember bir noktaya karşılık gelir A(Şekil 1) ve eksene izdüşümü Ah bir nokta olacak M. Bölüm uzunluğu OM eşittir mutlak değer apsis noktaları A. Verilen argüman değeri x 0 işlev değeri eşlendi sen=çünkü X 0 apsis noktaları gibi A. Buna göre nokta İÇİNDE(X 0 ;en 0) fonksiyonun grafiğine aittir en=çünkü X(İncir. 2). Eğer nokta A eksenin sağındadır kuruluş birimi, Mevcut sinüs pozitif olacaktır, ancak sola doğru ise negatif olacaktır. Ama yine de, dönem Açemberden ayrılamaz. Bu nedenle kosinüs -1 ila 1 aralığındadır:

–1 = çünkü X = 1.

Herhangi bir açıda ek dönüş, 2'nin katı P, dönüş noktası A aynı yere. Bu nedenle fonksiyon y =çünkü XP:

çünkü( X+ 2P) = çünkü X.

Argümanın mutlak değerde eşit, ancak işarette zıt iki değerini alırsak, X Ve - X, Çember üzerinde karşılık gelen noktaları bulun bir x Ve A -x. Şekil 2'de görülebileceği gibi. 3 eksene izdüşümleri Ah aynı nokta M. Bu yüzden

çünkü(– X) = çünkü ( X),

onlar. kosinüs – eşit işlev, F(–X) = F(X).

Bu, fonksiyonun özelliklerini keşfedebileceğimiz anlamına gelir sen=çünkü X segmentte , ve sonra paritesini ve periyodikliğini hesaba katın.

Şu tarihte: X= 0 puan A eksende yatıyor Ah, apsisi 1'dir ve bu nedenle cos 0 = 1'dir. X nokta A daire etrafında yukarı ve sola doğru hareket ettiğinden, izdüşümü doğal olarak sadece sola doğru ve x = noktasındadır. P/2 kosinüs 0'a eşit olur. Nokta Aşu anda yükseliyor maksimum yükseklik ve sonra sola doğru hareket etmeye devam ediyor, ancak zaten alçalıyor. Apsisi ulaşıncaya kadar azalmaya devam eder. en düşük değer, –1'e eşit X= P. Böylece, aralıkta fonksiyon en=çünkü X monoton olarak 1'den -1'e azalır (Şekil 4, 5).

Kosinüs paritesinden şu aralıkta şunu takip eder: [– P, 0] fonksiyon monoton olarak –1'den 1'e artar ve sıfır değerini alır. x =–P/2. Birkaç periyot alırsanız dalgalı bir eğri elde edersiniz (Şek. 6).

Yani fonksiyon sen=çünkü X noktalarda sıfır değer alır X= P/2 + kp, Nerede k- herhangi bir tamsayı. 1'e eşit maksimumlara noktalarda ulaşılır X= 2kp, yani 2'li adımlarla P ve minimumlar noktalarda -1'e eşittir X= P + 2kp.

Fonksiyon y = sin x.

Birim daire köşesinde X 0 bir noktaya karşılık gelir A(Şekil 7), ve eksene izdüşümü kuruluş birimi bir nokta olacak N.Z fonksiyon değeri y 0 = günah x 0 bir noktanın koordinatı olarak tanımlanır A. Nokta İÇİNDE(köşe X 0 ,en 0) fonksiyonun grafiğine aittir sen= günah X(Şekil 8). Fonksiyonun olduğu açıktır. y= günah X periyodik, periyodu 2 P:

günah( X+ 2P) = günah ( X).

İki bağımsız değişken değeri için, X Ve - , karşılık gelen noktaların projeksiyonları bir x Ve A -x eksen başına kuruluş birimi noktaya göre simetrik olarak yerleştirilmiş HAKKINDA. Bu yüzden

günah(- X) = –sin ( X),

onlar. sinüs tek bir fonksiyondur, f(– X) = –f( X) (Şekil 9).

Eğer nokta A bir noktaya göre döndürme HAKKINDA bir açıyla P/2 saat yönünün tersine (başka bir deyişle, eğer açı X kadar artmak P/2), o zaman yeni konumdaki koordinatı eski konumdaki apsise eşit olacaktır. Bunun anlamı

günah( X+ P/2) = çünkü X.

Aksi takdirde sinüs, şu kadar "geç" bir kosinüs olur: P/2, argüman arttığında herhangi bir kosinüs değeri sinüste "tekrarlanacağından" P/2. Ve bir sinüs grafiği oluşturmak için kosinüs grafiğini kaydırmak yeterlidir. P/2 sağa (Şek. 10). Aşırı boyutta önemli özellik sinüs eşitlikle ifade edilir

Eşitliğin geometrik anlamı Şekil 2'de görülebilir. 11. Burada X - bu yarım yay AB, de olduğu gibi X - karşılık gelen akorun yarısı. Noktalar yaklaştıkça belli oluyor A Ve İÇİNDE akorun uzunluğu giderek yayın uzunluğuna yaklaşıyor. Aynı şekilden eşitsizliği elde etmek kolaydır

|günah X| x|, herhangi biri için doğru X.

Matematikçiler formülü çağırır (*) dikkate değer sınır. Bundan özellikle şu günah çıkar: X» X küçük X.

Fonksiyonlar en= tg x, y=ctg X. Diğer iki trigonometrik fonksiyon, teğet ve kotanjant, en kolay şekilde bizim tarafımızdan bilinen sinüs ve kosinüs oranları olarak tanımlanır:

Sinüs ve kosinüs gibi, tanjant ve kotanjant da periyodik fonksiyonlardır ancak periyotları eşittir P, yani sinüs ve kosinüsün yarısı kadardırlar. Bunun nedeni açıktır: Eğer sinüs ve kosinüs her ikisi de işaret değiştirirse, oranları değişmeyecektir.

Teğetin paydası bir kosinüs içerdiğinden, kosinüsün 0 olduğu noktalarda teğet tanımlanmaz; X= P/2 +kp. Diğer tüm noktalarda monoton olarak artar. Doğrudan X= P/2 + kp teğet için dikey asimptotlardır. noktalarda kp teğet ve eğim sırasıyla 0 ve 1'dir (Şekil 12).

Kotanjant, sinüsün 0 olduğu yerde tanımlanmamıştır (ne zaman x = kp). Diğer noktalarda monoton bir şekilde azalır ve düz çizgiler çizilir. x = kp – onun dikey asimtotlar. noktalarda x = p/2 +kp kotanjant 0 olur ve bu noktalardaki eğim –1 olur (Şekil 13).

Parite ve periyodiklik.

Bir fonksiyon çağrılsa bile F(–X) = F(X). Kosinüs ve sekant fonksiyonları çifttir ve sinüs, teğet, kotanjant ve kosekant fonksiyonları tektir:

Parite özellikleri noktaların simetrisinden kaynaklanır P bir ve R- A (Şekil 14) eksene göre X. Böyle bir simetriyle noktanın ordinatı işaret değiştirir (( X;en) gider ( X; –y)). Periyodik, sinüs, kosinüs, sekant ve kosekant gibi tüm fonksiyonların periyodu 2'dir. P, ve teğet ve kotanjant - P:

Sinüs ve kosinüsün periyodikliği, tüm noktaların P a+2 kp, Nerede k= 0, ±1, ±2,…, çakışır ve teğet ve kotanjantın periyodikliği noktaların P bir + kp dönüşümlü olarak dairenin taban tabana zıt iki noktasına düşerek teğet ekseninde aynı noktayı verir.

Trigonometrik fonksiyonların temel özellikleri bir tabloda özetlenebilir:

Azaltma formülleri.

Bu formüllere göre a argümanının trigonometrik fonksiyonunun değeri, burada P/2 a p , a argüman fonksiyonunun değerine indirgenebilir; burada 0 a p /2, onunla aynı veya tamamlayıcıdır.

Argüman b	-A	+ bir	P-A	P+ bir	+ bir	+ bir	2P-A
günah b	çünkü bir	çünkü bir	günah işlemek	–sin a	–çünkü bir	–çünkü bir	–sin a
çünkü b	günah işlemek	–sin a	–çünkü bir	–çünkü bir	–sin a	günah işlemek	çünkü bir

Bu nedenle trigonometrik fonksiyon tablolarında değerler yalnızca keskin köşeler ve kendimizi örneğin sinüs ve teğet ile sınırlamak yeterlidir. Tablo sinüs ve kosinüs için yalnızca en sık kullanılan formülleri gösterir. Bunlardan teğet ve kotanjant formülleri elde etmek kolaydır. Formun bir argümanından bir fonksiyon oluştururken kp/2 ± a, burada k– a argümanının bir fonksiyonuna ait bir tamsayı:

1) aşağıdaki durumlarda fonksiyon adı kaydedilir: k eşit ve eğer "tamamlayıcı" olarak değişir k garip;

2) sağ taraftaki işaret, noktadaki indirgenebilir fonksiyonun işareti ile çakışmaktadır. kp/2 ± a eğer a açısı dar ise.

Örneğin, ctg (a – P/2) şunu garanti ederiz: a – P/2, 0'da a p /2, kotanjantın negatif olduğu dördüncü çeyrekte yer alır ve kural 1'e göre fonksiyonun adını değiştiririz: ctg (a – P/2) = –tg a .

Toplama formülleri.

Çoklu açı formülleri.

Bu formüller doğrudan toplama formüllerinden türetilir:

sin 2a = 2 sin a cos a ;

cos 2a = cos 2 a – sin 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a ;

günah 3a = 3 sin a – 4 sin 3 a ;

çünkü 3a = 4 çünkü 3 a – 3 çünkü a;

Cos 3a formülü François Viète tarafından çözüm sırasında kullanıldı. kübik denklem. Çünkü ifadesini ilk bulan oydu N bir ve günah N a, daha sonra Moivre formülünden daha basit bir şekilde elde edildi.

Çift bağımsız değişkenli formüllerde a'yı a /2 ile değiştirirseniz, bunlar yarım açı formüllerine dönüştürülebilir:

Evrensel ikame formülleri.

Bu formülleri kullanarak, aynı argümanın farklı trigonometrik fonksiyonlarını içeren bir ifade şu şekilde yeniden yazılabilir: rasyonel ifade bir tg(a/2) fonksiyonundan, bu bazı denklemleri çözerken faydalı olabilir:

Toplamları ürünlere ve ürünleri toplamlara dönüştürmek için formüller.

Bilgisayarların ortaya çıkmasından önce bu formüller hesaplamaları basitleştirmek için kullanılıyordu. Hesaplamalar kullanılarak yapıldı logaritmik tablolar, ve sonra - sürgülü hesap cetveli, Çünkü logaritmalar sayıları çarpmak için en uygun olanıdır, bu nedenle tüm orijinal ifadeler logaritma için uygun bir forma getirildi; örneğin işe:

2 günah A günah b = çünkü ( a-b) – çünkü ( a+b);

2cos Açünkü B=çünkü( a-b) + çünkü ( a+b);

2 günah Açünkü B= günah( a-b) + günah ( a+b).

Teğet ve kotanjant fonksiyonlarına ilişkin formüller yukarıdan elde edilebilir.

Derece indirgeme formülleri.

Çoklu argüman formüllerinden aşağıdaki formüller türetilir:

Bu formülleri kullanmak trigonometrik denklemler daha düşük dereceli denklemlere indirgenebilir. Aynı şekilde daha fazlası için indirgeme formüllerini de türetebiliriz. yüksek dereceler sinüs ve kosinüs.

Tanım alanının her noktasındaki her trigonometrik fonksiyon süreklidir ve sonsuz şekilde türevlenebilir. Ayrıca trigonometrik fonksiyonların türevleri trigonometrik fonksiyonlardır ve entegre edildiklerinde trigonometrik fonksiyonlar veya logaritmaları da elde edilir. Trigonometrik fonksiyonların rasyonel kombinasyonlarının integralleri her zaman temel fonksiyonlardır.

Trigonometrik fonksiyonların kuvvet serileri ve sonsuz çarpımlar şeklinde gösterimi.

Tüm trigonometrik fonksiyonlar genişletilebilir güç serisi. Bu durumda fonksiyonlar günah işler. X bcos X satırlar halinde sunulmaktadır. tüm değerler için yakınsak X:

Bu seriler günah için yaklaşık ifadeler elde etmek için kullanılabilir. X ve çünkü X küçük değerlerde X:

| x| p/2;

0x'de| P

(B n – Bernoulli sayıları).

günah fonksiyonları X ve çünkü X sonsuz ürünler olarak temsil edilebilir:

Trigonometrik sistem 1, çünkü X,günah X, çünkü 2 X, günah 2 X,¼,çünkü nx,günah nx, ¼, segmentte oluşur [– P, P] ortogonal sistem fonksiyonların trigonometrik seriler biçiminde temsil edilmesini mümkün kılan fonksiyonlar.

gerçek argümanın karşılık gelen trigonometrik fonksiyonlarının analitik devamları olarak tanımlanır. karmaşık düzlem. Evet günah z ve çünkü z günah serileri kullanılarak belirlenebilir X ve çünkü X, bunun yerine X koymak z:

Bu seriler tüm düzlem üzerinde yakınsaktır, dolayısıyla günah z ve çünkü z- tüm işlevler.

Teğet ve kotanjant aşağıdaki formüllerle belirlenir:

tg fonksiyonları z ve ctg z– meromorfik fonksiyonlar. tg direkleri z ve saniye z– basit (1. dereceden) ve noktalarda bulunur z = p/2 + pn, CTG direkleri z ve cosec z– aynı zamanda basit ve noktalarda yer alıyor z = pn, n = 0, ±1, ±2,…

Gerçek bir argümanın trigonometrik fonksiyonları için geçerli olan tüm formüller, karmaşık bir argüman için de geçerlidir. Özellikle,

günah(- z) = –sin z,

çünkü(– z) = çünkü z,

tg(– z) = –tg z,

ctg(– z) = –ctg z,

onlar. çift ​​ve tek parite korunur. Formüller de kaydedilir

günah( z + 2P) = günah z, (z + 2P) = çünkü z, (z + P) = tg z, (z + P) = ctg z,

onlar. periyodiklik de korunur ve dönemler gerçek bir argümanın işlevleriyle aynıdır.

Trigonometrik fonksiyonlar tamamen hayali bir argümanın üstel fonksiyonu aracılığıyla ifade edilebilir:

Geri, e iz cos cinsinden ifade edilir z ve günah z formüle göre:

e iz=çünkü z + Ben günah z

Bu formüllere Euler formülleri denir. Leonhard Euler bunları 1743'te geliştirdi.

Trigonometrik fonksiyonlar aynı zamanda şu şekilde de ifade edilebilir: hiperbolik fonksiyonlar:

z = –Benş iz, çünkü z = ch iz, z = –i th iz.

nerede sh, ch ve th – hiperbolik sinüs, kosinüs ve tanjant.

Karmaşık argümanın trigonometrik fonksiyonları z = x + iy, Nerede X Ve sen – gerçek sayılar, gerçek argümanların trigonometrik ve hiperbolik fonksiyonları aracılığıyla ifade edilebilir, örneğin:

günah( x + iy) = günah X ch sen + Bençünkü Xş sen;

çünkü( x + iy) = çünkü X ch sen + Ben günah Xş sen.

Karmaşık bir argümanın sinüsü ve kosinüsü gerçek değerler Mutlak değeri 1'i aşan. Örneğin:

Bilinmeyen bir açı, trigonometrik fonksiyonların argümanı olarak bir denkleme girerse, o zaman denklem trigonometrik olarak adlandırılır. Bu tür denklemler o kadar yaygındır ki yöntemleri çözümler oldukça detaylı ve dikkatli bir şekilde geliştirildi. İLE yardımla çeşitli teknikler ve formüller trigonometrik denklemleri formdaki denklemlere indirger F(X)= bir, Nerede F– en basit trigonometrik fonksiyonlardan herhangi biri: sinüs, kosinüs, teğet veya kotanjant. Daha sonra argümanı ifade edin X bu fonksiyon bilinen değeriyle A.

Trigonometrik fonksiyonlar periyodik olduğundan aynı A değer aralığından bağımsız değişkenin sonsuz sayıda değeri vardır ve denklemin çözümleri tek bir fonksiyon olarak yazılamaz A. Bu nedenle temel trigonometrik fonksiyonların her birinin tanım alanında her birinin bir kez olmak üzere tüm değerlerini aldığı bir bölüm seçilir ve bu bölümde bunun tersi olan fonksiyon bulunur. Bu tür işlevler, orijinal işlevin adına yay (yay) önekinin eklenmesiyle gösterilir ve ters trigonometrik olarak adlandırılır. fonksiyonlar veya basitçe yay fonksiyonları.

Ters trigonometrik fonksiyonlar.

Günah için X, çünkü X, tg X ve ctg X Ters fonksiyonlar tanımlanabilir. Buna göre arcsin ile gösterilirler. X("arksin" okuyun X"), arcos X, arktan X ve arcctg X. Tanım gereği arksin X böyle bir sayı var sen, Ne

günah en = X.

Diğer ters trigonometrik fonksiyonlar için de benzer şekilde. Ancak bu tanımda bazı yanlışlıklar bulunmaktadır.

Eğer günahı yansıtırsan X, çünkü X, tg X ve ctg X birinci ve üçüncü çeyreğin açıortayına göre koordinat uçağı, o zaman fonksiyonlar periyodiklikleri nedeniyle belirsiz hale gelir: aynı sinüs (kosinüs, teğet, kotanjant) şuna karşılık gelir: sonsuz sayı köşeler

Belirsizliği ortadan kaldırmak için eğrinin genişliği P Bu durumda argüman ile fonksiyonun değeri arasında bire bir yazışmanın sürdürülmesi gerekir. Koordinatların başlangıç ​​noktasına yakın alanlar seçilir. sinüs girişi için “Bire bir aralık” olarak segmenti alıyoruz [– P/2, P/2], burada sinüs monoton olarak –1'den 1'e yükselir, kosinüs için – segment, sırasıyla teğet ve kotanjant için aralıklar (– P/2, P/2) ve (0, P). Aralıktaki her eğri açıortaya göre yansıtılır ve artık ters trigonometrik fonksiyonlar belirlenebilir. Örneğin, argüman değeri verilsin x 0,öyle ki 0 Ј X 0 Ј 1. Daha sonra fonksiyonun değeri sen 0 = arksin X 0 tek bir anlamı olacak en 0 , öyle ki - P/2 Ј en 0 Ј P/2 ve X 0 = günah sen 0 .

Dolayısıyla arksinüs arksinin bir fonksiyonudur A, [–1, 1] aralığında tanımlanır ve her biri için eşittir A böyle bir değere a , – P/2 a p /2 günah a = A. Birim daire kullanarak temsil etmek çok uygundur (Şekil 15). Ne zaman | a| 1 Bir daire üzerinde koordinatları olan iki nokta vardır A, eksene göre simetrik sen. Bunlardan biri açıya karşılık gelir A= arksin A, diğeri ise köşe p-a. İLE sinüsün periyodikliği dikkate alınarak çözüm günah denklemleri X= Aşu şekilde yazılır:

x =(–1)N arksin A + 2pn,

Nerede N= 0, ±1, ±2,...

Diğer basit trigonometrik denklemler aynı şekilde çözülebilir:

çünkü X = A, –1 =A= 1;

x =±arcos A + 2pn,

Nerede P= 0, ±1, ±2,... (Şekil 16);

tg X = A;

X= arktan A + P N,

Nerede n = 0, ±1, ±2,... (Şek. 17);

ctg X= A;

X= arkctg A + P N,

Nerede n = 0, ±1, ±2,... (Şek. 18).

Ters trigonometrik fonksiyonların temel özellikleri:

arksin X(Şekil 19): tanım alanı – segment [–1, 1]; menzil - [- P/2, P/2], monoton olarak artan fonksiyon;

Arcco'lar X(Şekil 20): tanım alanı – segment [–1, 1]; değer aralığı – ; monoton olarak azalan fonksiyon;

arktg X(Şekil 21): tanım alanı – tüm gerçek sayılar; değer aralığı – aralık (– P/2, P/2); monoton olarak artan fonksiyon; dümdüz en= –P/2 ve y = p /2 – yatay asimptotlar;

arkctg X(Şekil 22): tanım alanı – tüm gerçek sayılar; değer aralığı – aralık (0, P); monoton olarak azalan fonksiyon; dümdüz sen= 0 ve y = p– yatay asimptotlar.

Herkes için z = x + iy, Nerede X Ve sen gerçek sayılardır, eşitsizlikler geçerlidir

½| e\e y–e-e| ≤|günah z|≤½( e y + e-y),

½| e y–e-e| ≤|çünkü z|≤½( e y +e -y),

hangisinin sen® Ґ asimptotik formüller aşağıdaki gibidir (eşit olarak X)

|günah z| » 1/2 e |y| ,

|çünkü z| » 1/2 e |y| .

Trigonometrik fonksiyonlar ilk olarak astronomi ve geometri araştırmalarıyla bağlantılı olarak ortaya çıktı. Esasen trigonometrik fonksiyonlar olan üçgen ve daire içindeki bölümlerin oranları 3. yüzyılda zaten bulunmuştur. M.Ö e. Antik Yunan matematikçilerinin eserlerinde – Öklid, Arşimet, Pergeli Apollonius ve diğerleri, ancak bu ilişkiler bağımsız bir çalışma konusu değildi, bu nedenle trigonometrik fonksiyonları bu şekilde incelemediler. Başlangıçta segmentler olarak kabul edilmişler ve bu formda Aristarchus (M.Ö. 4. yüzyılın sonları - 2. yüzyıl, MÖ 3. yüzyıl), Hipparchus (M.Ö. 2. yüzyıl), Menelaus (MS 1. yüzyıl) ve Ptolemy (MS 2. yüzyıl) tarafından kullanılmıştır. küresel üçgenlerin çözümü. Ptolemy, her 30 inçte bir dar açılar için 10 -6 doğrulukla ilk akor tablosunu derledi. Bu ilk sinüs tablosuydu. Oran olarak günah fonksiyonu a zaten Aryabhata'da (5. yüzyılın sonları) bulunuyor. tg a ve ctg a işlevleri el-Battani (9. yüzyılın 2. yarısı - 10. yüzyılın başları) ve sec a ve cosec a'yı da kullanan Abul-Wef'te (10. yüzyıl) bulunur. Aryabhata (sin 2 a + cos 2 a) = 1 formülünü zaten biliyordu ve ayrıca günah formülleri ve yarım açı olduğundan, bunun yardımıyla her 3°45" açı için sinüs tabloları oluşturdum; bilinen değerler En basit argümanlar için trigonometrik fonksiyonlar. Bhaskara (12. yüzyıl), toplama formüllerini kullanarak 1'e göre tablolar oluşturmak için bir yöntem verdi. Çeşitli argümanların trigonometrik fonksiyonlarının toplamını ve farkını bir ürüne dönüştürmek için formüller, Regiomontanus (15. yüzyıl) ve J. Napier tarafından, logaritmaların icadıyla (1614) bağlantılı olarak türetilmiştir. Regiomontan 1" cinsinden sinüs değerleri tablosu verdi. Trigonometrik fonksiyonların güç serilerine genişletilmesi I. Newton (1669) tarafından elde edildi. modern biçim Trigonometrik fonksiyonlar teorisi L. Euler (18. yüzyıl) tarafından ortaya atılmıştır. Gerçek anlamda onların tanımına sahiptir ve karmaşık argümanlar, şu anda kabul edilen sembolizm, ile bağlantı kurma üstel fonksiyon ve sinüs ve kosinüs sisteminin dikliği.